Docente: Lic. Carlos K. Villegas Rosales
ii) I
Si: N U R
Si: EI NI
Si R
1 343
6
216 = 6
= 216
R
S
TI
Por definición sabemos que: VI
E
Log N U
a
N
E
ba
N
b R AI
P
Donde: i) N, es el “número”: N 0 M C A
+
0
Número
b
a
N ii) I
0;
b, es la “base”: b 0 b 1
N
=N U S O
0 R E
Forma Exponencial I N
b E G N
Base
iii)
Base
Si : Log N a
b
-
=N
a
N
I
Log N a
I
N
G
E
R A TI
Log R E N
Log
Log 2 16 = 4
b
1
VI
125
U E
=9
Log
R
ó
a
- ;
m
m
a
b
:
= -3 R P
Log AI
c
9 = 4
a
3
E
M D
N.b = 1 A
C
A
a 1)
N
b
(a 0
n
N Log
b
4
3
n a
S
Log 5
+
0
Log
Paso de la forma exponencial logarítmica
1
IDENTIDADES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS N
AI
125 125
a, es el “exponente” ó logaritmo: a R
R
Debemos familiarizarnos con estas fórmulas a través de los siguientes ejemplos:
–3 = Si : 5 –3
O I
S E
16
0; 1 u 1 ;
a U
N
b
24 =
+
1
a
b
Si:
7-3 =
EXISTENCIA DE LOS LOGARITMOS EN LOS R A
I
o
= -3
6
AI
A
Es decir: Forma Logarítmica
o
Log
Exponente
Log N = a b
5 4 = 625
6
G
D
Número Logaritmo
Si:
343
7
E
Expresando matemáticamente:
o
1
Log
N
E
i)
625 = 4 5
O
Definición: El logaritmo de un número “N” real y positivo (N 0), en una base “b” mayor que cero y diferente de la unidad (b 0 b 1) es el exponente real “a” tal que elevado a la base “b” se obtiene una potencia (b a) igual al número (N). En general tendríamos que: “a” es el logaritmo a Si : b = N de “N” en base “b”
Si:
Log
S
LOGARITMOS
b
Paso de la forma logarítmica a la forma exponencial
a
Log
a
b
a bm
m
c
Logb N 1
Log
n
n b
a
PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS Teniendo en cuenta las gráficas de la función logaritmo: y= Log x (b 0 b 1) b
Propiedades: Antilog
Log b
y b 1
y=
Log
N=N b
Antilog b
N=N b
Ejemplos:
x
3 = 23 = 8
a) Antilog 2
0
1
-1/2 = 4-1/2 =
b) Antilog 4
1 2
CAMBIO DE BASE “b” A BASE “x”
y=
0 b 1
Deducimos las siguientes propiedades: I. Existen infinitos sistemas, donde cada valor de b (b 0 b 1) es un sistema de logaritmos. II. No existen logaritmos de números negativos en el campo de los números reales, pero si en el campo de los números complejos. III.
Log
10
b
b
b
0
1
1
1
b
b
IV.
Log ab Log a Log b X
V. VI.
Log
X a
X b
a
N=
Log N
b
a . Log b
b . Log
Log b
c . Log d
c
a
d = Log x
a x
Ejercicios de la Clase
b
a
1
b
1.
Log a X
a
b
b
N
27 = - Log
27=9
9
3.
3
a a
3
23
a = Log
2 a
2
5
a3 =
5
ANTILOGARITMO El antilogaritmo en una base dada es el número que dá origen al logaritmo, matemáticamente: x = ax a
Determine el valor “N”, si Log100N = 1,5 Log51229
Calcule k a) 5/2 d) 7/2
7
a3
Antilog
b) 2x+1=15 d) 3x+1=25
b) 100 e) 512
c) 1 000
L og 1 0, 00032 L og 2 20,5 25
7
–colog
log√ 16 = x, podemos afirmar que:
a) 10 d) 2 200
Ejemplo: colog
2.
1
N = Log
Si
a) x=7 c) x=16 d) x-1=8
COLOGARITMO El cologaritmo de un número en una base “b” es igual al logaritmo de la inversa del número en la misma base.
b)
Caso particular: Log
Log
b
Log
bLog
x
a)
b
Log a b Log b 1
Colog
Log N
x
X
VIII.
b
x
X
x
VII. Log
N=
X
X b
Log
a
Log
Log N Log
REGLA DE LA CADENA Si en un producto de logaritmos un número cualquiera y una base cualquiera son iguales entonces estos se cancelan incluso el símbolo logarítmico
b
Log
En general todo cambio de base implica un cociente de logaritmos, es decir:
4.
b) -3/2 e) 3,7
Reducir la expresión:
c) 3/2
antilog[13 (Loga + 12 logb − 2logc)] √ a) b) c) √ d) e)
5.
Halle el valor de W = Log2 Log3 antilog3 Log1,52,25 a) 0 d) 1,5
b) 1 e) 0,75
14.
Señale el valor de “x” que verifica la igualdad logn x
nlogn x
c) 2 a) n
b)
Resolver Log23 x
2 Log3x
15.
7.
b) 9 e) 1
Resolver: Logx x valor
x
2
x 2
x 2
a) 16 d) 21
, e indicar el 16.
b) 8 e)
b) 2
d) 1;5
e) 3; 2
Calcule el logaritmo de a) 7/2 b) 11/3 d) 8/7 e) 9/4
Log5 (x 3)
42 2√ 2 en base 8√
a) 12/5 c) 1 d) Incompatible 11.
Logx x a) 3 d) -8 12.
x2
Logx2 x
b) 4 e) 1
1 3
19.
24
20.
ϵ
a) 0,001 d) 1 000
c) 10
a) 2 c) 1/27
c) 7
b) 3a+2b+1 d) a+2b+1
; será: b) 0,1 e) 100 000
c) 10
Log x = 2
27 x
b) 1/9 e) 1/243
b) 5 e) 12
Halle el producto de los raíces de:
Señale el producto de las raíces de la
a) 1/3 d) 1/81
bLoga 0,2
El valor de la expresión:
10
Logx + Log√ x = − 12
Halle el Log 6!, sabiendo que: Log 2=a; Log 3=b
Log4 9Log34 Log9 27
Resuelva la ecuación
ecuación: 81 Logx 3
c) 1/10
Si {a,b} R+ distintos de la unidad y además: ab = 1 averigüe el valor de:
a) 2a+3b+1 c) 4a+b+1 e) 3a+b+1
21. 13.
b) 100 e) 0
a) 2 d) 10
c) 6
a) 6 b) 8 d) 100 e) Incompatible
c) 125
b) 5/12 d) Indeterminado
125
Logxy − Log = 8
aLogb 0,5
Resolver la ecuación x
Resolver el sistema:
a) 10 d) 1
c) 6/13
7x 7x
2
2Logx = 4Logy e indicar el producto de valores “x”
2
c) 19
b) 15 e) 1/5
c) 5
Señale el valor de x que satisface a la igualdad.
5
x
Indicar el producto de las raíces de la siguiente ecuación
a) 5 d) 25
18. 10.
Log2
xLog5x
Resolver Ln12 – Ln(x - 1) = Ln(x - 2), e indicar su conjunto solución: a) 5; 2
b) 17 e) 32
c) 24
17.
9.
Halle la suma de las raíces de la siguiente ecuación
Log2x
1
a) 15 d) 37 8.
x
c) n
e) nn
c) 1/9
xx
n1
n
n
3 , e indicar el
producto de sus raíces. a) -4 d) -3
nn
n 1
n1
d) n 6.
n
d)
√ 2
b) 4 e)
√
c) 8
