Libro Guia Aritmetica y Algebra

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

I I1

CENTRO PREUNIVERSITARIO

Aritmética y Algebra

U P

1 0 2

Lic. VICTOR YAPUCHURA PLATERO

C

E

TACNA - PERU

ii

Aritmética y Algebr

Centro Pre Universitario de la UNJBG

I I1

1 0 2

DERECHOS RESERVADOS – COPYRIGHT Centro Pre Universitario de la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann – Tacna

Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, grabada en sistema de almacenamiento o trasmitida en forma alguna, ni por cualquier procedimiento, ya sea electrónico, mecánico, reprográfico, magnético o cualquier otro sin autorización previa y por escrito del Centro Pre Universitario

U P

Exclusivo para enseñanza en los claustro de la U.N.J.B.G.

C

E

iii

Indice

INDICE Päg.

I I1

I TEORÍA DE CONJUNTOS 1. Conjunto 2. Relación de pertenencia 3. Determinación de conjuntos 4. Clases de conjuntos 5. Relaciones entre conjuntos 6. Representación grafica de conjuntos 7. Operaciones entre conjuntos Problemas resueltos (conjuntos) Problemas propuestos

1 1 1 1 2 3 4

1 0 2

II SISTEMA DE NUMERACIÓN 1. Base de un sistema de numeración 2. Sistema decimal: 3. Principales sistemas de numeración 4. Escritura de un número de cualquier sistema de numeración 5. Escritura literal de los números 6. Número capicúa 7. Descomposición polinómica de un número 8. Descomposición en bloques 9. Conversión de números a diferentes bases 10. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad 11. Casos especiales de conversión. Problemas resueltos (sistemas de numeración) Problemas propuestos CUATRO OPERACIONES 1. Suma o adición 2. Resta o Sustracción 3. Multiplicación 4. División:

E

U P

Problemas resueltos (cuatro operaciones) Problemas propuestos

C

6 13

15 15 15 16 16 16 16 17 17 19 19 20 25 26 26 26 28 28 29 34

iv



III PROPIEDAD DE LOS NÚMEROS I. DIVISIBILIDAD: 1) Divisibilidad de Números: 2) Notación y representación de los múltiplos de un número: 3) Operaciones y Propiedades: 4) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales 5) Criterios de divisibilidad II. NÚMEROS PRIMOS 1. Conceptos Básicos 2. Teorema Fundamental de la Aritmética 3. Estudio de los Divisores de un número entero (N) III. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 1. Máximo Común Divisor (MCD) 2. Mínimo Común Múltiplo (MCM) 3. Propiedades de MCD y MCM 4. Casos especiales

IV NÚMEROS FRACCIONARIOS 1. Clasificación A. Por comparación de sus términos B. Por su denominador: 2. MCD y MCM de Números Fraccionarios 3. Número Decimal

U P

Problemas resueltos (números fraccionarios) Problemas propuestos

V RAZONES Y PROPORCIONES I. RAZONES II. PROPORCIONES Proporción Aritmética Proporción Geométrica Promedio: Propiedades Problemas resueltos (razones – proporciones y promedios) Problemas propuestos

C

E

I I1

1 0 2

Problemas resueltos (propiedad de los números) Problemas propuestos

36 36 36 37 37 40 43 43 45 45 46 46 48 49 49 50 56

58 58 59 61 61 63 70

72 72 72 73 74 75 76 85

v

Indice VI REGLA DE TRES 1. Regla de 3 simple: 2. Regla de 3 Compuesta PORCENTAJES Aplicación:

87 88 89 90

I I1

Problemas resueltos (regla de tres y porcentajes) Problemas propuestos VII TEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONES EXPONENCIALES Y VALOR NUMÉRICO Teoría de exponentes Leyes de exponentes Ecuaciones exponenciales Problemas resueltos Problemas propuestos

1 0 2

VIII POLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES, PRODUCTOS NOTABLES. 2. Grado de expresiones algebraicas 3. Polinomios especiales 4. Operaciones con expresiones algebraicas Productos notables a) Binomio al cuadrado: b) Producto de una suma por su diferencia c) Binomio al cubo d) Trinomio al cuadrado e) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma o diferencia de cubos. f) Producto de dos binomios que tienen un término común g) Identidades de Legendre h) Identidades de Lagandre

E

U P

Problemas resueltos Problemas propuestos

C

91 97

99 99 101 101 108

110 111 112 112 112 112 113 113 113 113 113 113 113 113 120

vi



IX DIVISIÓN, TEOREMA DEL RESTO, COCIENTES NOTABLES I. División algebraica Definición Casos de la División: Método de Ruffini Teorema del resto Cocientes notables Determinación de un termino cualquiera de un C.N.

I I1

Problemas resueltos Problemas propuestos X FACTORIZACIÓN: DIVERSOS MÉTODOS Factorización Métodos de factorización 1.- factor común 2. Método de identidades 3. Método del aspa a) Aspa simple b) Aspa doble 4. Método de divisores binomios 5. Método de artificio de calculo a) Reducción a diferencia de cuadrados b) Método de sumas y restas c) Cambio de variable: Problemas resueltos Problemas propuestos

U P

122 122 122 124 124 124 125 126 132

1 0 2

134 134 134 135 136 136 137 138 139 139 140 140 141 145

XI MÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRACCIONES, SIMPLIFICACIÓN I. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios 147 II. Fracciones algebraicas 147 III Simplificación de fracciones 148 Operaciones con fracciones algebraicas 148 * suma y resta: 148 * multiplicación y división : 148

E

Problemas resueltos

C

149

vii

Indice Problemas propuestos

156

XII RADICACIÓN, VERDADERO VALOR, ECUACIONES E INECUACIONES I. Radicación de expresiones algebraicas Leyes de signos Raíz de un monomio Raíz cuadrada de un polinomio Radicales dobles Racionalización II. Verdadero valor de fracciones algebraicas III. Ecuaciones Clasificación de las ecuaciones Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado Discusión de las raíces de la ecuación de segundo grado Propiedades de las raíces Formación de una ecuación de segundo grado.IV. Desigualdades e inecuaciones Método de los puntos críticos para resolver inecuaciones:

158 158 158 159 160 161 164 166 166 167 167 168 168 168 168 168

Problemas resueltos Problemas propuestos

171 178

1 0 2

XIII VALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONES Valor absoluto Relaciones 1. Pares ordenados, producto cartesiano 2. Relación 3. Dominio y rango de relaciones 4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano Funciones 1. Funciones: 2. Dominio y rango de una función 3. Gráfica de funciones Composición de funciones

E

U P

Problemas resueltos Problemas propuestos BIBLIOGRAFÍA

C

I I1 180 182 182 182 183 183 183 183 184 185 187 187 189 191

PRESENTACIÓN

I I1

El Centro Pre-Universitario de la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann que inició sus actividades el 04 de enero de 1988 gracias al empuje de sus autoridades y un grupo de docentes

Joven estudiante pensando en tu preparación para el ingreso a la Universidad es que se ha preparado este texto, que nos ha demandado bastante esfuerzo humano y material, y que es posible que contenga errores, pero creemos que es así como se avanza, y en el camino se irán corrigiendo. Ahora te planteamos el reto de que sepas responder ante este esfuerzo

Ing. Salomón Ortiz Quintanilla Jefe del Centro Pre-Universitario de la UNJBG

C

E

U P

1 0 2

I TEORIA DE CONJUNTOS

I I1

1. CONJUNTO

Agrupación de elementos que tienen características similares. Para simbolizar conjuntos se emplean letras mayúsculas: A, B, C, ...... los elementos del conjunto se simbolizan con letras minúsculas: a, b, c, ...... por ejemplo:

A  c, e, p, u 2. RELACION DE PERTENENCIA

1 0 2

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de ella. Ejm: Si

A  a, b, c, d , e U A a d g

e

b c f

a A c  A f  A g A

3. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

a) Extensión: Un conjunto está por extensión cuando se observa todo y cada uno de sus elementos.

U P

Ejm: Si A  1, 2, 3, 4

b) Comprensión: Un conjunto está determinado por comprensión cuando sus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.

 x  , x  4

A x

E Ejm: Si

4. CLASES DE CONJUNTOS

C

b) Conjunto Unitario: Conjunto que tiene un solo elemento. -1 -

2

Aritmética y Álgebra


 x  ,

Ejm:

A x



 4x6

A  5

I I1

c) Conjunto Vacío: Conjunto que no tiene elementos.

 x  ,

Ejm:

A x



 4x5

A    

d) Conjunto Finito: Es aquel cuyo elementos es limitado; es decir se puede contar desde el primero hasta el ùtlimo.

 x  ,

Ejm:

A x

 3  x  150

A  3, 4, 5, ..... , 1 50

1 0 2



e) Conjunto Infinitivo: Cuyo número de elemento en ilimitado



A  xN f)

x 5

 6, 7, 8, 9....

U P

Conjunto Universal: Es aquel conjunto que contiene todos los demás conjuntos, simbolizados por la letra U.

5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Inclusión: Se dice que A esta incluido en el conjunto B cuando todo elemento de A, pertenece a B. Ejm: Sea

C

E

A  1, 2, 3, 4, 5, 6 B  3, 4, 6

Luego B  A pero

A  B

A  B ,

Teoría de Conjuntos

3

b) Conjuntos Iguales: Dos conjuntos son iguales si tiene los mismos elementos. Ejm: Sea

A  a, b, c, 3

B  3, b, a, c Luego

C=

A  B pero

1,

I I1

2, 3, 4

AC

c) Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común. Ejm:

A  1, 2, 3, 4

1 0 2

B  5, 6, 7, 8

A y B son disjuntos

d) Conjunto Potencia: Conjunto formado por todos los sub conjuntos que es posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es potencia del conjunto A. Ejm: Si: A = 2, 3, 4  Hallar la potencia del conjunto A. Entonces

    P( A )  2, 3, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 2, 3, 4,     Subconjuto s del A Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir: 3 Que el conjunto P(A) tiene: 2 = 8 subconjuntos

U P

=>

número de subconjuntos de A=2n(A)

Donde: n(A): número de elementos A

E

6. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS Diagramas de Venn – Euler: Consiste en graficar mediante círculos, elipses, rectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conjun-

C

4



tos dados. U

A

c

c

B a

b

d

I I1

e

7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Unión (A  B) : Conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al conjunto A y/o a B.

A  B  x x  A  x  B  U

A

B

1 0 2

Propiedad:

*A  B  B A * A  A  B * B  A  B

b) Intersección ( A  B ): Conjunto que tiene como elementos aquellos que pertenecen al conjunto A y B. (elementos comunes a ambos).

A  B  x x  A  x  B U

U P

A

B

Propiedad:

*A  B  B A * (A  B)  A * (A  B)  B

E

* (A  B)  (A  B)

c) Diferencia (A – B): Conjuntos cuyos elementos pertenecen a A pero no al conjunto B.

C

A  B  x x  A  x  B


U

5

A

Propiedad: *A  B  B  A

B

* (A  B)  A

I I1

* (A  B)  B * (A  B)  ( A  B)  A

d) Diferencia Simétrica (A  B): Conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al conjunto ( A  B ) pero no al conjunto ( A  B ).

AB  x x  A  B  x  A  B U

A

1 0 2

Propiedad: * AB  BA

B

* (AB)  ( A  B)

* Si A y B son disjuntos AB  A  B * AA   c

e) Complemento de un conjunto (A’), (A ): Conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto A.

A'  x x  U  x  A

U P U

A

A’

E

Observación:

C

* ( A  B )'  A' B ' * ( A  B )'  A' B '

Propiedad:

* A  A'  U * A  A'   * (A' )'  A * ' U

6



Nota: El cardinal de un conjunto es número de elementos que tiene un conjunto *

n(A  B)  n(A)  n(B)  n(A  B)

*

I I1

n(AB C)  n(A)  n(B)  n(C)  n(AB)  n(AC)  n(B C)  n(AB C) PROBLEMAS RESUELTOS (CONJUNTOS)

1.

Si: A={ 1, {2}, 3} señale la expresión falsa: A) {2}  A B) {{2}}  A C) 3  A D) {1,3}  A

E) {1, {2}} A

Sol.

1 {2} 3

Elementos

1 0 2

En total tenemos 3 elementos en A. Debemos tener presente que si a un elemento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un conjunto. Entonces:  {2}  A es verdadero  {{2}}  A es verdadero  3A es verdadero  {1,3}  A es falso por que {1, 3} no es un elemento de A.  {1, {2}} A es verdadero Rpta.: ( D ) 2.

Sea M P(M). A) 16

U P



Solución:      

B) 18

C) 20

Si m = -3  x = (-3+1) = 4 2 Si m = -2  x = (-2+1) = 1 2 Si m = -1  x = (-1+1) = 0 2 Si m = 0  x = (0+1) = 1 2 Si m = 1  x = (1+1) = 4 2 Si m = 2  x = (2+1) = 9

E

C



 x  m  12 m  Z  3  m  3 . Determinar el cardinal de

2

D) 32

E) 24


7

Por tanto : M = { 0, 1, 4, 9}

nPM    2

n M 

4

 2  16

I I1

Rpta.: A 3.

De un grupo de 72 personas se sabe que 25 de ellas leen revistas; 7 revistas y periódicos; 8 revistas y libros; 15 solamente libros, 2 revistas, periódico y libros; y el número de personas que sólo leen libros y periódicos, es la tercera parte de las personas que sólo leen periódicos ¿Cuántas personas leen periódicos? A) 24

B) 27

C) 31

D) 35

E) 39

72 Revistas (25) 5

12 6

1 0 2

Periódicos

2

3x x

15 Libros

De la fig: 12 + 5 + 2 + 6 + 3x + x + 15 = 72 25 + 4x + 15 =72 4x = 72 – 40 4x = 32 x=8

U P

 leen periódicos:

E

4.

C

Si :

Rpta.: (E)

2 A   x  Z x  5 x  14  0  

¿Cuántos elementos tiene P(A)? A) 0 B) 4 C) 2 D) 1 E) 3

7 + 4x = 7 + 4 x 8 = 7 + 32 = 39

8

Aritmética y Álgebra Sol.:


2

x + 5X – 14 = 0 (x+7)(x–2)=0 x = -7 x=2  A = {-7 , 2}

I I1

nP( A)   2  4 2

Rpta.: (B) 5.

¿Cuáles de los siguientes conjuntos:





A  xR x x 6  0   x 1 B  x  R  1 2  x  1  2 A   x  R x  x  1  0   Son unitarios? A) A y B B) A y C Sol.:

1 0 2

C) B y C *

D) Sólo A

x x 6  0 2



x  x 6  0 x 3





x 2 0

x  3

U P

x 2

x4 R

*

x 1 2

C

E

x 1 x 1 2

x 1 x 1

x  1x  1

1 1 1

1  x 1

E) Sólo B


9

x2 R *

I I1

2

x  x 1  0 x x

 1  1  4 .1 .1 2 .1 1  3 2

R

C   Rpta. : A



Si: A  x, y  x 2  y 2  20  x  y 2 , x  Z Hallar el número de elementos del conjunto A. A) 5 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Sol.: *

6.

2

2

x  y  20



xy

2

2  y 2   y 2  20     4

2

y  y  20  0  y 2  5  y 2  4   0      

U P

2

y  5 Si :

y=2 y = -2

2

y 4 y  2

no

 

x=4 x=4

 A = { (4,2) (4, -2)}

E n(A) = 2

7.

C



yZ

1 0 2 ,

Rpta. : ( C )

¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?

10


A


B

I I1

C A) (AB) - C C) (AB) - C E) (AB) C’ Sol.:

B) C(AB)’ D) ABC

U A

B 1

7

4 2

3

6

5

C

8 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 4, 5, 6, 7} C = {2, 3, 6} Parte sombreada = {2, 6} *

U P

(AB) – C = ??? AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} C = {2, 3, 6} (AB) – C = {1, 4, 5, 7} No

*

(AB)= {3, 4, 5} (AB)’ = {1, 2, 6, 7, 8} C  (AB)’ = {2, 6} Los demás no son. Rpta. B

E

C 8.

Si:

AB

y

AD=

Si

1 0 2

Teoría de Conjuntos Simplificar:

11

 A  D'  B'  B   A  D 

A) AB B) A C) B Sol.: Gráficamente: U B

D) 

E) D B

I I1

D

A

Entonces:

 A  D'  B'  B   A  D  A  B'  B  A B B

Rpta. ( C ) 9.

1 0 2

Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: * Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementos de C = P(A)  P(B) es 12. * Si A  n 2  1 n  Z, - 1  n  1 entonces el n(A) es 3



*



Si AB =  , entonces A =   B = 

U P

A) VFF B) FFF C) FVF D) VVF E) VVV Sol.: 2 * Como: n (A) = 2  n[P(A)] = 2 = 4 3 n(B) = 3  n[P(B)] = 2 = 8

Para que P(A)  P(B) sea máximo deberían ser disjuntos, pero en este caso comparten el conjunto vacío. n (C)  n P( A )  m P(B)  1

   

E *

C

 4  8  1  11

Determinación de A:

Falso

12



2 A  n  1 n  Z ;  1  n  1   2 2   12  1 , 0  1 , 1  1     0 ,  1, 0   A  -1 , 0  

n(A) = 2

I I1

Falso

* AB =  cuando A y B son conjuntos disjuntos. Por tanto no necesariamente A =   B =  Falso En conclusión es: FFF Rpta.: B

10. Para a, b  Z ; F y G son conjuntos tales que G  . F G es un conjunto unitario: 2 2 F = {a + 2b , b + 1} y FG = {a + 4b , b + 1 – 3a} Hallar FB A)  B){0} C) {10} D) {1} E) {-1} Sol.:

1 0 2

Si FG es unitario, entonces F también es unitario, así: 2 2 a + 2b = b + 1 2

2

a = b-1

a = b - 2b + 1 2 2 a =(b-1)



3a  3b  3   4a  3b  1  7 a  2

a = -b + 1 ......... 2

U P

Además, de FG: a + 4 b = b + 1 – 3a de

......... 1

E



4a + 3 b = 1

…………….

a2 b5 7 7 No cumple las condiciones dadas a, b  Z.

C


13

de  y  :

4 b  1  3b  1 b3 a  2  F  G  10

I I1

Rpta.: ( C )

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. De 50 alumnos de CEPU 15 no hablan en clase, 14 son los que ríen, 24 parecieran ciegos por que no miran a la pizarra; de éstos últimos 5 no hablan y 4 se ríen. ¿Cuántos de los que no ríen hablan y siguen con la mirada la clase en la pizarra? A) 6 B) 10 C) 8 D) 7 E) 5

1 0 2

2. 200 personas los sábados practican fútbol, frontón, atletismo, natación o alguna otra actividad no deportiva. Los que practican tres de los deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; los que practican únicamente dos de los deportes es el doble de los que practican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican a otras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personas practican los cuatro deportes?. A) 12 B) 10 C) 8 D) 15 E) 17 3. Sean los conjuntos A  1;2;3;4 y B  2;3 entonces se dice que A y B son: A) Iguales B) Comparables C) Equivalentes D) Disjuntos E) N.A.

U P

4. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que 60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gustan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% gustan manzana y piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?. A) 10% B) 15% C) 8% D) 12% E) N.A.

C

E

5. En una aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba la

14



matemática, 50 eran mujeres que si les gustaba; si el número de hombres que gustaban de la matemática es la tercera parte de las mujeres que no gustaban de la matemática, ¿A cuántos les gustaban la matemática? A) 30 B) 50 C) 55 D) 60 E) N.A. 6. Si: A  1; 2;3;4. El enunciado verdadero es: A) 4  P( A) B) 2  A C) 2;3 A D) 3  A

I I1

E) 1;2  A

7. Si X, Y y Z son conjuntos tales que X  Y  Z . Simplificar: ( X  Z )  (Y  Z )  ( X  Y  Z )  (Y  X ) A) X B) Z C) Y D) U E) 

1 0 2

8. De un grupo de 100 estudiantes 49 no llevan el curso de Álgebra y 53 no siguen el curso de Aritmética; si 27 alumnos, no siguen Aritmética ni Álgebra, cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos. A) 24 B) 30 C) 36 D) 48 E) 26 9. A y B conjuntos tal que: n( A  B )  17 ; nP( A  B)  256 ; nP( B  A)  4 ; Hallar: nP( A  B  A) 2 B) 4 C) 28 D) 64 E) 32 10.

U P

Dado los siguientes conjuntos iguales: A  x  1; x  2 B  8  x;7  2 C  4; y  2 D  z  1; y  1 Calcular E = x + y + z. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

C

E

II SISTEMA DE NUMERACIÓN

I I1

Es un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad, con el fin de buena lectura y escritura de los números. 1. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN Se llama así al número fijo de unidades de un orden que se toman para formar una unidad del orden superior.

abcd (n )

Ejem.

 n : Base del Sistema

2. SISTEMA DECIMAL: Cuando la base del sistema es diez Ejm: 3524

1 0 2

3. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION BASE 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .

CIFRAS DISPONIBLES 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β . . .

U P

E

C

SISTEMA Binarios Ternario Cuaternario Quinario Senario Eptal Octal Nonario Decimal Undecimal Duodecimal . . .

- 15 -

α =10 β=12  =12 . . .

16



4. ESCRITURA DE UN NUMERO DE CUALQUIER SISTEMA DE NUMERACION Base 10: Base 2 : Base 6 : Base 12:

345, 32 etc 10(2), 1101(2) etc 321(6), 4251(6) etc 97(12),  59 (12) etc

I I1

5. ESCRITURA LITERAL DE LOS NÚMEROS    

ab : número de 2 cifras (10, 11, .........., 99) abc : número de 3 cifras (100, 101, 102 ...., 999) aa : número de 2 cifras iguales (11, 22, 33, .....99) 27ab : número de 4 que comienzan en 27.

1 0 2

6. NÚMERO CAPICÚA: Número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Se leen igual por ambos lados” . Ejem. 44, 121, 363, 4554, 31213, etc

7. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO: Es expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus cifras de dicho número.

N  abcd.......xyz (n)   

U P

Sea:

m cifras

Descomponiendo en forma polinómica es:

N  a.n

m 1

 b.n

E

Ejm:

m2

 c.n 3

m3

2

* 3123(4) = 3 x 4 + 1 x 4 + 2 x 4 + 3 2 * abc ( n )  a .n  b.n  c

C

2

 .......  x.n  y .n  z

* ab  a .10  b  10 a  b

Sistema de Numeración

17

8. DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES: Se llamará “bloque” a un grupo de cifras. Ejm. 

Descompongamos



abcd  ab.10  cd Descompongamos abab en bloques

abcd en bloques

I I1

2

2

abab  ab  10  cd

9. CONVERSIÓN DE NÚMEROS A DIFERENTES BASES a) CASO 1: De un sistema de base “n” al sistema de base 10 (sistema decimal) Ejm: Convertir 321, al sistema decimal  Por descomposición polinómica 2 321(5) = 3x5 + 2x5+1 = 75+10+1 = 86 321(5) = 86  Por Ruffini 3 2 1 5

1 0 2 15

3

17

85

86

321(5) = 86

b) CASO 2: Del sistema Decimal a un sistema de base “n” Ejm: Convertir 329 al sistema quinario  Por divisiones sucesivas

C

E

U P 32’9 30 29 25 4

5 65 5 5 13 5 15 10 2 15 3 0

 329  2304 (5)

18



c) CASO 3: De un sistema de base “n” a otro de base “m” donde

n  m  10.

Base n

Base m

I I1

Base 10 El primer paso, es transformar la base “n” a base 10. El segundo paso, es transformar el número obtenido a base “m”

-

Ejm: Convertir 341 (5) a base 3 - 341 (5) = 3x5 + 4 x 5 + 1 = 75+20+1=96  341(5) = 96 96=10120(3) 2

96 96 0



3 32 3 30 10 9 2 1

1 0 2

3 3 3 0

3 1

341(5) = 10120 (3)

U P

Reglas Prácticas  Todas las cifras son menores que la base: Ejm: 

3a 2b (8)

cifra < Base

a  8  b8

Si un número se expresa en dos sistemas distintos: 341(5) = 10120(3)

E

Vemos que: A número Mayor

Base Mayor

A número Menor

Base Menor

C

Es decir:

203(n) = 104

(m)

=> n < m


19

10. CONVERSIÓN DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS MENORES QUE LA UNIDAD CASO 1: De base “n” a base 10

0, abcd ( n )  a .n

1

 b .n

2

 c .n

3

 d .n

I I1

4

Ejm: Convertir: 0,32(n) a base 10 -1

0,32(4) = 3 x 4 +2 x 4

 

3 4



-2

2 2

4 12  2 16



1 0 2

14 16

 0,32( 4 )  0,875 CASO 2: De base 10 a base n



7 8

Convertir: 0,390625 a base 4

Se multiplica sólo la parte decimal 0.390625 x 4 = 1,5625 0,5625 x 4 = 2,25 0,25 x 4 = 1,00

U P

 0,390625  0,121(4)

11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN.

E

k

a) De base n a base n Dado el número en base n se le separa en grupos de K cifras a partir de la derecha

C

20



Ejm: Expresar 10011101(2) a base 8 3

Vemos que 8 = 2 ; se separa en grupos de 3 cifras

I I1

10  011  101  (2)

Base 2:

2

Base 8:

3

5

235(8) k

b) De base n a base n k Dado el número en base n de cada cifra se obtiene k cifras al convertirse a base n. Ejm: Convertir: 325 (8) a base 2

3 

2 

5 

011 010 101 

325 (8) = 011010101 (2)

1 0 2

PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)

1.

U P

¿Cómo se representa A) 297

B) 279

Sol.: 1°

C) 269

Transformamos

E

234 ( n) en base (n-1)? D) 299

E) 287

234 ( n) a base decimal.

2

234 ( n)  2.n  3.n  4

2°

C

El número

2

2n  3n  4 transformamos a base n-1


21

2

2n + 3n + 4

n-1

2

- 2n + 2n 5n + 4 - 5n + 5 9 

2.

Si : A) 25

2n + 5 -2n + 2 7

n-1 2

234 ( n) = 279 ( n 1)

I I1

Rpta. : B

abab ( n)  850 ; hallar : (a + b) . n B) 30

C) 45

D) 35

abab ( n)  850

Sol.:

3

1 0 2

E) 15

2

an  bn  an  b  850 2

n (an  b)  ab  b  850 2

(an  b)  (n  1)  850 2 (an + b) (n +1) = 17 x 50

U P n=7

a=2

b=3

 (a + b) x n = ( 2 + 3) x 7 = 5 x 7 = 35

3.

(D)

Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases impares consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en base 10 y dar como respuesta la suma de sus cifras.

E A) 5

C

Rpta.:

B) 4

C) 3

D) 6

E) 7

22

Aritmética y Álgebra Sol.:


102 ( 2n 1)  201( 2n 1) 2

2

(2n  1)  2  2(2n  1)  1 2

I I1

2

4 n  4 n  1  2  8n  8n  2  1 4n 2  12n  0 n(n  3)  0  n3 entonces:

 4.

102 ( 2n 1)  102 (7)  49  2  51

 cifras  5  1  6

Rpta. D

A) 2025

B) 2601

Sol.:

Sea el número Entonces:

C) 2704

D) 2809

ab ab 9

  ba  9  ab 

ba  p  ab 10b  a  9  10a  b 9b  9  9a b 1  a a b 1

U P

Por tanto:

E

Finalmente:

5.

1 0 2

La suma de dos cifras que forman un número es igual a 9. Si al número resultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el número primitivo; ¿cuál es el cuadrado de dicho número?

a=5

2

E) 2916

datos del problema

b=4

2

ab  54  2916

Rpta. E

¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3 cifras?

C


A) 10

B) 15

Sol.:

C) 30

23

D) 25

E) 20

Por dato, tenemos:

I I1

1234  abc ( n) 100 (n)  abc (n)  1000 (n) n 2  abc (n)  n 3 n 2  1234  n 3

Entonces:

n 2  1234  1234  n 3 n  35, .....  10,.....n  n   11, 12, 13, ....... , 34, 35   número de términos =

35  10 1

1 0 2

 25

Rpta : D

Si: abc (8)  2 (8)  cba (8) . Hallar a + b + c

6.

A) 18

B) 16

C) 14

D) 12

Sol.:

abc (8)  2 (8)  cba (8) abc (8)  2  cba (8) abc (8)  abc (8)  cba (8)

U P

abc (8)  cba (8)  abc (8) Por propiedad: b=7 a+c=7  a + b + c = 14 7.

Rpta. C

¿Cómo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:

E

545 (b)

C

E) 10

A) 252 (6)

;

7a3(8)

B) 545 (6)

y

6b5 (a)

C) 209 (6)

; D) 134 (6)

E) 425 (6)

24



Sol.: Analizando tenemos:

545 (b) 5b

;

Obtenemos:

7a3(8) a 8

y

6b5 (a) ba

;

I I1

5
Luego:

2

*

545 (6)  5.6  4.6  5  209  número menor

*

7 a3(8)  7.8  7.8  3  507

*

6b5 (7)  6.7  6.7  5  341

2

2

 209 = 545 (6) 8.

1 0 2

Un número es igual a 6 veces la suma de sus dos cifras. Hallar la diferencia de sus cifras. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Sol.: Por dato :

ab  6(a  b) 10a  b  6a  6b 4a=5b a=5 b=4 a–b=1

9.

Rpta. B

U P

Rpta.

A

Una persona nació en el año 19ab y en el año 1985, tiene (a + b) años. ¿En qué año tendrá ab años? A) 1995 B) 1999 C) 2002 D) 2020 E) 2000 Sol.: Por dato:

1985  19ab  a  b 1985  19ab  a  b 1985  1900  10a  b  a  b 85  11a  2b a7 b4

C

E


25

 19ab  ab  1974  28  2002

Rpta. C

10. Si 400803 (m) = 300034342 (n) y m + n = 14 . Hallar (m - n) A) 6 B) 4 C) 5 D) 8 Sol.: Analizando: 8
I I1

E) 9

además n < m

Entonces: 4 < n < m  m > 8  m=9 n=5 m–n=4

Rpta.

B


1 0 2

1.

Se sabe que: 2a6 ( c )  1bb (8) . Calcular: a + b + c. A) 12 B) 15 C) 14 D) 16 E) 13

2.

El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si el numeral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta de multiplicar la suma de sus cifras multiplicado por: A) 11+n B) 11-n C) 7+n D) 7-n E) 2n

3.

Convertir el número decimal 798 al sistema de base 28. Dar como respuesta la suma en base 10 de sus cifras. A) 2 B) 5 C) 6 D) 7 E)15

4.

Determine cuantos números de tres cifras existen en base 8 en los cuales una cifra se repite exactamente dos veces A) 220 B) 130 C) 147 D) 215 E) 420

5.

C

E

U P

La base del sistema de numeración en que c(2c)(4c) se escribe

26



con tres cifras iguales es: A)8 B)4 C)5

D) 7

E) 11

6.

Si aba ( c )  m1c( 9 ) Calcular el valor de b sabiendo que m>5. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

7.

Si nn00  mm0  nn0; calcular nm expresado en base 5. A)21 B) 22 C)34 D) 44 E)32

8.

Hallar “a + b + c”. Si: a 2b (9 )  a72 ( c ) A) 16 B) 17 C) 18

D) 19

E) 20

I I1

1 0 2

9.

Si se cumple que: T AME  T . Calcular TEAME A) 64526 B) 62565 C) 46526 D) 46256 E) N.A.

10.

¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las decenas? A) 72 B) 60 C) 24 D) 36 E) 48

U P

CUATRO OPERACIONES

1. Suma o adición: Operación que tiene por finalidad reunir varias cantidades en una sola.

E

S  a1  a 2  a 3  ......  a n 

Suma Total

2. Resta o Sustracción: Operación inversa a la suma.

C

Sumandos


27

M–S=D

I I1

Diferencia Minuendo

Sustraendo

Propiedad: 

M+S+D=2M



Si: abc  cba  Se cumple que:

mnp

n=9 m+p=9

1 0 2

Complemento Aritmético de un número natural: Es lo que le falta a éste ser igual a la unidad del orden inmediato superior de su mayor orden. Ejm.

C.A. (45) = 100 – 45 = 55 C.A. (950) = 1000 – 950 = 50 C.A. ( abc ) = 1000 – En general:

abc

C.A. (abc......... xyz)  10m  abc......xyz   m cifras

U P

Otro método: para hallar el C.A a partir del mayor orden de un número, se restan las cifras de nueve y la última cifras significativa de 10. Si hay ceros al final, éstos permanecen en el complemento. Ejm:  C.A. (30521  8 )  694782  9

C

E



C.A.

10

(6 8 )  36 9 10



C.A. ( abcd ) =

(9  a )(9  b )(9  c )(10  d )

28



3. Multiplicación: Operación donde: Dada dos cantidades multiplicando y multiplicador se halla una tercera llamada producto.

a x b=P

I I1

Producto Multiplicando

Multiplicador

4. División: D __ r

D: Dividendo d: divisor c: cociente r: residuo

d

D = dc + r

También

1 0 2

Clases de División: b) División exacta: Cuando el residuo es cero D __ 0

d

D = dc

c

Ejm.

U P

8 8 0

4

8=4x2

2

c) División Inexacta:  Por defecto:

E

D __ r

C

d

D = dc+r

c

Donde 0 < r < d


29

Ejm. 38 36 2 

6

38 = 6x6+2

I I1

6

Por exceso: D __ re

d

D = d(c+1) – re

c+1 Donde 0 < re < d Ejm.

38 42 -4

6

1 0 2

38 = 6(6+1) – 4

6+1

Propiedad: 1° : r + re = d 2° : rmax = d – 1 3° : rmin = 1

PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)

1. La diferencia entre dos números naturales es “x”. Si se resta 5 al minuendo y se suma 3 al sustraendo ¿Cuál ser la diferencia?

U P

a) x + 5 Sol. M–S=D M–S=X

C

E

b) x – 5 c) x + 8 d) x + 2 e) x – 8

M – 5 – (S + 3) = Dif M – 5 – S – 3) = Dif M – S – 8 = Dif X – 8 = Dif . Rpta. ( e )

30



2. Si la suma de 2 números es 56 y su cociente es 5 con residuo 2. ¿Cuál es la suma de sus cifras del producto de dichos números? a) 6

b) 9

c) 11

d) 12

e) 16

I I1

Sol. Sean los números a y b Por dato: a + b = 56 ...... (1) además: c = 5 y residuo = 2 D = dc + r A = 5b + 2 ........... (2) De (1) y (2): a + b = 56 5b + 2 + b = 56 6b = 54 b=9

a = 47

 47 x 9 = 423 cifras  4  2  3  9



Rpta. ( b )

U P

3. Hallar las 3 últimas cifras de las suma:

1 0 2

S = 7 + 77 + 777 + 7777 + .......... + 777 ...... 7777 (40 sumandos) a) 610 b) 801 c) 106 d) 601 e) 810 Sol.

E

Tenemos la suma:

C


31

7  7 7 7 7 7  7 7 7 7  40 sumandos .......... ......   .......... ......   77...7 7 7 7  .......... 6 1 0

I I1

En las unidades: 7 . 40 = 280, colocamos cero y llevamos 28 En las decenas: 7 . 39 + 28 = 301, colocamos 1 y llevamos 30 En las centenas: 7 . 38 + 30 = 296, colocamos 6 y llevamos 29. Rpta. (a)

1 0 2

4. Al dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 de cociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se les vuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar la suma de las cifras del dividendo y del divisor. a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29 Sol: Sean abc y de los números

abc *

de 25 11

 abc  11.de  25 ... (1)

1000 - abc 1000 - de 7 19 *

U P

 1000 - abc  7(100  de )  19 ..... (2)

Reemplazando ec. (1) y (2): 1000 - 11 de - 25 = 700 - 7 de + 19 4 de = 256

C

E

de = 64

Entonces:

abc  729

 cifras  6  4  7  2  9 28

Rpta. (d)

32



5. Hallar la suma de las cifras del producto: P  438  999 .... 99   40 cifras

a) 360

b) 270

c) 180

d) 90

e) 450

I I1

Sol. Dando forma a P: P = 438 x ( 1000 ........00    1) 40 cifras

P = 438 0000 ... 00   438 40 cifras

Entonces: 43800 ... 0000 – 438 43799 ... 99562  37 cifras

Portando: cifras  4  3  7  9 x 27  5  6  2



= 360

1 0 2 Rpta. (a)

nmmmm 9 a) 20 b) 22 c) 24 d) 25 e) 23

6. Halle a+b+c+m+n , si abc 2 

Sol.

abc 2 

U P

nmmmm 9

mmmm = 9. abc 2

abc 2x 9

E

Es decir:

n mmmm



a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24

C

* 2x9 =18 dejamos 8 y llevamos 1 m8 * 9xc+1=??? Debe terminar en 8 c 3 * 9xb+2=??? Debe terminar en 8 b4 * 9xa+3=??? Debe terminar en 8 a5 n=4

Rpta (c)


33

7. Hallar la suma en base 10 de: 23(n) + 35(n)+....+155(n), si los sumandos están en progresión aritmética. a) 608 b) 1216 c) 2432 d) 4864 e) 1824 Sol.

I I1

Por def. de P.A.: 30(n) – 23(n) = 35(n) – 30(n) 3n – 2n – 3 = 3n + 5 – 3n n=8 Entonces convirtiendo a base 10: S = 19+24+29+34+ .... +109 109  14 # de términos   19 5  19  109  S .19 2  

S  1216

1 0 2

Rpta. (b)

8. Aumentando en 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en 549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18. a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28 Sol. Sea: P = a x b

Por dado: (a+9)(b+9) = P+549 ab + 9a + 9b + 81 = ab + 549 9a + 9b = 468 a+b = 52

U P

Entonces:

C

E

a  b  52  a - b  18  2a  70

a = 35

b = 17

Rpta. (d)

9. Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000.

34



¿En cuánto excede el número 76543 al menor de los dos números? a) en 61103 b) en 61983 c) en 31103 d) en 62103 e) en 60103 Sol. Sean a y b los números ( a > b ) 2a = 60000  a = 30000 además 30000 – b = 14560  b = 15440 Nos piden: 76543 – 15440 = 61103 Rpta. (a)

I I1

10. Si 4ab  ba 4  mnp y ab  ba  w 4 , entonces 2ª + 3b es: a) 17 ó 22 b) 20 ó 32 c) 18 ó 52 d) 32 ó 20 e) 19 ó 21 Sol. De: ab  ba  w 4 se obtiene 10a + b – 10 b – a = 10 w + 4 9a – 9b = 10w + 4 9(a – b) = 10w + 4 Tanteando: a – b = 6  w = 5 a - b 6  w 5





7 8 9

1 (si cumple) 2 (si cumple) 3 (no cumple)

1 0 2

Además 4ab  ba 4  mnp  n = 9 m + p = 9 Reemplazando: 2a+3b=2(7)+3(1)=14+3=17 2a+3b=2(8)+3(2)=16+6=22 Rpta. (a)

U P

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Si al producto de dos números le incrementamos su cociente, resulta 18. Hallar la suma de dichos números. A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

2.

Hallar a+b+c+m+n Si:

E

ac b  b ac C) 31 D) 30

abc  1mn  cba , donde

C

A) 27

B) 29

E) 28


35

3.

Hallar un número de 2 cifras que sea igual a 8 veces la suma de sus cifras. A) 9 B) 10 C) 72 D) 27 E) 13

4.

Calcular la suma de las cifras del producto: (777 ... 77)(999 ... 99)       10  cifras

A) 90

I I1

10  cifras

B) 70

C) 80

D) 20

E) 772

5.

Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de agua pesa 1175 gramos. ¿Cuántas botellas semejantes serán necesarias para vaciar en ellas el contenido de un barril de 225 litros. A) 220 B) 250 C) 280 D) 300 E) N.A.

6.

El cociente del producto de tres números consecutivos, entre su suma es 16. El número intermedio es: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

1 0 2

Si C. A.1234 ( n )   abcd ( n ) y n32 ( 6)  400

7.

Hallar a  b  c  d A) 3 B) 5

C) 7

D) 9

E) 11

8.

La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minuendo es triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético de la diferencia. A) 8434 B) 7651 C) 217 D) 5802 E) 7634

9.

El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado 286, es: A) 300 B) 367 C) 357 D) 643 E) 721

10.

E

U P

C

Si CA( SIETE )  TRES . Calcular CA( S  E  I  S ) A) 73 B) 75 C) 77 D) 12 E) 16

III PROPIEDAD DE LOS NÚMEROS I.

I I1

DIVISIBILIDAD: Parte de teoría de números que estudia las condi-

ciones que debe reunir un numeral para ser divisible entre otro. 1) Divisibilidad de Números: Un número entero es divisible entre otro entero positivo, cuando al dividir el primero entre el segundo el cociente es otro entero y el residuo cero. - Cero (0) siempre es múltiplo de todo entero positivo - Un número entero negativo puede ser múltiplo de un número entero positivo.

1 0 2

2) Notación y representación de los múltiplos de un número:  Si A es múltiplo de B lo representamos: A = k B donde k = { ....., -2,-1, 0, 1, 2, ....} o A = B (notación Leibniz) 

Si un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), se puede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuo por defecto: Ejm. A __ r

A = B.c  +r

B

U P c

o

A =



B+r

Se dice que un número B (módulo) es divisor o divide a A cuando está contenido un número entero y exacto de veces. Ejm: Los divisores de 6 son:

C

E

1

6

2 3 6

- 36 -

Propiedad de los Números

37

3) Operaciones y Propiedades: 

o

o

o

o

o

* Si : 5a = 7

aa a

7

=> a =

o 

o

o





o

a a a

o 

o

o

o

3a=

a  aa 0

   



o

a

k

    

* Todo número es múltiplo de la base en la cual está escrito más la última cifra.

o

a

o

abcd(n)  a.n3  b.n2  c.n  d

a  entero a



o

5 => a = 5

0

a k  a

 

I I1

35

* Si : 21a =

o

o

o

o

o

1 0 2  n n n d

o

a . b  ab

o

abcd(n)  n  d o

Ejm: 23142 6  6 2

4) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales a) Sabemos por álgebra que: o

o

o

a  b2  a2  2ab  b2  a a b2  a b2  a  b2  a b2



a  b3  a3  3a2b  3ab 2  b3  a a a b3  a b3  a  b3  a b3

U P o

- En general:

a  b k  a r k

Si K Z

o

E

Ejm:

o

o

o

o

k

+

ó

k  no  r k  K es par o   -  n r    o   n  r k  K es impar 

C

o



0 0   a r   a r k  

si k  Z

+

38



96



o o 17  96   3   17 3  



 6o  5     



o   6 5   



 6o  1    

123

o

 6 5123

128

I I1

o

 6  5128 128

o

 6 1

OBSERVACIÓN

1 0 2

 o  o  o  o  n a  n b  n c   n a b  c      Ejm: Calcular el residuo de dividir Sol: o  129 635   7 3    o

 7 3 o

635

635

 

 7 33 o

211

 32

 7 27 211  9

U P

o 0   7  7 1  

211

o    7 2   

o 0  o   7  7 1 7 2     o

o

129635  7

o

 7 7 (1)(2)  7 2

E o

o

 7 7  2  7 5



r 5

b) Restos Potenciales Se llama restos potenciales a todos a todos residuos que dejan las potencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de ce-

C


39

ro) al ser divididos entre otro “m” (módulo). Resultados en Potencias Sucesivas

de N

Residuos

o m

función

o m +1

1

1

o m + r1

r1

N

2

o m + r2

r2

N

3

o m + r3

r3

N

4

o m + r4





N

0

N

I I1

Restos Potenciales

1 0 2 r4

Ejm: Calcular la restos potenciales de 5 respecto al módulo 9. Sol.:    o 1  5  0  5  9  5  r1  5  o 2  5  18  7  9  7  r2  7  o  o  o  o 3 5   9  5  9  7   9  35  9  8  r3  8  gaussiano      o o o     5 4   9  7  9  7   9  4  r4  4       o  o  o 5 5   9  5  9  4   9  2  r5  2      o

5 0  0  1  9  1  r0  1

C

E

U P o 5 6   9  

 o 5  9  

o 5   9   

 o  o 5  9  1  9  5  r7  5     

7

g=6

 o 2   9  1  r6  1 

Donde g: gaussiano

40



CONCLUSIÓN:

 E  6o  o E  6  1 o  o E  6  2 E 5 9r  o E  6  3 o   E  6o  4 E  6  5 

;

r 1

;

r5

;

r7

E  Exponente

;

r 8

r  residuo

;

r4

;

r2

I I1

o

Ejm.:

Si :

5226  9  r o

 E  226  6  4  r4 5) CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

1 0 2

Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permite anticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral. a) Divisibilidad por 2: Cuando termina en cero 0 cifra par. Ejm.: o



abcd  2



3528

d  0, 2, 4, 6, 8

U P

b) Divisibilidad por 5: Cuando termina en cero cinco. Ejm.: o



abcd  5



325

d  0, 5

c) Divisibilidad por 4: Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 4. Ejm.:

C

E

o



abcde  4



32432

de  00, 04, 08, 12, 16, ......., 96


41

d) Divisibilidad por 25: Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 25. Ejm.: o



abcde  2 5



87975

de  00, 25, 50, 75

n

n

n

I I1

n

e) Divisibilidad por 2 ó 5 : Es divisible por 2 ó 5 si sus “n” últimas cin n fras son ceros o forman un número que sea divisible por 2 ó 5 respectivamente. Ejm.: o



abcdef  23

Si: n = 3

o

o

abcdef  8 o

3 2 5 0 3 2 8



1 0 2

si def  8

Nota: Un número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros o forman un número que sea divisible por 8. f)

Divisibilidad por 3: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Ejm.:

* o

abcdef  3 *



U P o

33456  3

Si: o

a bcdef 3



o

33 456 3 o

21  3

g) Divisibilidad por 9: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 9. Ejm.:  Si:

E

o

abcdef  9



C

o

39456  9





o

abcdef 9 o

o

3  9  4  5  6  9 27  9

42



h) Divisibilidad por 11: Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras o

impar menos la suma de sus cifras de orden par deberá ser cero o Ejm.:

i)

o



Si: abcdefg  11



1836547295

11 .

o

 a  c  e  g  b  d  f   11

I I1

 8  6  4  2  5   1  3  5  7  9   0

Divisibilidad por 7: Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1 .......... o

respectivamente, deberá ser 0 ó Ejm.:  Si:

7. o

a b c d e f g  7        1 2 3 1 2 3   1  

1 0 2 o

 a - ( 2b  3c  d)  2e  3 f  g  7 

o

760493636  7

Si :



7 6 0 4 9 3 6 3 6          2 3 3 3  1 2  1 2 1   -

U P

27 – 38 + 32 = 21 =

j)

o

7

Divisibilidad por 13: Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, .......... respectivamente, deberá ser múltiplo de 13. Ejm.:  Si:

C

E

a b c d e f g h         3 1 4 3  1 4 1   3     

o

 13


43 o

 h - (3 g  4 f  e)  (3d  4c  b)  3a  13 

Si :

I I1

o



5

5

4  13

6

   1  4 3  

 1   o

 4 - (18  20  5)  4 - 43  - 39  13 II. NUMEROS PRIMOS 1. Conceptos Básicos

1 0 2

a) Número Primo o Primo Absoluto:

Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divisores la unidad y el mismo. Ejm. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..... etc

Es decir

1 Divisores 2 1 Divisores 3 3 2

U P

b) Números Compuestos:

Son números que admiten mas de dos divisores. Ejm. 4, 6, 8, 9, 10, 12 ...... etc

E

Es decir

C

44


4

1 2 Divisores 4

4


1 2 Divisores 8 3 6

1 2 Divisores 4 8

I I1

Nota: La cantidad de divisores de un número compuesto N es:

cd N  cd compuesto  cd primos  1 c) Números Primos entre si (PESI):

Es cuando un conjunto de dos o más números admiten como único divisor común la unidad. Ejm.  4 y 9 (divisor común 1)  8, 12 y 15 (divisor común 1)  27, 45, 36, 1 (divisor común 1) Nota: 

1 0 2

Todo número primo mayor que 3 siempre es de la forma 0

6  1 ; lo contrario no siempre se cumple. 

Números primos más famosos, descubiertos por personalidades (universidades) notables. 127 - Lucas en 1877 publicó: 2 – 1, que tiene 39 cifras. - “Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”. Todo número par, es la suma de los números primos. Algo aparentemente cierto.

U P 22  1 n

-

es primo. FERMAT. 2 Fórmula de cálculo de los números primos. n –n+41 valido únicamente para

n    y n  40

Regla para determinar si un número es primo o no:

Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y aplicando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores o iguales a dicha aproximación.

E

Ejm.

C

¿ 139 es primo ?


45

139  11, ........ Entonces:

I I1

0



139 =

2 +1

139 =

3 +1

139 =

5 +4

139 =

7 +6

139 =

11 + 7

0 0 0

0

1 0 2

Por lo tanto 139 es primo, por que ninguna división es exacta. 2. Teorema Fundamental de la Aritmética

“Todo entero positivo mayor que uno, se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes, esta descomposición es única”. Llamado también “Descomposición canónica” 



N  A . B .C



Donde : A, B, C, ......: Factores primos , ..... : Exponentes  , ,  Ejm: Descomponer en sus factores primos el número 360

360 180 90 45 15 5 1

U P

2 2 2 3 3 5

E

3

2

=> 360 = 2 . 3 . 5

3. Estudio de los Divisores de un número entero (N)

C

a) Cantidad de divisores de un número: Es igual al producto de los exponentes de sus factores primos previa-

46



mente aumentados en la unidad.

cd (N)  (  1)(  1)(   1).........

I I1

Obs: cd(n) = cdcompuesto + cdprimos+1 b) Suma de divisores de un Número: Esta dado pro:

sd ( N ) 

A  1  1 B 1  1 C  1  1   ....... A 1 B 1 C 1

c) Producto de los divisores de un número compuesto Esta dado por:

Pd

 N

(N )

cd ( N )

1 0 2

d) Suma de las inversas de los Divisores de un número Esta dado por:

SId ( N ) 

Sd ( N ) N

Hallar Cd(N), Sd(N) , Pd(N) y SId(N) de 12 2

12 = 2 . 3    

U P

cd(N) = ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6

2 3  1 32  1 7 8 Sd(N) = .  .  28 2 1 3 1 1 2 6 3 Pd(N) = 12  12  1728 28 7 SId(N) =  12 3

E

III. MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO 1. Máximo Común Divisor (MCD): Se llama MCD de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condicio-

C

Propiedad de los Números nes: Ejm:

47

Es un divisor común de todos Es el mayor posible

I I1

NUMEROS Divisores 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 18 1, 2, 3, 6, 9, 18 Entonces: MCD (12,18) = 6 Determinación del MCD i)

Por descomposición canónica: MCD es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los menores exponentes posibles. Ejm: 2 2 A=2 .3 .5 3 4 2 B=2 .3 .5 2

1 0 2 2

MCD (A, B) = 2 . 3 . 5 ii)

Por descomposición simultánea: MCD es el producto de los factores comunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se busca sólo los factores comunes”. Ejm.

16  18 2 6 9 3 2- 3

U P

MCD (12,18) = 2 x 3 = 6

iii) Algoritmo de Euclides o divisores sucesivas: Procedimiento sistemático que se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces el MCD será el último divisor. Ejm. MCD (18,12) = ???

E

18 6

C

1 12 0

2 6

MCD => MCD(18, 12) = 6

48



Ejm2: Hallar MCD de 984 y 264

iv) 984

3 264

1 192

2 72

1 48

192

72

48

24

0

2 24

 MCD

I I1

MCD (984, 264) = 24

2. Mínimo Común Múltiplo (MCM) Se halla MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos al entero que cumple dos condiciones: - Es un múltiplo de todos - Es el menor posible. Ejm: NUMEROS Divisores 12 12, 24, 36, 48, 60, 72 .... 18 18, 36, 54, 72, Entonces: MCD (12,18) = 36 Determinación de MCM i)

1 0 2

Por descomposición canónica: MCM es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes elevados a las mayores exponentes posibles. Ejm: 2 5 A=2 .3 .5 3 4 2 B=2 .3 .5

U P

3

5

MCD (A, B) = 2 . 3 . 5

ii)

Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factores comunes multiplicados por los respectivos PESI. Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30

E

C

2


18 9 3111-

24 - 30 12 - 15 4 - 5 4 - 5 1 - 5 1 -1

49

2 3 3 4 5

I I1

MCM = 2 x 3 x 3 x 4 x 5 MCM (18, 24, 30) = 360 3. Propiedades de MCD y MCM   

Si A y B son PESI, entonces: MCD(A, B) = 1 Si A y B son PESI, entonces: MCM(A, B) = A . B El producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de su MCD y MCM. Es decir MCD(A,B) . MCM(A,B) = A.B Sea:

A = k Donde: ,  son PESI B = k Entonces: MCD(A,B) = k MCM(A,B) = k



Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellos por su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de dichos enteros no es alterado. Es decir: MCD(A, B, C) = MCD (MCD(A, B) y MCD (B, C) MCD(A, B, C, D) = MCD [MCD(A, B) y MCD (C, D)]

U P

4. Casos especiales   

MCD(a y a+b) = MCD (a y b) Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y a-b es 1 ó 2. MCD(a, b) = MCD(a  b, m) donde m = MCM(a, b)



MCD(a, b, a+b) =

E

C

1 0 2



ab(a  b) donde d = MCD(a, b) d2

50



PROBLEMAS RESUELTOS (PROPIEDAD DE LOS NUMEROS) 1.



Si: aa0bb(b  2)  13 , a) 7

b) 8

Hallar: a+b.

c) 9

d) 17

I I1

e) 18

Solución 0

a a 0 b b (b  2)  13     



4 4 3 3 1

1





-



4a  3a  0  4b  3b  b  2  13 7a  6b  2  0 7a  2  6b

4 Entonces:

2.

5

a4 b5 

Hallar a + b Si: 4ab58a  56 a) 6

b) 7

c) 9

d) 8

e) 10

U P

Solución

1 0 2

 ab 9



8



4ab58a  56

Rpta. c



7

E

 Un número es 

58a  8

C



580  a  8





8 cuando las tres últimas cifras es 8 .

Propiedad de los Números 

51



8 4  a  8 

a48 a4  Además es

I I1



7 cuando: 

4ab58a  7 231 231 + 

 8  3a  b  10  24  a  7 

26  2a  b  7 

26  8  b  7 

18  b  7 b4

 ab 8 3.

Rpta. d

Hallar el resto al dividir a) 1 b) 2 c) 3

10 50 entre 7 . d) 4

e) 5

U P

Solución 10 50  7 10 50 =

C

E

1 0 2



7  350  7 3 50 

 







 





25



 7 7  225

=

7 3 2

=

7 7 2 25  7 2 24.2

=

7 23 .2  7 7  18 .2

=

7 (7 1).2  7 7 2



8









= 7 2 Por tanto el resto es 2.

Rpta. b

52

4.


Hallar “n”, Si N a) 2 b) 3 Solución

N  6  162n



N  3.2. 2.3 4


 6  162 n tiene 40 divisores. c) 4

d) 5

e) 1

I I1



n

N  3 .2 .2 n .3 4 n N  2 n 1.3 4 n 1 

por cantidad de divisores (n+1+1)(4n+1+1) = 40 (n+2)(4n+2) = 40 2(n+2)(2n+1) = 40 (n+2)(2n+1) = 20 (n+2)(2n+1) = 4x5

 n2 5.

1 0 2

Rpta. a

Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48 y que su suma es 288. a) 96 b) 192 c) 240 d) 288 e) 144 Solución Sean A y B los números:

A  k . B  k .

U P

Entonces:  MCD(A,B) = 48 k = 48

A  B  288 k  k  288



k(   )  288 48(   )  288

E

   6

C

5

1

si :  ,  son PESI




53

A = k = (48)(5) = 240 B = k = (48)(1) = 48

 A - B = 240 – 48 = 192 Si 2 a) 2

6.

I I1

Rpta. b

 a...br ( 7 ) Hallar “r”

1019

b) 6

c) 4

d) 2

e) 8

Solución

21019  a...br ( 7 )

Todo número es múltiplo de la base en la cual

está escrito más la última cifra. 

21019  7  r 

2 3 x 339 2  7  r

2 

3 339



.2 2  7  r 

7  1339 .4  7 r 



(7  1).4  7  r 



7 4  7 r 

r=4

Rpta. c

U P 

Si ab  7 3 , ab a) 3 b) 5 c) 6 Solución a

7.





 7 5 ; Hallar el residuo de dividir ab

b

d) 7

e) 8



ab  7 3 a

ab 

E

ab

C

1 0 2

a 10

a0

    7 3   

10





 

 7  310  7  3 2

5



 7  7  2 

5

ab

7

54

Aritmética y Álgebra 



Centro Pre Universitario de la UNJBG 

=

7  7  2 5  7  2 3.2 2

=

7  (7  1).4  7  7  4

=

7 4









ab

a0



ab  7 5 .............  b



 Multiplicando  y  : a0 b     ab .ab   7  4  7  5     ab

a 0b

ab

ab



 7  20 

 7 6

 r=6 8.

I I1



 7  4 ..........

1 0 2

Rpta. c

El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Si se cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro? a) 524 b) 512 c) 534 d) 547 e) 564 Solución

U P

Sea el número de páginas:

 3 2  abc  5 4  7  6  

C

E

abc

y

500  abc  600


55

 3 3  2  abc  5 5  4  7  7  6   3 1  abc  5 1  7  1  

abc  MCM (3;5;7) 1 

1 0 2

abc  105 1 abc  105t  1  t = 5, porque 500  abc  600 abc  105(5)  1 abc  524 Rpta. a 9.

I I1

Hallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 veces su MCM y que su suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menor de dichos números. a) 10 b) 14 c) 20 d) 12 e) 16

U P

Solución

Sean los números:

A  k . B  k .

E

si :  ,  son PESI

 AB = 12 MCM(A;B) k.k = 12 k k = 12

C

 A + B = 6 MCD(A;B)

56



k + k = 6k +=6

5

1

I I1

=5 y =1  A = (12)(5) = 60 B = (12)(1) = 12

 El menor es 12 10.

Rpta. d

Hallar “k” sabiendo que: N  15.(30) tiene 191 divisores que no son primos. A) 10 B) 14 C) 20 D) 12 E) 16 Solución k

N  15.(30) k

1 0 2

N  3.5.(2.3.5) k N  3 .5 .5 k .3 k .2 k N  2 k .3 k 1.5 k 1 Sabemos que: Cd ( N )  Cd compuesto  Cd primos  1

Cd ( N )  Cd primos  Cd compuesto  1 (k+1) (k+2) (k+2) =3 + 291

(k  1)(k  2) 2  294 (k  1)(k  2) 2  6.7 2

U P k=5

Rpta: b

PROBLEMAS PROPUESTOS º

º

º

1. Si abc  13 , ab  9 y ac  7 . Hallar a  b  c . A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

E

2. Hallar dos números enteros sabiendo que su máximo común divisor es 18, y que uno tiene 10 divisores y el otro 15 divisores. Indicar el

C


menor. A) 120

B) 144

57

C) 132

D) 162

E) 148

3. Si el número N  (432)(432)(432)...  (n factores), tiene 130 divisores. Hallar “n”. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

I I1

4. ¿Cuántos divisores tendrá el número N  (12)(12) 2 (18)(18) 2 ? A) 50 B) 60 C) 90 D) 100 E) 120

5. Hallar el valor de “n” para que el número de divisores de N  30 , sea el doble del número de divisores de M  15 x18 n . A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 n

1 0 2

6. La cifra de las unidades del número 3 401  1 , es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. De los 504 primeros números naturales cuántos no son múltiplos de 3 ni de 7. A) 480 B) 408 C) 264 D) 288 E) 272

8. La suma de los cuadrados de dos números es 676 y uno de los números es 12 veces el MCD de ellos. Hallar la diferencia de los números. A) 12 B) 14 C) 18 D) 22 E) 24

U P

9. Si la edad que tiene pedro es múltiplo de 2 mas 1, múltiplo de 7 mas 6 y múltiplo de 10 menos uno, entonces dicha edad es: A) 52 B) 69 C) 72 D) 36 E) N.A.

E

10. Si A y B son números que admiten los mismos divisores primos, sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántos divisores tendrá el MCD de A5 y B5 ? A) 330 B) 310 C) 300 D) 341 E) 319

C

IV NUMEROS FRACCIONARIOS

I I1

Se denomina fracción (llamada también, número fraccionario quebrado o número quebrado), a una o varias partes de la unidad dividida en cualquier número de partes iguales. Los términos de una fracción son: numerador y denominador:

f= a b

Numerador Denominador

1. Clasificación: Se puede clasificar en: A. Por comparación de sus términos:

1 0 2

a) Fracciones propias: Son aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en la que el numerador es menor que el denominador es decir:

a 1 b Ejm.

3 2 7 , , etc 5 7 13

U P

b) Fracciones Impropias: Son aquellas cuyo valor es mayor que uno, o también, aquella en la que el numerador es mayor que el denominador es decir:

a 1 b

4 9 13 , , etc 3 5 6

E Ejm.

c) Fracciones iguales a la unidad: Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también, aquella en

C

- 58 -

Números Fraccionarios

59

la que el numerador y el denominador son iguales, es decir: Ejm.

5 8 7 , , etc 5 8 7

I I1

B. Por su denominador: a)

Fracciones ordinarias o comunes: Son aquellas cuyo denominador es diferente a una potencia de 10. Es decir

Ejm. b)

a ; si : b  10 n , n   b

5 14 7 , , , etc 17 3 5

1 0 2

Fracciones Decimales: Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10. Es decir

Ejm. c)

a ; si : b  10 n , n   b

7 12 63 , , , etc 10 100 1000

Por la comparación de los denominadores: a) Fracciones Homogéneas: Son aquellas cuyos denominadores son iguales; es decir:

U P a c e , , b d f

E

C

a 1 b

Ejm.

si : b  d  f

5 7 1 13 , , , etc 6 6 6 6

b) Fracciones Heterogéneas: Son aquellas cuyos denominadores son diferentes: Es decir:

60



a c e , , b d f Ejm.

d)

si : b  d  f

5 4 2 , , etc 3 7 5

I I1

Por la Relación de los Divisores de sus Términos: a) Fracciones Reductibles: Son aquellas fracciones donde numerador y denominador se pueden simplificar . Es decir

Ejm

ka a si k  1  kb b

: *

8 2  12 3

1 0 2

*

26 2  39 3

b) Fracciones Irreductibles: Son aquellas fracciones donde los términos son PESI.

a : si a, b no tienen divisor común. b 3 15 16 Ejm. , , etc 7 31 53

Es decir:

NOTA:  Se llama fracción equivalente, cuando una fracción es equivalente a otra cuando tiene el mismo valor pero sus términos son diferentes: Ejm.

U P 3 9  5 15 4 1 *  20 5 *

E 

C

Se llama Número Mixto, a aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria.


Ejm:

61

3

4 3 3 , 6 , 7 etc 5 8 5

2. MCD y MCM de Números Fraccionarios:

I I1

1° El MCD de varias fracciones irreductibles es igual al MCD de los numeradores entre el MCM de los denominadores. 2° El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de lo numeradores entre el MCD de los denominadores. 3. Número Decimal: Representación lineal de una fracción. Consta de dos partes: parte entera y parte decimal. Ejm.

14,325 Parte Parte entera decimal Coma decimal

1 0 2

Clasificación de los Números Decimales a) Números Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de cifras. Ejm: 0,2 ; 0,325 etc

b) Números Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de cifras.

U P

Ejm: 0, 33 ........ ; 0, 3222 . . ...

etc

Los Números Decimales Inexactos pueden ser: i)



Periódico Puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente después de la coma decimal. Ejm: 0,3333 ....... = 0,3



0,878787.... = 0,87

ii)

Periodo Mixto: Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo) cifra(s) después de la coma decimal.

C

E

62



Ejm: 

0,3424242 .... = 0,342 0,345333 ....... = 0,3453



I I1

Conversión de Decimales a Fracción a)

Números Decimales Exactos: La fracción será igual al número formado por las cifras decimales dividida entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales. Si

0, abc  0, abc 

abc 1000

Ejm.

32 100 452 * 0,452  1000 *

b)

0,32 

1 0 2

Números Decimales Inexactos: i) Periódico Puro: La fracción está dado por el número formado por las cifras del periodo dividido entre tantos nueves como cifras tenga el periodo. abc Si: 0,abc  0,abc  999 Ejm:

ii)



0,32



0,4

U P

Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado por todas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica entre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódicas.

E

C

32 99 4 = 9 =

abc  a Si: 0,abc  0,abc  990 Ejm:


63

342  3 339  990 990 485  48 437  0,385 =  900 900  0,342 =

I I1

PROBLEMAS RESUELTOS (NUMEROS FRACCIONARIOS) 1.

Si a dos términos de una fracción ordinaria reducida a su más simple expresión se le suma el cuádruple del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuál es la fracción original? A)

4

B) 35

3

C) 12

D)

4

9

E)

a b a  4b a a Por dato:   b  4b b b

Sea la fracción:

a  4b 2a  5b b a + 4b = 10 4b =9a

U P a=4 b=9

E

2.

a 4  b 9

Rpta: D

Los 35 de un barril más 6 litros, son de petróleo; y los litros, son de agua.¿Cuántos litros son de agua? A) 15

C

3

1 0 2

Solución:



2

2 B) 2 15

C)

15 3

D)

3 15

E) 6

2

3

menos 15

64



Solución 3 5

B  6  Petróleo

2 3

B  15  agua

Donde: B es el contenido total del barril.

I I1

Entonces: Petróleo + agua = B 3 2 B  6  B  15  B 5 3 3B 2B  9 B 5 3 Multiplicando la Ec. anterior por 15: 9B + 10B - 135 = 15B 4B = 135

B

135 4



2 B  15 3 2  135  Agua     15 3 4  Agua 

Agua 

45  15 2

15 2

U P

Agua 

Rpta. A

3.

Si la fracción generatriz Hallar el valor de “a+b”. A) 10 B) 9 C) 11

E

Solución:

C

1 0 2

1 genera el número decimal 0,0( a  1)b . ab D) 12

1  0,0(a  1)b ab

E) 8


65

1 (a  1)b  ab 999 ab.(a  1)b  999 ab.(a  1)b  37  27 

a=3

 a + b = 10 4.

Rpta. A

1 2 1 2 1 2  2  3  4  5  6  ...... 7 7 7 7 7 7 C) 15 3 D) 3 15 E) 6

S

Hallar S, Si: A) 15

2 B) 2 15

Solución:

1 0 2

1 2 1 2 1 2  2  3  4  5  6  ...... 7 7 7 7 7 7    1  1 2 1 2 S  2  7  2   2  3  4  ......  7  7 7 77    S   1 S  9  S  49 S

U P 49 S  9  S

S

5.

9 48



3 16

Rpta. B

E

 13k 5k 8k  MCM  ; ;   520  7 14 7 

C

S

Si se cumple:

A) 6

B) 4

I I1

b=7

C) 8

D) 7

Calcular k + 1 E) 9

66



Solución:

 13k 5k 8k  MCM  ; ;   520  7 14 7  MCM (13k ;5k ;8k )  520 MCD(7;14;7) 13.5.8.k  520 7 520k  520 7 k=7

I I1

 k+1=8

1 0 2

Rpta. C

6.

¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dos términos, su denominador? A) 1 4 B) 2 13 C) 1 5 D) 5 13 E) 2 9 Solución: Sea la fracción:

a b

ab a  3  bb b a  b 3a  2b b a  b  6a b  5a

U P a 1  b 5

7.

E

Rpta. C

A y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C en 4 días; A y C en 5 días. ¿En cuántos días pude hacerlo A trabajando sólo? A) 35 17 B) 100 17

C

C)

143 17

D)

120 17

E) N .A.


67

Solución: Analizando sobre lo que hacen en 1 día:

1 ……  3 1 B+C= …….  4 1 A+C= …….  5 A+B=

I I1

Sumando miembro a miembro las Ec. ,  y :

47 2A + 2B + 2C = 60 47 A  B  C 120 1/ 4 1 47 A  4 120 47 1 A  120 4 17 A 120 Para “A”:

U P

1 0 2

1 día --------------x

E

C 8.

--------------- 1

1 17 120 120 x 17

x

17 de la obra 120

Rpta . D

Hallar la suma de las cifras diferentes de la parte decimal del número:

68


N A) 5

B) 6


7777 3  41 271

C) 4

D) 8

E) 9

I I1

Solución

7777 3  41 271 7777 N 33333 7777  3 N 33333  3 23331 N 99999 N

Multiplicando por 3 al numerador y denominador

N  0,23331 

 cifras

1 0 2

diferentes = 2 + 3 + 1 = 6.

Rpta. B

9.

Si

 1  0,1 AT

y

A  0, ARITME T

Hallar el valor de: M + E + R + I A) 24

U P

B) 12

Solución

1 1  AT 9

E

Analizando:

C) 140



D) 18

E) 22

A+T=9

A  0, ARITME T

Vemos que A < T y además es equivalente a periódico puro. Podemos comprobar que los únicos valores que puede tomar A y B es:

C

Números Fraccionarios 

69

A=2 y

B=7

2  0,285714 7

Entonces:

I I1

R=8 I=5 M=1 E=4

 M + E + R + I = 1 + 4 + 8 +5 = 18.

Rpta. D

10.

Las fracciones propia

aa ; bb

C. A.(ba ) son equivalentes, además la fracción C. A.(ab)

b es irreductible. a

Hallar: a – b A) 1

B) 2

C) 4

D) 6

Solución

1 0 2

E) 3

aa C. A.(ba )  bb C. A.(ab) aa 100  ba  bb 100  ab aa.(100  ab)  bb.(100  ba)

U P

Entonces tenemos que : Como

C

E

a + b = 10

b es irreductible y b
a=7 b=3

 a – b = 7 – 3 = 4.

Rpta. C

70




2.

Tres hermanos hacen una colecta para reunir fondos. El primero colectó 5/24; el segundo 3/10 y el tercero 1/5. ¿Qué fracción aún les falta?. A) 24/7 B) 1/24 C) 5/7 D) 7/24 E) N.A.

I I1

  0,2  0,3 Simplificar: E    ; el resultado es: 0,32  0,43 A) 15/43 B) 20/34 C) 25/34 D) 30/34 E) N.A.

3.

¿Qué fracción se le debe disminuir al numerador y al denominador de la fracción 11/37 para que sea equivalente a 2/7 ? A) 2/5 B) 3/5 C) 5/2 D) 5/3 E) 1/5

4.

Hallar S 

1 0 2

1 2 1 2 1 2  2  3  4  5  6  ... 7 7 7 7 7 7

Se obtiene: A) 3/8 B) 3/16

C) 1/16

D) 3/32

E) 1/32

5.

Dadas las fracciones ordinarias irreductibles: a  5 / 43 ; b  4 / 31 ; c  2 / 17 ; d  10 / 73 A) a,c,d,b B) a,c,b,d C) d,b,c,a D) c,a,b,d E) a,b,d,c

6.

¿Cuántas fracciones equivalentes a 45/153 existen tal que sean de ab la forma ? ba A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7.

¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y mayores que 4/5 cuyos denominadores sean 120 y además dichas fracciones sean irreductibles? A) 5 B) 8 C) 11 D) 13 E) 15

C

E

U P


71

   a b Si:   0,8285714 Hallar a + b 5 7 A) 4 B) 5 C) 8 D) 12

E) 13

Calcular el valor de X en: (0,6969...)X + (0,43838...)X = 1,13636... A) 4/13 B) 6/13 C) 9/13 D) 7

E) 1

período

8.

9.

10.

I I1

Una fracción de denominador 11 genera un decimal con un periodo de dos cifras que difieren 5 unidades. Hallar la suma de los términos de dicha fracción si es la mayor posible. A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 2

C

E

U P

1 0 2

V RAZONES Y PROPORCIONES

I I1

I. RAZONES:

Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una diferencia o por medio de un cociente. 1.

Razón Aritmética: Es la razón por diferencia Antecedente – consecuente = Razón Aritmética s Ejm. 12 – 4 = 8

2.

1 0 2

Razón Geométrica: Es la razón por cociente

Antecedent e  Razón Geométrica con sec uente Ejm.

12 3 4

II. PROPORCIONES: Es la comparación de dos razones iguales ya sean aritméticas o geométricas. 1. Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas dadas.

U P

Sabiendo que: a – b = r y c – d = r Entonces: Donde:

E

a–b = c–d

a y d: extremos b y c: medios a y c: antecedentes b y d: consecuentes

C

- 72 -

Razones y Proporciones

73

Clases de proporción Aritmética i)

Proporción Aritmética Continua: Los términos medios son iguales.

I I1

Ejm. 8 – 6 = 6 – 4 Donde:

6: Media aritmética de 8 y 4 4: Tercera diferencial de 8 y 4 ii)

2.

Proporción Aritmética Discreta: Los cuatro términos son diferentes. Ejm:

Donde:

12 – 8 = 6 – 2

2: cuarta diferencial.

1 0 2

Proporción Geométrica: Es la igualdad de dos razones geométricas a c dadas sabiendo que: k y k b d a c  Entonces: Donde: b d a y d: extremos b y c: medios a y c: antecedentes b y d: consecuentes

Clases de proporción Geométrica

U P

i) Proporción Geométrica Continua: Cuando los términos medios son iguales. Ejm.

3 : Media proporcional 1 3 Donde:  1 y 9 : Tercera proporcional 3 9

ii) Proporción Geométrica Discreta: Cuando los términos son diferentes:

E

Ejm.

C

12 20  3 5

Donde:

5 : Cuarta proporcion al

74



Propiedades de Proporción Geométrica

a c es una proporción Geométrica;  b d Entonces: Si:

ab b a * ba ac * ac ac * bd *

cd d c  dc bd  bd a c   b d

I I1



1 0 2

Serie de Razones Geométricas Iguales:

Se llama así al conjunto de más de 2 razones que tiene el mismo valor. Sean: a a1 a 2 a a   3  4  .......  n  k b1 b 2 b3 b4 bn Donde: a1, a2, a3, ....an : antecedentes b1, b2, b3, ....bn : consecuentes k : constante de proporcionalidad Se cumple que: a  a 2  a 3  .......  a n k * 1 b 1  b 2  b 3  .......  b n *

U P

a 1 . a 2 . a 3 . ...... . a n  kn b 1 . b 2 . b 3 . ....... . b n

E

PROMEDIO:

Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la característica ser mayor que el menor de ellos pero menor que el mayor.

C


75

CLASES  MEDIA ARITMÉTICA (Ma).- Es aquel promedio que proviene de la suma de “n” cantidades divididas entre “n”. Ma 

I I1

a1  a 2  a3  ...  a n n

Para 2 números a y b:

Ma 

ab 2

 MEDIA GEOMÉTRICA (Mg).- Es aquel promedio que provienen de la raíz enésima del producto de “n” cantidades. Mg  n a1 .a 2 .a3 ...a n Para 2 números a y b:

1 0 2

Mg  ab

 MEDIA ARMONICA (Mh).- Es la inversa de la media aritmética de las inversas de las “n” cantidades dadas. Mh 

n 1 1 1 1    ...  a1 a 2 a3 an

U P

Para 2 números a y b:

Mh 

2ab ab

PROPIEDADES

E 

C

Sean varios Sean varios números; se calcula la Ma, Mg y Mh de dichos números; siempre: Ma > Mg > Mh

76





Sean 2 números, y hallando su Ma y Mh siempre: A x B = Ma x Mh



Se cumple: Mg =



I I1

Ma.Mh

La diferencia entre la media aritmética y la media geométrica de 2 números A y B está dado por:

( A  B) 2 Ma  Mg  4( Ma  Mg )

1 0 2

PROBLEMAS RESUELTOS (RAZONES – PROPORCIONES Y PROMEDIOS) 1.

Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143, entonces el otro deberá duplicarse para que el valor de la razón no se altere. Hallar el mayor de los números. A) 143

B) 169

C) 134

D) 196

Solución Sean los números a y b.

a 11  b 13



U P

Por dato del problema:

E

C

a  11k b  13k

a  143 11  2b 13 11k  143 11  2.13k 13 11(k  13)  11 2k k  13  2k k  13

E) 186

Razones y Proporciones Entonces:

77

El mayor es:

b = 13k b = 13.(13) b = 169

Rpta. B La razón geométrica entre dos números cuya suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de dichos números? A) 24 B) 25 C) 28 D) 29 E) 31

2.

I I1

Solución Sean los números a y b: donde b es mayor que a. a + b = 65 por dato:

a  17 b  b  17 a a  17  b  17 b  a por propiedad:  b  17 a ab ab  b  17 a

1 0 2

b 17  a b  a  17 Además: a + b = 65 a + a + 17 = 65 2a = 48 a = 24 b = 41

U P 

3.

Cuál es la diferencia entre los extremos de una proposición continúa, si la suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y diferencia de los dos primeros términos es 3? A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 Solución

E

C

menor número es 24

Sea la proporción:

a b  b d

a – d = ???

78

Aritmética y Álgebra Datos:



a  2b  d  36 y

ab 3 a b


ab 3 a b

I I1

a = 2b



a b  b d ab bd  b d a  2b  d a  b  bd b 36 2b  b  bd b 36 3 bd b  d  12



a b  b d a b bd  b d abbd ab  bd b a  d 2b  b  bd b a  d 2b  b  bd b ad 1 12 a  d  12

C

E

U P

Rpta. C

1 0 2


4.

Si:

79

U N O 1 , N  S  15 y D  O  14 .    D O S 2

Hallar: U  N  O A) 17

B) 16

C) 15

D) 14

I I1

E) 13

Solución Multiplicando 2° y 3° razón:

N .O  1    O.S  2  N 1  S 4 N  S 1 4  S 4 15 5  S 4

2

S  12 N 3 Sabemos que:

U P

1 0 2

U N 1   D O 2 UN 1  DO 2 U 3 1  14 2

C

E

Además:

O 1  S 2



U 4

80



O 1  12 2



O6

 U  N  O  4  3  6  13

5.

a c e    k2 b d f

Si:

Hallar

bde 

R2 k2

Rpta. E

I I1

(R>0)

acf

A) 17 B) 16 Solución

C) 15

D) 14

a c e    k 2 , e  f .k 2 b d f bde 

Por dato:

R2 k2

bd . f .k 2 

R2 k2

R2 bd . f  4 k Entonces:

E) 13

1 0 2

acf  bk 2 .dk 2 . f  bdf .k 4

U P =

6.

 R2  2  2  k  R k 

 

Rpta. E

Tres números están en relación de 4, 5 y 8 respectivamente. Hallar el número menor, sabiendo que la suma de los 3 es 850. A) 20 B) 300 C) 200 D) 500 E) 600 Solución

C

E

a b c   k 4 5 8


81

a  4k b  5k



c  8k Por dato:

I I1

a  b  c  850 4k  5k  8k  850 17 k  850 k  50

 El menor es: a  4k  4(50)  200 Rpta. C

1 0 2

La media geométrica de dos números es 6 2 ; sabiendo que su media armónica y su promedio aritmético son dos enteros consecutivos, se pide encontrar los números.

7.

A) 10 y 12

B) 11 y 13

C) 12 y 6

Solución Sean los números a y b:

Mg 6 2 Por dato:

Mh  x M a  x 1

U P Entonces:



Mg 6 2



C

E



ab  6 2

  2

D) 11 y 12

E) 10 y 11

M g : media geométrica

Donde:

M h : media armónica M a : media aritmética



2

ab  6 2 ab  72 Propiedad: M h .M a  ab x.( x  1)  72 x.( x  1)  8  9 x 8

82



ab 2 ab x 1  2 ab 9 2 a  b  18



Ma 



Resumiendo: 

ab  72 a  12 ó b6

Rpta. C

8.

I I1

a  b  18 a6 b  12

1 0 2

Tres números enteros a, b y c; tienen una media aritmética de 5 y una

media geométrica de 3 120 . Además, se sabe que el producto bc = 30. La media armónica de estos números es: A) 320

73 73 360

B) 350

75

C)

360 74

Solución:





Ma  5 abc 5 3 a  b  c  15 M g  3 120

U P

abc  3 120 abc  120 bc  30 Entoces: abc  120 a.30  120 a4 3

E  

C

D)

75 350

E)




reemplazando b + c = 11 Resumiendo: b  c  11 bc  30 



83

b6 ó c5

b5 c6

I I1

Finalmente:

Mh 

3

 b1  1c 3abc Mh  bc  ac  ab 3(120) Mh  30  20  24 360 Mh  74 1 a

1 0 2 Rpta. C

La Media aritmética de un número y su raíz cúbica excede a su media geométrica en 936. Hallar la suma de las cifras del número. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 Solución: 3 3 Sea N = a el número buscado. Su raíz cúbica de a es : a Del enunciado:

9.

Ma  Mg  936

a a  a 3 .a  936 2 a3  a  a 2  936 2 a 3  a  2a 2  936 2 a 3  2a 2  a  1872 a (a 2  2a  1)  1872 3

E

U P

a (a  1) 2  13 x12 2 a  13

C

84





3

N=a 3 N = 13 = 2197 Finalmente:

 cifras  2  1  9  7  19

I I1

Rpta. E

10.

a a 1 a a  a a b y que la suma de los términos de esta proporSabiendo que a ción es 144. Calcular el valor de la media proporcional. A) 16 B) 27 C) 32 D) 9 E) 25 Solución:

a a  ???

a a 1 a a * a  a a b a a .a a a  a aa b a a.b  a a aa ba  a

U P

* Por dato del problema: a a 1  a a  a a  b a  144 aa a a .a  2a a   144 a 1  a a  a  2    144 a  2  a  2a  1    144 a a  a  

C

E

1 0 2


85

(a  1) 2  144 a a a  a .(a  1) 2  3 2.4 2 ==> a = 3 aa.



I I1

a a  33  27 Rpta. B


Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a una ellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor? A)90 B)75 C)60 D)40 E)45

2.

Lo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo que cobra y lo que gasta esta en la relación de 3 a 2.¿Cuánto debe ganar Juan para que sea el doble de lo que gasta? A)18 B)36 C)64 D)72 E)74

3.

La suma , la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 4, 2 y 15. ¿Cuál es el mayor de los números? A)15 B)10 C)16 D)4 E)14

4.

¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción continua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la suma y la diferencia de los primeros términos es 3? A)9 B)10 C)12 D) 14 E) 16

5.

E

U P

C

1 0 2

3 5 7 11    a b c d Hallar el valor el valor de “d” A)60 B) 48 C)45 D)66 E)70

Si: b+c=a+54 y

86



6.

En un aula de CEPU del canal 04 antes del receso el número de hombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Si después del receso, hay 8 varones y 4 mujeres menos con lo cual la razón de hombres a mujeres es 7/4. Hallar cuantas mujeres habían antes del receso. A)15 B)16 C)18 D)19 E)20

7.

La edad promedio de 3 personas es 56 años. Si ninguno tiene más de 59 años. ¿cuál es la edad mínima que podría tener una de ellas? A)51 B)50 C)53 D)52 E)54

8.

La media aritmética de 10 números diferentes es 45 y la media aritmética de otros 15 números es 60. Hallar la media aritmética de los 25 números. A)27 B)50 C)60 D)54 E)N.A.

9.

Hallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuarta parte de su producto, por su media aritmética, por su media geométrica y por su media armónica se obtiene 256. A)6 B)4 C)8 D)12 E)6,5

10.

Si para 2 números enteros diferentes entre sí y de la unidad se cumple: Ma3 x Mh3 = 4096 ¿Cuál es el valor de la Ma? A)6 B)7 C)8 D)5 E)10

I I1

C

E

U P

1 0 2

VI REGLA DE TRES

I I1

La Regla de tres puede ser: simple o compuesta. 1. Regla de 3 simple:

Intervienen tres cantidades conocidas (datos) y una desconocida (Incógnita). Puede ser: - Directa - Indirecta a) Regla de 3 simple Directa:

1 0 2

Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente proporcionales.

Método 1: Aplicando la definición de magnitud directamente proporcional. A C BC   x B x A Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será en “aspa”. A ----- B C ----- x

U P Ax = BC  x 

BC A

b) Regla de 3 Simple Inversa

E

Es el resultado de comparar 2 magnitudes, que son: Inversamente proporcionales.

C

Método 1: Aplicando la definición de magnitud inversamente proporcional. - 87 -

88


A.B  C.x  x 


AB C

Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será en sentido paralelo.

I I1

A ----- B C ----- x AB = C x  x 

AB C

Método Práctico:  

Si las cantidades proporcionales van de más a màs o de menos a menos, la regla es Directa; si van de más a menos o de menos a más la Regla es Inversa. Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro dato. Si es R3SI; se multiplican los datos del supuesto y se dividen entre el otro dato del problema.

A C

B

Directa:

x=

BC A

AB Inversa: x = C

X

2. Regla de 3 Compuesta

U P

1 0 2

Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitudes y una segunda serie de “n-1” valores correspondientes a las magnitudes mencionadas. La finalidad de la regla 3 compuesta es determinar el valor desconocido de la segunda serie de valores. Método 1: “Ley de los signos”  

E

Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud estén en una misma columna. Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita y las demás magnitudes con el siguiente resultado. Si son directamente proporcionales  arriba (-) y abajo (+) Si son inversamente proporcionales  arriba (+) y abajo (-)

C

Regla de Tres 

89

El valor de la incógnita está dado por un quebrado donde el numerador es el producto de los términos que tiene (+) y el denominador es el producto de los términos que tienen (-).

Método 2: “De las Rayas””

I I1

Las magnitudes se pueden clasificar en 3 partes:

1º. Causa o Acción: Realizadores de la obra o acción y condiciones que tiene para realizarla. Ejm. Obreros, máquinas, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc 2º. Circunstancia: Condiciones en el tiempo para realizar la obra. Ejm. días, horas diarias, raciones diarias, etc.

1 0 2

3º. Efecto: La obra en sí lo realizado y los inconvenientes o condiciones que pone el medio para la realización del trabajo. Ejm. Las medias de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc. Acción Serie 1:

* *

Circunstancia

*

* *

*

* *

Hombres Serie 2:

* *

Efecto

*

*

*

*

Finalmente, se igualan los productos de los valores que se encuentran en una misma raya.

U P

PORCENTAJES

Llamado también “tanto por ciento”, se dice así, a una determinada cantidad con relación a 100 unidades. NOTACIÓN:

C

E    

5% =

5 100

5 % indica que cada 100 unidades se consideran 5. Una cantidad total representada el 100% Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110% Una cantidad disminuida en 10% representa 90%

90



Ejm. * ¿Cuál es el 5% de 600? 5 5% . 600 = .600  30 100

I I1

* ¿Qué porcentaje de 2000 representa 50? x % . 2000 = 50

x .2000  50 100 50 x= 20 x = 2.5 Aplicación:

1 0 2

a) Descuentos sucesivos: Cuando una cantidad se le aplica más de un descuento.

 100  D1 100  D 2 100  D 3  ........  d    100  % n 1 100   Donde: D1, D2, D3 ...... : descuento sucesivo n : número total de descuento. du : descuento único

b) Aumentos Sucesivos: Cuando una cantidad se le aplica más de un aumento.

U P

 100  A 1 100  A 2 100  A 3  ........  a    100  % n 1 100   Donde: A1, A2, A3 ...... : aumentos sucesivo n : número total de descuento. a : descuento único

E

Problemas de Porcentaje Relativos a las Ventas 

Pv = Pc + G s Donde:

C

Regla de Tres

91 PV : precio de venta PC: precio de costo G: ganancia



I I1

Pv = Pc - P s Donde: Pv : precio de venta Pc: precio de costo P: pérdida



Pc +Gastos + Ganancias = Pv s



Ganancia bruta – gastos = Ganancia Neta d



P. fijado - Descuentos = Pv s

1 0 2

PROBLEMAS RESUELTOS (REGLA DE TRES Y PORCENTAJES)

1. Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más ¿para cuántos días alcanzará la ración anterior? a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 Sol. 6 Caballos ----------- 15 días 9 caballos ----------- x x=

U P

6.15  10 9

x = 10 Rpta. (b)

R3SI

2. La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éste es 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trabajo en 90 minutos; ¿En que tiempo lo harán Luis y Carlos juntos? a) 5h b) 3,6 h c) 3 h d) 4 h e) 2,5 h Sol.

C

E

Del enunciado:

92



Luis : rapidez 1 Carlos: rapidez 4 Juan: rapidez 12 Rapidez Tiempo 12 -------------- 90 min 5 -------------- x

I I1

R3SI

12.90 min 5 12.90 1h min . x= 5 60 min x = 3,6 h x=

1 0 2

3. Para ejecutar una obra se cuenta con dos cuadrillas, la primera tiene 50 hombres y puede concluir la obra en 30 días; la segunda cuenta con 70 hombres y la puede terminar en 50 días; si se toma 3/4 de la primera y los 5/6 de la segunda. ¿En cuántos días se terminará la obra? a) 50/3 d

b) 20 d c) 21 d d) 22,5 d e) 24 d

Sol. * Primera cuadrilla 50 h -------------- 30 días 3 (50 )h --------- x 4 50 . 30 x= 3 . 50 4

U P

x = 40 días

E

=> En 1 días 4.

R3SI

3 1 de la ladrillera hará: de la obra. 40 4

Para aumentar el área de un círculo en 125%, su radio se debe multiplicar por: a) 1/2 b) 2 c) 3/2 d) 3 e) 5/2

C

Regla de Tres

93

Sol. Sea : x el número que se debe multiplicar al radio. 2 Sabemos que: A =  r Entonces por dato el problema:

I I1

A + 125%A =  (x.r) 2 2 225% A =  .x .r 225 .A  .r 2 .x 2 100 225 .A  A.x 2 100 2

225 x 100 15 x 10

=> x =

3 2

Rpta. (c)

* Segunda cuadrilla 70 h -------------- 60 días

5 (70)h --------- x 6 70 . 50 x= 5 .70 6

U P

x = 60 días

=> En 1 días

E

1 0 2

R3SI

5 1 de la ladrillera hará: de la obra. 6 60

Luego: En 1 día ambas partes harán:

C

1 1 3 2 5 1 de la obra     40 60 120 120 24

94



Finalmente: 1 día ----------

1 de la obra 24

I I1

x ----------- 1 obra

x

1 1 24

=====> x = 24 días

Rpta. E

5. Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 días pueden arar un terreno cuadrado de 400m de lado; ¿Cuántos agricultores de doble rendimiento serán necesarios para que en 6 días de 8 h/d aren otro terreno de 480m de lado? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 9 Sol.

U P

x.2r.8.6.400 2  8.r.10.5.480 2 8.r.10.5.480 2 x 2r.8.6.400 2

1 0 2

x = 6 obreros

E

Rpta. A

6. Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón ¿Cuántas toneladas serían necesarias para mantener trabajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más? a) 400 b) 408 c) 412 d) 420 e) 428

C

Regla de Tres

95

Sol.

Luego:

I I1

5.15.10.x  8.85.9.50 8.85.9.50 x 5.15.10 x = 408 Toneladas Rpta. B

1 0 2

7. En una empresa, el 40% del personal masculino y el 30% de femenino, asisten a al colegio nocturno. Si el 20% del personal es femenino. ¿Qué % del personal asiste al colegio nocturno? A) 42% B) 30% C) 38% D) 36% E) 34%

Sol

Supongamos que el total de alumnos sea 100. El 20% es personal femenino: 20 El 80% es personal masculino: 80

U P

Asisten al colegio nocturno Femenino: 30%(20) = 6 Masculino: 40%(80) = 32

Total 38 personas

y 38 de 100 es el 38%

E

8. 351 es el 27% de: A) 1340 B) 1250

C

Rpta. C

C) 1300

D) 1200

E) 2700

96



Sol. 351 = 27%(X)

27 .X 100 351(100) X 27

351 

I I1

X = 1300 Rpta. C

9. Una cantidad disminuida en su 13% es 957. ¿Cuál es dicha cantidad? A) 1150 B) 1200 C) 1000 D) 1050 E) 1100 Sol. Sea la cantidad: X X - 13%X = 957 100%X - 13%X = 957 87%X = 957

87 . X  957 100 X  1100

U P Rpta. E

1 0 2

10. En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sido fabricados por la máquina A y el resto por la máquina B. Si se sabe que el 5% de lo fabricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defectuosos hay en los 1000 productos? A) 50 B) 90 C) 45 D) 46 E) 40

E

Sol

Total : 1000 *

Fueron fabricados por A: 60%(1000) = 60/100(1000) = 600

C

Regla de Tres

97

de los cuales son defectuosos: 5%(600) = 5/100(600) = 30 *

Fueron fabricados por B: 400 de los cuales son defectuosos: 4%(400) = 4/100(400) = 16

I I1

Entonces, en total hay: 30 + 16 = 46 defectuosos Rpta. D


1. En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Se retiran 6 obreros. ¿Cuántos días demoran los obreros restantes para terminar la obra? A)36 B)12 C)48 D)24 E)15

1 0 2

2. 80 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 480m 2 de una obra en 15 días. ¿Cuántos días se requieren para que 120 obreros trabajando 10 horas diarias hagan 960m2 de la misma obra. A)22 B)30 C)18 D)16 E)20 3. Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga para cuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes. A)85d B)77d C)170 d D) 172d E)N.A.

U P

4. Un grupo de obreros habrán hecho en 36 días el 75% de una obra, en ese momento se aumentaron 15 obreros más y se terminó la obra 5 días antes de la previsto. El grupo de obreros está constituidos por: A)18 B)19 C)20 D)21 E)22 5. 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en veinte días . En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan? A)24 B)26 C)28 D)30 E)32

C

E

6. Si la longitud y el ancho de un rectángulo se duplicará. En que por-

98



centaje aumenta su área? A)100% B)200% C)400% D)300% E)50% 7. Un futbolista patea 17 penales y acierta todos. ¿Cuántos penales más deberá patear y fallar todos, para que su eficiencia sea del 85%? A)4 B)3 C)2 D)5 E)6

I I1

8. Vicente tenía s/.240.00 luego va al mercado y gasta el 50% de lo que gastó. ¿Qué porcentaje del total gastó? A)33,3...% B)40,05% C)35,33% D)50% E)20% 9. Al precio de un objeto se le hacen 3 descuentos sucesivos del 5%, 10% y 20%. ¿Cuál es el descuento único que equivale a estos 3 descuentos sucesivos? A)37% B)41% C)32,5% D)20,8% E)31,60%

1 0 2

10. El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01% de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%. A)700 B)0,2 C)1 D)120 E)10

C

E

U P

VII TEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONES EXPONENCIALES Y VALOR NUMÉRICO

I I1

TEORÍA DE EXPONENTES

La teoría de exponentes tiene por finalidad estudiar todas las clases de exponentes que existen entre ellos, mediante leyes. LEYES DE EXPONENTES 1.

Producto de Bases Iguales

a m .a n  a m n 2.

Cocientes de Bases iguales

am  a mn an 3.

Potencia de un Producto

ab n  a n .b n 4.

U P

Potencia de cociente n

an a    n b b 5.

Potencia negativa de un cociente

E

C

1 0 2

a   b

n

b   a

n

- 99 -

100 6.

Aritmética y Álgebra Exponente cero

Centro Pre Universitario UNJBG

a 0  1 donde a  0 7.

Exponente negativo

a n  8.

I I1

1 an

Potencia de potencia

a 

m n

 a m.n

OBS:

   

 am   9.

n r

s

 a mnrs

Raíz de una potencia n

10.

am  a

m n

Raíz de un producto n

11.

U P

ab  n a .n b

Raíz de un cociente

n

12.

a na  b nb

E

Potencia de radical

a n

m

C

p

 n a mp

1 0 2

Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 13.

101

Radical de radical m n

a  mn a

I I1

OBS: m n r s

14.

a  mnrs a

Introducción de un factor a un radical

a m .n b  n a mn .n b  n a mn b

1 0 2

ECUACIONES EXPONENCIALES

Son ecuaciones, cuyas incógnitas aparecen como exponentes de una potencia, pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la solución se debe tener cuenta:  Por igualdad de bases:

ax  ay  x  y 

Si x  0, x  1

Igualdad en el exponente:

ax  bx  a  b

Si x  0

U P

Nota: no se tomará en cuente aquellas soluciones (raíces) que se obtengan fuera del conjunto de los números reales. 

Igualdad Base y Exponente

a a  x x => a  x

Si a  0, a

1

PROBLEMAS:

E

1. REDUCIR:

Ra

C

2 a 1

a2

4 4

A) 2 B) -2

a

C) 1 D) –1 E) 0

102



Sol:

2 a 1

Ra

a2

2a

I I1

2 2 .2 2

2 a 1

Ra

a2

2 2 a

2 a 1

Ra

2

a2 a2

2 a .2 a a  2  2 Rpta ( a ) 2

Ra

1 0 2

Nota: También se puede darle un valor adecuado a “a” para luego simplificar por Ejemplo: Si: a = 1

R 1

22 3

4 4

3

4 4 4  3  2 4 x2 8 2

2. RESOLVER:

U P

(0,2) x  0,5  (0,04) x 1 5 5 A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Sol:Transformando

C

E

2 1   5 1 10 5 4 1 1 0,04    2  5 2 100 25 5 0,2 

Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico

(5 1 ) x 0.5

=>

5 .5

1 2

=

103

(5 2 ) x 1

I I1

5  x0.5  5 2 x 2 1, 5 5 5  x 0,5  1,5 = 5 2 x  2 x – 1 = – 2x + 2

–

x=3

Rpta. ( c )

3. Simplificar:

R A) 2

n

B) 2

n+1

2 n 4  2(2 n ) 2(2 n3 ) C) 3

n-1

D) 7/8

Sol:

2 n.2 4  2.2 n R 2. 2 n.2 3 R

2 n (2 4  2) 2. 2 n.2 3

C

E

U P R

16  2 16

R

14 16

R

7 8

1 0 2 E) N.A.

Rpta. ( d )

104


4. Resolver:


x x  1 x 22

5. Calcular a qué exponente se debe elevar 18 para obtener:

54 2

A) 2/3

D) 4/3 E) 2/5

Sol:

xx

1

 1 2 xx   4  x

xx

1   4

x

.

Sea el exponente: x

. 2

2 . 4

.

=>

x

1 0 2

1 2

3

1   4

.

U P

E

C

 1 4   4

x

Rpta ( c )

6. Hallar el valor de:

B) 125

3

3 2 x .2 x  3 2 .2 4

 1 2 2   4

1 4

A) 25

 3 2 .2 2 1

1

xx

x

2

 3 32  2 2x x 3 .2   3 .2   

1 x x   4  x

54 2

18 =

3 .2

1 1 .

x

x



2 4

x 1 x x   4 

I I1

Sol:

x

1 xx   4 

B) 3/4 C) 1/2

2

1   2

x

2

2 n 1

2

C) 625

2n

22

625

D) 5

82

n

E) 1

3 4

Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico Sol:  2 2n 1.2 2n .2 2   

625  8

82

=

 2 2n.2.2 2n .2 2     

625

2

n

n 23.2 .4

=

625

n 82 n 82 .4

=

82

 22.2n  2n .4     

n

625

=

105

(625)8

I I1

1 4

(625)  4 625  5

Rpta ( d ) 7. Calcular el valor numérico de:

 ab  ba  E   b1  a a1 b   a  b  1 a

A) 16

1b

B) 14

2 b

C) 8

D) 12

a

b

  

2

sabemos que 0,5 =2

U P

 (a b )b  (b a ) a  E   b ba a ab   (a )  (b )  a

b

1  b b1a  a ab ( a )  ( b )  E   b b a a ab  (a )  (b )  

C

E

a

b = 0,5

E) 10

Sol:

 a b.b  b a.a E   b.b a a .a b  a  b

1 0 2

para a = 2 y

2

2

-1

2n

106

Aritmética y Álgebra 1  211  1 2 (2)  (2 )   E  (2) 2 -1  (2 1 ) 2   

1   2  2 2 2   E  1  2 2  2  2 

1   4  2  E   21 4  

E

I I1

2

2

 4 2 1    2  E  4 2 1   4     4  E   2

Centro Pre Universitario UNJBG 2

2

U P

16 2

E=8

Rpta.

8. Simplificar:

(c)

   .x   .x   ......

E  x2

2 3

4 4 3

E

Sabiendo que:

C A) 16

1 0 2

2

B) 32

5 6 4

n factores.

 n ( n 1)( n  2 )( n  3) 

C) 64

16 3  x

D) 256

E) 4096

Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico Sol: Sabemos que: 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ........ + n(n+1) (n+2) =

107

n(n  1)(n  2)(n  3) 4

Además por dato del problema

x  16

I I1

3 n ( n 1)( n  2 )( n 3)



E  x 2.2.3 . x 4.3.4 . x 6.4.5 . ......... E  x 2.2.3  4.3.4  6.4.5  ...........

E  x 21.2.3  2.3.4  3.4.5  .... Ex

2.

Ex

n ( n 1)( n  2 )( n 3) 4

n ( n 1)( n  2 )( n 3) 2

Reemplazando el valor de x:

 E  16  

3 n ( n 1)( n  2 )( n  3)

   

n ( n 1)( n  2 )( n  3) 2

U P

E  16

3 2

E  16

E

3

E  43

E  64

C

1 0 2

Rpta ( c )

108


9. Calcular el valor de “n” en la ecuación:

 1  2n 1 4 2n  4  .3  3 3 A) 2 B) 4 C) –1/2 Sol.:

D) 6

x2

E) 3

 1  2n 1 4 2n  4  .3  3 3

31.32 3

n 1

1 2 n 1

3

3

Centro Pre Universitario UNJBG 10. Indicar el valor no entero que toma x, de manera que se cumpla la igualdad:

2n  4 4

2( x2)

2( x2)

2n  4 4

2n  4  4.  2 n  4 2  4  2 .2 n  2 n  4 2 .2 n  2 n  4  4 2n  8 2 n  23 n3 Rpta. E

U P

E

Simplificar:

A) 27

C

B) 3

3  3 n 5 3 n 5  3 n  7 C) -9 D) 9

2 2 x x 1 2 3 x  23 23 2 2 x x 1 2 3 x  23 23

1 0 2 2 x4

2 2 x 3  x 1 2 3 x 3

2 x 3 2 x4

3 x 3 x 1

2 2 2 x  3 3x  3  2x  4 x 1

Resolviendo:

5 x 4

v

Por dato del problema Entonces

Rpta.: C

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar el valor de “x” en: 8 x  4  4 x 1 es: A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 2.

I I1

A) 1/3 B) –1/2 C) 5/4 D) 2/3 E) 5/3 Sol. Reduciendo ambos miembros tenemos:

2n  4 4

 1  2 n 1 

4 x x 1 (2 x ) 3  8 8

n 3

E) -8

x

5 4

x3

x

Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico

3.

4.

Resolver: x x 1  2 3 / 2 A) 1 B) 1/2 C) –1/2 D) -1 E) 3/2 4 Hallar 2a , si:

109

a x  4x 1  x x 2 16  a A) 4 B) 2 C) 3 D) 6 E) 8 x  0,5 (0,2)  (0,04) x 1 Resolver: 5 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Efectuar 2 n 2  2 n 4  2 n6 M  n2 2  2 n  4  2 n 6 A) 512 B) 256 C) 260 D) 181 E) N.A. Resolver 2 x  2 x 1  2 x  2  2 x 3  2 x  4  248 A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

I I1

x

5. 6.

7.

8.

Hallar: 5x + 10, si: 2 x x4 9 4  38 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 Hallar el valor de M  m 6 n 4 ;

9.

U P

2 n2

Si n n A) 40 10.

3 m m  m3

 4 ; mm =27. B) 41 C) 38 D) 3

1 0 2 E) 5

E) 36

Calcular “n” si: n 1 n  2 33 Si: 2n. 2 .2 ...  32 ( 2 n 1) factores

E A) 201

C

B) 121 C) 34

D) 64 E) 83

VIII POLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES, PRODUCTOS NOTABLES.

I I1

1. GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS  

Monomio: Es la mínima expresión algebraica que tiene un solo término: Polinomio: Es la expresión algebraica que tiene 2 ó más términos algebraicos. Recibe el nombre de binario cuando tiene 2 términos, trinomio cuando tiene 3 términos.

a) Grado de un monomio:  

1 0 2

Grado absoluto (G.A.): Está dado por la suma de los exponentes de todas sus variables. Grado Relativo (G.R.): Está dado por el exponente de la variable referida a dicho monomio. Ejm:

5 7 3

M (x,y,z) = 3x y z

U P

GA = 5 + 7 + 3 = 15 GR(x) = 5 GR(y) = 7 GR(z) = 3

b) Grado de un Polinomio:  

E

Grado absoluto (G.A): Está dado por el término que tiene mayor grado absoluto. Grado Relativo (G.R.): Está dado por el término de mayor exponente de la variable referida en dicho polinomio.

C

- 110 -

Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 111 Ejm: 3 5 2 5 2 4 2 7 5 P(x,y,z) = 4x y z – 3x y z + 2x y + 2x 3 5 2

5 2 4

2 7

P(x,y,z) = 4x y z – 3x y z + 2x y + 2x

5

grado=10 grado=11 grado= 9 grado=5

I I1

 G.A. = 11 GR(x) = 5 GR(y) = 7 GR(z) = 4

Nota: El valor numérico de un polinomio es el valor que toma dicho polinomio, cuando se reemplaza en él valores asignados a sus variables. 2 Ejm: sea P(x) = x + 2x – 1 Hallar P(2) 2

1 0 2

 P(2) = 2 + 2.2 – 1 = 7 2. POLINOMIOS ESPECIALES

c) Polinomios Ordenados: Son los que presentan un “orden” ascendente o descendente en los exponentes de una de las variables que se toma como base. Ejm: 5 3  P(x) = 8x – 2x + x – 3 7 2 2 10 9 12  P(x,y) = 5x y – 3x y + 7x y d) Polinomios completos: Son los que tienen todos los exponentes (desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) de la variable que se toma como base.

U P

Ejm:  

4

2

3

P(x) = x – 2x + x + 10 +x 3 2 2 3 P(x,y) = 4x – 5x y + 7xy + 8y

e) Polinomios Homogéneos: Son aquellos cuyos grados de sus términos son iguales:

E Ejm:

C

 

2

2

P(x,y) = x + 2xy + y 3 2 P(x,y,z) = 6x + 5xy – 1/5 xyz

112 f)

Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG Polinomios Idénticos: Son aquellos que se caracterizan por que sus términos semejantes tienen iguales coeficientes.

Ejm: ax2 + bx + cx  mx2 + nx + p

I I1

 a=m  b=n  c=p

g) Polinomios Idénticamente Nulos: Son aquellos que se caracterizan por que todos sus coeficiente son idénticos a cero. Ejm: 2 2 P(x) = ax + bx +cx + d  a= 0

b=0 c=0 d=0

3. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS h)

1 0 2

Suma y Resta: Para sumar o restar expresiones algebraicas se suma o se resta términos semejantes.

Nota: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal afectada por los mismos exponentes. i)

Multiplicación de expresiones algebraicas: Multiplicar expresiones algebraicas significa obtener una expresión denominada PRODUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador. Propiedades de la Multiplicación: i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores. ii) El término independiente del producto es igual al producto de los términos independientes de los factores.

U P

PRODUCTOS NOTABLES

Son productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuar operaciones, por esto se el reconoce fácilmente. i) Binomio al cuadrado: 2 2 2 (a + b) = a + 2ab + b 2 2 2 (a – b) = a – 2ab + b j)

E

Producto de una suma por su diferencia 2 2 (a + b) (a – b) = a – b

C

Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 113 k) Binomio al cubo 3

3

2

2

3

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b 3 3 2 2 3 (a – b) = a – 3a b + 3ab – b l)

Trinomio al cuadrado 2

2

2

I I1

2

(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc

m) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma o diferencia de cubos. 2

2

3

2

2

3

(a + b)(a – ab + b ) = a + b

3

3

(a – b)(a + ab + b ) = a – b

1 0 2

n) Producto de dos binomios que tienen un término común 2

(x + a) (x + b) = x +(a+b)x +ab o) Identidades de Legendre 2

2

2

2

(a + b) + (a – b) = 2 (a + b ) 2

2

(a + b) – ( a – b) = 4ab p) Identidades de Lagandre

(ax + by)2 + (bx – by)2 = (x2 + y2)(a2+b2)

U P

(ax + by + cz)2 + (bx – ay)2 + (cx – az)2 + (cy – bz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) PROBLEMAS RESUELTOS

1. El grado del polinomio homogéneo. 2m n+2 2n 4m P(x, y) = m.x . y – mx . y es: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 10

E Sol:

Grado1 Grado 2         2m n2 2n P ( x, y )  m.x . y  m.x . y 4 m

C

114

Aritmética y Álgebra Grado 1 = Grado 2 2m + n + 2 = 2n + 4m 2 = n + 2m 

2. Si

Centro Pre—Universitario UNJBG

grado = 2m + n + 2 grado = 2 + 2 = 4

Rpta ( a )

I I1

1 1 1 1 1   ; xy  15 . Hallar E  3  3 x y 2 x y

a) 1/4

b) 1/40

c) 1/10

d) 1/20

e) 1/80

Sol:

1 1 E        x  y 3

3

2 2  1 1   1  1 1  1   E        .      x y   x  x y  y  

1 0 2

2 2  1 1   1  1 1 1 1 1 E        2. .     3. .  x y  y x y  x y   x  

|

 1 1   1 1  3 E           x y   x y  xy  1  1 3  1 15  12  E      . 2  4 15  2  60  1 3  1 // Rpta ( b ) E  .   2  60  40 2

U P

3. ¿Cuál es el valor que asume

E

Si:

1 1 4   x y x y

a) 2

b) 3

C

c) 1

R

d) 4

x2  y2 x  2 y 2y   xy xy x  3y

e) N.A.

Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 115 Sol: De la condición:

1 1 4   x y x y

I I1

x y 4  xy x y

x  y 2  4 xy x 2  2 xy  y 2  4 xy x 2  2 xy  y 2  0 ( x  y)  0 x y





4n

4. Si: a a) –2 Sol:

1 0 2

R

x2  y2 x  2 y 2y   xy 2x x  3y

R

2 y2 3y 2 y 3 1    2   22  4 2 2y 4y 2 2 y

 a 4 n  34 , entonces a n  a  n es: b) 5

c) – 4

d) 2

U P

e) 3.

a 4 n  2.a 2 n .a 2 n  a 4 n  2.a 2 n .a 2 n  34

a a

2n 2n

 a 2 n a

 

2

2 n 2

 2  34  36

a 2 n  a 2 n  6

E a

C

2n

a

n

 2a .a n

 a n



2

n

 a 2 n  2a n .a  n  6

26

Rpta. ( d )

116

a

Aritmética y Álgebra n

a



n 2

4



a a n

Centro Pre—Universitario UNJBG n

2

Rpta ( d )

5. El grado del Polinomio es: P(x) = a) 220 Sol:

x

2





I I1



 1 x 5  1 x 8  1 ............. n términos : b) 520

c) 610

Grado = 2 + 5 + 8 + ............

d) 1220

e) 1610

20 términos y de razón 3

Para hallar la suma:

an  a1  (n  1)r an  2  (19)(3) an  59 a  an n S 1 2 S

2  59.20

2 S  (61)(10)

1 0 2

S = 610  grado = 610

Rpta ( c )

U P

6. Si P(x+3) = 6x – 2

P ( F ( x)  8)  30 x  58 Hallar el valor de

E  F (4)

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 Solución * P(x+3) = 6x – 2 P(x-3+3) = 6(x-3) – 2 P(x) = 6x – 20 Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos: P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8) – 20 P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48 – 20 P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28 ………. (1)

C

E

Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 117 *

Por dato del problema: P(F(x)+8) = 30x + 58 ………… (2) Igualando (1) y (2): 6F(x) + 28 = 30x + 58 6F(x) = 30x + 30 F(x) = 5x + 5

I I1

Entonces: F(4) = 5(4) + 5 = 25 Finalmente:

E  F (4) E  25 E 5 Rpta. C 7. Si el monomio A) 2 Solución

B) 6

C) 9

D) 12

3 x 6 .5 9 x 4 .3 x m . 2 x m 4 m m G.A.  6    5 15 30 Por dato del problema:

6

1 0 2

3 x 6 .5 9 x 4 .3 x m . 2 x m es 8, el valor de “m” es:

4 m m   8 5 15 30

U P

E) 16

multiplicando por 30 la ecuación anterior:

180  24  2m  m  240 3m  36 m  12

Rpta. D

E

a x9 8. Sabiendo que 9   7 , el valor de la expresión a x A) 3 B) 4 C) 5 D) 5 E) 2

C

4

a 4 x9  es: a x9

118

Aritmética y Álgebra Solución Supongamos que:


a 4 x9  Hallaremos E. a x9

E4

 a x 9  E  4 9  4  x a  

I I1

2

2

 a  a x 9  4 x 9  E   4 9   2.4 9 .4  a  a  x  x  2

2

2

E2 

a 2 x9

x9 a

a  x9

x9 a

E2  2 

 a E 2  9   x 





2

2



E

2



2



a x9 2 a E2  2  9 x

 E

2

2

2 

  2

2

2

U P

E

C

2

72

E2  2  9 E2  3 2 E 5

9. Si M A) 1

   

 4a x

3

Rpta. C

4  2.3 4  2.3 4 ...

B) 2

1 0 2

 a x 9  x 9    2. 9 .   a  a  x  x9 2 a 9 x  2 a

 a E  2   9  x 2

x9 a

C) 3

, su grado es: D) 4 E) N.A.

2

Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 119 Solución El grado de M es: 3 4 2.3 4 2.3 4... Supongamos que:

E  3 4  2.3 4  2.3 4  ... Hallaremos E.

I I1

3 E  3 4  2.34  2. 4  ...  E

E  4  2.E E 3  4  2E 3

Dando valores a E, obtenemos que: E=2 Rpta. B

1 0 2

10. Si el polinomio ordenado, decreciente y completo:

P ( x)  x 2 a 1  2 x b 3  3 x c  2  ... posee 2c términos; hallar “a+b+c”. A) 12 Solución

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16.

Como posee 2c términos, Entonces es de grado 2c-1. 2 c 1 2 c2 2 c 3  2 a 1 b 3 c2 P( x)  x  2 x  3 x  ... Del tercer término obtenemos:

2c  3  c  2 c5

U P

Del segundo término obtenemos:

b  3  2c  2 b5

Del segundo término obtenemos:

2 a  1  2c  1 a4

E

Por lo tanto:

C

a  b  c  14

Rpta: C

120




2.

3.

Hallar m/n si el polinomio: P ( x; y )  3 x m y n (2 x 2 m 1  7 y 6 n 1 ) es homogéneo. A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) N.A.

I I1

 ax  b   a  Sabiendo que P     x , Calcular:  ax  b   b  P(2)  P(3) P(5 / 3) A) 1/4 B) 2 C) 3 D) 5/4 E) 3/4

 Si  a   A) 1

2

1 0 2

1 1 3   3 el valor de a  3 es: a a B) 6 C) 0 D) -1 E) 2

4.

Si x a y b  2  u  x b y a  2 son tres términos consecutivos de un polinomio P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecientemente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y” de “u”. A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7

5.

La expresión: (a  b 2 ).6 x a  b  ab.4 x a  b  (b  a) x ; reducida a un monomio es: A) x B) 2x3 C) ax4 D) -3x2 E) 5x

6.

U P

( x  y )( x 2  y 2 )( x 3  y 3 )...( x n  y n ) . La suma de  1 1  1 1  1 1   1 1     2  2  3  3 ... n  n  y  x y  x y   x y  x los grados relativos de M es: n(n  1) n(n  1) A) B) n(n  1) C) n(n  1) D) 2 2 E) N.A. Sea M 

C

E

Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 121

7.

Hallar el valor de “n”: 1

1 / 2 a  3 .1 / 4 b3  6 n   b   3 1/ 2 6 3 a a b A) 3 B) 5 C) 6

8.

Siendo:

D) 4

I I1

E) 7

a2 m3   7 , calcular m3 a2

4

a 2 4 m3  m3 a2

A)3 B)4 C)5 D)1 E) 4 7

1 0 2

9.

La suma de los coeficientes del polinomio homogéneo: b a b b a b2 a P ( x; y )  ax a  bx a y12  x 3 y13  y b , es: b a A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) N.A.

10.

Efectuar el producto:  1  x 1  x  3 x     2  ; Si x = 2, se tiene:    1  x 1  x  4 x 4  A) 0 B) 3-16x C) 3 D) 3+16x E) N.A.

C

E

U P

IX DIVISIÓN, TEOREMA DEL RESTO, COCIENTES NOTABLES

I I1

I. DIVISION ALGEBRAICA

Definición: La división Algebraica es una operación que consiste en obtener un cociente “q(x)” a partir de dos expresiones algebraicas llamadas dividendo “D(x)” y divisor “d(x)”. Quedará un resto o residuo “r(x)” cuando se trate de una división inexacta.

1 0 2

D ( x)  d ( x).q ( x)  r ( x) División inexacta D ( x)  d ( x).q ( x)

División exacta

Casos de la División: 1) Cuando se trata de dos monomios: Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coeficientes y finalmente se dividen las letras aplicando teoría de exponentes. Ejm:

Dividir:

E

 32 x 5 y 8 z 10  16 x 2 y z 8

E  2x3 y 6 z 2

U P

2) Cuando se trata de dos Polinomios: Se puede utilizar cualquiera de los métodos siguientes: a) Método Normal b) Método de los coeficientes separados. c) Método de Horner d) Método de Ruffini.

E

Ejm: Dividir

4x3  9x2  7x  6 x2  2x 1

a) Método Normal Ordenando previamente tenemos

C

- 122 -

División, teorema del resto, cocientes notables 3

2

123

2

4x - 9x + 7x - 6 - 4x3 +8x 2 - 4x

x - 2x + 1 4x - 1

- x 22 + 3x - 6 x - 2x + 1 x-5

I I1

 q(x) = 4x – 1 R(x) = x – 5

b) Métodos de coeficientes separados Sólo se trabaja con los coeficientes y sus correspondientes signos.

4 -4

-9 7 8 -4

-6

1

-2

4

-1

-1 3 -6 1 -2 1 1 -5  q(x) = 4x – 1 R(x) = x – 5 c) Método de Horner:

1

1 0 2 4x  9x  7x  6 x2  x   2 1 3

Tenemos que dividir

2

se cambia su signo

U P 1 2 -1

C

E

4

4

-1

-9 8 -1

cociente

 q(x) = 4x – 1 R(x) = x – 5

7 -4 -2

-6

1

-5

1

residuo

124



METODO DE RUFFINI Se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio cuando el divisor es un binomio de primer grado. Ejm: Dividir:

x 3  2 x 2  3x  9 x2

I I1

Procedimiento x+2=0 x = –2

1 -2 1

-2

3

9

-2

8

- 22

-4

Resto

11 - 13

cociente 2

 q(x) = x – 4x + 11

Resto = - 13

1 0 2

TEOREMA DEL RESTO Este teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuar la división. “El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de la forma “ ax  b ” es igual al valor numérico que adquiere dicho polinomio cuando se reemplaza en él,  por  ba ”. Ejm:

U P

Hallar el resto en:

y+ 8 =0 y = -8

E

( x  5) 2  ( y  7) 3  8 y 8 2

3

Resto = (-8 + 5) + (-8 + 7) + 8 2 3 R = (-3) + (-1) + 8 R=9–1+8 R = 16

COCIENTES NOTABLES Se denominan cocientes notables a ciertos casos particulares de divisiones exactas.

C

División, teorema del resto, cocientes notables De tal forma que sin efectuar la división, se puede escribir su desarrollo.

x m  am xa

Forma General:

donde

mZ

I I1

CASO 1:

xm  am es cociente notable cuando “m” es impar xa

CASO 2:

xm  am es cociente notable cuando “m” es par xa

CASO 3:

xm  am no es cociente notable xa

CASO 4:

xm  am es cociente notable para cualquier valor de “m” xa

1 0 2

x5  a5 4 3 2 2 3 4 = x – x a + x a – xa + a xa

Desarrollo de C.N. :

125

DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N. Forma General :

U P

xm  am m-1 m-2 m-3 2 m-1 =x +x a+x a +…+a xa t(k) = (signo) x

E

m-k

k-1

. a

Regla para el signo:  Cuando el divisor es de la forma (x-a) el signo de cualquier término es positivo.  Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de términos que ocupan un lugar par son negativos y los que ocupan lugar impar son positivos.

C

126



ejemplo: Hallar el t(40) en el desarrollo del C.N. :

x150  a100 x3  a 2

I I1

solución:

( x 3 ) 50  (a 2 ) 50 x3  a 2 t(40) = -(x3)50-40 . (a2)40-1 t(40) = -x30 . a78 PROBLEMAS:

1.

El resto de la división:

1 0 2

nx n  (n  1).x n 1  (n  2).x n  2  3n  16 x 1 a) 17

b) 13

c) 15

d) 21 e) 19

U P

Solución Por teorema del resto tenemos que: x = 1  R  n.1n  (n  1).1n 1  (n  2).1n  2  3n  16 R  n  n  1  n  2  3n  16 Rpta. B R  13 2.

Hallar el residuo de:

E

C a) 4

b) 20

x100  x 50  x 4  3 x2  1

c) 71

d) 110

e) N.A.

División, teorema del resto, cocientes notables

100

x



Solución 50 25 2 x2  x2  x2  3  x 50  x 4  3 = x2  1 x2  1 y 50  y 25  y 2  3 = y 1 Por teorema del resto y = 1

     

127

tomamos x2 = y

I I1

3.

R = 150 + 125 – 12 +3 R=1+1–1+3 R=4 Rpta. A El resto de la división : x  a 7  ( x 7  a 7 ) x  2a a) 128a7 126a7

b) –127a7

1 0 2

c) 127a7

d) –126a7

e)

Solución Por teorema del resto: 7 ==> R   2a  a   (2a ) 7  a 7 



R   a    128a 7  a 7 7

U P 

R   a   127a R   a 7  127a 7 R  126a 7 7

7



m 3

sea cociente notable y su sexn  ym gundo término en su desarrollo sea x2y2. Hallar nm. a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) N.A.

E

C

Rpta. E

x   y  Para que la expresión: n 3

4.



128



Solución Sabemos que: t ( k )  signo. A m  k .B k 1 |

  y 

t( 2 )   x n

3 2

m 2 1

t( 2 )  x n . y m x2.y2  xn.ym Entonces n = 2 , m = 2.  n m  22  4 5.

Determinar el valor de “m” para que el cociente cociente notable. a) 3 b) –3 c) 2 Solución Por propiedad

d) – 4 e) 4

6 m  1 5m  2m  3 m

6 m  1 5m   2m  3 m  6m  1 5 2m  3 6m  1  5(2m  3) 6m  1  10m  15 16  4m m4

6.

I I1

Rpta. B

U P

Rpta. E

x 6 m 1  5 m sea x 2m 3  y m

1 0 2

( x  2) 2001  ( x  1) 2000  7 ( x  2)( x  1) a) 3 b) 2x-1 c) 3x+2 d) 2x-4 e) 2x+4 Solución Hallar el resto de dividir

E

Sabemos que: D(x) = d(x).q(x) + R(x) Como el divisor es de segundo grado entonces, el residuo tiene la

C


129

forma de: R(x) = ax + b Reemplazando: ( x  2) 2001  ( x  1) 2000  7  ( x  2)( x  1).q ( x)  ax  b Si x = 2 : 0  (1) 2000  7  0  a.2  b 1  7  2a  b 2a  b  8 ........ (*)

Resolviendo (*) y (**): 2a  b  8 ab  6 a =2 b= 4 Por lo tanto: R(x) = 2x +4 7.

1 0 2 Rpta. E

Hallar el resto en: ( x  2) 82  4( x  2) 63  5( x  2) 24  3( x  2) 3  7 x 2  4x  5 a) x+2 b) 2x+1 c) 2x-1 d) x+1 e) x-1 Solución

U P

( x  2) 82  4( x  2) 63  5( x  2) 24  3( x  2) 3  7 x 2  4x  5 ( x  2) 82  4( x  2) 63  5( x  2) 24  3( x  2) 3  7 = x 2  4x  4  1 =

( x  2) 

2 41

=

C



 4 ( x  2) 2



31



.( x  2)  5 ( x  2) 2 ( x  2) 2  1 Hacemos que (x + 2)2 = y

E

I I1

(1) 2001  0  7  0  a.1  b 1 7  a  b a  b  6 .........(**)

Si x = 1 :



12

 3( x  2) 2 .( x  2)  7

130



y  4 y .( x  2)  5 y  3 y.( x  2)  7 y 1 Por el teorema del resto: y = -1 41

31

12

=

I I1

Re sto  (1) 41  4(1) 31 .( x  2)  5(1)12  3(1).( x  2)  7 Re sto  1  4( x  2)  5  3( x  2)  7 Re sto  1  4 x  8  5  3 x  6  7 Rpta. E Re sto  x  1 8.

Hallar “m” para el polinomio x3 + x2 - 3mx + 5 al dividirlo entre x –1 dé como resto el doble de dividirlo entre x – 2. a) 27 b) 21 c) 18 d) 9 e) 3 Solución Aplicando teorema del resto a:

1 0 2



x 3  x 2  3mx  5 x 1

 x =1: R1  1  1  3m  5



x  x  3mx  5 x2

 x =2: R2  8  4  6m  5

3

2

R1  7  3m

R2  17  6m Por dato del problema: R1 = 2R2 7 – 3m = 2(17 – 6m) 7 – 3m = 34 – 12m 9m = 27 m=3 Rpta. E 9.

U P

Hallar el resto de dividir ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)( x  6) entre x 2  7 x  11 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

C

E


131

Solución ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)( x  6) x 2  7 x  11

I I1

Multiplicando lo indicado tenemos: ( x 2  7 x  6)( x 2  7 x  10)( x 2  7 x  12) x 2  7 x  11 Hacemos que x 2  7 x = y =

( y  6)( y  10)( y  12) y  11

1 0 2

Por el teorema del resto: y = -11 Re sto  (11  6)(11  10)(11  12) Re sto  (5)(1)(1) Re sto  5 10.

Rpta. E

Calcular el valor numérico del término central del cociente notable originado al dividir: ( x  y )100  ( x  y )100 para x = 3, y = 2 2 . ( x  y)4  ( x  y)4 A) 1 B) 2 C) 100 D) 200 E) 10000 Solución

U P 

E

C

  25



25

( x  y )100  ( x  y )100 ( x  y)4  ( x  y)4 = ( x  y)4  ( x  y)4 ( x  y)4  ( x  y)4 25  1 El término central ocupa el  13 término, entonces k = 13. 2 Aplicando la Ec.:

132


t ( k )  signo. A

mk



|

 .( x  y)   ( x  y )  .( x  y ) 

t(13)   ( x  y ) 4 t(13)

.B


k 1

25 13

4 13 1

4 12

4 12

I I1

t(13)  ( x  y ) 48 .( x  y ) 48 t(13)  ( x  y ).( x  y )

48





48

t(13)  x 2  y 2 Reemplazando los valores de “x” e “y”



t(13)  (3) 2  (2 2 ) 2  9  8



48

48

 1 1

48

Rpta. A

1 0 2


P( x) (x  3)(x  1) A) 3x – 91 B) 3x + 19 C) x + 2 D) 3x – 191 E) N.A.

1. Si: P(x)= (x+2)30 +3x – 192, hallar el resto de

x 4  2 x 3  25 x 2  Ax  B es exacta. x 2  x  12 A)146 B)164 C)116 D)46 E)16

U P

2. Calcular A+B si la división

3. Hallar el término 21 en el siguiente cociente notable: 2

2x  x2 . 1  20 x  1

2

A) x+1 B) x C) x +1 D) x -1 E) x-1

E

4. Señalar "m" para que

C m+1.

a 2m 3  bm  7 sea un cociente notable. De m2 + a 2m  2  bm  2


133

A)4 B)12 C)7 D)21 E)No es C.N. 5. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del polinomio Q (x) si se sabe que es de tercer grado, su coeficiente principal es 1, es divisible por (x-2)(x+1) y carece de término cuadrático?

I I1

A) 4 B) –5 C) 7 D) –4 E) 9

x 75  y 30 x5  y 2 D) x 40 y 30 E) x18 y12

6. Calcular el 7mo. Término del cociente: A) x 40 y15 B) x 40 y12 C) x 40 y 20

x a  y12 7. Dado el cociente notable b , el término de lugar “k” de su x  yc desarrollo tiene grado absoluto 11 y además se cumple que a + c = 20 y a3 + c3 = 5840. Calcular k. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1 0 2

8. Cuando el polinomio 15 x 4  Ax 3  Bx 2  Cx  D se divide entre 5 x 2  x  3 , se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de uno en uno a partir del primer término y un residuo de 2x-9. Hallar A+B-C+2D A) 7 B) -6 C) 12 D) -7 E) 0

U P

( x  2) 2 n  3 x  192 , es: ( x  3)( x  1) A) 3x-91 B) 3x+19 C) x+2 D) 3x-191 E) x+9

9. El resto de dividir

10. Hallar el resto en:

E A) 0

C

B) 1

( x  1) n  2  x 2 n 1 x2  x  1 C) 3 D) 5 E) N.A.

X FACTORIZACIÓN: DIVERSOS MÉTODOS

I I1

FACTORIZACIÓN

Factorización, es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de factores primos racionales y enteros: es decir, factorizar significa convertir una suma algebraica en producto de factores.

METODOS DE FACTORIZACIÓN

1 0 2

1.- FACTOR COMÚN: El factor común puede ser de tres tipos:  factor común monomio  factor común polinomio  factor común por agrupación

a) Factor Común Monomio: Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio. ejemplo:

Factorizar:

U P 2

4 2

4 4

15a b + 10a b – 20a b 2

el factor común es: 5a b  15a2b + 10a4b2 – 20a4b4 = 5a2b (3 + 2a2b – 4a2b3)

b) Factor Común Polinomio: Cuando el factor común que aparece es un polinomio. ejemplo: Factorizar:

E 

C

5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z) el factor común es: xy – z 5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z) = (xy – z) (5a – 3b + 4)

c) Factor Común por agrupación: Se busca agrupar términos de modo - 134 -

División, teorema del resto, cocientes notables que vuelva a aparecer un factor común en todo el polinomio. ejemplo:

135

Factorizar: xy – zy + xw – zw agrupamos de la forma siguiente:

I I1

xy - zy + xw - zw y(x – z) + w(x – z) (x – z) (y + w)

2. METODO DE IDENTIDADES

a) Diferencia de Cuadrados: Es una diferencia de cuadrados perfectos. 2n

2n

n

a –b

n

n

6

Ejemplo:

1 0 2

n

= (a + b ) (a – b ) 8

Factorizar: x – y



6

8

x –y

3 2

4 2

= (x ) – (y ) 3 4 3 4 = (x + y ) (x – y )

b) Trinomio Cuadrado Perfecto: Tiene la siguiente forma: 2m

a

m n

2n

+ 2a b + b

m

n 2

2m

= (a + b )

a

U P 8

ejemplo:

m n

2n

– 2a b + b

4 2

m

4

Factorizar: x + 6x y + 9y



8

4 2

4

4 2

4

C

E

3m

+b

3m

–b

a

2

2 2

x + 6x y + 9y = (x ) + 2 . x . 3y + (3y ) 4

2 2

= (x + 3y )

c) Suma o diferencia de cubos: Tiene dos cubos perfectos: a

n 2s

= (a – b )

3n

= (a + b ) (a

m

n

2m

–a b +b )

3n

= (a – b ) (a

m n

2n

m

n

2m

+a b +b )

m n

2n

136



9

ejemplo:



Factorizar: x + 8 9

3 3

3

3

3 2

3

2

x + 8 = (x ) + 2 = (x + 2) [(x ) – x . 2 + 2 ] 3

6

3

I I1

= (x + 2) (x – 2x + 4)

3. METODO DEL ASPA c) Aspa Simple: Se utiliza para factorizar trinomios de la forma:  

 bxn  c  bxn  c

2n

ax 2n x

PROCEDIMIENTO:  Descomponemos los extremos en dos expresiones que multiplicadas los vuelve a reproducir.  Luego multiplicar en aspa y sumamos estos productos. Este último debe coincidir con el término central.  Finalmente escribiremos los factores del polinomio dado. 2

ejemplo:

1 0 2

Factorizar: P(x) = 8x – 2x - 3



8x2 - 2x - 3 2x

1

4x

-3

U P

4x

- 6x - 2x

 P ( x )  (2 x  1) ( 4 x  3)

d) Aspa Doble: Se aplica para factorizar polinomios de la forma: 2n

 bxnyn  cy2n  dxn  eyn  f

E

ax

Es decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2 o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodar los términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algún término se completa con coeficiente cero. También el método de aspa

C

División, teorema del resto, cocientes notables doble se aplica para algunos polinomios de 4to. grado. 2 2 Ejemplo: Factorizar: E = 6x + 7xy – 3y + 11x – 11y – 10

137



6x2 + 7xy - 3y2 + 11x - 11y - 10 3x

-y I

2x

I I1

-2

III

II

3y

5

Verificando los términos

I : 9xy - 2xy +7xy

1 0 2 II : - 5y - 6y -11y

Luego la expresión factorizada es:

III :

15x - 4x 11x

E = (3x – y – 2) (2x + 3y + 5)

Aspa Doble Especial: Se usa para factorizar polinomios de 4to. grado de la forma general: ax

4

U P

 bx3  cx2  dx  e

PROCEDIMIENTO:   

Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus factores primos con signos adecuados. Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta manera se obtiene un término de 2do. grado. A este resultado se le debe sumar algebraicamente otro término de 2do. grado para que sea igual al tercer término. Con este otro término de 2do. grado colocado como tercer término del polinomio, se descompone en sus factores en forma conveniente. 4 3 2 ejemplo: Factorizar: E = x – 10x + 19x – 18x + 9

E



C

138

Aritmética y Álgebra solución:


x 4 - 10x 3 + 19x 2 - 18x + 9 x2

9

9x 2

x2

1

x2

I I1

10x 2 2

2

2

Se observa que falta: 19x – 10x = 9x 2 Se descompone 9x en factores en forma conveniente y se verifica el 2do. y 4to. término. X

2

- 9X

9

I 2 X

-X

1

Verificando los términos: I

3 -X 9X

- 10 X La expresión factorizada es: 2

U P

2

E = (x – 9x + 9)(x – x + 1)

1 0 2 II

II

- 9X - 9X - 18 X

4. MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOS Permite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte factores de primer grado de forma: xB ; AxB Es decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 entonces P(x) es divisible por (x – a) Procedimiento: - Se determina por lo menos un cero del polinomio - De acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o factor. - El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisor ob-

C

E

División, teorema del resto, cocientes notables 139 tenido mediante la regla de RUFFINI. Ejm: 3 2 Factorización: P(x) = x + 6x + 11x + 6 Sol:  Se determina los posibles ceros del Polinomio para valores de: x =  1,  2,  3,  6  Para x = – 1 3 2 P(-1) = (-1) + 6(-1) + 11(-1) + 6 = – 1 + 6-11 + 6 = 0 ¡ se anula ¡ 

I I1

Luego (x + 1) es el factor del polinomio Dividiendo P(x) entre el factor obtenido por regla de RUFFINI:

1

6 -1 5

-1 1

11 -5 6

6 -6

1 0 2 2

Luego el polinomio factorizado es: ( x – 1)(x +5x + 6) Finalmente (x – 1)(x + 3)(x + 2)

5. METODO DE ARTIFICIO DE CALCULO a) Reducción a diferencia de cuadrados Consiste en transformar una expresión (trinomio en general), a una diferencia de cuadrados sumando y restando una misma expresión de tal manera que se complete el trinomio cuadrado perfecto. 4 2 4 8 Ejm: Factorización E = 49x + 5x y + y Solución: Se observa que los extremos son cuadrados perfectos Entonces: 4 2 4 8 E = 49x + 5x y + y

U P 2 2

4 2

2 4

E = (7x ) + (y ) + 5x y 2 2

2

4

4 2

2 2

2

4

4 2

2 2

2 4

E = (7x ) + 2.7 x . y + ( y ) – 14x y + 5 x y 2 4

E = (7x ) + 2.7 x . y + ( y ) + 5 x y

E

2

4 2

2

4 2

2 4

E = ( 7x +y ) – 9x y

2 2

E = ( 7x +y ) – (3xy )

C

2

4

2

2

4

2

E = ( 7x +y + 3xy ) ( 7x + y – 3xy )

140

Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG b) Método de Sumas y Restas Consiste en sumar y restar una Misma cantidad de tal manera que se forme una suma o diferencia de cubos y se presenta el factor: 2

x +x+1

2

ó x –x +1

I I1

algunas veces también se completa el Polinomio 5 Ejm: Factorizar : E = x + x – 1 Solución: 2 Sumando y restando x

E  x5  x 2  x 2  x  1 E  x 5  x 2  ( x 2  x  1) E  x 2 ( x 3  1)  ( x 2  x  1) E  x 2 ( x  1)( x 2  x  1)  ( x 2  x  1) E  ( x 2  x  1)[ x 2 ( x  1)  1] E  ( x 2  x  1)( x 3  x 2  1) c) Cambio de Variable:

1 0 2

Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obtenga una forma de factorización mas simple. Ejm: Factorizar:

U P

E  ( x  1)( x  3)( x  4)( x  6)  38 E  ( x 2  2 x  3)( x 2  2 x  24)  38 2

haciendo: x – 2x = a

E  (a  3)(a  24)  38 E  a 2  27 a  72  38

E

E  a 2  27 a  110 E  (a  22)(a  5)

E  ( x 2  2 x  22)( x 2  2 x  5)

C

División, teorema del resto, cocientes notables PROBLEMAS:

141

Factorizar: ( x  3)( x  2)( x  1)  ( x  2)( x  1)  x  1 a) ( x  1)( x  3) 2 b) ( x  2)( x  3) c) ( x  2) 2 ( x  1) d) ( x  1) 2 ( x  3) e) ( x  1) 2 ( x  3) 2

1.

I I1

Solución (x+3)(x+2)(x+1) + (x+2)(x+1) + (x+1) (x+1)[(x+3)(x+2) + x+2 + 1] (x+1)[x2+5x+6+x+3] (x+1)[x2+6x+9] (x+1)(x+3)2 Rpta. A

1 0 2

Factorizar: x3 + y3 – 3xy +1 a) (x+y+1)(x+y)2 b) (x+y+1)(x+y+1)2

2.

2

2

d) (x+y+1)(x +y -x-y+1)

2

2

c) (x+y+1)(x -xy+y -x-y+1)

2

2

e) (x+y+1)(x +y -xy-x-y)

Solución x 3  y 3  3 xy  1

x 3  3 x 2 y  3 xy 2  y 3  3 x 2 y  3 xy 2  3 xy  1 (x  (x  (x  (x  (x  (x 

y ) 3  1  3 x 2 y  3 xy 2  3 xy y ) 3  1  3 x 2 y  3 xy 2  3 xy y ) 3  1  3 xy ( x  y  1) y  1) ( x  y ) 2  ( x  y )  1  3 xy ( x  y  1) y  1) x 2  2 xy  y 2  x  y  1  3 xy y  1)( x 2  xy  y 2  x  y  1)

U P

E

3.

C

 





Rpta. C

Uno de los términos independientes de los factores simples de: E  x 5  4 x 4  10 x 2  x  6 es: a) –2 b) 4 c) 3 d) 6 e) –3

142



Solución

Por método de RUFFINI tenemos: 1 4 0 -10 -1 1 1 5 5 -5 1

5 1

5 6

-5 11

-6 6

1

6 -1

11 -5

6 -6

/

1

5 -2

6 -6

/

1

3

/

1

-1

-2

6 -6

1 0 2

Entonces E = (x-1)2(x+1)(x+2)(x+3) El términos independientes buscado es 3. 4.

E E E E

 x 2  y 2  y ( x  y )  x( x  y )  xy  x 2  y 2  xy  y 2  x 2  xy  xy  2 x 2  2 y 2  3 xy  2 x 2  2 y 2  4 xy  xy

U P

E  x(2 x  y )  2 y ( y  2 x) E  (2 x  y )( x  2 y )

5.

Rpta. C

Factorizar: E = x2-y2+y(x-y)+x(x+y)+xy a) (2x+y)(2y-x) b) (2x-y)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d) (2x+y)(x+y) e) N.A. Solución

E

Rpta. B

Calcular el término independiente de uno de los factores de: ( x  5)( x  7)( x  6)( x  4)  504 A) 9 B) 18 C) 6 D) 2 E) 12

C

I I1

/

División, teorema del resto, cocientes notables Solución

143

( x  5)( x  7)( x  6)( x  4)  504 =

Multiplicando lo indicado tenemos:  ( x 2  x  20)( x 2  x  42)  504 Hacemos que x 2  x = y  ( y  20)( y  42)  504

I I1

 y 2  62 y  840  504  y 2  62 y  336  ( y  56)( y  6) Reemplazando el valor de y  ( x 2  x  56)( x 2  x  6)  ( x  8)( x  7)( x  3)( x  2)

1 0 2 Rpta. D.

Un factor de: 2 x 2  1  (4 x 3 y  6 x 2 y 2  4 xy 3  y 4 ) 2 2 2 2 2 A) 1  2 xy  y B) x  y  1 C) 1  2 xy  y D) 1  2 xy  2 y 2 E) 2 xy  2 y  1

6.

Solución

2 x 2  1  (4 x 3 y  6 x 2 y 2  4 xy 3  y 4 ) = = 2 x 2  1  x 4  x 4  (4 x 3 y  6 x 2 y 2  4 xy 3  y 4 )  x 4  2 x 2  1  ( x 4  4 x 3 y  6 x 2 y 2  4 xy 3  y 4 )  ( x 2  1) 2  ( x  y ) 4

U P

E

7.

C



 

2

 ( x 2  1) 2  ( x  y ) 2  ( x 2  1)  ( x  y ) 2 . ( x 2  1)  ( x  y ) 2  x 2  1  x 2  2 xy  y 2 . x 2  1  x 2  2 xy  y 2  1  2 xy  y 2 2 x 2  1  2 xy  y 2 Rpta. A El factor de grado uno respecto a “x” en H ( x; y; z )  x( x 2  yz )  z ( x 2  y 2 )  y 3 es: A) x-y B) x+y-z C) y+z D) x-y+z E) x+z

  











144



Solución

H ( x; y; z )  x( x 2  yz )  z ( x 2  y 2 )  y 3 H ( x; y; z )  x 3  xyz  zx 2  zy 2  y 3 H ( x; y; z )  x 3  y 3  xyz  zx 2  zy 2  

I I1

H ( x; y; z )  ( x  y )( x 2  xy  y 2 )  z ( xy  x 2  y 2 ) H ( x; y; z )  ( x 2  xy  y 2 )( x  y  z ) Rpta. D 8.

Un factor de P(a;b) = 2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 2, es: A) 2a +3b – 1 B) 3a – 2b +1 Solución

C) a – b – 1

D) 2a + b –2

2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 2 2a2 + 5ab –3b2–3a+5b–2

9.

E) a + 3b – 2

1 0 2

Comprobando: 6ab  ab  5ab 3b  2b  5b a  4a  3a Por lo tanto los factores son: (2a – b + 1)(a + 3b – 2) Rpta. E 4 Al factorizar el polinomio P ( x; y )  4 x  81 y 4 , y evaluar uno de

U P

sus factores para x = y = 2 , se tiene: A) 8 B) –8 C) 22 D) –2 E) 34 Solución

P ( x; y )  4 x 4  81 y 4 P ( x; y )  4 x 4  36 x 2 y 2  81 y 4  36 x 2 y 2 P ( x; y )  (2 x 2  9 y 2 ) 2  36 x 2 y 2 P ( x; y )  (2 x 2  9 y 2 ) 2  (6 xy ) 2

E 



P( x; y )  2 x 2  9 y 2  6 xy . 2 x 2  9 y 2  6 xy

C




145

evaluando los factores para x = y = 2 * 2 x 2  9 y 2  6 xy  2( 2 ) 2  9( 2 ) 2  6( 2 )( 2 ) = 4  18  12  10 2 2 * 2 x  9 y  6 xy  2( 2 ) 2  9( 2 ) 2  6( 2 )( 2 ) = 4  18  12  34 Rpta. E 10.

I I1

Hallar la suma de los términos independientes de los factores de: a 2  4ab  4b 2  7 a  14b  10 A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 13 Solución a 2  4ab  4b 2  7 a  14b  10 = a 2  4ab  4b 2  7 a  14b   10





= a  2b   7a  2b   10 Haciendo a+2b=x = x 2  7 x  10 = ( x  5)( x  2) Reemplazando el valor de x = a  2b  5a  2b  2 Por tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; la suma es 7. Rpta. B

1 0 2 2

U P


1. Factorizar: 8 x 3  12 x 2  6 x  65 A) (2 x  5)3 B) (2 x  13)3 C) (2 x  5)(4 x 2  4 x  13) D) (2 x  5)3 E) (2 x  5)(4 x 2  4 x  13)

E

2. La suma de los términos independientes de los factores de: P = (x+1)(x+4)(x-3)(x-6) + 38 es: A) 27 B) –27 C) 22 D) –22 E) N.A.

C

146



3. Si: R  (a  b)  (a  c)  (a  b)  (a  c)3 . Hallar la suma de los coeficientes de uno de los factores. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A. 3

3

3

I I1

4. Al factorizar la expresión E  ( xy )3 z 2  xyz ( py  qx)  pq ; uno de los factores es: A) x 2 y 2 z B) xy 2 z  q C) xy 2 z  q D) x 2 yz  p E) xyz - q

5. Factorizar P ( x : y; z )  ( x  y  z )3  x 3  y 3  z 3 , e indique el número de factores lineales primos. A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 6. Factorizar F (n)  n 6  4n 4  3n 2  2n  1 , e indicar el producto de los coeficientes de uno de los factores. A) 8 B) 7 C) 3 D) 6 E) 9

1 0 2

7. Si T ( y )  ( y 2  1)( y 2  4)  3(2 y  3) , entonces la suma de los factores es: A) 2y2-4 B)2y-4 C) y2+2y+5 D) y-5 E) N.A. 8. Uno de los factores de P(x) = x2 + x – 1 es: A) x2-x+1 B) x2+x+1 C) x2-x-1 D) x3-x2-1

U P

E) x3+x2+1

9. En el polinomio P( x; y )  x 2 ( x  y ) 2  14 xy 2 ( x  y )  24 y 4 , señale uno de los factores primos. A) x+4y B)x+3y C) x+2y D) x-y E) N.A. 10. Al factorizar E(x) = 8x3-12x2+6x-65, la suma de los coeficientes de uno de los factores es: A) –1 B) –2 C) –3 D) 20 E) N.A.

C

E

XI MÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRACCIONES, SIMPLIFICACIÓN I.

I I1

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS

1 0 2

Máximo común divisor: Para determinar el MCD se factorizan las expresiones y se forma el producto de factores comunes con su MENOR EXPONENTE.

Mínimo Común Divisor : Para determinar el MCM se factorizan las expresiones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con su MAYOR EXPONENTE. Ejm : Hallar el MCD y MCM de Ay B

A  (x - 1) 7 (x  8) 5 (x  5) 3 B  (x  8) 3 (x  5) 9 (y  1) Sol :

MCD (A, B)  (x  8) 3 (x  5) 3

U P

MCM (A, B)  (x - 1) 7 (x  8) 5 (x  5) 9 (y  1)

II. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denominador donde este último es a lo menos de primer grado. Por ejemplo

2 x 2 - 3x 5 * x-y 7 * 5 x -6

C

E

- 147 -

148 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG III. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES: Para simplificar una fracción se factoriza el numerador y el denominador y se elimina los factores comunes que aceptan. Ejm : Simplificar :

x 2 - 5x  6 2ax - 6a ( x - 3) (x - 2) E 2a ( x - 3) x-2 E 2a

I I1

E

Operaciones con Fracciones algebraicas : * Suma y Resta: Tener presente los siguiente: - Simplificar las fracciones si es necesario. - Se halla el MCM determinando el mínimo común denominador de los denominadores. - Se divide el mínimo común denominador entre cada denominador y se multiplica por el numerador respectivo. - Finalmente simplificar la fracción obtenida. * Multiplicación y División :  Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores y denominadores y luego multiplicar estos entre si.  Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que actúa como divisor y se procede como en el caso de la multiplicación. Ejemplo 1. : Ejemplo 2. Efectuar : 2 3 Efectuar  2 2 2 2 2

2 3  ( x  1) ( x - 1) ( x - 1) 2 2( x - 1)  3( x  1) ( x  1) ( x - 1) 2 2 x - 2  3x  3 ( x  1) ( x - 1) 2 5x  1 ( x  1) ( x - 1) 2

E

C

x - 2x  1

U P

x -1

Solución :

1 0 2

xy - 2 y x  2xy  y * 2 x - xy x 2 - 2xy Solución :

y( x - 2 y) (x  y)2 * x( x  y) x( x - 2y)

y ( x - 2 y )(x  y)2 x( x  y) x( x - 2y) y (x  y) x2

Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 149 PROBLEMAS:

1.

Hallar el Máximo Común Divisor de: A  x 4  x 3  6x 2 y B  x 4  7 x 3  16 x 2  12 x a) x2(x+1) b) x(x+2) c) x(x+2)2 d) x+2 Solución A  x 4  x 3  6 x 2  x 2 ( x 2  x  6)  x 2 ( x  3)( x  2)

I I1

B  x 4  7 x 3  16 x 2  12 x  x( x 3  7 x 2  16 x  12)  x( x  3)( x  2) 2

 MCD(A,B) = x(x+2) Rpta.B

e) x2

a k m , siendo A  3 x n 1 (4 y m 1 ) ; c  mb  n B  2 x n 1 (8 y m 1 ) . Además el MCM de A y B es cx a y 4 y el MCD de A y B es kx 5 y b . a) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15 Solución Calcular E 

2.

b

A  3 x n 1 (4 y m 1 )  12 x n 1 y m 1 B  2 x n 1 (8 y m 1 )  16 x n 1 y m 1 



MCD(A,B) = 4 x n 1 y m 1 por dato del problema MCD(A,B) = kx 5 y b . Entonces : 4 x n 1 y m 1 = kx 5 y b k=4 n – 1 = 5 ==> n = 6 m–1=b MCM(A,B) = 48 x n 1 y m 1 por dato del problema MCM(A,B) = cx a y 4 Entonces : 48 x n 1 y m 1 = cx a y 4 c = 48

U P

E

C

1 0 2

150



n + 1 = a ==> 6 + 1 = a ==> a = 7 m + 1 = 4 ==> m = 3 reemplazando en la Ec. : m – 1 = b 3 – 1 = b ==> b = 2 ab  k  m c  mb  n 72  4  3 E 48  3 2  6 48 E 45 16 Rpta. E E 15 1 b2 3. Simplificar: M  (1  bx) 2  (b  x) 2 1 1 1 1 1 a) b) c) d) e) 2 2 1 x 1 x x 1 1 x 1 x Solución 1 b2 M  (1  bx  b  x)(1  bx  b  x)

I I1

Por tanto: E 

M  4.

1 b2 (1  bx  b  x)(1  bx  b  x)

U P

Simplificar a su mínima expresión: x 2  y 2 xy  y 2 E  xy xy  x 2 a) x2

b) x – 2y c) x d)

E

xy  2 y 2 xy

Solución x 2  y 2  y ( x  y ) E  xy x( y  x)

C

1 0 2

e)

x y

Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 151

E

x 2  y 2 y ( y  x)  xy x( y  x)

E

x2  y2 y  xy x

x2  y2  y2 E xy 2 x E xy x E y Si la expresión E 

5.

I I1

Rpta. E

1 0 2

mx 2  q , es igual a 1; hallar el valor de nx  q

n2 , sabiendo que “x” toma un solo valor. F mq a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8 Solución mx 2  q Por dato del problema: 1 nx  q mx 2  q  nx  q mx 2  nx  2q  0

U P

La Ec. anterior tiene la forma de Ecuación de segundo grado, y también por dato del problema, “x” debe tomar un solo valor, entonces: Para que “x” tenga una solución debe cumplir:

b 2  4ac  0

Reemplazando tenemos:

C

E

Finalmente:

F

n2 mq

( n) 2  4.m.2q  0 n 2  8mq

152


F

6.


8mq mq F  8 Rpta. E

I I1

Descomponer en fracciones parciales:  z 2  15 z  26 A B C    . La suma “A + B + C” 3 2 z  2 z  5z  6 z  a z  b z  c es igual a: a) 5 b) 2 c) 1 d) –2 e) –1 Solución  z 2  15 z  26 A B C    ( z  1)( z  3)( z  2) z  a z  b z  c  z 2  15 z  26 A B C    ( z  1)( z  3)( z  2) z  1 z  3 z  2

1 0 2

 z 2  15 z  26 A( z  3)( z  2)  B( z  1)( z  2)  C ( z  1)( z  3)  ( z  1)( z  3)( z  2) ( z  1)( z  3)( z  2)  z 2  15 z  26  A( z  3)( z  2)  B( z  1)( z  2)  C ( z  1)( z  3) Dando valores a “z” en la Ec. anterior tenemos: Si z = 1 : -1 + 15 – 26 = A(-2)(3) -12 = -6A A=2 Si z = 3: -9 + 45 – 26 = B(2)(5) 10 = 10B B=1 Si z = -2: - 4 – 30 – 26 = C(-3)(-5) - 60 = 15C C = -4

E

U P

Entonces: A + B + C = 2 +1 – 4 = -1 7.

Rpta. E

Sean P(x) = Ax2 + 2x – B; Q(x) = Ax2 – 4x + B. Si: (x-1) es el

C


MCD de P y Q, hallar el cociente B/A. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Solución P ( x)  Ax 2  2 x  B  Sean: MCD ( P, Q)  x  1  Q( x)  Ax 2  4 x  B 

I I1

Entonces P y Q son divisibles por x-1 Entonces x – 1 = 0

x=1 * En P(x) 2 A(1) + 2(1) – B = 0 A – B = -2 ……. (1) * En Q(x) A(1)2 - 4(1) + B = 0 A + B = 4 …….. (2) Resolviendo Ec. (1) y (2): A – B = -2 A+B= 4 2A = 2 A=1 B=3 Por lo tanto

8.

B 3  3 A 1 B 3 A

U P

1 0 2

Rpta C

2 xy x . El numerador es:  2 3 x y x  xy  y 2 B) x(x+y) C) x-y D) x+y E) xy(x-y)

Efectuar y simplificar:

3

A) x(y-x) Solución. 2 xy x 2 xy x =  2  2 3 3 2 2 2 x y x  xy  y ( x  y )( x  xy  y ) x  xy  y 2

C

E

154


=


2 xy  x( x  y ) ( x  y )( x 2  xy  y 2 )

2 xy  x 2  xy = ( x  y )( x 2  xy  y 2 )

I I1

xy  x 2 = ( x  y )( x 2  xy  y 2 ) x( y  x) = ( x  y )( x 2  xy  y 2 ) El numerador es: x(y-x) Rpta. A

9.

y6 M N   y  2 y  15 y  5 y  3 B) 3/8 C) 7/4 D) 1 E) –3/8

Hallar M + N para que se tenga:

2

A) 11/8 Solución. y6 M N   2 y  2 y  15 y  5 y  3 y6 M ( y  3)  N ( y  5)  2 ( y  5)( y  3) y  2 y  15 y6 My  3M  Ny  5 N  ( y  5)( y  3) ( y  5)( y  3)

U P

Simplificando denominadores tenemos:

y  6  My  3M  Ny  5 N y  6  ( M  N ) y  3M  5 N Entonces: M+N= 1 -3M +5N = -6 3M  3 N  3    3M  5 N  6

C

E

8N = -3 3 N 8

1 0 2


M 

11 8

11 3 8   1 8 8 8 M  N 1 Rpta. D

Por lo tanto: M  N 

8 xy 4 x  2 xy  y 2 Reducir la expresión: K  3 8x  y 3  2y  1  3 3  8x  y  2 x  y  A) 28 B) –8 C) 12 D) –6 E) 2 Solución 8 xy 2 2 4 x  2 xy  y 2 K 3 8x  y 3  2y  1  3 3  8x  y  2 x  y  2

10.

8 x 2  4 xy  2 y 2  8 xy 4 x 2  2 xy  y 2 K 3 8x  y 3  2 x  y  2 y    8x 3  y 3  2 x  y 

U P

8 x 2  4 xy  2 y 2 4 x 2  2 xy  y 2 K (2 x) 3  y 3  2 x  y    (2 x) 3  y 3  2 x  y 

C

1 0 2

2(4 x 2  2 xy  y 2 ) 4 x 2  2 xy  y 2 K (2 x  y )((2 x) 2  2 x. y  y 2 )  2 x  y    (2 x  y )((2 x) 2  2 x. y  y 2 )  2 x  y 

E

I I1

2

156



2(4 x  2 xy  y ) 4 x 2  2 xy  y 2 K (2 x  y )(4 x 2  2 xy  y 2 )  2 x  y    (2 x  y )(4 x 2  2 xy  y 2 )  2 x  y  2

K

2

I I1

2(4 x 2  2 xy  y 2 )(2 x  y )(4 x 2  2 xy  y 2 )(2 x  y ) (4 x 2  2 xy  y 2 )(2 x  y )(4 x 2  2 xy  y 2 )(2 x  y ) Simplificando la Ec. Anterior tenemos:

K 2

Rpta. E

1 0 2


2.

3.

El MCD de ( xy  y 2 ) 2 ; x 2 y  2 xy 2  3 y 3 ; ax 3 y  ay 4 ; x 2 y  y 3 ; es: A)x(x+y) B)x(x-y) C)y(x+y) D)y(x-y) E)N.A.  a 2  ab a 2  ab  2 2  2 Efectúe y simplifique: (a  b )   2  . El denomi b  ab b  ab  nador es: A) a 2  b 2 B) a 2  b 2 C) b 2  a 2 D)a+b E)a(a-b)

U P

x n 1 y  xy n 1 Simplifique E  2 n 1 . x y  xy 2 n 1 A) x n  y n B) x  n  y  n



2 xn  y 4.



n 1

E

3

Reducir la expresión: E  3 

C



C) x n  y n

3

3

3

3 x



1



D) x n  y n



1

E)


2( x  2) 2x  3

A)

B)

3( x  2) 2x  3

C)

x2 2x  3

D)

x2 x3

E)

x2 2x  3

5.

Sabiendo que A(n+p)=m; C(m+n)=p; B(p+m)=n; reducir a su AB  AC  BC mínima expresión: J  2 ABC  1 A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

6.

Calcular: TW Si: 1 1 y W b T a 1 1 b a 1 1 a b b  ... a  ... A) a B) b C) a/b C) 2a E)2b

7.

Calcular el MCD de M  a 3  7 a  6 y N  a 4  2a 2  3 A) 3(a+1) B) (a+1)(a+3) C) (a+1)(a+2) D) a+1 E) a2+1

8.

Hallar el MCM de: A(x;y;z) = 3x2 y3z; B(x;y;z) = 4x3 y3 z2; C(x) = 6x4 A) 12 x 3 y 3 z B) 12 x 4 y 3 z 2 C) 72 x 4 y 3 z 2 D) 36 x 4 y 2 z 2 E) N.A.

U P

1 0 2

I I1

MCM ( A, B )  ( x 2  1) 2  4 x 2 . Uno de los MCD( A, B ) factores del MCD(A,B) es: A) x+1 B) x-1 C) x2-x-1 D) x2+x+1 E) x2+x-1 AB  ( x 6  1) 2  4 x 6 ;

9.

Simplificar la expresión:

10.

E

E

A) x+2 B) x-3 C) x+4

C

x 4  3 x 3  16 x 2  48 x . x 3  16 x D) x-5 E) x2-3

XII RADICACIÓN, VERDADERO VALOR, ECUACIONES E INECUACIONES

I I1

I. RADICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Radicación es la operación que consiste en hallar una cantidad algebraica “r”, llamada raíz, que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad dad “A”, llamada radicando. En general : Signo radical

n

A r

índice radicando

1 0 2

 A  rn raíz

Leyes de Signos :

*

impar

 Ar

*

impar

 Ar

*

par

 Ar

*

par

 A  imaginaria (esta raiz no tiene valor real)

E

U P

Raíz de un monomio : Para extraer la raíz de un monomio; se extrae la raíz del signo, luego la raíz del coeficiente y finalmente se dividen los exponentes de las letras entre el índice de la raíz.

C

Ejm 1. : Hallar

4

16x 16 y 20 z 8

- 158 -

Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones

 Ejm 2. : Hallar



4

159

16 x 16 y 20 z 8  2x 4 y 5 z 2

3

 27x 12 y18 z 3

3

 27 x12 y18 z 3  - 3x 4 y 6 z

I I1

Raíz Cuadrada de un polinomio Procedimiento : - Se ordena y se completa - Se agrupa de 2 en 2 los términos, empezando por la derecha. - Se halla la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (que puede ser un solo termino) que será el primer termino de la raíz cuadrada del polinomio. - Se multiplica esta raíz por sí misma cambiando de signo el resultado y se llama polinomio dado, eliminándose la primera columna. - Se bajan dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raíz hallada y se divide el primer termino de los bajados entre el duplo del primer termino de la raíz. - El cociente es el segundo termino de la raíz. Este segundo termino de la raíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino de la raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segundo término con signo cambiado sumándose el producto a los dos términos que se habían bajado. - Se continua hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor que el grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.

1 0 2

Ejm : Extraer la raíz cuadrada del polinomio : Solución :

U P

x4 - x4 0

C

E

x 4 - 10 x 3  29 x 2 - 20 x  4

- 10 x 3  29 x 2 - 20 x  4 - 10 x 3  29 x 2 - 10 x 3 - 25 x 2 0

x 2 - 5x  2

2( x 2 )  2x 2 (2 x 2 - 5x) (-5x)

4x 2 - 20x  4 2( x 2 - 5x)  2x 2 - 10x

- 4x 2  20x - 4 (2x 2 - 10x  2) (2) _ _ _

160





x 4 - 10x 3  29x 2 - 20x  4  x 2 - 5x  2

Radicales Dobles:

I I1

Son aquellos en cuyo interior aparecen otros radicales ligados entre si por las operaciones de suma o resta.

A B

Forma general :

Transformación de radicales dobles en radicales simples : Caso1 : Radicales de la forma A  B Este caso se podrá transformar en radicales simples solo si :

A2 - B  C

Donde C es raíz exacta, si esto es cierto,

Entonces :

A B 

1 0 2

AC AC  2 2

AC AC A B   2 2 Ejm : Descomponer en radicales simples : Solución : A = 2 ; B = 3 Entonces :

U P

C

A2 - B

C  22 - 3  4 - 3 C 1

E

Por tanto :

C

2 3

2 3 

2 1 2 1  2 2

2 3 

3 1  2 2

Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones Caso 2 : Radicales de la forma :

161

a  b  2 ab  a  b

Ejm. 1. : Descomponer en radicales simples :

10  2 21

Solución : 10  2 21 tiene la forma de segundo caso entonces buscamos dos números que sumados sea 10 y multiplicados 21. dichos números que cumplen son 7 y 3. entonces :

I I1

10  2 21  7  3 Ejm. 2. : Descomponer en radicales simples : Solución :

11  120

= =

11  120

11  4 x 30

1 0 2 11   2 30  65

=

6 5

Ejm. 3. : Descomponer en radicales simples : Solución :

24  16 2

= = =

U P =

24  16 2

24  16 2

24  2.(8) 2

24  2 64.2 24   2 128 

16 8

=

16  8 4 + 4x 2

=

4+

=

E

6X5

16x8

2 2

RACIONALIZACION

Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equivalente que sea racional. Se llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientes casos

C

162



1er Caso .- cuando el denominador irracional es un monomio de la forma:

A n

ak

Procedimiento: Multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por una expresión de la forma:

n

I I1

a n k que recibe el nombre de FACTOR RACIONALIZANTE

Es decir:

A n

a

A

k

 n

=

=

a

k

.

n

a nk

n

a nk

Aa a n  k n

a nk k An a n  k n

an



An a a

nk

Ejem : Racionalizar 

3

3 3

1 0 2

3 3 32 33 9 33 9 33 9 3 .     9 3 3 3 3 32 3 3.3 32 3 33

U P

2do Caso.- Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, se racionaliza multiplicando y dividiendo por su conjugada del denominador. De la A forma: a b Ejm. : Racionalizar :

E 3  7 2

C

3 7 2











3 7 2 3 7 2  7 2 7 2 7 2  22










 



163

3 7 2 3 7 2  72 5

3er caso : Cuando el denominador irracional es un binomio o trinomio cuyos radicales son de tercer orden. 3

a 3 b o

3

I I1

a 2  3 ab  3 b 2

Nota.- Recordemos que

a  b a 2  ab  b 2   a 3  b 3 a  b a 2  ab  b 2   a 3  b 3

Ejm.: Racionalizar: E 

7   E 3 53 2

3

7 53 2 2

5 3

2

3 2

 5 3



2

7 3 5 2  3 5.2  3 2 2

=

3



3

=7

1 0 2

7 ( 3 5  3 5. 3 2  3 2 2 )

 3 5.3 2  3 2 2



53  3 2 3





25  3 10  3 4 7(3 25  3 10  3 4 )  5 2 7

U P

 3 25  3 10  3 4

4to Caso: Cuando el denominador es un binomio cuyos radicales tienen índices iguales pero mayores que 3, de forma: n Ejem. Racionalizar

E

E

C

5

14 10  5 3

an b

164 

E




4

3

Centro Pre—Universitario UNJBG 2

2

3

14 5 10  5 10 . 5 3  5 10 . 5 3  5 10 .5 3  5 3

 10  3  10. 5

E

5

5



4

4

 5 10

3



3  5 10 2

2

3

4



2

3

4



3

4



2

5

3

3  5 10 . 5 3  5 3

14 5 10  5 10 .5 3  5 10 .5 3  5 10 .5 3  5 3 5

E

5

2

4

5

10  5 3

3

2

4



I I1

5

14 5 10  5 10 .5 3  5 10 .5 3  5 10 .5 3  5 3 7

Simplificando: 2

E  2( 10000  3000  900  270  81 ) 5

5

5

5

5

1 0 2

II. VERDADERO VALOR DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; para esto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuar operaciones obtenemos 0/0 que es un resultado no definido o indeterminado. Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indeterminación. Ejm 1: Hallar el verdadero valor de la fracción:

x 2  2 x  15 E , para x = 5 x 2  25

U P

Solución: Sustituyendo x = 5 en la fracción

E

5 2  2.5  15 0  , es indeterminado 0 5 2  25

 factorizando el numerador y denominador tenemos

x 2  2 x  15 E x 2  25

E

E

C

x  5x  3 x  5x  5


E

165

x3 x5

Reemplazando nuevamente tenemos:

E

53 8  5  5 10

E

4 5

I I1

Ejm. 2: Hallar el verdadero valor de la fracción:

x 2  x  12 , para x = 4 E x 2

1 0 2

Solución: sustituyendo x = 4 en la fracción tenemos

E



x 2  x  12 x 2

x  4x  3. E



x 2 x 2. x 2



E

x  4x  3

E

x  4x  3

E

U P 2

x 4

x4



E   x  3 x  2





x 2



x 2





Reemplazando seremos:

C

E = ( 4 + 3 ) ( 2 + 2) E = ( 7 ) ( 4 ) = 28

E

0 0

166



III. ECUACIONES Es una igualdad de dos expresiones algebraicas que queda satisfecha solo para algunos valores asignados a sus letras. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES A. Según que sus incógnitas estén afectadas o no de radicales las ecuaciones pueden ser: 1. Ecuaciones Racionales.cuando sus incógnitas no están afectadas de radicales.

x

1 x 1  5 2

-

Compatibles Indeterminadas: cuando el número de raíces es limitado: Ejm.:

2. Ecuaciones Incompatibles o absurdas.- cuando no tiene solución

Ejm.:

x(3 x  1)  5  3 x( x  3)  10 x  6

C. Según el tipo de coeficientes: 1.

x x 3 B. Según el número de Raíces o soluciones, las ecuaciones pueden ser:

U P

Compatibles Determinadas: Cuando el número de raíces es limitado Ejm:

E

3

x  10

C

x x  5 2

Ecuaciones numéricas: Cuando los coeficientes son números Ejm:

2.

1. Ecuaciones Compatibles.Cuando tienen solución. a su vez pueden ser: -

1 0 2

56

2. Ecuaciones Irracionales.Cuando al menos una de sus incógnitas está afectada de radical

I I1

(2 x  1)  x  4  5 x  2  4 x   5 x3 x3

x 2  5x  6  0

Ecuaciones Literales.- cuando al menos uno de sus coeficientes es letra Ejm.: ax  b  cx  d , donde x es la incógnita

D. 1. 2. 3.

Según el grado: Primer grado 5 x  1  9 Segundo grado

x 2  5x  6  0 3 Tercer grado: x  8  0

Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 167 a) Resolución por factorización ECUACIONES DE PRIMER

GRADO

Ejm: Resolver

Formula General 

ax  b  0

x  4 

x  x2  8  4

x 8



x 8 2



2

x  8 x  16  x  8  8 x  16   8 2

2

x3

16  8  8 x

 La ecuación es incompatible.

ECUACIONES GRADO

DE

SEGUNDO

U P

Estas ecuaciones se llaman también ecuaciones cuadráticas de la forma siguiente:

ax 2  bx  c  0

Resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita:

E

Entonces

1 0 2 Ejm.: Resolver

Formula General

x 2  5x  4  0

 Identificando: a=1; b= -5: c=4

Reemplazando x = 3 en la ecuación anterior llegamos 2 = 4

Se resuelve mediante dos formas:

C

I I1

x 1

 b  b 2  4ac x 2a

2



x 1  0

ax 2  bx  c  0

Ejm: Resolver: Solución:

2

x40

b) Resolución por fórmula General Sea la ecuación:

b a

x4

x  4x  1  0 x4

Siendo a y b coeficientes, x es la incógnita. La solución es

x

x 2  5x  4  0

b  b2 4ac 2a 5 254.1.4 x 2.1 5 2516 x 53 2 x  2 53 x 53 2 x  2 x

C , S .  1,4

8 4 2 2 1 2

168 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG Discusión de las raíces de la Ecuación de Segundo grado La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, dependen del valor del Discriminante (). 2 Donde =b – 4ac Analicemos los 3 casos: a) sí   0 , las dos raíces son reales y desiguales b) si   0, las dos raíces son iguales y reales

I I1

  0, las dos raíces son complejas y conjugadas

c) si

Propiedades de las Raíces.-

Dada la Ec.

 b  b 2  4ac x1  2a Entonces: a)

x1  x 2 

b)

x1 .x 2 

ax 2  bx  c  0 sus raíces son:

 b  b 2  4ac x2  2a

b a

c a

1 0 2

Formación de una Ecuación de segundo grado.Sea x1 y x 2 raices de ecuación Entonces la ecuación se formará así:

U P

x 2   x1  x 2 x  x1 x 2  0

IV. DESIGUALDADES E INECUACIONES

Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se establece entre dos números reales y que nos indica que tienen diferente valor.

E Si:

a, b   / a  b  a  b ó a  b

Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se presenta por medio de Intervalos.

C

Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 1. Clases de Intervalos:

169

 a, b  ó a, b ó a, b  Intervalo cerrado: a  x  b a, b  Intervalos mixtos: a  x  b  a, b ó a, b ó a, b  a  x  b a, b  ó a, b  ó a, b Intervalo abierto: a  x  b .

  

I I1

2. Inecuaciones de 1er grado: Son aquellas que pueden reducirse a la forma

ax  b  0 ó ax  b  0

3. Inecuaciones de 2do grado: Son aquellas que pueden reducirse a la forma

1 0 2

ax 2  bx  c  0 ó ax 2  bx  c  0

4. Inecuaciones de grado Superior: Son aquellas cuyo grado es mayor o igual que tres.

OBSERVACIÓN: para resolver inecuaciones de 2do grado y grado superior se recomienda usar el método de puntos críticos.

METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER INECUACIONES: Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cociente, y que luego de reducirla por factorización se obtiene una de las formas: *

U P

x  a1 x  a2 x  an   0 puede ser  0,  0,  0 donde

entre si

x  a1 x  a2 .......x  an   0 también x  b1 x  b2 .......x  bm 

E

 0,  0,  0 donde ai y bi

son todos diferentes entre si Nota: En lugar de

C

ai son diferentes

x  a  puede ser cx  a  pero c  0

170 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG PROCEDIMIENTO: 1. Se hallan todos los valores críticos (raíces) de cada uno de los factores, ordenando en forma creciente sobre la recta real. 2. Se coloca entre estos VALORES CRITICOS los signos (+) y (-) en forma alternada de derecha a izquierda. 3. La solución de la inecuación estará dada por:  Zonas Positivas: Si el sentido de la última desigualdad es  ó   Zonas Negativas: Si el sentido de la última desigualdad es  ó

I I1



4.

Los valores críticos será parte de la solución cuando la desigualdad es

 ó  de lo contrario no serán parte de la solución

OBSERVACIÓN:  En lo posible debe tratarse que el coeficiente(principal) sea positivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundo miembro figure el cero  Si la expresión (trinomio) no es factorizable, se resolverá como una ecuación de segundo grado (Fórmula General); donde las raíces representan “Puntos Críticos”  Si las raíces son imaginarios, el trinomio se reemplaza por la unidad 

En el cociente

1 0 2

a    0 los valores críticos provenientes del b

denominador no forman parte de la solución (son abiertos)

nZ a 2 n b  0  b  0  a  0 a 2 n .b  0  b  0  a  0 a 2 n .b  0  b  0  a  0 a 2 n .b  0  b  0  a  0 a 2 n 1b  0  ab  0 a 2 n 1 .b  0  ab  0 a 2 n 1b  0  ab  0 a 2 n 1b  0  ab  0 

Sea

U P

Ejemplo 1:

 x 3  x 2  22 x  40 Resolver: 0 x x  7  Solución:

C

E

x 3  x 2  22 x  40 0 x x  7  x  2x  4x  5 x x  7 

Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones Valores críticos 2, 4, -5, 0, -7

+ -7

+ -5

0

171

+ 2

4

I I1

Como la inecuación es “  ” se toma los “negativos”

 x  ,7   5,0   2,4

Ejm. 2 Resolver:

x 6 x5

Solución:

x 6  0 x5 x  6 x  5 0 x5 x  6 x  30 0 x5  5 x  30 0 x5 5 x  30 0 x5 5 x  6  0 x5

U P

Valores críticos : 6 y 5

+

5

Tomamos los negativos:

1 0 2 +

6

 C .S .  x  5,6 

E

PROBLEMAS RESUELTOS:

1.

C

Transformar a radicales simples: 3

10  6 3

172


a) 3  1 Solución 3

3  2 c)

b)

5  1 d)

3 1

e)

5 1

10  6 3  3 10  108  x  y

C  3 A2  B C  3 100  108 C = -2 A  4 x 3  3.x.C 10 = 4x3 - 3x(-2) 4x3 + 6x –10 = 0 2x3 + 3x –5 = 0 por tanteo x = 1







y = x2 - C y = 12 – (-2) y=3



Por lo tanto: 3

10  6 3  1  3

U P

=1+

3

33 2 3 4 3 2 2 b)  (3 4  1) c)

Racionalizar:

2 1

3

a)

Solución

33 2

E

3

2

2  2 2 3

3

Hacemos

Reemplazando tenemos:

C

I I1

B = 108 Sabemos que A = 4x3-3.x.C , y = x2-C

A = 10

2.


1 0 2

Rpta. D

4  1 d)  (3 2  1) 3

2  x ==> 2 = x3

e)

3

2 1


173

3x 3x 3 x( x  2 x  4)( x  x  1)   x  x  2 ( x  2)( x  1) ( x  2)( x 2  2 x  4)( x  1)( x 2  x  1) 2

2

2



3 x ( x 4  x 3  x 2  2 x 3  2 x 2  2 x  4 x 2  4 x  4) ( x 3  2 3 )( x 3  1)



3 x ( x 4  x 3  3 x 2  2 x  4) ( x 3  8)( x 3  1)



3( x 5  x 4  3 x 3  2 x 2  4 x) ( x 3  8)( x 3  1)



3( x 3 .x 2  x 3 .x  3 x 3  2 x 2  4 x) ( x 3  8)( x 3  1)

3(2 x 2  2 x  3.2  2 x 2  4 x) (2  8)(2  1) 3(6 x  6) 18( x  1)    18 (6)(3)  ( x  1)

1 0 2



 (3 2  1)

3.

Rpta. D

La solución de la Inecuación: x 2  9 x  18  0 es: a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6)

U P

Solución

x 2  9 x  18  0 (x-6)(x-3)<0 puntos críticos: 3 y 6

C

E

+

-

3

e) (2,6)

+ 6

Como la inecuación es < se toma los negativos.

C.S. = (3,6)

I I1

Rpta. B

174

4.



1  2 ; el valor de x correcto es: x a) x>0 b) x<0 c) x = 0 d) x>2 e) x>2

En x 

I I1

Solución

1 2 x 1 x 20 x 2 x  1  2x 0 x ( x  1) 2 0 x 1 x 1 0 x Rpta. B x0 x

5.

Solución

U P

Multiplicando por 3: 2x – 5 < 1 – x + 15 3x < 21 x<7 Entonces: x   5;7 6.

1 0 2

Obtenga el conjunto solución de la siguiente inecuación: 2x  5 1  x   5 para x   5;    3 3 a) [1/3;3] b) [-5;7] c) <-5;0] d) [-5;7> e) [0;7]

Rpta B.

Determinar el valor de “m” para que la ecuación x 2  2mx  m 2  0 tenga raíces iguales. a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2

E

Solución Cuando tiene raíces iguales se cumple que en una ecuación de la for-

C


175

ma:

2

ax +bx+c=0. Se cumple: b2 – 4ac = 0 b2 = 4ac (2m)2 = 4.1.m2 4m2 = 4m2 m puede tomar cualquier número real. Rpta. A Efectuar: E 

7.

3 2



9  2 18 C) 1 D) 0

4 3 8  2 12 E) N.A.

52 6

A) 3 B) 2 Solución 3 2 4 3 6 E   9  2 18 8  2 12 52 6 3 2

E

9  2 18 

63

6 x3



4 3

1 0 2

8  2 12 

6 2

I I1

6



6x2



6

5  2 6

3x2

3x2

3 2 4 3 6   6 3 6 2 3 2 3 2 ( 6  3) 4 3( 6  2 ) 6( 3  2) E   ( 6  3 )( 6  3 ) ( 6  2 )( 6  2 ) ( 3  2 )( 3  2 ) E

3 2 ( 6  3) 4 3( 6  2 ) 6( 3  2)   63 62 32 3 2 ( 6  3) 4 3( 6  2 ) 6( 3  2) E   3 4 1 E  2 ( 6  3)  3( 6  2 )  6 ( 3  2 )

U P

E

E  12  6  18  6  18  12 E0 Rpta. D

C

E

176



 2 x  2   4 2 , cuando x = 0. 8. Calcular el verdadero valor de E    x   A) 0 B) 2 C) 1 D) 4 E) 6 Solución  2 x  2  4 2 E    x   2 x  2 2 x  2 E 4 2 x 2 x  2







   2  x    2  4 2  E x 2  x  2  2 x2 4 2  E x 2  x  2  











Reemplazando el valor de x 4 2 E 2 2 4 2 E 2 2 E2 Rpta. B

U P

E



2

x 4 2 x 2 x  2 1 E 4 2 2 x  2 4 2 E 2 x  2 E

1 0 2

9. La diferencia de las raíces de la Ecuación x 2  3 x  2,16  0 , es: A) 3 B) 0 C) 0,6 D) 1,5 E) 2,16

C

I I1





2




Solución. x 2  3 x  2,16  0 216 x 2  3x  0 100 216 x 2  3x  0 100 54 x 2  3x  0 25

177

multiplicando la Ec. Anterior por 25. 25 x 2  75 x  54  0 (5 x  9)(5 x  6)  0 9 6 x x 5 5 Por tanto:

9 6 3    0,6 5 5 5

1 0 2

Rpta. 0,6  x  y  x  y  20 x Hallar en  y  x  y  x  y  10 A) 4/5 B) 5/4 C) 3/4 D) 4/3 E) 125

10.

U P

Solución x  y  x  y  20  x  y  x  y  10 

2 x y

E

Tenemos:

C

I I1

 30

x  y  15 x  y  225 ......... (1)

178



x  y  x  y  20 x  y  x  y  10 Multiplicando por –1 a la segunda Ecuación: x  y  x  y  20    x  y  x  y  10

I I1

2 x  y  10 x y 5 x  y  25 .......... (2) De la Ec. (1) y (2): x  y  225  x  y  25  2 x  250 x  125 y  100

Por lo tanto:

x 125 5   y 100 4 x 5  y 4 Rpta. B

U P


1 0 2

1. Determinar el valor de “x” en: 23 x  5  42 x  4 A) x<3 B) x<4 C) 14 E) x>3 2. Al Reducir:

7  4 5  2 9  2 7  2 6 ; se obtiene

E

Hallar a+b. A) 12 B) 14 C) 9

C

D) 11 E) 15

3. Si “a” y “b” son las raíces de la ecuación siguiente:

a  b ; a>b.


179

(3  x)  (4  x)  7 ; Hallar el valor de 2a+3b. (3  x) 2  (4  x) 2 A) –8 B) –6 C) –5 D) –4 E) –3 3

3

4. Al racionalizar

a b b a

I I1

, se obtiene:

a A)

4

ab  b B)

ab  b

C)

b a

D)

ab E)

4

x  1 x  1 x  20 , es:   x  1 x  1 x2  1 C) 0 D) 4 E) 5

5. El conjunto de solución de: A)  5 B)  4

1 0 2

6. Resolver: 35  x 2  2 x  0 . El intervalo solución es: A)<-7;5] B)[-7;5> C)<-7;5> D)[-7;-5] 2x  1  3 . El intervalo de solución es: x 1 A)[-2;-1> B)<-2;-1> C) <-2;-1] D) [-2;-1]

7. Resolver:

8. Hallar el verdadero valor de H  A) 0

C)  

B)  

U P B) 2

C) 3

3

E)N.A.

E)N.A.

1 x  3 1 x , cuando x=0. x D) 2/3 E) 3/2

x 8 para x = 64, es: x 4 D) 4 E) 5

9. Hallar el verdadero valor de A) 1

b b

3

x2  x6 x2 A) x  ,2  B) x  3,  C) x  ,2    3,  D) x  ,3  E) x  2,  10. Resolver:

C

E

XIII VALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONES

I I1

VALOR ABSOLUTO: 1.

VALOR ABSOLUTO.- Se llama Valor Absoluto de un número real x a un número no negativo, definido por:

si x  0

, x x   x , 2.

TEOREMAS: Para todo

3.

si x  0

x, y tenemos:

a)

x 0  x0

b)

x  x

c)

xy  x y

d)

x  x2

e)

x2  x2

f)

x2  x

2

U P

1 0 2

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

x b

b0 y



E

x  b

ó x  b

Lo anterior establece que el universo dentro del cuál se resolverá está determinado por la condición b>0, y se resolverá primero. Ejemplo: Resolver:

C

x  5  2x  4

- 180 -

Valor absoluto, relaciones y funciones Solución El universo está determinado: 2x – 4 > 0 2x > 4 x>2 ===> x  [ 2, 

x  5  2x  4 9x ó x9 ó 1 => 9, 3 



181

 ó x  5  2 x  4 3x  1 x   13

Observamos que 9  Universo y



Por lo tanto el conjunto de solución es: C.S. = {9} 4.

1 0 2

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

x, a  R , entonces:

Sean : 

x a 



x a 

(a  0) y (a  x  a) x  a ó x  a

TEOREMAS:

Dados a y b en los reales, se cumple: a b  (a  b)(a  b)  0 -

U P

-

a b



Ejemplo:

Resolver:

x 5

(a  b)(a  b)  0

Solución: Como 5 > 0 entonces: -5
C

E

C.S. =

x   5,5

I I1

 13  Universo

182 RELACIONES



1. Pares ordenados, Producto Cartesiano:  Los pares ordenados son dos elementos a y b, se denomina primera componente y segunda componente respectivamente. Se denota por (a, b).  El producto cartesiano A x B; se define:

I I1

A x B = { (a,b) / a  A y b  A } Donde A y B son dos conjuntos

Ejm: Sean A = { 1,2, 4 }

B = { a, b }

Entonces: A x B = { (1,a) (1,b) (2,a) (2,b) (4,a) (4,b)}

1 0 2

Nota: si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos respectivamente, entonces el producto cartesiano tiene m x n elementos. 2. Relación:

Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares ordenados se llama una RELACION de A en B, cuando R es subconjuntos de A x B. R es una relación de A en B

 RA x B 2

Nota: Una relación de A y B es llamada también RELACION BINARIA. Ejm: Sean A = { 2, 3, 5 } B = {1, 2 } 

U P

A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunos relaciones de A en B.

R1 = { (5,2)} R2 = { (3,1) (3,2) (5,1) (5,2) } R3 = { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) }

E

Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }

Dadas las relaciones: R1 = { (x,y)  A x A / x < y } R2 = { (x,y)  A x A / x +y = 5 }

C

etc.

Valor absoluto, relaciones y funciones

183

Hallar R1  R2 Sol: A x A = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) }

I I1

 R1 = { (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) } R2 = { (1,4) (2,3) (3,2) (4,1)} Por tanto: Hallar R1  R2 { (1,4)(2,3) } 3. Dominio y rango de Relaciones

1 0 2

Sea R una relación de A en B; es decir R  A x B:  Se llama DOMINIO de la relación R al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de R.  Se llama RANGO de la relación R al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de R. Ejm. Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}

Entonces: Dom (R) = { 1, 2, 3, 4 } Rang (R) = { 1, 2, 3 }

U P

4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

La distancia entre dos puntos R = (x1, y1) y T = (x2, y2) denotado por d = d(R,T) es:

d

x2  x1 2   y2  y1 2

FUNCIONES

E

1. Funciones: Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cual dos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente. Se distingue lo siguiente:

C

184 -

Aritmética y Álgebra Conjunto de partida Conjunto de llegada Regla de correspondencia.


Ejm: Dados :

I I1

A = { 1, 3, 5 } B = { 3, 7, 1 } Hallar y graficar la función f = A  B definida por

y = 2x +1

Solución: si x = 1 si x = 3 si x = 5

 y=3  y=7  y = 11  f = {(1,3) (3,7) (5,11)}

gráficamente

f A 1

3

3

7

5

U P

2. Dominio y rango de una función  

1 0 2 B

11

Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros componentes de los pares ordenados de dicha función, Dom(f) = { x  A,  y  B / y = f(x) }  A Rango Rang(f): Es el conjunto de segundos componentes de los pares ordenados de dicha función. Rang(f) = { y  B / x  Dom f  A }  B

E

Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)} 

Dom(f) = {1, 3, 5}

C

Rang(f) = {3, 7, 11}


185

3. Gráfica de funciones  Si f es una función (de valor) real de una variable real se llama la GRAFICA de f al conjunto de pares ordenados de f cuando es considerado como un conjunto de puntos del plano.

I I1

Ejm: Trazar la gráfica de la siguiente función:

f = { (x, y)   x  / y = x2 + 1 } y hallar el Dominio y Rango de f. Sol:

x y

....... .......

-2 5

-1 2

0 1

1 2 y 5 4 3 2

U P -2

-1

1 0 2 2 5

1

1

Dom (f) = { ........ –2, -1, 0, 1, 2, ........ } = Z Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }

E

Ejm 2: Trazar la gráfica de la siguiente función

C

f = { (x, y)  R x R / y = x2 + 1 }

....... .......

2

x

186

Aritmética y Álgebra Hallar el dominio y rango de f


Sol:

x y

y

-2 5

-1 2

0 1

1 2

2 5

5

I I1

4 3

Dom(f) = R Rang(f) = [1,

2

+ >

1 -2

-1

1

x

2

La PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE FUNCIONES REALES de una variable real; es una función real si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica de f a lo más en un punto. Ejm: y

a)

b)

x

x

no es función

no es función

U P

y

c)

1 0 2 y

d)

x

E

si es función

y

x

si es función

Nota: Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más, tal gráfica no es función.

C


187

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES La función compuesta fog es aquella función tal qe:  Dom(fog) = {(xDom g / g(x)  Dom f}  (fog)(x) = f(g(x)) su regla de correspondencia

I I1

PROBLEMAS RESUELTOS:

Si f(x) = x2 + 2x + c; f(2) = 0, Entonces el valor de c es: a) 4 b) –4 c) 8 d) –8 e) 7

1.

Solución 2

f(2) = 2 + 2.2 + c = 0 4+4 +c=0 c = -8 Rpta. D

1 0 2

Si [g(x)]2 + 2[g(x)] + 2 = x2 – 8x + 17. Determine g(x). a) x-5 b) x+17 c) x d) x-8 e) x2

2.

Solución

[g(x)]2 + 2[g(x)] + 1 + 1 = x2 – 8x + 17 [g(x) + 1]2 + 1 = x2 – 8x + 17 [g(x) + 1]2 = x2 – 8x + 16 [g(x) + 1]2 = [x – 4]2 g(x) + 1 = x – 4 g(x) = x – 5 Rpta. A 3.

U P

Hallar f(0) Si f(2x-1) = x a) –1 b) 0 c) ½ d) 2 e) 1 Solución:

f(2x-1) = x Tomamos

C

E

2x-1 = y 2x = y + 1 y 1 x 2

188


Entonces:


y 1 2 0 1 f ( 0)  2 1 f ( 0)  2

f ( y) 

4.

I I1

Rpta. C

Si la relación R = {(1,2a); (2,7); (5,1); (1,3a-5); (7,9)} es una función, la suma de los elementos del rango de dicha función es: a) 22 b) 15 c) 27 d) 16 e) 10 Solución

Mediante unicidad (1,2a) = (1,3a-5) 2a = 3a –5

==> a = 5

Sustituyendo el valor de a. R = {(1,10); (2,7); (5,1); (7,9)} Rango = {10, 7, 1, 9}

 Elemento  10  7  1  9 5.

U P

Sea la función a) <0;5/2>

E

C

Rpta. C

f ( x)   x 2  x  6 . Hallar Dom( f )  Rang ( f ).

b) [0;5/2] c) [0;5/2>

Solución 

= 27

1 0 2

d) [-2;0>

Observamos que se debe cumplir: 2

-x + x + 6 > 0 2 x -x-6<0 (x – 3)(x + 2) < 0

e) [-2;0]


189

Puntos críticos: 3 y –2 +

-

+

-2

3

I I1

Entonces: Dom(f) = [-2;3] 

Para hallar el rango: Tabulando y graficando tenemos. Rang(f) = [0,5/2] Por tanto:

Dom( f )  Rang ( f ) = [-2;3]  [0,5/2]

1 0 2

= [0,5/2] Rpta.

B

PROBLEMAS PROPUESTOS 2x  1 2x y g ( x)  . Hallar: 2x  1 2x  1 f (2)  g (1) E 1  f (2).g (1) A) –7/3 B) 3/7 C) –21 D) 21 E) –3

1. Si f ( x) 

U P

x 1 y g ( x)  x 2  x  1 , hallar fog(3). 2 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. Dado f ( x)  A) 1

E

3. Resolver 6 x  3  18  x A) 3,2

C

B)  3,3

C) 2,7

D)  3

E) 1,2

190



4. Dada la función f ( x)  x  2 , hallar Dom( f )  Ran( f ) . A) [0,+> B) [-2,+> C) [2,+> D) <0,+> E) N.A. 5. Sabiendo que G ( x  3)  x 3  3 x 2  27 x , calcular G(-7). A) –370 B) –170 C) 170 D) 370 E) 2170

I I1

6. La gráfica de F ( x)  2  x  1 pasa por los puntos: A) (3,1); (0,3); (4,5) B) (10,-1); (2,1); (1,2) C) (-1,2);(2,-1);(2,10) D) (-4,2); (0,1) E) N.A.

x 1 3 x  2, 7. Hallar el dominio y el rango de f ( x)   2 1 x x , A) (2,3) y (-,2) B) (1, ) y (-3, ) C) (-,) y (-,) D) R y R+ E) N.A.

1 0 2

8. Si A  2,4,6,8 y sea R una relación en A, definida por R = {(x,y)/ y es un múltiplo de x, x≠y}. Hallar la suma de los elementos de Rang(R). A) 18 B) 26 C) 6 D) 12 E) N.A. 9. Resolver 5 x  1  2 x  8 A) –3
U P

3x  1 4 x 1 A) –5 ó 3/7 B) 5 C) –3/7

10. Resolver

E

C

C) –4
D) –3
D) 5 ó 3/7 E) N.A.

E)

BIBLIOGRAFÍA TEORÍA ELEMENTAL DE LOS NÚMEROS ARITMÉTICA (Curso Superior) PROBLEMAS DE ARITMÉTICA TEORÍA DE LOS NÚMEROS ARITMÉTICA ÁLGEBRA ÁLGEBRA (Tomo I) ÁLGEBRA (Tomo II) MATEMÁTICA BÁSICA ÁLGEBRA

C

E

U P

William Le Veque Rey Pastor García Ardura Ruiz Arango, Isidro Farfán Alarcón, Oscar Raúl Goñi Galarza, Juan Quijano Hiyo, Jorge Quijano Hiyo, Jorge Venero B. Armando Lehman, Charles

1 0 2

I I1

- 191 -

Libro Guia Aritmetica y Algebra

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