LKS 01 - Program Linear

LEMBAR KERJA SISWA

(LKS – 01) Nama Sekolah

: SMAN 10 Bandung

Mata Pelajaran

: Matematika

Kelas/Peminatan

: XI / MIA

Semester

: Ganjil

Waktu

:

Petunjuk : 1. 2.

2. 3.

Isilah nama kelompok dan anggota secara lengkap, Cermati permasalahan yang dikemukakan, Selesaikanlah setiap perintah/pertanyaan/soal yang diajukan dengan cara mendiskusikan dalam kolompok, Kumpulkan LKS yang sudah lengkap kepada guru pengajar di kelas.

Pengantar Materi : PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Pada pembelajaran Matematika Matematika di kelas X telah dibahas tentang persamaan persamaan linear ax + by = c. Pernyataan matematika ax + by = c dinamakan persamaan karena kedua ruas dihubungkan menggunakan tanda “sama dengan” (“=”). Apabila lambang “=” tersebut diganti dengan salah satu dari lambang pertidaksamaan “<” (dibaca : “kurang dari”), “>” (dibaca : “lebih dari”), “ ≤” (dibaca : “kurang dari atau sama dengan”), atau “ ≥” (dibaca : “lebih dari atau sama dengan”), maka bentuk persamaan akan berubah menjadi pertidaksamaan. pertidaksamaan. Bentuk ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c adalah bentuk-bentuk pertidaksamaan linear. Bila pada persamaan linear diperoleh penyelesaian berupa himpunan titik-titik yang membentuk garis lurus, maka pada pertidaksamaan akan diperoleh himpunan titik yang membentuk suatu daerah, yang disebut sebagai daerah penyelesaian. penyelesaian. Sebagai contoh, perhatikan penyelesaian persamaan x + 2y = 6 dan pertidaksamaa x + 2y ≤ 6 dalam bentuk di bawah ini.

Gambar 1. 1. Penyelesaian persamaan x + 2y = 6 yang berbentuk garis.

Gambar 2. 2. Penyelesaian pertidaksamaan x + 2y ≤ 6 yang berbentuk “daerah penyelesaian”.

Untuk menyelesaikan (menemukan daerah penyelesaian) dari suatu pertidaksamaan linear, misal x + 2y ≤ 6, dapat dilakukan dengan cara : 1. Ubah pertidaksamaan linear menjadi persamaan linear dan gambar garis yang sesuai dengan persamaan linear tersebut. Sebagai contoh, ubah pertidaksamaan x + 2y ≤ 6 sehingga menjadi persamaan x + 2y = 6. Gambar garis yang sesuai untuk persamaan x + 2y = 0 dapat dilihat p ada gambar 1. 2. Untuk menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan dapat dilakukan dengan menggunakan uji titik. Dalam hal ini, perlu di tentukan sebuah titik yang tidak terletak pada garis, bisa berada di dalam daerah “di atas” garis, atau “di bawah” garis. Substitusikan nilai x dan y dari koordinat titik yang dipilih ke LEMBAR KERJA SISWA – MATEMATIKA

1

dalam bentuk pertidaksamaan. Jika diperoleh pernyataan matematika bernilai “BENAR”, maka daerah dimana titik uji beradaadalah merupakan daerah penyelesaian. Sebaliknya, bila bernilai “SALAH”, maka daerah dimana titik uji berada “BUKAN” merupakan daerah penyelesaian. Sebagai contoh, untuk menemukan daerah penyelesaian pertidaksamaan x + 2y ≤ 6 diambil titik uji (0, 0) (bisa juga diambil titik-titik lain). Dari titik uji (0, 0) diperoleh x = 0 dan y = 0. Substitusikan nilai ini ke pertidaksamaan x + 2y ≤ 6 sehingga diperoleh 0 + 2(0) ≤ 6 atau 0 ≤ 6. Pernyataan 0 ≤ 6 adalah pernyataan yang BENAR. Dengan demikian daerah dimana titik (0, 0) berada adalah merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + 2y ≤ 6. Secara visual daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + 2y ≤ 6 dapat dilihat pada gambar 2.

Bahan Diskusi 1.

Gambarlah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut : a. 5x + 2y ≥ 10

b. 1 ≤ x ≤ 5

Penyelesaian : a. Daerah penyelesaian 5x + 2y ≥ 10

2.

b. Daerah penyelesaian 1 ≤ x ≤ 5

Gambar di bawah ini menunjukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear 2x + 3y > 6.

Dapatkan anda jelaskan kenapa garis pembatas daerah penyelesaian pada gambar di atas dibuat terputus-putus ? Coba tuliskan penjelasan anda tersebut secara sederhana namun jelas ! Penyelesaian : ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................................................................

LEMBAR KERJA SISWA – MATEMATIKA

2

3.

Rancanglah pertidaksamaan linear yang memiliki daerah penyelesaian seperti pada gambar berikut : a.

b.

Penyelesaian : a.

........................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................................................................

b.

........................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................

4.

Lukislah irisan dari daerah-daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + y ≥ 6, x + y ≥ 4; x ≥ 0; y ≥ 0 ! (Petunjuk : lukis daerah penyelesaian semua pertidaksamaan dalam satu bidang sistem koordinat kartesius) Penyelesaian :

*** Selamat Bekerja ***


3

LEMBAR KERJA SISWA


: SMAN 10 Bandung

Mata Pelajaran

: Matematika

Kelas/Peminatan

: XI / MIA

Semester

: Ganjil

Waktu

:

Petunjuk : 1. 2.

4. 5.


Pengantar Materi : DAERAH PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR Kumpulan beberapa pertidaksamaan linear yang memiliki penyelesaian yang sama dinamakan sistem pertidaksamaan linear. Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear akan berbentuk suatu daerah yang disebut daerah penyelesaian. Demikian pula halnya sistem pertidaksamaan linear. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear berupa irisan dari daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan linear. Contoh. Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear :

 x + y ≤ 3   x ≥ 0  y ≥ 0  Penyelesaian :

Daerah Penyelesaian : x + y ≤ 3

Darah Penyelesaian : x ≥ 0

Daerah Penyelesaian : y ≥ 0

Irisan daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 3, x ≥ 0 dan y ≥ 0


4

Bahan Diskusi : 1.

Rancanglah gambar yang menunjukan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut! a.

 x + 2 y ≤ 6   x + y ≤ 4   x ≥ 0  y ≥ 0

 x + y ≤ 3   2 x + 3 y ≥ 6   x + 2 y ≤ 4  x ≥ 0, y ≥ 0

b.

Penyelesaian : a.

2.

b.

Tentukan sisten pertidaksamaan yang sesuai sehingga terbentuk daerah penyelesaian seperti daerah yang diarsir pada gambar berikut : a.

b.

Penyelesaian : a.

.......................................................................................

b.

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................


5

LEMBAR KERJA SISWA


: SMAN 10 Bandung

Mata Pelajaran

: Matematika

Kelas/Peminatan

: XI / MIA

Semester

: Ganjil

Waktu

:

Petunjuk : 1. 2.

6. 7.


Pengantar Materi : NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF Perhatikan gambar 1 di bawah ini.

Gambar 1.

Daerah yang diarsir pada gambar di atas merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear : x + 2y ≤ 10; 3x + y ≤ 15; x ≥ 0; y ≥ 0; x, y ∈ R. Misalkan terdapat fungsi f(x, y) = 50x + 40y. Dengan mengamati titik-titik yang terdapat dalam daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear di atas, titik manakah yang menyebabkan nilai f(x, y) maksimum ? Untuk menentukan nilai maksimum fungsi f(x, y) dapat dilakukan dengan cara, yaitu : 1.

Menggunakan Uji Titik Dalam sebuah daerah penyelesaian tentu terdapat banyak titik-titik. Untuk menghitung nilai maksimum fungsi f(x, y), seluruh titik-titik tersebut dapat digunakan sebagai titik uji. Namun karena jumlah titik sangat banyak, cara tersebut tentu kurang efisien. Sebagai gantinya, titik-titik yang akan digunakan sebagai titik uji dipilih, yaitu semua titik-titik pojok daerah penyelesaian dan (kalau perlu) sebuah titik di dalam daerah penyelesaian. Hasil perhitungan dapat dilihat pada tabel berikut : Titik

50x

40y

f(x,y) = 50x + 40y

O(0, 0)

0

0

0

A(0, 5)

0

200

200

B(4, 3)

200

120

320

C(5, 0)

250

0

250

D(2, 2)

100

80

180

Dari tabel di atas, tampak bahwa nilai maksimum f(x, y) pada daerah penyelesaian diperoleh di titik B dengan x = 4 dan y = 3. LEMBAR KERJA SISWA – MATEMATIKA

6

2.

Menggunakan Garis Selidik Penggunaan garis selidik dilakukan dengan cara : a.

Menentukan garis ax + by = k dengan ax + by diambil dari fungsi yang akan ditentukan nilai optimumnya (maksimum atau minimum). Garis ax + by = k inilah yang disebut sebagai garis selidik .

b.

Sketslah garis-garis yang sejajar dengan garis selidik ax + by = k. Dalam hal ini, gunakan nilai k yang berbeda-beda atau geser garis selidik ke kiri atau ke kanan. 1)

Jika ax + by = k1 merupakan garis yang paling kiri pada daerah penyelesaian yang melalui titik (x1, y1) pada daerah penyelesaian, maka k 1 = ax1 + by1 merupakan nilai minimum.

2)

Jika ax + by = k 2 merupakan garis yang paling kanan pada daerah penyelesaian yang melalui titik (x2, y2) pada daerah penyelesaian, maka k 2 = ax2 + by2 merupakan nilai maksimum.

Kembali ke contoh di atas, untuk menentukan nilai maksimum fungsi f(x, y) = 50x + 40y kita gunakan garis selidik 50x + 40y = 100 atau 5x + 4y = 10. Gambar 2 di bawah ini menunjukan posisi garis selidik yang kita gunakan.

Garis g2 merupakan garis hasil pergeseran garis g 1 ke kanan. Garis ini merupakan garis paling kanan yang melalui titik pojok daerah penyelesaian. Titik pojok yang dipotong oleh garis selidik adalah titik B dengan koordinat (4, 3). Dengan demikian, nilai maksimum fungsi f(x, y) diperoleh jika x = 4 dan y = 3. Nilai maksimum yang dimaksud adalah f(4, 3) = 50(4) + 40(3) = 320. Pada masalah program linear, sistem pertidaksamaan yang membentuk daerah penyelesaian disebut sebagai kendala (constraints), dan fungsi f(x, y) yang akan ditentukan nilai optimumnya disebut sebagai fungsi tujuan atau fungsi Objektif .

Bahan Diskusi : 1.

Tentukan nilai optimum fungsi f(x, y) = 25x + 32y pada daerah penyelesaian dalam gambar berikut : a.


b.

7

Penyelesaian : a.

Titik

25x

32y

f(x,y) = 25x + 32y

A ( .......... , .......... )

.........................

.........................

.........................

B ( .......... , .......... )

.........................

.........................

.........................

C ( .......... , .......... )

.........................

.........................

.........................

Nilai optimum ( minimum / maksimum* ) fungsi f(x, y) adalah .............................. b.

Persamaan garis selidik : ........................................................ 1)

Jika garis selidik digeser ke kiri, maka garis paling kiri akan melalui titik ............................................ Dengan demikian akan diperoleh nilai ...................................... fungsi f(x, y) sebesar ............................., yaitu jika nilai x = .............. dan nilai y = ..............

2)

Jika garis selidik digeser ke kanan, maka garis paling kanan akan melalui titik ................................ Dengan demikian akan diperoleh nilai ...................................... fungsi f(x, y) sebesar ............................., yaitu jika nilai x = .............. dan nilai y = ..............

2.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif z = 5x + 3y dari daerah yang dibatasi oleh 3x + 2y ≤ 18; x + 2y ≤ 10; x ≥ 0; y ≥ 0; x, y ∈ R. Penyelesaian : Gambar :

Titik

5x

3y

z = 5x + 3y

Kesimpulan : ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ...................................................................................................

3.

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi objektif z = 6y – 10x pada daerah yang dibatasi oleh sistem pertidaksamaan 5x + 3y ≤ 38; -5x + 3y ≥ -2; y ≥ 1 ! Penyelesaian : ............................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................


8

LEMBAR KERJA SISWA


: SMAN 10 Bandung

Mata Pelajaran

: Matematika

Kelas/Peminatan

: XI / MIA

Semester

: Ganjil

Waktu

:

Petunjuk : 1. 2.

8. 9.


Pengantar Materi :

MODEL MATEMATIKA MASALAH PROGRAM LINEAR Perhatikan masalah berikut : “Sebuah keluarga membangun usaha mandiri dengan memproduksi roti. Roti yang diproduksi terdiri dari dua jenis, yaitu roti A dan roti B. Untuk membuat satu roti A dibutuhkan 150 g tepung dan 50 g mentega, sedang untuk roti B dibutuhkan 75 g tepung dan 75 g mentega. Bahan yang tersedia terdiri dari 26,25 kg tepung dan 16,25 kg mentega. Keuntungan yang diperoleh dari hasil penjualan roti A dan B berturut-turut Rp 2.000,- dan Rp 3.000,- per buah. Berapa banyak roti A dan roti B yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan ”

Masalah di atas merupakan masalah program linear yang dapat kita temui di lingkungan sekitar kita. Bila masalah yang diungkapkan dengan kata-kata di atas diubah ke bentuk-bentuk persamaan/pertidaksamaan matematika, maka akan terbentuk suatu model matematika. Untuk menyusun model matematika, diperlukan kemampuan memilah unsur-unsur cerita ke dalam bentuk variabel-variabel dan nilai-nilai, serta memahami hubungan matematis yang terjadi. Sebagai contoh, model matematika dari masalah di atas dapat dirumuskan sbb. : 1.

Rangkum masalah ke dalam bentuk tabel agar mudah memahami masalahnya. Gunakan satuan yang sama untuk semua ukuran bahan yang diperlukan. Bahan yang diperlukan (dalam g) Tepung

Mentega

Harga Jual ( Rp )

Roti A

150

50

2000

Roti B

75

75

3000

Nama barang

Tersedia : 26250

2.

Tersedia : 16250

Catatan : Tepung 26,25 kg = 26250 g, Mentega 16,25 kg = 16250 g. Karena yang ditanyakan menyangkut barang, maka dalam masalah di atas banyak barang merupakan variabel. Untuk mempertegas, pilih nama variabel untuk setiap barang. Untuk barang yang berbeda digunakan nama variabel yang berbeda pula. Untuk contoh masalah di atas, dibuat nama varibel x 1 untuk menyatakan banyak roti A dan x 2 menyatakan banyak roti B.

3.

Hubungan matematis yang dapat disusun antara lain : Penggunaan tepung : 150x + 75y ≤ 2650 Penggunaan metega : 50x + 75y ≤ 16250 Syarat logis

: x ≥ 0 dan y ≥ 0

Total penjualan

: H = 2000x + 3000y

Hasil dari langkah ke-3 diperoleh beberapa bentuk pertidaksamaan. Secara keseluruhan membentuk suatu sistem pertidaksamaan linear. Sistem persamaan linear inilah yang disebut sebagai model matematika dari masalah di atas.


9

Bahan Diskusi : 1.

Dengan mengamati model matematika yang terbentuk pada langkah ke-3 uraian diatas, coba jelaskan : a.

Kenapa pada pertidaksamaan kesatu dan kedua digunakan tanda pertidaksamaan “ ≤” (dibaca : kurang dari atau sama dengan) sedangkan pada syarat logis menggunakan tanda pertidaksamaan “≥” (dibaca : lebih dari atau sama dengan) ? Penyelesaian : .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................

b.

Kenapa perlu ditambahkan syarat logis x ≥ 0 dan y ≥ 0 ? Penyelesaian : .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................

2.

Coba rancang model matematika yang tepat untuk masalah berikut : a.

2

2

Luas daerah parkir di suatu tempat adalah 540 m . Luas rata-rata untuk sebuah mobil 6 m dan 2

sebuah bus 24 m . Parkiran tersebut dapat memuat 60 buah kendaraan. Biaya parkir sebuah mobil Rp 2.000,- dan sebuah bus Rp 6.000,-. Penyelesaian : .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... b.

Sebuah developer akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe Kencana dan Mutiara. Uang muka untuk sebuah rumah kencana adalah Rp 12.000.000,00 dan untuk sebuah rumah mutiara Rp 6.000.000,00. Rumah yang akan dibangun paling sedikit 100 buah dan di harapkan uang muka yang masuk paling sedikit Rp 900.000.000,00. Biaya untuk membangun sebuah rumah ti pe kencana adalah Rp 60.000.000,00 dan tipe mutiara 40.000.000,00. Penyelesaian : .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................

3.

Susunlah sebuah masalah program linear yang dapat ditemukan dalam kehidupan sehari-hari beserta model matematika yang cocok untuk masalah tersebut. Penyelesaian : ............................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................


10

LEMBAR KERJA SISWA


: SMAN 10 Bandung

Mata Pelajaran

: Matematika

Kelas/Peminatan

: XI / MIA

Semester

: Ganjil

Waktu

:

Petunjuk : Isilah nama kelompok dan anggota secara lengkap, 2. Cermati permasalahan yang dikemukakan, 10. Selesaikanlah setiap perintah/pertanyaan/soal yang diajukan dengan cara mendiskusikan dalam kolompok, 11. Kumpulkan LKS yang sudah lengkap kepada guru pengajar di kelas. 1.

Pengantar Materi :

PENERAPAN KONSEP PROGRAM LINEAR Penerapan konsep program linear dalam kehidupan sehari-hari sangat tergantung pada kemampuan menyusun model matematika dari masalah yang dihadapi. Terbentuknya sistem pertidaksamaan linear dan fungsi objektif dalam model matematika yang disusun mencirikan bahwa masalah tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep program linear. Selanjutnya, dengan berpedoman kepada cara-cara menentukan nilai optimum dari fungsi objektif, maka penyelesaian masalah program linear dapat dengan mudah dilakukan.

Bahan Diskusi : Tentukan Nilai Optimum dari masalah berikut ( dengan 2 cara) 1.

Sebuah developer akan membangun dua tipe rumah, yaitu tipe Kencana dan Mutiara. Uang muka untuk sebuah rumah kencana adalah Rp 12.000.000,00 dan untuk sebuah rumah mutiara Rp 6.000.000,00. Rumah yang akan dibangun paling sedikit 100 buah dan di harapkan uang muka yang masuk paling sedikit Rp 900.000.000,00. Biaya untuk membangun sebuah rumah tipe kencana adalah Rp 60.000.000,00 dan tipe mutiara 40.000.000,00. Penyelesaian : .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................................

2.

Seorang penjual tanaman dalam pot menggunakan gerobak untuk menjajakan tanamannnya. Tanaman yang dijual adalah bunga mawar dan bunga anggrek. Harga beli tiap pot bunga mawar adalah Rp 4.000,00 dan tiap pot anggrek Rp 6.000.00. Modal yang tersedia adalah Rp 120.000,00 dan gerobak dapat muat 25 pot bunga. Keuntungan tiap pot bunga mawar adalah Rp 5.00,00 dan anggrek Rp 1.000,00.


11

Penyelesaian : .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. 3.

Sebuah pabrik farmasi menyediakan dua jenis unsur x dan y. Unsur x mengandung 0,4 kg bahan A dan 0,6 bahan B , sedangkan unsur y mengandung 0,2 kg bahan A dan 0,8 kg bahan B. Banyak bahan A yang tersedia adalah 4 kg dan bahan B 2 kg . Harga tiap unsur x dan y masing-masing Rp 25.000,00 dan Rp 30.000,00. Penyelesaian : .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................................

4.

Sebuah rombongan tour terdiri dari 36 orang. Mereka mengadakan wisata ke sebuah kota dan menginap di wisma. Wisma tersebut menyediakan 10 kamar dengan dua tipe, yaitu tipe A muat 3 orang dengan uang sewa Rp 25.000,00 semalam dan tipe B muat 4 orang dengan uang sewa Rp 30.000,00 semalam. Penyelesaian : .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................................


12

LKS 01 - Program Linear

Recommend Documents