UNIDAD I: LAS ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS Carlos A. Benavides Gallego July 28, 2014
INTRODUCCIÓN Las palabras ecuaciones diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contiene derivadas. Así como al estudiar álgebra y geometria se invierte bastante tiempo en resolver ecuaciones, en este curso una de nuestras tareas es resolver ecuaciones diferenciales como y 00 + 2y 0 + y = 0 cuya incógnita es la función y(x). Este primer párrafo dice algo, pero no todo, que está a punto de comenzar. Al desarrollarse el curso podran ver que hay más en el estudio de las ecuaciones diferenciales, que solo el manejo de los métodos que alguien há inventado para resolverlas. Pero primero, para leer, estuiar y tener fluidez en un tema especialezado, hay que aprender la términología, es decir, el lenguaje de esta disciplina. Sin embargo, antes de dar inicio al estudio de la terminología usada en esta disciplina, es mi interés que ustedes aprendan a estudiar un fenómeno nátural a través de las ecuaciones diferenciales.
OBJETIVOS Objetivo General Entender las ecuaciones diferenciales como herramienta fundamental en el estudio de sistemas o fenómenos naturales.
Objetivos Específicos 1. Familiarizar al estudiante con los conceptos báicos de las ecuaciones diferenciales. 2. Aprender a plantera, a través de las leyes físicas, ecuaciones diferenciales que modelen distintos fenómenos naturales. 3. Utilizar correctamente los simbolos y propiedades de las ecuaciones diferenciales.
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MODELO MATEMÁTICO
Cuando uno habla de un modelo matemático se refiere al deseo de describir el comportamiento de algún sistema de la vidad real o un fenómeno natural en términos matemáticos; dicho sistemas pude ser físico, sociológico o hasta económico. A la descripción matemátca de un sistema físico o fenómeno se llama modelo modelo matemático y se plantea con ciertos objetivos en mente; por ejemplo, podríamos tratar de comprender los mecanísmos de ciero ecosistema estudiando el cresimiento de las poblaciones de animales, o podríamos tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia radiactiva, ya sea en el fósil o en el estrato donde se encontraba. La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia: 1. Mediante la identificación de las variables causantes del cambio del sistema. Podremos elegir no incorporar todas la variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolución del modelo. 2. Estbalecemos un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir. Estas hipótesis incluyen todas las leyes empíricas aplicables al sistema. Dado que la hipótesis acerca de un sistema implica con frecuencia la razón de cambio de una o más variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis es uno o más ecuaciones donde intervienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemático puede ser una ecuación o un sistema de ecuaciones diferenciales. Una vez formulado el modelo matemático, llegamos al punto de resolverlo. Esta resolución requiere de métodos ya establecidos para la resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, en esta primera parte del curso, solo estaremos interesados en el plateamiento de las ecuaciones. Una vez resuelto, juzgamos que el modelo es razonable si su solución es consistente con los datos experimentales o hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Si el modelo no describe de menera consistente el sistema bajo estudio con cierto grado de aproximación, es necesario replantear el modelo y considerar nuevas hipótesis que mejoren su descripción. Con frecuencia, el modelo matemático de un sistema físico incluirá la variable t, el tiempo. En este caso, una solución del modelo expresa el estado del sistema; en otras palabras, para valores adecuados de t, los valores de la o las variables dependientes describen el sistema en el pasado, presente y futuro. En ese sentido, el modelo matemático es de gran utilidad a la hora de realizar predicciones. Si un modelo matemático es bueno, esta predicciones concuerdan en un grado de aproximación con el comportamiento del sistema estudiado.
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A lo largo de esta primera unidad estudiaremos, a través de las ecuaciones diferencieles, los siguentes sistemas: 1. Una cadena que resbala. 2. Caída libre. 3. Caída de los cuerpos y resistencia del aire. 4. Circuitos elétricos. 5. Drenado de un tanque. 6. Desintregración Radiativa 7. Ley de Enfriamiento de Newton. 8. Dinámica de Poblaciones.
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MECANICA NEWTONIANA Y ECUACIONES DIFERENCIALES
Comenzaremos nuestro estudio de las ecuaciones deferenciales como modelos matemáticos con la aplicación de la segunda ley de Newton a distintos problema que ya han sido tratados en los cursos de física. Para establecer un modelo matemático de un cuerpo en un campo de fuerzas como el gravitacional se comienza usando la segunda ley de Newton. Matemáticamente esta ley se establece de la siguiente manera1 : F = ma.
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Sin embargo, cómo surge una ecuación diferencial a partir de la segunda ley de Newton? Para contestar esta pregunta es necesario recordar algunos concetos de la cinemática como son la posición r, la velocidad v y la aceleración a2 . La posición de un cuerpo es un vector que nos permite conocer, respecto a un sistema de referencia inercial, sus coordenadas. Cuando cambia la posición, a medida que transcuerre el tiempo, surge el concepto de movimiento, y con el, el concepto de velocidad; en ese sentido, la velocidad es la variación de la posicón con respecto al tiempo; es decir: dr . (2) dt En si misma, la ecuación (2) es una ecuación dieferencial que relaciona el cambio de la posición con el valor de la velocidad. Si conocemos la forma en que varía la posición con respecto al tiempo, podemos conocer la velocidad en función del tiempo y viceversa. v=
1 Para ser un poco mas generales, la segunda ley de Newton es una ecuación vectorial; es decir, tres ecuaciones que relaciona cada una de las componentes de la fuerza con sus respectivas compontes de la aceleración; esto es: Fx = max , Fy = may y Fz = maz 2 Todos los vectores están representados con letras en negrilla.
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Ejercicio I Si la posición de una partícula que se mueve en la dirección x varía respecto al tiempo de acuerdo a la expresión x(t) = teαt +2t. Cómo es la la velocidad de esta partícula como función del tiempo?
Ejercicio II Si la velocidad de una partícula en función del tiempo viene dada por la expresión v(t) = −gt + v0 cómo cambia la posición en función del tiempo? Use sus conocimientos de Cálculo Integral.
La primera ley del movimiento de Newton establece que un cuerpo quedará en reposo o continuará moviéndo con velocidad constante, amenos que sea sometido a una fuerza externa. De acuerdo con esta primera ley, si el cuerpo permanece en reposo su posición no cambia por lo tanto dr dt = 0, y deacuerdo con la ecuación (2) su velocidad será cero. Por otro lado, cuando la velocidad es constante, digamos v0 , entonces la variación de la posición r(t) en función del timepo será r(t) = v0 t + x0 ; que corresponde a la ecuación vectorial para el movimiento uniforme. Ejercicio III A partir de la ecuación v = dr dt muestre que r(t) = v0 t + x0 . Use sus conocimientos de Cálculo integral.
Cuando una fuerza, distinta de cero, actúa sobre un cuerpo, su estado de movimiento (momentum lineal) cambia deacuerdo a la segunda ley de Newton; este cambio en el momentun lineal implica un cambio en la velocidad con respecto al tiempo; es decir, dv dt 6= 0. Este cambio en la velocidad, recordando los cursos de cinemática, corresponde a la aceleración del cuerpo; por lo tanto, la seguna ley de Newton puede ser expresada de la siguiente manera: dv d2 r =m 2 (3) dt dt La ecuación (3) es la segunda ley de Newton expresada como una ecuación diferencial. Esta forma de la segunda ley de Newton nos será de gran utilidad para la descripción de sistemas físicos a través de ecuaciones difereniales. F = ma = m
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2.1
Caída libre:
Supongamos que se arroja una piedra hacia arriba desde la azotea de un edificio como puede verse en la figura 1
Figure 1: Caída libre de una piedra Cuál es la posición s(t) de la piedra, respecto al piso, en el instante t? La 2 derivada de la piedra es la segunda derivada de la posición, dst2s . Si suponemos que la dirección positiva es hacia arriba, que la masa de la piedra es m y que no hay otra fuerza distinta a la fuerza de gravedad, actuando sobre la piedra, la segunda ley de Newton establece que: d2 s = −mg. (4) dt2 En otras palabras, la fuerza neta es sencillamente el peso F = F1 = −W de la piedra cerca de la superficie terrestre. Recuerde que el peso es W = mg, donde m es la masa del cuerpo y g es la aceleración debida a la gravedad. El signo menos en (4) se usa porque peso de la piedra es una fuerza con sentido negativo (hacia abajo). Si la altura del edificio es s0 y la velocidad incial de la piedra es v0 . m
Ejercicio IV Qué pesa mas, 1kg. de lana en la Luna o un 0,165kg. hierro en la tierra?. Justifique su respuesta.
2.2
Caída de los cuerpos y resistencia del aire
Antes del famoso experimento de Galileo en la torre de Pisa, generalmente se creía que los objetos más pesados en caída libre, como por ejemplo una bala de cañón, caían con mayor aceleración que los ligeros, como por ejemplo una pluma. Es obvio que una bala de cañón y una pluma, al dejarse caer en formas simultáneas desde la misma altura, sí caen a distintas velocidades, pero esto no se debe a que la bala de cañón sea más pesada. La diferencia de velocidades se debe a la resistencia del aire. Esta resistencia no se tomó en cuenta en el modelo de la ecuación (4). 5
Figure 2: Caída libre de una piedra y resistencia del aire. Bajo ciertas circunstancias, un cuerpo de mas m que cae, se encuentra con una resistencia del aire que es proporcional a su velocidad instantánea, v. Si en este caso la dirección positiva se orientara haceia abajo, la fuerza neta que actúa sobre la mas es F = F1 + F2 = mg − kv, donde el peso F1 = mg, es una fuerza llamada amortiguamiento viscoso, que actua en la dirección opuesta, es decir, hacia arriba. Como puede verse en la figura 2. Por lo tanto la segunda ley de Newton aplicada a este sistema físico es dv (5) dt Esta ecuación diferencial describe un sistema físico un poco más real ya que al caer los cuerpos están sujetos a la resistencia del aire. La calidad de este modelo depende de calidad con que modelemos la fuerza de fricción. Si queremos conocer la ecación diferencial para la velocidad usamos la ecuación (5). Sin embargo, a partir de (5) podemos obtener la ecuación diferencial que describe la posición s en función del tiempo; para ello es necesario recordar que la velocidad dv d2 s es v = ds dt y dt = dt . Usando esto la ecuación diferencia (5) se transforma en mg − kv = m
mg − k
ds d2 s =m 2 dt dt
Ejercicio V Una partícula de masa m que se mueve a lo largo de una línea recta a través de un medio dnde la resistencia viene modelada por F = beαv , donde b y α son constantes y v es la velocidad. Hallar una ecuación diferencial para la velocidad y la posción de la partícula. Realice una gráfica en computador de dv t vs. v para b = 10 y α = 1.
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(6)
2.3
Una cadena que resbala
Figure 3: Una cadena que resbala. En la figura 3 vemos el sistema compuesto por una cadena colgada a un pivote. En la figura 3.a la cadena esta colgada de tal manera que su logitud está distribuida de manera equivalente. Si la cadena tiene un peso por unidad de logitud uniforme, esta permanecerá en reposo. Sin embargo, como se muestra en la figura 3.b una vez la cuerda sea colgada de tal manera que su longitud este distribuida de manera no uniforme, una vez la soltemos ella comenzará a resbalar del pivote. Para hallar una ecuación diferencial que modele este sistema físico, debemos usar la segunda ley de Newton. Supongamos que la cadena N tiene un peso por unidad de logitud de ρ (las unidades de ρ son m ); si la cadena tiene una longitud L (L en m), el peso total de la cade será W = Lρ y su masa Lρ m será m = W g = g , donde g = 10 s2 . El centro de masa de la cuerda siente dos fuerzas: la que hace el peso del extremo L2 − x y otra que hace el peso del extremo L2 + x. En ese sentido la fuerza neta sobre el centro de masa será L L +x ρ− − x = 2xρ. (7) F = 2 2 Por lo tanto, y deacuerdo a la ley de Newton, la ecuación diferencial para este sistema físico será Lρ d2 x 10 dt2
2xρ =
(8)
Reescribiendo la ecuación tenemos que: d2 x 20 − x=0 dt2 L
(9)
Otra manera de expresar la segunda ley de Newton3 es a través del momentum lineal P = mv. En ese sentido, todo fuerza neta distinta de cero genera un cambio en el momentum lineal de la partícula; es decir. dP d(mv) = (10) dt dt Si la masa es constante la ecuación (10) se reduce a la ecuación (3). Sin embargo, cuando la masa m de un cuerpo que se mueve a través de un campo de fuerzas F =
3 De
hecho Newton uso esta forma en sus documentos
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es variable, es conveniente usar la forma (10) de la segunda ley de Newton. Por ejemplo, consideremos el sistema formado por una cadena de longitud L enrrollada que reposa sobre el piso como se muestra en la figura 4. Se jala verticalmente un extremo de ella, mediante una fuerza constante F . La cadena, que es uniforme, tiene un peso por unidad de longitud λ. Dedusca una ecuación diferencial para determinar la altura x(t) del extremo sobre el piso, al tiempo t. Supongamos que la dirección positiva es hacia arriba.
Figure 4: Esquema ejemplo. En este ejemplo, tomaresmos como sistema la parte de la cuerda que sobresale del piso. Deacuerdo con las condiciones del sistema la fuerza neta será F − W donde W es el peso de la cuerda que sobresale; pero como la masa está cambiando a medida que aplicamos la fuerza es necesario hallar una expresión para la para el peso W a medida que cambia la altura x(t). Cuando la altura es x(t) el peso de la cuerda será W = λx y la fuerza neta será F − λx. Por otro lado, si λ es el peso por unidad de longitud, entonces la masa por unidad de longitud será ρ = λg ; en consecuencia la masa en función de la altura es m = ρx(t) = λg x(t). Por lo tanto la sengunda ley de Newton para este sistema, recordando que v = dx dt , es: d λ dx F − λx = x dt g dt d λ dx F − λx = x (11) dt g dt λ dx 2 λ d2 x F − λx = + x 2 g dt g dt
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Figure 5: Esquema problema V. Ejercicio V Una cadena uniforme de longitud L pies, se sujeta verticalemente de modo que el extremo inferior toque apenas el suelo, como se muestra en la figura 5. La cadena tiene un peso por unidad de logitud λ. El extremo superior que estaba sujeto, se sulta, partiendo del reposo cuando t = 0, y la cadena cae directo hacia abajo. Sin tener en cuenta la resistencia del aire y x(t) representa la longitud de ella, que sobresale del piso, al tiempo t. Determine que la ecuación diferencial que describe el sistema. Suponga que la dirección positiva es hacia abajo.
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INGENIERIA Y ECUACIONES DIFERENCIALES
3.1
Drenado de un tanque
El teorema de Torricelli nos dice que “la velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio”. Para enunciar matemaáticamente este teorema, supongamos que dejamos caer una gota de líquido desde una altura h hasta el centro de gravedad del agujero. La energía mecánica Em , definidad como la suma de la energía potencial y cinética Em = Ek + Ep 4 se concerva; es decir: La energía mecánica de la gota de líquido en la altura h es igual a la energía meca?anica de la gota cuando llega al centro de gravedad del agujero. Esta condición se expresa como: 4E , k
Ep son la energía cinética y potencial respectivamente.
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1 mgh + |{z} 0 = |{z} 0 + mv 2 , |{z} |2 {z } Ep
Ek
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Ep
Ek
donde v es la velocidad de la gota cuando llega al agujero. La ecuación anteriro se reduce a 1 mv 2 (13) 2 De donde la velocidad v, deacuerdo con el teorema de Torricelli, tendrá un valor de: p v = 2gh. (14) mgh =
Ahora, supongamos que tenemos un tanque lleno con forma de cilindro y con un agujero en la base del tanque; deseamos saber la profundidad, h, del agua que queda en el tanque en cualquier tiempo t. Si el agujero tiene un área a entonces el volumen del líquido que sale por unidad de tiempo es dV dt p dV = −a 2gh dt
(15)
Ejercicio VI Mostrar que
dV dt
√ = −a 2gh. Por qué el signo menos?
El volumen del líquido en cada instante de tiempo será V (t) = Ah(t), donde A es el área de la sección transversal del cilindro. h es función del tiempo pues la altura de agua va cambiando a medida que el agua sale por el agujero. Entonces, derivando respecto a t la función V (t) tenemos dV d dh = (Ah(t)) = A ; dt dt dt luego igualando (15) y (16) obtenemos una ecuación diferencial para h dh ap =− 2gh dt A
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(16)
(17)
Figure 6: Esquema problema VII. Ejercicio VII El tanque cónico circular de la figura 6 pierde agua por un agujero circular en su fondo. Determine una ecuación diferencial para describir la altura h del agua en el tiempo t. El radio del agujero es 2 pulgadas, g = 32pies/seg 2 .
3.2
Ley de enfriamiento de Newton
Según la ley empirica de Newton acerca del enfriamiento, la razón con que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura y y la del medio que le rodea, que es la temperatura ambiente. Si T (t) representa la temperatura del objeto al tiempo t, Tm es la temperatura constante del medio que lo rodea y dT dt es la razón con que la temperatura del cuerpo cambia, la ley de Newton del emfriamiento puede exprearce con la ecuación diferencial dT = k(T − Tm ), (18) dt donde k es una constante de proporcionalidad. En ambos casos, calentamiento o enfriamiento, si Tm es constante es razonable suponer que k < 0. Ejercicio VIII Una taza de café se enfría obedeciéndo la ley de Newton del enfriamiento. De acuerdo con los datos de la gráfica de la figura 7, estimar los valores de T0 , Tm y k. Usen la intuición y el sentido común.
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Figure 7: Gráfica de la temperatura de la taza de café en función del timepo.
4 4.1
SOCIOLOGIA Y ECUACIONES DIFERENCIALES Dinámica de Poblaciones
Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano lo hizo el economista ingles Thomas Malthus en 1798. En esencia, la idea del modelo malthusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, P (t), de ese poís en cualquier instante t. En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, más habrá en el futuro. En términos matemáticos esta hipótesis se puede expresar como dP = kP, (19) dt donde k es una constante de propocionalidad. A pesar de ue este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores, como inmigración y emigración, que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de Estados unidos desde 1790 hasta 1860. Las poblaciones que crecen con la tasa descrita por ecuación (19) son raras; sin embargo, se sigue usando esta ecuación para modelar el crecimiento de poblaciones pequeñas en intervalos cortos de tiempo; por ejemplo el crecimiento de bacterias en un disco de Petri.
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