Multiplicadores de Lagrange

ANEXO1.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES

Los máximos y mínimos de una función pueden ser: DE LIBRE EXTREMO

DE EXTREMOS RESTRINGIDOS (O CONDICIONES LATERALES)

Cuando la función a maximizar minimizar no esta sujeta restricciones.

o Cuando la función a maximizar o a minimizar debe cumplir con ciertas restricciones.

Ejemplo:

Ejemplo:

Determinar los valores mínimos de la función:

máximos

y Determinar los valores mínimos de la función

f(x,y)= x2 + y2 – xy – x + y + 1

máximos

y

f(x,y)= x2 + y2 – xy – x + y + 1 Considerando que (x,y) se encuentran en: x+y=1

Nosotros nos evocaremos en su totalidad al empleo de máximos y mínimos de funciones de varias variables con extremos restringidos.  Si la función f es de sólo dos variables podremos expresarla como una función de una variable, reemplazando la restricción en la función f. De esa manera habremos convertido el problema de extremos restringidos a uno de extremos libres (sin restricciones) Sea:

f(x,y)= x2 + y2 – xy – x + y + 1 x+y=1

Al reemplazar

la función a maximizar(minimizar) y

la restricción

y = 1 – x en f(x,y) tendremos :

f(x,y) = x2 + y2 – xy – x + y + 1 f(x,1-x) = x2 + (1-x)2 – x(1-x) – x +(1-x) +1 f(x) = 3x2 –5x +3 Vemos que f(x,y) se a reducido a una función f(x) Luego podemos maximizar f(x) →

df(x)/dx = 6x –5 = 0

X= 5/6

Luego el punto critico de f(x,y) en donde puede haber un máximo o un mínimo sería el punto (x,y)= (5/6 , 1/6).  Si la función f fuese de tres o más variables y sujeta a más de una restricción, utilizar el procedimiento anterior resultaría muy complicado. Sea:

f(x,y,z) = xy +2xz + 2yz xyz = 1

la función a maximizar(minimizar) y

la restricción

En este caso no hay modo de reducir la función f(x,y,z) a una función de una sola variable. Afortunadamente existe un método denominado MULTIPLICADORES DE LAGRANGE, el cual facilita la obtención de máximos y mínimos de funciones de varias variables cuyos extremos están restringidos o condicionados. Decimos:

f(x,y,z) = xy +2xz + 2yz la función a maximizar(minimizar) y

Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería Electrónica.

Análisis de Sistemas Eléctricos de Potencia II

Pág. A1 - 1 Flaviano Chamorro V.

g(x,y,z) =1 - xyz = 0

restricción (nótese que hemos cambiado su

presentación)

Luego, la nueva función a maximizar(minimizar) será: F(x,y,z,λ) = f(x,y,z) + λ g(x,y,z) F(x,y,z,λ) = xy +2xz + 2yz + λ (1 - xyz) Calculamos los puntos críticos de F(x,y,z, λ) ∂F/ ∂x = y + 2z - λ yz = 0

→

λ = (y + 2z)/ (yz) ...(1)

∂F/ ∂y = x + 2z - λ xz = 0

→

λ = (x + 2z)/ (xz) ...(2)

∂F/ ∂z = 2x + 2y - λ xy = 0

→

∂F/ ∂λ = g(x,y,z) = 1 – xyz

→

λ = (2x+2y)/ (xy) ...(3)

xyz = 1

...(4)

De (1) (2) (3) (4) tenemos que: x = y = 2z = 4/λ Luego los puntos críticos para los cuales f(x,y,z) puede tener un máximo o un mínimo son: (x,y,z) = (4/λ , 4/λ , 2/λ )

METODO DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Sea una función f(x1, x2, x3, ......, xn) de n variables Sujeta a m restricciones g1(x1, x2, x3, ......, xn) = 0 g2(x1, x2, x3, ......, xn) = 0 g3(x1, x2, x3, ......, xn) = 0 gm(x1, x2, x3, ......, xn) = 0 Luego para hallar los valores extremos de f(x1, x2, x3, ..., xn) introduciremos m variables λ 1, λ 2, λ 3, ..., λ m. Es decir, tantas variables como restricciones existan, para formar la función de n + m variables, definida por: J=m

F(x1, x2, x3, ..., xn, λ 1, λ 2, λ 3, ..., λ m) = f(x1, x2, x3, ..., xn) + Σ λ j gj (x1, x2, J=1 x3, ..., xn) Ahora el problema consiste en hallar los puntos críticos de F(x1, x2..., xn, λ 1,λ 2...,λ m) Los puntos críticos de F son los valores de x 1, x2, x3, ..., xn y λ1, λ2, λ3, ..., λm para los cuales las primeras derivadas parciales de F respecto a esos valores resultan ser cero: ∂F/∂x1 = ∂F/∂x2 = ∂F/∂x3 =... = ∂F/∂xn = 0 ∂F/∂λ 1 = ∂F/∂λ 2 = ∂F/∂λ 3 =... = ∂F/∂λ m = 0




Observemos que las ecuaciones resultantes de las derivadas parciales de F, se pueden escribir como la ecuación vectorial

∇f + λ 1 ∇g1 + λ 2 ∇g2 + λ 3 ∇g3 +....+λ m ∇gm = 0




2.2.4

Reparto Económico por Lagrangeanos.

Podemos aplicarlas al reparto económico de cargas. Puesto que: CT(P1, P2, P3, ..., Pn) Es la función que se quiere minimizar y esta sujeta a la siguiente restricción: J=n

Σ

DT =

Pj

[2-4d]

J=1

Luego podemos decir que: f(x1, x2, x3, ......, xn) minimizar y

=

CT(P1, P2, P3, ... , Pn)

sea la función a

J=n

g1(x1, x2, x3, ......, xn) = DT -

Σ

J=1

Pj

la restricción

Donde: CT: es la función que contiene todas las combinaciones posibles de potencia producida por las “j” unidades de generación. DT: Demanda requerida por las cargas.

 EXPLIQUÉMOSLO GRÁFICAMENTE EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Supongamos que CT esta en función de dos unidades de generación. Es decir, CT(P1,P2) y que la demanda solicitada por la carga es cubierta por una combinación de las potencias producidas por ambos grupos de generación. Es decir, DT = P1 + P2 = constante. Como CT esta restringida por la condición DT , deberemos hallar la curva de intersección resultante entre CT y DT , los puntos de esta curva resultante reflejara la relación costo total de generación versus potencia total generada fija. En esta nueva curva determinaremos el punto de menor costo total, que será la solución al problema del reparto optimo de carga. Para hallar gráficamente la solución óptima, deberemos proyectar la curva de intersección (CT Vs DT) en el plano de las potencias (dominio de la función CT) . Para ello trazaremos las curva de nivel de CT y DT en el lugar donde cae la proyección de la curva de intersección de ambas funciones. Notaremos que en el plano de potencias ambas curvas de nivel CT y DT son tangentes. Para hallar este punto optimo notemos que la proyección de la curva de costos en el plano de las potencias es la recta mn y la proyección del punto optimo es la intersección de la recta mn con la proyección de la curva del costo constante correspondiente al costo mínimo, tal como lo indica la figura 2.8.




Curva ICD intersección de C con D T

z

CT

T

Plano n DT=P1+ P2

Superficie CT=C1+ C2

Punto óptimo n

m m P1

y P1


Figura 2.8 Proyección de la Intersección de las superficies CT y2.7 DT Figura Intersección de las y superficies CT y DT


x P2 Proyección del punto óptimo x P2


Siendo la proyección del punto optimo en el plano de las potencia también un punto tangente, buscaremos aquel punto donde el gradiente de la proyección de la curva de costo constante y el gradiente de la proyección de la curva de demanda constante son colineales, como lo indica la figura 2.9. Si hay colinealidad se cumple:

∇CT + λ∇DT = 0

[2-6a]

Donde λ es un escalar denominado multiplicador de Lagrange que permite que se cumpla la igualdad a cero.

Para sistematizar ese principio de linealidad de los gradientes se elabora una función L denominada función Lagrangeana, que ∇C es numéricamente T igual al costo total: C

£

= CT + λ

T

φ

[2-6b]

DT

Figura 2.9 Colinealidad de £ CT ; Parade ello los=gradientes lasse establece la igualdad φ = DT -Σ ∇ DT hallado también el Pj = 0 Entonces proyecciones si hallamos elde mínimo de £ habremos las curvas CT y D T mínimo de CT. Si φ = 0, entonces

Los valores de Pj que cumplan simultáneamente las ecuaciones: ∂£/ ∂P1 = 0; ∂£/ ∂P2 = 0; [2-6c]

∂£F/ ∂P3 = 0; ...... ∂£/ ∂Pn = 0

∂£/ ∂λ = 0;

[2-6d]

corresponderán al costo mínimo de la función CT. Estos valores de Pj serán no restringidos, es decir amplios, no limitados. En la practica, algunos de los valores resultantes podrían estar por fuera de las limitaciones técnicas de los generadores, tales como su potencia mínima y su potencia máxima, de acuerdo a la restricción: Pmin j ≤


P

j

≤

Pmax j


[2-6e]


En estos casos el problema se hace mas complejo.

2.2.5

Teorema de Kuhn-Tucker.

Consideremos el problema de optimizar la función: Minimizar {CT =

Σ Cj (Pj) }

[2-7a]

Con j= 1, 2, 3, ...., n Sujeto a las restricciones: 7b] 7b]

) ≤ 0,

g i (P j

h k (P j) = 0,

para i = 1, 2, 3, ...., p

[2-

para k = 1, 2, 3, ...., q

[2-

donde CT, g i y h k son funciones de Rn  R.

P = [P1, P2, P3, ... Pn] una solución factible regular. Una condición para que P sea un mínimo local es que existan p escalares no negativos: Sea

µi

≥0;

i = 1, 2, 3, .....p

[2-7c]

y q escalares denominados multiplicadores:

αk

≥0;

k = 1, 2, 3, .....q

[2-7d]

de tal manera que se cumplan:

∇ CT ( P

7e]

i=p

)+

Σ

µ i ∇ g i (P

i=1

µi

P

gi (

k=q

)+

Σ α k ∇ h k (P

k=1

)=0

µi

≥ 0 ;

αk ∈ Rn ;


)=0

i = 1, 2, 3, .....p i = 1, 2, 3, .....q



[2-




Multiplicadores de Lagrange

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