Informe de Procesamiento Procesamiento de Señales I, Profesor Ing. Ing. José R. Iglesias
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#diel #rguelles4, Jaime Porto4, Cenrry Pomares
=a!oratorio de Procesamiento de Señales I Ingeniería Electrónica, Electrónica, Facultad de Ingeniería Ingeniería Uniersidad del !agdalena
Resumen —
En esta práctica se estudia los parámetros básicos de las señales (amplitud, fase y frecuencia), donde se afectaran para observar su comportamiento tonto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, haciendo uso de un recurso matemático muy importante, como la serie de Fourier. Además se recurre a programas como matlab para graficar todas estas señales.
Palabras Claves—Serie de Periódicas, Señales aleatorias.
Fourier,
Armónicos,
Señales
Abstract !n this this prac practi tice ce the the basi basicc sign signal al para parame mete ters rs (amplitude, phase and fre"uency), #hich affect to observe their silly behavior in the time domain and the fre"uency domain, using using a very very impor important tant mathem mathematic atical al resou resourc rcee studies studies,, as Fourier series. Also is used to programs li$e matlab to plot all these signals. %ey#or %ey#ords ds Fourie Fourierr series, series, &armoni &armonic, c, 'eriod 'eriodic ic signals, signals, random signals.
Figura 1.0
I. I*+-!/ En el sigu siguie ient ntee info inform rmee se pret preten ende de dar dar a cono conoce cerr los los resultados de los diferentes análisis y técnicas usadas para análisi análisiss de señales señales,, explican explicando do el proceso proceso realiz realizado ado y mostrando mostrando las respectia respectiass graficas graficas o!tenidas o!tenidas por medio medio de "atla!.
!!. +01 +01E! E!2+3 •
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#pro #proxi xima marr una una seña señall en un inte inter ral alo o finit inito, o, utilizando la serie Exponencial de $ourier. %tili %tilizar zar un con&u con&unto nto ortogo ortogonal nal de señale señaless para para la decodificaci'n decodificaci'n de mensa&es. (rear, (rear, reproducir reproducir y exportar exportar arc)ios arc)ios de audio en formato *#+. $amiliarizarse con el Softare "atla!.
III.
4A*+ E/*!+
Exponenciales Complejos: Para este la!oratorio se )a desarrollado en "atla! la funci'n -gene5po()6 ue permite generar /000 muestras de una señal exponencia exponenciall comple&a comple&a del con&unto con&unto 1e jn2πt 2, en el interalo 30,45. Para generar un exponencial comple&o por medio de la funci'n se de!e indicar el arm'nico de la frecuencia /6 ue se uiere uiere o!tener o!tener,, introduciend introduciendo o el respecti respectio o alor de n 78n 78nmax8 9/:0; y la funci'n deuele en el ector x las /000 muestra de las señal. E&emplo<
Figura 1.1 Funciones de Walsh: Walsh: =a funci'n -gen#alsh> permite generar funciones de *als) en el interalo 3?4.45. =a funciones de *als) son un con&unto de señales ortogonales en 3?4.45 ue toman alor de @4. =a funci'n de *als) de orden n presenta n cam!ios de signo en el inter intera alo lo 3?4, 3?4,45 45.. Para Para gene genera rarr una func funci' i'n n de *als) ls) deseada se de!e indicar el alor de n , donde n90,4,/,A,B. =a funci'n deuele /000 muestras de la funci'n de *als) so!re el interalo 3?4,45.
Ejemplo:
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/
(omputadora con "#=#
esarrollo7
Figura 1.2 Figura 1.4
Figura 1.3
En la figura 4.K se o!seran las diferencias ue )ay entre la señal original y la señal aproximada y estas se de!en al nmero de muestras ue se tomaron, estas diferencias entre las dos señales se podrFan corregir si se tomaran más iteraciones, ca!e aclarar ue aunue se tome miles de iteraciones no amos a o!tener exactamente la señal original y esto de!ido a ue como su nom!re lo indica la serie comple&a de $ourier son aproximaciones mediantes sumas sucesias de funciones senoidales. =a grafica de color erde representa la diferencia ue )ay entre la señal original y la señal aproximada mediante la serie comple&a de $ourier.
"proximación de se#ales utili$ando la serie exponencial de Fourier% Dado ue es limitado el nmero de exponenciales comple&os ue pueden ser generados por la funci'n - gene5po()6, la !ase ortogonal de exponenciales comple&os llega a ser s'lo un con&unto ortogonal. Por tal motio, la representaci'n ue puede ser o!tenida por la serie exponencial de $ourier llega a ser una aproximaci'n de la señal en el interalo 30,45. %na señal x&t' ϵ ( ),* puede ser aproximada utilizando la serie exponencial de $ourier de orden + 7)asta el arm'nico + de la frecuencia fundamental; en el inte ralo 30,45 de acuerdo a
donde los coeficientes 'ptimos 7auellos ue minimizan la energFa del error; están d ados como
I+. "GH#JE
4aterial y e"uipo7
Figura 1.5 En la figura 4.: se o!sera ue la señal aproximada está montada so!re la señal original, es decir, ue el nmero de iteraciones en este caso resulta ser !ueno para aproximar la señal mediante la serie comple&a de $ourier. #unue en la gráfica se ea una señal so!re la otra si se le da zoom a la imagen se o!serara ue esto es solo efecto de isi'n y ue las dos señales son muy parecidas pero no iguales. (omo la
Informe de Procesamiento de Señales I, Profesor Ing. José R. Iglesias diferencia entre las dos señales es poca se o!sera ue la señal de error es muc)o menor y esto porue no existen muc)as diferencias entre la señal original y la señal aproximada.
A
pueda llegar a tener una aproximaci'n mediante la serie comple&a de $ourier ue representa la señal, de!ido a esto la señal de error es !astante nota!le ya ue las diferencias entre la señal original y la aproximada son !astantes.
8.9 'ara cada señal realice un gráfico de la energ:a del error contra el orden de la 3EF para desde ; hasta 9; (8 gráficos). 3oluci
Figura 1.6 En la figura 4.L se o!sera ue el nmero de muestras tomadas nos llea a una excelente aproximaci'n de la señal original. Esta señal aproximada podrFa ser me&or si tomáramos más iteraciones ue las ue se tomaron. =a señal aproximada como se )a isto en las demás graficas siempre es una sumatoria de funciones senoidales y ue se an a notar dependiendo si las iteraciones tomadas siren para dar una idea de lo ue es la señal original. =a señal de error depende de las diferencia ue existan entre la señal original y la aproximada, ca!e aclarar ue por motios de isualizaci'n la señal de error se muestra en una escala distinta a la del plano donde se grafica la señal original y la señal aproximada.
En esta figura se o!sera ue cuando el alor de H90 el error es máximo, es decir, ue la diferencia entre la señal aproximada y la señal original es máxima. # medida ue el alor de H comienza a aumentar el alor dl error comienza a disminuir, es decir, ue la señal aproximada se comienza a parecer a la señal original, en el alor de H9A0 es donde el error es más peueño, es decir, ue en este alor la señal aproximada es donde tiene mayor parecido a la señal original. Se o!sera tam!ién en la
Figura 1.8
Figura 1.7 En la figura 4.M se o!sera ue la gráfica aproximada tiene muc)as diferencias a la señal original, esto se de!e a ue el nmero de las muestras tomadas no es suficiente para ue se
En esta figura 4.N se o!sera ue cuando se toman : o más iteraciones el error tiende a cero, es decir ue podemos tener una !uena aproximaci'n de la señal original solo con )acer : o más iteraciones. Esto se puede rectificar en la figura : donde se o!sera ue la señal aproximada se e montada so!re la señal original y esto de!ido a su gran parecido. #l igual ue con la señal 4 se o!sera ue cuando el alor de H90 el error es máximo. En esta figura se o!sera ue a partir de L iteraciones se puede lograr una aproximaci'n !astante cercana a la señal
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K
original. En la figura 4.O tam!ién se puede o!serar ue el error aumenta desgarradamente al cam!iar de una.
Figura 2.1
Figura 1.9 Iteraci'n a otra, es decir, ue si aproximamos la señal original con L iteraciones podemos o!tener una réplica muy parecida a la señal original, algo ue no pasarFa si lo )acemos con : iteraciones Iteraci'n a otra, es decir, ue si aproximamos la señal original con L iteraciones podemos o!tener una réplica muy parecida a la señal original, algo ue no pasarFa si lo )acemos con : iteraciones
En la figura /.4 se o!sera ue para un nmero igual o mayor a L iteraciones podemos o!tener una réplica !astante parecida a la señal original. De igual forma ue en la señal A se o!sera ue de 4 iteraci'n a otra se logran o!tener grandes diferencias entre la señal original y la señal aproximada. En las gráficas de las K señales se o!sera ue a partir de : iteraciones los errores tienden a cero, es por esta raz'n ue en este tra!a&o se usa H9: para aproximar todas las señales. E&ercicio /. L.4 Diseñe e implemente en "atla! un procedimiento ue permita generar a partir del mensa&e codificado "3n5el arc)io de audio en formato *#+. Soluci'n< a continuaci'n se muestra un diagrama de !loues ue muestra el procedimiento implementado para la realizaci'n del inciso L.4.
Inicio (rear la function en matla!
Definir las aria!les de entrada y salida
Figura 2.0
Selecci'n del mensa&e a decodificar
Para la señal 7sK.txt; se o!tuieron las gráficas ue se muestran en la figura /.4
Se carga el mensa&e
(rear un ector ue guardara los segmentos del mensa&e
Se calcula el nmero de segmentos del mensa&e
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:
2 1. 7. /'on, 8. M. Mic'ael, ". C. )ndre+, %Computer Explorations in "i!nal and "ystems&. Proceso de isualizar.
(álculo y almacenamiento de las funciones de *als)
Decodificaci'n del mensa&e mediante producto punto.
#lmacena todos los productos puntos.
Se almacenan en un ector el orden de los sonidos.
Se muestra el orden de los sonidos ue descifran el mensa&e.
$in
V. CONCLUSIONES
Como resultado podemos concluir que para el análisis de las señales en Matlab fue bastante extenso, pero los resultados fueron bastante satisfactorios, las aproximaciones y errores fueron bastante acertados, teniendo en cuenta que las series de Fourier nos permiten aproximar cualquier señal, y que estas por más que se aumente el número de iteraciones no a ser similar a la señal ori!inal. "e familiari#o aun mas con el entorno de matlab, utili#ando comando y funciones nueas, que permiten desarrollar un sin números de actiidades en pr$ximos laboratorios. Comando como %wavread& que permite trabajar con arc'ios de audio ()*, %sound&, %+a+rite&, entre muc'as otras más.
REFERENCIAS
- /. 0. "epúleda, %)nálisis de Fourier&, - ed. 1o!otá, Colombia, 2334, pp. 56.
