GEOMETRI EUCLID/NON EUCLID
KELOMPOK 3
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2013
BAB V SIMILARITAS
Bab ini akan membahas tentang similaritas atau kesebangunan, khususnya kesebangunan segitiga. Untuk itu berturut-turut akan dibahas tentang sudut-sudut poligon, teorema dasar untuk kesebangunan, dan segitiga-segitiga sebangun. 5.1. SUDUT-SUDUT POLIGON
Poligon yang paling sederhana adalah segitiga dan suatu poligon dapat dipartisi ke dalam segitiga-segitiga. Karena itu sebelum membahas sudut-sudut poligon akan dibahas dulu sudutsudut segitiga. 5.1.1. Sudut-sudut segitiga
Pembahasan diawali dengan teorema jumlah sudut segitiga seperti berikut ini. TEOREMA (Teorema Jumlah Sudut Segitiga) 0
Jumlah ukuran sudut-sudut segitiga 180 A
D
E
B
C Gambar 5.1.1
Misal segitiga itu , dapat dibuktikan bahwa Menurut aksioma kesejajaran di A tidak pada Pandang
DE // BC dipotong AB
0
mA m B m C 180
.
BC terdapat DE // BC .
, menurut Convers teorema sudut dalam berseberangan
DAB B .
Demikian pula DE // BC dipotong AC , menurut teorema sudut dalam bersebrangan EAC C . Sedang DAB , BAC , dan EAC membentuk sudut lurus sehingga 0
mDAB mBAC mEAC 180
. Karena
DAB B .
Berarti
mDAB mB ,
Sehingga didapat
demikian pula karena
EAC C berarti mEAC mC . 0
mB mBAC mC 180 0
mA m B m C 180
. Karena
BAC tidak
lain adalah
A maka
. (Terbukti)
Jika ada dua segitiga yaitu ABC dan sudut ketiga, yaitu C dan F kongruen?
DEF dengan A D dan B E ,
apakah
Jawaban dari pertanyaan ini ditetapkan sebagai teorema berikut ini TEOREMA (Teorema Konkruensi Sudut Segitiga)
Jika dua sudut dari segitiga pertama konkruen dengan dua sudut pada segitiga kedua, maka sudut ketiga dari dua segitiga tersebut konkruen. TEOREMA Sudut-Sudut-Sisi (Sd.Sd.Ss)
Dua segitiga konkruen jika terdapat korespondensi satu -satu antara titik-titik sudut sehingga dua sudut dan satu sisi di hadapan sasalah satu dari dua sudut pada segitiga pertama konkruen dengan bagian-bagian yang bersesuaian pada segitiga kedu a. Misalkan dua segitiga itu dan dengan A D, B E , akan dibuktkan D
E
F
Gambar 5.12
Bukti : Karena A D, B E, menurut Teorema Konkruensi Sudut Segitiga C F. Pandang dan , karena A D, dan B E ,menurut Aksioma Sd.Ss.Sd maka
Teorema Ukuran Sudut Luar Segitiga
Ukuran sudut luar segitiga sama dengan julah ukuran dua sudut segituga yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut.
Diketahui
: ACD sudut luar pada ABC
Dibutikan
: m ACD = m A + m B
Bukti
:
Menurut teorema jumlah sudut segitiga m A + m B + m C = m BAC + m ABC + m ACB = menurut aturan jumlah sudut m ACB = - (m BAC + m ABC)
………
(1)
………
(2)
menurut aturan sudut bersuplemen m ACD + m ACB = menurut aturan jumlah sudut m ACD = - m ACB Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) Sehingga m ACD = - m ACB m ACD = - [ - (m BAC + m ABC)]
m ACD = - + m BAC + m ABC m ACD = m BAC + m ABC m ACD = m A + m B (terbukti) TEOREMA Sudut Lancip Segitiga Siku-Siku
Sudut – sudut lancip pada segitig siku-siku saling berkomplemen. Coba buktikan sebagai latihan. 5.1.2 Sudut – sudut Poligon DEFENISI : Poligon konveks adalah polygon yang masing-masing sudutnya berukuran kurang dari ukuran sudut lurus.
Poligon Konveks
Gambar 5.2.1
Selanjutnya polygon konveks cukup di tulis polygon.
Teorema Jumlah sudut poligon n sisi Jumlah ukuran sudut-sudut suatu poligon n sisi adalah (n-2)180. Misalnya: Jumlah ukuran sudut-sudut segitiga : (3-2)180 = 180 Jumlah ukuran sudut-sudut segiempat: (4-2)180 = 360
Jumlah ukuran sudut-sudut segisepuluh: (10-2) 180 = 1440
TEOREMA Jumlah Ukuran Sudut Luar Segi n: Jumlah ukuran sudut-sudut luar suatu poligon yang terbentuk dengan memperpanjang sisi ke arah yang sama adalah 360
Soal Latihan 5.1
1. Diketahui
ABC dengan AC BC bisektor A dan B berpotongan 0
mC 40
, hitunglah
di D. Jika
mD
Penyelesaian: C
D
A
B ABC merupakan CAB CBA
segitiga sama kaki, maka berdasarkan teorema sama kaki diperoleh:
sehingga
mCAB mCBA
Berdasarkan teorema jumlah sudut segitiga maka, 0
mCAB mCBA mACB 180 0
0
mCAB mCAB 40 180
2mCAB mACB 1800 2mCAB 400
0
180
0
140
mCAB
2
700
0
mCBA 70 0
mD 180 (mCAB mCBA) 0
0
0
mD 180 (70 70 mD
0
40
)
2. Sisi dari diperpanjang sampai di D bisektor ABC dan ACD berpotongan di titik E. Jika mABC= 80 dan ACB= 60. Berapakah mE ? Penyelesaiannya: E A
20
F
40 100
100
40 40
60 60
60
C
B
D
Karena ABC memiliki bisektor sehingga, ABF= ABC = 40
Berdasarkan Teorema Jumlah Sudut Segitiga maka, A = 180 - (ABC + ACB)
= 180-(80 + 60) = 40 Pada , F = 180 – (A + BF) = 180 – (40 + 40) = 100 AFB = EFC = 100, karena merupakan sudut yang saling bertolak belakang.
Karena ACD adalah sudut luar dari maka, ACD = A + B = 80 + 40 = 120
Karena ACD memiliki bisektor dengan ACE = ACD = 60 Sehingga pada , mE = 180 – (EFC + ACF), berdasarkan Teorema Jumlah Sudut Segitiga = 180 – (100 + 60) = 20
3. Pada gambar berikut ini diketahui ̅ dan ̅ adalah garis tinggi, m ABC = 70 dan m ACB = 40. Berapakah m BFC ?
m BAC + m ABC + m ACB = m A + m B + m C = m A = - (m B + m C) m A = - ( + ) m A = - m A = garis ̅ dan ̅ adalah garis tinggi, maka m BDC = dan m CEB = menurut aturan sudut bersuplemen, maka m CDA = dan m BEA = m A + m D + m E + m F = + + + m F =
m F = - ( + + ) m F = - = 4. Jika dalam Jawab :
ABC berlaku m A = m B =m C Maka berapakah m A?
Menurut teorema sudut poligon n sisi, jumlah ukuran sudut segitiga = (n-2) 180 dimana n adalah banyak sisi poligon = (3-2) 180 = (1) 180 = 180 Jumlah ukuran sudunya adalah 180. m + m B + m C = 180 ; m B + m C = 180 - m diketahui m = m B + m C m = 180 - m 2 m = 180 m = 90 5. Pada gambar berikut ini, → dan → adalah bisektor ABC dan ACB. Buktikan bahwa
mD = 90 + mA
A
D B
C
Jawab: A+B+C = 180
B + C+D = 360 |x2 maka B+C+2D = 360
A+B+C = 180 B+C+2D = 360 2D-A = 180 2D = 180+A D = 90 +
A
Maka terbukti bahwa: m D = 90 + mA
̅ dan ̅ pada segitiga lancip ABC berpotongan di titik E. 6. Garis tinggi ke sisi Buktikan: m BEC = m B + m C. Penyelesaian: Menurut Teorema Jumlah sudut Poligon n sisi, jumlah A ukuran sudut-sudut segiempat ADEF = (4 – 2) 180 = 360. Maka m A + m D + m E + m F = 360 D F E Berdasarkan definisi garis tinggi, m D = m F = 90, sehingga diperoleh: m A + 90 + m E + 90 = 360 m A + m E = 180 B C Karena m A + m B + m C = 180 (teorema jumlah sudut poligon), maka m A = 180 – m B – m C, sehingga: m A + m E = 180 (180 – m B – m C) + m E = 180 – m B – m C) + m E = 0 m E = m B + m C m BEC = m B + m C
7.
⃗ bisektor BCF. Apakah m D = ⃗ bisektor EBC dan Pada gambar berikut ini,
90 - m A?
A
B
C
E
F
D
Penyelesaian: Misalkan m ABC = m B1 ; m CBD = m B2 ; m DBE = m B3 ; m ACB = m C1 ; m BCD = m C2 ; m DCF = m C3 Menurut Teorema Jumlah sudut Poligon n sisi: m A + m B1 + m C1 = 180 ; m B1 + m B2 + m B3 = 180 m C1 + m C2 + m C3 = 180 Karena BD merupakan bisector CBE, maka m CBD = m DBE, sehingga m B2 = m B3, maka menjadi m B1 + 2 (m B2) = 180. Begitu juga dengan BCD dengan DCF, sehingga m C2 = m C3, maka menjadi m C1 + 2 (m C2) = 180.
8. Diketahui ABC dengan B adalah sudut tumpul. Garis tinggi ke diperpanjang berpotongan di titik E. Dapatkah ditunjukkan bahwa 0
mBEC 180 (mB mC ) ?
Penyelesaian :
m BAC + m ABC + m ACB = m A + m B + m C = m A = - (m B + m C) garis ̅ dan ̅ adalah garis tinggi, maka m BDC = dan m CEB = menurut aturan sudut bersuplemen, maka m CDA = dan m BEA = m A + m D + m E + m F = - (m B + m C) + + + m F =
m F = - + m B + m C m F = m B + m C
AB
dan ke
AC jika
ABC yaitu diperpanjang sampai di D. Bisektor B dan ACD berpotongan
9. alas
di titik E. Dapatkah ditunjukkan bahwa m E =
A E
x x
180-2y
B
y
c
y D
Karena bisector B membagi dua B maka besar B memiliki ukuran sama besar untuk EBC dan ABC yaitu sebesar x. hal sama juga berlaku untuk bisector C yang membagi dua
sudut yang sama yaitu y. A
= 180 – (2x+(180-2y)) = 180-(2x-2y+180) = -2x + 2y = 2 (y-x)
AFB
= 180-(x + (-2x + 2y)) = 180 +x -2y
Karena AEB bertolak belakang dengan EFC = 180 +x -2y E = 180 – (y + (180 + x – 2y)
= y-x
m E =
(y-x) = (2 (y-x))
(y-x) = (y-x)….(terbukti)
10. Pada gambar berikut ini, sama kaki dengan dan . Buktikan bahwa BAC siku-siku. B 45
D
90
90 45 45
A
45
m m
m = m DAC ACD ADB ABD
Misalkan DAC = x maka, Untuk segitiga BAC ABC + BAC + ACB = 180 ABC + (BAD + DAC ) + ACB = 180
X + X + X + X = 180 4X = 180 X = 45 BAC = BAD + DAC
=X+X = 45 + 45 = 90
C
