BAB II PEMBAHASAN
Geometri Non Euclid 2.1 Pengertian Geometri
Geomet Geometri ri berasa berasall dari dari bahas bahasaa Yunani Yunani geōmetrein yang memiliki arti mengukur bumi. Bapak dari geometri yaitu Euclid atau Eukleidēs (sekitar 325 SM
– sekitar 265 SM) dalam tulisannya “The Element” yang menjadi referensi utama dalam dalam bidan bidangg geome geometri tri hingga hingga abad abad ke – 20. Eucli Euclidd menjel menjelask askan an menge mengenai nai Geomet Geometri ri yang yang kini kini dikena dikenall dengan dengan Euclidean geometry. Sekitar 2000 tahun setelah setelah dibuatny dibuatnyaa “The Element” Element” geometri geometri mengalam mengalamii perkemba perkembangan ngan dimana dimana pada abad ke – 19 muncul non-Euclidean geometry . Dengan perkembangan yang terjadi, apakah obyek ilmu geometri tetap bumi, dimensi ruang dan waktu, atau ada obyek lain yang menjadi dasar pembelajaran dari ilmu geometri. Yang
dimaksud
dengan
geometri
non
euclid
(dalam
existsbox.wordpress.com) adalah salah satu dari dua geometri yang diperoleh dengan meniadakan meniadakan paralel postulat euclid, yaitu hiperbolik dan hiperbolik dan geometri eliptik . Sedangkan menurut Anton Tirta S, dan Anwar Sadat (2010) geometri non euclid adalah sebuah system yang konsisten baik secara definisi, asumsi, dan bukti-bukti yang menggambarkan menggambarkan objek-objek sebagai titik-titik, garis dan dua bidang. Perlu diketahui bahwa kemunculan geometri non euclid ini diawali dari adanya perbedaan pendapat para matematikawan tentang postulat euclid kelima yang disebut postulat paralel. Postulat tersebut tercantum dalam buku yang ditulis oleh Euclid pada tahun 300 SM yang berjudul The Element, yang berbunyi “ jika dua buah garis dipotong oleh sebuah garis lain sedemikian sehingga
membuat jumlah sudut dalam sepihak kurang dari 180, maka kedua garis itu berpotongan pada pada pihak yang jumlah sudut sudut dalam sepihaknya sepihaknya kurang dari dari 180”. 2.2 Perbedaan Geometri Euclid dan Geometri Non Euclid Perbedaan penting antara geometri euclid dan non-euclid adalah sifat dari garis-garis parallel atau sejajar. Dalam geometri Euclid, jika diberikan sebuah titik dan garis, maka hanya ada tepat satu garis yang melalui titik tersebut dan sejajar
5
dengan garis yang diberikan. Sementara dalam geometri eliptik/bola tidak ada garis seperti itu. Selanjutnya dalam geometri hiperbolik setidaknya ada dua garis berbeda yang melalui sebuah titik dan dan sejajar dengan dengan garis tertentu. Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri euclid dan non-euclid adalah dengan mempertimbangkan dua garis lurus yang diperpanjang sampai tak hingga panjangnya dan kedua garis tersebut tegak lurus terhadap garis ketiga, maka : •
Dalam geometri euclid, pada sebuah titik yang terletak di luar garis hanya dapat dibuat satu garis yang sejajar dengan garis semula.
•
Dalam geometri hiperbolik, pada sebuah titik yang terletak di luar garis dapat dibuat lebih dari satu garis yang sejajar dengan garis semula.
•
Dalam geometri eliptik/bola, pada sebuah titik yang terletak di luar garis, terdapat beberapa garis yang berpotongan dengan garis semula. Pada Pada dasarn dasarnya ya geomet geometri ri non eucli euclidd terbag terbagii menja menjadi di 3 bagian bagian,, yaitu yaitu
Geometri Netral (Neutral Geometry), Geometri Eliptik/Bola (Spherical Geometry) dan Geometri Hiperbolik (Hyperbolic Geometry) Berikut ini akan diuraikan bagian-bagian geometri non euclid dan tokohtokoh yang ada di dalamnya. 2.3 Geometri Netral Geometri netral adalah geometri yang dilengkapi dengan sistem aksiomaaksioma insidensi, sistem aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan kekongruenan (ruas garis, sudut, segitiga) dan sistem aksioma-aksioma archiemedes. Geometri netra etrall juga juga dise isebut but geo geometr metrii mutla utlakk yan yang meru erupak pakan geome eometr trii yang dikembangkan tanpa menggunakan aksioma ke lima Euclid dan ataupun ingkaran dari postulat postulat ke lima tersebut. tersebut. Dengan Dengan menggunaka menggunakann modifikasi-modi modifikasi-modifikas fikasi, i, banyak proporsi dari geometri netral yang secara geometri euclid dan non euclid dipandan dipandangg benar. benar. Geometri Geometri netral netral dipersiap dipersiapkan kan untuk menjawab menjawab pertanyaa pertanyaan, n, apakah dapat dibuktikan tanpa menggunakan menggunakan dalil kelima atau postulat paralel.
5
dengan garis yang diberikan. Sementara dalam geometri eliptik/bola tidak ada garis seperti itu. Selanjutnya dalam geometri hiperbolik setidaknya ada dua garis berbeda yang melalui sebuah titik dan dan sejajar dengan dengan garis tertentu. Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri euclid dan non-euclid adalah dengan mempertimbangkan dua garis lurus yang diperpanjang sampai tak hingga panjangnya dan kedua garis tersebut tegak lurus terhadap garis ketiga, maka : •
Dalam geometri euclid, pada sebuah titik yang terletak di luar garis hanya dapat dibuat satu garis yang sejajar dengan garis semula.
•
Dalam geometri hiperbolik, pada sebuah titik yang terletak di luar garis dapat dibuat lebih dari satu garis yang sejajar dengan garis semula.
•
Dalam geometri eliptik/bola, pada sebuah titik yang terletak di luar garis, terdapat beberapa garis yang berpotongan dengan garis semula. Pada Pada dasarn dasarnya ya geomet geometri ri non eucli euclidd terbag terbagii menja menjadi di 3 bagian bagian,, yaitu yaitu
Geometri Netral (Neutral Geometry), Geometri Eliptik/Bola (Spherical Geometry) dan Geometri Hiperbolik (Hyperbolic Geometry) Berikut ini akan diuraikan bagian-bagian geometri non euclid dan tokohtokoh yang ada di dalamnya. 2.3 Geometri Netral Geometri netral adalah geometri yang dilengkapi dengan sistem aksiomaaksioma insidensi, sistem aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan kekongruenan (ruas garis, sudut, segitiga) dan sistem aksioma-aksioma archiemedes. Geometri netra etrall juga juga dise isebut but geo geometr metrii mutla utlakk yan yang meru erupak pakan geome eometr trii yang dikembangkan tanpa menggunakan aksioma ke lima Euclid dan ataupun ingkaran dari postulat postulat ke lima tersebut. tersebut. Dengan Dengan menggunaka menggunakann modifikasi-modi modifikasi-modifikas fikasi, i, banyak proporsi dari geometri netral yang secara geometri euclid dan non euclid dipandan dipandangg benar. benar. Geometri Geometri netral netral dipersiap dipersiapkan kan untuk menjawab menjawab pertanyaa pertanyaan, n, apakah dapat dibuktikan tanpa menggunakan menggunakan dalil kelima atau postulat paralel.
6
Tokoh-tokoh dalam geometri geometri netral ini antara lain : 1) John John Walli Walliss (1616 (1616-17 -1703 03 M)
Novem ember ber 1616 John John Wall Wallis is (23 Nov
– 28 Ok Okto tobe ber r 1703 1703)) adal adalah ah
matematikawan Inggris yang berperan dalam perkembangan kalkulus kalkulus.. Ia juga menciptakan simbol ∞ untuk bilangan tak terhingga. Asteroid 31982 Johnwallis dinamai dari namanya. John Brehaut Wallis lahir di Ashford-Kent, Ashford-Kent, beliau adalah anak ketiga dari Reverend John Wallis dan Joanna Chapman. Berbagai usaha dilakukan oleh wallis untuk membuktikan postulat Euclid yang kelima. Salah satu bukti yang dibuat oleh Wallis pada tahun 1663 adalah menggantikan menggantikan postulat sejajar euclid dengan menggunak menggunakan an postulat berikut ini : Ada segitiga dengan satu sisi yang telah ditetapkan sebelumnya secara sebarang yang akan sama dengan segitiga yang diketahui
n P
P
m S
R
S
m R T
Q
I
Q
I
Gambar 2.1 Misalkan P merupakan titik yang tidak terletak pada garis l . Dari P, konstruksi PQ yang tegak lurus dengan l , yang bertemu l di Q, dan di P buat garis m yang tegak lurus dengan PQ (gambar 2.1). Misalkan n adalah sebarang garis
selain m yang memuat P. Kita tunjukkan bahwa n bertemu l. Misalkan R sebarang titik pada n di daerah antara l dan m. Dari R, konstruksi garis RS yang tegak lurus
7
deng dengan an gari gariss PQ, PQ, sehi sehing ngga ga bert bertem emuu deng dengan an PQ di S. Seka Sekara rang ng,, deng dengan an menggunakan postulat Wallis, tentukan segitiga PQT sedemikian sehingga ΔPQT sama dengan ΔPSR dan T berada pada sisi yang sama dari PQ sebagai R. Kemudian
merasakan bahwa postulatnya sudah pasti, dan telah menangani permasalahan postulat sejajar cukup cukup lama.
Gambar 2.2 Apakah postulat Wallis lebih jelas atau lebih sederhana daripada postulat Euclid? Sebenarnya, postulatnya menyatakan bahwa jika ΔABC dan segmen PQ diberikan dalam gambar 2.2, akan ada titik R sedemikian sehingga ΔPQR sama dengan ΔABC. Bagaimana kita peroleh titik R? pada sisi PQ yang diketahui, kita dapat dapat membentuk membentuk
8
tersebut haruslah bertemu. Hal ini sangat serupa dengan postulat sejajar Euclid, tetapi postulat Wallis menyatakan hal yang lebih lengkap, karena postulat tersebut memerlukan
Giovanni Girolamo Saccheri lahir di Sanremo pada 5 September 1667,
dan wafat pada 25 Oktober 1733. Beliau adalah seorang Italia Jesuit imam, filsuf skolastik dan matematika. Saccheri masuk urutan Jesuit pada 1685, dan ditahbiskan sebagai imam pada 1694. Ia mengajar filsafat di Turin 1694-1697, dan filsafat teologi, dan matematika di Pavia dari 1697 sampai kematiannya. Dia adalah seorang anak didik dari matematika Tommaso Ceva dan menerbitkan beberapa karya termasuk Quaesita geometrica (1693), Logica demonstrativa (1697), dan Neo-statica (1708). Ia dikenal hari ini terutama untuk publikasi terakhir, tahun 1733 tak lama sebelum kematiannya yang sekarang dianggap sebagai pekerjaan kedua di nonEuclidean geometri , Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclid Freed dari setiap oleh Eugenio Beltrami di pertengahan abad ke-19. Ide terpenting Saccheri adalah ia menganggap postulat paralel salah dan berusaha untuk menurunkan suatu kontradiksi dan menarik kesimpulan dari kontradiksi tersebut. Secara spesifik Saccheri mempelajari segiempat yang sudut alasnya merupakan sudut siku-siku dan sisi alas dua sisi yang tegak lurus sisi alas adalah kongruen. Selanjutnya segiempat ini dikenal dengan sebutan segi empat Saccheri (lihat gambar 2.3)
9
D
A
C
Gambar 2.4
B
Gambar 2.3 Misalkan ABCD merupakan segi empat Saccheri dengan AD = BC dan sudut siku-siku di A, B. Saccheri membuktikan bahwa 90°) 3. hipotesis tentang sudut lancip (
Saccheri membuktikan menggunakan sederetan teorema yang memiliki alasan yang tepat, bahwa hipotesis sudut tumpul akan menghasilkan kontradiksi. Beliau mempertimbangkan implikasi hipotesis sudut lancip. Di antaranya ada sejumlah teorema yang tidak umum, dua di antaranya kita nyatakan sebagai berikut: Jumlah sudut sebarang segitiga kurang dari 180°.
10
Jika l dan m merupakan dua garis dalam bidang, maka salah satu dari sifat di bawah ini di penuhi: a. l dan m berpotongan, dalam kasus di mana dua garis tersebut divergen dari titik perpotongan. b. l dan m tidak berpotongan tetapi memiliki garis tegak lurus yang sama di mana dua garis tersebut divergen dalam kedua arah dari garis tegak lurus yang sama tersebut. c. l dan m tidak brpotongan dan tidak memiliki garis tegak lurus yang sama, di mana dua garis tersebut konvergen dalam satu arah langkah, dan divergen pada arah lainnya.
Saccheri tidak memandang sebagai kontradiksi, meskipun beliau pikir harus menganggap sebagai kontradiksi dan bahkan diketahui pada masa sekarang bahwa teori hipotesis sudut lancip Saccheri bebas kontradikisi seperti geometri Euclid. 3. Johan Heinrich Lambert (1728-1777)
Pada tahun 1766, Lambert mengikuti jejak Saccheri tetapi dia tidak mengalami frustasi seperti yang dialami Saccheri. Ia menyelidiki hipotesis dari sudut lancip tanpa mendapatkan kontradiksi. Akhirnya Lambert mengemukakan sebuah postulat “the angle sum of the triangle increased as the area of the triangle decreased”.
C D
A
B
11
4. Legendre (1752-1833)
Legendre menghabiskan 40 tahun hidupnya untuk membuktikan postulat parallel. Legendre membuktikan bahwa postulat kelima Euclid setara dengan jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan jumlah dua sudut siku-siku atau
dengan kata lain bahwa jumlah sudut suatu segitiga sama dengan 180 0. Seperti Saccheri, Legendre membuktikan bahwa jumlah sudut segitiga tidak boleh lebih dari dua sudut siku-siku. Hal ini bertumpu pada kenyataan bahwa garis-garis lurus yang tak terbatas. Dalam berusaha menunjukkan bahwa sudut jumlah tidak boleh kurang dari 180 0 Legendre mengasumsikan bahwa melalui setiap titik di bagian sudut selalu mungkin untuk menarik garis yang memenuhi kedua sisi sudut. Ini ternyata setara lain bentuk postulat kelima, tapi Legendre tidak pernah menyadari kesalahannya sendiri. Karena saat ini Legendre tidak mengetahui apa yang Saccheri kerjakan, dia mempublikasikan penemuannya pada tahun 1833 M, tahun dimana ia meninggal. 2.4 Geometri Hiperbolik
12
Geometri Hiperbolik adalah geometri pertama yang ditemukan logis dan konsisten, setelah geometri Euclid. Yang dicirikan dengan aksioma-aksioma berikut ini : 1. Diketahui dua titik sembarang, terdapat tepat satu garis yang ditarik melalui kedua titik itu 2. Suatu segmen dengan panjang sembarang dapat ditentukan pada garis itu 3. Diketahui satu titik, dapat dibuat suatu lingkaran dengan sembarang radius 4. Semua sudut siku-siku kongruen 5. Melalui satu titik tidak pada satu garis, paling sedikit ada dua garis yang ditarik dan memotong titik yang diketahui. Terdapat empat model yang umum digunakan dalam geometri hiperbolik yang mendefinisikan bidang hiperbolik nyata yang memenuhi aksiomaaksioma dalam geometri hiperbolik. Diantaranya model Klein, Model Poincare, Model Setengah-Bidang Poincare, dan model Lorentz. 1. Model Klein
Model klein disebut juga model Beltrami-Klein untuk memberikan apresiasi kepada Eugenio Beltrami dan Felix Klein atas sumbangsihnya terhadap model ini. Model Klein juga terkadang disebut model disc projektive. Untuk semua lingkaran di dalam geometri euclid, jika O adalah pusat lingkaran γ dan OR adalah jari-jarinya. Berdasarkan definisi, bagian dalam γ terdiri dari titik-titik X sedemikian hingga OX < OR (lihat gambar 2.4). Tali busur γ merupakan ruas garis AB yang menghubungkan titik A dan B di γ . Ruas garis AB dianggap sebagai ruas garis tanpa titik akhir yang selanjutnya disebut tali busur terbuka dan dinotasikan dengan A)(B. Di dalam model Klein, titik-titik bagian dalam γ merepresentasikan titik-titik bidang hiperbolik dan tali busur-tali busur terbuka dari γ merepresentasikan garisgarisnya. Titik A dan B terletak pada lingkaran γ dan oleh karena itu titik A dan B tidak merepresentasikan titik dalam bidang hiperbolik tetapi dikatakan titik ideal dan disebut ujung dari garis hiperbolik A)(B.
13
B
A O
R
X
Gambar 2.4 Relasi "terletak pada" direpresentasikan sesuai pengertian sebagaimana biasanya, yakni P terletak pada A)(B berarti P terletak pada garis euclid AB dan P diantara titik A dan B. Relasi hiperbolik "antara" direpresentasikan dengan relasi "antara" euclid seperti biasanya. Sedangkan representasi relasi "kongruen" lebih rumit dari yang sebelumnya. Dua garis m dan n melalui titik P keduanya sejajar dengan tali busur terbuka l (lihat gambar 2.5). Definisi sejajar menyatakan bahwa dua garis dikatakan sejajar jika mereka tidak memiliki titik persekutuan. Dalam model Klein, definisi ini akan berubah menjadi : dua tali busur terbuka dikatakan sejajar jika mereka tidak memiliki titik persekutuan. Dari sini bisa dilihat bahwa dalam definisi sejajar kata "garis" diganti dengan "tali busur terbuka". Kenyataannya bahwa jika ada tiga tali busur diperpanjang sampai keluar lingkaran, maka ketiganya akan berpotongan di suatu titik diluar lingkaran. Titik potongnya ini bukan merupakan titik dari bidang hiperbolik karena letaknya di luar lingkaran. m
P
n
l
Gambar 2.5 Aksioma Klein 1:
Diberikan sebarang dua titik berbeda A dan B di bagian dalam lingkaran γ . Maka terdapat satu tali busur terbuka l dari γ sedemikian hingga A dan B terletak pada l.
14
C A
B
Gambar 2.6 Garis Tegak Lurus dalam Model Klein Misalkan l dan m adalah tali busur terbuka dari menjelaskan kapan
D
γ . Terdapat dua kasus untuk
dalam model klein, yaitu :
Kasus 1: Salah satu tali busur terbuka l dan m adalah diameter lingkaran γ . Maka
dalam pengertian Klein jika dan hanya jika
dalam
pengertian Euclid (lihat gambar 2.7). m
l
O
Gambar 2.7 Kasus 2: Baik l maupun m bukan diameter lingkaran γ . Pada kasus ini kita hubungkan ke l sebuah titik tertentu P( l ) diluar lingkaran γ yang disebut kutub dari l . Misalkan t 1 dan t 2 adalah garis singgung lingkaran γ pada ujung-ujung l . Maka P(l ) adalah titik perekutuan t 1 dant 2 (lihat gambar 2.8). Garis l tegak lurus ke m dalam pengertian model Klein jika dan hanya jika apabila garis Euclid m diperpanjang maka ia melalui kutub l . t
2
l
P(l)
t
1
m
15
Gambar 2.8 Ada beberapa istilah yang sering digunakan dalam geometri hiperbolik model Klein, diantaranya: • Titik biasa (Ordinary point) yaitu titik yang terletak di dalam lingkaran γ yang merepresentasikan semua titik dalam bidang hiperbolik. Umumnya titik biasa ini disebut titik saja. • Titik ideal (ideal point) yaitu titik-titik yang terletak pada lingkaran γ . • Titik ultra ideal(ultra-ideal point) yaitu titik-titik yang terletak di luar lingkaran γ . Untuk lebih jelasnya mengenai istilah titik dalam model Klein, berikut ini bisa dilihat pada gambar 2.9.
Ultraideal
●
● Ide al
● Ordinary Ultraideal
●
Gambar 2.9
Ultra● ideal Ide al
●
16
Garis hiperbolik dapat dibuat melalui dua titik biasa, dua titik ideal, titik biasa dan titik ideal, titik biasa dan titik ultra ideal (lihat gambar 2.10). Tetapi melalui dua titik ultra ideal ataupun melalui titik ideal dan ultra ideal belum tentu menentukan garis Klein. Dua garis Klein bisa bertemu di titik biasa, titik ideal, atau titik ultra ideal tergantung apakah dua garis tersebut secara berurutan berpotongan, sejajar asimtotic, atau sejajar divergen (lihat gambar 26). Titik ultra ideal yang mana merupakan pertemuan antara dua garis sejajar Klein l dan m disebut kutub P( k ) dari garis tegak lurus bersamanya k.
γ m
P(m)
l
k
P(l)
P(k )
Gambar 2.10 2. Model Poincare
Model ini dikembangkan oleh matematikawan Perancis, yaitu Henry Poincare (1854-1912). Model Poincare ini juga disebut model disk poincare atau model disk konformal. Sebenarnya model ini hampir sama dengan model Klein yaitu sama-sama menggunakan bagian dalam lingkaran sebagai bidang hiperboliknya dengan titik-titiknya direpresentasikan dengan titik-titik interior lingkaran euclid γ . Hanya saja di model Poincare ini, garis direpresentasikan berbeda. Pertama, semua tali busur terbuka yang melalui
17
pusat lingkaran γ (dengan kata lain semua diameter terbuka l dari γ ) merepresentasikan garis. Kedua, garis lainnya direpresentasikan oleh busur terbuka lingkaran ortogonal (di setiap titik potong
γ .
γ dan
Misalkan adalah lingkaran ortogonal ke
γ
, jari-jari kedua lingkaran saling tegak lurus).
Maka perpotongan lingkaran dengan interior lingkaran
γ membentuk
sebuah busur m, yang mana berdasarkan definisi merepresentasikan garis dalam model Poincare. Sehingga dapat disebut garis poincare atau garis-P, atau diameter terbuka l dari γ atau busur sirkuler terbuka m ortogonal ke γ (lihat gambar 2.11).
γ l
O
δ m
Gambar 2.11 Sebuah titik interior γ terletak pada garis poincare jika ia terletak pada garis tersebut menurut pengertian Euclid. Dengan cara yang sama, relasi "antara" memiliki pengertian yang sama dengan di geometri Euclid yaitu untuk A, B dan C pada busur terbuka yang berasal dari lingkaran ortogonal dengan pusat P, B terletak diantara A dan C jika
diantara
dan
.
Di dalam model poincare, interpretasi kekongruenan ruas garis tergolong rumit, karena didasarkan pada cara pengukuran panjang ruas garis yang mana hal ini berbeda dengan cara yang digunakan di geometri euclid pada biasanya. Definisi :
Misalkan A dan B adalah titik-titik dalam lingkaran γ dan misalkan P dan Q adalah ujung-ujung garis-P yang melalui A dan B. Perbandingan silang (AB, PQ) didefinisikan sebagai :
18
( AB PQ ) ,
=
dengan
( AP )( BQ ) ( BP )( AQ )
adalah panjang euclid dari ruas garis euclid AP.
Selanjutnya panjang poincare d ( AB)
=
didefinisikan sebagai :
log( AB, PQ)
Oleh karena itu dapat diintrepetasikan bahwa ruas garis poincare AB dan CD dikatakan kongruen-poincare jika Kekongruenan sudut memiliki arti yang sama dengan di geometri euclid seperti biasanya. Jika dua busur lengkung berarah berpotongan di titik A, besarnya derajat sudut yang dibentuknya adalah besarnya derajat sudut antara sinar garis singgungnya di A (lihat gambar 2.12). Atau jika salah satu busur lengkung berarahnya memotong sebuah sinar garis biasa di A, besarnya derajat sudut yang dibentuknya adalah besarnya sudut antara sinar garis singgung dan sinar garis di A (lihat gambar 2.13).
A Gambar 2.12
Sinar garis singgung
Sinar garis biasa
A
Gambar 2.13
Dua garis poincare dikatakan sejajar jika dan hanya jika keduanya tidak m P memiliki titik persekutuan. Pada gambar 2.14 memperlihatkan dua garis O
l
19
sejajar poincare dengan garis tegak lurus bersama. Pada gambar tersebut memperlihatkan bagaimana m menjauh dari l pada bagian garis tegak lurus PO.
Gambar 2.14 Sinar garis terbatas sejajar dalam model poincare diilustrasikan seperti pada gambar 2.15. Misalkan l adalah diameter terbuka A)(B, sinar garis adalah busur lengkung yang bertemu
di titik A dan B dan menyinggung
ke garis ini di titik-titik tersebut.
P
A
l
● O
γ B
Gambar 2.16 Ilustrasi segiempat Lambert dapat ditunjukkan pada gambar 2.17. Dapat dilihat bahwa sudut keempat dari segiempat Lambert merupakan sudut lancip. Dengan mencerminkan segiempat lambert ini pada salah satu sisi lurusnya maka akan diperoleh segiempat seperti pada gambar 2.18. Segiempat tersebut disebut segiempat Saccheri.
20
Gambar 2.17
Gambar 2.18
3. Model Setengah-Bidang Poincare
Model setengah-bidang poincare mengggunakan setengah dari bidang euclid sebagai bidang hiperboliknya dengan pembatasnya adalah garis euclid tertentu misalnya garis euclid l . Sedangkan garis l sendiri tidak termasuk dalam bidang hiperboliknya. Dalam model ini, titik-titik hiperboliknya direpresentasikan oleh titik-titik yang terletak pada setengah bidang euclid yang digunakan sebagai bidang hiperboliknya sedangkan garis hiperboliknya berupa setengah lingkaran ortogonal yang berpusat di l atau sinar garis tegak lurus l (lihat gambar 2.19).
Q’
P’ A’
P● ● A
●Q ● B
Gambar 2.19 Misalkan P dan Q adalah dua titik pada bidang hiperbolik ini. Jika sebuah garis unik melalui kedua titik ini ada sebuah setengah lingkaran dan jika garis ini memotong garis l pada titik A dan B dan jarak antara titik P dan Q dapat ditentukan dengan menggunakan rumus dimana, P ke titik A.
dst, menunjukkan jarak Euclid dari titik
21
Sedangkan untuk jarak titik P' dan Q' pada gambar 2.19 dimana P' dan Q' terletak pada sinar garis dan mendekati garis batas l di sebuah titik euclid A' maka jarak P' dan Q' bisa dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut : , dengan
adalah jarak titik P' dan A' secara euclid.
Lingkaran pada model ini didefinisikan sama dengan lingkaran pada
geometri euclid yaitu himpunan semua titik-titik yang berjarak sama dari sebuah titik tertentu. Asumsikan ada tiga titik P , Q, dan R dalam model bidang hiperbolik. Jika salah satu konstruksi sinar Euclid PQ’ dan PR’ yang bersinggungan dengan garis PQ dan PR di titik P. Ukuran sudut hiperbolik,
∠QPR
sama
dengan ukuran ∠Q’PR’ pada bidang Euclid. Hal ini dikarenakan bahwa model setengah-bidang poincare adalah konformal yang berarti bahwa sudut hiperbolik pada model ini tepat sama dengan sudut euclid dibawah kondisi yang disebutkan sebelumnya. Q’
Q
P R
R’
Gambar 2.20 4. Model Lorentz
Model Lorentz atau yang biasa disebut model hiperbolida. Model ini menggunakan hiperboloida dimensi dua yang berasal dari ruang tiga dimensi sebagai bidang hiperboliknya. Diantara keempat model bidang hiperbolik, model lorentz merupakan model yang memiliki tingkat kekomplekan yang sangat tinggi. Model ini memiliki aplikasi langsung ke relativitas khusus, ruang tiga dimensi Minkowski adalah model ruang waktu, menekan satu dimensi ruang. Satu dapat mengambil hiperboloid untuk mewakili peristiwa yang bergerak, memancar keluar pada bidang spasial dari satu titik akan mencapai pada suatu
22
waktu yang tepat. Jarak hiperbolik antara dua titik pada hiperboloid akan dapat diidentifikasi dengan kecepatan relatif antara dua pengamat. Tokoh-tokoh Geometri Hiperbolik antara lain : 1. Johan C.F Gauss (1777-1885)
Johan Carl Friedrich gauss adalah matematikawan asal jerman, ia meneliti postulat ke lima Euclid ketika masih berusia 15 tahun. Diusianya yang maih muda tersebut dia suadh berfikir banyak mengenai suatu hal yang berkaitan dengan matematika. Pada awalnya Gauss mencoba membuktikan postulat kesejajaran dari keempat postulat lainnya. Pada tahun 1813 ia telah membuat sedikit kemajuan dan menulis : “dalam teori parallel kita bahkan sekarang tidak lebih dari Euclid. Ini adalah bagian dari matematika memalukan…”
Dua puluh lima tahun kemudian, ia bekerja meneliti hal ini. Gauss mencapai kesimpulan bahwa postulat kelima Euclid tidak bergantung pada empat postulat awal. Ini berarti bahwa suatu kontradiksi dari postulat kelima dapat digunakan untuk mengembangkan geometri yang konsisten. Gauss mulai melakukan hal ini untuk kepuasan sendiri. Ia tidak mnerbitkan karyanya karena ia malu untuk mempublikasikannya. Namun ia mengatakan kepada beberapa teman tentang kesimpulan penelitiannya.
2. Farkas W. Bolyai (1775-1856)
23
Orang yang pertama kali mengerti tentang postulat sejajar Euclid adalah Gauss. Pada tahun 1792 ia mulai mendalami masalah tersebut dan meyakini bahwa postulat kelima Eucid adalah independen dari empat postulat lainnya. Gauss mulai bekerja di luar konsekuensi geometri di mana dapat dibuat lebih dari satu garis yang melalui titik tertentu yang sejajar dengan garis tertentu. Gauss mendiskusikan postulat sejajar Euclid dengan kawanya yaitu Farkas W. Bolyai yang berasal dari Hungaria dan membuat beberapa bukti mengenai kesalahan yang dibuat oleh gauss.
Putus asa dengan postulat kesejajaran yang diketahuinya mempunyai kejanggalan namun tidak dapat dibuktikannya membuat dia menulis surat kepada anaknya : Jangan mengurangi
berkutat
dengan
kenyamanan
,
postulat
kesehatan
kesejajaran,
dan
karena
ketenangandan
akan
seluruh
kebahagiaan dalam hidup ini.
Kemudian Farkas Bolyai menasehati anaknya, Jonas Bolyai untuk tidak membuang waktu untuk membuktikan postulat kelima tetapi Jonas tidak mengindahkan nasehat tersebut dan terus mendalami maalah tersebut. Gagal membuktikan postulat akhirnya menikmati masa tuanya dengan menulis puisi, musik dan drama, sebelum meninggal di Marosvasarhely, Transylvania, kerajaan Austria (sekarang tirgu Mures, Romania)
24
3. Jonas Bolyai (1802-1860)
Bolyai adalah anak seorang guru matematika Farkas Bolyai. Dia adalah perwira tentara hungaria dan seorang mahasiswa yang senang pada matematika. Awalnya menerima postulat-postulat Euclid sebagai aksioma yang berdiri sendiri dan menemukan bahwa memungkinkan mengkonstruksi geometri, dengan dasar aksioma-aksioma lainnya, satu titik dalam bidang yang terdiri dari garis-garis tidak terhingga yang tidak bersinggungan dengan garis pada bidang tersebut. Gagasan ini, oleh sang ayah, dikirimkan ke Gauss untuk dimintai pendapat tentang gagasan tidak biasa ini. Jawaban Gauss , memuji gagasan itu, namun tidak disarankan untuk dilanjutkan. Kecewa dengan komentar ini. Semangatnya untuk menjadi ilmuan ternama surut. Semasa remaja mampu mengungkapkan “kejanggalan” postulat kesejajaran Euclid dan merintis apa yang disebut dengan geometri non-euclid yang berbeda dengan penemuan Lobachevski. Usia
21
tahun,
melanggar
larangan
ayahnya
karena
menggembangkan geometri yang beda dengan postulat kelima yaitu dengan geometri hiperbolik dan ternyata mampu memecahkan kebuntuan yang dialami oleh ayahnya. Penemuan ini mendasari teori-teori fisika modern yang muncul pada abad kedua puluh.
25
Pada tahun 1823 Jonus Bolyai menuli surat kepada ayahnya dan mengatakan bahwa “I have discovered thing so wondwerful that I was astounded…out of nothing I have created a stranged new world” .
Janos tidak pernah menerbitkan makalah Appendix tidak lebih dari 26 halaman, karena tidak mampu mempublikasikan penemuanya, namun Janos meninggalkan 3.000 halaman artikel matematika dan 11.000 halaman makalah lain ketika dia meninggalkan. Janos Bolyai meninggal di Marosvasarhely, Transylvania. 4. Nikolai I. Lobachevsky (1792-1856)
Lobachevsky adalah professor matematika dan rector Universitas Kazan yang berasal dari Rusia, dan orang pertama yang mempublikasikan mengenai geometri non Euclid pada tahun 1829, geometrinya disebut “imaginary” yang kemudian di kenal dengan “pangeometry”. Tulisan
Lobachevsky menarik perhatian masyarakat. Seorang pengamat di sebuah akademi St. Pettersburg menolak tulisannya dan jurna Rusia mengkritisi Lobachevsky . Walaupun mendapat kritikan tetapi Lobachevsky tetap meneruskan karyanya di Rusia kemudian di Jerman pada tahun 1840, yang kemudian juga dikirimkan ke Gauss. Pada tahun 1829 Lobachevsky bersamasama membuat sebuah penemuan baru tentang geometri non Euclid dimana Jonas mempublikasikan
”Geometrical investigation on the theory of
parallel” yang terdiri dari 61 halaman dan Lobachevsky membuat booklet
yang menjelaskan bagaimana geometri non Euclid bekerja. “All straight ilnes which in a plane go out from a point can, with reference to a given straight
26
line in the same plane, be devided into two classes into cutting and noncutting. The boundary line of the one and the other class of those lines will be called parallel to the given line” . 2.5 Aplikasi Geometri Hiperolik
Geometri hiperbolik memiliki peranan penting dalam kehidupan nyata. Misalnya, dalam bidang teknik dan arsitek, kesenian, ilmu komputer dan jaringan dan lain sebagainya. Dalam bidang matematika sendiri, geometri hiperbolik ini biasanya digunakan dalam teori grup khususnya teori a la Gromov tentang grup kombinatorial. Dari semua kegunaan dalam bidang bidang ini, geometri hiperbolik paling banyak digunakan dalam bidang topologi komputer dan pemetaan. Penggunaan geometri dalam bidang ini semakin banyak dikembangkan dari hari ke hari.
Gambar 2.21 Dalam http://scannerperiksanilai.wordpress.com/ pada jurnal “Baru Pathsfor Internet Stress-Out” yang diterbitkan pada 10 Agustus 2011 ini menyebutkan bahwa San Diego Supercomputer Center dan Koperasi Asosiasi untuk Analisis Data Internet (Caida) di University of California, San Diego, dalam sebuah kolaborasi dengan para ilmuwan dari Universitas de Barcelona di Spanyol dan University of Siprus, telah menciptakan geometris pertama “atlas” dari Internet sebagai bagian dari proyek untuk mencegah runtuhnya jaringan komunikasi dalam dekade-dekade berikutnya. Mereka menemukan laten hiperbolik, atau negatif melengkung, ruang tersembunyi di bawah topologi Internet, memacu mereka untuk merancang metode untuk
27
menciptakan sebuah peta internet menggunakan geometri hiperbolik. I nternet dengan Pemetaan hiperbolik akan mengarah pada arsitektur Internet routing yang lebih kuat karena menyederhanakan jalan-menemukan seluruh jaringan. Arsitektur routing berdasarkan geometri hiperbolik akan menciptakan tingkat efisiensi terbaik dalam hal kecepatan, akurasi, dan ketahanan terhadap kerusakan. Selanjutnya penggunaan dari visualisasi geometri hiperbolik lainnya yaitu digunakan untuk visualisasi “ concept space” dalam program “ adaptive e-learning”. Concept space dalam matematika itu sendiri adalah pemetaan graf acyclic. Secara tradisional rancangan “ concept space” ini meliputi map diagram, a downward-branching dan heirarchical tree structure.
Gambar 2.22. Escher Limit III
Gambar 2.23. Hypergraf Concept
Dalam menghasilkan suatu pemetaan yang jaringannya semakin bertambah jika bidang/ruangnya ( plane) semakin besar. Tepatnya pemetaan seperti ini merupakan visualisasi dari model poincare disk . Pemetaan jaringan internet yang lebih sederhana seperti yang biasanya kita temui di warung-warung internet seperti pada gambar di bawah ini.
28
Gambar 2.24 Pada bidang fisika, geometri hiperbolik ini diterapkan dalam melihat pergeseran panjang gelombang elektromagnetik dan teori relativitas. Penggunaan model-model geometri hiperbolik yang lainnya yaitu pada bidang arsitek dan kesenian. Gambar di samping merupakan sebuah Rumah keratif untuk berakhir pekan ini ada di Melbourne, Australia merupakan impian yang menjadi keyataan seorang arsitek McBride Charles Ryan. Terinpisrasi desain pada botol Klein, dan bentuk konseptual matematika tanpa interior yang terlihat dan sisi eksterior. Black metal atap Rumah lipatan turun di beberapa tempat untuk mengubah bentuk bagian rumah dan bentuk dinding eksterior. Halaman pusat dan ruang hidup yang fleksibel membuat penghuni rumah ini merasa menakjubkan seperti ada dalam ruangan dan di luar rumah pada saat yang sama. Hal yang sama juga yang dilakukan di Indonesia, Jefrey Ignatius Kindangen dkk di Manado dengan model jaringan syaraf tiruan ( berdasarkan model poincare ) untuk mengevaluasi ventilasi bangunan untuk daerah tropis. Selanjutnya dalam bidang ekonomi, masih juga dengan menggunakan persepsi jaringan syaraf buatan pada peta poincare yaitu dalam makalah yang ditulis oleh Situngkir (2003), hal yang baru dalam makalah ini adalah upaya penggunaan peta Poincare dalam persepsi model jaring saraf yang dibuat
29
untuk tujuan prediksi. Peta Poincare yang dimodifikasi digenerasi dari data deret waktu keuangan biasa untuk kemudian dipersepsi oleh jaring saraf. Hasil persepsi ini (berupa peta Poincare juga) kemudian kita ubah lagi ke dalam data deret waktu biasa sebagai hasil aproksimasi dan prediksi dari proses training jaring saraf. Hasilnya menjanjikan kemampuan dan kecepatan prediksi yang lebih baik daripada secara langsung mempersepsi data deret waktu biasa. Di akhir makalah digambarkan pula contoh bagaimana memprediksi range fluktuasi harga saham dengen aproksimasi terhadap data penawaran saham tertinggi (HIGH) dan selisih penawaran tertinggi dan terendah secara bersamaan sebagai peta Poincare yang dimodifikasi. Masih banyak lagi penggunaan hiperbolik dalam kehidupan sehari-hari. Visualisasi model hiperbolik yang berupa teselasi sering digunakan sebagai motif-motif batik di Indonesia. Bentuk lainnya seperti proses pengambilan gambar dengan menggunakan kamera ( shading ) merupakan salah satu visualisasi geometri hiperbolik.
Shading
Teselasi
2.6 Geometri Sphere / Bola / Eliptik
Sejarah Geometri Eliptik
Ilmu tentang astronomi telah banyak dipelajari berabad-abad sebelum masehi, hal ini terlihat dengan adanya bukti-bukti peninggalan sejarah tentang system penanggalan kuno dan peramalan untuk memperkirakan fenomena alam, masa kesuburan pertanian dan sifat seseorang dipandang dari segi rasi bintang. Semakin lama, ilmu perbintangan semakin menarik untuk dipelajari hingga ke hal-hal yang bersifat teoretik. Namun misteri perbitangan secara teoretik tidak dapat dipecahkan karena teori yang diakui pada masa itu adalah teori yang
30
berpegang pada postulat Euclid yang membangun konsep bidang datar. Untuk memecahkan kesulitan tersebut para astronom dan matematikawan membuat terobosan baru dalam bidang geometri. Sejak saat itu, para astronom mulai mengumpulkan berbagai referensi sejarah untuk mendukung terobosan baru tersebut. Berdasarkan catatan sejarah yang ditulis oleh Claudius Ptolemy (150 SM), seorang ahli geografi, astronomi, dan astrologi berkebangsaan Yunani, menuliskan pada bukunya Geographica bahwa “untuk menempuh jarak terdekat antara dua titik pada bumi, maka seseorang harus mengikuti lingkaran yang memuat dua titik tersebut”. Selain itu, Nicolaus Copernicus (1473-1543) menyatakan dalam bukunya bahwa “bumi berputar pada porosnya, ….”, dan dari ekspedisi penjelajahan mengelilingi dunia yang dilakukan oleh Christoper Colombus (1451-1506) dan pendahulu-pendahulunya membuktikan bahwa bumi berbentuk bulat. Referensi ini membuka ide baru bidang geometri eliptik yang kemudian memberikan pengaruh besar pada bidang astronomi, geografi, dan fisika modern. Berdasarkan referensi sejarah tersebut dan beberapa referensi lain, maka untuk
pertamakalinya,
matematikawan
Benhard
Riemann
(1826-1866)
memperkenalkan geometri bola sebagai geometri non-Euclid. Dalam pandangan Riemann pada geometri bola, garis merupakan lingkaran besar pada bola yang memuat dua titik. Riemann menganalisis postulat kesejajaran Euclid dan menemukan kejanggalan-kejanggalan. Dari kejanggalan tersebut Riemann mengembangkan teori geometri bola yang dapat membuktikan postulat kesejajaran Riemann dan memenuhi definisi titik dan garis yang didefinisikan oleh Euclid. Pandangan Riemann ini kemudian dimodifikasi oleh Christian Klein (1849-1925) dengan memandang bahwa setiap pasang titik antipodal (titik yang berlawanan pada lingkaran besar) merupakan titik yang identik/sama. Klein mengembangkan model geometri bola dan menyebutnya dengan variasi geometri eliptik.
31
Tokoh-tokoh dalam geometri eliptik antara lain :
1. Berhard Riemann (1826-1866)
Riemann lahir di Breselenz, sebuah desa dekat Dannenberg di Kerajaan Hanover ketika masa Republik Federal Jerman. Ayahnya, Friedrich Bernhard Riemann, adalah seorang pendeta Lutheran miskin di Breselenz yang berjuang dalam Perang Napoleon. Ibunya, Charlotte Ebell, meninggal dunia sebelum anak-anaknya mencapai usia dewasa. Riemann merupakan anak kedua dari enam bersaudara. Riemann dikenal dengan kepribadiannya yang cenderung pemalu dan menderita banyak kerusakan saraf. Riemann menunjukkan kemampuan matematika luar biasa, seperti kemampuan kalkulasi yang fantastis, meskipun sejak usia dini ia memiliki sikap pemalu dan takut untuk berbicara di depan umum. Pada tahun 1840, Riemann pergi ke Hanover untuk tinggal bersama neneknya dan mengikuti lyceum (sekolah menengah). Setelah kematian neneknya pada tahun 1842, Riemann menghadiri sekolah tinggi di Johanneum Lüneburg. Di sekolah tinggi tersebut, Riemann mempelajari Alkitab secara intensif, tetapi ia sering terganggu oleh matematika. Untuk tujuan memenuhi rasa penasarannya pada matematika, ia mencoba untuk membuktikan kebenaran matematis dari Book of Genesis. Gurunya kagum oleh kemampuannya yang mahir untuk menyelesaikan operasi matematika yang rumit, oleh sebab itu Riemann sering melampaui pengetahuan instrukturnya. Pada tahun 1846, ketika usianya menginjak 19 tahun, Riemann
32
mulai belajar filologi dan teologi untuk menjadi imam dan membantu keuangan keluarga. Selama musim semi tahun 1846, ayahnya Friedrich Riemann, mengirim Riemann ke universitas, dia berhenti belajar teologi dan mulai menekuni matematika. Ia dikirim ke Universitas terkenal Göttingen, dimana ia pertama kali bertemu Carl Friedrich Gauss, dan menghadiri kuliah pada metode kuadrat terkecil. Pada tahun 1847, Riemann pindah ke Berlin, tempat dimana ilmuwan seperti Jacobi, Dirichlet, Steiner, dan Enstein mengajar. Dia tinggal di Berlin selama dua tahun dan kembali ke Göttingen pada 1849. Bernhard Riemann menyelenggarakan kuliah perdananya pada tahun 1854 yang menemukan bidang Geometri Riemann. Bidang ini kemudian dipakai oleh Einstein menjadi perangkat untuk menguji teori umum relativitas Einstein. Ceramahnya berjudul Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen ("Dasar-Dasar Geometri"; atau lebih tepatnya, "Hipotesis yang Mendasari Geometri"). Pada tahun 1857, ada upaya untuk mempromosikan Riemann ke status profesor luar biasa di Universitas Göttingen. Upaya ini gagal dan hal itu mengakibatkan Riemann akhirnya diberikan gaji biasa. Pada 1859, setelah kematian Dirichlet, ia dipromosikan menjadi kepala departemen matematika di Göttingen. Dia juga orang pertama yang menyarankan menggunakan dimensi yang lebih tinggi dari sekadar tiga atau empat dimensi dalam rangka untuk menggambarkan realitas fisik – sebuah ide yang pada akhirnya terbukti benar dengan kontribusi Einstein di awal abad 20. Pada tahun 1862 ia menikahi Elise Koch dan memiliki seorang putri. Riemann melarikan diri dari Göttingen ketika tentara Hanover dan Prusia bentrok pada tahun 1866. Ia meninggal akibat tuberkulosis pada perjalanan ketiganya ke Italia di Selasca (sekarang dusun Verbania di Lake Maggiore) dan ia dimakamkan di pemakaman di Biganzolo (Verbania). Sementara itu, di Göttingen pengurus akademik merapikan beberapa kekacauan
di
kantornya,
termasuk
banyak
pekerjaan
yang tidak
33
dipublikasikan. Riemann menolak untuk menerbitkan karya yang tidak lengkap, oleh karena itu beberapa wawasannya yang mendalam mungkin telah hilang selamanya bersama kematiannya. Beberapa karya Riemann yang dipublikasikan membuka penelitian penelitian yang menggabungkan analisis dengan geometri. Ini kemudian menjadi bagian utama dari teori geometri Riemann, geometri aljabar, dan teori manifold kompleks. Teori permukaan Riemann ini diuraikan oleh Klein. Daerah matematika ini menjadi bagian dari dasar topologi, yang masih dan terus diterapkan dengan cara baru untuk fisika matematika. Riemann juga membuat kontribusi besar untuk analisis riil. Ia mendefinisikan
integral
Riemann
dengan
cara
jumlah
Riemann,
mengembangkan teori trigonometri seri yang tidak Fourier seri – langkah pertama dalam generalisasi teori fungsi – dan mempelajari RiemannLiouville differintegral. Selain itu, Riemann membuat beberapa sumbangan terkenal untuk teori bilangan modern analitik. Dalam sebuah makalah singkat tunggal (satu-satunya yang ia terbitkan tentang masalah teori bilangan), dia memperkenalkan fungsi zeta Riemann yang penting untuk memahami distribusi bilangan prima. Dia membuat serangkaian dugaan tentang sifatsifat fungsi zeta, salah satunya yang terkenal adalah hipotesis Riemann. Riemann menerapkan prinsip Dirichlet dari variasi kalkulus untuk efek yang besar ini, kemudian terlihat menjadi heuristik kuat dari metode yang ketat. Pembenarannya mengambil setidaknya satu generasi. Karyanya pada monodromy dan fungsi hipergeometrik dalam domain kompleks membuat kesan yang besar, dan mendirikan dasar cara bekerja fungsi dengan pertimbangan hanya singularitas mereka.
34
2. Eugino Beltrami (1835-1900)
Lahir di Cremona pada 16 Nopember 1835 dan meninggal pada 4 Juni 1899 di Roma. Beltrami adalah matematikawan Italia yng konsen pada geometri diferensial dan matematika fisik. Hasil karyanya tercatat terutama untuk kejelasan dari kedudukan. Ia adalah yang pertama membuktikan konsistensi dari ilmu ukur non-Euclidean dengan model pada suatu permukaan lengkungan yang tetap, pseudosphere, dan di bagian dalam dari suatu n-dimensional lapisan unit, yang disebut Beltrami-Klein model. Ia juga mengembangkan komposisi nilai bentuk tunggal untuk acuan matriks. Beltrami juga merupakan orang yang petama kali meletakkan konsep Bolyai Lobachevsky secara bersama-sama. 3. Felix C Klein (1849-1925)
Felix Christian Klein adalah seorang matematikawan Jerman. Klein dilahirkan di Düsseldorf, ayahnya adalah seorang sekretaris pejabat pemerintah Rusia yang ditempatkan di Provinsi Rhine. Dia menghadiri Gymnasium di Düsseldorf, kemudian memutuskan untuk belajar matematika dan fisika di Universitas Bonn (1865-1866) dan berniat untuk menjadi seorang fisikawan.
35
Pada saat itu, Julius Plücker mengadakan kursi Bonn tentang matematika dan fisika eksperimental, namun pada saat Klein menjadi asistennya, pada tahun 1866, Plücker tertarik pada geometri. Klein menerima gelar doktornya, diawasi oleh Plücker, dari Universitas Bonn pada tahun 1868. Plücker meninggal pada 1868, meninggalkan buku tentang dasardasar garis geometri yang tidak lengkap. Klein adalah orang yang menyelesaikan bagian kedua dari Neue Geometrie des Raumes Plücker, dan dengan demikian berkenalan dengan Alfred Clebsch, yang telah pindah ke Göttingen pada 1868. Klein mengunjungi Clebsch tahun berikutnya, bersama dengan kunjungan ke Berlin dan Paris. Pada bulan Juli 1870, pada pecahnya Perang Perancis-Prusia, ia berada di Paris dan harus meninggalkan negara itu. Untuk waktu yang singkat, ia menjabat sebagai tertib medis di tentara Prusia sebelum diangkat sebagai dosen di Göttingen pada tahun 1871 awal. Erlangen menunjuk Klein sebagai profesor pada tahun 1872, ketika dia berusia 23. Dalam hal ini, ia sangat didukung oleh Clebsch, yang menganggapnya menjadi ahli matematika terkemuka pada zamannya. Klein membangun sebuah sekolah di Erlangen dimana ada beberapa mahasiswa, dan dia begitu senang ditawarkan kursi di Munich Technische Hochschule pada 1875. Di sana ia dan Alexander von Brill mengajar mata kuliah lanjutan untuk siswa yang sangat baik, misalnya, Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi, dan Gregorio RicciCurbastro. Pada tahun 1875 Klein menikah dengan Anne Klein Hegel, cucu dari filsuf Georg Wilhelm Friedrich Hegel. Setelah lima tahun di Technische Hochschule, Klein diangkat ke kursi geometri di Leipzig. Koleganya antara lain Walther von Dyck, Rohn, Eduard Studi dan Friedrich Engel. Klein di Leipzig tahun 1880-1886, mengubah fundamental hidupnya. Pada tahun 1882, kesehatannya menurun, dalam 1883-1884, ia diganggu oleh depresi. Meskipun demikian penelitiannya berlanjut, pekerjaannya pada sigma fungsi hyperelliptic menentukan tanggal dari seluruh periode ini, yang diterbitkan pada tahun 1886 dan 1888.
36
Klein menerima kursi di Universitas Göttingen pada 1886. Sejak saat itu sampai 1913 pensiun, ia berusaha membangun kembali Göttingen sebagai pusat penelitian terkemuka di dunia matematika. Namun dia tidak pernah berhasil untuk mentransfer perannya sendiri sebagai pemimpin sebuah sekolah geometri dari Leipzig ke Göttingen. Di Göttingen, ia mengajarkan berbagai kursus, terutama dibidang matematika dan fisika, seperti mekanik dan teori potensial. Pusat penelitian Klein didirikan di Göttingen yang menjabat sebagai model untuk pusat penelitian terbaik di seluruh dunia. Dia memperkenalkan pertemuan diskusi mingguan, dan menciptakan ruang baca matematika dan perpustakaan. Pada tahun 1895, Klein menyewa David Hilbert dari Königsberg; penunjukan ini terbukti naas, karena Hilbert dapat melanjutkan kemuliaan Göttingen, hingga pensiun sendiri pada tahun 1932. Di bawah redaktur Klein, Mathematische Annalen menjadi salah satu jurnal matematika yang terbaik di dunia. Didirikan oleh Clebsch, di bawah manajemen Klein, ia melakukan persaingan untuk melampaui Journal Crelle yang berbasis di Universitas Berlin. Klein membentuk tim kecil dari editor yang bertemu secara teratur, membuat keputusan demokratis. Jurnal khusus dalam analisis kompleks, aljabar geometri, dan teori invarian (setidaknya sampai Hilbert meninggal dunia). Hal ini juga menyediakan outlet penting untuk analisis riil dan teori grup baru. Sebagian berkat upaya Klein, Göttingen mulai mengakui perempuan pada tahun 1893. Dia juga mensupervisi Ph.D. pertama tesis dalam matematika yang ditulis di Göttingen oleh seorang wanita, Grace Chisholm Young, seorang mahasiswa Arthur Cayley's Inggris, yang dikagumi Klein. Sekitar tahun 1900, Klein mulai menaruh minat pada instruksi matematika di sekolah-sekolah. Pada tahun 1905, ia memainkan peran penting dalam merumuskan rencana merekomendasikan bahwa dasar-dasar diferensial dan kalkulus integral dan fungsi konsep diajarkan di sekolah menengah. Rekomendasi ini secara bertahap diterapkan di banyak negara di seluruh dunia. Pada 1908, Klein terpilih menjadi ketua Komisi Internasional tentang Instruksi Matematika pada Kongres Matematika Internasional di Roma. Di
37
bawah pimpinannya, cabang Jerman dari Komisi menerbitkan banyak buku pengajaran matematika di semua tingkatan di Jerman. Masyarakat Matematika London memberikan Klein medali De Morgan pada tahun 1893. Ia terpilih menjadi anggota Royal Society tahun 1885, dan dianugerahi medali Copley yang pada tahun 1912. Dia pensiun pada tahun berikutnya karena sakit, tapi terus mengajar matematika di rumahnya untuk beberapa tahun lagi. Dia meninggal di Göttingen pada tahun 1925. Klein merancang botol yang dinamai setelahnya, satu sisi tertutup permukaan yang tidak dapat tertanam dalam ruang Euclidean tiga dimensi, tetapi mungkin dibenamkan sebagai suatu silinder melingkar kembali melalui dirinya sendiri untuk bergabung dengan ujung lainnya dari "dalam". Ini mungkin tertanam dalam ruang Euclides dimensi 4 dan lebih tinggi. Pada 1890-an, Klein beralih ke fisika matematika, subjek yang tidak melenceng jauh, menulis pada giroskop dengan Arnold Sommerfeld. Dalam nada yang sama, ia membantu mengedit (bersama dengan K Müller) empat volume pada mekanisme der Encyklopädie Mathematischen Wissenschaften. Pada 1871, ketika di Göttingen, Klein membuat penemuan besar dalam geometri. Ia menerbitkan dua makalah di Geometri Non-Euclidean yang menunjukkan bahwa Euclid dan geometri non-Euclidean bisa dianggap kasus khusus dari permukaan proyektif dengan irisan kerucut tertentu yang disatukan. Hal ini memiliki konsekuensi yang luar biasa bahwa geometri nonEuclidean konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean ada, menempatkan Euclid dan geometri non-Euclidean pada pijakan yang sama, dan berakhir semua kontroversi seputar geometri non-Euclidean. Cayley tidak pernah menerima argumen Klein, percaya itu akan melingkar. Sintesis geometri Klein sebagai studi tentang sifat ruang yang tidak berubah dalam grup transformasi tertentu, yang dikenal sebagai Program Erlangen (1872), sangat mempengaruhi evolusi matematika. Program ini ditetapkan dalam kuliah perdana Klein sebagai profesor di Erlangen, meskipun tidak berpidato, ia memberikannya pada kesempatan tersebut. Program ini mengusulkan pendekatan terpadu untuk geometri yang
38
menjadikan pandangan diterima. Klein menunjukkan bagaimana sifat penting dari suatu geometri yang diberikan dapat diwakili oleh kelompok transformasi yang melestarikan properti tersebut. Jadi definisi Program geometri mencakup baik geometri Euclid dan non-Euclidean. Klein melihat karyanya pada teori berfungsi sebagai kontribusi besar untuk matematika, khusus karyanya pada (1) hubungan antara ide-ide Riemann tertentu dan teori invarian, (2) teori bilangan dan abstrak aljabar, (3) teori grup, (4) Geometri dengan lebih dari 3 dimensi dan persamaan diferensial, terutama ia menemukan persamaan, yaitu fungsi modular dan fungsi eliptik automorphic. Pada tahun 1884 dalam bukunya tentang Icosahedron, Klein menetapkan sebuah teori fungsi automorphic, menghubungkan aljabar dan geometri. Namun Poincaré menerbitkan sebuah garis besar teori fungsi automorphic pada 1881, yang menyebabkan persaingan yang bersahabat antara dua laki-laki. Keduanya berusaha untuk negara dan membuktikan teorema uniformization besar yang akan berfungsi sebagai batu penjuru untuk teori yang muncul. Klein berhasil merumuskan seperti teorema dan dalam membuat sketsa strategi untuk membuktikan itu. Tapi saat melakukan pekerjaan ini kesehatannya jatuh, seperti yang disebutkan di atas. Klein meringkas karyanya pada fungsi modular automorphic dan eliptik dalam sebuah risalah, volume empat ditulis dengan Robert Fricke selama sekitar 20 tahun.
Pengantar Geometri Eliptik
Berdasarkan uraian singkat sejarah geometri eliptik di atas, munculnya geometri ini berawal dari analisis Riemann terhadap postulat kesejajaran Euclid. Penemuan ini merupakan bagian dari disertasi Riemann yang disajikan pada tahun 1854 di Jerman. Postulat kesejajaran Riemann
Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain .
Berdasarkan postulat tersebut, Riemann mengemukakan bahwa dua garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar (Budiarto dan
39
Masriyah, 2007: 172). Dalam geometri Euclid, postulat kesejajaran Euclid , dua garis yang tegak lurus terhadap garis yang sama adalah sejajar .
Diketahui:Dua garis yang berbeda dan
yang tegak lurus terhadap garis .
(Lihat Gambar 2.25 (a)) Akan dibuktikan: dan
adalah sejajar.
Bukti: Andaikan misal
, maka dan
bertemu atau berpotongan pada suatu titik,
(lihat Gambar 2.25 (b)).
Misalkan
dan
berturut-turut merupakan titik potong garis
dan
terhadap garis .
A
(b) Gambar 2.25
Langkah
1. Perpanjang
4.
sedemikian hingga
diperoleh
, dimana
di perpanjangan
.
2. Melalui 3.
Alasan
dan
dapat dibuat
.
1. Postulat 2: Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu. terletak
2. Postulat 1: Melalui sebarang dua titik dapat dibuat garis lurus. 3. Proposisi 4: Sisi, sudut, sisi. 4. Akibat
, maka
sudut-sudut yang bersesuaian
40
Langkah
Alasan
adalah sama (proposisi 4). 5. Akibat
5.
tegak lurus terhadap 7.
dan dan
8.
sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama (proposisi 4). dan 6. Diketahui.
, maka
6.
dan
, maka
.
berhimpit, dengan kata lain adalah titik yang sama. serupa
7. Aksioma 1: Hal-hal yang sama dengan hal yang sama, maka satu dengan yang lainnya juga sama. 8. Definisi 3: Ujung-ujung suatu garis adalah titik. Definisi 4: Garis lurus adalah garis yang terletak secara rata dengan titik-titik pada dirinya.
Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa dan yang berbeda. Jadi, pengandaian salah dan terbukti bahwa
adalah dua garis .
Analisis Riemann terhadap pembuktian teorema di atas adalah sebagai berikut. a. Pandangan penting bahwa “
sebelumnya diperoleh bahwa dan apabila
dan dan
serupa” karena pada langkah berhimpit, dengan kata lain
adalah titik yang sama. Langkah ini dalam pembuktian akan gagal dan
adalah dua titik yang berbeda.
b. Euclid mendefinisikan suatu prinsip pemisahan ( separation principle)
yaitu setiap garis “memisahkan” bidang menjadi dua sisi yang berhadapan, yang tidak mempunyai titik persekutuan.
41
c. Dalam pandangan prinsip pemisahan, konstruksi pada langkah 1
pemisahan di atas (memperpanjang , dimana
sedemikian hingga diperoleh
terletak di perpanjangan
terletak pada sisi sehadap dari
) menjamin bahwa
dan
dan merupakan dua titik yang berbeda.
d. Tanpa memperhatikan prinsip pemisahan, maka
dan
dapat berhimpit
dan pembuktian teorema di atas tidak dapat diterima. Berdasarkan analisis Riemann di atas, maka muncul dua teori baru yang berangkat dari dua kemungkinan berikut. a. Jika prinsip pemisahan diterima, maka
dan
harus merupakan titik
yang berbeda. Dengan kata lain, setiap dua garis berpotongan pada dua titik dan setiap garis memisahkan bidang. b. Jika mengabaikan prinsip pemisahan, maka
dan
merupakan titik yang
sama. Dengan kata lain, setiap dua garis berpotongan pada satu titik dan tidak ada garis yang memisahkan suatu bidang. Kemungkinan pertama di atas yang mendasari munculnya geometri eliptik ganda ( double elliptic geometry) dan kemungkinan kedua mendasari munculnya geometri eliptik tunggal ( single elliptic geometry). Gambar berikut ini berturut-turut merupakan model dari geometri eliptik tunggal dan geometri eliptik ganda.
(a)
(b)
Gambar 2.26
42
Geometri eliptik tunggal (single elliptic geometry)
Dua garis berpotongan dalam tepat satu titik, dan setiap garis tidak memisahkan bidang; 2 titik yang berlawanan terhadap diameternya dianggap sebagai satu titik. Geometri eliptik ganda (double elliptic geometry)
Dua garis berpotongan pada dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang.
Untuk semesta pembicaraan geometri eliptik, maka diperlukan sebuah model untuk merepresentasikan bidang tersebut. Representasi dibuat dengan tujuan agar dalam membuktikan aspek di bidang geometri eliptik tidak terjadi kontaminasi dengan bidang Euclid dan hiperbolik yang diterapkan sebelumnya. Representasi ini dikembangkan oleh Klein dengan ide dasar dari bola dunia yang dikembangkan oleh Riemann. Sebelum kita mempelajari teorema-teorema geometri eliptik, ada baiknya kita memahami deskripsi singkat berikut terlebih dahulu untuk mengenal beberapa representasi aspek dalam bidang geometri eliptik. Selanjutnya disajikan deskripsi singkat tentang beberapa konsep dasar dari geometri eliptik serta representasinya pada bola Euclid. 1. Garis Sebagai Bangun Tertutup ( Lines as Closed Figures)
Bagian ini menyajikan secara singkat uraian yang mendeskripsikan bahwa garis pada geometri eliptik tunggal maupun geometri eliptik ganda merupakan suatu bangun tertutup ( closed figure). Untuk geometri eliptik tunggal, perhatikan kembali situasi yang digambarkan oleh Gambar 2.25(b) di atas mengenai pembuktian teorema bahwa dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama akan sejajar. Karena ide geometri eliptik tunggal berangkat dari prinsip pemisahan, maka ketika geometri ini berlaku, titik (pembuktian di atas) sama dengan
pada Gambar 2.25 (b)
. Akibatnya, ketika
diperpanjang
akan diperoleh bahwa perpanjangan tersebut kembali pada . Dengan kata lain, dalam geometri eliptik tunggal suatu garis merupakan suatu bangun tertutup. Dengan demikian berlaku pernyataan bahwa suatu titik tidak memisahkan garis menjadi dua bagian. Akan tetapi, dua titik pada suatu garis
43
akan memisahkan garis tersebut menjadi dua ruas garis. Sehingga penentuan pada garis tersebut tidak pada satu ruas garis saja tetapi pada dua ruas garis yang merupakan titik-titik ujung yang sama. Untuk geometri eliptik ganda, menggunakan konsep di atas sebagai apersepsi awal.
s l
A
B
m
(a)
(b)
Gambar 2.27
Dalam geometri eliptik ganda, suatu garis juga merupakan suatu bangun tertutup. Pandangan ini disajikan dalam uraian berikut. Diberikan sebuah garis lurus di
dan titik
dan bertemu di . Maka,
pada garis tersebut.
dan
tegak
seharusnya adalah titik akhir
dari suatu ruas garis yang dimuat oleh , misal ruas garis . Karena membagi bidang dan memotong di dua titik, maka terletak pada salah satu sisi
. Sehingga setiap titik di , yang terletak pada sisi
terletak pada ruas garis , dan setiap titik di seharusnya terletak pada perpanjangan diperpanjang melewati
atau , maka
yang diberikan,
yang tidak terletak di ,
melalui
atau
akan memotong
. Tapi jika dan memasuki
44
sisi
yang berseberangan dengan . Dengan demikian, sebarang titik di
pada sisi
yang sama dengan , pasti terletak di .
Selain itu, teori kesimetrisan dalam geometri eliptik ganda tetap dipertahankan. Sehingga akan ada ruas garis , yang menghubungkan
dan
pada sisi
Jika tegak lurus m maka ’ juga tegak lurus
yang simetri dengan ruas garis yang berseberangan dengan . . Jika dan ’ ruas garis yang
tegak lurus terhadap garis yang sama pada titik yang sama, maka kedua ruas garis tersebut terletak pada satu garis. Dengan kata lain, dan ’ termuat di . Jadi
dibentuk oleh ruas garis
dan ’. Dengan demikian, dapat diterima
bahwa garis dalam geometri eliptik ganda merupakan bangun yang tertutup. 2. Representasi Geometri Eliptik pada Bola Euclid
Postulat kesejajaran Riemann akan terpenuhi dalam representasi bahwa setiap dua garis (lingkaran besar) bertemu tepat pada dua titik. Selanjutnya, postulat pemisahan terpenuhi, karena setiap lingkaran besar akan memisahkan bola pejal tersebut menjadi dua belahan bola ( hemispheres). Sebagai contoh, equator membagi sebuah globe (model bumi) menjadi dua belahan, yaitu, belahan utara dan selatan, sedemikian hingga sebarang busur dari lingkaran besar menghubungkan sebuah titik pada salah satu belahan dengan sebuah titik pada belahan yang lain dimana busur tersebut berpotongan dengan equator. Jadi, setiap garis tampak sebagai bangun yang tertutup. Representasi geometri eliptik tunggal diturunkan dari geometri eliptik ganda. Sebuah lingkaran besar pada bola tidak merepresentasikan secara tepat sebuah garis pada geometri eliptik tunggal. Hal ini disebabkan dua lingkaran besar selalu berpotongan pada dua titik yang berlawanan terhadap diameternya. Selanjutnya,
kita
dapat
merepresentasikan geometri eliptik tunggal
A ’
B’
B ’
A ’
seperti layaknya geometri eliptik ganda.
Gambar 2.28
45
Dengan
demikian,
sebuah
garis
pada
geometri
eliptik
tunggal
direpresentasikan sebagai sebuah lingkaran besar (dengan kesepakatan bahwa titik-titik yang berlawanan diidentifikasi). Sebuah ruas garis direpresentasikan sebagai busur kecil dari sebuah lingkaran besar, karena busur besar atau setengah lingkaran direpresentasikan sebagai sebuah garis utuh. Untuk menentukan jarak antara dua titik, A dan B, ingat bahwa A dan lawannya, A’, dipandang sebagai titik yang sama. Hal ini juga berlaku pada B. ( Lihat Gambar 2.28). Dengan demikian, jarak merupakan lintasan terpendek dari
busur minor
,
. Sudut dan besarnya pada geometri eliptik tunggal
direpresentasikan sama seperti pada geometri eliptik ganda. Berikut ini merupakan tabel yang menyajikan representasi konsep dasar geometri eliptik ganda pada bola Euclide. Geometri Eliptik Ganda
Representasi Euclide
Titik
Titik pada bola
Garis
Lingkaran besar bola
Bidang
Bola
Ruas garis
Busur dari suatu lingkaran besar
Jarak antara dua titik
Panjang busur terpendek dari lingkaran besar yang melalui kedua titik itu
Sudut antara dua garis
Sudut pada bola yang dibentuk oleh dua lingkaran besar
Ukuran sudut
Ukuran sudut pada bola
3. Sifat Kutub pada Bidang Geometri Eliptik
Seperti halnya dalam geometri Euclid dan Lobachevski, geometri eliptik memenuhi beberapa hal berikut. a. Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis yang melalui sebuah titik yang diberikan, jika titik tersebut terletak pada garis yang diberikan. b. Tetapi sifat di atas tidak terpenuhi, jika titik tersebut tidak berada pada garis yang diketahui, karena sebarang dua garis yang tegak lurus dengan garis yang sama akan berpotongan.
46
c. Untuk setiap garis l pada bidang geometri eliptik, ada titik polar K sedemikian sehingga semua garis yang melalui K akan tegak lurus dengan l .
Jadi, semua lingkaran besar pada bola dunia melalui kutub utara yang tegak lurus dengan ekuatornya. Sifat Kutub
Misalkan adalah suatu garis. Maka ada suatu titik yang disebut kutub dari sedemikian hingga: a. setiap segmen yang menghubungkan
dengan Gambar 2.29
suatu titik pada tegak lurus pada , b.
berjarak sama dari setiap titik pada . Jarak
sampai sebarang titik pada
disebut “jarak polar”. Jarak
polar suatu kutub sampai garisnya adalah konstan.
Aplikasi Geometri Eliptik
Aplikasi geometri eliptik banyak dipakai dalam ilmu astronomi, salah satunya mengenai waktu di bumi terhadap matahari. Untuk mengetahui lebih lanjut tentang aplikasi eliptik dalam pembagian waktu matahari ini, maka ada baiknya kita pelajari terlebih dahulu secara singkat pemaparan berikut. Pada malam hari ketika kita memperhatikan langit, berarti kita sedang mengamati bintang dan benda-benda langit lainnya dari permukaan berbentuk bola. Bola ini disebut bola celestial. Bumi di bola celestial ini sebagai pusatnya dengan radius yang tidak terbatas.
47
Gambar 2.30
Gambar 2.31
Titik Z pada bola celestial berada di atas pengamat, titik ini disebut zenith (titik puncak). Sedangkan titik Z’ yang diameteral terhadap Z disebut nadir (titik terendah). Lingkaran besar pada bola dimana terdapat garis yang menghubungkan Z dan Z’ sebagai porosnya disebut horizon pengamat. Lingkaran besar yang melalui zenith disebut lingkaran vertikal. Jika poros bumi diperpanjang melalui kutub-kutubnya, maka titik N akan memotong bola celestial sehingga disebut kutub celestial utara, sedangkan titik S akan memotong bola celestial lawan dari utara sehingga disebut kutub celestial selatan. Diameter yang menghubungkan kutub celestial utara dan selatan disebut poros bola celestial. Lingkaran yang melalui utara dan selatan disebut meridian celestial. Meridian celestial memotong secara horizontal di dua titik. Titik terdekat dengan kutub celestial utara disebut titik horizon. Dari titik utara tersebut, timur berada disebelah kanan, dan barat berada disebelah kiri, sedangkan selatan berada dibagian belakangnya.
Gambar 2.32
Perpotongan ekuator bumi dengan bola celestial disebut ekuator celestial. Gambar berikut merepresentasikan bola celestial dengan bumi
48
sebagai pusatnya. HH’ mewakili horizontal. Z mewakili zenith dan Z’ mewakili nadir, sedangkan kutub utara dan kutub selatan secara berturut-turut diwakili oleh N dan S. ekuator celestial diwakili oleh E dan E’.
Gambar 2.33
Jika P merepresentasikan posisi matahari, maka segitiga PZN disebut segitiga astronomis matahari. Busur PL dari lingkaran vertikal yang melalui P disebut ketinggian matahari dan busur MP dari meridian yang melalui P disebut kemerosotan matahari. Busur EZ adalah garis lintang zenith, busur ini setara dengan garis lintang pengamat. Solar noon adalah waktu yang dibutuhkan matahari untuk mengitari
meridian celestial pengamat. Local time merupakan waktu setempat yang menunjukkan posisi matahari dari terbit hingga terbenam pada suatu daerah tertentu. Sudut antara meridian yang melalui matahari dan zenith disebut sudut jam. Dari gambar, sudut jam adalah segitiga PZN. Bola celestial menunjukkan perputaran sejauh
dalam 24 jam. Hal ini berarti perputara
matahari berarti menghabiskan waktu 1 jam. Oleh karena itu, sudut jam menunjukkan berapa jam, menit, dan detik yang dilalui matahari untuk berputar di meridian zenith. Dengan demikian, pada segitiga astronomis PZN didapat:
49
NZ =
– derajat garis lintang pengamat
ZP =
– derajat ketinggian matahari
PN =
– derajat kemerosotan matahari
Jika kita mengetahui derajat ketinggian dan kemerosotan matahari, maka ketiga sisi dari segitiga astronomi PZN dapat diketahui, selanjutnya sudut PNZ dapat ditentukan. Untuk menentukan waktu yang dibutuhkan matahari untuk bergerak dari P ke meridian EZN, maka kita harus mengalikan 24 sebagai rasio sudut lingkaran dengan
.Jika pengamatan
dilakukan pagi hari, maka waktu yang didapat dikurangi 12 jam, dan jika pengamatan dilakukan sore hari, maka waktu yang didapat ditambah 12 jam. Waktu yang didapat ini disebut local time. Kapal-kapal yang biasanya berlayar melintasi samudera biasanya memperkirakan posisi pelayarannya dengan menggunakan chronometer. Alat ini merupakan aplikasi dari teori eliptik dimana alat ini menunjukkan waktu di Greenwich. Dengan mengetahui waktu di Greenwich dan local time, maka garis bujur tempat pengamatan dapat ditentukan. Dalam mengganti waktu menjadi derajat bujurnya, maka tetap harus diperhatikan bahwa 24 jam berkorespondensi dengan sama dengan
garis bujur, dengan demikian berarti 1 jam
garis bujur, 1 menit berarti 15’ garis bujur, dan satu detik
sama dengan 15’’ garis bujur. Contoh:
Dari gambar, anggap HN merupakan garis lintang kota New York dengan derajat lintang pengamat
dan derajat kemerosotan matahari
dengan demikian didapat; ZN = =
– derajat garis lintang pengamat –
,
50
= PN = =
– derajat kemerosotan matahari –
= PZ =
untuk ketinggian matahari pada saat
Sudut ZNP pada segitiga bola PNZ adalah Jika 1 jam sama dengan menit
, maka
. (dalam Morgan) sama dengan 6 jam 21
detik. Sudut ZNP merepresentasikan solar noon yaitu lama waktu
yang dibutuhkan matahari mulai dari terbit hingga terbenam di kota New York. Secara umum Geometri bola digunakan oleh para pilot dan kapten kapal ketika mereka bernavigasi di seluruh dunia. Bekerja di geometri bola memilki beberapa hasil yang non-intuitif. Sebagai contoh, apakah anda tahu bahwa terbang jarak terpendek dari Florida ke kepulauan Filipina adalah jalan di Alaska? Filipina setelah Florida mengapa terbang ke utara ke Alaska dipotong pendek? Jawabannya adalah bahwa Florida, Alaska, dan Filipina collinear lokasi di geometri bola (mereka terletak pada lingkaran besar). Lain milik aneh berbentuk bola geometri adalah bahwa jumlah sudut segitiga selalu lebih besar kemudian 180 0. Segitiga kecil, seperti yang digambarkan di lapangan sepak bola, sudah sangat dekat dengan 180 0. Namun, jumlah sudutsudut pada segitiga besar (seperti segitiga dengan veracities New York, LA dan Tampa) telah secara signifikan lebih dari 180 0. Pada sebuah bola, jumlah sudut-sudut suatu segitiga tidak sama dengan 180 0. Sebuah bola bukanlah ruang Euclide, tetapi secara local hukum geometri Euclid perkiraan baik. Dalam segitiga kecil di muka bumi, jumlah
