1
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Deret nerupakan penjumlahan urutan bilangan atau variabel yang membentuk pola tertentu. Setiap bilangan atau variabel yang dijumlahkan dinamakan suku dari deret tersebut. Jadi deret mempunyai urutan suku yang berpola. B. Rumusan masalah
Adapun rumusan masalah pada pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut: 1
Bagaimana menghitung deret tak hingga?
2
Bagaimanakah membedakan deret konvergen dengan deret divergen?
C. Tujuan
Tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Menjelaskan bagaimana konsep dari deret tak hingga. 2. Mampu membedakan deret konvergen dengan divergen.
2
BAB II PEMBAHASAN 1.1
Deret Tak hingga
Deret merupakan suatu bilangan yang tersusun di dalam bentuk penjumlahan dari banyak bilangan (tak hingga). Ada deret yang mempunyai nilai terbatas dan ada juga yang mempunyai nilai tak hingga. Bilangan penyusun deret dapat berupa rumus tertentu juga ada berupa bilangan yang tidak dapat dirumuskan. Contoh : 1+
….
Dalam banyak bentuk, deret dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk perulangan (looping) yang bergantung pada suatu nilai variabel yang membesar ketika berulang.
Seperti
contoh
diatas,
dapat
dilihat
penyebut
dari
bilangan
penyusunannya membesar dengan beda satu, artinya setiap perulangan bilangan penyusunannya (penyebutnya) ditambah satu. Untuk merumuskan deret di atas dapat digunakan variabel n yang membesar dengan beda satu, digunakan sebagai penyebut bilangan penyusun deret, dan operasi penjumlahan digunakan dengan notasi
∑= atau sigma yang artinya perulangan n dimulai dari satu sampai tak
hingga. 1.2
Deret Konvergen dan Deret Divergen
Jika sebuah deret bilangan positif mempunyai jumlah yang besarnya tertentu dikatakan deret bersifat konvergen atau deret konvergen dan jika jumlah deret besarnya tak tentu (mempunyai lebih dari satu harga) atau bernilai
±∞, maka
deret bersifat divergen.Dalam terapan deret yang digunakan hanyalah deret yang bersifat konvergen .Cara menentukan sifat konvergen atau divergen sebuah deret bilangan positif . Salah satu caranya adalah dengan menentukan limit dan jumlah perbagian deret.
3
Deret konvergen/divergen dapat ditinjau dari nilai
lim = S → Deret konvergen jika S besarnya tertentu dan divergen jika S besarnya yidak tertentu ( mempunyai lebih dari satu harga ) atau bernila i
1.3
±∞.
Uji Deret Konvergen dan Divergen
Suatu deret dapat dikatakan konvergen bila telah diujji dengan beberapa jenis uji yang dapat memberikan kepastian tentang sifat konvergen. Ada beberapa jenis uji konvergensi bagi deret, diantaranya a. Uji Awal (Preliminary Test) Uji ini dilakukan pertama kali sebagai uji apakah deret bisa bersifat konvergen atau bahkan divergen. Melalui uji ini, suatu deret dapat langsung dinyatakan bersifat divergen, atau deret masih memiliki kemungkinan bersifat konvergen dari deret tersebut.
lim a 0, ada kemungkinan deret konvergen → lim a ≠ 0, deret pasti divergen → Dalil Jika
∑= akonvergen, maka → lim a = 0
Dalil ini tidak bisa dibalik, jadi jika diperoleh bahwa deret
lim a = 0 belum dapat dikatakan →
∑= a konveregen (lanjutkan ke uji yang lain)
Contoh
12 1 12 13 14 ……
=
4
lim a 0, deret belum pasti divergen tetapi memberikan → kemungkinan deret konvergen (walaupun akhirnya deret divergen). Harus dilakukan uji lain yang dapat memastikan deret konvergen. b. Uji Perbandingan dengan Deret Lain (Comparison Test) Setelah melalui uji awal dan ada kemungkinan deret konvergen, dilakukan uji perbandingan untuk memastikan deret konvegen.
∑= b yang telah diketahui bersifat konvergen digunakan untuk membandingkan (uji perbandingan) deret ∑ = a , dimana ∑= a < ∑= b, deret ∑= a konvergen ∑= a > ∑= b , digunakan uji lain untuk menentukan ∑= a Suatu deret
konvergen atau divergen.
c. Uji Integral
∫ adn ∫ f (n)dn ∫ f (x)dx ∫ f (x)dn = ∫ f (x)dx Ketentuan jika ∫ f (x)dx 1. Nilainya berhingga maka deret ∑ = a konvergen 2. Nilainya tak berhingga maka deret ∑ = a divergen →
→
↔
Untuk lebih memudahkan, batas integral bisa ditinjau batas atasnya saja d. Uji Nisbah Tinjau deret
lim ρ →
ρ
∑= a lalu cari nilai ρ kemudian lakukan
Jika :
ρ<1 ,konvergen ρ > 1 , ρ 1 ,pengujian gagal melakukan kesimpulan (dilakukan dengan tes lain)
1.4
Deret Bolak-balik (Alternating Series)
5
Deret bolak-balik adalah deret yang suku-sukunya berganti tanda. Sebagai contoh,
+ 1 1 1 (1) 1 2 3 4 ⋯ n Deret bolak-balik ∑ =(1)+a, dengan a positif, konvergen jika memenuhi dua syarat berikut: i.
Setiap suku-suku deret ini secara numerik kurang dari suku-suku sebelumnya,
lim |a| 0. →
|a+| < |a|.
ii.
1.5
Deret Pangkat
( ) () ⋯()=∑= () dimana
x
adalah
variabel dan a konstanta
Perhatikan bahwa dalam notasi deret pangkat telah sengaja memilih indeks nol untuk menyatakan suku pertama deret, c0 yang selanjutnya disebut suku ke-nol .Hal ini digunakan untuk memudahkan penulisan ,terutama ketika membahasa pernyataan suatu fungsi dalam deret pangkat . Beberapa contoh deret pangkat :
(a)
(b)
(c)
(d)
1
x
2 x
x
1
x
x
3
3!
2
4
2
2 x
x
x
x
( x 2) 2
x
5
5!
8
3
3
3
2
4
4 x
.....
( x)
.....
n
(1)
.....
1
n
x
n
.....
n
7
7!
n
.....
( x 2) 2 3
(1)
1
n
x
2 n1
(2n 1)!
.....
( x 2) n
.....
.....
n
1
6
Deret
pangkat
merupakan
suatu
bentuk
deret
tak
hingga
m
a
( x x0 ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) 2 a3 ( x x0 ) 3 ..... (1) m
m
0
Diasumsikan x,
x
0
, dan koefisien
ai
merupakan bilangan real. Jumlah parsial
untuk n suku pertama bentuk di atas adalah s
n
( x) a0
(
a1 x x0
) a 2 ( x x0 ) 2
s
a 0 1 ( x
x 0
)n
1
a n 2 ( x
x0 )
yang dapat dituliskan sebagai
......a ( x x0 )
n 2
(2)
n
n
Dan sisa deret pangkat (1) didefinisikan sebagai Rn ( x )
n
Rn
......
(3)
Untuk persamaan (1) di atas dapat diperoleh s 0 R0 s1
a0
a1 ( x
a0
x 0
a 2 ( x
s 2
a0
R2
a 3 ( x
x 0
)3
....
a1 ( x x0 )
R1
) a 2 ( x x0 ) 2
x 0
a1 ( x
a3 ( x
x0
)2
a3 ( x
x0
)3
a 4 ( x
x0
) a 2 ( x x0 ) 2
)3
a 4 ( x x0 )
4
a5 ( x
x 0
)4
...
x 0
)5
...
1.6 Teorema Taylor
Untuk fungsi f(x) yang diferensiabel dititik c, maka hanya akan terdapat 1 fungsi yang memenuhi kondisi berikut. F(x) = a0 + a1(x-c)+a2
(xc) ⋯
Contoh soal : Diketahui f(x) =
x 3x 2x1 ,
dengan c=1 , berapakah nilai dari
a0,a1,a2,a3,dst,, yang memenuhi persamaan berikut ? F(x) = a0+a1(x-c)+a2 Jawab :
(xc)+a (xc)+... 3
7
Fungsi di atas merupakan polinomial yang berderajat 3. Oleh karena itu , kita tidak perlu memperhatikan derajat yang lebih besar dari 3 , seperti
c). Artinya , nilai yang perlu dicari adalah nilai
(xc),(x
a0,a1,a2,dan a3 saja. (sisanya
bernilai nol). Soal ini dapat dikerjakan dengan penjabaran biasa(yang sesungguhnya, akan lebih efektif menggunakan formula Deret Taylor).
x 3x+2x+1 = a +a (x-1)+a (xc)+a (x1) x 3x+2x+1 =a +a (x-1)+a (x 2x1) +a (x 3x 3x1) 0
0
1
1
2
2
3
3
Setelah dikalikan dan dijumlahkan menjadi :
x 3x 2x1 (a3)x (a23a3)x (a12 3)x(a0 a1a2a3) Dengan menghubung-hubungkan koefisien ruas kiri dan kanan , kita akan menemukan jawaban : A0 = 7 , a 1=11,a2=6,dan a3=1. Bukti Deret Taylor Dari Teorema Taylor , didapat fungsi yang didefinisikan sbb: F(x)=a0+a1(x-c)+a2(x-c)2+a3(x-c)3+.....+an(x-c)n+... Bagaimana jika fungsi tersebut kita turunkan 1 kali,2 kali,dan seterusnya?Hasilnya ditunjukkan dibawah F’(x)=a1+2a2(x-c)+3a3(x-c)2+..... F’’(x)= 2a2+33.2..a3(x-c)+4.3a4(x-c)2+... F’’’(x)=3.2.a3+4.3.2.a4(x-c)+..... Fn(x)= n!(an)+(n+1)!an+1(x-c)+(n+2)!an+2(x-c)2+....(dst)
8
Kemudian, pada fungsi awal dan fungsi-fungsi turunan tersebut , jika kita bmenetapkan x=c, maka : F(c)=a0 F’(c)=a1 f ’’(c)=2!.a2 f ’’’(c)=n!.an dengan memasukkan harga a0, a1, a2, a3, dst, maka Deret Taylor pun terbukti f(x)=f(c)+
() (x c) () (xc) () (xc) ⋯dst ! ! !
1.7 Latihan Soal
1. Tentukan deret berikut menggunakan uji awal
∑= (+ )
Penyelesaian
lim (+) = → lim (+ + ) = 1 (divergen) → 2. Selidiki konvergensi deret
∑−
Penyelesaian Suku-suku dari deret ini lebih kecil dari suku-suku deret harmonis Tetapi tidak dapat kita ambil kesimpulan Tetapi
∫ () lim loglog x| ∞ ∫ →
Deret tersebut divergen
3. Selidiki konvergensi dari deret Penyelesaian
u > untuk n≥ 3
∑−
9
Diketahui deret
∑ divergen, maka deret tersebut diatas divergen.
4. Selidiki konvergensi dari deret
∑− !
Penyelesaian
lim . ! = lim 0 lim → → ( +)! → + 5. Selidiki konvergensi dari deret
∑− !
Penyelesaian
= lim (+) . ! = lim + . + lim → → (+)! → + = lim 1 e>11. → 6. Selidiki konvergensi deret
∑= ..………..(+)
Penyelesaian
lim lim → → ..………..(+)(+) Deret Konvrgen. = lim → + 7.
+ Selidiki konvergensi deret ∑→ Penyelesaian
u + + Masing-masing deret ∑ dan ∑ konvegen. Maka jumlah dari dua deret konvergen pula.
8. Selidiki konvergensi dari deret
∑= 1
Penyelesaian Dapat dipahami bahwa ln n < n dan Maka :
−
≤
≤ = . Deret ∑ konvergen. −
10
Ternyata deret
∑= konvergen.
9. Selidiki konvergensi dari deret
∑= +
Penyelesaian
x dx x dx x 1 → lim x 1 d(x 1) 1 2 → lim x 1 → lim ln (x 1) = lim {ln(M 1) ln2 } → =
∞
Deret divergen
10. Selidiki konvergensi dari deret
∑=(1)− +
Penyelesaian
|u| + dan |u 1| (++)+ Jelas un + 1 < u n untuk n ≥ 1 Sedangkan
lim u = lim +⁄ = 0 → →
Deret alternative konvergen, tetapi deret dengan suku – suku positif
∑ + 11. Selidikilah konvergensi deret berikut e
x
x
m
m! m0
1 x
x
2
2!
.....
Penyelesaian : Menurut tes rasio ,konvergensi menyatakan bahwa
11
1 R
x x 0
1
1
x
R
Karena harga R= ,maka deret di atas konvergen untuk semua x ,dan dari tes rasio diperoleh
x
Menurut tes rasio ,konvergensi menyatakan bahwa
1 R
x x 0
1
R
x
3
1
Dengan demikian deret ini konvergen untuk memenuhi
x
2
12. Gunakan ratio test
2 2n1 (+) (+) 2 2 2 u 2n1 ; u+ 2(n 1) 1 2n1 (+) 2 u+ lim 2n1 lim → u → 2 2n1 (+) 2n1 2 → lim 2n1 2 .2 2n1 2 → lim 2n1 2 → lim 4n2 2n1 4n 2 → lim 2nn n1 n n 4∞ 2 ∞ ∞1 2∞ ∞ ∞ 42 2 divergen
t x
3
8
yang
12
13. Ekspansikan fungsi
f (x) cosx disekitar x π!
Penyelesaian
f (x) sinx f (π)1 f (x) cosx f ′(π) 0 f (x) sinx f π1 f (IV)(x) cosx f (IV)(x) π 0 f (V)(x) sinx f (V) π1 f (VI)(x) cosx f (VI) π 0 ) (−)! (− π cosxx ! ! ⋯
14. Ekspansikan
fungsi
1) di sekitar 0
f (x) sinx,f (x) cosx,f (x):f (x) ln(x
Penyelesaian :
x x x sinxx 3! 5! 7! .. cosx1 ! ! . e 1 x ! Ln(1 x) x ⋯ +…
15. Ekspansikan ke dalam deret taylor dan max laurins :
f (x) e−
dengan b = 0 dan n = 4 penyelesaian :
f (x) e− f (b) e−. e−. e− 1 f I(x) e− . 2 2e− f I(b) 2e−. 2e− 2 f II(x) 2e−.24e− f II(b) 4e− 4e− 4
13
f III(x) 4e−.28e− f III(b) 8e− 8e− 8 f IV(x) 8e−.216e− f IV(b) 16e− 16e− 16 16. Ekspansikan ke dalam deret taylor dan mac laurins.
f (x) (1x)/
Penyelesian :
f (x) (1x)/ dengan b = 0 dan n = 3 f (x) (1x)/ f (b) (1b)/ (10)/ √ 1 1 f I(x) (1x)−/ f I(b) (1b)−/ (10)−/ / √ f II(x) (1x)−/ f II(b) (1b)−/ (1 0)−/ −/ √ f III(x) (1 x)−/ f III(b) (1 b)−/ (1 0)−/ / √ Deret taylor :
I II III f f f f (x) f (b) 1! (xb) 2! (xb) 3! (xb) …… 1/4 (x0) 3/8 (x0) …… 1 1/2 (x0) 1! 2! 3! 1 12 x 14 x 38 x …….. 17. Ekspansikan kedalam deret taylor dan mac laurins a.
F(x) e
b 0 n 5
14
f(x)e f (b) e 1 f (x) e.1 f′(b) e 1 f (x) e .1 f′′(b) e 1 f (x) e .1 f′′′(b) e 1 f (x) e.1 f (b) e 1 f (x) e .1 f (b) e 1 Deret taylor
( b) (b) (b) f f f F(x)f (b) 1! (x b) 2! (x b) 3! (x b) (b) f 4! (x b) ( b) f 5! (x b) 1 1!1 (x0) 2!1 (x0) 3!1 (x0) 4!1 (x0) 5!1 (x0) 1 1!1 x 2!1 x 3!1 x 4!1 x 5!1 x Deret mac laurin
b.
(b) f (b) f (b) f (b) f F(x) f (b) 1! x 2! x 3! x 4! x ( b) f 5! x 1 1!1 x 2!1 x 3!1 x 4!1 x 5!1 x 1 1!1 x 2!1 x 3!1 x 4!1 x 5!1 x b0 n5 F(x) (+) f (x) (x1) − f (b) (01)− 1 f (x) 1(x1) − f () 1(0 1)− 1 f (x) 2(x1) − f′′(b) 2(01)− 2 f (x) 6(x1) − f () 6(0 1)− 6 f (x) 24(x1) − f (b) 24(01)− 24
15
Deret taylor
( b) (b) (b) f f f F(x) f (b) 1! (x b) 2! (x b) 3! (x b) (b) f 4! (x b) 2 (x0) (6) (x0) 1 (1) (x0) 1! 2! 3! 244! (x0) 1 x x x x Deret mac laurin
(b) f (b) f (b) f (b) f (b) f F(x) f (b) 1! x 2! x 3! x 4! x 5! x 2 x (6) x 24 x 1 (1) x 1! 2! 3! 4! 1 x x x x 18. Tentukan konvergen atau divergen dengan menggunakan integral test a. f (n) = sin n penyelesaian : F (n) = sin n
~
f (x) dx lim → sinx dx → lim cosx 1u → lim (cosu cos 1) cos~cos1 ~ 0,99 ~ b. f (n) =
+
misal : t = x+1
1
16
dxdt ~
50 dt f (x) dx lim → t → lim 50 ∫ dt → lim 50 (lnt) [1u → lim 50 .ln(x 1) [u1 50 (ln(~ 1) ln(1 1)) 50 (0 0,693) 34,65 karena 34,65<1 maka disebut konvergen
17
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan
1. Deret merupakan suatu bilangan yang tersusun di dalam bentuk penjumlahan
dari banyak bilangan (tak hingga). 2. Jika sebuah deret bilangan positif mempunyai jumlah yang besarnya tertentu
dikatakan deret bersifat konvergen atau deret konvergen dan jika jumlah deret besarnya tak tentu (mempunyai lebih dari satu harga) atau bernilai maka deret bersifat divergen. 3. Uji konveregen dapat dilakukan dengan cara :
a.Uji Awal (Preliminary Test) b. Uji perbandingan c.Uji integral d. Uji nisbah
±∞,
18
DAFTAR PUSTAKA
M.L., B. (1985). Mathematical Methods in The physical Sciences. New York: John Wiley. Mudjiarto, R. (2004). Matematika Fisika I. Bandung: JICA.
