Equipo 3
LAS LEYES DE KIRCHHOFF
1.- ANTECEDENTES Gustav Robert Kirchhoff (12 de marzo de 1824 - 17 de octubre de 1887) fue un físico prusiano cuyas principales contribuciones científicas estuvieron en el campo de los circuitos eléctricos, la teoría de placas, la óptica, la espectroscopia y la emisión de radiación de cuerpo negro. Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservación de la energía y la carga en los circuitos eléctricos. Fueron descritas por primera vez en 1845 por Gustav Kirchhoff. Estas leyes son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para hallar corrientes y tensiones en cualquier punto de un circuito eléctrico.
2.- DEFINICIÓN DEL CONCEPTO Las Leyes de Kirchoff son:
Ley nodos: "la suma de las corrientes que entran y salen de un nodo es cero". Si resolvemos un
circuito usando la ley de los nodos encontraremos directamente las tensiones entre los nudos del circuito y un nudo de referencia del circuito que elegiremos al azar
Ley de mallas: "la suma de todas las tensiones alrededor de una malla es cero". Si resolvemos un
circuito usando la ley de mallas encontraremos directamente las intensidades que circulan por cada mallad el circuito.
Ley de tensión de Kirchhoff Kirchhoff Esta ley también es llamada ley de nodos o primera ley de Kirchhoff y es común que se use la sigla LCK para referirse a esta ley. La suma de las corrientes que encuentran a cualquier unión en un circuito es igual a la sumas de las corrientes que salen de dicha unión. I entrada = I salida E fuente= I R
La ley de voltaje o tensión de Kirchhoff solo se puede aplicar a mallas cerradas. Una malla cerrada debe satisfacer dos condiciones: 1) Debe tener una o más fuentes de voltaje.
2) Debe tener una trayectoria completa para que la corriente fluya de cualquier punto en la malla, regresando al mismo. Esta ley es llamada también Segunda ley de Kirchhoff, ley de lazos de Kirchhoff y es común que se use la sigla LVK para referirse a esta ley. La suma de las diferencias de voltaje a través de todos los elementos de cualquier espira de circuito cerrado es cero. V circuito cerrado = 0 La ley de voltaje de Kirchhoff establece que la corriente no puede acumularse en un punto. La corriente que sale de un punto debe ser igual a la corriente que entra al mismo. Por lo tanto, si se asigna una polaridad positiva a la corriente que entra a un punto y polaridad negativa a la corriente que sale de él, la suma algebraica de las corrientes en cualquier punto, es igual a cero: I ent- sal = 0 ent = sal
3.- MODELO MATEMATICO Para obtener un modelo matemático primero debemos tomar en cuenta las siguientes leyes de Kirchhoff: . 1. La Ley de nodos que plantea que la suma algebraica de las corrientes que entran y salen de un nodo es igual a cero. 2. La ley de los voltajes de Kirchhoff que expresa que la suma algebraica de los voltajes alrededor de una maya es igual a cero. También necesitamos plantear las ecuaciones para caída de voltaje para resistencias, inductores y capacitares
y
La caída de voltaje a través de un resistor está dada por:
ER = Ri y
2. La caída de voltaje a través de un inductor está dada por:
E L= L di/dt
y
3.
La caída de voltaje a través de un capacitor está dad a por:
Ec=1/C (Q) Sabemos que Entonces:
i=dq/dt Ec=1/C idt Teniendo en cuenta las leyes de Kirchhoff y plantear las ecuaciones se procede a obtener el modelo matemático.
4.- Ejemplos numéricos. La primera Ley de Kirchhoff En un circuito eléctrico, es común que se generen nodos de corriente. Un nodo es el punto del circuito donde se unen más de un terminal de un componente eléctrico. Si lo desea pronuncie ³nodo´ y piense en ³nudo´ porque esa es precisamente la realidad: dos o más componentes se unen anudados entre sí (en realidad soldados entre sí). En la figura 1 se puede observar el mas básico de los circuitos de CC (corriente continua) que contiene dos nodos.
Fig.1 Circuito básico con dos nodos Observe que se trata de dos resistores de 1Kohms (R1 y R2) conectados sobre una misma batería B1. La batería B1 conserva su tensión fija a pesar de la carga impuesta por los dos resistores; esto significa cada resistor tiene aplicada una tensión de 9V sobre él. La ley de Ohms indica que cuando a un resistor de 1 Kohms se le aplica una tensión de 9V por el circula una corriente de 9 mA
I = V/R = 9/1.000 = 0,009 A = 9 mA
Por lo tanto podemos asegurar que cada resistor va a tomar una corriente de 9mA de la batería o que entre ambos van a tomar 18 mA de la batería. También podríamos decir que desde la batería sale un conductor por el que circulan 18 mA que al llegar al nodo 1 se bifurca en una corriente de 9 mA que circula por cada resistor, de modo que en el nodo 2 se vuelven a unir para retornar a la batería con un valor de 18 mA.
Fig.2 Aplicación de la primera ley de Kirchoff Es decir que en el nodo 1 podemos decir que I1 = I 2 + I3
Y reemplazando valores: 1 8 mA = 9 mA + 9 mA
Y que en el nodo 2 I4 = I 2 + I3
Es obvio que las corrientes I1 e I4 son iguales porque lo que egresa de la batería debe ser igual a lo que ingresa.
Fig.4 Reagrupamiento del circuito Este reagrupamiento solo se genera para calcular la corriente del circuito original. De acuerdo a la ley de Ohm I = Et/R1 +R2
Porque los electrones que salen de R 1 deben pasar forzosamente por R2 y entonces es como si existiera un resistor total igual a la suma de los resistores R1 + R2 = 11 00 Ohms Se dice que los resistores están conectados en serie cuando están conectados de este modo, de forma tal que ambos son atravesados por la misma corriente igual a I = (1 0 ± 1) / 1 000 + 1 00 = 0,00817 o 8,17 mA
Ahora que sabemos cuál es la corriente que atraviesa el circuito podemos calcular la tensión sobre cada resistor. De la expresión de la ley de Ohm I = V/R
Se puede despejar que V = R. I Y de este modo reemplazando valores se puede obtener que la caída sobre R2 es igual a VR2 = R2. I = 1 00. 8,17 mA = 817 mV Y del mismo modo:
VR 1 = R 1 . I = 1 000
. 8,17 mA = 8,17 V
Estos valores recién calculados de caídas de tensión pueden ubicarse sobre el circuito original con el fin de calcular la tensión deseada.
Encuentre el valor de las intensidades del circuito de la figura Para la resolución de este circuito utilizaremos las leyes de Kirchhoff. Ley de los nodos:
Ley de nodos o primera ley de Kirchhoff y es común que se use la sigla LCK para referirse a esta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos dice que: En cualquier nodo, la suma de la corriente que entra en ese nodo es igual a la suma de la corriente que sale. De igual forma, La suma algebraica de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero
Segunda ley de Kirchhoff, ley de lazos de Kirchhoff y es común que se use la sigla L V K para referirse a esta ley. En toda malla la suma de todas las caídas de tensión es igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente, En toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico es igual a 0.
5.- Diseño de una práctica.
OBJETIVOS.
Verificar la primera ley de Kirchhoff (Ley de los Nudos).
Verificar la segunda ley de Kirchhoff (Ley de las Mallas).
MATERIAL A UTILIZAR.
y
Multímetro
Digital.
y
Voltímetro Analógico.
y
Amperímetro Analógico.
y
Mesón
y
Fuente De Voltaje Dc.
y
Resistencias De Diferentes Valores.
y
Décadas De Resistencias.
y
Interruptor Bipolar.
De Mediciones.
a) Gradué la fuente variable al valor indicado. b) Tome nota de las lecturas de los instrumentos de medición, y llene la siguiente tabla
SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF. Empleando el circuito montado en la parte I. Realice: a) Gradué la fuente variable de voltaje a 10 V. b) Varié la R2 (de 1000 en 1000 ). Tome nota de las lecturas de los instrumentos de medición, y llene la siguiente tabla.
6.- Ejemplos de aplicación o utilidad. La ley de corriente de Kirchhoff como está escrita es aplicable solamente a circuitos de corriente continua (i.e., sin corriente alterna, sin transmisión de señal). Puede ser extendida para incluir flujos de corriente que dependen del tiempo, pero esto está más allá del enfoque de esta sección. Cada nodo se usa para formar una ecuación que son resueltas simultáneamente, y la solución de ecuaciones simultáneas entregan el voltaje en cada nodo. En resumen: en un nodo la corriente que entra es la misma que sale de él.
Se encuentra el circuito de la figura 7. La solución del siguiente circuito en todos los conductores, se logra aplicando las leyes de Kirchhoff de la siguiente manera: 1. Se establece el número de variables desconocidas. En este caso, el número posible de corrientes es tres; se requieren, entonces tres ecuaciones con tres incógnitas. 2. Se elige arbitrariamente la dirección de las corrientes (figura 7-b). Al final si la dirección elegida no corresponde con la dirección de la corriente en el circuito, la intensidad de la corriente correspondiente tendrá signo negativo. 3. Se establecen las mallas existentes (ver Líneas punteadas figura 7-c)
4. Se escriben las ecuaciones para cada uno de los nudos y para cada una de las mallas. Vale la pena anotar que la dirección de las corrientes en una resistencia indica el paso de un potencial alto a un potencial bajo; es decir, una diferencia de negativa. Si se recorre la fuente del borne negativo al positivo, se pasa de un potencial bajo a un potencial alto, en otras palabras, se trata de una diferencia de potencial positiva. La corriente fluye en las resistencias de los puntos se mayor potencial a los de menos potencial. En la tabla de abajo se muestra cómo la diferencia de potencial entre dos puntos es independiente de la dirección en la cual se recorre el circuito. La línea punteada Recorrido del Circuito de A B
Recorrido del circuito de B a
indica
la
dirección en la cual se recorre
el
circuito.
Ecuaciones para nudos
Nudo
Nudo
los
Nótese que las dos ecuaciones son Idénticas
y
Malla I (comenzando en A)
y
Malla II (comenzando en A)
y
Malla III (comenzando en A)
Nótese que la ecuación de la malla III es la suma de las ecuaciones para las mallas I y II. En consecuencia,
poseemos
tres
ecuaciones
para
obtener
las
tres
incógnitas
; Estas son las ecuaciones que encontramos arriba. Estas ecuaciones se solucionan de acuerdo con los métodos algebraicos comunes para ecuaciones simultáneas de tres incógnitas.
