08 Dinámica de Lagrange

Teoremas de la Dinámica Cinemática Sistemas de Partículas Ecuaciones Cardinales de la Dinámica Dinámica del Movimiento Plano Campo de Fuerzas Oscilador Lineal Unidimensional Función Lagrangiana

Este cuadernillo:

08 Dinámica de Lagrange

2011

Diego E. García

Dinámica de Lagrange

142

Presentación El presente texto “Teoremas de la Dinámica”, corresponde a una selección de contenidos tomados del amplio campo de la Mecánica Clásica. Está destinado a los estudiantes de diversas ramas de Ingeniería, que hayan completado los cursos de Análisis Matemático y de Física. Parte de ellos, corresponden a las clases Mecánica Analítica (Ingeniería Civil), en el Departamento de Física de la F. de C.E.F y N. de la UNC, a mi cargo entre 2001 y 2010. El trabajo lo desarrollé a partir de una Mecánica de nivel intermedio, necesariamente limitado a un curso breve, por las restricciones de tiempo en la formación de grado en Ingeniería. En este cuadernillo se analizan la configuración de un sistema de partículas, los conceptos de desplazamientos reales y virtuales, coordenadas generalizadas y se presentan, sin demostración, las Ecuaciones de Lagrange, expresadas a partir de la Función Lagrangiana, todo ello a efectos de servir de introducción para la resolución de algunos problemas por el método de Lagrange. En cuadernillo separado se desarrolla este tema con mayor amplitud.

Prof. Diego Edgardo García Córdoba, marzo de 2008

8 Dinámica de Lagrange

Página

Contenidos de este cuadernillo Determinación de la posición de un sistema de partículas, parámetros de configuración con vínculos fijos, (sistema esclerónomo) Configuración de un sistema de partículas en el caso de vínculos móviles, (sistema reónomo) Desplazamiento virtual y desplazamiento real de las partículas de un sistema Grados de libertad, sistemas holónomos y anholónomos

143

Coordenadas generalizadas

147

Algunos ejemplos de coordenadas generalizadas

147

Función Lagrangiana, ecuaciones de Lagrange

149

Resolución del péndulo simple mediante las ecuaciones de Lagrange

150

Algunas aplicaciones de la función lagrangiana

152

1 – Péndulo simple con punto de suspensión oscilante

152

2 - Cadena deslizante

159

3 – Cilindro rodante en plano inclinado

161

4 - Partícula en un plano vertical rotante

163

Referencias Bibliográficas

168

Derechos reservados. Ley 11723 ISBN 978-987-05-4041-0 Impreso en la ciudad de Córdoba, Argentina 2º edición, marzo 2008 Reimpresiones en 2009, 2010, 2011

144 145 146

Teoremas de la dinámica.


143

8 Dinámica de Lagrange Determinación de la posición de un sistema de partículas, parámetros de configuración con vínculos fijos, (sistema esclerónomo) Un sistema con vínculos fijos, se denomina esclerónomo. (del griego sklerós, duro rígido y de nomos, ley). Imaginemos una partícula que se puede mover libremente en el espacio, en ese caso, su posición queda determinada cuando se conocen, en cada instante, sus 3 coordenadas. Si se tienen N partículas, habrá que fijar 3N coordenadas para determinar la posición del sistema. El término configuración del sistema se refiere a las posiciones que ocupan las partículas en un determinado instante: cuando se conocen las ubicaciones de las mismas, decimos que el sistema está configurado. Ahora bien: puede ocurrir que algunos puntos del sistema estén vinculados entre sí, por ejemplo: 2 masas puntuales libres en el plano, suman 4 grados de libertad y hacen falta 4 coordenadas para configurar el sistema. Pero supongamos que las dos partículas estén vinculadas entre sí por un segmento inextensible de longitud l : en este caso bastará fijar las 2 coordenadas de una de ellas más el ángulo que forma el segmento con la horizontal, en total 3 coordenadas independientes entre sí, para tener determinado el sistema. Ciertamente, esta restricción de vínculo, se podrá establecer mediante una determinada ecuación que deberán satisfacer las coordenadas. Esa ecuación es:

x2

2

x1

y2

y1

2

l2

Se llaman parámetros de configuración , o coordenadas de Lagrange, a las coordenadas que se usan, o que se pueden usar, para configurar un sistema. Decimos, que se pueden usar, porque, en realidad, la posición de las dos masas acopladas por una barra, queda definida también usando los 4 parámetros x1 x2 x3 x4 , aunque si la definimos así, estaríamos usando un parámetro superabundante: Llamaremos por lo tanto parámetros de Lagrange a todas las coordenadas de configuración, ya sean estas superabundantes o ya sean independientes. Designaremos con qk a estos parámetros, con

k 1, 2,3,...n . De acuerdo con el ejemplo que se ha mostrado, resulta entonces, que, si los parámetros de configuración deben satisfacer una ecuación de vínculo, eso hace que el sistema se configure con 3, en vez de con 4 parámetros. Hablando en general, si llamamos n a la cantidad de parámetros de Lagrange y m a la cantidad de ecuaciones que representan las restricciones de vínculo, podemos expresar:

Cantidad de parametros independientes n m Si llamamos Pi O al vector posición de una partícula i del sistema, podemos expresar finalmente la configuración de un sistema de partículas mediante la siguiente función vectorial:

Pi O

Pi qk

con

k 1, 2,3,... n m

(1)

en donde los qk son parámetros independientes entre sí. Cada uno de estos parámetros es función del tiempo. También podemos expresar, en forma escalar, las coordenadas de posición xi , yi , zi de una partícula i del sistema, en función de los n

m parámetros independientes: xi yi

zi

xi qk yi qk

(1’) con

k 1, 2,3,... n m

zi qk

Si N es la cantidad de partículas del sistema tendremos 3 N ecuaciones como las (1’) que nos permitirán conocer las coordenadas de cada una de las N partículas en función de los parámetros qk independientes. Entonces podemos llamar a las (1) o (1’), ecuaciones de transformación, porque nos permiten pasar de los parámetros de configuración, a las coordenadas de posición de las partículas. También podríamos designarlas como ecuaciones de configuración.

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144

Debemos observar que en las (1) y (1’), no aparece el tiempo en forma explícita: ello significa que si bien las coordenadas xi , yi , zi dependen del tiempo, lo hacen a través a través de las qk .

Esta no dependencia en forma explícita del tiempo, se debe a que hemos considerado que los vínculos permanecen fijos en el tiempo, por ejemplo, si un punto se mueve sobre una curva en el espacio, esa curva no cambia su forma con el tiempo, entonces, si dejamos constante un valor del parámetro ( por ejemplo el recorrido sobre la curva), la posición de la partícula no cambia porque la curva no se mueve. Veamos el siguiente ejemplo, figura 2: Una partícula P se mueve en un plano sujeto a un vínculo tal que su distancia al punto “O” es constante e igual a l , figura 1

y l

f x

Figura 1 Los parámetros de Lagrange son 2 1

q

q

2 2

l

2

q1

x

;

q2

y y la ecuación de

ligadura es

0.

q1 , en cuyo caso q2 es superabundante. También podemos tomar como parámetro independiente al ángulo en cuyo caso q1 y q2 pasan a ser Podemos tomar como parámetro independiente a

superabundantes. Si consideramos los 3 parámetros q1 , q2, , n

3 podremos establecer entre ellos 2

ecuaciones de ligadura ( m 2 ), de manera que la cantidad de parámetros independientes siempre será 3 2 1. Las ecuaciones de transformación que dan las coordenadas de la partícula en función del parámetro son:

x l cos y lsen donde

es una cierta función del tiempo. Como vemos, el tiempo no aparece explícitamente en la expresiones que dan las coordenadas de P , cuando los vínculos son fijos.

Configuración de un sistema de partículas en el caso de vínculos móviles, (sistema reónomo) Cuando los vínculos cambien su forma, o su posición en función del tiempo, el sistema se llama sistema reónomo, ( del griego rhéos, corriente y nomos, ley). En este caso, en la función (1), que da el vector posición de la partícula, o en las ecuaciones de transformación (1’), aparecerá explícitamente el tiempo. Para que ello ocurra, es necesario que la ley que representa la variación de la forma, o posición del vínculo, sea un dato. Veamos un ejemplo, consistente en un péndulo simple, con su articulación oscilante, como se muestra en la figura 2: El punto de suspensión del péndulo se mueve de acuerdo con:

o i

o1

O1 O

x

La posición queda determinada con una única coordenada

f

j

l i m

y Figura 2

sen t i (2) , ya que

la posición de O1 está predeterminada por la (2). La coordenada vectorial de posición de la partícula P será:

P O

sen t l cos

i lsen j (3)

o bien:

x sen t l cos y lsen

(3’)

Como vemos, se trata de un sistema reónomo y en la (3) aparece explícitamente el tiempo, cosa que no ocurre cuando los vínculos no se mueven.



145

También podríamos haber expresado la posición con vínculo superabundantes:

Pi O

q1 i q2 j , con q1

x y q2

y

con la siguiente ecuación de ligadura:

q1 sen t

2

q22 l 2

0 (4)

Desplazamiento virtual y desplazamiento real de las partículas de un sistema Llamaremos desplazamiento virtual de un sistema, al conjunto de desplazamientos que experimentan las partículas del mismo, cuando se produce una variación de uno, de varios, o de todos los parámetros de configuración del sistema, con la condición de suponer que las ligaduras que vinculan a los elementos del sistema con el exterior, permanecen inmóviles mientras dura esa variación. Desplazamiento real o simplemente desplazamiento es el que experimentan las partículas del sistema debido a la variación del, o los parámetros de configuración, mas el desplazamiento producido por el movimiento de la o las ligaduras del sistema, mientras dura esa variación. Si el sistema tiene ligaduras fijas ( sistema esclerónomo), no hay diferencia entre un desplazamiento real y un desplazamiento virtual. Si el sistema tiene ligaduras móviles, los desplazamiento reales son diferentes de los virtuales: para tener el desplazamiento real de las partículas, hay que sumar, al desplazamiento virtual de las mismas, el desplazamiento provocado por el movimiento de las ligaduras durante el intervalo de tiempo considerado. Consideremos el siguiente ejemplo: Designemos con i a un punto genérico del péndulo con articulación deslizante de la figura 3. El desplazamiento real que experimenta dicha partícula cuando transcurre un tiempo dt , proviene de la variación del único parámetro q1 y del desplazamiento de la ligadura, que en este caso, es la articulación O1 . Si llamamos Pi al vector posición de la partícula, referido al sistema x , y , resulta que dicho vector será una función de q1 y del tiempo, a la que llamaremos Pi

Pi q1 , t . En esta función, el

tiempo aparece en forma explícita, por tratarse de un sistema reónomo. Entonces, podemos expresar el desplazamiento real de la partícula i , como el diferencial de la función vectorial Pi , que se obtiene como la suma de los 2 diferenciales parciales con respecto a cada variable: Pi Pi Vector desplazamiento real dPi dq1 dt (5) de la partícula i , con una q1 t única coordenada q1 Si se tratase de un sistema de partículas con h coordenadas independientes, el desplazamiento real de una partícula, de un sistema reónomo se expresaría como: k h

dPi k 1

Pi dqk qk

Pi dt t

(6)

Vector desplazamiento real de la partícula i , con h coordenadas independientes qk

Si ahora, en cambio, queremos expresar el desplazamiento virtual, de una partícula del péndulo de la figura 3, desaparece el segundo término de la (5), porque suponemos que la ligadura no se mueve. Entonces, se tendrá Vector desplazamiento Pi Pi q1 (7) virtual de la partícula i , con q1 una única coordenada q1 Si se tratase de un sistema de partículas con h coordenadas independientes, el desplazamiento virtual de una partícula, de un sistema reónomo se expresaría como: k h

Pi k 1

Pi qk qk

(8)

Vector desplazamiento virtual de la partícula i , con h coordenadas independientes qk

Observamos que si se trata de un sistema esclerónomo, o de vínculos fijos, las (5) y (6), se transforman en las (7) y (8). En las (7) y (8) se han indicado tanto la variación de q1 como el desplazamiento de la partícula, con la letra

en lugar de usar la letra “d” de diferencial de una función. El uso de

Pi para el

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desplazamiento, es para indicar que se trata de un desplazamiento virtual, que, como se dijo, se realiza imaginando que los vínculos se inmovilizan mientras ocurre la variación de las coordenadas qk . El uso de

qk es para poner de manifiesto que dicha coordenada experimenta una variación, mientras el

vínculo permanece “inmovilizado” en la posición que ocupaba en un determinado instante t Llamamos “isocrónica” a esa variación

t1 ó t

t2 .

qk . El término isocrónico se refiere a la suposición ya

expresada que, mientras dura la variación de las qk , el vínculo queda transitoriamente inmovilizado en la

t1 ó t t2 etc. Podemos establecer el siguiente resumen con respecto a las características salientes del desplazamiento virtual de una partícula i del sistema: posición que ocupaba en un determinado instante t

Suponiendo el vínculo fijo, debe ser compatible con la condición de vínculo, es decir moverse según la tangente a la trayectoria que le impone dicha condición. Si los vínculos son móviles, se consideran inmovilizados mientras dura la variación de las qk . En el caso que los vínculos sean fijos, no se establece diferencias entre el vector desplazamiento real dPi y el vector desplazamiento virtual Pi de cada partícula. Tal sería el caso que el vínculo fuese realmente fijo en la figura 3. Como no lo es , para tener dPi el vector desplazamiento de arrastre de Pi debido al movimiento del vínculo. No necesariamente debe ser un valor diferencial: puede ser un valor finito, siempre cuando los desplazamientos de las partículas del sistema, sean compatibles con los vínculos. El símbolo usado para indicar un desplazamiento virtual, cuando éste es una magnitud diferencial y participa de las mismas propiedades usuales del símbolo d usado como diferencial. Un desplazamiento virtual puede ser un desplazamiento de un punto, como tal, pero también puede corresponder a la variación de un ángulo. O sea que puede medirse en metros o en radianes. Grados de libertad Se llaman grados de libertad a cada uno de los desplazamientos virtuales, independientes entre sí, que pueden tener las partículas de un sistema. Supongamos un sistema de N partículas materiales, tal que su configuración está dada por n parámetros de Lagrange. q j con j 1, 2,3......n . El sistema está sometido a m ecuaciones de restricción de vínculo, o también puede no tener vínculos. Esta definición de grados de libertad es válida independientemente de la forma que tengan las ecuaciones de vínculo, es decir, ya sean estas ecuaciones finitas o diferenciales, integrables o no. Entonces, si llamamos h a la cantidad de grados de libertad de un sistema, ésta queda dada por: h n m (9)

Sistemas holónomos y anholónomos Decimos que un sistema es holónomo, si no tiene vínculos, o bien, si los tiene, éstos son expresables mediante m ecuaciones finitas en los parámetros de Lagrange. Mediante estas

m ecuaciones finitas, podemos obtener m parámetros del sistema en función de los otros n m parámetros que hemos tomado como independientes. En ese caso, siempre será posible considerar el sistema como si fuese un sistema libre, sin vínculos, pero que, en vez de tener 3N grados de libertad, tuviese h 3 N m grados de libertad.

En un sistema holónomo, la cantidad de parámetros o coordenadas necesarios para configurar el sistema, coincide con la cantidad de grados del libertad del mismo.



147

Decimos que un sistema es no holónomo o anholónomo si una, o más, de las m relaciones de vínculo, está expresada como una ecuación diferencial no integrable. Si la ecuación diferencial que expresa el vínculo fuese integrable, dicha expresión se transformaría en finita y el sistema pasaría a ser holónomo. Es importante hacer notar que, si el sistema es anholónomo, no es posible encontrar los m parámetros de configuración en función de los restantes. En este tipo de sistemas, la cantidad de grados de libertad sigue siendo h , pero es posible demostrar que ya no resultan suficientes h parámetros para configurar el sistema, sino que para ello son necesarios h

r parámetros, en donde r es la cantidad

de ecuaciones de vínculo que no son integrables. (ver nota 1) Nota 1: puede consultarse al respecto, el capítulo XIII del texto Mecánica Analítica del Ing. Nilo Penazzi, Cátedra de Mecánica, Ingeniería Aeronáutica de la Facultad de Ingeniería de la UNC, 1998.

Coordenadas generalizadas A los parámetros qk independientes entre sí, que determinan la configuración instantánea de un sistema y ya mencionados al hablar de la configuración de un sistema, es usual y resulta cómodo, darles el nombre de coordenadas generalizadas. En los sistemas holónomos, como ya se dijo, la cantidad de coordenadas generalizadas coincide con la cantidad de grados de libertad h del sistema. En consecuencia podemos expresar las ecuaciones de transformación que dan las coordenadas cartesianas de las N partículas, en función de las h coordenadas generalizadas qk , de la siguiente forma:

xi xi q1 , q2 ,... qh , t yi

yi q1 , q2 ,... qh , t

i 1, 2,3,...

N

y

k 1, 2,3,.........h

zi zi q1 , q2 ,... qh , t En las ecuaciones (1) aparece el tiempo en forma explícita, porque se considera el caso general de vínculos móviles.

Algunos ejemplos de coordenadas generalizadas a) Partícula que se mueve sobre vínculo con forma de elipse

y

Pm

b

x a

Figura 1 La partícula tiene un solo grado de libertad. Tomamos como coordenada generalizada el ángulo , en forma tal que (figura 1):

y

b sen

x

a cos

Ecuaciones de transformación

b) Cilindro que rueda sobre un plano inclinado Si la rodadura se hace sin deslizamiento se tiene una sola coordenada generalizada, que puede ser la coordenada x ( ver en la figura 2). El ángulo se relaciona con x mediante la relación:

x

R

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x

R

Figura 2 En cambio si hay deslizamiento en el punto de contacto, el sistema tiene 2 grados de libertad y las coordenada generalizadas son x y .

c) Barra articulada, con una masa deslizante, sujeta a un resorte

O1

O

X

a x m Y Figura 3

Se tiene una barra puede girar en un plano vertical alrededor de la articulación O1 , como se muestra en la figura 3. La masa m , puede deslizar sobre la barra y a su vez, está sujeta por un resorte a la articulación O1 . El sistema está formado por la barra y la masa m y al resorte, lo consideramos sin masa. La ligadura del sistema con el exterior es la articulación O1 , la que, a su vez, puede, o no, deslizarse a lo largo del eje X . “a” es una determinada longitud del resorte, a partir de la cual medimos las elongaciones x de la masa m. En la tabla siguiente, se analizan diversas alternativas que pueden presentarse

Situación

Coordenadas generalizadas

XP

O1 Fijo O1 Fijo,

Distancia O

O

,

variación de ley

conocida:

una ley conocida sen t y

x Coordenadas generalizadas

O1 se puede mover sobre colisas deslizante y sigue ley

t O1 sigue

una ley conocida

O

O1 , x ,

Reónomo

x

Reónomo

Y P (x , t )

Ecuaciones de Transformación

XP YP XP YP

X P (x , O Y P (x , O

Vínculo

O1 , t ) O1 , t )

X P (x , , t ) Y P (x , , t )

Vínculo

Esclerónomo

Y P Y P (x , ) X P X P (x , t )

YP

t

Situación

X P (x , )

Y P Y P (x , t ) X P X P (x , t )

siguen

O1

Sólo la distancia O

x

x

t

O1 y

conocida:

Ecuaciones de Transformación

Reónomo

Reónomo



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Ninguno de los parámetros obedece a una ley predeterminada

,

x, O

XP

O1

X P (x , , O

YP

Y P (x , , O

O1 )

Esclerónomo

O1 )

d) Péndulo doble En la figura 4 se muestra un sistema formado por dos varillas articuladas que se conoce como péndulo doble. Las coordenadas generalizadas son 1 y 2 . Como se observa en la figura, 1 puede variar independientemente de

2

y además

2

puede variar independientemente de

1.

! 1

! 2

1

2

Figura 4

e) Bloque deslizante y polea En la figura 5, se muestra un bloque que desliza sobre un plano horizontal liso. El bloque es traccionado por una cuerda, cuyo otro extremo está enrollado sobre una polea. Al caer la polea, se va desenrollando la cuerda. Las coordenadas generalizadas pueden ser: x 1 y x 2 , o también x 1 y , como se indica en la figura 5.

x1

Nudo

x2 x2 Polea Figura 5

Función Lagrangiana, ecuaciones de Lagrange Si llamamos P a los vectores velocidad de cada una de las partículas del sistema, la energía cinética del sistema resulta expresada por: N

T i 1

1 m i Pi 2

2

(10)

donde N es la cantidad de partículas del sistema. A su vez, el vector posición Pi , es una función de las coordenadas generalizadas qk y del tiempo. Entonces, de acuerdo con la (10), la energía cinética de un sistema de partículas, puede expresarse como una función de las coordenadas generalizadas qk del sistema, de sus derivadas con respecto al tiempo, qk y del tiempo:

T

f qk , qk , t

(11)

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Supongamos ahora, que la totalidad de las fuerzas que obran sobre el sistema son de carácter conservativo: En este caso y de acuerdo con la definición de fuerzas conservativas, es posible definir una cierta función energía potencial, correspondiente a dichas fuerzas. Sabemos, por otra parte, que en un campo de fuerzas, la energía potencial depende de la posición de las partículas del sistema y del tiempo, pero no depende de la velocidad de las mismas. Ello significa que la energía potencial, será una función de las coordenadas generalizadas y del tiempo, pero no de las derivadas con respecto al tiempo de dichas coordenadas generalizadas. Entonces, si V es la energía potencial del sistema, podemos expresar la misma como función de las coordenadas qk y del tiempo, de la siguiente forma: V f qk , t (12) De acuerdo con las consideraciones precedentes, en aquellos sistemas conservativos que admiten energía potencial V , vamos a definir una cierta función que llamaremos Función Lagrangiana, de la siguiente manera: T V (13) Función Lagrangiana Las ecuaciones que se expresarán a continuación, se conocen como Ecuaciones de lagrange y fueron desarrolladas por Louis de Lagrange, en Mécanique Analytique, Paris, 1788. En ellas interviene la Función Lagrangiana y su importancia consiste en que permiten la resolución de problemas, sin intervención de las ecuaciones cardinales de la dinámica. En ese sentido, constituyen un método autónomo de la dinámica. Las ecuaciones de Lagrange, que presentamos sin demostración, se expresan de la siguiente manera:

d dt

qk

0

qk

k

(14)

1, 2,..., h

Podemos hacer el siguiente resumen de los pasos a seguir para plantear las ecuaciones de Lagrange: Determinar el número de grados de libertad del sistema y elegir las coordenadas generalizadas. Expresar la energía cinética T del sistema qk y qk y del tiempo (si se tienen vínculos móviles). Calcular la energía potencial V en función de

T

qk y del tiempo y plantear la expresión del Lagrangiano

V .

Calcular las correspondientes derivadas del Lagrangiano con respecto a introducidas en las ecuaciones de Lagrange:

d dt

qk

qk

k

0

qk , q k y el tiempo, para ser

1, 2,..., h

Es decir:

d dt

q1

q1

d dt

q2

q2

0 0

(14’)

........................

d dt

qh

qh

0

Resolución del péndulo simple mediante las ecuaciones de Lagrange A modo de ejemplo, encontraremos la ecuación diferencial correspondiente al péndulo simple por el método de Lagrange. Se trata de un sistema con un solo grado de libertad y podemos adoptar la coordenada como única coordenada generalizada, q1 , como se muestra en la figura 1.



151

l

x

cota cero

m m Figura 1 La variación de energía potencial cuando el peso mg experimenta un desplazamiento dxi , es igual, por definición, al trabajo de producto escalar:

dV

mg , pero cambiado de signo y lo expresamos mediante el siguiente

mg dxi

dV

dV

mgdx cos180º

Si integramos la expresión anterior, entre cero y la posición

V

mgdx

x , resulta:

mgx

Pero:

x

l

x

l cos

l 1

cos

Entonces, obtenemos finalmente la siguiente expresión para la energía potencial:

V

mgl 1 cos

(1)

Seguidamente, debemos calcular la energía cinética este sistema, que es:

1 mv 2 2

T

donde v es la velocidad de la partícula. El módulo de la misma lo calculamos multiplicando el largo del

d . Entonces: dt v l

péndulo por su velocidad angular que vale:

Si reemplazamos este valor de la velocidad en la expresión de la energía cinética se tendrá:

1 m l 2

T

2

(2)

Reemplazamos ahora (1) y (2), en la expresión del Lagrangiano:

T

1 2 ml 2

2

V

mgl 1 cos

(3)

De acuerdo con las (14) y como se tiene un solo grado de libertad, la única ecuación de Lagrange que se tiene en este caso es:

d dt

q1

0

q1

O bien:

d dt

0

(4)

Seguidamente, efectuaremos las correspondientes derivadas del Lagrangiano, para poder reemplazar en la (4). Observamos que la (3) es función de

q1

y de q 1

, pero el tiempo no aparece en forma

explícita, porque se trata de un sistema con ligadura fija. Para derivar la (3) con respecto a debemos considerar a como constante y cuando derivemos con respecto a constante. Derivando (3):

q1

, supondremos

Diego E. García


152

ml 2

(5)

Además, pare obtener el primer término de la (4), falta aún derivar la (5) con respecto al tiempo, para lo cual deberemos tener presente que la velocidad angular

d dt

es función del tiempo:

d ml 2 dt

d dt

ml 2

(6)

k

Llevamos ahora (5) y (6) a la ecuación de Lagrange (4):

ml 2 Para oscilaciones pequeñas, resulta que:

mgl sen

0

(7)

sen

Entonces, la (7) queda:

l

g

0

O bien:

g l

0 (8)

La (8) es la conocida ecuación diferencial de un movimiento armónico simple, cuya solución es:

A cos t

Bsen t

en donde: 2

g ; l

2 T

g l

T

2 g l

2

l g

Ejemplos de aplicación de la función Lagrangiana 1 – Péndulo simple con punto de suspensión oscilante Hallar, por el método de Lagrange, la ecuación diferencial del movimiento de un péndulo cuyo punto de suspensión oscila según la ley x1 a sen t , suponiendo que la amplitud de las oscilaciones es pequeña.

Resolución: Grados de libertad El sistema tendría dos grados de libertad, si la posición de la articulación O1 no estuviese determinada. Pero como la posición del punto o1 está definida por la función x1 (t ) que es un dato, tenemos sólo un grado de libertad. Tomaremos el ángulo

como coordenada generalizada.

Energía cinética Las coordenadas de posición de la masa son: (ver en figura 1)



153

x1

o1

x lcos

v x1

l sen

y

Figura 1

x

x1

l sen

y

l cos

Derivamos con respecto al tiempo para obtener las componentes del vector velocidad: (ver en figura 2)

O1

x

yj

v

x1

y

l cos

l sen

Entonces, podemos expresar:

xi

v2

Figura 2

x2

y2

Teniendo en cuenta que la energía cinética es: T

T

1 2

m

T

1 2

m x 12

l2

2

T

1 2

m x 12

l2

2

x1

2

l cos cos2

l sen 2x 1l cos

1 2

mv 2 , resulta:

2

l2

2

sen 2

2x 1l cos

De la expresión precedente surge que la energía cinética es función de x1 , x1 , de las constantes m y l

y

(aparte

)

Energía Potencial Tomamos el potencial cero de referencia en el eje x, y teniendo en cuenta la definición de potencial resulta: (ver en figura 3) dV = -m g dy V=-mgy

x

y y

mg Figura 3 Entonces:

V

mgl cos

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154

Función Lagrangiana Recordemos que

L

T V por lo tanto la función lagrangiana resulta: L

1 2

m x1

2

l2

2

2 x1l cos

L

1 2

m x1

2

l2

2

2 x1l cos

mgl cos mgl cos

a continuación efectuaremos las derivadas que corresponden para poder escribir el binomio de Lagrange:

L

1 2

m 2l 2

2 x1l cos

m l2

x1l cos

derivamos ahora con respecto al tiempo para tener el 1º término del binomio:

d L dt

m l2

x1l cos

x1l sen

(1)

Téngase en cuenta que:

d cos dt

sen

Para hallar el segundo término del binomio de Lagrange, para lo cual derivamos el lagrangiano con respecto a

:

L

mlx1 sen

mgl sen

(2)

reemplazaremos 1) y 2) en la única ecuación de Lagrange para este problema:

d L dt

L

0

resulta:

m l2

x1l cos l2

x1l sen

x1l cos

mlx1 sen

x1l sen l2

mgl sen

0

lx1 sen

gl sen

0

x1l cos

gl sen

0

2

dividiendo miembro a miembro por l :

x1 cos l si x1

g sen l

0

(3)

a sen t , será:

x1

a sen t

x1

a cos t

x1

a

2

(4)

sen t

reemplazando (4) en (3), queda:

d2 dt 2

2

a l

sen t cos

g sen l

0



155

f (t ) , en el

Esta ecuación diferencial permitiría encontrar la función solución de la misma caso más general en que la amplitud de las oscilaciones no sea pequeña.

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que no es lineal. Teniendo en cuenta las condiciones impuestas en el enunciado de pequeños valores de

cos

1

sen

0

, podemos considerar que:

En el supuesto anterior se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea

= f(t) para oscilaciones pequeñas:

la cual permitirá encontrar

d2 dt 2 Los valores de g; a; l; y

g l

2

a

sen t (5)

l

son constantes y datos del problema; y la solución de esta ecuación

diferencial constará de dos partes: Una parte, será la solución de la homogénea asociada La otra parte, será la solución particular. La ecuación homogénea asociada es:

d 2 dt 2

g l

0 (6)

La (6) es la ecuación diferencial del péndulo simple, para valores pequeños de

. La solución de

esta ecuación es la misma del oscilador armónico simple (ver la (4) de ese tema), donde en vez de la elongación

x , aparece el ángulo

. Entonces es:

C 1cos

hom

donde

0

g t l

g t (7) l

C 2sen

g es la frecuencia angular del péndulo ideal de longitud l , supuesto que la articulación l

O1 fuese fija. Los valores de las constantes son C 1

0

, C2

0

. La (7) también se puede expresar

0

como (ver la (5) de movimiento armónico simple):

A cos

hom

donde A

C 12

C 22

y

t

(7’)

0

C2 . C1

arc tan

La solución particular es de la forma:

Mcos t

part

Si reemplazamos la función

M

part

N sen t

(8)

en la ecuación diferencial (5), resulta:

0

N

a l

Finalmente, la función solución para el caso de hom

2 0 0,

part

2 2

será la suma de (7’) y (8):

Diego E. García


156

A cos

t

Nsen t

0

(9)

La (9) corresponde a la suma de dos funciones armónicas de diferentes frecuencias,

0

y

, lo

que ya no es una función armónica simple, el valor de un determinada elongación máxima, no es igual a

f t , tendrá la forma que se muestra en la figura (4)

la que le sigue. En forma cualitativa, la curva

t

Figura 4 La función

f t

es análoga a la función x t

del oscilador forzado sin amortiguamiento,

caso a), ver la expresión (10) y la figura (5) de ese tema.

Si fuese

0,

es decir, si la frecuencia de la articulación oscilante coincidiera con la

frecuencia natural del péndulo, la función (8) ya no es solución de la ecuación diferencial (5). Debe buscarse una solución de la forma (ver ):

M cos t

part

Nsen t t

(10)

Puede consultarse el texto clásico de Análisis Matemático N. Piskunov, Cálculo diferencial e Integral, capítulo Ecuaciones Diferenciales, artículo “ecuaciones diferenciales de las oscilaciones mecánicas”.

Si reemplazamos la función (10) en la ecuación diferencial (5), obtendremos M

N

0 o bien, siendo

0

a 2l

2

;

:

a 0 2l

M

N

0

(11)

Entonces, la solución particular resulta:

a 0 t cos 0t 2l

part

La elongación

(12)

en función del tiempo, la escribimos finalmente como:

A cos Como vemos, cuando

0

t

0

a 0 t cos 0t 2l

(13)

se tiene una situación de resonancia y la amplitud de las

oscilaciones comenzará a crecer indefinidamente. En este caso, la función

part

f t

(segundo

término de la (13), es análoga a la función x part del oscilador forzado sin amortiguamiento, ver el tema oscilador forzado sin amortiguamiento caso a), segundo término de la expresión (9). Ver nota 2



157

La gráfica de la función representada por la solución particular, en el caso de resonancia, se muestra en la figura 5 siguiente y es análoga a la del oscilador forzado sin amortiguamiento en resonancia, tema oscilador forzado sin amortiguamiento caso a), figura 4 de ese tema.

part

t

Figura 5 No obstante, debe recordarse que este problema ha sido resuelto con la aproximación de 1 y sen 0 y que tanto la ecuación diferencial (5), como sus soluciones (9) y (13), son válidas para pequeñas amplitudes de oscilación. Entonces la figura (5) será representativa mientras que las amplitudes de la oscilación se ajusten a esta hipótesis. Cuando las amplitudes sean mayores, la ecuación diferencial que describe el comportamiento del sistema, será de la forma

cos

d2 dt 2

g sen l

2

a l

cos sen t .

Nota 2 Podemos plantear cierta analogía entre la ecuación diferencial (8) de oscilador forzado sin amortiguamiento, capítulo oscilador lineal, y la ecuación diferencial (5), en donde Además, de este problema sería equivalente al frecuencia natural del resorte.

2

a l

sen t

del oscilador forzado y

sería análogo al 0

Q0 cos t m

de la (8).

del péndulo sería equivalente a la

Es interesante destacar que mediante la formulación de Lagrange hemos hallado la ecuación diferencial que permite resolver el sistema, por un camino prescindente de las ecuaciones cardinales de la dinámica; si hubiéremos usado estas ecuaciones, habríamos llegado a la misma ecuación diferencial. Resolución usando la ley de Newton en un sistema no inercial Elegimos un sistema de referencia x1 e y1 que tiene movimiento armónico simple de traslación, dado por = a sen t, se trata de un sistema llamado “no inercial” por que todos los puntos del mismo están sometidos a una aceleración de arrastre que vale:

d2 dt 2

a

2

sen t

(14)

En estas condiciones, cualquier masa de ese sistema está sometida a fuerzas de inercia que vale:

Fin

m

d2 dt 2

Las fuerzas que actúan sobre la masa en este sistema no inercial se muestran en la figura 6 y son:

T : fuerza del vínculo sobre la masa mg : peso

y1

Fin : fuerza de inercia

x1

O1 T

m

F in mg

Figura 6

Diego E. García


158

Escribimos ahora la ley de Newton en la dirección de la tangente

T cos90º mg sen a

Fin cos

a la trayectoria de m:

ma

es la componente de la aceleración de la masa m, en la dirección de

oscilaciones pequeñas aceptamos que: cos

: Como a cos

1 sen

. Como se trata de

x resulta que a

x

Con las hipótesis simplificativas, la ecuación diferencial de Newton queda entonces:

mg

m

d2 dt 2

mx1

(15)

Además:

Reemplazamos en (15)

x1

l sen

x1

l

d2 y x1 dt 2

; x1

l

y

x1

l

(16)

dadas por (14) y (16):

g a 2 sen t l o bien dividiendo ambos miembros por l , llegamos finalmente a la misma ecuación diferencia (5) que habíamos obtenido por el método de lagrange:

g l

2

a l

sen t



159

2 - Cadena deslizante Una cadena cuya densidad lineal es k y apoyada sobre un plano horizontal liso como se muestra en la figura, se suelta, desde una posición inicial en reposo. En el instante inicial, la coordenada del extremo inferior de la cadena es y y 0 .

Se pide encontrar la coordenada y en función del tiempo Resolución Se trata de un sistema con un solo grado de libertad y adoptamos la coordenada y como coordenada generalizada. Energía cinética La energía cinética del sistema se expresa como

mv 2

1 2

T

(1)

donde m es la masa del sistema, o sea, en este caso la masa de la cadena y la misma para todos los puntos de la cadena. Es:

m l

k

m

kl

v

y

dy dt

v

v es la velocidad, que es

(2) (3)

Reemplazamos (2) y (3) en (1): 1 2

T

k l y2

(4)

Energía potencial Tomamos como referencia el plano horizontal, entonces la energía potencial de la cadena coincide con la energía potencial del tramo y:

V

mg

y 2

V

k yg

y 2

V

1 2

k g y 2 (5)

y es la distancia al centro de masa 2 Función lagrangiana y ecuación diferencial La función lagrangiana es:

L T V Reemplazamos los valores de T y V de (4) y (5):

L

1 2

k l y2

1 2

k g y 2 (6)

A continuación efectuaremos las derivadas correspondientes para plantear la ecuación de Lagrange:

L y

d dt

kl y

L y

kl y

(7)

Ahora, buscamos el segundo término del binomio de Lagrange, para lo cual derivamos el lagrangiano con respecto a y

L y

k gy

(8)

Reemplazamos (7) y (8) en las ecuaciones de Lagrange:

d L dt y

L y

0

Diego E. García


160

Resulta la ecuación diferencial:

y

g y l

0

(9)

cuya solución es:

y

A cos h ( t )

B sen h ( t ) (10) g l

en donde:

Calcularemos las constantes A y B: Para t =0 es y = y0 entonces, si valuamos la (10) en t

y0 de donde surge que:

0 resulta: A cosh(0) B senh(0) , A y 0 (11) '

La segunda condición inicial, es la de velocidad cero, y 0

0 , porque la cadena parte del reposo.

Para encontrar la constante B , derivamos la (10):

y

A senh( t ) B cosh( t ) (12)

Valuamos la (12) en t

0

0 , lo que conduce a: A senh(0) B cosh(0) de donde surge que:

B

Si reemplazamos (12) y (13) en la (10), resulta finalmente:

y

y 0 cosh

g t l

0

(13)



161

3 – Cilindro rodante en plano inclinado Se tiene un cilindro de radio R y masa m que rueda sin resbalar sobre un plano inclinado de ángulo y altura h , como se muestra en la figura siguiente. El cilindro parte del reposo.

Y

X R h

Se pide encontrar la ecuación diferencial del movimiento, mediante el método de lagrange Parámetros de configuración, coordenada generalizada La coordenada de posición x del centro de la esfera y el ángulo , que ha girado el cilindro, desde su posición inicial hastala posición x , son parámetros de configuración. Como no hay resbalamiento no son independiente una del otro, sino que están relacionadas con la siguiente condición de vínculo (ver en la figura 1)

x

x0

R

x

x0

G

Rcos

h- xsen

Figura 1 El sistema tiene un solo grado de libertad. Elegimos como coordenada generalizada, a la coordenada x . Función Lagrangiana Se trata de un sistema conservativo, porque las fuerzas actuantes son gravitatorias y porque no hay disipación de energía, debido a que, por hipótesis, el cilindro no desliza sobre el plano. En consecuencia, podemos usar la función lagrangiana para plantear la ecuación de Lagrange correspondiente a la coordenada x . Encontraremos, en primer término, la energía cinética del cilindro rodante, usamos el teorema de König, con polo en el centro “G”

T

1 2

m x2

1 2

IG

2

El 1º término es la energía cinética de traslación y el 2º es la energía cinética de rotación; I G es el momento de inercia del cilindro con respecto al eje que pasa por “G”. En lo que sigue suprimiremos por simplicidad el subíndice “G”. La velocidad del centro de masas G es x

x . R

Si reemplazamos

x en la expresión anterior, queda: R

R , de donde surge que

Diego E. García


162

T

1 2 mx 2

2

1 x I 2 R

T

m

I x2 R2 2

(1)

Para determinar la energía potencial del cilindro rodante, tomamos como referencia el plano horizontal. La altura del punto de contacto sobre la base, vale: h x sen , ver en la figura 1. Para encontrar la altura del centro G , habrá que sumarle Rcos :

hG

h x sen

R cos

La energía potencial es:

V

mghG

o bien:

V

mg h

x sen

R cos

T V

(3)

(2)

Expresamos ahora la función lagrangiana:

L

por lo tanto, reemplazando (1) y (2) en (3), resulta:

L

I x2 R2 2

m

mg h

x sen

R cos

Efectuamos las derivadas parciales correspondientes para formar las ecuaciones de Lagrange:

L x L x

I x R2

m

mg sen

(4)

derivando ahora con respecto al tiempo:

d L dt x

I x R2

m

(5)

Reemplazamos (4) y (5) en la ecuación de Lagrange correspondiente a x :

m

I x R2

d L dt x

L x

mg sen

0

0 x

considerando que el momento de inercia de masas es: I

x

mg sen mR 2 m 2R2 x

Como la aceleración de con aceleración constante: x

IG

x

mg sen I m R2

mR 2 ; entonces 2

g sen 1 1 2

2 g sen 3

G es constante, su trayectoria corresponde a un movimiento rectilíneo 2 g sen 3

ecuaciones cardinales de la dinámica.

. A este mismo resultado hubiéramos llegado con las



163

4 - Partícula en un plano vertical rotante Una partícula de masa m se mantiene sobre una placa sin masa que rota con velocidad angular constante alrededor del eje Z y no hay rozamiento entre la placa y la partícula. x , y , z son los ejes del cuerpo que rotan con la placa y X ,Y , Z son los ejes “fijos”. Las condiciones iniciales son, para t= 0

x

x0 , z

z0 ; x 0

0, z

0

Se pide encontrar las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, referidas al sistema del cuerpo, planteando: a) Las leyes de newton, en el sistema no inercial x , y , z b) La función lagrangiana y las ecuaciones de lagrange c) Encontrar la fuerza de reacción N que el plano ejerce sobre la partícula

z

Z

y

mg Y

t X

x

a) Planteo de las Leyes de Newton en el sistema no inercial x y z Un punto cualquiera del plano x , z , tiene una aceleración centrípeta que vale: 2

ac

x

z m

F in

x

m

2

xi

mg

x

Figura 1

En consecuencia, la masa m estará sometida en ese plano rotante, a una fuerza de inercia de arrastre de sentido contrario a la aceleración centrípeta ac y que vale (ver en la figura 1):

Fin Fin

m ac

x x

m

2

x

(1)

Esta es la única fuerza actuante en la dirección del eje x, por lo tanto la ecuación diferencial de Newton en esta dirección es:

Diego E. García


164

Fin

m

d 2x (2) dt 2

De acuerdo con (1) y (2), la ecuación diferencial del movimiento, resulta entonces: 2

m

x

mx

2

x

x 0 (3)

Se trata de una ecuación de 2º orden lineal, homogénea y cuya solución, para las condiciones iniciales establecidas, da una de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, correspondiente a la coordenada x : (ver en la figura 2)

x

x

x 0 cos h( t )

x0 t

Figura 2

La pendiente de esta curva es la velocidad en x de la partícula; inicialmente es cero y es mayor a medida que se aleja del eje de rotación. Con respecto a la ecuación paramétrica correspondiente a la coordenada z : La única fuerza actuante en la dirección de z es mg , de manera que la ecuación de Newton en esta dirección es:

mg

z

g

d 2z m 2 dt

0

z

g

La partícula, como no podía ser de otro modo al no haber rozamiento, tiene, en la dirección una aceleración g . Entonces:

z

z0

z,

1 2 g t (4) 2

b) Planteo por el Método de Lagrange Coordenadas generalizadas En principio, el sistema tiene tres grados de libertad, que corresponderían a las coordenadas x , z y . t , que es dato del problema. Pero el valor de ya está determinado previamente por la función Entonces, tenemos 2 grados de libertad y adoptaremos como coordenadas generalizadas a las coordenadas cartesianas x , z de la partícula en el plano rotante. Energía cinética El vector velocidad de la partícula, referido o “visto” desde el sistema “fijo” , pero expresado en función de sus proyecciones sobre los ejes en rotación es:

v

xi

xj

zk (5)

En la figura (3) se ha dibujado el plano rotante x , y y allí se han indicado las componentes v x y

v y del vector velocidad expresado por la (5). y vy

x

j

vx

i

m Figura 3

xi

x



165

El cuadrado del módulo del vector velocidad resulta entonces:

v2

x2

( x )2

z 2 (6)

La energía cinética de la partícula es:

1 mv 2 2

T 2

Si reemplazamos el valor de v dado por (6), se tendrá:

T

1 mx 2 2

1 2 mz 2

1 m ( x )2 (7) 2

Energía potencial, función lagrangiana, ecuaciones Planteamos V = mgz (8) L=T–V Reemplazamos en la función lagrangiana los valores de (7) y (8):

1 mx 2 2 d dt L x d dt L z

L

1 2 mz 2 L x

1 m ( x )2 2

mx 2

m L z

mgz

(9)

x

(10)

mz

(11)

mg

(12)

Las ecuaciones de Lagrange , referidas a cada una de las coordenadas generalizadas x , z son:

d L dt x

L x

0

d L dt z

L z

0

Reemplazando (9) (10) (11) y (12) en las ecuaciones de Lagrange resultan las siguientes ecuaciones diferenciales, para cada una de las coordenadas x , z :

mx

m

mz

mg

2

x

0

2

x

0

z

x

g

0

(13)

0

La solución de la segunda de las (13), para las condiciones iniciales dadas, es inmediata:

z z vz

g 1 2 gt 2

z0 gt

(14)

Diego E. García


166

la solución de la primera de las (13) es:

x Para t

A sen h ( t )

B cos h ( t ) (15)

Determinaremos seguidamente las constantes, de acuerdo con las condiciones iniciales. 0 es x x 0 , entonces:

x0

senh 0

B

B cos h 0

x0

Derivamos ahora, con respecto al tiempo, la (15):

x Pata t

0 , es x

A cos h( t )

B sen h( t ) (16)

0 , de lo cual resulta que: 0 A cos h 0 B sen h 0

A

0

Entonces, la (15) queda, finalmente:

x La velocidad en

x 0 cos h( t ) (17)

x de la partícula es:

x

x 0 sen h ( t ) (18)

c) Reacción N del plano sobre la partícula Para calcular el valor de la fuerza N que el plano ejerce sobre la partícula usaremos la expresión correspondiente a la fuerza sobre la partícula que “ve” un observador del sistema no inercial x , y , z . Ver el artículo: Análisis de las fuerzas de inercia, a partir del teorema de Coriolis en el capítulo Leyes de Newton, fuerzas de inercia, expresiones (8) y (9).

ma rel

F i ma arr

ma cor (1)

Como lo que buscamos es conocer la reacción N , que es perpendicular al plano x , z , nos interesa la proyección, en la dirección del eje

y , de la ecuación (1):

ma rel

Fi

ma arr

y

y

ma cor (2) y

Con respecto a las fuerzas que intervienen en la (2), podemos decir que:

ma rel

0 (3) y

porque el movimiento de la partícula ocurre en el plano x , z .

ma arr

0 (4) y

porque la única fuerza de inercia de arrastre que actúa en la partícula, es la fuerza de inercia centrífuga, dada por la (1) de la parte (a) de este problema, F

in x

2

m

x i , ver también en la figura 1.

La única fuerza de interacción que actúa sobre la partícula en la dirección normal al plano, es

N (ver en la figura 4), entonces: Fi

N j (5) y

La fuerza de inercia de Coriolis vale (ver en la figura 4):

ma coriol

2 x j (6)

Reemplazamos (3), (4), (5), y (6) en la (2), de lo que resulta:

Nj

m2 x j

(7)

Si expresamos en forma escalar y reemplazamos el valor de x de la (7) por su igual, dado por la (18) del tramo (b), resulta la siguiente expresión para el módulo de la reacción N

N

2m

2

x0 sen h( t )

:

(8)

En la figura 4 se observan la fuerza de Coriolis y la reacción normal que actúan sobre la partícula.



167

N

m

O

Plano rotante

F iner cor Figura 4 La (8) nos permite expresar las siguientes observaciones: La reacción normal es creciente a medida que la partícula se aleja del eje de rotación El valor de la reacción normal coincide, en valor absoluto, con el de la fuerza de Coriolis. El sentido de la fuerza de Coriolis es tal, que hace que la partícula presione, “empuje”, contra el plano rotante y a su vez, éste ejerce una reacción N sobre la partícula. En la dirección normal al plano, la fuerza resultante sobre la partícula es nula y corresponde a la suma de los vectores de igual módulo y sentido opuesto F iner cor y N . En cambio, sobre el plano y en su dirección normal sólo actúa una fuerza - N : esta fuerza produce un momento con respecto al eje de rotación en sentido contrario al sentido de giro del plano rotante. Esto significa que si pretendemos que la velocidad angular se mantenga constante, tal como indica el enunciado del problema será necesario aplicar un momento exterior al sistema plano rotante masa, para que el plano no pierda velocidad angular. Significa también que debe entregarse una potencia al sistema para que la velocidad rotación se mantenga constante. Esta potencia suministrada se traducirá, a su vez, en una energía cinética creciente de la masa.

Diego E. García

168


Referencias bibliográficas Bedford Fowler, Mecánica para Ingeniería, Dinámica, Addison Wesley Iberoamericana, 1996 y siguientes. Boresi Arthur, Schmidt Richard, Ingeniería Mecánica:Dinámica, Universidad de Wyoming, editora Thomson Learning, México 2002 Argüello Luis R, Mecánica, editorial Answer Just in Time, México, 2000 Meriam L. - Kraige L.G., Mecánica para Ingenieros, Dinámica, editorial Reverté, S.A. 1998 Marsicano, Fénix R. Mecánica, UBA, Facultad e Ingeniería, 1985 y siguientes Wells, Dare A.. Teoría y Problemas de Dinámica de Lagrange México, Mx : McGraw-Hill, 1972 Steidel R.F. Jr, Introducción al estudio de las vibraciones mecánicas, editorial Cecsa, 1981. Spiegel, Murray R.. Teoría y Problemas de Mecánica Teórica, México, McGraw-Hill,1979-1980 Synge-Griffith, Principios de Mecánica,.Mc. Graw Hill Book 1965 y siguientes. Symon Keith, Mecánica, Editorial Aguilar, 1979 y siguientes. Beer, F Jhonston, E Mecánica Vectorial para Ingenieros. México, McGraw-Hill, 1998-2003 Longhini Pedro, Mecánica Racional, Palumbo Editores, Buenos Aires 1960 Marsicano Fénix, Mecánica, Facultad de Ingeniería de la UBA, 1980. Hertig Ricardo, Mecánica Teórica, el Ateneo editorial, 1976. Targ S. Curso Breve de Mecánica teórica, editorial Mir 1971 Yavorski Detlaff, Manual de Física, editorial Mir, Moscú, 1975 y siguientes

La digitalización y edición de los originales se efectuó durante 2004, 2005, 2006 y 2007. Reimpresiones en 2008, 2009 y 2010. Córdoba, Argentina.

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08 Dinámica de Lagrange

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