BAB V
STRUKTUR GEOMETRI EUCLID DAN AKSIOMA-AKSIOMA DASAR TENTANG SEGMEN GARIS DAN SUDUT
Tujuan dari pembahasan dalam bab ini adalah untuk memberikan pemahaman tentang pengertian sistem aksioma beserta sifat-sifatnya. Kemudian, kita perkenalkan struktur geometri Euclid. Sebagai awal diskusi dari inti studi geometri di dalam buku teks ini, kita perkenalkan selanjutnya beberapa aksioma dasar dan teorema-teorema sederhana untuk segmen garis dan sudut. Sehubungan dengan pembahasan yang terakhir, materinya difokuskan pada ide-ide aksioma insidensi, postulat jarak dan keantaraan titik. Kemudian, dibahas tentang panjang dan konguensi segmen garis. Akhirnya didiskusikan masalah kongruensi sudut.
5.1 Sistem Aksioma Geometri dibangun menurut penalaran deduktif dalam konteks tersusun menurut struktur logis yang disebut sistem aksioma. aksioma. Pertama, diperkenalakan istilah-istilah dasar yang tidak didefinisikan, yaitu istilah-istilah primilit atau konsep-konsep dasar. Dalam hal ini yang sering dipakai (tetapi tidak selalu diperlukan) adalah ³titik´, ³garis´, ³bidang´, ³ruang´ dan ³terletak pada´. Kemudian didefinisikan beberapa istilah (kata) penting yang sering digunakan dalam pembahasan geometri agar selama proses diskusi terhindar dari kerancauan arti. Selanjutnya ditetapkan beberapa aksioma dan postulat . Yaitu pernyataan-pernyataan atau hukum-hukum dasar yang secara umum kebenarannya kita terima tanpa perlu dibuktikan. Dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi ini, kemudian kita uji kebenarannya suatu proposisi menurut hokum logika untuk mendapatkan sebuah teorema. Pernyataan berikutnya kita uji untuk mendapatkan teorema kedua atas dasar definisi-definisi, aksioma-aksioma ataupun teorema sebelumnya yang telah diterima kebenarannya. Demikian seterusnya, kita dapatkan suatu rantai (daftar) teorem t eoremaa yang terbangun dari definisi-definisi, postulat, a ksioma dan teorema-teorema sebelumnya yang telah diketa hui kebenarannya (Gambar 5.1).
Postulat Istilah-istilah yang tidak didefinisikan (istilah primitive)
Definisi Aksioma
Teorema
Rantai teorema terbangun dari definisi-definisi, postulat, aksioma dan teoremateorema sebelumnya.
Gambar 5.1 Kita tegaskan bahwa dalam suatu sistem aksioma, aksioma-aksioma yang dibangun haruslah mengikuti batasan-batasan sistem itu. Artinya, aksioma-aksioma tersebut tidak dapat sembarangan dibangun, karena suatu sistem aksioma harus bersifat konsisten. Sifat lainnya yang perlu dimiliki oleh suatu sistem suatu sistem aksioma adalah independent dan lengkap
(Caderberg, 1989). Adapun untuk memahami pengertian pokok ketiga sifat tersebut dapat dijelaskan menurut definisi-definisi dan beberapa contoh berikut ini :
Definisi 1 : Suatu sistem aksioma konsisten, jika dalam sistem tersebut tidak terjadi adanya sebarang dua aksioma, sebarang aksioma dan teorema atau sebarang dua teorema saling kontradiksi antara yang satu dengan la innya;
Definisi 2 : Suatu aksioma dikatakan independent dalam suatu sistem aksioma, jika aksioma tersebut tidak dapat dibuktikan (diturunkan) dari aksioma yang lain. Jika setiap aksioma dalam sistem independent, makan sistem it u disebut independent;
Definisi 3 : Suatu sistem aksioma dikatakan lengkap, jika setiap pernyataan yang memuat unsur-unsur yang tidak didefinisikan ataupun yang didefinisikan dari sistem dapat dibuktikan valid atau tidak valid. Dengan kata lain, jika pada sistem tersebut, tidak mungkin ditambah lagi dengan aksioma baru yang independent.
Contoh : Geometri Geometri Empat E mpat Titik Kita bangun sistem aksioma geometri empat titik dengan ketentuan : t erletak pada. Un sur tidak didefi nikan : titik, garis, terletak Aksioma 1 : Terdapat tepat empat titik. : Dua titik berbeda terletak tepat pada suatu garis. Aksioma 2 Aksioma 3 : Masing-masing (setiap) garis terletak tepat pada dua titik.
3
4
1
2 Gambar 5.2
Selanjutnya kita focus untuk memberikan contoh evaluasi sifat pertama (Definisi-1) dan kedua (Definisi-2) dari sistem tersebut, sedangkan sifat ketiga (Definisi-3) isi-3) dibahas dalam studi yang lebih lanjut. a) Konsisten Sistem Aksioma Geometri Empat Titik Cukup jelas bahwa dalam suatu aksioma, apabila dapat dibuktikan adanya kontradiksi pernyataan, maka hasilnya tidak berguna. Namun untuk melakukan evaluasi langsung
terhadap semua aksioma-aksioma dan teorema-teorema menurut definisi 1 tersebut, sulit dilakukan. Sebagai gantinya, kita gunakan model untuk menetapkan konsistensinya. Dalam hal ini, model dari suatu sistem oksioma didapat dari hasil interprestasi terhadap unsure-unsur yang tidak didefinisikan, juga konvenrsi terhadap aksioma-aksioma kedalam bentuk pernyataan-pernyataan pernyataan-pernyataan yang benar dalam interprestasi. Sebelum kita evaluasi terhadap sistem ini, kita lakukan observasi observas i terhadap ketiga aksioma tersebut. Untuk aksioma 1, secara eksplisit memberi jaminan adanya tepat 4 titik, tetapi garis yang disebutkan pada aksioma 2 dan aksioma 3, tidak dapat secara otomatis dijamin adanya sehingga perlu teorema yang secara eksplisit dapat membuktikannya. Bentuk pernyataan pada aksioma 2 dan aksioma 3 merupakan penyamaran bentuk pernyataan implikasi ³Jika««, maka««.´. untuk itu, aksioma 2 diinterprestasikan ³Jika terdapat dua titik berbeda, maka keduanya terletak pada tepat satu garis´. Aksioma 3 diinterprestasikan ³Jika terdapat suatu garis, maka garis tersebut terletak pada tepat dua titik´. Hasil dari observasi tersebut, kita dapat membangun model-model geometri empat titik dengan dimulai dari obyek-obyek yang telah ada, yaitu empat titik. Model 1, keempat titik kita interprestasikan dengan noktah-noktah (Gambar5.2) . Selanjutnya kita bangun masing-masing model dengan menginterprestasikan unsure yang tidak didefinisikan untuk menyusun suatu sistem sehingga oksioma 2 dan oksioma 3 menjadi pernyataan yang benar. Model I Unsur-unsur yang Tidak Didefi nisikan
Interprestasi
Titik
Huruf-huruf Huruf-hur uf A, B, C, D
Garis
AB, AC, AD, BC, BD, CD
Terletak pada
Termuat atau dimuat dalam
Model II Unsur-unsur yang Tidak Didefi nisikan
Interprestasi
Titik
Noktah-noktah Noktah-no ktah dinotasikan dinota sikan 1, 2, 3, 4
Garis
Segmen-segmen Segmen-s egmen garis pada Gambar 5.2 Suati noktah adalah titik ujung dari segmen
Terletak pada dan sebaliknya
b) I ndependen si Sistem Aksioma Geometri Empat Titik Verifikasi bahwa suatu sistem aksioma adalah independent, juga dikerjakan melalui beberpa model. Independensi Independensi dari suatu a ksioma ksioma X dalam sistem aksioma S, dapat dapat ditentukan
melalui model sistem S¶ yang diperolaeh dari S dengan menegasikan aksioma X. oleh sebab itu, jika terdapat n aksioma independent, maka terdapat n model yang harus ditunjukkan. Independensi dari sistem aksioma geometri empat titik (titik-titiknya diinterprestasikan dengan huruf-huruf alfabetik), ditunjukkan melalui tiga model berikut. Model I-1 : Model negasi aksioma 1 benar, yaitu tidak ada empat titik. Titik
Garis
A,B
AB
Apabila model ini memuat hanya dua titik, negasi dari aksioma 1 adalah benar, aksioma 2 dan aksioma 3 juga benar dalam interprestasi ini. Model I-2 : Model negasi aksioma 2 benar, yaitu terdapat dua titik berbeda tidak terletak pada satu garis.
Titik
Garis
A,B,C,D
AB, CD
Pada model ini, tidak ada garis terletak pada titik A dan C. Pembaca dapat menemukan pasangan titik-titik lain yang tidak terdapat dalam suatu garis. Model I-3 : Model negasi aksioma 3 benar, yaitu terdapat garis-garis yang tidak terletak di tepat dua titik.
Titik
Garis
A,B,C,D
AB, CD
Pada model ini, sebuah garis terletak pada tiga titik, sedangkan lainnya masing-masing terletak pada dua titik. Oleh karenanya, negasi dari aksioma 3 benar manurut interprestasi tersebut.
5.2
Struk tur tur Geometri Euclid
Setelah kita perkenalkan isi dan kelemahan dari geometri Euclid klasik di Bab IV bagian 4.1.3, selanjutnya kita pelajari bagaima na struktur geometri geometri tersebut apabila dibangun
mengikuti suatu sistem aksioma yang benar. Untuk itu, pertama, pandanglah ruang sebagai himpunan titik, sehingga titik-titik diruang merupakan unsur-unsur dari . Kemudian, pandanglah juga ruang dapat berupa himpunan garis-garis atau himpunan bidang-bidang . Jadi unsur-unsur dari himpunan , dan masing-masing disebut dengan titik-titik, garisgaris dan bidang-bidang. Dalam hal ini titik, garis, bidang dan ruang tidak didefinisikan. Selanjutnya dari himpunan berikut {, , }, letakkan aturan-aturan relasi diantara anggota-anggota , angota-anggota dari dan anggota anggota menurut aksioma-aksioma berikut. a1). a2). a3). a4). a5).
Aksioma insidensi; insidensi ; Aksioma keantaraa n (tanpa memperhatikan memperhatika n letak) dan urutan (memperhatika n letak); Aksioma kekongruenan; kekongru enan; Aksioma kekontinyuan kekonti nyuan (Archimedes); (Archime des); Aksioma kesejahteraan keseja hteraan Euclid. Eucli d.
Himpunan berbentuk {, , } beserta sistem aksioma yang melibatkan kelima aksioma tersebut, yaitu [(, , ), a1,a2, a3, a4, a5], disebut Struktur Geometri Euclid. : pada studi lebih lanjut [(, , ), a1,a2, a3, a4, a 5], disebut geometri netral (absolut). Oleh karenanya geometri netral yang memberlakukan kesejajaran Euclid, disebut dengan g eometri eometri Eucluid (parabolit). Sedangkan geometris netral yang memberikan kesejajaran Lobachevski disebut g eometri eometri Lobachevski (hiperbolik) dan untuk Rieman disebut geometri Rieman (elliptic). (elliptic). Dua geometri yang terakhir ini selanjutnya disebut g eometri eometri Euclid. Cat atan
Pembahasan selanjutnya dalam buku teks ini mempelajari tentang buku geometri Eucid bidang dan ruang yang dirasakan atas struktur tersebut.
5.3
Beberapa ak sioma dasar
Agar diskusi dalam geometri Euclid ini konsisten mengikuti kaidah logika lebih dahulu kita perlu memperkenalkan beberapa isilah dasar yang digunakan dalam pembahasan relasi geometris diantara titik, garis dan bidang pada himpunan titik diruang (himpunan semesta), koleksi himpunan garis serta pada koleksi himpunan bidang sebagai subset . Pertama jika titik P di garis l artinya bahwa P pada l, garis l pada P, garis l melalui P atau titik P dan l bertemu (insiden). Hal sama untuk titik P di suatu bidang . Selanjutnya jika garis l subset dari , maka dikatakan l terletak di . Jika titik P terletak pada (sekutu dari) dua atau lebih himpunan (misalnya gars atau bidang), maka dikatakan himpunan-himpunan tersebut berpotongan (berinteraksi) di P. Kita katakan garis l sejajar terhadap garis m, dinotasikan l/m, jika l tidak memotong m dan tidak berimpit m, yaitu 1=m. Titik-titik yang terletak pada suatu garis (segaris) disebut kolinear dan titik-titik yang terletak dalam satu bidang (sebidang) disebut koplanar . Jika dua garis atau lebih berpotongan pada satu titik, garis-garis tersebut dikatakan kongruen. Dengan demikian selanjutnya kita dapat menotasikan hal-hal berikut. Jika g suatu garis maka g dan g . Jika X , maka x suatu titik. Jika X g, maka titik X terletak pada garis g, tetapi X bukan sebab X bukan garis. Jika , berarti suatu bidang. Jika X berarti X terletak di bidang . Dalam hal ini jelas g bukan . Apabila g , maka dikatakan garis g terletak di bidang , sebab g berarti setiap unsur di g adalah unsur dari . Jadi X g dan g , maka X .
Ak sioma- ak sioma insidensi : Ak sioma tersebut.
5.1
: Jika ada dua titik berbeda, aka nada tepat satu garis yang memuat dua titik
Ak sioma 5.2 : Jika ada tiga titik berbeda dan tidak segaris, maka ada tepat satu didang yang memuat ketiga ketiga titik tersebut. Ak sioma 5.3 : Jika dua titik berbeda terletak pada suatu bidang, maka garis yang memuat kedua titik tersebut terletak pada bidang. Ak sioma
5.4
: Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya adalah suatu garis.
Ak sioma 5.5 : Setiap garis memuat memuat sedikitnya dua titik, setiap bidang memuat sedikitnya tiga titik yang tidak segaris dan setiap ruang memuat sedikitnya empat titik yang tidak sebidang. 1 : Sebuah garis dapat diperpanjang sejauh jauhnya dari kedua ujungnya. Postulat 5.2 ( Postulat jarak ) a) Jarak setiap dua titik di merupakan fungsi terhadap R. b) Jarak setiap dua titik berharga non negative. c) Jarak dua titik adalah nol, jika dan hanya jika kedua titik tersebut identik . d) Jarak terpendek dari dua titik adalah pada suatu garis lurus (diukur menurut garis lurus ) Postulat 5.
pada setiap garis l, t itik-titiknya dapat diletakkan suatu korespondensi l-l dengan bidang real R. Postulat 5.3
Ak sioma- ak sioma keantaraan : Ak sioma 5.6 : Jika A dan B dua titik maka : a) Terdapat sedikitnya satu titik C sehingga C diantara A dan B . b) Terdapat sedikitnya satu titik D sehingga B dianata A dan D. c) Terdapat sedikitnya satu titik E sehingga A diantara B dan E. Ak sioma 5.7 : Jika A, B dan C suatu titik sehingga B diantara A dan C, maka A, B dan C berbeda dan terletak pada suatu garis (koliniar). Ak sioma A.
5.8
: Jika A, B dan C suatu titik sehingga B diantara A dan C, maka diantara C dan
Ak sioma 5.9 : Jika A, B dan C tiga titik koliniar, maka tepat satu titik tiga keadaan ini benar. a) B diantara A dan C. b) C diantara A dan B. c) A diantara B dan C.
: istilah keantaraan merupakan primitive, karena itu tidak didefinisikan. Definisi 5.1 : Segmen (ruas) garis AB dinotasikan AB adalah himpunan titik-titik dari garis yang memuat titik A dan titik B dan semua titik diantara titik A dan titik B. Cat atan
A
B Gambar 5.3
Titik A, B dan titik-titik diantaranya, dikatakan meliputi segmen AB. Titik A dan B masing-masing disebut titik akhir (ujung) dari segmen AB. Dalam hal ini garis yang dibangun oleh dua titik berbeda A dan B dinotasikan AB. Definisi 5.2: Sinar adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari titik pangkal sinar garis dan semua titik pada sisi yang sama terhadap titik pangkalnya, Gambar 5.4 menggambarkan sinar AB dan dinotasikan AB . A
B
Gambar 5.4 Definisi 5.3 : sinar-sinar yang berlawanan adalah dua sinar berlainan pada garis yang sama dan mempunyai titik pangkal yang sama.
C
E
A
B
F
Gambar 5.5 Pada gambar 5.5, AB dan AC dua sinar yang berlawanan, yaitu keduanya berlainan sinar pada garis yang sama ( EF ) EF ) dan masing-masing mempunyai titik pangkal A. Definisi 5.4 : Sudut adalah himpunan titik-titik dari gabungan dua sinar yang kedua titik pangkalnyaberserikat, pangkalnyaberserikat, t etapi tidak terletak pada garis yang sama. A
B C
E Gambar 5.6
Pada Gambar 5.6 dapat dituliskan dituliska n sudut-sudut yang sama : ACE, ECA atau Titik C disebut titik sudut, sedangkan sinar CE dan CA merupakan kaki sudut.
5.4
BCE.
Kekongruenan Segmen Garis dan S udut
Ide tentang panjang suatu segmen garis (ukuran segmen garis) ditentukan atau diukur menurut jarak antara dua titik ujung segmen garis tersebut. Dalam hal ini untuk cara
pengukurannya, kita dasarkan atas postulat 5.2d, bukan seperti pengertian sehari-hari semisal menentukan jarak antara kota Surabaya dengan Bandung yang diukur justru panjang belak beloknya lintasan perjalanan (panjangnya jalan). Dengan pengertian tersebut maka ide t entang panjang suatu segmen garis dapat kita pandang juga sebagai fungsi dari himpunan segmensegmen garis ke himpunan bilangan real R. Guna kelancaran studi, setelah dipahami tentang pengertian panjang segmen garis. Perlu diperkenalkan notasi kesamaan dan kongruensi dua segmen garis berikut. Penulisan AB = CD , diartikan bahwa segmen AB sama dengan CD, yaitu unsur-unsur atau titik-titik yang ada di himpunan yang di definisikan oleh AB sama dengan CD . Adapun untuk notasi AB CD , diartikan bahwa ukuran AB sama dengan CD dan dinotasikan u AB = uCD. Kemudian untuk pembahasan kesamaan dan kekongruenan dua sudut, kita uraikan berikut ini.
=
(Postulat Ukuran Sudut) : a) Ukuran sudut merupakan fungsi dari himpunan sudut ke himpunan bilangan real R. b) Untuk setiap A, maka ukuran A, yaitu u A, terletak terleta k diantara 0 dan 180. c) Untuk setiap sinar AB atau garis AB dan setiap bilangan r dianta 0 dan 180, ada tepat satu sinar AP sehingga u PAB = r.
Postulat 5.4
Untuk ilustrasi, pada Gambar 5.7 berikut titik-titik di setengah lingkaran berpasangan l-l dengan bilangan bilanga n real antara 0 sampai sa mpai dengan 180, sehingga u RVA = 50. Dalam praktek, kita sering memakai satuan sudut dengan satuan derajat, misalnya misalnya ukuran RVA = 50
R 50 180
0 v
B
A
Gambar 5.7 Definisi 5.5 : Titik tengah dari segmen garis adalah suatu titik pada segmen garis itu sedemikian sehingga ukuran 2 segmen garis yang dibentuk oleh titik tersebut ke titik ujung ± titik ujung segmen garis semula adalah sama. Postulat 5.5
: Setiap segmen garis memiliki tepat satu titik tengah.
u AC = u CB karena karena C titik t itik tengah A
C
B
Dengan demikian u
AC =
AB
u CB.
Gambar 5.8 Definisi 5.6 : Garis bagi (bisektor) dari ruas adalah garis yang memotong ruas garis pada titik tengahnya. A
AB
bisektor C D , maka B titik tengah C D. D. Karena B titik
tengah C D, D, maka u CB
C
B
CB
= u B D. D. Dengan demikian
= B D
D
Gambar 5.9
Definisi 5.7 (Nama±nama sudut) a. b. c. d. e. f.
Sudut siku-siku adalah sudut suatu sudut dari 90 Sudut lurus adalah sudut dari 180 Sudut lancip adalah sudut yang ukurannya lebih besar 0 dan lebih kecil 180 Sudut tumpul adalah sudut yang ukurannya lebih besar 90 dan lebih kecil 180 Dua sudut saling berkomplemen adalah dua sudut yang jumlah ukurannya 90 Dua sudut saling bersuplemen adalah dua sudut yang jumlah ukurannya 180
Definisi 5.8 : Dua garis saling tegak lurus adalah dua garis yang saling berpotongan membentuk sudut siku-siku. Definisi 5.9 : Garis bagi suatu sudut adalah suatu sinar sedemikian sehingga titik pangkalnya titik sudut itu dan membentuk dua sudut yang sama ukurannya dengan kaki sudut semula. Definisi 5.10 : Ruang-ruas garis yang kongruen adalah ruas-ruas garis yang mempunyai ukurannya sama Definisi 5.11 : Sudut-sudut yang kongruen adalah sudut-sudut yang mempunyai ukuran sama.
Teorema-teorema Sederhana tentang Sudut Definisi 5.12 : jumlah ukuran dua segmen garis AB dan BC adalah segmen garis AC, yaitu u AB + u BC = u AC, jika dan hanya jika B diantara A dan C.
5.5
Definisi 5.13 : Segmen garis AC terletak diantara AB dan BC yang berlainan sehingga u AB ± u BC = u AC, jika dan hanya jika C diantara A dan B. Definisi 5.14 : Dalam suatu sudut APC, sinar PB terletak ter letak diantara dua dua sinar PA dan PC, jika dan hanya jika dipenuhi kondisi u APB + u BPC = u APC.
Pada gambar 5.10b, sinar PB tidak dapat dipandang sebagai diantara PA dan PC, sebab jumlah dari (u APB + u BPC) tidak dalam selang selan g diantara dia ntara 0 sampai dengan 180
A
B
40
B 100
P
30
C
110
u
APB + u BPC = u (a)
APC
u
APB + u BPC > u (b)
APC
Gambar 5.10 Definisi 5.15 : Sudut sehingga u ABD ± u BA dan BD
CBD terletak diantara dua sudut yang berlainan ABD dan ABC ABC = u CBD, jika dan hanya jika sinar BC terletak terleta k diantara sinar
: Sebuah garis membagi bidang dalam dua daerah (sisi) yang masing-masing daerah (sisi) disebut sebagai setengah bidang. Sedangkan garisnya, disebut batas dari dua setengah bidang. Postulat ini kita sebut istilah postulat pembagian bidang.
Postulat 5.6
Definisi 5.16 : Interior BAC adalah adala h irisan dari dua setengah bidang masing-masing masing- masing berupa sisi AC yang memuat B dan sisi AB yang memuat C. jelasnya, titik D terletak pada interior interi or .BAC, jika D dan B terletak terl etak pada sisi yang sama terhadap AC dan jika D dan C terletak pada sisi yang sama terhadap AB.
Eksterior Definisi 5.17 : Eksterior tersebut dan interiornya.
ABC adalah himpunan himpunan titik-titik yang tidak terletak terletak pada pada sudut sudut
Teorema 5.1 : Jika D interior dari BAC dan D¶ interior interi or dari B¶A¶C¶, sedangkan = D¶A¶C¶ dan BAC = B¶A¶C¶, maka BAD = B¶A¶D¶.
Diketahui : Buktinya :
DAC
a). D interior BAC dan D¶ interior B¶A¶C¶. b). DAC = D¶A¶C¶ dan BAC = B¶A¶C¶ BAD = B¶A¶D¶
B
B¶ D
D¶
A
A¶ C
C¶ Gambar 5.11
Bukti : Pernyataan Alasana 1. D interior interi or BAC dan D¶ interior 1. Diketahui B¶A¶C¶. 2. Definisi 5.2 : sinar garis adalah adala h gabungan 2. Tarik AD dan A¶D¶ titik pangkal dan semua titik yang terletak pada sisi yang sama terhadap titik pangkal. 3. u BAD + u DAC = u BAC atau u BAD = u BAC ± u DAC 4. u B¶A¶D¶ + u D¶A¶C¶ = u B¶A¶C¶ atau u E¶A¶D¶ + u B¶A¶C¶ = u D¶A¶C¶
3. Definisi 5.4 dan 5.14 4. Idem
5. u u 6. u 7. Jadi
BAC = u D¶A¶C¶ BAD = u BAC =
B¶A¶C¶ dan u B¶A¶D¶ B¶A¶C¶
DAC =
5. Dua susut kongruen berukuran sama (definisi 5.11) 6. Sifat transitif : subsitudikan no.50 ke no. 3 kemudian ke no 4. 7. Definisi 5.11
