Derivadas de Funciones Reales

I.T.Telecomunicaciones I.T.Telecomunicaciones

Curso 2000/2001

DPTO. MATEMÁTICA APLICADA

Tema 2: Derivación de funciones reales. Aplicaciones 1. Derivada de una función en un punto. Definición: Sea f : D   →  una función y sea a ∈ D . Llamamos derivada de la función y = f ( x) punto x = a , y lo representamos por f ′ (a ) , al valor valor del del siguien siguiente te límite límite (si exist existe) e) : f′ ( a)

=

Lim

h→ 0

∆y = ∆ x

f ( a + h ) − f (a )

Lim

( a + h) − a

h→ 0

=

Lim

f ( a + h ) − f (a )

h→ 0

en el



h

Observaciones:

a) La derivada de una función en un punto es un número. b) También nos podemos encontrar con la siguiente definición equivalente de derivada : f′ ( a)

=

f ( x ) − f (a )

Lim



x − a

x → a

2. Interpretación geométrica. Tangencia.

Consideremos la función y = f ( x) , tom tomem emos os dos dos pun punto toss A (a , f ( a)) y B (a + h , f ( a + h)) de dicha función y tracemos la recta s ≡ y = ms x + b que pasa por dichos dos puntos. Mirando el dibujo se observa que :

• La recta

s

es secante a la función y = f ( x) .

• La pendiente de la recta ms

s

es :

= tg α =

f ( a + h ) − f (a )

( a + h) − a

=

f ( a + h) − f ( a) h

=

∆ y ∆ x

Entonces, cuando ∆ x = h → 0 , tenemos que el punto B tiende a convertirse en el punto A, y por tanto, la recta secante s tiende a convertirse en la recta tangente a la función y = f ( x) en el punto A. Es decir : Lim m s

=

=

m r

h→ 0

Entonces :

Lim m s

h→ 0

Limtg α

h→ 0

⇒

=

Lim tg α

h→0

Lim

h→ 0

f ( a + h ) − f (a ) h

=

) f′ ( a

= tg β =

mr

= tg β . Con lo que tenemos que la interpretación geométrica

es la siguiente : La derivada de una función y = f ( x) en un punto x = a , f ′ ( a ) , coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto, es decir : ) f′( a Javier Martínez del Castillo

= tg β = Tema 2

m r

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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Por Por lo lo tan tanto to,, com comoo sab sabem emos os que que la la ecu ecuac ació iónn pun punto to-p -pen endi dien ente te en un punt puntoo x ( 0 , y 0 ) es : y − y0 = m ( x − x0 ) , podemos expresar la ecuación de la recta tangente a la función en el punto x = a como : f ( x) − f ( a)

= f ′ ( a) ⋅ ( x − a)

Es decir : “ La ecuación de la recta tangente a la función y = f ( x) en un punto x = a , es la recta que pasa por el punto (a , f (a )) y que tiene tiene por pendi pendient entee la la der deriva ivada da de la funció funciónn en en el el punt puntoo x = a ”. Además, f ′ (a ) mide la “rapidez” de variación de la función, es decir, la proporción entre lo que varia la variable dependiente ( y y) y la independiente ( x x), cerca del punto x = a . Ejemplo 1:

Sea y = f ( x) = x 2 .

a) Calcular la pendiente de la recta tangente en el punto x = 3, y escribir la ecuación de la recta tangente en dicho punto. b) Análogo para la recta normal. Observaciones:

a) La aplicación del concepto de derivada es muy importante, ya que por ejemplo v = a=

b) Si

dv

ds dt

ó

.

dt f ′ ( a )

exist existe, e, entonc entonces es direm diremos os que f es derivable en x = a .

Definición: Decimos



que una función es derivable, si lo es en cada punto de su dominio. Entonces podemos

definir la función : f

 →  ′ : D f 

Esta función recibe el nombre de función derivada, y asocia a cada punto su derivada (un número). Teorema:



Consideremos una función f y sea a ∈ D f . Entonces : Si f es derivable en a ⇒ f es continua en a

s

El recíproco no es cierto. Es decir, el hecho de que una función sea continua en un punto no implica que tenga que ser derivable en dicho punto. 

Observación:

Ejemplo 2:

 x − x

Sea f ( x) = x = 

si x ≥ 0  si x <

 . Comprobar que es continua en 0, y sin embargo no es

0

derivable en 0.

Javier Martínez del Castillo

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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA 3. Derivada de funciones polinómicas polinómicas

Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo. Entonces también son derivables su suma, y el producto de una constante por una de las funciones. Además :

Lema:

a) ( f + g) ′ = f ′ + g′ b) ( k ⋅ f ) ′ = k ⋅ f ′

s

Teorema:

a) Si f ( x) = k b) Si f ( x) = x c) Si f ( x) = x n Corolario: Sea f ( x)

=

⇒ ⇒ ⇒

f ′ ( x) =

∀ x∈ ∀ x∈ f ′ ( x) = 1 −1 ∀ x ∈ f ′ ( x) = n ⋅ x n

an ⋅ x n f ′( x)

+

0

an −1 ⋅ xn −

1

+



+

a1 ⋅ x

+

s

a0

una función polinómica. Entonces :

= n⋅ an ⋅ x n −1 + ( n − 1) ⋅ an −1 ⋅ x n − 2 +



+

a1

s

4. Derivada de productos y cocientes Teorema:

Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo. Entonces :

a) ( f ⋅ g) ′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g′

′  1  f ′ b)   = − 2  f  f ′ f ′ ⋅ g − f ⋅ g′  f  c)   =  g  g2

Ejemplo 3:

2

+1 Sean f (x ) = 3 x − 2x x

s

y

g( x )

=

2

x

− 3x 5

. Calcular f ′ ( x ) y g ′( x ) .

5. Derivada de funciones trigonométricas Teorema:

a) ( Sen x ) ′ = Cos x

d) (Co sec x ) ′ = − Co sec x ⋅ Co tg x

b) (Cos x ) ′ = − Sen x

e) ( Secx ) ′ = Sec x ⋅ tg x

c) (tg )x′ = Sec2 x= 1 + tg 2 x

f) (Co tg tg x ) ′ = − Co sec 2 x = − 1 − Co tg 2 x


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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA 6. La regla de la la cadena Teorema: Sean f y g dos funciones tales g es derivable en x función f  g es derivable en a, y además se verifica que :

= a , y f es derivable en g ( a ) . Entonc onces la

( f g) ′( a) = f ′ ( g( a) ) ⋅ g ′ ( a)

s



Ejemplo 4:

a) Sean f ( x) = x2 − x y g( x ) = x 3 . Calcular ( f g ) ′ (2 ) . 

b) Calcular la derivada de (4 x 3 + 7x 2 )10 . n

Generalizando, al usar el método de la regla de la cadena, tenemos que si y = [ f ( x)] , y f (x ) es derivable, entonces y también es derivable y además su derivada es :

Observación:

y′

= n⋅ [ f ( x)]n−1 ⋅ f ′ ( x)



7. Derivada de las funciones exponenciales Teorema:

a) Sea f( x) = a x con a > 0 . Entonces : f ′ ( x) = a x ⋅ L La a. b) Sea f ( x) = e x . Entonces : f ′ ( x) = e x . Teorema:

s

Sea g una función derivable y sea h( x ) = a g ( x ) . Entonces, h es derivable y además : h ′( x )

Ejemplo 5:

=

a

g( x)

⋅ g ′( x ) ⋅

La

s

Calcular las derivadas de las siguientes funciones :

a) y = e 3x

b) y = e Senx

c) y = 2 3 x +1

d) y = x 2 ⋅ 3 − x

8. Derivación implícita

Llamamos función implícita a aquella en la que la variable dependiente “ y y” no aparece despejada en función de la variable independiente “ x x”. En caso contrario hablaremos de función explícita.

Definición: 

Así, 3 x − 2 y + 5 = 0 está dada en forma implícita, mientras que y =


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3x + 5 está en forma explícita. 2

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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Por tanto, si queremos derivar una función en forma implícita, lo que hacemos es derivar la ecuación de partida miembro a miembro, y posteriormente despejar y ′ (teniendo en cuenta que x ′ = 1 ). Ejemplo 6:

a) De D erivar de forma implícita y explícita 3 x − 2y + 5 = 0. b) Consideremos la función x 2 + y 2 − 4 = 0 que es una circunferencia de centro (0,0) y radio 2. Derivar la función de forma implícita y explícita, evaluándola en el punto ( 3 , 1) . c) Hallar la pendiente de la recta tangente a x 2 + y 2 = 4 en x = 1. d) Hallar y′ si x 4 + x2 y3 − y5 = 2 x + 1 . 8.1 Derivada de un logaritmo.

Para calcular la derivada de una función logarítmica, se utiliza la derivación implícita. Así tenemos que : Teorema: y=

a) Si

Lx

⇒

y′

=

b) Si y = L ( u( x)) ⇒ y=

c) Si

lo g a x ⇒

d) Si y = log a u( x) ⇒

Ejemplo 7:

Teorema:

Derivar y

Sea

y

x y′ y′ = y′

=

u′(x )

1 x

=

u( x )

⋅ l og a e u′ (x ) u( x )

⋅ log a e

s

 Sen 2 3x  = L  3  .  x 

= f ( x) g ( x ) donde y′

Ejemplo 8:

1

f

y g son dos funciones derivables, entonces :

 f ′ (x )  = f ( x) g ( x ) ⋅  g ′ ( x) ⋅ L f ( x ) + g( x ) ⋅  f ( x )  

s

Derivar las siguientes funciones:

a) y = x

x


b) y = x

tg x

c) y =

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x

3

⋅

2

Sen x

( x + 1) ⋅ (x − 2) 2

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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA 9. Derivadas de orden superior

Dada una función f ( x ) , si es deriva derivable, ble, calculam calculamos os su deriva derivada. da. Ahora Ahora,, f ′ ( x ) es otra otra funció funciónn que que tamb también ién puede ser derivable, y calculamos su derivada, es decir, ( f ′ ( x ))′ = f ′′ (x ), y así definitivamente. Así, tenemos que : f

n

( x) = ( f

n −1

( x)) ′

d n ( y)

o

dx n

=

 d n−1 ( y )  d    dx n−1  dx

Ejemplo 9:

a) Sea f ( x) = x⋅ cos x. Calcular f 3 ( x ) . b) Sea f ( x) = L x . Calcular f n ( x ) . 10. Aproximación lineal y notación diferencial.

Es frecuente encontrase con funciones que presentan fórmulas complicadas, con las que es muy difícil trabajar. Es por esto, por lo que sería importante intentar aproximar linealmente la función en un punto, y esto lo podríamos hacer con la recta tangente a la gráfica en dicho punto. Es posible demostrar, que si existe f ′ ( a ) , entonces la función f puede ser aproximada para puntos cercanos al punto a, por una función lineal, que es la recta tangente a la función en dicho punto : r

≡ f ( x ) − f ( a ) = f ′ ( a ) ⋅ (x − a )

Estamos interesados en saber lo cerca que está la recta tangente a la gráfica de la función, cuando a cambia al punto a+h. Si realizamos la gráfica correspondiente, se observa que se produce un error al aproximar el valor de f ( a + h) al tomar la recta tangente, ya que, usando la recta tangente, tenemos que : f ( a + h)

= f ( a) + f ′ ( a ) ⋅ ( a + h − a )

⇒

f (a + h)

=

f (a )

+ f ′ (a ) ⋅ h

Dicho error, lo representamos mediante la función de error : E( h) = f ( a + h) − ( f ( a) + f ′ ( a) ⋅ h ) . Además, se cumple que : Lim h→ 0

E ( h) h

 f ( a + h ) − f (a ) − = Lim h→ 0  h 

f ′ ( a) ⋅ h h

 = f ′ ( a) − f ′ ( a) = 0

Lo cual, nos indica que E(h) (el numerador) tiende a 0 más rápidamente que h (el denominador). Además, si escribimos E( h) = ε ( h) ⋅ h, podemos escribir el siguiente teorema :


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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Sea

Teorema (Aproximación lineal): que depende de h, tal que: f ( a + h)

y = f ( x)

una función función deriv derivable able en. en. Entonce Entoncess existe existe una función función,,

= f ( a) + f ′ ( a ) ⋅ h + h ⋅ ε (h)

Observación: Como consecuencia, en x = a , podemos hacerlo como:

con

Limε ( h)

h→ 0

=0

s

para aproximar la función f en un punto cerca de a, siendo f derivable f ( a + h)

≈ f ( a) + f ′ ( a) ⋅ h



10.1 Notación de Leibnitz

Por lo visto anteriormente, tenemos que f′ ( x)

=

Lim

∆ x → 0

∆y = ∆ x

dy dx

⇒

dy

= f ′ ( x ) ⋅ dx .

Si en la ecuación dy = f ′ ( a) ⋅ dx , tomamos dy como variable dependiente y dx la variable independiente, y si se centran unos ejes en (a , f ( a )) , lo lo que que se obse observ rvaa es que la ecuac ecuación ión anter anterior ior nos da la ecuaci ecuación ón de la recta tangente a la función en el punto (a , f ( a )) . Todo Todo esto esto nos nos lle lleva va a la la sig sigui uien ente te defi defini nici ción ón:: Sea y = f ( x) una función derivable en a. Llamamos diferencial de f en a , a la siguiente aplicación lineal: Definición:

dy

= f ′( a) ⋅ dx



Del teorema anterior se observa que la diferencial de f en a, es la aproximación lineal que mejor se aproxima a la función cerca de a. 

Observación:

Ejemplo 10:

Sea f ( x) = x3 −

1 x

2

. Calcular la diferencial en x = 2 .

11. Funciones inversas

Sabemos que una función es una regla que asocia a cada elemento del conjunto inicial un único elemento del conjunto final. Sin embargo, las funciones que nos interesan son aquellas en las que distintos valores del conjunto inicial tienen distintas imágenes.


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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Decimos que una función f es inversible , si existe otra función que denotamos por f −1 ( y se lee inversa de f ) tal que se cumple: Definición:

( f f −1 ) ( x) = ( f −1 

Observación:

Dominio f = Rango f −1

y

f ) ( x)



=



x

Rango f = Dominio f −1



Ejemplo 11:

a) Ver si y = f ( x) = x2 es inversible, y en este caso, calcular f −1 ( y ) . b) Ver si y = f ( x) =

x

es inversible, y en este caso, calcular f −1 ( y ) .

Definición: Decimos que una función f es inyectiva f ( x1 )

Teorema: f es Observación:

cuadrante.

= f ( x2 )

si:

⇒

inversible ⇔ f es inyectiva.

x1

=



x2

s

Gráficamente, una función y su inversa son simétricas respecto a la bisectriz del primer 

Sea f una función inversible y derivable, y sea f ( a) = b. Entonces si f ′ ( a ) ≠ 0 , entonces f −1 es derivable en b, y además: Teorema:

( f −1 ) ′ (b) =

1 f ′ ( a )

s

Ejemplo 12:

a) Sea y = f ( x) = x3 . Hallar ( f −1 ) ′(8) de dos formas distintas. b) Sea y = f( x) = Senx con x ∈ (− π2 , π 2 ) . Ver que f es inversible y calcular ( f −1 )′

11.1. Funciones trigonométricas inversas Teorema:

a) b) c)

d

(arcsen u ) dx

d (a rc c o s u ) dx d

(arctg u ) dx


= = =

1

du

d)

1 − u 2 dx

−1 1− u2 1 1+ u

du

e)

dx du

2

f)

dx

Tema 2

d ( arc sec u ) dx

=

d ( ar cos ec u)

dx

u⋅ u

=

dx d ( ar arcc tg u )

−1

=

2

du

−1

dx

1 u⋅ u

−1 1+ u2

du 2

−1

du

dx s

dx

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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA 11.2. Funciones hiperbólicas Definición: Definimos las funciones hiperbólicas como : Senh Senh x

=

x

e

− e−x

Cosh x

2

Observación: Cosh 2 x

−

2

Senh x

= 1.

=

e x

+ e−x

Tgh x

2

− e−x = x − x e +e e x





Teorema:

a) ( Senh x ) ′ = Cosh x

d) (Co sec hx ) ′ = − Co sec h x ⋅ Co tgh x

b) (Cosh x ) ′ = Senh x

e) ( Sechx ) ′ = − Sech x ⋅ tgh x

c) ( Tgh x ) ′ = Sech 2 x

f) (Co tgh x ) ′ = − Co sec h 2 x

s

12. Primitivas Definición: Sea f (x ) f ′ ( x) = g( x) .

una función función y suponga supongamos mos que existe existe f ′ (x ) . De Decimos imos que que f es una primitiva de g, si 

Sea f ( x ) una funci función ón defini definida da en un un interva intervalo, lo, y sea F (x ) una una pri prim mitiv itivaa de de f (x ) . En Entonces todas las primitivas de f ( x ) son son de de la la for form ma F ( x ) + c , c ∈  . s Teorema:

Teorema: Sean f y g funciones continuas definidas sobre el mismo dominio. Si F y G de f y g respectivamente, entonces :

son las primitivas

a) F ± G son primitivas de f ± g . b) c ⋅ F es primitiva de c ⋅ f .

s

Ejemplo 13: Hallar primitivas de las siguientes funciones : f( x)

= sen

ax

f( x)

= cos

f ( x)

ax

=

eax

f ( x )

1

= . x

13. El teorema del valor medio.

Ya sabemos que una función continua en un intervalo cerrado y acotado, alcanza su valor máximo y mínimo. Sin embargo, puede ocurrir que la función tome otros “máximos” y “mínimos” que llamaremos relativos, ya que no coinciden con los absolutos, y se llaman así, ya que podemos hablar de máximos y mínimos para puntos cercanos a dichos puntos.


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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Definición:

a) Si f (x1 ) es un valor máximo de f ( x ) para x1 − h < x < x1 + h algún h > 0 , entonce entoncess f ( x1 ) será un valor máximo relativo de la función. b) Si f (x2 ) es un valor mínimo de f ( x) para x2 − h < x < x2 + h para algún f ( x2 ) será un valor mínimo relativo de la función. 

h> 0,

entonc entonces es

A partir de ahora, hablaremos de extremos locales para referirnos a puntos que se corresponden con un valor máximo o mínimo relativo de una función. Sea f una función y sea x1 un punto extremo local dicha función. Si f es derivable en x1 , entonces se verifica que f ′(x1 ) = 0 . Teorema:

Sea f una función tal que f es continua en [a, b] , f es derivable en (a, b) y s f ( a) = f ( b) . Entonces ∃ al menos c ∈(a, b) tal que f ′(c) = 0 .

Teorema de Rolle:

Geométricamente, este teorema expresa la existencia de un punto c ∈(a, b) tal tal que que la la rect rectaa tang tangen ente te en en dich dichoo punto es paralela el eje OX. Ejemplo 14:

1) Dada la función f ( x) = x , comprobar que condiciones del teorema se verifican en el intervalo [−2,2] . 2) Dada la función f ( x) = x2 − 4 x + 1.¿Veri 1.¿Verific ficaa las cond condici icione oness del teor teorem emaa de Roll Rollee en el int interv ervalo alo caso afirmat afirmativo ivo encontr encontrar ar el valor valor donde donde se anula anula la derivad derivada. a. [1,3] ?. En caso 3) Usar el teorema de los valores intermedios y el de Rolle, para demostrar que la ecuación 6 x3 + x2 + x− 5 = 0 tiene exactamente una solución en [0,1] . Sea f una función tal que f es continua en [a, b] , y f es derivable en (a, b) . Entonces ∃ al menos c ∈(a, b) tal que : Teorema (del valor medio o de Lagrange):

f ′(c) =

f ( b) − f ( a) b−a

s

Este teorema generaliza el de Rolle. Geométricamente significa que si la gráfica de una función continua tiene tangente en todo punto del arco AB, entonces existe por lo menos un punto C de la gráfica en el que la tangente es paralela a la secante AB. Además, la elección de la función g no es tan arbitraria, ya que es la distancia vertical entre la gráfica de f y de la recta que une ( a, f (a)) con (b, f (b)). Ejemplo 15:

a) Comprobar que la función f ( x) = x − 2 no cumple las condiciones condiciones del teorema teorema en el intervalo [0,3] . Javier Martínez del Castillo

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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA b) Dada la parábola f( x) = 3 x2 , encontrar un punto en el que la tangente a la curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos (0,0) y (4,48). c) El helicóptero de la Guardia Civil observa que un vehículo ha recorrido los 260 km. entre Málaga y Cádiz en 2 horas de viaje. Demostrar que el vehículo en algún instante ha infringido el límite de velocidad. Del teorema del valor medio se obtienen las siguientes consecuencias: Sea f una función tal que es continua en[a, b] , y f derivable en (a, b) y supongamos que f ′( x) = 0 ∀ x ∈[ a, b] . Entonces f es una función constante en[a, b] . s

Corolario:

Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo y tales que f ′( x) = g′( x) ∀ x . Entonces existe una constante K , tal que f ( x) = g( x) + K . s Corolario:

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] , y derivables en (a, b) . Entonces, ∃ al menos c ∈(a, b) tal que:

Teorema (de Cauchy):

f ′(c) g ′(c)

=

f ( b) − f ( a) g(b) − g(a)

s

Este teorema es una generalización del teorema del valor medio, y tiene interés por sus aplicaciones, entre ellas la demostración de la regla de L´Hópital, que facilita el cálculo de límites indeterminados. Además, este teorema es el del valor medio cuando g( x ) = x Ejemplo 16:

1) Comprobar si se cumplen las condiciones cond iciones del teorema de Cauchy para las funciones 3 su caso caso hal hallar lar el valo valorr de c. f ( x) = x y g( x) = x + 3 en el intervalo [0,3] , y en su 2) Análogo para las funciones f ( x) = x2 − 2 x + 3 y g( x) = x3 − 7 x2 + 20 x − 5 en [1,4] . 14. Estudio local local de una función.

Muchas veces nos podemos encontrar con funciones con las cuales es muy difícil trabajar, y lo ideal sería poder aproximarlas con funciones cuyo manejo nos resultara más cómodo. En esta sección, como su nombre indica, lo que queremos es estudiar una función f ( x ) para x muy próximo a un punto a. Ya vimos que una forma de realizarlo era mediante la aproximación lineal. Otra forma sería utilizar funciones polinómicas, ya que su manejo algebraico es muy “cómodo”. El Teorema del valor medio (o de Lagrange), Lagrange), nos da una aproximación de la función por medio de la derivada primera. En esencia, lo que se ha hecho es sustituir la función por la recta tangente en ese punto. Para valores pequeños del incremento la aproximación es buena y puede acotarse el error cometido. En este apartado nos proponemos resolver el problema de aproximar una función por medio de otra función polinómica de grado n, y determinar la magnitud del error que se comete con esta aproximación. Esta expresión, conocida como el Teorema de Taylor , no es más que una generalización del teorema del valor medio (o Lagrange). Javier Martínez del Castillo

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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA 14.1 Polinomios de Taylor

Nuestro propósito es encontrar una buena aproximación polinómica para una función f cerca de un punto de su dominio. Es decir, estamos buscando una función polinómica g cuya gráfica se “parezca” a la gráfica de f cerca de un punto designado x0 . Además, es más fácil hallar las derivadas en el punto x = x0 para un polinomio escrito en potencias de n ( x − x0 ) que para un polinomio escrito en potencias de x , ya que c ⋅ ( x − x0 ) vale cero cuando x = x0 .

Por ejemplo, si f ( x) = 4 − x + 2 x2 + x3 , entonces f (0) = 4 es el valor más fácil de determinar, además, para 2 valorr más más fáci fácill de de hal halla lar. r. Ento Entonc nces es,, dir direm emos os que que f ( x ) es un f ′( x) = −1 + 4 x+ 3 x , entonces f ′(0) = −1 es el valo polinomio centrado en 0. 2

3

Análogamente, si consideramos g( x ) = 7 − 5( x + 5) + 7( x + 5) − 14( x + 5) , en este caso los valores más fáciles de hallar para la función g , y sus derivadas sucesivas son g(−5) , g ′(−5), g ′′(−5),..... . En este caso diremos que g es un polinomio centrado en -5. Además, toda función polinómica puede ser expresada como un polinomio centrado en x0 para cualquier número real x0 . Ejemplo 17:

Expresar f ( x) = 4 − x + 2 x2 + x3 como un polinomio centrado en x0 =2.

Tras el ejemplo, nos proponemos encontrar una buena aproximación polinómica de una función arbitraria f ( x ) cerca de un punto x0 . Los cálculos anteriores nos sugieren que es más natural (y cómodo) trabajar con polinomios centrados en x0 . Por el tema anterior, sabemos que si f es derivable en x0 , una posible aproximación es la recta tangente a la función en dicho punto, es decir: f ( x)

≈ g( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 ) ⋅ ( x − x0 )

Además, obsérvese que f ′( x0 ) = g′( x0 ) . Si queremos obtener una aproximación por medio de un polinomio de grado mayor que uno, de forma natural y si f es derivable suficientes veces, podemos pensar en una aproximación polinómica g( x ) de grado n en x0 como un polinomio de la forma: g( x )

= a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ........+ an (x − x0 )n con

ai

∈R

y que satisfaga que f ( x0 ) = g( x0 ) , f ′( x0 ) = g′( x0 ) , ........., f n ( x0 ) = g n ( x0 ), ya ya que en este caso, las gráficas de f y g serán bastante parecidas cerca de x0 . Por tanto, lo único que nos queda será calcular los coeficientes ai ∈ R, que los podemos calcular usando la relación que existe entre las derivadas de f y g : g( x )


= a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ........+ an (x − x0 )n Tema 2

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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA g ′( x ) g

2

= a1 + 2a2 (x − x0 ) + 3a3 (x − x0 )2 + ........+ nan (x − x0 )n−1

(x ) = 2 a 2 + 2 ⋅ 3 g

n

a 3 (x

−

x 0 ) + . . . . . . . .+ n ( n

( x ) = n ⋅ (n − 1) ⋅



− 1) a n (x −

x0 )

n− 2

⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1⋅ a n = n ! ⋅ a n

Del cálculo anterior se obtiene: 2

3

g(x0 ) = a0 , g ′(x0 ) = a1 , g ( x0 ) = 2a2 , g (x0 ) = 3!⋅ a3 ,, g n (x0 ) = n !⋅ an

E igualando estas derivadas a las de f en el punto x0 , obtenemos los coeficientes: a0

Definición: Pn, f ,x0 ( x )

= f (x0 ) , a1 =

f 1 (x 0 ) , a2

=

1 2 ⋅ f (x 0 ) , 2!

, an =



1 n ⋅ f (x0 ) n!

Llamamos n-ésimo polinomio de Taylor de la función f en el punto x0 , y lo representamos por

a:

Pn , f , x0 ( x ) = f ( x 0 ) + f

1

(x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) +

f

2

(x0 )

2!

2

⋅ ( x − x 0 ) +

+



f

n

(x0 )

n!

n

⋅ ( x − x 0 ) =

n

∑ i=0

f

i

(x 0 ) i!

⋅ ( x − x 0 )i 

Observación: Véase que no lo llamamos polinomio de grado n, sino el n-ésimo polinomio de Taylor, ya que puede ocurrir que f n (x0 ) = 0 , y por lo tanto el polinomio tuviera grado menor que n.  Ejemplo 18:

1) Calcular el tercer polinomio de Taylor de la función f ( x) = 4 − x + 2 x2 + x3 en x0 =2. 2) Calcular el séptimo polinomio de Taylor para f( x) = sen x , en x0 = 0. 3) Calcular el quinto polinomio de Taylor para f ( x) = e x , en x0 = 0. 4) Calcular el sexto polinomio de Taylor para f ( x) = L( x + 1) , en x0 = 0. Sean f y g dos funciones cualesquiera y consideremos los n-ésimos polinomios de Taylor asociados a cada una de las funciones, entonces:

Teoremas:

a) El n-ésimo polinomio de Taylor de f ± g , es la suma o diferencia de los n-ésimos polinomios de Taylor de f y g. b) El n-ésimo polinomio de Taylor de f ⋅ g es el producto de los n-ésimos polinomios de Taylor de f y g , desechando los sumandos de grado mayor que n ( ya que al multiplicar dos polinomios de grado n el resultado es un polinomio de grado 2n).


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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA c) El n-ésimo polinomio de Taylor de

f g

es el cociente, obtenido por división larga, de los n-ésimos

polinomios de Taylor de f y g , desechando los sumandos de grado mayor que n. d) El n-ésimo polinomio de Taylor de f g , es la composición de los n-ésimos polinomios de Taylor de f y g , desechando los sumandos de grado mayor que n. s 

El no aplicar estos teoremas, puede complicarnos mucho los cálculos. Ejemplo 19:

a) Calcular el n-ésimo polinomio de Taylor en x0 = 0, de

f( x) = senh x.

b) Calcular el octavo polinomio de Taylor en x0 = 0, de f ( x ) =

1 1 + x 2

14.2 El Teorema de Taylor

Acabamos de ver, que podemos aproximar una función f ( x ) cerca de un punto x0 utilizando los polinomios de Taylor, pero evidentemente se comete un error, que sería importante poder cuantificar de alguna manera. En esta sección discutiremos la exactitud de la aproximación por polinomios de Taylor, y veremos como podemos encontrar una cota superior del error cometido al usar Pn, f , x0 ( x) en vez de f ( x ) . Si f ( x ) tiene tiene derivad derivadas as de orden orden menor menor o igua iguall que n en x0 , podemos considerar el n-ésimo polinomio de Taylor para f ( x ) en x0 , y esperamos que para x próximos a x0 se verifique que Pn, f , x0 ( x) ≈ f ( x ) , y por lo tanto, esperamos que el error En, f ,x0 ( x ) dado por En, f ,x0 ( x ) = f ( x )

−P

n , f , x0

( x)

sea pequeño cerca de x0 . El siguiente teorema nos da información acerca del tamaño del error que se comete. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contenga a x0 y supongamos que f es (n+1) veces derivable en ese intervalo, y sea En, f ,x0 ( x) = f ( x) − Pn, f , x0 ( x) . Entonces para cada x del intervalo existe un número c (que depende de x) y que está comprendido estrictamente entre x y x0 ( para x ≠ x0 ) tal que n+1 f (c) ⋅ ( x − x0 )n+1 En, f ,x0 ( x ) = s (n + 1)! Teorema (de Taylor):

Observaciones:

1) Para el caso particular de n=0, este teorema es el teorema del valor medio, por tanto, este teorema es una generalización del teorema del valor medio. 2) En, f ,x0 ( x ) es precisamente el término siguiente al n-ésimo polinomio de Taylor en el que la (n+1)ésima derivada se evalúa en algún punto c entre x y x0 .


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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Ejemplo 20:

a) Estimar sen1 usando el quinto polinomio de Taylor en x0 = 0. Hallar una cota del error cometido. b) Aproximar e con un error menor que 0.0001.

15. Formas indeterminadas.

En el tema anterior, hemos visto que algunas veces cuando queríamos calcular el límite de un cociente de dos funciones obteníamos que dicho límite nos proporcionaba una indeterminación. En este apartado, vamos a ver una herramienta muy potente, cuya demostración está basada en el teorema de Cauchy, y que nos va a permitir calcular dichos límites. Teorema (Regla de L´Hópital):

Supongamos que lim f (x ) = lim g (x ) = 0 y que lim x→ a

x→ a

x → a

f ′( x ) g ′( x )

es un número

finito, o ±∞ . Entonces se verifica que: lim

x→ a

f ( x ) g( x )

=

lim

x→ a

f ′( x )

s

g ′( x )

Observaciones:

1) Además, aquí “a” puede tomar cualquier valor (a + , a − , + ∞ , − ∞) . 2) Por otra parte, esta regla solo es válida y por tanto aplicable si nos encontramos en las condiciones iniciales.  Ejemplo 21: Resolver los siguientes límites aplicando L´Hópital: 2

−1 2 x→−1 x + 3x + 2 2 x −1 c) lim 2 x →1 x + 1 x

a) lim

e) lim x→∞

x e

b) lim x →0

x x

d) lim+ x →0

3 x

x − sen x

f) lim x→ 0

e

3

−1 x

x cos x − sen x x

3

Además, el teorema de Taylor es de bastante utilidad en el cálculo de límites de forma indeterminadas del tipo 0/0, y es especialmente útil como alternativa a la aplicación reiterada de la regla de L´Hópital. Veámoslo:


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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Supongamos que f ( x ) y g( x ) sati satisf sfac acen en las las hip hipót ótes esis is del del teo teore rema ma de Tay Taylor lor y tien tienen en poli polino nomi mios os de Taylo aylorr no nulos en x=a. Sea n el primer natural tal que f n ( a ) ≠ 0 y análogamente sea m el primer natural tal que entonces tenemos: g m ( a ) ≠ 0 , entonces f ( x ) g( x )

=

f

=

g

n+1 (a) f ( c1 ) n ⋅ ( x − a) + ⋅ ( x − a)n+1 n! (n + 1)!

n

m+1 (a) g ( c2 ) m ⋅ ( x − a) + ⋅ ( x − a)m+1 m! (m + 1)!

m

para x suficientemente cercanos al punto a, y con ci entre a y x. Entonces: f ( x )

(a) ⋅ ( x − a)n n!

n

f

=

 1 ⋅ 1 + n +1 

+1

 1 ⋅ ( x − a) ⋅  1 + g( x ) = m! m +1  g m(a)

n+1

 ( c1 ) ⋅ − x a ( )  f n ( a ) 

f

 ( c2 ) ⋅ ( x − a) g (a) 

gm

m

m

Si las derivadas de orden f n+1 ( x) y gm+1 ( x) es están acotadas cerca de a, entonces lo que aparece entre corchetes tiende a 1 cuando x tiende al punto a, y por lo tanto tenemos: (a ) n x − a) ( f (x) m!⋅ f n ( a ) n− m ! n = = lim lim m lim x − a) ( m x→ a g( x ) x→ a g ( a ) x →a n !⋅ g ( a ) m − ( x a) m! f

n

de donde en una indeterminación del tipo 0/0, cuando el teorema de Taylor es aplicable a f y g , y las f (x) derivadas están acotadas cerca de a, entonces la forma indeterminada lim es igual al límite cuando x → a g( x ) x → a del cociente de los términos de menor grado de los polinomios de Taylor de f y g en el punto x=a. x

Ejemplo 22:

Hallar lim

e

x →0

−1− x x

sin utilizar la regla de l´Hópital.

2

Evidentemente es una indeterminación de la forma 0/0, pero como no vamos a aplicar l´Hópital, hemos de hallar los polinomios de Taylor en x=0 del numerador y del denominador. Es claro que el del denominador es x 2 (ya que ya es un polinomio). Solución:

Sabemos que e = 1 + x + x

empiezan por

x

x

2

2!

+

x

3

3!

+



, con lo que tenemos que los polinomios de Taylor de

ex

2

2

. Por tanto, tenemos: lim

x →0


e x

−1− x x

2

= lim x → 0

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x

2

/ 2

x

2

=

1 2

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-1-x


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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Observaciones: La regla de l´Hópital no solo se puede aplicar en el caso de una indeterminación del tipo

sino que es aplicable en otros casos teniendo en cuenta unas consideraciones: 1) Indeterminación del tipo Si

±∞ ±∞ lim x → a

f (x) g( x )

=

±∞ ⇒ ±∞

lim x →a

0 , 0

1 g( x ) 0 = 1 f ( x ) 0

2) Indeterminación de la forma 0 ⋅ ( ±∞ ) 0 x →a 1 g( x ) 0 x→ a 3) Indeterminaciones de la forma −∞ + ∞ o ∞ − ∞ : Se resuelven realizando manipulaciones algebraicas que me la transformen en una indeterminación del tipo cociente. Si

lim

[ f ( x ) ⋅ g( x )] = 0 ⋅ (±∞ ) ⇒

lim

f (x)

=

4) Indeterminaciones de la forma: 00 , 1∞ , 1−∞ , ∞ 0 : La forma de resolverlas es aplicar logaritmos, ya que: Si A

= li→xma f ( x ) g( x ) ⇒

LA = lim[ g( x) ⋅ Lf ( x)] x →

a

⇒

lim f ( x) x →

a

g( x )

= e LA



Ejemplo 23:

 π x  2 a) Lim x − 1) ⋅ tg  ( + x →1  2  c)

x→ 2

π

L(i1m+ 2 cos

1 cos x

)

x

 1 b) Lim+  − x → 0

1    ( 1 ) + x L x  

d) Lim+ x2 ⋅ e1 x x →0

También es posible resolver muchos límites aplicando la tabla de los infinitésimos equivalentes que se vio en el tema de sucesiones, tabla que evidentemente también se verifica para funciones. 

Observación:

16. Aplicaciones de la derivada.

Uno de los objetivos de esta sección, será justificar el tiempo que hemos invertido aprendiendo a hallar la derivada de una función. Como veremos, el saber algo acerca de f ′ nos “informa” mucho acerca de f . Veremos que por medio de las derivadas de una función, vamos a saber muchas cosas de esta, tales como: crecimiento, decrecimiento, concavidad, convexidad,...... Otro apartado importante de aplicación de las derivadas es el de los problemas relativos a máximos y mínimos. 16.1 Máximos y mínimos de una función

Sabemos por el tema anterior, que una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado, alcanza su valor máximo y mínimo. Si suponemos que los valores extremos m y M de f sobre [a, b] no ocurren en la Javier Martínez del Castillo

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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA frontera del intervalo, entonces m y M también son puntos extremos locales de f . Además, sabemos que si análogamente obtenemos obtenemos el mismo resultado f ( x1 ) = M , y f es derivable en x1 , entonces f ′( x1 ) = 0 , y análogamente para m. Así pues, si encontramos todos los puntos x ∈( a, b) tales que f ′( x ) = 0 o bien f ′( x ) no existe, tendremos todos los posibles candidatos para puntos en los que se alcanza un valor extremo. Los candidatos a máximos y mínimos serán los puntos donde las derivadas se anulan o no existen, más los extremos del intervalo. Llamamos punto crítico de una función f , a un punto x0 ∈ D f donde f no sea derivable o donde f ′( x0 ) = 0 . 

Definición:

Ejemplo 24: 2

a) Hallar todos los puntos críticos de f( x) = 3 ( x− 1) . b) Hallar todos los puntos críticos de f ( x) = x3 , y determinar los máximos y mínimos examinando la gráfica. Observaciones:

Del resultado de los ejercicios anteriores, se observa:

a) Extremo Extremo local implica punto crítico. a) Punto crítico no implica extremo local.



Sea f una función continua definida sobre un intervalo [a, b] . Ent Enton once ces, s, el proc proced edim imie ient ntoo para calcular los valores máximos y mínimos absolutos es:

Proposición:

• Paso1: Hallar los puntos críticos de f sobre (a, b) . • Paso2: Evaluar en

los puntos críticos y también los extremos del intervalo. El máximo valor obtenido es el valor máximo, y el mínimo obtenido es el valor mínimo. s Ejemplo 25:

f

Hallar los extremos absolutos de la función f( x) = x5 − x sobre [2,4]

Un buen método para deducir los puntos críticos que son extremos relativos es el estudio del crecimiento de la función en un entorno de cada punto crítico, ya que si a la izquierda de un punto crítico x0 la función f es creciente y a la derecha de x0 es decreciente, entonces podemos asegurar que la función f tiene un máximo local en x0 . Por tanto, sería interesante tener una herramienta que me permita saber cuando una función es creciente o decreciente en un intervalo. Teorema:

Sea f una función derivable en un intervalo I . Entonces:

a) Si f′( x) ≥ 0 ∀ x∈ I ⇒ f es creciente en I. b) Si f′( x) ≤ 0 ∀ x∈ I ⇒ f es decreciente en I. Javier Martínez del Castillo

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s

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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA Ejemplo 26:

Estudiar la existencia de extremos absolutos de la función f ( x ) = −

x

1 + x 2

.

Como ya vimos con anterioridad, existen funciones para las que un punto crítico c, no es extremo relativo. En este caso se dice que la función tiene un punto de inflexión en dicho punto c (como ya veremos, será un “punto de paso de concavidad”). 

Observación:

Sea f una función definida sobre un intervalo I, y sea “a” un n punto del interior de dicho intervalo. Si existen las derivadas sucesivas f1 , f2 , f3 , f , son continuas en un entorno de a, y todas se anulan en a, salvo f n ( a ) , ent entonc onces: es: Teorema (Criterio de extremo relativo):



a) Si n es par y f n ( a ) > 0 ⇒ a es un mínimo relativo de f . b) Si n es par y f n ( a ) < 0 ⇒ a es un máximo relativo de f . c) Si n es impar ⇒ a es un punto de inflexión de f .

s

Ejemplo 27:

a) Estudiar los puntos críticos de la función: f ( x) = x3 − 3 x2 + 2 . b) Estudiar los puntos críticos de la función: f ( x ) =

1 2

x ( x − 1)

+3

16.2 Problemas de aplicación de máximos máximos y mínimos.

El cálculo de máximos y mínimos por derivadas permite resolver de una manera sencilla y rápida muchos problemas que aparecen tanto en matemáticas como en otras disciplinas científicas. Recordemos que este tipo de problemas estuvo presente en el origen del cálculo diferencial. Son problemas en los que se trata de optimizar una función; como por ejemplo, minimizar los costes de una producción, buscar la forma adecuada para comercializar un producto, etc. Para resolverlos seguiremos el esquema general que a continuación proponemos: 1) Mediante los datos del problema se construye la función que hay que maximizar o minimizar; la mayoría de las veces en función de dos o más variables. 2) Expresar la función anterior en una única variable . 3) Se hallan los máximos y mínimos de esta función. 4) Se interpretan los resultados, rechazando aquellos que no sean posibles. Ejemplo 28:

a) Hallar dos números cuya suma sea 20, y su producto el mayor posible. b) Calcular las dimensiones del mayor rectángulo cuyo perímetro es 40. c) Demostrar que la suma de un número real positivo no nulo y su inverso es mayor o igual que 2. d) Hallar la relación que debe existir entre el radio r y la altura h de un cilindro de volumen V para que su superficie sea mínima.


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DPTO. MATEMÁTICA APLICADA e) Hallar las dimensiones de un campo rectangular de 3600 m2 de superficie para poderlo cercar mediante una valla de longitud mínima. f) Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 12 cm, calcular las dimensiones del que tenga área máxima. 16.3 Representación gráfica de funciones.

Dada una función, ya sabemos calcular su dominio, el crecimiento y los extremos relativos y absolutos. Sin embargo, si nuestro propósito es representar gráficamente funciones, necesitamos más herramientas que me permitan conocer un poco más cual es el comportamiento de la función en todo su dominio. Estas herramientas (concavidad, convexidad, puntos de inflexión, asíntotas,....) me las vuelve a proporcionar la derivada de la función dada. Definición: Sea f una función definida en un intervalo I. La gráfica de f es cóncava hacia arriba en I, si f ′( x ) es creciente en I, y es cóncava hacia abajo en I, si f ′( x ) es decreciente en I. Un punto de inflexión de la gráfica de f será un punto c donde la concavidad de f es de distinto tipo a la izquierda y a la derecha de c. 

También es frecuente hablar de función cóncava (cóncava hacia abajo) y de función convexa (cóncava hacia arriba). Teorema:

Sea f una función dos veces derivable en un intervalo abierto. Entonces:

a) Si f2 ( x) > 0 ∀ x∈ I ⇔ f es convexa. b) Si f2 ( x) < 0 ∀ x∈ I ⇔ f es concava Corolario:

s

Si f 2 es continua y c es un punto de inflexión ⇒ f 2 ( c ) = 0 .

Ejemplo 29:

s

Estudiar la concavidad y puntos de inflexión de: f ( x) = x3 − 3 x2 + 2 .

Definiciones: Sea f una función, entonces:

a) Si Lim f( x) = k , ento entonc nces es la func funció iónn tien tienee asín asínto tota ta hori horizo zont ntal al y=k. =k. x→±∞

b) Si Lim f ( x) = ±∞ , entonces la función tiene asíntota vertical x=u. x→ u

c) Si Lim

f (x)

x→ ±∞

x

=m

y

Lim [ f ( x ) − mx ] = n ,

x → ±∞

asíntota oblicua de ecuación: y=mx+n. Ejemplo 30:

entonces decimos que la función tiene una



Representar gráficamente las siguientes funciones: x

a) f ( x ) = 1 − x 2


b) f ( x ) =

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2

x e x

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Derivadas de Funciones Reales

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