La Función Cuadrática en la historia de la matemática Los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones a la Matemática en la época llamada "La Edad de Oro" del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1.200 d.C. aproximadamente. aproximadamente. Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron los conocimientos matemáticos de la India y asimilando ambas corrientes, aportaron aportaron mucho al Álgebra y la la Trigonometría. El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi, quien escribió varios libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas.
Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi
En su tratado sobre Álgebra, al-Khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones cuadráticas de varios tipos. Tanto el planteamiento, como la solución de las ecuaciones era dado en palabras, pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día.
Franços Viète
Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron a introducirse los símbolos que hoy se utilizan en el planteamiento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor influencia tuvo en este cambio favorable para el desarrollo del Álgebra, fue François Viète (1540-1603). Con el uso de símbolos para expresar la incógnita y los coeficientes de una ecuación, se impulsó enormemente el desarrollo del Álgebra, pues se facilitó el estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y 4.
Gráfica de la función cuadrática La función cuadrática más sencilla es 2
f(x) = x cuya gráfica es:
x
- - - -0,5 0 0,5 1 2 3 3 2 1 2 f(x)=x 9 4 1 0,25 0 0,25 1 4 9
Esta curva simétrica se llama PARÁBOLA. En general, las funciones cuadráticas de la forma f(x) = x2 tienen por gráficas las parábolas que se observan a la derecha, cuyo vértice es el punto (0,0). Cuanto mayor sea "a" (en valor absoluto), más cerrada será la parábola. Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.
Para utilizar un graficador de parábolas hacé clic aquí.
ACTIVIDADES Representa las funciones cuadráticas
1y = -x² + 4x - 3 2y = x² + 2x + 1 3y = x² +x + 1
Vértice. Eje de simetría. Intersecciones con los ejes coordenados
Toda parábola es una curva simétrica con respecto a una recta horizontal llamada EJE DE SIMETRÍA. El punto de intersección del eje de simetría con la parábola se llama VÉRTICE, y divide a la parábola en dos ramas. Los puntos de intersección de la parábola con el eje X,son las RAÍCES o CEROS de la función. El punto de intersección de la parábola con el eje Y se llama ORDENADA AL ORIGEN.
Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3 a partir de una tabla de valores: x f(x)
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
3 0
4 5
El EJE DE SIMETRÍA tiene por ecuación la recta x=1.
El VÉRTICE de la parábola es el punto de coordenadas (1,-4).
Las RAÍCES O CEROS son los puntos (3,0) y (-1,0).
La ORDENADA AL ORIGEN es el punto (0,-3).
Ecuación cuadrática
Se llama ecuación cuadrática a la ecuación de la forma:
Donde "a", "b" y "c" son números reales y "a" es distinto de cero. Gráficamente, las soluciones de esta ecuación son las abscisas de los puntos donde la parábola corta el eje x.
Para resolver esta ecuación se utiliza un fórmula llamada FÓRMULA RESOLVENTE, cuya expresión es:
Ejemplo: Consideremos la ecuación:
Actividades: Resolver las siguientes ecuaciones: a) x ² - 7.x - 18 = 0 b) 2.x ² - 16.x + 30 = 0 c) x ² + 8.x + 12 = 0 Para verificar los resultados de tus ecuaciones hacé clic aquí
Análisis del discriminante Considerando la ecuación cuadrática:
Las soluciones de esta ecuación se obtienen aplicando la fórmula:
"±" significa que se debe sumar y restar la raíz, por lo tanto hay dos soluciones. 2
La parte azul (b - 4ac) se llama "discriminante", porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta. Si es positivo, hay DOS soluciones, si es cero sólo hay UNA solución, y si es negativo hay soluciones imaginarias. 2
Generalmente el discriminante se indica con la letra griega Δ, es decir: Δ= b - 4ac
Teniendo en cuenta que las raíces o ceros de la función cuadrática son los valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y=0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta el eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan el eje x en: * Dos puntos, cuando Δ > 0 * Un punto, cuando Δ = 0 * Ningún punto, cuando Δ < 0
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ACTIVIDADES Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:
1. y = x² - 5x + 3 2. y = 2x² - 5x + 4 3. y = x² - 2x + 4 4. y = -x² - x + 3
Traslación de parábolas A partir de y = x²
Se puede trasladar la parábola de las siguientes formas:
* Traslación vertical * Traslación horizontal * Traslación oblicua Para ver cada caso en particular hacé clic en cada uno.
Forma factorizada y forma canónica de la función cuadrática Forma canónica 2
y = a ( x - x v ) + y v
Forma Factorizada y = a.( x - x 1 ) . ( x - x 2 )
Forma Polinómica 2
y = ax + bx + c
Forma polinómica Se llama así porque la función está expresada por un polinomio:
Forma factorizada Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:
se puede factorizar como:
siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de x 2 sería siempre 1. x 1 y x 2 representan las raíces de f (x ). En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces x 1 = x 2 por lo que podríamos escribir:
En este caso a x 1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.
Forma canónica Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente
manera:
Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k)las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se completan cuadrados.
Evaluación N° 1 1) Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola: 2
y=x -x+1.
2) Escribir la fórmula polinómica de la función cuadrática cuya gráfica se muestra a continuación:
3) Hallar las intersecciones con los ejes, los vértices y graficar las siguientes funciones: a) y = x ² - 12.x + 32 b) y = -x ² + 4X - 4
4) Dibujar las gráficas de: a) y = x ² - 1 b) y = (x + 3)²
5) Escribir la fórmula canónica de la parábola que se muestra a continuación:
Evaluación N°2 1. Dada la función cuadrática y= 2x 2-8x-10 , obtener la coordenada x del vértice. A) 12 B) 1 C) 2
D) -2 2. Dada la función cuadrática y= -5x2,obtener el eje de simtería. A) x=1/10 B) x=-10 C) x=10 D) x=0
3. La parábola y=2x 2-3x+5 , corta al eje y en el punto: A) (0,5) B) (0,4) C) (5,0) D) (1,1)
4. La parábola y=2x 2-18 , corta al eje x en el punto: A) (-18,0) B) en ninguno C) (3,0),(-3,0) D) (0,1)
5. Dada la función cuadrática y= x 2 -2x-15 , obtener las coordenadas del vértice. A) (0,5) B) (1,-16) C) (1,14) D) (1,6)
