Republica Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular para la Educación. Universidad Simón Bolívar. Departamento de Física. Laboratorio D.
Práctica I-06 Ley de Hooke.
Integrantes: Leander Pérez 10-10872 Adriana Márquez 10-10420
Introducción. La ley de elasticidad de Hooke, plantea una relación entre la fuerza deformante aplicada a un resorte elástico y su estiramiento longitudinal. Según el material y la longitud con que están hechos los resortes, poseen diferentes constantes de elasticidad. El informe tiene como objetivo determinar la constante elástica de un resorte helicoidal, seguidamente determinar la masa de un objeto mediante dos métodos: uno estático, en el que se utiliza el resorte como un dinamómetro; y otro dinámico, donde se utiliza el resorte como un oscilador armónico simple. En este informe usaremos un resorte helicoidal de carga máxima 1Kg, porta-pesas y un juego de pesas, regla reg la con una precisión de 1mm, 1 mm, cronometro cr onometro con una precisión de 0,01s 0, 01s además de los materiales necesarios para realizar el montaje, base, nuez y barras de soporte. El informe consta de un marco teórico, donde se plantea la ley de Hooke, una breve explicación del experimento y el análisis de los resultados finales.
Marco Teórico. Si no aplicamos una fuerza muy grande para defórmalo ni una muy pequeña para no moverlo, un resorte se comporta de manera elástica. Para estos límites, Robert Hooke (16351703) estableció una relación entre la fuerza y el estiramiento de estos resortes, que dice:
Donde F es la fuerza de fuerza hecha por el resorte al ser estirado o comprimido, k es la constante de elasticidad y
l
es igual a la longitud del resorte lo en posición de equilibrio menos
su longitud al ser deformado elásticamente l .
Para determinar la constante constante elástica a través del método estático, escribimos la segunda segunda ley de Newton para un objeto e n reposo suspendido por un resorte, esto nos quedaría:
Donde M es la masa del objeto y g es la gravedad local. Seguidamente, para determinar la constante elástica por el método dinámico, colocamos al sistema masa-resorte en un movimiento armónico simple. Sabemos que período viene dado por:
Donde M es la masa del objeto dicho anteriormente y Meq es la masa equivalente del
resorte, esta última sería igual a la masa del resorte entre tres (
.
Por último, para la propagación del error utilizaremos derivadas parciales:
|| Procedimiento experimental: Una vez realizado el montaje mostrado en la fig. 1 procedemos a calcular la constante de elasticidad por el método estático. Método elástico: Vamos suspendiendo masas de 200g, 250g, 300g, hasta llegar a 600g; a su vez vamos registrando los estiramientos del resorte debido a las fuerzas ejercidas en cada ocasión. Usando las aproximaciones matemáticas dadas
anteriormente
calculamos
la
constante
de
elasticidad. Conocida ya la Constante de elasticidad, mediante un procedimiento similar, calculamos la masa desconocida de un objeto dado. Suspendemos el objeto al cual deseamos conocer su mas, medimos el desplazamiento y usamos la relación entre el peso y el desplazamiento producido para hallar la masa y a su vez el peso del objeto. Fig. 1 Montaje Montaje experimental Laboratorio I de Física, 3era Edición, Universidad Simón Bolívar.
Método dinámico: Procedemos ahora a calcular la constante de elasticidad por el método dinámico. Como en el método anterior, colocamos sucesivamente masas en el resorte desde 200g hasta 600g, una vez el sistema se encuentre en equilibrio, le suministramos energía potencial al resorte de manera que el sistema entre en un movimiento armónico simple, calculamos el periodo de este movimiento para cada masa. Para el cálculo de la masa de un objeto desconocido repetimos el procedimiento anterior, y ya que esta vez conocemos la constante elástica, calculamos la masa y el peso del objeto.
Resultados Experimentales: Experimento 1. Método Estático.
Masa: M (kg) Estiramiento: x (cm) Estiramiento: x (m) Error x: ∆x (m)
Masa: M (g) 200
0,200
5,3
0,053
0,001
250
0,250
6
0,060
0,001
300
0,300
7,3
0,073
0,001
350
0,350
8,4
0,084
0,001
400
0,400
9,7
0,097
0,001
450
0,450
10,8
0,108
0,001
500
0,500
12,1
0,121
0,001
550
0,550
13,2
0,132
0,001
600
0,600
14,3
0,143
0,001
Constante Elástica: k (N/m)
42,1
∆k (N/m) 0,7
Masa Desconocida: Mp (kg)
0,50
∆Mp (kg) 0,02
4,8
∆Wp (N) 0,2
Peso Desconocido: Wp (N)
Tabla 1. Resultados obtenidos por el método estático
Gráfico 1. Estiramiento en función de la masa, representación de los resultados correspondientes a la tabla 1.
Experimento 2. Método Dinámico.
Masa: M (kg)
tiempo: t (s)
Período: T (s)
T² (s²)
Error T: ∆T (s)
0,200
24,68
0,504
0,254
0,002
0,250
26,88
0,549
0,301
0,002
0,300
29,96
0,611
0,374
0,002
0,350
30,76
0,628
0,394
0,002
0,400
32,79
0,669
0,448
0,002
0,450
34,48
0,704
0,495
0,002
0,500
36,09
0,737
0,542
0,002
0,550
37,72
0,770
0,593
0,002
0,600
39,09
0,798
0,636
0,002
Constante Elástica: k (N/m)
41,6
∆k (N/m) 0,2
Masa Desconocida: Mp (kg)
0,53
∆Mp (kg) 0,01
Peso Desconocido: Wp (N)
5,2
∆Wp (N) 0,1
Masa Equivalente del Resorte: Meq (kg)
0,073
∆Meq (Kg) 0,003
Tabla 2. Resultados obtenidos por el método dinámico.
Gráfico 2. Cuadrado del Período en Función de la Masa. Representación de los resultados cor respondientes a la tabla 2.
Conclusión: Hemos calculado la constante de elasticidad de un resorte k por dos métodos distintos, además de la masa y el peso para un objeto dado. Los resultados se expresan a continuación:
Método Empleado
Constante K (N/m)
∆K (N/m)
Masa M (Kg)
∆M (Kg)
Peso W (N)
∆W
Estático
42,1
0,7
0,50
0,002
4,8
0,2
Dinámico
41,6
0,2
0,53
0,001
5,2
0,1
Tabla 3. Resumen de los resultados obtenidos por ambos diferentes métodos.
Actividad Complementaria 2. Introducción. La actividad complementaria consiste en diseñar un experimento para probar o refutar la 1
ecuación sugerida por F.M. de Souza , la cual expresa la relación entre la constate elástica y la longitud del resorte. La constante elástica es una propiedad intrínseca del resorte, esta depende de la geometría y del material con que este fabricado. Para verificar esto, estudiaremos dos resortes del mismo material (plástico) (plástico) y de diferente diámetro. En esta experiencia usaremos una cinta métrica y una balanza con precisiones de 1mm y 0,1g respectivamente
Marco Teórico. Debemos tomar ciertas consideraciones al aplicar el siguiente experimento. En primer lugar, la Ley de Hooke solo se cumple para materiales con comportamiento elástico. Y en segundo lugar, el resorte debe tener cierto espacio entre cada espiral, de manera que el mismo se pueda comprimir y estirar sin ninguna dificultad. La ecuación propuesta por de Souza dice que la constante elástica K es inversamente proporcional a la longitud del resorte lo y directamente proporcional a una constante
, que
α
depende del material con que el resorte está hecho y de factores geométricos, como el diámetro 1
de sus espirales .
Para encontrar la constante elástica, aplicamos la segunda ley de Newton para un cuerpo suspendido verticalmente en un resorte en reposo. La ley de Hooke enuncia el estiramiento de un resorte es proporcional a la fuerza aplicada para estirarlo, en nuestro caso, el peso de una masa colgada del resorte:
Donde m es la masa del objeto, g es la gravedad local y x es el estiramiento del resorte. Despejamos la constante k y nos queda:
Por último, para saber el grado de relación entre k y lo utilizaremos el coeficiente de correlación de Pearson, que enuncia:
∑ √ ∑ ∑ ∑ ∑√ ∑∑∑
Siendo X Siendo X la la longitud de cada resorte y Y la Y la constante elástica de los mismo.
Procedimiento experimental: Primero, pesamos nuestra masa (ver fig. 1) y realizamos el montaje de nuestro experimento (Fig. 2). Luego de haber realizado el montaje, suspendemos nuestra masa de 0,1 Kg del resorte y calculamos la constante de elasticidad usando la ecuación (3), r ecortamos el resorte y repetimos el procedimiento anterior para diferentes longitudes. Este procedimiento fue el mismo para ambos resortes (Ver fig.3)
Fig. 1 Masa de 0,100 kg
Fig.3 Masa suspendida de uno de los resortes. Fig. 2 Montaje Experimental
Resultados Experimentales: Resorte 1 Diámetro Externo (cm)
16
Diámetro Interno (cm)
13
Masa Suspendida: M (kg)
0,100
Peso Suspendido W (N)
0,978
Longitud del Resorte: L (m)
Estiramiento: x (m)
Constante Elástica: K (N/m)
1/L (m^-1)
0,330
0,100
9,778
3,030
0,300
0,095
10,292
3,333
0,270
0,085
11,503
3,704
0,240
0,075
13,037
4,167
0,210
0,065
15,043
4,762
0,175
0,055
17,778
5,714
0,150
0,052
18,804
6,667
0,125
0,040
24,445
8,000
0,090
0,035 0, 035
27,937
11,111
0,064
0,026 0, 026
37,607
15,625
0,033
0,015 0, 015
65,186
30,303
Tabla 1. Resultados correspondientes al resorte 1
Grafico 1. Correspondientes al los datos de la tabla 1. La linea es sólo para guiar la vista.
Grafico 2. Correspondiente al resorte 1. Se muesta que la relacion entre k y L es inversamente proporcional.
Resorte 2 Diámetro Externo (cm)
21
Diámetro Interno (cm)
18,3
Masa Suspendida: M (kg)
0,100
Peso Suspendido W (N)
0,978
Longitud del Resorte: L (m)
Estiramiento: x (m) Constante Elástica: K (N/m)
1/L (m^-1)
0,305
0,340
2,876
3,279
0,275
0,305
3,206
3,636
0,250
0,275
3,556
4,000
0,220
0,253
3,865
4,545
0,194
0,215
4,548
5,155
0,185
0,210
4,656
5,405
0,155
0,178
5,493
6,452
0,130
0,141
6,935
7,692
0,100
0,105
9,312
10,000
0,070
0,071
13,772
14,286
0,040
0,050
19,556
25,000
Tabla 2. Correspondiente al Segundo resorte.
Gráfico 3. Correspondiente a los datos de la tabla 2, La línea es sol o para guiar la vista.
Gráfico 4. Correspondiente al segundo resorte. Se muestra que la relación entre k y L es inversamente proporcional.
Conclusiones: Haciendo un ajuste lineal de los gráficos 2 y 4 podemos observar que la relación entre la constante de elasticidad k y la longitud del resorte es inversamente proporcional, siempre y cuando se mantengan regímenes elásticos. Decimos esto basados en el 2
coeficiente de correlación al cuadrado R el cual dio un 99% de ajuste en el primer caso y un 98% para el segundo resorte. Además de esto, podemos afirmar también, que la constante de elasticidad k también se relaciona, esta vez proporcionalmente a un factor que denominaremos α el
cual depende del material del objeto y de sus características geométricas. En las graficas 2 y 4 este valor se encuentra representado en las pendientes de las rectas. 2,01±0,06 y 0,80±0,03 para el resorte 1 y 2 respectivamente. Ya que los resortes estaban construidos con el mismo material y la única diferencia existente eran sus diámetros (resorte 1 < resorte 2) podemos concluir que a mayor diámetro tendremos un menor α y por tanto una menor constante k, recordando que los resortes deben ser del mismo material. Notas: 1.
F.M.S. Lima, G.M. Venceslau and E .R. Nunes, A Nunes, A New Hooke´s Law Experiment. Experiment. The Physics Teacher.
Vol. 40, January 2002.
