2012-II UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA MÉTODO D DE LLOS M MULTIPLICADORES D DE LLAGRANGE
CURSO: Matemática III
PROFESOR: Ing. Sergio Huaranca Tanta
INTEGRANTES: Clemente Vásquez Renzo Domingo Miranda Jaime Jorge Enrique
SECCIÓN: R
20111028E 20111324C
Matemática III – Multiplicadores de Lagrange
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MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Comenzaremos distinguiendo entre dos tipos de problemas. Determinar el valor mínimo de es un problema con extremos libres. Determinar el mínimo de sujeto a la condición restricción. Muchos de los problemas del mundo real, en particular los de economía son del segundo tipo. Por ejemplo un fabricante podría tratar de maximizar las ganancias pero es probable que esté restringido por la cantidad de materia prima disponible, la cantidad de mano de obra y así sucesivamente.
Un ejemplo sería el caso de determinar la mínima distancia entre el origen y la superficie al origen. Formulamos el problema como el de minimizar sujeto a la restricción . Manejamos este problema sustituyendo el valor de dado por la restricción en la expresión para y luego resolvimos el problema resultante con extremos libres (es decir, sin restricciones).
Otro caso sería el de determinar los extremos relativos de
conjunto cerrado y acotado
()
en el
. Sabemos que el máximo debía aparecer en la
frontera de la región S, de modo que pasamos el problema a maximizar sujeto a la restricción
. Este problema se puede resolver determinando una
parametrización para la restricción y luego maximizar una función de una variable (donde la variable es el parámetro en la restricción). Sin embargo, con frecuencia ocurre que en la ecuación de restricción, no se puede despejar fácilmente una de las variables o que la restricción no se puede parametrizar en términos de una variable. Incluso, aunque se puede aplicar una de estas técnicas, otro método más sencillo: el de los multiplicadores de Lagrange.
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Matemática III – Multiplicadores de Lagrange
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Interpretación geométrica del método Parte del problema en el ejemplo 5 de la sección anterior era el de maximizar la función objetivo sujeto a la restricción g , a la restricción. En este caso, el cilindro elíptico representa la restricción . La segunda parte de la figura 1 muestra la restricción y la superficie . El problema de optimización consiste en determinar en qué punto de esta curva de intersección la función alcanza un máximo o un mínimo. Tanto la segunda como la tercera parte de la
()
() () () ()
figura 1 sugieren que el máximo y el mínimo ocurrirán cuando una curva de nivel de la función objetivo f sea tangente a la curva de restricción. Ésta es la idea fundamental detrás del método de los multiplicadores de Lagrange.
Ahora consideremos el problema general de optimizar sujeto a la restricción . Las curvas de nivel de f son las curvas , donde k es una constante. Éstas aparecen en la figura 2 para . La gráfica de la restricción también es una curva y aparece en la figura 2. Maximizar f sujeta a la restricción significa determinar la curva de nivel con la máxima k posible que corte la curva de restricción. Es evidente, de la figura 2, que tal curva de nivel es tangente a la curva de restricción en un punto y, por lo tanto, que el valor máximo de f sujeta a la restricción es . El otro punto de tangencia , da el valor mínimo de f sujeta a la restricción.
()
() ()
()
() () () ()
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()
()
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El método de Lagrange proporciona un procedimiento algebraico para determinar los puntos y . Como en tales puntos la curva de nivel y la curva de restricción son tangentes (es decir, tienen una recta tangente común), las dos curvas tienen una perpendicular común. Pero en cualquier punto de una curva de nivel el vector gradiente es perpendicular a la curva de nivel y de manera similar, es perpendicular a la curva de restricción. Así y son paralelos en y también en ; es decir,
() () () () y
Para ciertos números no nulos
y
.
El argumento anterior es decididamente intuitivo, pero puede formalizarse completamente bajo las hipótesis adecuadas. Además, este argumento también sirve para el problema de maximizar o minimizar sujeta a la restricción . Simplemente consideremos superficies de nivel en vez de curvas de nivel. De hecho, el resultado es válido para cualquier número de variables.
()
()
Todo esto sugiere la formulación del método de multiplicadores de Lagrange.
Método de Lagrange
() () () () ()
Para maximizar o minimizar f de ecuaciones
sujeta a la restricción
, resuelva el sistema
y
Para p y . Cada uno de tales puntos es un punto crítico para el problema de extremos con restricción y el número correspondiente es un multiplicador de Lagrange.
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Ejemplo 1 ¿Cuál es la máxima área que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 2? Solución Colocamos el rectángulo en el primer cuadrante, con dos de sus lados a lo largo de los ejes coordenados; luego, el vértice opuesto al origen tiene coordenadas (x,y), con x e y positivos (figura 3). La longitud de su diagonal es es .
y su área
() () () ()() () ()()
Así podemos formular el problema como el de maximizar sujeta a la restricción . Los gradientes correspondientes son
Así las ecuaciones de Lagrange se convierten en:
() ()
…(1) …(2) …(3)
Que debemos resolver en forma simultánea. Si multiplicamos la primera ecuación por y y la segunda por x , obtenemos y , de donde
√ √ …(4)
De (3) y (4) vemos que estos valores en (1) obtenemos
y
; al sustituir
.
Así la solución a las ecuaciones de la (1) a la (3), con x e y positivos, es
√ √
Concluimos que el rectángulo de área máxima con diagonal 2 es el cuadrado cuyos lados
√
miden Su área es 2. La figura muestra una interpretación geométrica de este problema.
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Ejemplo 2 Use el método de Lagrange para determinar los valores máximos y mínimos de
Sobre la elipse
()
.
Solución Revisando la gráfica de la función f, vemos que se trata del paraboloide hiperbólico . Esta figura nos permite estimar que el valor mínimo aparece en y el valor máximo en . Pero justifiquemos esta conjetura.
() () ()
Podemos
escribir
las
restricciones
()
como
() ()
Las ecuaciones de Lagrange son
() ()
…(1)
…(2) …(3)
Vemos, de la tercera ecuación, que x e y no se pueden anular simultáneamente. Si , la primera ecuación implica que y, entonces, la segunda ecuación exige que y=0. De la tercera ecuación concluimos que . Así, hemos obtenido los puntos críticos .
()
( ()) () ()
Exactamente el mismo argumento con
() () luego
de la primera, finalmente también son puntos críticos.
Ahora, para
El valor mínimo de
6
()
.
implica que
de la segunda ecuación,
de la tercera ecuación. Concluimos que
en la elipse dada es -4; el valor máximo es 1.
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Ejemplo 3 Determinar el mínimo de
()
sujeto a la restricción
()
Solución
() () () () () () () () Los gradientes de y son y Para determinar los puntos críticos, resolvemos las ecuaciones
.
y
En términos de donde es un multiplicador de Lagrange. Esto es equivalente, en nuestro problema, a resolver el siguiente sistema de cuatro ecuaciones simultáneas en las cuatro variables . …(1)
…(2)
…(3)
…(4)
De (3),
. Al sustituir este resultado en las ecuaciones (1) y (2), obtenemos
. Al introducir estos valores de x e y en la ecuación (4), obtenemos z
. Así, la
solución del sistema anterior de cuatro ecuaciones simultáneas es único punto crítico es restricción
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. Por lo tanto, el mínimo de
, es
.
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y
y el
sujeta a la
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DOS O MÁS RESTRICCIONES Cuando se impone más de una restricción sobre las variables de una función que debe maximizarse o minimizarse, se usan más multiplicadores de Lagrange (uno por cada restricción). Por ejemplo, si buscamos los extremos de una función f de tres variables sujeta a las dos restricciones y h , resolvemos las ecuaciones
() () () ()() () () () () () () () () () () () () ()
En términos de y , donde y son multiplicadores de Lagrange. Esto equivale a hallar las soluciones del sistema de cinco ecuaciones simultáneas en las variables y .
Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtiene las soluciones de este sistema. Ejemplo 4
() () ()
Hallar los extremos condicionados de z las relaciones
, estando ligados las variables x, y y
Solución Definiendo la función de Lagrange:
() () () Igualando componentes:
…(1) …(2) …(3)
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…(4)
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() ()
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…(5)
Resolviendo la ecuación (1) y (3) eliminamos y
Si , no existe solución, luego suponemos para en la ecuación (4) y (5) se tiene:
De donde se obtiene (4), obtenemos z
y
se tiene
reemplazando
. Al introducir estos valores de x e y en la ecuación
. Así, la solución del sistema anterior de cinco ecuaciones
simultáneas es
y el único punto crítico es
tanto, el máximo condicionado de
()
. Por lo
sujeta a la restricción
, es
Ejemplo 5
()
Determine los valores máximos y mínimos de sobre la elipse dada como la intersección del cilindro y el plano (ver figura 5)
Solución
( ) () Se quiere maximizar y minimizar y correspondiente son:
…(1)
…(2)
…(3)
…(4)
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()
sujeta a Las ecuaciones de Lagrange
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() () () () () () …(5)
De (1),
de (2) y (3),
. La solución
Así, de (4),
, lo que implica que
proporciona el punto crítico
y
el punto crítico . Concluimos que es el valor mínimo.
da
es el valor máximo y
OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN UN CONJUNTO CERRADO Y ACOTADO
()
Podemos determinar el máximo o el mínimo de una función en un conjunto cerrado y acotado S, mediante los siguientes pasos. Primero, utilizamos los métodos de ya conocidos para determinar el máximo o el mínimo en el interior de S. Segundo, utilizamos los multiplicadores de Lagrange para determinar los puntos en la frontera que proporcione un máximo o un mínimo local. Por último, evalúe la función en estos puntos para determinar el máximo y el mínimo en S. Ejemplo 6
Determinar el máximo y el mínimo para la función en el conjunto
() {() }
Solución
La figura 6 muestra la gráfica de . El conjunto S es el círculo con centro en el origen que tiene radio 1. Así tenemos que encontrar el máximo y el mínimo de f en la región que está dentro de la curva dibujada en la parte superior de la figura 6. Iniciamos por determinar todos los puntos críticos en el interior de S:
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()
La única solución, y por tanto el único punto crítico interior, es . Ahora aplicamos el método de multiplicadores de Lagrange para determinar puntos a lo largo de la frontera en donde la función tenga un máximo o un mínimo. Un punto en la frontera satisfará la restricción . Entonces
Haciendo
() ()() () () () lleva a
Al despejar en estas dos ecuaciones se obtiene:
√ ⁄ √ ⁄ ()√ √ √ √ √ √ √ √ () √ √ √ √ √ √ √ √ ()() √ √ √ √ Que conduce a .
. Esto, junto con la restricción
Por
lo
tanto,
debemos
evaluar
El máximo que alcanza f en S es 4, y ocurre en es , y esto ocurre en los dos puntos
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, da
f
en
los
cinco
,
puntos
. El mínimo que alcanza f en S
y
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