Sadržaj: Sadržaj : •
Nizovi brojeva Nizovi − Pojam niza − Limes niza. Konvergentni nizovi − Neki važni nizovi. Broj e.
•
Limes funkcije − Definicija limesa − Računanje limesa − Jednostrani limesi
•
Neprekinute funkcije i limesi − Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu − Asimptote − Svojstva neprekinutih funkcija
Niz brojeva Definicija: Neka je S neki skup brojeva. Funkciju a : N → S zovemo niz zom nizom brojeva iz S .
Umjesto da se piše a(n) , što je uobičajeno kod funkcija, piše se an. Elementi a1, a2,…, an,… se zovu članovi niza. Element an se zove opći član niza. Primjer: Napisati prvih pet članova niza čiji je opći član a n =
n . n + 1
1 2 3 4 5 Rješenje: Rješenje: , , , , . 2 3 4 5 6 Primjer: Naći opći član niza, čiji su članovi 2,
4 6 8 , , ,... 3 5 7
Rješenje: Rješenje: Prvi član ima u brojniku 2, drugi član ima u brojniku 4, treći član
ima u brojniku 6, itd. U nazivniku je broj za jedan manji manji nego u brojniku.
Prema tome a n =
2n . 2n − 1
Primjer: Naći opći član niza 1 2
2 , 2 2 , 2 2 2 ,... 3 4
7 8
15 16
Rješenje: Rješenje: a 1 = 2 , a 2 = 2 , a 3 = 2 , a 4 = 2 ,... Tako je a n = 2
2n −1 2n
.
Definicija: Kažemo da niz realnih brojeva (an) raste ako je an+1 ≥ an, za svaki n ∈ N, strogo raste ako je an+1 > an, za svaki n ∈ N, pada ako je an+1 ≤ an, za svaki n ∈ N, strogo pada ako je an+1 < an, za svaki n ∈ N.
Niz zovemo monotonim ako raste ili pada. Primjer: Dokazati da strogo pada niza čiji je opći član a n =
1 2
n − 1
, n ≥ 2 .
Definicija: Kažemo da je niz realnih brojeva (an) ograničen odozgor ako postoji M ∈ R, takav da je an ≤ M , za svaki n ∈ N, ograničen odozdol ako postoji m ∈ R, takav da je an ≥ m , za svaki n ∈ N, ograničen ako je ograničen odozdol i odozgor,
ako nije ograničen. neograničen ne Primjer: Ispitati ograničenost niza čiji je opći član a n =
n + 1 , n ≥ 1. n
Rješenje: Rješenje: Budući da je brojnik veći od nazivnika, svaki član niza je veći
od 1. Niz strogo pada, pa je prema tome a1 najveći element. Dakle niz je ograničen i odozgo i odozdo.
Limes niza. ni za. Konvergentni Konvergentni nizo nizovi. vi.
niz (an) realnih brojeva konvergira k L, L, ako za svaki ε > Definicija: Kažemo da niz (a 0 postoji n0 ∈ N tako da n > n0
⇒
| an – L | < ε.
a n = L U tom slučaju kažemo takoñer da niz ima limes a0, i pišemo nlim . Za niz →∞
koji ima limes kažemo da je konvergentan . Za niz, koji nema limes tj. koji ne konvergira, kažemo da divergira divergira, odnosno da je divergentan . Prema ovoj definiciji, u proizvoljno maloj okolini limesa nalaze se svi članovi niza osim njih konačno mnogo. Dakle vrijedi sljedeca tvrdnja Tvrdnja: Tvrdnja: Ako niz konvergira, onda je on ograničen.
Prema tome neograničen niz nema limes. Primjer: Primjer: Ispitati konvergenciju niza a n =
1 . n
1 = 0. n → ∞ n
Rješ Rješenje šenje: enje: Niz konvergira i lim
Primjer: Primjer : Ispitati konvergenciju niza: a n = q n . Rješ Rješenje šenje: enje: Ako je |q| > 1, onda je niz a n = q n neograničen, pa divergira. Ako je q = 0, onda je svaki član niza jednak 0, pa niz konvergira, i limes mu je 0. Ako
je 0 < |q| < 1, niz a n = q n konvergira i lim q n = 0 . Ako je q=1, onda niz n → ∞
konvergira i limes je 1, a ako je q = - 1, onda imamo niz -1,1,-1,1,-1,1,... Unutar proizvoljno male okoline oko 1 se doduše nalazi beskonačno mnogo članova niza, no i izvan iz van nje se nalazi beskonačno mnogo članova. Tako 1 nije limes. Sličnim razmatranjem zaključujemo da niti -1 ne može biti limes. Neki drugi broj ne moze biti limes jer postoji interval oko njega u kojem se ne nalazi niti jedan član niza. Tvrdnja: Monoton i ograničen niz realnih brojeva konvergira. Tvrdnja: Neka su nizovi (an) i (bn) konvergentni, i neka je lim a n = a 0 i n → ∞
lim b n = b 0 . Tada vrijedi sljedeće:
n → ∞
1. Niz (an ± bn) konvergira i lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim b n = a 0 ± b 0 .
n → ∞
n → ∞
n → ∞
2. Niz (an · bn) konvergira i lim (a n ⋅ b n ) = lim a n ⋅ lim b n = a 0 ⋅ b 0 .
n → ∞
n → ∞
n → ∞
3. Niz ( λ· an) konvergira i lim (λ λ ⋅ a n ) = λ λ ⋅ lim a n = λ λ ⋅ a 0 .
n → ∞
n → ∞
4. Ako je bn ≠ 0 za svaki n ∈ N i b0 ≠ 0, niz (an / bn) konvergira i lim a a n n → ∞ n lim = = lim b n n → ∞ b n n → ∞
a 0 . b 0
Neki važni nizovi
Razmotrit ćemo sada neke važne limese. Primjer: •
Može se dokazati da vrijede sljedeći limesi:
lim n n = 1.
n → ∞ •
lim n a = 1, za a > 0.
n → ∞ •
a n lim = 0 , za a ∈ R. n → ∞ n !
•
1 Broj e: lim 1 + = e . n → ∞ n
n
Limes funkcije
U daljnjem tekstu koristimo i podrazumijevamo sljedeće oznake i pretpostavke: čki i Neka je funkcije f: D k D(f) ⊆ ⊆ ⊆R ⊆ → → R. Kada govorimo o limesu funkcije y=f(x) u to č će: : x=a, tada za domenu D e D(f) podrazumijevamo sljede ć
δ > ako je a ∈R tada postoji barem jedan realan broj δ> δ > 0 takav da je skup (a- δ δ,a+ δ δ ) \ {a} sadržan u domeni D D(f);
ako je a = + ∞ ∞ tada postoji barem jedan realan broj M > >0 takav da je interval (M, + ∞ D(f); ∞ ) sadržan u domeni D
ako je a = - ∞ ∞ tada postoji barem jedan realan broj m<0 takav da je interval (- ∞ , m) sadržan u domeni D D(f). ∞,m)
R, tada podrazumijevamo da to č čka a a Kada pišemo x=a, a ne navedemo da je a ∈R, k može biti i ±∞ ± ± ∞ ∞ .
čki i k Definicija: Za realan broj L ∈ R kažemo da je limes funkcije y=f(x) u to č x=a ∈R, ako za svaki ε ε > 0 postoji δ δ > 0 tako da vrijedi:
a ∀ ≠a, , |x-a| < δ ∀x ∈ D (f), x ≠ δ
U tom slu č a čaju ju pišemo L = lim f ( x )
⇒ ⇒
|f(x)-L| < ε ε.
ili f(x) → → L kad x → → a.
x → a
Ako nejednakosti |x-a| < δ, |f(x)-L| < ε napišemo u intervalnom obliku, tada definiciju limesa možemo napisati u drugom obliku: čki i k Definicija: Za realan broj L ∈ R kažemo da je limes funkcije y=f(x) u to č x=a ∈R, ako za svaki ε ε > 0 postoji δ δ > 0 tako da vrijedi:
a ∀ ≠a, , x ∈ (a- δ ∀x ∈ D (f), x ≠ δ, a+ δ δ )
⇒ ⇒
f(x) ∈ (L- ε ε, L+ ε ε ).
Ako točka a nije konačna, odnosno, ako je a=±∞ ±∞, tada za limes funkcije imamo sljedeće definicije:
k čki i Definicija: Za realan broj L ∈ R kažemo da je limes funkcije y=f(x) u to č x= ∞ ∞, ako za svaki ε ε > 0 postoji M > 0 tako da vrijedi: ∀ ∀x ∈ D (f),
x > M
čaju ju pišemo L = lim f ( x ) U tom slu č a
⇒ ⇒
|f(x)-L| < ε ε.
ili f(x) → → L kad x → → ∞ ∞.
x → ∞
k čki i x = Definicija: Za realan broj L ∈ R kažemo da je limes funkcije y=f(x) u to č - ∞ ∞, ako za svaki ε ε > 0 postoji m < 0 tako da vrijedi: ∀ ∀x ∈ D (f),
x < m
U tom slu č a čaju ju pišemo L = lim f ( x )
⇒ ⇒
|f(x)-L| < ε ε.
ili f(x) → ∞. → L kad x → → - ∞
x → −∞
k čki i x=a, ako i samo ako za Tvrdnja A A:: Realan broj L je limes funkcije y=f(x) u to č svaki niz (x n D(f), takav da x n ≠ a i x n → a, vrijedi lim f ( x n ) = L . n ) iz D n ≠ n → x n → a
Primjer: Neki osnovni limesi su fHxL
=
1êx2 ,1êx3
400000 300000
a)
za sve p > 0, lim
x → ∞
1 p
x
200000
= 0 ;
100000 x -0.2
-0.1
0.1
0.2
5
10
-100000 -200000
fHxL
=
x5,x4 ,x3 ,x2
150
b)
za sve p > 0, lim x x → 0
p
100
= 0 ;
50 x -10
-5 -50 -100
17.5 15
c)
x 1 lim 1 + = e . x x → ±∞
12.5 10 7.5 5 2.5
-10
-5
5
10
čki i x=a, tada je on k Tvrdnja B B:: Ako za funkciju y=f(x) postoji limes u to č jedinstven.
Dokaz: Pretpost Dokaz: Pretpostavimo avimo suprotno, tj. neka funkcija y=f(x) ima dva limesa L1 = lim f ( x ) , L2 = lim f ( x ) . Tada po definiciji limesa za svaki ε > 0 postoje δ1 > x → a
x → a
0 i δ2 > 0 takvi da vrijedi ∀x∈ D(f), x≠a, |x-a| < δ1 ⇒ |f(x)-L1| < ε /2
i
|x-a| < δ2 ⇒ |f(x)-L2| < ε/2.
Sada za δ=min{δ1, δ2} i za sve x takve da je |x-a| < δ imamo: | L1 - L2 | = | L1 – f(x) + f(x) - L2 | ≤ |f(x)-L1| + |f(x)-L2| < ε/2 + ε/2 = ε, odakle zbog toga što je ε > 0 proizvoljan slijedi da je L1 = L2.
Q.E.D.
Navest ćemo jedan primjer nepostojanja limesa dane funkcije u točki x=a. Primjer: Neka je funkcija y=f(x) definirana kako slijedi
1
1 sin , za x ≠ 0, f ( x ) = x 5 za x = 0.
0.5
0.5
1
1.5
2
-0.5
-1
Tada ne postoji limes ove funkcije u točki x=0. Zaista, neka su (an) i (bn) dva niza definirana na sljedeći način: an =
1 π
2
+
2 n π
i bn =
1 3 π 2
+
, n ε N
2 n π
Nije teško provjeriti da je f(an) = 1 i f(bn) = -1, n∈N, odnosno da vrijedi an → 0, f(an) → 1 i bn → 0, f(bn) → -1, kad n → ∞.
5 4 3 2 1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
-1
Ako bi postojao limes L funkcije y=f(x) u točki x=0 tada bi po TvrdnjiA istovremeno imati da je L=1 i L=-1, što po TvrdnjiB nije moguće.
Primjer: Sljedeće funkcije nemaju limes u točki x=a: 15
•
1 f ( x ) = u to č k čki i x=3; x − 3
10 5 -2
2
4
6
8
-5 -10 -15 -20
60 40 20
•
k f ( x ) = tg x u to č čki i x= π π /2;
1.5
2
2.5
-20 -40 -60
1
•
1
k f ( x ) = cos 2 u to č čki i x=0; x
0 . 5
- 1
- 0 . 5
0 . 5
- 0 . 5
- 1
1.5 1 0.5
•
k f ( x ) = cth x u to č čki i x=0;
-10
-5
5 -0.5 -1 -1.5
10
1
Ako je funkcija y=f(x) definirana u točki x=a, odnosno, ako je a∈D(f), te ako postoji limes L = lim f ( x ) tada se postavlja pitanje da li je L jednako f(a)? O tome govori
x → a sljedeći primjer.
Primjer: Neka je funkcija y=f(x) definirana kako slijedi
x 2 , za x ≠ 0, f ( x ) = 3 za x = 0. Tada vrijedi f (0) ≠ lim f ( x ) . Zaista, nije teško vidjeti da postoji lim f ( x ) i da je x → 0
x → 0
lim f ( x ) = 0 . S druge strane, iz definicije ove funkcije znamo da je f(0)=3, pa
x → 0
zaključujemo da je f (0) ≠ lim f ( x ) . x → 0
Računanje limesa
U nastavku ćemo prezentirati neke metode računanja limesa, a koje se temelje na svojstvima limesa funkcija s obzirom na algebarske operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i potenciranja funkcija. Ova svojstva su iskazana u sljedećem rezultatu. k čki i x=a. Tada su Tvrdnja C: Neka postoje limesi funkcija y=f(x) i y=g(x) u to č istinite sljede ć će jednakosti: 1.
lim [f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ),
x → a
2.
x → a
lim [f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ),
x → a
3.
x → a
x → a
lim f ( x ) f ( x ) x → a , lim = g ( x ) g ( x ) x → a lim x → a
x → a
ako je lim g ( x ) ≠ 0, x → a
4.
[
lim f ( x )
g ( x )
x → a
]
g ( x )
x a lim = lim f ( x ) x → a →
, ako desna strana nije oblika 00.
Dokaz: slijedi Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA i svojstava konvergentnih nizova, ali ove jednakosti možemo dokazati direktno. Neka je L1 = lim f ( x ) , L2 = lim g ( x ) . Tada po x → a
x → a
definiciji limesa za svaki ε > 0 postoje δ1 > 0 i δ2 > 0 takvi da vrijedi |x-a| < δ1 ⇒ |f(x)-L1| < ε /2
i
|x-a| < δ2 ⇒ |g(x)-L2| < ε/2.
Sada za δ=min{δ1, δ2} i za sve x takve da je |x-a| < δ imamo: | [f(x) + g(x)] – [L 1 + L2] | = | [f(x) – L1] + [g(x) – L2] | ≤ |f(x)-L1| + |g(x)-L2| < ε/2 + ε/2 = ε, odakle slijedi da postoji limes funkcije f+g u točki x=a i da je jednak L1 + L2. Time je dokazana prva jednakost u ovoj tvrdnji. Q.E.D.
Primjer:
1 1 1 = = . x →1 x + 1 1 + 1 2 lim
Uvijek treba uvrstiti broj kojem teži x u funkciju čiji limes računamo. Ako dobijemo kao kao rezultat realan broj, onda je upravo upravo taj broj limes. Uvrštavanjem Uvrštavanjem možemo dobiti ∞ ili -∞ kao jedan od članova. U tom slučaju imamo ova pravila: ∞ + ∞ = ∞,
∞ ± a = ∞,
∞ ⋅ ∞ = ∞,
±
a ∞
-∞ - ∞ = -∞,
-∞ ± a = -∞,
∞, ako je a > 0, a ⋅ ∞ = − ∞, ako je a < 0.
= 0,
Neodreñeni oblici
Ako pri računanju limesa dobijemo jedan od izraza: 0 0
∞ ,
∞
,
∞−∞
,
0⋅∞
,
∞
0 ,
00
,
1∞
,
onda ne možemo ništa reći. Tada moramo raznim metodama svesti podintegralnu funkciju na oblik koji će nakon uvrštavanja uvrštavanja dati realan broj ili jedan od gore rješenih izraza. Ako se tom prilikom kao limes dobije ∞ ili −∞ −∞ , onda to znači da limes ne postoji i da vrijednost funkcije postaje sve veća ili sve manja kada se nezavisna varijabla približava točki u kojoj računamo limes.
Neodreñeni oblici
∞ ∞
i
0 0
Kod računanja limesa racionalnih funkcija
f ( x ) (f(x) i g(x) su polinomi), g ( x )
f (a ) ∞ f (a ) 0 ili = = . g (a ) ∞ g (a ) 0
možemo dobiti izraz
Kod neodreñenog oblika
∞ ∞
, brojnik i nazivnik dijelimo s najvećom
potencijom. Na taj način od beskonačno velikih veličina, koje su se pojavile u brojniku i nazivniku, prelazimo na konačne i beskonačno male veličine, pa možemo primjeniti jedno od svojstava svojstava iz TvrdnjeC. Primjeri Primjer i: i: •
lim
x → ∞
2 x 2 − 3 x + 5 3 x 2 − x + 4
=
∞ ∞
= lim
x → ∞
(2 x 2 − 3 x + 5) / x 2 (3 x 2 − x + 4) / x 2
= lim
2 − 3 / x + 5 / x 2
x → ∞ 3 − 1/ x +
4 / x 2
=
2 . 3
•
Funkcija f ( x ) = lim
3
lim
3
2
x + 2 x − 5 x 3 + 4 x 2 + 1 4
x → ∞ 2 x −
2
x + 2 x − 5
5 x 4 − 3 x 2 − 2 x
x → ∞
•
5 x 4 − 3 x 2 − 2 x
2
x + 3
= lim
(5 x 4 − 3 x 2 − 2 x ) / x 4
x → ∞
=
∞ ∞
nema limes u točki x=∞. Zaista,
3
2
( x + 2 x − 5) / x
= lim
4
2
= lim
2
4
x + 3) / x
= lim
x → ∞
1/ x + 4 / x 2 + 1/ x 4 2
•
lim
x → 3 •
3 x 2 − 9 x
=
0 , potrebno je brojnik i nazivnik n azivnik skratiti. 0
0 ( x − 2)( x − 3) x − 2 3 − 2 1 = lim = lim = = , 0 x → 3 3 x ( x − 3) 3 x 3 3 9 ⋅ x → 3
3 sin x 0 3 sin x 3 3 = = lim = lim = . x → 0 sin 2 x 0 x → 0 2 sin x cos x x → 0 2 cos x 2 lim
4
2 − 1/ x + 3 / x
Primjeri Primjer i: i:
x 2 − 5 x + 6
4
x → ∞ 1/ x + 2 / x − 5 / x
( x 3 + 4 x 2 + 1) / x 4
x → ∞ (2 x −
Kod neodreñenog oblika
4
5 − 3 / x 2 − 2 / x 3
= ∞.
= 0.
Neodreñeni oblik ∞ − ∞ Kod računanja limesa razlike funkcija f(x) − g(x), možemo dobiti da je izraz f(a) − g(a) = ∞ − ∞. U ovom slučaju potrebno je razliku funkcija f(x) − g(x) transformirati u racionalnu funkciju. Primjeri Primjer i: i: •
(
(
2
lim x − x − 2 x + 3 = ∞ − ∞ = lim x − x − 2 x + 3
x → ∞
= lim
x 2 − x 2 + 2 x − 3
(
x +
x 2 − 2 x + 3 2 − 3 / x
x → ∞
= lim
2 x − 3
= lim
)
x +
x 2 − 2 x + 3
x +
x 2 − 2 x + 3
(
x + x 2 − 2 x + 3 x → ∞ x + 2 = lim = = 1, 1+ 1 x → ∞ 1 + 1 − 2 / x + 3 / x 2 3 x 3 − 100 x 2 + 1 3 2 lim x − 100 x + 1 = ∞ − ∞ = lim x ⋅ 3 x → ∞ x → ∞ x x → ∞
•
)
2
)
x → ∞
(2 x − 3) / x
)
x 2 − 2 x + 3 / x
3
= lim x ⋅ lim x → ∞
x 3 − 100 x 2 + 1
x → ∞
x 3
3
x → ∞
= lim x ⋅ lim 1 − x → ∞
100 1 3 + = lim x ⋅ 1 = ∞. x x 3 x → ∞
Neodreñeni oblik 1∞ Kod računanja limesa funkcije oblika f(x)g(x), možemo dobiti da je izraz f(a)g(a) = 1∞ . U ovom slučaju potrebno je primjeniti transformaciju oblika: f (a )
g ( a )
ln(f ( a ) g ( a ) )
= e
g (a ) ln f ( a )
= e
Primjeri Primjer i: i:
•
4 x 1 x ∞ lim = 1 = lim x 1 x → ∞ x → ∞ + x + 1 x
4 x
x + 1 = lim x → ∞ x
− 4 x
.
1 = lim 1 + x → ∞ x
− 4 x
lim( −4 )
x x 1 = lim 1 + x x → ∞
→∞
lim x 2
x 2
•
−4
− = e ,
x + 1 x + 1 x →∞ = lim lim . Imamo: x → ∞ 2 x + 1 2 x + 1 x → ∞ x + 1 1 + 1/ x 1 2 lim = lim = , lim x = ∞ . x → ∞ 2 x + 1 x → ∞ 2 + 1/ x 2 x → ∞ x + 1 Prema tome je lim x → ∞ 2 x + 1
x 2
= 0. x
•
x x + 1 x + 1 3 lim − 1 = lim 1 + = lim 1 + x → ∞ x → ∞ x → ∞ x − 2 x − 2 x − 2 3 x x − 2 x − 2 3
3 = lim 1 + − x 2 x → ∞
3 x 3 x = e →∞ x − 2 = e . lim
x
Na kraju navodimo rezultat o supstituciji u limesu. čki i x=a i neka je L = lim f ( x ) . k Stavak D: Neka postoji limes funkcije y=f(x) u to č
x → a
Nadalje, neka je f( D k čki i L takav D(f)) ⊆ D(g) i neka funkcija y=g(x) ima limes u to č ⊆ ⊆ D ⊆ da je g (L) = lim g ( y ) . Tada vrijedi: y → L
lim (g f )( x ) = lim g ( y ) . o
x → a
y → L
Primjeri Primjer i: i: •
(1 − y ) 1 + y + y 2 3 lim = lim = lim = = , 3 2 2 x →11 − x y →1 (1 − y ))((1 + y ) x → 1 ⇒ y → 1 y →11 − y
•
1 ln(1 + x ) lim = lim ln(1 + x ) x = x x → 0 x → 0
•
1 − x
x = y 6
1 − y 3
1 y 1 = lim ln 1 + = ln e = 1, y y x → 0 ⇒ y → ∞ y → ∞ x =
e x − 1 y e x − 1 = y lim = = 1 prema prethodnom primjeru . = lim x x → 0 x → 0 ⇒ y → 0 y → 0 ln( y + 1)
Jednostrani limesi
Kao što smo vidjeli u prethodnom predavanju, predavanju, domena neke funkcije je nerijetko bila unija disjunktnih otvorenih intervala D(f) = (a1,b1) « (a2,b2) « … « (am,bm).
Pri tome se točke ak i bk, za k=1,2,…,m, k=1,2,…,m, nazivaju rubne točke domene D(f). Primjeri Primjer i: i: •
•
•
1 ima za domenu skup D(f) = (−∞ −∞,1) « (1, ∞). Točka x=1 je x − 1 rubna točka domene D(f).
Funkcija f ( x ) =
1 Funkcija f ( x ) = arctg ima za domenu skup D(f) = (−∞ −∞,3) « (3, ∞). Točka x − 3 x=3 je rubna točka domene D(f).
Funkcija f ( x ) = arcth x ima za domenu skup D(f) = (−∞ −∞,-1) « (1, ∞). Točke x = -1 i x = 1 su rubna točke domene D(f).
Postavlja se pitanje kakvo je ponašanje funkcije y=f(x) blizu rubnih točaka domene D(f)? Prije toga definirajmo pojmove jednostranih limesa. Definicija: Definicija: Za realan broj L∈R kažemo da je desni limes funkcije y=f(x) u to č k svaki ako za svaki ε čki i x=a ∈R, ako za svaki ako ε > 0 postoji δ δ > 0 tako da vrijedi: ∀ ∀x ∈ D (f), x > a,
(|x-a| < δ δ
⇒ ⇒
|f(x)-L| < ε ε ).
čaju ju pišemo L = lim f ( x ) . U tom slu č a
x → a +
Definicija: Definicija: Za realan broj L∈R kažemo da je lijevi lijevi limes funkcije y=f(x) u čki i x=a ∈R, ako za svaki ako to č k svaki ako za svaki ε ε > 0 postoji δ δ > 0 tako da vrijedi: ∀ ∀x ∈ D (f), x < a,
U tom slu č a čaju ju pišemo L = lim f ( x ) . x → a −
(|x-a| < δ δ
⇒ ⇒
|f(x)-L| < ε ε ).
Jednostrani limesi funkcija iz prethodnog primjera u rubnim točkama Primjeri Primjer i: i: Jednostrani njihovih domena su: •
•
•
1 1 1 1 = = = −∞ , lim = ∞. x →1− x − 1 0 − x →1+ x − 1 0 + lim
1 π π 1 lim arctg = arctg = arctg (− ∞ ) = − , x − 3 2 x →1− 0 − 1 π π 1 lim arctg = arctg = arctg (∞ ) = . x − 3 2 x →1+ 0 +
1 x + 1 1 0 − lim arcth x = lim ln = ln = ln 0+ = −∞ , 2 x − 1 2 − 2 x → −1− x → −1− 1 x + 1 1 2 lim arcth x = lim ln = ln = ln + ∞ = +∞ . 2 x − 1 2 0 + x →1+ x →1+
Limes i jednostrani limesi funkcije y=f(x) mogu biti povezani na sljedeći način: Tv D:: Neka je a ∈R. Tvrdnja vrdnja D a)
Ako postoji limes funkcije y=f(x) u to č k čki i x=a, tada postoje i jednostrani limesi lim f ( x ) i lim f ( x ) , te vrijedi: x → a −
x → a +
lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) .
x → a − b)
x → a +
x → a
Ako postoje jednostrani limesi lim f ( x ) i lim f ( x ) i jednaki su, odnosno x → a −
x → a +
y=f(x) u to č k čki i x=a, koji je lim f ( x ) = lim f ( x ) , tada postoji i limes funkcije y=f(x)
x → a −
x → a +
jednak tim limesima. c)
Ako ne postoji jedan od jednostranih limesa lim f ( x ) i lim f ( x ) ili ako x → a −
x → a +
čiti, oba postoje ali su razli č i ti, odnosno lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) , tada ne postoji
x → a −
x → a +
čki i x=a. limes funkcije y=f(x) u to č k
Dokaz: slijedi Dokaz: slijedi neposredno iz definicije limesa i jednostranih limesa.
Na kraju promatramo usporedni kriterij za limese funkcija: δ > Pretpostavimo o da postoji δ Tv E:: Pretpostavim δ > > 0 takav da vrijedi: Tvrdnja vrdnja E
f(x) ≤ ≤ ≤g(x) ≤ h(x),
∀ ∀x ∈ (a,a+ δ δ ),
te da je lim f ( x ) = lim h ( x ) = L ∈R. Tada postoji i desni limes funkcije y=g(x) funkcije y=g(x) x → a +
x → a +
čki i x=a i vrijedi lim g ( x ) = L . u to č k
x → a +
Dokaz: slijedi Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA. Analogno se iskazuje usporedni kriterij za lijeve limese. sin x = 1. Zaista, x x → 0
Primjer: Jedan od važnih limesa je lim
vrijedi da je P
OAA’
ó
≤ Pkružnog isječkaOAA’ ≤ PóOBB’, odnosno
sin x ⋅ cos x 1 ⋅ x tg x ⋅ 1 . ≤ ≤ 2 2 2
sin x 1 π π za sve x ∈ 0, . Primjenom usporednog kriterija i ≤ x cos x 2 sin x parnosti funkcije slijedi traženi limes. x
Slijedi cos x ≤
Primjeri: •
sin 2 x 0 sin 2 x sin y = = 2 lim = 2 lim = 2, x 0 2 x y x → 0 x → 0 y → 0
•
tg x 0 sin x 1 sin x = = lim = lim = 1, lim x 0 x cos x cos x x x → 0 x → 0 x → 0 x → 0
•
arcsin x 0 y = = 1. = lim lim x 0 sin y x → 0 y → 0
lim
lim
Asimptote
Neka se točka T neprekinuto giba po grafu Γ f tako tako da barem jedna od Γf funkcije f −∞. Ako pri tom njena udaljenost do pravca p njezinih koordinata teži u ∞ ili −∞ p teži teži k nuli, onda se taj pravac naziva asimptota funkcije . Postoje dva osnovna načina na koji se može ostvariti ovakva situacija: (a)
varijabla x teži prema konačnom broju c (s lijeve ili s desne strane), a funkcijska vrijednost teži u ∞ ili −∞ −∞;
(b)
varijabla x teži u ∞ ili −∞ −∞.
Vertikalne asimptote
Ako za funkciju f vrijedi f vrijedi lim f ( x ) = ±∞
x → c −
ili
lim f ( x ) = ±∞
x → c +
onda je pravac vertikalna pravac x = c njezina vertikalna asimptota.
Horizontalne asimptote
Drugi tip asimptota javlja se pri proučavanju ponašanja funkcije f kad x → ±∞ . Slijede dvije interesantne mogućnosti.
•
Ako postoji = lim f ( x ) onda se pravac y = l naziva l naziva desna horizontalna x → ∞
asimptota funkcije f . •
l naziva lijeva horizontalna Ako postoji l = lim f ( x ) onda se pravac y = l naziva x → −∞
asimptota funkcije f .
Primjeri Primjer i: i: Prisjetimo se: y = π /2
1. Funkcija f ( x ) = arctg x ima desnu horizontalnu asimptotu y =
π π
2
1.5 1
,
a lijevu horizontalnu asimptotu y = −
y
0.5
π π
2
x
.
-10
-5
5
10
-0.5 -1 -1.5
y = - π /2
y=2x
x
2. Eksponencijalna funkcija f ( x ) = 2 ima lijevu horizontalnu asimptotu y = 0 , a desnu horizontalnu asimptotu nema.
15
12.5
10
7.5
5
2.5
x -4
-2
2
4
1 y= x
1 3. Funkcija f ( x ) = ima horizontalnu x asimptotu (istovremeno (istovremeno lijevu i desnu)
40
20
x
y=0. Vertikalna asimptota je pravac x=0.
-2
-1
1
2
2
3
-20
-40
2 x+ 1 y= x− 1
2 x + 1 4. Funkcija f ( x ) = ima vertikalnu x − 1 asimptotu x=0, a horizontalnu y=2.
100
50
x -1
1 -50
-100
Kose asimptote Desna kosa asimptota funkcije f je pravac pravac y = k x+ l za koji vrijedi
lim [f ( x ) − kx − ] = 0 .
x → ∞
Ako ovakav limes postoji kada x → −∞ , onda govorimo o lijevoj kosoj asimptoti. Ako kosa asimptota postoji tada vrijedi (∗), pa pogotovo vrijedi: 1 f ( x ) l ⋅ [f ( x ) − kx − l ] = lim − k − lim . x x x x → ∞ x → ∞ x → ∞
0 = lim
Tako dobivamo da je: Koeficijen l računamo iz (∗):
f ( x ) . x → ∞ x
k = lim
= lim [f ( x ) − kx ]. x → ∞
(∗)
Horizontalne asimptote su poseban slučaj kosih, s k=0. Zato, ukoliko nije odmah vidljivo ponašanje funkcije, pri traženju asimptota najprije ispitujemo postoje li kose asimptote. Primjeri: •
Odredi asimptote funkcije y =
x 3 x 2 + x + 1
Vertikalnih asimptota nema, nema, jer je nazivnik razlomka uvijek pozitivan. Odredimo kose asimptote: y x 3 k = lim = lim = 1, 2 x x → ±∞ x → ±∞ x ( x + x + 1)
y Kosa asimptota
.
2
1
x -3
-2
-1
3 2 x − x − x l = lim ( y − kx ) = lim 2 − x = lim = −1. 2 x → ±∞ x → ±∞ x + x + 1 x → ±∞ x + x + 1
Pravac y = x – 1 je desna i lijeva asimptota ove funkcije.
1 -1
-2
-3
-4
2
3
•
Odredi asimptote funkcije y =
y
x 3
. x − 1 2
Nule nazivnika su x = ±1. U tim točkama funkcija nije definirana. Imamo x 3 −1 x 3 −1 lim lim = = −∞ , = = ∞, 2 2 x → −1− x − 1 + 0 x → −1+ x − 1 − 0 x 3 1 x 3 1 lim 2 lim 2 = = −∞, = = ∞. − 0 + 0 x →1− x − 1 x →1+ x − 1
10 5 x -4
-2
2 -5 -10
dakle, vertikalne asimptote su x=-1 i x=1. Odredimo kose asimptote:
y x 3 k = lim = lim = 1, x → ±∞ x x → ±∞ x ( x 2 − 1)
x 3 x 1 x l = lim ( y − kx ) = lim 2 − x = lim = lim = 0. 2 2 x → ±∞ x → ±∞ x − 1 x → ±∞ x − 1 x → ±∞ 1 − 1 x Pravac y = x je desna i lijeva asimptota ove funkcije. funkcije.
4
Neprekinute funkcije i limesi
Ovdje ćemo promatrati pojmove neprekinutosti i prekinutosti realne funkcije realne varijable, te njihov odnos prema limesu funkcije. Definicija: x=a a ako je Definicija: Neka je a∈R. Funkcija y=f(x) je neprekinuta u točki x= a∈D(f) i ako za svaki ε ε > 0 postoji δ δ > 0 tako da vrijedi: ∀ ∀x ∈ D (f),
|x-a| < δ δ
⇒ ⇒
|f(x)-f(a)| < ε ε.
Ako funkcija y=f(x) nije neprekinuta u točki x=a tada kažemo da je y=f(x) prekinuta u točki x=a. Definicija: Neka je skup I I otvoren interval ili unija otvorenih intervala ili I I = R. Kažemo da je funkcija y=f(x) je neprekinuta na skupu I ako je ona neprekinuta u svakoj točki tog skupa.
Kažemo da je funkcija y=f(x) je neprekinuta na segmentu [a,b] ako je neprekinuta neprekinut a na intervalu (a,b).
Funkcija f neprekinuta u točki a
Funkcija f prekinuta u točki a
Primjeri: •
Konstanta f(x) = c je neprekinuta funkcija na cijelom R. Zaista, neka je a∈ R proizvoljan i ε > 0 proizvoljan. Tada za proizvoljan δ > 0 vrijedi | x – a | < δ ⇒ | f(x) – f(a) | = | c – c | = 0 < ε. Prema tome funkcija je neprekinuta u točki a. Kako je a∈R proizvoljan, to je f neprekinuta f neprekinuta u svakoj točki iz R, dakle na cijelom R.
•
Funkcija f(x) = x je neprekinuta na cijelom R. Zaista, neka je a∈ R proizvoljan i ε > 0 proizvoljan. Tada za ε ≥ δ > 0 vrijedi | x – a | < δ ⇒ | f(x) – f(a) | = | x – a | < δ ≤ ε. Prema tome funkcija je neprekinuta u točki a. Kako je a∈R proizvoljan, to je f neprekinuta f neprekinuta u svakoj točki iz R, dakle na cijelom R.
•
U nastavku ćemo dokazati da su elementarne funkcije neprekinute funkcije na svojim domenama.
Slijedi tvrdnja o operacijama s neprekinutim funkcijama. Tvrdnja F: (i) Neka su y = f(x) i y = g(x) neprekinute funkcije u točki x=a, tada je u toj točki neprekinuta i funkcija: •
f(x) ± g(x),
•
f(x) g(x),
•
f(x)/g(x) (uz uvjet da je g(a) ≠ 0).
(ii) Neka su y = f(x) i y = g(x) dvije funkcije za koje je f(D(f)) ⊆ D(g). Ako je funkcija y = f(x) neprekinuta u točki x=a, a funkcija y = g(x) neprekinuta u točki x=f(a), tada je funkcija y = g(f(x)) neprekinuta u točki x=a.
Primjer: Iz TvrdnjeF slijedi da su potencije neprekinute funkcije na R. Zaista, iz neprekinutosti funkcije f1(x)=x, slijedi da je neprekinuta funkcija f2(x)=x2, jer je f2(x) = f1(x) f1(x). Nadalje je neprekinuta i funkcija funkcija f2(x) f1(x) = x3 itd. Polinomi su neprekinute funkcije na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Budući da su racionalne funkcije kvocijenti neprekinutih funkcija (polinoma), (polinoma), one su neprekinute funkcije u točkama u kojima je nazivnik različit od nule. Slijedi da je svaka racionalna funkcija neprekinuta na svojoj prirodnoj domeni
Slijedi tvrdnja o neprekinutosti monotonih funkcija. f strogo strogo monotona funkcija definirana na konačnom ili Tvrdnja G: Neka je f beskonačnom otvorenom intervalu I I, i neka je njezina slika konačan ili beskonačan otvoreni interval. Tada je f f neprekinuta neprekinuta funkcija na I I. Zatim postoji -1 inverzna funkcija f i ona je neprekinuta na svojoj domeni (slici funkcije f ). ). Primjer: Na temelju TvrdnjeG imamo sljedeće zaključke: •
Eksponencijalne Eksponencijalne funkcije su neprekinute na R, jer su definirane na beskonačnom otvorenom intervalu (−∞ −∞,∞), i slika im je beskonačan otvoreni interval (0,∞) i strogo su monotone.
•
•
•
•
Logaritamske Logaritamske funkcije, kao inverzne od eksponencijalnih, su neprekinute. Funkcija sinus je strogo monotona na(−π −π/2, π/2), taj otvoreni interval preslikava na (−1,1), pa je neprekinuta na (−π −π/2, π/2). Kosinus je na isti način neprekinuta funkcija na (0, π). Funkcije sinus i kosinus su neprekinute na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Funkcije tangens i kotangens su kvocijenti neprekinutih funkcija, pa su i same neprekinute na svojim domenama. Arkus funkcije su inverzne od strogo monotonih, pa su neprekinute. Da su arcsin i arccos neprekinute i na rubovima segmenta [-1,1] dokazuje se posebno. Funkcije dobivene od gore navedenih pomoću konačno mnogo operacija zbrajanja, množenja, dijeljenja, komponiranja, invertiranja zovu se elementarne funkcije. Tako imamo važan zaključak: elementarne funkcije su neprekinute na svojim domenama.
Svojstva neprekinutosti neprekinutosti i prekinutosti funkcija mogu se izraziti pomoću limesa, lijevog i desnog limesa kako slijedi. Tvrdnja H: Neka je a ∈ R..
i) Neka je y=f(x) neprekinuta funkcija u točki x=a. Tada postoji limes funkcije y=f(x) u točki x=a i vrijedi f (a ) = lim f ( x ) . x → a
ii) Neka postoji limes funkcije y=f(x) u točki x=a, te neka je a∈D(f) i f (a ) = lim f ( x ) . Tada je y=f(x) neprekinuta funkcija u točki x=a. x → a
iii) Ako ne postoji limes funkcije y=f(x) u točki x=a, tada je y=f(x) prekinuta funkcija u točki x=a. iv) Neka je y=f(x) prekinuta funkcija u točki x=a, te neka postoje i neka su konačni jednostrani limesi lim f ( x ) i lim f ( x ) . Tada za veličinu prekida (skoka) S(a) funkcije y=f(x)
x → a − u točki
x → a +
x=a vrijedi:
S (a ) = lim f ( x ) − lim f ( x ) > 0. x → a −
x → a +
Primjeri:
Funkcija 1 x sin , za x ≠ 0, f ( x ) = x 0, za x = 0,
je neprekinuta na R.
Takozvana Heavisideova funkcija (čitaj Hevisajdova)
1, za x ≥ 0, f ( x ) = 0, za x < 0, je prekinuta u točki x=0.
Svojstva neprekinutih funkcija
Na kraju, bez dokaza iznosimo neke važne rezultate o neprekinutim funkcijama. Tvrdnja K (nultočke neprekinutih funkcija): Neka je I I otvoren interval ili I I = R. Neka je funkcija y=f(x) neprekinuta u I I, te neka za dvije proizvoljne dane točke a ∈II i b ∈I I, a < b , vrijedi:
f(a) f(b) < 0
( odnosno f(a) > 0 i f(b) < 0 ili f(a) < 0 i f(b) > 0 ).
Tada postoji to č k čka a c ∈ (a,b), takva da je f(c) = 0.
Tvrdnja L (Rolleov teorem za neprekinute funkcije): Neka je I I otvoren interval ili I I = R. Neka je funkcija y=f(x) neprekinuta u I I, te neka postoje dvije točke a ∈II i b ∈I I, a < b , takve da vrijedi:
f(a) = f(b) = 0. čka a lokalnog ekstrema za funkciju Tada u intervalu [a,b] postoji barem jedna to č k
čka a lokalnog maksimuma x M y=f(x), to jest postoji to č k M ∈ [a,b] (za koju vrijedi f(x M M ) ≥ ≥ f(x) za sve x ∈ [a,b]) ili lokalnog minimuma x m ≤ f(x) m ∈ [a,b] (za koju vrijedi f(x m m ) ≤ za sve x ∈ [a,b]).
Tvrdnja M (Postojanje točaka lokalnog maksimuma i lokalnog minimuma): Neka je funkcija y=f(x) neprekinuta na zatvorenom intervalu [a,b], f: [a,b] → R.
Tada u intervalu [a,b] postoje to č k čke e lokalnog maksimuma ili lokalnog minimuma za funkciju y=f(x), odnosno postoje x M M ∈ [a,b] i x m m ∈ [a,b] takvi da je f(x M ≥ f(x) i f(x m ≤ f(x) za sve x ∈ [a,b]. M ) ≥ m ) ≤
