Algebra Libro Para El Estudiante

Algebra

,

Libro para el estudiante Nivel Medio Superior

Academia Institucional de Matematicas

Instituto Politecnico Nacional -Mexico-

DIRECTORIO

DR. JOSE ENRIQUE VILLA RIVERA Director General DR. EFREN PARADA ARIAS Secreta rio General DRA. YOLOX6CHITL BUSTAMANTE DIEZ Secretaria Academica DR. JORGE VERDEJA L6PEZ Secreta rio Tecnico ING. MANUEL QUINTERO QUINTERO Secretario de Apoyo Academico DR. 6SCAR ESCARCEGA NAVARRETE Secretario de Extensi6n y D~fusi6n CPO RAUL SANCHEZ ANGELES Secretario de Administraci6n DR. LUIS ZEDILLO PONCE DE LE6N Secretario Ejecutivo de la Comisi6n de Operaci6n y Fomento de Actividades Academicas ING. JESUS ORTIZ GUTIERREZ Secretario Ejecutivo del Patronato ING. FERNANDO ARELLANO CALDER6N Director de Educaci6n Media Superior M. en C. ALFONSO RAMIREZ ORTEGA Director de Tecnologfa Educativa LIC. ARTURO SALCIDO BELTRAN Director de Publicaciones

ACADEMIA INSTITUCIONAL DE MATEMATICAS DEL INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

Leonor Delgado Hernandez y J. Manuel Cisneros Marquez

CECyT 1 "Gonzalo Vazquez Vela"

Marcelo Briones Palacios

CECyT 2 "Miguel Bernard Perales"

Fernando Arroyo Garcia

CECyT 3 "Estanislao Ramirez Ruiz"

Javier Montes de Oca Olvera y Ram6n Jordan Rocha

CECyT 4 "Lazaro Cardenas"

Francisco Banuelos Tepallo

CECyT 5 "Benito Juarez"

Pascual

P~rez

Caldelas y Jose Calvillo Velazquez

CECyT 6 "Miguel Oth6n de Mendizabal"

Jose Luis Torres Guerrero

CECyT 7 "Cuauhtemoc"

Enrique Tellez L6pez

CECyT 8 "Narciso Bassols"

Arnulfo Ulloa Hernandez

CECyT 9 "Juan de Dios Batiz"

Javier Patino Monroy y Florencio Beltran Navarrete

CECyT 10 "Carlos Vallejo Marquez"

Salvador Romano Reyes y Pedro Ortega Cuenca

CECyT 11 "Wilfrido Massieu"

Joaquin Rafael Buendia Santos

CECyT 12 "Jose Maria Morelos y Pav6n"

Norberto Matus Ruiz y Claudio Hector Galvan Aguirre

CECyT 13 "Ricardo Flores Mag6n"

Carlos J. Quintero Martinez y M. Aurora Maldonado Cruz CECyT 14 "Luis Enrique Erro Soler" Wilfrido Apolonio Flores Medina

CECyT 15 "Di6doro AntUnez Echegaray"

Ludwing J. Salazar Guerrero y Susana I. Nieto Almaraz

CET 1 "Walter Cross Buchanan"

Y la colaboraci6n especial de: Blanca Ruiz Hernandez

(ITESM Campus Monterrey)

Liliana Suarez Tellez

(CICATA-IPN)

Este libro que forma parte del Paquete Didactico de Algebra fue elaborado por la Academia Institucional de Matematicas en 2001 y revisado en 2004 por una comisi6n compuesta por los profesores: Josue Javier Tellez Luna


Francisco Banuelos Tepallo


Jose Luis Torres Guerrero

CECyT 7 "Cuauhtemoc"

Coordinaci6n General Direcci6n de Tecnologia Educativa Coordinaci6n Academica Direcci6n de Educaci6n Media Superior

Los juicios y opiniones para mejorar el contenido de este material pueden ser enviados a las siguientes direcciones electr6nicas: Academia Institucional de Matematicas [email protected] Direcci6n de Tecnologfa Educativa [email protected]

Algebra Libra para el Estudiante PRIMERA EDICI6N: SEGUNDA EDICI6N:

2001 2004

D.R. © 2004 INSTITUTO POLlTECNICO NACIONAL

Direcci6n de Publicaciones Tresguerras 27, 06040, Mexico, DF ISBN: Obra completa: 970-36-0178-2 Individual: 970-36-0176-6 Impreso en Mexico/Printed in Mexico

PRESENTACION El Instituto Politecnico N acional, a traves de la Secretaria Academica, la Secretaria de Apoyo Academico, la Direccion de Educacion Media Superior, la Direccion de Tecnologia Educativa, la Direccion de Publicaciones y la Academia Institucional de Matematicas presentan la segunda edicion del Libro para el Estudiante de la asignatura de Algebra, con la finalidad de brindar a los alumnos un elemento mas que apoye los procesos de ensefianza-aprendizaje y que contribuya a elevar la calidad y el rendimiento academico de nuestra institucion. El contenido dellibro se desarrolla acorde con el programa institucional de la asignatura, haciendo enfasis en aquellos temas esenciales que, por su complejidad, presentan cierta dificultad para su comprension. El enfoque metodologico que se presenta esta basado en la resolucion de problemas, 10 que facultara al estudiante para hacer un uso activo de sus matematicas, un saber hacer en el contexto en que se desenvuelve y en general en la dimension matematica de sus quehaceres presentes y futuros. En esta segunda edicion se actualizan algunos ejercicios y se retoma la experiencia del uso del primer libro realizando los ajustes que en contenido y en la presentacion misrna dellibro han hecho distintos profesores del Nivel Medio Superior. El documento central dellibro es el de las secuencias de aprendizaje, donde se presenta el conjunto de actividades didacticas (problemas, problemas guiados, proyectos, ejercicios, lecturas y autoevaluaciones) para desarrollar cada una de las unidades del curso de Algebra. Ademas se inc1uyen algunos materiales auxiliares para la organizacion del aprendizaje. Ellibro va acompafiado de un disco compacto que contiene software especializado en Matematicas. Estos apoyos tecnologicos se conciben como una herramienta mas para la comprension de la asignatura. Se reconoce el trabajo de la Academia Institucional de Matematicas del Nivel Medio Superior quienes, para el desarrollo de este libro, aportaron experiencias valiosas para ellogro de los aprendizajes en el salon de c1ases adquiridas en el desarrollo de investigaciones sobre la educacion matematica.

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fndice INTRODUCCION

1. Secuencia de aprendizaje (Contenido y referencia de su ubicaci6n) Unidad 1 Unidad 2 U nidad 3 U nidad 4 U nidad 5 Unidad 6

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De la Aritmetica al Algebra Polinomios Ecuaciones y funciones lineales Ecuaciones y funciones cuadniticas Sistemas de ecuaciones Funciones polinomiales y racionales

2.MAPOA

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3. Problemas I. Problemas II. Problemas can gufa III. Proyectos

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4. Ejercicios

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5. Lecturas

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6. Autoevaluaciones

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7. Bibliograffa

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Introducci6n

El marco institucional En el simposio "La prospectiva del IPN y los desaffos para el siglo XXI", que tuvo lugar a fines del siglo pasado, se destac6 que el quehacer institucional se debe orientar hacia la creaci6n de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido de solidaridad. En particular, al IPN Ie corresponde atender a las necesidades del pafs para sustentar su desarrollo cientffico y tecnol6gico, por 10 que debeni convertirse en un espacio de socializaci6n que integre en sus propuestas formativas la ciencia, la tecnologia y el conocimiento con una etica de responsabilidad profesional, en donde el currfcul0, la pedagogfa, la organizaci6n, el disefio y la aplicaci6n de las politicas institucionales, tengan la capacidad para actuar consistentemente frente a los escenarios del siglo que comienza. Para lograr estas metas, el IPN debe mantener un esquema dinamico de acci6n que 10 haga un espacio de formaci6n, aprendizaje, actualizaci6n e investigaci6n de alta calidad; un espacio y una comunidad en los que la permanencia y el apoyo se hagan posibles en funci6n del merito intelectual, la 9

competencia demostrada y el potencial de contribucion social, a donde la sociedad y sus instituciones puedan dirigirse para obtener respuestas confiables a sus cuestionamientos. Las nuevas exigencias de acreditacion de carreras y de certificacion de egresados, imponen una sistematizacion del desarrollo curricular que obliga a que la reforma academica se constituya en un ejercicio permanente que garantice a los egresados el perfil profesional requerido para los tiempos por venir. As!, la educacion que el IPN ofrezca tendnl que superar la imagen tradicional de la adquisicion de conocimientos como un fin en s1, para insistir en el desarrollo de aptitudes en el nivel de metodos, de procedimientos y de estrategias de intervencion; por 10 que habra que mejorar los programas educativos y de investigacion, adecuar las instalaciones, los recursos humanos y la infraestructura, y fomentar el desarrollo tecnologico. En atencion a las demandas que la sociedad Ie plantea, el IPN tiene como eje de su transformacion un nuevo perfil profesional que orienta el disefio y la instrumentacion de nuevos modelos educativos que proponen una relacion adecuada entre los conocimientos, las habilidades practico-productivas y las actitudes que dotanin a los estudiantes de capacidad emprendedora, responsabilidad, creatividad y flexibilidad en su desempefio profesional. En su prospectiva 2000-2015 hacia el nuevo Modelo Educativo Politecnico se sefiala que el rete no considera cambios radicales pero sf contundentes en: • la reorientacion del enfoque y los contenidos de tal manera que el IPN eduque para vivir, aprender, emprender, crear y saber ser; • la presencia de un esquema cultural que amplfe los horizontes de la ciencia y la tecnologia nacionales; • dar un valor social, economico y etico a los conocimientos resultantes, para estar presente en los circuitos de la distribucion mundial de los saberes; • proveer de servicios y haberes a la poblacion del pais; • y contribuir a mantener la equidad, la unidad y el bienestar nacionales. Estos son los desaffos que, en palabras de la propia institucion, el IPN reconoce para el presente y el futuro inmediatos.

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LIBRO PARA EL ESTUDIANTE

;, Que entendemos por ensefiar y aprender en el area de matematicas? Cuando una persona adopta el papel de estudiante y se encuentra con sus profesores y con sus compafieras en el salon de clases hay un acuerdo implicito, el estudiante est a ahf para aprender y el profesor para ensefiar. Tu experiencia en la escuela te ha formado una nocion intuitiva de 10 que estas dos ideas y pnicticas significan y de 10 que puedes esperar de una c1ase. Sin embargo, el sistema educativo que hemos heredado no se disefi6 para que aprendieras a actuar en forma adaptativa en un ambiente complejo inundado por la tecnoiogia. Sus objetivos no consideraron que fuera necesario, 0 siquiera posible, que pudieras aprender a interpretar textos no familiares con propositos variables, construir argumentos convincentes atendiendo varios niveles, comprender sistemas complejos, desarrollar diversos enfoques a los problemas 0 llevar a buen fin la solucion de un problema trabajando en grupo. La sociedad requiere cad a vez mas una educaci6n que se centre en las llamadas habilidades intelectuales de orden superior. Estas habilidades, de nombre tan elegante, son las que aplicas cuando tomas decisiones, resuelves problemas, organizas tu propio aprendizaje 0 haces aportaciones creativas en tus trabajos y actividades. Pero si quieres aprender a resolver problemas tienes que enfrentarte a verdaderos problemas, si quieres aprender a tomar decisiones, tienes que tomarlas y asumir las consecuencias. Todo esto es complicado, pero es 10 que haces, y vas a seguir haciendo cada vez mas, dentro y, sobre todo, fuera de la escuela. Resnick, conocida investigadora en educacion matematica, quien ha estudiado este pensamiento de orden superior, 10 caracteriza sefialando que: • no es algoritmico, porque las vias por las que circula no estan bien definidas previamente, • es complejo, porque no basta una perspectiva, • da lugar a soluciones diversas, cad a una con sus costos y beneficios, • requiere de la aplicaci6n de criterios multiples, en ocasiones contradictorios, que al aplicarse producen juicios matizados, • va acompafiado de una fuerte carga de incertidumbre, no se suele conocer todo 10 que se necesita, • debe autorregularse, • comprende la asignaci6n de un significado, encontrando la estructura que subyace al desorden aparente • y exige un esfuerzo considerable, un trabajo intelectual con prop6sitos definidos en diversos niveles. Algebra

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De la prospectiva del IPN podemos retomar la orientaci6n que se debe dar al quehacer institucional hacia la creaci6n de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido de solidaridad. Esto es una invitaci6n para contribuir a una reforma educativa imaginativa y muy exigente, que requiere una reconceptualizaci6n de 10 que significa tener clase. Para nosotros, tus profesores, enseiiar matematicas significani crear las condiciones que, con tu indispensable participaci6n protag6nica, producinin la apropiaci6n del conocimiento, el desarrollo de las habilidades y la formaci6n de las actitudes. Aprender matematicas significani involucrarse en una actividad intelectual exigente, cuya consecuencia final sera la disponibilidad de un conocimiento dual: como instrumento y como objeto. As!, saber matematicas significara el desarrollo de estos dos aspectos del conocimiento: • Como instrumento, el conocimiento matematico esta inscrito en un contexto. En este caso es necesario usar las nociones y teoremas matematicos que considera el programa de la materia para resolver problemas e interpretar situaciones nuevas. • Como objeto, el conocimiento esta descontextualizado y es atemporal. Debes ser capaz de fonnular definiciones, enunciar y demostrar teoremas e identificarlos como elementos de una disciplina: la matematica. Los tres pensamientos siguientes nos sefialan aspectos que debemos considerar en nuestro aprendizaje: ~igo

y olvido, yeo y recuerdo, hago y comprendo. (Un viejo proverbio chino) Racer. .. y reflexionar ace rca de 10 que se hace. (Seymour Papert) No hay conocimiento verdadero si no se es capaz de comunicarlo (As! decian los griegos) Es decir, oyendo, viendo, haciendo ... pero ademas reflexionando y comunicando. 12 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


Asi nuestro modelo se puede sintetizar, de manera esquematica, en la triada Racer Comunicar

Hacer · Reflexionar · Comunicar

El desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidad exclusiva del profesor, sino que debe con tar con una nueva actitud del estudiante, que tambien se responsabiliza y se compromete con su aprendizaje. Juntos podnin discutir y definir las distintas maneras de desarrollar las actividades de aprendizaje, con sus razones, sus ventajas, sus desventajas y sus riesgos.

Las competencias basicas y su dimension matematica Nuestro marco de referencia 10 establece la SEP en sus competencias basicas del estudiante de bachillerato. Estas se refieren al dominio, por parte del estudiante, de los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para la comprension del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnologia, como para su aplicacion en la solucion de los problemas de su vida escolar, laboral 0 cotidiana, por 10 que se considera que deben ser comunes a todos los bachilleratos del pais. Se considera que las competencias basicas que se deben desarrollar durante el paso del educando por el bachillerato son: • Expresarse correcta y eficientemente en espanol, tanto e,n forma oral como escrita, as! como interpretar los mensajes en ambas formas. • Manejar la informacion formulada en distintos lenguajes y discursos (graficos, matematicos, simbolicos, de computo, etc.). Algebra

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• Utilizar los instrumentos culturales, cientificos, metodologicos y tecnicos, basicos para la resolucion de problemas en su dimension individual y social, con actitud creativa y trabajando individualmente 0 en grupos. • Comprender, criticar y participar racional y cientificamente, a partir de los conocimientos asimilados, en los problemas ecologicos, socioeconomicos y politicos de su comunidad, region y del pais. • Aprender por sf mismo, poniendo en practica metodos y tecnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual. • Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, inc1uso en 10 que se refiere al conocimiento de sf mismo, su autoestima y autocritica, salud fisica y formaci6n cultural y estetica, a efecto de tomar decisiones que 10 beneficien en 10 individual y en 10 social. • Desempefiarse individual 0 grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana. • Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visi6n global del medio natural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad. En cada una de las competencias anteriores hay una componente matematica, por 10 que en el area de matematicas se trata de lograr los conocimientos, las habilidades y las actitudes que al articularse con los de las otras areas te permitan desarrollar significativamente estas competencias. Estos objetivos, que sin dud a quieres lograr tanto como nosotros, exigen nuevas modalidades de trabajo, a las que quiz as no estas acostumbrado, y pueden causarte confiictos, cierta desesperacion, algo de presion, pero, segun afirman los expertos como Resnick, los aprendizajes complejos no se logran aislando las componentes visibles, desarrollandolas e integrandolas posteriormente, sino mediante experiencias que ponen en juego, simultaneamente, tanto las habilidades de fndole general, como los conocimientos especificos, junto con tu disposici6n para embarcarte en situaciones con una fuerte carga de riesgo e incertidumbre. Estos "buenos propositos" son mas complejos, lograrlos es una tarea mas diffcil pero tambien, creemos, mas atractiva e interesante. La experiencia basica en nuestras clases se definira por nuestra relaci6n con los problemas. La resoluci6n de un problema en la clase es un proceso muy complejo cuando te enfrentas a uno verdadero. Debido a esta complejidad, los factores que intervienen para que logremos resolver exitosamente un problema, y comprender algo significativo como resultado de la interacci6n con este, son much os y de distintos niveles. La desatencion de uno, 0 varios, de estos factores puede entorpecer y a veces hacer imposible la soluci6n de 14 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

lIBRO PARA EL ESTUDIANTE

un problema 0 la comprension que se deriva de la interaccion fecunda con este. Una componente que influye de manera determinante corresponde ala forma en que las personas interactuan durante la resolucion de un problema. Piensa en un lab oratorio en el que se realizan algunos procesos complejos, los factores que intervienen en los procesos se administran, se registran continuamente y algunos de ellos se controlan. Asi, si queremos crear un ambiente propicio para el desarrollo de las habilidades intelectuales de orden superior es necesario que aprendamos a participar en cada modalidad de trabajo: individual, equipo y grupo completo. El desarrollo de la tecnologia, verdaderamente impresionante en la actualidad, ha perfilado el mundo en que vivimos. Nuestra cultura cuenta ya con una componente matematica que no solo atafie al especialista sino al ciudadano. Las matematicas estan tan inevitablemente incorporadas a nuestra vida cotidiana que, si hemos sobrevivido, es porque, de alguna manera, hacemos un buen uso de las pocas 0 muchas matematicas que sabemos. La herramienta tecnologica por excelencia es la matematica, la cual es dinamica porque para cada nuevo problema hay que disefiar una herramienta nueva; basta revisar la gran cantidad de matematicas nuevas que se han hecho, especialmente en la segunda mitad del siglo pasado, y el papel que han desempefiado en la solucion de los problemas importantes de todas las areas. Anteriormente, los objetivos que perseguia una sociedad, 0 una institucion, cambiaban cad a dos 0 tres generaciones. Actualmente, estos se revisan constantemente y el cambio forma parte de nuestra realidad cotidiana. Los conocimientos que hace veinte afios estaban vigentes en la electronica, por poner un ejemplo, hoy son casi totalmente obsoletos. Mas que conocimientos especfficos, que, por supuesto, en cierta medida siguen siendo necesarios, 10 que se trata de lograr en la educacion de hoy es la capacidad para ser autosuficiente cuando se organiza el aprendizaje que nos exige la profesion. Para esto es necesario desarrollar: • las habilidades para usar el conocimiento y articular los conocimientos en pos de un proposito mas complejo; • las actitudes que nos permiten enfrentar situaciones con una componente import ante de incertidumbre; • la capacidad para transferir, es decir, aplicar en una situacion distinta a aquella en la que aprendimos los conocimientos que adquirimos. Algebra

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El conocimiento debe ser uno de los principales elementos que determinen la relacion entre un profesor y sus alumnos. Pero la clase tambien es un sitio de interacci6n de costumbres y creencias de cada uno de sus participantes, por eso es conveniente con tar con un lenguaje comun que nos permita tener un ambiente que propicie la ensefianza y el aprendizaje desde la perspectiva descrita. Asf, cada una de nuestras experiencias al respecto dentro delsa16n de clases tendni un doble prop6sito: aprender a crear un ambiente de trabajo y aprender nlatematicas. Ese ambiente estara dirigido a promover la independencia del estudiante y la responsabilidad que debe tener en su aprendizaje, a traves de: • • • •

El trabajo individual y en equipo. La realizaci6n de actividades matematicas. La discusion matematica. La evaluacion de tu trabajo y del trabajo de tus compafieros en el equipo y en el grupo.

Cuando se lee sobre el pensamiento de orden superior, sobre tener una actitud participativa, crftica y creativa, se suele decir, "sf, parece deseable y necesario, quiero lograrlo, pero l,como 10 hago?" En la Academia de Matematicas hemos reconocido la gran dificultad que hay para lograr estos objetivos y, junto con los clubes de Matematicas de varias escuelas, hemos disefiado y adaptado una serie de materiales auxiliares para la organizacion del aprendizaje, que te serviran para traducir en acciones cotidianas este import ante prop6sito, ademas de ser utiles como marcos de referencia compartidos que se usan y comentan constantemente. En la medida en que, tanto el profesor como los alu1)lnos, se familiaricen con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje comun, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje mas importantes. En una seccion de este libro se tiene un comentario un poco mas amplio de estos Materiales Auxiliares para la Organizacion del Aprendizaje (MAPOA). En terminos generales, estos auxiliares concretan la expresion responsabilizarse de su aprendizaje y contribuyen allogro de la autonomfa de los alumnos en la organizaci6n de sus propios aprendizajes.

EI curso de Algebra El IPN tiene fama de ser uno de los mejores bachilleratos en matematicas de Mexico. La gran mayorfa de ustedes seguramente se enorgullece de tener cierta facilidad para las matematicas. El primer curso del area de matematicas se llama Algebra. Al escuchar el titulo, 10 que viene a nuestra mente es, quizas, un conjunto de operaciones con letras y unas ecuaciones, a veces con 16----------------------------------------

LlBRO PARA EL ESTUDIANTE

puras letras. Sin embargo, conforme realices las actividades que te prop ondremos te danis cuenta de la c1ase de conocimiento que queremos que logres; un conocimiento que se asocia con la calidad de su uso. E8to quiere decir que no se trata de padecer cursos, para aprobarlos, que nos exigen realizar operaciones para las que no tenemos ningun significado inmediato, con la promesa de que en un futuro indeterminado acabaremos por aplicarlas. No se trata entonces de que ingenieros titulados no sean cap aces de resolver los problenlas que se les presenten si no tienen una receta, 0 alguien que los dirija, para hacerlo. Nadie contrata hoy a un profesional para que resuelva un problema que ya esta resuelto. Queremos que el criterio basico para juzgar la calidad de nuestro aprendizaje, sea la medida en que somos capaces de darle sentido a las conclusiones que obtenemos al aplicar nuestros conocimientos a la resolucion de un problema, ya sea familiar 0 nuevo; que seambs cap aces de descubrir los patrones que relacionan las caracterfsticas de un proceso, de imponer un modelo matematico, si es necesario; y de evaluar los resultados de su aplicacion en funcion de criterios propios de la situacion en la que se origino nuestro problema. Por supuesto que este tipo de aprendizaje es mas dificil. As! como el espacio de nuestra experiencia basica tiene varias dimensiones, una longitud, una anchura, una profundidad y un tiempo, el aprendizaje que queremos lograr tiene varias dimensiones: los conocimientos, las habilidades, las actitudes y la transferencia. Necesitamos aprender a identificar y lograr objetivos en varias dimensiones, a vivir este aprendizaje multidimensional en la escuela, particularmente en nuestras c1ases de matematicas. El objetivo del curso, segun 10 estipula tu programa, es "AI termino del curso el alumno generara modelos algebraicos de situaciones probleJnaticas que se Ie presenten, en donde, para sus soluciones, haga uso de polinomios, transformaciones elementales de £!xpresiones aigebraicas, planteamiento y resoluci6n de ecuaciones, sus representaciones graficas y una primera aproximaci6n a las funciones lineales y cuadraticas, 10 que Ie permitira analizar situaciones y problemas surgidos en su entorno, as[ como tener el fundamento para el desarrollo posterior de conceptos y metodos matenlaticos." El metoda de trabajo se basa en la problematizacion continua, la formulacion de conjeturas y la revision sistematica de los conocimientos adquiridos, utilizando tecnicas grupales para el amilisis y la discusion, as! como tecnicas expositivas y de indagacion, apoyadas con recursos audiovisuales y tecnologicos (computadora, calculadora, etc.), procurando que la relacion entre el alumno y el objeto sea constructiva. Algebra

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Durante todo el desarrollo del curso, se promovenln el amilisis, la solucion y la discusion de problemas en clase, en un ambiente que favorezca en los alumnos la apreciacion de su propio trabajo personal, el de sus compafieros y el de su docente. Debeni tenerse presente que la resolucion de problemas es la que permite generar e integrar conocimiento, favorece su asimilacion y ayuda a distinguir 10 esencial de 10 menos importante. En este proceso el docente es el organizador de las experiencias de aprendizaje que problematiza, proporciona informacion y crea codigos de instruccion, de manera que sus alumnos puedan interactuar con los problemas planteados y, mediante esta interaccion, avanzar hacia nuevos conocimientos. Es importante que, a 10 largo de las actividades, los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expresion matematica: lenguajes natural, simbolico y gnifico, as! como al uso de tab las y diagramas. En terminos generales, la ensefianza de los temas no debe seguir la exposicion magistral, sino fomentar el trabajo en equipos y la exposicion de las experiencias logradas por parte de sus integrantes a traves de una adecuada planeacion de las actividades de aprendizaje. El Algebra que aquf estudiaremos debe ser algo mas que la manipulacion de expresiones simbolicas. Se debe convertir en una herramienta de modelacion en el estudio de situaciones reales, generalmente con el objeto de predecir y de controlar, cuando es eticamente aceptable, algunas de sus caracterfsticas pero, primordialmente, con el objeto de contribuir a explicarnos mejor los fenomenos del mundo en que vivimos.

La organizaci6n del Libro para el estudiante En este se incluyen varios tipos de actividades de aprendizaje, cad a una de las cuales tiene un objetivo dentro de toda la red de experiencias consideradas en el curso y se presenta como un apartado en este libro: • Problemas Problemas Problemas con gufa Proyectos • Lecturas • Ejercicios • Tareas • Autoevaluaciones 18--------------------------_______________


Ellibro va ac<;>mpafiado de un disco compacto que inc1uye algunos paquetes y actividades que contribuinin a tu aprendizaje del Algebra. Las actividades se desarrollan en un ambiente que favorece el autoaprendizaje, la autoevaluaci6n, el trabajo en equipo, el manejo de la incertidumbre, la apropiaci6n de estrategias personales para el manejo de situaciones no familiares, el empleo de formas de pensamiento l6gico y el uso de tecnologfa como una herramienta. Las actividades estan planeadas para que estudiantes y profesores interactuen con diferentes elementos (los problemas, los problemas con gufa, los algoritmos, los ejercicios, las lecturas y las exposiciones) que brindan las experiencias complementarias que son necesarias para ellogro de los objetivos del programa. La catedra, 0 exposici6n magistral del profesor, merece un comentario aparte. El profesor s610 hara matematicas frente a ti en ocasiones bien planeadas, cuando estas preparado para beneficiarte de sus explicaciones y participar con preguntas y comentarios, pero en general seras til quien haga matematicas con tus compafieros al realizar las actividades de aprendizaje. Las explicaciones del profesor, en general, tendran como punto de partida el trabajo del grupo. En algunos casos resolveras completamente un problema (es un decir, un problema nunca ·termina, siempre engendra otros) pero en otras, quizas 10 que obtengas de tus afanes sean preguntas bien formuladas, que no es algo desdefiable, sino, por el contrario, algo indispensable para 10grar un aprendizaje profundo y duradero, porque Ie da un sentido personal a una situaci6n que, en principio, nos puede resultar ajena. Una descripci6n del tipo de actividades que se desarrollaran durante el curso de Algebra se resume en el cuadro siguiente:

Actividad de aprendizaje zEn que consiste? Resolucion de problemas Es una actividad en la que se vinculan las herramientas matematicas con algunos conceptos utilizando un contexto. Se trata de propiciar la interacci6n del estudiante con una situaci6n, familiar 0 no, en la que se usan las matematicas y se formulan 0 responden preguntas que contribuyen ala conceptualizaci6n de los objetos matematicos.

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En la clase, se prop one a los alumnos un problema, que puede contener un cuestionario gufa 0 no, para resolverlo, generalrnente, en equipo. El profesor orienta a los estudiantes en la solucion del problema, y estos presentan y validan la solucion.

Desarrollo de proyectos Es una tarea extraclase de varias etapas que requiere de un esfuerzo coordinado durante varios dfas 0 semanas, de la consult a a fuentes de informacion actualizada como periodicos, revistas 0 entrevistas a personas vinculadas con alguna situacion problematica propicia para un analisis matematico. Los estudiantes investigan, buscan y organizan su trabajo. Consult an con su profesor, quien los orienta y retroalimenta en cada una de las etapas del proyecto. Se produce un informe que se present a y discute en el grupo.

Resoiucion de ejercicios Se trata de profundizar en el conocimiento de los algoritmos, de comprender por que funcionan y practicarlos, de ser posible con el auxilio de herramientas tecnologicas, de ser cap aces de generarlos, a partir de la solucion de los problemas, de explorarlos y generalizarlos. Los alumnos trabajan, generalmente, en forma individual exponen y validan la solucion. EI profesor dirige y orienta, reformula e introduce las convenciones de la disciplina.

JLectura§ Se trata de que el estudiante interactue con un texto con el objeto de generar una interpretacion global, de identificar su estructura, de reformular sus ideas principales, de comentarlo y conectarlo con el curso, y de formular y resolver dudas, todo desde la perspectiva del desarrollo de una cultura mate matica. Se realiza generalmente fuera de la clase, dejando solo la discusion para la clase y, de ser posible, su prolongacion en un foro de discusi6n en la red.

Catedra Consiste en retomar 0 conducir el trabajo de los alumnos mediante anotaciones pertinentes. Formula nuevos problemas, comenta definiciones, teoremas o demostraciones y su papel en la organizacion del conocimiento matematico. EI profesor retoma las soluciones de sus estudiantes para presentar y discutir nuevos temas asf como para formalizar el conocimiento. 20 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


Autoevaluacion Es un cuestionario disefiado para que el alurnno pueda evaluar sus avances con respecto a un objetivo bien definido. Aqui se encuentran organizadas por unidad. El alumno lnismo puede contrastar sus respuestas con las que se induyen para medir sus logros. Las secciones estan organizadas segun el tipo de actividad de aprendizaje. En la primera secci6n encontranis la secuencia que corresponde a cada un idad del programa de Algebra. La organizaci6n de las actividades que aquf se presenta constituye una propuesta flexible y fundamentada que puede ser modificada por el profesor. En cuanto al uso de las herrarrlientas tecno16gicas en las actividades de aprendizaje, hay que destacar que, en el area de 1tlatematicas, se reconoce conlO un aspecto natural de nuestra sociedad y por consiguiente debe estar presente, en la medida de 10 posible, con el doble prop6sito de contribuir a fortalecer la comprensi6n de los alumnos y de permitir que se familiaricen con la interacci6n mediada por estos dispositivos que caracteriza el ejercicio de las profesiones en la actualidad. As!, en particular, se considera el uso responsabIe, pero cotidiano, de las calculadoras con poder de graficaci6n y con sistemas de calculo algebraico y los programas de computadora disefiados para el aprendizaje y el uso del Algebra. Los programas vi gentes de matematicas en el IPN reconocen que un examen escrito no permite evaluar todos los tipos de aprendizajes sefialados antes, por ella incorpora la llamada evaluaci6n continua, en la cual se ponderan habilidades y actitudes que se van desarrollando paulatinamente.

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Programa de Algebra Version del alumno Objetivo general Al termino del curso el alumno generani modelos algebraicos de situaciones problem,:iticas que se Ie presenten, en donde, para sus soluciones, haga uso de polinomios, transformaciones elementales de expresiones algebraicas, planteamiento y resolucion de ecuaciones, sus representaciones gnlficas y una primera aproximacion a las funciones lineales y cuadnHicas, 10 que Ie permitini analizar situaciones y problemas surgidos en su entorno, as! como tener el fundamento para el desarrollo posterior de conceptos y metodos matematicos.

Las cuatro lfneas indispensables que se desarrollan en el curso de Algebra: Este programa de algebra contempla cuatro grandes lineas de desarrollo, que se deberan ir tratando y desplegando a 10 largo de todo el curso: • • • •

Lenguaje algebraico. Modelacion. Ecuaciones. Funciones.

Es importante hacer notar que no es conveniente que haya largos periodos dedicados exc1usivamente ala ejercitacion de la operatividad, sino que a medida que los alumnos hayan aprendido nuevos procedimientos algebraicos, los utilicen en la resolucion de problemas y aplicaciones. El programa debera cumplirse hasta sus ultimas unidades, pues estas preparan a los alumnos para los siguientes cursos. Lo anterior sera posible si el docente distingue siempre 10 esencial de 10 accesorio y no insiste en la ejercitacion excesiva de temas de poca importancia para los cuales bastara resolver uno 0 dos ejemplos en el salon de c1ases y dejar otros como tarea. Tambien deberan evitarse aquellos tratamientos teoricos superfluos 0 innecesarios, 0 tratar de agotar un tema desde el principio, pues el programa ha sido disefiado de tal manera que los conocimientos esenciales puedan utilizarse a 10 largo de todo el curso.

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UNIDAD 1 De la Aritmetica al Algebra Al termino de la unidad el alumno resolvenl diferentes problemas incorporan do de manera paulatina la notaci6n literal y las reglas de escritura algebraica, 10 que Ie permitini reafirmar sus conocimientos sobre las fracciones y sus diferentes significados, as! como el uso de exponentes y su aplicaci6n en la notaci6n cientffica. Esto Ie permitini desarrollar habilidades para abordar el estudio de los polinomios, las ecuaciones y las expresiones racionales. 1. Problemas para revisar la noci6n de fracci6n y sus distintas interpreta-

ciones: - como parte de un todo, - como raz6n (comparaci6n de dos cantidades), - como representaci6n de porcentajes, - como equivalencia de fracciones decimales. 2. Revisi6n de razones y proporciones a traves de problemas. 3. Problemas que den lugar al uso de potencias con exponentes enteros y notaci6n cientifica. UNIDAD2 Polinomios Al termino de la unidad el alumno manejani la notaci6n algebraica y realizani las operaciones de adici6n y multiplicaci6n de polinomios, a partir del planteamiento de problemas mate maticos aplicados a situaciones cotidianas, desarrollando ademas sus habilidades para traducir el1enguaje coloquial al lenguaje simb6lico-abstracto y para la elaboraci6n de modelos con polinomios. 1. Problemas que den lugar al uso y significado del lenguaje algebraico, as!

como a la traducci6n dellenguaje coloquial al algebraico. 2. Adici6n de polinomios. 3. Multiplicaci6n de polinomios.

Algebra -------------------------------------------------- 23

UNIDAD3 Ecuaciones y funciones lineales Al termino de la unidad el alumno resolveni problemas de contextos matematicos y extramatematicos -de 10 cotidiano y de otras areas del conocimiento-, que conduzcan a una ecuacion lineal y para 10 cual hara uso del metodo tabular como medio para explorar y establecer la expresion analitica de la funcion, obtendra la ecuacion, la resolvera por el metodo algebraico y/o grafico e interpretara el resultado. 1. Problemas que den lugar a ecuaciones de primer grado con una incognita. - Solucion algebraica.

2. N ocion de funcion lineal y su grafica. - Solucion gnifica de ecuaciones lineales de una inc6gnita. 3. Problemas que den lugar a variacion directamente proporcional: - representacion grafica. UNIDAD4 Ecuaciones y funciones cuadraticas Al terminG de la unidad el alumno planteani y resolveni problemas de contextos matematicos y extramatematicos -de 10 cotidiano y de otras areas del conocimiento-, que conduzcan a la formulacion de ecuaciones de segundo grado, las resolvera por el metoda algebraico y/o grafico -asociado con funciones cuadraticas- e interpretara los resultados. 1. Problemas generales que den lugar a ecuaciones de segundo grado con una incognita: - Mttodos de solucion algebraica. Factorizaciones simples.

2. Nocion de funci6n cuadratica y su grafica. - Metoda de solucion grafica de ecuaciones cuadraticas.

24---------------------------------------___


UNIDAD5 Sistemas de ecuaciones Al termino de la unidad el alumno construini modelos matematicos que incluyan sistemas de ecuaciones lineales y cuadraticas provenientes de contextos matematicos y extramatematicos de 10 cotidiano y de otros campos del conocimiento, ademas resolvera correctarnente los sistemas de ecuaciones lineales y cuadraticas utilizando los metodos tabular, algebraico y grafico y comprobara su soluci6n. Asimismo construira, interpretara y vinculara las representaciones tabular, algebraic a y grafica mediante el uso de calculadoras con poder de graficaci6n y software matematico. 1. Problemas que generen sistemas de ecuaciones lineales: - revisi6n de los metodos basicos de resoluci6n de sistemas lineales.

2. Problemas que generen sistemas de ecuaciones cuadraticas: - una cuadratica y una lineal, - soluci6n grafica del caso parabola y recta. UNIDAD6 Funciones polinomiales y racionales Al termino de la unidad el alumno resolvera problemas de variaci6n proporcional inversa entre dos variables y aquellos que den lugar a ecuaciones fraccionarias reducibles a lineales 0 cuadraticas para que se familiarice con las propiedades basicas de fracciones algebraicas racionales y con algunas funciones racionales simples. Asimismo, analizara cualitativamente el comportamiento de la grafica de funciones polinomiales simples. 1. Funciones polinomiales: - rakes 0 ceros de un polinomio, - teorema del residuo, - teorema del factor, - divisi6n sintetica. 2. Problemas que den lugar a variaci6n inversalnente proporcional: - representaci6n grafica.

Algebra

25

3. Problemas que den lugar a ecuaciones fraccionarias reducibles a lineales 0 cuadnHicas y a funciones racionales: - fracciones algebraicas equivalentes y sus propiedades

Bibliografia PHILLIPS, Elizabeth et al., Algebra con aplicaciones. Editorial Haria, Mexico, 1988. GUSTAFSON, David R., Algebra intermedia. Thompson Editores, Mexico, 1996. SMITH, Stanley A. et at., Algebra y Trigonometria. Addison-Wesley Iberoamericana, EEUU, 1997. O'DAFFER, et al., Prealgebra. Addison-Wesley Iberoamericana. EEUU, 1997. CALTER, Paul, Fundamentos de matematicas I y II. Mc Graw-Hill, Mexico, 1996.

26 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - LIBRO PARA EL ESTUDIANTE

ASPECTO

DEFINICION OPERATIVA

FORMA DE EVALUACION

EVALUACION INDIRECTA DIRECTA

A EVALUAR

Potencia

Habilidad y capacidad de usar la - Examenes escritos

x

matematica

matematica para resolver pro- - Exposici6n y resolucion

X

blemas en diferentes areas de estudio.

de problemas - Trabajos extrac1ases

Resolucion de Capacidad para resolver problemas - Examenes escritos problemas

y plantearlos, considerando diver- - Exposicion y resolucion de sas altemativas para resolver pro-

X

X

X

x

X

problemas

blemas, un plan para resolver el - Trabajos extrac1ases

X

problema, interpretar y comprobar resultados, y generalizar soluciones.

Razonamiento Capacidad de reconocer patrones, - Examenes escritos

X

estructuras comunes y formular - Exposicion

X

conjeturas.

- Interrogatorios

X

- Entrevistas

X

Comunicacion Capacidad del alumno para expre- - Examenes escritos

X

sar ideas matematicas en divers as - Interrogatorios

X

formas: hablada, escrita y grafica.

X

- Trabajos extrac1ases

Actitud

Confianza en el uso de las matema- - Examenes escritos

X

matematica

tic as para resolver problemas; co- - Observacion

X

municar ideas y razonar, probar - Entrevistas

X

metodos altemativos para la resolu- - Interrogatorios

X

cion de problemas; la perseveran- - Trabajo en equipo

X

X

X

X

X

cia de llegar hasta el fin de la tarea matematica; el interes, la curiosidad, la inventiva de los alumnos para hacer matematicas; el reconocer el valor que estas tienen en nuestra cultura, como herramienta y como lenguaje.

Algebra

27

PERioDO UNIDADES

PLAN DE EVALUACION

TEMATICAS

1 Y2

Examen departamental 60%

El examen departamental estani confor-

Evaluacion continua 40%

made por problemas que se evaluanin tomando en cuenta:

2

3y4

Examen deparramental 60%

1. la comprension del problema


2. la planeacion de una solucion 3. la obtencion de una respuesta

3

5y6

Examen departamental 60%

En la evaluacion continua se tomara en


cuenta el modelo

PER

para propiciar que

los alumnos se responsabilicen de su propio aprendizaje.

28-----------------------------------------------


Secuencia de actividades de aprendizaje del curso de Algebra

29

UNIDAD 1. De 1a Aritmetica a1 Algebra Al termino de la unidad el alumno resolveni diferentes problemas incorporando de manera paulatina la notacion literal y las reglas de escritura algebraica, 10 que Ie permitira reafirmar sus conocimientos sobre las fracciones y sus diferentes significados, as! como el uso de exponentes y su aplicaci6n en la notaci6n cientffica. Esto Ie permit ira desarrollar habilidades para abordar el estudio de los polinomios, las ecuaciones y las expresiones racionales. Horas 1-2

Problemas

Problemas con guia

Las caritas

La zorra y el perro

de don Cubo

Actividades Internet

Ejercicios

Lecturas

Proyectos

Una introducci6n a las representaciones gnlficas

3-4

Y el hermoso Nireo,

Las ballenas

Lee haciendo pp. 10-22

Etica y

el mas hermoso .,.

de Alaska

Resuelve los ejercicios

matermiticas

pares del 48-60 de las pp. 23-25 de Algebra

con aplicaciones de Phillips et al. 5-7

La tribu y

Sucesiones

los tribunos

8-9

Gastroenteritis

La funci6n de

Calendario

proporcional idad

del siglo XXI

Los ubicuos


porcentajes

Resuelve los ejercicios de la forma 5n de las pp. 79-82

9-12

EI vendedor

Los peluqueros

de enciclopedias

atribulados

UNIDAD 2. Polinomios Al termino de Ia unidad el aiumno manejani la notaci6n algebraica y realizani las operaciones de adici6n y multiplicaci6n de polinomios, a partir del planteamiento de problemas matem:hicos aplicados a situaciones cotidianas, desarrollando ademas sus habilidades para traducir ellenguaje coloquial allenguaje simb61ico-abstracto y para la e1aboraci6n de mode1os con polinomios.

Horas

1-3

4-6

Problemas

Problemas

Actividades

con guia

Internet Potencias

Ejercicios

Lecturas

Las caritas

Identidades

de don Cubo

algebraicas

Astucias

Cursos


Variables

aritmeticas

de actualizacion


y pronombres

Proyectos

de la fonna 7n+ 1 de las pp. 88-93 7-8

El empresario

Polinomios

La cajita perenne

para describir 9-10

Departamento

Hamfast

con incognita

Polinomios

Lee haciendo pp. 93-99 Resuelve los ejercicios de la fonna 6n+5 de las pp. 99-102

11-12

/.,Yo tfpico?

Que diferencias, jay! tan finitas

Lee haciendo pp. 103-109 Resuelve los ejercicios de la fonna 5n+4 de las pp. 109-113

UNIDAD 3. Ecuaciones y Cunciones lineales AI tennino de la unidad el alumno resolvera problemas de contextos matematicos y extramatematicos -de 10 cotidiano y de otras areas del conocimiento-, que conduzcan a una ecuaci6n lineal, para 10 eual hara uso del metoda tabular como medio para explorar y establecer la expresi6n analftica de la funci6n, obtendra la ecuaci6n, la resoIvera por el metodo algebraico y/o grMieo e interpretara el resultado.

Horas

1-3

Problemas

Problemas

Actividades

con guia

Internet

EI vendedor

Rectas y

de enciclopedias

sus ecuaciones

Moira y Eris

4-6

7-8

Viajes y viajeros

9-10

Telmex y AT&T

Ecuaciones de

Ejercicios

Lecturas

Lee haciendo pp.146-160

Funciones

primer grado


Resoluci6n

de la forma 5n+3

de problemas

de las pp. 161-165

Proyectos

Renta de automoviles

Epifanfa

Ellenguaje


de las funciones

Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 225-230

11-12

EI esfuerzo

Las velas

UNIDAD 4. Ecuaciones y funciones cuadraticas Al termino de la unidad el alumno planteani y resolvent problemas de contextos matematicos y extramatematicos -de 10 cotidiano y de otras areas del conocimiento-, que conduzcan a la formulaci6n de ecuaciones de segundo grado, las resolvera por el metodo algebraico y/o gnifico -asociado con funciones cuadraticas- e interpretani los resultados. Horas

Problemas

1-2 3- 4

Problemas con guia


Los peluqueros

Ecuacion de

atribulados

segundo grado

La gris acera

Ejercicios

Lecturas

Proyectos

Un pato Lee haciendo pp. 275-289 Resuelve los ejercicios de la forma 13n+3 de las pp. 289-293

5-7 8-9

Voi che sapete

Identidades

El dulce

algebraicas

chupado Lee haciendo pp. 349-357

La razon aurea

Y pp. 362-367

ResueJve los ejercicios de la forma 3n del 2-20 de las pp. 357-358

Ylos de la forma 5n+ 1 de la p. 368 9-10 11-12

La gris acera*

Dos conjuntos

Teorema

de puntos

de Pitagoras Lee haciendo pp. 371-388 Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 388-395

Como resolverlo

UNIDAD 5. Sistemas de ecuaciones Al termino de la unidad el alumno construira modelos matematicos que incluyan sistemas de ecuaciones lineales y cuadraticas provenientes de contextos matematicos y extramatematicos de 10 cotidiano y de otros campos del conocimiento, ademas resolvera correctamente los sistemas de ecuaciones lineales y cuadraticas utilizando los metodos tabular, algebraico y gr:ifico y comprobara su solucion. Asimismo construira, interpretara y vinculani las representaciones tabular, algebraica y grafica mediante el uso de calculadoras con poder de graficacion y software matematico. Horas 1-2

Problemas La madre Gea

Problemas

Actividades

con guia

Internet

Moira y Eris*

se sacude 3- 4

Ejercicios

Lecturas

Sistemas de ecuaciones lineales Lee haciendo pp. 245-262

Ecuaciones

lei, Figaro su,


simultaneas

Figaro giu

de la forma 5n+2

Figaro qua, Figaro

Proyectos

Las velas

de las pp. 263-268 5-7

Las miscelaneas

La zorra y el perro*

Lee el resumen pp. 268-269

Un problema

Didalo y Calipso

Mejor muerto


de programacion

que siervo

de la forma 8n+7 de

lineal

las pp. 269-273

8-9

Galletitas

Programacion

Programacion lineal

lineal 10-12

EI asta reincidente

lflgenia cruel

Lee haciendo pp. 433-444 Resuelve los ejercicios de la forma 7n+4 de las pp. 444-449

UNIDAD 6. Funciones polinomiales y racionales Al termino de la unidad el alumno resolveni problemas de variaci6n proporcional inversa entre dos variables y aquellos que den lugar a ecuaciones fraccionarias reducibles a lineales 0 cuadniticas para que se familiarice con las propiedades basicas de fracciones algebraicas racionales y con algunas funciones racionales simples. Asimismo, analizara cualitativamente el comportamiento de la grafica de funciones polinomiales simples. Horas

Problemas

Problemas con guia

1-3

Voi che sapete

La cajita perenne

4-6

Tarjetitas

Que diferencias, jay! tan finitas

7-8


Ejercicios

Funci6n de

Los tinacos:

Dos conjuntos

Midiendo

Mis propios

el negrito que no

de puntos

belleza

datos

La organizaci6n

Operaciones can

de conciertos

funciones

y las matematicas

Lee haciendo pp. 566-579 Resuelve los ejercicios de la forma 6n+2 de las pp. 580-584

10

Pintores Labores escolares

11 -12

Proyectos

proporcionalidad inversa

se raja 9

Lecturas

Tiestes y Atreo en


festines horrendos


Las escaleras

de la forma 8n+3

cruzadas

de las pp. 426-433

Materiales auxiliares para la organizacion del aprendizaje (MAPOA)

Introducci6n Para lograr el aprendizaje integral y multidimensional que aqui proponemos es necesario que todos nos hagamos corresponsables. Esta responsabilidad compartida apunta al fortalecimiento de nuestra autonomia. A 10 largo de las sesiones discutiremos explicitamente algunos de los materiales para la organizaci6n del aprendizaje y procuraremos convencernos de la importancia de su uso cotidiano. Estos materiales se encuentran en la Academia de Matematicas de tu CECyT, ademas de en el disco compacto que acompana a este libro, y sirven como un marco de referencia compartido al que recurriremos constantemente durante el curso. En la medida en que nos familiaricemos con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje comun, con el que podemos hablar acerca de algunos aspectos importantes de tu aprendizaje. En terminos generales, estos materiales auxiliares concretan la expresi6n responsabilizarse de su aprendizaje y contribuyen allogro de nuestra autonomia en la organizaci6n de nuestros propios aprendizajes. 37

Los auxiliares para la organizaci6n del aprendizaje son los siguientes:

Para entrar en materia En este breve texto se discute el aprendizaje de la resoluci6n de problemas en el contexto de las habilidades intelectuales de alto nivel y se prop one un modelo de aprendizaje esquematico, hacer, reflexionar y comunicar, que contrasta con el tradicional o[r, ver y reproducir. Aqui se present a por primera vez la idea del problema como el mejor medio de establecer una relaci6n fecunda con una disciplina. Esta idea se discute mas detalladamente en La heurfstica.

EI modelo PER En el modelo de organizaci6n del aprendizaje PER (Prop6sito, estrategia, resultado) de Selmes, investigador especializado en las habilidades de estudio, se presenta un marco de referencia para estructurar las actividades de aprendizaje. Se invita a administrar los dos enfoques que se proponen, el superficial y el profundo, con el objeto de formarse un estilo independiente.

La heuristica En este documento de Schoenfeld, investigador especializado en la resoluci6n de problemas matematicos, se presenta una estrategia de resoluci6n de problemas, acompaiiada de un diagrama de flujo y de una tabla que inc1uye las heuristicas de uso mas frecuente. EI material consta de tres partes: • La estrategia. • Algunas heuristicas de uso frecuente. • Una sfntesis esquematica de la estrategia de resoluci6n de problemas.

El portafolio Es un recipiente en el que se acumula, organiza y reorganiza todo 10 que se produce en las actividades, en forma individual 0 en equipo, asi como los comentarios y extensiones de estos productos. EI portafolio aporta informaci6n sobre: • el pensamiento del alumno, • su crecimiento en el tiempo, • las conexiones que establece, • el punto de vista del alumno acerca de su quehacer matematico, • el proceso de resoluci6n de problemas.

38----------------------------------------

L1BRO PARA EL ESTUDIANTE

La mejor manera de convencernos de la utilidad del portafolio, de conocer su potencial y advertir sus limitaciones, es usarlo para recopilar todos los reportes de resoluci6n de problemas, los planes, los reportes de las experiencias, los comentarios de las lecturas, etcetera.

Las fichas Algunos comentarios y sugerencias sobre la elaboraci6n del reporte, el trabajo en equipo, la discusi6n matematica, el control durante la resoluci6n de problemas en el sal6n de clases y la elaboraci6n de controles de lectura se presentan en forma de fichas. A partir de los resultados de las investigaciones de algunos educadores se propone una serie de comentarios, para su discusi6n, sobre diversos aspectos de las sesiones de resoluci6n de problemas.

Los formatos de evaluacion La evaluaci6n de nuestro aprendizaje debe estar basada en las objetivos educativos a corto, mediano y largo plazos y, por supuesto, en los objetivos de nuestro curso, asimismo debe apuntar a mejorar nuestro metoda de aprendizaje y a reforzar nuestro conocimiento de nosotros mismos. Estos formatos establecen criterios que nos permitinin evaluar de una forma mas integral nuestro propio trabajo y el de nuestros compafieros. Algunos materiales auxiliares para la organizaci6n del aprendizaje que puedes consuItar con provecho son: • Prop6sitos y competencias basicas del estudiante de Bachillerato • Para entrar en materia • EI modelo PER EI enfoque profundo y sus caracteristicas EI enfoque superficial y sus caracteristicas Cuestionario de autoevaluaci6n Algunos en unci ados sobre la organizaci6n •

La heurfstica

Heurfsticas de uso frecuente. Sfntesis esquematica de la estrategia de resoluci6n de problemas • EI portafolio Un diagrama del portafolio Especificaciones adicionales sobre el contenido del portafolio como escaparate

Algebra

___________________________________________________ 39

• Las fichas Recomendaciones para el trabajo individual Recomendaciones para la discusi6n general Recomendaciones para el trabajo en equipo Recomendaciones para la elaboraci6n del reporte de la actividad GQue es un problema? GQue es un ejercicio? Antes de entre gar tu reporte, jrevisalo! C6mo se construye un mapa conceptual Las actividades de comprensi6n de Perkins Guia para la elaboraci6n de informes de lectura • Los formatos de evaluaci6n Evaluaci6n de presentaciones Autoevaluaci6n de reportes Las tres preguntas reveladoras de Mosteller Autoevaluaci6n del cUrso Autoevaluaci6n de habilidades, actitudes y valores A continuaci6n te presentamos un plan para revisar e incorporar estos materiales en tus actividades de aprendizaje de matematicas (y otras materias). En este plan se incluyen algunas capsulas que puedes discutir con tus compafieros y profesores. Ademas te hacemos algunos comentarios adicionales y te sugerimos algunas formas para trabajarlos con provecho.

Programacion de algunas actividades que permiten discutir el usa de los MAPOA Unidad 1

MAPOA

Introducci6n Portafolio Modelo PER

2

La heuristica Portafolio Las fichas Profesor, lestoy bien?

3

Engendra problemas Profesor, jNo entiendo! Portafolio como escaparate

40-----------------------------------------


;, Que es el portafolio?, ;, que debes tener en tu portafolio? El portafolio es un instrumento en el que se pretende evaluar una diversidad de registros que reflejan aspectos distintos del aprendizaje de los alumnos, 10 que parece muy adecuado para hacer una evaluaci6n continua y adem as para hacer cortes de evaluaciones acumulativas e integradoras tantas veces como se requiera, recuperando el prop6sito original de la evaluaci6n que es partir de elementos confiables para mejorar tanto el aprendizaje del alumno como la ensefianza del profesor. (Consulta el diagrama de tus materiales auxiliares para la organizaci6n del aprendizaje.)

Presentacion del documento: El modelo PER Entre los materiales auxiliares hay una introducci6n al modelo de organizaci6n y evaluaci6n del aprendizaje propio Hamado PER (Prop6sito, estrategia, resultado). Recorta y enmica las fichas que inc1uye. La aplicaci6n cotidiana de este modelo PER te ayudara a desarrollar una actitud mas reflexiva en tus actividades de aprendizaje y a que, gradualmente, logres formar un estilo propio e independiente de organizaci6n de tus aprendizajes. Aplica el modelo a las actividades que has realizado consideradas globalmente, especificando 10 que aprendiste y 10 que te falta por aprender, 10 que entendiste y 10 que aun no acabas de comprender. Usa las fichas.

Presentacion del documento: La heuristica Entre los materiales auxiliares (MAPOA) hay una secci6n que se llama La heuristica, que inc1uye los documentos: -Una breve introducci6n que trata de la importancia de las heurfsticas en la resoluci6n de problemas y de la forma en que puedes usar con provecho los otros dos documentos. - La tabla heuristicas de uso frecuente. -El diagrama de flujo Sintesis esquematica de fa estrategia de resofuci6n de problemas. Lee atentamente los documentos y discute con tus compafieros sobre la mejor forma de usarlos para resolver mejor problemas cad a vez mas diffciles.

Algebra ______________________~---------------------------- 41

Sobre tu portafolio Abre en tu portafolio una secci6n de heuristicas. Revisa los problemas que has resuelto, en forma individual 0 en equipo, y analiza cual fue la estrategia que aplicaste para lograr resolverlo. Describelas, dales un nombre y explica la forma en que la aplicaste en cada caso. Anota tanto las caracteristicas comunes como las diferencias. Recuerda las indicaciones relativas al enfoq ue profundo para este importante capitulo de tu portafolio. No subestimes las dificultades que implica este aprendizaje tan complejo y ambicioso: saber escoger y aplicar eficientemente la estrategia que resulta adecuada para resolver un problema.

Repaso, evaluacion y autoevaluacion Revisa tus examenes, haz un registro sistematico de 10 que has aprendido (conocimientos, habilidades, actitudes, transferencia) y de 10 que no has logrado aprender satisfactoriamente. Haz un plan para superar tus dificultades de aprendizaje. El objetivo del curso de Algebra es que el estudiante desarrolle las habilidades del pensamiento: razonamiento, analisis, reflexi6n, comunicaci6n y valoraci6n, con una actitud participativa, crftica y creativa que Ie permita relacionar los conocimientos de la aritmetica y el algebra para resolver problemas de situaciones cotidianas, sociales, de la naturaleza y la tecnologia. Recuerda que tus objetivos de aprendizaje incluyen la resoluci6n de problemas, la comprensi6n personal de las matematicas, el razonamiento, la comunicaci6n, la valoraci6n de las matematicas como una parte importante de tu cultura y la confianza que tienes en tu capacidad de hacer matematicas cotidianamente. Toma en cuenta tambien las caracterfsticas del enfoque profundo de aprendizaje. Incluye en tu portafolio el resultado de est a autoevaluaci6n.

Sobre tu portafolio. EI catalogo de graficas Abre en tu portafolio una secci6n que se Harne Catalogo de graficas e incluye las correspondientes a los modelos lineal y cuadnitico. Relaciona las caracterfsticas de la grafica con las caracterfsticas de la ecuaci6n y describe las partes en donde la gnlfica corta a los ejes, es creciente, es decreciente, es maxima, es minima, etcetera. 42 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


Puedes consultar en Internet C6mo dibujar graficas de Mario Garcia Gonzalez en la direcci6n: http://www.xtec.es/-mgarc127/

Las fichas En los materiales auxiliares encontraras un conjunto de fichas que, una vez enmicadas, podnis consultar cuando 10 juzgues pertinente. Las fichas que se incluyen son: l,Que es un problema? l, Que es un ejercicio? Recomendaciones para el trabajo individual. Recomendaciones para el trabajo en equipo. Recomendaciones para la discusion general. Algunas sugerencias para la elaboracion del reporte de la actividad.

IPenalti! No hace mucho tiempo se habl0 en la television, la radio y los periodicos de la maldicion que es para los jugadores mexicanos tirar penaltis. l,En que radica la dificultad? l,Acaso los jugadores no saben como deben pegarle a la pelota para no fallar un penalti? Es decir, l,no tienen el conocimiento de como tirar un penalti? l,0 es mas bien que son torpes y no son cap aces de pegarle al baIon en forma apropiada? Es decir, l,carecen de la habilidad para anotar un penalti? l,0 sera que no pueden hacer a un lade la presion que provoca el rival, ellugar, el publico que quiere goles y la importancia de anotarlo 0 faBarlo? Es decir, l,el problema de los jugadores es de actitud? l, Que

piensas tu? Justifica tus respuestas.

Profesor, ;, estoy bien? l, Como sabemos si un resultado 0 procedimiento es correcto? En este curso es una pregunta que una y otra vez nos hemos hecho. Si 10 que tuvieramos que hacer fuese una suma, despues de calcular el resultado, l,necesitariamos que alguien nos dijese si esta bien para asegurarnos de haber procedido correctamente? Seguramente no, porque conocemos bien el procedimiento que se debe seguir y, si aun asi nos asaltaran las dudas, bastarfa revisar con cuidado la aplicacion de nuestro algoritmo para detectar si hubo alguna equivocacion. Algebra

43

Para tareas mas complejas, si no estamos seguros de 10 que hemos hecho, debemos revisarlo cuidadosamente, buscando entender el significado tanto del procedimiento particular como de la idea general. Es decir que no basta con hacer calculos, operaciones, dibujos, etcetera. Debe haber una explicaci6n que les de sentido. En much as ocasiones dejamos esas explicaciones sobreentendidas, pues suponemos que quien nos escucha 0 lee sabe perfectamente 10 que estamos haciendo y por que 10 hacemos. Pero esta costumbre nos lleva a ser descuidados en la justificaci6n de nuestros calculos, procedimientos y resultados. Pecamos por omisi6n. Nos olvidamos de dos aspectos fundamentales: dar una explicaci6n clara de 10 que hicimos y por que 10 hicimos y poner atenci6n e intentar entender 10 que hicieron los demas. Estamos desatendiendo la comunicaci6n, que es uno de los eslabones basicos de nuestro esquema de aprendizaje: hacer, reflexionar, comunicar. Estos dos aspectos son fundalnentales para decidir cuando un procedimiento y su resultado son correctos. As!, si 10 que se nos dice esta equivocado, estaremos en condiciones de detectarlo y sefialarlo. No sera un simple "esta mal", sino que ira acompafiado de nuestras razones y para que estas tengan peso deberan enfocarse hacia el asunto y no a la persona que 10 dice. Si, por otro lado, es a nosotros a quienes se nos sefiala un error, tambien pediremos argumentos, y si son razonables aprovecharemos el sefialamiento para corregir nuestro trabajo. Esta actitud de cuidar los argumentos que damos y de escuchar con atenci6n 10 que dicen los otros, es la que permite una autentic a comunicaci6n de nuestras ideas.

EI examen como aprendizaje El examen es un medio de evaluaci6n y de autoevaluaci6n que te permite darte cuenta tanto de los progresos que vas logrando como de las dificultades que tienes que superar en tu aprendizaje. Pero no podemos ignorar la funci6n social del examen. Necesitamos testimoniar ante los demas que estas preparado para esfuerzos mayores, que mereces reconocimiento por los conocimientos, las habilidades y las actitudes que has incorporado. Parece muy razonable, pero lque nos ocurre cuando escuchamos las palabras hay examen? Aquf entre nos, algunas preguntas: l Crees que se vale copiar en los examenes? l Y dejar copiar? Justifica tu respuesta. lPiensas que hay alguna relaci6n entre el desempefio escolar y la practica profesional de una persona actualmente en Mexico? Explica 10 mas detalladamente que puedas. 44-----------------------------------------


i., Conoces algunas estadisticas al respecto 7 i., Que piensan tus amigos, tus familiares 7 Escribe un comentario sobre la forma de evaluaci6n de este curso. Inc1uye en tu comentario algunas sugerencias viables.

Engendra problemas Un problema nunca termina. Cuando llegamos a un result ado siempre hay manera de plantear nuevas preguntas, de que el problema sea fuente de otros nuevos. Dos estrategias gemelas de formulaci6n de problemas son las llamadas "i., Que pasaria si ... 7" y "i., Que pasaria si no ... 7" Ambas son estrategias muy potentes para generar problemas, i.,c6mo las aplicarias7

Sobre to portafolio. EI catalogo de algoritmos De las exposiciones que se han presentado en el grupo sobre las operaciones con polinomios y fracciones algebraicas, escribe los algoritmos y representalos mediante diagramas de flujo. Pruebalos e incluyelos en tu portafolio en una secci6n nueva.

Una cita pertinente: Come tn mismo la fruta En cierta ocasi6n se quejaba un discipulo a su maestro: -"Siempre nos cuentas historias, pero nunca nos revel as su significado." El maestro Ie replic6: -"i.,Te gustaria que alguien te ofreciera fruta y la masticara antes de dartela7" Nadie puede descubrir tu propio significado en tu lugar. Ni siquiera el maestro.

Profesor, ,no entiendo! El primero de los auxiliares para la organizaci6n del aprendizaje contiene las ocho competencias basicas que deb en estar presentes en el alumno de bachillerato. En estas competencias estan implicitos aprendizajes multidimensionales (conocimientos, habilidades, actitudes), y se hace referencia explicita a la transferencia de estos, ya que se habla del uso y articulaci6n de estos aprendizajes en los distintos aspectos de la vida. Seguramente estas de acuerdo con ellas, puesto que estas estudiando el bachillerato. Hoy queremos comentar contigo dos de ellas, las que dicen:

Algebra

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"Aprender por sf mismo, poniendo en pnlctica metodos y tecnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual" y "desempefiarse individual 0 grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana". Pero estar de acuerdo con algo no quiere decir que sepamos como conseguirlo. Un factor importante para que una persona realice un esfuerzo es que pueda palpar el provecho que Ie reporta el esfuerzo. Pero para que este provecho sea perceptible necesitamos tener "ojos" para verlo. Detengamonos un rato a reflexionar y a discutirlo en nuestro equipo. l., Que estamos haciendo para avanzar en ellogro de estos objetivos? l., Como podemos saber, y medir si es posible, que tanto progresamos? Escribe un reporte con las conclusiones de tu equipo.

EI non plus ultra y los habitos de estudioo Mis actividades cotidianas y las matematicas Enumera las diez actividades mas importantes de tu vida cotidiana, asfgnales un tiempo, en horas por cada semana, y ordenalas de mayor a menor. l.,En que lugar se encuentran las matematicas? l.,Estas satisfecho con tu aprendizaje de las matematicas? l., Y con tu calificacion? Describe 10 que haces actualmente para aprender matematicas. l., Vale la pena hacer un esfuerzo para mejorar sustancialmente tu aprendizaje en matematicas? Para que un plan tenga alguna probabilidad de funcionar necesitas definir - unos propositos asequibles, - una estrategia clara y - una forma de evaluar ellogro de tus objetivos. Escribelos de la manera mas detallada posible.

Reflexionar: ;, Que he logrado? Revisa tus examenes, haz un registro sistematico de 10 que has aprendido (conocimientos, habilidades, actitudes, transferencia) y de 10 que no has logrado aprender satisfactoriamente. Haz un plan para superar tus dificultades de aprendizaje. Recuerda que tus objetivos de aprendizaje incluyen la resoluci6n de problemas, la comprension personal de las matematicas, el razonamiento, la comunicaci6n, la valoraci6n de las matematicas como una parte importante de tu cultura y la confianza que tienes en tu capacidad de hacer matematicas 46----------------------------------------


cotidianamente. Toma en cuenta tambit~n las caracteristicas del enfoque profundo de aprendizaje. Inc1uye en tu portafolio el resultado de esta autoevaluacion. Reescribe las soluciones de los problemas de las semanas anteriores y haz un resumen de las caracteristicas comunes que hayas advertido en las situaciones, en las formulas, en las gnificas, en los procedimientos, en los errores y en las estrategias de solucion. Relaciona los problemas con las lecturas y elabora un apunte personal que inc1uya los problemas que inventaste. Revisa tu apunte personal y extrae los conceptos y procedimientos importantes para actualizar tu glosario. Organiza tu portafolio por secciones, actualizalas y escribe un indice. Asi tendnis un registro personal de tu paso por el curso de Algebra.

El portafolio como escaparate Coloca al frente de tu portafolio los cinco trabajos de los que te sientas mas orgulloso y acompailalos de una nota en la que expliques por que te sientes orgulloso de ellos. Muestra tu portafolio a un adulto y a una amiga de tu edad y pidele a cada uno que escriba un comentario. Incluye el comentario, con PER, en tu portafolio.

Algebra

47

Problemas

Introducci6n La habilidad para resolver problemas constituye un excelente indicador del nivel de desarrollo matematico que has alcanzado. En este libro la actividad de resoluci6n de problemas es la parte mas importante, ya que te permitira vincular las herramientas matematicas con una dimension de uso; se introducen conceptos matematicos utilizando contextos, y se formulan y responden preguntas que contribuyen ala conceptualizaci6n de los objetos matematicos.

;, Que es un problema? Por problenla se entiende una situaci6n matematica 0 extramatematica que no tiene so1uci6n inmediata, adnlite varias vIas de aproximacion y posiblemente varias soluciones, puede consumir mucho tiempo, quiz as varias c1ases, o hasta varios cursos y exige esfuerzo mental, inlaginacion y creatividad. Un problema no se trabaja una vez y ya nos olvidamos de el, tanto profesor como alumnos, sino que puede retomarse en distintos momentos para mejorar su so1uci6n 0 profundizar en alguna cuestion que haya suscitado.

49

A traves de la actividad de resoluci6n de problemas queremos que tu: hagas uso de las matematicas con las que cuentas para dar respuesta a las preguntas planteadas en el contexto de la situaci6n, o busques conexiones entre diferentes representaciones, o logres diferentes vias de acceso trabajando varios enfoques, o generalices tus soluciones y reformules, ampliandolo, el problema en otros campos, o generes criterios para validar las interpretaciones y los modelos matematicos, o construyas y hagas evolucionar los conceptos matematicos como respuesta a tus propias preguntas, y o desarrolles actitudes que te permitan enfrentar y manejar situaciones complejas con un alto grado de incertidumbre. o

La resoluci6n de problemas es un proceso que no se puede encerrar en una receta paso a paso, es en esencia un viaje, una aventura, no un destino, que a ratos sufrimos y a ratos disfrutamos, para el que no tenemos un mapa de antemano, necesitamos aprender a descubrir 0 construir caminos. Sin embargo, se pueden destacar algunas etapas de esta aventura: hay un deseo de acercarse al problema, de aceptar el desaffo, de correr un riesgo, de encontrar la respuesta, de comprender una pregunta, de descubrir nuevos conocimientos 0 de crear una soluci6n. Alguien ha dicho que en la resoluci6n de un problema, como en la vida, 10 que importa es el camino. Si tomas esto en cuenta, podras aprender a adoptar una actitud que te permita disfrutar y aprovechar la resoluci6n de un problema. No pongas la mira en el exito 0 en el fracaso, sino en el proceso. Es el proceso el que te ensefia. Un problema resuelto es un problema muerto, mientras no esta resuelto vive en ti como problema. En este libro se habla de problemas, problemas con gufa y proyectos. Todos ell os comparten la misma idea que acabamos de mencionar en los parrafos anteriores. Expliquemos la diferencia que hay entre ellos. I. Problema: Consta de un enunciado en el que se describe la situaci6n y 10 que se quiere que hagas y respondas. EI tiempo estimado para discutirlo provechosamente es despues de una 0 dos horas de haberlo trabajado. II. Problema con gufa: Ademas del enunciado contiene un cuestionario 0 una secuencia de pasos que te permiten seguir avanzando en el problema, pasando de situaciones sencillas a otras mas complejas. Tambien el tiempo estima50 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


do para discutirlo provechosamente es despues de una ados horas de haberlo trabajado. III. Proyecto: Es un problema, 0 problema con gufa, que requiere mas de dos horas de trabajo antes de discutirlo provechosamente. Es posible que tengas que generar tu mismo los datos y una parte import ante del trabajo la debas hacer fuera del salon de clases. Es muy recomendable que uses los paquetes que se incluyen en el disco compacto mientras resuelves los problemas. Una muy buena herramienta para la comprension es una hoja de caiculo, hay varias comerciales que puedes utilizar. Si tienes dudas en su manejo tu profesor te puede orientar.

I. PROBLEMAS 1. Las caritas de don Cubo Un cubo de madera que mide 20 cm de lado se pinta de amarillo. Una vez seca la pintura, se corta en cubos de 2 cm de lado. "Cuantos de estos cubos chicos no estan pintados en ninguna de sus caritas?

2. Y el hermoso Nireo, el mas hermoso ... En una fabrica de envases para vino hay dos maquinas que producen la totalidad de botellas. La maquina Ayax produce el 700/0 de las botellas, en tanto que la maquina Nireo produce el resto de las botellas. E15°/0 de las botellas que produce la maquina Ayax y el 8°1o de las de la maquina Nireo resultan defectuosas. a) "Que porcentaje de las botellas que produce la fabrica resulta defectuoso? b) "Que porcentaje de las botellas defectuosas proviene de la maquina Nireo?

3. La tribu y los tribunos En mi tribu, cuando se colocan de dos en fondo sobra uno, cuando se colocan de tres en fondo sobra uno, cuando se colocan de cuatro en fondo sobra uno, cuando se colocan de cinco en fondo sobra uno, cuando se colocan de Algebra

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seis en fonda sobra uno, y, por fin, cuando se colocan de siete en fonda quedan distribuidos exactamente. a) (,Cwintos tribunos hay en mi tribu? b) Escribe una explicacion detallada de todo 10 que hiciste para obtener tu respuesta.

En un centro universitario se produjo un brote de gastroenteritis que se detecto cuando 47 estudiantes solicitaron atencion medica entre las 22:30 del 17 de enero y las 20:00 horas del dia siguiente. Una investigacion permitio darse cuenta de que el alimento causante de la infeccion se habfa servido durante el almuerzo del 17 de enero en la cafeteria del internado, donde habian tornado sus alimentos 251 estudiantes. Para 10calizar el alimento responsable del brote, se preparo el cuadro siguiente (donde, de manera intencional, algunos lugares aparecen vados).

Personas que ingirieron

Personas que no tomaron

el aJ imento especificado

el alimento especificado

enfer.

sanos

total

%enfer.

enfer.

sanos

atlin y tallarines

12

57

69

17.4

92

80

estofado de res

76

171

55.5

7

72

79

tarta de frutas

32

39

71

45.1

63

29

48

Alimento

gelatina Ieche

91

cafe

23

41.7 9

42

total

%enfer.

53.5 8.9 145

80

102

182

44

12

13

25

48

54.8

114

40.6

Nota: La suma de las personas que ingirieron un alimento mas aqueUas que no 10 tomaron no resulta 251 en todos los casos, ya que algunas personas no pudieron recordar si habfan tornado 0 no eI alimento.

a) Llena en el cuadro los lugares que aparecen vados b) (, Que criterio utilizarfas para localizar el alimento responsable del brote de gastroenteritis? c) (,CwH fue este alimento? 52---------------------

LlBRD PARA EL ESTUDIANTE

5. EI vendedor de enciciopedias Un vendedor de enciclopedias tiene un salario base de 700 pesos mensuales mas una comisi6n del 8% de las ventas que realiza por encima de 4 000 pesos. En cada uno de los meses pasados vendi6 las cantidades anotadas ~n la tabla. ,--

MES

abril

mayo

junio

julio

agosto

VENTAS

3476

4142

5276

3962

6199

a) Ca1cula los ingresos que Ie corresponden al vendedor de enciclopedias cada meso b) Disefia un metoda grafico para pagarle a un vended or que trabaje con el mismo contrato. c) Haz un diagrama de t1ujo con el algoritmo que se usa para pagarle a un vendedor que trabaje con el mismo contrato. d) Con base en el punto anterior haz un programa de computadora 0 de calculadora y pruebalo con los datos de la tabla. e) Inventa un problema inspirado en el problema anterior.

6. Las caritas de don Cubo * (1) Un cubo de arista n se divide en cubitos de arista uno, l,cuantos cubitos tienen 0, 1, 2, 3 caritas pintadas?

7. Astucias aritmeticas (Cinco numeros y las operaciones basicas). Usa una sola vez cada uno de los numeros y combfnalos para formar el numero sefialado, utiliza s6lo las cuatro operaciones basicas y los sfmbolos de agrupaci6n. Ejemplo: 1, 7, 8, 9, 9; total: 16. (9/9)(7 + 8 + 1) = 16 1,5,3,6,10; total: 5 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 8,11,9,1,8; total: 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 11, 10, 15, 20, 3; total: 6 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 12, 18, 3, 11, 12; total: 8 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 4, 16, 10, 24, 25; total: 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Algebra

53

17,14,7,17,13; total: 7 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 2,9,5,9,4; total: 22 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 3,6,10,5,7; total: 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 8,6,11,5,21; total: 7 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 6,1,2,2,17; total: 8 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 10,4,1,11,9; total: 5 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Con los numeros 11, 14,3,19,9 Ylas cuatro operaciones basicas forma los numeros dell al13. Ejemplos: (11 + 14 -19 + 3) /9 2= 3= 4= 5= 7= 8=

= 1; 11- [(19 + 9) /14 + 3] = 6; [9 - (19 -14) - 3]11 = 11

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

__________________ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

__________________ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

9= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 10=____________________________ 12=__________________________ 13=____________________________ Con los primeros cinco numer-os primos (2,3,5, 7, 11) Ylas cuatro operaciones basicas forma los numeros siguientes (recuerda que cada numero s6lo 10 puedes usar una vez y un reto adicional serfa que cada operaci6n la usaras exactamente una vez): El entero mayor El primo impar menor El impar menor El primo menor El compuesto menor El compuesto mayor El impar mayor El par mayor El primo mayor Un natural usando s6lo la resta _______________

54 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - LlBRO PARA EL ESTUDIANTE

8. EI empresario Un hombre de negocios separa al principio de cad a ano $1 0000 000.00 para los gastos del ano y aumenta su capital en un tercio. Al cabo de tres anos tiene el doble de su capital. LCua! era su capital al empezar el primer ano? LCuando triplicara su capital?

9. Departamento con incognita En el plano de un departamento, la cocina es cuadrada y mide (x + 6) de lado, la recarnara tiene eI mismo ancho que Ia cocina y su largo excede en 2x unidades su ancho. EI otro lado del banD mide un tercio del largo de la recamara y su ancho es igual al de los cuartos anteriores como se puede advertir en el plano. Finalmente, el area de la sala es (x 2 + 14x + 48) Y su ancho es tambien (x + 6).

cocina

sala

comedor

bane

recamara

Determina: a) EI area de la cocina. b) EI area del comedor. c) Si el valor de x es de 2 metros, calcula las dimensiones del departalnento y comprueba las expresiones que obtuviste.

Algebra

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10. Yo, ;,tipico? Uno de los grandes objetivos de tu educaci6n es 1a autodidaxia (capacidad de aprender Y organizar tu aprendizaje por ti mislno). En 1a autodidaxia concurren conocimientos, habilidades, actitudes, va10res y una nluy importante capacidad de transferencia (capacidad de ap1icar los aprendizajes en situaciones distintas de aquellas en las que ocurrieron esos aprendizajes). Aquf te sugerimos a1gunas formas de modificar los ejercicios tfpicos que encuentras en tu vida escolar en otros ejercicios que te permit an averiguar, por ti mismo, que tanto has comprendido, mas alla de 1a ap1icaci6n de un algoritmo conocido. Todos sa1imos ganando si tu educaci6n es de la mejor calidad. Algunos ejercicios tlpicos Factoriza x 2 - 3x - 4

Ejercicios modificados Encuentra un termino independiente que haga que x 2 _ 3x -[ ] sea factorizable

Simplifica la fracci6n

Encuentra los terminos independientes que hagan que la fracci6n

x2 -

5x - 6

x2

3x

x 2 - 5x - [ ]

6

x 2 - 3x - [ ]

se pueda simplificar Encuentra el punto de intersecci6n

Encuentra las ecuaciones de dos rectas

de las graficas de

que se corten en el punto (3, 1)

y

= 3x -

8 Y Y =-2x + 7

Encuentra las intersecciones-x de la parabola: y

=x

2

-

7x + 10

Encuentra el vertice de la parabola 3x

2

-

12x + 11

Encuentra la ecuaci6n de una parabola que pase por los puntos (2,0) Y (3, - 2) Encuentra la ecuaci6n de una parabola cuyo vertice sea el punto (2, - 1)

56--------------------------------------------


Bosqueja la gnifica de la funci6n y =x 2 + x

Da un ejemplo de una funci6n real cuya concavidad sea siempre hacia arriba en to do su dominio

Encuentra la funci6n inversa de

jex) ~ Cmintos

Da un ejemplo de una funci6n que sea igual

= 2x + 1

a su inversa

puntos de intersecci6n tienen

la parabola y = x y la recta y

2

-

4x + 5

Encuentra la ecuaci6n de una recta que tenga dos puntos de intersecci6n con la parabola

= 2x + 5 ?

y

= x 2_

4x + 5

11. EI vendedor de enciclopedias * (5) Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras tareas son: - Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasi6n. - Responder las preguntas que quedaron sin respuesta. - Racer una generalizacion a partir de alguno de los aspectos matematicos de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este problema y resolverlo. - Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos aprendido nuevas tecnicas que podemos emplear en su soluci6n.

12. Epifania Valentina lleg6 terrlprano a su clase de musica. A punto estaba de sentarse cuando advirti6, disgustada, que habia olvidado su cuaderno en su refugio predilecto: la siernpre c6moda y acogedora biblioteca. No podia perderse el comienzo de la clase, asi que corri6 ala biblioteca, cogio su cuaderno y, corriendo tambien, regres6 a su asiento, a tiempo para comenzar SU, muy probablemente disfrutable, clase de musica. Pero en el camino se encontr6 a su bienamado Juan y se detuvo a intercambiar algunas muestras de su muy autentico carino, 10 que le llevo 4 minutos, pero de los largos. La biblioteca esta Algebra

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en un punto diametralmente opuesto del salon de c1ases de Valentina en el patio circular, que tiene 500 metros de diametro, de la escuela. Valentina tardo, en total, 9 minutos. Construye una grafica que describa los cambios de posicion de Valentina en su trayecto de ida y vuelta con respecto al tiempo. Todos hemos escuchado, 0 hecho, descripciones de objetos en movimiento, que inc1uyen expresiones como "detenido", "rapido", "len to" , "mas rapido", "disminuyo su velocidad", "mas alejado", "acelero mas" y much as otras que seguramente te han asaltado la memoria. Identifica en la grafica algunas partes con estas expresiones y describe las caracterfsticas de la grafica que les corresponden. Ahora convengamos en que la velocidad de Valentina es positiva cuando se dirige ala biblioteca y negativa en sentido contrario. Identifica en la gnlfica intervalos en los que la velocidad sea positiva, negativa 0 nula, y describe las caracterfsticas de la grafica. Al igual que en el parrafo anterior, introduce matices en la descripcion de la velocidad y anota las caracterfsticas correspondientes de la grafica.

13. EI esfuerzo Cuatro jovenes quieren ir al concierto de Back Street Boys, el costo del boleto es de 1 800.00 pesos y como no tienen dinero salen a buscar trabajo, una persona les ofrece uno que consiste en transportar de la bodega al trailer de las 7:30 horas, que sale a Aguascalientes, 138 kg de mercancia, pero el duefio les dice que 10 tienen que hacer en un solo evento, por 10 cualles pagara $7.50 el kilo transportado, empiezan a trabajar y de primera intenci6n los cuatro cargaron con pesos iguales, pero se dieron cuenta que sobraba mercancia, entonces, los tres mayores se sintieron capaces de cargar mas yaumentaron su carga con la mitad de 10 que habfan tornado. Todavia sobraba mercancia y los dos mayores aumentaron su carga en un tercio de la que ya llevaban, pero todavia sobraba mercancia, el mayor aumento su carga en una quinta parte mas de 10 que llevaba. a) Z, Cuantos kilogramos cargo cada uno? b) z,Les a1canz6 10 que les pagaron a cada uno de ellos para completar el costo del boleto? c) Z, Cuantos dias tendran que realizar el mismo trabajo para a1canzar el costo del boleto cada uno de ellos? d) Escribe la ecuacion que te permite resolver este problema para cualquier monto de mercancia. 58-----------------------------------------


14. La gris acera Erase que se era un crudelfsimo profesor de matematicas, de cuyo nombre no quiero acordaITIle (pero si ttl 10 recuerdas, anotalo aquf ) que, acosado por insoportables remordimientos, decide dejarse caer desde el techo de un edificio para librar a las generaciones venideras de muchos momentos de tedio y rutina sin sentido. Sus posiciones 2, 3, 4 Y5 segundos despues de haber iniciado su descenso eran 220.5, 196, 161.7 Y117.6 metros, respectivamente, con respecto al nivel de la banqueta. a)i,Cual es la altura del edificio? b) Escribe la formula que relaciona el tiempo de descenso y la posicion. c) i,Cuanto tiempo tarda en llegar al suelo? d) i,Que posicion ocupa 10 segundos despues de haber iniciado su descenso? e) i, Cuanto tiempo despues de dejarse caer habra recorrido la mitad de la altura del edificio? f) i,Con que velocidad tocara la gris acera el desventurado mentor?

15. Voi che sapete Una compania de discos estima que podra vender siete mil albumes de una nueva version de Le nozze di Figaro de Mozart-Da Ponte a $290 cada album. Por cada reduccion de $5 en el precio por album, calcula que vendera 300 albumes mas. A la compania cada album Ie cuesta $95 y sus cost os fijos son de $100000 en el periodo de produccion. a) Encuentra el ntlmero de albumes que daran a la compania la ganancia maxima. b) Encuentra el ntlmero de albumes que daran a la compania la ganancia maxima por cada peso invertido. c) Escribe un problema inspirado en este, con un cuestionario detallado, y resuelvelo.

16. La gris acera * (14) Una vez que obtuviste la relacion que hay entre la posicion del profesor y el tiempo transcurrido desde que se dejo caer queda solo una pregunta sin respuesta i, Con que velocidad tocara la gris acera el desventurado mentor? Este contacto ocurre en un instante (i,cuanto dura un instante?), as! que para calcular su velocidad (i,es constante su velocidad durante su descenso?, es decir, i,desciende con la misma velocidad en cada instante de su recorrido? Algebra

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Explica con un argumento cuantitativo) en ese instante tendrfamos que saber la distancia que recorre y el tiempo que transcurre. Vamos a llenar la tabla siguiente para explorar estas cuestiones:

En el intervale

de

I

EI intervalo

La velocidad

reCOlTe

dura

promedio del

del segmento

(en metros)

(en segundos)

profesor es

que une los dos

(en metros por

puntos conside

cada segundo)

rados es

El profesor

que va a

Xl

X

0

7

3

7

5

7

6

7

6.9

7

6.99

7

6.999

7

6.9999

7

La pendiente

2

Da un tratamiento similar a cada uno de los instantes enteros del descenso del profesor e identifica el patron que tiene la velocidad en cada instante. Encuentra la formula que relaciona la velocidad instantanea del profesor durante su descenso con el tiempo que ha transcurrido desde que comenzo a caer.

60--------------------------------------------


Gnifica. La madre Gea se sacude

17. La madre Gea se sacude Un terremoto emite una onda primaria y una secundaria. La onda primaria viaja aproximadamente a 8 kilometros por segundo y la secundaria a 5 kilometros por segundo. En una estacion sismica se registra una diferencia de 12 segundos entre la llegada de las dos ondas. (,A que distancia de la estacion ocurrio eI terremoto?

18. Figaro qua, Figaro la, Figaro su, Figaro giu En la peluqueria del incognito senor Figaro, el corte de pelo cuesta $75 para caballero, $67.5 para nino y $90 para dama. Toma 20 minutos hacer el corte de pelo de caballero, 15 minutos a un nino y 30 minutos a una dama y tiene el quintuplo de clientes hombres que de mujeres. La peluquerfa estuvo abierta desde las 8:00 am hasta las 6:00 pm y empleo 45 minutos para el almuerzo. Recogio un total de $2 137.5 (,Cuantos hombres, mujeres y ninos se cortaron el peIo ese dfa? Algebra

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19. Las miscehineas Dedalo y CaUpso En una ciudad chica hay dos miscelaneas, La gruta de Calipso y Ellaberinto de Dedalo que compiten por 1 000 clientes potenciales. Cada mes, el 80% de los clientes de Calipso queda satisfecho y regresa a comprar ahf mismo, mientras que el 20% restante prefiere irse con Dedalo. En cambio, de los clientes de Deda/o, solo el 700/0 queda satisfecho, el otro 300/0 se va con Calipso. El numero de clientes en cada miscelanea se estabiliza cuando el numero de los que dejan de comprar en una miscelanea es igual a los que vienen a comprar de la otra, l,cuantos c1ientes habra en cad a tienda en ese momento? Resuelve el mismo problema suponiendo que al principio hay 500 c1ientes en cada tienda y observando c6mo evoluciona la situacion mes por meso l,Que ocurre si se suponen otros datos iniciales, por ejemplo, 700 c1ientes en una miscelanea y 300 en la otra, etcetera?

20. El asta reincidente Un asta de metal se rompi6 en un punto, qued6 con la parte superior doblada en forma de gozne y la punta tocando el suelo en un punto localizado a 20 metros. Se repar6, pero volvio a romperse. En esta ocasion en un punto 5 metros mas abajo que la vez anterior y la punta tocando el suelo a 30 metros de la base. l, Que longitud tiene esta astota?

21. Vo; che sapete * (15) Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras tareas son: - Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasi6n. - Responder las preguntas que quedaron sin respuesta. - Racer una generalizaci6n a partir de alguno de los aspectos matematicos del problema y comunicarla de manera formal. - Formular un problema inspirado en el trabajo que realizamos con este problema y resolverlo. - Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos aprendido nuevas tecnicas que podemos emplear en su solucion.

62 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


22. Tarjetitas Hipodamia y Pelope se entretienen enviando postales a sus amigos. Hipodamia puede llenar y doblar todos los sobres que tienen en seis horas, en tanto que Pelope, mas lerdo, requiere de ocho horas. '"' Cuanto tiempo tardaran en llenar y doblar todos los sobres si 10 hacen juntos?

23. llnacos: EI negrito que no se raja Dos tinacos con identicas capacidades son aliment ados por send as bombas. Una bomba llena uno de los tinacos en cinco minutos menos que la otra. Si las dos bombas abastecieran al mismo tinaco 10 llenarian en cinco minutos. '"' Cuanto tiempo tarda cada una de est as bombas en llenar un tinaco?

24. La organizaci6n de conciertos y las matematicas Por problemas con las autoridades delegacionales se tiene que cambiar el escenario de un concierto de rock. Se debe acondicionar en menos de 8 horas. Una empresa puede instalar los asientos en 12 horas y cobra $20000, otra se tarda 18 horas y cobra $15 000 por hacer el mismo trabajo. lSe podra realizar el concierto si se contrata a las dos empresas? lEn que terminos se debe establecer el contrato para que los organizadores paguen 10 menos posible?

25. Pintores Un hombre puede pintar una cerca en ocho horas; su hijo mayor puede hacerlo en diez horas y su hijo menor en doce. El trabajo 10 iniciaron conjuntamente, pero despues de dos horas, el menor de los hijos se retir6 y cosa igual hizo el mayor una hora despues. lCuanto tiempo tard6 el padre en completar el trabajo?

26. Labores escolares Andrea y Citlali trabajaron juntas cinco horas, logrando realizar en ese tiempo la mitad del trabajo que pensaban presentar en una exposici6n. La tarde siguiente Andrea trabaj6 sola durante dos horas, luego se incorpor6 Citlali y juntas terminaron en cuatro horas mas. (,Cuanto tiempo Ie hubiera tornado a cada una hacer sola todo el trabajo?

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27. TIestes y Atreo en festines horrendos Tiestes y Atreo, dos hermanos, lavaron las paredes de su cuarto en tres horas. Calcula el tiempo que requerini cada uno de enos para lavar solo las paredes de otro cuarto igual, si Tiestes necesita dos horas y media mas que su hermann para hacer el trabajo.

28. Las escaleras cruzadas Dos escaleras, de 1.8 y 1.2 metros de largo, respectivam.ente, se apoyan en los lad os opuestos de un pasillo que esta entre dos edificios, con los pies de las escaleras en las bases de los edificios. Las escaleras se cruzan a una distancia de 0.3 metros por encima del pasillo. l.CuaI es la anchura del pasillo?

II. PROBLEMAS CON GUiA

1. La zorra y el perro Una zorra da 2 y 113 saltos por cada segundo. Cuando ha avanzado 30 y 114 saltos, se suelta un perro para que la persiga. El perro da 4 y 112 saItos por cada segundo. l. Cuanto tardara el perro en alcanzar a la zorra? a) Expresa en forma de fracci6n comun impropia el numero de saltos que lleva de ventaja la zorra. b) Despues de un segundo de la salida del perro, imagina que tomas una foto instantanea y descrfbela cuantitativamente. c) Haz una tabla que describa las posiciones de los animales en cada segundo. d) l. Que significa que las posiciones de los animales sean la misma? e) Haz otra tabla en la que aparezcan los mismos renglones y column as que en la anterior, pero escribe las cantidades indicando las operaciones que realizaste, sin efectuarlas. f) Identifica la estructura de cada una de las cantidades que relaciona tu tabla y expresa la relaci6n mediante una ecuaci6n. g) l.C6mo verificas que tu soluci6n es correcta? Explica. h) l.Que aprendizajes utilizaste para resolver el problema? i) En caso de no haberlo resuelto, escribe tus conclusiones, con una reflexi6n sobre las causas de que no 10 hayas podido resolver. j) l.Que caminos 0 estrategias seguiste para tratar de resolver el problema? k) Aplica el modele PER (Prop6sito, estrategia, resultado). 64 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


2. Las ballenas de Alaska En un estudio reciente se afirma que la poblacion actual de ballenas en Alaska esta entre 5 700 Y 10 600 Y que la diferencia entre los nacimientos y las muertes naturales da lugar a un crecimiento de aproximadamente 3% anual. Los esquimales de Alaska tienen permiso para cazar 50 ballenas cada ailo para su supervivencia. a) Supongamos que en 2000 la poblacion de ballenas era de 5 700. - (, Cual es el cambio en un ailo en esta poblacion debido ala diferencia entre los nacimientos y las muertes naturales? - (, Cual es el cambio en un ailo debido ala cacerfa de los esquimales? - (, Cua! serfa la poblacion de ballenas en 2001 ? b) Escribe las instrucciones para ca1cular a partir de la poblacion de un ailo dado la poblacion del ailo siguiente. De ser posible hazlo en tu calculadora. - Haz una tabla con tus estimaciones hasta el ailo 2010. Traza una grafica. - Haz otra tabla pero supon ahora que la poblacion en 2000 era de 10 600. Traza una grafica. c) Aplica la estrategia "(, Que pasaria si ... ?" con respecto al volumen de caza permitido. Escribe tus conc1usiones. d) En este estudio hiciste estimaciones para varios ailos futuros, basandote en las tendencias de crecimiento del pasado. - (, Que calculos tuviste que hacer para estimar el cambio en elnumero de ballenas de un ailo al siguiente? Aplica la estrategia de "indicar sin efectuar" para identificar la expresion algebraica que relaciona el tiempo y la poblacion. - (, Como puedes predecir la poblacion de ballenas dentro de muchos ailos? - (, Que semejanzas y que diferencias adviertes entre el patron de cambio de la poblacion de las ballenas y el de los seres humanos?

Algebra

65

3. Sucesiones Escaleras Con ocho paliHos puedes hacer una escalera de dos peldafios.

Con once paliHos puedes hacer una escalera de tres peldaiios.

a) (,Cuantos palillos necesitas para hacer una escalera de 20 peldafios? b) (, Y para hacer una escalera de 1 000 peldafios? Una sucesi6n numerica a) Llena los espacios de la sucesi6n numerica que continua con el mismo patron: 4, 10, 16, 22, 28, b) (,Cual es el10° termino de la sucesi6n? (,Y el1000? (,Y el n-esimo? Los pininos Puedes dibujar pinos de diferentes tamafios pero siempre con el mismo disefio. Aqui tienes tres ejemplos. Por sus brochazos distintivos de pintura fosforescente se Haman pininos.

tamafio 1 3 brochazos



a) (, Cuantos brochazos hay en un pi nino de tamafio 20? Explica como llegaste a la respuesta. b) (, Cuantos brochazos hay en un pinino de tamafio 100? c) (,Cuantos brochazos hay en un pinino de tamafio n? Aplica el modele PER con respecto al aprendizaje que lograste en esta actividad.

66------------------------------------____


4. Los ubicuos porcentajes a) En una tienda puedes conseguir un descuento del 20°/0 , pero al mismo tiempo, tienes que pagar un impuesto del 15°/0 . GQue preferirfas que ca1cularan primero, el descuento 0 el impuesto? Elabora una justificaci6n general de tu respuesta. b) Elabora un algoritmo para que un empleado no muy "ducho" en aritmetica 10 aplique y pueda resolver los siguientes asuntos: Cobrar un producto incluyendo el150/0 de impuesto. Cobrar un producto con el300/0 de descuento. - Cuanto debe incrementar el costo de un producto para obtener una ganancia del 400/0 . - GCwH es el porcentaje que debe incrementar el costo de un producto para que cuando 10 ponga a la venta con un descuento de 30°/0, tenga una ganancia del 40°/0 ? - GQue porcentaje de incremento en el precio de un producto representan $100.00? c) Justifica tus respuestas a las preguntas siguientes: - GEs igual el efecto de un aumento de x% seguido de otro aurnento de y% que el de un aumento de (x+y) % ? - GEs equivalente el efecto de un aumento de x% seguido de una disminuci6n de x% a un aumento neto de O%? - GEs igual el efecto de un aumento de x% seguido de una disminuci6n de yOlo que el de .una disminuci6n de yOlo seguida de un aumento de x%? - Al colo car los azulejos que compro se desperdicia un x%. GCuantos azulejos debe cornprar si necesito colo car 1 000 en mi bafio? - Un articulo cuesta $p con el100/0 de IVA incluido. GCuanto debe pagar por el articulo si el IVA sube a 150/0? d) Pretextato quiere comprarse dentro de un ano una computadora que cuesta actualmente $8 000 mas IVA. SUS papas ofrecen pagar dos quintas partes del precio de la computadora si el reune el resto. Si se espera una inflaci6n del 2.80/0 mensual, Gcuanto necesita ahorrar cad a semana? - Si quiere comprar dentro de m meses un objeto que actual mente cuesta $p, y sus papas ofrecen aportar dos quintas partes del costo, Gcuanto debera ahorrar Pretextato cada mes? Y si se espera una inflaci6n de j % mensual Gque cantidad debera ahorrar cad a mes?

Algebra -------------------------------------------------- 67

Los peluqueros atribulados Un peluquero atiende un promedio de 72 clientes por seman a y cobra $18 por cad a corte. Quiere aumentar sus ingresos y piensa que puede lograrlo subiendo los precios, pero estima que por cada incremento de $2 en el precio por corte perdeni 5 clientes. a) Haz una tabla que contenga las column as de numero de incrementos de $2, de precio por corte, de numero de clientes, de ingresos, de primeras diferencias de ingresos y de segundas diferencias de ingreso. plica el significado de los valores que obtuviste en las dos ultimas columnas. b) Traza la gnHica de numero de clientes versus ingresos. c) Traza la gnifica de precio por corte versus ingresos. d) Traza la gnifica de numero de incrementos de $2 versus ingresos. e) i, Cuales son los precios que puede cobrar para tener ingresos mayores a los actuales? f) i,En que condiciones tiene ingresos nulos? g) i,En que conjuntos de valores las gnificas son crecientes? Explica 10 que significa cada caso. h) i,En que conjunto de valores las graficas son decrecientes? Explica 10 que significa cad a caso. i) Interpreta la pendiente del segmento entre dos valores consecutivos en cad a una de las graficas. j) i, Que precios debe cobrar si quiere tener ingresos superiores a $1 000 semanales? k) i,Cuanto debe cobrar por corte de pelo para obtener los mayores ingresos semanales? 1) Escribe tres preguntas sobre el caso del peluquero y respondelas. m) Inventa un problema inspirado en las tribulaciones del peluquero, incorporando otros factores que 10 hagan mas real. De ser posible consulta con un peluquero. n) i, Otro peluquero? Otro peluquero atiende un promedio de 72 clientes por semana y cobra $18 por cada corte. Quiere aumentar sus ingresos y piensa que puede lograr10 subiendo los precios, pero estima que por cada incremento de $1 en el precio por corte perdera 6 clientes. Elabora un cuestionario similar al del problema del otro peluquero y determina el precio que debe cobrar para obtener los mayores ingresos semanales. 68 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


6. Identidades algebraicas Observa cuidadosamente las siguientes figuras y establece la relaci6n que hay entre cada figura y la identidad algebraica correspondiente. Redacta un parrafo para cada figura y destaca en tu descripci6n los elementos que te ayudaron a establecer la relaci6n.

b

a

e

a) x(a + b + c) -= xa + xb + xc a

x

x

ax

ex

x

ab

b) (x + a)(x + b) == x 2 + ax + bx + ab a

I

b

I

a

a(a+b)

b

b(a+b)

c) (a + b)2 == a(a + b) + (a + b)b

Algebra

69

b

a

a

b

ab ab

b

a a

a

b

a-b

a

f) a2 - b2 == (a + b) (a - b)

a

b

70 - - - - - - - - - - - - - - - - - LlBRO PARA EL ESTUDIANTE

a

b

ab ab

a

(a-b)2 a

ab

b

a

g) (a + b)2 - (a - b)2 == 4ab a

b

h) Establece las identidades algebraicas que son ilustradas por las siguientes figuras. a

b

ka

kb

1. k

2x

4

X

2. 2x

a 4

a-b

~

4

b

~

I:EB x

3.

x

4.

a

5.

b

c-d d

x

1 1 Algebra - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 71

i) Representa por medio de figuras las siguientes identidades algebraicas: a) (x + 3)(x 2) +x 6 b)(a b)(2a b) 2a 2 3ab+b 2 c) (a + b + C)2 - a2 + b 2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac d) (a + b )(x + y + z) - ax + ay + az + bx + by + bz j) AB es un segmento de recta con punto medio en C, que se prolonga por B hasta D. Dado que AD ::: 2AB, representa por medio de una figura la relaci6n AD*BD::: 8AC2. Establece 1a identidad algebraica correspondiente, con AC ::: x. k) A, B, C, D son cuatro puntos colocados en orden sobre una linea recta. Representa por medio de una figura la relaci6n AC*BD ::: AB*CD + AD*BC. Te ayudara rebautizar a los segmentos AB, BC, CD como x, y, z, respectivamente. Establece la identidad algebraica correspondiente. 1) E1 segmento AB, con punto medio en C, se prolonga por B hasta un punto cualquiera D. Representa por medio de una figura AC* AD ::: CB*BD + 2AC2. Establece la identidad algebraica correspondiente.

7. Cursos de actualizacion Una empresa de consultores profesionales prepara ellanzamiento de un paquete de cursos de actualizaci6n y necesita determinar cual es el precio 6ptimo del paquete. Encarg6 una encuesta que se aplic6 a los clientes potenciales para averiguar cuanto estaban dispuestos a pagar por los cursos. Los datos que se obtuvieron de la encuesta se resumen en la tabla siguiente:

Numero de participantes

50 100 150 250 270 300 350

Precio del paquete de cursos 9625 9 000 8125 5625 5 000 4 000 2125

72 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


a) Con base en los datos anteriores, encuentra una relacion que describa el precio de un paquete en funcion del numero de participantes. b) Determina el numero de participantes que maximiza los ingresos. i., Cuales serfan los ingresos maximos? c) Supon que los costos fijos del paquete de cursos ascienden a 200 000 pesos sin importar cuantos participantes se inscriban. Ademas por cad a participante la empresa gasta 230 pesos. i., Cuantos participantes se deben inscribir para maximizar la ganancia? (, Que precio maximiza la ganancia? d) Si se logra bajar los costos fijos a 150 000 pesos, (,que ocurre con la ganancia maxima? e) Si se supone que los costos fijos ascienden a 200 000 pesos, (,como afecta un incremento en los costos variables a 300 pesos por cada paquete en la ganancia maxima? i., Y en el precio optimo? f) En las condiciones de los puntos 3, 4 Y5, i.,cuaI seria la ganancia maxima por cada peso invertido? g) (, Cual de las dos ganancias resulta un mejor indicador del beneficio que obtiene la empresa? h) Aplica el modelo PER.

8. La cajita perenne Se puede hacer una caja abierta de un pedazo rectangular de cartulina, recortando un cuadrado de lado x en cad a esquina y doblando las pestafias que resultan hacia arriba. Si, por ejempl0, la cartulina mide 30 cm por 40 cm, encuentra las dimensiones de la caja que tiene el volumen maximo. a ) Haz un esquema 0 dibujo que represente la situacion del problema. b) Relaciona las caracteristicas de la figura plana y las correspondientes de la caja. c) Escribe la formula que te permite calcular el volumen de la caja identificando 10 que represent a cada letra y sus unidades. Identifica las dimensiones de la base de la caja y la altura. d) Haz una tabla que contenga el1ado del cuadrado que cortas en cada esquina y el volumen correspondiente. e) Aplica la estrategia de la lupa en la region que parece contener el volumen maximo.

Algebra

73

f) Repitela hasta que obtengas un valor dellado y que sea del orden de milesimos. g) Traza una gnifica con x en el eje horizontal y el volumen en el eje vertical. h) l,C6mo verificas que el volumen que obtuviste es el maximo? Explica. i) l, Que aprendizajes utilizaste para resolver el problemas? j) En caso de no haberlo resuelto, escribe tus conclusiones, con una reflexi6n sobre las causas de que no 10 hayas podido resolver. k) l,Que caminos 0 estrategias seguiste para tratar de resolver el problema? 1) Aplica el modelo PER.

9. Hamfast El maestro Hamfast del pueblo de los Hobbits gozaba de reconocimiento gracias a las mercandas que tenia en su tienda y que vendia por peso -s610 en kilogramos enteros- hasta un maximo de 40 kg. Era un deleite observar como atendia a sus clientes, pues Ie bastaban cuatro unicas pesas para equilibrar la balanza en todo tipo de pedidos. a) l,Sabrias deducir cuales eran las medidas de esas cuatro pesas? b) l, Que hacfa el maestro para pesar 4 kg?, i.S 5 kg?, l,y 6 kg?, l,y 13 kg?, l,y 16 kg?, l,y 38 kg? J ustifica todas tus respuestas. c) l,Le pedirfas al maestro Hamfast que te vendiese tres cuartos 0 kilo y media de algo? d) l, Cuantos tipos de bolsas debera tener el maestro para envolver las mercandas? e) Para pesar cierta cantidad de mercancfa en una balanza l,siempre se pone esta en uno de los platillos y las pesas en otro? Haz un dibujo aclaratorio. f) Recuerda la descomposicion polinomica de un numero, par ejemplo: 4702 = cuatro mil setecientos dos = 2*100 + 0*10 1 + 7*102 + 4*103 , y, en general, N = q ... dcba = a*xo + b*x1 + c*x2 + d*x 3 + ... + q*x P l, Que representa la x? l, Que es cada una de las letras: a, b, c, ... , q? g) Justifica ahora por que no puede ser cuatro pesas del tipo: 1 kg, 2 kg, 4 kg, 8 kg, 16 kg, 32 kg, ... etc. h) Comprueba que, de ningun modo, las cuatro pesas son del tipo: 1 kg, 4 kg, 16 kg, 64 kg, ... etc. i) Demuestra que no pueden ser cada una de ellas del tipo: ax con a ~ 4. j) l,De que tipo son las pesas? 74--------------------


k) Contesta ahora ala segunda pregunta del enunciado del texto. 1) Escribe ahora las medidas de cada una de las cuatro pesas del maestro. m) ~ C6mo titularfas este texto? n) Aplica el modelo PER con respecto al aprendizaje que lograste en esta actividad.

10. Que diferencias, lay! tan finitas i Cutil es la regia? Para cada una de las siguientes sucesiones escribe los siguientes tres terminos y el n-esimo termino

a)

3, 12, 27, 48, 75,

b) 2,

7, 16, 29, 46,

...

,

... ,

iCutil es la suma? ~ Cmintas sumas puedes encontrar para las siguientes series? Expresa tu respuesta como una regIa general. Prueba tu regIa cuando n = 1, n = 2 , etc.

a)

3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + (n + 2) =

b) 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + ... + (4n - 3) = Diagonales de un poligono Una diagonal de un polfgono es un segmento de recta que une cualesquier dos vertices no adyacentes. Aquf, n representa el numero de lados del poligono. Encuentra la regIa general para hallar el numero de diagonales de un polfgono de n lados.

Algebra - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 75

n=4

n=3

n=5

n=6

Sugerencia: Haz una tabla de dos columnas, en la primera coloca el numero de lados del polfgono y en la otra el numero de diagonales del poligono dado. Completa la tabla hasta un poHgono de nueve lados. ,",Como encontraste el patron? I.,Cual es la f6rmula?

'" Cual es la formula que expresa la relacion que hay entre p y t, tal como se muestra en la tabla siguiente?, ",que valor Ie corresponde a p cuando t es 6?

I~

I

o

1

2

3

4

100

90

70

40

o

Regiones de un cfrculo

Una cuerda es un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia. Aquf, n es el numero de cuerdas. Encuentra la regIa general que da el numero de regiones formadas por n cuerdas.

o o n=O

n=l

n=2

76 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

n=3


Utiliza la sugerencia del problema anterior.

Cuadrados de un cuadrado Un cuadrado grande puede dividirse en muchos cuadrados mas pequenos. En este problema, asegtirate de contar todos los cuadrados, pero no cuentes rectangulos que no sean cuadrados. Aquf, n representa el ntimero de unidades en un lado del cuadrado grande. Expresa como regIa general el ntimero de cuadrados que hay en un cuadrado de n x n.

Si n = 1, hay 1 cuadrado. Si n = 2, hay 5 cuadrados. Si n = 3 , hay 14 cuadrados . ... etcetera

D n =1

n =2

n =4

n =3

Utiliza la sugerencia dada para el problema de las diagonales.

11. Rectas y sus ecuaciones ~ Cuti1

es de cudl? Relaciona las siguientes ecuaciones con su grafica correspondiente y traza la grafica de las restantes. a) y =x

1 i) Y = --x +2 2

o)y=-2x-3

b) y =-x j)

y = - 2x

p)y=x-2

c)y=x+2 d) Y = - 2x + 2

e)y=2x-2 1

f) y = 2x g) y = -x - 2 h) Y = 2x + 2 Algebra

1) Y = -2x m)y=-x+2 n) y = - 2x - 2

77

11111111 11111111 Encuentra la ecuaci6n de las siguientes rectas:

-4

78 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

-2

o

2

4

LlBRO PARA EL ESTUOIANTE

2000 1000 0 1000 2000 3000 0

10

20

x

30

40

50

Al reves Representa gnificamente las siguientes rectas:

4x 3y + 10 0 4x - 6y - 3 = 0 2x - 3y -10 = 0 3x 2y + 5 0 2x - 3y - 3 = 0 5y -7 = 0 2x+4=0

l,Hay rectas paralelas l, Cuciles son?

Algebra

0

perpendiculares entre ellas?

79

En lnedio de las paraLeLas Encuentra la ecuaci6n de la recta que es paralela a las rectas:

2x + 3y - 9 = 0 4x + 6y + 36 a y que pasa por en medio de ellas. Es recomendable que grafiques las ecuaciones. La interseccion La recta L es perpendicular a la recta: 2x + 3y - 6 = 0 y pasa por el punto (- 3,1), (,d6nde corta la recta L al eje y? La otra incognita Encuentra el valor de k de la ecuaci6n kx - y - 3k ordenada al origen es 5.

- 6 sabiendo que su

I,Existe La distancia a una recta? (, Cual es la distancia que separa a las dos rectas paralelas:

2x - 5y + 10 = 0

15 y - 6x + 45 = 0 entre sf? Un sencillo baiLe Los alumnos del ultimo semestre estan organizando un baile de bienvenida a los alumnos de nuevo ingreso. Decidieron contratar ados grupos de rock y las condiciones de pago que imponen los grupos son:

El primer grupo cobra 3 000 pesos mas el 400/0 de 10 recaudado por las entradas, mientras que el segundo grupo cobra 6 450 pesos mas ell00/0 de 10 recaudado por las entradas. Pero no hay acuerdo entre los organizadores; se establece una ardua discusi6n entre ellos porque algunos piensan que el segundo grupo cobrara mas que el primero, otros (partidarios del primer grupo) Ie piden que argumenten irrefutablemente su posici6n (es decir, usando matematicas). Los partidarios del primer grupo piensan que 10 que deben hacer es manipular el precio de las entradas de tal forma que el primer grupo gane mas que el segundo. (, Cuanto es 10 menos que tienen que cobrar por persona para que eso se cumpla si estiman que habra 500 personas que paguen su entrada? 80----------------------------------------


Por otro lado, independientemente de quien gane mas que quien, tambien se enfrentan a otra cuestion: deben poder pagarle a los dos grupos con el dinero que se recaude de las entradas GCuanto es 10 men os que deben cobrar por persona para que con las entradas alcancen a pagarle a los dos grupos? GCual es el grupo que cobrarfa mas, finaln1ente?

12. Moira y Eris Moira salio de Acapulco en su autOJnovil hacia el OF, que esta a 434 km por la carretera libre a las 6:00 AM de ayer, con una velocidad promedio de 80 kilometros por hora. Al mismo tiempo que Moira salfa de Acapulco, Eris salio por la misn1a carretera en su auton1ovil del OF hacia Acapulco, su velocidad promedio fue de 60 kilometros por hora. Ambas viajaron por la carretera libre y mantuvieron sus velocidades constantes. Una hora despues de haber salido, a las 7:00 AM, Ga que distancia estaba Moira de Acapulco?, GY del OF?, Gque dis tan cia se hallaban separadas Eris y Moira en Ia carretera? (Sugerencia 1: Haz una tabla con los datos que obtengas de "tomar instantaneas" a distintas horas y describii las posiciones de las dichosas jovenes. Para obtener los datos de la tabla hiciste varias operaciones, escrfbelas nuevamente, dejandolas indicadas, sin efectuarlas, observa suforn1a y trata de usar esta estructura para responder las preguntas siguientes). t horas despues de haber salido, Ga que distancia estaba Moira de

Acapulco?, GY del OF?, Ga que distancia estaba Eris del OF?, is de Acapulco?, Gque distancia separaba a Eris y a Moira en la carretera?, Gque valores puede tomar t para que estas expresiones tengan sentido? GA que hora se cruzaron Eris y Moira en la carretera?, Ga que distancia de Acapulco ocurrio su encuentro? (Sugerencia 2: Si no puedes manejar la variable t, responde las dos ultimas preguntas usando la tabla que hiciste. Localiza aproximadamente la hora en que ocurrio el encuentro y n1ejora la aproximacion ampliando la tabla, como con el zoom de la graficadora, tomando instantaneas a intervalos de diez, cinco 0 un minuto. Despues intenta otra vez la sugerencia 1). Aplica el modelo PER.

Algebra

81

13. Viajes y viajeros Los cuatro trenes La gnifica representa los viajes de cuatro trenes, tres de ellos van de A a B, separados por una distancia de 120 kil6metros y el otro va de BaA.

'1

pm

4pm

5pm

tiempo, t, en horas

a) l.Que trenes viajan a la misma velocidad? l.Cual es esta velocidad? b) l.Cual es el tren que viaja mas lentamente? l.Con que velocidad viaja? c) El tren (2) deberfa viajar a 50 km/b, l.con cuantos minutos de retraso lleg6 a A?

14. Telmex y AT&T En un internado de estudiantes, cada estudiante puede contratar una de dos compafiias. Telmex cobra $87.5 por mes, mas 80 centavos por Hamada. AT&T cobra $82 por mes, mas 90 centavos por Hamada. a) Cuantas Hamadas hace aproximadamente por mes? b) Escribe, para cada compania, la ecuacion que representa el costo de un mes dado en funci6n del numero de llamadas. c) Grafica cada una de las ecuaciones que escribiste en el inciso (b). Asegurate de identificarlas (ya sea con colores distintos 0 con un letrero). d) Discute como se relacionan tus dos graficas con la solucion del problema. l. Cuando cobran 10 mismo ambas companfas? l. Cuando conviene mas Telmex? l.Cuando AT&T? 82----------------------------------------


e) i., Cuantas llamadas piensas que hace el estudiante promedio de tu c1ase? f) i., Como puedes averiguar la respuesta al inciso (e)? g) Lleva a cabo el plan que hiciste en el inciso (f). h) Decide cuMes estudiantes de tu grupo contratarian cada compania y explica por que. i) Aplica el modelo PER.

15. Las velas Dos velas del mismo largo estan hechas de materiales distintos, tales que una de ellas se consume uniformemente hasta terminarse en cuatro horas en tanto que la otra se consume en seis horas. a) i.,Cual es la ecuacion de la recta correspondiente a cada vela? Da una explicacion con pa1abras de 10 que representa cada una de ellas.

140 en

0

l-< ..... a..> 8.... '.....

c

120 100

a..>

u

c

80

a..>

~

cd'

60

l-<

~ .....

C\j

40 20

2

4

6

tiempo, t, en horas

Algebra

83

b) l, Cua! es la pendiente de cada una? Explica el significado de cada pendiente en terminos de la situacion. c) l,A que hora se deben encender ambas velas simultaneamente para que a las 5:00 PM un cabo de vela mida el doble que el otro? d) Considera ahora la longitud de la vela consumida en lugar de su altura. Traza las graficas, haz una comparacion con las anteriores y explica como pueden ambos pares de graficas representar la misma situacion. e) l,A que hora se deben encender ambas velas simultaneamente para que a las 5:00 PM un cabo de vela mida el triple que el otro? f) l,A que hora se deben encender ambas velas simultaneamente para que a las 5:00 PM un cabo de vela mida n veces el otro? l,Puede n tomar cualquier valor? g) Inventa, redacta y resuelve un problema que se pueda representar con el mismo modelo matematico. h) Aplica el model0 PER con respecto al aprendizaje que lograste en esta activroad.

16. Los peluqueros atribulados

* (5)

Retomemos este problema para mirado con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras tareas son: - Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasion. - Responder las preguntas que quedaron sin respuesta. Racer una generalizacion a partir de alguno de los aspectos matematicos de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este problema y resolverlo. Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos aprendido nuevas tecnicas que podemos emplear en su solucion.

84 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - L1BRO PARA EL ESTUDIANTE

17. Identidades algebraicas

* (6)

Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras tareas son: - Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasi6n. - Responder las preguntas que quedaron sin respuesta. - Hacer una generalizaci6n a partir de alguno de los aspectos matem,iticos de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este problema y resolverlo. Recordemos que desde que resolvin10s este problema por primera vez hemos aprendido nuevas tecnicas que podemos emplear en su soluci6n.

18. La razon 3urea I. Cuando los griegos se plantearon la pregunta GCwH es la forma ideal, la mas armoniosa, en el arte?, pensaron que la respuesta debfan darla las matematicas. Para responderla apropiadamente la transformaron en otra pregunta: ;., Cual debera ser la raz6n de la base con respecto a la altura de un rectangulo, de tal fonna que si se recorta un cuadrado del rectangulo original, el rectangulo restante tenga la misma forma que el rectangulo original? Tu, como los griegos, seguramente podras hallar la respuesta. II. La forma ideal de un rectangulo en el arte es el rectangulo aureo inventado (;"0 descubierto?) por los griegos. Si se recorta un cuadrado de un rectangulo aureo se obtiene un rectangulo menor que conserva la misma raz6n de largo a ancho que el rectangulo original. Por 10 tanto esta raz6n de largo a ancho es 2

(Como seguramente ya averiguaste en la primera parte.)

Algebra

85

Ahora: a) Construye un rectangulo aureo. (Sugerencia: construye un segmento cuya longitud sea la altura del rectangulo que vas a construir, y despues construye otro que este en razon aurea con el primero, este ultimo segmento sera la base de tu rectangulo.) b) Div!delo en un cuadrado, cuyo lade sea igual al ancho del rectangulo original, y en un rectangulo. c) Construye un arco de circunferencia con centro en un vertice del cuadrado adyacente al rectangulo. d) Prosigue subdividiendo este ultimo rectangulo en un cuadrado y un rectangulo, y construye otro arco de circunferencia en el cuadrado que continue el primer arco. e) Repite esta operacion tres veces mas. 1. Ca1cula la longitud del primer arco de circunferencia. 2. CaIcula la longitud de la curva formada por los cinco arcos de circunferencia. 3. Si se continua repitiendo la construccion caIcula la longitud de la curva formada por los k arcos de circunferencia.

19. Dos conjuntos de puntos I. En un plano formado por dos ejes graduados, perpendiculares, nos interesan los puntos del plano con coordenadas (x, y) definidas por la relacion x

y = (x+ 4)(7 - -) 2

Llamemos A al conjunto formado por estos puntos. a) Propon 5 pares de coordenadas correspondientes a puntos de A y 5 pares de coordenadas correspondientes a puntos que no pertenezcan a A. b) Representa graficamente la mayor cantidad posible de puntos de A. c) l,Ray puntos de A sobre el eje de las abscisas? l, Y sobre el eje de las ordenadas? Si es as!, da las coordenadas de estos puntos. Si no explica por que. d) l,Ray puntos de A que tengan la misma abscisa? l, Y otros que tengan la misma orden ada ? Si es as!, da ejemplos; si no, explica por que.

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Ahora nos interesa el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas (x, y) estan definidas por la relaci6n y = x 2 -16

II. Llamemos B al conjunto formado por estos puntos (responde a las mismas preguntas que se formularon en el punto 1). GRay puntos comunes entre A y B? Si es aSl, da las coordenadas de estos puntos.

20. Moira y Eris *(12) Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras tareas son: - Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasi6n. - Responder las preguntas que quedaron sin respuesta. - Racer una generalizaci6n a partir de alguno de los aspectos matematicos de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este problema y resolverlo. Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos aprendido nuevas tecnicas que podemos emplear en su soluci6n.

21. Las velas * (15) Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras tare as son: - Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasi6n. - Responder las preguntas que quedaron sin respuesta. - Racer una generalizaci6n a partir de alguno de los aspectos matematicos de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este problema y resolverlo. Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos aprendido nuevas tecnicas que podemos emplear en su soluci6n.

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22. La zorra y el perro * (1) Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras tareas son: - Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasi6n. Responder las preguntas que quedaron sin respuesta. - Hacer una generalizaci6n a partir de alguno de los aspectos matematicos de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este problema y resolverlo. Recordemos que desde que resolvimos este problen1a por primera vez hemos aprendido nuevas tecnicas que podemos emplear en su soluci6n.

23. Mejor muerto que ciervo Persegufa un caballo vengativo / a un ciervo que Ie hizo leve ofens a; / mas hallaba segura la defensa / en su veloz carrera el fugitivo. EI vengador, perdida su esperanza / de alcanzarlo, y lograr asf su intento, / al hombre Ie pidi6 su valimiento / para tomar del ofens or venganza.

Consiente el hombre, y el caballo airado / sale con su jinete a la campana; / corre con direcci6n, sigue con mana, / y queda al fin del of ens or vengado. Muestrase al bienhechor agradecido / qui ere marcharse libre de su peso: / mas desde entonces mismo qued6 preso, / y eternalnente al hombre sometido. (Felix Ma de Samaniego. Fabulas)

En estos cuatro cuartetos se describe la persecuci6n de un caballo a un ciervo. Consideremos que la situaci6n ocurri6 de la siguiente manera:

EI caballo vengativo persigue al ciervo. En el momento de iniciar la persecuci6n, los dos animales estaban separados por una distancia de 62 m. Tanto la velocidad del ciervo como la del caballo eran constantes e iguales a 15 In/s. Despues de 6 segundos de persecuci6n, el caballo desesperanzado pide ayuda al hombre, pierde un segundo en hacerlo, pero al ser conducido 88-----------------------------------------


por e1 su velocidad se incrementa a 20 m/s. Continua persiguiendo al ciervo que conserva su misma velocidad. GA que distancia se encontraba el caballo del ciervo tres segundos despues de haberse iniciado la persecuci6n? GY a los seis segundos? GY a los ocho? Durante los primeros 6 segundos, Gcual es la expresi6n algebraica que relaciona la distancia d, a la que se encuentra el caballo del ciervo con el tiempo t, que tiene de haberse iniciado la persecuci6n? Entre los seis Y siete segundos de persecuci6n, Gcual es la expresi6n algebraica que representa la distancia a la que se encuentra el caballo del ciervo en funci6n del tiempo? Despues de los siete segundos de persecuci6n, Gcual es la expresi6n algebraica de la distancia a la que se encuentra el caballo del ciervo? Sugerencia 1: Haz una tabla con los datos que obtengas de "congelar el movimiento" a distintos segundos y describir las posiciones de los infelices animales. Para obtener los datos de la tabla hiciste varias operaciones, escrfbelas nuevamente, dejandolas indicadas, sin efectuarlas, observa su forma y trata de usar esta estructura para responder las preguntas anteriores. GEn que momento a1canza el caballo al ciervo? GQue valores puede tomar t para las que expresiones algebraicas tengan sentido? Sugerencia 2: Si no puedes manejar la variable t, responde las dos ultimas preguntas usando la tabla que hiciste. Localiza aproximadamente la hora en que ocurri6 el encuentro y mejora la aproximacion ampliando la tabla, congelando el movimiento a intervalos de diez, cinco 0 una decimas de segundo GEra motivada la desesperanza del caballo? De no haber pedido ayuda al hombre, Ghubiera a1canzado al ciervo? Justifica tu respuesta. Inventa un problema inspirado en el problema anterior en el que modifiques las cond> ciones iniciales, particularmente las relativas a las velocidades. Aplica el modelo PER.

24. Galletitas Dos hermanos tienen una panaderfa chica cuya especialidad son las galletas. Ellos hacen s610 dos tipos de galletitas: simples y nevadas (con una capa azucarada). Necesitan decidir cuantas docenas haran de cada tipo para manana.

Algebra

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Una docena de sus galletitas simples requiere una libra de masa de galletita (y nada de alcorza, pasta para la capa azucarada de las nevadas), mientras que una docena de las nevadas requiere de 0.7 de libra de mas a de galletita y de 0.4 de libra de pasta de alcorza. Los hermanos saben por experiencia que cada docena de las galletitas simples requiere alrededor de 0.1 de hora de preparaci6n y cada docena de las nevadas requiere de 0.15 horas de preparaci6n. Tambien saben que no importa cuantas hagan de cada tipo; seran capaces de venderlas todas. Su decisi6n esta limitada por los hechos siguientes: • Los ingredientes que tienen a la mano: cuentan con 110 libras de masa de galletita y 32 libras de pasta de alcorza. • EI espacio disponible en el horno: tienen espacio para hornear un total de 140 dacenas de galletitas para manana. • EI tiempa de preparaci6n dispanible: juntos cuentan con 15 horas de preparaci6n para las galletitas. l,Por que deberfan preocuparse por cuantas galletitas de cada tipo haran?

Pues, sinceramente, porque quieren ganar tanto dinero como puedan. Venden las galletitas simples a $6.00 la docena y a ellos les cuesta $4.50 hacerla. Las nevadas las vend en a $7.00 la docena y les cuesta $5.00 hacerla. l, Cuantas docenas de cada tipo de galletita deberfan hacer los herman os para obtener una ganancia tan grande como sea posible?

Para responder esta pregunta, puedes seguir los siguientes puntas: 1. Encuentra una combinaci6n de galletitas simples y nevadas que satisfaga todas las condiciones del problema y averigua que ganancia obtendrfan los hermanos con esa combinaci6n de galletitas. 2. Ahora encuentra una combinaci6n distinta de galletitas que cumpla las condiciones del problema pero que proporcione una ganancia mayor. Al graficar las relaciones, podemos convertir las relaciones simb61icas en relaciones geometricas. Puesto que las relaciones geometricas son tan visuales, a menudo resulta mas facil pensar acerca de ellas. Usa la restricci6n de la mezcla de galletitas, x + 0.7y ;::: 110, y escoge un color, que usara tu equipo para las combinaciones de galletitas simples y ne-

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vadas que sf satisfacen la desigualdad, y otro color para las combinaciones que no satisfacen la desigualdad. Por ejemplo, 20 docenas de galletitas simples y 50 docenas de galletitas nevadas es una combinacion que satisface la restriccion. Pero 100 docenas de cada tipo no satisfacen la restriccion. Grafica cad a punto con un color diferente. Entonces: 1. Cada persona del equipo debe ensayar muchos pares de numeros para las variables, ver si satisfacen 0 no la desigualdad y registrarlos. Cada persona debe marcar sus pares de numeros usando el color adecuado sobre unos ejes coordenados compartidos por todos los miembros del equipo. 2. Asegurate de que tu grupo tenga puntos de ambos colores. Despues de experimentar un poco, puede ser necesario que cambies la escala de tus ejes para que se puedan mostrar ambos tipos de puntos. 3. Continua con las partes 1 y 2, agregando puntos de cada tipo con el color adecuado, hasta que pienses que has conseguido un "buen dibujo" de la grafica de tu restriccion. Explica como piensas que sera la grafica completa y por que. 4. Repite el proceso que usaste en las partes 1 y 2 0 usa el "buen dibujo" para graficar las restantes restricciones, cada una en sus propios ejes coordenados. Al resolver problemas como el de las galletitas, es util saber como encontrar el punto donde se intersecan dos rectas. El objetivo de tu equipo en esta parte de la actividad es descubrir un me to do para hacer esto, ademas de tantear 0 usar las graficas, trabajando con las ecuaciones de las dos rectas. Tu reporte escrito de la actividad debe incluir 10 siguiente: - Las soluciones a las preguntas la-Ie. - Dos de los problemas planteados individualmente por los miembros del equipo en la pregunta 2, con soluciones. - Las instrucciones de tu equipo para la pregunta 3 por escrito. Cada equipo hara tambien una presentacion oral de sus resultados para la pregunta 2. Algebra

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1. Encuentra el punto de interseccion de las gnlficas de cada uno de los pares de ecuaciones siguientes usando algtin metodo distinto de la graficacion y del tanteo. Cuando pienses que tienes las soluciones, verificalas por graficacion 0 por sustituci6n de los valores en las ecuaciones.

a) y = x; b) y = 3x + 5; c) 4x + 3y = 17; d) 5x - 3y = 23; e)5x+2y=17;

3x = y + 4 y=2x- 9 y = 2x + 11 y -15 = 3x 3y + 9 = 2x

2. Cada persona del equipo debeni inventar un par de ecuaciones lineales y encontrar el punto de intersecci6n. Los n1ielnbros del equipo debenin plantear e intercambiar problemas (sin dar las soluciones) y resolver los problemas de los otros, tratando de encontrar el punta de intersecci6n sin tan tear ni graficar. 3. Como equipo, desarrollaran y escribiran instrucciones generales para encontrar las coordenadas del punto de intersecci6n de dos ecuaciones de lineas rectas sin tantear ni graficar. 4. Haz tus instrucciones faciles de seguir, como para que un alumno de secundaria pueda seguirlas y "encontrar el punto".

Una dieta Una dieta, planeada para robustecer a una persona, exige por 10 menos 45 unidades de proteina, 30 de grasa y 60 de carbohidratos. Cada100 gramos del complemento alimenticio P brinda 9 unidades de proteina, 12 de grasa y 15 de carbohidratos. Cada 100 gram os del complemento alimenticio Q proporciona 6 unidades de proteina, 3 de grasa y 6 de carbohidratos. El complemento P cuesta 450 pesos por cada kilogramo y el complemento Q 300 pesos por cada kilogramo. l Cua! debe ser el consumo diario de cada complemento para que el costo sea rnfnimo?

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25. Ijigellia cruel de Alfonso Reyes En la gnifica se muestran los costos de edicion y los ingresos por la venta de una edicion facsimilar del poema dramatico de Alfonso Reyes, Ifigenia cruel. Eje vertical: costos e ingresos (en pesos). Eje horizontal: Ntimero de ejemplares.

a) (, Cuales son los costos, los ingresos y la ganancia por producir y vender 0, 100, 200, 350, 550 Y 600 ejemplares? b) (,Dentro de que lfmites se debe mantener la oferta para obtener ganancias? c) (,Cual debe ser la oferta para obtener el mayor ingreso? d) (,A cuanto ascienden los costos fijos de produccion? e) (, Cuanto cuesta producir cada libro si no se consideran los costos fijos? f) (,Ray una ganancia maxima? Justifica tu respuesta. Si hay una ganancia maxima, calctilala. g) (, Cual es la ecuacion de los costos? h) (,Cual es la ecuaci6n de los ingresos? i) (,Cual es la ecuaci6n de la ganancia? Algebra

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j) Traza la gnifica de la ganancia en los mismos ejes. k) Plantea tres preguntas sobre esta misma situaci6n y resp6ndelas. I) Si se reducen los costos, tanto los de producci6n da cada libro como los fijos, a $8500 y $120, respectivamente, (,cual es la ganancia maxima?

26. La cajita perenne * (8) Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras tareas son: - Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasi6n. - Responder las preguntas que quedaron sin respuesta. - Hacer una generalizaci6n a partir de alguno de los aspectos matematicos de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este problema y resolverlo. Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos aprendido nuevas tecnicas que podemos emplear en su soluci6n.

27. Que diferencias ,ay! tan finitas * (10) Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras tare as son: - Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasi6n. - Responder las preguntas que quedaron sin respuesta. - Hacer una generalizaci6n a partir de alguno de los aspectos matematicos de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este problema y resolverlo. Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos aprendido nuevas tecnicas que podemos emplear en su soluci6n.

28. Dos conjuntos de puntos

* (19)

Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras tareas son:

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- Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasi6n. - Responder las preguntas que quedaron sin respuesta. - Racer una generalizaci6n a partir de alguno de los aspectos matem,iticos de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este problema y resolverlo. Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos aprendido nuevas tecnicas que podemos emplear en su soluci6n.

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III. PROYECTOS 1. Calendario del siglo XXI Construye un algoritmo que permita saber que dfa de la sen1ana Ie corresponde a una fecha cualquiera del siglo XXI.

2. Polinomios para describir La garantia

La duracion de las llantas producidas por la empresa Fenix, S. A., registradas con una precision de hasta una semana es: Duracion en semanas 1 a 26 27 a 52 53 a 78 79 a 104 105 a 130 131 a 156 157 a 182 183 a 208

Numero de llantas 29 56 137 251 288 203 154 82

Formula algunas preguntas acerca del numero, 0 porcentaje, y la duraci6n de las llantas. Utiliza una calculadora 0 un paquete de computadora para obtener una funci6n que se ajuste a tus datos. El fabricante garantiza la devolucion del dinero, 0 la sustitucion de la llanta, si esta se poncha antes de ano y medio. Estima la probabilidad de que el fabricante devuelva el dinero. Estima tambien el numero de piezas que tendni que reponer en un lote de 6 500 llantas. EI c1ima de la Ciudad de Mexico

Consulta en la direccion http://paidoteca.dgsca.unam.mx/estadistica/ prac2.htmllos datos de la temperatura de un dia en la Ciudad de Mexico. Utiliza una calculadora 0 un paquete de computadora para obtener una funci6n 96---------------------------------------


que se ajuste a tus datos. Formula algunas preguntas acerca de las variaciones qe,la temperatura y resp6ndelas utilizando la funci6n que encontraste. Con los datos de la pagina http://paidoteca.dgsca.unam.mx/estadistica/ prac4.html estudia la relaci6n entre la humedad relativa y la temperatura del aire.

3. Renta de automoviles Las graficas siguientes representan la renta de un auto en una ciudad al norte de la Ciudad de Mexico hasta la Ciudad de Mexico de dos compafiias, de acuerdo a los kil6metros recorridos. A una de esas compafiias la llamaremos A y a la otra B. a) l,Cual es la cuota inicial por el uso del auto en cad a compania?, l,que cantidad cobran por kil6metro recorrido? b) Si solicitas este servicio desde dicha ciudad, l,cuaI compafiia te conviene contratar? Para que tu respuesta sea realmente util necesita ser precisa. c) Formula por 10 menos tres preguntas relacionadas con el problema (hay al menos una que serfa muy interesante, esperamos que la propongas). Contestalas. y

800 600 Costos

400 200

25

50

75 100 kil6metros

125

150

175

d) He aquf otra pregunta interesante: un estudio de mercado hecho con 1 000 personas muestra, en la grafica siguiente, la distribuci6n de la distancia que normalmente recorren los usuarios de estas companias. Con Algebra

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base en la informaci6n proporcionada y en esta gnifica haz una estimaci6n de los ingresos de cada compania suponiendo que los usuarios preferinin el servicio mas econ6mico.

400 P e r

s o n a

s

300 200 100

o

20

60

100

140

180

220

Promedio de kilometros del viaje que realizaron

e) Otra pregunta de interes seria: l,que compania gana mas? l, Que otra informaci6n requeririas para conocerla? Suponiendo que se trata de autom6viles medios, obten la informaci6n necesaria y estima las ganancias de eada compania. f) Cambia de posici6n: si quisieras establecer una compania alternativa, l,que criterios considerarias para decidir el precio que cobrarias de acuerdo ala informaci6n que ya conoces?

4. EI dulce chupado Consigue un caramelo esferico s6lido grande. Investiga eua! es el radio, la superficie y el volumen del dulce t minutos despues de haberlo introducido en la boca. Estima, ademas, la esperanza de vida del dulce a partir de sus dimensiones originales. Elabora un reporte que incluya los datos, los supuestos, el metodo que seguiste, los procedimientos matematicos que usaste y las conclusiones que obtuviste. Consulta la ficha de autoevaluaci6n del PER para asegurarte que tu reporte refleja un enfoque profundo en la realizaci6n de tu trabajo. Formula tres preguntas que permitan hacer una generalizaci6n de los resultados. Aplica el modelo PER. 98 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


5. Un problema de programaci6n lineal Se trata de plantear un problema de programaci6n lineal. Los ingredientes basicos que necesitas tener en tu problema son: • Dos variables • Algo para maximizar 0 minimizar que sea una funci6n lineal de estas variables • Tres 0 cuatro restricciones lineales Una vez que has descrito tu problema, debes resolverlo y preparar un informe que inc1uya: • Una explicaci6n del problema; • Una soluci6n del problema y • Un argumento que pruebe que no hay una soluci6n mejor.

6. Mis propios datos Sube a un autom6vil y sientate junto al conductor provisto de lapiz, papel (0 de una grabadora portatil) y un cron6metro. Haz dos columnas, una para el tiempo y otra para la velocidad. Registra al principio y al final el contenido de gasolina. Anota cada diez segundos la velocidad del autom6vil en un recorrido que dure por 10 menos quince minutos. Calcula con esta informaci6n la distancia que recorri6 el autom6vil en el trayecto. Explica y justifica detalladamente el procedimiento que seguiste. Traza una grafica que nos permita leer la distancia recorrida por el autom6vil en un instante cualquiera del trayecto. Discute las caracteristicas de los metodos de soluci6n de este problema si, en principio, nuestros datos se hubieran representado gnifica 0 algebraicamente en vez de tabularmente. Plantea dos preguntas sobre la misma situaci6n y resp6ndelas.

Algebra

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Ejercicios

Introduccion En matem,iticas es usual que se hable de ejercicio, y problema y de que en much os momentos se tomen como sinonimos. En este libro son cosas diferentes. En la introduccion al capitulo que contiene los problemas se habla de 10 que consideramos como tal, aquf comentamos la idea que en este libro utilizamos para ejercicio. Una caracterfstica del ejercicio es que con el se pretende que adquieras soltura en el manejo de ciertos procedimientos 0 en el tratamiento de ciertas situaciones que son titiles cuando te enfrentes a problemas. Cuando te enfrentas a un ejercicio ya sabes 10 que tienes que hacer y hay que hacerlo. Puede tratarse, por ejemplo, de un algoritmo, como la aplicacion de la formula general para resolver una ecuacion de segundo grado. Si ya dominas la aplicacion de este algoritmo, cad a vez que te encuentres una ecuacion que tti reconoces de segundo grado, ya sabes que puedes resolverla y 10 hanis. En cambio, si tienes dificultades para aplicar la formula general, cad a vez que necesites resolver una ecuacion de segundo grado tendnis un problema. 101

Tambien puede ser algo mas laborioso como la aplicacion del metodo de diferencias finitas para la obtencion de la ecuacion de una funcion polinomial a partir del conocimiento de ciertos valores que se conocen de la funcion. Incluso puede tratarse de modelos algebraicos de problemas como la altura en funcion del tiempo que adquiere un cuerpo que es lanzado de alguna forma. Cuando se te pide hacer un ejercicio, es porque cuentas con la informaci6n necesaria para ello. Usualmente consiste en una explicaci6n de los pasos que tienes que seguir y estos son ejemplificados con un ejercicio resuelto, en el que se explican los pasos que se siguen. Esta explicaci6n se puede realizar en el sa16n de clases (en este caso no s6lo debes anotar 10 que se te presenta en el pizarr6n 0 algun otro medio, sino tomar las notas adicionales necesarias para que no se te olviden detalles) 0 puede estar escrita en un libro. No debes preocuparte s610 por reconocer los pasos que tienes que seguir para resolver el ejercicio, sino tambien busca entender el porque de estos pasos. De esta forma estas en condiciones de darte cuenta si puedes aplicar algunos de los pasos del ejercicio en una situaci6n parecida al ejercicio que ya sabes resolver. Hay algo mas. DOlninas por completo un ejercicio cuando eres capaz de resolverlo sin consultar tus apuntes 0 la informaci6n que tienes del mismo. Por ejemplo, sabes resolver una ecuaci6n de segundo grado por la formula general cuando, sin necesidad de consul tar en tus apuntes, la aplicas. Desde luego, para esto es necesario que tengas aprendida la f6rmula de memoria. Pero la memorizaci6n se logra al aplicar varias veces la formula en ecuaciones de segundo grado. En cambio, dominas a secas un ejercicio cuando puedes resolverlo consultando parte de la informacion de la que dispones (usualmente algunas formulas). Si necesitas preguntar algo a un companero 0 un profesor para resolver un ejercicio, entonces todavfa no dominas el ejercicio y te hace falta mas practica. Lo ideal es que domines por completo los ejercicios; de est a manera dispondras de mas tiempo para dedicarte a trabajar en los aspectos nuevos 0 desconocidos del problema al que te enfrentes. En este libro se te senalan ejercicios para que los trabajes y en d6nde puedes obtener la informacion que necesitas. En algunos casos los ejercicios seLlBRO PARA EL ESTUDIANTE

fialados son suficientes para que llegues a dominarlos, pero en otros no y til debes buscar 0 crear otros para que sigas practicando. Hacerlo es parte de tu responsabilidad como estudiante. Por cierto, til mismo eres capaz de crear ejercicios cuando resuelves un problema y luego detallas los pasos que deben seguirse para resolver la situaci6n del problema. Es decir, cuando elaboras una informaci6n similar a la que til consul taste para resolver los ejercicios propuestos. Aquf hay algo mas sobre las caracteristicas de un ejercicio: ;, Que es un ejercicio? Un ejercicio esta fuertemente relacionado con un algoritmo 0 rutina, no necesariamente sencillos. Los mas complejos pueden requerir la combinaci6n de varios procedimientos con destrezas especfficas. En un ejercicio puede requerirse una articulaci6n de registros de representaci6n, pero esta articulaci6n suele estar ya incluida en el algoritmo, en la rutina 0 en el esquema. La administraci6n de los conocimientos y procedimientos no es compleja, se reduce a organizar las llamadas a una serie de procedimientos ya hechos, generalmente hace poco tiempo. No busca una reconceptualizaci6n de los conocimientos sino la frecuentaci6n de una via ya abierta, la adquisici6n de una destreza. Su esquema metaf6rico es la suma no la integraci6n. Puede ser laborioso, raramente diffcil.

Algebra

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TAREAS DEL LIBRO Las tareas se refieren a Algebra con aplicaciones de Phillips, Butts y Shaughnessy. Editorial Harla. UNIDAD 1 De la Aritmetica al Algebra • Lee haciendo las pp. 10-22. • Resuelve los ejercicios pares del 48-60 de las pp. 23-25. • Lee haciendo pp. 71-79. • Resuelve los ejercicios de la forma 5n de las pp. 79-82. UNIDAD2 Polinomios • Lee haciendo pp. 82-88. • Resuelve los ejercicios de la forma 7n+ 1 de las pp. 88-93. • Lee haciendo pp. 93-99. • Resuelve los ejercicios de la forma 6n+5 de las pp. 99-102. • Lee haciendo pp. 103-109. • Resuelve los ejercicios de la forma 5n+4 de las pp. 109-113. UNIDAD3 Ecuadones y fundones lineales • Lee haciendo pp. 146-160. • Resuelve los ejercicios de la forma 5n+3 de las pp. 161-165. • Lee haciendo pp. 213-225. • Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 225-230. UNIDAD4 Ecuadones y fundones cuadraticas • Lee haciendo pp. 275-289. • Resuelve los ejercicios de la forma 13n+3 de las pp. 289-293. • Lee haciendo pp. 349-357 Ypp. 362-367. • Resuelve los ejercicios de la forma 3n del 2-20 de las pp. 357-358 Ylos de la forma 5n+ 1 de la p. 368. • Lee haciendo pp. 371-388. • Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 388-395.

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UNIDAD5 Sistemas de ecuaciones • Lee haciendo pp. 245-262. • Resuelve los ejercicios de la forma 5n+2 de las pp. 263-268. • Lee el resumen pp. 268-269. • Resuelve los ejercicios de la forma 8n+ 7 de las pp. 269-273. • Lee haciendo pp. 433-444. • Resuelve los ejercicios de la forma 7n+4 de las pp. 444-449. UNIDAD6 Funciones polinomiales y racionales • Lee haciendo pp. 566-579. • Resuelve los ejercicios de la forma 6n+2 de las pp. 580-584. • Lee haciendo pp. 409-426. • Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 426-433.

EJERCICIOS COMPLEMENTARlOS UNIDAD 1

De la Aritmetica al Algebra 1. Un electricista compr6 75 metros de alambre de calibre 14. Us61as dos quintas partes en una instalaci6n; del resto, guard6 e120% y la cantidad restante la dividi6 en tr020S de 80 cm de longitud. l.Cuantos tr020S son? l.Para que otras longitudes del alambre se obtienen trozos completos? 2. Calcula el numero de alumnos de una c1ase sabiendo que la octava parte de ellos no asisti6, que las tres quintas partes de ell os estan presentando un examen y los once restantes estan estudiando. l.Cuantos no asistieron? 3. Juan gana dos tercios de 10 que percibe Pedro, quien gana 4/5 de 10 que percibe Tadeo. Si Tadeo gana $1150.00, l.cuanto perciben Juan y Pedro? 4. Yolanda esta a cargo de una tortillerfa y ha decidido establecer el precio de $4.50 el kilogramo. Algunos de sus c1ientes compran por pesos (es decir, compran $1, $1.50, $2, ... , $29.5 0 $30) Yotros por kilos (1, 1.5,2, ... , 15 kg). Necesita dos tablas para saber cuanto les debe dar de tortillas a los primeros y cuanto les debe cobrar a los segundos. l.Puedes ayudarle a Yolanda en la elaboraci6n de estas dos tablas? Algebra

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5. Una anciana decrepita y desdentada fue a vender una canasta de huevos al mercado. Al primer cliente Ie vendi61a mitad de los huevos que llevaba, mas medio huevo; al segundo cliente Ie vende la tercera parte de los huevos que Ie quedaban mas un tercio de huevo; el tercer c1iente Ie compra la cuarta parte de los huevos restantes, mas un cuarto de huevo. Despues de sus ventas, la anciana aun tenia en la canasta 8 huevos. Si no se rompi6 ningun hueYO, "cuantos huevos tenia inicialmente en la canasta?

6. La raz6n entre los gastos y las entradas en el negocio de los Romano"s es de 5 a 8. "Cuales fueron sus gastos en un mes en el que la ganancia fue de $3675? 7. Un nanosegundo es 10-9 segundos. "Cuantos nanosegundos requiere la luz para darle la vuelta a la Tierra? 8. Supongamos que una maquina copiadora amplifica una copia de papel alrededor de 1.1 veces el original. Si usted sacara copias de copias y una hoja original fuese de 10 cm por 16 cm, l.cuales sedan las dimensiones de la segunda, tercera y octava copia? "Cuantas amplificaciones se requieren para lograr una amplificaci6n del triple del original? 9. Una hoja de papel se dobla a la mitad, y luego nuevamente a la mitad. Si este procedimiento de doblar a la mitad continua y el papel se desdobla, "cuantos espacios habra despues de un doblez? l.dos dobleces? "tres dobleces? "cinco dobleces? "diez? "cien? 10. Hay que tender un cable desde una central electrica a un lado de un

rio de 900 metros de ancho a una fabrica en el otro lado 3 ki16metros abajo. EI costa de tender el cable bajo el agua es de $400 por cad a metro, mientras que el costa por tierra es de $320 por cada metro. "Cua! es la ruta mas econ6mica para tender el cable? 11. Un viajero recorre 114 de la distancia entre dos ciudades a pie, 115 a caballo, 118 del resto en auto y los 55 km restantes en tren. "Cual es la distancia entre las dos ciudades? 12. Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en 14 dias cierta obra. Al cabo de 9 dfas s610 han hecho los 8/17 de la obra. l. Con cuantos hombres tendran que reforzar la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado? 13. Carlos consigue un prestamo de $100 000 para comprarse un autom6viI. Conviene en pagar su deuda de la siguiente forma: cada ano pagara $10 000 106---------------------------------------


mas elI2% de interes de su deuda al principio de ano. l,Cuanto pagara al final por el prestamo? 14. Al inicio de un viaje el od6metro de un autom6vil (con tan que Ileno) registra 43219.5 km. Despues del viaje, que tard6 seis horas, el od6metro registra 43 480.2 km y el conductor utiliz6 39.5 litros de gasolina para volver a llenar el tanque. l,Cuantos ki16metros por litro rindi6 el autom6vil? l,Cual fue la velocidad promedio en el viaje? 15. Ala edad de dos anos, un nino promedio mide unos 86 em y pesa 13 kg. Emplea la f6rmula de DuBois y DuBois (donde w es el peso y h la estatura) para hallar la superficie S del cuerpo del nino (en metros cuadrados). S = (O.007184)w

0.425ho.725

16. De un numero N, de dos dfgitos, se sustrae un numero que tiene los mismos dfgitos de N pero invertidos. El resultado es el cubo de otro numero positivo. l, Cuales son los valores posibles de N? UNIDAD2

Polinomios 1. Una ventana con un perfmetro de 8 m tiene la forma de un rectangulo con un semicfrcul0 sobrepuesto. a) l,Cual es el perfmetro total de la vent ana? b) l, Cual es el area total de la ven tana? c) l, Cual es el area maxima que puede tener la ventana?

x

2r d) Escribe un polinomio para representar el perfmetro de la figura en terminos de la variable rode la variable x, solamente. e) Escribe un polinomio para representar el area de la figura en terminos de la variable rode la variable x, solamente. f) Grafica la fund6n del area. Algebra

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2. Dados dos circulos con el mismo centro, halla una expresi6n algebraica para el area de la parte sombreada. Simplifica la expresi6n tanto como sea posible:

Utiliza la expresi6n para obtener el area de la parte sombreada si x = 10.125 3. Encuentra una expresi6n para la cantidad de concreto que se necesita para hacer una tuberia de concreto que tiene I metros de largo, un radio interior b y un radio exterior a. Si I 1 000 m, b = 65 cm y a 70 cm, l,que volumen de concreto se requiere? 4. Un avi6n pequeno puede cargar 950 kg de equipaje distribuidos en dos compartimentos de carga. En un vuelo, el avi6n va totalmente cargado con 150 kg mas en un compartimento que en el otro. l,Cuanto equipaje hay en cada compartimento? 5. En un triangulo rectangulo, uno de sus angulos agudos mide 15° mas que dos veces el otro angulo agudo. Calcula el valor de cada angulo. 6. Un autom6vil recorre 50 km en el mismo tiempo en que un avi6n viaja 180 km. La velocidad del avi6n es de 143 km/h mayor que la del autom6vil. Calcula la velocidad del autorn6vil. 7. Un autom6vil y un carni6n salen de un rnisrno punto de partida al misrno tiempo y en direcciones opuestas. Cuando estan a 350 km de distancia, el autom6vil ha recorrido 70 km mas que el cami6n. Calcula la distancia que recorri6 el autom6vil.

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UNIDAD3

Ecuaciones y funciones lineales 1. La suma de las edades de mis tres hijos es 22. Si el mayor tiene tres afios mas que el segundo y el doble de la edad del tercero l.cual es la edad de cada uno de ellos? 2. Un cajero cont6 248 billetes. S610 tiene billetes de $200.00 y $50.00 y en total hay $22 150.00 l.cuantos billetes de $200.00 y de $50.00 hay? 3. Dos monedas raras tienen un valor de $90.00 si el valor de una de ellas es una y media veces el valor de la otra l.cuanto vale cad a moneda? 4. Un parque de diversiones cobra $60.00 por persona, pero tiene boletos de promoci6n a mitad de precio. Si en un dfa se obtuvieron ingresos de $29220.00 al vender 549 boletos l.cuantos boletos de cada tipo fueron vendidos? 5. La f6rmula para convertir grados Celsius a Fahrenheit es de of = 9/5 °C + 32 donde °C son los grados Celsius y OF los grados Fahrenheit. l.A cuantos grad os Celsius corresponden 32°, 70° Y 212° grados Fahrenheit? 6. En una ciudad el costa de la electricidad esta expresado por la f6rmula C = 0.07 n + 6.5, siendo eel cos to y n la cantidad de kilowatt-horas consumidos. Calcula la cantidad de kilowatt-horas que corresponde a costos de $50.00, $76.50 y $125.00 . 7. Un sefior invirti6 $14000.00, parte al 70/0 y parte al120/0 de interes anual. EI ingreso anual debido a esas inversiones fue de $1 430.00. l. Cuanto invirti6 en cada una de las tasas? 8.l.Cuanta agua se debe evaporar por ebullici6n para aumentar la concentraci6n de 300 litros de sal, del 2 aI3 % ? 9. Varias personas avanzan por la carretera a raz6n de 5 km/h y forman una columna de 3 km de largo. Una de elIas, Antonio, va hasta el final de la misrna. De repente se acuerda que tiene que darle un recado a su compadre Ricardo, que se encuentra al principio de la marcha. Se sube a una bicic1eta y avanza a una velocidad de 25 km/h. l.Cuanto tiempo Ie llevara a Antonio llegar hasta donde se encuentra su compadre, entregarle el recado y regresar hasta el final de la marcha? Un alumno obtuvo un total de 435 puntos en 5 examenes de algebra.

Algebra

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10. Un televisor tiene un costo de $3 250.00, incluyendo el IVA del 15 % l. CucH es el precio del televisor sin IVA?

•

11. El duefio de un negocio paga diariamente a sus tres empleados $135.00. Determina 10 que gana cada uno, sabiendo que el primero gana $10.00 mas que el segundo, y este el doble que el tercero. UNIDAD4

Ecuaciones y funciones cuadraticas 1. l. Cual es la altura del arbol mas alto que puedes asegurar con un cable

de 250 m? EI cable debe fijarse al suelo a una distancia de la base del arbol que sea al menos 10 m abajo de su copa. 2. l. Cuales son las dimensiones de un rectangulo si su area es 1 500 m 2 y su

longitud es 20 III mas que su anchura? 3. Calcula la altura h del triangulo si su area es 162 cm 2 y su base es (2h+3) cm. 4. Calcula el perimetro del rectangulo de base w+4, altura w y area de 96 m2. 5. La longitud de una pista rectangular de patinaje sobre hielo es 20 m mayor que el doble de su ancho. Calcula las dimensiones de la pista si se sabe que su area es de 6000 m 2 • 6. En la figura se muestra la seccion del terraplen de una autopista. La altura del terraplen es de x metros y su anchura en su parte alta es de 100 m. Obten: 100m

·· ·•

tg a. = 1

x •

a.

a.

a) Una f6rmula para el volumen de tierra que se requerira para construir una secci6n recta de 100 m de la autopista, en metros cubicos. b) l. Cual es la altura del terraplen si el area de su seccion es de 525 m 2 ? c) l.Que cantidad de viajes se requerira hacer para construir el tramo de 100 m, si cad a cami6n transporta 10 m 3 de tierra? 7. Rodolfo acostumbra subir corriendo dos escaleras electricas de 20 m de longitud cada una, desplazandose la primera hacia arriba y la segunda hacia 110,--------------------------------------


abajo, en 15 segundos. Si se mantuviese quieto en una de las escaleras, en 20 segundos se encontrarfa en el otro extremo de ella. Cuando las escaleras no funcionan, len cwinto tiempo subini por elIas? 8. El siguiente problema fue descubierto en los escritos del matematico hindu Mahavira (c. 850): 9. La cuarta parte de un hato de camellos fue vista en el bosque, el doble de la rafz cuadrada del total de camellos del hato se fue a las laderas de la montana, y tres veces cinco carnell os fueron vistos en la orilla de un rio. GCual es la medida numerica del hato de camellos? 10. Una escalera de 13 metros de longitud, esta recostada contra una pared. La base de la escalera se encuentra a 5 metros del muro. l Cuanto habrfa que desplazar la base de la escalera para que la punta superior de la misma se desplazase hacia abajo la misma distancia? 11. El ingenioso Heberto ha disenado su bicic1eta con ruedas de distinto diametro, de forma que la delantera mide 40 cm menos que Ia trasera en su circunferencia exterior. Al dar un paseo en bici se da cuenta que por cad a 12 m de recorrido, la rueda delantera da 5 vueltas mas que Ia trasera. GCuMes son los diametros de cada rued a? 12. Un rectangulo con un area de 12 cm2 se inscribe en un triangulo rectangul0, como se muestra en la figura. GCuales son sus dimensiones?

T 6em

r--_X _ _-"..

1

y

8em ------;

Algebra

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13. El peso de un objeto varia inversamente con el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Al nivel del mar (6400 km del centro de la Tierra) un astronauta pesa 100 kg. Calcula el peso del astronauta en un vehiculo espacial a 200 km de la superficie terrestre. 14. Un cultivador de naranjas se da cuenta de que obtiene una produccion promedio de 40 costales por arbol cuando planta 200 de ellos en una hectarea de terreno. Cada vez que afiade diez arboles ala hectarea, la produccion por arbol desciende en un costal a causa del congestionamiento. (, Cuantos arboles por hectarea deberia plantar para optimizar la produccion? 15. Un consejo municipal utiliza 200 m de valla para cercar un parque destinado a los ciudadanos minusvalidos. El parque sera adyacente a un centro comunitario y tendra dos areas rectangulares conectadas por un puente que atraviesa a un arroyo que se encuentra a 10 m del edificio. El area adyacente al centro comunitario puede tener una longitud no mayor a la del edificio, que es de 75 m, pero el area a 10 largo del arroyo puede tener cualqll:ier dimension. Junto al rio no se pondra ninguna valla. (, Cual es el area maxima que pueden cercar? UNIDAD 5

Sistemas de ecuaciones 1. Entre 1993 y 1997 el numero de reproductores de discos compactos vendidos cada ano en cierto pais fue creciendo, y el numero de tornamesas fue decreciendo. Dos modelos para calcular las ventas. son los siguientes: a) Reproductores de discos compactos: Sd

= -1700 + 496t

b) Tornamesas:

St = 1972 - 8 t

en donde Sd y St representan las ventas anuales, en miles de unidades, de reproductores de discos compactos y tornamesas, respectivamente, y t representa el ano calendario, con t = 3 correspondiente a 1993. Segun estos modelos, (,cuando se esperarfa que las ventas de reproductores de discos compactos rebasanlll a las de tornamesas?

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2. En 10 kg de una aleaci6n hay 3 kg de zinc, 2 kg de cobre y 5 kg de plomo. En 20 kg de una segunda aleaci6n hay 12 kg de zinc, 5 kg de cobre y 3 kg de plomo, mientras que en 10 kg de una tercera aleaci6n hay 8 kg de zinc, 6 kg de cobre y 6 kg de plomo. l Cuantos kilogramos de cad a aleaci6n tendran que combinarse para obtener una aleaci6n que por cada 34 kg de zinc, contenga 17 kg de cobre y 19 kg de plomo? 3. Supongamos que te ofrecen dos trabajos diferentes para vender material a dentistas. Una compania te ofrece una comisi6n simple del 6% sobre ventas; la otra te ofrece un salario de $250 por semana mas 30/0 sobre ventas. l,Cuanto tendrfas que vender en una semana para que la comisi6n simple sea mejor? 4. Un avi6n que vuela con viento de frente recorre los 1800 ki16metros entre dos ciudades, en 3 horas 36 minutos; en el vuelo de regreso, recorre la misma distancia en 3 horas. Halla la velocidad del avi6n y la velocidad del viento, suponiendo que ambas permanecen constantes. 5. Se obtienen 10 litros de una soluci6n acida a1300/0, al mezc1ar una soluci6n al 200/0 con otra al 50 % • l Cuanto se us6 de cada una? 6. Un rectangulo tiene 92 cm de perimetro y su diagonal mide 34 cm. Halla sus lad os. 7. La hipotenusa de un triangulo rectangulo mide 19.5 m. Si la longitud de cada cateto aumentara 4.5 m, la hipotenusa aumentarfa 6 m. Halla los catetos del triangulo primitivo. 8. Un jardin de flores rectangular tiene 504 cm2 de area y esta rodeado por un camino de 3 m de ancho. EI area del camino es 312 m2 • Halla las dimensiones (longitud y anchura) del jardin. 9. Una pieza rectangular de cart6n tiene 120 cm2 de area. Al cortar un cuadrado de 2 cm de lado en cada una de las esquinas y doblar los lados hacia arriba se forma una caja abierta de 96 cm3 de volumen. Halla las dimensiones (largo y ancho) del cart6n inicial. 10. Un alambre de 120 cm de largo se dobla en forma de triangulo rectangulo cuya hipotenusa mide 51 cm. Encuentra la longitud de cada cateto del triangulo. 11. Dos hombres parten de un punto y caminan formando un angulo recto. La velocidad de uno es 1 km por hora mayor que la del otro. Despues de Algebra

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una hora, la distancia entre ellos es de 5 km. Encuentra la velocidad de cada hombre. 12. Encuentra el valor de k para que la gnHica de y == 2x + k toque, pero no cruce (sea tangente) ala gnlfica de la parabola y == x 2 + 1. UNIDAD 6

Funciones polinomiales y racionales 1. Encuentra el valor de k para el cual x - 3 es un factor de k x 3 - 6x 2 + 2k x - 12.

2. Encuentra el valor de k tal que -2 es una raiz de 3 x 3 + 5x2 + k x - 10 == O. 3. De un cuba se recorta una rebanada de 1 cm de grosor de uno de sus lados. ~ Cual sera la longitud dellado del cuba original si el volumen del cuerpo restante es de 180 cm3 ? 4. Demuestra que el binomio x - c es un factor de p(x) y resuelve la ecuaci6n

p(x) == 0 p(x) == X4 + 4x 3 + 3x2 - 4x - 4; x + 2 p(x) == x4 - 8x 3 + 7x 2 + 72x -144; x - 4

5. Encuentra un polinomio p(x), de grado 3, cuyos ceros son - 2,2 Y 3, y, ademas, p(1) == 18. 6. Cuando x 2 + 5x - 2 se divide entre x + n el residua es - 8. Determina to-

dos los valores posibles de n (utiliza la divisi6n sintetica). 7. Determina d tal que x + 6 sea un factor de x4 + 4x3 21x2 + dx + 108 (utiliza la divisi6n sintetic~ 8. Obten el valor de k tal que x + 2 sea un factor de x3 - kx 2 + 2x + 7 k. 9. Un silo tiene la forma de un cilindro circular recto can una semiesfera unida en la parte superior. Si la altura total de la estructura es de 30 unidades de longitud, encuentra el radio del cilindro que resulte en un volumen total de 1 008 1[ unidades cubicas.

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10. Segun la Ley de Gravitaci6n de Newton, l,c6mo varia la fuerza de atracci6n entre dos objetos si cada una de sus mas as se reduce ala mitad, pero se duplica la distancia entre ellos? 11. La ley del gas ideal sefiala que el volumen V que ocupa un gas es directamente proporcional al producto del numero n de moles de gas y la temperatura absoluta T,. e inversamente proporcional a la presi6n P, medida en atm6sferas. Expresa V en terminos de n, T, P Y una constante de proporcionalidad. l, Cual es el efecto en el volumen si la cantidad de moles se duplica y tanto la temperatura como la presi6n se reducen a la mitad? 12. La distancia entre dos poblaciones P y Q es de x kil6metros. Si ttl conduces un autom6vil en direcci6n de P a Q a velocidad media de Vt km/h, y regresa de Q a P a velocidad media de V 2 km/h. l, Cual es tu velocidad promedio durante el viaje redondo? 13. Disefia un problema que pueda resolverse con la ecuaci6n

1 1 1 -+--=x x+l 3 Otros ejercicios 1. Si el aire presiona sobre cada centimetro cuadrado de superficie terrestre con la fuerza de un kilogramo aproximadamente, l,cuanto pesa el aire de toda la atm6sfera? 2. La vida de Diofanto. La historia ha conservado pocos rasgos biograficos de Diofanto, notable maternatico de la antigtiedad. Todo 10 que se conoce ace rca de el ha sido tornado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripci6n cornpuesta en forma de ejercicio matematico. Reproducimos esta inscripci6n: jCaminante! Aquf fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los numeros pueden mostrar, joh, milagro!, cuan larga fue su vida cuya sexta parte constituy6 su hermosa infancia. Habia transcurrido ademas una duodecima parte de su vida, cuando de vello cubri6se su barbilla y la septima parte de su existencia transcurri6 en un matrimonio esteril. Pas6 un quinquenio mas y Ie hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogenito que entreg6 su cuerpo, su herAlgebra

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mosa existencia, a la tierra, que dur6 tan s610 la mitad de la de su padre. Y con profunda pena descendi6 a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro alios al deceso de su hijo.

Dime cWlntos anos babfa vivido Diofanto cuando Ie lleg6 la muerte. 3. He aquf un antiguo ejercicio muy sencillo y facil de traducir al idioma del algebra. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentabase el jameIgo de su enojosa carga, a 10 que el mulo Ie dijo: "l,De que te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga serfa el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualara ala mia." l,Decidme, doctos matematicos, cuantos sacos llevaba el caballo, y cuantos el mulo?

4. Cuatro bermanos tienen 45 pesos. Si el dinero del primero es aumentado en 2 pesos, el del segundo reducido en 2 pesos, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce ala mitad, todos los bermanos tendran la misma cantidad de pesos. "Cuanto dinero tenfa cada uno? 5. En las obras de un matematico arabe del siglo XI hallamos el siguiente problema: A ambas orillas de un rio crecen dos palmeras, Ia una frente ala otra. La altura de una es de 30 codos, y la de la otra, de 20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la cop a de cad a palmera hay un pajaro. De subito los dos pajaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pajaros se lanzaron y a1canzaron el pez al mismo tiempo. l,A que distancia del tronco de la palmera mayor apareci6 el pez?

6. Pase usted manana por mi casa -dijo el viejo doctor a un conocido. Muy agradecido. Saldre manana a las tres. Quiza desee usted dar tambien un paseo. En este caso salga a la misma bora y nos encontraremos a la mitad del camino. Us ted olvida que soy ya viejo y ando tan s610 tres kil6metros por bora, en tanto que usted, jovenzuelo, cuando mas despacio va, bace 4 kil6metros por bora. No serfa ningun deli to que me concediera alguna ventaja. Tiene raz6n -contest6 el joven- . Como quiera que yo recorro un kil6metro a la bora mas que usted, Ie doy este kil6metro de ventaja, es decir, saldre de casa un cuarto de bora antes "Ie sera suficiente? Es usted muy amable- aprob6 al instante el anciano.

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El joven cumpli6 10 prometido y sali6 de su casa a las tres menos cuarto, marchando a 4 ki16metros por hora. El doctor sali6 a la calle a las tres en punto y anduvo a tres ki16metros por hora. Cuando se encontraron, el anciano dio la vuelta, yendo juntos a su domicilio. Tan s6lo cuando el joven regres6 a su casa comprendi6 que debido ala ventaja concedida tuvo que caminar, no el doble, sino el cuadruple de 10 que anduvo el doctor. l,A que distancia de la casa del doctor estaba la de su joven conocido? 7. Cuando marchaba a 10 largo de la linea del tranvfa observe que cada 12 minutos me alcanzaba uno de esos vehiculos, y cad a 4 minutos otro de ellos pasaba en direcci6n contraria. Tanto los vehfculos como yo nos desplazabamos con velocidad constante. l, Cada cuantos minutos salfan los tranvfas de las estaciones terminales? 8. Dos botes lIenos de cafe tienen la misma forma y estan hechos de la misrna hojalata. EI primero pesa 2 kg Y tiene 12 cm de altura; el segundo pesa 1 kg Y mide 9.5 cm de altura. l, CUeH es el peso neto del cafe en los dos botes? 9. A una velada asistieron 20 personas. Marfa bail6 con siete muchachos; Olga, con ocho; Vera, con nueve, y asf hasta llegar a Nina, que bail6 con todos ellos. l,Cuantos muchachos habfa en la velada? 10. Dos ciclistas corren por el vel6dromo a velocidades constantes. Al lIevar direcciones opuestas se encuentran cada 10 segundos; cuando van en la misma direcci6n, un ciclista alcanza al otro cada 170 segundos, l,cual es la velocidad que desarrolla cada ciclista si la longitud de la pista es de 170 m? 11. En una carrera de motocicletas, tres maquinas salieron simultaneamenteo La segunda hace 15 km por hora menos que la primera, y 3 km mas que la tercer a y llega a la meta 12 minutos despues que la primera y 3 minutos antes que la tercera. Durante el recorrido no se registraron paradas. Determinar: a) La distancia de la carrera, b) La velocidad de cada motocicleta y c) El tiempo empleado por cada maquina 12. Un autom6vil cubri6la distancia entre dos ciudades a 60 km por hora e hizo el viaje de regreso a 40 km por hora. l, Cual fue la velocidad media de su recorrido?

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13. Un hortelano vendi6 al primero de sus compradores la mitad de las manzanas de su jardfn mas media manzana; al segundo, la mitad de las restantes mas media; al tercero, la mitad de cuantas quedaron mas media, etc. El septimo comprador adquiri6 la mitad de las manzanas que quedaban mas media, agotando con ello la mercancfa. l., Cuantas manzanas tenfa el jardinero? 14. Dos lfneas ferreas se cruzan formando un angulo recto. Los trenes se acercan a gran velocidad hacia el cruce. Uno parte de cierta estaci6n situada a 40 km del cruce; el otro, de una estaci6n que dista 50 km del cruce. EI primero marcha a una velocidad de 800 m por minuto, el segundo a 600 m. l., Cuantos minutos transcurriran desde el momento de la partida para que las locomotoras se hallen ala menor distancia entre sf, y cual sera esa distancia? 15. Hallense tres numeros consecutivos en los que el cuadrado del numero del medio sea mayor en una unidad al producto de los dos restantes.

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Lecturas

Introducci6n En este material se cuenta con algunas lecturas sobre temas de matematicas. No se trata de un material de relleno, simplemente para introducir 0 motivar el estudio de ciertos temas. La comprensi6n de la matematica no se limita al conocimiento y adquisici6n de soltura en el uso de ciertos procedimientos, principalmente algebn~icos, tambien incluye la discusi6n de ideas y conceptos. La lectura te exige un esfuerzo que debes realizar si quieres lograr comprender su significado. Por ejemplo, la expresi6n "yo s610 se que no se nada" es atribuida a S6crates. Sin embargo, en la Apologia de S6crates 10 que se dice es "yo s6lo se que 10 que se es nada". (,Son equivalentes ambas expresiones? (,Puedes explicar sus diferencias de significado? posible que ten gas c0111pafieros que digan que ya entendieron algun tema de matematicas, digamos ecuaciones de segundo grado, de manera que si les dan una ecuaci6n no tienen dificultad para resolverIa, pero que si de 10 que se trata es leer un texto y a partir de el plantear una ecuaci6n que deben 119

resolver para responder 10 que se les pregunta, entonces no pueden hacerlo, pues no entienden c6mo se puede saber la ecuaci6n que sirve para 10 que dice el texto. Aqui se tiene un problema de comprensi6n de lectura y no porque el alumno no pueda darse una idea de 10 que dice el texto, sino porque el mismo se bloquea y no sabe leer. En este libro un problema se inicia con un texto y 10 primero que debes hacer cuando te enfrentes a uno es leer el enunciado y buscar darle un sentido y significado co he rente a la situaci6n planteada. No se trata de hacer complicada una lectura. Pero es que la comprensi6n de la lectura no es una actividad sencilla. Cuando decimos que una lectura nos permite descansar, hacer una pausa de nuestras actividades 0 deberes cotidianos, relajarnos, no es porque la lectura sea una actividad sin chiste y que aprende cualquier nino en los primeros anos de primaria al reconocer las Ietras del alfabeto y c6mo deben pronunciarse. Si nos sentimos bien luego de ·leer es porque nos interesa el tema que estamos leyendo y ya sabes que cuando realizamos alguna actividad que nos gusta, no nos pesa tanto el trabajo que debemos hacer para ello. Para leer un libro de matematicas necesitas al menos de lapiz y papel a un lado para realizar anotaciones, caiculos, dibujar figuras, 0 representaciones de 10 que se esta estudiando en ellibro. Para leer un articulo 0 ensayo, es recomendable tener a la mana un diccionario para consultar con facilidad las palabras de las que se desconoce su significado. Ser un buen lector es una habilidad que desarrollamos poco a poco. Cuando has leido un articulo y dices que 10 has comprendido, es porque eres capaz de senalar sus ideas principales sin recurrir a la simple cita textual y puedes identificar tus acuerdos y desacuerdos con el autor del texto. Discutir una lectura tambien permite desarrollar nuestra capacidad de comunicaci6n y argumentaci6n. No basta decir que ya entendimos algo, si no somos capaces de expresar y comunicar a otros esta comprensi6n no logramos el principio basico de una discusi6n: se logra convencer a los otros a partir de la elaboraci6n y exposici6n de argumentos coherentes y no por hablar mas tiempo, mas fuerte 0 por ocupar un puesto mas alto que los otros. Debemos saber comunic~r nuestras ideas, pero tambien escuchar cuidadosamente los argumentos de otros, tratando de entender 10 que nos estan diciendo, reflexionar en los argumentos que nos presentan y aceptarlos si nos parecen convincentes. 120,----------------------------------------


La lectura de un articulo y luego la discusi6n del mismo nos permite reflexionar el tema tratado y enriquecer la comprensi6n del mismo. La lectura es una actividad que realizamos constantemente, en los peri6dicos, en el cine, en la televisi6n, en internet y en los mensajes que recibimos de estos medios tan diversos siempre hay una dimensi6n matematica que no podemos ignorar. Si algo de 10 que lees llama tu atenci6n por la importancia que las matematicas tienen en su interpretacion, ya sea un fragmento de pelicula 0 de novela, una noticia 0 un reportaje, puedes elaborar un guion y organizar y conducir una discusi6n en la clase. Hay otra lectura en la que debes ser particularmente cuidadoso. Se trata de la lectura de un video. Si, un video tambien se lee. Como las demas actividades que te proponemos, el objetivo de que veas un video no es con fines puramente recreativos 0 de motivacion. Es para que aprendas algo mas de matematicas, especialmente su uso. De cada video hay preguntas que puedes responder despues de verlos. Estas preguntas pueden aparecer en el propio video, ser planteadas por tu profesor 0 por ti mismo. Una ventaja tecnologica es que si dispones del video como archivo de un disco compacto, tienes la oportunidad de poder verlo junto con todos con tus compafieros del grupo 0 s610 con tu equipo y puedes detenerlo para tomar notas, volver a ver una parte particularmente interesante y, desde Iuego, responder las preguntas.

LECTURAS 1. Etica y matematicas por John Allen Paulos Desde Plat6n a los fil6sofos contemporaneos, como John Rawls, pasando por Kant, los moralist as han sostenido la necesidad de un os principios impersonales de la moralidad. La matematica es a veces objeto de mofa por ser una materia impersonal, pero bien entendida, esta impersonalidad es un parte 10 que la hace tan litil, inc1uso en la etica, donde su invocaci6n ha podido parecer rara en principio. Entre otros, el gran filosofo judio-holandes del siglo XVII Spinoza nos dio un ejemplo de esto al escribir su obra c1asica Etica al estilo geometrico de los elementos de Euclides.

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Para empezar, un ejemplo deprimente muy a1ejado de los principios racionalistas y "teoremas" estoicos de Spinoza. Segun un informe del UNICEF de 1990, anualmente mueren nlillones de nifios de cosas tan poco graves como sarampi6n, tetanos, infecciones respiratorias 0 diarrea. Estas enfermedades se podrian evitar con una vacuna de 1.50 dolares, 1 dolar de antibi6ticos 0 10 centavos de sales hidratantes por via oral. El UNICEF estima que bastarian 2 500 millones de dolares para salvar las vidas de Ja mayoria de esos nifios y mejorar la salud de muchisimos mas. Esta cantidad equivale al presupuesto anual de publicidad de las compafifas tabaqueras norteamericanas (cuyos productos, por cierto, matan casi 400 000 norteamericanos cada afio, mas que los que murieron en toda la segunda guerra mundial), al gasto mensual de los sovieticos en vodka 0, mas grave aun, a casi el 20/0 del gasto anual en armamento del propio Tercer Mundo. Ademas, si se proporcionaran medios para el control de la natalidad a aquellas mujeres que 10 desearan -una estimaci6n conservadora da aproximadamente 500 millones- haria disminuir el crecimiento de 1a poblacion en un 30% con 10 que la carga financiera que representan los anteriores cambios presupuestarios seria mas llevadera. La planificacion familiar junto con 1a garantia de supervivencia de sus hijos comportaria un nuevo recorte de la tasa de crecimiento de la poblaci6n, pues esta es mayor en aquellos paises con una gran tasa de mortalidad infantil. La aritmetica no es complicada, pero resulta esencial para ver la situaci6n desde una buena perspectiva. La gente siente a menudo aversion a asignar valores numericos a las vidas humanas 0 a explicitar determinadas transacciones. Sopesar el coste de la sanidad 0 el precio del impacto sobre el medio ambiente es siempre una tarea desagradable. A veces, sin embargo, no ser cuantitativo es un modo de falsa piedad que no puede sino oscurecer, y por tanto complicar, las decisiones que nos vemos obligados a tomar. Es ahi donde pueden jugar un papel importante la teoria de la probabilidad y la investigacion operacional. Otras veces, me atreverfa a afiadir, la aritmetica economica apropiada es mas cantoriana (tanto en el sentido biblico como en el de la teoria de conjuntos infinitos); esto es, cuando cada vida tiene un valor infinito yes, por tanto, tan valiosa como la suma de cualquier conjunto de vidas tambien infinitamente valiosas, exactamente igual que ~ 0' el primer numero cardinal transfinito de Can tor, que es igual a ~ 0 + ~ 0 + ... + X o· La necesidad de compromiso no siempre se aprecia en toda su importancia, a pesar de que es algo bastante corriente. En vez de seguir discutiendo sobre ella pondre un par de "aplicaciones" no estandar de la matematica en 122----------------------------------------


el campo de la etica. El primero es de naturaleza matematica s6lo en un sentido amplio, pero uno de mis prop6sitos es ampliar la concepci6n popular de la matematica. Supongamos que una sociedad ha de tomar una decisi6n politica importante y que decidirse positivamente implica asumir un gran riesgo en el futuro. Si se adopta, esa politic a implicara inicialmente cierto trastorno -gente que cambia de residencia, much a inversi6n en construcci6n, formaci6n de nuevas organizaciones, ... - pero comportanl un aumento del nivel de vida durante 200 0 300 afios por 10 menos. En un cierto momento posterior hay, sin embargo, una gran catastrofe, directamente atribuible a la adopci6n de la politica de riesgo, en la que mueren 50 millones de personas. (La decisi6n podria estar relacionada con el almacenamiento de residuos radiactivos.) Ahora bien, como ha indicado el fi16sofo ingles Derk Parfit, se podrfa decir que la decisi6n de adoptar la politica de riesgo no fue mala para nadie. La decisi6n no fue mala, en efecto, para las personas que vieron incrementado su nivel de vida en los siglos anteriores a la catastrofe. Es mas, tampoco fue mala para las personas que murieron en la catastrofe, pues eUos, esos mismos que murieron, no hubieran nacido de no haberse tom ado la decisi6n de seguir la politica de riesgo. Esta, recordemoslo, provoc6 inicialmente cierto trastorno y la consiguiente alteraci6n del momenta en que las parejas existentes concibieron a sus hijos (y a ella deben estos su ser) y tambien, debido a que se reuni6 a diferentes personas que se aparejaron y fueron padres (y de ahf el ser de sus hijos). Con el paso de los siglos, estas diferencias se multiplicaron yes razonable suponer que nadie que vivi6 el dia de la catastrofe habrfa nacido si no se hubiera adoptado la polftica de riesgo en cuesti6n. Las personas que mueran, repitamoslo, deberan su existencia a la toma de esa decisi6n. Tenemos, pues, un ejemplo de decisi6n, tomar el camino del riesgo, que parece ser claramente mala -conduce a la muerte de 50 miUones de personas- y sin embargo, no es mala (discutiblemente) para nadie. Lo que nos hace falta es algun 0 algunos principios morales a cuya luz se pueda rechazar la politica de riesgo. Un candidato a esta categorfa es el principio utilitarista del fil6sofo del siglo XIX Jeremy Bentham: "EI mayor bien para el mayor nUlnero." Sin emAlgebra

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bargo, el principio solo es esquematico y una interpretacion precis a del mismo, que permitiera crear una especie de "calculo moral" es algo que gracias a Dios, los filosofos morales no han logrado todavia. Kant y otros pensaban que cualquier principio moral deberfa ser universal, algo que fuera uti1 en abstracto, pero que no sirviera demasiado al pasar a los detalles. En vez de entretenerme con la inmensa literatura relativa a estos y otros enfoques de la etica, introducire aqui un fragmento cuasimatematico que resultara ilustrativo independientemente de cual sea nuestro enfoque de los principios eticos. Formulado originalmente en terminos de presos, el dilema del preso es de una generalidad dificilmente sobreestimable. Supongamos que dos hombres que son sospechosos de un delito importante son detenidos mientras cometen una falta menor. Son separados e interrogados, y a cada uno se Ie da la posibilidad de confesar el delito importante, implicando con ello a su complice, o permanecer callado. Si ambos permanecen en silencio, les caera un ano de prision a cada uno. Si uno confiesa y el otro no, el que confiesa sera recompensado con la libertad, mientras que al otro Ie caera una condena de cinco anos. Si ambos confiesan, puede esperar que les caigan tres anos de cclrcel. La opcion cooperativa es permanecer callado, mientras que la individual es confesar. El dilema consiste en saber que es 10 mejor para ambos en conjunto. Dado que permanecer callados y pasar un ano en prision deja a cada uno de ellos en manos de la peor de las posibilidades, pecar de incauto y que Ie caiga una con dena de cinco afios, 10 mas probable es que ambos confiesen y que cada uno pase tres afios en la carcel. La gracia del dilema no es, naturalmente, el interes que podamos tener en mejorar el sistema juridico-penal, sino el hecho de presentar el mismo esqueleto logico que muchas situaciones que hemos de afrontar en nuestra vida cotidiana. Tanto si somos ejecutivos en un mercado competitivo, conyuges en un matrimonio 0 superpotencia en una carrera armamentista, nuestras opciones pueden formularse en terminos similares a los del dilema del preso. Aunque no siempre haya una respuesta correcta, generalmente las partes implicadas salen mejor paradas en conjunto si cad a una resiste la tentacion de traicionar a la otra y coopera con ella 0 Ie es leal. Si ambas partes persiguen exclusivamente su propio interes, el resultado es peor para ambas que si cooperan. La mann invisible de Adam Smith, encargada de que la busqueda del provecho particular comporte el bienestar colectivo, esta, al menos en estas situaciones, totalmente artritica. 124----------------------------------------


Las dos partes del dilema del preso pueden generalizar a circunstancias en las que participa mucha gente, donde cada individuo tiene la opcion de hacer una contribucion minuscula al bien comun u otra mucho mayor en beneficio propio. Este dilema del preso a muchas bandas es util para modelizar situaciones en las que esta en juego el valor economico de "intangibles" como el agua limpia, el aire 0 el espacio. Como en buena medida casi todas las transacciones sociales tienen en sf algun elemento del dilema del preso, el earacter de una sociedad queda reflejado en cuales son las transacciones que llevan a la cooperacion entre las partes y cuales no. Si los miembros de una "sociedad" concreta nunea se comportan cooperativamente, sus vidas seran probablemente, en palabras del fil6sofo ingles Thomas Hobbes, "solitarias, pobres, repugnantes, brutales y eortas". lEs conseeueneia de alguna teoria moral que uno elige la opcion cooperativa en situaciones del tipo del dilema del preso? Par 10 que yo se no. De hecho, se puede hacer una solida defensa de la opcion individualista, al menos algunas veces. Noes irracional ni inmoral defenderse a uno mismo. No hay ninguna teorfa etica establecida que obligue ni prohfba adoptar la opcion cooperativa, y 10 mismo ocurre con muehas otras aeciones, y esto me lleva a mi ultima observaeion. Cualquier teoria moral, convenientemente formalizada y cuantificada, esta sujeta a las limitaciones impuestas por el primer teorema de incompletitud de G6del, segun la cual todo sistema formal que sea 10 suficientemente complejo, ha de contener forzosamente enunciados de los que no se puede probar ni la verdad ni la falsedad. De aeuerdo con esto, tenemos una base teorica para la observacion racional de que siempre hara aetos que ni estan prohibidos ni estamos obligados a ellos por nuestros principios, independientemente de cuales sean estos 0 de que esten reforzados por nuestros propios temores, valores y compromisos idiosinerasieos. Esto podria tomarse como un argumento matematico en pro de la necesidad de la "etica de la situaci6n" y demuestra la insuficiencia de una aproximaci6n a la etica exclusivamente axiomatica.

2. Variables y pronombres por John Allen Paulos Una variable es una cantidad que puede tomar distintos valores, pero cuyo valor en una situaci6n dada es a menudo desconocido. Es 10 contrario de una cantidad constante. El numero de padres biol6gicos de una persona es una cantidad constante~ El numero de sus retofios en una variable. Algebra

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Sorprendentemente, no fue hasta finales del siglo XVI cuando al matematico frances Franc;ois Viete se Ie ocurri6 la idea, que retrospectivamente parece obvia, de usar letras para representar las variables (normalmente x, y y z para los numeros reales y n para los enteros). A pesar de las protestas de generaciones de estudiantes principiantes en algebra por la introducci6n de las variables, su uno no es mas abstracto que el de los pronombres, con los que guard an un fuerte parecido conceptual. (Los nombres, por el contrario, son los an,Hogos de las constantes.) Y al igual que los pronombres hacen la comunicaci6n mas facil y mas flexible, las variables nos permiten trabajar con una mayor generalidad que si limit amos nuestro discurso matematico a las constantes. Consideremos la frase siguiente. "En cierta ocasi6n alguien dio a su mujer algo que ella encontr6 tan desagradable que 10 tir6 al cuba de basura mas pr6ximo y nunca volvi6 a mencionarlo de buena gana a pesar de que de vez en cuando elle preguntaba por su paradero." Sin pronombre la misma frase seria muy farragosa: "En cierta ocasi6n esta persona dio a la mujer de esta misma persona una cosa, y la mujer de est a persona encontr6 esta cos as tan desagradable que la mujer de esta persona tir6 esta cos a al cuba de basura mas pr6ximo y nunca volvi6 a mencionar de buena gana esta cosa a esta persona, a pesar de que esta persona preguntaba de vez en cuando por el paradero de esta cosa a la mujer de esta persona." Si introducimos variables la frase recupera un poco su manejabilidad: x dio a y, mujer de x, un z e y encontr6 z tan desagradable que tir6 z al cuba de basura mas pr6ximo y nunca volvi6 a mencionar de buena gana z a x, aunque x de vez en cuando preguntaba a y por el paradero de z". Tenemos un ejemplo breve en el mandato a Oscar: "Ayuda a quien te ayude." Sin pronombres deberia decir: "Ayuda a Jorge, si Jorge ayuda a Oscar, ayuda a Pedro si Pedro ayuda a Oscar, ayuda a Marta si Marta ayuda a Oscar, ayuda a Juana si Juana ayuda a Oscar", etcetera. Dado que el uso de pronombres y todo 10 relacionado con ellos no representa un problema para casi nadie, parece pues que poca gente habria de tener dificultades con las variables. Sin embargo, en matematicas se imponen condiciones a las variables que frecuentemente nos permiten determinar su valor. Si x - y + 2(1 + 3x) = 31 e y = 3, podemos encontrar x. Son las tecnicas que se emplean para resolver estas ecuaciones y otras mas complicadas 10 que a menudo result a un enigma. En nuestro discurso cotidiano con los pronombres no hay ninguna situaci6n cuya analogia con el caso matematico 12


sea obvia, pero las novelas de misterio no son tan distintas del mismo como pudiera pensarse. Consideremos el siguiente ejemplo: quien quiera (el senor x 0 la senora x) que anulara las reservas de hotel de los invitados sabia que venfan a la celebraci6n, que llegarfan tarde y que si no tenfan una reserva a su nombre les causarfa molestias, a ellos y a sus huespedes. Si conocemos los principales personajes implicados en ello, l.podemos descubrir quien anul6las reservas (esto es, quien es igual a x)? Estoy convencido de que las tecnicas y aproximaciones que se emplean para aclarar y resolver pequenos dramas humanos como estos son por 10 menos tan complejos como las que se usan en matematicas. Un ultimo comentario editorial: algunos han argumentado que la naturaleza retorica de las matematicas nos aleja de nuestra humanidad yes, en cierto modo, incompatible con el espfritu de compasi6n. Sin embargo, como ya he sugerido en esta entrada y en otros lugares, ellenguaje que empleamos corrientemente contiene toda la abstracci6n de la matematica. EI "problema" de esta no es que sea abstracta, sino que demasiado a menudo su abstracci6n esta poco fundamentada, sin una base 16gica humana. En cuestiones de polftica social 0 toma de decisiones personales las matematicas pueden servir para determinar las consecuencias de nuestras hipotesis y valores, pero el origen de estos y aqueUas esta en nosotros (nosotros x), y no en divinidades matematicas.

3. Funciones par John Allen Paulos El concepto de funci6n es muy importante en matematicas, pues representa de una manera formal la idea de poner en correspondencia una cantidad con otra. EI mundo esta lleno de cosas que dependen de, son funcion de 0 estan asociadas a otras cosas (de hecho, se podrfa argumentar que el mundo consiste solo en tales relaciones), y nos enfrentamos al problema de establecer una notaci6n util. Para est a dependencia matematica. Los siguientes ejemplos sirven para ilustrar una notaci6n corriente. Las graficas y las tablas nos proporcionan otras maneras de indicar estas relaciones. Consideremos un pequeno taller que se dedica a fabricar sillas. Sus costos son 80 000 ptas. (para gastos de equipos, pongamos por caso) y 3 000 ptas. Por silla fabricada. Asf la relaci6n entre el costo total, T, y el numero de sillas fabricadas, x, viene dada por f6rmula T = 3 OOOx + 80 000. Si queremos recalcar Algebra

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que T depende de x, decimos que T es funci6n de x y denotamos simb6licamente esta asociaci6n por T [(x). Si se fabrican 10 sillas, el costa es 110000 ptas; si se fabrican 22, el costa sube hasta 146 000 ptas. La funci6n [es la regIa que asocia 110 000 a 10 y 146 000 a 22, 10 cual se indica escribiendo [(10) = 110000 Y[(22) = 146000. l,Cuanto es [(37)? La temperatura Celsius C se puede obtener a partir de la temperatura Fahrenheit F restando 32 a esta y multiplicando la diferencia por 5/9. En forma de ecuaci6n tenemos C 5/9 (F-32). Asi, unos frios 41 ° Fahrenheit se convierten en unos igualmente frios 5° Celsius, mientras que unos suaves 86° Fahrenheit se traducen en otros igualmente suaves 30° Celsius. Si sustituimos la temperatura Fahrenheit en est a f6rmula podemos encontrar siempre la temperatura Celsius correspondiente. Como antes, si 10 que queremos es recalcar que C depende de F, diremos que C es funci6n de F y denotaremos est a relaci6n por C = h(F). (Las gnlficas de esta funci6n y la anterior son lineas rectas.) La funci6n h es la regIa que asocia 5 a 41 y 30 a 86, y est a correspondencia se expresa simb6licamente escribiendo h( 41) = 5 y h(86) = 30. l,Cuanto es h(59)? 0 imagine que usted es un usurero que presta 100 ptas a alguien y Ie dice que la cantidad que Ie adeuda aumentanl en un 500/0 cada semana. Revisando las cuentas con sus socios, usted entiende que la cantidad, D, que Ie debe su amigo al cabo de n seman as es igual a 100*(1, 5)n, esto es, D = 100 (1, 5)n. Esta claro que Des una funci6n de n, cosa que indicamos por D =g(n) (0 mediante la grafica de la funci6n, una curva que crece exponencialmente). Esta claro que g(l) = 150, g(2) = 225 y g(3) = 337.50. (Si usted es benevolo y s610 aiiade los intereses a intervalos semanales, la grafica consistira en una sucesi6n de escalones crecientes exponencialmente.) Gratica de la cantidad debida, D como funci6n exponencial del tiempo de prestamo, N. P (pesos)

500

l

400

/

I

/

300

200

/

I

/'

100 ;"

0 ' - - - - - - - - - N (semanas) 2345678

128-------------------------------------


GrMica de cantidad debida si entre dos incrementos seman ales los intereses permanecen constantes P (pesos)

J

500

I

400

ri

300 200

!.J

(4, 506.25)

(3, 337.50)

(2,225)

100, (0,100) O.

N (seman as)

12345678

Considere el siguiente ejemplo extrafdo de la ffsica. Desde un tejado de 80 metros de altura sobre el suelo, se lanza una bola verticalmente hacia arri .. ba con una velocidad inicial de 20 metros por segundo. Conffe en la palabra de Newton y acepte que la altura A de la bola sobre el nivel del suelo viene dada por la formula donde t es el numero de segundos transcurridos desde el instante en que se lanzo la bola. Como la altura depende del tiempo, A es funcion de t y se escribe A = set). Si sustituimos t = 0 en la formula, confirmamos que en el instante inicial A = 80. Dos segundos mas tarde, t = 2, encontramos por sustitucion en la misma formula que A = 100. Por tanto s(O) = 80 Ys(2)=100. l,Cuanto es s(5)? l,Por que es menor que s(2)? Las funciones h, g y s anteriores son funciones lineal, exponencial y cuadratica, respectivamente, mientras que p(x) = 3tan(2 x) y r(x)= 7x 5 - 4x 3 + 2x2 + 11 se Haman, respectivamente, trigonometrica y polinonlica. Aunque las funciones no siempre estan definidas por formulas y ecuaciones, ni tienen por que indicar necesariamente relaciones entre numeros. Por ejemplo, si m(Elena) = rojo, m(Rebeca) = amarillo, m(Marta) = moreno, m(Jorge) = negro, m(Dorita) = dorado y m(Pedro) no esta definido, no es diffcil adivinar que m es la regIa que a cad a persona Ie asigna el color de su cabello y que Pedro es calvo. Asf pues, m(x) denota simplemente el color de cabello de x. Analogamente, p(x) se podrfa definir como el autor de x y q(x) podrfa ser la capital de estado mas proxima a x. En tal caso, p(Guerra y paz) =Tolstoi y q(Filadelfia) = Trenton, N. J. En los ejemplos expuestos, el numero de sill as fabricadas, la temperatura Fahrenheit, el numero de semanas hasta que se salda la deuda, el numero de segundos transcurridos desde que se lanza la bola y el nombre de la persona Algebra

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son 10 que se llama la variable independiente. El costo total, la temperatura Celsius, la cantidad adeudada, la altura de la bola y el color del cabello de la persona son 10 que se llama la variable dependiente. Una vez que se ha fijado el valor de la variable independiente, el de la variable dependiente queda totalmente determinado y se dice que esta es funci6n de aquella. Cuando tenemos cantidades que dependen de mas de una cantidad -esto es, cuando tratamos con funciones de mas de una variable- se usan variantes de la misma notaci6n. Si por ejemplo z = x 2 + y2, entonces cuando x = 2 Y y = 3 tenemos z = 13, Ysi queremos res altar la dependencia de z con respecto a x y y, escribimos z = [(x, y) y 13 = [(2,3). La notaci6n de la dependencia funcional es como una contabilidad, pero una contabilidad imprescindible. Nos permite expresar relaciones en forma abreviada. Gracias a ella podemos disponer facilmente de una buena parte de la flexibilidad y potencia del analisis matematico. [Respuestas a las preguntas:[(37) = 191 000; h(59) =15; s(5) en t = 21a bola esta subiendo yen t = 5, bajando]

=55 y s(2) =100;

4. Un pato a) Haz un informe de tu lectura de El pato Donald en el pais magico de las matematicas aplicando el enfoque profundo que se describe en el modelo PER. Puedes aplicar algunas tecnicas de lectura crftica al mensaje. Te conviene realizar algunas actividades de comprensi6n de Perkins. b) Escribe cinco aplicaciones de las matematicas en tu vida. c) l,Que es la raz6n aurea? d) l, Cuales son las condiciones para jugar a las matematicas? e) l,En que se us an las c6nicas? f) l, Que es el infini to? g) l, Que son las maternaticas? h) Escribe un parrafo con el episodio mas memorable de tu vida en tus (l,tormentosas?, l,apacibles?) relaciones con las matematicas. 130-------------------------------------


9. Aplica el modelo PER (prop6sito, estrategia, resultado) con respecto al aprendizaje que lograste en esta actividad.

5. Midiendo belleza Programa de video de la serie Mathsphere de la Encic10pedia Britanica. a) Haz un informe del video Midiendo belleza aplicando el enfoque profundo que se describe en el modelo PER. Puedes aplicar algunas tecnicas de lectura crftica al mensaje. Te conviene realizar algunas actividades de comprensi6n de Perkins. b) Responde las preguntas que se plante an a 10 largo del video. c) Sefiala la relaci6n que hay entre las situaciones que se presentan en el video y algunos de los problemas que has resuelto en el curso. d) Aplica el modelo PER con respecto al aprendizaje que lograste en esta actividad.

6. Ecuaciones simultaneas Programa de video de la Direcci6n General de Televisi6n Educativa. http:// ute.sep.gob.mx/vne/sep_tve/guias/emsad/mate_08.htm Gu£a de lectura audio visual a) Antes de ver el programa: Explica 0 define los conceptos siguientes a partir del conocimiento que tengas sobre el tema. l Que es una inc6gnita y que es una constante? l Cuciles son los metodos de resoluci6n para los problemas algebraicos?

b) Durante la observaci6n del programa: l Que imagen del programa te explica mejor la utilizaci6n de las ecuaciones simultaneas en la resoluci6n de los problemas? Descrfbela. Localiza el segmento que va de 00:22:40 a 00:33:59 y explica el procedimien to para determinar que metoda es el mas adecuado para al soluci6n de ecuaciones simultaneas. c) Despues de ver el programa: Enumera por pasos 16gicos el metoda para la resoluci6n de un problema. Reflexiona sobre los problemas reales que pueden ser resueltos por la Algebra

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aplicaci6n de las ecuaciones simultaneas. (,En que otras areas de conocimiento puedes aplicar estos metodos? Menciona ejemplos. d) Complemento de la Gufa de lectura audiovisual: (,C6mo se relacionan los casos que se presentan y resuelven en el programa con los problemas que se han resuelto en el curso? (,Que diferencias y semejanzas hay en los tratamientos que se dan a los problemas relacionados con las dietas? f) Aplica el modelo PER con respecto al aprendizaje que lograste en esta actividad.

7. Como resolverlo por George Polya Planteamiento de ecuaciones EI planteo de ecuaciones es como la traducci6n de un lenguaje a otro. Esta comparacion, usada por Newton en su Arithmetica Universalis, puede ayudar a aclarar la naturaleza de ciertas dificultades con que a menudo se encuentran tanto los estudiantes como los profesores. 1. Plantear una ecuaci6n significa expresar en sfmbolos matematicos una condici6n formulada con palabras; es una traducci6n de un lenguaje corriente allenguaje de las f6rmulas matematicas. Las dificultades que podemos tener al plantear ecuaciones son dificultades de traducci6n.

Para traducir una frase de ingles al frances se necesitan dos cosas. Tenemos que comprender primero totalmente la frase inglesa. Segundo, hemos de estar familiarizados con las formas de expresi6n peculiares de la lengua francesa. La situaci6n es muy semejante cuando tratamos de expresar en sfmbolos matematicos una condici6n propuesta en palabras. En primer lugar, hemos de comprender totalmente la condici6n. En segundo lugar, hemos de estar famiIi ariz ados con las formas de expresi6n matematica. Es relativamente facil traducir una frase inglesa en frances si puede traducirse palabra por palabra. Pero bay modismos ingleses que no pueden traducirse palabra por palabra en frances. Si nuestra frase contiene estos modismos, la traducci6n resulta diffcil; hemos de prestar menos atenci6n a las palabras individuales, y mas atenci6n al significado total; antes de traducir la frase hemos de reordenarla. 132----------------------------------------


Sucede de una forma muy parecida en el planteo de ecuaciones. En los casos faciles, la expresion verbal se divide casi automaticamente en partes sucesivas, cad a una de las cuales puede escribirse en seguida con simbolos matematicos. En los casos mas dificiles, la condicion tiene partes que no pueden traducirse inmediatamente en simbolos matematicos. En este caso hemos de prestar menos atencion a la afirmacion verbal, y concentrarnos mas sobre su significado. Antes de empezar a escribir formulas, hemos de volver a ordenar la condicion, teniendo a la vista mientras 10 hacemos los recursos de la notacion matematica. En todos los casos, faciles 0 dificiles, hemos de comprender la condicion, separar sus divers as partes, y preguntarnos: (,Puedes transcribirlas? En los casas faciles, logramos sin vacilacion dividir la condicion en partes que pueden escribirse mediante simbolos matematicos; en los casos dificiles, la division apropiada de la condicion es menos obvia. La explicacion anterior se tendria que volver a leer despues del estudio de los ejemplos siguientes. 2. Encontrar dos cantidades cuya suma sea 78 y cuyo producto sera 1 296. Dividamos la pagina mediante una linea vertical. Escribamos a un lade la expresion verbal dividida en partes adecuadas. Al otro lado, escribamos los signos algebraicos, enfrente de la parte correspondiente a la expresion verbal. El original esta a la izquierda; la traduccion, en sfmbolos, a la derecha. en castellano Encontrar dos cantidades cuya suma sea 78 y cuyo producto sea 1 296

en lenguaje algebraico X,Y

x+y 78 xy = 1296

En este caso la expresion verbal se divide casi automclticamente en partes sucesivas, cada una de las cuales puede escribirse inmediatamente con simbolos matematicos. 3. Encontrar la anchura y altura de un prisma recto de base cuadrada, siendo su volumen 63 centimetros cubicos y el area de su superficie 102 centimetros cuadrados.

Algebra

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i Cwiles son las incognitas? Ellado de la base, x, y la altura del prisma, y. iCuaIes son los datos? EI volumen 63 y el area 102.

i Cual es la condicion? EI prisma cuya base es un cuadrado de lado x y cuya altura es y ha de tener el volumen 63 y el area 102. Separemos las diversas partes de la condicion. Hay dos, una que se refiere al volumen y la otra al area. Apenas dudamos en dividir la condicion precisamente en estas dos partes; pero no podemos escribirlas inmediatamente. Tenemos que saber como calcular el volumen y las diversas partes del area. Sin embargo, si conocemos toda esta geometria, podemos facilmente replantear las dos partes de la condici6n de modo que la traducci6n en ecuaciones sea factible. Escribimos en ellado izquierdo de la pagina una expresion del problema reordenada y ampliada esencialmente, a punto para traducirla en lenguaje algebraico.

Encontrar el lado de la base y la altura de un prisma 1. El volumen viene dado. El area de la base, que es un cuadrado de lado x y la altura determinan el volumen, que es su producto. 2. El area de la superficie viene dada. La superficie consiste en dos cuadrados de lado x y en cuatro rectangulos, cada uno de base x y altura y la sum a de los cuales es el area

x

y

63 x2 y

ry= 63 102

4.xy 2x + 4xy =102 2

Trabajando bacia atf1is Si queremos comprender la conducta humana hemos de compararla con la conducta animal. Los animales tambien tienen problemas y resuelven problemas. La psicologfa experimental ha hecho progresos esenciales en las ultimas decadas al explorar las maneras de resolver problemas de varios animales. No 134----------------------------------------


9

Figura 1

podemos discutir aqui estas investigaciones, pero vamos a describir sucintamente un experimento simple e instructivo, y nuestra descripcion nos servini a modo de comentario sobre el metoda de analisis, 0 metoda de volver atras. 1. Tratemos de hallar la respuesta a la siguiente pregunta: leOmo podrfamos coger de un rio exactamente 6 cuartos de agua, si solo disponemos de dos recipientes, uno de 9 cuartos y otro de 4?

Observemos claramente las herramientas dadas con que hemos de trabajar los dos recipienteS.(lQue es "dadas"?) Imaginemos dos recipientes cilindricos que tienen igual base y cuyas alturas son como 9 es a 4, como en la figura 1. Si a 10 largo de la superficie lateral de cada recipiente hubiese una escala de lineas horizontales con la misma separacion, a partir de las cuales pudieramos decir la altura del nivel del agua, nuestro problema serfa senci110. Sin embargo, esta escala no existe y, por 10 tanto, est amos aun muy lejos de la solucion. No sabemos aun como medir exactamente 6 cuartos; pero lPodriamos medir alguna otra cosa? (Si no puedes resolver el problema, trata de resolver primero algun problema relacionado.) Hagamos algo; demos un as pequeiias vueltas. Podriamos 11enar el recipiente en toda su capacidad y vaciar 10 que pudieramos dentro del recipiente pequeno; entonces obtendrfamos 5 cuartos. lPodrfamos obtener tambien 6 cuartos? He aquf de nuevo los dos recipientes vacfos. Podrfamos tambien ... Estamos actuando como 10 hace la mayorfa de la gente al enfrentarse con este rompecabezas. Partimos de los dos recipientes vados, intentamos esto y aquello, vaciamos y 11enamos, y aunque no tengamos exito, volvemos a emAlgebra

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D

Figura 2

pezar e intentamos alguna otra cosa. Vamos hacia adelante, partiendo de la situaci6n inicial dada la situaci6n final deseada, de los datos a 10 desconocido. Accidentalmente, despues de muchos intentos podemos tener exito. 2. Pero la gente extraordinariamente capaz, 0 los que han tenido la suerte de aprender en sus clases de matematicas algo mas que simples operaciones de rutina, no gastan mucho tiempo en tales intentos, sino que dan media vuelta y empiezan a trabajar hacia atras. ",Que se nos pide que hagamos? (",eual es la inc6gnita?) Analicemos la situaci6n final hacia la cual tendemos, tan claramente como sea posible. Imaginemos que tenemos delante de nosotros el recipiente mayor, con exactamente los 6 cuartos dentro de el, y el recipiente pequeno vacio, como en la figura 2. (Partamos de 10 que se nos pide y supongamos que hemos encontrado ya 10 que buscamos, dice Pappus.) ",A partir de que situaci6n precedente podriamos obtener la situaci6n final deseada de la figura 2? (Investiguemos a partir de que antecedentes podria derivarse el resultado deseado, dice Pappus.) Podriamos llenar, por supuesto, el recipiente mayor a plena capacidad, es decir, hasta 9 cuartos. Pero entonces tendrfamos que ser capaces de verter en el exactamente 3 cuartos. Para ello ... jdebemos tener justamente un cuarto en el recipiente pequeno! Esta es la idea (ver figura 3).

9

[Jl Figura 3 136--------------------------------------


~1 Figura 4

(EI paso que hemos dado no es nada facil. Poeas personas son eapaees de realizarlo sin much as vaeilaeiones. De heeho, al reeonoeer la importaneia de este paso, prevemos un esquema de la soluci6n siguiente.) Pero (,e6mo podemos a1canzar la situaci6n que acabamos de eneontrar, ilustrada por la figura 3? (Busquemos de nuevo eual podria ser el anteeedente de este anteeedente.) Como la cantidad de agua en el rio es, para nuestro prop6sito, ilimitada, la situaci6n de la figura 3 viene a ser 10 mismo que la siguiente, de la figura 4, 0 la siguiente, de la figura 5.

Figura 5

Es faeil reeonoeer que si se obtiene eualquiera de las situaciones de las figuras 3, 4, 5, puede obtenerse igualmente bien eualquiera otra, pero no es faeil aeertar con la figura 5, a no ser que la hayamos visto antes, por azar, en alguno de nuestros intentos iniciales. Al jugar con nuestros dos reeipientes, podemos haber heeho algo similar, y reeordar ahora, en el momento adecuado, que la situaci6n de la figura 5 puede surgir tal como 10 sugiere la figura 6: llenamos del todo el recipiente mayor y vertemos cuatro cuartos en el recipiente menor y luego en el rio, dos veees eonseeutivas. Llegamos eventualmente

Figura 6

Algebra

137

sobre algo que ya conocfamos (est as son las palabras de Pappus) y, siguiendo el metodo del analisis, trabajando hacia atras, hemos descubierto la sucesion apropiada de las operaciones. Es cierto, hem os descubierto la sucesion apropiada en orden inverso, pero todo 10 que nos falta hacer es invertir el proceso y partir del punto que hemos alcanzado en ultimo lugar en el analisis (como dice Pappus). Realizamos primero las operaciones sugeridas por la figura 6 y obtenemos la figura 5; entoncespasamos a la figura 4, luego a la figura 3 y, finalmente, a la figura 2. Siguiendo nuestros casos, logramos finalmente derivar 10 que se nos pedia. 3. La tradicion griega atribuye a Platon el descubrimiento del metodo de analisis. Puede ser que la tradicion no sea del todo digna de confianza, pero, en cualquier caso, si el metoda no fue inventado por Platon, algun letrado griego creyo necesario atribuir su invencion al genio filosofico. Hay ciertamente en el metoda algo que no es superficial. Hay una cierta dificultad psicologica en dar media vuelta, en alejarse de la meta, trabajar hacia atras, en seguir el camino directo hacia el fin deseado. Cuando descubrimos la sucesion de las operaciones apropiadas, nuestra mente ha de proceder segun un orden que es exactamente el inverso de la realizacion en sf. Hay una cierta c1ase de repugnancia psicologica en esta inversion del orden, que puede impedir a un estudiante totalmente capaz comprender el metoda si no se Ie presenta cuidadosamente. Sin embargo, no se necesita un genio para resolver un problema concreto trabajando hacia atras; podemos hacerlo todo con un poco de sentido comun. Nos concentramos sobre el fin deseado, analizamos la posicion final en la que nos gustarfa encontrarnos. ~A partir de que posicion precedente podrfamos conseguir esta? Es natural que nos hagamos esta pregunta, y al preguntarnos esto vamos trabajando hacia atnis. Problemas muy primitivos pueden conducir naturalmente al trabajo hacia atras. Trabajar hacia atras es un procedimiento de sentido comun, al alcance de cualquiera, y apenas podemos dudar que no fuera practicado por algunos matematicos y no matematicos antes de Platon. Lo que algun letrado griego puede haber considerado como un logro digno del genio de Platon, es la formulacion del procedimiento de terminos generales, y puede calificarse como una operacion tipicamente util en la resoluci6n de problemas matematicos y no matematicos. 138--------------------------------------


4. Volvamos ahora al experimento psicol6gico, si la transici6n desde Plat6n a perros, gallos y chimpances no es demasiado abrupta. Una valla forma tres lados de un rectangul0, pero deja un cuarto lade abierto, como en la figura 7. Ponemos un perro a un lado de la valla, en el punto D, y algo de comida en el otro, en el punto F. EI problema es muy facil para el perro. Al principio puede esbozar el gesto de saltar directamente sobre la comida, pero entonces da rapidamente media vuelta, se lanza por ellado abierto de la valla y, corriendo sin vacilaci6n, a1canza la comida siguiendo una curva facil. A veces, sin embargo, y especialmente cuando los puntos D y F estan cerca el uno del otro, la soluci6n no es tan c6moda; el perro puede algun tiempo estar ladrando, rascando 0 saltando contra la valla, antes de "tener la brillante idea" (como diriamos) de dar la vuelta. Es interesante comparar la conducta de varios animales puestos en lugar del perro. El problema es muy facil para el chimpance y un nino de cuatro anos (para el cual un juguete puede ser un senuelo mas atractivo que la comida). EI problema, sin embargo, resulta sorprendentemente dificil para un gallo, que corre excitado arriba y abajo de la valla y puede pasar mucho tiempo antes de conseguir la comida, si es que la consigue. Pero, despues de mucho correr, puede lograrlo accidentalmente. F

o

Figura 7

5. No tendriamos que construir una gran teoria sobre un experimento tan simple como el que acabamos de describir esquematicamente. No obstante, seria indicado notar algunas analogias obvias, siempre que estemos preparados para volverlas a comprobar y evaluar. Lo que hacemos al resolver cualquier tipo de problema, es dar la vuelta a un obstaculo; el experimento tiene una especie de valor simb6lico. El gallo actu6 como las personas que resuelven su problema por chiripa, intentandolo una y otra vez y teniendo exito eventualmente, gracias a algun feliz accidente, sin una visi6n de las razones de su exito. El perro que rascaba y saltaba y ladraba antes de dar la vuelta, resolvi6 su problema tan bien como hicimos nosotros con los dos recipientes. Imaginar una escala que mostrara el nivel de agua en nuestros recipientes, fue una especie de rascado casi inutil, que mostr6 solamente que 10 que buscabamos estaba a mas profundidad bajo la Algebra

139

superficie. Primero intentamos tambien trabajar hacia adelante, y llegamos despues a la idea de volver atnls. EI perro, que despues de una breve inspeccion de la situacion, dio media vuelta y se lanzo fuera, nos da, de una manera cierta 0 equivocada, la impresion de una vision superior. No; no tenemos por que criticar al gallo por su zafiedad. Hay una cierta dificultad en dar la vuelta, en alejarnos de nuestra meta, en seguir sin ver continuamente nuestro objetivo, en no adoptar el camino directo hacia el fin deseado. Hay una analogfa obvia entre sus dificultades y nuestras dificultades.

8. Programaci6n lineal por John Allen Paulos La programacion lineal es un metoda para maximizar (0 minimizar) una cierta cantidad asegurando al mismo tiempo que se cumplen ciertas condiciones sobre otras cantidades. Generalmente estas condiciones son lineales (sus gnificas son lfneas rectas), de ahf el nombre de la disciplina: programacion lineal. Es una de las tecnicas mas titiles de la investigacion de operaciones, que es como se conoce el conjunto de instrumentos matematicos desarrollados despues de la segunda guerra mundial para mejorar el rendimiento de los sistemas economicos, industriales y militares, y desde entonces se ha convertido en un ingrediente habitual de los cursos de matematicas de las escuelas de formacion empresarial. En vez de seguir invocando inexpresivos terminos matematicos para aclarar su significado, 10 ilustraremos reflexionando sobre un simple calculo del punto muerto. Un pequeno taller fabrica sillas metalicas (0 artefactos si prefiere las formulaciones genericas). Sus costos son 5 000 pesos (en bienes de equipo, por ejemplo) y 187.5 pesos por cad a silla producida. Asf pues, el costa total t que tiene el taller viene dado por la formula t = 187.5x + 5 000, donde x es el ntimero de sillas producidas. Si suponemos ademas que el precio de venta de estas sillas es de 312.5 pesos la pieza, los ingresos tot ales R del taller vienen dados por la ecuacion R = 312.5x, donde x es el ntimero de sillas vendidas. Representando ambas ecuaciones sobre el mismo par de ejes coordenados, encontramos que se cortan en un punto en el cuallos costes y los ingresos son iguales. El punto muerto, 0 de beneficio cero, es el (40, 12500 pesos), de modo que si se vend en menos de 40 sillas, los costos superan los ingresos; si se venden mas, los ingresos superan los costos; y si se vend en exactamente 40 sillas, 140--------------------------------------


tanto los ingresos como los costos son 12500 pesos. Maximizar los beneficios en este caso se reduce a vender tantas sillas como sea posible. Para obtener algebraicamente el punto de beneficio cero, 40, se resta la ecuaci6n y = 187.5x + 5 000 de la y = 312.5x. La ecuaci6n resultante, 0 = 125x - 5 000, se resuelve facilmente y da x = 40.

(50,50)

Despues de este preliminar, consideremos el siguiente problema, que es un caso autentico de programaci6n lineal. Sin dejar las aplicaciones de la economia, supondremos que una empresa fabrica dos tipos de co1chones. Producir un co1ch6n caro cuesta 1200 pesos y se vende a 3 000 pesos, mientras que uno barato cuesta 500 pesos y se vende a 1 800 pesos. La compania no puede fabricar mas de 300 co1chones al mes y no puede gas tar mas de 250 000 pesos al mes en su producci6n. Si la compania ha de fabricar al menos 50 co1chones de cada tipo l,cuantos ha de fabricar de cada cIase para maximizar sus beneficios? Si llamamos x al numero de co1chones caros que la compania fabrica cada mes y y al de co1chones caros, podemos convertir las condiciones sobre x y y al de colchones caros, podemos convertir las condiciones sobre x e y del problema en: Algebra

141

x + y:$ 300;

x

~

50;

y

~

50; y

1 200x + 500 y:$ 250 000. La ultima desigualdad se debe a que si fabricar un co1chon caro cuesta 1 200 pesos, producir x costani 12 OOOx pesos; y anaiogamente, hacer y co1chones baratos costani SOOy pesos. Observese que estas condiciones se expresan como desigualdades lineales, cuyas gnificas son regiones del plano delimitadas por Ifneas rectas (0, en problemas mas complicados, por sus analogos en espacios de mas dimensiones). La cantidad que hay que maximizar es el beneficio, que en terminos de x y y vale P = 1 800 x + 1 300 y. Esto es asi porque el beneficia que se tiene por cada colchon caro es de 1 800 pesos (3 000 pesos -1 200 pesos), y por cada colchon barato 1 300 pesos (1 800 pesos -500 pesos), con 10 que x de las primeras dan un beneficio de 1800 x pesos, y y de los segundos dan 1 300y pesos. Una vez que tenemos el problema planteado as!, hay varias teenicas para hallar la solueion. Una es gnifica y consiste en encontrar los vertices y los lados de la region permitida -la parte del plano en la que son valid as todas las desigualdades- y luego probarlas para encontrar en eual de ellas se tiene el maximo beneficio. Con este metodo, y un poco de geometrfa analftica, descubrimos que la compania de colchones deberia fabricar 143 co1chones caros y 157 baratos al mes si quiere obtener el maximo beneficio. Otra teenica, llamada metoda simplex debida al matematico estadounidense George Danzig, desarrolla y formaliza esta estrategia geometriea de modo que una computadora pueda examinar rapidamente estos puntos en el easo de que haya mas de dos variables. El metoda simplex se ha usado durante mas de euarenta afios y ha ahorrado una cantidad enorme de tiempo y dinero. Sin embargo, si el problema de optimacion tiene varios miles de variables y desigualdades lineales, como ocurre por ejemplo al establecer el horario de unas lfneas aereas 0 las trayectorias de las llamadas telefonicas, la eomprobaeion puede ser un poco lenta, inc1uso para una computadora. Para estos casos existe un algoritmo, invent ado por Narenda Karmarkar, investigador de los AT&T Bell Laboratories, que a menudo es mas rapido en la determinacion del horario mas eficaz 0 la trayectoria mas corta. 142---------------------------------------


Cuando las condiciones no son lineales, los problemas son mucho mas dificiles de tratar. Me es grato informarles que los problemas de programacion no lineal frecuentemente colapsan las computadoras mas potentes.

Algebra

143

Autoevaluaciones .j"

t

"

Introduccion Ya sabemos de que se trata la autoevaluacion: comprobar uno mismo su avance en la adquisicion de conocimiento y habilidades. Y esto de la evaluacion no podia faltar en este material. La autoevaluacion no es algo que desconozcamos. Cuando aprendimos a andar en bicicleta 0 en patines no fue necesario que alguien nos dijera que ya 10 habiamos logrado. Cuando todavia nos caiamos y sufriamos uno que otro raspon, sabiamos dos cosas: una, todavia no lognibamos dominar el arte de andar sobre rued as y, la segunda, para lograrlo debiamos seguir practicando. Hay ocasiones en que nuestra autoevaluacion es complaciente. Encontramos motivos para justificar nuestras deficiencias y en lugar de trabajar para superarlas, nos paralizamos con la justificacion que damos. Tambien llega a ocurrir que en la escuela la autoevaluacion queda casi olvidada. Tal vez el saber que periodicamente debemos ser evaluados por nuestros profesores nos lleva a olvidarnos de la evaluacion propia. Pero si 10 145

que aprendemos en la escuela nos va a ser (itH para nuestras diversas actividades dentro y fuera de ella, la autoevaluacion es necesaria, pues de otra forma siempre estaremos esperando hasta que alguien nos diga que ya somos competentes en algo para atrevernos a usarlo. Lamentablemente esto pasa con cierta frecuencia en matematicas. Esperamos que el profesor nos diga no solo que ya dominamos un tern a sino ademas cuando podemos usarlo. En este material te proporcionamos por cada unidad un cuestionario para que te sirva como autoevaluacion. No es, desde luego, la (inica forma de autoevaluarte, t(i mismo puedes diseiiar otras. De este cuestionario se dan las respuestas para que las compares con las tuyas. Un as observaciones finales sobre estos cuestionarios: • No los desperdicies intentando trabajarlos antes de que hayas concluido el estudio de una unidad. • No resuelvas por partes cada cuestionario. Cuando decidas resolver uno de ellos es porque dispones del tiempo y condiciones necesarias para resolverlo completo. • No consultes la respuesta una por una, justo cuando acabas de resolver o responder 10 que se te pide, termina el cuestionario y luego compara los resultados. • Trata de no ser complaciente cuando encuentras errores en tus respuestas. No basta que digas que ya te diste cuenta de tus errores. Es necesario que sigas trabajando y confirmar al hacerlo 0 practicarlo que ya lograste adquirir los conocimientos 0 habilidades requeridas.

Autoevaluacion de la unidad 1 1. Escribe una explicacion acerca del orden en que deben realizarse las operaciones para alguien que 10 ignora. 2. Un microsegundo es una millonesima de segundo. Un nanosegundo es 10-9 segundo = 0.000000001 de segundo. l,Cuantos nanosegundos tiene un microsegundo? Un micromicrosegundo es 10-12 segundo. l,Cuantos micromicrosegundos tiene un nanosegundo?, l,y un microsegundo? 3. Representa las operaciones que se indican. Simplifica solo cuando se te pide .

• 146----------------------------------------


a) Toma el numero 6 y elevalo al cuadrado _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ b) Toma el numero -1 y elevalo al c) Multiplica las potencias (2) y (4) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ d) Toma el numero 3 y elevalo a la cuarta potencia _ _ _ _ _ _ __ e) Multiplica el resultado por -1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ f) Resta al producto (5) el producto (8) - - - - - - - - - - g) Simplifica, expresando el resultado como un numero e n t e r o - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Expresa algebraicamente las siguientes proposiciones: a) Toma un numero no determinado _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ b) Multiplicalo por -1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ c) Toma otro numero no determinado _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ d) Multiplicalo por -2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ e) Multiplica los product os (2) y (4) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ f) Multiplica el producto obtenido (5) por el cuadrado de un tercer numero

g) Ordena los factores, en caso necesario, y expresa el resultado en la forma mas compacta posible _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ h) Eleva todo el termino al cubo _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

Algebra

147

5. Escribe las expresiones siguientes usando s610 exponentes positivos.

14a-6

3b-3 5m-3

(2n)-4

6. Efectua las operaciones y simplifica los resultados.

(-3Z)5 =

(-3x 2 )(lOxy)(-7y) =

(_3z 3w)2 (_2 Z3 w 2 )3

7. Un grupo musical firm6 un contrato para grabar un disco por 1.2 millones de pesos y el15 % de los ingresos brutos por la venta de discos, casetes y DVD con los videoc1ips. El grupo 10 integran seis j6venes y sus ingresos se distribuyen en partes iguales. Los precios aI'publico son disco: $135, casete: $69 y DVD: $247. a) En el primer mes se vendieron 23 251 discos, 33892 casetes y 5179 DVD, el grupo recibini un total de: b) Si se vend en p discos, q casetes y r DVD, la f6rmula que da las ganancias del grupo es: c) En el caso del inciso a) a cada integrante Ie corresponde En el caso del inciso b) a cada integrante Ie corresponde

148--~---------------------------------


Autoevaluacion de la unidad 2 1. Escribe un ensayo breve sobre los algoritmos algebraicos.

2. Lo unico que se sabe de dos cantidades A y B es que: -A esta entre 13.5 y 13.7 -B esta entre 7.9 y 8.1 l,Entre que valores se encuentran los siguientes resultados?: c) AlB

b) AB

a) A+B

d) (A+B)/(A-B)

3. Escribe en el parentesis el termino que hace que cad a proposici6n sea verdadera. a) (a- 7) (a+ 7) = a2 -

(

)

c) (y+3) (y+ 7) = y2 + ( d) (3p-1) (3p+7)

= 9p2

) +21 +(

)+(

)

4. Dados dos cfrculos con el mismo centro, halla una expresi6n algebraica para el area de la parte sombreada. Simplifica la expresi6n tan to como sea posible.

Utiliza la expresi6n para obtener el area de la parte sombreada six = 10.125 5. La expresi6n x 2 - y2 representa la diferencia del-cuadrado de dos numer~s. Describe las expresiones siguientes de manera similar:

Algebra

149.

a) La expresi6n (x - y)2 representa: b) La expresi6n x 3 + y2 representa: c) La expresi6n (2x - 3y)2 representa: 6. Efectua las operaciones y simplifica las expresiones siguientes:

c)

(_2z 3w)2 = (- 3Zw2

f

7. Representa por medio de figuras las siguientes identidades algebraicas:

a) (x + 3) (x - 2) - x2 + X

-

6

b) (a - b )(2a - b) - 2a 2 - 3ab + b2

8. Si tenemos un cuadrado de lade 3x, su area es igual a (3x)2, es decir 9x2 . Si se duplica su lado el area sera: 9. Si tenemos un cuba de arista 2x, su volumen es igual a (2x)3, es decir 8x3 • Si se duplica su arista el volumen seni:

Autoevaluacion de la unidad 3 1. Escribe un ensayo breve sobre el modele lineal. Incluye por 10 menos un mapa conceptual.

150--------------------------------------


2. l,Cual es la diferencia entre una identidad y una igualdad? 3. Escribe en el parentesis ((1 termino que hace que cada proposicion sea verdadera. a) (a - 7) ( a + 7 ) = a2 -

(

)

c) (y + 3) (y + 7) = y2 + (

) + 21

d) (3p - 1) (3p + 7) = 9p2 + (

e)3p+18=3((

)+( )

»

)+(

) (3 + yz)

»((

g) 9 - p2 = (3 + (

h) 49m 6 - 64n 4 = ((

) - p)

)-(

»

4. Para cada una de los siguientes incisos, redacta un problema cuyo planteamien to conduzca a la ecuacion indicada.

a) 127.50x + 235

1000

b) 2(x - 35) = 330 c) 5x+125=3x+395

5. Valentina paso por el Auditorio Nacional de la Ciudad de Mexico, cuando los hombres salfan del espectaculo les grito: "iAdios esos cien gal antes mancebos!", enos Ie contestaron: "No somos cien, pues el doble de nosotros, mas la cuarta parte de nosotros, mas tu, Valentina, somos ese numero". Valentina se pregunto l,cuantos mancebos habra a la salida del espectaculo? 6. Un hombre de negocios separa al principio de cada ano $1 000000.00 para los gastos del ano y aumenta su capital en un tercio. Al cabo de tres anos tiene el doble de su capital. l, Cual era su capital inicial al empezar el primer ano? Algebra

151

7. Representa algebraicamente las expresiones siguientes: a) Un numero no determinado disminuido en 17. b) La diferencia de tres veces el cuadrado de un numero no determinado y 5 es once. c) Si m es un entero impar, el entero impar que Ie sigue es 8. Dos tinacos del mismo volumen se vacfan uniformemente, mediante Haves de diferente tamafio, de tal manera que uno de eHos queda vacfo en 5 horas en tanto que el otro requiere de 8 horas. a) 6Cual es la grafica y la ecuaci6n que corresponde a cada tinaco? Explica con palabras 10 que representa cada una de ellas. b) 6Cual es la pendien te de cada una? Explica el significado de la pendiente en terminos de la situaci6n. c) 6En que instante tiene uno de los tinacos el doble del agua que el otro?

Tiempo en horas

152--------------------------------------


Autoevaluacion de la unidad 4 1. Escribe un ensayo breve sobre el modelo cuadnitico. Incluye por 10 menos un mapa conceptual.

2. Calcula la altura h de un triangulo cuya area es 162 cm 2 y su base es (2h+3) cm. 3. Un cultivador de naranjas se da cuenta de que obtiene unaproducci6n promedio de 40 fanegas por arbol cuando planta 200 de ellos en una hectarea de terreno. Cada vez que aiiade diez arboles a la hectarea, la produccion por arbol desciende en una fanega a causa del congestionamiento. ~ Cuantos arboles por hectarea debera plantar para optimizar la produccion? 4. Escribe en el parentesis el termino que hace que cada proposicion sea verdadera: a) (a - 5b) (a + 5b) = a2 -

b) (2m3

n) (2m 3 + n)

c) (z - 8) (z + 9) =

Z2

(

(

+(

)

) - n2

) - 72

d) (3p - 5) (3p + 8) = 9p2 + (

)+(

e)14p+49=7«

)+(

»

»«

f) 4 - p2 = (2 + (

)

) -p)

) (8 + az 2 ) h) 81m B - 25n 6 =

«

) + 5n 3 )

«

)-(

»

5. Escribe las soluciones de cada ecuaci6n. Comprueba tus resultados. (x + 8) (x - 5) = 0

w 2 + 3w -18

=0

2x2 - 3x - 14

6. EI circulo A tiene 16 em de diametro y el eireulo B tiene tro.

Algebra

=0 24~~m

de diame-

153

La raz6n del radio del cfrculo B al radio del cfrculo A es: La raz6n del perimetro del cfrculo B al perimetro del circulo A es: La raz6n del area del cfrculo B al area del cfrculo A es: 7. EI subcomandante Rodolfo acostumbra subir y bajar corriendo dos escaleras electricas de 20 m de longitud cad a una, desplazandose una hacia arriba y otra hacia abajo, en 15 segundos. Si se mantuviese quieto en una de las escaleras, en 20 segundos se encontrarfa en el otro extremo de ella. Cuando las escaleras no funcionan, l.en cuanto tiempo subira y bajara por ellas? 8. La curva siguiente es una parabola:

a) l.CuaI es la ecuaci6n que corresponde a esta grafica? b) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema 'Dada la grafica de una parabola encuentra su ecuaci6n'. c) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema 'Dada la ecuaci6n de una parabola encuentra su vertice'. d) Traza sobre los mismos ejes la grafica de y = -1 500x - 4000. e) Encuentra los puntos de intersecci6n de ambas graficas. f) Traza sobre los 'mismos ejes la grafica de y = 200(x2 - 3x - 40). g) Encuentra los puntos de intersecci6n de la recta y est a parabola. 154---------------------------------------


Autoevaluacion de la unidad 5 1. Describe prolijamente dos estrategias de resolucion de problemas que hayas usado con provecho. 2. Supongamos que estas iniciando un pequeno negocio con una inversion inicial de $500. EI costo unitario del producto es de $21.60 y el precio de venta es de $34.10. l,Cuantas unidades debes vender para a1canzar el equilibrio? 3. Un industrial necesita obtener una mezcla de un acido alSOO/o. Tiene 10 litros de una solucion al 700/0, l,cuantos litros necesita de una solucion al 40% para conseguir la mezcla que necesita? 4. Encuentra el valor de k para que la grafica de y = 2x + k sea tangente a la circunferencia x 2 + y2 = 25. 5. Encuentra el valor de k para que la grafica de y = 2x + k toque, pero no cruce (sea tangente) ala grafica de la parabola y = x2 +1. 6. Escribe en el parentesis el termino que hace que cada proposicion sea verdadera. a) 8q + 18 = 2« c) 7Sxyz + Sy2 z 2 = (

)+(

»

)(ISx + yz)

»«

)-p)

7. Escribe las soluciones de cada sistema de ecuaciones. Comprueba tus resultados y grafica a) y = 3x 2 +6

y+x=1

Algebra

155

Y +

b)

1 x

7

2 y + 3x = 4

c)

0.2x2 - 0.3x = y+ 7 0.7x - 0.03x2 = 2y

d)

xy = 6 5x - 6y = 3

8. Yago, un carpintero, hace y vende x sillas en una semana, el costo de la madera que emplea en la fabricaci6n de cada silla es de 130 pesos, ademas gasta en la renta del local y otros costos fijos 1 500 pesos semanales. El precio de venta de cada silla es de 700 pesos semanales. Escribe una expresi6n algebraica que de, en funci6n del numero de sillas fabricadas y vendidas: a) Los costos totales y c de la semana. b) Los ingresos Yi de la semana. c) La ganancia Yg de la semana. d) Calcula el numero de sillas que debe producir y vender para obtener una ganancia de $20 000 0 mas en una semana. e) Calcula su ganancia por cad a peso invertido Guando produce y vende 12 sillas en una semana. 9. Las curvas siguientes son parabolas: a) lCual es la ecuaci6n que corresponde a cada grafica? b) Encuentra los puntos de intersecci6n de cada par de graficas. c) Traza sobre los mismos ejes la grafica de Y = -4x + 20. d) Encuentra los puntos de intersecci6n de esta recta con cada parabola. e) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema 'Dadas las gnHicas de una parabola y una recta encuentra exactamente sus puntos comunes'.

156-------------------------------------


Autoevaluacion de la unidad 6 1. lPara que sirven los teoremas del factor y del residuo?

2. Grafica y

= x3

3x2 -

X

+ 3.

3. La formula para obtener la resistencia equivalente ados resistencias en paralelo es:

a) Despeja Rl b) Si R( = 50 Y R2 = 100, determina Rl 4. Si un objeto se encuentra por encima de la superficie de la Tierra, su peso

varia inversamente con el cuadrado de la distancia del cuerpo al centro de la Tierra. Si una persona pesa 80 kg en la superficie terrestre, lcual sera su peso 2000 km arriba de la superficie? Suponga que el radio de la Tierra es de 6 500 km.

Algebra

157

5. Escribe las soluciones de cada uno de los siguientes problemas a) Comprueba que x 2 + 1 es un factor de f(x) = x 3 - 2x2 + x -2, l,Se puede deducir de ahi que f( -1) = 0 ? b) La velocidad del tren x es 14 km/h mas rapida que la del tren y. El tren x recorre 400 km en el mismo tren que el tren y recorre 330 km. Calcula la velocidad de cada uno de los trenes. 6. Lewis Carroll, autor dellibro Alicia en el Pais de las Maravillas, propone un problema cuyo enunciado es: Una limonada, tres sandwiches y siete bizcochos cues tan un chelin y dos peniques, mientras que una limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos valen 1 chelin y 5 peniques. Sabiendo que un chelin equivale a 12 peniques, hallar el precio de: a) una limonada, un sandwich y un bizcocho; b) dos limonadas, tres sandwiches y cinco bizcochos. 7. Tres maquinas limpiadoras A, B YC, trabajando juntas, realizan la limpieza de unos grandes almacenes en 8 horas. Si se estropea A, entonces B y C realizan el trabajo en 12 horas; pero si se estropean A y B, la maquina C realiza el trabajo en 18 horas. a) l,Cuanto tiempo tardan, por separado, en realizar el trabajo las maquinas A y B? b) Sabiendo que en una hora la maquina A limpia 72 m 2 de superficie, l,cual es la superficie total de los gran des almacenes? c) l, Cuantos m 2 limpia por hora cada una de las maquinas B y C? 8. Una compania de discos estima que podra vender siete mil aIbumes de una nueva versi6n de Don Giovanni de Mozart-Da Ponte a $450 cada album. Por cada reducci6n de $10 en el precio por album, calcula que vendera 200 albumes mas. A la compania cada album Ie cuesta $150 y sus costos fijos son de $200000.

158-------------------------------------


a) Calcula los costos, ingresos, ganancia y ganancia por peso invertido en los casos siguientes: Numero de incrementos de $10 en el precio por album Costos

Ingresos

Ganancia

Ganancia por cada peso invertido

0

1 2

3 4

b) Grafica la ganancia versus el numero de incrementos de $10 en el precio por album. c) Establece la f6rmula que da la ganancia por cada peso invertido en funcion del numero de incrementos. d) Traza la gnifica de la ganancia por cada peso invertido

Algebra

159

Autoevaluacion de la unidad 1 (Respuestas) 2. Un microsegundo tiene mil nanosegundos, es decir, 1*10 - 6 = 1 000*10 - 9 Un nanosegundo tiene mil micromicrosegundos, es decir, 1*10 - 9 = 1 000* 10 -12. Un microsegundo tiene un mi1l6n de micromicrosegundos, es decir, 1 *10 - 6 = 1 000 000*10 - 12

3. Representa las operaciones que se indican. Simplifica s6lo cuando se te pide. a) Toma el numero 6 y elevalo al cuadrado _ _ _ _--'6:<....2_ _ _ _ _ __ b) Toma el numero -1 y elevalo al cubo

-------~~----------

c) Multiplica las potencias (2) y (4)

62*(-1)3

4 _ _ _ _ _ _ ___ d) Toma el numero 3 y elevalo a la cuarta potencia _..;:;.3_

e) Multiplica el result ado por -1

(-1)* 34

f) Resta al producto (5) el producto (8)

62*(-1)3 - (-1)* 34

g) Simplifica, expresando el resultado como un numero entero

-36 - (-81)

= 45

4. Expresa algebraicamente las siguientes proposiciones:

a) Toma un numero no determinado _______--'x=-_ _ _ _ __ b) Multiplfcalo por -1

--------------------~~--------

c) Toma otro numero no determinado

y

------~----------

160------------------------


d) Multiplfcalo por -2

(-2)*y --------------------------------------

e) Multiplica los productos (2) y (4)

«-l)*x)( (-2)*y)

--------------~~~~~~~

f) Multiplica el producto obtenido (5) por el cuadrado de un tercer mlmero

------------~~~~~~~-

g) Ordena los factores, en caso necesario, y expresa el resultado en la forma mas compacta posible

--------------------------~-----------

h) Eleva todo el termino al cubo

(2xyz 2)3

----------------~--~--------

5. Escribe las expresiones siguientes usando s6lo exponentes positivos. 6 q2 =

p-3

6q2p 3

W -3 Z2

Z2

-

w3

14 a-6

14 b3

3b-3

3a 6

6. Efectua las operaciones y simplifica los resultados. 5

(-3 z) =-243z 5

7. a) En el primer mes se vendieron 23 251 discos, 33892 casetes y 5179 DVD, por 10 que el grupo recibira 1.2 millones de pesos mas 1 013 496.9 pesos, que corresponde al 150/0 de los ingresos brutos, es decir, un total de 2 2134 96.9 pesos. Algebra

161

b) Los ingresos que obtiene el grupo son yg = 1 200000 + 0.15(135p + 69q + 247r) . c) Los ingresos que obtiene cada integrante del grupo son

Yj =

1 200 000 + 0.15(135 P + 69 q + 247 r) 6

Autoevaluacion de la unidad 2 (Respuestas) 2. a) A + B estara entre 21.4 y 21.8 b) AB estara entre 106.65 y 110.97 c) AlB estara entre 1.67 Y1.73 d) (A+B)/(A-B) estara entre 3.69 y 4.04 3. Escribe en el parentesis el termino que hace que cada proposici6n sea verdadera. b) (m 2-3n) (m 2+3n) = ( m4)-9n 2 a) (a-7)(a+7)=a 2 - (49) c) (y+3) (y+ 7) = y2 + ( lOy) +21

d) (3p-1) (3p+7):::: 9p2 + (18p) + ( -7)

4. EI area de la parte sombreada es n[x2 - (x-4)2]:::: (8x-16) n. Si x::::10.125 , el area es 65 n.

5. a) La expresi6n (x - y)2 representa el cuadrado de la diferencia de dos numeros. b) La expresi6n x 3 + y2 representa la suma del cubo de un numero y el cuadrado de otro. c) La expresi6n (2x-3y)2 representa el cuadrado de la diferencia del doble de un numero Y el triple de otro. 6.

Efectua las operaciones y simplifica las expresiones siguientes: b)

a) (2pq) 7 (3p-2q-l)3

c)

=3456pq 4

162-----------------------------------


7. Representa por medio de figuras las siguientes identidades algebraicas: a) (x+3)(x-2) - x 2 + X

-

b) (a-b ) (2a-b ) - 2a2 - 3ab + b 2

6

x-2

a-

2

x

(a-b)b 3*x

b*b

b

3

3*2

2a-b

2a

b(2a-b) x*2

x

x

a-b x

b

2

A x 2 se Ie sum a 3x y se Ie restan 2x y 3*2, es decir x 2 + x - 6:

A 2a*a se Ie restan a*b y 2a*b y se Ie suma b*b, es decir, 2a 2 - 3ab + b 2

x

b I I I I

3

3*x :

b 3

I I I

-----------------r-----I

2a

x

x

x*2

a

x Algebra

163

8. Si tenemos un cuadrado de lado 3x, su area es igual a (3x)2, es decir 9x 2. Si se duplica su lado el area sera (2*3x)2 = 36x2 9. Si tenemos un cubo de arista 2x, su volumen es igual a (2x)3, es decir 8x 3. Si se duplica su arista el volumen sera (2*2x)3 = 64x 3.

Autoevaluacion de la unidad 3 (Respuestas) 2. iCual es la diferencia entre una identidad y una igualdad? Una identidad es una igualdad que se verifica para todos los valores de las variables, otro tipo de igualdad es la ecuaci6n que no se verifica para todos los valores de las variables. Un ejemplo de identidad es 2x + 3x = 5x, que se verifica para cualquier valor de x. Un ejemplo de ecuaci6n es 2x + 3 = 5, que s610 se verifica cuando x = 1. 3. Escribe en el parentesis el termino que hace que cada proposici6n sea verdadera.

a) (a - 7) (a + 7)

= a2 -

(49)

c) (y + 3) (y + 7) = y2 + (lOy) + 21

d) (3p -1) (3p + 7) = 9p2 + (18p) + (-7) e) 3p + 18 = 3«P) + (6))

f) 15yz + 5y2z 2 = (5yz) (3 + yz) g) 9 - p2

= (3 + (p )) «3 ) -

p)

5. 2x + ~ + 1 = 100, hay entonces 44 j6venes. 4

164------------------------------------


6. Su capital inicial, al empezar el primer ano, era de 11100000 pesos. As!, al final del primer afio tenia 13 800 000, del segundo 17 400 000 Y del tercero 22 200 000, que es el doble de su capital original. 7. Representa algebraicamente las expresiones siguientes: a) x -17 b) 3x2 5 c) m +2

11

8. Dos tinacos del mismo volumen se vadan uniformemente, mediante Haves de diferente tamano, de tal manera que uno de ellos queda vado en 5 horas en tanto que el otro requiere de 8 horas. a) Al tinaco que se vada en 5 horas Ie corresponde la gnlfica que contiene el punto (5,0) y la ecuaci6n Y = -100x + 500. La gnifica representa el proceso de vaciado del tinaco, cada punto del segmento de recta informa del tiempo transcurrido desde que comenz6 el proceso y el volumen de agua que hay en el tinaco en ese instante. EI proceso comienza con (0,500), es decir, cuando el tinaco contiene 500 litros y concluye con (5,0), es decir 5 horas despues, cuando el tinaco est a vado. Las parejas de numeros (x, -100x + 500) satisfacen la ecuaci6n y representan el tiempo x y el volumen de agua correspondiente durante el proceso de vaciado. Al tinaco que se vada en 8 horas Ie corresponde la grafica que contiene el punto (8,0) y la ecuaci6n Y= - 125 x + 500. 2

b) Las pendientes son -100 y -62.5 y representan el volumen de agua que sale de cada tinaco en una hora. c) Cuando han transcurrido 40 boras en el tinaco que se vada en 8 boras hay

Algebra

3 000 .

11

1 500

11 htros y en el otro hay 11

.

htros.

165

Autoevaluacion de la unidad 4 (Respuestas) 2. La altura del trhingulo es h = 12 cm. 3. Debe plantar 30 arboles por hectarea para que la produccion sea optima. As! se producirfan 9 000 fanegas. 4. Escribe en el parentesis el termino que hace que cada proposicion sea verdadera: a) (a

5b)(a+5b)=a 2 (25b 2 )

b) (2m 3 n) (2m 3 + n)

c)(z d) (3p

8)(z+9)

(4m 6 )

Z2+(Z)

5) (3p + 8)

n2

72

9p2 + (9p) + (-40)

e) 14p + 49 = 7 « 2p ) + ( 7 » f) 4 p2 = (2 + (p

»« 2 ) - p)

5. Escribe las soluciones de cada ecuacion. Comprueba tus resultados. (x + 8) (x - 5) = 0

w2 + 3w-18 = 0

2X2 -

3x - 14 = 0

6. La razon del radio del cfrculo B al radio del cfrculo A es 3 a 2. La razon del perimetro del cfrculo B al perimetro del cfrculo A es 3 a 2. La razon del area del cfrculo B al area del cfrculo A es 9 a 4.

166-----------------------------------


7. Si se supone que Rodolfo sube por las escaleras que suben y baja por las que bajan, entonces tarda 24 segundos en subirlas y bajarlas cuando las escaleras no funcionan. Si se supone que Rodolfo baja por las escaleras que suben y sube por las que bajan, entonces tarda 10.9 segundos en subirlas y bajarlas cuando las escaleras no funcionan. 8. a) La ecuaci6n que corresponde ala gnHica es y = 300x 2 + 900x

12000.

b) Un algoritmo para resolver el problema 'Dada la gnifica de una parabola encuentra su ecuaci6n': 1. Lee las coordenadas de tres puntos que pertenezcan a la grafica. 2. Sustituye cada pareja de coordenadas en la ecuaci6n y = ax 2 + bx + c, de tal manera que obtengas tres ecuaciones con tres inc6gnitas, a, b, y c. 3. Resuelve el sistema formado por las tres ecuaciones del punto 2. 4. Sustituye los valores de a, b y c que obtuviste en la ecuaci6n y = ax2 + bx + c.

c) Un algoritmo para resolver el problema 'Dada la ecuaci6n de una panibola encuentra su vertice': 1. Escribe la ecuaci6n en la forma y = ax2 + bx + c. 2. Encuentra las abscisas de los puntos de intersecci6n de la parabola con la recta y = c. 3. Ca1cula la abscisa del punto medio de las abscisas que obtuviste en el punto 2. 4. Sustituye la abscisa en y = ax 2 + bx + c para obtener la orden ada del vertice de la parabola.

d) Y f) Las graficas de y = -1 500x - 4 000, Y

= 200(x2 -

3x -40).

e) Las coordenadas de los puntos de intersecci6n de la parabola y la recta son aproximadamente (-10.5, 11 798) Y (2.5, -7798). g) Las coordenadas de los puntos de intersecci6n de la recta y la segunda parabola son aproximadamente (-7.3,6884) Y (2.8, -8 134).

Algebra

167

!\- ._,

:

'

,-

-- ,-.~- ++.'

..

10

'_7

-'

---r- -

.

,

!-r t:+-i:±±1- ..L+ ·t1r-i N+·!-+-t- - H-+I- xi

U;'~ -r;", ~_'~r~£:~'~= I= 'j~ = • • , '-'. ~~ r--

, " r---'-

.

"1-':

,'- .. -.

~- .

I- -

j

,

~.

:-f-

. ;

'

-i

_. -.., -l-I.JJI--

100

Autoevaluacion de la unidad 5 (Respuestas) 2. Se deben vender 40 unidades para alcanzar el equilibrio. 3. E1 industrial necesita 20 litros de la soluci6n de acido al 40 %

•

4. Hay dos valores de k S.Js, y - S.Js, que hacen la grafica de y = 2x + k tangente a la circunferencia x 2 + y2 = 25. 5. EI valor de k =0 hace que la gnifica de y = 2x + k toque, pero no cruce (sea tangente) ala gnHica de la parabola y = x 2 +1. 6. Escribe en el parentesis el termino que hace que cada proposici6n sea verdad era. a) 8q + 18 == 2«4q) + (9» b) 169 - p2 = (13 + (p »«13)-p) c) 75xyz + 5y2z2 = (5yz ) (15x' + yz)

d) 121m8 -9n 6 = «11 m 4 ) + 3n 3 )«11 m 4 )

-

(3n 3»

168--------------------------------------


b)

a)

c5 -351, 9 +251 )

-1 ±iP 6

x=--~

C 5 + 51,9-:j3i) 3

d)

c)

(3,2) (-2.4, -2.5)

Aproximadamen te (7.41, 1.75) (-4.39, -1.82)

j

Algebra

169

8.

a) Los costos totales Yc de la semana: Yc = 130x + 1 500 b) Los ingresos Yi de la semana: yi = 700x c) La ganancia Yg de la semana: Yg = 570x -1500 d) Para obtener una ganancia de $20 000 0 mas en una semana debe producir y vender por 10 menos 38 sillas. e) Cuando produce y vende 12 sillas en una semana su ganancia por cada peso invertido es de 1.75 pesos. 9.

a) La ecuaci6n que corresponde a cada grafica es: Yl = -(x + 7)(x - 9); Y2 = 3x2+ 14x - 5; Y3 = (x + 9)(x - 2) b) Los puntos de intersecci6n de cada par de graficas son: Entre Yl y Y2 (3,60.1) Y (-5.9, 16.2) Entre Yl y Y3 (5.2,46) Y (-7.7, -12.2) Entre Y2 YY3 no hay intersecci6n. c) Traza sobre los mismos ejes la grafica de Y = -4x+20. d) Encuentra los puntos de intersecci6n de esta recta con cad a parabola. Intersecciones con Yl (10.2, -20.8) Y (-4.2,36.8) Intersecciones con Y2 (1.2, 15.2) Y (-7.3, 49) Intersecciones con Y3 (2.8,9) Y (-13.8,74)

Autoevaluaci6n de la unidad 6 (Respuestas) 2. Grafica Y = x 3 - 3x2 -x + 3.

3.

a) Por 10 tanto RTR2 Rl = R 2- R T

b) Cuando R t vale 50 y R2 100, entonces Rl = 100. 170-----------------------------------

LIBRO PARA EL ESTUOIANTE

4. El peso de la persona a 2 000 km de la superficie es de 46.78 kg. 5.

b) Las velocidades de los trenes son y = 66; x

= 80

6.

a) una limonada, un sandwich y un bizcocho cues tan 8 peniques b) dos limonadas, tres sandwiches y cinco bizcochos cuestan 1 chelfn y 7 peniques. 7.

a) La maquina A tarda 24 horas y la maquina B tarda 36 horas. b) La superficie total de los grandes almacenes es 1 728 m2 c) La maquina B limpia 48 m 2 por hora y la maquina C limpia 96 m2 por hora. 8.

a) Los costos, ingresos, ganancia y ganancia por peso invertido en los casos siguientes son:

Numero de incrementos de $10 en el precio por album 0

Costos

7000*150 + 200 000 1250000

1 2

3

1900000

(7000 + 200)*150 + 200 000

(7000 + 200)*(450 -10) 1888000 3168000

(7 000 + 200(2))*150 +

(7000 + 200(2»*

200000 1310000

(450 - 10(2» 3182000

(7000 + 200(3»*150 + 200000 (7000+200(4»*150+ 200000 1370000

Algebra

7000*450 3150000

Ganancia Ganancia por cada peso invertido

1280000

1340000 4

Ingresos

(7000 + 200(3»*

1.52 1.475

1872000

1.429

1852000

1.382

(450 -10(3» 3192000 (7000 + 200(4))*

1828000

1.286

(450 - 10(4» 3198000

171

a) La formula que da la ganancia por cada peso invertido en funcion del numero de incrementos es: _(x 2 + 5x - 950) 5(3x + 125)

Y=

b) La gnHica de la ganancia por cada peso invertido:

t=tr-~ ~

I

~f ,__L

I! 1

-H-

-I

I

I

! I

H--I-I

I

AAy

1----

H- -+-2.0-

I

I

T r-- r---r-.--.--I- -i--tr-- -- ,. . . I --~ I ! I I A

I .1 I I

--:--

I

-~-- i-r-'~- !--

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-2000(x 2+5x - 950)/(7 000 + 200x)*150 + 200 000) ! __ ! I I I I" _ i ' '..l "I i r-tI ~-'--1.0 '-! I I I'~

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I

ii ,

, I 5.0

172----------------------------------------

I

tI

!

vi

l~'0J..lj


Algunas muestras de exam~nes ordinarios y extraordinarios Primer examen ordinario Ejemplo 1 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones debenin estar contenidas en las hojas del examen No se calificanin procedimientos en las hojas de preguntas Esta permitido el uso de la calculadora no programable Firmar todas las hoj as del examen EI resultado debe estar en tinta.

1. Si el cicIo lunar tarda en completarse 27.32 dias terrestres y la distancia de la Tierra al centro de la Luna es de 384 392 km. a) l,Que distancia en metros recorrera nuestro satelite al cabo de 40 dias? b) l, Que distancia recorrera en m al cabo de un ano?

2. Para fabricar un concreto con una resistencia de 250 kg/cm 2 se requiere mezcIar cemento, arena y grava a razon de 1:3:5 respectivamente, si se requieren 105 m3 de concreto l,Cuanto volumen de cad a material ~e requiere? 3. Debo $550 pago las 4/5 partes, luego pago las 3/11 partes de 10 que resta y posteriormente $52.50 l, Cuanto me falta por pagar? 4. Tres galgos arran can juntos en una carrera en un galgodromo de forma circular. EI primero tarda 10 segundos en dar la vuelta a la pista, el segundo 11 segundos y el tercero en 12 segundos .. a) l,Al cabo de cuantos segundos volveran a pasar juntos por la linea de salida? b) l,Cuantas vueltas habra dado cada uno en ese tiempo? 5. Simplifica la siguiente fraccion

l~ + ~J-l~ +(~ -~JJ --1 + 1_.-5 5

4 6

6. Jorge, Juan y Jose estaban poniendose de acuerdo para comprar un videojuego. Jorge contaba con 0.142857 del importe, mientras que Jose contaba con 45 centesimos del costa total. l, Que fraccion debe poner Jorge para completar el videojuego? Algebra

173

7. Filogonio desea comprar para navidad una autopista que en abril costaba $850 mas el IVA. Si la tasa de inflaci6n es de 1.50/0 mensual. lo Cuanto debera tener en diciembre al momenta de la compra? 8. Una pelota de hule cae de una altura de 20 m y rebota ascendiendo cad a vez tres cuartas partes del ascenso anterior. a) Calcula la altura de la pelota en el cuarto ascenso. b) Calcula la distancia recorrida por la pelota cuando pega en el suelo por cuarta vez. Ejemplo 2 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones deberan estar contenidas en las hojas del exam en No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas Esta permitido el uso de la ca1culadora no programable Firmar todas las hojas del examen El resultado debe estar en tinta 1. Resolver y expresar el resultado como fracci6n comun:

! +0.83 3 ~ [0.75 -

0.6]

1 2. Una bomba llena un taniue de agua en 4 2 horas y otra 10 hace en 4 horas. Si la primera trabaja 1 _ horas y la segunda 2 horas, loque fracci6n 2 del tan que queda vacfo? 3.Mi hermano compr6 un modular y 10 trat6 de vender 200/0 mas caro. A este precio Ie aplic6 un 20% de descuento para poder venderlo y al final perdi6 $136.00. loCuanto Ie cost6 el modular? 4. Ttes secretarias se reparten un total de hojas para mecanografiar. A una Ie corresponde ~ del total, a la segunda ~ de 10 que resta y a la tercera 18 hojas. loDe cuan?as hojas es el trabajo?

4

174------------------~-----------------


5. Realiza las operaciones y simplifica. Expresa el resultado como fracci6n con exponentes positivos.

3n5J2 (4m n2J m(m n m n -2

3

1

0

1

6. Los rayos solares llegan a la Tierra aproximadamente en 8' 6 minutos. Si la luz viaja a 3 x 105 km/s, ca1cula la distancia, en metros, de la Tierra al Sol (utilizar notaci6n cientifica). 7. Tres hermanos deben $ 15 600. El pago 10 hacen en raz6n 3:2 del mayor al mediano y 4:3 del mediano al menor. l Que cantidad Ie corresponde pagar a cad a uno? 8. Las edades de 3 personas suman 31 afios. Manuel tiene 7 afios menos que el doble de Raul y Alfredo tiene la tercera parte de la edad de Manuel. l Que edad tiene cad a uno? Ejemplo 3 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones debenin estar contenidas en las hojas del examen No se calificanin procedimientos en las hojas de preguntas Esta permitido el uso de la ca1culadora no programable Firmar todas las hojas del examen El resultado debe estar en tinta

1. Para llegar al anden de una estaci6n del metro se deben bajar tres tramos de escaleras, el primer tramo tiene 288 cm, el segundo tiene 336 cm, y el tercero 304 cm. Si todos los escalones son de la misma altura, lcuantos escalones tiene cada tramo de la escalera?

2. Al pagar en la caja, el precio de unos tenis resulta ser de $260. Ca1cula cuanto dinero te ahorraste, si tenfan un descuento del 350/0 . 3. Los numeros pentagonales son aquellos que se pueden representar por puntos en un arreglo pentagonal. En la figura se muestran los primeros cuatro numeros pentagonales. Algebra

175

GCual es el septimo numero pentagonal? Encuentra una f6rmula para el numero pentagonal n.

1

5

1

o 2

22

12

3

4. La luz viaja aproximadamente a 3 x 105 kilometros por segundo; esta tarda cerca de 500 segundos en llegar desde la Tierra hasta el Sol. GCual es la distancia aproximada del Sol a la Tierra? 5. En un CECYT, hay una poblaci6n de 2 100 alumnos que ingresan en este ciclo escolar, y se sabe que la razon profesor-alumno es de 1 a 35. Los padres de familia consideran que deben contratarse mas profesores para que la razon anterior sea de 1 es a 30. GCuantos profesores mas se necesitan para cubrir esta necesidad? 6. Considerando que el tamafio de los saltos de un tigre y de una gacela es identico, Gen cuanto tiempo el tigre aIcanzara a la gacela, si esta lleva una ventaja de 18 y 2/3 saltos, y las velocidades del tigre y de la gacela son de 3 y 112 saltos y 2 Y 113 saltos por segundo, respectivamente? 7. En un laboratorio se utilizola tercera parte del contenido de un frasco de cierta soluci6n, para practicas con alumnos de quinto semestre; el25% del contenido inicial del mismo frasco para practicas con alumnos de tercer semestre y dos septimas partes del total, para practicas con alumnos de primer semestre. GCuantos mililitros sobraron en el frasco, si en este habia 168 mililitros de la solucion? 8. Un politico invirti6 las tres decimas partes de su capital en la compra de una mansion, con las dos septimas partes de 10 que qued6, compro un yate y el resto 10 destino para comprar terrenos. GCual era el capital inicial si en la compra de terrenos gast6 9 millones de pesos? 176--------------------------------------


Segundo examen ordinario Ejemplo 1 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones debenin estar contenidas en las hojas del examen No se calificanin procedimientos en las hojas de preguntas Esta permitido el uso de la ca!culadora no programable Firmar todas las hoj as del examen EI resultado debe estar en tinta 1. EI tiempo que tarda una piedra en caer al suelo esta dada por la siguiente expresion, simpliffcala.

2. Se requiere hacer un angulo de aluminio a partir de una barra de este material. Se sabe que la barra tiene en su seccion un ancho W = (3x+2p-5)4 cm, y una H (4x-p+ 1)3 cm. Para dejar la pieza exacta hay que retirar la seccion ab que mide: a = (x+p)2 cm, mientras que b = (2x+3p)2 cm. A partir de los datos anteriores indica l,cual es el area de la seccion transversal del angulo en cuestion? (ver figura) 3. Los dfgitos de un numero comenzando por la izquierda son a, b y c. Escribe la expresion algebraica que represente dicho numero. 4. Un bodeguero de la merced compro media tonelada de naranjas. Incremento su precio en un 60% y logro vender 490 kg. Si su ganancia fue de $1 420.00, l,cual es el costa y el precio de venta por kilogramo de naranja? 5. La formula de area del cilindro es la siguiente: A = 2prh + 2pr2. Si el radio de la base mide un cuarto de la altura y esta tiene una longitud de 25 cm. l, Cual es el area total del cilindro? 6. En la figura los segmentos AB, CD y EF son paralelos entre sf y cortan a las rectas PO y RS, por 10 que geometricamente es valida establecer la siguiente proporcion:

5 x- 5 2x - 2 =--. 1 20m

9m--

2

Algebra

177

l.Cual es la expresi6n que determina m? 7. Resuelve la ecuaci6n siguiente:

5J =1- (2x - 57)--5

2x -x - 3x - ( 10

6

3

x2

txy

y2

.

8. l.En cuanto tiempo un auto recorre - + - - - metros a una velocl10 3 3 dad de x -

52y m/s?

Ejemplo 2 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones deberan estar contenidas en las hojas del examen No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas Esta permitido el uso de la calculadora no programable Firmar todas las hojas del examen EI resultado debe estar en tinta

1. Representa por medio de una figura la siguiente identidad:

( x + y + z )2 = x 2 + y2 + Z2 + 2xy + 2xz + 2yz

2. Si a un rectangulo se Ie disminuye su altura en un 400/0 y la base se aumenta en una quinta parte, l.en que porcentaje un area es menor a la otra? 3. Se cuenta con 56 metros de malla de alambre para hacer un corral rectangular, este corral debe tener de largo, el triple de 10 que mide el ancho. l. Calcula las medidas y la superficie de dicho corral? 4. Expresa el area A de un cuadrado, en funci6n de: a) Ellado y. b) EI perimetro P. c) La diagonal d.

178--------------------------------------


5. i,Cuantos litros de una soluci6n acid a al15 % se deben mezclar con 6 litros de otra soluci6n acid a al 600/0, para obtener una soluci6n acida al 30% ? 6. La siguiente grafica representa la altura de dos velas despues de haberse encendido al mismo tiempo: em

/

~

Vela B

20 ..... ".....".. .... ... ...... .. .......... ".............. i··' .......... "........................... . r

10

hora

2

3

4

5

6

Auxiliandote de la grafica determina: a) i,Cual vela se consume totalmente primero? b) i, Que altura tenia la vela B despues de 2 horas? c) i, C6mo cambia la altura dependiendo del tiempo en cada una de ellas (expresalo numericamente)? d) Si una vela se enciende a las 6:00, i,a que hora se debe encender la otra para que las dos se consuman totalmente al mismo tiempo? Explica. Tercer examen ordinario Ejemplo 1 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones deberan estar contenidas en las hojas del examen No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas Esta permitido el uso de la calculadora no programable Firmar todas las hojas del exam en EI resultado debe estar en tinta Algebra

179

1. Las gnHicas siguientes representan el costo para los pasajes de un viaje en los taxis del aeropuerto, en una ciudad, de dos compafifas, de acuerdo a los kil6metros recorridos. A una de esas compafifas la llamaremos A y a la otra B.

a) i.., Cual es la cuota inicial por el uso del taxi en cada compafifa? i.., Que cantidad cobran por kil6metro recorrido? b) i..,Escribe para cad a compafifa l,a ecuaci611 que da el costo de un viaje en funci6n de los kil6metros recorridos. c) Calcula el costo de un viaje con los recorridos siguientes y senala que companfa conviene

Recorrido en ki16metros 12 27 41

CompaniaA Costos en pesos

Compania B Cost os en peso~

Com pania que conviene

63

98

180----------------------------------~----


l,En general en que compania conviene contratar un taxi? d) Formula dos preguntas relacionadas con el problema y respondelas con un argumento basado en la informacion que obtuviste. 2. Una compania de discos estima que podni vender siete mil albumes de una nueva versi6n de Don Giovanni de Mozart-Da Ponte a $450 cad a album. Por cada reducci6n de $10 en el precio por album, calcula que vendera 200 albumes mas. Ala compania cada album Ie cuesta $150 y sus costos fijos son de $200 000.

a) Calcula los costos, ingresos, ganancia y ganancia por peso invertido en los casos siguientes: Numero de incrementos de $10 en el precio por album 0

Costos

Ingresos

Ganancia

Ganan cia por cada peso invertido

1

2 3 4

b) Grafica la ganancia versus el numero de incrementos de $10 en el precio por album. c) Establece la f6rmula que da la ganancia por cada peso invertido en funci6n del numero de incrementos. 3. En la gnifica se representan la ganancia y los ingresos de un fabricante de mochilas en funci6n del numero. a) Encuentra la ecuaci6n de la ganancia. b) Dado que la ganancia es la diferencia de los ingresos y los costos determina la ecuaci6n de los costos a partir de la que obtuviste del inciso anterior y traza su grafica. c) Encuentra el numero de piezas donde la ganancia es nula. d) Encuentra el numero de piezas donde la ganancia es maxima. Algebra

181

4. Por problemas con las autoridades delegacionales se tiene que cambiar el escenario de un concierto de rock. Se debe acondicionar en menos de 8 horas. Una empresa puede instalar los asientos en 12 horas y cobra $20 000. Otra se tarda 18 horas y cobra $15 000 por hacer el mismo trabajo. a) 1..S e podrfa realizar el concierto si se contrata a las dos empresas? l,C6mo? Explica detalladamente. b) l.En que terminos se debe establecer el contrato para que los organizadores paguen 10 menos posible? Examen extraordinario Ejemplo 1 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones debenin estar contenidas en las hojas del examen No se calificanin procedimientos en las hojas de preguntas Esta permitido el uso de la calculadora no programable Firmar todas las hoj as del examen El resultado debe estar en tinta 1. Despues de centrifugar una serie de muestras sangufneas en un laboratorio, la cuarta parte de ellas se guard6 en el refrigerador a y las tres quintas partes en el refrigerador b, quedando tres muestras en la centrifugadora.

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a) l,Cuantas muestras hay en total? b) l, Cuan tas muestras hay en cada refrigerador? 2. Inicialmente la base de un rectangulo mide b unidades y la altura a unidades, si la altura se reduce ala tercera parte y la base aumenta en un 320/0: a) Calcula el area del rectangulo modificado. b) Obten en que tanto por ciento vario el area del rectangulo con respecto al rectangulo original. 3. l,Cuantos centfmetros cubicos de agua destilada se deben afiadir a 105 centfmetros cubicos de una solucion acida con centrad a al 600/0, para obtener una solucion acida concentrada al 350/0? 4. Un jardfn rectangular mide 40 por 30 metros. Se desea pavimentar un pasillo alrededor del jardfn que tenga anchura uniforme. l,Oue tan ancho debe ser el pasillo si cubrira un area de 296 metros cuadrados? 5. Al preparar una diet a para algunos animales que se utilizaran en un experimento, una bi610ga determina que estos necesitan 20 gramos de proteinas y 6 gramos de grasa. Ella compra dos tipos de alimento, el tipo a contiene 200/0 de protefnas y 20/0 de grasa, el tipo b contiene 10% de proteinas y 60/0 de grasa, entre otros componentes. l, Cuantos gramos de cada uno de esos dos alimentos debera mezc1ar para proporcionar las cantidades correctas de proteinas y grasa a los animales? 6. Arturo trabaja como vendedor en una mueblerfa y recibe un salario base mensual de $3 000, mas un 60/0 de comisi6n por el monto de las ventas que realiza. a) Establece una funcion que exprese el salario mensual de Arturo dependiendo del monto de las ventas que haga y traza su grafica. b) Si a fin de mes Arturo quiere ganar $7 800, l,cual debera ser el monto de sus ventas?

Ejemplo 2 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones deberan estar contenidas en las hojas del examen No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas Algebra

183

Esta permitido el uso de la calculadora no programable Firmar todas las hojas del examen El resultado debe estar en tinta 1. Un profesionista realiz6 cierto trabajo y recibi6 $ 8840 como pago. Esta can tid ad ya incluye un incremento del 15% de IVA y un descuento del 100/0 correspondiente al impuesto sobre la renta, ambos aplicados sobre sus honorarios. GCual es el monto de dichos honorarios? 2. La raz6n de los gastos a los ingresos en un restaurante es de 5 a 8. GA cuanto ascienden sus gastos en una semana en que la ganancia fue de $3 675? Recuerda que la ganancia es la diferencia entre los ingresos y los gastos. 3. Calcula cuantos litros de una soluci6n que contiene el 74% de alcohol deben ser combinados con 5 litros de otra soluci6n con el 90% de alcohol, para obtener otra soluci6n concentrada a184 % ? 4. Un jardin de forma rectangular esta rodeado por un camino de grava que tiene ancho uniforme de 2 metros. El area cubierta por el jardin es de 80 metros cuadrados y el area cubierta por el camino mide 200 metros cuadrados. Calcula las dimensiones que tiene el jardin. 5. Un comerciante desea invertir $12 000, una parte al 100/0 de in teres anual y el resto al 15 % , Gcuanto debera invertir a cada tasa para obtener el 120/0 sabre el total de la cantidad depositada? 6. Puedes suponer con aproximaci6n que la temperatura T del aire, medida en grados Fahrenheit (OF), es una funci6n lineal que depende de la altitud h, medida en pies, sobre el nivel del mar. Considerando que la temperatura al nivel del mar es de 60 OF Yque a una altitud de 5 000 pies la temperatura del aire decrece unos 18 OF: a) Expresa la variable T como una funci6n de la variable h. b) GCual es la temperatura del aire a una altitud de 15 000 pies?

184 -------------------------------------

LlBRO PARA EL E STUDIANTE

Los materiales que se utilizaron en la elaboracion de este trabajo son:

Alarcon, 1. et al. (1995). Libro para el maestro. Matematicas.

SEP.

De Prada, D. et al. (1991). EI comentario de textos matematicos. Editorial Agora. Fridman, L. (1989). Metodologfa para resolver problemas de Matematicas. Grupo Editorial Iberoamerica. Grupo Editorial Iberoamerica. Revista Educacion Matematica. Reid K. et al. (1996). Algebra in a technological world. Lopez de Medrano, S. (1972). Modelos matematicos.

185

NCTM.

ANUIES.

Kasner, E. & Newman, J. (1985). Matematicas e imaginacion. Biblioteca personal Jorge Luis Borges. Hispamerica. NCTM.

Revista Mathematics Teacher.

Novak, J. y Gowin D. (1984). Aprendiendo a aprender. Martinez Roca. Novak, J. (1998). Conocimiento y aprendizaje. Alianza Editorial. Paulos, J. (1990). El hombre anumerico. Tusquets Editores. Paulos, J. (1990). Mas alLa de los numeros. Tusquets Editores. Polya, G. (1965). Como plantear y resolver problemas. Editorial Trillas. Rojano, T. & Ursini, S. (1997). Algebra con hojas electronicas de calculo. Grupo Editorial Iberoamerica. Ruiz, B. (1999). Curso redisefiado de matematicas remediales. Mexico: ITESM Campus Estado de Mexico. En la plataforma LearningSpace: RZSRZSHlI RZS/ITESM, LSPACE\VA\curmod\cemma801 \. Selmes, I. (1992). La mejora de las habilidades de estudio. Paidos. Seymour, D. & Shedd, M. (1981). Diferencias finitas. CECSA. Socas, M. et af. (1992). Iniciacion al algebra. Sfntesis. Steen, L. (1990). On the shoulders of giants. The National Academy of Sciences.

186------------------------------------


Impreso en los Talleres GrMicos de la Direcci6n de Publicaciones del Instituto Politecnico Nacional Tresguerras 27, Centro Hist6rico, Mexico, DF Julio de 2004. Edici6n: 3 000 ejemplares CUIDADO EDITORIAL: FORMACI6N: DISENO DE PORTADA: SUPERVISI6N: PROCESOS EDITORIALES: PRODUCCI6N: DIVISI6N EDITORIAL: DIRECTOR:

Carolina Varela Hidalgo Laura Varela M. Guadalupe Villa Ramirez Manuel Toral Azuela Manuel Gutierrez Oropeza Martha Varela Michel Jesus Espinosa Morales Arturo Salcido Beltran

Algebra Libro Para El Estudiante

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