9.
Vektor funkcija
9.1.
Znaˇ cajni pojmovi i objaˇ snjenja
Kada se analizira lekcija o vektorskim funkcijama jedne realne promenljive, moˇze se uoˇciti postojanje deset pojmova. Pre ponavljanja ovih pojmova, ponovimo osnove o vektorskim funkcijama. Neka je data vektorska funkcija: ~r = ~r (t) = x (t) · ~i + y (t) · ~j + z (t) · ~k = (x (t) , y (t) , z (t)) tada je: ˙ y (t), ˙ z (t) ˙ ~r˙ = x (t), = (x0 (t) , y 0 (t) , z 0 (t)) izvod vektor funkcije po nezavisnoj promenljivi t. Intezitet vektorske funkcije u nekoj taˇcki jednak je: p |~r (t)| = x2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) Ne ulaze´ci u njhove definicije, posebno su znaˇcajni: - Vektor tangente:
- Vektor normale:
~r˙ (t) odnosno ~τ (t) = ~r˙ (t) ~τ (t) = ˙ ~r (t)
(9.1)
~τ˙ (t) odnosno ~n (t) = ~τ˙ (t) ~n (t) = ˙ ~τ (t)
(9.2)
~b (t) = ~τ (t) × ~n (t)
(9.3)
˙ ~r (t) × ~r¨ (t) K= ˙ 3 ~r (t)
(9.4)
- Vektor binormale: - Prva krivina - fleksija:
- Polupreˇcnik prve krivina: RK =
1 K
(9.5)
- Druga krivina - torzija: x˙ (t) y˙ (t) z˙ (t) x¨ (t) y¨ (t) z¨ (t) h ... i ... det ~r˙ (t) , ~r¨ (t) , ~r (t) x (t) ... y (t) ... z (t) T = = 2 2 ˙ ˙ ~r (t) × ~r¨ (t) ~r (t) × ~r¨ (t)
(9.6)
- Polupreˇcnik druge krivine: RT =
1 |T |
(9.7)
- Vektori ~τ i ~n daju oskulatornu ravan. Ako je poznata taˇcka M0 = t~0 tada je vektor oskulatorne ravni jednak: ~b0 = ~τ (t0 ) × ~n (t0 ) = ~r˙ (t0 ) × ~r¨ (t0 ) 76
sledi: Roskulatorna = hM0 , ~b0 i
(9.8)
- Na sliˇcan naˇcin se od vektora ~n i ~b dobija vektor normalne ravni, sledi: Rnormalna = hM0 , ~n0 × ~b0 i
(9.9)
- Vektori ~b i ~τ daju vektor rektifikacione ravni, sledi: Rrektif ikaciona = hM0 , ~b0 × ~τ0 i
(9.10)
Ako hodograf vektor funkcije leˇzi u jednoj ravni, to je onda oskulatorna ravan. Posledica ove ˇcinjenice da je vektor takve oskulatorne ravni konstantan - ne zavisi od t. Znaˇcajni su ekstremi krivine krive i torzije. Nalaze se na jednostavan naˇcin jer je tada krivina funkcija jedne realne promenljive K = K(t).
9.2.
Zadaci
Primer 9.1. Odrediti - izraˇcunati, svih deset pojmova (9.1 - 9.10) u taˇcki t = 0 za slede´ce vektor funkcije: a) ~r (t) = et · ~i + e−t · ~j +
√
2t · ~k
b) ~r (t) = et cos t · ~i + et sin t · ~j + et · ~k c) ~r (t) = a ch t · ~i + a sh t · ~j + at · ~k,
a∈R
Primer 9.2. Odrediti polupreˇcnik obe krivine hodografa slede´cih vektor funkcija: a) ~r (t) = ln (cos t) · ~i + ln (sin t) · ~j +
√ 2t · ~k
za proizvoljno t; b) ~r (t) = t2 · ~i + 2t3 · ~j + 0 · ~k za proizvoljno t; c) ~r (t) = 3t2 · ~i + 3t − t3 · ~j + 2 · ~k za t = 1; d) ~r (t) = (cos t + t sin t) · ~i + (sin t − t cos t) · ~j + 0 · ~k u taˇcki t =
π ; 2
e) ~r (t) = a ch t · ~i + a sh t · ~j + at · ~k, u proizvoljnom t. 77
a∈R
Primer 9.3. Ako je a 6= 0 fiksiran parametar, za hodograf vektor funkcije: ~r (t) = a ch t · ~i + a sh t · ~j + at · ~k na´ci torziju i polupreˇcnik torzije u proizvoljnoj taˇcki t ∈ R. Primer 9.4. Za vektor funkciju: 1 ~r (t) = t · ~i − t · ~j + t2 · ~k 2 u taˇcki t = 2, na´ci svih deset pojmova (9.1 - 9.10). Primer 9.5. U taˇcki t = 0 hodografa vektor funkcije: ~r (t) = et cos t · ~i + et sin t · ~j + et · ~k odrediti torziju i njen polupreˇcnik. Primer 9.6. Napisati jednaˇcinu oskulatorne ravni u taˇcki t = 0 hodografa vektor funkcije: √ ~r (t) = et · ~i + e−t · ~j + 2t · ~k Primer 9.7. Napisati jednaˇcinu oskulatorne ravni u taˇcki t = 2 hodografa vektor funkcije: 1 ~r (t) = t · ~i − t · ~j + t2 · ~k 2 Primer 9.8. Za vektor funkciju: ~r (t) = 2 cos t · ~i − 2 sin t · ~j + 3t · ~k odrediti sva tri vektora prirodnog triedra u taˇcki hodografa t = 0. Primer 9.9. Data je vektor funkcija: ~r (t) = et cos t · ~i + et sin t · ~j + et · ~k a) U taˇcki t = 0, na´ci svih deset pojmova (9.1 - 9.10). b) Kojoj povrˇsi drugog reda pripada hodograf date vektor funkcije? Primer 9.10. U taˇcki ekstremalne krivine krive hodografa vektor funkcije: √ ~r (t) = ln (cos t) · ~i + ln (sin t) · ~j + 2t · ~k na´ci jednaˇcinu oskulatorne ravni. Primer 9.11. Ako je kriva L hodograf vektor funkcije: 1 ~ 1 ~ ~r (t) = t + ·i+ t− · j + 2 ln t · ~k t t na´ci taˇcku M u kojoj je torzija maksimalna. U toj taˇcki odrediti jednaˇcinu oskulatorne ravni. Primer 9.12. Ako je kriva L hodograf vektor funkcije: ~r (t) = 2t · ~i + ln t · ~j + t2 · ~k na´ci taˇcku M u kojoj je krivina ekstremalna. U toj taˇcki odrediti jednaˇcinu binormale. 78
9.3.
Reˇ seni zadaci
Primer 9.13. Dokazati da hodograf L vektor funkcije: ~r (t) = −t + 2t2 · ~i + 2t − t2 · ~j + 2t + 2t2 · ~k leˇzi u jednoj ravni. Dokaz. Ako hodograf vektor funkcije leˇzi u jednoj ravni, ta ravan je oskulatorna i pri tome ima isti vektor ravni za svako t. Oblast definisanosti date vektor funkcije je R3 . Da bi naˇsli vektor oskulatorne ravni potrebno je: ~r˙ = (−1 + 4t, 2 − 2t, 2 + 4t) ~r¨ = (4, −2, 4) Sledi: ~b = =
~τ × ~n ~r ˙ × ~r¨ ~i ~k ~j = −1 + 4t 2 − 2t 2 + 4t 4 −2 4 = (8 − 8t + 4 + 8t, − (−4 + 16t − 8 − 16t) , 2 − 8t − 8 + 8t) = (2, 2, −1)
i konstantan je - ne zavisi od t Za t = 0 dobijamo taˇcku: M0 = ~r (0) = (0, 0, 0) i jednaˇcina oskulatorne ravni Roskulatorna = hM0 , ~bi je: 2 · (x − 0) + 2 · (y − 0) − 1 · (z − 0) = 0 ⇒ 2x + 2y − z = 0
Primer 9.14. Ako je L hodograf vektor funkcije: √ ~r (t) = e−t · ~i + et · ~j + t 2 · ~k tada u taˇcki ekstremalne krivine krive na´ci jednaˇcinu oskulatorne ravni. Dokaz. Nadimo krivinu krive, koriste´ci formulu: ˙ ~r (t) × ~r¨ (t) K= ˙ 3 ~r (t) uz zapaˇzanje da je oblast definisanosti date vektor funkcije R3 . √ ˙~r = −e−t , et , 2 ~r¨ = e−t , et , 0
79
Nadimo i potreban vektorski proizvod: ~i ~j ~k √ √ −t √ √ √ t 2, −e−t et − e−t et = et 2, e−t 2, −2 ~r˙ × ~r¨ = −e−t et 2 = e 2, e e−t et 0 i njegov intezitet je: √ ˙ ¨ ~ r × ~ r 2e2t + 2e−2t + 4 = √ √ 2qe2t + 2 + e−2t = √ = 2 (et + e−t )2 √ t = 2 e + e−t √ et + e−t = 2 2 2 √ = 2 2 |ch t| kako je ch t uvek pozitivna funkcija sledi da je: √ ˙ ¨ ~r × ~r = 2 2 ch t Sliˇcno:
√ √ ˙ ~r = e−2t + e−2t + 2 = e2t + 2 + e−2t = ch t
Konaˇcno se moˇze izraˇcunati krivina krive i to kao funkcija od t: √ √ 2 2 ch t 2 2 K (t) = = 2 ch3 t ch t Krivina krive je uvek definisana jer je ch t > 0,
∀t ∈ R. Nadimo izvod krivine po t:
√ −2 sh t √ sh t K 0 (t) = 2 2 = −4 2 3 3 ch t ch t odakle jednostavno sledi da je: K 0 (t) = 0 ⇒ sh t = 0 ⇒ t = 0 potencijalni ekstrem, a iz: K 0 (t) > 0 ⇒ sh t < 0 ⇒ t < 0 sledi da je taˇcka√M = ~r (0) = (1, 1, 0) ona u kojoj krivina K hodografa L vektorske krive ~r (t) = e−t , et , t 2 ima minimum. Oskulatorna ravan se jednostavno dobija, jer smo njen vektor ve´c izraˇcunali: √ √ √ √ ~ = ~r˙ (0) × ~r¨ (t) = e0 2, e0 2, −2 = b (0) 2, 2, −2 konaˇcno: √
2 (x − 1) +
√
2 (y − 1) − 2 (z − 0) = 0 ⇒
80
√
2x +
√ √ 2y − 2z − 2 2 = 0
