matematika-dasar-fmipa-winita.pdf

Winita Sulandari, MSi [email protected]

Matematika

Dasar

© 11-2008

JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNS

Kata Pengantar

Buku ini merupakan bahan bahan ajar untuk mata kuliah Matematika Matematika Dasar Program studi studi D3 Ilmu Komputer, khususnya Jurusan Teknik Informatika. Materi disajikan secara sederhana dengan disertai contoh-contoh kasus aplikasi sehingga mudah dipahami. dipahami. Penulis berharap semoga bahan ajar ini dapat membantu mahasiswa dalam meningkatkan prestaasi belajarnya. Penulis dengan senang hati menerima kritik dan saran yang membangun demi peningkatan kualitas materi bahan ajar ini.

Hormat kami Penulis

Matematika Dasar (FMIPA UNS)

i

Kata Pengantar

Buku ini merupakan bahan bahan ajar untuk mata kuliah Matematika Matematika Dasar Program studi studi D3 Ilmu Komputer, khususnya Jurusan Teknik Informatika. Materi disajikan secara sederhana dengan disertai contoh-contoh kasus aplikasi sehingga mudah dipahami. dipahami. Penulis berharap semoga bahan ajar ini dapat membantu mahasiswa dalam meningkatkan prestaasi belajarnya. Penulis dengan senang hati menerima kritik dan saran yang membangun demi peningkatan kualitas materi bahan ajar ini.

Hormat kami Penulis


i

DAFTAR ISI

Hal

BAB 1 : Pengertian Sistem Bilangan, Fungsi dan Pertidaksaan secara Sederhana A. Sistem Bilangan B. Fungsi dan Grafik C. Pertidaksamaan BAB 2 : Pengertian Limit dan Kontinuitas Secara Sederhana A. Pengertian Limit B. Kekontinuan Fungsi BAB 3 : Pengertian Derivativ dan Aplikasinya A. Pengertian Derivatif B. Aplikasi Derivatif C. Masalah maksimum Minimum BAB 4 : Integral dan Aplikasinya A. B. C. D.

Integral tak Tentu Aplikasi Integral Tak tentu Integral Tentu Aplikasi Integral Tentu


1 1 1 3 9 9 12 15 15 17 21 24 24 26 29 32

ii

Pengertian sistem bilangan, fungsi dan pertidaksamaan secara sederhana

A. Sistem Bilangan

Bilangan Asli

Bilangan 0

Bilangan Cacah

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan Bulat

Bilangan Pecahan

Bilangan Rasional

Bilangan Irasional

Bilangan Riil

Pengertian 1. Bilangan riil terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irrasional. 2. Bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat (bilangan cacah dan bilangan bulat negatif) dan dan bilangan pecahan pecahan biasa (dituliskan dalam dalam bentuk a/b dimana a dan b adalah anggota bilangan bulat). 3. Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan desimal tidak berbatas (tidak bisa dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat). Contoh :

2



1,4142…. dan  = 3,14159…

B. FUNGSI Dan Grafik

Pengertian Selang Misalkan a dan b adalah dua bilangan dengan a< b. Himpunan semua bilangan x yang terletak diantara a dan b disebut selang terbuka dari a ke b dan dituliskan a < x < b. Titik-titik a dan b disebut titik-titik ujung dari selang. Sebuah selang terbuka tidak meliputi titik-titik ujungnya. Selang terbuka a < x < b bersamasama dengan titik-titik ujung a dan b disebut selang tertutup dari a dan b dan


1

dituliskan a ≤ x ≤ b. Tabel 1 berikut menunjukkan beberapa kemungkinan daerah penyelesaian dan cara penulisannya. Tabel 1 Penulisan Himpunan

Penulisan selang

{x | a < x < b }

(a, b)

{x | a ≤ x ≤ b}

[a, b]

{x | a ≤ x < b}

[a, b)

{x | a < x ≤ b}

(a, b]

{x | x ≤ b}

(- , b]

{x | x < b}

(-, b)

{x | x ≥ a}

[a, )

{x | x > a}

(a, )

R

Grafik

a○

○b

o o

o

(- , )

Pengertian konstanta dan variabel Misal terdapat selang a < x < b. Selang ini mengandung pengertian bahwa 1. a dan b merupakan simbol dari sebuah bilangan dan disebut konstanta 2. x merupakan simbol untuk setiap bilangan di dalam kawasan (sekumpulan) bilangan-bilangan (antara a dan b) dan disebut dengan variabel. Contoh: x adalah satu hari di bulan Januari. Kawasan dari dari x adalah rangkaian 1, 2, 3, …, 31

Pengertian Fungsi 1. Sebuah fungsi y disebut sebagai fungsi dari sebuah variabel yang lain x bila terdapat suatu peraturan atau alat yang menghubungkan setiap nilai x dengan nilai y. Nilai y tergantung pada nilai x yang dipilih. Variabel y ini disebut sebagai variabel tak bebas, sedangkan variabel x disebut variabel bebas. Sebagai ilustrasinya perhatikan contoh berikut.

Pandang

persamaan x – y = 10. Persamaan ini jika dituliskan dalam bentuk y sebagai fungsi dari x

diperoleh

y = x – 10. Sedangkan jika x sebagai

fungsi dari y maka kita tuliskan x = 10 + y.


2

Fungsi biasa dinotasikan dengan, f : A  B x  f(x) = y Himpunan A disebut domain/daerah asal dari f(x), dan dinotasikan dengan D f sedangkan himpunan { y| f(x) = y, x

 A}  B

disebut range/daerah hasil dari f(x)

dan dinotasikan dengan R f .

Menggambar Grafik dari Suatu Fungsi Dalam menyelesaikan masalah, seringkali dibutuhkan sketsa grafik fungsi yang ditanyakan. Untuk menggambar grafik fungsi tidak terlalu sulit, caranya adalah 1. tentukan titik-titik koordinat yang memenuhi fungsi yang dimaksud. 2. buat sumbu ordinat (axis) dan beri tanda (bubuhkan) titik-titik koordinat yang sudah ditentukan sebelumnya 3. hubungkan titik-titik tersebut sehingga membentuk suatu kurva (grafik) Contoh 1: Buat sketsa grafik f(x) = x2 – 2, dan tentukan domain dan range dari fungsi tersebut. Tentukan titik-titik koordinat terlebih dahulu, buat table seperti di bawah ini. Table 2 x

f(x)

-2

2

-1

-1

0

-2

1

-1

2

2

Gambar 1 Dari gambar terlihat bahwa bahwa domain dan range dari fungsi ini adalah semua anggota bilangan riil (R).

C. PERTIDAKSAMAAN

Himpunan penyelesaian dari suatu persamaan secara normal terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah bilangan berhingga. Berbeda dengan


3

persamaan, suatu pertidaksamaan (misalnya 3x – 17 < 6 atau x 2 – x – 6 ≥ 0) mempunyai himpunan penyelesaian yang terdiri dari suatu keseluruhan selang bilangan atau, dalam beberapa kasus, suatu gabungan dari selang-selang bilangan. Bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan? Beberapa

cara

yang

dapat

digunakan

untuk

menyelesaikan

pertidaksamaan: 1. dengan menambahkan bilangan yang sama pada kedua pihak suatu pertidaksamaan 2. dengan mengalikan kedua pihak suatu pertidaksamaan dengan bilangan positif 3. dengan mengalikan kedua pihak suatu pertidaksamaan dengan bilangan negative,

tetapi

kemudian

kita

harus

membalikkan

arah

tanda

pertidaksamaan. Contoh 2: Selesaikan pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2 dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaiannya. Penyelesaian: 2x – 7 < 4x – 2

Hp : {x | x > -5/2} atau (-5/2, )

2x < 4x + 5 (tambahkan 7)

o

-2x < 5 (tambahkan -4x)

-5/2

x > -5/2 (kalikan dengan -1/2)

Gambar 2.

Contoh 3: Selesaikanlah -5 ≤ 2x + 6 < 4. Penyelesaian: -5

≤ 2x + 6 < 4

Hp : {x | -11/2 ≤ x < -1} atau [-11/2, -1)

-11 ≤ 2x < -2 (tambahkan -6) -11/2 ≤ x < -1 (kalikan dengan 1/2)

-11/2

-1 Gambar 3.

Contoh 4: Selesaikanlah pertidaksamaan kuadrat x 2 – x < 6. Penyelesaian: x2 – x

<6

x2 – x - 6 < 0

(tambahkan -6)

(x - 3)(x+2) < 0 (faktorkan)


4

Terlihat bahwa -2 dan 3 adalah titik-titik penyelesaian, titik-titik ini membagi garis riil menjadi tiga selang (- , -2), (-2, 3), dan (3,

).

Pada tiap selang ini,

(x-3)(x+2) bertanda tetap, yakni selalu positif atau selalu negative. Untuk mencari tanda ini dalam tiap selang, kita pakai titik-titik uji -3, 0, dan 5 (sebarang titik pada ketiga selang tersebut akan memenuhi). Hasilnya tampak seperti tabel 3. Tabel 3. Titik uji

Nilai dari (x-3)(x+2)

Tanda

-3

6

(+)

0

-6

(-)

5

14

(+)

Berdasarkan Tabel 2, himpunan penyelesaian untuk (x-3)(x+2) < 0 adalah selang (-2, 3). Grafik disajikan pada Gambar 4. (+) -3, 0 dan 5 digunakan sebagai titik uji

(-)

(+)

-2 dan 3 adalah titiktitik penyelesaian

| | | | | | | | | | -2 3

-3

0 -2

5 3

Gambar 4.

Contoh 5: Selesaikan persamaan 3x 2 – x – 2 > 0 Penyelesaian: Karena 3x 2 – x – 2 = (x - 1)(3x + 2) = 3(x - 1)(x + 2/3), titik-titik penyelesaiannya adalah -2/3 dan 1. Titik-titik ini bersama sama dengan titik-titik uji -2, 0, 2 memberikan informasi yang diperlihatkan pada gambar 5. Dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan terdiri dari titik-titik yang berada pada selang (- , -2/3) atau (1,

 ).

Atau dalam bahasa

himpunan, kita tuliskan (- , -2/3)  (1, ). (+)

(-) | | | -2/3

(+) | 1

| | | -2/3

| 1

(-, -2/3)  (1, ) Gambar 5


5

x -1

Contoh 6. Selesaikan

x2



0.

Penyelesaian: Jelas terlihat bahwa titik-titik penyelesaian dari pembilang dan penyebut adalah 1 dan -2. Titik-titik uji -3, 0, dan 2 menghasilkan informasi seperti yang disajikan pada gambar 6. Hasil bagi pada titik -2 adalah tidak terdefinisi, sehingga -2 tidak berada dalam himpunan penyelesaian. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (- , -2)  [1, ). (+)

(-) | -2

|

|

| | | -2 (-, -2)  [1, )

0 (+) | 1 | 1

Gambar 6

Contoh 7. Selesaikan

2x - 5 x-2

 1.

Penyelesaian:

2x - 5

1 

0



0

x-2 2 x  5  ( x  2) x

2 x

3

x

2



(+) |

0

(-) | 2

0 | 3

(+) |

2 3 Gambar 7

Contoh 8: Selesaikan x 3 – 5x2 + 4x ≤ 0. Penyelesaian: Persamaan tingkat tiga x 3 – 5x2 + 4x difaktorkan sebagai x(x-1)(x-4), sehingga terdapat tiga titik penyelesaian yaitu 0, 1 dan 4 yang membagi garis riil menjadi empat selang. Himpunan penyelesaian yang kita peroleh (- , 0]  [1, 4] (-) (0) (0) (-) (0) (+) | | | | | | | | | 0 1 4 Gambar 8 Contoh 9: Selesaikan (x +1)(x-1) 2(x-3) ≤ 0.


6

Penyelesaian: Titik-titik penyelesaian adalah -1, 1, dan 3, yang membagi garis riil menjadi empat selang, seperti diperlihatkan pada gambar 9. Himpunan penyelesaian adalah [-1, 1] (+)

(0) | -1

 [1,

3] yaitu selang [-1, 3].

(-) |

(0) | 1

(-) |

(0) | 3

(+) |

Gambar 9

Pertidaksamaan yang menyangkut nilai mutlak Nilai mutlak dari suatu bilangan real x didefinisikan sebagai |x| =

−

jika jika

≥ 

0

<0

nilai mutlak dapat diartikan sebagai jarak (tak berarah). |x-a| diartikan sebagai jarak antara x dengan a, sedangkan |x | diartikan sebagai jarak antara x dengan titik asal ( nilai nol) Secara umum, |x| < a  -a < x < a |x| > a  x < -a atau x > a

Contoh 10: Selesaikan ketaksamaan |x – 2| < 3 dan perlihatkanlah himpunan penyelesaiannya pada garis real. Penyelesaian: |x – 2| < 3  -3 < x – 2 < 3  -1 < x < 5 Himpunan penyelesaiannya adalah selang (-1, 5). | -1

|

| 0

|

| 3

|

| 5

Gambar 10 Latihan Soal x

1. Diberikan fungsi f(x) =

x

2

1 2

. Carilah f(0), f(1), f(2a), f(1/x) dan f(x+2)!

2. Jika f(x) = 2x – 5. carilah f(x+3) – f(x-1)! 3. Diketahui fungsi f( x ) =

1

−

1


7

a. Sketsa grafiknya b. Tentukan domain dan range dari fungsi tersebut 4. Selesaikan pertidaksamaan a. 18x – 3x2 > 0 b. (x + 3)(x - 2)(x - 4) < 0 c. (x + 1)2 (x – 3) > 0 d. 2 + 3 x



5 x + 1

 16

5. Selesaikan pertidaksamaan

a.

 −  ≤

b.

− 

2

3

2

+4

6

<2


8

Pengertian LIMIT DAN KONTINUITAS secara sederhana

A. PENGERTIAN LIMIT

Suatu bentuk pernyataan lim f ( x)  L , mempunyai arti bahwa bilamana x dekat x c

dengan nilai c ( x  c) maka f(x) dekat dengan L. Contoh 1:

Misalkan diberikan fungsi f ( x) 

x 3  1 x  1

. Terlihat bahwa fungsi

tersebut tidak terdefinisi pada x = 1. Apa yang terjadi jika x mendekati 1? Apakah f(x) juga mendekati suatu bilangan tertentu? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita akan lakukan beberapa hitungan f(x) untuk beberapa x yang dekat dengan 1. x

f(x) 1,1

3,310

1,01

3,03

1,001

3,003





1

?





0.999

2,997

0.99

2,970

0.9

2,710

Dari beberapa perhitungan di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 1 adalah 3. lim

x 1

x 3  1 x  1

3

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa pemikiran tentang limit dihubungkan dengan perilaku suatu fungsi dekat c, bukannya tepat di c. Dengan cara yang sama anda akan dapat mencari nilai lim

x 0

sin x x

= 1. Namun

demikian cara di atas ternyata belum tentu berhasil untuk kasus lain.


9

Contoh 2:

Cari lim x 2  x 0

cos x 10000

Perhatikan hasil perhitungan dalam tabel berikut. x 2 

x

cos x

Dari tabel disamping terlihat bahwa

10000

limit fungsi mendekati 0 untuk x

 1

0.99995

mendekati 0. Padahal jika kita ingat

 0.5

0.24991

grafik cos x, nilai cos x akan mendekati 1

 0.1

0.00990

untuk x mendekati 0. Dengan demikian

 0.01

0.000000005





0

?

lim x 2 

x 0

cos x 10000

=0-

1 10000

=-

1 10000

Limit Kiri dan Limit kanan

Limit kanan dinotasikan sebagai lim f ( x)  L yang artinya bahwa jika x dekat x c

tetapi pada sebelah kanan c sehingga f( x ) dekat ke L. Sedangkan limit kiri dinotasikan dengan lim f ( x)  L yang diartikan bahwa x dekat tetapi pada x c

x ) dekat ke L. Limit kanan atau limit kiri disebut sebagi sebelah kiri c sehingga f(

limit sepihak. Adanya limit kanan belum berarti ada limit kiri. Limit fungsi pada suatu titik , lim () dikatakan ada jika nilai limit sepihaknya sama, yaitu nilai limit kiri sama dengan nilai limit kanan. Contoh 3:

cari lim x 3



9  x 2 dan lim x 3



9  x2

Untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri diperoleh

lim x 3



9  x 2 = 0

Untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan diperoleh

lim

x 3

9  x 2 = tidak ada

Hal ini dikarenakan untuk x > 3 berakibat

9  x 2 berupa bilangan imajiner.

Sifat-Sifat Limit

Misalkan n adalah bilangan bulat positif, k adalah suatu konstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka


10

1. lim k  k x c

2. lim x  c x c

3. lim kf ( x)  k lim f ( x) x c

x c

4. lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x) x c

x c

x c

5. lim [ f ( x)  g ( x)]  lim f ( x)  lim g ( x) x c

x c

x c

6. lim [ f ( x). g ( x)]  lim f ( x). lim g ( x) x c

7. lim

x c

x c

f ( x)

x c

lim f ( x) 

g ( x)

, dengan syarat lim g ( x)  0.

x c

x c

lim g ( x) x c

8. lim [ f ( x)]n  lim [ f ( x)] x c

n

x c

9. lim n f ( x)  n lim f ( x) dengan syarat lim f ( x)  0 untuk n genap. x c

Contoh 4

x c

x c

: Hitung lim

x 3  1

x 1

x  1

=

Penyelesaian: x 3  1

lim

x 1

Contoh 5:

x  1

 lim

( x  1)( x 2  x  1) x  1

x 1

x  1

Hitung lim

x  1

x 1

 lim  x 2  x  1  12  1  1  3 x 1



Penyelesaian: lim

x  1 x  1

x 1

Contoh 6:

( x  1)( x  1)

 lim

x  1

x 1

Hitung lim

x  4

x  4 x  x  12 2





 lim x  1  1  1  2 x 1

=

Penyelesaian: lim

x 4

x  4 x 2  x  12

Contoh 7:

 lim

Hitung lim

x  

x 4

x  4 ( x  4)( x  3)

3 x  2 9 x  7

 lim

x  4

1 x  3



1 7

=

Penyelesaian:


11

Untuk kasus ini langkah yang harus dilakukan adalah dengan membagi pembilang dan penyebut dengan x berpangkat tertinggi, sehingga 3 x  2

lim

x 

Contoh 8 :

9 x  7

3

2

x  3  0  1 x  7 90 3 9 x

 lim

Hitung lim

x  

2 x 3

x 2



1

= lim

x 

2 x 3 x 2  1

 lim

x 

2 1 x



1



x 3

Penyelesaian: lim

2 x 3

x  

x 2



1

= lim

x 

2 x 3 x 2  1

2

 lim

1

x 

x Contoh 9:

Hitung lim

x  2

4  x 2 3  x 2  5



1



x 3



Penyelesian: lim

x 2

4  x 2 3  x  5 2



 lim

x  2

4  x 2 3  x  5 2



3  x 2  5 3  x  5 2

 lim

x  2

(4  x 2 )(3  x 2  5 ) 4  x 2

lim 3  x 2  5  3  3  6 .

x  2

B. KEKONTINUAN FUNGSI

Secara umum kata kontinu diartikan sebagai suatu proses yang berkelanjutan (berkesinambungan). Dalam Matematika, suatu fungsi f dikatakan sebagai fungsi kontinu di c jika 1. f (c) bisa didefinisikan (ada nilainya) 2. lim f ( x) ada x c

3. lim f ( x)  f (c) x c

Contoh 10:

Dalam soal-soal berikut, nyatakan apakah fungsi yang ditunjukkan kontinu atau tidak di x = 2; jika tidak kontinu jelaskan sebabnya! a.

f ( x)  4 x 2  2 x  12 Penyelesaian: Ingat pengertian fungsi kontinu! Ada 3 langkah yang harus dikerjakan.


12

1) f (2) = 4(2 2) -2(2) + 12 = 24 (ada nilainya atau terdefinisi) 2) lim 4 x 2  2 x  12  24 (ada) x 2

3) lim 4 x 2  2 x  12 = f (2) x  2

Dari 1), 2) dan 3) terbukti bahwa f ( x ) kontinu di x = 2. b. f ( x) 

8 x  2

Penyelesaian: Caranya sama dengan no 1. 1) f (2) tidak terdefinisi 2) langkah kedua dan ketiga tidak perlu dilanjutkan, karena sudah jelas pada langkah pertama syarat kekontinuan tidak dipenuhi. c. g ( x) 

x 3  8 x  2

Penyelesaian: g(2) tidak terdefinisi sehingga g( x ) tidak kontinu di x = 2.

 x 3  8  jika x  2 d. h( x)   x  2   12 jika x  2 Penyelesaian: 1) h(2) = 12 2) lim h( x ) = lim x  2

x 3  8

x  2

x  2

= lim

( x  2)( x 2  2 x  4)

x 2

x  2

2 = lim ( x  2 x  4) =12

x 2

3) lim h( x ) = h(2) x  2

Dari 1), 2), dan 3) terbukti bahwa h( x ) kontinu di x = 2.

e.

 x  3 jika x  2 f ( x)   2  x  1 jika x  2 Penyelesaian: 1) f (2) = 22 + 1 = 5 2) lim f ( x) = lim x  3 = 2 + 3 = 5 x 2

x 2

2 lim f ( x) = lim x  1 = 22 + 1 = 5

x 2

x  2 


13

Karena lim f ( x) = lim f ( x) maka lim f ( x) ada dan lim f ( x) = 5 x 2

x 2

x 2

x 2

3) lim f ( x) = f (2) x 2

Dari 1), 2), dan 3) terbukti bahwa f ( x ) kontinu di x = 2. Latihan soal

1. Gunakan kalkulator untuk menghitung nilai-nilai dari fungsi yang diberikan dekat titik limit x = 0. a. lim

tg x

x  0

b. lim

2 x sin x

x 0

x 2

2. sketsa grafik dari

 x 2 jika x  0  f ( x) x jika 0  x  1  1  x 2 jika x  1  kemudian cari a. lim f ( x)

c. lim f ( x)

b. f (1)

d. lim f ( x)

x 0

x 1

x 1

3. sketsa grafik dari

  x  1 jika x  1  g ( x) x  1 jika 1  x  2  5  x 2 jika x  2  kemudian cari a. lim g ( x)

c. lim g ( x)

b. g(1)

d. lim g ( x)

x 1

x 2

x 2

4. Tentukan nilai k agar fungsi berikut kontinu


14

Pengertian DERIVATIF dan APLIKASINYA

A. PENGERTIAN DERIVATIF

Derivatif (turunan) fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “ f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah f ' (c)  lim

f (c  h)  f (c) h

h 0

(a)

asalkan limit ini ada. Bentuk derivatif di atas juga dapat dinyatakan dalam bentuk berikut f ' (c)  lim

f ( x)  f (c) x  c

x c

(b)

Contoh 1: Gunakan bentuk (a) dan (b) untuk mencari f’ (c) jika f ( x) = x2 – 3 x. Penyelesaian: Dengan persamaan (a) f (c  h)  f (c)

f ' (c)  lim

h

h0



(c  h ) 2

lim



3(c  h)  (c 2

(c

lim

2



2ch  h

2



2ch  h 2

lim



3c)



3h

h

h 0



3c  3h)  (c 2

h

h 0



3c)

h

h 0





lim 2c  3 h 0



2c  3

Dengan persamaan (b) f ' (c)  lim

f ( x )  f (c) x  c

x c



lim

( x

2



3 x )  (c 2  3c) x  c

x  c



lim

x  c



lim

( x 2  3 x  c 2  3c ) x  c ( x  c)( x  c )  3( x  c )

x  c 

x  c

2c  3


15

Contoh 2: Jika

x  3 x

cari f’(x)

Penyelesaian: f ' ( x )  lim

h 0



lim

f ( x  h)  f ( x ) h x  h  3 x  h



x  3 x

h

h 0

x ( x  h  3)  ( x  h)( x  3) 

( x  h) x

lim

h

h 0



lim

x 2



xh  3 x  x 2

lim

h 0

xh  3 x  3h

x h  xh 2

h 0





2



x 2

3



xh

3 / x 2

 

Kemiringan garis singgung (gradient) dan kecepatan sesaat menggunakan konsep yang sama dengan derivative. Perhatikan contoh berikut! Contoh 3: Cari kemiringan garis singgung pada kurva y = f ( x ) = x 2 di titik (2,4) Penyelesaian: Kemiringan garis singgung, m = f ’(2)= lim→ 0

2+− (2) 

= lim→0

2+2 −(2)2 4+4 + 2 −4 = lim→ 0  

= lim→0

 (4+ ) =4 

Contoh 4: Sebuah benda P jatuh dalam ruang hampa udara. P jatuh sejauh 16t 2 meter dalam t detik. Hitunglah kecepatan sesaat dari benda P jatuh, beranjak dari posisi diam pada t = 3,8 detik. Penyelesaian: Kecepatan sesaat, v = f ’(3,8) = lim→0 = lim→ 0

3,8+−(3,8) 

16 3,8+2 −16(3,8)2



= lim→0

16[3,82 +7,6 + 2 −(3,8)2 ]



= lim→ 0 167,6 + 16 = 121,6 Jadi kecepatan pada 3,8 detik adalah 121,6 meter/detik


16

Aturan Pencarian Derivatif 1. Jika f(x ) = k maka f ’( x ) = 0 2. Jika f ( x ) = x maka f ’( x ) = 1 3. Jika f ( x ) = x n maka f ’( x ) = nx n-1  = kf ’( x )   5. Jika y = f ( x ) ± g( x ) maka = f ’( x ) ± g’( x ) 

4. Jika y = k f ( x ) maka

6. Jika y =

 ( )   ′ − ′ ( ) maka =  ( )   2 ( )

Derivatif sinus dan kosinus 1. Jika f ( x ) = sin( x ) maka f ’( x ) = cos ( x ) 2. Jika f ( x ) = cos ( x ) maka f ’( x ) = - sin( x )

Aturan rantai: Jika y = f (u) dan u = g( x ) maka

   =   

Latihan soal Cari turunan y dari soal di bawah ini 1.

sin



 = sin  +cos   2 +1 = 

2.



3.

 = 2 ( 2 + 3)

4. Cari persamaan garis singgung pada y = (x 2 + 1)3(x4 +1)2 di titik (1,32) B. APLIKASI DERIVATIF

Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan derivative. Masalah kecepatan dan percepatan Contoh 5: Sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisi s-nya memenuhi, s = 2t 2 – 12t + 8, dengan s diukur dalam sentimeter dan t dalam detik. a. Tentukan kecepatan benda bilamana t = 1 dan t = 6. b. Kapan kecepatannya 0? c. Kapan kecepatannya positif? Penyelesaian: Matematika Dasar (FMIPA UNS)

17

a. Misalkan kecepatan dinotasikan dengan v, sehingga v(t) menunjukkan kecepatan pada saat t.

v(t) diperoleh dari derivative s terhadap t,

diperoleh v(t) =

 = 4 − 12 

Jadi v(1) = 4(1) – 12 = -8 cm/detik dan v(6) = 4(6) – 12 = 12 cm/detik b. Kecepatan nol, berarti v(t) = 4t – 12 = 0. Dengan demikian diperoleh t = 3. Jadi kecepatan akan bernilai nol pada saat t = 3. c. Kecepatan positif, berarti v(t) > 0. Dengan demikian diperoleh t > 3. Note: Kecepatan berbeda dengan laju. Laju merupakan nilai mutlak dari kecepatan. Kecepatan mempunyai arah yang ditunjukkan dengan tanda negative ( – ) atau (+), tanda negative berarti bergerak ke arah kiri/bawah. Tanda positif menunjukkan benda bergerak ke arah kanan/atas.

Untuk kasus di atas,

benda bergerak ke kiri, diperlambat hingga berhenti (kecepatan mencapai nol) pada t =3, dan kemudian bergerak ke kanan(kecepatannya positif). Percepatan (a) adalah derivatif dari kecepatan,



 =  Masalah Benda Jatuh

Contoh 6: Sebuah bola dilempar ke atas dari puncak sebuah gedung pada ketinggian s = -16t 2 +48t +256 kaki setelah t detik. (a) berapa kecepatan awalnya? (b) kapan ia mencapai ketinggian maksimum? (c) berapa ketinggian maksimumnya? (d) kapan ia membentur tanah? (e) dengan laju berapa ia membentur tanah? Penyelesaian (a) Kecepatan awal, yaitu kecepatan pada saat t = 0. Fungsi kecepatan v diperoleh dari derivative fungsi s, yaitu v(t) = -32t + 48 dengan demikian, kecepatan awal adalah v(0) = 48 kaki/detik


18

(b) Ketinggian maksimum dicapai saat t sehingga memenuhi v(t) = 0 v(t) = 0  t = 48/32 = 21/8 kaki/detik (c) Ketinggian maksimum dicapai pada saat t = 21/8 detik, sehingga s(21/8) = -16(21/8) 2 + 48(21/8) + 256 = 1087/4 kaki (d) Benda membentur tanah, pada saat t dimana s(t) = 0 -16t 2 +48t +256 = 0  t 2 - 3t - 16 = 0 difaktorkan menggunakan rumus abc, yaitu

12 =

− ±  2 −4 2

diperoleh

12 =

3± 73 2

t yang dipakai adalah t positif, yaitu t = (3 +  73)/2 detik

Persamaan Garis singgung Contoh 7: Seorang penjelajah angkasa bergerak dari kiri ke kanan sepanjang kurva y = x 2. Bilamana ia mematikan mesinnya, ia akan bergerak sepanjang garis singgung pada titik dimana ia saat itu berada. Pada titik mana ia harus mematikan mesin agar mencapai titik (4,15)? (Petunjuk: misalkan penjelajah angkasa tersebut mematikan mesin di ( x 0 ,y 0) ) Penyelesaian: Misal penjelajah angkasa mematikan mesinnya di titik ( x 0,y0). Dengan demikian kita mempunyai

0 = 02

…… (i)

Di lain pihak, gradient garis singgung pada ( x 0,y0) adalah

 =  ′ 0  = 20 Sehingga persamaan garis singgungnya adalah

 − 0 = ( − 0 )  − 0 = 20 ( − 0 ) Pada titik (4,15) diperoleh Matematika Dasar (FMIPA UNS)

19

15 − 0 = 20 (4 − 0 )

0 = 202 − 80 + 15

…. (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh

02 = 202 − 80 + 15 Sehingga

02 − 80 + 15 = 0



0 − 30 − 5 = 0

Dengan demikian diperoleh x 0 = 3 atau x 0 = 5. Jika x 0 = 3 maka

y 0 = 9 dan

m = 6 sedangkan untuk x 0 = 5, y 0 = 25 dan m = 10. Jadi terdapat dua persamaan garis singgung, yaitu I.

 − 9 = 6 ( − 3)

II.

 − 25 = 10( − 5)

Latihan Soal 1. Posisi dua partikel P 1 dan P2, pada suatu garis koordinat setelah t detik, masing-masing diberikan oleh s 1 = 3t 3 – 12t 2 + 18t + 5 dan s 2 = -t 3 + 9t 2 – 12t. Kapan kedua partikel itu mempunyai kecepatan sama? 2. Sebuah benda yang dilemparkan langsung ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 48 dm/det berada kira-kira pada ketinggian s = 48t – 16t 2 dm pada akhir t detik a. Berapakah ketinggian maksimum yang dicapai? b. Seberapa cepat benda bergerak, dan ke arah mana, pada akhir 1 detik? c. Berapakah lama waktu yang diperlukan untuk kembali pada posisi

semula? 3. Sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisi s-nya memenuhi, s = 2t 2 – 12t + 8, dengan s diukur dalam sentimeter dan t dalam detik. a.

Tentukan kecepatan benda bilamana t = 1 dan t = 6.

b.

Kapan kecepatannya 0?

c.

Kapan kecepatannya positif?


20

C. Masalah Maksimum Minimum

Nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi diperoleh dari titik-titik kritisnya. Apa yang dimaksud dengan titik kritis itu sendiri? Berikut adalah pengertian dari titik kritis.

Jika suatu fungsi f terdefinisikan pada selang I = [a,b] dan x adalah salah s atu titik dalam I maka titik kritisnya adalah a. titik ujung dari I, yaitu a dan b b. titik stasioner dari f, yaitu titik yang diperoleh dengan menyelesaikan

f’(x) = 0 c. titik singular dari f, yaitu suatu titik x dimana f’(x) tidak ada.

Contoh 8: Cari nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x 2 + 4x + 4 pada I = [-4,0] Penyelesaian: Titik-titik kritisnya adalah a. titik ujung dari I, yaitu -4 dan 0 b. titik stasioner

f’(x) = 0  2x + 4 = 0  x = - 2 c. titik singular, tidak ada dengan demikian Titik kritis (x) -4 -2 0

f(x) 4 0 4 -

-

-

-

Nilai maksimum dari fungsi f adalah 4, dicapai pada saat x = -4 dan x = 0, sedangkan nilai minimum fungsi f adalah 0 dicapai pada saat x = -2. Hal ini juga dapat dilihat dari sketsa grafiknya. Contoh 9 Kotak segiempat dibuat dari selembar papan, panjang 24 cm dan lebar 9 cm, dengan memotong bujursangkar identik pada keempat pojok dan melipat ke atas Matematika Dasar (FMIPA UNS)

21

sisi-sinya. Carilah ukuran kotak yang volumenya maksimum. Berapa volume kotak ini? Penyelesaian

9 cm

x

9-2x 24 – 2x

24 cm

Volume kotak V = x (24 – 2x)(9 – 2x) = 216x - 66x2 + 4x3

Titik kritis diperoleh dengan menyelesaikan V’ = 0 216 – 132x + 12x 2 = 0 12(9 – x)(2 – x) = 0 Diperoleh

1 = 9 atau 2 = 2 Perlu diperhatikan bahwa x tidak mungkin lebih dari 4,5. Hal ini dikarenakan 2 x ≤ 9



x ≤ 4,5

Dengan demikian x yang memenuhi adalah x = 2. Ukuran kotak yang menghasilkan volume maksimum adalah

2  x 5  x 20  Atau Volume = 200 cm3.

Latihan Soal 1. Carilah volume terbesar dari kotak terbuka yang dibuat dari selembar papan seluas 24 cm 2, dengan cara memotong bujursangkar berukuran sama pada pojok-pojok dan melipat sisi-sisi ke atas 2. Jika tersedia bahan 1200 m 2 untuk membuat suatu kotak dengan alas berbentuk bujursangkar dengan bagian atas terbuka, carilah volume kotak terbesar yang mungkin! 3. Badu mempunyai 80 meter kawat duri . Kawat tersebut akan digunakan untuk memagari kandang sepanjang satu sisi gudangnya sepanjang 100 meter, seperti diperlihatkan dalam gambar 2. Sisi sepanjang gudang tidak Matematika Dasar (FMIPA UNS)

22

memerlukan kawat duri. Berapa ukuran kandang yang mempunyai luas maksimum? Sisi gudang kandang

x

y 4. Badu memutuskan untuk membuat dua kandang yang identik dengan 80 meter kawat durinya, seperti diperlihatkan pada gambar 3. Kandang menempel pada salah satu sisi gudang sepanjang 100 meter. Berapa ukuran untuk total lingkungan agar kandang seluas mungkin? Sisi gudang


23

INTEGRAL dan APLIKASINYA

A. INTEGRAL TAK TENTU

Pada bab sebelumnya telah kita bicarakan mengenai turunan. Apa hubungan antara integral dengan turunan? Integral diartikan sebagai antiturunan (balikan dari derivative). Suatu fungsi F ( x ) disebut antiturunan dari f ( x ) pada interval I jika berlaku F ’( x ) = f ( x ) untuk setiap x I . Contoh 1: Diketahui tiga fungsi,

  =  ,   =  1

1

2

2

1

2

2

2

+ 5 dan

  =  +  . 1

3

2

2

Ketiga fungsi di atas menghasilkan turunan yang sama, yaitu

 ′ =  ′ =  ′ =  = () Dengan demikian dapat dikatakan bahwa    =    =    adalah anti turunan dari   =  karena berlaku F ’( x ) = f ( x ). Dari contoh di atas dapat kita 1

2

3

1

2

3

simpulkan bahwa anti turunan dari f ( x ) tidak tunggal, yang membedakan adalah suatu konstanta. Anti turunan sering disebut juga sebagai integral tak tentu, yang dinotasikan dengan

 f ( x)dx  F ( x)  C . Berikut adalah sifat-sifat dari integral tak tentu 1. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan



a. x dx 

x n

1

 C untuk n bilangan rasional, n ≠ -1 (aturan pangkat) n 1 b. ∫ sin x dx = −cos x + C n

c. ∫cos x dx = sin x +C d. ∫sec2 x dx = tan x +C e. ∫csc2 x dx = − cot x +C 2. Sifat kelinearan Jika f dan g mempunyai anti turunan dan k, a, dan b masing-masing adalah konstanta maka berlaku a.

 k f(x) dx = k  f(x) dx

b.

 [ f(x) + g(x) ] dx =  f(x) dx +  g(x) dx

c.

 [ f(x) - g(x) ] dx =  f(x) dx -  g(x) dx

d. ∫[a f ( x ) + b g( x )] dx =a ∫ f ( x ) dx + b ∫ g( x ) dx Matematika Dasar (FMIPA UNS)

24

3. Integral dengan substitusi Misal u = g( x ) , du = g ( x ) dx , dan F suatu anti turunan dari f , maka ′

∫ f ( g ( x )) g ' ( x ) dx = ∫ f (u) du = F (u) + c = F ( g ( x )) + c 4. Aturan pangkat yang diperumum Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bil angan rasional bukan (-1), maka :

 [ g ( x)] g ' ( x) dx  r

1 r 1

[ g ( x)]r 1  C

Sebagai gambaran dari penerapan sifat-sifat integral tak tentu di atas perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh 2: Hitung integral tak tentu

 sin 2 x 1 dx

Penyelesaian

 . Dengan demikian dapat kita tuliskan  sin2 + 1 =  sin  .  =  sin   = − cos  +  1 = − cos2 + 1 +  2 Misal u = 2 x + 1 sehingga du = 2 dx atau = 1 2

1 2

1

1

2

2



Contoh 3: Hitung integral 2 x 1 x2  2 x 1)3/2 dx

=

Misal

2

+2

 − 1

sehingga

 = 2 + 2 

atau

 = 2 + 1.

Diperoleh

  x 1  x  2 x 1)3/2 dx   u3/2 du  25 5/2 +  = 25 ( 2 + 2 − 1)5/2 +  Contoh 4 : Hitung integral

3 x

2

 sin 3 x dx

Penyelesaian:

(3

2

  =  3  +  sin3  =  +  − 13 cos3 +  2

+ sin 3 )

3

1

2

 = 3  = 3  sehingga  sin3  =  sin   = − cos  +  Konstanta  dan  dapat digabung, katakan  =  +  . Dengan demikian Misal

1

2

1

1

3

3

1

2

2

diperoleh Matematika Dasar (FMIPA UNS)

25

(3

2

  =  3  +  sin3  =  2

+ sin 3 )

3

+

− 13 cos3 + 

Latihan Soal

 +  jika  = (4 + 3) (4 + 1)  =  −   =  − 

1. Dapatkan anti turunan dari a. b. c.

3

3

12

2

5

4

6

2 4 3 2 +2 2

2. Selesaikan integral tak tentu berikut a. b. c.

( + 1)    cos3 + 1 sin3 + 1   ( cos ) 3

10 5

2 2

2

B. APLIKASI INTEGRAL TAK TENTU

 =  diketahui, gradient (kemiringan) garis  =  ′ (). Sebaliknya jika yang singgung pada ( , ) dinyatakan oleh  =  ′ =   =  ′ (), persamaan kurva y dapat dicari melalui cara diketahui adalah  =  Jika persamaan dari suatu kurva

integrasi. Ada beberapa kurva y yang mungkin, untuk memperoleh satu kurva tertentu, perlu dicari(ditetapkan) suatu nilai C . Bentuk persamaan

 =  ′ () 

selanjutnya kita sebut sebagai persamaan diferensial. Contoh 5: selesaikan persamaan differensial

 =    Kemudian cari penyelesaian bilamana

 = 0, nilai  = 3.

Penyelesaian: Untuk menyelesaikan persamaan di atas, pisahkan dahulu variable x dan y .

  =   Integrasikan kedua ruas,

  =   1 1 +  =  +  2 2 2

2

1

2

Kedua ruas dikalikan dengan 2,



2

+2


 = 1

2



+2

2

26

Diperoleh

 =  + (2 − 2 )  = +  =   +  2

2

2

2

1

2

2

Untuk mendapatkan nilai C , gunakan syarat y = 3 jika x = 0. Dari perhitungan diperoleh

 

3 = 0+

=9 Jadi,

 =   Jika suatu persamaan gerak

2

+ 9.

 = , dengan s adalah notasi untuk jarak tempuh

suatu benda dan t menunjukkan waktu tempuh, kecepatan dan percepatan pada

  =   =  ′′ (). Sebaliknya waktu t dinyatakan dengan  = =  ′ () dan  =    2

2

jika yang diketahui adalah kecepatan atau percepatannya pada saat t diketahui, persamaan geraknya dapat dicari. Contoh 6: Diketahui percepatan benda jatuh karena gravitasi adalah 32 meter per detik. Sebuah bola dilemparkan ke atas dari permukaan bumi dengan kecepatan awal 96 meter per detik. Berapa tinggi maksimum yang dicapai bola tersebut? Penyelesaian: t detik Kecepatan bola saat di titik maksimum (puncak, smaks), Di titik awal, t = 0 dan s = 0

Permukaan bumi

Percepatan benda jatuh dinotasikan dengan

 dan didefinisikan sebagai turunan

dari kecepatan v terhadap waktu t , yaitu

 =  Karena gaya gravitasi cenderung memperkecil kecepatan, maka percepatan diberi tanda negatif. Dengan demikian Matematika Dasar (FMIPA UNS)

27

 = - 32  Kecepatan v dapat dicari dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan differensial di atas dengan dt untuk selanjutnya diintegrasikan.

  =  −32  = −32 +  Karena kecepatan awalnya, yaitu kecepatan pada saat t = 0 adalah 96 meter/detik, diperoleh

 = 96, sehingga  = −32 + 96

 dapat diartikan sebagai turunan dari jarak tempuh s terhadap t , yaitu  =  = −32 + 96 Dengan cara yang sama kita peroleh

 = −32 + 96  = −16 

Karena pada titik awal, s = 0 untuk t = 0, diperoleh

 = −16

2

 

2

+ 96 +

 = 0. Dengan demikian



+ 96

Selanjutnya, kembali pada pertanyaan soal. Ketinggian maksimum smaks dicapai saat v t = 0,

 = −32 + 96 = 0 Diperoleh t = 3 detik. Jadi tinggi maksimum dicapai pada t = 3 dengan ketinggian

 = −16(3)

2



+ 96 3 = 144 meter

Latihan Soal 1. Selesaikan persamaan differensial berikut a. b.

 =   ; y = 4 pada x = 1    =  − 1;  = 0 pada  = 0 

2. Cari persamaan- xy dari kurva yang melalui (1,1) dan yang kemiringannya

pada setiap titik sama dengan kelipatan dua negative dari absis (koordinat- x ) titik tersebut. 3. Sebuah bola kaki dilemparkan ke atas dari permukaan planet yang

mempunyai percepatan gravitasi k (konstanta negative) meter/detik 2. Matematika Dasar (FMIPA UNS)

28

Jika kecepatan awal adalah v 0, perlihatkan bahwa tinggi maksimumnya

 adalah − . 2 2 0

4. Sebuah balok es meluncur ke bawah pada sebuah lereng dengan

percepatan

1 m/det 2. Lereng itu panjangnya 20 m dan es mencapai

dasarnya dalam

5 detik. Berapakah kecepatan awalnya dan kapan es

tersebut berada pada 6 m dari dasar lereng? 5. Bakteria pada suatu kultur tertentu berkembang sesuai hukum

 = 0.25 bila asalnya N = 200, carilah N pada t = 8?  C. INTEGRAL TENTU

Integral tentu dinotasikan dengan jumlah Rieman yang menggambarkan luas daerah. Perhatikan langkah-langkah berikut.

 

Misal fungsi ( ) terdefinisi pada selang tertutup [a, b]. 1. Bagi selang [a, b] menjadi menjadi n buah subselang, masing-masing dengan panjang

− 

 =  ,  ,  , … , −  =  0

1

2

1,

2. Nyatakan panjang subselang sebagai

∆ =  − − , untuk  = 1, 2 , … ,  1

Panjang subselang sama untuk setiap k , sehingga panjang subselang dapat dinyatakan sebagai

∆.

3. Pilih sebuah titik untuk tiap subselang

 ∈ − ,  , untuk  = 1, 2, … ,  1

4. Bentuk jumlah Rieman

  )∆

Luas A( Rk )

Luas A( Rk ) = (

∆ ∆

( )

x k-1 x k

Luas A(Rn) adalah jumlahan dari luas A(Rk ), yakni


29

  =  ∆ +  ∆ + … +  ∆ + … +  ∆    = ( )∆ 1

Jika



2

 =1

∞

maka diperoleh limit jumlah Rieman



lim   = lim  ( )∆    =1 ∞

∞

Jika limit ini ada maka f dikatakan terintegral Rieman pada selang [ a, b] dan dituliskan sebagai





 = lim ( )∆ ∞

 Contoh 7: Hitung

 =1

   2 0

Penyelesaian: Bagi selang [0, 2] menjadi n bagian sama panjang, sehingga

∆ = . Dengan 2

demikian



0

=0

∆ = 2  = 0 + 2∆ = 2.2 

1

=0+

2

………………………...

 = 0 + ∆ = 2.

Pilih ck = x k, dan bentuk jumlah Rieman







  4   = ( )∆ =  ∆ =    =   = 4 (2+ 1) = 2 + 2     Untuk   , =1

=1

=1

2 2

2

2

=1

∞

2

  = lim 2 + 2

=2

∞

0

Sifat Integral Tentu 1. Sifat linear


30













 +  =  +  2. Jika a < b < c maka







 =  +        3.   = 0 dan    = −    4. Jika f ( x ) fungsi ganjil maka −   = 0   5. Jika f ( x ) fungsi genap maka −  = 2      6.  ′  =    Contoh 8: Hitung −  −  0

( )

( )

2

3

2

Penyelesaian: fungsi di atas merupakan fungsi ganjil, 2

1

2

1

 −   = 4  − 2  − = 0 − Contoh 9: Hitung  3  3  + 1  Penyelesaian: misal  = 3 + 1   = 9  . Batas bawah dan batas atas juga berubah, yaitu  = 0  = 1 dan  = 1  = 4. Dengan demikian  3  3  + 1  =    =   = 8 − 1 = 3

4

2

2

2

1

2

3

0

3

1

2

1

3

0

4

1/2

3 1

2

12 33

3/2

4

2

14

1

9

9

Latihan Soal

   jika 0 ≤  < 1 a.   =   jika 1 ≤  < 3   b.   =      Hitung  a.  =   b.   = cos 2  c.   =  3 3

1. Hitung

3

0

2

( 2 +2 )

3 +3 2

2.

/4

0

2


31

D. APLIKASI Integral tentu

Integral tentu dapat digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva

 = ,  =  dan  = . Selain itu, integral juga dapat digunakan untuk

menghitung volume benda pejal, yaitu benda yang dihasilkan bila suatu daerah diputar dengan suatu sumbu putar. Menghitung Luas

 = () ≥ 0,  =  dan  =  dan

1. Jika suatu daerah dibatasi oleh

sumbu- x , maka luas daerah tersebut adalah



2. Jika suatu daerah

 =   dibatasi oleh  = ( ) ≤ 0,  =  dan  =  dan

sumbu- x , maka luas daerah tersebut adalah



3.

 = −  Jika suatu daerah dibatasi oleh  = ,  =  , dengan ( ) ≥   untuk  ∈ [, ], dan dibatasi juga oleh  =  dan  = , maka luas 1

2

daerah tersebut adalah



 =  −  

Contoh 10: Cari luas bidang yang dibatasi oleh kurva

 = −1 dan  = 1.

 =  − 4 dan garis 2

R2

R1

∆

 =  − 4 2

Karena pada daerah R1, nilai

 ≥ 0 dan pada daerah R , nilai  ≤ 0 sehingga luas 2

bidang dapat dinyatakan sebagai Luas = Luas R1 + Luas R2

−  − 4  + −   − 4  =  − 2  −   − 2   − =

0 1

1 3

1 0

2

3

2

0

1

1

3

3


2

2

1

0

32

=2

1 3

2

+ 1 = 4 3

Contoh 11: Tentukan luas daerah antara kurva

 =  − 1 dan  = 3 − . 2

Penyelesaian: Untuk kemudahan, kita buat sketsa grafiknya terlebih dahulu. x Batas 2

x = y + 1

3

Plot menggunakan program mathematica 5.0 dengan perintah:

2

Plot[{y+1,3-y^2},{y,-2,2}]; 1

y -2

-1

1

x = 3 – y2

Batas 1 -

Jika dilihat dari sketsa grafik di atas, fungsi kurva sebaiknya dinyatakan dalam fungsi y, sehingga kurva dibatasi oleh batas

 = −2 dan  1

2

 =  + 1 dan  = 3 −  . Sedangkan 2

= 1 diperoleh dari titik potong antra dua kurva, yaitu

 + 1 = 3 −  +−2 =0  + 2 − 1 = 0  = −2 atau  = 1 2

2

Dengan demikian, luasnya adalah 1

1

 = (3 −  ) −  + 1  = − −  + 2  = − 3  − 2  2

2

−2

1

1

3

1

2

−2

+2

−

2

=4

1 2

Latihan Soal 1. Carilah

2.

3.

Luas bidang yang dibatasi oleh kurva

 =  , sumbu- x dan 2

 = 1 dan  = 3. Sketsa grafiknya terlebih dahulu. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh parabola  =  − 7 + 6, sumbu- x dan garis-garis  = 2 dan  = 6. Sketsa grafiknya terlebih dahulu. Carilah luas bidang yang dibatasi oleh parabola  = 4 − dan sumbu- y . 2

2

Menghitung Volume Volume benda putar bisa dicari dengan salah satu metode berikut 1. Metode Cakram Digunakan jika sumbu perputaran berupa batas-batas bidang datar. Prinsip dari metode ini adalah menggunakan rumus volume tabung, yaitu Matematika Dasar (FMIPA UNS)

33

 =   2

dengan r adalah jari-jari dan h adalah tinggi. Sebagai ilustrasi, perhatikan gambar berikut f ( x)

f ( x) Sumbu putar

 x

r = f ( x)

Terlihat bahwa volume cakram ,

∆ = [ ] ∆ 2

Dengan demikian volume benda putar V adalah



 = [ ()]  2



Contoh 12: Hitung volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva



2



 = 2 apabila R diputar

= 8 , sumbu- x , dan garis

mengelilingi sumbu- x . Penyelesaian: y2= 8 x

 x

2

 =  8  = 4 

2 2 0



= 16

0

2. Metode Cincin Sumbu perputaran tidak berupa batas-batas bidang datar. Contoh 13: Tentukan volume benda putar apabila daerah yang dibatasi oleh parabola-parabola

= 2

dan



2



= 8 diputar mengelilingi

sumbu- x . Penyelesaian: Matematika Dasar (FMIPA UNS)

34

y = x2 y2= 8 x

 x

 8 

2

x

Volume cincin adalah

∆ = [ 8  − ( ) ]∆ 2

2 2

Sehingga volume benda putar adalah

 =  8 −  = 485 2

4

0

3. Metode Kulit Tabung Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, sehingga volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Sebagai ilustrasi, pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut tabung h. Volume kulit tabung adalah

 dan  , tinggi 1

2

tinggi

 =  −  =  +   −  = 2 +2  ( − ) 2 2

2

2 1

2

1

2

1

1

2

rata-rata rata-rata jari-jari jari-jari

Sehingga,

1

tebal

 = 2∆

Contoh 14: Hitung volume yang terjadi karena perputaran lingkaran

 + 2

2

= 4 di sekitar garis

 = 3.

x = 3

2

 = 2    = 2 4 −

−22

2

r = 3 - x

 3 −2 4 −    − −   − 4 −  4 −  = 12 −  4 = 24 (coba uraikan sendiri) 2

=2

2

2 2

2

2 2

2

2


35

Latihan soal 1. Hitung volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva



2



= 8 , dan R diputar mengelilingi garis x = 2.

2. Hitung volume benda pejal yang terjadi karena perputaran bidang datar yang dibatasi oleh

 = − − 3 + 6 dan  +  − 3 = 0 diputar 2

a. sekitar x = 3 b. sekitar y = 0


36

matematika-dasar-fmipa-winita.pdf

Recommend Documents