CARRERA PROFESIONAL: PROFESIONAL: ING.MECANICA Y
ELECTRICA
CURSO: ESTATICA Y DINAMICA CICLO:IV SEMANA : 3
CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOS CENTRO DE MASAS ,CENTROIDE TEOREMA DE PAPUS
TEMA:
PROFESOR : ING. JORGE CUMPA MORALES 2014-I
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En Física, además del centro de gravedad, aparecen los conceptos de Centro de masas y centro geométrico o Centroide ,que aunque puedan coincidir con el centro de gravedad; son conceptualmente diferentes.
CENTRO DE GRA GRAVEDAD •
El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas fuerzas de de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido producido por los pesos de todas las masas materiales que constituy constituyen en dicho cuerpo.
CENTRO DE GRAVEDAD •
En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.
C.G •
El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el c.g. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.
CUERPO PLANO
CENTRO DE MASA •
En física, además del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y de centro geométrico o centroide que, aunque pueden coincidir con el centro de gravedad, son conceptualmente diferentes.
CENTRO DE MASAS •
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El Centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o de un sistema.
Aun si el objeto esta en rotación, el centro de masa se mueve como si fuera partícula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en el punto de equilibrio de un objeto sólido. Por ejemplo, si usted equilibra un metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera está localizada directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada ahí La segunda ley de Newton se aplica a un sistema cuando se usa el centro de masa
CENTRO DE MASA Y CENTRO DE GRAVEDAD •
El centro de Masas coincide con el centro de gravedad, solo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector magnitud y dirección constante.
CENTRO GEOMETRICO Y CENTRO DE MASA El centro geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como
CENTROIDE •
El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio.
C.G , C.M, CENTROIDE •
En Ingeniería se asume que el cuerpo se encuentra en condición Ideal, es decir el Campo gravitatorio es uniforme y el objeto materia de estudio mes homogéneo, luego el C.G , C.m y el Centroide coinciden en un mismo punto
METODOS DE CALCULO •
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Para el calculo del centroide de una figura geométrica plana Son : Métodos de las Áreas y El método de integración directa
Ejercicio •
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Método de Áreas Calcular la Ubicación del centroide de la siguiente figura
solución 1º Calculo de las Áreas 2º Fijar el Sistema de referencia 3º Cálculos
METODO DE INTEGRACION DIRECTA
EJERCICIO •
Calcular la ubicación del centroide de la región acotada por : f(x) = 4 –X2 g(x) = X + 2
Solución
Centro de masa y centro de gravedad
Consideremos varias partículas de masas m 1, m2, m3.. y cuyas posiciones en el espacio son (x1,y1,z1), (x2,y2,z2)......, se define el centro de masa del sistema un punto cuyas coordenadas son: xm (m m ...) m ym (m y m y ...) (m m ...) m zm (m z m z ...) (m m ...) m
xcm
(m1x1 m2x2 ...) 1
ycm
zcm
1
1
i
i
2
1
2
1
2
1
2
1
2
i
i
i
2
i
i
i
i
2
i
i
i
i
i
i
Y su vector de posición será rcm = xcm i + ycm j + zcm k
De igual forma, si r1, r2, r3 ... son los vectores de posición de cada partícula
rcm
(m1r1 m2r2 ...) (m1 m2 ...)
mr m
Para distribuciones continuas de masa rcm
rdm dm
i i
i
i
i
Consideremos una distribución continua de masa Sea ρ la densidad del sólido
ρdV ρydV ρdV ρzdV ρdV ρxdV
xcm
ycm
zcm
dm = ρdV
Si es homogéneo ρ = constante
xcm
xdV
ycm
ydV
zcm
zdV
V
V
V
a)
Cuando el cuerpo homogéneo tiene alguna simetría, el centro de masa coincide con el punto de simetría
b) Si el cuerpo tiene algún eje de simetría, el centro de masa se halla sobre dicho eje
Centro de gravedad Problemas de equilibrio peso
actúa siempre el
Se distribuye sobre todo el cuerpo y dará lugar a un momento (los cuerpos cuando caen giran) Este momento es igual al producido por un objeto
puntual con el mismo peso y situado en un punto denominado centro de gravedad
a) El centro de gravedad para cuerpos simétricos y homogéneos está situado en su centro geométrico b) Si no tienen una clara simetría, el centro de gravedad puede determinarse matemáticamente
c) Si g tiene el mismo valor en todos los puntos del cuerpo ¡ centro de gravedad = centro de masa ¡
Cálculos de los centros de gravedad: Definición Sistema discreto
Sistema continuo
Cálculos de los centros de gravedad en distintos sistemas continuos
Sistema homogéneo
Placa homogénea de espesor constante
Hilo homogéneo de sección constante
Cálculos de los centros de gravedad en distintos sistemas continuo Si pudiéramos considerar el sistema como la suma de varios cuerpos
En el caso de que el sistema tuviera huecos, éstos podrían considerarse como subpartes de “masa negativa”
Cálculos de los centros de gravedad: Teoremas de Pappus-Guldin Teoremas que relacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolución Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta contenida en su mismo plano.
Ejemplo: Un volumen con forma de toro se puede considerar como la rotación de un círculo
Cálculos de los centros de gravedad: Primer teorema de Pappus-Guldin El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad de la curva cuando se engendra la superficie
Cálculos de los centros de gravedad: Primer teorema de Pappus-Guldin El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad de la curva cuando se engendra la superficie Conocido el centro de gravedad de la curva generatriz, se puede calcular el área de la superficie de revolución
Cálculos de los centros de gravedad: Segundo teorema de Pappus-Guldin El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad del área cuando se engendra el cuerpo
