Ley de Hooke Generalizada
Un medio se dice que es elástico si posee un estado natural, en el cual esfuerzos y deformaciones son cero, y al cual se puede “volver” luego de que las fuerzas aplicadas son removidas. Bajo cargas aplicadas, los esfuerzos y las deformaciones “cambian” juntos, y las relaciones entre estos, denominadas relaciones constitutivas , son una importante característica de los medios. Estas relaciones constitutivas iniciaron su desarrollo hace más de 300 años atrás, con las determinaciones determinaciones experi menta mentale less desarrolladas por R obert obert Hooke sobre “cuerpos elásticos” . Hooke concluyó que el es fuerzo es proporci propor cional onal a la deformaci deformación ón .
Ejemplo: Ensayo barra a tracción.
Un caso ilustrativo de este concepto, corresponde al análisis unidimensional de un ensayo de tracción de una barra de acero. En este caso, la tensión por unidad de área transversal de la barra, es proporcional al alargamiento unitario de ésta, tal como se esquematiza en la figura adjunta. Se aprecia que, en cierta zona la relación entre el alargamiento unitario y la tensión, se puede considerar “lineal” , pudiendo identificarse el valor de la pendiente pendi ente de es ta recta rec ta, como la constante que relaciona esta variable.
Supóngase que se considera sólo la acción de : entonces el cubo se alargará en la dirección principal I y al mismo tiempo, por efecto Poisson, se acortará en las otras dos direcciones principales, II y III.
El alargamiento en la dirección I se expresa como:
=
y el decremento en las direcciones II y III debido a
se expresa como:
= = ;
Donde es el Módulo de Poisson del material considerado, ya que recordando su definición:
= ó Contracción lateral unitaria
→
=
Aplicando al caso en cuestión:
. Alargamiento axil unitario
De igual forma si se considera sólo el efecto de
=
El alargamiento en la dirección II debido a
es:
se tiene:
=.
y el decremento en las direcciones I y III debido a
=
es:
=
;
=
De igual forma debido a la acción de
el alargamiento en la dirección III es:
y el decremento en las direcciones I y II debido a
=
;
es:
=
,
Sumando las contribuciones aisladas de original objeto de este estudio, resultando:
se produce el caso
= 1 = 1 = 1
Las ecuaciones constituyen la ley de Hooke generalizada en ejes principales para materiales isótropos y homogéneos. Isótropo porque se supone que tanto el Módulo de Elasticidad como el de Poisson no varían con la dirección. Homogéneo porque las propiedades en un punto determinado son independientes de la posición del mismo en el sólido. Las deformaciones en función de las tensiones o bien la ley de Hooke generalizada a ejes cualesquiera es la siguiente:
=
= 1 1 = 1 = ;
=
;
=
Las ecuaciones expresarían:
; ; ; ; = 1 y
en notación de índices se
En este punto es necesario hacer unas consideraciones: a.
Aunque se ha trabajado con un único ensayo, el de tracción, se ha visto teóricamente que cuando la solicitación es cualquiera, o bien la orientación es cualquiera, aparecen las deformaciones tangenciales y las tensiones tangenciales asociadas. Sin embargo, el ensayo no puede contemplarlas por lo que se plantea la duda sobre si el desarrollo teórico realizado se corresponde con la realidad experimental.
b.
Para comprobar la veracidad cabría pensar en realizar un ensayo en el que sólo aparecieran tensiones tangenciales y comprobar el cumplimiento de las ecuaciones . Tal tipo de ensayo es el de torsión que se realiza con tubos de pared delgada y (aunque el tema será estudiado posteriormente con profundidad, de momento es suficiente para el alumno que sepa que un cuerpo sometido a un estado de torsión pura trabaja exclusivamente a esfuerzo cortante) los resultados corroboran la veracidad de las ecuaciones .
; ;
; ;
c.
La constatación experimental de la demostración teórica realizada consiste en aplicar superposición de los resultados de los dos ensayos: axil puro (ensayo de tracción) y cortante puro (ensayo de torsión). Del ensayo de tracción se obtiene la ley empírica dada por las ecuaciones , es decir:
; ;
= 1 = 1 = = =0 1 =
y del ensayo de torsión se obtiene:
= ; = ; =
= = =0
Está claro que la superposición de efectos reproduce las ecuaciones
= +
.
Así pues, tanto por el camino teórico como por el experimental se demuestra la verificación de la ley de Hooke generalizada a ejes cualesquiera. Si se invierten las ecuaciones de Hooke generalizadas, se obtienen las denominadas ecuaciones de Lamé para materiales isótropos:
=2 =2 =2 = 2 = 2 =2 =2 = 112
Las ecuaciones de Lamé expresadas en notación son:
donde (constante de Lamé) es:
Constantes Elásticas:
Según se vio, en la deducción de la ley de Hooke en ejes principales fue necesario hacer uso de dos constantes: y o bien Modulo de Elasticidad y Módulo de Poissón respectivamente. Posteriormente, en la deducción de la ley de Hooke generalizada a ejes cualesquiera se usó el Módulo de Rigidez que era simplemente una combinación de las dos anteriores, es decir:
= 21 ;;;
Luego al invertir la ley de Hooke para obtener las ecuaciones de Lamé se obtuvo la constante de Lamé como combinación de y . En definitiva, se han empleado las siguientes constantes:
Aún se puede definir una quinta constante conocida como Módulo de Compresibilidad K (Bulk Moduli en la nomenclatura anglosajona), que nace de la realización del ensayo de compresión hidrostático (ensayo triaxial), consistente en someter a una probeta a una presión uniforme en todas sus caras.
;;;;; 11 22 33 = = 3211 22 33 =32 = = 32 Δ = = = = 32 = 3 312
Si se parte de las ecuaciones y se suman las tres primeras (las tres últimas no existen en este tipo de ensayo) se obtiene:
Recordando que
y sustituyendo:
Sustituyendo valores:
, y teniendo en cuenta que
también es negativa, resulta:
Lógicamente todas las constantes están relacionadas y a continuación se expresan algunas de las posibles combinaciones:
2 = 2 2 = 12 = 3 3 = 12 3 = 21 = 2 2 = 3 = 2 1 = 2 112 9 = 32 = = 3 21 = 23 = 1 = = 3 312 312
Aparte es interesante reseñar las siguientes dos relaciones que suelen aparecer en ciertos casos de resolución de problemas de Elasticidad:
=12 ; = 2 1 A la vista de lo expuesto y sabiendo que todas las constantes son reales y positivas es fácil ver que necesariamente existen límites en sus valores. Así
y
= 1⁄2
12 ≥0 ⇒ ≤ 12 ≥0 =∞ = ∆
Así, implica que o lo que es lo mismo: un material que cuando se le somete a un estado de compresión no cambia de volumen (material incompresible ya que
=0
).
El otro límite significaría un material que cuando se le somete a un estado de tracción no se acorta en las direcciones perpendiculares a las de aplicación de la fuerza.
EJERCICIOS: 1. Un cubo de aluminio de lado, se coloca libremente sin holguras en un cuerpo sólido indeformable, tal como se muestra en la figura y es comprimido por una fuerza P=180 kN. Determinar los esfuerzos principales y deformaciones principales para cualquier punto del cubo. Calcular la deformación volumétrica y la variación absoluta de volumen, así como la densidad total de energía de deformación, densidad de la energía por variación de volumen y densidad de la energía por variación de forma. Considere E=0.7x105 MPa,
=0.36
Solución: El cubo se encuentra en un estado de esfuerzo homogéneo (igual en todos sus puntos) y en consecuencia se puede aplicar la Ley de Hooke generalizada en su totalidad del elemento. El lado libre perpendicular al eje OZ está sombreado y libre de esfuerzos, esto es . El esfuerzo en los lados superior e inferior del cubo será:
El esfuerzo
=0 18010 = = 510− =7.210 =0
se determina a partir de la condición que la deformación en el eje
OX es cero , debido a que por condición del problema el cuerpo donde se coloca el cubo, es sólido e indeformable. A través de la Ley de Hooke generalizada, tenemos:
De donde:
= 1 [ ( )]=0 = =0.367.210=259.210 = =0 = =259.210 =25.92
Finalmente, tenemos que:
= =72 Ahora determinamos las deformaciones principales:
1 00.3625.9272 =5.0310− = = 1 [ ( )]= 0.710
= =0
1 720.3625.920=8.9510− = = 1 [ ]= 0.710 La deformación volumétrica será:
= =8.9510− 5.0310− =3.9210− De esta manera, la variación absoluta de volumen es:
Δ=.=. =3.92105 =0.049 =4.910− Ahora calculamos la densidad total de energía de deformación:
= 20.7110 25.92 72 20.3625.9272 =3222.9710− ⁄ =32229.7 ⁄ Las densidades de la energía por variación de volumen y de forma serán:
3 6 − ⁄ ⁄ = 120. 25. 9 272 =639. 2 210 =6392. 2 60.710 25. =2583. ⁄ = 60.10.36 9 2 25. 9 272 72 7 510 710 =25837.5 ⁄
2. Un sólido elástico macizo, de forma arbitraria, volumen 1000 cm3 y módulo de elasticidad E de 20 GPa, se introduce en un depósito cerrado lleno de aceite. Al aumentar la presión en el aceite hasta 1 MPa, el sólido experimenta una disminución de volumen de 0,05 cm3. Determinar los valores del coeficiente de Poisson µ y del módulo de elasticidad transversal G. Solución: Los fluidos en reposo no resisten tensiones tangenciales: sus fuerzas internas son siempre normales al plano de corte. En consecuencia, la matriz de tensiones en un punto P de un fluido en reposo será diagonal, con todos los términos de la diagonal iguales entre sí:
0 0 = 00 0 0 siendo p la presión en el punto P del fluido. El estado tensional dado por una matriz [T] de esta clase se conoce con el nombre de estado esférico o estado hidrostático. La presión de 1 MPa es lo suficientemente grande como para despreciar los cambios de presión de un punto a otro de la superficie del sólido sumergido causadas por las diferencias de profundidad en el campo gravitatorio:
ó á= í í ≪1 Entonces, despreciando también las acciones gravitatorias sobre el volumen del sólido, por equilibrio del sólido sumergido, la matriz de tensiones será constante en el sólido y de valor:
0 0 = 00 0 0
Con P igual a 1 MPa.
Tenemos entonces, por la definición de módulo de compresibilidad:
= Δ = 312 Despejando y sustituyendo:
1 12 = Δ 3 = 0.100005 20000 = 3 3 = 13 = 210.20 33 =7.5 = 21
3. Una barra de acero de 100 mm2 de sección tiene adherido a su superficie un recubrimiento de espesor despreciable. Cuando la barra se somete a una fuerza de tracción de 20 kN, el recubrimiento se deforma solidariamente con ella. Se pide determinar el estado tensional en el recubrimiento. Datos de los materiales: Acero Recubrimiento
=200 =0. 3 0 =10 =0.25
Solución: El acero impone sus deformaciones al recubrimiento. Las deformaciones del acero se obtienen a partir de su estado tensional, que es el mismo en toda la barra. Suponiendo que el eje X coincide con el eje longitudinal de la barra:
= 10020000 =200 = = = = =0
y
Utilizando las leyes de Hooke generalizadas, se obtienen las deformaciones en el acero:
= 200 200 =0.001 = = =0.0003
y
En la superficie de la barra el recubrimiento está sometido a un estado tensional bidimensional, ya que la tensión normal a la superficie es nula. El estado tensional está definido por una tensión normal según el eje de la barra y una tensión normal transversal al eje de la barra. Por simetría, el estado tensional del recubrimiento es el mismo en toda la superficie de la barra. Si nos fijamos en un elemento de superficie con plano tangente paralelo al plano coordenado XOY , las leyes de Hooke generalizadas se escriben:
= 1 = 1
Donde y son las deformaciones impuestas por el acero y y son las tensiones normales en el recubrimiento, en las direcciones longitudinal y transversal al eje de la barra. Sustituyendo valores se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
1 0.25 0.001= 10000
1 0.25 0.0003= 10000 Cuya solución es el resultado pedido:
=9. 8 7 =53
