BAB 1 PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang Matematika Matematika adalah sebuah studi mengenai mengenai keterkaitan keterkaitan antar objek. Matematika Matematika juga
dikenal sebagai ilmu yang mempunyai kerangka berpikir deduktif, tidak induktif. induktif. Artinya, Artinya, dari suatu hal yang bersifat umum menuju khusus. Akibatnya, dalam matematika tidak diperkenankan untuk melakukan generalisasi. Contohnya, perhatikan beberapa data di bawah. 1+3= 3+=! +"=1# "+$=1% $+11=#& 'ari 'ari data data di atas atas,, kita kita liha lihatt bahwa bahwa jika jika bila bilang ngan an ganj ganjil il dita ditamb mbah ah bila bilanga ngan n ganj ganjil il,, akan akan menghas menghasilk ilkan an bilang bilangan an genap. genap. (amun (amun dalam dalam matema matematik tikaa tidak tidak diperb diperbole olehkan hkan mengat mengataka akan n penjumlahan dua bilangan ganjil menghasilkan bilangan genap hanya berdasarkan data di atas. )atu*satunya ara adalah dengan pembuktian. Apa Apa itu itu pembuk pembukti tian an 'ala 'alam m mate matema mati tika ka,, pembu pembukti ktian an adal adalah ah kegi kegiat atan an sese seseor orang ang untukm untukmeyak eyakinka inkan n sesuat sesuatu u itu benar benar melalu melaluii langkah langkah*l *langk angkah ah logis. logis. -ntuk -ntuk menunj menunjukka ukkan n sesuatu itu salah, ukup menunjukkan ountre eample, yaitu menunjukkan bahwa ada satu keadaan dimana suatu pernyataan tidak berlaku. Ada berbagai maam teknik pembuktian dalam matematika. 'itinjau dari aranya, ada dua jenis pembuktian, yaitu pembuktian langsung dan pembuktian tak langsung. -ntuk pembuktian tidak langsung sendiri ada dua ara, yaitu dengan kontradiksi dan kontrapositif.
1.2. • •
Rumusan Masalah Apakah yang dimaksud dengan pembuktian tak langsung /agaimanakah pembuktian tak langsung dengan ara kontradiksi dan kontrapositif
1.3. • •
TUJUAN PENULIAN -ntuk menambah pengetahuan mengenai pembuktian tak langsung. Membantu kita dalam menyelesaikan soal mengenai bukti tak langsung baik seara kontardiksi maupun kontrapositif.
BAB 2 PEMBAHAAN 2.1.
PEMBU!TIAN TA! LAN"UN" -ntuk membuktikan dengan menggunakan bukti tidak langsung, digunakan ara
dengan membuat pernyataan pengingkaran dari yang harus dibuktikan. 0ika dari pernyataan yang diingkari tersebut diperoleh suatu kontradiksi bertentangan dengan ketentuan yang diberikan2 atau kemustahilan, berarti pernyataan yang harus dibuktikan adalah benar. -ntuk membuktikan p benar, kita harus membuktikan jika p salah.
A. PEMBU!TIAN TA! LAN"UN" DEN"AN !#NTRAP#ITI$ )alah satu metode pembuktian dalam matematika adalah pembuktian dengan kontrapositif. 4embuktian dengan kontrapositif adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung selain pembuktian dengan kontradiksi. 4embuktian dengan kontrapositif ini didasarkan pada nilai kebenaran pernyataan 5jika 4 maka 67 eki8alen dengan 5jika bukan 6 maka bukan 47. 0adi, yang perlu kita lakukan untuk membuktikan suatu implikasi dengan kontrapositif adalah dengan menegasikan
konklusinya,
kemudian
tunjukkan
bahwa
negasi dari konklusi
mengakibatkan negasi dari antisedennya.
%&nt&h '
1. /uktikan bahwa untuk bilangan*bilangan bulat m dan n 9 jika m+n atau n
≥
≥
"3, maka m
3".
0awab 9
-
0ika p adalah pernyataan m+n : adalah pernyataan m r adalah pernyataan n
≥ ≥
≥
"3
3", 3"
maka dalam symbol kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai p;: 8 r2
≥
3"
-
∼
kontrapositifnya adalah
: 8 r2;
∼
p atau
∼
:
∧
∼
r2;
∼
p,
dengan demikian dibuktikan kebenaran pernyataan jika m < 3" dan n < 3" maka m+n < "3
-
untuk m < 3" berarti m ≤
m+n
≤
m+n
-
3% dan n < 3" berarti n
≤
3%, sehingga
3%+3% "#
m+n < "3 erbukti bahwa jika m < 3" dan n < 3" maka m+n < "3. dengan terbuktinya kontrapositif, maka berate kebenaran pernyataan awal, yaitu jika m+n ≥
#.
≤
"3, maka m
≥
3" atau n
≥
3".
'iberikan
, jika
adalah genap mak
Ja(a)' Andai
tidak ganjil, dengan kata
ganjil
genap, itu berati
untuk suatu bilangan
bulat . 'iperoleh
)ubtitusi diperoleh 0elas
adalah ganjil. >tu berarti
adalah genap, tidak ganjil
3. /uktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n# adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil? 0awab 9 -ntuk membuktikan pernyataan diatas dapat dilakukan dengan pembuktian tak langsung dengan kontraposisi. Misalnya p
9 n# adalah bilangan ganjil
:
9 n adalah bilangan ganjil
kemudian misalnya @: benar yang berarti n adalah bilangan genap, yaitu n = #k sehingga n#
= #k2# = k # = ##k #2 = #m dengan m = #k#
Bang berarti n# adalah bilangan genap. 'engan demikian, *p 9 n# adalah bilangan genap *: 9 n adalah bilangan genap 'an karena @: = *p adalah benar dan p = : D *: = *p Maka terbukti p = : adalah benar. 0adi, terbukti bahwa jika n# adalah bilangan ganjil, makan adalah bilangan ganjil.
B. PEMBU!TIAN TA! LAN"UN" DEN"AN %ARA !#NTRADI!I
4embuktian dengan kontradiksi Reductio
de Absordum2
dilakukan dengan ara
mengandaikan bahwa ingkaran kalimat yang akan dibuktikan bernilai benar. 0adi, jika ingin membuktikan kebenaran p, langkah yang dilakukan adalah dengan mengandaikan bahwa p benar.
Contoh 9
1. /uktikan bahwa 7jika n# adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil7 dengan bukti tak langsung? 0awab 9 Misalnya n adalah bilangan genap, yaitu n = #k, k E /. Farena n = #k Maka n# = #k2# = k # =##k#2 = #m dengan m = #k #
)ehingga n# adalah bilangan genap, kontradiksi dengan n# adalh bilangan ganjil. 0adi, terbukti bahwa jika n# adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil.
#. /uktikan kebenaran pernyataan berikut 9 0ika bilangan rasional dan y bilangan irrasional, maka # * y adalah bilangan irrasional
0awab 9 'engan /ukti Fontradiksi p = :2 ekui8alen dengan p dan :
Andaikan :2 benar Andaikan # * y adalah bilangan rasional, maka # * y dapat dinyatakan dengan aGb dengan a,b elemen H H = bilangan bulat2 , dan b tidak sama dengan nol b = & 2
'iasumsikan p benar, diperoleh bilangan rasional dan y bilangan irrasional )ehingga ketika bilangan rasional, haruslah y bilangan irrasional Farena tidak ada identifikasi y bilangan irrasional Iunakan permisalan adalah bilangan rasional
bilangan rasional, dapat dinyatakan dalam pG: dengan p,: elemen H dan : tidak sama dengan nol : ?= & 2 )ehingga, # * y = aGb dengan = pG: #pG:2 * y = aGb *y = aGb2 * #pG:2 y = #pG:2 * aGb2 y = #bp*a:2Gb:2 dengan a,b,p,: elemen H dan b ?= & dan : ?=& sehingga b: juga tidak sama dengan nol Maka, menurut sifat sebelumnya, y teridentifikasi sebagai bilangan rasional
y bilangan rasional, bertentangan FJ(KA'>F)>2 dengan pernyataan awal bahwa y adalah
bilangan rasional )ehingga pengandaian diingkar p dan : terbukti salah2 dan sebaliknya p = : sebagai negasinya2 /ernilai /L(AK
)ehingga erbukti bahwa 0ika bilangan rasional dan y bilangan irrasional, maka # * y adalah bilangan irrasional
A>NA( ??? 1.
/uktikan pada segitiga sama kaki dua sudut pada kakinya sama besar.
Petun*uk Ja(a) Lat+han 1.
Anda ermati kembali teori tentang pembuktian tidak langsung. -ntuk membuktikan soal nomor 1, perhatikan gambar berikut A
B D % 'iketahui segitiga A/C sama kaki, panjang sisi A/ =panjang sisi AC, harus dibuktikan µ ∠
µ ∠
besar A/C = AC/. 'ibuat garis bagi A' di mana ' pada /C. An,a+kan
µ ∠ ≠ µ ∠ ABC ACB ∆
4erhatikan
∆
A/' dan
AC'
∆
4anjang sisi A/ = AC A/C samakaki 2 µ ∠
µ ∠
/A' = CA' A' garis bagi2 A' = A' berimpit2 ∆
Fesimpulan
∆
A/' dan
µ ∠
/erarti
AC' kongruen.
µ ∠
A/C =
AC/. 4adahal
µ ∠ ≠ µ ∠ pengandaian ABC ACB.
kontradiksi. Apa yang dapat anda simpulkan
erjadi
BAB 3 PENUTUP 3.1.
!EIMPULAN
/elajar matematika dengan ara memahami bukti tidaklah mudah. 'ibutuhkan waktu untuk memahami matematika sebagai bahasa logika. 0uga, dibutuhkan wawasan matematika yang luas untuk belajar membuktikan fakta*fakta yang lebih rumit. 'i dalam bukti termuat nilai* nilai strategis yang dapat melatih kita berpikir seara logis. Feindahan matematika juga banyak terdapat pada harmonisasi penalaran*penalaran dalam bukti. 'engan memahami bukti kita dapat mengikuti alur berpikir para ahli yang pertama kali menemukannya, yang berdampak pada kekaguman terhadap para in8entor matematika dan pada akhirnya menyenangi matematika itu sendiri. /erlatih memahami bukti merupakan langkah awal yang baik untuk menjadi peneliti di bidang matematika.
DA$TAR PUTA!A
http9GGariaturns.wordpress.omG#&11G&3G&"Gpembuktian*dengan*kontrapositifG
http9GGyntiae8er*yntia.blogspot.omG#&1#G&3Gpembuktian*matematika.html
