Lembar Aktifitas Siswa 2 ” Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel” (Pertemuan kedua)
Hari/Tanggal :................................. Alokasi waktu : 30 Menit Kelas
: X-......................... X-.........................
Kelompok
: ............................... ...............................
Anggota
: .............................. .............................. ................................ ................................ .................................
Petunjuk! 1. Tuliskan nama anggota kelompok pada tempat yang telah disediakan.
2. Kerjakan soal-soal berikut ini dalam kelompok masing-masing. 3. Diskusikan jawaban terhadap masalah di dalam kelompok masing-masing. 4. Bantulah temanmu yang mengalami kesulitan 5. Diskusikan kesulitan yang ditemui, jika dalam kelompok belum diperoleh jawabannya mintalah bantuan guru, tetapi berusahalah semaksimal mungkin terlebih dahulu.
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel : 1. Metode Substitusi Langkah-langkah metode substitusi adalah sebagai berikut : a. Tentukan terlebih dahulu mana yang menjadi persamaan 1, persamaan 2, dan persamaan 3. b. Lalu kita ubah salah satu persamaan ke dalam bentuk lai n dan beri nama dengan persamaan 4. c. Setelah itu substitusikan persamaan 4 ke dalam persamaan 2, dan persamaan 3. d. Dan langkah terakhir substitusikan nilai variabel dari persamaan 2 dan 3 ke persamaan 1. 2. Metode Eliminasi Langkah-langkah metode substitusi adalah sebagai berikut : a. Tentukan terlebih dahulu mana yang menjadi persamaan 1, persamaan 2, dan persamaan 3. b. Eliminasi atau hilangkan salah satu peubah sehingga diperoleh SPLDV. c. Selesaikan SPLDV yang didapatkan pada langkah 2. d. Substitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh pada langkah 3 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai yang lainnya. 3. Metode gabungan (Substitusi dan Eliminasi) Langkah-langkah metode substitusi adalah sebagai berikut : a. Eliminasi sebuah variabel dari dua persamaan b. Selesaikan hasil yang diperoleh, yaitu sistem persamaan dengan dua variabel dengan metode substitusi atau eliminasi atau eliminasi-substitusi. c. Substitusikan variabel-variabel yang diperoleh pada langkah 2 ke persamaan awal untuk memperoleh nilai variabel lainnya. d. Periksalah penyelesaian anda.
1. Perhatikan dan amati cerita di bawah ini : Nazsa, Chindy dan Euis yang akan membeli penghapus, pensil, dan buku. Nazsa membeli 3 penghapus, 4 pensil, dan 5 buku dengan harga Rp 26.000,00. Chindy membeli 5 penghapus, 2 pensil, dan 1 buku dengan harga Rp 12.000,00. Dan euis membelu 1 penghapus, 1pensil, dan 2 buku dengan harga 9.000,00. Tentukan berapa harga penghapus, pensil, dan buku? Carilah himpunan penyelesaian pada soal cerita diatas menggunakan metode eliminasi, substitusi, atau gabungan!! Penyelesaian : Diketahui : Misalkan : Penghapus
= ..........
Pensil
= ..........
Buku
= ..........
maka : ............................................ ... (1) ........................................... ... (2) ........................................... ... (3) Ditanya :
Jawab :
Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Determinan Pada pembahasan diatas kita sudah menyelesaikan masalah kontekstual menggunakan metode substitusi-eliminasi. Kali ini kita akan menggunakan metode determinan untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel.
Perhatikan caranya!
Perhatikan bentuk umum sistem persamaan tiga variabel berikut!!!
++ = ++= ++=
Sistem persamaan tersebut dapat diubah kedalam bentuk matriks sebagai berikut:
| |=||
Langkah pertaman kita menentukan determinan persamaan diatas dengan menggunakan rumus:
=| | = (++)−(++) =| | =(++)−(++) Berikutnya kita tentukan determinan masing-masing variabel
=| | =(++)−(++) =| | =(++)−(++) Dari determiann diatas kita dapat menentukan nilai x, y dan z dengan menggunakan rumus:
=
=
= Apa kalian paham? Jika tidak, tanyakan pada Gurumu!!!
2. Perhatikan dan amati cerita di bawah ini : Nazsa, Chindy dan Euis yang akan membeli penghapus, pensil, dan buku. Nazsa membeli 3 penghapus, 4 pensil, dan 5 buku dengan harga Rp 26.000,00. Chindy membeli 5 penghapus, 2 pensil, dan 1 buku dengan harga Rp 12.000,00. Dan euis membelu 1 penghapus, 1pensil, dan 2 buku dengan harga 9.000,00. Tentukan berapa harga penghapus, pensil, dan buku? Selesaikanlah permasalahan sistem persamaan linear tiga variabel berikut dengan menggunakan metode Determinan! Penyelesaian :
Diketahui : Misalkan : Penghapus
maka :
= ..........
Pensil
= ..........
Buku
= ..........
…… + ……+ …...= ……….. …… + ……+ …...= ……….. …… + ……+ …...= ………..
............ (1) ............ (2) ............ (3)
Ditanya : harga penghapus, pensil, dan buku ? Jawab :
3|5 42 51|=|26.12.000000| 1 1 2 9.000 3 … … 4 5 =| 51 …1 …1| …1 21| =12+4+25−10+3+40 = ……… − ……… = ……… …… … … 4 … … =|9.0 …00 …1 12| …… …… … = …… ….+ 36.000 + ………− ………+ ………+ ……… =200.000−212.000 = …… …. Menentukan determinannya
Menentukan determinan masing-masing variabel
…… … … …… 5 …… … =|...… …… | 1 …… 2 … … … = 72.000+ ……… + ………− ………+ ………+ ……… =323.000− …… …. = … …. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. =….. ….. ….. 9.000 ….. ….. = …… ….+ ……… + ………− ………+ ………+ ……… = …… …. − …… …. = …… …. Sekarang kita tentukan nilai x, y dan z.
= = −12.−12000 = …. . = = …..…… −12 = ……. = = …..…… ….. = …..
Himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah ( Jadi harga penghapus = Rp.
……...
…….... ……. . . ……... ……...
, harga pensil = Rp.
,
,
)
, dan harga buku = Rp.
……...
.
Ayo Berlatih dengan teman kelompokmu! Kerjakan soal dibawah ini!!
1. Sebuah pabrik lensa memiliki 3 buah mesin, yaitu A,B, dan C. Jika ketiganya bekerja maka 5.700 lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Jika hanya mesin A dan B yang bekerja, maka 3.400 lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Jika hanya mesin A dan C yang bekerja, maka 4200 lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Berapa banyak lensa yang dihasilkan tiap-tiap mesin dalam satu minggu? Selesaikanlah Permasalahan sistem persamaan linier tiga variabel tersebut dengan menggunakan : a. Metode eliminasi, substitusi, atau gabungan b. Metode determinan
KUNCI JAWABAN LAS 2 No
1.
Jawaban
Metode Eliminasi
Diketahui : Misalkan : Penghapus = x Pensil =y Buku =z Maka :
3+4+5=26.000 5+2+ =12.000 ++2 =9.000
............ (1) ............ (2)
............ (3)
Ditanya : harga penghapus, pensil, dan buku ? Jawab : Langkah 1 : Eliminasi peubah z pada persamaan (2) dan (3)
5+2+ =12.000 2 10+4+2 =24. 0 00 ++2 =9.000 1 ++2 = 9. 0 00 − 9+3 =15.00 5+2+ =12.000 5 25+10+5 =60. 0 00 3+4+5=26.000 1 3+4+5 =26. 0 00− 22+6 =34.00 9+3 =15. 0 0 2 18+6 =30. 0 0 22+6 =34.00 1 22+6−4 =34. 0 0 − =−4. 0 0 =1.00 9+3 =15. 0 0 22 198+66 =330. 0 0 22+6 =34.00 9 198+5412 =306. 0 0 − =24. 0 0 =2.00
0 ..........(4)
Langkah 2 : Eliminasi peubah z pada persamaan (2) dan (1)
0 ..........(5)
Langkah 3 : Eliminasi y dari persamaan (4) dan (5) 0 0
0 0 0 0
Langkah 4 : Eliminasi peubah x dari persamaan (4) dan (5) 0 0
0 0 0
0
Langkah 5 : Substitusikan nilai
=1.00 =2.00 0 dan
0 pada persamaan (3)
++2 1.000+2.000+2 3.000+2 2 2
=9.000 =9.000 =9.000 =9.000−3.000 =6.000 =3.000
Jadi harga penghapus = Rp. 1.000, harga pensil = Rp. 2.000, dan harga buku = Rp. 3.000.
Metode Substitusi
Diketahui Misalkan : Penghapus = x Pensil =y Buku =z Maka :
3+4+5=26.000 5+2+ =12.000 ++2 =9.000
............ (1) ............ (2)
............ (3)
Ditanya : harga penghapus, pensil, dan buku ? Jawab : Langkah 1 : Pilih salah satu persamaan, misalkan persamaan (3), kemudian nyatakan salah satu variabelnya dalam bentuk variabel lainnya.
++2 =9.000 =−−2+9.000
.............. (4)
Langkah 2 : Nilai variabel x pada persamaan (4) menggantikan variabel x pada persamaan (1) dan (2)
Persamaan (1)
3+4+5=26.000 3−−2+9.000+4+5=26.000 −3−6+27.000+4+5=26.000 −+27.000=26.000 −=26.000−27.000 −=−1.000
........................(5)
Persamaan (2)
5+2+ =12.000 5−−2+9.000+2+ =12.000 −5−10+45.000+2+ =12.000 −5−10+45.000+2+ =12.000 −3−9+45.000=12.000 −3−9=12.000−45.000 −3−9=−33.000 3+9=33.000
........................ (6)
Langkah 3 : Pilih salah satu persamaan, misalkan persamaan (5), kemudian nyatakan salah satu variabelnya dalam bentuk variabel lainnya.
−=−1.000 =−1.000
......... (7)
Langkah 4 : Nilai variabel y pada persamaan (7) menggantikan variabel y pada persamaan (6)
3+9=33.000 3−1.000+9=33.000 3−3.000+9=33.000 12−3.000=33.000 12=33.000+3.000 12=36.000 =3.000 =−1.000 =3.000−1.000 =2.000 ++2 =9.000 +2.000+23.000 =9.000
Langkah 5 : Substitusikan nilai z = 3.000 ke persamaan (7)
Langkah 6 : Substitusikan nilai z = 3.000 dan y = 2.000 ke persamaan (3)
+2.000+6.000 =9.000 +8.000 =9.000 =9.000−8.000 =1.000 Jadi harga penghapus = Rp. 1.000, harga pensil = Rp. 2.000, dan harga buku = Rp. 3.000.
Metode Gabungan
Diketahui Misalkan : Penghapus = x Pensil =y Buku =z Maka :
3+4+5=26.000 5+2+ =12.000 ++2 =9.000
............ (1) ............ (2)
............ (3)
Ditanya : harga penghapus, pensil, dan buku ? Jawab : Langkah 1 : Eliminasi peubah z pada persamaan (2) dan (3)
5+2+ =12.000 2 10+4+2 =24. 0 00 ++2 =9.000 1 ++2 = 9. 0 00 − 9+3 =15.00 5+2+ =12.000 5 25+10+5 =60. 0 00 3+4+5=26.000 1 3+4+5 =26. 0 00− 22+6 =34.00
0 ..........(4)
Langkah 2 : Eliminasi peubah z pada persamaan (2) dan (1)
0 ..........(5)
Selesaikan hasil yang diperoleh, yaitu sistim persamaan dengan dua variabel dengan metode substitusi atau eliminasi atau eliminasi-substitusi. Misal langkah 3 menggunakan eliminasi Langkah 3 : Eliminasi peubah y pada persamaan (4) dan (5) 0 0 0 0 0 0
9+3 =15. 0 0 2 22+6 =34.00 1
18+6 =30. 0 0 22+6−4 =34. 0 0 − =−4. 0 0 =1.00
Langkah 4 : Substitusikan nilai ke persamaan (4) 0
9+3 =15. 0 0 99.01.00+3 000 +3=15.00 =15. 0 0 3=15. 0 00−9. 0 00 3=6. 0 00 =2.000 5+2+ =12.000 51.000+22. 0 00+ =12. 0 00 5.000+4.9.0000+ =12. 0 00 00+ =12. 0 00 =12. 0 00−9. 0 00 =3.000 0 0
Langkah 5 : Substitusikan nilai x dan y ke persamaan (2)
Jadi harga penghapus = Rp. 1.000, harga pensil = Rp. 2.000, dan harga buku = Rp. 3.000. 2
Diketahui : Misalkan : Penghapus
maka :
=x
Pensil
=y
Buku
=z
3+4+5=26.000 5+2+ =12.000 ++2 =9.000
............ (1) ............ (2)
............ (3)
Ditanya : harga penghapus, pensil, dan buku ? Jawab :
3|5 42 51|=|26.12.000000| 1 1 2 9.000 3 4 3 4 5 =|51 21 12| 51 21| =12+4+25−10+3+40 =41−53 =−12 Menentukan determinannya
Menentukan determinan masing-masing variabel
26. 0 00 4 26. 0 00 4 5 =|12.9.000000 12 21| 12.9.000000 12| =104.000+36.000+60.000−90.000+26.000+96.000 =200.000−212.000 =−12.000 3 26. 0 00 3 26. 0 00 5 =|51 12.9.000000 21| 51 12.9.000000| =72.000+26.000+225.000−60.000+27.000+260.000 =323.000−347.000 =−24.000 3 4 26. 0 00 3 4 =|51 21 12.9.000000| 51 21| =54.000+48.000+130.000−52.000+36.000+180.000 =232.000−268.000 =−36.000 Sekarang kita tentukan nilai x, y dan z.
= = −12.−12000 =1.000 = = −24.−12000 =2.000 = = −36.−12000 =3.000
Himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah (1.000, 2.000, 3.000) Jadi harga penghapus = Rp. 1.000, harga pensil = Rp. 2.000, dan harga buku = Rp. 3.000.
