Mekanika Lagrange ini menjelaskan bagaimana kita dapat menyelesaikan persamaan gerak suatu benda melalui persamaan gerak Lagrange. Persamaan ini begitu sophisticated sehingga persaolan yang …Deskripsi lengkap
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Ecuaciones de Lagrange y Clairaut Historia
En el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Prácticamente se dividen en 2 tipos, resueltas respecto a la derivada y no resueltas a la derivada. Las ecuaciones de Lagrange y Clairaut son un caso particular de él segundo tipo, no resueltas respecto a la derivada. Ecuación de Lagrange
Son de la forma donde no puede ser igual . Se resuelven derivando y llamando con lo que obtenemos esta ecuación es lineal y se integra tomando como función de . Ecuación de Lagrange:
+ + + =0 Solucion:
Para resolver la ecuación diferencial de Lagrange se trasformar en otra
ecuación diferencial lineal en como función de , haciendo
=. = en la ecuación 1 Sustituimos = + (2) Diferenciamos la ecuación = +′ +′ =+′+′ (3) Reemplazamos = en (3) se tiene: =+′+′ (4) donde
La ecuación (4) se puede expresar de la forma:
+ = ′
= de
=
Que es una ecuación diferencial lineal en , cuya solucion general es donde un parámetro y la solucion general de la ecuación (1) se da en forma paramétrica
,
{ = =, , + , Es un parámetro Ecuación de Clairaut
=′+
Donde es una función continuamente diferenciables en interés que presenta este tipo de ecuaciones se debe al hecho de que tiene como solucion de suma familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solucion, en este caso una solucion singular, de la ecuación de Clairaut. La solucion de la ecuación diferencial de Clairaut se obtiene siguiendo el mismo procedimiento del caso de la ecuación diferencial de Lagrange. Ejemplos Resolver la siguiente Ecuación de Clairaut
