EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR A DISTANCIA
Matemáticas IV
CUADERNILLO DE PROCEDIMIENTOS PARA EL APRENDIZAJE Con la colaboración de: Maricela Gutiérrez Carbajal Cuauhtémoc Olivares Jiménez Annael Servín Martínez Luis Suárez Méndez
MATEMÁTICAS IV Cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje
Con la colaboración de : Maricela Gutiérrez Carbajal Cuauhtémoc Olivares Jiménez Annael Servín Martínez Luis Suárez Méndez
EMSAD
EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR A DISTANCIA
MATEMÁTICAS IV Cuadernillo de Procedimientos para el aprendizaje Con la colaboración de: Maricela Gutiérrez Carbajal Cuauhtémoc Olivares Jiménez Annael Servín Martínez Luis Suárez Méndez Coordinación de Educación Media Superior a Distancia Martha Elena Fuentes Torres Departamento de Diseño de Material Didáctico y Capacitación: Antonio Cadena Magaña Revisión y asesoría académica: Víctor Manuel Mora González Diseño Gráfico: Mildred Ximena Uribe Castañón Corrección de Estilo: Cristina Miranda Huerta
©Secretaría de Educación Pública. México, febrero de 2008. Subsecretaría de Educación Media Superior Dirección General del Bachillerato Educación Media Superior a Distancia ISBN: En trámite Derechos Reservados
ÍNDICE
1 2 3 4
RELACIONES Y FUNCIONES
FUNCIONES POLINOMIALES
9
56
83 FUNCIONES RACIONALES
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
102
RESPUESTAS
135
4
PRESENTACIÓN La asignatura de Matemáticas IV, a la cual pertenece el Cuadernillo de Procedimientos para el Aprendizaje que tienes en tus manos, amable estudiante, se incluye dentro del campo de conocimiento físico-matemático. Entre los propósitos formativos de este campo se encuentran el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes que te permitan –como estudiante– interpretar de manera reflexiva y crítica el quehacer científico, valorar su importancia actual y futura, y tomar conciencia del impacto social, económico y ambiental del desarrollo tecnológico. El estudio de esta asignatura, mediante el desarrollo de conceptos, métodos y procesos lógicos, te permitirá adquirir los elementos básicos para efectuar el análisis de la relación funcional entre dos variables, indispensable para la explicación de fenómenos y la resolución de problemas en distintos campos del conocimiento. El estudio de las Matemáticas te brinda, como estudiante de bachillerato, la oportunidad de desarrollar diversas formas de pensamiento y diferentes tipos de razonamiento, y a utilizar distintos lenguajes y formas de representación simbólica, útiles para tu desarrollo y madurez intelectual, así como para la comprensión e interpretación de tu realidad, tanto personal como social. Al cursar la asignatura de Matemáticas I, aprendiste a transitar de las operaciones numéricas de la Aritmética al lenguaje general del Álgebra; en Matemáticas II, incorporaste el estudio de los conocimientos geométricos; y en Matemáticas III, conjugaste los aspectos anteriores mediante el estudio de la Geometría Analítica, es decir, aprendiste a transitar de las formas algebraicas a las representaciones geométricas y viceversa. Al estudiar los conceptos de variación y aproximación ligados a la idea de función; la asignatura de Matemáticas IV tiene entre sus propósitos desarrollar en ti un pensamiento flexible al constatar que la Matemática también admite el titubeo, el error y la aproximación, además de la formalidad, el rigor y la exactitud, posibilitará asimismo el que desarrolles distintas formas de comunicación oral y escrita, expresando tus ideas mediante diversas representaciones gráficas o interpretando y describiendo procesos; utilizarás el pensamiento crítico al elaborar gráficas e identificar las diferentes formas de variación funcional al modelar situaciones; valorarás la utilidad del trabajo colaborativo en equipos y en el grupo, lo mismo que la importancia del respeto a las opiniones de los demás, al participar en actividades grupales, y desarrollarás una actitud de aprecio hacia el trabajo científico, particularmente de la Matemática, al aplicar los conocimientos para la modelación y resolución de problemas de diversos ámbitos.
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El estudio de las funciones, en el cuarto semestre del Plan de estudios del bachillerato general posibilita, que concluyas el componente de formación básica consolidando y ampliando tus conocimientos algebraicos sobre variables y ecuaciones iniciado en Matemáticas I y los del comportamiento de las funciones trigonométricas abordados en Matemáticas II (ubicándolas como un tipo particular de funciones trascendentes) y los de representación gráfica de ecuaciones adquiridos mediante el estudio de la Geometría Analítica en Matemáticas III. También, permitirá que apliques específicamente dichos conocimientos en la modelación de fenómenos, en la asignatura de Física II que se imparte en este mismo semestre y, más allá, constituirá una base importante en los semestres subsecuentes, para el estudio del Cálculo Diferencial e Integral, Matemáticas Financieras y, Probabilidad y Estadística, en el componente de formación propedéutica.
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Los contenidos sobre funciones que serán abordados en el curso de Matemáticas IV comprenden los temas de: Relaciones y funciones, Funciones polinomiales, Funciones racionales y Funciones exponencial y logarítmica. La idea general de interdependencia funcional entre dos variables, así como sus distintas formas de representación, vinculará y estructurará el estudio de tales contenidos. Partiendo de la idea general de función, sus características algebraicas y geométricas, operaciones y tipos básicos especiales de funciones (indispensables para la representación de la variación entre dos magnitudes) se pasará al estudio de las funciones algebraicas polinomiales y racionales (incluyendo propiedades algebraicas de polinomios, tales como factores, residuos, raíces de ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas) y se concluirá con el estudio del comportamiento de dos tipos especiales de funciones trascendentes, las funciones exponencial y logarítmica, destacando el carácter inverso de ambas, revisando propiedades básicas de logaritmos y resolviendo ecuaciones exponenciales y logarítmicas (lo que complementará el estudio de las funciones trascendentes iniciado ya en Matemáticas II con las funciones trigonométricas). En cada unidad aprenderás a relacionar magnitudes para modelar diversas situaciones de tu entorno, a partir de la idea de variabilidad y relación funcional de dos variables, que te resultará de utilidad para interpretar aspectos numéricos y lógicos de tus vivencias personales y de tu realidad social. En todas las unidades desarrollarás habilidades de comunicación al transitar por distintas formas de representación de las funciones, incluyendo representaciones tanto matemáticas (algebraicas: ecuaciones; numéricas: tablas; geométricas: gráficas), como no matemáticas (descripciones en lenguaje ordinario, orales o escritas), mediante la participación en debates, análisis, exposiciones, etc; igualmente, tendrás oportunidad de desarrollar actitudes de colaboración y respeto al participar en diversas actividades, como elaboración de tareas y exposiciones en equipo y grupales; de desarrollar una actitud crítica al realizar investigaciones y participar en el análisis de situaciones prácticas que requieran modelación, solución e interpretación de resultados, tomadas de tu contexto inmediato, escolar o social.
Los temas que incluye Matemáticas IV, son: Unidad I. Relaciones y funciones. Unidad II. Funciones polinomiales. Unidad III. Funciones racionales. Unidad IV. Funciones exponencial y logarítmica.
Objetivo de la asignatura: Resolverás problemas que conlleven el concepto matemático de función, a partir de su clasificación y operaciones que conduzcan a un análisis particularizado de cada una y al manejo de las nociones de variación e interrelación de dos magnitudes, mediante el desarrollo de técnicas y métodos algebraicos y geométricos; generando un ambiente escolar de tolerancia y respeto que favorezca el desarrollo de habilidades de exploración, modelación y obtención de resultados, utilizando el pensamiento crítico y reflexivo.
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8
¿
¿
¿Qué voy a aprender?
¿
RELACIONES Y FUNCIONES Objetivo de la unidad: Resolverás problemas sobre relaciones y funciones, teóricos o prácticos, mediante el manejo de la relación funcional entre dos variables, la realización de operaciones entre funciones, el uso de funciones inversas, funciones especiales, y las transformaciones de gráficas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión y razonamiento abstracto, lógico, analógico y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el cual te desenvuelves.
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UNIDAD
¡Sean bienvenidos! Estás comenzando el curso de Matemáticas IV, lo cual indica que tu esfuerzo a lo largo de tres semestres está dando fruto y estás iniciando la segunda parte de tu Bachillerato, ¡enhorabuena! La asignatura de Matemáticas IV, cuyo estudio estás emprendiendo, trata, por decirlo de manera muy resumida, del estudio de una noción fundamental en matemáticas: la función. De hecho las matemáticas modernas son herramientas tan poderosas porque se basan en el uso de las diversas funciones que existen. Su conocimiento y dominio hace que cualquier persona logre representar simbólicamente muchos fenómenos y situaciones, para construir modelos que sirven para dar soluciones adecuadas, a veces insólitas, a problemas que se presentan cotidianamente. Es por ello que esta unidad –la primera del curso– te proporciona las bases esenciales para ir profundizando poco a poco en los temas de las otras tres unidades. Siendo específicos, comenzarás por estudiar la noción de relación y de función para distinguirlas entre sí. De las funciones entenderás a qué se le llama dominio, codominio y rango, revisando, además, algunas aplicaciones prácticas.
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Fuentes de consulta
Bibliografía básica: 1. Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. México, McGraw Hill Interamericana, 2000. 2. Larson, Ronald, y otros. Álgebra. México, Publicaciones Cultural, 1996. 3. Leithold, Louis. Matemáticas previas al Cálculo. México, Oup-Harla, 1994. 4. Ortíz Campos, Francisco J. Matemáticas IV. Bachillerato General. México, Publicaciones Cultural, 2005. 5. Ruiz Basto, Joaquín. Precálculo: funciones y aplicaciones. Matemáticas IV. México, Publicaciones Cultural, 2005. 6. Stewart, James, y otros. Precálculo. México, International Thomson Editores, 2000. 7. Sullivan, M. Precálculo. México, Prentice-Hall Hispanoamericana, 1997.
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Enciclopedia Encarta: Si tu Centro de Servicios cuenta con este software, te recomendamos revisar estos artículos que tienen relación con los temas tratados en esta Unidad. • Función (matemáticas) • Número racional • Asíntota
Páginas Web: Actualmente podemos encontrar en la red una gran cantidad de información y existen sitios altamente recomendables como los que enlistamos a continuación para que los visites: • • • • •
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2_funciones.php http://perso.wanadoo.es/paquipaginaweb/funciones/index.html http://www.geocities.com/funcion_ve/ http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec3/cap3.html#func
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¿Cómo aprendo? 1.1. RELACIONES Y FUNCIONES Objetivo temático: Resolverás problemas que impliquen la noción de relación y función en forma teórica y práctica, mediante el análisis de la asociación entre dos variables a través de tablas, parejas, diagramas, gráficas y ecuaciones, que permitan obtener su dominio y rango.
Puedes observar a tu alrededor y darte cuenta de forma inmediata que no vives en un mundo fijo, sino en un mundo cambiante, donde existe un sinfín de magnitudes que varían, como: el tiempo, la posición del sol, el precio de las cosas, la posición en la que te encuentras y la de los objetos que observas a tu alrededor. La observación de esos cambios y la dependencia que existe entre ellos son los que interesan al estudio de las matemáticas, ya que esto nos permite tomar decisiones.
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Por ejemplo, sabemos que el tiempo que tardes en llegar a la escuela depende de la velocidad a la que camines, que el ángulo de inclinación del sol depende de la hora del día, que la producción agrícola depende del clima, que las ganancias en una tienda dependen de la cantidad de artículos que logran vender y así, podemos elegir a qué velocidad debemos caminar para llegar a tiempo, la cantidad de artículos que podemos comprar con el dinero que tenemos, en qué época del año sembrar determinado tipo de planta, etc. Recordemos que tenemos siempre dos magnitudes, pero sólo una depende de la otra. La diferencia entre decir que unas magnitudes están en relación con otras, o bien, que unas están en función de otras, en el lenguaje común parece no tener relevancia, pues “relación” se utiliza como sinónimo de “función”. Sin embargo la diferencia en matemáticas es notable, pues, aunque ambos conceptos tienen similitudes, no son completamente iguales. Para comprender su empleo y relevancia, analicemos a continuación cada uno de ellos. NOCIÓN DE RELACIÓN En el ámbito matemático, ¿qué debe entenderse por “relación”? Estudiemos la definición siguiente: Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos de un primer conjunto (llamado dominio) con los elementos de un segundo conjunto (denominado contradominio o codominio), de tal manera que a cada elemento del dominio corresponde uno o más elementos del contradominio. Ortiz Campos, Francisco J. Matemáticas IV. Funciones, México, Publicaciones Cultural, 2007.
Según esta definición, en una relación necesitamos dos conjuntos de datos, Uno llamado dominio (primer conjunto) y otro contradominio (segundo conjunto), y que sus elementos estén asociados. Asimismo, notamos que no se establece ningún tipo de restricción respecto a cómo relacionarse un conjunto con otro.
Existen numerosos ejemplos de relaciones que utilizamos con frecuencia, a continuación te citamos algunos. Para ilustrarlos de una manera más clara, los representaremos por diagramas sagitales (nombrados así porque se utilizan flechas, que en latín se dice sagita), en donde se pueden apreciar ambos conjuntos, denominados dominio y contradominio, cuyos elementos asociados se unen por medio de flechas. Estados
Ejemplo 1. La relación entre los nombres de los estados colindantes con San Luís Potosí y sus capitales.
Asignaturas
Matemáticas IV Física II Biología I Est. Soc. de México Literatura II Lengua Adic. al Español Cap. para el trab. A Cap. para el trab. B
Capitales
Coahuila Nuevo León Tamaulipas Veracruz Guanajuato Querétaro Hidalgo Jalisco Zacatecas
Saltillo Monterrey Cd. Victoria Jalapa Guanajuato Querétaro Pachuca Guadalajara Zacatecas
No. de horas
3 4 5
Ejemplo 2. Las materias que cursas con el número de horas a la semana.
Ejemplo 3. El nombre de algunos alumnos y el deporte que practican.
Nombre
Deporte
,Aquí, un elemento del dominio está relacionado con varios elementos del contradominio ¿es relación?
José Omar Ulises Israel
Beisbol Futbol Basquetbol Voleibol
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Ejemplo 4. Un automóvil recorre 210 km de la Cd. San Luis Potosí a la Cd. de Querétaro. La velocidad a la cual se mueve es de 70 km/ h . Asociemos los kilómetros que recorre con el tiempo que transcurre.
Tiempo (h) 1 2 3
Distancia (km) 70 140 210
Nuevamente nos encontramos con una relación uno a uno, en donde ambos conjuntos son numéricos. Todos estos ejemplos son relaciones, no podemos descartar ninguno pues, como habíamos mencionado, no existe ninguna restricción en la forma que deben relacionarse. Actividades: 1. Existen numerosas definiciones, te sugerimos investigar algunas otras para que puedas construir tu propio concepto de relación. Escríbelas en tu cuaderno y analízalas junto con tus compañeros y asesor. 2. Cita tres ejemplo de relaciones, exprésalos con un diagrama sagital.
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NOCIÓN DE FUNCIÓN Una función, como veremos, es un tipo especial de relación. Estudiemos ahora esta definición: La función es una relación en que a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. Ortiz Campos, Francisco J. Matemáticas IV. Funciones. México, Publicaciones Cultural, 2007.
Aquí sí existe una condición respecto a cómo asociarse, que establece claramente que todos los elementos del dominio deben estar asociados estrictamente con uno del contradominio. Veamos otra definición. Una función f de un conjunto A respecto a un conjunto B es una regla de correspondencia que asigna, a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento y del conjunto B. El conjunto A es el dominio de la función f, y el conjunto B es el contradominio. Larson, Roland E. y Robert P. Hostetler. Álgebra. México, Publicaciones Cultural, 1996.
De acuerdo a lo anterior, de las relaciones anteriores ¿cuáles son funciones? Discútelo con tus compañeros.
3. Determina, si los siguientes diagramas sagitales son funciones o sólo relaciones. Anota debajo de cada uno la palabra RELACIÓN o la palabra FUNCIÓN, según corresponda:
A(x) B(y)
A(x) B(y) 1 2 3 4
a b c d
2 4
a b c d
A(x) B(y)
2 4
a b c d
A(x) B(y) 1 2 3 4
a b c
A(x) B(y) 1 2 3 4
a b c
En el estudio de las relaciones y las funciones utilizaremos algunos conceptos nuevos cuyo significado debe quedarnos suficientemente claro para apropiarnos de ellos y utilizarlos correctamente. 4. Aunque ya hemos mencionado algunos de ellos es necesario que conozcas de manera explícita su significado. Investiga en los medios a tu alcance y completa el siguiente cuadro.
15 TÉRMINO
DEFINICIÓN
Dominio Codominio o contradominio Argumento Imagen Rango
Para aclarar el empleo de estos términos, veamos el siguiente diagrama donde se observan los elementos, los conjuntos y los subconjuntos.
CONTRADOMINIO (conjunto)
DOMINIO (conjunto)
A(x)
B(y)
a 2 Argumentos (elementos)
Imágenes (elementos)
b c
4
d
RANGO (subconjunto)
Sigue revisando la imagen y trata de comprender las siguientes afirmaciones que se refieren a ella:
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a) El dominio está definido por D={2,4} b) El contradominio por C={a,b,c,d} c) El rango está determinado por I={a,b} d) “a” es la imagen del argumento 2, “b” es la imagen del argumento 4. Considerando estos conceptos, podemos definir a una función como una relación tal, en la que a cada argumento le corresponde únicamente una imagen. Si esto no ocurre entonces la relación no es función. Analiza el siguiente cuadro en donde se expresan las diferencias y similitudes entre una relación y una función:
RELACIÓN
FUNCIÓN
Cada elemento del dominio puede estar Cada elemento del dominio debe estar asoasociado a 0, 1, 2 o más elementos del con- ciado a uno y sólo un elemento del contradominio. tradominio. Cada elemento del contradominio puede no Cada elemento del contradominio puede estar asociado a ningún elemento del domi- no estar asociado a ningún elemento del dominio. nio. Cada elemento del contradominio puede Cada elemento del contradominio puede estar asociado a uno o mas elementos del estar asociado a uno o más elementos del dominio. dominio.
5. Anota tus conclusiones sobre la información del cuadro anterior: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ NOTACIÓN DE FUNCIÓN Se utiliza la notación f: A→B, para referirnos a una función entre el conjunto A del dominio y el B del contradominio. Se lee “la función f de A a B”. Por ejemplo, la F: P→E es la relación en la que a cada persona se le asocia con su edad, es función porque cada persona no puede tener dos edades al mismo tiempo. 6. Analiza las siguientes frases: “Todas las relaciones son funciones”. “Todas las funciones son relaciones”. ¿Ambas afirmaciones son verdaderas? Argumenta tu respuesta. 7. Realiza un diagrama que relacione los siguientes conjuntos y determina si son funciones o no. a) El nombre de tus maestros y las asignaturas que imparte en tu escuela. b) Los días de la semana y el número de horas que dura cada una. c) Las materias que cursaste el semestre pasado y la calificación obtenida. REPRESENTACIONES DE UNA FUNCIÓN Y UNA RELACIÓN Hasta ahora hemos representado las funciones y relaciones por medio de diagramas sagitales (método de flecha), sin embargo existen otras formas: por medio de tablas, como conjunto de pares ordenados, gráfica y ecuación. Retomemos un ejemplo antes mencionado, en donde relacionamos el tiempo y la distancia recorrida por un automóvil de la Cd. de San Luís Potosí a la Cd. de Querétaro, para mostrar estas representaciones.
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Representación sagital
Tabla
Gráfica 200
Tiempo (h)
Distancia (km)
1 2 3
Tiempo Distancia (h) (km) 1 70 2 140 3 210
70 140 210
180 160 140 120 100 80
Pares ordenados: F: {(1,70), (2,140), (3,210)}
60 40 20
Ecuación: y=70x
0 -1
0
1
2
3
Recuerda que convencionalmente se utiliza la letra x para designar los valores del dominio y y para los del contradominio. En el plano cartesiano los valores de x se ubican en el eje horizontal y los de y en el vertical. Es importante que analices estas representaciones y reconozcas que muestran la misma variación entre los valores de dos conjuntos.
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Pero, ¿todas las funciones y relaciones se pueden representar de estas cinco formas? Analicemos ahora la función entre Estados de la República Mexicana que colindan con San Luis Potosí y sus capitales. Representación sagital Coahuila Nuevo León Tamaulipas Veracruz Guanajuato Querétaro Hidalgo Jalisco Zacatecas
Saltillo Monterrey Cd. Victoria Jalapa Guanajuato Querétaro Pachuca Guadalajara Zacatecas
Tabla Estados Coahuila Nuevo León Tamaulipas Veracruz Guanajuato Querétaro Hidalgo Jalisco Zacatecas
Capitales Saltillo Monterrey Cd. Victoria Jalapa Guanajuato Querétaro Pachuca Guadalajara Zacatecas
Las representaciones en pares ordenados, gráfica y ecuación son exclusivas para conjuntos numéricos, por lo tanto, esta función sólo tiene las dos representaciones anteriores. Es muy importante que comprendas que no todas las relaciones y funciones, a pesar de ser dos conjuntos numéricos los que se relacionan, tienen ecuación: por ejemplo, si cada hora, durante un día completo registras la temperatura ambiente, elaboras
una tabla y construyes una gráfica, observarás que no existe ninguna ecuación que se ajuste a todos los puntos que obtienes. Este hecho no es aislado, en realidad la mayoría de los fenómenos que ocurren en la naturaleza varían de forma irregular, y para su estudio sólo se hacen aproximaciones de ecuaciones que se ajusten lo más posible, para analizar su comportamiento, hacer predicciones y tomar decisiones al respecto. Hemos visto que en una función, para cada argumento existe uno y sólo un valor para la imagen, es importante reconocer esta característica en las diferentes representaciones de una relación para establecer si es función o no. Si la relación está representada por un diagrama sagital, cada argumento debe tener una flecha, si al menos un argumento carece de ésta o bien tiene dos o más, entonces la relación no es función.
A(x) B(y) 2 4 6 8 10
1 3 5
A(x) B(y) -1 -2 -3 -4 -5
A(x) B(y)
a b c d e
1 3 5
Sí son funciones porque a cada argumento corresponde una imagen.
3 5
A(x) B(y) 2 4 6 8 10
3 5 6 7
No son funciones porque en el primer caso a un argumento no le corresponde ninguna imagen y en el segundo, a un argumento corresponden dos imágenes.
Algo muy similar ocurre en la tabla, sólo que en esta no hay flechas, cada elemento está relacionado directamente con el que está en la columna contigua. Analiza los siguientes tabuladores: Tabulador 1
Tabulador 2
x
y
x
y
2 4 6 8 10
1 1 3 3 5
-1 -2 -3 -4 -5
a b c d e
Tabulador 3 x y 1 3 3 Indet. 5 5
Tabulador 4 x 3 3 5 6 7
y 2 4 6 8 10
Siendo las mismas relaciones apreciamos nuevamente que sólo los dos primeros tabuladores representan funciones. El tabulador 3, muestra un argumento con imagen indeterminada, por ello no es función, a menos que este elemento pueda ser eliminado del dominio. ¿Por qué no es función el tabulador 4?
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8. ¿Puedes diferenciar en la representación de pares ordenados si una relación es función o no? A continuación te mostramos algunos ejemplos, discútelos con tus compañeros y asesor. Sugerimos cambiar a una representación sagital para que observes la asociaciones entre los elementos. A= {(2,1), (4,1), (6,3), (8,3), (10,5)} B= {(3,2), (3,4), (5,6), (6,8), (7,10)} Veamos ahora la representación de relaciones por medio de ecuaciones. Para encontrar la correspondencia entre argumento e imagen, se deciden los valores del argumento x y se calculan los de la imagen y, pues x es la variable independiente y el valor de y es la variable dependiente. Para hacerlo, hay que recordar que es conveniente despejar y, en caso de que no lo esté. Ejemplos:
y2 = x+2
y = x2+2 y= (-3)2+2 = 9+2 =11
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(-3, 11)
y= (-2)2+2 = 4+2 =4
(-2, 4)
y= (-1)2+2 = 1+2 =3
(-1, 3)
y= (0)2+2 = 0+2 =2
(0, 2)
y= (1)2+2 = 1+2 =3
(1, 3)
y= (2)2+2 = 4+2 =4
(2, 4)
y= (3)2+2 = 9+2 =11
(3, 11)
y=-+
x+2
+
+ 0 = 0 y=- -2+2=-
y=-+ -1+2 =-+ 1=-+ 1 y=-+ 0+2 =-+ 2 y=-+ 1+2 =-+ 3 y=-+ 2+2= - 4= +- 2 y= +- 3+2= +- 5 y= +- 4+2= +- 6 y= +- 5+2= +- 7
En el caso de la primera ecuación observamos que para cada valor de x se obtiene un único de y, por lo tanto es función. Sin embargo en la segunda, para cada valor de x se obtiene dos de y, ya que para la raíz cuadrada de un número positivo, existen dos soluciones, por ello no es función. Para graficar, en el eje horizontal se designa el dominio y en el vertical el contradominio.
y2 = x+2
y = x2 + 2 10
8 2 6 0 -2
0
2
4
6
4 -2 2
0 -4
-2
0
2
4
6
9. Para que comprendas mejor cómo diferenciar la gráfica de una función, de otra que no lo es, investiga la Prueba de la línea vertical para funciones. Una vez que se ha determinando que una ecuación es una función, podemos cambiar su notación para que esto se haga evidente. Veamos la siguiente definición: Sea x un argumento de la función f, y y su imagen, lo anterior se denotará de la siguiente manera: y=f(x), léase “y es la imagen de x” García Licona, Miguel A. y Manuel Rodríguez López. Matemáticas 4. México, ST Editorial, 2005.
Para f(x)= x2+2, evaluar una función en x=a, se expresa mediante la notación f(a), y se calcula sustituyendo a en la expresión: f(a)= a2+2. Ejemplo:
f(-2)= (-2)2+2 f(-2)= 4+2 f(-2)= 6
De tal manera que las coordenadas de un punto pueden ser expresadas como (x, f(x)), si x=a, entonces (a, f(a)), en este caso, si x=-2, entonces (-2, f(-2)) es un par ordenado que satisface la ecuación. Cada representación de una función nos permite ir a otra, si esta existe, pues son formas distintas de expresar lo mismo. Sin embargo, cada una de ellas nos permite ciertas ventajas sobre las otras, pero también desventajas.
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10. Analiza lo anterior en equipo con tus compañeros y escriban sus conclusiones en el siguiente cuadro. REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN
VENTAJAS
DESVENTAJAS
Representación sagital Tabla Pares ordenados Ecuación Gráfica
DOMINIO, CONTRADOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN El hombre creo las matemáticas con la finalidad de entender cómo funciona el mundo en términos numéricos. A partir de ahora nos enfocaremos al estudio de funciones numéricas, expresadas mediante tablas, ecuaciones y gráficas, y las concordancias que existen entre las tres representaciones.
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Una ecuación es una expresión matemática que puede expresarse en un plano cartesiano como una curva formada por todos los puntos que la satisfacen, cuya cantidad puede ser infinita. Sin embargo, cuando ésta representa situaciones de la vida real, es importante definir el dominio en la que es válida, de acuerdo al contexto. 11. Lee atentamente los siguientes problemas: A. José tiene $25, si en la lonchería únicamente venden tortas de $5, expresa mediante tabla, gráfica y ecuación, la función entre el número de tortas que compra y lo que paga por ellas. B. Una cubeta vacía de una capacidad de 25 litros, se pone a llenar con una llave cuyo gasto es de 5 litros/minuto, expresa mediante tabla, gráfica y ecuación, la función entre el tiempo que transcurre y la cantidad de agua almacenada. Ambos problemas parecen iguales, la diferencia está en el dominio, diferencia que apreciarás notablemente en la gráfica.
Problema A
Problema B
y
y
-5
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0
10
5
x
y
N° de tortas
Costo total $
0 1 2 3 4 5
0 5 10 15 20 25
-5
0
10
5
x
y
Tiempo
Cantidad de agua
(min)
(litros)
0 1 2 3 4 5
0 5 10 15 20 25
Sabemos que cada punto en el plano está representando un par ordenado de correspondencia entre dos magnitudes; en el primer caso, existen 6 puntos en el plano ya que sólo se puede decidir entre comprar 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 tortas, pero no valores intermedios. En el segundo caso las magnitudes varían y toman valores no enteros, ubicamos por ejemplo ( 32 , 15 ), es decir, que en 1.5 min el contenedor tiene exacta2 mente 7.5 litros de agua. Para establecer esta diferencia existen notaciones distintas para el dominio, la notación que corresponde al primer caso es de conjunto, de tal manera que el dominio y contradominio quedan especificados como D = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y C = {0, 5, 10, 15, 20, 25} donde sólo son parte de la función los elementos mencionados, en el segundo caso, se expresa como D = [0,5] y C = [0, 25] e incluye no sólo el 0 y el 5, sino también sus valores intermedios, al igual que en el contradominio.
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Existen también los casos en los que los extremos no se incluyen. Analiza el siguiente ejemplo: El padre de Omar le ha prometido que si obtiene en Matemáticas una calificación mayor a 6 le dará $5000 para sus vacaciones. ¿Cual de las siguientes gráficas representa la variación entre la calificación que obtiene Omar y el dinero que le otorgan? D = [6,10] C = {5000}
D = (6,10] C = {5000}
D = [0,10] C = {5000}
6000
6000
6000
4000
4000
4000
2000
2000
2000
0
0 0
2
4
6
8
10
0 0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
12. De acuerdo a las gráficas anteriores, analiza en grupo las diferencias entre las siguientes formas de expresar el dominio y regístralas.
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Representación D={x1, x2,…, xn-1, xn} D=[a,b] Si a
Características de la gráfica
La notación de dominio y contradominio que hemos mostrado hasta ahora es una notación de intervalo, veamos la siguiente definición: Un intervalo es el conjunto de todos los números comprendidos en una porción continua del eje real. Salazar Vázquez, Pedro y otros. Matemáticas IV. México, Nueva Imagen, 2002.
Además de ésta, existe la notación de desigualdad, que a continuación te mostramos:
Desigualdad
Intervalo
D={x|-3
D=(-3, -1]
Representación gráfica
-3
-1
D=[ 3, )
D= {x|x ≥3}
….. 3
En el primer caso se refiere a una función cuyos valores de x varían entre –3 y -1, incluyendo el -1 pues se especifica que x ≤ - 1, pero no -3, pues -3
3 2 2 1 1 0
0 -3
-2
0
-1
1
2
3
4
-3
-2
0
-1
-1 -1
Intervalo
Intervalo
Desigualdad
Desigualdad
1
2
25
3 2
1
1 0 -6
-5
-4
-3
-2
0
-1
0 1
2
3
4
5
-2
-1
0
-1
2
1
-2 -1 -3
Intervalo
Intervalo
Desigualdad
Desigualdad
DOMINIO IMPLÍCITO
26
Aunque en la utilización de funciones, para la representación de problemas, es necesario definir el dominio según el contexto, cada función tiene un dominio implícito, formado por todos aquellos valores de x para los cuales se puede evaluar la función. Recordemos que no siempre se puede evaluar, pues existen operaciones con números reales que están indefinidas: a) La división entre cero. b) Las raíces de índice par de números negativos. Analicemos las siguientes funciones: y=5x3 -
1 2
x2 - 3
Está definida en todos los reales, puesto que todos ellos se pueden sustituir como valor de x, y siempre encontraremos un valor definido de y, su dominio se expresa D=(-∞,∞) o bien, D={x|x ∈ R} -∞
0 -10
-8
-6
-4
0
-2
2
4
6
8
-10
∞
2 y= x + 4x + 4 x-3 Sólo existe un valor en el que no está definida, y es cuando el denominador toma el valor de cero, es decir x-3=0, resolviendo x=3, de modo tal que su dominio son todos los reales excepto el 3.
Expresamos esto como D= (-∞,3)(3,∞) o bien D={x|x 3} -∞
0 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-10
∞
y= x2 - 9 Notamos aquí que sólo cuando x2-9>0, la función está definida, resolviendo la desigualdad, x2>9, tenemos que esto sólo se satisface con valores menores o iguales a -3 o bien, mayores o iguales a 3. Expresamos el dominio como D=(-∞,-3][3,∞)) o bien D={x|-3≥ x≥ 3} -∞
0 -10
-8
-6
-4
0
-2
2
4
6
8
-10
∞
4
6
8
-10
∞
9 - x2
y=
¿Cómo queda expresado el dominio de esta función? -∞
0 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
14. Encuentra el dominio implícito de las siguientes funciones, exprésalo gráficamente, como intervalo y como desigualdad.
f(x)=x2 - 6x
2 f(x)= x+4
f(x)=3 x
f(x)= 16 - x2
f(x)=
x+3 2x+1 f(x)= x2+5x+4
1.2. CLASIFICACIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos y prácticos utilizando las distintas clases defunciones y sus propiedades, así como las operaciones algebraicas y geométricas que permiten combinarlas.
1.2.1. Tipos de funciones El uso de las funciones para construir modelos de la vida real es de suma importancia para cualquier área de conocimiento. En efecto, para poder hacer un uso adecuado, debes poseer conocimientos que te permitan su correcto manejo algebraico y reconocer, a partir de la ecuación, las características de su representación gráfica y su interpretación. En virtud de lo anterior, en este tema nos dedicaremos a analizar algunas de las características más importantes de las funciones que permiten su clasificación. En la página siguiente se presenta de manera muy general un esquema de la forma en que se clasifican las funciones, revísalo con atención:
27
Funciones Se clasifican según Las operaciones para obtener sus valores
Algebráicas
Por su trazo
Polinomiales
Discontinuas
Racionales
Continua
Irracionales
Transententes
Trigonométricas
28
Sus gráficas
La asociación entre su dominio y contadominio
Uno a uno
Sobre
Biunívocas
Por sus variaciones de la función
Crecientes
Decrecientes
Exponenciales
Logarítmicas
A continuación citaremos las características de cada clasificación. Aunque más adelante tendrás la oportunidad de estudiarlas con detalle, te sugerimos que construyas las graficas de algunas funciones para que te familiarices con ellas. Para referirnos a los valores de y (variable dependiente) utilizaremos de aquí en adelante la palabra función y para los valores de x (variable dependiente) utilizaremos la palabra variable. POR LAS OPERACIONES PARA OBTENER SUS VALORES Funciones Algebraicas Como su nombre lo indica, son aquellas que para obtener su valor se utilizan operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces) de polinomios, se dividen en polinomiales, racionales e irracionales.
A) FUNCIÓN POLINOMIAL Es aquella de la forma: f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + anx0 Siendo a0, a1,…, an constantes y n ∈ N, su dominio son todos los reales. Ejemplos:
f(x) = 8x+2, g(x) = x2-2x-5 h(x) = 3x3-3
En esta clasificación encontramos: a) La función constante: f(x) = k Donde k es una constante, su gráfica es una recta horizontal, cuya ordenada de origen es k. b) La función identidad: f(x) = x El argumento y la imagen son iguales, su gráfica es una recta cuya ordenada de origen es cero y su inclinación respecto al eje de las abscisas es de 45°. c) Función lineal: f(x) = mx + b Su gráfica es una recta, los parámetros m y b, se relacionan con la pendiente y la ordenada de origen. d) Función cuadrática: f(x) = ax2 + bx + c En donde a ≠ 0. Su gráfica corresponde a una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de las ordenadas. e) Función cúbica: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d En donde a ≠0. Su gráfica corresponde a una senoidal.
Actividades: 1. Identifica el nombre de las siguientes funciones polinomiales. Grafícalas, para ello te proponemos un dominio específico en cada caso.
29
x
f(x)
4 3 2
a) f(x) = 3 D = [-3,3]
1 0 0
-4 -3 -2 -1 1
1 2
3
4
x
f(x)
4
b) f(x)= x D = [-3,3]
2 0 -4
0
-2
2
4
-2 -4
x
30
4
3
2
1
f(x)
c)f(x) = 1 x - 3 2 D = [-6,12]
0 -6
-4
0
-2
2
4
6
8
10
14
12
-2 -4
d) f(x) = 1x2 -3x + 4 2
x
f(x) 6
D = [0,6]
4 2 0 0 -2
2
4
-2
4
x
f(x)
2
e) f(x) = x3 - 3x + 1 0 -4
0
-2 -2 -4
2
4
D = [-3,3]
6
B. FUNCIÓN RACIONAL Está formada por el cociente de dos polinomios, es de la forma f(x)= P(x) Q(x)
En donde: Q(x) ≠ 0
Es conveniente hacer notar algunos aspectos importantes, por ejemplo, la función: 2 f(x)= 2x +4x+2 2
Puede ser expresada, realizando la división, como: f(x)= 2 x2+ 4 x+ 2 2 2 2 f(x)=x2+2x+1 Convirtiéndose en función polinomial, de manera tal que hemos de descartar como funciones racionales, aquellos casos en donde Q(x)=k, donde k es una constante. Existen otras funciones que pueden ser reducidas, por ejemplo: 2 f(x)=x - 4 x+2
31 Puede expresarse, mediante su factorización y simplificación como: f(x)= (x-2)(x+2) x+2 f(x)=x - 2
Teniendo ésta una línea recta como representación gráfica, sin embargo, las expresiones: f(x)=
x2 - 4 y f(x)=x - 2 x+2
no son iguales, pues en la primera, encontramos que cuando x= -2, existe una indeterminación para la función (división entre cero), mientras que en la segunda, su dominio son todos los reales, incluso x=-2. Observa sus gráficas en la página siguiente:
2
f(x)= x - 4 x+2
f(x)=x - 2
4
4
2
2 0
0 -4
0
-2
2
-4
4
0
-2
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
2
4
El hueco de la primera gráfica indica que para x=-2 no existe valor de y. P(x) Entonces, aunque la expresión Q(x) sea divisible f(x)= P(x) , se sigue considerando Q(x) racional. Para graficar funciones racionales es necesario que reconozcas en qué valores de x, la función es indeterminada.
32 Tomemos como ejemplo la función: f(x)=
x x+2
Para identificar en cuáles puntos se tiene la indeterminación, igualamos el denominador a cero y despejamos x: x + 2=0 x=-2 Para graficar, elegimos algunos valores de x, por ejemplo: -6,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 y 4 efectuando los cálculos correspondientes al sustituir en la expresión de la función: x -6 -5 6 4 2 0 -6
-4
0
-2
2
4
6
-4 -3 -2 -1 0 1
-2 -4
2
-6
3
-8
4
f(x)
3 2 5 3 2 3 Ind. -1 0
1 3 1 2 3 5 2 3
La línea punteada indica que en x=-2 la función no está definida. Pero ¿cómo se unen los puntos? Es recomendable sustituir algunos valores de x cercanos a -2 para saber qué variaciones existen en este intervalo, te sugerimos los siguientes valores de x para localizar los puntos que te ayuden a determinan la forma de la gráfica. Si aún así tienes dudas, puedes agregar todos los puntos que sean necesarios. x -3.5 -3.7 -3.9 -2.1 -2.3 -2.5
2. Grafica la siguiente función: f(x)=
f(x)
x2+2x+1 x2 - 4
C. FUNCIONES IRRACIONALES Se identifican por poseer raíces de expresiones que involucran a la variable, por ejemplo:
33 f(x)=
x-4
f(x)=3
2x2
f(x)=
3x + 3 - 2x+1
Descartamos de esta clasificación aquellas funciones en las cuales se puede extraer x de la raíz, por ejemplo f(x)= 3 x3 , se puede expresar, anulando el exponente con la raíz como f(x)=x f(x)=4x2+ 3x2+1, se puede expresar, obteniendo la raíz como f(x)=4x2+x 3+1, en donde la raíz sólo afecta a la constante y no a la variable.
3. Grafica la función: f(x)= x
6 4 2 0 0 -2 -2
2
4
6
Funciones Trascendentes Son aquellas que no son algebraicas, incluye a las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante), trigonométricas inversas, exponenciales (en las cuales la variable está en el exponente) y logarítmicas. A continuación te mostramos algunos ejemplos:
f(x)= 1 3
x
f(x)=log
2
2
1
1
0
-1
x
0
0 -2
1 3
1
-2
2
0
-1
-1
-1
-2
-2
1
2
34 Probablemente estas funciones exponenciales y logarítmicas no te sean familiares, pues no has tenido contacto con ellas, por eso te mostramos las gráficas sólo a manera de ilustración. Más adelante las estudiarás a fondo y comprenderás las nociones que cada una de ellas implica. Recuerda que las funciones trigonométricas surgen de la comparación por cociente de las magnitudes de un triángulo rectángulo.
c b x a
b sen x= c
c csc x= b
a cos x= c
c sec x= a
b tan x= a
a cot x= b
De tal manera que si hacemos variar el valor del ángulo Θ, las magnitudes de los lados del triángulo cambian, por lo tanto, el valor de cada razón trigonométrica también. Extendiendo esta interpretación, tenemos la representación del ángulo en posición normal, en donde el valor del ángulo puede tomar cualquier valor real.
Θ 0
r
y senΘ= r
r cscΘ= y
x cos Θ=r
r sec Θ= x
y tanΘ= x
x cot Θ= y
(x,y)
4. Grafica las siguientes funciones en el intervalo de [-2π, 2π]. Analiza su dominio y contradominio. f(x)=senx f(x)=cosx f(x)=tanx f(x)=cscx f(x)=cesx f(x)=cotx
35
POR SUS GRÁFICAS Funciones continuas y discontinuas Observa las siguientes gráficas:
4
4
4
2
2
0
2
0 -6
-4
0 -4
0
-2
-2
2
4
6 0
-2 2
-4
4
0
-2
-2
-4
-2
-4
-6
-4
2
4
-8
Se dice de manera intuitiva que cuando la gráfica de una función puede dibujarse sin despegar el lápiz del papel, entonces es una función continua, de lo contrario es discontinua.
36
5. De las gráficas anteriores ¿cuáles son continuas y cuáles discontinuas? A partir de la bibliografía que poseas, busca los bosquejos de al menos tres funciones continuas y tres discontinuas, toma nota en tu cuaderno.
Funciones crecientes y decrecientes
6
En la siguiente gráfica puedes observar que existen variaciones en los valores de la variable y la función, 4 de hecho esa es la importancia de las gráficas, hacer evidentes los cambios que existen. Intuitivamente para determinar si una gráfica es creciente o decreciente, re- 2 corre la gráfica con la punta de tu lápiz de izquierda a derecha y mantente atento a los valores que toma y; por 0 0 ejemplo, en la gráfica se observa que los valores de y 2 4 crecen primero, después decrecen y por último vuelven a crecer. Existen dos puntos que marcan en dónde deja de crecer y comienza a decrecer, (1,5) y otro en el cual deja de decrecer para crecer de nuevo, (3,1). La notación para expresar esto, está dado bajo intervalos de x, de tal manera que para esta gráfica decimos que: CRECE: (-∞,1), DECRECE: (1, 3) y CRECE: (3, ∞) De los puntos (1,5) y (3,1), sólo utilizamos el 1 y el 3, correspondientes a los valores de x. Para definir estas variaciones gráficas te recomendamos que primero ubiques estos puntos, llamados puntos críticos, para después establecer los intervalos tomando como referencia los valores de la variable.
La gráfica de una función puede ser sólo creciente, sólo decreciente, ambas o constante. 6. Investiga, a partir de la bibliografía que poseas y completa el siguiente cuadro DEFINICIÓN
FUNCIÓN CRECIENTE DECRECIENTE CONSTANTE
POR LA ASOCIACIÓN ENTRE SU DOMINIO Y CONTRADOMINIO Analicemos la siguiente situación: En la casa de una familia de cinco elementos se encuentran 6 platos en la alacena, una computadora en la sala y un vaso con cinco cepillos dentales en el baño. Es lógico pensar que cada elemento de la familia (conjunto A) usa, al momento de una comida, solamente un plato, que toda la familia utiliza la misma computadora y que cada miembro posee sólo un cepillo del vaso y que éste es usado sólo por él. Los siguientes diagramas sagitales ilustran los casos mencionados: A
B
Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4 Persona 5
Plato 1 Plato 2 Plato 3 Plato 4 Plato 5 Plato 6
f
A
B
Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4 Persona 5
PC
h A
B
Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4 Persona 5
Cepillo 1 Cepillo 2 Cepillo 3 Cepillo 4 Cepillo 5
g Las tres relaciones presentadas son funciones, sin embargo los elementos de los conjuntos tienen diferentes formas de asociarse. En la primera cada elemento del dominio tiene una imagen diferente en el contradominio, esta función es inyectiva (uno a uno); en la segunda, cada elemento del contradominio corresponde a por lo menos un valor del dominio, esta función es suprayectiva (sobre); y en la última cumple con ambas condiciones, esta función en biyectiva (biunívoca).
37
7. Te sugerimos que investigues las definiciones precisas de cada una de estas clasificaciones y las anotes en el siguiente cuadro:
DEFINICIÓN
FUNCIÓN INYECTIVA (uno a uno) SUPRAYECTIVA (sobre) BIYECTIVA (biunívoca)
8. Lee con atención el siguiente ejemplo en donde se explican de manera práctica los conceptos anteriores: La relación: N: P→F, que a cada persona p le asocia su fecha de nacimiento f, es una función porque ninguna persona pudo haber nacido en dos fechas distintas. Esta función es sobre porque cualquier fecha del calendario está asociada con alguna persona. No es uno a uno porque muchas personas poseen la misma fecha de nacimiento. No es biunívoca debido a que no es ambas: uno a uno y sobre
38
Ruiz Basto, Joaquín, Matemáticas IV. Precálculo: Funciones y Aplicaciones. México, Publicaciones cultural, 2006
9. A partir de las siguientes funciones determina si son: uno a uno, sobre o biunívocas. 1 2 3 4
3
1 2 3
5 6 7 8
1 2 3 4
5 6 7 8
1 2 3 4
1 2
3
1 2 3 4
5 6 7 8
3
1 2 3
10. Cita al menos tres ejemplos de funciones que correspondan a cada una de las clasificaciones anteriores.
1.2.2. Funciones Inversas Retomemos nuevamente las tres funciones anteriores (familia, platos, CPU, cepillos), si cambiamos en cada una de ellas el dominio por el contradominio y el sentido de las flechas, obtendremos nuevas relaciones entre los conjuntos. Pero estas nuevas relaciones, ¿son funciones?
Actividades: 1. Dibuja los diagramas sagitales en tu cuaderno, intercambiando el conjunto A y el B. Como hemos aprendido, la condición imprescindible para poder llamar función a una regla matemática que relaciona dos conjuntos A y B, es que cada elemento del conjunto de salida A (dominio) tenga un elemento de correspondencia y sólo uno en el conjunto de relación B (contradominio). En sentido estricto, solamente podemos llamar función a la tercera relación, y la llamamos función inversa de g, denotada por g-1, las demás son relaciones inversas pero no funciones; en general solamente las funciones biyectivas tienen función inversa. En resumen, una función inversa se obtiene de intercambiar el dominio y rango de una función, sin embargo, la inversa no siempre es función. Para obtener la inversa en un conjunto de pares ordenados, también se intercambian los valores de las variables x y y. A: {(x, y)} y A-1={(y, x)} Gráficamente sabemos que una función tiene inversa si cualquier línea horizontal trazada sobre la gráfica la intersecta sólo una vez, pues esto garantiza que la función es biyectiva. Tiene inversa
No tiene inversa
8
8
6
6
4
4
2 -3 -2
-1 -2 -4 -6 -8
2 1
2
3
4
5
6
7
-3 -2
-1 -2 -4 -6 -8
1
2
3
4
5
6
7
39
Una función lineal es una función biyectiva, por lo tanto tiene función inversa. Analicemos el siguiente caso: f(x)=2x - 2 Despejando x tendremos:
f(x)=2x - 2 f(x)+2=2x f(x)+2 =x 2 1 f(x)+1=x 2
Si otorgamos algunos valores a x, podemos calcular los correspondientes valores para f(x). x
40
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=2x - 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4
1 f(x)+1=x 2 -3 -2 -1 0 1 2 3
Observa que calculando x con los valores obtenidos, los nuevos valores coinciden con los asignados en un principio. La función inversa de f(x)=2x - 2 es 1 f(x)+1=x 2 Para hacer esto explícito cambiamos f(x) por y: 1 y+1=x 2 Ahora intercambiamos las variables (recordemos que para obtener la inversa de una función cambiamos el dominio y rango): 1 x+1=y 2 f(x)=2x - 2 8
I(x)=x
6
Cambiando a notación de función: 1 x+1=f-1(x) 2
4 2
La gráfica de las funciones obtenidas es: -3 -2
-1 -2 -4 -6 -8
f2=x = 0.5*f(x)+1 1
2
3
4
5
6
7
Observa que f y f -1 son simétricas con respecto a la función identidad I(x). O sea f(f -1) = I(x) (compruébalo algebraicamente).
Las funciones inversas de funciones trigonométricas son especialmente útiles. Si obtenemos las razones correspondientes a cada función a partir de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, podemos calcular la medida de sus ángulos a partir de dichas funciones inversas, las cuales se nombran anteponiendo el prefijo arco o ángulo al nombre de la función: f(x) =seno x f -1(x) =arco seno x f(x) =coseno x f -1(x) =arco coseno x f(x) =tangente x f -1(x) =arco tangente x De manera idéntica para cotangente, secante y cosecante. Es importante que recuerdes lo anterior, porque en la mayoría de las calculadoras se expresa el arco seno como sen-1, lo cual es incorrecto. Esta abreviatura correspondería a la función trigonométrica cosecante. El dominio de la función seno está compuesto por todos los números reales (x ∈ R), pero su función inversa, arco seno, tiene un dominio limitado de -1 a 1. f(x)=seno (x) 1.0 0.5 0.0 -390 -360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 -0.5
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390
-1.0
120 90 60 30 -1 -0.8 -0.6
-0.4
0.2
-0.2
0.4
0.6
0.8
1
-30 -60 -90 -120
f(x)=arco seno (x)
41
2. Traza las funciones inversas para los siguientes diagramas: A
B
Estaño Plata Hierro Hidrogeno Fosforo Helio
A
B Instrumentos de cuerda
Guitarra Clarinete Violín Tuba Bajo
Metales No Metales
Instrumentos de percusión Instrumentos de aliento
3. Determina la función inversa de cada una de las siguientes funciones: f(x)=2x - 6 h(x)= 3x +1 2
42
m(x)=x2 + 2x 4. Haz una tabulación y grafica la función f(x)= -2x2. Determina si tiene función inversa. 5. Determina si las siguientes gráficas tienen inversa. En caso de que la tengan, grafícala. 10 3 8 2 6 1
4
2
0 -2
0
-1
1
2
3 0
-1 -4 -2
-3
0
-2
2
4
6
-2
-4
6. Grafica las funciones coseno y tangente, así como su respectiva inversa.
8
10
1.2.3. Funciones Especiales FUNCIÓN CONSTANTE Es una función que permanece constante a pesar de los valores de la variable, se define por f(x)=k, en donde k es una constante real. Su gráfica está determinada por una recta horizontal cuya ordenada al origen es precisamente k. k
0 0
6
FUNCIÓN IDÉNTICA
4
La función idéntica, asigna a cada valor del argumento, el mismo valor de la imagen; su ecuación está dada por f(x)=x y su gráfica es una recta que pasa por el origen con un ángulo de inclinación respecto al eje x de 45°.
2
43
0 -6
-4
0
-2
2
4
6
-2 -4 -6
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número se representa por medio de dos líneas verticales, por ejemplo |a|, se lee, “el valor absoluto de a”, y se define por: - a si a<0 a
a si a≥0
Es decir, se trata de hacer positivo al número si es negativo, o dejarlo positivo si es positivo. Por ejemplo, |-3|=3, |0|=0, |3|=3. La función valor absoluto se denota por |x| y al igual que para los números se denota por: - x si x<0 f(x)=x= x si x≥0
Actividades: 1. Grafica las siguientes funciones: f(x) = |x| ; g(x) = 2 2. En equipos establece su dominio y su rango.
FUNCIONES COMPUESTAS En un mismo plano cartesiano podemos graficar varias funciones, por ejemplo: y
10
f(x)= - x + 6
f(x)= 1 x + 3 2
f(x)=x2 - 2x+2
8 6
f(x)= - x + 6
1 f(x)= x + 3 2
4
f(x)=x2 - 4x
2
-14
f(x)=x2 - 2x+2
-12
-10
-8
-4
-6
-2
2
4
6
8
10
12
14
-2 -4
f(x)=x2 - 4x
44
Cada una por sí misma es función, pero agrupadas, es decir, considerándolas todas a la vez, no lo son, pues para cada valor de la variable, corresponden 4 valores diferentes. Por ejemplo a x=-2, corresponde y=2, y=4, y=8, y y=10. Sin embargo, a partir de ellas podemos construir lo que se llama una función compuesta formada por varias expresiones algebraicas. Para esto, es necesario dividir el eje x en intervalos consecutivos, por ejemplo:
10
y
8 6 4 2
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
-2 -4
Los intervalos que muestra la ilustración quedaron definidos por (∞.-4), (-4,-1), (-1,3) y (3, ∞). Observa que los números -4, -1 y 3 no se están considerando en ningún intervalo y ello es necesario, por eso, definiremos los intervalos como: (∞.-4], (-4,-1), [-1,3] y (3,∞).
En cada uno haremos válida sólo una función, por ejemplo:
En (∞.-4] hacemos válida
f(x)=1 2
10
y
2
x+3
f(x)=- x - 4x 8 6
En (-4,-1) hacemos válida
f(x)=x2 - 2x+2
En [-1,3] hacemos válida
f(x)=-x2 - 4x
f(x)= -12
En (3,∞) hacemos válida
f(x)= - x - 6
4
1 x+3 2
-10
-8
-6
2
-4
2
-2
4
6
8
10
12
-2
f(x)=-x+6
-4
f(x)=x2 - 2x+2
En cada intervalo “borramos” las gráficas no validas y dejamos sólo el trazo de una, esto garantiza que a cada valor de x, sólo corresponderá uno de y. 10
Es importante analizar qué pasa con los límites de los intervalos, es decir, con x=-4, x=-1 y x=3. Podemos observar que en x=-4 es válida la función y para evaluar sustituimos f(-4) = ½(-4)+3=1 y el punto queda definido como (-4,1). Sabemos que a cada valor de la variable debe corresponderle sólo uno de la función, en (-4,0), representamos un espacio vacío con un hueco como se muestra en la ilustración de la derecha: La expresión algebraica de esta función se representa por:
y
f(x)=- x2 - 4x 8 6
f(x)= - x - 6
4
1 f(x)= x + 3 2 -12
-10
-8
-6
2
-4
2
-2
4
6
8
10
12
-2 -4
f(x)=x2 - 2x+2
1 2 x + 3, si x ≤- 4 - x2 - 4x, si - -43
3. Dada la función anterior calcula su dominio y rango 4. Una pila con una capacidad de 150 L se llena con una llave cuyo gasto es de 5 L por minuto. Pasados 12 minutos, se abre otra llave de flujo igual. Grafica la relación existente entre el tiempo que pasa y la cantidad de agua que contiene la pila, encuentra su ecuación, establece su dominio y contradominio.
45
FUNCIÓN ESCALÓN Es una función compuesta por funciones constantes, analiza el siguiente ejemplo:
y 10
En el sistema EMSaD, las calificaciones finales aprobatorias se obtienen de la siguiente manera: si el alumno obtuvo una calificación igual o mayor a 6 y menor que 6.5, su calificación se redondea a 6, si obtuvo una calificación igual o mayor a 6.5 y menor que 7.5, su calificación se redondea a 7, y así sucesivamente.
8 6 4 2 0 0
Grafica la relación existente entre la calificación real y la que se reporta en su boleta de calificaciones.
2
4
6
8
10
1.2.4. Transformación de gráficas de funciones Una función expresada en su forma gráfica, puede ser transformada modificando su posición en el plano cartesiano, haciendo translaciones o reflexiones respecto a algún eje. Estos cambios generan modificaciones también en la ecuación y tabulador. Para analizar esto, tomemos como base la siguiente función: f(x)=x2-2x+3
46
x -2 -1 0 1 2 3 4
y
y 11 6 3 2 3 6 11
15 14 12 10 8 6 4 2 0 -6
-4
-2
0
2
4
6
TRANSLACIONES VERTICALES Si trasladamos cada uno de los puntos de la gráfica 2 unidades hacia arriba, observamos que el valor de la abscisa en cada uno no se modifica, por ejemplo: el punto (2,3) queda ubicado en (2,5). Analiza el tabulador y observa la gráfica: y
x -2 -1 0 1 2 3 4
y 11+2 6+2 3+2 2+2 3+2 6+2 11+2
15 2 y=x -14 2x+5 2 12 y=x - 2x+3
10 8 6 4 2 0 -6
-4
0
-2
6
4
2
Ahora bien, para encontrar la ecuación de la nueva gráfica, también es necesario hacer la misma operación (sumarle dos unidades) f(x)=x2-2x+3 h(x)=x2-2x+3+2 h(x)=x2-2x+5 Actividades: y
1. Describe cómo puedes lograr una translación hacia abajo.
14 12
2. Construye un tabulador de la función f(x)=-3x+1 y grafica. Después traslada la gráfica hacia abajo 3 unidades, construye un nuevo tabulador. Y obtén la ecuación de la nueva curva.
10 8 6 4 2 0
3. Calcula la ecuación de las curvas representadas en la gráfica de la derecha y que han sido trasladadas a partir de la original que se ubica enmedio de las otras dos.
-6
-4
0
-2
2
4
6
-2 -4
En resumen: Si se supone que c es un número real positivo. Los desplazamientos verticales de la gráfica y=f(x) se expresan como sigue: -Desplazamiento vertical de c unidades hacia arriba h(x) = f(x)+c -Desplazamiento vertical de c unidades hacia abajo h(x) = f(x) - c Larson, Roland E., y Robert P. Hostetler. Álgebra. México, Publicaciones Cultural, 1996.
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TRANSLACIONES HORIZONTALES Tomemos nuevamente la función f(x)=x2-2x+3 y traslademos su gráfica 2 unidades a la izquierda. Completa el tabulador y traza la nueva gráfica:
y
x
y
15 14 12 10 8 6 4 2 0 -6
-4
-2
0
2
4
6
Para obtener la ecuación de la nueva gráfica consideremos la siguiente regla:
48
-Desplazamiento horizontal de c unidades hacia la izquierda -Desplazamiento horizontal de c unidades hacia la derecha
h(x) = f(x+c) h(x) = f(x - c)
Larson, Roland E., y Robert P. Hostetler. Álgebra. México, Publicaciones Cultural, 1996.
Para calcular la ecuación de la nueva gráfica tomamos c = 2 y h(x) = f(x+c) f(x)=x2-2x+3 h(x)= (x+2)2-2(x+2)+3 h(x)= x2 + 4x + 4 - 2x – 4 + 3 h(x)= x2 + 2x + 3 4. Realiza una transformación de esta misma función, 3 unidades a la derecha hacia la derecha. Obtén la ecuación correspondiente.
En resumen: para realizar translaciones verticales basta con sumar un número (translación hacia arriba) o restarlo (translación hacia abajo) a la función. Para realizar una translación horizontal, hay que sumar (translación hacia la izquierda) o restar un número (translación hacia la derecha) a la variable.
REFLEXIÓN CON RESPECTO A LOS EJES Un eje de reflexión es una línea que funciona como un espejo, observa la figura, la línea recta es el eje de reflexión de la figura. A cada punto del lado izquierdo, corresponde uno del lado derecho, por ejemplo: al punto A corresponde el punto A’, ambos puntos tienen la misma distancia al eje de reflexión. Es posible realizar este tipo de transformación a la gráfica de una función, reflexionando respecto a un eje, por ejemplo el eje x. Veay mos el caso de la siguiente función f(x)=x2 - 6x+10. 14 Para cada punto de la gráfica de la función, 12 hagamos corresponder otro que esté a la 10 misma distancia del eje x. Recuerda que la 8 distancia entre un punto y una recta es la me6 dida del segmento perpendicular a la recta, 4 así, la distancia del punto (3,1) de la gráfica 2 al eje x es igual a 1, si medimos esta distancia 0 en sentido opuesto, llegamos al punto (3,-1). 0 -6 -4 6 -2 4 2 Si continuamos con el proceso de obtener la reflexión de todos los puntos de la gráfica obtenemos la gráfica que aparece abajo a la izquierda. 15
5. Construye ahora un tabulador para cada gráfica y compara las diferencias y similitudes. Para f(x)=x2-6x+10.
y 10
5
0 0
-5
-5
-10
-15
5
10
x -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y
Para la reflexión x -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y
49
Puedes observar el cambio de signo de los valores de la función, entonces, para obtener la ecuación de esta nueva gráfica, también cambiamos de signo la función: f(x)=x2 - 6x+10 h(x)=-(x2 - 6x+10) h(x)=-x2+6x -10 En resumen: Si h(x) es la reflexión respecto al eje x de y=f(x), entonces: h(x)=-f(x) 6. Cambiemos ahora el eje de reflexión. Dada la siguiente función f(x)= x3-6x2+9x+1, construye un tabulador, grafica, traza su reflexión sobre el eje y construyendo, un tabulador para la función reflexionada: x
f(x)
x
f(x)
y
6 5
50
4 3 2 1 0 -5
-4
-3
-2
0
-1
1
2
3
4
5
-1
Observarás que el cambio de signo se da ahora en los valores de la variable. Para encontrar la ecuación de la nueva gráfica consideremos que: Si h(x) es la reflexión respecto al eje y de y=f(x), entonces: h(x)=f(-x) Encontremos la ecuación de la reflexión: f(x)= x3-6x2+9x+1 h(x)= (-x)3-6(-x)2+9(-x)+1 h(x)= -x3-6x2-9x+1 Reflexión respecto a la función identidad: 7. Grafica la función g(x)=x3 - 6x2+9x+4 y reflexiónala utilizando como eje a la función identidad, construye un tabulador para la nueva gráfica.
x
f(x)
x
y
f(x)
6 5 8 6 4 2 0 -6
-4
0
-2
2
4
6
8
10
12
-2 -4 -6
Como puedes observar, los argumentos y las imágenes se intercambian, por ello es fácil obtener la ecuación de la nueva gráfica, pues ésta corresponde a la relación inversa.
8. Grafica las siguientes funciones y realiza las transformaciones que se indican:
51 f(x) = 2x +4 g(x) = x2-4x+4 a) Translación de 4 unidades hacia arriba. b) Translación de 4 unidades hacia abajo. c) Translación de 3 unidades a la derecha. d) Translación de 3 unidades a la izquierda. e) Reflexión respecto al eje x. f) Reflexión respecto al eje y. g) Reflexión respecto a la función identidad.
¿Qué he aprendido? I. Realiza lo que se te pide: 1. Define relación y cita tres ejemplos. 2. Define función y cita tres ejemplos. 3. Explica el significado del símbolo “f(x)” 4. ¿Qué es una variable independiente o argumento? 5. ¿Qué es una variable dependiente o función? 6. ¿A que se le denomina intervalo de una variable? 7. Explica qué es el dominio y el rango de una función.
IV. Determina el dominio de las funciones, represéntalo en una recta y por medio de notación de intervalos; adicionalmente, traza la gráfica correspondiente. f(x)= 4x - 2 1 x2 - 4 4 f(x)= 2 x (x +x - 6) f(x)=
g(x)= x+3 h(x)=4 8 - 5x
52
II. Aplica el concepto de función para determinar cuáles de las siguientes relaciones pueden serlo. Escribe un fundamento para tu respuesta.
V. Clasifica las siguientes funciones, como: polinomiales, racionales, irracionales o trascendentes.
1. La relación que asocia a un atleta olímpico de pista con las disciplinas en las que compite. 2. La relación entre los elementos químicos y su número atómico. 3. La relación entre los elementos químicos y su masa atómica. 4. La relación que asocia a los niños de una primaria y el grado que cursan. 5. La relación que asocia a los miembros de una familia con la cama que está destinada al descanso de cada uno.
I(z)= (2z+3)2
III. Elabora un diagrama sagital para cada uno de los siguientes conjuntos de pares ordenados y auxíliate de ellos para determinar cuáles representan una función. 1. {(1, 2), (2, 2), (3, 2)} 2. {(5/2, 1), (2/5, 2), (5/2, 2)} 3. {(a, b), (b, c), (c, d)} 4. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}
g( )=sen ( 2+2 +3) h(x)=(x+1)(x - 1)-1 f(x)=3x2 - 2x+x1/2 y=log x3
VI. Para la función: f(x) = x3 - 7x2 - 6x + 42 encontrar f(1), f(0), 3f(-1), f(z+2) VII. Para la función f(x) = 1 demostrar: x 1. Que f(2) - f(b)=f( 2b ) b-2 h 2. Que f(x+h) - f(x)= - 2 x +xh
VIII. Grafica las siguientes funciones, determina si tienen o no inversa y, en caso de tenerla grafícala también. f(x)=(x - 3)x2 f(x)= x3 +3x2+3x f(x)=3 x IX. Para la siguiente función compuesta traza la gráfica correspondiente: -2
si x < -2
2
-x +2 si -2 ≤ x <-1 f(x)=
x2
si -1 ≤ x ≤ 1
2
-x +2 si 1 < x ≤ 2 -2
si x > 2
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Quiero saber más Es importante que comprendas en un sentido amplio, la conexión que existe entre la expresión analítica (ecuación) de una función o relación y su grafica, por ello en la materia de Matemáticas III y en esta unidad, se ha trabajado en el análisis de la correspondencia que existe entre los elementos de una representación y otra. La gráfica de una función es el conjunto de puntos que la satisfacen. Así, la ecuación 0 = 2x - y - 3 tiene como soluciones (-2,-7), (0,-3), (5,7) y un conjunto infinito de puntos más. Cuando hablamos de que satisfacen la ecuación nos referimos a que cada uno de los valores (x,y) al ser sustituidos conservan la igualdad, por ejemplo: 0 = 2(-2) - (-7) – 3 0 = -4 +7 -3 0=0
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La gráfica de la ecuación es una línea formada por todas las soluciones que existen en un rango determinado. Hasta el momento has trazado las gráficas de diversas funciones, mediante una tabulación, despejando alguna de las variables y obteniendo el valor de la otra por métodos aritméticos y ubicando los puntos en el plano y, aunque es indispensable que conozcas estos procedimientos para trazar la curva de una función, en ocasiones puede convertirse en una labor tediosa. Pero también has analizado las ecuaciones ordinarias de algunas cónicas que hacen visibles los elementos necesarios para trazar la gráfica, sin necesidad de tabular. Para hacer exploraciones sobre la relación que existe entre los dos tipos de representaciones, existen algunos programas computacionales diseñados para graficar ecuaciones automáticamente. La ventaja en su uso radica, en que optimiza tiempos, es posible variar los parámetros de las ecuaciones y observar las modificaciones que sufre su representación gráfica, para que logres reconocer la implicación que tiene cada uno de ellos y la manera en que ambas representaciones están relacionadas. En la página de Internet: http://www8.pair.com/ksoft/ Existe una herramienta llamada Graphmatica en donde puedes hacer exploraciones como las que hemos mencionado, que existen varias versiones, busca la que está en español. El lenguaje que utiliza el programa es distinto al de la notación convencionalmente utilizada en el papel y parecido al que utilizas en tu calculadora científica. Así, para escribir la función f(x) = 2x3-x2+x – 4, se escribe y = 2x^3x^2+x – 4, f(x) = sen x como y = sin x, entre otras, a este respecto, la versión en inglés tiene información sobre los operadores que se utilizan.
A continuación citamos algunas páginas de Internet en donde puedes encontrar algunos programas interesantes: http://descargas.abcdatos.com/programa/descargarL346.html http://gdf2004.tripod.com/ Te invitamos a que experimentes y utilices este recurso como un apoyo en el manejo de funciones, comenta con tu asesor cualquier duda que tengas.
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¿
¿
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¿Qué voy a aprender? FUNCIONES POLINOMIALES Objetivo de la unidad: Resolverás problemas que involucren funciones polinomiales, utilizando sus propiedades algebraicas y geométricas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre el uso de estas funciones, así como el desarrollo y práctica de los valores.
2 UNIDAD
A lo largo de tu vida estudiantil has trabajado con números, los cuales has podido sumar, restar, multiplicar, dividir e incluso, sacar radicales y potencias; pero al cursar secundaria y ahora que cursas tu educación media superior te diste cuenta que podías realizar operaciones con letras y números a la vez, a lo cual le llamamos álgebra. Específicamente en la unidad dos de Matemáticas I estudiaste los polinomios en una sola variable, aprendiste a realizar operaciones con ellos e incluso, los usaste para resolver algunos problemas prácticos. Posteriormente en Matemáticas III estudiaste algunos temas de Geometría Analítica la cual se basa en un sistema de ejes coordenados.
56
Mencionamos lo anterior, porque en ésta unidad estudiaremos las funciones polinomiales, que se basan en polinomios y que analizaremos desde la perspectiva de la geometría analítica, haciendo uso del concepto de función que ya abordaste en la unidad anterior. Para lograr el objetivo de la presente unidad, los contenidos se han organizado de la siguiente manera: Iniciarás reconociendo el concepto, notación, características, grado, coeficiente principal, dominio y rango de una función polinomial; a partir de ello enfocaremos el estudio de funciones polinomiales particulares, como son: La función constante, que es una función polinomial de grado CERO; La función lineal, que es una función polinomial de grado UNO y cuya gráfica es una recta; la función cuadrática, que es de grado DOS y cuya gráfica es una parábola vertical; y finalmente las de grado TRES y CUATRO, en este último apartado de la unidad además de analizar el comportamiento y gráfica de dichas funciones, resolveremos funciones polinomiales mediante el uso del teorema de las n raíces, el teorema de las raíces racionales, el teorema fundamental del álgebra y la regla se los signos de Descartes.
Fuentes de consulta
En este Cuadernillo encontrarás varias actividades de aprendizaje que deberás realizar. Para que las desarrolles con éxito te recomendamos la consulta de los textos que se mencionan a continuación; en ellos podrás encontrar la información que complementará tus actividades y además podrás profundizar en los temas que más te gusten y te llamen la atención, asegurándote que de esta manera aumentarán tus conocimientos. No está por demás decirte, que en caso de que no cuentes con esta bibliografía puedes usar la que tengas a la mano en tu centro de servicios o te pueda facilitar tu asesor para realizar las actividades. Bibliografía básica: • García Licona y Rodríguez López. Matemáticas 4 Bachillerato. México, ST Editorial, 2005. • Larson/Hostetler. Álgebra. México, Publicaciones Cultural, 2003. • Ruiz Basto, Joaquín. Precálculo: funciones polinomiales. Matemáticas IV para Bachillerato General. México, Publicaciones Cultural, 2005.
Enciclopedia Encarta: Si cuenta tu Centro de servicios con esta opción de consulta, te recomendamos revisar los artículos siguientes, que te servirán para realizar tus actividades de aprendizaje y para ampliar los conocimientos sobre el tema. • Polinomio • Teoría de ecuaciones • Gráfica
Sitios Web: • http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/ funciones/polinomial/Funcion_Polinomial_6_ecuacion.htm • http://mx.geocities.com/aescamifime/temas/teoriadeecuaciones/teoriadeecuaciones.htm • http://www.geocities.com/zamarripaplus/mate2_1.html • http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412.htm • http://matesup.utalca.cl/modelos/3clase/2_3FuncionesAjuste.pdf • http://www.umce.cl/~cpmatzen/GuiaTaller6_Anexo6.doc
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Sabemos que tal vez tengas dificultades en algunos de estos temas, pero para ello contarás con la ayuda de tu asesor quien sin duda te apoyará en todas las actividades que realices. Recuerda que para que logres tus objetivos de aprendizaje, debes mostrar disponibilidad para estudiar antes que nada.
FUNCIONES POLINOMIALES de las cuales se estudiarán
FUNCIÓN CONSTANTE (de grado Cero)
FUNCIÓN LINEAL (de grado Uno)
FUNCIÓN CUADRÁTICA (de grado Dos)
FUNCIONES DE GRADO TRES Y CUATRO
En las cuales se analizarán Donde resolveremos
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Gráfica Dominio Rango Raíces
Ecuaciones polinomiales
¿Cómo aprendo? 2.1 LA FUNCIÓN POLINOMIAL Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos y/o prácticos, que sean posibles de expresarse mediante una función polinomial de grado a lo más de cuatro, utilizando sus propiedades geométricas y algebraicas, aplicando correctamente los conceptos, exponentes, notaciones y características.
Recuerda evitar decir “no puedo”, pues desde ahí te estás cerrando a aprender, tú eres tu propia llave del conocimiento, abre tu mente a aprender y, sobre todo, muestra disposición para hacerlo lo mejor posible; lo demás vendrá sólo. Actividades: Para desarrollar esta actividad, puedes apoyarte en lo visto en la unidad pasada y/o algunos conceptos conocidos de álgebra y geometría analítica, ya que es una actividad de apertura y te servirá para rescatar algunos conocimientos que posees sobre el tema. 1. Contesta correctamente las preguntas con ayuda de los conceptos que se encuentran en el rectángulo de la siguiente página. a) Es la suma de los exponentes de las letras que intervienen en un término algebraico b) El grado del término 3x7yz4 es: c) P(x) = a0xn + a1x n -1 + a2x n -2 +…+ an -1x + an es la expresión más general de un: d) En matemática superior se considera como un monomio de grado “menos infinito”. e) Es una regla de correspondencia o asociación entre los elementos de dos conjuntos no vacíos. f) Es una regla de correspondencia en la que a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento del contradominio. g) Si f(x)=x - 4 , ¿a que es igual f(x - 3)? h) ¿Cómo es la pendiente de una recta vertical? i) Dos rectas son paralelas si sus pendientes son: j) Si la ecuación de una recta es 5x+4y+2=0 , la ecuación de una recta perpendicular a ésta es: k) ¿Cuál es el grado del polinomio: 24x5+10x4+18x2? l) Es la comparación numérica de la elevación entre el recorrido.
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polinomio
f (x - 3)=x - 7
función
infinita
relación
grado
12
cero
5
8x - 10y+2 = 0
f (x - 3)=x - 7 iguales Pendiente
10x + 8y + 20 = 0
2.1.1. Concepto de Función Polinomial A. César, el hermano de Lupita, trabaja en una empresa donde le pagan 4 dls la hora con una jornada de 30 hrs a la semana; además si trabaja horas extra éstas se las pagan a 7dls (El máximo de horas extras que puede trabajar son 15).¿Cual sería el sueldo semanal de César de acuerdo con las horas extra?
60
Como puedes ver, el sueldo semanal va aumentado constantemente. Podemos deducir de acuerdo con lo que se vio en geometría analítica que se trata de una función lineal, donde su gráfica es una recta y su ecuación la podemos determinar con la forma punto-punto: y -y1=
(x - x1) y2 - y1 x2 - x1 Y obtenemos que y=7x+120 , es decir:
Horas extra 0 1 2 3 4 5 15
Sueldo semanal 120 127 134 141 148 155 225
Sueldo Semanal = 7(horas extra) + 120
y x
x
B. Se desea cercar el terreno de forma rectangular donde se está construyendo un parque ecológico que se encuentra en I. Allende, municipio de Gpe. Victoria, de tal manera que su área sea la máxima posible. Se dispone de 540 metros de cerca. Determinar la expresión algebraica de la función que describe el problema.
y Si el perímetro es de 540 y el terreno es de forma rectangular, entonces tenemos que:
2x +2y = 540
Por lo tanto y=270 - x; si para obtener el área se multiplica el largo por el ancho, tendremos: A= xy Para trabajar con una sola variable sustituimos en esta ecuación la ecuación anterior y nos queda: A = x (270 - x) A = 270 x - x2 En esta ecuación tenemos el área del terreno expresada en función de uno de los lados, de ahí que, podemos hacer lo siguiente: A = f(x) f(x)=270 x - x2 En las dos situaciones anteriores obtuvimos una función, las cuales son polinomiales de primer y segundo grado respectivamente. Una función polinomial tiene la forma f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2 +...+a0 donde n es un entero positivo y los números a0, a1, a2, a3,…, an son constantes y son coeficientes del polinomio. El domino de cualquier función polinomial es el conjunto de los números reales (R); si el primer coeficiente an≠0 entonces el polinomio será de grado n. Función polinomial tal que f(x) : R→R Cabe aclarar que el dominio y dominio de definición no son lo mismo, ya que el primer término se refiere a todos los valores en general que puede tomar una función; mientras que el dominio de definición es limitado, ya que éste depende de la función especifica; por ejemplo, en la situación del ejemplo A, el dominio de definición es {0 a 15} y, por lo tanto, el rango también es limitado. En otras palabras, si graficamos esas coordenadas obtendremos un segmento de recta como gráfica que inicia en x=0 y termina en x=15 (Te sugerimos comprobar esto trazando la gráfica en tu cuaderno de notas).
2. En una función polinomial, n (exponente de la literal) se considera como número positivo, ya que si n fuera fraccionario x estaría dentro de un radical; y si n es negativo, entonces estaría en el denominador y formaría parte de las funciones racionales. Observa las siguientes funciones y discute la información con tus compañeros y tu asesor.
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FUNCIÓN
CARACTERÍSTICAS
f(x)=5 x4 - 6x - 3
Es una función polinomial de grado 4, su coeficiente principal es 5 y el término constante es -3.
h(x)= h(x)= 41x7-
x+3 x+8 3 x3 4
5 2 g(x)= 7x - 9x +3x - 1 2
f(x)=43 x2 - 11
Es una función racional. Es una función polinomial de grado 7, su coeficiente principal es 41 y el término constante es - . Es una función polinomial de grado 5, su coeficiente principal es 7/2 y el término constante es -1/2. Es una función radical donde el exponente de la variable x es 2/3, por lo que no forma parte de las funciones polinomiales.
2.1.2. La Función Constante Es una función polinomial de grado CERO, es decir, es de la forma f(x)=a0, donde a0, es una constante. En la siguiente grafica sagital podemos verla de forma más simple:
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Fanta Sprite Coca cola Manzana. Lift Fresca
$6.50
*Tomando en cuenta que el envase es de la misma capacidad.
La función constante f(x)=a tiene como dominio todos los Reales y como Contradominio (Rango) un único valor a. a
f(x) : R→a
2.1.3. Función Lineal Es una función polinomial de grado UNO y tiene la forma f(x)=a1x+a0, donde a1≠0; la principal característica es que su gráfica es una recta y, además, cuando se presenta una tabla de una función lineal, ésta tiene la característica de que cuando la variable va creciendo de uno en uno, la función aumenta o disminuye de manera constante. Dicho en otras palabras, su razón de cambio es constante. Esta razón de cambio es a lo que le llamamos pendiente. De forma general la expresión analítica de la función lineal será f(x)=mx+b, donde m es la pendiente o la constante de crecimiento o decrecimiento, y b es la ordenada al origen o valor de la función cuando la variable vale cero. Función lineal f(x)=mx+b:R→R donde m≠0 3. En equipos de trabajo investiguen en la bibliografía recomendada o en la que tengan disponible en su Centro de servicios y/o si les es posible en Internet más sobre la función lineal y completen las siguientes preguntas. A partir de lo anterior discute la información con los demás equipos y con tu asesor. Como mencionamos anteriormente, la expresión analítica de una función lineal es f(x)=mx+b, ésta tiene dos parámetros (m y b), dependiendo de sus valores, la gráfica tiene un cierto comportamiento. a) ¿Cuándo una función lineal es creciente y cuándo es decreciente? b) Si en una recta el valor de m>0, ¿qué valor adquiere el ángulo de inclinación de dicha recta? c) Si en una recta el valor de m<0, ¿qué valor adquiere el ángulo de inclinación de dicha recta? d) ¿Qué pasa cuando el valor de b es cero?
e) Observa las siguientes gráficas, y contesta de manera análoga a la primera 1.
Tiene un ángulo mayor a 90° pero menor a 180°; m<0, es una función lineal decreciente y b>0. Es una función lineal
2.
3.
4.
63
6.
5.
7.
8.
f) ¿La recta horizontal es una función lineal?, ¿por qué?
4. El modelo de una función lineal tiene innumerables aplicaciones en economía, física, biología, mercadotecnia, etc. Por ejemplo el valor contable de ciertos productos que se van depreciando año con año, el costo total de un artículo, el interés simple, entre otros. A continuación veremos ciertas situaciones que nos llevan a modelar una función lineal, te invitamos que las analices con tu asesor y resuelvas las que están marcadas como B y C A. Mi tía Anita, que vive en Durango, tiene una cocina económica y quiere saber el costo total por la producción de cierto número de tamales; sabiendo que el costo fijo por la producción diaria es de $220 a lo cual debe agregar $2.00 por cada tamal adicional.
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a) ¿Cuál sería la expresión analítica que representará esta situación? b) ¿Cuántos tamales tendrá que elaborar para que el costo neto de cada tamal sea de $3.00? X #tamales (t) 0 1 2 3
Y Costo total C(t) 220 222 224 226
a) Como podemos darnos cuenta el costo inicial de un pedido sería de 220 pesos, con esto tendríamos el valor de b (intersección con el eje y) y el valor de m que es la constante de crecimiento que en este caso es 2; por lo tanto, si la expresión analítica de una función lineal es de y= mx + b tendremos que: y=2x + 220, es decir:
costo total=(# tamales) + 220 C(t)=2t+220 C(t) =3 b) Para que el costo total neto de cada tamal sea de $3 tendríamos: t esto quiere decir que: 2t+220 =3 resolviendo esta ecuación tenemos que: t t
2t+220=3t 220=3t - 2t 220=t
2t+220
Por lo tanto mi tía tiene que elaborar 220 tamales para que el costo neto de cada tamal le salga a $3.00
B. En una fábrica de dulces de leche, un cierto tipo de dulce tiene como funciones de costo y venta: C(x)=4x+360 y V(t) = 10x , respectivamente. Justifica las respuestas: a) En un mismo plano cartesiano, traza las dos gráficas. b) ¿Cuál es el costo inicial de producción? c) ¿Cuántos artículos se deben producir como mínimo para que no haya pérdidas (ganancia=Venta- costo)? d) ¿Cuál es el costo por producir 120 elementos? e) ¿Cuánto se obtiene por vender 120 elementos? f) Para obtener una ganancia de 60,000 unidades de dinero, ¿Cuántos elementos se deben vender? C. Una función lineal está expresada mediante la tabla incompleta: -2
-1
0 0
-4
5 -16
a) Completa la tabla. b) La función ¿es creciente o decreciente? c) ¿Cuál es el valor de la pendiente o constante de crecimiento o decrecimiento? d) ¿Cuál es el valor de la intersección con el eje de las ordenadas? e) Determina la expresión analítica de dicha situación. f) Traza la gráfica.
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2.1.4. Función Cuadrática La función cuadrática, es una función polinomial de grado DOS, y tiene la forma f(x)=a2x2+a1x+a0 , donde a2≠0. La principal característica es que su gráfica es una parábola vertical; donde el dominio y el rango son los reales; la ecuación de una función cuadrática se acostumbra expresarse como:
f(x)=ax2+bx+c : R→R donde a≠0
Para graficar una función cuadrática basta con tabular la función, dándole valores arbitrarios a x y así obtener los de f(x). Todas las parábolas son simétricas con respecto a una línea recta llamada eje de simetría o eje focal; el punto donde se cruza el eje focal y la curva (parábola) es llamado foco, como ya se había visto en la unidad cuatro de Matemáticas III (recordemos que los elementos que definen por completo una parábola son 6: vértice, foco, eje focal, directriz, lado recto y parámetro).
Parábola vertical hacia abajo (cóncava negativa), donde el coeficiente principal a<0, el eje de simetría es la línea punteada y el punto marcado es el vértice, en dicho punto existe un máximo valor.
Parábola vertical hacia arriba (cóncava positiva), donde el coeficiente principal a>0, el eje de simetría es la línea punteada y el punto marcado es el vértice, en dicho punto existe un mínimo valor.
Actividades: 1. Si tu Centro de Servicios cuenta Internet, o tú tienes la posibilidad de acceder a este servicio, te invitamos a que visites http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412. htm, donde encontraras algunos consejos para graficar una función cuadrática e incluso verás algunos ejemplos de graficas de otras funciones polinomiales
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2. En forma individual grafica las siguientes funciones cuadráticas: a) y=x2 - 3x+1
b) f(x)=x2 - 4
c) f(x)= - x2
d) f(x)=x2
e) f(x)= - x2+ 4 FORMA ESTÁNDAR DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA La función cuadrática tiene una forma Estándar, esta nos sirve para identificar claramente el vértice de la parábola y algunos otros elementos; con ello se nos facilita la graficación de la misma. Esta forma se obtiene a partir de f(x) = ax2+bx+c mediante el procedimiento de completar cuadrados perfectos quedando: f(x)= a(x - h)2+k
Donde (h, k) es el vértice de la parábola y el eje de simetría es x=h. además si a es positivo entonces se trata de una parábola que abre hacia arriba y si a es negativo entonces se trata de una parábola que abre hacia abajo Por ejemplo, se desea representar la función cuadrática f(x)=2x2-8x+6 en su forma estándar, para ello completaremos el cuadrado perfecto como se muestra a continuación: *(Como trabajo extraclase te sugerimos demostrar lo anterior ayudándote del ejemplo que mostraremos enseguida)
f(x)=2x2-8x+6 f(x)=2[x2-4x+3] f(x)=2[x2-4x+_)+3] f(x)=2[x2-4x+4)+3 - 4] f(x)=2[(x-2)2 - 1]
Primero: Para completar el trinomio cuadrado perfecto hacemos que el coeficiente principal (a) sea uno; para ello sacamos como factor común el 2 y trabajamos con la parte del interior del corchete. Segundo: Completo el TCP (agrupo los términos que contiene x, luego le saco mitad a el coeficiente del término lineal y lo elevo al cuadrado, de esta manera obtengo el tercer término del TCP el cual siempre es positivo y en este caso es 4. Además para no alterar la igualdad resto 4. Tercero: Factorizo el TCP.
f(x)=2(x-2)2 - 2
Cuatro: Finalmente, en este caso multiplico por el 2, que es el factor común que se sacó al inicio del procedimiento.
La expresión que obtuvimos f(x)=2(x-2)2 - 2 es la forma estándar de la función cuadrática f(x)=2x2-8x+6. Partiendo de la expresión matemática podemos obtener la siguiente información: El vértice es V(2, -2), como el primer término de la expresión obtenida es positivo, entonces es una parábola que abre hacia arriba y tiene su eje de simetría en x=2; para graficar basta con dar dos valores menores y dos valores mayores que el valor de la abscisa del vértice. x 0 1 2 3 4
y 6 0 -2 0 6
V(2,-2), tiene un mínimo valor el cual es -2 Como podemos observar en la gráfica, la parábola cruza en dos puntos al eje de las abscisas, esos dos puntos son las raíces de la función las cuales son: x = 1 y x =3 (Estos dos valores los podemos obtener también, resolviendo la ecuación cuadrática).
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3. Llena el cuadro según se pide y, de acuerdo con los datos que te proporciona la forma estándar de la función cuadrática.
f(x)=a(x-h)2+k
Vértice V(h,k) Coeficiente Concavidad Valor del máximo o mínimo (k) principal (a)
f(x)=3(x - 1)2+5 f(x)=(x+5)2 - 3 f(x)=x2- 8 f(x)=5(x+4)2 f(x)=x2 f(x)=- (x+ 3)2 - 1 f(x)= - x2
68 4. Organizados en grupos de tres, grafiquen las siguientes funciones cuadráticas en un mismo plano cartesiano. A partir de ello contesten lo que se pide: a) f(x)=(x - 1)2+5
b) f(x)=(x - 1)2+3
c) f(x)= (x - 1)2 - 1
d) f(x)=(x - 1)2
• ¿Cuál es el vértice de cada una de las parábolas anteriores? • ¿Tienen raíces? y, si es así, ¿cuántas? • Observando el comportamiento de las gráficas anteriores, ¿qué puedes deducir? 5. Organizados en grupos de tres, grafiquen las siguientes funciones cuadráticas en un mismo plano cartesiano y a partir de ello contesten lo que se pide. a) f(x)=(x - 1)2+3
b) f(x)=(x - 4)2+3
c) f(x)= (x + 2)2 + 3
d) f(x)=x2 +3
• ¿Cuál es el vértice de cada una de las parábolas anteriores? • ¿Tienen raíces? y, si es así ¿cuántas? • Observando el comportamiento de las gráficas anteriores, ¿qué puedes deducir?
6. En parejas, grafiquen las siguientes funciones cuadráticas en un mismo plano cartesiano y, a partir de ello, contesten lo que se pide: a) f(x)=4(x - 1)2+3
b) f(x)=2(x - 1)2+3
1 d) f(x)= 2 (x2 - 1)2+3
c) f(x)= (x - 1)2 + 3
e) f(x)=1 (x- 1)2+3 4
• ¿Cuál es el vértice de cada una de las parábolas anteriores? • ¿Tienen raíces?, y si es así ¿cuántas? • Observando el comportamiento de las gráficas anteriores, ¿qué puedes deducir? 7. Posteriormente, en plenaria discutan sus conclusiones y elaboren un mapa conceptual sobre lo que pasa cuando cambiamos los parámetros a, h, k de la forma estándar de la función cuadrática. 8. Busca en la bibliografía que tengas a la mano, ejercicios tipo y/o pide a tu asesor que te proporcione algunos ejemplos para resolver. MODELOS CUADRÁTICOS Y PROBLEMAS SENCILLOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Al igual que la función lineal, la función cuadrática también tiene innumerables aplicaciones, ya que ésta puede ser el resultado de modelar cierta situación, como las que se muestran a continuación: Retomaremos un ejercicio anterior: Se desea cercar el terreno de forma rectangular donde se está construyendo un parque ecológico que se encuentra en I. Allende, municipio de Gpe. Victoria, de tal manera que su área sea la máxima posible. Se dispone de 540 metros de cerca. Determinar la expresión algebraica de la función que describe el problema y resolverlo:
y x 2x +2y = 540
x y
Por lo tanto y=270 - x; Si para obtener el área se multiplica el largo por el ancho, obtenemos que: A=xy, para trabajar con una sola variable sustituimos en esta ecuación la ecuación anterior y nos queda: A=x(270 - x) A=270x - x2
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Ahora bien, la función cuadrática f(x)=270x - x2, transformándola a su forma estándar obtenemos f(x)= - (x - 135)2+18225, como a<0, la parábola abría hacia abajo y por lo tanto existe un máximo, el cual sería 18225, cuando x toma el valor de 135; Así que el terreno tendrá un área máxima de 18,225 m2 cuando su ancho (x) tenga una longitud de 135 m Ancho =x = 135 Largo =270-x = 270-135 = 135 Un jugador golpea una pelota de béisbol a una altura de 6 ft sobre el nivel del suelo, a una velocidad de 100 ft/s. La trayectoria de la pelota está definida por la función cuadrática: f(x)= - 0.0064x2+2x+6 en donde f(x) es la altura que alcanza la pelota y x la distancia desde home, ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota? Para obtener el valor del máximo, la función cuadrática la cambiamos a su forma estándar completando el TCP, y obtendremos:
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f(x)= - 0.0064x2+2x+6 f(x)= - 0.0064[x2 - 312.5x - 937.5] f(x)= - 0.0064[(x2 - 312.5x + 24,414.06) - 937.5 - 24,414.06] f(x)= - 0.0064[(x - 156.25)2 - 25,351.56] f(x)= - 0.0064(x - 156.25)2 + 162.25 Como a = - 0.0064 < 0; entonces existe un máximo cuyo valor es 162.25 cuando x toma el valor de 156.25; en otras palabras la pelota alcanza una altura máxima de 162.25 ft, cuando la pelota ha recorrido una distancia horizontal de 156.25 ft
9. Resuelve en equipo el siguiente ejercicio y posteriormente comparen su respuesta con los demás equipos de trabajo: Un fabricante de accesorios para bicicletas tiene costos diarios de producción por: C(x) =700 - 4x+0.5x2 en donde C(x) es el costo total en pesos y x el número de unidades producidas. ¿Cuántas unidades debe producir diariamente para obtener un costo mínimo?
2.1.5. Funciones Polinomiales de Grado Tres y Cuatro La función cúbica, es una función polinomial de grado TRES y tiene la forma f(x)=a3x3 + a2x2 + a1x + a0 , donde a3 ≠0 , de manera análoga es la función de grado CUATRO f(x)=a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 donde a4 ≠0; el dominio y rango de estas funciones son los reales. Para graficar este tipo de funciones tabulamos con un número considerable de elementos en el dominio (x), para obtener una gráfica un poco más confiable, ya que estas funciones son más difíciles de trazar que las anteriores. Sin embargo, en este apartado de la unidad aprenderás a reconocer algunas características básicas de las gráficas de funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Claro, que si tú o tu Centro de Servicios tienen acceso a una calculadora graficadora o algún programa de graficación para computadora, esto facilitaría la tarea. Ahora, que si no es así y tienes acceso a Internet, te recomendamos visitar el sitio:http://tycho.escuelaing. edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funciones/polinomial/Funcion_Polinomial_6_ecuacion.htm; en este sitio encontrarás un taller interactivo de funciones polinomiales; ahí podrás graficar cualquier función polinomial que se te ocurra para observar y analizar su comportamiento, ya que cuenta con un programa graficador de uso fácil. Enseguida se muestran las gráficas de algunas funciones polinomiales de grado tres y cuatro A. Esta es la gráfica la función polinomial f(x)= 2x4 - 20x2 - 10x - 4 que es de grado 4. 200 150 100 50
-4
-2
2
4
- 50
y
B. La gráfica a la derecha muestra una función cúbica f(x)= - 4x3 - 16x2+9x+36, que tiene tres raíces, cuyos valores son: x1= - 4;x2= - 1.5:x3=1.5;
50 ( 0,36)
( 1.5,0)
(-4,0)
x 5
-5
El procedimiento para obtener las raíces lo veremos más adelante.
(-1.5,0) -50
71
C. La siguiente gráfica muestra la función cúbica f(x)=x3, la cual tiene una sola raíz cuyo valor es x=0
Para graficar una función polinomial es necesario tener muy claro lo siguiente: • La grafica de una función polinomial es siempre continua, lo cual quiere decir que no tiene interrupciones.
II. Función no continua
I. Función continua
• Tienen curvas suaves redondeadas, como se muestra en la figura I.
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• Las funciones polinomiales que tienen las gráficas más sencillas son los monomios de la forma f(x)=xn, donde como ya se había mencionado n es un entero positivo. Cuando n es par, la gráfica de la función polinomial se parece a la gráfica de la función polinomial de segundo grado (parábola); y si n es impar, la gráfica se parece a la gráfica de la función cúbica. Actividades: 1. Organicen equipos de trabajo y en hojas de papel bond cuadriculado grafiquen las siguientes funciones polinomiales. Expóngalas al grupo para comparar y analizar las funciones en conjunto. a) f(x)=x3 +8
b) f(x)=x4 - 8
c) f(x)=(x - 8)4
Ceros de funciones Polinomiales El cero en una función f es un valor x para el cual f(x)=0. Por ejemplo el cero de la función f(x)=x - 5 se halla en x=5, porque si sustituimos este valor en la función, ésta será igual a cero; de igual manera si tenemos f(x)=x2 - 4x+3, los valores x=3 y x=1 son ceros en la función cuadrática anterior. En otras palabras los ceros de una función son las raíces (los puntos por donde cruza la gráfica al eje de las x; estos valores los puedes encontrar factorizando la función o aplicando la ecuación general para resolver ecuaciones de segundo grado).
Hasta el momento sabes obtener las raíces o soluciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas, así como los respectivos ceros de dichas funciones. A continuación estudiaremos algunas propiedades de funciones de grado igual o mayor que 3, en relación con sus ceros o las raíces de sus ecuaciones correspondientes, con el propósito de hacer su representación gráfica más fácil. TEOREMAS DEL RESIDUO Y DEL FACTOR 2. Para iniciar con este tema, es necesario que repases el tema de la división de polinomio entre polinomio; para ello te invitamos a que revises tus apuntes de álgebra de primer semestre en la unidad dos o en su defecto investigues sobre el tema en cualquier libro de álgebra que tengas a la mano y resuelvas los siguientes ejercicios (si no puedes resolverlos pide ayuda a tu asesor con algún ejemplo ilustrativo). x2 - 9x+14 entre x - 2
4x3 - 5x2+3x - 2 entre x+2
8x3+27 xentre 2x+3
TEOREMA DEL RESIDUO Si r es una constante y si se divide el Polinomio f(x) entre el Binomio x - r, donde r es un Número Real, el Residuo es igual a f(r) Para determinar los Ceros de un Polinomio f(x) resulta de gran utilidad el uso del Teorema del Residuo, el cual introduciremos con un ejemplo: Si f(x)=3x3 - 4x2 - 3x - 4 hallar f(2) en dos formas distintas: Para hallar f(2) evaluamos la función con x=2 y tenemos lo siguiente: f(x)=3x3 - 4x2 - 3x - 4 f(2)=3(2)3 - 4(2)2 - 3(2) - 4 f(2)=3(8) - 4(4) - 6 - 4 f(2)=24 - 16 - 6 - 4 f(2)=- 2 Ahora bien, si el polinomio f(x)=3x3 - 4x2 - 3x - 4 lo dividimos entre x - 2 tendremos lo siguiente: 3x2 +2x +1 x - 2 3x3 - 4x2 - 3x - 4 - 3x3 +6x2 2x2 - 3x - 2x2 + 4x x-4 - x+2 -2
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Entonces el Polinomio se puede expresar como: 3x3 - 4x2 - 3x - 4=(x - 2)(3x2+2x+1) - 2 Como podemos observar f(2) = -2 y -2 es el residuo de dividir la función f(x) entre x-2; en este caso r=-2, y es el valor r que se menciona en el teorema del residuo. TEOREMA DEL FACTOR El teorema del factor se establece con base en el teorema anterior y dice: Si r es una raíz de f(x)=0, es decir f(r)=0, entonces x - r es un factor de f(x). Con lo anterior, se puede hacer notar la importancia de conocer el valor del Residuo, ya que si este es igual a Cero, entonces ello nos indica x-r es uno de los factores, y que con ellos se pueden determinar los Ceros del Polinomio. Recordando el ejemplo anterior, podemos decir que (x – 2) no es un factor de la función polinomial f(x)=3x3 - 4x2 - 3x - 4 , ya que el residuo fue -2. EJEMPLOS:
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A. Demostrar que x - 4 es un factor del polinomio f(x)=x3 - 64 Para que x - 4 sea un factor de dicha función, el residuo debe ser igual a cero; de otra forma la función valuada en r debe ser igual a cero, en este caso r = 4, por lo tanto: f(x)=x3 - 64 f(4)=(4)3 - 64 f(4)=64 - 64 f(4)=0 Por lo tanto la función tiene como factor x - 4 y como una de sus raíces x = 4 B. Si los ceros de una función polinomial (las raíces) son los valores 2,1,-1,-2, determinar dicha función polinomial Basándonos en el teorema del factor, con cada una de las raíces formaremos el factor correspondiente quedándonos de la siguiente manera: f(x)=(x - 2)(x - 1)(x+1)(x+2) Efectuando las multiplicaciones y simplicando tenemos: f(x)=x4 - 5x2+4
Para simplificar un poco el procedimiento de la división de polinomios utilizaremos la división sintética (proceso abreviado de aquélla), tema que tal vez viste en álgebra de Matemáticas I, pero si no es así aquí veremos algunos ejemplos, ya que en el proceso para determinar los ceros de una función polinomial recurrimos al Teorema del Residuo y, por lo tanto, a la división de un polinomio entre un binomio de la forma x - r. DIVISIÓN SINTÉTICA Para ilustrar el procedimiento de la división sintética, resolveremos un ejemplo haciendo hincapié en que esta división sólo se aplica a divisiones con polinomios de una sola variable donde el divisor es de la forma x-r. • Procedimiento de la división sintética (Regla de Ruffini) a. El dividendo debe estar ordenado de forma decreciente. b. En el primer renglón se ponen sólo los coeficientes del dividendo, sustituyendo por cero las potencias faltantes entre un término y otro del polinomio. c. A la derecha del último elemento del dividendo se escribe el simétrico de r separado por una línea vertical. d. Se traza una línea horizontal que separa al segundo y tercer renglón. e. El primer termino del dividendo se escribe como el primer término del tercer renglón f. Después se multiplica el primer término del tercer renglón por el divisor y el producto resultante se escribe en el segundo renglón y en la columna dos. g. Se suman los términos de la segunda columna y el valor resultante se multiplica por el divisor, poniéndose dicho resultado en la tercera columna. h. Este proceso se sigue hasta sumar los elementos de la última columna del divisor. i. Los coeficientes que quedan en el tercer renglón, son los coeficientes del cociente, y el último elemento del tercer renglón es el residuo. Ejemplo: Usando la división sintética, encuentra el cociente y el residuo de: x4 - 3x+5 entre x+4 1 1 x3
0 -4 -4 x2
0 16 16 x1
-3 -64 -67 x0
5 -4 268 273 residuo
Por lo tanto, el cociente es el polinomio x3 - 4x2+16x - 67y el residuo es 273
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3. Hallar por división sintética el cociente y el residuo de las divisiones siguientes: 2x3 - 3x2+5 - 7 entre x - 2 2x4+2x3 - 10x2+11x+10 entre x+3
x5+1 entre x+1 x3+8 entre x+2
TEOREMAS SOBRE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN Teorema fundamental del álgebra Toda ecuación polinomial de grado n≥1 tiene al menos una raíz, real o compleja.
Teorema Todo polinomio de grado n≥1puede ser expresado como producto de n factores lineales. Por ejemplo: f(x)=x2 - 4x+ 3 se puede factorizar y expresarse como: f(x)=(x - 3)(x - 1). Asimismo,
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f(x)=270x - x2 puede expresarse como: f(x)=x(270x - x); como puedes observar, estas ecuaciones fueron expresadas como producto de sus factores.
Teorema de las n raíces Toda función polinomial f (x)=0 de grado n tiene exactamente n raíces, siempre y cuando la multiplicidad de k de una raíz se cuente k veces.
Teorema de las raíces complejas Si el número complejo a+bi, b≠0 es una raíz de una función polinomial con coeficientes reales, entonces el número complejo a+bi es también una raíz.
Teorema de las raíces racionales u Si el racional irreducible v es una raíz de una función polinomial de coeficientes enteros, entonces u es un factor del término independiente y v es un factor del coeficiente principal.
EJEMPLOS: A. Encontrar las raíces racionales de la función polinomial f(x)=4x3 -16x2+9x+36 Nos basaremos en el teorema anterior; de ahí que los divisores de 36 son u={±1, ±2,±3,±4,±6,±9,±12,±18,±36 }, y de -4 son v={±1,±2,±4 }, Por lo tanto, las posibles raíces racionales son: u 1 1 ,± 3 ,±4,±6,±9,± 9 ,± 9 v ={±1,± 2 ,± 4 ,±2,±3,± 3 4 ,±12,±18,±36} 2 2 4 Si probamos estas posibilidades de izquierda a derecha, vemos que: -4 -4
-4 -4
-16 -6 -22
9 -33 -24
36 1.5 -36 0 residuo
Como puedes ver el residuo es 0, por lo tanto 1.5 es una de las raíces.
-16 6 -10
9 15 24
36 -1.5 -36 0 residuo
Como puedes ver el residuo es 0, por lo tanto -1.5 es una de las raíces
77 -4 -4
-16 16 0
9 0 9
36 -4 -36 0 residuo
Como puedes ver el residuo es 0, por lo tanto -4 es una de las raíces
Y ya no seguimos probando con los demás valores, ya que por el teorema de las n raíces esta función polinomial a lo más tiene 3 raíces, pues es un polinomio de grado 3. Como ya conocemos las raíces de la función, éstas nos ayudarán a construir la gráfica. Contamos con los puntos (-4,0), (-1.5, 0), (1.5, 0). Ahora sólo hay que tabular con algunos valores intermedios entre estos puntos y además obtener el punto por donde cruza al eje de las ordenadas (cuando x=0). Por lo tanto la gráfica que obtendremos será: y
50 ( 0,36)
( 1.5,0)
(-4,0)
x 5
-5
(-1.5,0) -50
B. Hallar todos los ceros reales de la función f(x)=2x3-2x2-4x y graficar. Factorizando dicha función obtenemos: f(x)=2x3 - 2x2 - 4x 2
2x=0 entonces x1=0
f(x)=2x ( x - x- 2)
x - 2=0 entonces x2=2
f(x)=2x(x - 2) (x+1)
x + 1=0 entonces x3= - 1
C. Halla todos los factores de la función polinomial f(x)=x4 - 3x2 - 28 x4 - 3x2 - 28=(x2 - 7)(x2+4)
Estos factores (2) son irreducibles sobre los racionales.
(x2 - 7)(x2+4)=(x2 -
7)(x2+4)
7)(x2 -
Factorización sobre los reales (3).
Factorizada por completo tendremos: (x2 - 7)(x2 - 7)(x2+4)=x2 - 7)(x2 - 7)(x+2i)(x+2i) Factores reales y complejos (4), de ahí que la función anterior tiene dos ceros (Raíces) reales y dos complejos.
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4. Investiga en forma individual la historia de las funciones polinómicas y elabora un reporte sobre ello. 5. En equipos de trabajo de 3 o 4 personas investiguen la relación que tiene la regla de los signos de Descartes con el número posible de ceros positivos y negativos en una función y el método de bisección para aproximación de ceros. A partir de lo anterior, elaboren una ficha temática donde se ilustre con dos ejemplos dichas reglas y el método de bisección. Posteriormente expongan al grupo para su discusión. 6. Encuentra las raíces (ceros) racionales de la función: f(x)=x3 + x2 - 4x 7. Halla los ceros reales de la función: f(x)=x4 - 3x2 + 2 8. Halla todos los ceros de la función: f(x)=x4 - 6x2 - 40 9. Se desea hacer una caja abierta de cartón corrugado, la cual tenga forma rectangular de 20 cm por 10 cm, cortando cuadros iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Hallar las dimensiones de la caja sabiendo que el volumen es de 156 cm3. 10. Resuelve los ejercicios de la sección ¿Qué he aprendido?, para que evalúes tus conocimientos. Si tienes dudas vuelve a repasar los temas y pregunta a tu asesor que sin duda te ayudará. ¡¡Suerte!!
¿Qué he aprendido? Ahora estás listo para aplicar lo que aprendiste a lo largo de esta unidad, y reafirmar el aprendizaje adquirido; para ello desarrolla los siguientes ejercicios que seguramente podrás resolver sin ningún problema; pero si te surgen dudas acude con tu asesor. I. Contesta correctamente las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles son las principales características de una función polinomial? b) Se tiene la función polinomial f(x)= 3 x4 - 8+4x , menciona el grado, valor del coeficiente 5 principal y término independiente. c) ¿Una función polinomial es siempre continua? d) ¿Cuál es el rango de la función constante? e) La función constante, ¿es una función lineal con pendiente cero?, ¿por qué? f) ¿Cuál es la característica principal de una función lineal? II. Resuelve los siguientes ejercicios de funciones lineales: 1. Una función lineal está expresada mediante la tabla incompleta: -3 -8
3 -6
4 6
a) Completa la tabla. b) La función, ¿es creciente o decreciente? c) ¿Cuál es el valor de la pendiente o constante de crecimiento o decrecimiento? d) ¿Cuál es el valor de la intersección con el eje de las ordenadas? e) Determina la expresión analítica de dicha situación. f) Traza la gráfica. 2. La ecuación de una función lineal es f(x)= - x+2, determina: a) Si la función es creciente o decreciente. b) ¿Cuál es el valor de la pendiente o constante de crecimiento o decrecimiento? c) ¿Cuál es el valor de la intersección con el eje de las ordenadas? d) Traza la gráfica. 3. Compré una bicicleta en $2,600. Si su valor se deprecia linealmente cada año un 15%, ¿Cuál será el valor de la bicicleta después de 5 años? 4. La compañía Nazareno-Sebastián y Asociados se dedica a la fabricación de radios, según sus datos del departamento de producción indican que el costo fijo es de $10,600, y por cada radiorreceptor que produzcan el costo es de $95. ¿Cual es el costo de producir 500 radioreceptores?
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III. Resuelve los problemas de funciones cuadráticas. a. La ecuación de una función cuadrática es f(x)=(x-3)2 - 5; determina: el vértice, concavidad, comportamiento de la función, valor del máximo o del mínimo, raíces y gráfica. b. La ecuación de una función cuadrática es f(x)=x2+6x - 16; determina: el vértice, concavidad, comportamiento de la función, valor del máximo o del mínimo, raíces y gráfica. c. Don Ramón, que vive en Súchil, Durango. quiere cercar un corral rectangular de 600 metros de perímetro. ¿Qué dimensiones producirán un máximo de superficie encerrada? 1 13 x+8 , en donde f(x) es la altura en pies y x la d. La trayectoria de un clavado es f(x)= 8 x2+ 8 distancia horizontal desde el extremo del trampolín ¿Cuál es la altura máxima del clavado? e. Si la ecuación de una función cuadrática es f(x)=a(x-h)2+k ¿que pasa cuando h>0, hacia donde se mueve la parábola, cuando a y k se mantienen constantes?
IV. Resuelve los ejercicios de funciones polinomilales de grado tres y cuatro.
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1. A continuación se presenta la gráfica de la función cúbica f(x)=x3, con base en ella determina: a) f(x)=x3+4 b) f(x)=x3- 4 c) f(x)=(x+4)3 d) f(x)=(x- 4)3 e) f(x)=(x - 1)3+4
2. Halla los ceros reales de las siguientes funciones polinomiales. a) f(x)=x4- 5x3+8x2 b) f(x)=6x2- 2x c) f(x)=x3- 4x2+4x d) f(x)=x2- 2x2+2 e) f(x)=x2- 6x+1 3. Determina la función polinomial que tenga los ceros dados. a) 5,-3 b) 2,-2,1 c) -4,5 d)-3,5,2 e) 0,-2,4
4. Determina los ceros racionales de las siguientes funciones. a) f(x)=x3+x2- 4x - 4 b) f(x)=x4+x3 - x2+x - 1 c) f(x)=x4- 17x2 +4 d) f(x)=x2- 2x2+2 e) f(x)=x3- 4x2- 11x +30 5. Bosqueja las siguientes funciones polinomiales (determina gráfica, raíces y variación de la función) a) f(x)=3x3- 3x2 - 12 x+12 b) f(x)=x4- x3 - 9 x2+3x +18 6. Se requiere construir una caja abierta de lámina cuadrada de 20 pulgadas, cortando cuadros iguales en las esquinas y doblando hacia arriba, (apóyate con la figura). a) Verifica que el volumen de dicha caja lo determina la función V(x)=400x80x2+4x3 b) ¿Cuál es el dominio de definición de esta función? c) Traza la grafica y determina el valor de la x (altura de la caja) para la cual el volumen es el máximo. X
X
X
20 - 2X
En esta ocasión los ejercicios no traen respuesta sugerida, para que uses tu razonamiento libremente y no enfocándote al resultado. Te sugerimos que los problemas de aplicación trates de resolverlos tu sólo, luego comparen sus razonamientos en equipo y, posteriormente, los compartan con sus compañeros de clases. Recuerda que puedes pedirle apoyo a tu asesor.
81
Quiero saber más Como pudiste darte cuenta, existen una infinidad de funciones polinomiales las cuales son el resultado de aplicaciones de la vida real. Las funciones que hemos estudiado hasta el momento se han definido en una sola expresión analítica, pero también existen funciones que están definidas en más de una expresión y estas expresiones dependen del comportamiento de la función sobre distintas secciones del dominio. 3 Por ejemplo la función: f(x) - x2 x
si x= - 2 si - 2
82
A este tipo de funciones se les conoce como seccionadas; en el dominio de la función anterior está dividido en tres subconjuntos de los reales, los cuales son: D1={- 2} D2={- 2
FUNCIONES RACIONALES Objetivo de la unidad: Resolverás problemas sobre funciones racionales, teóricos o prácticos, mediante el análisis del dominio, el rango y la determinación de posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, en un ambiente escolar que favorezca a la reflexión del análisis y razonamiento práctico, así como el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que te desenvuelves.
¿
¿
¿Qué voy a aprender?
¿
3
UNIDAD
En esta unidad revisaremos las funciones racionales, es decir, aquellas formadas por el cociente de dos polinomios, su variación gráfica para valores de x lejos del origen, y valores de x muy cercanos a los puntos donde el polinomio denominador se hace cero, es decir, alrededor de los puntos donde la función racional no está definida. Además, estudiaremos el análisis gráfico del comportamiento de rectas auxiliares que no pertenecen a la gráfica de la función racional pero que sirven de orientación en el trazo de las curvas (función racional). Las rectas auxiliares son conocidas con el nombre de asíntotas, del griego asumtotos que quiere decir “sin tocarse”. El trazo de las gráficas de estas rectas pueden ser: gráficas paralelas a los ejes coordenados, gráficas que cortan a los dos ejes, e incluso ser las gráficas de los propios ejes coordenados. En otras palabras, estudiaremos el valor m de la pendiente de la recta asintótica en los casos: m = 0, m =∞y m ≠ 0 Posteriormente estableceremos la relación existente entre la variación inversamente proporcional y las funciones racionales. Por último mostraremos funciones racionales cuya asíntota es una función polinómica (asíntotas curvilíneas) o aquéllas que, en el último de los casos no posee ningún tipo de asíntota. Para iniciar el estudio de los temas de esta Unidad deberás recordar la definición de función, su dominio, rango e intervalo de definición e intersecciones con lo ejes. Asimismo, conviene que repases los conceptos de polinomio, ceros de polinomios, coeficiente principal, término independiente, grado del polinomio y función polinomial, temas, todos ellos, que se encuentran en las primeras unidades del curso de Matemáticas IV que estás estudiando. Además, te será de mucha utilidad repasar los conceptos: potenciación, ley distributiva, factorización y variación inversa proporcional, que se encuentran en las unidades de Matemáticas I, así como los temas de recta y pendiente estudiados en Matemáticas III.
83
Fuentes de consulta
Bibliografía básica: Para el desarrollo de las actividades de aprendizaje es importante contar con apoyo bibliográfico. Busca en tu Centro de Servicios libros que te sirvan para este propósito y si tienes la oportunidad revisa alguno de la siguiente lista: •Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. México, McGraw-Hill Interamericana, 2000. •Larson, Ronald y otros. Álgebra. México, Publicaciones Cultural, 1996. •Leithold, Louis. Matemáticas previas al Cálculo. México, Oup-Harla, 1994. •Ortíz Campos, Francisco J. Matemáticas IV. Bachillerato General. México. Publicaciones Cultural, 2005. •Ruiz Basto, Joaquín. Precálculo: funciones y aplicaciones. Matemáticas IV. Bachillerato General. México, Publicaciones Cultural, 2005. •Stewart, James y otros. Precálculo. México. International Thomson Editores, 2000. •Sullivan, M. Precálculo. México. Prentice-Hall Hispanoamericana, 1997.
84 Enciclopedia Encarta: Si tu Centro de Servicios cuenta con este software, te recomendamos revisar artículos que tengan relación con los temas tratados en esta Unidad. •Función (matemáticas) •Número racional •Asíntota
Páginas web: Actualmente podemos encontrar en la red de redes una gran cantidad de información y existen sitios altamente recomendables, como los que enlistamos a continuación para que los visites: •http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2_funciones.php •http://perso.wanadoo.es/paquipaginaweb/funciones/index.html •http://www.geocities.com/funcion_ve/ •http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html •http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec3/cap3.html#func
¿Cómo aprendo? 3.1 FUNCIÓN RACIONAL Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos o prácticos susceptibles de ser modelados a través de una función racional, mediante el análisis de los intervalos que constituyen el dominio y el rango, o del comportamiento de su gráfica para valores muy grandes (en valor absoluto) de su dominio, o alrededor de lo ceros en el denominador, que determinan asíntotas verticales horizontales y oblicuas.
3.1.1. Concepto de Función Racional La función polinómica se construye empleando multiplicaciones y adiciones repetidas de la función identidad y la función constante. Esta función se expresa como: f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a2x2 + a1x+a0, Donde n es un entero no negativo y las a´s son constantes reales. Si an es distinto de cero, el grado de la función polinomial es n y an es conocido como el coeficiente principal. Una función racional r(x) es una función que se expresa mediante el cociente de dos funciones polinómicas y se escribe de la siguiente manera: r(x) =
anxn+an-1xn-1+...+a2x2 a1x+a0, p(q) = q(x) bmxm+bm-1xm-1+...+b2x2 b1x+b0,
85
para valores de x en los cuales el denominador no es cero con an,bm≠0. Veamos algunos ejemplos de funciones racionales con su dominio y un bosquejo de sus gráficas. y Ejemplo 1. 4 h(x) = x +x+1 , Df = IR x2- x+1
3
En este caso el dominio de la función h es: Dh = IR – {x|x2 - x+1=0 }, ya que, b2 - 4ac<0, se sigue que el polinomio x2 - x+1 no se anula y por tanto Dh = IR = (- ∞,∞)
1
2
2
Ejemplo 2. 2 h(x) = x 2- x+1 , Dh = IR, x + x+1
Siempre es positivo.
-2
y 4
Dh = IR – {x|x2+x+1=0 }, pero b2 - 4ac<0 Así el polinomio x2 - x+1= x+1 2
x
-8-7-6 -5 -4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1
2
+3 >0 4
3 2 1 -8-7-6 -5 -4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2
x
Ejemplo 3. 2 h(x) = (x+1) (x+1)(x - 1)
y
Dh = IR-{ x|x=- 1,1} Observa que la gráfica de h(x) tiene un hueco en: x = - 1, pero no así para x = 1 2 h (x) = (x+1) = (x+1)(x - 1)
(x+1 (x - 1)
6 5 4 3 2 1
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6
Dh =(- ∞, - 1) (- 1,1) (1,+∞)
Ejemplo 4. (x+1)2 h(x) = (x+1)(x - 1) ,
y 6 5 4 3 2 1
Dh = IR-{ x|x=- 1,1 }
86
Observa que la gráfica de h(x) tiene un hueco en x = 1 pero no en x = -1 2
h(x) = (x - 1) = (x - 1)(x + 1)
(x - 1 (x + 1)
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6
Dh =(- ∞, - 1) (- 1,1) (1,+∞)
Ejemplo 5. h(x) =
6(4x+1) , (4x+25)(2x +3)
y 6 5 4 3 2 1
-3 Df = IR-{ x|x=-25 , 2 } 4 Observa que la gráfica no tiene huecos en ninguno -25 -3 de los puntos: x = 4 , 2 25 3 25 Dh =(- ∞, - 4 ) (- 4 , - 2 ) (-
3 ,+∞) 2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6
x
3.1.2. Gráficas de Funciones Racionales Seguiremos nuestro estudio en la construcción de rectas auxiliares en el trazo de las gráficas de las funciones racionales. Primero estudiaremos la definición de asíntota y luego las rectas asíntotas. Asíntota. Una recta es asíntota de una curva (la función racional) si la distancia entre un punto sobre la curva y la recta se aproxima a cero a medida que el punto se aleja del origen de coordenadas. Esta definición condiciona a la curva a extenderse indefinidamente cada vez más en todo el plano a medida que las curvas y la recta se acerquen más y más una de la otra. Es importante observar que si la función racional tiene asíntotas su construcción permitirá trazar un bosquejo más preciso de la gráfica de la función racional. Si la recta es paralela o coincide con el eje Y la asíntota es horizontal, si es paralela o coincide con el eje X la asíntota es vertical y por último si la recta no es perpendicular a ninguno de los ejes, la recta asíntota es inclinada (oblicua)
87 Para llevar acabo la identificación de la forma en que estas rectas se sitúan en relación con la gráfica de la función racional, necesitamos de varios resultados respecto a los grados de los dos polinomios que conforman la función. Resultado. Asíntotas Horizontales p(x) Considérese a la función r(x) = tal que los polinomios p(x) y q(x) no tengan facq(x) tores en común. Si n < m la gráfica de r(x) tiene una asíntota paralela o coincide con el eje X. an En el caso de la igualdad n = m, la asíntota es la recta horizontal y= bm ≠0 ya que en la definición de r(x) an, bm≠0 por lo que la recta no es el eje X (y = 0) Si en cambio, se tiene n < m, entonces la asíntota es precisamente y = 0 (el eje X). En ambos casos ⎥ x⎥ aumenta por lo que la distancia vertical entre la asíntota y la curva decrece continuamente tendiendo a cero (comportamiento en infinito). Veamos algunos ejemplos de funciones racionales en los que se aplique la relación “menor que” a los grados de los polinomios y que permita decidir sobre la naturaleza del signo de c en la asíntota y = c, positivo, negativo o cero.
Ejemplo A. x2-1 r(x)= 2 ,n=2=m x +1
y 4 3 2
an=1,bm=1 Asíntota y=
1
an bm
=
1 =1≠0 2
-4
-3 -2 -1
-1
x 1 2
3
4
3
4
-2 -3 -4
y 4 3
Ejemplo B. 2x+1 r(x)= 2 3x - 3
2
,1=n
Asíntota y=0 el eje X
1 -4
-3 -2 -1
-1
x 1 2
-2 -3 -4
y 6
88
Ejemplo C. 3
r(x)=
3x ,n=3=m (1-x3 )
an=3,bm=-1 a 3 Asíntota y= n = =-3≠0 -1 bm
5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1
x 1
2 3
4 5
6
-2 -3 -4 -5 -6
Resultado. Asíntotas Verticales Para el estudio de las rectas asíntotas verticales se emplean los ceros del denominador, es decir, los valores de x = r que anulan al polinomio q(x). En este análisis sobre los ceros de q(x), se excluye la posibilidad que r anule también al polinomio p(x) pues se ha solicitado que los polinomio p(x) y q(x) no tengan factores en común. Para este caso se tiene el estudio sobre el comportamiento local puesto que x se acerca cada vez más a x = r y en el que |y| aumenta a medida que el punto sobre la curva se aleja cada vez más del origen. Obsérvese que en este estudio los grados cumplen con la ley de tricotomía de los números, a saber: si m, n son los grados se cumple exactamente una de las relaciones siguientes: n < m, n = m, n > m.
Mediante algunos ejemplos calculemos las asíntotas verticales mostrando a la función con las rectas verticales. Ejemplo 1. r(x)=
y 4 3
x2+1 x2 - 1
Asíntotas x = r = 1,-1 ya que q(1)=0 y q=0 en el polinomio q(x)=(x-1)(x+1)
2 1 -4
-3 -2 -1
-1
x 1 2
3
4
3
4
-2 -3 -4
y 4 3
Ejemplo 2. r(x)=
2
2x2+3 2x4+2x2
1 -4
Asíntotas x = r = 0, ya que es el cero de: q(x)=2x4+2x2=2x2(x2+1)
-3 -2 -1
-1 -2 -3 -4
y
Ejemplo 3. r(x)=
4 3
3x3 (1 - x3)
Asíntota x=r =1, pues el 1 es el cero de: q(x) con x2+x+1 Siempre positivo
x 1 2
89
2 1 -4
-3 -2 -1
-1
x 1 2
3
4
-2 -3 -4
Resultado. Asíntotas oblicuas. Para la existencias de asíntotas inclinadas los grados n y m de los polinomios deben cumplir con la relación n=m+1. Esto quiere decir que el grado n de p(x) es exactamente un grado mayor que el de q(x), por lo que la asíntota es un polinomio de primer grado. Este polinomio tiene la forma y=ax+b con a≠0, pues a es el coeficiente principal. Veamos la situación de la pendiente a igual a cero. Si a=0 entonces n=m que contradice a n=m+1 por lo que la asíntota no puede ser horizontal. Por esta situación, una función racional no puede tener una asíntota horizontal y una inclinada. Si tal fuera el caso, la asíntota horizontal debe cumplir con n≤m y la asíntota inclinada con n>m, condiciones que además de contradecir la ley de tricotomía muestran que los grados de los polinomios están variando y esto no es posible pues los números n y m están fijos.
Procedamos a analizar las asíntotas oblicuas de algunas funciones racionales. Ejemplo A. 3 r(x)= x x2 - 1
,n=3=m
y 4 3
Los grados muestran: n = 3, m=2, y n=m+1 Ya que n >m, efectuemos la división. 2
x -1+1 =x =x x2 - 1
3
x x2 - 1 =x+
2
x -1 x2 - 1
2 1
1 +x 2 x -1
-4
-3 -2 -1
x
-1
1 2
3
4
-2 -3 -4
x x2 - 1
Fracción propia
x y asíntota inclinada y=x x -1 2
Ejemplo B. r(x)=
90
-x3 x +1 2
y 4 3
Los grados muestran: n = 3, m=2, y n=m+1 Ya que n >m efectuemos la división como antes:
2 1
-
x2+1-1 x3 =-x =x2 + 1 x2 - 1
=-x+
-1 x2+1 -x 2 2 x +1 x +1
-4
-3 -2 -1
-1
x 1 2
3
4
-2 -3 -4
x x +1 2
Asíntota inclinada y=-x fracción propia es
x x
2+
1
Ejemplo C. y
-x2+x+1 r(x)= x- 1
4 3 2 1
n = 2, m=1, y realicemos la división. -4
x-1 -x2+x+1 -x2+x 1 1 = + =-x + x 1 x- 1 x- 1 x- 1 x- 1
-1 -2 -3 -4
1 =-x+ x - 1 Asíntota inclinada y=x-1 con fracción propia
-3 -2 -1
x x +1 2
x 1 2
3
4
Ejemplo D. r(x)=x+1-
y 4 3
x x2 + 1
2
Asíntota inclinada y=x+1 con
1
x fracción propia x2 + 1
-4
-3 -2 -1
x 1 2
-1
3
4
-2 -3 -4
x3+x2+1 Simplificando r, n=3, m=2, r(x)= x2 + 1
y 4 3
Ejemplo E.
2
-3x+3 r(x)=x+ 2 x +3 Fracción propia -3x+3 x2 +3
1 -4
-3 -2 -1
x 1 2
-1
3
4
-2 -3 -4
y asíntota y=x
y 4 3
Ejemplo F.
91
2 1
1 r(x)=x+1+ x2
-4
-3 -2 -1
-1
x 1 2
3
4
-2 -3 -4
1 Fracción propia x2 , asíntota y=x -1
Nota: Obsérvese que en los ejemplos A, B, D y E las asíntotas y la función se intersecan. Veamos ejemplos de graficas de funciones racionales y sus asíntotas respectivas. Ejemplo 1. y
3x3 r(x)= (1-x3)
4 3 2 1
Asíntotas en x =1 y en y = -3
-4
-3 -2 -1
-1 -2 -3 -4
x 1 2
3
4
y 4 3
Ejemplo 2. r(x)=
2 1
2x+1 3x2 - 3
-3 -2 -1
-4
-1
Asíntotas en x =1, -1 y en y = 0
-2 -3 -4
Ejemplo 3.
4 3
x 1 2
3
4
3
4
y
2
x3 x r(x)= 2 =x+ x -1 (x-1)(x+1)
1 -3 -2 -1
-4
Asíntotas en x =1, -1 y = x
-1
x 1 2
-2 -3 -4
3.1.3. Variación Inversa
92
En distintos ámbitos se pueden encontrar variaciones de tipo inverso, como lo es el tiempo que le lleva a un estanque llenarse considerando el número de llaves iguales que lo llenan. Veamos este tipo de variación mediante ejemplos. Ejemplo A. Llaves
Una llave llena un estanque, digamos de agua, en 36 horas, dos llaves en 18 horas, 3 llaves en 12 horas, 4 llaves en 9 horas, 6 llaves en 6 horas.
y 36 33 30
Una representación analítica está dada por la siguiente expresión xy=36 donde “y” es el número de llaves “y x” es el tiempo en horas empleado.
27 24 21 18
Obsérvese que al aumentar el tiempo el número de llaves disminuye “y” si aumenta el número de llaves el tiempo disminuye. En nuestro caso, 36 se ha mantenido constante.
15 12 9
Decimos entonces que las dos cantidades son inversamente proporcionales. Una gráfica muestra la forma en que están variando las cantidades.
6 3 x -2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8 Horas
volumen 42
y
Este tipo de variación se puede ver como un caso particular de la función racional:
39 36 33
k y= x
30 27
Con k la constante de variación y como asíntotas los ejes coordenados.
24 21 18 15
Ejemplo B.
12 9 6 3 x -2
-1
3
6
9
12
15
18
21
24 27 30 33
Según la Ley de Boyle-Mariotte el volumen de un gas es inversamente proporcional a la presión si la temperatura no cambia (cte).
36 39
presión
Actividades:
93 1. Calcula el volumen del siguiente problema. Un gas está sometido a 25 atmósferas de presión P, sabiendo que su volumen V es de 20 metros cúbicos a 5 atmósferas. Calcular su volumen.
Este modelo, donde la temperatura no cambia, se expresa mediante la relación: VP=20 X 5 o equivalentemente xy=20 X 5→V=
100 =4 25
2. 27 obreros construyen una casa en 24 días. Obtener el número de obreros si se construye en 18 días. En este ejemplo la relación esta dada por xy=27 X 24→y= Así y=
648 x
→y= 27x24 =36 18
27x24 x
con x=18.
APLICACIONES Diversos campos emplean funciones racionales para describir los procesos que se dan en la naturaleza o en la vida diaria. A continuación se muestran algunos ejemplos Ejemplo A. A un paciente se la aplica un medicamento y su concentración en el torrente sanguíneo después de t horas está dado por: C
0.2t C( t )= 2 t +1 C=.01
Con C en miligramos por centímetro cúbico. Interprete la asíntota de la función racional dada.
1 1=1
La asíntota es C = 0 pues n < m Ahora calculemos la concentración máxima C( t )→Ct2- 0.2t+C=0
94
→C=
t=-
b 2a
=-
-0.2 1 = 2c 10 C
1 0.2t 1 =0.01 = 2 →t2+1=2t2→t=1→C= 10 t t +1 10(1)
La concentración C empieza a decrecer asintóticamente a partir de t = 1 y crece desde t = 0 hasta t = 1 Ejemplo B. Los ingresos totales en taquilla a nivel regional de cierta película son dados por la relación I(x)=
500x2 x2+4
donde I se mide en miles de pesos y x en semanas.
¿Cuál es el valor esperado del ingreso a medida que transcurre el tiempo? Se calcula la asíntota para determinar el ingreso I=500 El ingreso es de 500 mil
2000 x2+4
Ejemplo C. Un modelo que predice el rendimiento en términos del número de pruebas x para determinada tarea esta dado por: 0.5+0.9(x - 1) P= 1+0.9(x - 1) en donde P representa el porcentaje de respuestas correctas después de x pruebas. Calcule el porcentaje límite de respuestas a medida que el número de pruebas x crece. Para responder sobre el porcentaje calculemos la asíntota horizontal, es decir
P
0.9 0.9
=1
95
¿Qué he aprendido? Realiza los siguientes ejercicios: I. Obtener el dominio y corte con el eje X para cada una de las siguientes funciones racionales:
1. r(x)=
x x -1
7. r(x)=
x+1 x4+x2 - 2
2. r(x)=
x+1 x2 - 1
8. r(x)=
x+1 x3 - 1
3. r(x)=
2
x4+1 (x +2)(x2+3) 2
x+1 9. r(x)= x3 +1
4. r(x)=
x2-1 x2 + 1
x2+1 10. r(x)= x(x3 -1)
5. r(x)=
x+1 4 x +3x2+2
11. r(x)=
x(x2+1) 6. r(x)= x2+1
x3+1 x2 +1
x2+x 12. r(x)= x+1
96 II. Determinar todas las asíntotas existentes en cada una de las funciones racionales: 1. r(x)=
x 2 (x - 1)
5. r(x)=
x3+1 x4+x2 - 2
2. r(x)=
x2+x x+ 1
6. r(x)=
x+1 x3 - 1
7. r(x)=
x4+1 x3 - 1
3. r(x)=
4. r(x)=
x2+1 (x +2)(x2+3) 2
x2- 1 x2+1
8. r(x)=x -
x4+1 x(x3 -1)
III. Lee detenidamente cada pregunta y contesta utilizando la teoría de asíntotas. 1. ¿Por qué la gráfica nunca intersecta a la asíntota vertical? 2. ¿Por qué la gráfica a lo más tiene una asíntota horizontal? 3. ¿Por qué la gráfica puede o no intersectar a la asíntota horizontal? 4. ¿Por qué la gráfica puede o no intersectar a la asíntota oblicua? 5. ¿Por qué la gráfica de una función racional puede carecer de alguna asíntota? 6. ¿Por qué la gráfica puede o no tener asíntotas verticales? 7. ¿Por qué la gráfica no puede tener asíntotas oblicuas y horizontales? 8. ¿Por qué la gráfica si puede tener más de una asíntota vertical? 9. ¿Por qué la gráfica si puede tener asíntotas horizontales y verticales? 10. ¿Por qué la gráfica si puede tener asíntotas oblicuas y verticales? 11. ¿Por qué siempre se intersectan la asíntota vertical con la oblicua, cuando existen ambas? 12. ¿Por qué la asíntota vertical con la horizontal siempre se intersectan, en el supuesto de que existan las dos rectas? 13. ¿Cuál condición se le debe pedir a los polinomios p(x), q(x) para que la gráfica de r(x) no tenga asíntotas?
14. ¿Pueden haber huecos en la gráfica al no presentar r(x) ningún tipo de asíntota? Sugerencia: utiliza las siguientes funciones racionales.
r(x)=
x(x4 +2x2+1) x2 + 1
=x3+x
r(x)=
x(x2 +2x+1) x+1
=x2+x
15. ¿Si una función racional cumple con n = m + 1 y al efectuar el cociente únicamente se produce un término de la forma ax+b , existe la asíntota oblicua?
97
IV. Resuelve los siguientes problemas de aplicación: 1. La concentración de cierto medicamento en un paciente t horas después de la inyección está dada por: t2 ,0≤t≤4 C(t)= 3 2t +1 donde C se mide en miligramos por centímetro cúbico. Determine cuando aumenta y disminuye la concentración. 2. Durante una epidemia de influenza, la proporción de la población baja en defensas que fue infectada, está dada por: t P(t)= 2+t2 ¿Para cuál valor de t es p máxima?
3. El costo C en la producción de n artículos es C(n) = 0.2n2 + 10n + 5 . Calcular el número de artículos que deben producirse para obtener el costo promedio mínimo por unidad. El costo promedio es dado por: c=
98
C n
Quiero saber más ASÍNTOTAS CURVILÍNEAS 3 2 En la descomposición en fracciones de la función x +x + 1 2 x +1
obsérvese que el cociente produce como resultado una suma de -x funciones (l+x)+ x2 + 1
, donde el primer sumando es la asíntota
1+xy el segundo, la fracción propia
-x x2 + 1
Nótese la situación al igual que presenta la función
3x3+6x (x2 + 2)
donde al realizar el cociente, el resultado es el término 3x. En ambos ejemplos el cociente es un polinomio de grado uno y la asíntota solo se encuentra en el primero de ellos, pues en el otro la fracción propia no existe. A estas asíntotas se les conoce como asíntotas rectilíneas donde r(x) es de la forma
s(x) p(x) s(x) =(ax+b)+ con como fracción propia. q(x) q(x) q(x) Para el caso de asíntotas curvilíneas de r(x) asíntotas que no representan polinomios de primer grado, se requiere que los polinomios cumplan con la desigualdad n - m>1 . Además de la existencia de la fracción propia, la existencia de la asíntota como un polinomio necesariamente de grado ≥ 2. Veamos algunos ejemplos de asíntotas curvilíneas donde se cumpla n - m>1, es decir, n - m≥1 Ejemplo 1. r(x)=(1 - x3+x)+
1 x2 1 x2 x2 -5x+x3+1 = x2
y 4 3
Así se tiene que: r(x)=(1 - x3+x)+
Asíntota curvilínea y=1 - x3+x, n=5, m=2 Asíntota vertical x=0
2 1 -4
-3 -2 -1
-1 -2 -3 -4
x 1 2
3
4
99
Ejemplo 2. r(x)=(1- x3+x)+
x - x4+x2+1 1 = x x
Asíntota curvilínea y=- x3+x , n=4, m=1 Asíntota vertical x=0 Obsérvese que el polinomio y la asíntota se cortan
y 4 3 2 1 -4
-3 -2 -1
x 1 2
-1
3
4
-2 -3 -4
Ejemplo 3. y
1 r(x)=(1- x - x +x+x )+ x 4
2
Asíntota curvilínea y=1 - x4 - x2+x+x3, n=5, m=1 , Asíntota vertical x=0
100
4 3
3
2 1 -3 -2 -1
-4
x 1 2
-1
3
4
-2 -3 -4
Ejemplo 4. En el siguiente ejemplo se muestra una función que tiene dos asíntotas horizontales. y
|x| La función es de la forma: y= , (x2 - 1) donde |x|=
4 3 2 1
x, x≥o -4
-3 -2 -1
La función no es racional, pues contiene al valor absoluto |x|. Las asíntotas son las rectas y=±1, x= - 1
Ejemplo 5.
r(x)=
x6 +3 x4+4x2+3
La asíntota curvilínea corresponde a una parábola, es decir, un polinomio de segundo grado de la forma: x2 - 4
3
4
3
4
-2 -3 -4
-x, x≤0
El siguiente ejemplo muestra una función r(x) que sólo tiene como asíntota, una asíntota curvilínea.
-1
x 1 2
y 8 6 4 2 -4
-3 -2 -1
-1 -2 -3 -4
x 1 2
Sugerencia: Construye las asíntotas curvilíneas para cada función racional e identifícalas con las gráficas adjuntas. r(x)= x2+x+
1 x +1
r(x)= x2+x+1+
r(x)=
6
2
5 4 3
1 x2 + 1
x3 -3x2+4 x
2 1
x2 - 3x+
-4
4 x
-1 -2 -3 -4
3
4
y
2
101
1
1 -3 -2 -1
x 1 2
-1
6 5 4 3
y
2
-4
-3 -2 -1
-2 -3 -4
6 5 4 3
y
x
x 1 2
3
4
-4
-3 -2 -1
-1 -2 -3 -4
1 2
3
4
¿
¿
¿Qué voy a aprender?
¿
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Objetivo de la unidad: Resolverás problemas con funciones exponenciales y logarítmicas, teóricos o prácticos, utilizando su relación como funciones inversas y sus propiedades algebraicas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre la utilidad de estos conocimientos y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que te desenvuelves.
4
UNIDAD
Hasta el momento has estudiado los diferentes tipos de funciones, desde las polinomiales con sus diferentes tipos de grados, las especiales y las racionales, así como también la forma en que éstas se aplican a diferentes fenómenos, sin embargo no podemos concluir nuestro curso sin el estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas, no sin antes felicitarte por el esfuerzo que has realizado hasta el momento y te recomendamos que lo mantengas al estudiar esta unidad, ya que para la misma requerirás un poco de tiempo para analizar el comportamiento de las funciones de acuerdo con algunos cambios que le haremos a ciertos parámetros; sólo así podrás descubrir las maravillas que encierran cada una de las mismas y el modo en que éstas se presentan de manera sorprendente en la naturaleza.
102 Las funciones exponenciales están presentes en una gran variedad de fenómenos. Las encontramos, por ejemplo, en la forma en que se reproduce la llamada marea roja, que consiste en una gran colección de billones de protozoos que se multiplican a gran velocidad, afectando a muchas especies marinas. Un ejemplo más cercano lo constituye la división celular que tiene lugar en el vientre materno cuando se gesta un ser humano. El núcleo del espermatozoide del hombre se fusiona con el óvulo de la mujer dando origen a una única célula llamada CIGOTO, la cual se divide en dos células, luego en cuatro, luego ocho y así, el proceso continúa de modo exponencial hasta formarse una esfera celular hueca llamada MÓRULA la cual continua desarrollándose como embrión mediante sucesivas etapas hasta llegar al nacimiento de una nueva persona. Este proceso lo analizaremos con mayor detenimiento dentro de los temas de la Unidad. Por lo pronto nos enfocaremos a revisar solamente la manera en que este tipo de fenómenos crecen o decrecen, la cantidad en que suceden y la tendencia que van tomando; esto último podrá visualizarse de modo grafico para distinguir los comportamientos de los fenómenos. Las funciones exponenciales y logarítmicas las encontramos generalmente en algunas áreas como la Biología, Física, Química, Geología y Medicina, así como en los problemas financieros, en el crecimiento poblacional, entre otros. Es muy importante que sepas manejar las leyes de los exponentes de manera adecuada y comprender el significado de un exponente positivo y un exponente negativo para tener una cabal comprensión de las funciones que estudiaremos en esta Unidad.
Fuentes de consulta
Bibliografía básica: Te recomendamos ampliamente la consulta de los siguientes textos para apoyar el desarrollo de las actividades de aprendizaje: •Leithold, Louis. Matemáticas previas al Cálculo. México. Oup-Harla, 1994. •Fleming, Walter. Álgebra y Trigonometría con geometria analitica. México. Prentice Hall, 2000 •Mett, Smith. Cálculo con aplicaciones. México. Limusa, 1998
Sitios Web: Navega por los sitios que enlistamos. Si estudias su contenido, ten por seguro que tu aprendizaje se enriquecerá:
103 • http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml • http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Funciones%20elementales_2/ exponencial.htm • http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_HCS_1/Funcion_exponencial/Func-exp.htm • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial • http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/ContenidoUnidad2.html • http://bc.inter.edu/facultad/NTORO/expow.htm • http://usuarios.lycos.es/mislogaritmos/ • http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3490 • http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1bach/ naturaleza/aplicacionesdelaexponencial/aplicaciones.htm
¿Cómo aprendo? 4.1 FUNCIONES EXPONENCIALES. Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos o prácticos susceptibles de modelarse mediante funciones exponenciales o logarítmicas, utilizando su interrelación como funciones inversas y sus propiedades, tanto gráficas como algebraicas.
Antes de comenzar a definir el concepto de una función exponencial, queremos que observes el comportamiento de algunas de las funciones al mismo tiempo que observas el comportamiento de una función exponencial. Analiza los siguientes casos y elabora la gráfica correspondiente: A. Como primer ejemplo proponemos una función lineal.
Tenemos que comenzar a graficar de la siguiente manera: a) Considera al eje de las abscisas como el eje que representa el tiempo de producción de basura, el cual se recomienda que se divida en 12 meses para representar un año. b) Considere el eje de las ordenadas como la cantidad de basura que se produce en toneladas. La función que representa este comportamiento es la siguiente: y = 2x
Mes (x) Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
Toneladas (y) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Basura que se acumula en la ciudad de Susupuato 30 25
Toneladas
104
Supongamos que en la comunidad de Susupuato de Guerrero, Michoacán, se producen actualmente 2 toneladas de basura al mes y según reportes de estudios del grupo ecológico de la escuela que se encarga de cuidar del medio ambiente y crear una cultura ecológica, se observa que toda esta basura se acumula en un barranco sin recibir un tratamiento adecuado de reciclado ¿Cuánta basura se acumulará en tan solo un año?
20 15 10 -5
2
4
6 Meses
8
10
12
14
Como se puede ver en la tabla, cada mes se incrementan dos toneladas y la cantidad de basura que se acumula va en aumento, definiendo así que la cantidad de basura acumulada durante un año es de 24 toneladas y su comportamiento es lineal, lo cual indica que se da un aumento constante. Si obtenemos la diferencia entre la cantidad de basura acumulada entre el mes de septiembre y el mes de agosto se obtiene una cantidad de 2 toneladas, de la misma forma, la diferencia entre el mes de noviembre y octubre es, también, de 2 toneladas. La gráfica resultante es una recta que muestra variación constante y similar conforme transcurre el tiempo. B. Ahora consideremos el caso de una función cuadrática. Se ha donado un terreno que colinda con el río para construir una escuela, tal como se muestra en la figura. Una persona de la población donó 240 m de cerca y el director de la escuela quiere aprovecharla de tal forma que el terreno cercado sea el máximo posible, ¿cuáles deberán ser las dimensiones x e y para que el área encerrada sea máxima? Considérese a “y” como la variable que indica el largo de la cerca y a “x” como el ancho de la misma. a) El perímetro de la cerca es “P” el cual se define por la ecuación P= 2x+y o bien, 2x+y= 240 b) La función que me permite obtener el área es A=xy. c) Si se despeja “y” del perímetro se obtiene y=240 - 2x, lo cual nos permite obtener el valor de “y” cuando se hace variar a “x”. d) Ahora se sustituye el valor de “y” del despeje en el área del rectángulo, entonces tenemos que: A(x)= x (240-2x), o bien, A(x)=-2x2 +240x Esta última nos muestra la función del área con respecto al ancho del rectángulo
8000 7000 6000
Area
x y=240-2x A=xy 220 2200 10 20 200 4000 5400 30 180 160 6400 40 7000 50 140 120 7200 60 70 100 7000 80 80 6400 60 5400 90 4000 100 40 110 20 2200 120 0 0
5000 4000 3000 2000 1000
20
40
60
80 Ancho
100
120
140
105
x 10 A(x)=-2x2+240x 2200
20 4000
30 5400
40 6400
50 7000
60 7200
70 7000
80 6400
90 5400
100 4000
110 2200
Si observas detenidamente la tabla de valores y la gráfica, cada vez que se incrementa el ancho del rectángulo (x) el valor del área cambia pero no de manera constante, o bien, si obtienes la diferencia que existe entre el valor de 20 y 10 m, el valor de área es de 4000-2200=1800 y entre el de 50 y 40 m, el valor del área es de 7000-6400=600. Por lo tanto, en las funciones lineales existe una variación constante mientras que en las cuadráticas la variación es diferente. Dicho de otra manera, la función y=2x es una función lineal que se representa mediante una línea recta, mientras que la función y=-2x2+240x es una función cuadrática que se representa mediante una parábola con una variación que no es constante. Actividades: 1. Ahora queremos resumir esta parte con tu ayuda. Grafica las siguientes funciones algebraicas en un solo plano con un intervalo de 0
106
a) y= x b) y= x2 c) y= x3 d) y= x4 e) y= x5 2. Completa la tabla. x 0 1 2 3 4
y= x 0
y= x2 y= x3 y= x4 y= x5 0 0 0 0 1 1 1
4
16
27 64
81 256
243 1024
3. ¿Qué observas de manera conjunta? (Apóyate en las tablas de valores de cada función y en su representación gráfica). ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
120 0
Efectivamente, cuando los valores de “x” varían entre cero y uno (0
para:
y= x y= x2 y= x3 y= x4 y= x5
Pero cuando los valores de la variable independiente (x) son mayores que la unidad (x>1), entonces los valores de la función se van incrementando en una cierta proporción a medida que “x” aumenta, esto es: (2)1= 2 (2)2= 4 (2)3= 8 (2)4= 16 (2)5= 32
para:
y= x y= x2 y= x3 y= x4 y= x5
Este comportamiento lo puedes observar en la gráfica siguiente:
107 x5 x4 x3
y
x2
x
3
2
1
x -2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
4. ¿Podrías redactar una conclusión sobre el análisis que hemos estado haciendo y compartirla con tus compañeros y tu asesor? Inténtalo y estarás más cerca de obtener el concepto de una función exponencial. 4.1.1. Concepto de Función Exponencial. 5. En esta actividad se pretende que comiences a construir una definición para las funciones exponenciales con las preguntas que se te citan a continuación: Dada la expresión y = 2x a) ¿Qué significa? b) ¿Siempre se puede calcular el valor de y? Proporciona ejemplos. c) Calcula los valores correspondientes de y para x =2, 3, 4, 20, 0, -1, -2, -3, ½, ¼, ¾, -1/3.
d) ¿Es posible encontrar algún valor de x para el cual 2x resulte negativa? **
108
e) ¿Es posible encontrar algún valor de x para el cual 2x sea igual a 40? f) ¿Puede representarse gráficamente la expresión? Justifica tu respuesta. g) ¿Es posible encontrar valores de x que hagan que 2x resulte mayor que 40, que 400, 4000? Explica. h) ¿Conoces un fenómeno o situación que requiera de la expresión 2x? Definición: Una función f(x)=bx, para b > 0, se llama función exponencial con base b. 6. Para realizar la siguiente actividad, forma un equipo de trabajo y juntos grafiquen las siguientes funciones en el intervalo – 4 ≤ x ≤ 4 (usen un solo plano en el que se grafiquen todas las funciones. Pueden, asimismo, apoyarse en la tabla que se muestra en la siguiente página). y= 1x y= 2x y= 3x y= 4x y= 5x y= 6x
7. Completa la tabla que se presenta a continuación con ayuda de tu calculadora, pide a tu asesor que te apoye. Compara tus respuestas con tus compañeros y concluye. X
y=2x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0625 0.25 0.5 1 2
y=3x
0.03703704 0.11111111
y=4x
y=5x
0.00390625
0.0016
0.0625
0.04
y=6x
0.00462963 1 4
3 9
8
0.16666667 1 6 36
5 25
64 81
625
32
1024
7776 46656
729 128 256 512
16384
78125
262144
1953125 9765625
6561 59049
10077696 60466176
8. ¿Qué logras observar? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Obsreva que la función exponencial tiene algunas características importantes.
y y=6x
y=4x y=5x
3
y=3x
2 y=2x
1 y=1x -2
1
-1 -1
-2
2
3
x 4
109
9. Califica como falsa (F) o verdadera (V) cada una de las proposiciones siguientes:
a) Para todo valor -∞ ≤ x ≤ +∞ cuando b >1, la función ( f(x) crece o aumenta rápidamente cuando b también aumenta.
)
b) Todas las funciones cuando b >1 intersectan al eje de las ( ordenadas en el punto f(0)= 1.
)
c) El valor del exponente (x) puede tomar cualquier valor de los ( números reales.
)
d) Los valores de la función f(x) no presentan ningún valor nega- ( tivo, esto es f(x) ≥ 0 para todo valor -∞ ≤ x ≤ +∞.
)
El Dominio de una función exponencial de base b, cuando b > 1 es el conjunto de números reales y el contradominio o rango es el conjunto de números positivos. La función exponencial es una función de R en R+.
110
Algunos fenómenos naturales pueden ser representados mediante una función exponencial. Hay casos en los que se percibe un crecimiento exponencial como por ejemplo el aumento de la población. En otras situaciones se da un decrecimiento, como en los elementos radiactivos que se desintegran a un ritmo determinado. ¿Qué condiciones debe satisfacer la base b de una función exponencial para determinar si crece o decrece? Para responder a esta pregunta te proponemos algunas actividades: 10. Acude con un médico de tu localidad y solicítale información sobre cómo se desarrolla la división celular de un embrión. Entérate de la velocidad a la que se desarrolla el proceso y con este dato calcula la cantidad de células que se producen desde la concepción hasta el nacimiento. Esta es una oportunidad para que descubras una de las maravillas que existen en el ser humano. 11. Analicemos dos grupos de familias cuando una función crece y cuando otra decrece. Al graficar cada una de las funciones de cada inciso por grupo se observan los dos comportamientos mostrados en las gráficas de la página siguiente: a) y = 2x ; y = 3x y y = 4x en el intervalo -3≤ x ≤ 3 b) y = (0.2)x; y=(0.4)x ; y = (0.6)x y y= (0.9)x en el intervalo
-3≤ x ≤ 3
a) Funciones exponenciales que presentan un crecimiento.
4
y
3x 3
4
x
2x
2 1 x -4
-3
-2
-1
1
2
4
3
-1
y
-2 -3 -4
111 b) Funciones exponenciales que presentan un decaimiento, o bien, decrecen rápidamente.
y
4 3 2 1 x
-4
-3
x (0.6) -2
(0.4) -1 x
1
(0.2)x -1 (0.9)x
-2 -3 -4
2
3
4
4.1.2. Variación Exponencial. CRECIMIENTO POBLACIONAL Los seres humanos y muchos otros animales presentan algunas características comunes en su desarrollo. Todos estos organismos se inician como una única célula que luego sufre una división o partición celular y se divide en dos células (proceso conocido como mitosis). Posteriormente se forma una masa sólida de células llamada mórula. Dentro de la mórula se origina una cavidad llena de fluido y la mórula se transforma en una blástula. En un proceso denominado gastrulación ciertas células de la blástula emigran a zonas diferentes y se origina una gástrula, que es una estructura con 3 capas embrionarias. Biblioteca de Consulta Microsoft® Encarta® 2003. © 1993-2002 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
112
Supongamos que en este proceso una célula se divide cada 30 minutos; si partimos de una sola célula, ¿Cuántas células se tendrían en un día?
1 hora
3 horas
2 horas
… 24 horas
No de división celular (x) 1a
2a
3a
4a
5a
6a
…
48a
Tiempo (min)
30
60
90
120
150
180
…
1440
Cantidad de células
2
4
8
16
32
64
…
2x
Sea T el total de células en cada división, entonces: T0=1 T1=1•2=2 T2=2•2=22=4 T3=22•2=23=8 y así sucesivamente Por lo cual se tiene que el total de células en la x-ésima división esta dada por la expresión: Tx=2x, o bien, f(x)=2x
De acuerdo con la tabla anterior y siendo x el número de división celular, se tendrían en la primera hora 22 = 4 células; en dos horas 24 = 16, en tres horas 26 = 64 y en un día 248 ≈ 2.8147•1014. Este es un caso de un comportamiento de crecimiento de población y como puedes observar, es aquí donde se puede decir que estos fenómenos ¡crecen demasiado rápido!
Definición de función exponencial En términos generales existe otra manera de expresar a las funciones exponenciales de base b y esta es:
f(x) = C. bx para C y b
R+ .
Ejemplo: Para el mismo caso de crecimiento poblacional, supóngase que se tienen inicialmente 50 células y que cada una de ellas se divide en tres diariamente a partir de hoy, ¿Cuántas células se tendrían al cuarto día (en la cuarta división celular)? Llamémosle Q a la cantidad inicial de células y T a la cantidad de células en cada división, entonces: El día de hoy hay: Q = 50 = T0 En la primera división hay: 50•3= 150 = T1 En la segunda división hay: 150•3= 450 = T2 En la tercera división hay: 450•3=1350 = T3 En la cuarta división hay: 1350•3=4050 = T4 Q = 50 por lo tanto T0 = Q T1= Q •3 en la primera división, T2 = T1•3 = (Q•3)•3= Q•32 T3 = T2•3 = (Q•32)•3= Q•33 T4 = T3•3 = (Q•33)•3= Q•34 Por lo tanto la regla es la siguiente:
Tn=Q•3n
Lo cual nos permite obtener la función exponencial de base b: f(x)= 50•3x
f(x)= C•bx
113
y
200
y
150
20000 15000
100
10000
50 5000
x -4
2
-2
x
4
-50
2
-2
4
4
6
-5000
-100
La figura muestra el crecimiento de la función f(x)=50•3x .
Gráfica que muestra el punto donde la función f(x)=50•3x corta al eje de las coordenadas.
x f(x)=50(3x)
0 50
1 150
2 450
3 1350
4 4050
La cantidad de células que se reproducen en el cuarto día es de: f(4)= 50•34 = 4050.
114
12. ¿Identificaste dónde corta la función exponencial anterioral al eje de las ordenadas? Justifica tu respuesta y trata de generalizar, ¡lo lograrás! 13. Identifica y explica con tus compañeros y tu asesor el significado geométrico y algebraico de valor inicial, también describe la relación y diferencia entre tasa y factor de crecimiento en el siguiente ejemplo de interés compuesto. INTERÉS COMPUESTO Existen dos maneras de poder obtener ganancias de dinero cuando se deciden realizar algunos préstamos monetarios, uno de ellos es a través del INTERÉS SIMPLE y el otro es el INTERÉS COMPUESTO; el primero se representa mediante una función polinomial de primer grado y el segundo mediante una función exponencial.
Ejemplo: La Señorita Marie Audouit, quien es la gerente del Banco XYZ, ha decidido otorgar un préstamo a una empresa contratista de Monterrey tan solo para realizar obras de mantenimiento; el Monto solicitado por la empresa contratista es de $1000.00 quien ha decidido pagar intereses compuestos al 12% anual. ¿En cuánto tiempo esta cantidad se triplicará?
Observamos que el monto inicial es de $1000.00 el cual produce en el primer año un cantidad de (1000)(12/100)=$120.00 de puros intereses; para el segundo año se cobrarán intereses de la cantidad acumulada ($1000.00+ $120.00=$1120.00), o sea ($1120.00)(12/100)=$134.40, lo cual significa que los intereses anteriores generan intereses, por lo tanto: Llamemos a M0= Monto inicial, a Tx= Cantidad de dinero que se genera por los intereses de cada año, r = Tasa de interés anual, I= Intereses que se generan cada año, entonces: M0= $1000.00 T0=$1000.00 porque de entrada no se pagarían intereses, sino hasta que se llegue el primer año. Intereses que se cobran en el primer año. I1= T0(r)=1000(12/100)=120 T1=T0 + I1=1000+120= 1120 Dinero acumulado en el primer año. I2=1120(12/100)=134.4 T2=T1+I2=1120+134.4=1254.4 I3=1254.4(12/100)=150.528 T3=T2+I3=1254.4+150.528=1404.928 Y así sucesivamente; si usamos un poco de álgebra se tiene lo siguiente:
115 T1= T0+I1= T0+(T0)(r)=T0(1+r) T2=T1+I2=T1+T1(r)=T1(1+r)=T0(1+r)(1+r)=T0(1+r)2 T3=T2+I3=T2+T2(r)= T2(1+r)=T0(1+r)2(1+r)= T0(1+r)3, por lo tanto: Tx = T0(1+r)x, o bien, f(x)= M0(1+r)x. Así, la cantidad de dinero que se acumula en x años es f(x)=1000(1.12)x, entonces: f(0) =1000(1.12)0 = 1000 f(1) =1000(1.12)1 = 1120 f(2) =1000(1.12)2 = 1254.4 f(3) =1000(1.12)3 = 1404.928 f(4) =1000(1.12)4 = 1573.5194 f(9) =1000(1.12)9 = 2773.0788 f(10)=1000(1.12)10 = 3105.8482
0
T0=1000
T1=1120
T2=1254.4
1
2
3
T3=1404.928 4
T4
T5
T6
5
6...
x
Años
¿En cuánto tiempo se le triplicara la deuda a la empresa contratista f(x)=3000? 3000=1000(1.12)x x=9.694 Esto es, en x≈10 Años
4.1.3. El número e CARACTERIZACIÓN E IMPORTANCIA DEL NÚMERO e
Al igual que √3 y p; el valor de e es considerado como un numero irracional. Hubo varios personajes que se dedicaron al estudio de este número, pero se le atribuye el descubrimiento a Leonhard Euler quien sugirió su uso como base para logaritmo en uno de sus artículos publicados en 1728. La notación e aparece por primera vez en una carta que le escribió Euler a Goldbach en 1731. Euler hizo varios descubrimientos respecto a e en los años siguientes pero no fue sino hasta 1748 con la publicación de Introductio in Analysin Infinitorum cuando Euler dio un tratamiento completo a las ideas alrededor de e. Demostró que: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +... = 1+ 1/1+1/2+1/6+1/24+1/120+… La función exponencial ex se define como una serie de potencias, esto es: ∞
n 2 4 3 x e =∑ =1+x+ x +x +x +... 2! 3! 4! n=0 n! x
116 También se define como el límite de la sucesión:
x ex=lim (1+ )n n n→∞ Euler dio una aproximación de e con 18 decimales, e = 2.718281828459045235… Podemos calcular el valor de e con la siguiente expresión haciendo variar sus cifras decimales; completa la tabla de acuerdo con la expresión:
(1+ 1 )x x x
10
1 (1+ )x 2.59374246 x
50 2.69158803
1000 2.71692393
10000 2.71814593
100000 2.71826824
1000000 2.71828047
Función exponencial natural Es la función f definida por f(x)= ex . El dominio de la función es el conjunto de los números reales (R), y su contradominio, el conjunto de los R+. A continuación se muestra la representación de la función exponencial natural.
b= e1 1 e
y
0
4 3
b
l
2 1 x -4
-3
-2
-1
1
2
4
3
-1 -2 -3 -4
Para poder identificar el lugar donde se localiza este valor, obsérvese el siguiente ejemplo basado en un caso de interés compuesto. Ejemplo: Supóngase que se prestaron $100.00 a una tasa del 8% de interés compuesto, calcúlese los valores al final de 1 año, a) una vez , b) semestralmente, c) trimestralmente, d) mensualmente y e) diariamente. a) M0=100, r=0.08, n=1 T0=M0 I1 = T0(r/n) = 100(0.08/1)=8 T1=T0+I1 = 100+8=108 T0
T1=108
b) M0=100, r=0.08, n=2 T0=M0 I1 = T0(r/n) = 100(0.08/2)=100(0.04)=4 T1=T0+I1 = 100+4=104 I2 = T1(r/n) = 104(0.08/2)=104(0.04)=4.16 T2=T1+I2 = 104+4.16=108.16 T0
T1=104
1 año
T2=108.16
1 año
117
c) M0=100, r=0.08, n=4 T0=M0 I1 = T0(r/n) = 100(0.08/4)=100(0.02)=2 T1=T0+I1 = 100+2=102 I2 = T1(r/n) = 102(0.08/4)=102(0.02)=2.04 T2=T1+I2 = 102+2.04=104.04 I3 = T2(r/n) = (104.04)(0.08/4)=(104.04)(0.02)=2.0808 T3=T2+I3 = 104.04+2.0808=106.1208 I4 = T3(r/n) = (106.1208)(0.08/4)=106.1208)(0.02)=2.122416 T4=T3+I4 = 106.1208+2.122416=108.243216 T1=102
T0
T2=104.04
T4=108.243216
T3=106.1208
1 año
118
d) M0=100, r=0.08, n=12 T0=M0 I1 = T0(r/n) = 100(0.08/12)=100(0.0066)=0.66 T1=T0+I1 = 100+0.66=100.66 I2 = T1(r/n) = (100.66)(0.08/12)=(100.66)(0.0066)=0.664356 T2=T1+I2 = 100.66+0.664356=101.324356 T12 = M0 (1+(r/n))n T12 = (100)(1+(0.08/12))12 T12 = 108.2999507 T0
T1
T2
T3
T4
T5
T12=108.2999507
1 año
(e) M0=100, r=0.08, n=365 T0=M0 Tn = M0 (1+(r/n))n T365 = (100)(1+(0.08/365))365 T365 = 108.3277572 T0
T365=108.3277572
1 año
Si comparamos la expresión:
x ex=lim (1+ )n n n→∞
Con los datos anteriores, se tiene lo siguiente:
e0.08=lim (1+ 0.08 )n n n→365
Para calcular Tn = M0 (1+(r/n))n, se puede hacer de la siguiente manera: Tn = M0(e0.08) por lo tanto: T365 = 100(e0.08) = 108.3287068 La expresión empleada para calcular el interés compuesto continuamente es: T= Mo • er Donde: T= Monto a pagar en un año, M0= Monto inicial, r = Tasa de interés compuesto y e = rendimiento sobre una inversión de $1 durante un año a una tasa de interés de 100% compuesto continuamente. La expresión empleada para calcular el interés compuesto continuamente diferente de un año es: T= M0 • ert Donde t= años de capitalización. 14. Resuelve el siguiente ejercicio y compara tu respuesta con tus compañeros.
119 Una persona otorga un préstamo por la cantidad de $600.00 al 5% anual compuesto diariamente. Determine: a) el monto que la persona deudora deberá pagar al cabo de un año considerando una tasa de interés a 5% compuesto continuamente y el monto exacto al finalizar un año, considerando una tasa de interés anual del 5% compuesto 365 veces al año. 15. En la siguiente dirección, encontrarás ejemplos de problemas prácticos que utilizan el valor de la exponencial e para la resolución de los mismos: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1bach/ naturaleza/aplicacionesdelaexponencial/aplicaciones.htm
4.2. FUNCIÓN LOGARÍTMICA Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos o prácticos, susceptibles de modelarse con funciones logarítmicas, utilizando su relación de función inversa de la función exponencial, sus propiedades gráficas y algebraicas y la simplificación de operaciones y expresiones con exponentes y logaritmos.
¿No te has enfrentado alguna vez a algún tipo de expresión matemática parecida a 2 x = 8 donde es necesario determinar el valor de x cuando ésta es un exponente? Por lo general, habrás resuelto ecuaciones de primero y segundo grado pero no cuando la variable es un exponente; comúnmente te enfrentabas a despejes tales que cuando la variable está multiplicando pasa dividiendo o si está sumando pasa restando o viceversa, y hasta te han dicho que cuando existe un exponente entero pasa como la raíz. Si ahora tratas de despejar x de la expresión anterior, ¿puedes obtener con ello su valor? Discútelo con el grupo.
120
Si jugamos a adivinar el valor de x, llegaremos a la conclusión de que su valor es x=3 porque 23 es igual a 8, dado que 23=2•2•2=8. En este caso fue sencillo obtener el valor de x, pero ¿qué sucede cuando el valor de x se convierte en un número racional? Por ejemplo, para la expresión 2x =13 ¿cuál seria el valor de x? Al elevar 23 se tiene que es igual a 8; por otra parte, el resultado de 24 es 16. Podemos concluir entonces que el valor de x se encuentra entre x=3 y x=4. A partir de este problema surgen los LOGARITMOS que nos ayudan a determinar el valor de x en este tipo de expresiones exponenciales. Un poco de Historia En el siguiente texto se muestra una reseña histórica de lo que pudo ser cierto; podría ser que se cambiaron algunos nombres y/o fechas, investígalo en las páginas web que se te indican al final de la misma. ¿Sabías que...? La invención de los logaritmos (palabra de origen griego: logos ( ) = tratado, arithmos ( = números), se debe al matemático escocés John Napier, barón de Merchiston (1550-1617), quien se interesó fundamentalmente por el cálculo numérico y la trigonometría. En 1614 y tras veinte años de trabajo, publicó su obra Logarithmorum canonis descriptio, donde explica cómo se utilizan los logaritmos, pero no relata el proceso que le llevó a ellos.
Un año después, en 1651, el matemático inglés Henry Briggs (1561-1631), visitó a Napier y le sugirió utilizar como base de los logaritmos el número 10. A Napier le agradó la idea y se comprometieron a elaborar las tablas de los logaritmos decimales. Napier muere al cabo de dos años escasos y se queda Briggs con la tarea. En 1618, Briggs publicó Logarithmorum Chiliaes prima, primer tratado sobre los logaritmos vulgares o de Briggs, cuya base es el número 10. Briggs hizo el cálculo de las tablas de logaritmos de 1 a 200 000 y de 90 000 a 100 000. En 1620, el hijo de Napier publicó la obra de su padre Mirifici logarithmorum canonis constructio («Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos») donde ya se explica el proceso seguido por Napier, mediante la comparación de progresiones y la utilización de unas varillas cifradas, llamadas varillas o regletas de Napier, para llegar a sus resultados sobre los logaritmos. Las tablas de los logaritmos decimales de Briggs fueron completadas de 1 a 100 000 en 1628 por el matemático Vlacq. Estos resultados fueron muy bien acogidos por el mundo científico del momento, que no dudó en utilizarlos para la resolución de cálculos numéricos. Frecuentemente los científicos en los tiempos de Napier necesitaban multiplicar o dividir números “grandes”. Obviamente, para estos tiempos no había ni calculadoras ni slide rules, había que hacer los cómputos a mano. Este trabajo era tedioso y dado a cometer errores. Napier descubrió un mecanismo que permitía calcular productos, cocientes, raíces y potencias con relativa facilidad. Algo que podemos decir es que dada la popularidad de las tablas de logaritmos de Napier, él probablemente es el principal responsable del punto decimal que usamos hoy en día. http://www.fisicanet.com.ar/matematica/funciones/ap05_funciones.php
4.2.1. Concepto de Función Logarítmica La función logarítmica de base b es la inversa de la Función Exponencial de base b. Esto es: y=logbx↔ by=x lo cual permite ir de la representación logarítmica a la representación exponencial, y viceversa. Otra notación que se emplea con mayor frecuencia es: Loga N = x se lee «logaritmo en base a de N es igual a x». Por lo tanto, loga N = x equivale a decir que ax = N NOTA: De y= logb x, podemos obtener el valor de la variable “y” que anteriormente se encontraba como exponente.
121
Ejemplo 1. Conviértase cada una de las expresiones exponenciales a la forma logarítmica a) 53 = 125
lo que equivale a decir:
log 5 125=3
b) 16¼ = 2
lo que equivale a decir:
log16 2= ¼
Actividades: 1. Ahora es tu turno para efectuar las conversiones que se indican; te sugerimos comparar al final tus resultados con los de tus compañeros para asegurarte de que lo has hecho bien: c) 81-1/2 = 1/9 d) 70 = 1 e) a√π = z
Ejemplo 2. Convierte de la forma logarítmica a la exponencial, los siguientes incisos:
122
a) log9 (1/3)= (-1/2)
lo que equivale a decir:
9(-1/2) = 1/3
b) log10 (0.01)= - 2
lo que equivale a decir:
10- 2 = 0.01
Logaritmo de un número Las conversiones anteriores nos mostraron como obtener el logaritmo con base 10, sin embargo, es posible calcular los logaritmos tomando una base diferente a la que llamaremos b. Examinemos unos ejemplos: Ejemplo 3. Determine el logaritmo para los siguientes casos: a) log6 (1/6) b) log3 81 c) log7 √7 Al resolver cada uno de los incisos, debemos de transformarlos a la forma exponencial, esto es: a) Si log6 (1/6)=y
esto equivale a decir: por lo tanto:
6y = 1/6, el 1/6 se convierte en 6-1, 6y = 6-1 y así y= -1
Entonces: log6 (1/6)=-1 b) Si log3 81=y esto equivale a decir 3y = 81, descomponiendo en factores el numero 81 tenemos 81=3•3•3•3=34, por lo tanto 3y = 34 y así y=4 Entonces: log3 81=4 2. Te solicitamos que resuelvas el inciso (c) y compares tu resultado con el de tus compañeros. La función logarítmica como inversa de la función exponencial Son ecuaciones equivalentes by = x y y=logb x. Si en la primera ecuación se sustituye “y” por logb x, se obtiene: b log x b=x Donde: b>0, b≠1 y x>0 Se observa que un logaritmo es un exponente; esto es, logb x es el exponente al cual b debe ser elevado para obtener x. Asimismo, si x=by se sustituye en la expresión y= logb, se tiene que y=logb (by). Ejemplo: Téngase presente lo siguiente: si 52 = 25, entonces: 5log25= 25. Lo cual nos indica que el exponente 2 es igual a Log5 25. Gráfica de la función logarítmica De lo anterior se deriva lo siguiente: Supóngase que f(x) es igual a bx , o bien y= bx, y g(x)=logbx, entonces: f(g(x))=f(logbx)= blogbx =x y g(f(x))= g(bx) = logb bx = x Entonces g(x) es la función inversa de f(x), lo que nos permite ahora considerar a g(x) como la función. Ahora vamos a graficar las funciones: a) f(x)=2x, o bien, y=2x b) g(x)=log2 x, o bien, y= log2 x, que de otro modo sería, 2y =x. Observa que se han invertido las variables en y=2x y en x=2y.
123
3. Completa las siguientes tablas, grafica en tu cuaderno los datos y en las gráficas que se te muestran a continuación, indica dentro de los rectángulos a quién pertenece si a f(x) o a g(x). f(x)=2x 0.0625
x -4 -3
x 0.0625
0.25 0.5 1
-1 0
0.25 0.5 1
4 8
2
4 8 16
4
g(x)=log2 x (2y = x) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
18 16 14 12 10 8 6 4 2
124
0 -5
-4
-3
-1
-2
0
1
2
3
4
12
14
16
5
5 4 3 2 1 0 0 -1 -2 -3 -4 -5
2
4
6
8
10
18
4. Si se grafican ambas en una sola, ¿Qué puedes observar? Escribe tus conclusiones: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Dominio y rango de la función logarítmica 5. Traza las gráficas correspondientes a los siguientes pares de funciones en una hoja por par y obtén el dominio y rango de las funciones logarítmicas: a) y=1.3x, y=log1.3 x d)y=(1/4)x, y=log(1/4) x
b) y=4x, y=log4 x e) y=(1/e)x, y=log(1/e) x
c) y=ex, y=loge x f) y=(1/2)x, y=log(1/2) x
6. El Dominio del logaritmo y=logb x es: _____________________________________. ¿Es verdad que el Rango de la función logarítmica de base b son todos los valores desde -∞> g(x) >+∞?, justifica tu respuesta: _______________________________ 4.2.2. Logaritmos Comunes y Naturales Los logaritmos Comunes o logaritmos de Briggs están definidos para cualquier base positiva distinta de 1, pero los más utilizados son los de base 10 también conocidos como logaritmos decimales. Los logaritmos con base e ≈ 2.7182 son llamados logaritmos Naturales o logaritmos Neperianos. El logaritmo natural se denota por Ln (leído “ele-ene”), loge x y Ln x denotan el logaritmo natural de x. y
4 y=Log1.5x
3 2
y=Logex=In x 1
y=Log5x x
-1
2
1
3
4
125
-1
-2
Representación gráfica de los logaritmos comunes y naturales.
Comencemos por obtener el valor de los logaritmos de base 10. Si 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000 105 = 100000
entonces entonces entonces entonces entonces entonces
log10 1=0 log10 10=1 log10 100=2 log10 1000=3 log10 10000=4 log10 100000=5
¿Cómo se obtienen los logaritmos decimales con tu calculadora? Log10 1 podemos escribir log 1, con tu calculadora científica se utiliza el siguiente procedimiento
Log
1
=
Log1010 se escribe log 10 en tu calculadora científica así:
10
Log
=
Log10100 se escribe en la calculadora científica de la siguiente forma:
Log
100
=
Para obtener Log10 4 podemos escribir log 4 en tu calculadora científica así:
Log
=
4
y se obtiene 0.60205…
7. De la misma manera que se te mostró, determina los siguientes logaritmos y compára tus resultado con los de tus compañeros:
126
a) Log10 50 = Log 50 = b) Log10 98.56 = Log 98.56 = c) Log10 40 = Log 40= d) Log10 0.15 = Log 0.15= e) Log10 (1/3) = Log (1/3)= *f) Log10 (-5) = Log (-5)= 8. *¿Esta última se podrá obtener? Si no es así, da una explicación y trata de concluir. Cambio de base Se usa para obtener los logaritmos comunes de base b positiva, basándonos en la base 10, observa el siguiente ejemplo: ¿Cómo se obtienen los logaritmos comunes con tu calculadora? Log25, se calcula de la siguiente manera: Log2 5=
0.6989 Log10 5 Log 5 = = =2.3219 0.3010 Log10 2 Log 2
Con la calculadora deberás seguir este procedimiento:
Log
5
Log
2
=
9. De la misma manera que se te mostró, determina los siguientes logaritmos y compáralos con tus compañeros: a) Log3 50 = b) Log2.5 98.56 = c) Log6 40 = d) Log100 0.15 = e) Log-3 (1/3)= f) Log3 (-0.5)= Ejemplo de un problema en el que se emplean los logaritmos: En un cierto cultivo de bacterias se tienen inicialmente 2000 de ellas; después de t minutos se tendrán f(t) bacterias, donde f(t)=2000 e0.035t que es la función de comportamiento de reproducción. ¿En qué momento se tendrán 10,000 bacterias? A los t minutos se tendrán 10,000 bacterias, esto es: 10,000=2000 e0.035t despejando 10000/2000=e0.035t 5=e0.035t a lo que equivale decir: loge 5=0.035t, o bien, 0.035t =loge 5 Basándonos en los logaritmos de base 10 se tiene: 0.035t=(log 5 / log e) 0.035t=(0.6989/log2.7182) 0.035t=(0.6989/0.4342) 0.035t=1.6096 Despejando t: t=(1.6096/0.035) t=45.9893 t≈ 46 minutos Con esto regresamos a lo que se había comentado al principio de este tema en la expresión 2x = 8 ¿Cómo se obtiene el valor de x cuando no es fácil jugar al tanteo? Esto se realiza como el problema anterior; veamos nuevamente cómo se determinaría.
127
Si 2x = 8 esto equivale a decir: Log2 8=x, o bien, x= Log2 8 Por lo tanto: x = log8/log2 x = 0.9030/.3010 = 3 10. Ahora determina los valores de las variables para cada caso y compara tus respuestas con tus compañeros para cerciorarte de que lo has hecho bien: a) 7x = 2
b) 2x =7
c) ex-5 = 8
d) 42x+3 = 16
e) Un cultivo de bacterias tiene 105 organismos y duplica su población cada 4 horas. ¿Cuándo contendrá 1012 bacterias?
4.3. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Objetivo temático: Resolverás ecuaciones simples que contengan expresiones logarítmicas y exponenciales, aplicando las propiedades de exponentes y logaritmos y su relación como operaciones inversas.
128 En el modelado de diversos fenómenos se presentan con frecuencia ecuaciones exponenciales o logarítmicas, que se denominan así porque, en efecto, dentro de su estructura tienen algún o algunos términos que son funciones exponenciales o logarítmicas. Por ejemplo, la expresión: 32-x2 = 3 Es a todas luces, una ecuación exponencial, mientras que la expresión: log(x+6) = 1 + log(x-3) Es una ecuación logarítmica. En este apartado veremos los métodos básicos para darles solución. Métodos básicos de resolución algebraica para ecuaciones exponenciales y logarítmicas Iniciaremos por la explicación de los métodos que se aplican para la resolución de las ecuaciones logarítmicas partiendo de las propiedades de los logaritmos.
Actividades: 1. Ubica en los medios que tengas a tu alcance las propiedades de los logaritmos y anótalas en el siguiente espacio:
2. Estudia atentamente la resolución de los ejemplos que se muestran. Escribe cada una de las expresiones en términos de logaritmos: a) log x2y3z4 = Solución: log x2y3z4 = log x2+ log y3+ log z4 = 2log x+ 3log y + 4log z
129
b) log (x/(yz3)) = log x – log(yz3) Pero: log (yz3) = (log y + log z3) = (log y + 3logz) Uniendo todo y cambiando los signos según corresponde: log (x/(yz3)) = log x – log y – 3logz. 3. Ahora es tu turno. Escribe la siguiente expresión en términos de logaritmos: xy3 2z4 4. Revisemos, ahora, algunos ejemplos de resolución de ecuaciones exponenciales: 3
Ejemplo 1 Sea 3x = 7 Para poder obtener el valor de x, tomaremos de ambos lados el logaritmo: log 3x = log 7
xLog 3= Log 7 Despejando se tiene: x= Log 7/ Log 3 x= 1.7712 Ejemplo 2 Sea 52x-1 = 7x+2 Se obtienen logaritmos de ambos lados: log 52x-1 = log 7x+2 (2x-1) log 5 = (x+2) log 7 Se desarrolla la multiplicación en ambos lados: 2x log 5 – log 5 = x log 7 + 2 log 7
130
Se agrupan términos semejantes y se concluye con la solución: 2x log 5 – x log 7 = 2 log 7 + log 5 x (2Log 5 – Log 7) = 2Log 7 + Log 5 x = (2Log 7 + Log 5)/ (2Log 5 – Log 7) x= 4.3216
5. Ahora resuelve los siguientes incisos y compáralos con tus compañeros para cerciorarte que están correctos: a) 2x-1 = 0.3 b) 4x = 32x-1
Hemos terminado la última Unidad de nuestro curso de Matemáticas IV. Esperamos que hayas aprendido mucho y que te sea de gran utilidad para tu vida académica y personal. ¡Adelante y mucho éxito!
¿Qué he aprendido? I. Elige la respuesta correcta. 1. ¿La diferencia que existe entre las funciones polinomiales y las exponenciales es? a) No hay diferencias. b) Siempre crecen las polinomiales. c) Las exponenciales, por lo general, crecen o decrecen de modo rápido. d) Las exponenciales son parábolas y las polinomiales son líneas rectas. 2. ¿Qué ocurre al acercarse los valores de x al infinito en una función exponencial que decrece? a) Deja de existir la función. b) Desaparece la función. c) La función se vuelve, también, infinita. d) El valor de la función se aproxima a cero. 3. ¿Qué ocurre al acercarse los valores de x al infinito en una función exponencial que crece? a) Deja de existir la función. b) Desaparece la función. c) La función se vuelve, también, infinita. d) El valor de la función se aproxima a cero. 4. Las funciones exponenciales sólo crecen cuando su base: a) Es cero. b) Es mayor que la unidad. c) Es igual a la unidad. d) Es negativa.
131
5. Las funciones exponenciales sólo decrecen cuando su base: a) Adopta un valor mayor que cero y menor que la unidad. b) Es mayor que la unidad. c) Es igual a la unidad. d) Es negativa. II. Estudia cada aseveración y califícala como falsa (F) o verdadera (V) según corresponda: 1. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = b° = 1
(
)
2. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = b¹ = b
(
)
3. La función exponencial es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.
(
)
4. Si la base de la potencia es mayor que 1, b>1, la función exponencial es creciente.
(
)
5. Si la base de la potencia es menor que 1, b<1, la función es decreciente.
(
)
6. Si logb N = x equivale a decir que N = x
(
)
7. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b° = 1
(
)
8. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb b = 1, ya que b¹ = 1
(
)
ponente de la potencia: logb bm = m, ya que bm = bm
(
)
10. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero
(
)
b
9. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al ex-
11. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0
)
es positivo si la base b del logaritmo es b<1.
(
)
13. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es b>1.
(
)
14. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1.
(
)
(
)
(
)
base de la potencia. Logb Xn = nlogb X
(
)
18. Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales.
(
)
19. Los logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, son llamados logaritmos comunes.
(
)
20. Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales
(
)
(
)
22. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0
)
es negativo si la base b del logaritmo es b>1. 12. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0
15. El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos, esto es: logb(X1•X2 ... Xn) = logb X1 + logb X2 + ... + logb Xn 16. El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos logb X/Y = logb X - logb Y
el logaritmo del denominador.
17. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la
132
21. El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. Es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión n
n
1 1 1+n , es decir, lim 1+ n =e n→∞
es positivo si la base b del logaritmo es b<1. 23. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es b>1.
(
)
24. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1.
(
)
(
)
todos los números reales.
(
)
27. El rango de una función exponencial es el conjunto de todos los números positivos.
(
)
25. Una Función Exponencial se aplica a la química y física. Algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que el elemento decrece o decae. 26. El Dominio de una función exponencial de base b, cuando b>1 es el conjunto de
III. Resuelve lo que proponemos a continuación: 28. log2x = 4 29. log4x = 6 30. log2(5x – 3) = 5 31. log x + log 5 = 2 32. log3x + log3(2x + 3) = 2 33. 4x = 166.58 34. 103x – 2 = 37 35. 53x = 148 36. Supongamos que para calcular la superficie de un cuerpo se utiliza la siguiente expresión: log A = -2.144 + 0.425 log m + 0.725 log h, donde A representa el área en metros cuadrados, m el peso en kilogramos y h la altura en centímetros. Calcula: a) El área de la superficie de una persona que pesa 80 kg y mide 170 cm. b) La altura de una persona si se sabe que el área de su superficie es de 2.046 m2 y su peso es de 90 kg. c) El peso de una persona con altura de 152 cm y cuya área de superficie es de 1.56 m2. d) El área de superficie de una persona que mide 165 cm y pesa 73 kg 37. Un biólogo realiza un estudio sobre las moscas y después de estudiar su crecimiento obtuvo la siguiente expresión: N = 400(1.0247)t Donde N es el número de moscas y t es el tiempo en días. Suponiendo que el experimento comienza un lunes, ¿cuántas moscas habrá el domingo siguiente?
133
EL CRECIMIENTO EXPONENCIAL Imagina por un momento que, ahora que has terminado el curso de Matemáticas IV y eres ducho en el manejo de las funciones exponenciales, un empresario está interesado en ofrecerte trabajo y te dice lo siguiente:
“Comenzarás el primer día de enero y deberás trabajar fuertemente a lo largo del día. El primer día te pagaré tan sólo un centavo, pero ofrezco duplicarte el sueldo cada día durante el mes de enero.” “¿Aceptas?” Para poder saber si aceptas o no, debes plantear la ecuación que represente el ofrecimiento que te hacen y posteriormente darle solución. Te invitamos a que lo hagas y si te cuesta mucho trabajo pide la ayuda de tu asesor. Consulta la respuesta al final del Cuadernillo y a ver qué opinas.
134
Existen muchos ejemplos de crecimiento exponencial que son de gran interés. Un caso bien conocido, dentro del campo de la Biología, se encuentra en los cultivos bacterianos; otro que tal vez no conozcas pero que hace algunos años causó encendidas polémicas es la llamada “catástrofe maltusiana” que se refiere al crecimiento desordenado de la población humana y a las terribles consecuencias que esto acarrearía. Precisamente basándose en estas ideas se escribió el argumento de una película –ya antigua, pero muy interesante– que lleva por nombre Cuando el destino nos alcance. Te invitamos a profundizar en estos temas, teniendo en mente que las funciones que has estudiado no se quedan sólo en la teoría sino que tienen aplicación cotidiana y son una herramienta poderosa para el análisis de diversos fenómenos.
RESPUESTAS
1
I. Realiza lo que se te pide 1. Define relación y cita tres ejemplos. 2. Define función y cita tres ejemplos. 3. Explica el significado del símbolo “f(x)”. 4. ¿Qué es una variable independiente o argumento? 5. ¿Qué es una variable dependiente o función? 6. ¿A que se le denomina intervalo de una variable? 7. Explica que es el dominio y el rango de una función.
II. 1. RELACIÓN 2. FUNCIÓN 3. FUNCIÓN 4. FUNCIÓN 5. FUNCIÓN
f(x)=
f(x)=
1 x2 - 4
x4 (x + x - 6 2
{x|x ≠ 2 y -2}
{x|-3 < x < 2}
III. Elabora un diagrama sagital para cada uno de los siguientes conjuntos de pares ordenados y auxíliate de el para determinar cuales representan una función. 1. {(1, 2), (2, 2), (3, 2)} 2. {(5/2, 1), (2/5, 2), (5/2, 2)} 3. {(a, b), (b, c), (c, d)} 4. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)} 1.
g(x)= x + 3
{x|x ≥-3}
IV. Determina el dominio de las siguientes funciones, represéntalo en una recta y por medio de notación de intervalos y traza la gráfica correspondiente. f(x)=4x-2 Reales
4
h(x)= 8 - 5x
{x|x ≤ 8/5}
135
1 2b f( b - 2 )= 2b = b - 2 2b b-2 2. f(x+h) - f(x)= f(x+h) =
V. Clasifica las siguientes funciones como polinomiales, racionales, irracionales o trascendentes. polinomial I(z)= (2z+3)2 g( )=sen ( 2+2 +3)
trascendente
-1
h(x)=(x+1)(x - 1)
racional
f(x)=3x2 - 2x+x1/2
irracional
y= logx3
trascendente
h x2+xh
1 x+h
1 f(x) = x 1 1 x - x+h h x+h - x = x2+xh = x2+xh VIII. Grafica las siguientes funciones, determina si tienen o no inversa y, en caso de tenerla grafícala también. f(x)=(x - 3)x2 No tiene inversa
136 VI. Para la función f(x) = x3 - 7x2 - 6x + 42 encontrar f(1), f(0), 3f(-1), f(z+2) f(1) = 30 f(0) = 42 3f(-1) = 120 f(z+2) =z3+7z2+10z+42 VII.Para la función f(x)= 1 demostrar: x 1.Que f(2) - f(b)=f ( 2b ) b-2 2.Que f(x+h) - f(x)= -
f(x)=x3+3x2+3x
h x2+xh
1 1. f(x)= x 1 f(2)= 1 f(b)= b 2 1 1 b-2 2 - b = 2b
f(x)=3 x No tiene inversa.
IX. Para la siguiente función compuesta traza la gráfica correspondiente
f(x) =
-2 -x2+2 x2 -x2+2 -2
si si si si si
x < -2 -2 ≤ x <-1 -1 ≤ x ≤ 1 12
137
RESPUESTAS
2
En esta ocasión los ejercicios no traen respuesta sugerida, para que uses tu razonamiento libremente y no enfocándote al resultado. Te sugerimos que los problemas de aplicación trates de resolverlos tu sólo, luego comparen sus razonamientos en equipo y posteriormente los compartan con sus compañeros de clases. Recuerda que puedes pedirle apoyo a tu asesor.
138
3
RESPUESTAS
I. 1. Dr=IR-{-1,1} 2. Dr=IR-{-1,1} 3. Dr=IR, pues x2+2 > 0 4. Dr=IR, ya que x2+1 > 0 5. Dr=IR, ya que (x2+2)( x2+1) > 0 6. Dr=IR 7. Dr=IR , ya que los ceros de x2-1 son x = -1, 1 8. Dr=IR, ya que x3 -1=(x2+x+1)(x-1)y x2+x+1> 0 9. Dr=IR, ya que x3+1=(x2-x+1)(x+1) y x2-x+1>0 10. Dr=IR, ya que los ceros de x(x3-1) son x = 0, 1 11. Dr=IR 12. Dr=IR-{x IR x+1=0}=IR-{-1}
8.
4 x4+1 x+1 =x- x - x+x+1 =x-1- 3 3 3 x(x - 1) x(x - 1) x(x - 1)
con x-1 como asíntota oblicua y fracción propia;
x+1 x(x3 - 1) Asíntota vertical los ceros de x(x3-1), a saber x=0, 1
III.
II. 1. Asíntotas verticales x2-1 = 0, x = 1, -1 Asíntotas horizontales n
1
4. n=2, m=2, asíntota horizontal y= 1=1 5. p(x), q(x) tienen como factor común x+1, entonces 1 n=2, m=3 y la asíntota horizontal es y= =1.
1
La asíntota vertical es x=1 pues es el cero de q(x). Además el factor común x+1 produce un hueco en x=-1 en el trazo de la gráfica. 6. n=1, m=3 asíntota horizontal y = 1 y q(x) no tiene ceros. 7.
Asíntota vertical los ceros de q(x), a saber x=1 ya que x2+x+1 es positiva.
1. Los ceros de r(x) producen las asíntotas verticales y son precisamente los valores que se excluyen en la obtención del dominio de la función, es por esto que la gráfica no puede cortar a las asíntotas verticales. 2. Si la gráfica tiene dos asíntotas horizontales,se tienen las condiciones n
Si n =m con asíntota horizontal y =1 x-1 x2+x r(x)=1+ x2+ 1 = 2 x+1
x4+1 1 x+1 x3 - 1+1 =x + 3 =x+ 3 3 3 x -1 x -1 x -1 x -1
y 3 2
La asíntota oblicua es x pues se cumple que: n = m+1 y fracción propia; . x+1 x3 - 1
1 x -3
-2
1
-1 -1 -2 -3
2
3
139
Podemos generalizar para que las gráficas se corten en (a,a), definiendo r(x) como: x- a r(x)=a+ 2 x+1 y=
con asíntota horizontal
a =a 1
x-0 x Si r(x)=0+ x2+ 1 = 2 , n
En el siguiente ejemplo se muestra la intersección de las gráficas en los puntos(1,1),(-1,-1). La función racional es dada por: x2 - 1 r(x)=x+ 4 x+1 x2 - 1 con la fracción propia 4 , o en forma equix+1 valente: x5 +x2+x - 1 r(x)= x 4+ 1
3 y
2
3
1
2
x -3
1
-1
-2
2
1
3
x
-1 -3
-2
-2
2
3
-1
-3
-2
4. La asíntota oblicua ax+b esta dada por la relación
140
1
-1
s(x) r(x)=ax+b+ s(x) donde= es una fracción q(x) q(x) propia. Si se requiere que se intersecten las gráficas, basta con evaluar r(x) en los ceros de s(x). Considérese el ejemplo dado por: x-1 1-1 r(x)=x+ x2+ 1 y r(x)=1+ 2 1 +1
-3
A continuación damos un ejemplo en el que las gráficas no se cortan. Considérese a la función racional dada por: -1 r(x)=x+ 2 x+1 -1 Con fracción propia: 2 x+1 Donde s(x) no tiene ceros. y 3
y el punto en común(1,1)
2 1 x -3
-2
-1
y 3
-2
2
-3
1 x -3
-2
1
-1 -1
1
-1
2
En estos tres ejemplos:
3
r(x)=
-2
x3+2x2 - 1 x 2+ 1
r(x)=
x5+x2 +x- 1 x 4+ 1
r(x)=
x3 x +1
-3
2
2
3
Se aprecia que la asíntota es la misma función polinomial x y que las gráficas pueden intersectarse en un punto, en dos o no cortarse. En el ejemplo: r(x)=
x4+2x - 1 x 3+ 1
x-1 x+1
=x+
3
nos dos asíntotas verticales. 9. No existe condición alguna sobre el grado de los polinomios que conforman a la función racional y los ceros de q(x). Se puede tener una función racional con asíntotas verticales y sin asíntotas horizontales, o en su defecto, con asíntotas horizontales y sin asíntotas verticales.
las asíntotas son las rectas y = x, x = -1 con fracción propia: x-1 1-1 r(1)= 3 3 x+1 y x+1
10. Debido a que las asíntotas oblicuas no se obtienen mediante los ceros de q(x), ambas asíntotas se pueden tener sin que una condicione a la otra.
Por lo que el punto en común es (1,1)
11. Debido a que la asíntota oblicua es un polinomio y su dominio es todo IR, la intersección entre las asíntotas siempre es posible ya que los ceros de q(x) pertenecen al dominio del polinomio de primer grado (la asíntota oblicua).
y 3 2 1 x -3
-2
1
-1
2
3
-1 -2
12. Ya que ninguna de las asíntotas son rectas paralelas, éstas se deben de intersectar.
141
-3
5. Si se pide que se cumpla n > m+1 entonces n-m>1 pero 1>0,así n-m>0 y n>m por lo tanto no hay asíntota oblicua ni horizontal. Si además se pide que q(x) no tenga ceros, tampoco tiene asíntota vertical. 6. Si se pide que el polinomio q(x) no tenga ceros, entonces la función racional no tiene asíntotas verticales. Ejemplos de q(x) son los polinomios cuadráticos ax2+bx+c tales que b2-4ac<0 . 7. Si se tuvieran ambas asíntotas se cumplirían las condiciones n=m+1 y n =m. Por tanto n= m+1 y 0=1 contradicción. Si se tuviera el caso n=m+1y n < m. Entonces m+10,entonces r(x) tiene al me-
13. La condición que se le debe pedir a los polinomios que conforman a la función racional para que no tenga ni asíntotas oblicuas ni horizontales está dada por n>m+1. Además, para que no tenga asíntotas verticales, q(x) no debe tener ceros. 14. En la primera función después de cancelar el factor x2+1, éste siempre es positivo, es decir, nunca se hace cero para cualquier valor de x, por lo que la gráfica no tiene huecos. Tampoco tiene asíntotas pues al simplificarse mediante la cancelación del factor común, el cociente es el polinomio x3+x. En la segunda función, el factor común es x+1, por lo que en la gráfica hay un hueco en x = -1. La simplificación produce un polinomio de segundo grado x2+x que no tiene asíntotas y cuya gráfica se le ha suprimido el punto de coordenadas (-1, 0)
15. La respuesta es no. Ya que la asíntota oblicua ax+b debe cumplir con la relación: r(x)=ax+b+
s (x) q (x)
3. c =
0.2x2+10x2 +5 x
c = x
cx - 0.2x2 - 10x - 5=0, x= -
Donde s (x) es distinto de cero. Recuerda que los valores de m,n se obtienen después de cancelar los factores comunes en p(x) y q(x).
5c =50+2x
IV. 1. Obsérvese según la gráfica y en la tabla de valores, que la concentración aumenta si 0
x2 =25→x=5
y 3 2 1 x -3
-2
1
-1
2
3
-1 -2 -3
142
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y1(x) 0 0.33333 0.23529 0.16364 0.12403 0.0996 0.08314 0.07133 0.06244 0.05552 0.04997
-10+c b =- 0.2 2a
0.2x2+10x2 +5 50+2x = x 5
P
T
2
1
3
4
5
6
7
8
y 22 20 18 16 14 12
2. Para obtener el valor de t se utiliza la relación b t= 2a p= t →4p+pt2 - t=0 4+t2 b 1 Si t= entonces t= 2a 2p t 1 Por lo que p= = 4+t2 2t Así, 4+t2=2t2 y t=2 2 p(2)= 4+22 =0.25
10 8
0.2x+9.8
6 4 2
x 2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22
RESPUESTAS
4
I. 1. c) 2. d) 3. c) 4. b) 5. a) II. Las aseveraciones falsas (F) o verdaderas (V). 1. v 2. v 3. v 4. v 5. v 6. f 7. v 8. f 9. v 10. v 11. v 12. v 13. v 14. v 15. v 16. v 17. v 18. v 19. v 20. v 21. f 22. v 23. v 24. v 25. v 26. v 27. v
III. Resuelve las siguientes ecuaciones: 28. x = 16 29. x = 4096 30. x = 7 31. x = 20 32. x = 3/2 33. x = 3.69 34. x = 1.1894 35. x = 1.035 36. A = 1.91 m2 h = 174 cm m = 60 kg A = 1.8 m2 37. 463 moscas
Sección Quiero saber más: Si aceptas, habrás ganado, al final del mes de enero, !!!más de 21 millones de pesos!!!
143
MATEMÁTICAS IV Cuadernillo de Procedimientos para el Aprendizaje Derechos Reservados Número de registro en trámite 2007 Secretaría de Educación Pública/Dirección General del Bachillerato
