Notas de
Algebra Lineal Respuestas a ejercicios escogidos
Sebasti´an an Casta˜neda neda Hern´andez andez Agust Agus t´ın Barrios Barr ios Sarmiento Sarm iento Rafael Raf ael Mart Mar t´ınez ıne z Sola So lano no Grupo
Marea
Ediciones Uninorte Barranquilla - Colombia
2
Cap´ıtulo
1
Vectores en IR2 y IR3 1.1 1.1
Intr In trodu oducc cci´ i´ on on agina 5) Ejercicios 1.1.1 (p´
Ejercicio 2: (a). Si x = (x, y ) se tiene (x, y ) + (2, (2, 5) = 3( 3, 6) (x + 2, 2, y + 5) = ( 9, 18)
− −
de donde x+2 = 9 y + 5 = 18,
−
por lo que x = (x, y ) = ( 11, 11, 13). Utiliz Utilizando ando las propieda propiedades des de espacio espacio 2 vectorial de IR , se tiene:
−
x = = = =
3 b a 3( 3, 6) (2, (2, 5) ( 9 2, 18 5) ( 11, 11, 13). 13).
− − − − − − −
3
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
4
1.2
Sistema bidimensional de coordenadas agina 10) Ejercicios 1.2.1 (p´
Ejercicio 1: ( Las respuestas en este ejercicio no son ´ unicas.) (a.) (x, y) x2 + y 2 = 4 si escogemos un sistema rectangular de coordenadas cuyo origen sea el punto P . Si el sistema se escoge, por ejemplo, de forma que el eje x sea tangente a la circunferencia y el eje y pase por el centro (ver figura) se tiene (en el caso mostrado) que la circunferencia queda descrita por la ecuaci´on x2 + (y 2)2 = 4.
{
|
}
−
b.) Una ecuaci´ on sencilla para la recta se obtiene escogi´ endola como uno de los ejes de coordenadas. Si, por ejemplo, la recta es el eje x su ecuaci´ o n es y = 0. c.) Escojamos el sistema de forma que los catetos queden sobre los ejes de coordenadas. Por ejemplo, consideremos el caso mostrado en la figura siguiente.
Entonces los lados del tri´angulo quedan descritos por: Cateto de 3 cms: (x, 0) 0 x 3 Cateto de 4 cms: (o, y) 0 y 4 Hipotenusa: (x, y) y = 43 x + 4, 0 x 3 .
{
{ {
| ≤ ≤ } | ≤ ≤ } | − ≤ ≤ }
Cap´ıtulo 1. Vectores en IR2 y IR3
5
Barrios / Casta˜ neda / Mart´ınez
Ejercicio 2: a.) Un semiplano.
e) Una circunferencia
Ejercicio 3: (a.) En el plano, fijado un punto O, el conjunto de los puntos que est´ a a una misma distancia, no nula, de O, es un conjunto infinito (una circunferencia) por lo que un mismo real positivo estar´ıa describiendo a un conjunto infinito de puntos del plano. b.) Para una recta fija L, el conjunto de los puntos del plano que est´an a una misma distancia, no nula, de L es la uni´on de dos rectas paralelas a L y es, por lo tanto, un conjunto infinito. Si consideramos distancias con signo, dependiendo de los semiplanos en los cuales queda dividido el plano por L, el conjunto de puntos correspondiente a un n´ umero real es el conjunto de puntos de una recta paralela a L o L misma.
1.2 Segmentos dirigidos y vectores en IR2.
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
6
Segmentos dirigidos y vectores en IR2
1.3
Ejercicios 1.3.1 (p´ agina 23) Ejercicio 1:
−→
(b.)P Q = (1, 4), si X es el punto final de un segmento equivalente a P, Q , entonces: X = (6, 4), si el segmento se ancla en R. X = (3, 7), si el segmento se ancla en Q. X = (0, 2), si el segmento se ancla en S . Si X es el punto inicial, entonces: X = (4, 4) si el punto final es R. X = (1, 1) si el punto final es Q. X = ( 2, 10), si el punto final es S . (d.)Per´ımetro= 2 17 + 3 2.
−
− −
−
√
√
Ejercicio 3:
(c.) 2 cos
−
(a.) (0, 2) (b.) (0, 2) (e.) ( 2, 0).
−
π
,sen
4
π
4
√ √2)
= ( 2,
(d.)
±(2, 0)
Ejercicio 5:
−→ −→
Un punto S como el pedido satisface: RS = tP Q, donde t es un real cualquiera.
Ejercicios 1.3.2 (p´ agina 33) Ejercicio 1:
−→
√ −→
√ −→
√
(a.) P Q = 17, P R = 13, QR = 10. Las direcciones respectivas, como a´ngulos en grados, son aproximadamente 72.96375, 123.69006 y 198.43494. (b.) La no colinealidad de P, Q y R se sigue porque los vectores P Q y P R, anclados en el mismo punto, P , no son paralelos por no ser m´ultiplos entre s´ı. (d.) Una ecuaci´on vectorial es (x, y) = ( 1 + t, 2 + 4t), t IR. (e.) 65 , −51 , 75 , 35 , 85 , 75 , 95 , 11 5
−→ −→
−
Cap´ıtulo 1. Vectores en IR2 y IR3
∈
7
Barrios / Casta˜ neda / Mart´ınez
Ejercicio 2: (a.)(2, 0) (b.) √326 ( 1, 5) (d.) √313 ( 2, 3)
−
−
Ejercicio 4: (a.) Eje X : (x, y) = (t, 0), t IR Eje Y : (x, y) = (0, s), s (b.) (x, y) = ( 1 + t, 5), t IR o (x, y) = (s, 5), s IR. (c.) (x, y) = (2 + t, 3 + 2t), t IR. (d.) (x, y) = (3t, 2 2t), t IR. (e.) (x, y) = (1 + 5t, 3 t), t IR. (f.) (x, y) = (4 + 2t, 5t), t IR.
∈ − ∈ ∈ − ∈ − − ∈ − ∈
1.4
∈
∈ IR.
Sistema tridimensional de coordenadas agina 42) Ejercicios 1.4.1 (p´
Ejercicio 2:
(b.)
1.4 Sistema tridimensional de coordenadas
8
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
(d.)
(h.)
(i.)
Cap´ıtulo 1. Vectores en IR2 y IR3
9
Barrios / Casta˜ neda / Mart´ınez
(l.)
Ejercicio 3: Eje X : (a.) Eje Y : Eje Z :
{
{(x, 0, 0) | x ∈ IR}, {(0, y, 0) | y ∈ IR}, {(0, 0, z) | z ∈ IR} | − 1)
(c.) (x,y, 0) (x
2
+ (y
− 2)
2
Plano XY : (b.) Plano Y Z : Plano XZ :
{(x,y, 0) | x, y ∈ IR}, {(0, y , z) | y, z ∈ IR}, {(x, 0, z) | x, z ∈ IR}
(d.) (x,y, 2) x2 + y 2 = 4 .
}
{
=1 .
|
}
Ejercicio 4:
−→ −→ − √ √− √ − ≈
−→
(b.) P Q = ( 2, 1, 1), P R = ( 1, 0, 2), QR = (1, 1, 3). (c.) 6 + 5 + 11 8. (f.) 13 , 73 , 83 , −31 , 83 , 73 .
−
−→ −→
(i.) Una soluci´on se obtiene con el punto S cumpliendo la condici´ on P Q = RS , de donde S = R + P Q = ( 2, 3, 4). Existen, por supuesto, otras soluciones.
−→ −
Ejercicio 6: Si v = (x,y,z) = (0, 0, 0) y θ, ρ son los a´ngulos directores, se tienen:
x =
vCos(ρ)Cos(θ)
1.4 Sistema tridimensional de coordenadas
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
10 y = z =
vCos(ρ)Sen(θ) vSen(ρ)
Ejercicio 7 (Las soluciones dadas abajo no son las u´nicas posibles:) (a.) (x,y,z) = (1 2t, 3t, 2 + 2t), t IR. (c.) (x,y,z) = (1, 1, 3) + t(3, 1, 2), t IR. (d.) (x,y,z) = (0, 2, 1) + t(5, 1, 0), t IR. (f.) (x,y,z) = (0, t, 0), t IR.
− −
1.5
−
−
∈
∈
∈
∈
El producto escalar agina 54) Ejercicios 1.5.1 (p´
Ejercicio 1: (a.) 6 (b.) (36, 72) (c.) 78 (d.) 105.25511, 164.74488, y 90 (grados). (e.) Cualquier vector de la forma ( 5t, t) = t(5, 1), con t IR. (f.) √55 (1, 2).
− ±
−
−
−
∈
Ejercicio 3: Sugerencia: Escoja un sistema de coordenadas de modo que los v´ertices del cuadrado sean (0, 0), (L, 0), (0, L) y (L, L), donde L es la longitud de los lados del cuadrado.
Ejercicio 7: (a.) Los puntos R y S deben satisfacer: 1. P R es un vector ortogonal a P Q y con la misma norma. 2. QS = P R (b.) Encuentre R tal que MR sea ortogonal a P Q y cuya norma sea la mitad de la norma del vector indicado. M es el punto medio del segmento con extremos en P y Q.
−→ −→ −→
−→
−−→
−→
Cap´ıtulo 1. Vectores en IR2 y IR3
11
Barrios / Casta˜ neda / Mart´ınez
Ejercicio 8: (a.) (d.)
− − − − 21 84 , 17 17 4 6 , , 13 13
,
64 , 17 69 46 , 13 13
16 17
.
−− −
(b.) ( 5, 0), (0, 4).
.
(e.)
21 84 , 17 17
,
(c.)
64 , 17
−
16 17
− 4 6 , 13 13
,
69 46 , 13 13
.
.
Ejercicio 9: (a.) √1529
(b.) √334
≈ 2.78543...
≈ 0.514495...
(c.) 0.
Ejercicio 10:
−→ • −→
Verifique que P Q P R = 0.
Ejercicio 11: (a.) 0.
1.6
(b.) 1.
(c.)
√10.
(d.)
√29.
(e.)
√26.
(f.)
√5.
La ecuaci´ on del plano agina 63) Ejercicios 1.6.1 (p´
Ejercicio 1: (a.) Ecuaci´ on cartesiana 2x + 5z = 12. Una ecuaci´ on vectorial es 12 (x,y,z) = t,s, 5
2 t . 5
− (b.) Una ecuaci´ on cartesiana es x − y − z = −3. Son ecuaciones vectoriales (x,y,z) = (t,s, 3 + t − s), t , s ∈ IR o (x,y,z) = (1 + 2t
(c.) 12x
− s, −1 + 3t + s, 5 − t − 2s), t,s ∈ IR
− y + 2z = 5 es una ecuaci´on cartesiana. Una ecuaci´on vectorial es (x,y,z) = (s, 3 + 2t + 2s, 4 + t − 5s), t , s ∈ IR. 1.6 La ecuaci´ on del plano
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
12
(d.) Una vectorial es (x,y,z) = (t + 2s, 2t s, 3t + 4sw), t , s IR. Una cartesiana es 11x + 2y 5z = 0. (e.) Ecuaci´ on Cartesiana: 2x z + 1 = 0. Una ecuaci´on vectorial es
−
−
∈
−
(x,y,z) = (t,s, 2t + 1), t , s
∈ IR.
Ejercicio 2:
−
(b.) (i) (0, 5, 3).
−
(ii) (24, 14, 9).
Ejercicio 6:(a.) De x vectorial
(iii) (0, 1, 0).
(iv) (0, 0, 0).
− y + 3z = 0 se obtiene x = y − 3z y de aqu´ı la ecuaci´on
− 3s,t,s) = t(1, 1, 0) + s(−3, 0, 1), t , s ∈ IR. Los vectores (1, 1, 0), (−3, 0, 1) son un par de generadores del plano. Los dem´ as (x,y,z) = (t
son similares.
Ejercicio 7: Haga los c´alculos directamente aplicando las definiciones. Ejercicio 8: Haciendo c´alculos directos puede probarse que 2
2
2
u × v = u v − (u • v)
2
lo que equivale a 2
u × v
= = =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
u v − u v Cos (θ) u v (1 − Cos (θ)) u v Sen (θ) 2
2
de donde se obtiene lo deseado. Si u y v no son paralelos, el a´rea del paralelogramo determinado por dos representantes anclados en el mismo punto es
u|vSen(θ) = u × v. Cap´ıtulo 1. Vectores en IR2 y IR3
13
Barrios / Casta˜ neda / Mart´ınez
Para un vector w como el indicado, la altura del paralelep´ıpedo determinado por los tres vectores es
Proy × w = |(u×u ×v)v•w | , u v
de donde se sigue que el volumen generado es (u
| × v) • w |.
Ejercicio 9: Los vectores no nulos u y v son paralelos si, y solo si u v = (0, 0, 0). Se deduce que el a´rea generada por dos vectores no nulos es nula si, y solo si son paralelos. De igual forma se tiene que el volumen generado por tres vectores no nulos es cero si y solo si el triple producto escalar es cero. De all´ı se concluyen:
×
• Tres puntos P,Q,R son colineales si, y solo si P Q × P R = (0, 0, 0). • Los puntos P,Q,R y S son coplanares si, y solo si P Q • P R × P S = 0. Ejercicio 13: Si Qes un punto cualquiera del plano, entonces la distancia del punto P (x0 , y0, z0 ) al plano de ecuaci´ on ax+by+cz = d (con vector normal n = (a,b,c) = (0, 0, 0)) es
D = = = =
QP Proy −→ −→ |n • QP | n |n • P − n • Q| n |ax √+ by + cz − d| a +b +c n
0
0
2
0
2
2
1.6 La ecuaci´ on del plano
14
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
Cap´ıtulo 1. Vectores en IR2 y IR3
Cap´ıtulo
2
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 2.1
El espacio IRn agina 77) Ejercicios 2.1.1 (p´
Ejercicio 1:
− −
√ (c.) 3 3 ≈ 5.19615....
−
√ (d.) 53 ≈ 7.2801....
(a.) ( 5, 2, 15, 2). (b.) 45. (e.) Cualquier vector de la forma (t
− 3s − 4r,t,s,r) = t(1, 1, 0, 0) + s(−3, 0, 1, 0) + r(−4, 0, 0, 1)
donde t, s y r son reales arbitrarios.
Ejercicio 4:
(b.) αx = (αx) (αx) = α2 (x x) = α x (c.) Utilizando (d.) (siguiente demostraci´on) se tiene:
•
2
x + y
•
| |
= (x + y) (x + y) = x 2 + 2(x y ) + y x + 2 x y + y = ( x + y )2
•
2
• ≤ | 15
2
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
16 de donde se sigue la desigualdad triangular. (d.) Para todo real λ se tiene (x
2 2
2
− λ y) • (x − λy) = y λ − 2(x • y)λ + x ≥ 0.
entonces escogiendo λ = x• y se sigue que Si y = O, y
2
2
2
x y ≥ |x • y|
2
de donde se tiene la desigualdad pedida. Si y es el vector cero, el resultado es trivial.
Ejercicio 5: Si x, y son vectores no nulos, se sigue de la desigualdad de Cauchy-Schwarz que x y 1 1, x y
− ≤ • ≤
definiendo
θ = Cos
− 1
• x y x y
se sigue lo pedido.
Ejercicio 6: (a.) Para x distinto del vector cero, se tiene
1 x x
=
1 x
x
= 1.
(b.) Suponga que x y y son paralelos, muestre que uno de los dos
1 x x
1 y y
1 x x
1 y y
− • −
o
1 1 x + y x y
1 1 x + y x y
•
Cap´ıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
17
Barrios / Casta˜ neda / Mart´ınez
es cero. Concluya que
1 y = y
± x1 x,
de donde se sigue que x, y son m´ ultiplos el uno del otro. Rec´ıprocamente, demuestre que si uno de ellos es m´ ultiplo del otro, entonces x y =
•
±xy
• ±1 .
x y o que = x y
Ejercicio 7: (a.) √127 (1, 1, 3, 4), √122 (3, 0, 3, 2), √110 (0, 0, 1, 3). (b.) √227 (1, 1, 3, 4). (c.) 2 v1 v , donde v = (x,y,z,w) con 3x 3z + 2w = 0. (d.) 56.789089... grados, aprox.
±
−
−
−
−
−
Ejercicio 8: La recta que “pasa” por X 0 IRn y es paralela a x de puntos X que satisfacen:
∈
X = X 0 + tv , t
2.2
∈ IR −{O } es el conjunto n
∈ IR.
La ecuaci´ on lineal en n variables Ejercicios 2.2.1 (p´ agina 90)
Ejercicio 1: (a.) Lineal en u = x2 , y y z, con u 0. (c.) Lineal en u = sen(3x), v = cos(2y), w = tan(z), con u, v w [ 2, 2].
≥
∈−
Ejercicio 2:
2.2 La ecuaci´ on lineal en n variables
∈ [−1, 1],
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
18
5 (a.) No son equivalentes: Para cualquier t IR , se tiene que (0, t) es 3 soluci´o n de (2x + 3y)x = 5x pero no lo es de 2x + 3y = 5. (b.) No son equivalentes. (c.) Son equivalentes si, y solo si c = 0.
∈ −{ }
Ejercicio 3: (a.) S = (2
{ − t − 3s,t,s) | t, s ∈ IR}. Generadores: {(−1, 1, 0), (−3, 0, 1)}. 3 + t, t | t ∈ IR = s, s − 2 | s ∈ IR. Un conjunto de (b.) S = , 1 , o 1, . generadores es {(3, 2)} o (c.) S = {5}. Generador: {0}. (d.) S = {(5,t,s,r) | t,s,r ∈ IR}. Generadores: {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. (e.) S = t, , s , r | t,s,r ∈ IR . Generadores: {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. (f.) S = {(t,s,r, 6 − 2t − 3s + 4r + u, u) | t,s,r,u ∈ IR}. Generadores: {(1, 0, 0, −2, 0), (0, 1, 0, −3, 0), (0, 0, 1, 4, 0), (0, 0, 0, 1, 1)}. 3 2
2 3
3 2
2 3
3 2
Ejercicio 4: La afirmaci´ on es verdadera si, y solo si la ecuaci´on es homog´enea.
2.3
Sistemas m
×n
agina 116) Ejercicios 2.3.1 (p´
Ejercicio 1: (a.) (a, b) es una soluci´on de a + 2b = 3. As´ı, a = 3 arbitrario. (c.) a = 1, b = 2.
− 2b donde b es un real
Cap´ıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
19
Barrios / Casta˜ neda / Mart´ınez
Ejercicio 2: (a.) a = 3. (d.) a = 0 y a =
(b.) a = 1. (c.) a es un real cualquiera. (e.) Para ning´ un valor de a.
− −6.
Ejercicio 3: (a.) Infinitas soluciones para a = 3. El sistema es siempre consistente. (b.) Infinitas soluciones si a = 1. El sistema es consistente siempre. (c.) El sistema tiene soluci´on u ´ nica para todo valor de a. (d.) Infinitas soluciones si a = 6, inconsistente si a = 0. (e.) Infinitas soluciones si a = 6, inconsistente si a = 6.
−
−
Ejercicio 4: (a.) S =
(c.) S =
−
5 10 , 3 3
∈ IR . (b.) S = {(1, 2 − t,t, −1) | t ∈ IR}. (d.) S =
+ t, t
|
67 47 , , 10 10
t, 0,
−
4 9
t
−18 , 46 . 5 5 +
1 5 t, 3 3
1 t, 6
− −
26 3
|
+ 6t
(e.) Inconsistente: S = .
∅
t
∈ IR
.
Ejercicio 5: (a.) S h = (0, t , t) t
{ | ∈ IR}. Generado por (0, 1, 1). (c.) S = {(0, 0, 0, 0)}. Generado por (0, 0, 0, 0). (e.) S = t,s, t + s, s − t, 6t + s | t, s ∈ IR . Generado por: (6, 0, 2, −1, 36) y (0, 8, 2, 15, 12). h h
1 3
1 9
5 6
1 6
2 3
Ejercicio 6:
2.3 Sistemas m
×n
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
20
(a.) Todo sistema formado por ecuaciones lineales de la forma ax+by +cz = d, donde (a,b,c,d) es una soluci´on de la ecuaci´ on homog´enea a + 2b + 3c d = 0.
−
1 0 0 1 0 1 0 2 (c.) La forma escalonada reducida es , realizando operaciones 0 0 1 3 0 0 0 0 elementales adecuadas sobre esta se logra que el u ´ ltimo rengl´on no sea nulo.
(e.) Un sistema “m´ınimo” es x = 2, z = 0, w = 3 + y.
Ejercicio 7: (a.) Soluci´on u ´ nica si a = 3.
| |
(b.) Infinitas soluciones si a = 3. (c.) Inconsistente si a =
−3.
Ejercicio 9: (a.) Geom´ etricamente, es claro que no. Algebraicamente, se tiene que el sistema homog´eneo x + y + 2z = 0 x + 2y + 5z = 0 2x + 4y z = 0
−
−
tiene como u ´ nica soluci´on la trivial (0, 0, 0). (b.) t(1, 7, 3) t
{ − | ∈ IR}. (c.) ± √ (1, −7, 3). 2 59
Ejercicio 11: (a.) (x,y,z) = (b.) (x,y,z) =
− −
2+
13 19
13 t, 4 3 2 t, 19
−
− 9 19
11 t, t 3
+
, t
35 t, t 19
,
∈ IR. t ∈ IR.
Cap´ıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
21
Barrios / Casta˜ neda / Mart´ınez
Ejercicio 14: (a.) y (d.) L.I , en los dem´as la respuesta es L.D.
Ejercicio 15: Resuelva los sistemas
1 2 3 5
0 2 5 1
−
3 0 0 3
3 5 7 4
− −
,
6 1 2 3
3 2 5 1
− −
3 0 0 6
3 5 7 4
−
,
3 5 7 4
1 2 3 8
0 9 2 3 5 0 1 10
− − −
3 5 7 4
−
.
a, en cada caso, combinaci´on lineal de los vectores dados, v = (3, 5, 7, 4) ser´ si el sistema correspondiente es consistente.
−
Ejercicio 17: (a.) Demuestre que el sistema (x, y)
2
∈ IR .
1 2 x 2 3 y
tiene soluci´on u ´ nica para todo par
(b.) Dos vectores de IR3 generan o a (0, 0, 0) , o a una recta ( si son paralelos) o a un plano (si son no nulos y no paralelos).
{
}
v w1 (c.) Si v = (v1 , v2), w = (w1, w2) son l.i, entonces 1 = 0, por lo que v2 w2 v1 w1 x todo sistema tiene soluci´ o n (´ unica, adem´ as). v2 w2 y
Ejercicio 18: Si v 1 , . . . , vm son vectores de IRn , con m > n, entonces el sistema homog´eneo (en las variables α1, . . . , αm ) α1 v 1 + α2 v 2 + . . . + αm v m = O tiene infinitas soluciones, de donde se sigue que los vectores son l.d.
2.3 Sistemas m
×n
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
22
Ejercicio 19: (a.) Las coordenadas de P, Q y R deben satisfacer la ecuaci´ on x2 + y 2 + dx + ey + f = 0. Reemplazando dichas coordenadas en la ecuaci´ on indicada se obtiene un sistema 3 3 en d, e y f . La ecuaci´ on pedida queda determinada con la soluci´on del sistema.
×
(b.) Como en el ejercicio anterior, la circunferencia existe si el sistema obtenido es consistente. (c.) Muestre que el sistema obtenido (como en los ejercicios anteriores) para P (x0 , y0), Q(x1 , y1) tiene infinitas soluciones. (d.) Analice el sistema obtenido para los tres puntos dados.
Ejercicio 21: (a.)Si P (x0, y0), Q(x1, y1), R(x2 , y2) son tres puntos distintos de la par´abola de ecuaci´ on y = ax2 + bx + c y Ax + By = C es la ecuaci´on de una recta que contiene a los tres puntos, entonces el sistema 6 6 (en a,b,c,A,B,C ), obtenido al reemplazar por las coordenadas de los puntos en las ecuaciones, es inconsistente a menos que dos de los puntos sean iguales. Puede tambi´en resolverse mostrando que los vectores P Q y P R no son paralelos a menos que x1 = x2.
×
−→ −→
(c.) Como en el anterior.
2.4
Matrices y operaciones matriciales Ejercicios 2.4.1 (p´ agina 142)
Ejercicio 1: (a.)
Cap´ıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
23
Barrios / Casta˜ neda / Mart´ınez
(i) (v)
3 9 6 27
− − 2 5 5 3
(ix)
13 1
−
(ii)
7 15
−6
(iii)
14
(vi) (6, 27) (x)
(vii)
10 24
6 20
− −
(iv)
15 8
7 3 6 14
(viii) (0, 4)
2 9
(b.) (i)
X = 2A
(ii)
Y =
(iv) Y =
C =
1 4 . 1 9
− −− − − 1 6 8 9
−
3 2 15 16
2 X , 3
donde X
X , X
2 2
∈ IR × .
2 2
∈ IR × .
Ejercicio 2: (a.) (i)
12 14 13 6 14 40
− − −
(iv)
1 10 21
(vii)
0 9 4
(x)
7 2 11
0 7 20
(ii) No est´a definida. (iii) No est´ a definida.
(v) No est´a definida
−
(viii) ( 3, 7, 19)
(vi) (6, 14, 40)
(ix)
2 24
−
(b.)
2.4 Matrices y operaciones matriciales
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
24 (i)
X = 2A
5 4 2 . 2 7 12
− −
− C =
2 0 0 4
2 0
2 X , 3
donde X
2 3
∈ IR × .
(ii)
Y =
(iv)
No existen matrices que cumplan la condici´ on.
Ejercicio 4: (c.) Sean A = (aij ), AT = (bij ), si A es antisim´etrica entonces bij = a ji = de donde se sigue lo pedido.
−a
ij
,
(d.) T
1 (A + AT ) 2
1 (A 2
T
T
−A
)
1 T (A + (AT )T ) 2 1 = (A + AT ) 2 1 T = (A (AT )T ) 2 1 = (A AT ) 2 =
−
− −
Por otra parte, A es claramente la suma de las dos matrices consideradas. (e.) Las matrices cuadradas nulas.
Ejercicio 5: Para buscar un conjunto de generadores observe que, en el caso 2 matrices sim´etricas son de la forma
a11 a12
a12 a22
= a11
1 0 0 1 + a12 0 0 1 0
+ a22
0 0 . 0 1
Ejercicio 6:
Cap´ıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
× 2, las
25
Barrios / Casta˜ neda / Mart´ınez
(a.) Es una base pues los tres vectores son l.i. (b.) S´ı (d.) No, los vectores son l.d.
Ejercicio 7: Muestre que tanto la suma de dos combinaciones lineales de los vectores dados como el producto de un escalar por una combinaci´ on lineal de ellos, son combinaciones lineales de los mismos.
Ejercicio 11: (b.) Para toda A =
a11 a21
a12 a22
∈
IR2×2 se tiene:
A = a11 B1 + a12 B2 + a21 B3 + a22 B4 . a11 a12 (d.) Ninguna matriz , con a22 = 0 puede obtenerse como combia21 a22 naci´on lineal de B1, B2 y B3 .
Ejercicio 13: (a.) AB = BC =
− −
2 33
−11
4 1 13
−3 11 −1 6 −1 −5 , −12 35 −1
12
,
BA =
−
4 7 1 0 13 22
0 14 6
−
CB no est´a definida.
(b.) 15. (c.)
2.4 Matrices y operaciones matriciales
,
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
26
(ii) X =
1
t,s,u,v
(vi) X =
− 14t −6 − 14s 1 − 14u 5 − 14v 8t 3 + 8s 8u + 1 8v − 3 , t
s
u
(iv) No hay soluci´on
v
∈ IR
− −
36 49 143 490 12 245
57 49 451 490 19 245
274 49 169 49 15 49
−
− −
.
(viii) No hay soluci´on.
Ejercicio 17: Si Ai = (0, 0, . . . , 0) B IRn× p se tiene
∈
∈ IR
n
es una fila de A
∈ IR
× , entonces para toda matriz
m n
(AB)i = Ai B = (0, 0, . . . , 0)
p
∈ IR .
En forma similar si B ( j ) es una columna nula de B, entonces (AB)( j ) = AB ( j ) es una columna nula del producto.
Ejercicio 18: δ1 0 0 δ2 Es claro que una tal matriz A es cuadrada. Sea D = 0 0 .. .. . . 0 0 una matriz diagonal n n, entonces los elementos de la fila i, AD y DA son iguales. Es decir:
×
0 ... 0 ... δ3 . . . .. . 0 ... columna
Ai D ( j ) = Di A( j )
Cap´ıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
0 0 0 .. . δn j de
27
Barrios / Casta˜ neda / Mart´ınez
(ai1 , ai2 , . . . , aij , . . . , ain )
0 0 .. . δ j .. . 0
= (0, 0, . . . , δi , . . . , 0)
a1 j a2 j .. . aij .. . anj
δ j aij = δi aij para todo i, j 1, 2, . . . , n . Puesto que vale para todo matriz diagonal, si δi = δ j siempre que i = j se sigue que aij = 0 si i = j. As´ı, A es una matriz diagonal.
∈{
}
Ejercicio 21: (a.) X = I 2
(b.)
1
− 2t 2 − 2s , t , s ∈ IR. t
s
(c) X = I 3
2.5
Matrices invertibles agina 159) Ejercicios 2.5.1 (p´
Ejercicio 1: (a.)
1 2
1
0
3 2
.
(b.)
5 3 2 3
28 3 13 3
.
(c.)
2 3
4 3 2 3
0
.
Ejercicio 2: (a.) λ / 1, 2 .
∈{ − }
±√33.
(b.) λ =
(c.) λ = 0.
Ejercicio 3:
2.5 Matrices invertibles
(d.)
−
1 3 2 3
0 1 3
.
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
28
(a.)
(c.)
2 3 −1 = 3 4
−
−
1 9
1 6
−
1 18
− − −
50 9
13 6
10 3
4 17 3 17
3 2
5 18
1 6
3 17 2 17
−
2 3 4 6
,
es singular. (b.)
2 97
.
(d.)
−
−
12 97
−
30 97
22 97
−
5 97
−
37 97
55 97
1 0 0
20 97
23 97
−
44 97
1 4
123 97
79 97
1 4
− − − 7 4
5 4
5 4
3 4
39 97
−
40 97
138 97
−
91 97
.
Ejercicio 5 (a.) Si.
(b.) No.
(c.) Si.
(d.) Si.
Ejercicio 7 Se tiene que (I n + A)T = I n + AT = I n A, por lo que esta ´ultima es invertible por ser transpuesta de una matriz invertible. Para demostrar que (I n +A)−1(I n A) es ortogonal, debe probarse que su inversa es su transpuesta; es decir que
−
−
(I n + A)−1 (I n = (I n + A)−1 (I n = I n pero esto se sigue f´ acilmente si I n sucede (I n
− A)(I + A) n
1 T
− A)(I − A) ((I + A)− ) − A)(I + A)(I − A)− T
n n
n
− A e I
n
= = = =
n
1
+ A conmutan lo que, en efecto,
I n (I n + A) A(I n + A) I n + A A AA (I n + A)I n (I n + A)A (I n + A)(I n A)
− − − − −
De manera similar se puede probar la ortogonalidad de (I n
1
− A)− (I + A)
Cap´ıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
n
Cap´ıtulo
3
Determinantes 3.1
Introducci´ on
3.2
Permutaciones agina 172) Ejercicios 3.2.1 (p´
Ejercicio 1: (a.) α es impar (5 inversiones), β es impar (3), π es par (10). (b.) α−1 = ( 4 1 3 5 2 ) , β −1 = ( 1 4 2 5 3 ) , π −1 = π. (c.) αβ βα απ πβ
3.3
= = = =
(3 (2 (4 (4
4 3 1 2
5 4 3 5
1 5 5 3
2) 1) 2) 1)
Determinante de una matriz cuadrada agina 176) Ejercicios 3.3.1 (p´
Ejercicio 1: (a.) 16.
(b.) 0.
29
(c.) 0.
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
30
Ejercicio 3: (a.)
−1 ± 2√2.
3.4
−2 ± 2√3i.
(b.)
(d.) 1, 12 (1
(c.) 2, 5.
± √15i).
Teoremas b´ asicos agina 185) Ejercicios 3.4.1 (p´
Ejercicio 1: (a.)
−12.
(b.) 0.
(c.) 0.
(d.) 28.
(e.) 14.
Ejercicio 2: (a.)
−64.
(b.)
−4.
(c.) 4.
(d.)
−64.
(e.)
−64.
(f.)
−2.
(g.) 8.
Ejercicio 3: (a.)
−30.
(b.)
−5.
(c.)
−5.
Ejercicio 7: (a.) p(x) =
4 x 3π
−
4 x2 . 3π 2
(b.) p(x) = 1 2
2
(c.) p(x) = 1+ e 2−e 1 x + (e−2e1) x2 .
3.5
(d.) p(x) =
−
16 x 3π
14 x 3π
−
8 π2
+
8 x2 . 3π 2
x2 + 3π8 x3 3
Otras propiedades del determinante Ejercicios 3.5.1 (p´ agina 189)
Ejercicio 1: (a.)
−
54 . 5
(b.)
−
1 . 10
(c.)
−
135 . 4
(d.)
Cap´ıtulo 3. Determinantes
−
2 . 5
(e.)
−
5 . 2
31
Barrios / Casta˜ neda / Mart´ınez
Ejercicio 2: (a.) Para todo real λ / 0, 5,
3 2 3 2
∈ { − }. (b.) Para todo real λ ∈ / {0, 5, − , 3, −3}.
(c.) Para los mismos valores del ejercicio anterior.
Ejercicio 4: Si A es ortogonal, entonces A−1 = AT . Aplique determinante en ambos miembros de la identidad anterior para obtener el resultado pedido.
Ejercicio 5 De AT =
3.6
−A se sigue que 2det(A) = 0, de donde det(A) = 0.
Cofactores y regla de Cramer Ejercicios 3.6.1 (p´ agina 194)
Ejercicio 1: (a.) x =
−
10 . 13
(b.) y = 1.
3.6 Cofactores y regla de Cramer
(c.) w = 0.
32
N OTAS DE ALGEBRA LINEAL
Cap´ıtulo 3. Determinantes
Cap´ıtulo
4
Espacios vectoriales 4.1
Introduci´ on
4.2
Definiciones y propiedades b´ asicas Ejercicios 4.2.1 (p´ agina 212)
Ejercicio 1: (a.) S´ı
(b.) No.
(c.) Lo es si, y solo si b = 0.
(d.) No.
(e.) No.
Ejercicio 3: S , la combinaci´on lineal 1O = O es una combinaci´ Si O on lineal nula no trivial de elementos de S .
∈
Ejercicio 6: (a.) No
(b.) S´ı.
(c.) S´ı.
Ejercicio 9:
33
(e.) S´ı.
(f.) S´ı.