TUGAS METODE NUMERIK
INTERPOLASI POLINOMIAL LAGRANGE
Disusun Oleh:
GILANG PRATAMA P (I0410019)
WELLY NOPI HEALTANTO (I0411041)
ZADID IHSANI (I0411043)
JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013
INTERPOLASI POLINOMIAL LAGRANGE
A. PENDAHULUAN
Pada beberapa masalah kita sering memerlukan suatu penaksiran nilai
antara (intermediate values) yaitu suatu nilai diantara beberapa titik data
yang telah diketahui nilainya. Metode yang biasa digunakan untuk menentukan
titik antara tersebut adalah melakukan interpolasi. Metode interpolasi yang
biasa digunakan adalah dengan interpolasi Polinomial. Persamaan polinomial
orde ke n yang dipakai secara umum adalah :
(5.1)
Persamaan polinomial ini merupakan persamaan aljabar yang hanya
mengandung jumlah dari variabel x berpangkat bilangan bulat (integer).
Untuk n+1 titik data, hanya terdapat satu polinomial order n atau kurang
yang melalui semua titik. Misalnya hanya terdapat satu garis lurus
(polinomial order satu) yang menghubungkan dua titik, lihat Gambar 5.1 ,
(a) . Demikian juga dengan menghubungkan tiga titik dapat membentuk suatu
parabola (polinomial order 2), lihat Gambar 5.1 (b), sedang bila empat
titik dapat dihubungkan dengan kurva polinomial order tiga, lihat Gambar
5.1 (c), Dengan operasi interpolasi kita dapat menentukan suatu persamaan
polinomial order ke n yang melalui n+1 titik data, yang kemudian digunakan
untuk menentukan suatu nilai (titik antara) diantara titik data tersebut.
`
(a) (b) (c)
Gambar 5.1
B. Interpolasi Polinomial Lagrange
Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan polinomial Newton,
tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi
polinomial Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton. Interpolasi
Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P (x) berderajat
tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalnya, kita ingin
mendapatkan fungsi polinomial berderajat satu yang melewati dua buah titik
yaitu (x0, y0) dan (x1, y1).
Bentuk polinomial Newton order satu:
f1(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] (6.16)
Pembagian beda hingga yang ada dalam persamaan diatas mempunyai bentuk:
f [x1, x0] =
f [x1, x0] = (6.17)
Substitusi persamaan (6.17) ke dalam persamaan (6.16) memberikan:
f1(x) = f (x0) + f (x1) + f (x0)
Dengan mengelompokkan suku-suku di ruas kanan maka persamaan diatas
menjadi:
f1(x) = f (x0) + f (x1)
atau
f1(x) = f (x0) + f (x1) (6.18)
Persamaan (6.18) dikenal dengan interpolasi polinomial Lagrange order
satu.
Dengan prosedur diatas, untuk interpolasi order dua akan didapat:
f1(x) = f (x0) + f (x1) + f (x2)
(6.19)
Bentuk umum interpolasi polinomial Lagrange order n adalah:
fn(x) = f (xi) (6.20)
dengan
Li (x) = (6.21)
Simbol ( merupakan perkalian.
Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat dihitung
interpolasi Lagrange order yang lebih tinggi, misalnya untuk interpolasi
Lagrange order 1, persamaan tersebut adalah:
f1(x) =f (xi) = L0(x) f (x0) + L1(x) f (x1)
L0(x) =
L1(x) =
Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 1 adalah:
f1(x) = f (x0) + f (x1)
Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat dihitung
pula interpolasi Lagrange order 2 adalah:
F2 (x) =f (xi) = L0(x) f (x0) + L1(x) f (x1) + L2(x) f (x2)
I=0 L0(x) =
I=1 L1(x) =
I=2 L2(x) =
Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 2 adalah:
f2 (x) = f (x0) + f (x1)
+ f (x2) + f (x3) (6.22)
Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat dihitung
pula interpolasi Lagrange order yang lebih tinggi, misalnya untuk
interpolasi Lagrange order 3, persamaan tersebut adalah:
f3(x) =f (xi) = L0(x) f (x0) + L1(x) f (x1) + L2(x) f (x2) +
L3(x) f (x3)
L0(x) =
L1(x) =
L2(x) =
L3(x) =
Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 3 adalah:
f3(x) = f (x0) + f (x1)
+ f (x2) + f (x3) (6.22)
Contoh soal1:
Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi polinomial Lagrange order
satu dan dua berdasar data ln 1 = 0 dan data ln 6 = 1,7917595. Hitung
juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan data ln 4 = 1,3862944. Untuk
membandingkan hasil yang diperoleh, hitung pula besar kesalahan
(diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718).
Penyelesaian:
x0 = 1 ( f (x0) = 0
x1 = 4 ( f (x1) = 1,3862944
x2 = 6 ( f (x2) = 1,7917595
Penyelesaian order satu menggunakan persamaan (6.18):
f1(x) = f (x0) + f (x1)
Untuk x = 2 dan dengan data yang diketahui maka:
f1(2) = (0) + (1,3862944) = 0,462098133.
Untuk interpolasi polinomial Lagrange order dua digunakan persamaan
(6.19):
f1(x) = f (x0) + f (x1) + f (x2)
f1(2) = (0) + (1,3862944) +
(1,7917595)
= 0,56584437.
Terlihat bahwa kedua hasil diatas memberikan hasil yang hampir sama
dengan contoh sebelumnya.
-----------------------
