Matemática I Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira Logaritmos – Logaritmos – Exercícios Exercícios Intermediários – Intermediários – Data: Data: 23/5/2017 - GABARITO
Solução. Decompondo 900 e utilizando as propriedades do logaritmo, temos:
log 900 log 32 10 2
log 32 log10 2
2.log 3 2.log10 2.(0,4771) 2.(1) 0,9542 2 2,9542 . (C)
Solução. Utilizando as propriedades do logaritmo, temos:
a b
log log a log b 0,4771 0,3010 0,1761 . (A)
Solução. Decompondo 60 e utilizando as propriedades do logaritmo, temos:
log 60 log 2 2 3 5
log 2 2 log 3 log
10 2
2.(0,30) 0,47 log10 log 2 0,60 0,47 1 0,30
. (D)
1,07 0,70 1,77
Solução. Decompondo 28 e utilizando as propriedades do logaritmo, temos:
log 28 log22 7 log 22 log 7 2.(0,301 301) 0,845 845 0,602 602 0,845 845 1,447 447 . (B)
Solução. Utilizando as propriedades do logaritmo, temos:
6 log 6 log 10 log( 2 3) 1 log 2 log 3 1 0,3010 0,4771 1 0,7781 1 0,2219 . (E) 10
log 0,6 log
Solução. Utilizando as propriedades do logaritmo, temos: 1
log 3
2
x y
log x 2 y 3
1 1 1 1 1 4 . log x 2 y .log( x 2 ) log y .2 log x log y .2.(3) 2 .4 . (B) 3 3 3 3 3 3
Solução. Utilizando as propriedades do logaritmo, temos:
log 8 log10 23 3. log10 2 10 a i) 10 3. log10 2 a log 10 2 ; ii) log 10 5 log 2 3 log10 8 a
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(0xx21) 2642-62246
log 10 log 2 1
a
3
. (E)
1
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Solução. Utilizando as propriedades do logaritmo, temos: i ) 100
ii) 2 x
2x
1
135 2 x log 100 135 log100 1353 3
3
1 log135 1 log 33 5 1 3 log 3 log 5 1 3m 3n . . . . 3 log100 3 log10 2 3 2. log 10 3 2
1 3m n 1 1 3m 3n m n . x . . 3 2 2 3 2 4
. (E)
Solução. Utilizando as propriedades do logaritmo, temos: x
x
x
3 2 3 3 i ) 9 27 9 4 3 3 4 3 3 2 3 4
ii)
x
x
2
3 x 6 m 6
m 6 1 1 log 2 log2 log 2 2 1. log 2 2 1.(1) 1 12 12 2
log 2
. (B)
Solução. Utilizando as propriedades do logaritmo, temos:
x 6 i) 2 x.3 y 2 6.32 y 2 ( y x) 2 (2 6) 2 (4) 2 16 log 2 log 2 log 2 log 2 4 log ii) log 2 x y 62 4 4 z z 1 z 2 iii) log 4 z 4 2 z 2 2 2 2 z 4 2 2 2 2 2 2
( y x) 2 2
x y
4 . (D)
Solução. Utilizando as propriedades do logaritmo, temos: 3
i ) log 8 0,903 log 2 0,903 3. log 2 0,903 log 2
0,903 3
ii) log 70 1,845 log(7 10) 1,845 log 7 log10 1,845 log 7 1 1,845 log 7 1,845 1 log 7 0,845
0,903 0,903 2,535 3,438 iii) log14 log( 2 7) log 2 log 7 0,845 1,146 3 3 3
. (A)
Solução. Utilizando as propriedades do logaritmo, temos: log 32 log 256 log 5
log 2 5
log 16 5. log 2 4. log 2 9.(0,3) 10 log10 log 2 1 0,3
log
2,7 0,7
3,8
. (E)
2
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2
Matemática I Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira 13. (Unifor) Se log 2 = 0,30 calcule o valor real de x que satisfaz a sentença 4
3 x 1
5
2 x 1
Solução. As bases são diferentes não permitindo igualar os expoentes. i) Aplicando a definição de logaritmo em relação ao 1º membro da equação vem: ii) Pela propriedade da potência a expressão temos: iii) Escrevendo o logaritmo na base 10 vem:
3 x 1 log 4 52
1
x
.
3 x 1 (2 x 1) log 4 5
3 x 1 (2 x 1).
log 5 log(10 / 2) 3 x 1 (2 x 1). log 4 log 22
iv) Aplicando as propriedades e resolvendo a equação vem:
3 x 1 (2 x 1).
log(10 / 2) log 2
3 x 1 (2 x 1).
0,7
2
0,6
3 x 1 (2 x 1).
log 10 log 2 1 0,30 3 x 1 (2 x 1). 2 log 2 2(0,30)
1,8 x 0,6 1,4 x 0,7 0,4 x 0,1 x
0,1
0,4
0,25
14. Resolva, em IR, as equações. a)
log 2 ( x 4) 5 log 2 x
b)
log 2 x log 4
x
4
c)
log 4 ( x 3) log 4 (2 x) 1
Solução. Em cada caso, é necessário delimitar as condições de existência dos logaritmos e verificar a validade do valor de “x”.
log 2 ( x 4) 5 log 2 x Condições : x 4 0 x 4 e x 0 a) log 2 ( x 4) 5 log 2 x log 2 ( x 4) log 2 x 5 log 2 x( x 4) 5 x( x 4) 2 5
x 8 0 não satisfaz x 2 4 x 32 0 ( x 8)( x 4) 0 S {4} x 4 ok . log 2 x log 4 x 4 Condição : x 0
b)
log 2 x log 4 x 4 log 2 x log 2 x
c)
x
3
log 2 x 2 28
log 2 x
log 2 4
4 log 2 x
log 2 x log 2 2 2
4 log 2 x
4 2 log 2 x log 2 x 8 3 log 2 x 8 log 2 x
x 2 2.3 4
S 4.3 4
8 3
x
log 2 x
2 log 2 2
28 / 3
4
log 4 ( x 3) log 4 (2 x) 1 Condição : x 3 0 x 3 e 2 x 0 x 2 log 4 ( x 3) log 4 (2 x) 1 log 4 ( x 3)(2 x) 1 x 2 x 6 4 0 x 2 x 2 0
x 1 ok (1 x)(2 x) 0 S {1;2} x 2 ok 1 25 15. (UFSE) Encontre o conjunto de valores reais x satisfazem o sistema . 125 log 1 ( x 2) 0 2 x
Solução. O valore de “x” além de satisfazer a condição de existência deve ser solução de ambas as equações. Pela 2ª equação, x > – 2.
1 3 x 2 x 3 3 25 125 5 5 (base 1) 2 x 3 x 2 3 x x 2; 1[ 2 S ] 2 log ( x 2 ) 0 log ( x 2 ) log 1 x 2 1 x 1 1 1 1 x 1 2 2 2
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Matemática I Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira 16. Encontre os valores de x que satisfazem log x log( x 5)
log 36 .
Solução. As condições de existência são: x > 0 e x > 5.
log x log( x 5) log 36 log x( x 5) log 36 x 2 5 x 36 x 2 5 x 36 0
x 9 ok S {9} ( x 9)( x 4) 0 x 4 0 não satisfaz 17. O pH de uma solução é definido por =
[+ ]
, sendo [H +] a concentração de hidrogênio em íons-
grama por litro de solução. Calcule o pH de uma solução que tem [H +] = 12. 10-8 íons-grama por litro. (Use log 2 0,30 e log 3 0,48.) Solução. Substituindo os valores e aplicando as propriedades do logaritmo, temos: i ) 12 2 2.3 ii ) pH log
1 8
log1 [log 12 log10 8 ] 0 2 log 2 log 3 8 log10 2(0,3) 0,48 8 .
12.10 8 0,6 0,48 7,4 0,48 6,92
18. O número de bactérias numa cultura, depois de um tempo t, é dado pela função N(t) = N o.ext , em que No é o número inicial de bactérias e x é a taxa de crescimento. Se a taxa de crescimento é de 5% ao minuto, em quanto tempo a população de bactérias passará a ser o dobro da inicial? (Dado: ln 2
0,6931)
Solução. A população pedida é 2N 0. Substituindo os valores indicados, temos:
N(t ) N0 .e 0,05t N0 .e 0,05t 2N0 e 0,05 t 2 0,05t loge 2 0,05t ln 2 . N(t ) 2N0 0,05t 0,6931 t
0,6931 6931 13,862 min 0,05 500
19. (UNICAMP-2007) O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função P(t) = Po.2bt , onde t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e Po é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0. a) Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto é, se a meia-vida do estrôncio 90 é de 29 anos, determine o valor da constante b. Solução. Um 29 anos, a concentração passa a ser P 0 /2. Substituindo, temos:
P( t ) P0 .2 bt P(29) P0 .2 29b P 1 P0 .2 29b 0 2 29b 2 1 29b 1 b P0 2 29 . P(29) 2 Logo, P( t ) P0 .2
t 29
b) Dada uma concentração inicial P o, de estrôncio 90, determine o tempo necessário para que a concentração seja reduzida a 20% de P o . Considere log 210 3,32. Solução. A concentração será reduzida para 20% da inicial implica que P(t) = 0,2P 0. Temos: t 29 t t P ( t ) P . 2 P0 0 1 t 1 t 10 29 29 P . 2 2 log2 log2 1 log2 . 0 P0 5 5 29 5 29 2 P( t) 5
t t 0 [log2 10 log2 2] [3,32 1] t (29)[2,32] 67,28 anos 29 29
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Matemática I Prof. Walter Tadeu Nogueira da Silveira 20. A teoria da cronologia do carbono, utilizada para determinar a idade de fósseis, baseia-se no fato de que o isótopo do carbono 14 (C-14) é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio e que a quantidade de C-14 na atmosfera é a mesma que está presente nos organismos vivos. Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, cessa, e a quantidade de C-14 presente no fóssil é dada pela função C(t) = Co10nt , onde t é dado em anos a partir da morte do organismo, Co é a quantidade de C-14 para t = 0 e n é uma constante. Sabe-se que 5 600 anos após a morte, a quantidade de C-14 presente no organismo é a metade da quantidade inicial (quando t = 0). No momento em que um fóssil foi descoberto, a quantidade de C-14 medida foi de Co /32. Tendo em vista estas informações, calcule a idade do fóssil no momento em que ele foi descoberto. R: 28 000 anos Solução. Pela informação inicial, C(5600) = C 0 /2. Substituindo na função, temos:
C (t ) C 0 .10nt C (5600 ) C 0 .105600n C 1 i ) C 0 .105600n 0 105600n (*) C 0 2 2 C (5600 ) 2 C (t ) C 0 .10nt 5 . C 0 1 1 nt nt ii ) C . 10 10 (**) C 0 0 32 32 2 C (t ) 32 iii)
n (*) (**) : 10nt 105600n 10 nt 10 28000 t 28000
5
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anos
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