Calculus Multivar ultivariable
Nughthoh Nughthoh Arfaw rfawi Kurdhi, M.Sc
J. J. Metode Lagrange Multiplier
Metode Langrang digunakan untuk opti optimasi fungsi fungsi dengan kendala kesamaan: Min ( , , ) atau Max ( , , ) dengan kendala ( , , ) = , dengan , , adalah variabel dan konsta konstanta. nta. Berikut diberikan diberikan langkah-langka h-langkah opti optima masi fungsi dengan menggunakan metode Lagrange: 1. Selesaikan persamaan berikut: berikut:
∇(,,) = ∇(,,) (,,) = , (Lagrangemultiplier dengan disebut disebut pengali Lag Lagrange La )
2. Masukkan semua solusi solusi yang diperol diperoleh eh dari lang langkah 1 ke ( , , ) dan identif identifikasi ikasi nilai nilai minimum dan maksimum.
∇(,,) = ∇(, ,) dapat ditulis tulis , , = , ,
Catatan:
Contoh 1.
Tentukan vol volume ume maksimum dari sebuah kotak kotak tanpa tutup yang memiliki iki lluas uas permukaan 12 cm2. Pe Penyelesaian:
Misal , , berturut-turut berturut-turut merupakan panjang, lebar, dan tinggi kotak. kotak. Akan Akan dicari volume volume maksimum, yaitu yaitu Maks = dengan kendala ( , , ) = 2 +2 + = 12. 1. Menyelesaikan persamaan
ya yaitu
∇ = ∇ (,,) = 2 + 2 + = 12,
= → = (2 + ) = → = (2 + ) = → = (2 + 2) 2 +2 + = 12 Dengan mengalikan ngalikan (1) dengan , (2) dengan , dan (3) dengan diperoleh = (2 + ) = (2 + ) = (2 +2)
Persamaan (5) dan (6) mempunyai nilai nilai sama, sehingg sehingga
(2 + ) = (2 + ) ⟺ (2 + ) − (2 + ) = 0 ⟺ (2 + − 2 − ) = 0 ⟺ 2( − ) = 0 = 0 atau ( − ) = 0
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Calculus Multivariable
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
= 0 tidak memenuhi, karenaberarti persamaan(1) menghasilkan = 0 → = 0 atau = 0, sedangkan panjang, lebar, dan tinggi tidak boleh 0.
− ) = 0 atau = .
Jadi, (
(8)
Persamaan (6) dan (7) mempunyai nilai sama, sehingga
(2 + ) = (2 +2) ⟺ (2 +) − (2 + 2) = 0 ⟺ (2 + − 2 − 2) = 0 ⟺ ( − 2) = 0 = 0 atau ( − 2) = 0 Diperoleh = 2 atau = 2. .
(9)
Dari (8) dan (9) diperoleh
= = 2
Dari (4) diperoleh
+2 + = 12 ⟺ 4 +4 + 4 = 12 ⟺ 12 = 12 ⟺ = 1 Jadi, = 2, = 2, = 1. Volumemaksimum (2,2,1) = 4 cm . 2
2.
3
Contoh 2.
Tentukan nilai ekstrim (minimum dan maksmum) dari ( , ) = + 2 dengan kendala + = 1.
Penyelesaian:
Kendala pada soal di atas adalah ( , ) = + = 1. 1. Menyelesaikan persamaan
yaitu
∇ = ∇ (, ) = + = 1,
= → 2 = 2 = → 4 = 2 + = 1. Dari (1) diperoleh 2 (1 − ) = 0 yaitu = 0 atau = 1. (i) Jika = 0, makadari (3) diperoleh = ±1 (ii) Jika = 1, makadari (2) diperoleh 4 = 2 atau = 0, sehinggadari (3) diperoleh
(1) (2) (3)
Calculus Multivariable
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
= ±1.
Jadi mempunyai 4 kemungkinan nilai ekstrim di titik
−
−
(0,1), (0, 1), (1,0),( 1,0)
2. Nilai fungsi untuk setiap titik yaitu
(0,1) = 2 (0,−1) = 2 (1,0) = 1 (−1,0) = 1
Jadi, nilai maksimum dari dengan kendala + = 1 adalah 2 dan nilai minimum 1.
Contoh 3.
Tentukan minimum dan maksimum dari + = 1.
(, , ) = 4 − 2 dengan kendala 2 − − = 2 dan
Penyelesaian:
Kendala pada soal di atas adalah
(, , ) = 2 − − = 2 ℎ(, , ) = + = 1.
1. Menyelesaikan persamaan
∇ = ∇ + ∇ (, , ) = 2 − − = 2 ℎ(, , ) = + = 1,
yaitu
.
= + ℎ → 0 = 2 +2 = + ℎ → 4 = − +2 = + ℎ → −2 = − 2 − − = 2 + = 1
Dari (3) diperoleh = 2, sehingga dari (1) dan (2) diperoleh
→ = − 4 = −2 + 2 → = . 0=4+2
Dari (5) diperoleh
+ = = 1 → = ± 13 √ (i) Untuk = √ 13 diperoleh = − √ , = √ , = −2 − √ .. (ii) Untuk = −√ 13 diperoleh = √ , = − √ , = −2 + √ . Jadi, diperoleh 2 titik: − , , −2 − dan , − , −2 + . √ √ √ √ √ √
(1) (2) (3) (4) (5)
Calculus Multivariable
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
2. Nilai fungsi untuk setiap titik yaitu
− √ , √ , −2 − √ = 4 + √ = 11.2111 √ , − √ , −2 + √ = 4 − √ = −3.2111 Jadi, didapatkan maksimum pada − , , −2 − dan minimumpada , − , −2 + . √ √ √ √ √ √ Tugas 4.
Tentukan mínimumdan maksimum dari fungsi berikut. , dengan kendala + = 1 a. ( , ) = b. ( , , ) = + 2 , dengan kendala + + = 1 dan + = 4.
−
