Claire BRANS Nicole COUSSAERT Arlette DAMBREMEZ Eveline FOREST Liliane GUSMAN avec la participation dÕAndrŽ BELLEMANS
Les lois de Kirchhoff U. L. B. - Atelier de physique coordonnŽ par G. GUSMAN 1996-1997
Les Cahiers du CeDoP
PrŽface
CÕest la troisime fois que les membres de cet atelier de physique se sont retrouvŽs pour travailler ensemble. Le thme retenu, les lois de Kirchhoff, nous semblait tre un point jugŽ difficile par les Žtudiants, et depuis longtemps nous nous Žtions promis dÕy rŽflŽchir. Ce sujet, ˆ la charnire des enseignements secondaire et supŽrieur, nous a semblŽ dÕautant plus dÕactualitŽ que certains professeurs de lÕenseignement secondaire nÕont, par manque de temps, pas lÕoccasion dÕapprofondir ce sujet ou mme dÕen parler ˆ leurs Žlves. Au dŽpart, nous avons eu la chance de profiter de lÕexpŽrience de A.ÊBellemans, A.ÊBellem ans, professeur professeu r honoraire ˆ lÕU.L.B., qui, ˆ notre demande, a eu la gentillesse de faire, devant un public dÕenseignants, un exposŽ dÕune grande rigueur scientifique sur ces lois et leur utilisation. LÕeffort principal des membres de lÕatelier a portŽ sur une prŽsentation adaptŽe aux Žlves des classes terminales de lÕenseignement secondaire et ˆ ceux qui aborderont lÕenseignement supŽrieur. Nous espŽrons que ces jeunes Žtudiants et leurs professeurs trouveront dans ce texte une aide accrue par les nombreux exercices qui y sont prŽsentŽs. Dans un but pŽdagogique, deux transparents compltent ce fascicule et peuvent tre acquis sŽparŽment. Gr‰ce ˆ lÕutilisation de la couleur, ils mettent bien en Žvidence les diffŽrentes Žquipotentielles ainsi que les courants dans des circuits ˆ 1 et 3 mailles. Le professeur pourra projeter ces transparents au cours et les commenter. Au nom des membres mem bres de lÕatelier, je remercie aussi le Professeur A.ÊBellemans pour sa lecture attentive et critique de ce texte. CÕest une fois de plus avec plaisir que jÕai retrouvŽ les membres de lÕatelier, professeurs de physique dans lÕenseignement secondaire, qui ont mis leur expŽrience et leurs compŽtences au service des Žtudiants.
Guy GUSMAN
Table des mati•res 1. Introd Introduct uction ion .............................................. ..................................................................... .........................................2 ..................2 2. Lois Lois de Kirchh Kirchhoff off ........................................... .................................................................. .....................................2 ..............2 3. PrŽala PrŽalable bless ............................................. ..................................................................... .............................................3 .....................3 3.1. Les courants courants Žlectriques Žlectriques ................ ........ ................ ................ ................. ................. ............. ..... 3 3.2. Les potent potentiel ielss ............................................. .................................................................... ......................... .. 3 4. Topologie de quelques circuits simples................................................4 5. Liens Liens entre diffŽrence diffŽrence de potent potentiel iel et courant courant ............... ....... ................. ................. ............. ..... 6 6. RŽsolution RŽsolution dÕun circuit circuit et mŽthode mŽthode de travail travail suggŽrŽe suggŽrŽe ................ ........ ............... ....... 8 7. Circui Circuits ts rŽsist rŽsistifs.................................... ifs............................................................ .............................................9 .....................9 Exemple Exemple 1 Circuit Circuit ˆ deux ŽlŽments ŽlŽments ................ ........ ................ ............... ....... 9 Exemple Exemple 2 RŽsistances RŽsistances en sŽrie....... sŽrie............... ................. ................. ........... ... 10 Exemple Exemple 3 RŽsistances RŽsistances en parallle parallle ................. ........ ................. ........... ... 11 Exempl Exemple e 4 ............................................. .................................................................... ....................... 12 Exempl Exemple e 5 ............................................. .................................................................... ....................... 14 Exempl Exemple e 6 ............................................. .................................................................... ....................... 15 Exempl Exemple e 7 ............................................. .................................................................... ....................... 16 8. Conden Condensat sateur eurss .............................................. ..................................................................... ................................... ............ 17 Exemple Exemple 8 Charge dÕun condensateur condensateur ................ ........ ................ .......... 17 9. Justificati Justification on et limitatio limitation n des lois de Kirchho Kirchhoff. ff......... ................. ................. ............... ....... 20 10. ThŽorm ThŽormes es de ThŽvenin ThŽvenin et et de Norton...... Norton.............. ................ ................. ................. ............... ....... 25 Exemple Exemple 9 Circuit Circuit Žquivalent Žquivalent de ThŽvenin......... ThŽvenin......... ......... ........ . 25 Exercices Exercices complŽm complŽmentair entaires es non rŽsolus rŽsolus ............ ....... ..... 27
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1. Introduction Gustav Kirchhoff (1824-1887) a ŽnoncŽ deux lois simples qui sont ˆ la base de lÕŽtude des courants et des diffŽrences de potentiel. SÕappuyant sur les principes de conservation de la charge et de lÕŽnergie, elles simplifient lÕŽtude des circuits Žlectriques. Dans cette brochure, nous nous intŽressons uniquement aux courants continus dans les circuits contenant tout dÕabord des piles ou des accumulateurs et des rŽsistances. Ensuite, nous Žtudierons des courants directs, variables dans le temps (impulsionnels), dans des circuits que lÕon ferme ou que lÕon ouvre et qui contiennent Žgalement des condensateurs. Le courant alternatif ne sera pas ŽtudiŽ dans cette brochure.
2. Lois de Kirchhoff Les deux lois de Kirchhoff relatives aux circuits sÕŽnoncent gŽnŽralement de la manire suivanteÊ: 1 re loi :
La somme des courants arrivant en un nÏud du circuit est Žgale ˆ la somme des courants quittant ce nÏud.
ou encore, si on attribue un signe + aux courants arrivant en un nÏud et un signe aux courants quittant ce nÏud : En un nÏud, la somme algŽbrique des courants est nulle.
2 e loi :
La somme des diffŽrences de potentiel Žlectrique rencontrŽes successivement sur un contour fermŽ du circuit est nulle.
Ces ŽnoncŽs se rŽfrent ˆ la topologie du circuit, rŽsumŽe par un schŽma constituŽ de branches, comportant deux extrŽmitŽs, et de nÏuds , o se joignent deux branches au moins. Un contour fermŽ est appelŽ une maille.
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3. PrŽalables 3.1. Les courants Žlectriques Un courant Žlectrique est considŽrŽ par convention comme constituŽ de charges positives qui, ds lors, se dŽplacent dans le sens du champ Žlectrique, cÕest-
ˆ-dire dans le sens dŽcroissant du potentiel Žlectrique. Des lettres, affectŽes Žventuellement dÕindices, telles que I, I 1, I2 É seront employŽes pour les courants Žlectriques et doivent tre indiquŽes sur les schŽmas pour chaque branche. De plus, le sens de chaque courant, indiquŽ par une flche, est en gŽnŽral choisi de fa•on arbitraire, sauf dans les cas simples o le sens du courant est immŽdiatement prŽvisible. Si, dans la branche considŽrŽe, le courant circule dans le sens indiquŽ par la flche (on ne le saura qu'une fois le problme numŽrique rŽsolu), la valeur trouvŽe sera positiveÊ; dans le cas contraire, elle sera nŽgative (et le flŽchage pourra, le cas ŽchŽant, tre inversŽ). Par la suite, nous utiliserons le terme de ÔnÏudÕ pour un point du circuit o le courant peut se diviser ou bien o des courants peuvent se rejoindre. En topologie, cela revient ˆ ne prendre en considŽration que les nÏuds d'ordre Žgal ou supŽrieur ˆ 3, o se rencontrent au moins trois branches, et qui nous donnent des informations intŽressantes sur le circuit ŽtudiŽ. Au contraire, en un nÏud d'ordre 2 o deux branches seulement se rencontrent, nous nÕaurons pas dÕŽlŽment neuf ˆ exploiter puisquÕil y a toujours un courant entrant et un courant sortant qui, en vertu de la 1 re loi de Kirchhoff, sont Žgaux.
3.2. Les potentiels Les potentiels Žlectriques aux points A, BÉ doivent tre indiquŽs par V A , V BÉ et leur diffŽrence par
D V AB º V B - V A ou par U AB º V B - V A . Rappelons que, par
convention de dessin, un fil de connexion est une Žquipotentielle. I U A
B
AB
=0
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4. Topologie de quelques circuits simples Les premiers circuits analysŽs sont composŽs de conducteurs ohmiques de rŽsistance R constante et de piles ou dÕaccumulateurs, de t.Ž.m. E et dont la rŽsistance interne r est nŽgligeable par rapport aux autres rŽsistances du circuit (on parle alors dÕune Ôpile idŽaleÕ). Remarque : Par la suite, pour allŽger le texte, les conducteurs ohmiques ou rŽsistors seront appelŽs simplement rŽsistances. Ci-dessous, deux schŽmas des mmes circuits sont rŽalisŽs c™te ˆ c™te pour visualiser les diffŽrents courants (dessin de gauche) et potentiels (dessin de droite).
4.1. Circuits o les ŽlŽments sont montŽs en sŽrie (0 nÏud -->1 maille -->1 courant) ¥ Circuit composŽ dÕune pile et dÕune rŽsistance montŽes en sŽrie (0 nÏud) I
e
e
A
B R
R
1 maille --> 1 courant
2 composants --> 2 potentiels diffŽrents
¥ Circuit composŽ dÕune pile et deux rŽsistances montŽes en sŽrie (0 nÏud)
I
e
e
A R
1
R
2
1 maille --> 1 courant
B R
1
C
R
2
3 composants --> 3 potentiels diffŽrents
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4
4.2. Circuit comportant des ŽlŽments montŽs en parall•le (existence de nÏuds --> plusieurs mailles --> plusieurs courants) ¥ Circuit composŽ dÕune pile et deux rŽsistances montŽes en parall•le (2 nÏuds)
I
I
e
R
1
e
I1
R
1
A R
2
B R
I2
I1
2
I2
3 mailles
3 branches --> 3 courants
2 potentiels diffŽrents 3 mailles
Ces quelques exemples dŽveloppŽs en dŽtail vous auront sans doute fait comprendre comment on peut analyser la topologie dÕun circuit.
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5. Liens entre diffŽrence de potentiel et courant Les Žquations dŽterminant ce qui se passe dans le circuit peuvent tre obtenues par application des lois de Kirchhoff, mais il faut dŽfinir prŽalablement les variables (courants et charges) associŽes aux ŽlŽments constitutifs du circuit : c'est lˆ une Žtape essentielle sur laquelle il convient dÕinsister. Indiquons tout dÕabord pour les deux ŽlŽments de circuit utilisŽs momentanŽment, comment la diffŽrence de potentiel entre les extrŽmitŽs dÕune branche, occupŽe par un de ces ŽlŽments, est liŽe ˆ la variable courant qui lui est associŽe : Conducteur ohmique de rŽsistance R :
I
R
B
A
U AB º V B - V A = - R I V B < V A , le potentiel diminue lorsquÕon va de A vers B dans le sens du courant. Accumulateur de paramtres E (t.Ž.m.) et r (rŽsistance interne).
Quand un mme ŽlŽment de circuit possde plusieurs paramtres, ici E et r, un dessin ÔdissociŽÕ aide ˆ ne pas oublier un des termes de la diffŽrence de potentiel ˆ ses bornes.
I A
I
E
r
B
U AB º V B - V A = E - r I
E
r
A
B
U AB º V B - V A = E + r I
Cet ŽlŽment souvent ÔrŽversibleÕ (accumulateur qui se charge ou se dŽcharge, dynamo - moteur) peut alors tre : - gŽnŽrateur (dessin de gauche) : le courant sort de sa borne +
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- rŽcepteur (dessin de droite) : le courant sort de sa borne La diffŽrence de potentiel U aux bornes des ŽlŽments considŽrŽs jusquÕici est liŽe au courant qui les traverse par des fonctions linŽaires (polyn™mes du premier degrŽ). UltŽrieurement, dÕautres ŽlŽments de circuits pourront tre ajoutŽs (pile solaire, condensateur, bobine, diodeÉ), pour lesquels il faudra bien sžr prŽciser comment la diffŽrence de potentiel ˆ leurs bornes est liŽe au courant. Certaines nouvelles fonctions feront intervenir des dŽrivŽes et des intŽgrales. A titre dÕexemple, nous traiterons de circuits contenant des condensateurs dans le ¤Ê7. DÕautre part, si la caractŽristique U(I) dÕun ŽlŽment de circuit nÕest pas linŽaire, il arrivera frŽquemment que le lien entre U et I soit prŽsentŽ sous forme dÕun graphe et non sous forme dÕune fonction mathŽmatique.
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6. RŽsolution dÕun circuit et mŽthode de travail suggŽrŽe Les problmes posŽs comporteront un certain nombre de donnŽes et dÕinconnues. Conna”tre un circuit, cÕest disposer de tous les paramtres des ŽlŽments du circuit et des intensitŽs des courants qui les traversent. Nous suggŽrons la mŽthode de travail dŽcrite ci-aprs pour y parvenir : 1. Si ce nÕest pas dŽjˆ fait, tracer le schŽma du circuit en y reprŽsentant tous les ŽlŽments prŽsents et les fils qui les relient. 2. Sur ce schŽma : ¥ Attribuer une lettre ˆ chaque nÏud et en ajouter de fa•on quÕil y en ait une sur chacune des Žquipotentielles, puis compter le nombre d e nÏuds N du circuit. ¥ Compter le nombre de branches B, puis indiquer les courants qui passent dans chacune dÕelles (I1, I2É , IB) sans oublier de leur donner arbitrairement un sens. 3. Appliquer la premire loi de Kirchhoff aux nÏuds, en notant que, en fait, on nÕobtient jamais que N - 1 Žquations indŽpendantes. 4. Appliquer la deuxime loi de Kirchhoff ˆ autant de mailles quÕil faut pour obtenir un nombre dÕŽquations indŽpendantes Žgal au nombre d'inconnues B, compte tenu des N - 1 Žquations indŽpendantes tirŽes de la premire loi. Il faut donc tirer B - (N - 1) Žquations de la deuxime loi, ce qui revient ˆ considŽrer BÊ- N + 1 mailles. Elles doivent tre choisies de fa•on ˆ obtenir des Žquations indŽpendantes ; en pratique, cela signifie que tous les courants doivent intervenir dans ces Žquations au moins une fois. 5. RŽsoudre le systme dÕŽquations et en tirer les rŽponses demandŽes. 6. Ne pas oublier de vŽrifier si les rŽsultats obtenus sont plausibles : par exemple, la somme des diffŽrences de potentiel au long dÕune maille doit tre nulle, de mme que la somme des courants doit sÕannuler en chaque nÏud.
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7. Circuits rŽsistifs Exemple 1 Circuit ˆ deux ŽlŽments Ce premier circuit contenant une pile ( E, r) et une rŽsistance R est sans doute le plus simple que lÕon puisse trouver. NŽanmoins, son Žtude montre lÕimportance de la rŽsistance interne de la pile, qui peut tre nŽgligeable ou non par rapport aux autres rŽsistances du circuit.
I
e
I
e, r
r
B A
A R
B R
Appliquons la loi des mailles en partant du point A et en se dŽpla•ant dans le sens trigonomŽtrique par exemple, on obtient : -RI-rI+E =0 d'o
I=
E rÊ+ÊR
Cette relation montre que le courant qui circule dans ce circuit simple dŽpend de la rŽsistance interne r de la pile comme de la rŽsistance extŽrieure R. Si la rŽsistance extŽrieure est beaucoup plus grande que la rŽsistance interne de la pile (R >> r), on peut nŽgliger r. CÕest ce que nous faisons souvent dans lÕanalyse de circuits. Une pile ÔidŽaleÕ a une rŽsistance interne nŽgligeable par rapport aux autres rŽsistances du circuit, voire nulle (r = 0). Dans cette situation, la diffŽrence de potentiel aux bornes de cette pile demeure constante, Žgale ˆ sa t.Ž.m. E, quels que soient le circuit extŽrieur et le courant fourni par la pile. En effet : U AB º V B - V A = E - r I = E - 0. I = E Remarqu e : On utilise souvent un gŽnŽrateur de tension constante qui fournit une
tension constante quelles que soient les rŽsistances extŽrieures.
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Exemple 2 RŽsistances en sŽrie Circuit contenant une pile de paramtres E et r, ainsi que deux conducteurs ohmiques de rŽsistances R1 et R2 montŽs en sŽrie :
I
e,
r
A
I
e
r
B A R
1
C
R
B R
C
1
2
R
2
En appliquant la loi des mailles en partant du point A et en se dŽpla•ant dans le sens trigonomŽtrique, on obtient: - R1I - R2I + E - rI = 0 d'o
I=
E rÊ+ÊR1 +ÊR2
En comparant le courant dans ce circuit ˆ celui que nous aurions obtenu en associant ˆ la pile une seule rŽsistance R, nous constatons qu'il est Žquivalent de mettre deux rŽsistances R 1 et R2 montŽes en sŽrie ou une seule rŽsistance R de valeur R 1 + R2. GŽnŽralisons ce rŽsultat et Žcrivons-le dÕune manire brve quel que soit le nombre n de rŽsistances associŽes en sŽrie : n
R sŽrie =
åÊÊRi iÊ=Ê1
Si nous rencontrons ultŽrieurement des groupements de rŽsistances en sŽrie, nous pourrons Žventuellement gagner du temps en rŽduisant ce groupement ˆ une seule rŽsistance avant dÕappliquer les lois de Kirchhoff, pour autant que le potentiel V C ne nous intŽresse pas.
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Exemple 3 RŽsistances en parall•le Circuit contenant une pile ( E, r) et deux conducteurs ohmiques de rŽsistances R 1 et R2 montŽs en parallle :
I
e,
I
r
e
r
I1 A
R
1
R
2
I1
B
A
R
1
R
I2
B I2
2
Appliquons dÕabord la loi des nÏuds au nÏud B :
I1 + I2 = I
puis la loi des mailles : on obtient en partant du point A et en se dŽpla•ant dans le sens trigonomŽtrique pour chacune des mailles contenant 1. la pile et le conducteur de rŽsistance R 1 :
- R1 I1- r I + E = 0
2. les deux conducteurs de rŽsistances R 1 et R2 :
- R2 I 2 + R 1 I 1 = 0
De ces trois Žquations, on tire :
I=
E rÊ+Ê(
1 1 -1 Ê+Ê ) R1 R2
En comparant le courant dans ce circuit ˆ celui que nous aurions obtenu en associant ˆ la pile une seule rŽsistance R, nous constatons qu'il est Žquivalent de mettre deux rŽsistances R 1 et R2 montŽes en parallle ou un seul conducteur 1 1 1 ohmique dont la rŽsistance R se calcule ˆ partir de = + . R R1 R2 GŽnŽralisons ce rŽsultat et Žcrivons-le dÕune manire brve quel que soit le nombre n de rŽsistances associŽes en parallle : Ê1 RÊparallle
n
=
åÊ1Ê/ÊRi iÊ=Ê1
Si nous rencontrons ultŽrieurement des groupements de rŽsistances en parallle, nous pourrons Žventuellement gagner du temps en rŽduisant ce groupement ˆ une seule rŽsistance avant dÕappliquer les lois de Kirchhoff, notamment si les courants ou les puissances dissipŽes dans R 1 et R 2 ne nous intŽressent pas.
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Exemple 4 E=6V 2
Cherchons la valeur des courants I1, I 2 et I 3 dans le circuit
I
ci-contre qui comporte 2 nÏuds, 3
C 1
E
2
mailles et 3 branches.
1
W
= 12 V
8
W
I
2
A
B
D Pas question ici de ÔsimplifierÕ
I
ce circuit en associant des
3
rŽsistances !
Trois Žquations indŽpendantes permettent de trouver les 3 courants inconnus. ¥ Au nÏud A, la premire loi sÕŽcrit :
+ I 1 - I2 - I3 = 0
(1)
(Au nÏud B, lÕŽquation - I1 + I2 + I3 = 0 nÕapporte rien de neuf, on a la mme Žquation aux signes prs quÕau nÏud A). ¥ Appliquons la deuxime loi ˆ deux des mailles seulement (B - N + 1 = 3 - 2 + 1 = 2) que lÕon choisit de parcourir dans le sens de rotation des aiguilles dÕune montre : maille ACBA :
U AC + UCB + UBA = 0 + 2 I1 + 6 + 0 = 0
maille ADBA :
(2)
U AD + U DB + U BA = 0 - 12 - 8 I2 + 0 = 0
(3)
LÕŽquation obtenue pour la troisime maille ACBDA nÕest pas indŽpendante des prŽcŽdentes, elle est la somme des Žquations (2) et (3). La rŽsolution du systme dÕŽquations (1), (2) et (3) est trs simple. En effet, (2) --> le courant I 1
I1 = - 3 A
(3) --> le courant I 2
I2 = - 1,5 A
(1) et les valeurs des deux courants --> le courant I 3 :
I3 = - 1,5 A
Les sens des courants avaient ŽtŽ choisis arbitrairement. Pour ces donnŽes numŽriques, on constate que les valeurs trouvŽes pour I 1, I 2 et I 3 sont < 0 ; les sens des trois courants doivent donc tre inversŽs.
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En dernier lieu, vŽrifions si nos rŽsultats sont plausibles. Plusieurs possibilitŽs nous sont offertes : 1. On peut vŽrifier par exemple que la somme des diffŽrences de potentiel est bien nulle pour la maille ACBDA non utilisŽe : U AC + UCB + UBD + UDA = 2 (-3) +6 + 8 (- 1,5) + 12 = 0. 2. On peut aussi choisir un point du circuit comme origine des potentiels et calculer le potentiel dÕun autre point. La valeur de ce potentiel ne doit Žvidemment pas dŽpendre du parcours effectuŽ. Dans notre exemple, prenons comme origine des potentiels le point A (V A = 0) et dŽterminons le potentiel de B en employant diffŽrents trajets : - La branche infŽrieure est une Žquipotentielle, les potentiels de A et de B sont Žgaux et donc V B = 0. - Dans la branche centrale, en allant de A vers B, on constate tout dÕabord que le potentiel sÕabaisse de 12 V, le potentiel V D est donc Žgal ˆ - 12 V, puis le potentiel augmente de 8.1,5 = 12 V lorsquÕon passe de D en B. A nouveau, V B = V A = 0. - Un calcul semblable dans la branche supŽrieure montre que le potentiel sÕest abaissŽ de 2.3 = 6 V en allant de A vers C, V C = - 6 V, puis a augmentŽ de 6 V entre C et B. Cette fois encore, on retrouve bien que V A = V B = 0.
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Exemple 5 Appliquons les lois de Kirchhoff au circuit suivant afin de dŽterminer les valeurs et les sens corrects des courants I 1 , I2 et I3. PrŽcisons ensuite la fonction des trois accumulateurs et, enfin, calculons le potentiel du point B si l'on relie le point A ˆ la masse (V A = 0). e
1
e
= 16 V, r 1 = 1 ½
2
9½
= 4 V, r 2 = 0 ½
I2
I1
8½
B e
3
= 10 V, r = 1 ½ 3
1½
A
I3
Pas plus que dans lÕexemple 3, on ne peut ÔsimplifierÕ ce circuit en associant des rŽsistances ! Ici encore, ce circuit de 3 mailles prŽsente 2 nÏuds et 3 branches, 3ÊŽquations seulement sont indŽpendantes et permettent de trouver les 3 courants inconnus. ¥ÊComme il y a deux nÏuds, nous nÕappliquerons la premire loi quÕune foisÊ; choisissons par exemple de le faire au nÏud BÊ: I1 + I 2 + I 3 = 0
(1)
¥ Appliquons ensuite la loi des mailles ˆ deux dÕentre elles (B - N + 1 = 3 - 2 + 1 = 2), en les choisissant bien pour que les trois courants y soient citŽs au moins une foisÊ: petite maille du haut : petite maille du bas :
- 16 + 10 I 1 - 8 I2 + 4 = 0
(2)
- 4 + 8 I 2 - 2 I3 - 10 = 0
(3)
LorsquÕun problme nŽcessite la rŽsolution dÕun grand nombre dÕŽquations, on emploie lÕordinateur, mais dans cet exercice la rŽsolution du systme dÕŽquations (1), (2) et (3) est assez rapide si lÕon utilise les techniques mathŽmatiques courantes, substitutions ou dŽterminants, par exemple. (2) -->
5 I1 - 4 I2 = 6
I1 = 0,8 I2 + 1,2
(3) -->
8 I2 - 2 I3 = 14 I3 = 4 I2 - 7
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En rempla•ant dans (1), I1 et I3 par les valeurs que lÕon vient dÕobtenir 0,8 I2 + 1,2 + I2 + 4 I2 - 7 = 0 soit
5,8 I 2 = 5,8
et finalement
I1 = 2 A, I2 = 1 A et I 3 = - 3 A
Les sens des courants avaient ŽtŽ choisis arbitrairementÊ; on constate que seul le sens du courant I 3 doit tre modifiŽ. Les trois accumulateurs sont des gŽnŽrateurs (le courant sort par leur borne +). A titre de vŽrification, contr™lons par exemple que la somme des courants au nÏud A est bien nulle :
I1 + I 2 + I3 = 2 A + 1 A - 3 A = 0
et que, dÕautre part, la diffŽrence de potentiel U AB par les trois chemins possibles a la mme valeur : U AB º V B - V A = 16 - 10 I 1 = 4 - 8 I2 = - 10 + 2 I3 = V B - 0 = 16 - 10. 2 = 4 - 8. 1 = - 10 + 2. (- 3) = - 4 V On peut en dŽduire la valeur du potentiel en B, soit V B = - 4 V. *
Exemple 6
6½
A
4½
I2
I3
I5 I4
e2 = 6 V
e1 = 12 V D
3½
3½
2½
I1
B
E
C
Ce circuit a une topographie un peu plus complexe que les prŽcŽdents, il comporte 6Êmailles, 3 nÏuds et 5 branches. Il nous faudra cinq Žquations indŽpendantes pour trouver les 5 courants. ¥ Appliquons la premire loi ˆ deux des nÏuds (N - 1 = 3 - 1 = 2), par exemple au nÏud A : puis au nÏud B :
- I1 + I2 - I3 = 0
(1)
I3 + I 4 - I5 = 0
(2)
¥ puis la deuxime loi ˆ trois des mailles (B - N + 1 = 5 - 3 + 1 = 3), de fa•on que chacun des courants y soit citŽ au moins une foisÊ; on choisit de les parcourir dans le sens de rotation des aiguilles dÕune montre : maille ACD A :
+ 2 I2 - 12 + 6 I1 = 0
(3)
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maille ABCA :
- 4 I 3 + 3 I4 - 2 I 2 = 0
(4)
maille BECB :
- 3 I 5 + 6 - 3 I4 = 0
(5)
Aprs calcul, on trouve I 3 = 0 ; dans cet exemple, cette valeur ne semble pas prŽvisible alors quÕun courant nul est parfois la consŽquence dÕune symŽtrie du circuit, comme nous le mettrons en Žvidence d ans lÕ exemple 7 . Le circuit ŽtudiŽ se ramne ici ˆ la situation trs simple schŽmatisŽe ci-dessous :
B
A
I5
I2
6½
I4
I1
e2 = 6 V
e1 = 12 V D
3½
3½
2½
E
C
o lÕon trouve que I 1 = I 2 = 12 / 8 = 1,5 A et I 4 = I5 = 6 / 6 = 1 A. *
Exemple 7
Ce circuit comporte cinq rŽsistances identiques. A cause de la symŽtrie, au nÏud A, le courant I se partage en deux
B I
courants Žgaux chacun ˆ I/2 et dÕautre part, les deux courants arrivant de B et
D
A
de C en D valent aussi chacun I/2. On voit aisŽment, en appliquant la loi C
des nÏuds au nÏud B, que la rŽsistance
placŽe entre B et C ne peut tre traversŽe par aucun courant et que, pour rŽsoudre le circuit, on peut la retirer. Rappelons que les rŽsistances achetŽes dans le commerce sont fournies avec une certaine tolŽrance et que la discussion menŽe ci-dessus offre donc plus un intŽrt thŽorique que pratique.
*
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8. Condensateurs PrŽcisons comment la diffŽrence de potentiel aux bornes dÕun condensateur est liŽe ˆ sa charge. Comme prŽcŽdemment, il sera important de tenir compte des sens des courants et, ici, des signes des charges des deux armatures du condensateur qui auront ŽtŽ choisis arbitrairement. U AB º V B - V A = - Q / C Dans la rŽsolution dÕun circuit avec condensateur, ceci ajoute une inconnue Q, mais il y a une Žquation supplŽmentaire traduisant le lien entre Q et I :
C
C
I
A avec
I
+Q
-Q
I
I
A
B
I = + dQ / dt
+Q
ou
-Q
B
I = - dQ / dt
le signe + indique que le condensateur
le signe - indique que le condensateur se
se charge (dQ / dt > 0)
dŽcharge (dQ / dt < 0) *
Exemple 8 Charge dÕun condensateur
Le circuit contient, outre le condensateur initialement non chargŽ, une pile de t.Ž.m. E
A
e
-Q
et de rŽsistance interne r nŽgligeable, un conducteur ohmique de rŽsistance R et un
I
+Q
interrupteur ouvert ˆ lÕinstant initial.
B
C D
R
On ferme lÕinterrupteur et on veut prŽvoir comment Q et I vont varier en fonction du temps. On assignera arbitrairement un sens au courant et des signes + et - ˆ chacune des armatures du condensateur. A partir de la loi des mailles : U AB + UBD + UDA = 0
E -RI-Q/C=0
ULB - CeDop
17
Soit t = 0, lÕinstant o lÕon ferme lÕinterrupteur. La charge du condensateur Žtant nulle, Q(0) = 0, il se comporte comme un ŽlŽment ÔtransparentÕ : un courant I(0) de valeur E / R sÕŽtablit dans les fils qui relient les diffŽrents composants. Mais, tout de suite aprs, le condensateur se chargeÊ; le schŽma ci-dessus reprŽsente le circuit pendant cette phase transitoire o le courant I ainsi que la charge Q des armatures voient leurs valeurs Žvoluer. Enfin, quand lÕŽtat stationnaire est atteint, lorsque les armatures du condensateur ont atteint leur charge maximale, il nÕy plus aucun tranfert de charges dans les fils qui relient les diffŽrents composants et I vaut alors 0. Tout se passe comme si on avait un circuit ouvert. Regardons lÕŽvolution des valeurs de I et Q pendant la charge du condensateur. A partir de E - R I - Q / C = 0 et I = dQ / dt, nous pouvons Žcrire :
E - R dQ / dt - Q / C = 0 Cette Žquation diffŽrentielle a comme solution (vŽrifiez-le) : Q(t) = CÊE (1 - e
-t/RC
)
et le courant dans le circuit est donnŽ par : I(t) = dQ(t) / dt = (E Ê/ÊR) e
-t/RC
.
I(t) dŽcro”t exponentiellement depuis sa valeur initiale E /ÊR, alors que chacune des armatures du condensateur voit la valeur (absolue) de sa charge, Q(t), cro”tre exponentiellement de 0 jusquÕˆ la valeur finale CÊ E. Les deux graphiques suivants reprŽsentent ce que lÕon pourrait mesurer au laboratoire pour R = 20 k W, pour C = 100 mF et E = 6 V. Charge d'un condensateur
Q(t) {µC} 700
600
500
400
300
200
10 0
0 0
2
4
6
8
10
12
t {s}
ULB - CeDop
18
Courant dans le circuit
I(t) {µA} 350
300
250
200
150
10 0
50
0 0
2
4
6
8
10
12
t {s}
Ce graphe de I(t) peut se dŽduire de celui de Q(t) par une dŽrivation graphique (voir PrŽcis de cinŽmatique - Les Cahiers du CeDoP - 1996 - ISBN 2-930089-15-6). Pour un mathŽmaticien, la charge des armatures du condensateur nÕatteindra sa valeur maximale quÕau bout dÕune durŽe infinie ! Cependant, pour un physicien au laboratoire, le temps nŽcessaire pour que le condensateur soit pratiquement chargŽ est beaucoup plus court. Par exemple, nous voyons quÕau bout dÕun temps t* = RC appelŽ constante de temps du circuit : Q(t*) = CÊE (1 - e
-Ê1
) @ 0,63 CÊE = 63 % QÊfinal
Pendant ce mme intervalle de temps, le courant est tombŽ de E Ê/ÊR ˆ EÊ/ÊR eÊ
-Ê1
@ 0,37 EÊ/ÊR, cÕest-ˆ-dire a ŽtŽ rŽduit ˆ 37% de sa valeur maximale. Il en ira de mme, mais en sens inverse, pour la dŽcharge de ce mme condensateur dont la charge Q(t) diminue suivant lÕexpression : Q(t) = Q(0) e
-t/RC
o Q(0) est la valeur de la charge initiale dÕune armature. Le courant dans les fils de connexion est Žvidemment donnŽ par la dŽrivŽe de Q(t). On peut se faire une bonne idŽe de la vitesse ˆ laquelle un condensateur se dŽcharge, connaissant la constante de temps t* = RC du circuit. Par exemple, on peut vŽrifier quÕau bout de 6 t*, la charge rŽsiduelle du condensateur sera environ Žgale ˆ 2ä seulement de sa charge initiale.
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19
9. Justification et limitation des lois de Kirchhoff En fait, la premi•re loi rŽsulte de la conservation locale de la charge, dans la mesure o aucune charge ne s'accumule dans le circuit, sauf sur les armatures des condensateurs prises sŽparŽment. La deuxi•me loi rŽsulte de la conservation de l'Žnergie , ce qui implique que les forces qui agissent sur les charges sont
conservatives. Dans ce cas, elles dŽrivent dÕun potentiel Žlectrique. En prŽsence dÕun champ magnŽtique, il faut tenir compte de la force de Laplace, non conservative puisquÕelle dŽpend de la vitesse. La variation totale dÕŽnergie dÕun Žlectron le long dÕune maille ne sera alors pas nulle. Pour aborder ce genre de problme, il faut explicitement rŽsoudre les Žquations de Maxwell qui rŽgissent l'ensemble des phŽnomnes ŽlectromagnŽtiques et, en particulier, les circuits Žlectriques.
COMPLEMENT POUR CEUX QUE LES MATHEMATIQUES NÕEFFRAIENT PAS
Mais, toute tentative pour analyser un circuit, mme trs simple, en termes de ces lois, rencontrerait d'Žnormes difficultŽs mathŽmatiques. La thŽorie conventionnelle des circuits simplifie formidablement le problme en Žvitant tout appel aux grandeurs locales (champs Žlectrique et magnŽtique, densitŽs de charge et de courant) ; ce qui se passe dans le circuit est dŽcrit en termes de courants circulant dans des fils et de diffŽrences de potentiel entre certains points, sans que lÕon s'intŽresse ˆ ce qui se passe prŽcisŽment ˆ l'intŽrieur de chaque ŽlŽment. Les Žquations aux dŽrivŽes partielles gouvernant les champs, complŽtŽes par des conditions aux limites souvent compliquŽes, sont de ce fait remplacŽes par des Žquations diffŽrentielles ou algŽbriques, tirŽes des deux lois de Kirchhoff. Il faut donc prŽciser les conditions qui doivent tre remplies, pour que cette ÔrŽductionÕ du problme dŽcrive correctement les faits, et voir comment les lois de Kirchhoff sont extraites des Žquations de Maxwell, bien que leur forme soit extrmement ŽloignŽe de celles-ci.
ULB - CeDop
20
Rappelons tout d'abord la forme gŽnŽrale des Žquations de Maxwell. Dans les notations usuelles : rot H = J + ¶D /ʶt
rot E = - ¶B /ʶt
div D = re
div B = 0
o J et re sont les densitŽs de courant et de charge. Pour des conditions stationnaires, les deux premires Žquations se rŽduisent ˆ rot H = J
rot E = 0
et il rŽsulte alors des thŽormes de Gauss et de Stokes que, pour toute surface fermŽe S dÕaire A et tout contour fermŽ C :
ò J . d A = 0
ò E. ds = 0
S
C
La premire de ces expressions exprime la conservation de la charge et la seconde, l'existence d'une fonction potentiel Žlectrique, ce qui justifie les lois de Kirchhoff.
I
C
S
U
I
Etant donnŽ un ŽlŽment de circuit ˆ deux bornes, le courant entrant dans l'une est Žgal au courant sortant de l'autre et la diffŽrence de potentiel entre ces bornes est bien dŽfinie.
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Pour des conditions non stationnaires , l'application des thŽormes de Gauss et de Stokes aux deux premires Žquations de Maxwell donneÊ:
ò J . d A = -¶Q / ¶t
ò E. ds = - ¶F / ¶t
S
C
o Q est la charge nette contenue ˆ l'intŽrieur de la surface S, et F le flux magnŽtique au travers du contour C. On ne retrouve les lois de Kirchhoff que lorsque les conditions suivantes sont satisfaitesÊ: 1. pas d'accumulation de charge nette sur les fils, 2. variation nŽgligeable du flux magnŽtique liŽ aux courants passant dans les fils, 3. flux magnŽtique, associŽ ˆ chaque ŽlŽment, confinŽ ˆ l'intŽrieur de celui-ci.
PAS DE VARIATION DE LA CHARGE NETTE DANS LA SURFACE FERMƒE S
A
B
PAS DE VARIATION DU FLUX MAGNƒTIQUE AU TRAVERS DU CONTOUR FERMƒ ABCD
A
B
S
D
C
D
C
Alors, la charge ˆ l'intŽrieur de la surface S et le flux magnŽtique au travers du contour pointillŽ, dans le dessin ci-dessus, ne changent pas au cours du temps et l'on se retrouve dans le cas stationnaire, en fait quasi-stationnaire,
ò J . d A = 0 S
ò E. ds = 0 C
en sorte que les lois de Kirchhoff s'appliquent. Les variations de charge et de flux magnŽtique sont entirement confinŽes ˆ l'intŽrieur des ŽlŽments du circuit.
ULB - CeDop
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Les trois conditions citŽes un peu plus haut peuvent ne pas tre remplies ˆ cause de deux types d'effetsÊ: 1. l'existence d'une vitesse finie de propagation des variations de champs et de courants dans le circuit; lorsquÕun fil est extrmement long, lÕinformation ne se propage pas instantanŽment le long du fil, ceci est dž ˆ la valeur finie de la vitesse de la lumire. 2. l'Žvasion des flux Žlectrique et magnŽtique vers l'extŽrieur du circuitÊ; ceci se prŽsente dans toutes les antennes rŽceptrices comme Žmettrices.
Tant que les variations des courants sont suffisamment lentes pour que leur propagation ˆ travers le circuit prenne place en un temps court par rapport au temps caractŽristique de ces variations, la distribution des courants ˆ un moment donnŽ correspond ˆ ce qui se passerait en rŽgime stationnaire. Mais, si les frŽquences de ces variations sont telles que les longueurs d'onde qui leur sont associŽes sont comparables ˆ la taille du circuit, alors le courant entrant dans un ŽlŽment peut ne pas tre Žgal au courant sortant de celui-ci, au mme instant, en contradiction avec la premi•re loi. Il faut alors, comme pour les lignes de transmission, expliciter ce qui se passe localement dans chaque ŽlŽment et non plus traiter celui-ci comme un tout. L'Žvasion de flux Žlectrique et magnŽtique variables, vers l'extŽrieur du circuit, entra”ne l'Žmission de rayonnement ŽlectromagnŽtique, cÕest-ˆ-dire l'Žmission d'Žnergie, en dŽsaccord avec la deuxi•me loi . Cette Žmission n'est nŽgligeable que
si la longueur d'onde du rayonnement est grande par rapport ˆ la taille du circuit. Il en rŽsulte une limite ˆ l'utilisation des circuits traditionnels et la nŽcessitŽ de passer aux guides d'ondes , mieux adaptŽs au confinement des champs Žlectrique et magnŽtique aux frŽquences ŽlevŽes.
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Il faut aussi rester conscient du fait que le graphe reprŽsentant le circuit est une idŽalisation (chaque ŽlŽment du circuit est exactement localisŽ sur une branche
particulire) et que c'est ˆ travers cette idŽalisation que le circuit est analysŽÊ; les lois de Kirchhoff elles-mmes ne sont valables que dans la mesure o cette idŽalisation est acceptable.
Dans un circuit rŽel, les rŽsistances, les capacitŽs (et les inductances) prŽsentent un caractre diffus , plus ou moins prononcŽ selon les cas, faisant par exemple intervenir les fils connectant ces divers ŽlŽments entre eux. Il faut aussi rappeler l'existence de " diffŽrences de potentiels de contact " entre conducteurs de nature diffŽrente. Le fait que la somme de ces diffŽrences de potentiel s'annule exactement pour une cha”ne fermŽe de conducteurs n'est rigoureusement vrai que s'ils se trouvent tous ˆ la mme tempŽrature, ce qui n'est gŽnŽralement pas le cas dans un circuit, par suite de l' effet Joule. Il appara”t ds lors, en certains endroits du circuit, des diffŽrences de potentiel d'origine thermoŽlectrique que la deuxime loi de Kirchhoff ne prend pas nŽcessairement en compte. Ces diffŽrences de potentiel ne s'Žlvent, il est vrai, qu'ˆ quelques µVÊ; elles sont nŽanmoins couramment utilisŽes pour mesurer la tempŽrature au moyen dÕun thermocouple.
ULB - CeDop
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10. ThŽor•mes de ThŽvenin et de Norton Souvent, les ingŽnieurs, lorsquÕils doivent rŽsoudre des circuits Žlectriques pas trop compliquŽs, en courant alternatif ˆ frŽquence constante ou en courant continu, utilisent les thŽormes de ThŽvenin ou de Norton ˆ la place des lois de Kirchhoff. Ces deux thŽormes nous disent que, dans ces conditions, il est possible de remplacer toute portion de circuit linŽaire actif par une source de tension unique ˆ laquelle est associŽe : ¥ soit une rŽsistance ou une impŽdance en sŽrie (thŽorme de ThŽvenin), ¥ ou encore, une rŽsistance ou une impŽdance en parallle (thŽorme de Norton).
LÕexemple suivant est rŽsolu ˆ lÕaide du thŽorme de ThŽvenin.
Exemple 9 Circuit Žquivalent de ThŽvenin Dans le circuit ˆ courant continu reprŽsentŽ ci-dessous, on veut prŽvoir le courant qui traversera une rŽsistance R placŽe entre A et B. Nous utiliserons notre rŽsultat gŽnŽral pour deux valeurs particulires de cette rŽsistance.
A
10 V
5½
20 V
35 ½ R
B
On commence par enlever cette rŽsistance et on calcule la valeur du courant qui passe dans la maille (20 - 10) / (35 + 5) = 0,25 A
ULB - CeDop
25
de manire ˆ pouvoir calculer la tension Žquivalente de ThŽvenin , tension entre les bornes A et B, en lÕabsence de charge (cÕest-ˆ-dire, si R nÕest pas reliŽ) : U AB = V B - V A = 20 - 35. 0,25 = 10 + 5. 0,25 = 11,25 V Il faut calculer ensuite la rŽsistance Žquivalente de ThŽveninÊ ; elle correspond ˆ la rŽsistance mesurŽe entre les bornes A et B lorsquÕon annule la tension des deux sources. Dans notre montage, la maille se rŽduit ˆ deux rŽsistances de 5W et 35W montŽes en parallle dont la rŽsistance Žquivalente vautÊ: 5. 35 / (5 + 35) = 4,375 W Nous sommes maintenant ˆ mme de reprŽsenter le circuit Žquivalent de ThŽvenin : 11,25 V
4,375 ½
A
B
R
Ceci ramne le problme posŽ ˆ la rŽsolution dÕun circuit ˆ une maille et permet de trouver rapidement les courants pour de n ombreuses valeurs de R si on le dŽsire : Si R = 10 W, I = 11,25 / (10 + 4,375) = 0,783 A, Si R = 50 W, I = 11,25 / (50 + 4,375) = 0,207 A.
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Exercices complŽmentaires non rŽsolus
1. Calculez au nÏud N reprŽsentŽ ci-dessous la valeur algŽbrique du courant I (signe, valeur, unitŽ). Que pensez-vous de l'orientation proposŽe pour ce courant I ?
0,01A 60 mA
30 mA
N I 0,08A
R : I = + 40 mA. Comme le signe du courant I est positif, celui-ci passe bien dans le sens de la flche. * 2. Une bo”te noire avec 4 fiches est reliŽe ˆ un gŽnŽrateur de tension et ˆ deux ampremtres identiques (de rŽsistances
1
2
3
4 A2
A1
internes nettement infŽrieures ˆ toutes les autres rŽsistances du circuit) comme sur le schŽma ci-contre.
LÕintŽrieur de la bo”te noire correspond ˆ un des cinq circuits rŽsistifs reprŽsentŽs cidessous o toutes les rŽsistances ont la mme valeur :
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
a
b
c
d
e
ULB - CeDop
27
2a. On constate que lÕampremtre A2 est traversŽ par un courant deux fois plus petit que lÕampremtre A1. Quel est le circuit qui correspond ˆ cette situationÊ? 2b. Dans une autre expŽrience, les deux ampremtres sont traversŽs par le mme courant. Quel est le circuit qui correspond ˆ cette nouvelle situationÊ?
R : a. Le circuit c, le courant se divise
b. Le circuit d, car les ampremtres sont
en deux parties Žgales, car les deux traversŽs par le mme courant puisquÕil rŽsistances sont montŽes en parallle.
-
i
-
1
- i /2
nÕy a quÕune maille.
2
1
2
3
4
i /2 A1
3
4
A1
A2
A2
* 3. Quelle indication donne lÕampremtre placŽ dans le circuit ci-contre, quandÊ:
50 ½
A 1
75 ½ 2 12 V
20 ½
10 ½
3a. les interrupteurs 1 et 2 sont ouverts, 3b. 1 est ouvert et 2 est fermŽ, 3c. 1 est fermŽ et 2 est ouvert, 3d. les interrupteurs 1 et 2 sont tous les deux fermŽs. R : a. 0,15 A
b. 0,2 A
c. 0,12 A
d. 0,18 A
*
ULB - CeDop
28
4. Comme on le voit sur la figure suivante, on a associŽ deux gŽnŽrateurs et deux rŽsistances.
I1
10 ½
e
1, 1 ½
6½
I2 B
A
I3
9 V, 1 ½
4a. Si I 2 = + 1 A , dŽterminez la valeur des courants I 1 et I 3 ainsi que la t. Ž. m. inconnue E1. 4b. Si lÕon souhaite dÕautre part que le courant I 3 soit nul, par quelle rŽsistance faudrait-il remplacer la rŽsistance R de 10 W ? R : a. E1 = 24 V
b. R = 4,2 W. *
5. La figure ci-dessous montre une association de trois gŽnŽrateurs et trois rŽsistances. e
R1
1
I2
e
A
2
I1
R2 B
e
R3
3
I3
5a. Cherchez les expressions littŽrales des courants I 1, I2 et I 3 en fonction de E1 , E2,
E3, R1, R2 et R 3. 5b. Si E1 = 2 V, E 2 = 6 V et E3 = 5 V, que de plus R 1 = 2 W, R2 = 10 W et R 3 = 8 W, calculez les courants I1, I 2 et I 3. R : b. I1 @ 0,293 A
I2 @ - 0,741 A
et I3 @ 0,448 A.
*
ULB - CeDop
29
6. Le circuit ci-contre
e
correspond ˆ un montage
I1
r1
1
G
potentiomŽtrique. Il sert
I3
gŽnŽralement ˆ mesurer une
P
A
t.Ž.m. inconnue par rapport ˆ
R
une t.Ž.m. connue. Le rŽglage
1
R2
r2
du curseur en P permet de modifier la valeur du courant e
indiquŽe sur le galvanomtre G.
I2
2
La t. Ž. m. connue E2 vaut 10 V et r2 = 1 W. Si le rŽglage du curseur correspond ˆ un courant I1 nul lorsque R1 = 99 W et R2 = 301 W , dŽterminez le courant dans R 1 ainsi que la t.Ž.m. inconnue E1.
E1 = 9,9 V
R : I = 0,1 A
* 7. Comme on le voit sur la figure suivante, un accumulateur de t.Ž.m. de 6ÊV et de rŽsistance interne nŽgligeable est associŽ en parallle, dÕune part ˆ deux rŽsistances de 25 W et 55 W montŽes en sŽrie, et, dÕautre part, ˆ une rŽsistance de 100Ê W montŽe en sŽrie avec un condensateur de capacitŽ 100 mF.
6V
55 ½
25 ½ 100 µF A
B
100 ½
Calculez, lorsque lÕŽtat stationnaire est atteint, la valeur du courant qui traverse les deux rŽsistances et les charges de chacune des armatures du condensateur. R : I = 75 mA
Q A = - 600 mC et QB = + 600 mC. *
ULB - CeDop
30
8. Les deux condensateurs reprŽsentŽs ci-contre sont
-Q1
initialement non chargŽs et
+Q
-Q2 C1
C2
+Q2
1
connectŽs en parall•le. Ils sont ensuite raccordŽs ˆ une pile qui maintient ˆ leurs bornes une diffŽrence de potentiel Žgale ˆ U. Montrez qu'un condensateur unique, de capacitŽ C E, soumis ˆ la mme diffŽrence de potentiel U, prendrait la mme charge totale Q 1 + Q2,Êsi CE = C1 + C2 o CE est appelŽe la capacitŽ Žquivalente. *
+Q 9. Les deux condensateurs reprŽsentŽs
-Q
ci-contre, initialement non chargŽs,
+Q
sont connectŽs en sŽrie.
C1
-Q C2
ReliŽs ensuite ˆ une pile qui maintient ˆ leurs bornes une diffŽrence de potentiel Žgale ˆ U, leurs armatures prennent toutes u ne charge Q de mme valeur. Montrez qu'un condensateur unique dont les armatures prendraient une charge de valeur Q en Žtant soumis ˆ la mme diffŽrence de potentiel U aurait une capacitŽ Žquivalente CE telle que Ê1 1 1 . = + CE C1 C2 *
ULB - CeDop
31
10. Appliquez les lois de Kirchhoff au circuit suivant qui reprŽsente la charge dÕun condensateur avec ÔperteÕ.
A
R2
I
+Q -Q
I2
C I1
e
R1
B La partie entourŽe de pointillŽs de ce circuit est analogue ˆ un petit segment dÕaxone (ŽlŽment rencontrŽ en physiologie). Cette partie rŽpŽtŽe un grand nombre de fois correspond ˆ un axone ou ˆ un c‰ble Žlectrique mal isolŽ. Ce circuit permet dÕŽtudier de fa•on analogique la rŽponse dÕun axone ˆ une impulsion Žlectrique. R:
I = I1 + I2
e - R2 I2 - R1 I = 0 e - Q / C - R1 I = 0 I1 = dQ / dt *
ULB - CeDop
32
Circuits à une maille
1 courant
I
2 équipotentielles - 1 d.d.p.
e
e 0
B
A
A
V
0
R
A
B
B
A
R
0
V
1 courant
I
3 équipotentielles
e
e
A R
R
1
B R
2
1
R
2
4 équipotentielles
1 courant e
C
1
I
e
2
e
D
1
e
2
A R
1
R
2
CeDoP - Lois de Kirc hhoff - 1997
B R
1
C
R
2
Transparent 1
Circuits à trois mailles 3 courants
I
2 équipotentielles
e
e
R
R
I1
1
1
B
A R
I2
2
R
2
3 mailles
3 courants
2 équipotentielles
e1
e1
I1
I3 I2
A
R
e
e
2
CeDoP - Lois de Kirchhoff - 1997
B
R
3 mailles
2
Transparent 2
