Oscar J.
J.
do
Breve lntroducao Probabilidade independente ualq ualq er past pastul ulad ad
inte inte pret pret iioo iioo
leitor me
baslcos
aleatorios. deterministico
Na
experimento cert certo, o, se ur
pa avra avra aleatorio
denominado ou necessaria
A. evento impossivel,
usada
declarado
impassivel.
Breve lntroducao Probabilidade independente ualq ualq er past pastul ulad ad
inte inte pret pret iioo iioo
leitor me
baslcos
aleatorios. deterministico
Na
experimento cert certo, o, se ur
pa avra avra aleatorio
denominado ou necessaria
A. evento impossivel,
usada
declarado
impassivel.
Teor Teoria ia da Prob Probab abil ilid idad ad
lntroducao
Exemplo: valor de cond condic ic es), es), enta enta nece necess ssar aria iame me te locidade -J2ijFI: (evento ).
de ermi ermi is ic s,
isto isto
bjet bjet
fo aban aban o-
at ngir ngir
nece necess ssar ario io ou impo imposs ssiv ivel el
seja apenas nece necess ssar ario io ou impo imposs ssiv ivel el
i.e.
evento aleat6rios.
Exemplo:
me
oa ESPA ESPAQO QO AMOS AMOSTR TRAL AL
A.t.
Conceitos basicos
Exemplos:
onde
ponto
re rese conjunto
represen
coroa.
(6,5),
produt cartesiano (6,6)} {x Analogamente
l,
(Sl)N
..,
l,
ou
elementos.
{G,K}
{G,K}
elementos, ou simplesmente
(SO)3
ro ut (SO)N
{x
term na fenornen aleatoric, repeticoes ependentes au ndependentes pr duto cartesia (S)N {x (z,,
(z,, X 2 X 3 moedas cartes an
,N}.
do experiment
lntroducao
Teoria da Probabilidad
JR3.
5000 horas}
EVENTO Na
Exemplos:
E1
E1
correspondendo Alternativamente (X1,X2,X3)
conjunto
1x1 + X
+X
-I}.
proprieda-
A.
roba ilid de
[0,60], encontro
evento
definimos
E\F.
EC
[0,60]2 correspondente
F, F, se evento complementar
8\E.
Definicao:
sao evento
tua-
ente exclusivos se
Exemplos: que definindo
se
experimento
{KKK},
sa
mutua-
lntroducao onde es ab lizar-se
Teoria da Probabilidad evento
ua do
N-too
A, mirnero mimero
probabilistico ou estoctistico evento A.
probabilidade
motivam
Definicao:
P(E),
chamado probabilidade,
propriedades: 1. (8
:i P(Ei).
P(UiEi)
Exemplos: face
.e
se entao P ( E )
i.
urn
e.,
Exercicio: ao
sult ad
st
se pr mo
st
fa
0,
pu
pr babilida
do vent
ss
do
A.
roba ilid de
P(E) qualquer nurneros
,P
satisfazendo Pi
Pi
onde
P(E)
LPi. xiE Xi
N'
Pi
P(E) onde
E.
.e 1/8.
Cons deremo espaco amostral i.e.
{x
P(E) P(E). espaco amostral S4
[0,60]2
descrever
P(F)
S4
X2
{2,3}}
Teoria da Probabilidad
lntroducao
Exerdcio: Calcul valo S5 em
probabilidad
b] onde
P(E)
correr
encontro
b,
P(E) onde
E.
conuz as se uintes pr pr edades 1. P(¢) 1-
P(E)
¢)
P(E) P(E)
A.2.2
Distrlbuicoes
P(EC
de probabilidad
-+ propriedades: a) b) fsp(x)d x=l.
2Dem nstre esta
propriedades!
od
Xl
A.
roba ilid de d en s d a d e d e p ro ba b d a e .
Exerdcio: plos anteriores
Exemplos: IR
IR
V2if
27r
2(}
=-
x)
,e-'Y
2;
se
Exerdcio: pr ba ilidad IR3
fusao D,
encontrar
lidade
pdx) Exerdcio:
(47rtD)~
lntroducao
A.2.3
Distrlbuicoes
Teoria da Probabilidad
mistas
exemplo, consideremos espaco discreto com probabilidades P(ai) qu sa isfaze
2, .,
IR},
IR
(x IR, atrave de
P(E) LPi' iE
tu,
pois P ( E )
se
conjunto
Exerdcio:
P(E)
dade.
Exemplos: IR
/3P2
,n
A.
11
roba ilid de onde
0, tambem
LPi
Pi
(E
que
conti-
-+ discreta
(x
lim t-tO
em que
-+
-+ 0, respectivamente
Definicao: sao independentes
P(E)
P(F).
se
lntroducao
Teoria da Probabilidad
Exemplos:
-1}
S3 IX1
1} S3
Verifiqu
se uint
O} esta afirmativas.
O}nao independentes.
S3
forma:
1.
Y1
., Ym} P{Xi},
P{Yj},
.,
m em o
...,
Xi
Yj
..., n;
..., m}
ReF
Ne
sao R.
Sl
exemplo funcao
S2
em IR
IR
(z,, 2) Sl
IR2.
S2
S2 Sl
sao independentes.
Exerdcio. exemplos acima. se uint IR
exem
A.
ia
is
13
le t6ri (X1,X2)
(X1,X2) co juntos ar itrarios
E}, onde A,E ao indepe de te
Varlaveis Aleatorias
A.3
aleatoria
I,
S.
I:S-+IR, xES-+I(x)EIR.
Exemplos: Sl
{I .. 6} as funcoe
Idx) qu descreve
respectivament
.e (SO)3
es ac
as funcoe
is
com
S,
amostral
A} IR sao
Teoria da Probabilidad
lntroducao moedas,
(SO)N
3.
se se
(x
fi (x
(x (x
para xi
(x
1,2,3, x§
x~
xi
x§
x~
origem.
A.3.t
Dlstrlbuicao
de probabilidades i.e.
N}
{Xi,
P{ Xi}, .. ,N
lo .,a
embora imagem
j.
onde
f(Xi)
f(xj)
A.
ia
is
15
le t6ri
i.
{x
f(x)
assumir
aj},
valor aj
,q
aleatoria
d i r ib u { :- i
d e p ro ba b d ad e
f.
1,
LKqj j=
f(S)
Exemplos: Sl, aleatoria
(SO)3,
(S
aleatorias 1}
«r}
{f
(S
{b
-1,
{f
~,
=-
q4
{f
a1
{f
b2 b3
{f
4}
{a
a2
1}
-1, a2
Teoria da Probabilidad
lntroducao
Caso continuo um
em S,
probabilidad
i.
distri uica
ro ab lida
i.e.
A,
lo
isso escrevem
am em
Exemplo:
(x
calcular
[0,
onde
entao
([0,
p(x)dx,
([O,aD
{'IU
p(x)dx.
aleatoria
sendo densidad
er
as pr pr edades
0,
Exemplo:
Ph
Ph, re-
Ph
Ph
2~P(X) se discrete se conconjunto enumertiuel. formam uma uaruioel aleat6ri
Definiciio:
junto
(S)
ur conjunto continua.
niio enumertiue
(S
siderar
en ao considerar
ai),
Re
Exemplo: f:S-+IR,
escreve, po exem lo
{ai,
co junt
imagem
lntroducao
Teoria da Probabilidad
onde A.
Co sideremo
simu ta eament
ua variavei
mente
alea or as
num simultanearespectivamente. atraves h,h em
(Ph,h ( X l , X2))
funcao Ph,h em J R 2 , Ph,h ( X l , X 2 de dX
de probabilidad
X ld x
Definlcao: probabilidad dentes
i.e. (E conjuntos
P, duas variavei alea or as f2 (A E, fl-l(A (E
ao dita indepensao independentes,
),
variavel aleatori variavel Ve fiqu probabilidades.
qu
le ao de nu
al
dist
aleatoria
Se
Ph,h
Exemplo: Consideremos ga ssia
espaco amostral
IR?co
distribuicao
de pr ba il da
Xl
is Verifiqu
um
esta
Xl
!4
Xl
tambem
sao.
afirmativas!
variavel alea or a.
A.4.1
Media
), Scorn
aleatoria
{Xl,
com P ( X i )
entao
lntroducao
veis valore qu aria el alea or infinito) {Yk,
co
Teoria da Probabilidad
P(J
probabilidades
Yk).
Ora ilf(xi)=Yk
portanto
Exemplos: Cons deremo as variavei calcular
i.e. Sl (i (it))2·
alea oria
i6
(it)
(1
.., Podemo
enta
6)
(h) possivei
ca cu ar
i.e. to do
S, podemo
( S O ) 3 com calcular
(~)3 para
21 funcoes
definida
(Ii)
2:xES
anteriormente:
(~)3 Xi
0,
(~
(h
Xl
(x
,x
))
(x),
-+
entao
variavel aleatori junto de sida
I,
ntegra do-s
obre
con-
os al re possiveis de de pr ba ilidad Pf(Y):
(I)
fs=Rn
P( funcoes
1= i. e.,
'l
-+
1,... ,N.
Exemplos: 0 , 1 ] i. e. (x
se se
0, 1] [0 1]
Teoria da Probabilidad
lntroducao entao
(1)
dxxPf(x)
dxx
Pf(X) ("'_"'0)2
facil
20"2
(T
(1) Pf(x)
entao (1)
Justifique!
Se
ma e-
0, se
onde
se
0, enta
(1) =~
media' Se 1. ( k J ) 2.
k(1);
(1
(1) sa
(g);
aria ei
alea oria
independentes
(1g)
Exercido:
Demonstre
stas pr priedad s.
entao
23
admite probabilidades probabilidades
{pi,
sa
{Xi, {Yi,
}c
{qj, (1g)
como
al re
( X i Y j ) P(J
variavei
alea or as
independentes
Portanto,
Para se tribuica
ao aria ei aleatorias conjunta Pf,g(x,
independentes, Pf,g(x,
pg Y)
moda
Exemplos: Pf(x)
assume
valor
f(x)
Observacao: media.
(X-XO)2
"f2iru
e-
e-~
lntroducao
Teoria da Probabilidad
(}f,
de uariiincia de ()]=
U))2
()]= i>
(U)) para reescrever
Exemplos:
Exerdcio:
os
o,
25 ar su
ar av
ua
dist bu ao
nifo
,1),
va an
ar
um
va
ve
st
ui ao
-.Ax
(}f
(x-xO)2
Pf(x)
(T
e-~,
variancia 00
()f
nt
ssan
nc al
dx
-00
(x_xg)2 20"
no ar qu
l, dade
(x
=().
at av
pr babili de
a)
variancia sa
independentes,
entao
va iaveis aleat rias
lntroducao
Teoria da Probabilidad
/T
±g
{ft"
(}]i
(Ii)
desvio padrao
(}2,
VJV().
(}SN
(Ii)
(S N, padrao
VJV!
(}SN
dlstribuicao
(I)
(j2) f:
(In).
,2
(In)
para i. e.
A.5.
Funcao
perm te ca cu ar 0,
se
entao
(F(J))
L:anU
L:anan.
Exemplo:
co
t' xndx
un)
(J)
um
distri uica
_ 1 _ .
n+
entao
dx=e-1. n=O
todos
.e.
{Xk'
.. ,N co probabilidades do momentos
probabilidades
P(J un) an
Pk
Pk
A.5
Xk,
para
Xk)
Pk.
os va ores
Xk
N.
Funcao
Varlavel Aleatoria un)
de probabilidad
Teoria da Probabilidad
lntroducao
onde
itxk
tambem
Cf(t) ponto
Exemplo:
Su
funcao caracteristica
Te re
Importante
me
Cf(t)
funcao caracteristica C, determina da variavel aleatori
t)
29
funcao caracteri'stica funcao caracteristica
Gf(t) possui as se uintes
ro riedades
1. Se
g, sa
variavei
alea or as
independentes
entao
fN
. e . Ph
evento ur al
PfN' entao
nE/N
em
P(E),
-+
0, consideremos
espaco amostral So
considerarmos amostral relevant com probabilidad
(So)N 2~.
i. e.
Xl
qu {-1,
descreve Se espaco
lntroducao ss fo
valo ad ad
nsideremo
ar
Teoria da Probabilidad
defini
ar
nv st ga
ss fa
variave aleat ri
onde se se
le
+1
gi
por"
(TJN sign fi um
qu
va av
po an
st
lo nu
-+
ve gind
quando pa
apli ac
-+
que
stan
ar
um
prat as
sigual ad
0: (f2)
>a
>a
seja
i, independentes.
sa
mu uament
lmportancia
da Gaussian 31
(J2
noss
variavel iN
sigualdade variavel variancia (J;N (JJN'
em acao,
Teorema:
Sejam espaco amostral
iN
(i (Xi)
112:[:1
(J~i
(J2
Entao, (J2
a)::;
f;
~N -+
uand
-+
lmportancia Gaussiana
onde
(i (Xi)
da
lntroducao (]"~i
(]"2,
-+ riavel
Teoria da Probabilidad
ua do
-+
iN
(]"2.
ou equivalentemente,
,q
.I
(t
m)
(]"2
calcul
da funcao caracteristica
onde as ariave calculado.
aleatorias
i,
gN
(]"~i.
tra da variavel gN. Por simplicidade Usando
.. ,N
Para i_t
e.jN
2N
N2'