PARTE III: ÁREAS DE CONOCIMIENTO
1) MATEMÁTICAS “La matemática no es física ni mental, es social.” (Reuben Hersh, 1927-) “Las combinaciones útiles en matemática son precisamente las más bellas.” (Henri Poincaré, 1854-
1912) “Las matemáticas son la llave abstracta que abre la cerradura del universo físico.” (John
Polkinghorne, 1930-) “Todo lo que puede ser contado no cuenta. Todo lo que cuenta no puede ser contado.” (Albert
Einstein, 1879-1970) “La señal de que un hombre es civilizado es la capacidad de mi rar a una columna de números y llorar.” (Bertrand Russell, 1872-1970) “El avance y la perfección de las matemáticas está íntimamente conectado con la prosperidad de un estado.” (Napoleon Bonaparte, 1769-1821) “Un matemático es una máquina de convertir café en teoremas.” (Paul Erdos, 1913-96) “Para hablar libremente, estoy convencido que la matemática es un instrumento de conocimiento más poderoso que cualquier otro.” (René Descartes, 1596 -1650) “En lugar de tener ‘respuestas’ en un examen de matemática, se las deberían llamar tan sólo ‘impresiones’, y si tenés una impresión diferente, ¿entonces qué?, ¿no podemos ser todos hermanos?” (Jack Handy, 1949-) “Si pudiera probar mediante la lógica que vas a morir en cinco minutos, lamentaría que te mueras, pero mi pena sería mucho más mitigada por el placer de la prueba.” (G. H. Hardy, 1877 -1947, a
Bertrand Russell) “La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que linda lo misterioso, y no hay explicación racional para ello.” (Eugene Wagn er, 1902-95) “En las puras matemáticas contemplamos verdades absolutas que existen en la m ente divina antes
de que las estrellas matutinas hayan cantado juntas, y que seguirán existiendo allí cuando el último de sus radiantes huéspedes haya caído del cielo .” (Edward Everett, 1794-1865)
Introducción
La Matemática es una materia que encanta y alarma a la gente en igual medida. Si alguien te pregunta “¿de qué cosa tenés más certeza en el mundo?”, seguramente contestarás que “2+2=4”. Seguramente no hay duda de ello. Las matemáticas parecen ser
una isla de certeza en un vasto océano de dudas. A nivel general, caracterizamos a las matemáticas como la búsqueda de patrones externos. Hay algo extraordinario acerca del hecho de que si tomamos cualquier cosa (no importa qué cosa sea) si tomamos dos de esa cosa y le sumamos dos más siempre se obtendrán cuatro de esa cosa. Similarmente, si se toma cualquier círculo (no importa si es grande o chico) y se divide su circunferencia por su diámetro siempre se obtendrá el mismo número, p. El hecho de que pareciera que haya un orden subyacente en las cosas, podría explicar por qué las matemáticas no sólo parecen darnos certezas, certezas, sino también un enorme valor práctico. práctico . Al comienzo de la revolución científica, Galileo (1562-1642) afirmó que el libro de la naturaleza está escrito en el lenguaje de las matemáticas. La certeza y utilidad de las matemáticas podrían ayudarnos a explicar su atractivo. El matemático y filósofo Bertrand Russell (1872-1970) recuerda cómo empezó a estudiar geometría a los once años: “Este fue uno de los grand es grand es eventos de mi vida, deslumbrante como un primer amor. No había imaginado que hubiera algo tan delicioso en el mundo.”
La descripción de Russell se torna algo incomprensible en algunos aspectos. Para muchas personas, palabras como “amor” o “delicioso” simplemente no cuadran con la palabra “matemática”. Las matemáticas pueden darnos un sentimiento de certe za, pero muchas la
encuentran amenazante justamente porque no nos deja un lugar para escondernos. Si se comete un error en un problema de matemática te pueden mostrar que estás errado. No podés afirmar que es una “interpretación “i nterpretación interesante” o “una manera original de verlo”, o que “todo depende de que entiendas por…”. Simplemente estás equivocado.
Analice ambas caricaturas. ¿Ponen en duda a las matemáticas? ¿Si, no, por qué? ¿Cómo plantean el conocimiento en relación a la matemática y a las maneras de conocer? ¿Hasta qué punto considera que la creencia de la gente acerca del valor de la matemática está determinada por su habilidad en la materia?
El pensamiento matemático también requiere una especie de atención selectiva de cosas, ya que hay que ignorar el contexto y operar en un nivel puramente abstracto. Mientras algunos encuentran esto fascinante, para otros tiene poco sentido. Las matemáticas, por su éxito, han establecido una suerte de “imperialismo” según el cual si
no se puede expresar algo con símbolos matemáticas entonces no tiene valor intelectual ni científico. Se puede sentir, sin embargo, que muchas cosas importantes en la vida escapan a las abstracciones de un sistema formal.
El paradigma matemático Una buena definición de las matemáticas suele ser: “ciencia de prueba rigurosa”.
La idea de las matemáticas como ciencia de pruebas data de los atiguos griegos. Euclides fue el más famoso de los matemáticos griegos, quien vivió en Alejandría (Egipto) alrededor del 300 A.C. Fue la primera persona en organizar la geometría en un sistema riguroso de conocimiento. La geometría que se estudia actualmente en el colegio secundario es básicamente geometría euclideana. El modelo de razonamiento desarrollado por Euclides es conocido como un sistema formal y tiene tres elementos claves: axiomas razonamiento deductivo teoremas Cuando se razona formalmente se comienza con axiomas, se usa el razonamiento deductivo y se derivan teoremas . Los teoremas pueden ser utilizados para seguir razonando y derivar así teoremas más complejos.
AXIOMAS Los axiomas de un sistema son sus puntos de partida o supuestos básicos. Por lo menos hasta el siglo XIX los axiomas matemáticos eran considerados como verdades autoevidentes que proveían bases sólidas para el conocimiento matemático. Probablemente nos veamos tentados a querer demostrar estos axiomas o, por lo menos, exijamos que sean demostrados. Pero no se puede demostrar todo sin caer en una regresión al infinito. Para empezar a razonar tenemos que partir desde algo y no hay mejor punto de partida que aquello que parece obvio. Los sistemas axiomáticos tienen 4 características:
CONSISTENCIA INDEPENDENCIA No debe dar lugar a No debe contradicciones contener axiomas innecesarios, que puedan deducirse o demostrarse a través de los demás.
SIMPLICIDAD Como son aceptados sin ser demostrados, deben ser lo más claros y simples posible.
FERTILIDAD Permite deducir un mayor número de teoremas al aplicar las reglas de inferencia.
Un sistema es independiente si todos sus axiomas lo son. Comenzando por algunas definiciones básicas (como “el punto es aquello que no tiene partes” y “la línea tiene longitud pero no anchura”), Euclides postuló cinco axiomas:
1. Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une. 2. Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección. 3. Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Este axioma es conocido con el nombre de axioma de las paralelas y también se enunció más tarde así: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO Es aquél que parte de premisas universales para llegar a una conclusión particular. Si las premisas son verdaderas, la conclusión también lo será necesariamente. En matemática, los axiomas son como las premisas, y los teoremas como las conclusiones.
TEOREMAS Usando los cinco axiomas y el razonamiento deductivo, Euclides derivó varios teoremas simples, como los siguientes: 1. 2. 3. 4.
Las líneas perpendiculares a una misma línea son paralelas. Dos líneas rectas no encierran un área. La suma de los ángulos de un triángulo es de 180 grados. Los ángulos de una línea recta suman 180 grados.
Estos teoremas tan simples pueden ser usados para construir pruebas más complejas. Considere la siguiente figura:
a
b
c
Se les dice que el ángulo a más el ángulo c es igual a 180 grados y se les pide que prueben que el ángulo b es igual al c. Dado a+c= 180 Demostrar b=c
La demostración sería la siguiente: 1. 2. 3. 4.
a+c= 180 y a+b= 180 (ver teorema 4) entonces a+c = a+b por lo tanto: b=c
Uno de los atractivos de esta prueba es la generalidad. No importa cuál sea el tamaño del ángulo a, si sabemos que el ángulo a + c = 180, entonces b debe ser igual a c.
Pruebas y conjeturas
Hasta ahora hemos afirmado que en un sistema formal se utiliza el razonamiento deductivo partiendo de axiomas para demostrar (o probar) teoremas. Aquí intentaremos clarificar qué significa “demostrar” o “probar” en el estricto sentido matemático del
término. Para lograrlo, podemos comparar una prueba o demostración con una conjetura. En una demostración, se muestra que el teorema se sigue lógicamente de los axiomas relevantes. Una conjetura, por el contrario, es una hipótesis que pareciera que funciona pero que no se demostró que sea necesariamente verdadera. Para ilustrar la diferencia entre estos dos conceptos considere lo siguiente:
Supongamos que uno empieza a calcular la suma de números impares. En los primeros pasos se tropieza con estos datos.
¿Alcanza a descubrir un patrón? Mire los resultados de la segunda columna y verá que se produce algo curioso: los números que aparecen son los cuadrados de los números naturales. Es decir, el patrón permite conjeturar que la suma de los primeros números impares se reduce a calcular el cuadrado de un número. En este caso, podemos pensarlo haciendo algunos dibujos:
En general, entonces, la suma de los primeros n números impares es igual a n 2 . Es decir: 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 1) = n 2 (extraído de: Adrián Paenza, Matemática ¿estás ahí? Episodio 3 , disponible en http://www.librosmaravillosos.com/matematicaepisodio3/capitulo03.html )
¿Podríamos afirmar entonces que hemos probado que 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n - 1) = n es verdadera porque la hemos comprobado en varios casos? ¡No! Todo lo que hemos hecho es razonar inductivamente (razonar yendo de lo particular a lo general). Si bien es un modo útil de razonar no nos brinda certeza.
2
Veamos la siguiente conjetura de Goldbach: (extraído de: Adrián Paenza, Matemática ¿estás ahí? Episodio 1 , disponible en http://www.librosmaravillosos.com/matestahi01/capitulo3.html#308 ) Conjetura de Goldbach
Estoy seguro de que a ustedes les habrá pasado alguna vez que se tropezaron con una idea pero no estaban tan seguros de que fuera cierta y se quedaron un rato pensándola. Si no les ocurrió nunca, empiecen ahora, porque nunca es tarde. Pero lo maravilloso es poder "entretener" en la cabeza de uno algún problema cuya solución sea incierta. Y darle vueltas, mirarlo desde distintos ángulos, dudar, empezar de nuevo. Enfurecerse con él. Abandonarlo para reencontrarlo más tarde. Es una experiencia inigualable: se las recomiendo. En la historia de la ciencia, de las distintas ciencias, hay muchos ejemplos de situaciones como las que expuse en el párrafo anterior. En algunos casos, los problemas planteados pudieron resolverse sencillamente. En otros, las soluciones fueron mucho más difíciles, llevaron años (hasta siglos). Pero como ustedes ya sospechan a esta altura, hay muchos de los que todavía no se sabe si son ciertos o falsos. Es decir: hay gente que ha dedicado su vida a pensar que el problema tenía solución, pero no la pudieron encontrar. Y otros muchos que pensaron que era falso, pero no pudieron encontrar un contraejemplo para exhibir. De todas formas, resolver alguna de las que aún permanecen "abiertas", traería fama, prestigio y también dinero al autor. En este capítulo quiero contar un poco sobre una conjetura conocida con el nombre de "La Conjetura de Goldbach". El 7 de junio de 1742 (piensen entonces que ya pasaron 263 años), Christian Goldbach le escribió una carta a Leonhard Euler (uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos), sugiriéndole que pensara una demostración para la siguiente afirmación: Todo numero par positivo, mayor que dos, se puede escribir como la suma de dos números primos
Por ejemplo, veamos los casos más fáciles: 4=2+2 6=3+3 8=3+5 10 = 5 + 5 12 = 5 + 7 14 = 7 + 7 = 3 + 11 16 = 5 + 11 18 = 7 + 11 = 5 + 13 20 = 3 + 17 = 7 + 13 22 = 11 + 11 24 = 11 + 13 = 7 + 17 864 = 431 + 433 866 = 3 + 863 868 = 5 + 863 870 = 7 + 863 y así podríamos seguir. Hasta hoy (agosto de 2005), se sabe que la conjetura es cierta para todos los números pares que sean menores que 4 x 10 13 . La novela Uncle Petros & Goldbach's Conjecture del escritor australiano (aunque creció en Grecia) Apostolos Doxiadis, publicada en 1992, en griego y traducida a diversos idiomas en el año 2000, es la que promovió que las compañías editoras Faber y Faber de Gran Bretaña y Bloomsbury Publishing de Estados Unidos ofrecieran un millón de dólares a quien pudiera resolver la Conjetura. Doxiadis es también reconocido como uno de los iniciadores de las novelas con "trama matemática" y ha dirigido además teatro y cine. Pero lo que importa en este caso es que la popularidad alcanzada por la novela devino en la oferta (que nadie pudo reclamar aún) de los editores. Hay otra Conjetura también planteada por Goldbach, conocida con el nombre de "La Conjetura Impar de Goldbach'", que dice que todo número impar mayor que cinco se escribe como la suma de tres números primos. Hasta el día de hoy (agosto del 2005) también permanece como un problema abierto de la matemática, aunque se sabe que es cierta hasta números impares de siete millones de dígitos. Si bien toda conjetura puede resultar falsa, la opinión "educada" de los expertos en teoría de números es que lo que pensó Goldbach es cierto y sólo es una cuestión de tiempo hasta que aparezca la demostración.
Ejercicio:
La Ley de Benford
Lo que sigue es un ejercicio que sirve para poner a prueba nuestras supuestas "convicciones" y para "descalificar" nuestra intuición. Le propongo que se tome el trabajo de hacer una serie de verificaciones, algo realmente muy fácil, pero que requiere de un poco de tiempo. Por eso, le sugiero que lo tome con calma y, en todo caso, hágalo cuando tenga un rato libre. Se va a
sorprender con los resultados... Acá va. a. Elija un libro que tenga cerca. Cualquiera. Ábralo en cualquier página, y anote el número (de la página). Ahora, tome un libro diferente y elija una página al azar también. Anote el número de la página otra vez. Repita este procedimiento con muchos libros hasta que haya anotado el número de 100 páginas o más. (Le dije que tenía que dedicarle un rato, pero no me diga que es difícil. Seguro que es tedioso, sí, pero no es complicado de hacer.) b. Entre en un negocio cualquiera. Anote los precios de 100 productos o más. No importa qué tipo de negocio. Si lo prefiere (y tiene acceso), vaya a cualquier página de Internet y anote los precios de diferentes productos que ofrezca. Pero tienen que ser 100 o más. c. Obtenga ahora las direcciones de las personas que trabajan con usted, o compañeros de oficina o de clase. No importa. Además, consiga que le escriban las direcciones de gente que ellos conocen hasta que complete, otra vez, 100 o más de esos números. No hace falta que pongan los nombres, sólo los números de las direcciones. d. Busque en Internet, o en cualquier enciclopedia, la población de 100 o más ciudades y/o pueblos del país en donde vive usted. Anótelos. Una vez que tenga esta lista de por lo menos 400 números (si es que hizo la tarea para el hogar que figura más arriba), sepárelos de la siguiente forma: Anote en una columna todos los que empiezan con el dígito 1. Luego, en otra columna, los que empiezan con el 2. Después, otra columna más, con los que empiezan con el 3. Y así, hasta tener 9 columnas. Todas empiezan con dígitos distintos, del 1 al 9. Antes de seguir, tengo algunas preguntas: ¿Usted cree que las columnas tendrán todas las mismas cantidades de números? Es decir, ¿tendrán todas las mismas longitudes? ¿O le parece que habrá alguna que será más larga? Antes de contestar, deténgase un momento y piense lo que usted cree que debería pasar. ¿No tiene la tentación de decir que "da lo mismo"? Es decir, uno intuye que, como eligió todos esos números al azar, el primer dígito puede ser cualquiera, debería dar lo mismo. Las columnas deberían tener todas longitudes similares. Sin embargo, ¡no es así! Lo que sigue es la presentación en sociedad de una de las leyes más "anti-intuitivas" que conozco. Se llama Ley de Benford. Los resultados (aproximados) que uno obtiene si hace los experimentos planteados más arriba, son los siguientes:
¿No es increíble que haya más de un 30% de posibilidades de que el dígito con el que empiece sea un número 1? ¿No parece mucho más razonable que para todos los dígitos sea 11,11% (que se obtiene de hacer 1/9)? No sólo eso. Luego, en escala descendente aparece el resto de los dígitos,
tanto que al número 9 le corresponde menos de un 5% en el papel de líder. Un alerta: esta ley, sin embargo, no se aplica a fenómenos que son verdaderamente aleatorios. Es decir, no se puede usar en la Lotería, donde la probabilidad de que salga cualquier número es la misma. Por ejemplo, si usted pone nueve bolillas en un bolillero, numeradas del 1 al 9, saca una, anota, la pone nuevamente adentro, hace girar el bolillero, saca otra, anota otra vez, y sigue con el proceso, encontrará que los números aparecen igualmente distribuidos; la probabilidad de que aparezca cada uno es de 1/9. Lo que hace falta es que no sean números al azar. Es decir, la Ley de Benford se aplica para conjuntos grandes de números que no sean aleatorios. Es decir que se usa esta ley cuando uno trabaja con conjuntos de muchos números, que obedezcan a la recolección de datos que provengan de la naturaleza (incluidos los factores sociales). Por ejemplo, si uno hiciera la lista de los montos de todas las facturas de luz que se pagan en la Argentina, entonces sí, ahí vale la ley. Si uno hiciera un levantamiento de la cantidad de kilos de carne que entraron por día en el mercado de Liniers en los últimos diez años, también. Lo mismo que si uno tuviera los datos de las longitudes de todos los ríos de un determinado país. Si bien no lo escribí antes, ignoro el 0 como dígito inicial, porque uno -en general- no escribe un 0 a la izquierda. Cualquier número significativo empieza con algún dígito que no sea 0. El que descubrió esto fue el doctor Frank Benford, un físico que trabajaba en la compañía General Electric. En 1938, cuando no había calculadoras ni computadoras, la mayoría de las personas que hacían cálculos usaba tablas de logaritmos. Benford observó que las páginas que contenían logaritmos que empezaban con "1" como dígito, ¡estaban mucho más usadas, sucias y ajadas que las otras! Así, empezó a sospechar que había algo particular detrás de esa observación, y lo fue a confrontar. De hecho, se dedicó a hacer el análisis de 20.229 conjuntos de números que involucraban categorías bien desconectadas entre sí: a. volúmenes de agua de todos los ríos de una región; b. estadísticas de béisbol de jugadores norteamericanos; c. números que aparecían en todos los artículos de un ejemplar dado de la revista Reader's Digest; d. distancias entre todas las ciudades de un país; e. direcciones de las primeras 342 personas que aparecían en la guía de American Men of Science (Hombres de Ciencia Norteamericanos); f. número de pobladores de cada una de las ciudades de un país; g) dólares a pagar por electricidad de los usuarios de una ciudad en particular. Al comprobar que se repetía el patrón que había descubierto con las tablas de logaritmos, Benford se dio cuenta de que tenía en sus manos algo muy importante y muy anti-intuitivo. Y se embarcó en hacer una demostración de lo que conjeturaba. Lo increíble de esta ley, más allá de lo anti-intuitiva, es que se usa -por ejemplo- para detectar a los evasores de impuestos. Un contador y matemático, el doctor Mark J. Nigrini, quien actualmente trabaja en Dallas, hizo la primera aplicación práctica de la Ley de Benford. La idea que usó es que, si alguien está tratando de falsificar datos, inexorablemente tendrá que inventar algunos números. Cuando lo haga, la tendencia es -por parte de la gente- usar muchos números que empiecen con 5, 6 o 7, y no tantos que empiecen con 1. Esto será suficiente para violar lo que predice la Ley de Benford y, por lo tanto, invita a que el gobierno haga una auditoría de esos números. La ley es claramente no infalible, pero sirve para detectar sospechosos. Lo curioso es que quienes usaron los primeros experimentos de Nigrini, aprovecharon para poner a prueba la declaración de impuestos de Bill Clinton. Nigrini concluyó que, si bien había más redondeos que los esperables, no parecía esconder ningún fraude al fisco. Un último dato, no menor. La ley se aplica aun modificando las unidades de medida. Es decir, no importa que uno use kilómetros o millas, litros o galones, pesos, euros, dólares o libras esterlinas: la ley vale igual.
Una manera interesante de convencerse de esto es la siguiente: supongamos que la distribución de los dígitos iniciales fuera uniforme, en el sentido de que todos los dígitos aparecerán en la misma cantidad. Ahora, imaginemos que uno tiene una lista con los importes de las cuentas de luz que pagaron todos los habitantes de una ciudad durante diez años. Supongamos que la moneda que usaban es la libra esterlina (sólo para fijar las ideas). Para hacer fáciles las cuentas, digamos que cada libra se cotiza a 2 dólares. Entonces, para convertir a dólares la lista que teníamos recién, habría que multiplicarla por 2. ¿Qué pasaría entonces? Que todos los números que empezaban con 1, al multiplicarlos por 2, tendrán ahora como primer dígito, o bien un 2 o bien un 3. Pero para todos aquellos que empezaban con un 5, 6, 7, 8 y 9, al multiplicarlos por 2, empezarán todos con un 1. ¿Qué dice esto? Sugiere que, si uno no cree en la ley, y supusiera que la distribución de los dígitos iniciales es uniforme, entonces, al convertirlo a cualquier moneda, tendría que conservarse ese patrón. Sin embargo, como acabamos de ver, el patrón uniforme no se mantiene. El patrón que se mantiene es uno con mayor abundancia del dígito inicial 1, seguido en abundancia por el dígito inicial 2, etc., de acuerdo con la Ley de Benford. Es difícil aceptar esta ley sin rebelarse. Es muy anti-intuitiva. Sin embargo, sígame con otra explicación porque permite intuir por qué el resultado puede ser cierto. Supongamos que uno empieza analizando la Bolsa de Buenos Aires, por poner un ejemplo. No se asuste, no hay nada que saber sobre acciones ni bonos externos ni fondos de inversión. Es sólo una manera de mirar las cosas desde otro ángulo. Para fijar las ideas, supongamos que hubiera un crecimiento anual de la economía del 20%, y que el promedio de todo lo que se cotiza en la Bolsa fuera 1.000 (o sea, si promediara las cotizaciones de todas las acciones, obtendría el número 1.000). Como se ve, el número 1 es el primer dígito. Para cambiar este primer dígito y pasar al siguiente, al 2, y llegar a 2.000, tendrán que pasar 4 años (componiendo el interés anualmente). Luego, durante 4 años se mantiene el 1 como primer dígito. En cambio, si uno empezara con 5.000, o sea con el 5 como primer dígito, en sólo un año (como el incremento anual es del 20%) pasaría de 5.000 a 6.000, y con ello cambia del 5 al 6. Es decir: el 1 se mantuvo cuatro años mientras que el 5, sólo uno. Peor aún: si empezara con un 9 como primer dígito, o sea con un promedio de 9.000 en la misma Bolsa, en un poco más de medio año cambiará el primer dígito otra vez, porque llegaría a los 10.000. Con esto, lo que se ve es que el 1 permanece mucho más tiempo como primer dígito que cualquier otro, y a medida que se acerca a 9, cada vez se sostiene menos tiempo. El 1 es el claro favorito. Creíble o no, la Ley de Benford tiene múltiples aplicaciones prácticas y sirve para exhibir, también, que nuestra intuición trastabilla cuando es puesta a prueba en situaciones no convencionales. Por eso, una vez más, la mejor manera de tomar decisiones en la vida es apoyarse en la ciencia. (extraído de: Adrián Paenza, Matemática ¿estás ahí? Episodio 3, disponible en http://www.librosmaravillosos.com/matematicaepisodio3/capitulo03.html )
Belleza, elegancia e intuición
Antes de comenzar con el siguiente tema, proponemos la lectura del siguiente texto extraído de Adrián Paenza, Matemática ¿estás ahí? Episodio 3 , disponible en http://www.librosmaravillosos.com/matematicaepisodio3/capitulo03.html podemos obtener a partir de lo que el autor plantea?
¿Qué conclusiones
Patrones y bellezas matemáticos
La matemática ofrece (también) muchas curiosidades, entre las que se encuentran ciertas simetrías y patrones de extraña belleza. Está todo "ordenado" y sólo ¿lo descubrimos? ¿O lo inventamos nosotros? Aquí van algunos ejemplos:
Puesto que cualquier secuencia lógica de proposiciones que conduce a un teorema cuenta como una prueba o demostración en matemática, pueden haber distintas demostraciones de un mismo teorema. Sin embargo, los matemáticos buscan que las pruebas sean claras, económicas y elegantes. Una prueba particularmente elegante puede ser descrita como “bella”. El matemático húngaro, Paul Erdos (1913 -1996) solía hablar del “libro” en que Dios guarda las más bellas demostraciones de los teoremas. Una vez
embromó al respecto diciendo que incluso aunque Dios no exista no se puede dudar de la existencia de tal libro.
Textos seleccionados:
1) LA MATEMÁTICA ES UNA BELLEZA (por Pablo Amster) Contra lo que suponen quienes han padecido llevándose la materia siempre a marzo, la matemática -como un instrumento bien tocado- puede abrir las puertas a todas las artes y a las mayores sensibilidades. “Más que la lógica, es la estética el elemento dominante en la creatividad matemática.”
Henri Poincaré Existe un problema de carácter no matemático que los matemáticos no aciertan a resolver. Cualquiera que se dedique a esta actividad aceptará sin esfuerzo la sugestiva afirmación del epígrafe, en especial si se le dice que proviene de una pluma tan ilustre, cuyas ideas anticiparon, entre otras cosas, la famosa teoría de la relatividad. Sin embargo, una vez asumido el hecho de que la matemática puede convertirse en una experiencia estética, ¿cómo hacer para transmitirla a quienes no han vivido en carne propia los goces de tal experiencia? Para ellos la cita de Poincaré carece de sentido; se trata de la descabellada idea de un matemático. Incluso, para muchos, la matemática no es más que un padecimiento que se convierte, con el correr de los años, en un amargo recuerdo adolescente. Otros ni siquiera tienen tanta suerte, pues los curiosos antojos del destino vuelven a ponerlos frente a sus austeros enunciados en el seno de las más variadas disciplinas, en las que esta aparición podría parecer inesperada: el arte, la filosofía, la medicina o el psicoanálisis, por citar algunas. Hasta en la religión la matemática se hace presente, tanto en las complejas reglas que rigen la interpretación bíblica, como en los insondables misterios de la Cábala y el misticismo. El problema se profundiza ante el innegable hecho de que, además de estética, la matemática ha mostrado ser una herramienta indispensable, no sólo por sus múltiples aplicaciones, sino también porque constituye la base de todo pensamiento abstracto. Ningún programa educacional, por audaz que sea, puede darse el lujo de excluirla por completo. Volvemos entonces a la desagradable escena de un gran número de estudiantes sufriendo, año tras año, la misma tortura. Algunos comprenden que la matemática es útil para entender otras cosas, que son las que en verdad les interesan, y la estudian como quien toma un medicamento; otros ni siquiera eso. Pero la matemática es, además de útil, un fin en sí mismo, y como tal debería ser aprendida. Puede pensarse que su belleza está destinada a unos pocos, y que quienes no son capaces de admirarla deben limitarse a superar sus escollos de la mejor manera posible. Esto no es así; como la música, la matemática puede ser apreciada por cualquiera, siempre que se le den los medios adecuados para acceder a sus encantos. De la misma forma en que resultaría absurdo pretender que alguien aprenda la notación musical o las reglas de la armonía sin decirle que ésa es la forma indicada de ejecutar o componer una pieza, la belleza matemática debería funcionar como una motivación casi necesaria para adentrarse en sus laberintos. Así se descubrirá que dichos laberintos no lo son tanto. En el fondo, no es más que un problema de lenguaje: la matemática no es otra cosa que un lenguaje bien hecho.
La tarea consiste, entonces, en buscar la manera de ejercitarse en el empleo de este lenguaje, inducido por los secretos paraísos que promete. Cuenta una leyenda que un pagano le pide a un estudioso de la Biblia que le muestre el Paraíso. El estudioso lo lleva, en sueños, a un lugar en donde se encuentra un anciano, uno de los más grandes sabios, leyendo los textos sagrados. El pagano le pregunta: "¿Cómo es esto? Este hombre se ha pasado la vida estudiando y, una vez que se encuentra en el Paraíso, ¿debe seguir haciéndolo?" El estudioso le responde: "Sí, pero ahora él comprende". Un elemento central de la matemática es la demostración, aunque antes de ponernos a demostrar debemos hacer el sutil esfuerzo de mostrar algunas de sus ideas, presentarlas de un modo simple. De nada sirve hablar de grandes maravillas a quien no está preparado para verlas. Como matemático, no puedo hablar más que desde mi propia experiencia y narrar mi pasión por este mundo cargado de axiomas, fórmulas y teoremas. Pero hablar no es sólo dar clase o publicar textos de enseñanza, sino básicamente conversar: conversar con todo el mundo; con científicos, educadores e intelectuales, pero también con pintores, músicos, cineastas o poetas, interesarse en sus preguntas y brindar lo que se pueda. A veces respuestas y otras, la mayoría, nuevas preguntas. No es aventurado afirmar que de esta clase de diálogos entre disciplinas han surgido algunas de las obras más conmovedoras del pensamiento humano. Para buscar un ejemplo cercano, basta recorrer una vez más las páginas de Borges, de cuyo deslumbramiento por la matemática nos hablan sus juegos de espejos y paradojas lógicas. Quizá todo se pueda resumir en aquella minúscula esfera que encierra todos los secretos, ese lugar "donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos" y para el que Borges eligió aquella denominación que los matemáticos emplean para referirse a sus conjuntos infinitos: el Aleph. (Texto publicado por el diario “Clarín” el 13/12/2004) Tomado de http://divulgamat.ehu.es/weborriak/cultura/Literatura/MateBelleza.asp el 05 de junio de 2010 2) LA MATEMÁTICA DE LAS MARIPOSAS (por Pablo Amster) (Artículo publicado en la revista UNO, número 50) “Chuang-Tse soñó que era una mariposa. De pronto despertó: era Chuang-Tse y se asombró
de serlo. Ya no le era posible saber si era Chuang-Tse que soñaba ser una mariposa, o era una mariposa que soñaba ser Chuang-Tse.” Corrían las primeras décadas del siglo XX, y el matemático alemán David Hilbert se encontraba dictando un curso. Seguramente el número de estudiantes no era muy grande, como suele ocurrir en las clases de matemática; el hecho es que, sin previo aviso, uno de ellos comenzó a faltar. Hilbert lo notó, y preguntó a los demás si sabían algo de él; fue así como le dijeron que el muchacho había dejado la matemática para dedicarse a la poesía. Quizás con un dejo de tristeza Hilbert, el renombrado profesor, respondió: “Siempre pensé que le faltaba imaginación para ser matemático.”
La mayoría de la gente encontrará en esta respuesta un reflejo de aquella actitud algo resentida de quien no es capaz de tolerar el abandono; como un amante despechado, Hilbert deja ver su desprecio por la Poesía, que se llevó al estudiante de su lado. Para casi todo el mundo, la aseveración de Hilbert es un disparate, que sólo puede ser producto de una rabieta.
Especialmente si se trata de confrontar con la Poesía: ¿quién, en su sano juicio, podría pensar que la matemática requiere siquiera un poco de imaginación? Sin embargo, quienes hacemos matemática sabemos muy bien a qué se refería Hilbert. La matemática es una disciplina profundamente creativa, y no es posible dedicarse a ella sin dejarse llevar por una gran pasión. Un espíritu similar se refleja en otra frase famosa, esta vez de Voltaire: Existía más imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero. La anterior anécdota forma parte de una larga lista de historias sobre matemáticos ilustres; como muchas de esas historias, muy probablemente sea falsa. Pero en nuestro contexto -y quizás con más razón en caso de ser falsa- servirá como punto de partida para trazar algunos breves, elementales paralelos entre matemática y literatura. Mucho se ha dicho al respecto; distintos ejemplos se han mencionado aquí y allá, dando cuenta de las múltiples relaciones entre los discursos de una y los discursos de la otra. Y, sin duda, todos hemos hecho una y otra vez referencia al famoso (y delicioso) ensayo de Edgar Allan Poe, en donde la conexión entre la creación literaria y la matemática se expresa de un modo bien explícito: “Mi deseo es demostrar que ningún punto de la composición puede ser atribuido a la
casualidad o la intuición, y que la obra ha marchado, paso a paso, hacia su solución con la precisión y rigurosa lógica de un problema matemático.” El párrafo pertenece a “Filosofía de la composición”, en donde Poe cuenta en detalle cómo
llevó a cabo aquella sublime creación del lenguaje que es el poema El cuervo. Sus primeras consideraciones se refieren al hecho de producir un efecto; más precisamente, muestra de qué forma su anhelo de transmitir la más pura Belleza lo llevó a establecer que el poema se desarrollaría en torno a un estribillo, una fórmula breve destinada a dar conclusión a cada estrofa. Llegado este punto, dice Poe: “En tal investigación, hubiese sido absolutamente imposible no elegir “nevermore”, nunca más […] El desideratum siguiente fue: ¿cuál será el pretexto elegido para e mplear continuamente las palabras nunca más?”
A partir de allí, lo que sigue es el resultado de dejar que se desencadenen las consecuencias naturales de esta elección inicial. Algo similar anunció el sabio Maimónides en su interpretación del texto bíblico del Génesis: por ejemplo, cuando se lee que el mundo ha sido creado en siete días, en verdad debe entenderse que hay un solo acto de creación, el del comienzo. En el comienzo Dios puso en marcha el espacio y el tiempo; lo demás es florecimiento, desarrollo de la obra ya hecha. El caso que presenta Poe es bastante ilustrativo. El clima producido por su estribillo, dice, no puede sino responder a los pesares de un enamorado que ha perdido a su amada; la aparición repentina del pájaro le proporciona una distracción, casi un alivio para sus lóbregos pensamientos. Los dos seres mantienen un diálogo que al comienzo muestra una incoherencia tosca, animal: “Dime: ¿Cuál tu nombre, cuál
en el reino plutoniano de la noche y de la niebla...? Dijo el cuervo: “Nunca más”.”
Sin embargo, las sucesivas preguntas van socavando en las respuestas del ave, que invariablemente repiten la fórmula “Nunca más”, pero cada vez son más certeras. De tal suerte,
los ánimos del amante comienzan a inquietarse; el joven adquiere la conciencia de que su amada ha muerto. Por fin, con la esperanza última de poder reunirse con ella cuanto menos en otra vida, el desesperado pregunta si volverá a estrechar en su seno a la amada Leonora. Inexorable, el ave grazna una seca, última respuesta: “nevermore”.
Todo esto está muy bien; numerosos autores han dado su visto bueno a la idea de Poe y brindaron sus propias versiones del cuento o la novela como sistemas lógicos. En la literatura policial, se trata casi de un compromiso ineludible: el crimen perfecto como teorema.
Pero lo que aquí se intenta es básicamente lo contrario; no presentar a la literatura en términos de su estructura lógica, sino a la matemática en términos de su estructura ficcional. A grandes rasgos, vamos a decir que la matemática tiene estructura de ficción. Esto puede ser peligroso, teniendo en cuenta que quien esto escribe es matemático, y la ficción se encuentra inevitablemente asociada a la mentira. De este modo, al decir que el matemático miente estaríamos cayendo en una nueva versión de la paradoja de Epiménides, y este artículo se volvería poco creíble. Resulta claro, de todas formas, que se trata de una idea ingenua, no del todo seria; más bien, un modo de introducir el tema de la creación de universos. En otras palabras: es exagerado plantear que la matemática constituye -como alguna vez se ha dicho- “una forma organizada de mentir”; en todo caso, seguro que se trata de mucho más que eso. Sin embargo, es cierto que la
noción de verdadera verdad se ha perdido hace algunos siglos, y la matemática no puede hacer más que contentarse con verdades relativas. No hay una teoría matemática que describa una verdad única, sino un conglomerado de teorías, que juntas conforman el corpus de la matemática: mundos que a veces resultan entre sí contradictorios, en donde los enunciados pueden tener distinto valor de verdad según se los lea en uno o en otro de esos mundos. En cierto sentido, cada teoría matemática compone un universo, pues responde a un conjunto de axiomas que determinan cuáles son los enunciados que se pueden demostrar y cuáles los que no. Si se cambia algún axioma, cambian los teoremas, y el universo creado cobra otra forma. Es interesante comparar esta descripción con aquella corriente literaria denominada creacionismo, fundada por quien fuera el autor del notable poema “Altazor”. Hablamos del chileno Vicente Huidobro, quien propone una poesía constituida por imágenes creadas: tales imágenes no representan un mundo ya existente, sino otro que existe solamente en el poema. Dicho de otro modo, no representan objetos previamente dados sino inéditos, cuyo conjunto constituye un mundo “paralelo al mundo real”. La invención está a cargo de un poeta hiperconsciente, en estado de “delirio poético”, que conjuga razón, sensibilidad, imaginación y control intelectual. Esta postura se resume de un modo magistral en su “Arte poética”, acaso el
más conocido de todos sus poemas, ese que comienza diciendo: “Que el verso sea como una llave Que abra mil puertas.”
Luego viene una serie de instrucciones cuidadosas para asegurar una buena práctica de la poesía, entre las que podemos rescatar las siguientes: “Inventa mundos nuevos y cuida tu palabra
El vigor verdadero Reside en la cabeza”
Al cabo de pocas líneas más, vemos cómo la idea termina de desenvolverse y la obra marcha, paso a paso, hacia su solución con la precisión y rigurosa lógica de un problema matemático “Sólo para nosotros
Viven todas las cosas bajo el Sol. El Poeta es un pequeño Dios”
A la luz de la noción antes presentada -la matemática como “creación de universos”- no parece mala idea asociar esta certera sentencia final de Huidobro con aquella otra frase célebre de Richard Dedekind, reconocido autor de las célebres cortaduras, como así también de gran parte de la teoría de conjuntos: “Somos de raza divina, y poseemos la facultad de crear.”
Sin embargo, a diferencia del poeta chileno, el matemático alemán no hizo referencia a ninguna clase de “delirio matemático”. Puede ser que lo haya pensado pero, conociendo a algunos
matemáticos, quizás haya llegado a la conclusión de que no hacía falta aclarar ese punto. Otro gran autor sudamericano, el argentino Jorge Luis Borges, postuló en un breve ensayo que cada escritor crea a sus precursores; del mismo modo, podemos decir que el matemático crea sus mundos. Con su escritura, Kafka escribe a Kierkegaard, a Han Yu o Lewis Carroll (este último no lo menciona Borges, pero sí todos los críticos literarios). De la misma forma, el matemático que elabora una teoría despliega, en sus páginas llenas de fórmulas, las reglas secretas de un nuevo mundo. Tal es el caso innegable de Cantor, quien demostró que la cantidad de puntos de un segmento equivale a los que hay en un cuadrado y se apresuró a escribirle una carta justamente a Dedekind: “Lo veo pero no lo creo”. Es que Cantor era, ante todo, platónico: hasta los mundos que
uno inventa en realidad son parte de un mundo de ideas regido por Dios; no uno pequeño, como el poeta, sino el gran Dios de “inmensa bondad”, ese matemático que, según el “Timeo”, c ompone y ordena la totalidad de las cosas con ayuda de un curioso instrumento: el dodecaedro. Por eso, descubrir en el mundo creado una verdad increíble es como observar a las palabras de un poema combinarse y reformularse para construir un nuevo, y acaso misterioso texto. Un amigo de Kafka llamado Max Brod publicó “El castillo”, texto admirable en el que Borges
rastrea las aporías de Zenon. Un amigo de Dedekind llamado Georg Cantor soñó con un mundo de transfinitos que no existía, y debió crearlo. Y fue Hilbert quien se encargaría, décadas más tarde, de evaluar la justa medida de esa creación; “Nadie podrá expulsarnos del paraíso que Cantor creó para nosotros.”
Esto muestra que también Hilbert, de tanto en tanto, dejaba la matemática para dedicarse a la Poesía. Tal como hacemos, en definitiva, todos los matemáticos. Aunque a veces nos ocurre como la mariposa que soñaba ser Chuang-Tse, y no sabemos si somos en realidad poetas que soñamos con ser matemáticos. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/cultura/Literatura/MateMariposas.asp Tomado el 05 de Junio de 2010
¿Cree Ud. que el entendimiento matemático puede ser enseñado o que es algo con lo que se nace, es decir, o se lo tiene o no? Muchas veces usamos la calculadora o la computadora para ayudarnos a resolver problemas matemáticos. ¿Significa esto que las máquinas entienden matemática?
Matemáticas y certeza
Hasta ahora hemos hablado de la naturaleza de los sistemas formales. A continuación procederemos a estudiar con mayor detalle la naturaleza de la certeza matemática. En primer lugar haremos dos distinciones. La primera concierne a las proposiciones. Existen dos tipos:
-analíticas: son verdaderas por definición -sintéticas: cualquier proposición que no sea analítica y que debe ser explicada. La segunda distinción se refiere a cómo sabemos que una proposición es verdadera. En este sentido, podemos decir que una proposición es cognoscible de dos maneras: -a priori: cuando puede conocerse que es verdadera independientemente de la experiencia -a posteriori: cuando no se puede saber si es verdadera independientemente de la experiencia. Naturaleza de la proposición Analítica Sintética ¿Cómo se la conoce?
A priori A posteriori
(1) (2)
(4) (3)
(1) Aquí entran todas las proposiciones que establezca como verdaderas por definición, por lo que no se requiere de la experiencia para demostrarlas. (2) Una proposición verdadera por definición pero que requiera de la experiencia para ser demostrada es contradictoria. (3) Concierne a las proposiciones que no son verdaderas por definición y que por lo tanto requiere de la experiencia para ser comprobadas. Aquí está incluido el conocimiento empírico del mundo. (4) Aquí deberían incluirse proposiciones no triviales (es decir, que no sean verdaderas por definición) cuya verdad puede ser conocida independientemente de la experiencia. Qué proposiciones entran aquí es una gran dificultad. Ahora bien, la pregunta es ¿dentro de qué cuadro incluimos a la matemática? Puesto que el 2 está vacío sólo nos quedan tres opciones. OPCIÓN 1: LAS MATEMÁTICAS COMO EMPÍRICAS OPCIÓN 2: LAS MATEMÁTICAS COMO ANALÍTICA OPCIÓN 3: LAS MATEMÁTICAS COMO SINTÉTICA A PRIORI
Para tratar estos temas, los leeremos del siguiente libro: Richard van de
Lagemaat, Theory of Knowledge for the IB Diploma , Cambridge, Cambridge University Press, 2005, pp. 198-202
Las matemáticas, ¿se descubren o inventan?
Para tratar este tema, utilizaremos el siguiente libro: Richard van de Lagemaat, Theory of Knowledge for the IB Diploma , Cambridge, Cambridge University Press, 2005, pp. 202-
204
Texto seleccionado: Adrián Paenza, Matemática ¿estás ahí? Episodio 1 , disponible en http://www.librosmaravillosos.com/matestahi01/capitulo6.html#610 ¿Qué es la matemática? Las reflexiones que aparecen más abajo fueron inspiradas en un libro de Keith Devlin (¿Qué es la matemática?). Sugiero que lean el texto con la mayor flexibilidad posible. Y, si pueden, léanlo con cuidado. Insisto: no es patrimonio mío (ni mucho menos). Es un recorrido por la historia que me parece que uno no debería ignorar. Si hoy parara a una persona por la calle y le preguntara ¿qué es la matemática, probablemente contestaría -si tuviera interés en contestar algo- que la matemática es el estudio de los números o quizás que es la ciencia de los números. Lo cierto es que esta definición tenía vigencia hace unos 2.500 años. O sea, que la información que tiene el ciudadano común respecto a una de las ciencias básicas, es equivalente... ¡¡a la de veinticinco siglos atrás!! ¿Hay algún otro ejemplo tan patético en la vida cotidiana? Durante el desarrollo de la historia, la humanidad ha recorrido un camino tan largo y tan rico que me creo con derecho a esperar una respuesta un poco más actual. La idea sobre qué es la matemática en el imaginario popular no parece haber evolucionado demasiado a través de los siglos. Algo falla. Los canales de comunicación no funcionan como deberían. ¿No despierta curiosidad averiguar qué nos estamos perdiendo? Es probable que la mayoría de la gente esté dispuesta a aceptar que la matemática hace aportes valiosos en los diferentes aspectos de la vida diaria, pero no tiene idea de su esencia ni de la investigación que se hace actualmente en matemática, ni hablar de sus progresos y su expansión. Para lograr captar algo de su espíritu, tal vez convenga refrescar, a muy grandes rasgos, y en forma breve los primeros pasos y la evolución de la matemática a través del tiempo. La respuesta a la pregunta ¿qué es la matemática? ha variado mucho en el transcurso de la historia. Hasta unos 500 años antes de Cristo, aproximadamente, la matemática era efectivamente- el estudio de los números. Hablo, por supuesto, del período de los matemáticos egipcios y babilonios en cuyas civilizaciones la matemática consistía casi absolutamente en aritmética. Se parecía a un recetario de cocina: haga esto y aquello con un número y obtendrá tal respuesta. Era como poner ingredientes en la batidora y hacer un licuado. Los escribas egipcios utilizaban la matemática para la contabilidad, mientras que en Babilonia eran los astrónomos los que la desarrollaban de acuerdo con sus necesidades. Durante el período que abarcó desde los 500 años antes de Cristo hasta los 300 después de Cristo, aproximadamente 800 años, los matemáticos griegos demostraron preocupación e interés por el estudio de la geometría. Tanto que pensaron a los números en forma geométrica. Para los griegos, los números eran herramientas. Así fue como los números de los babilonios "les quedaron chicos"... ya no les alcanzaban. Tenían los naturales (1, 2, 3, 4, 5, etcétera) y los enteros
(que son los naturales más el cero y los números negativos) pero no eran suficientes. Los babilonios ya tenían también los números racionales, o sea los cocientes entre los enteros (1 /2, 1/3, 7/8, 13/15, 7/3, 0, -12/13, etcétera) que proveían el desarrollo decimal (5, 67 o 3, 8479) y los números periódicos 0,4444... ó 0,191919... Estos números les permitían medir, por ejemplo, magnitudes mayores que cinco pero menores que seis. Pero aún así eran insuficientes. Algunas escuelas como la de los "pitagóricos" (que se prometían en forma mística no difundir el saber) pretendían que todo fuera mensurable, y por eso casi enloquecieron cuando no podían "medir bien" la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos midieran uno. O sea, había medidas para las cuales los números de los griegos no se adecuaban o no se correspondían. Es entonces cuando "descubrieron" los números irracionales... o no les quedó más remedio que admitir su existencia. El interés de los griegos por los números como herramientas y su énfasis en la geometría elevaron a la matemática al estudio de los números y también de las formas. Allí es donde empieza a aparecer algo más. Comienza la expansión de la matemática que ya no se detendrá. De hecho, fue con los griegos que la matemática se transformó en un área de estudio y dejó de ser una mera colección de técnicas para medir y para contar. La consideraban como un objeto interesante de estudio intelectual que comprendía elementos tanto estéticos como religiosos. Y fue un griego, Tales de Mileto, el que introdujo la idea de que las afirmaciones que se hacían en matemática podían ser probadas a través de argumentos lógicos y formales. Esta innovación en el pensamiento marcó el origen de los teoremas, pilares de las matemáticas. Muy sintéticamente, podríamos decir que la aproximación novedosa de los griegos a la matemática culmina con la publicación del famoso libro Los elementos de Euclides, algo así como el texto de mayor circulación en el mundo después de la Biblia. En su época, este libro de matemática fue tan popular como las enseñanzas de Dios. Y como la Biblia no podía explicar al número (pi), lo "hacía" valer 3. Siguiendo con esta pintura, a trazos muy gruesos, de la historia, es curioso que no haya habido demasiados cambios en la evolución de la matemática sino hasta mediados del siglo XVII cuando simultáneamente en Inglaterra y en Alemania, Newton, por un lado, y Leibniz, por el otro, "inventaron" EL CÁLCULO. El cálculo abrió todo un mundo de nuevas posibilidades porque permitió el estudio del movimiento y del cambio. Hasta ese momento, la matemática era una cosa rígida y estática. Con ellos aparece la noción de "límite": la idea o el concepto de que uno puede acercarse tanto a algo como quiera aunque no lo alcance. Así "explotan" el cálculo diferencial, infinitesimal, etcétera. Con el advenimiento del cálculo, la matemática, que parecía condenada a contar, medir, describir formas, estudiar objetos estáticos, se libera de sus cadenas y comienza a "moverse". Y con esta nueva matemática, los científicos estuvieron en mejores condiciones de estudiar el movimiento de los planetas, la expansión de los gases, el flujo de los líquidos, la caída de los cuerpos, las fuerzas físicas, el magnetismo, la electricidad, el crecimiento de las plantas y los animales, la propagación de las epidemias, etcétera. Después de Newton y Leibniz, la matemática se convirtió en el estudio de los números, las formas, el movimiento, el cambio y el espacio. La mayor parte del trabajo inicial que involucraba el cálculo se dirigió al estudio de la física. De hecho, muchos de los grandes matemáticos de la época fueron también físicos notables. En aquel momento, no había una división tan tajante entre las diferentes disciplinas del saber como la hay en nuestros días. El conocimiento no era tan vasto y una misma persona podía ser artista, matemática, física y otras cosas más, como lo fueron, entre otros, Leonardo Da Vinci y Miguel Ángel. A partir de la mitad del siglo XVIII nació el interés por la matemática como objeto de estudio. En
otras palabras, la gente comenzó a estudiar a la matemática ya no sólo por sus posibles aplicaciones sino por los desafíos que vislumbraba la enorme potencia introducida por el cálculo. Sobre el final del siglo XIX, la matemática se había convertido en el estudio del número, de la forma, del movimiento, del cambio, del espacio y también de las herramientas matemáticas que se utilizaban para ese estudio. La explosión de la actividad matemática ocurrida en este siglo fue imponente. Sobre el comienzo del año 1900, el conocimiento matemático de todo el mundo hubiera cabido en una enciclopedia de ochenta volúmenes. Si hoy hiciéramos el mismo cálculo, estaríamos hablando de más de cien mil tomos. El desarrollo de la matemática incluye numerosas nuevas ramas. En alguna época las ramas eran doce, entre las que se hallaban la aritmética, la geometría, el cálculo, etcétera. Luego de lo que llamamos "explosión" surgieron alrededor de 60 o 70 categorías en las cuales se pueden dividir las diferentes áreas de la matemática. Es más, alguna, como el álgebra y la topología, se han bifurcado en múltiples sub-ramas. Por otro lado, hay objetos totalmente nuevos, de aparición reciente, como la teoría de la complejidad o la teoría de los sistemas dinámicos. Debido a este crecimiento tremendo de la actividad matemática, uno podría ser tildado de reduccionista si a la pregunta de "¿qué es la matemática?" respondiera: "es lo que los matemáticos hacen para ganarse la vida". Hace tan sólo unos veinte años nació la propuesta de una definición de la matemática que tuvo y todavía tiene bastante consenso entre los matemáticos. "La matemática es la ciencia de los patterns "' (o de los patrones). En líneas muy generales, lo que hace un matemático es examinar " patterns " abstractos. Es decir, buscar peculiaridades, cosas que se repitan, patrones numéricos, de forma, de movimiento, de comportamiento, etcétera. Estos " patterns " pueden ser tanto reales como imaginarios, visuales o mentales, estáticos o dinámicos, cualitativos o cuantitativos, puramente utilitarios o no. Pueden emerger del mundo que nos rodea, de las profundidades del espacio y del tiempo o de los debates internos de la mente. Como se ve, a esta altura del siglo XXI contestar la pregunta ¿qué es la matemática? con un simple "es el estudio de los números" es, cuanto menos, un grave problema de información, cuya responsabilidad mayor no pasa por quienes piensan eso, sino de los que nos quedamos de este otro lado, disfrutando algo que no sabemos compartir.
Geometrías no euclideanas y el problema de la consistencia
Para tratar este tema, utilizaremos el siguiente libro: Richard van de Lagemaat, Theory of Knowledge for the IB Diploma , Cambridge, Cambridge University Press, 2005, pp. 204-
208
Matemáticas aplicadas
Para tratar este tema, utilizaremos el siguiente libro: Richard van de Lagemaat, Theory of Knowledge for the IB Diploma , Cambridge, Cambridge University Press, 2005, pp. 208-
210
Conclusión
Escriba una conclusión respecto a lo
estudiado dentro de esta área de conocimiento, en la que plantee una cuestión de conocimiento y evalúe el rol de la certeza en las matemáticas. Realice una lista de términos claves vistos en esta unidad.
Cuestiones de conocimiento
A continuación
detallamos en forma de pregunta algunas cuestiones de conocimiento, es decir, problemas que se generan a partir del estudio del área de conocimiento de la matemática dentro de ToK. Léalas atentamente. Elija dos y desarrolle tres argumentos y tres contraargumentos.
¿Por qué algunos matemáticos y alumnos de matemáticas consideran que las matemáticas, en cierto sentido, “están ahí” y hay que descubrirlas?
¿Qué significa afirmar que las matemáticas pueden considerarse como un juego formal que carece de significado intrínseco? Si esto es así, ¿cómo pueden las matemáticas tener semejante riqueza de aplicaciones en el mundo real? •
¿Qué significa decir que las matemáticas son un sistema axiomático? Algunos sistemas educativos hacen una distinción entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas. ¿Refleja esto una diferencia fundamental en la aproximación al conocimiento matemático? Se dice a veces que el razonamiento matemático es un proceso de deducción lógica. Si esto es verdad, y si la conclusión de una prueba siempre debe estar implícita (contenida) en sus premisas, ¿cómo puede jamás haber conocimientos matemáticos nuevos? •
•
Podemos utilizar las matemáticas eficazmente para modelar procesos del mundo real. ¿Esto se debe a que creamos las matemáticas para que nos den una imagen del mundo, o a que el mundo es intrínsecamente matemático? Algunos adelantos importantes en la física (por ejemplo, el descubrimiento de partículas elementales) son el resultado de argumentos acerca de la belleza, la elegancia o la simetría de los conceptos matemáticos subyacentes. ¿Qué nos dice esto sobre la relación entre las ciencias naturales, las matemáticas y el mundo natural? ¿Las matemáticas se definen mejor por su método o por su objeto de estudio? A la luz de las preguntas anteriores, ¿las matemáticas han sido inventadas o descubiertas? Los matemáticos se maravillan ante las profundas conexiones que existen entre ramas muy dispares de su disciplina. ¿Constituye esto una prueba de que existe una realidad matemática simple subyacente? •
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¿Qué entienden los matemáticos por prueba matemática, y cómo se diferencia ésta de las “buenas razones” en otras áreas del conocimiento?
¿Qué papel desempeñan las pruebas empíricas y el razonamiento inductivo al establecer una afirmación matemática? ¿Son todas las afirmaciones matemáticas o verdaderas o falsas? ¿Puede una afirmación matemática ser verdadera antes de ser probada? Durante la verificación de hipótesis, un estadístico puede afirmar que un resultado es cierto con un nivel de significación del 5%. ¿Qué significa esto? Se ha argumentado que llegamos a aprehender el número 3 mediante ejemplos tales como tres naranjas o tres tazas. ¿Confirma esto la existencia independiente del número 3 y, por extensión, de los números en general? Si es así, ¿qué sucede con los números como el 0, el -1, i (la raíz cuadrada de -1) y un trillón? Si no es así, ¿en qué sentido se puede decir que los números existen? A la luz de la pregunta anterior, ¿por qué podría decirse que las matemáticas realizan afirmaciones verdaderas sobre objetos que no existen? ¿En qué sentido la teoría del caos (sistemas dinámicos no lineales) podría sugerir que existe un límite en la aplicabilidad de las matemáticas al mundo real? •
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¿Es posible calificar a las matemáticas de lenguaje universal? ¿En qué medida son las matemáticas un producto de la interacción social humana? ¿Cuál es el papel de la comunidad matemática en determinar la validez de una prueba matemática? ¿Por qué diferentes culturas otorgan un valor diferente a las matemáticas? ¿Cómo explicaría las siguientes características, que parecen ser propias de las matemáticas especialmente? Algunas personas las aprenden muy fácilmente y superan con creces a sus compañeros de la misma edad; a otros, en cambio, les resulta casi imposible aprenderlas, a pesar de lo mucho que se esfuercen; por otra parte, se considera que la mayoría de los matemáticos sobresalientes producen sus mejores resultados antes de alcanzar los treinta años de edad. ¿Qué cuenta como comprensión en matemáticas? ¿Basta con hallar la respuesta correcta a un problema matemático para decir que uno entiende las matemáticas en cuestión? ¿Hay aspectos de las matemáticas que podamos elegir si creerlos o no? ¿Cómo elegimos los axiomas subyacentes a las matemáticas? ¿Es un acto de fe? • •
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¿Los términos “belleza” o “elegancia” tienen un papel en el pensamiento matemático?
¿Existe una correlación entre la habilidad matemática y la inteligencia? ¿Existe una distinción clara entre ser bueno o malo en matemáticas? ¿Cómo se han visto afectadas la naturaleza y la práctica de las matemáticas por las innovaciones tecnológicas, tales como los adelantos en informática? • • •
Apéndice: recursos visuales Elija
una de las siguientes caricaturas y analícela teniendo en cuenta lo visto en esta unidad.
