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6. DEFORMACIONES y ESTABILIDAD
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El concepto de deformación es de fundamental importancia para el ingeniero lo que respecta al estudio de las deflexiones. Esen bien sabido que una pieza de máquina puede fallar en servicio si sufre deformaciones excesivas,por aún cuando asociados permanezcan debajo de los los esfuerzos valores de fluencia o fractura. Lo que es más, el concepto de deformación juega un papel preponderante en las técnicas experimentales utilizadas en los problemas de resistencia de materiales puesto que los esfuerzos no son, en general, cantidades medibles directamente, mientras que las deformaciones si lo son. Usualmente, esto implica el obtener datos experimentales de deformaciones que luego serán transformados en términos de esfuerzos. http://slidepdf.com/reader/full/ley-de-hooke-generalizada-y-ecuaciones
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CONCEPTO DE DEFORMACIÓN Y DE ESTADO DE DEFORMACIÓN Cualquier cuerpo sujeto a fuerzas, vale decir; a esfuerzos se la deforma bajo ela intensidad acción de de estos. “Strain” es dirección la deformación en cualquier punto respecto de un plano específico que pasa por dicho punto. Por ende la deformación es una cantidad análoga el esfuerzo. El estado de deformación se define completamente tanto en magnitud como en dirección en cualquier punto respecto de todos los planos que pasan a través del mismo. De aquí que el estado de deformación es un tensor y es análogo al del estado de esfuerzos http://slidepdf.com/reader/full/ley-de-hooke-generalizada-y-ecuaciones
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Por conveniencia, las deformaciones son siempre representadas mediante sus componentes normal ε y cortante γ
Para deformaciones suficientemente pequeñas (incluyendo aquellas que ocurren dentro del rango elástico), las ecuaciones que vinculan los esfuerzos normal y cortante con la orientación de los planos de corte son análogas a las halladas para los esfuerzos. http://slidepdf.com/reader/full/ley-de-hooke-generalizada-y-ecuaciones
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De ahí que el estado de deformaciones puede ser convenientemente escrito como tensor:
⎡ ε x S = ⎢⎢ 12 γ yx ⎢⎣ 12 γ zx
1 2
γ xy
ε y 1 2
γ zy
1 2
γ xz ⎤
1 2
γ yz ⎥⎥ ε z
⎥⎦
Observar que mientras ε x , ε y y ε z son análogos a σ x , σ y y σ z , respectivamente, la mitad de γxy , γxz y γyz lo es a τ xy , τ xz , y τ yz . τ Puede ser de analizar el significado físico porqué es análogo a γutilidad /2 en vez de γ. Esto se visualiza ende la fig., cada lado del elemento diferencial varía un ángulo de γ/2 cuando se le somete a corte puro:
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DEFORMACIONES Y PLANOS PRINCIPALES; ANÁLISIS GRÁFICO Y ANALÍTICO
Habiendo observado la correspondencia entre deformaciones y esfuerzos, es evidente que, mediante alguna transformación conveniente se S’ obtienen las expresiones del tensor de deformaciones , el cual es idéntico al T’ hallado para los esfuerzos, excepto que en la diagonal principal están ε 1 , ε 2 y ε 3 . Deformaciones
ε 1 , ε 2
=
ε z
principales en el plano xy Máxima deformación cortante en el plano xy
Orientación de los ejes principales
γ max
+ ε y 2
(
= ±2
2φ = arctg (
1 2
γ xy )
γ xy ε x
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− ε y ⎞ 2 1 ⎟⎟ ± (2 γ xy ) + ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎛ ε z
2
2
ε x − ε y ⎞ 2 ⎛ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠
)
− ε y 6/76
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Análogamente:
σ φ
τ
φ
= =
σ 1 + σ 2 2 σ 1 − σ 2 2
+
σ 1 − σ 2 2
cos 2φ
ε φ =
ε 1 + ε 2 2
+
ε 1 − ε 2 2
cos 2φ (1) (2)
sin 2φ
γ φ
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= (ε 1 − ε 2 ) sin 2φ
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Representación de un estado plano de deformación mediante el círculo de Mohr
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Mohr strain circle drawn for known values of εx , εy , and γzy .
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Análisis de deformaciones mediante rosetas El uso práctico de las relaciones desarrolladas en este capítulo es comunmente realizado en conexión con procedimientos experimentales de análisis de esfuerzos basados en la utilización de los llamados strain gages . Dichos indicadores
marcan deformaciones normales en direcciones específicas en la vecindad del punto de interés. Los strain gages son usualmente montados sobre una superficie sin cargas, de forma que se sepa que el estado de esfuerzos sea plano.
Configuraciones de grillas de strain gages de láminas metálicas.
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En cualquiera de los casos, será posible establecer el estado de deformaciones en el punto, vale decir; el definir los círculos de Mohr para deformaciones en dicho punto midiendo directamente las dos deformaciones principales que actúan en planos perpendiculares a la superficie. Desafortunadamente, la determinación directa y precisa de los esfuerzos principales no es práctica. Lo que es más, las deformaciones cortantes no pueden ser medidas directamente. Cuando se Mohr trabajadecon strain-gages en sobre una superficie la construcción círculos de deformaciones un punto involucralibre, la determinación de 3de los incógnitas: los valores de dos de las deformaciones ppales. y su ángulo de orientación respecto a alguna dirección arbitraria de referencia. Dicha determinación de las incógnitas requiere la medida de 3 deformaciones independientes. Las mismas son elegidas para ser las componentes normales de deformación en 3 direcciones (que es lo usualmente realizado con los strain-gages convencionales) http://slidepdf.com/reader/full/ley-de-hooke-generalizada-y-ecuaciones
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Superficie de una pieza y localización del punto O donde son realizadas las medidas de deformación. El xy . plano de la superficie es arbitrariamente llamado Tres strain-gages miden las deformaciones normales en direcciones arbitrarias aa, bb, y cc , las cuales están separadas por los ángulos conocidos φ 1 y φ 2. La dirección aa forma un ángulo desconocido α a con el eje
1-1 de la deformación principal mayor. La ecuación (1) da la deformación de la deformación normal actuante en la dirección φ , donde dicho ángulo es medido positivo en el sentido CCW desde el eje principal 1. Aplicando dicha ecuación a cada uno de los 3 strain-gages de la Fig. queda:
ε a ε b
= =
ε 1 + ε 2 ε 1 +2 ε 2 2
+ +
ε 1 + ε 2 ε b
=
2
ε 1 − ε 2 ε 1 −2 ε 2 2
cos 2α a cos 2(α a
+ φ 1 )
cos 2(α a
+ φ 2 )
(3)
ε 1 − ε 2
+
2
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Claramente, dichas ecuaciones pueden ser resueltas para ε 1 , ε 2 y α a . En algunos casos un cuarto medidor se utiliza para verificación.
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Análisis de deformaciones - rosetas equiangulares
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La solución simultánea de las ecuaciones (3) para el caso: φ 1 = 120º , φ 2 = 240º , a = 0º , b = 120º , c = 240º es
ε 1, 2
=
ε 0 + ε 120 + ε 240
tan 2α a
3
=
±
( 2ε 0 − ε 120 − ε 240 ) 2
3
2ε 0 − ε 120 − ε 240
9
−
(ε 120 − ε 240 ) 2 3
(ε 120 − ε 240 )
Recordar que α a es positivo cuando es medido en sentido CW desde ε 0 a los ejes principales de deformación. La deformación principal mayor defermación forma30º con el mayor valor entre ε 0 , ε 120 y ε 240 .
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(a) ε 1, 2 ( b) ε 0
=
ε 0 + ε 120 + ε 240 3
± R
= ε 0 + ε 120 + ε 240 + R cos 2α a
ó cos 2α a
=
3 2ε 0 − ε 120 − ε 240 3 R
(c) ε 120
= ε 0 + ε 1203 + ε 240 − R cos(2α a − 120º )
(d) ε 240
=
ε 0 + ε 120 + ε 240
− R cos(2α a + 120º )
3 (e) Usando la relación : cos( A ± B) = cos A cos B m sin A sin B, (c) y (d)
ε 120
=
ε 240
=
ε 0 + ε 120 + ε 240 3
ε 0 + ε 120 + ε 240
+ R(−0.5 cos 2α a + 0.866 sin 2α a ) + R(−0.5 cos 2α a − 0.866 sin 2α a )
3 (f) Restando las ecuaciones anteriores :
ε 120 − ε 240
=
3 R sin 2α a ó sin 2α a
=
ε 120 − ε 240
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3 R
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Ejemplo - de un sistema equiangular de strain-gages se obtuvo: ε 0 = −0.00075in / in
= +0.0004in / in ε 240 = +0.00185in / in ε 120
Determinar analíticamente las magnitudes y orientaciones de las deformaciones principales y verificar los resultados utilizando un círculo de Mohr.
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Análisis de deformaciones - rosetas rectangulares
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ε + ε (ε −(3) ε ) para + (ε −el ε )caso: La solución simultánea de lasε ecuaciones = ± φ 1 = 45º , φ 2 = 90º , a = 0º , b = 45º 2, c = 90º es2 2
0
90
0
45
2
45
90
1, 2
tan 2α a
ε 1, 2
=
ε 0 + ε 90
tan 2α a
2
±
= ε 0 −ε 20 ε −45ε 90+ ε 90
(ε 0 − ε 45 ) 2 + (ε 45 − ε 90 ) 2 2
0 45 90 2 ε ε ε = −ε − ε + 0 90
Notar cuidadosamente que cuando α a es positivo uno mide en sentido CCW desde el eje de deformación al eje ε 0 o CW desde ε 0 al eje de la deformación principal. Se definen direcciones perpendiculares para ε 1 y ε 2 . A los efectos de ver cual dirección coincide con la de los ejes principales de aplica la regla de que la deformación principal deberá formar un ángulo menor a 45º con la mayor de las deformaciones principales normales ε 0 y ε 90. http://slidepdf.com/reader/full/ley-de-hooke-generalizada-y-ecuaciones
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Ejemplo- Las lecturas obtenidas con una roseta rectangular se muestran en las figuras (las lecturas son en μm por m ). Determínese la magnitud y orientación de las deformaciones principales y verifique mediante el círculo de Mohr.
(a ) Gage readings. (b ) Equivalent rosettes.
1. Con objeto de adecuarse al incremento de 45º en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, las calibraciones deben designarse como se muestra en (b). 2.Sustituyendo en las ecuaciones se obtienen ε1,2 y los α y se representan. 3. Se dibuja el círculo de Mohr con base a los valores calculados.
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RELACIONES ESFUERZODEFORMACIÓN ELÁSTICA
Los dos capítulos precedentes trataban separadamente con los conceptos de esfuerzo y deformación en un punto. Las relaciones entre dichas cantidades tienen gran importancia para el diseño y el análisis de esfuerzos. Aparecen dos tipos de problemas: 1. Determinación del estado de esfuerzos en un punto desde un estado de deformaciones conocido. Se da cuando hay que evaluar esfuerzos a partir de deformaciones halladas experimentalmente. 2. Determinación del estado de deformaciones en un punto desde una estado conocido de esfuerzos, esto problema se encuentra durante el diseño de partes, cuando se asume que actúan ciertas cargas y se quiere chequear holguras críticas y rigideces. http://slidepdf.com/reader/full/ley-de-hooke-generalizada-y-ecuaciones
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Ley de Hooke generalizada y ecuaciones LeydeHookeGeneralizadayEcuaciones-slidepdf.com
esfuerzo vs. deformación σ = C ε + C ε + C ε + C γ x
Para el estado general de esfuerzos
σ y
+ C 15γ yz + C 16γ zx = C 21ε x + C 22ε y + C 23ε z + C 24γ xy + C 25γ yz + C 26γ zx 11 x
12 y
13 z
14 xy
en tres dimensiones, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . la ley de Hooke fue τ zx = C 61ε x + C 62ε y + C 63ε z + C 64γ xy + C 65γ yz + C 66γ zx generalizada por Afortunadamente, se puede deducir de la teoría de elasticidad Louis Cauchy (1891857) diciendo que que materiales elásticos e isotrópicos sólo 2 de dichas constantes cada una de las seis son independientes : componentes de C 15 = C 16 = C 25 = C 26 = C 35 = C 36 = C 45 = C 46 = 0 esfuerzo es función lineal de todas las C 14 = C 24 = C 34 = C 41 = C 42 = C 43 = C 56 = C 65 = 0 componentes de C C C C C C C C 51 52 53 54 61 62 63 64 deformación: = = = = = = = =0 C 12 = C 13 = C 21 = C 23 = C 31 = C 32
= C 22 = C 33 C 44 = C 55 = C 66 C 11
C 44
= 12 (C 11 − C 12 )
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= λ y C 44 = G, las ecuaciones anteriores se reducen a : σ x = (2G + λ )ε x + λ (ε y + ε z ) σ y = (2G + λ )ε y + λ (ε x + ε z ) σ z = (2G + λ )ε z + λ (ε x + ε y ) τ xy = Gγ xy τ yz = Gγ yz τ zx = Gγ zx Sea C 12
La constante G se llama usualmente módulo de corte o módulo de rigidez . Es definida por las tres últimas ecuaciones como el cociente entre el esfuerzo cortante aplicado y la correspondiente deformación cortante asociada. La constante λ se conoce como la constante de Lamé.
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Ecuaciones esfuerzo vs. Deformación en función de E y υ (coef. de Poisson) ε x
=
ε y
=
ε z
=
1
( ) x − υ σ y + σ z ]
[(1 − υ )ε
+ υ (ε y + ε z )]
[(1 − υ )ε
+ υ (ε x + ε z )]
[(1 − υ )ε
+ υ (ε x + ε y )]
σ x
=
[σ
y − υ (σ x + σ z )]
σ y
=
[σ z − υ (σ x + σ z )]
σ z
=
τ xy
=
τ yz
=
τ zx
Gγ γ = 2(1 E + υ ) zx = zx
E 1 E 1 E
E
[σ
γ xy
= 2(1 + υ ) τ xy = τ xy
γ yz
=
γ zx
= 2(1 + υ ) τ zx = τ zx
E
2(1 + υ ) E E
τ yz
=
G τ yz G G
(1 + υ )(1 − 2υ ) E
(1 + υ )(1 − 2υ ) E
(1 + υ )(1 − 2υ ) E γ xy 2(1 + υ ) E
2(1 + υ )
γ yz
x
y
z
= Gγ xy = Gγ yz
Para el caso especial en que los ejes x, y , z sean coincidentes con los ejes principales 1, 2 y 3, las ecuaciones anteriores pueden simplificarse puesto cortantesque son tanto cero las deformaciones cortantes cono los esfuerzos
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Para el caso particular de esfuerzos biaxiales: uno de los esfuerzos principales (σ3 = 0), entonces:
Resolviendo y simplificando:
ε 1 =
1
(σ 1 −υσ 2 ) E 1 ε 2 = (σ 2 −υσ 1) E υ ε 3 = − (σ 1 +σ 2 ) E
Para el caso de esfuerzos uniaxiales:
−υ ε 3 = (ε 1 − ε 2 ) 1−υ σ 1 =
2
E
1−υ E
2
2
(ε 1 +υε 2 )
ε 1 ε 2
2
1
σ = 1−υ (ε +υε ) σ 3 = 0
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1 σ 1 = E
= ε 3 = −
υ E
σ 1
= E ε 1 σ 2 = σ 3 = 0 σ 1
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Deflexión y razón
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de elasticidad Las fórmulas básicas de deflexión y elasticidad se dan en la tabla 5.1, complementadas por las tablas de torsión (5.2)
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Los tres primeros casos consideran la deflexión en el LeydeHookeGeneralizadayEcuaciones-slidepdf.com
punto de aplicación de En la carga en de la dirección de al aplicación de la carga. cada yuno estos casos, ecuación solo establece que la deflexión varía en forma lineal con la carga y con la longitud, y en forma inversa con una propiedad geométrica de rigidez de la sección transversal. La razón de elasticidad también se conoce como una constante del resorte o constante de elasticidad . Para las deflexiones lineales, la constante elástica se designa por k (N/m o lb/in). Para las deflexiones angulares, se usa el símbolo K (lb.ft/rad, etc.). En el caso 4 obsérvese que la longitud debe elevarse al cuadrado. esto debe ser así debido a que la del deflexión lineal la longitud y con la inclinación extremo. Enaumenta 5, la longcon debe elevarse al cubo porque el momento de flexión es un factor adicional que se incrementa con la longitud.
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Deflexión en vigas
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Las vigas son elementos estructurales sujetos a cargas transversales. Los ejemplos incluyen ejes de máquinas, resortes de ballesta, elementos del chasis de los automóviles y otras piezas de máquinas y estructuras. Con frecuencia una viga requiere una sección transversal mayor para limitar la deflexión que la necesaria para limitar el esfuerzo. Por lo tanto, muchas vigas de acero se fabrican con aleaciones de bajo costo debido a que tienen el mismo módulo de elasticidad (por lo tanto la misma resistencia a la deflexión elástica) que los aceros mas resistentes de costo elevado. Existen muchos métodos para calcular deflexiones de vigas: Áreamomento, integración por funciones de singularidad, integración gráfica, intergración numérica, etc)
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Figure 5.13 (p. 183) State of (a ) stress and (b ) strain for Sample Problem 5.1 and aluminum material.
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Ecuaciones fundamentales:
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Intensidad de carga x
=
d 4δ dx
4
EI = w
3
Esfuerzo cortante Momento flector Pendiente
Deflexión
x = d δ EI = V 3 dx x = x =
d 2δ
EI = M
dx 2 d δ EI = θ dx
x = δ
Deflection determination for an end-supported stepped steel shaft with two concentrated loads
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Determinación de las deflexiones elásticas por LeydeHookeGeneralizadayEcuaciones-slidepdf.com
el método de Castigliano
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Teorema de Castigliano 5/10/2018
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En la figura se muestra una curva carga-deflexión general para un sistema elástico. Los símbolos Q Δ son indicar generales y ypueden cualquier tipo de carga (axial, torsional, flexión o cortante transversal) y su correspondiente deflexión (lineal o angular). El único requerimiento es el de “relacionamiento lineal” , lo
Que corresponde al área bajo la curva
que implicaestán que todos esfuerzos dentrolos del rango elástico y no ocurren inestabilidades.
de la figura. Si el material es área es perfectamente elástico, dicha también igual a la energía elástica U almacenada dentro del material
∫
Trabajo = Qd Δ
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Además, debido a que el sistema es
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Además, debido a que el sistema es lineal, dicha energía también será igual
U ' = U =
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QΔ
2
al área U' (energía complementaria) : Vale decir que la energía elástica almacenada es igual a la deflexión multiplicada por la QΔ fuerza promedio. = energía adicional U ' = U La 2 asociada con la carga incremental dQ es: La tasa de cambio de la energía con la
dU
carga cuando actúa dicha carga Q es:
dQ
dU ' = dU = ΔdQ =
ΔdQ dQ
=Δ ó
Δ=
dU dQ
De aquí que la deflexión elástica en este sistema simple es la derivada de la energía de deformación respecto de la carga aplicada 2º TEOREMA DE CASTIGLIANO: Cuando un cuerpo es deformado elásticamente mediante cualquier sistema de cargas, la deflexión en cualquier punto P y en cualquier dirección a, es igual a la derivada parcial de la energía de deformación (con el sistema de cargas actuando) respecto de la carga P actuando en la dirección a .
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δ U
Matemáticamente, dicho teorema puede expresarse como:
Δ = δ Q
Cuando Q es una fuerza, Δ es una deflexión lineal (δ). Cuando Q es un momento, Δ es una deflexión angular (θ). El teorema puede ser aplicado incluso si el sistema de carga no incluye la carga en el punto P en la dirección a. En dicho caso es necesario aplicar una carga imaginaria (fuerza o momento “fantasma”), comúnmente designada . Luegoade quepara se obtenga su expresión, la misma será Q igualada cero obtener el resultado final.
1er TEOREMA DE CASTIGLIANO:
Q = δ U δ Δ
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Ejemplo 1: determinar la deflexión vertical en el extremo libre LeydeHookeGeneralizadayEcuaciones-slidepdf.com
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Ejemplo 2: deflexión tangencial de un anillo abierto LeydeHookeGeneralizadayEcuaciones-slidepdf.com
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Ejemplo 3: determinar la deflexión de un soporte con apoyos redundantes LeydeHookeGeneralizadayEcuaciones-slidepdf.com
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Figure 5.21c (p. 201) Deflection of piston ring versus ring radius (F = 1 lb.)
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Figure 5.21d (p. 201) Deflection of piston ring versus ring thickness b and ring width h .
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INESTABILIDAD ELÁSTICA-PANDEO LeydeHookeGeneralizadayEcuaciones-slidepdf.com
(a-d ) Elastically stable and (d-e ) potentially elastically unstable loaded members.
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Initially straight column in Euler buckling.
Log-log plot of Euler eq. 5-11
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(dimensionless, hence applies 5/10/2018
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to all materials elastic range. within their
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Euler column buckling curves illustrated for two values of E and S y .
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Equivalent column lengths for various end conditions.
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Euler and Johnson column curves illustrated for two values of E and S y
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Solid round steel connecting rod in compression
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Aluminum connecting rod
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Comparison of secant and
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Euler formulas for E = 207 GPa. S y = 400 MPa.
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Examples of local buckling.
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Figure P5.3 (p. 221)
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Figure P5.7 (p. 221)
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La solución simultánea de las ecuaciones (3) para el caso http://slidepdf.com/reader/full/ley-de-hooke-generalizada-y-ecuaciones particular: φ 1 = 45º , φ 2 = 90º , a = 0º , b = 45º , c = 90º es
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ε 1, 2
=
ε 0 + ε 90
tan 2α a
2
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±
(ε 0 − ε 45 ) 2 + (ε 45 − ε 90 ) 2 2
= ε 0 −ε 2ε −45ε + ε 90 0
90
Hay que notar que, cuando α a es positivo, uno mide en sentido CCW desde la deformación principal al eje ε 0 o CW desde el eje ε 0 al eje de la deformación principal. Se definen dos direcciones perpendiculares para ε 1 y ε 2. Para poder encontrar cual dirección coincide con que eje de deformación principal, se aplica la regla de que la deformación principal mas grande en valor absoluto debe formar un ángulo menor a 45º con la mas grande de las deformaciones normales 0 y 90 .
ε ε
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