Limes slijeva i zdesna Izraunajte
Rjeenje. Izraunajmo Izraunajmo prvo limese limese zdesna i slijeva funkcije
Prema
[M1, teorem 4.3] je
Limes oblika
u beskonanosti beskonanosti
Izraunajte: (a)
, (b)
. Rjeenje. (a)
u toki
:
Zadani
limes je neodreenog oblika pod limesom, dobivamo
. Izluimo li
iz brojnika i nazivnika funkcije
pri emu koristimo
(b) Zadani
limes je neodreenog oblika pod limesom, dobivamo
. Izluimo li
iz brojnika i nazivnika funkcije
jer je
Limes racionalne funkcije oblika Izraunajte
Rjeenje. Zadani limes je neodreenog oblika , jer nakon uvrtavanja funkcija u brojniku i funkcija u nazivniku poprimaju vrijednost nula. Budui da su obje funkcije polinomi, njihovim rastavljanjem na faktore dobivamo i u brojniku i u nazivniku (x-1). Tonije
Limes racionalne funkcije oblika Izraunajte
Rjeenje. S obzirom da je
limesi zdesna i slijeva zadane funkcije u zajedniki nazivnik dobivamo
su neodreenog oblika
. Svoenjem na
Limes iracionalne funkcije oblika Izraunajte: (a)
, (b)
. Rjeenje.
(a) Zadani limes je neodreenog oblika
. Racionalizacijom funkcije u brojniku dobivamo
(b) Zadani limes je neodreenog oblika . Supstitucijom izraza u funkciji pod limesom i dobivamo
se oslobaamo iracionalnih
Limes iracionalne funkcije oblika Izraunajte: (a)
, (b)
. Rjeenje. (a) Odmah slijedi
S druge strane je neodreenog oblika racionalizacijom funkcije pod limesom dobivamo
pa
(b) S obzirom da je
zadani limesi su oblika
Budui da je
iz dobivenog rezultata slijedi
. Racionalizacijom funkcije pod limesom dobivamo
Primjena
kada
Izraunajte: (a)
, (b)
, (c)
, (d)
. Rjeenje. Ideja u ovim zadacima je transformirati funkciju pod limesom tako da moemo primijeniti formulu
(4.1)
koja se dobije iz (a)
[M1, primjer 4.6] supstitucijom
Supstitucijom
.
dobivamo
(b) Supstitucijom
i primjenom
[M1, teorem 4.3] dobivamo
(c) Primjenom formula
Z
bog neprekidnosti funkcije
Prema
i
i
dobivamo
[M1, teorem 4.7 (ii)] vrijedi
[M1, teorem 4.3] sada slijedi
(d) Racionalizacijom brojnika, primjenom formule teorem 4.3] i
[M1, teorem 4.7 (ii)] za neprekidnu funkciju
te iz , dobivamo
[M1,
Primjena
kada
Izraunajte
Rjeenje. Izluimo li
Budui da je
Kako je
iz brojnika i nazivnika funkcije pod limesom dobivamo
, za svaki
, za
vrijedi
[M1, teorem 4.4] povlai
Sada za zadani limes vrijedi
Limes oblika Izraunajte
Rjeenje. Budui da je
vrijedi
jer je
Jo vrijedi
Primjena
limesa koji daju broj
Izraunajte: (a)
, (b)
. (c)
, (d)
. Rjeenje. Prema
[M1, primjer 4.9] pod (b) vrijedi formula
(4.2)
koja je zadovoljena i ako umjesto
stavimo
. Nadalje, iz (4.2) slijedi
pa vrijedi i sljedea formula: (4.3)
(a) Budui da je
zadani limes ima neodreeni oblik
. Sreivanjem dobivamo
Prema formuli (4.2) je
to zajedno s
povlai
(b) Uvrtavanjem u funkciju pod limesom vidimo da je zadani limes neodreenog oblika . Primjenom svojstava funkcije dobivamo
Z
bog neprekidnosti funkcije
i tvrdnje
[M1, teorem 4.7 (ii)] vrijedi
jer je prema formuli (4.2)
(c) Zadani
limes je neodreenog oblika
. Primjenom svojstava funkcije
teorem 4.7] pod (ii) za neprekidne funkcije
i
, iz
, te formule (4.3) dobivamo
[M1,
(d) Zadani
limes je neodreenog oblika . Supstitucijom , primjenom svojstava funkcije , tvrdnje pod (ii) iz [M1, teorem 4.7] za neprekidnu funkciju i konano formule (4.3) dobivamo
Neprekidnost
funkcije
(a) Odredite parametar
tako da funkcija
bude neprekidna. (b) Odredite konstante
i
tako da funkcija
bude neprekidna. Rjeenje. (a) Funkcija
je na skupu
parametar
takav da
zadana neprekidnom funkcijom pa je dovoljno odrediti bude neprekidna u
, odnosno da vrijedi
Budui da je
mora vrijediti .
Iz definicije funkcije
je
, pa stoga slijedi
(b) S obzirom da je funkcija zakljuujemo da je
zadana po dijelovima pomou neprekidnih funkcija,
neprekidna na skupu
Potrebno je odrediti konstante
i
tako da
, odnosno da ispunjava uvjete iz
bude neprekidna u tokama [M1, definicija 4.6]: (4.4)
Za
toku
vrijedi
i
Uvrtavanjem dobivenih rezultata u (4.4) slijedi
Za
toku
vrijedi
Sada (4.4) povlai
Konano, rjeavanjem sustava
dobivamo
Vrste
i
.
prekida
Ispitajte vrste prekida funkcija: (a)
u tokama
i
,
(b)
, gdje je
u toki
.
Rjeenje. (a) Da bismo ispitali vrstu prekida funkcije u tokama lijeve i desne strane u tim to kama.
i
Limes slijeva u toki
je
Limes zdesna u toki
dobivamo na isti nain:
Prema
potrebno je izraunati limes s
[M1, definicija 4.7], zadana funkcija ima prekid druge vrste u toki
Limes slijeva u toki
je
.
Za
limes zdesna u toki
oigledno vrijedi
Limesi slijeva i zdesna u toki funkcija
su jednaki pa prema
[M1, definicija 4.7],
ima uklonjivi prekid u toj toki.
(b) Limes zdesna funkcije
u toki
raunamo pomou supstitucije
:
Pri tome smo koristili
Limes slijeva zadane funkcije u toki
Limesi slijeva i zdesna u toki 4.7], funkcija
dobivamo na isti nain:
su konani i razliiti pa prema
ima prekid prve vrste u toj toki.
[M1, definicija