Ecuaciones de Lamé
Ley Generalizada de Hooke Ho oke
LEY DE HOOKE
La ecuación = E se denomina LEY DE HOOKE Manifiesta proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones unitarias. El módulo módulo E es un valor valor característico de los materiales. materiale s. py
Límite de proporcionalidad (o inicio de de la fluencia) fluen cia) E MÓDULO DE ELASTICIDAD LINEAL DEL MATERIAL (Módulo de Young) E Parte recta del Diagrama = E El módulo de elasticidad E tiene dimensiones 1 de Esfuerzo, y representa la pendiente pendiente de la py porción recta inicial del diagrama - Zona de diseño elástico
Ley Generalizada de Hooke
Coeficiente de Poisson
Es una constante elástica que proporciona una medida del estrechamiento de sección de un prisma de material elástico lineal e isótropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento.
Ley Generalizada de Hooke
Ley Generalizada de Hooke
La ley de Hooke vista hasta ahora, se ha tratado de elementos sujetos a cargas axiales, con fuerzas dirigidas a un solo eje
x=E
, ahora consideraremos
elementos sometidos a cargas en los tres ejes , es decir una carga multiaxial.
Estado uniaxial de esfuerzo normal
Ley Generalizada de Hooke
Para cada dirección, la deformación unitaria total, es la suma de una DEFORMACIÓN UNITARIA LONGITUDINAL Y DOS DEFORMACIONES TRANSVERSALES. Por comodidad, puede usarse el Principio de Superposición
Ley Generalizada de Hooke
Para cada dirección se aplica la ley de Hooke y la relación de Poisson ' x
x
' y
E
' ' x
y
' ' ' x
E
z E
' ' y
x E
y E
' ' ' y
x E ' ' y y 1 E ' ' ' y z E ' y
z E
Por el principio de superposición las deformaciones unitarias totales, son: x ' x ' ' x ' ' ' x y ' y ' ' y ' ' ' y 2 z 'z ' 'z ' ' 'z
Ley Generalizada de Hooke
Reemplazando las ecs.1) en las ecs.2) y simplificando, obtenemos x y z
1 E 1 E 1 E
x y z y x z 3 z x y
Las ecuaciones (3) constituyen la Ley Generalizada de Hooke (para esfuerzos normales en tres direcciones ortogonales).
Ley Generalizada de Hooke
Si el material es elástico, lineal e isotrópico, los elementos de la matriz y sus correspondientes de la matriz , se relacionan mediante las ecuaciones: x y z E 1 y y x z E 1 z z x y E 4 1 xy xy G 1 xz xz G 1 yz yz G x
1
Estas ecuaciones nos permiten obtener las Deformaciones Unitarias Normales y Cortantes, conociendo los esfuerzos y las características elásticas (E, G) del material.
Ley Generalizada de Hooke
Las ecuaciones (4) pueden invertirse para obtener los esfuerzos en función de las deformaciones unitarias normales y cortantes. Se obtienen: x 2 x x y z y 2 y x y z z 2 z x y z
5.1
xy G xy xz G xz 5.2 zy G zy
Las ecuaciones (5.1) para , , se denominan Ecuaciones de LAMÉ (del Estado Triaxial de Esfuerzos Normales). Las constantes elásticas están dadas por:
E 21
G ;
Denominadas Constantes Elásticas de Lamé.
E 1 1 2
G
INVARIANTE
Cantidad cuyo valor no depende del sistema de coordenadas de referencia.
A
2
r
Invariante
Las coordenadas del centro (C) cambian si se consideran otros sistemas de coordenadas. Las coordenadas del centro C no son invariantes.
+ + (traza de la matriz ) se denomina Primer Invariante de Esfuerzos: = + +
La suma 1
La suma + + (traza de la matriz ) se denomina Primer Invariante de Deformaciones Unitarias. 1 = + + Entre 1 1 se verifica la relación
1
1 2 E
1
(La invarianza 1 demostrará al estudiar la Transformación General de Esfuerzos). El invariante 1 = + + es numéricamente igual al cambio Unitario de Volumen.
1 x y z
V V0
1 x y z
V V0
Por consiguiente el variante θ 1 mide el cambio de volumen por unidad de volumen.
Un estado de esfuerzos definido por la matriz 0 0 0 0 p 0 0 0
se llama ESTADO HIDROSTÁTICO DE ESFUERZOS.
(Estado volumétrico ó Estado de comprensión triaxial). Recuerda al principio de Pascal: La presión hidrostática es la misma en todas las direcciones. Si el material es elástico, lineal e isotrópico, tenemos 1 2 1 p p p E
p
E 31 2
1
es decir
p K1
siendo
K
E 31 2
el denominado módulo de compresibilidad del material. (módulo volumétrico, bulks). K: representa un valor de esfuerzo de compresión necesario para producir una deformación volumétrica igual a la unidad (K es el valor de –p para generar θ1 = 1).
Ejercicio 1
Una varilla de latón AD está acoplada a cierto dispositivo que aplica un confinamiento (presión lateral) de 8,000 lb/pulg2 en la porción BC de la varilla. Sabiendo que E = 15 ×106 lb/pulg2 y , determinar: (i) El cambio en la longitud AD (ii) El cambio en el diámetro en la sección central de la varilla.
Usamos la ley generalizada de Hooke en dirección OY: Tenemos :
Reemplazando valores:
En cambio en la longitud AD será
Ley Generalizada de Hooke
(Notar que solo la longitud L = 10’’ está afectada por el confinamiento)
ii) Cambio en el diámetro: x x
1 E
x
y z
1 15 10
6
8000 0.33 8000
x 357.33 x 10 -6 (disminuci ón del diámetro)
Luego
d d x
d 2' ' 357.33 10 6 d 714.66 10 6 pu lg adas
Ejercicio 2
Sobre un cubo de 1 m. de arista, cuyo material es elástico lineal quiere inducirse el Estado de Deformación Unitaria dado por la matriz:
donde (x, y, z), son las coordenadas de cualquier punto del sólido, expresadas en cm. Se conoce que ; ; Calcular los esfuerzos requeridos en las caras del bloque.
Con los valores E, determinamos las constantes de Lamé
2.6 105 0.3 E 1.5 10 5 Kg / cm2 1 1 2 1 0.31 0.6
E 21
2.6 10 5 21 0.3
10 5 Kg / cm 2
Usamos las ecuaciones de Lamé para calcular los esfuerzos requeridos en las caras del sólido (Ecuaciones 5.1): x 2 x x y z
(y similares)
x 210 5 210 5 x 1.510 5 210 5 x 210 5 y 210 5 (Las deformaciones
x, εy, εz, → se
ε
obtienen de la matriz
Simplificando se obtiene : De manera similar procedemos para las direcciones y,z. obtenemos:
z 3x 3y 7
y 3x 7y 3
A partir de las ecuaciones para esfuerzo cortante (ecs 5.2) obtenemos;
xy G xy xy 10 5 210 5 2 xy
2 K
( recordar que G = μ)
, de la matriz
De manera similar tenemos:
xz 0
Resumen de ecuaciones para los esfuerzos 7x 3y 3
xy 2
y 3x 7 y 3
xz 0
z 3x 3y 7
yz 0
x
yz 0
Ejercicio 3 Una placa rectangular de espesor “d” está comprendida entre dos planos paralelos rígidos cuya separación es invariable. La placa está sometida a las fuerzas indicadas P y Q. Calcular la presión que ejerce la placa sobre los planos rígidos.
De donde obtenemos:
Reemplazando los esfuerzos normales, obtenemos
Q P z bd ad
La presión total ejercida sobre los planos rígidos, es:
PTOTAL
z ab
(área indicada).
a P Q b ab P Q PTOTAL d ad bd d
(compresión sobre los planos rígidos).
