KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012
VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ
SADRŽAJ
1. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA
1
1.1. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA
1
1.2. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA
2
1.3. OSOBINE STACIONARNE JEDNODIMENZIONALNE SCHRÖDINGER-OVE JEDNAČINE
4
1.4. TIPOVI SPEKTRA JEDNODIMENZIONALNE SCHRÖDINGER-OVE JEDNAČINE
6
1.5. JEDNAČINA KONTINUITETA
10
1.6. PROBLEMI VEZANI ZA OPŠTE OSOBINE SCHRÖDINGER-OVE JEDNAČINE
12
1.7. PROBLEMI VEZANI ZA ODREĐENE OBLIKE ZAVISNOSTI POTENCIJALNE ENERGIJE U ( x)
19
1.7.1. Slobodna čestica
19
1.7.2. Slobodna čestica na polubeskonačnom domenu
21
1.7.3. Čestica u jami sa beskonačno visokim zidovima
23
1.7.4. Čestica u asimetričnoj jami sa jednim beskonačnim i jednim konačno visokim zidom
26
1.7.5. Čestica u simetričnoj pravougaonoj jami sa konačno visokim zidovima
31
1.7.6. Čestica u potencijalnoj barijeri
44
1.7.7. Čestica u potencijalnoj energiji oblika delta funkcije
48
1.7.8. Čestica u gravitacionom polju
56
2. OPERATORSKI FORMALIZAM U KVANTNOJ MEHANICI
60
2.1. LINEARNI OPERATORI
61
2.1.1. Transponovani, konjugovani i adjungovani operator
63
2.1.2. Hermite-ovi operatori
65
2.1.3. Zbir i proizvod operatora koji imaju zajedničke sopstvene funkcije
69
2.1.4 Komutativnost operatora
70
2.2. SREDNJE VREDNOSTI U KVANTNOJ MEHANICI 2.3. VREMENSKA EVOLUCIJA KVANTNOMEHANIČKE 2.4. REŠENI PROBLEMI
73 SREDNJE VREDNOSTI
75 78
i
2.5
2.6
OPERATOR MOMENTA KOLIČINE KRETANJA
94
2.5.1 Osobine projekcija operatora momenta količine kretanja
95
2.5.2. Osobine operatora Lˆz
99
2.5.3. Osobine operatora Lˆ2
100
KRETANJE ČESTICE U POLJIMA SA SFERNOM SIMETRIJOM
109
2.6.1 Slobodna čestica
117
2.6.2 Sferna kvantna jama sa beskonačno visokim zidom
120
2.6.3 Sferna kvantna jama sa konačno visokim zidom
121
2.6.4 Atom vodonika
125
2.6.5 Kruti rotator
136
2.6.6 Rotator sa fiksnom osom
137
ii
2 SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA
1.1 NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA Osnovna jednačina na kojoj se zasniva Kvantna mehanika je Schrödinger-ova jednačina. Ova jednačina se ne izvodi, već se postulira. Ako čestica ima masu m (gde m označava masu u mirovanju, tj. nerelativističku masu čestice koja ne zavisi od brzine) i nalazi se u polju koje karakteriše prostorna i vremenska zavisnost potencijalne energije U (r , t ) , tada je odgovarajuća Schrödinger-ova jednačina oblika:
2 2 (r , t ) (r , t ) U (r , t ) (r , t ) i 2m t
(1.1)
gde je (r , t ) talasna funkcija čestice, a ħ je redukovana Planck-ova konstanta ( 1.054 1034 Js). Ovo je parcijalna diferencijalna jednačina koja se ne može rešiti analitički (osim u najspecijalnijim slučajevima), već se rešava numeričkim putem, uz poznavanje odgovarajućih konturnih i graničnih uslova. Naglasimo da je potencijalna energija U (r , t ) realna veličina (slučajevi kompleksne potencijalne energije ne razmatraju se u okviru ovog teksta), dok talasna funkcija (r , t ) može biti realna ili kompleksna veličina, o čemu će se detaljnije diksutovati u okviru Problema 1 na strani 12. Prema Born-ovoj interpretaciji, talasna funkcija (r , t ) ima sledeći fizički smisao: veličina 2 (r , t ) dV predstavlja verovatnoću nalaženja čestice u trenutku t u elementarnoj zapremini dV, određenoj vektorom r . Ovo dalje znači da je integral ove veličine po celom prostoru jednak jedinici, što je ujedno i uslov normalizacije:
2 (r , t ) dV 1
(1.2)
(V )
Pošto Schrödinger-ova jednačina (1.1) predstavlja homogenu diferencijalnu jednačinu, ako je funkcija (r , t ) jedno od njenih rešenja, tada je i C (r , t ) takođe rešenje, pri čemu je C proizvoljna kompleksna konstanta. Ako ovu konstantu prikažemo u obliku C ei , pri čemu je 2 2 realan broj, tada je (r , t ) ei (r , t ) . Kako je fizički relevantna samo veličina 2 (r , t ) , to je jasno da su talasne funkcije (r , t ) i ei (r , t ) fizički potpuno ekvivalentne, odnosno da se talasna funkcija može odrediti sa tačnošću do multiplikativne konstante oblika ei , gde je proizvoljan realan broj. Svakako da je jedno od rešenja Schrödinger-ove jednačine (1.1) 0 (r , t ) 0 , za svako r i t, za bilo koji oblik zavisnosti U (r , t ) . Ovo je trivijalno rešenje. Vodeći računa o Born-ovoj interpretaciji, verovatnoća da čestica bude u stanju sa talasnom funkcijom 0 (r , t ) je nula, pa
1
ova talasna funkcija nije fizički značajna i ne uzima se u obzir pri analizi Schrödinger-ove jednačine. Jednačina (1.1) predstavlja trodimenzionalnu Schrödinger-ovu jednačinu. U mnogim važnim slučajevima sa gledišta aplikacije, kada je potencijalna energija funkcija samo jedne koordinate, problem (koji je svakako režiran trodimenzionalnom jednačinom) se može svesti na jednodimenzionalnu Schrödinger-ovu jednačinu:
2 2 ( x, t ) ( x, t ) U ( x, t ) ( x, t ) i 2 2m x t
(1.3)
Jednačina (1.3), mada i sama jako složena, znatno je jednostavnija za analizu od trodimenzionalne jednačine (1.1), pa ćemo se u daljem izlaganju fokusirati na razmatranje jednodimenzionalne Schrödinger-ove jednačine, s tim da će odgovarajuće relacije za trodimenzionalni slučaj biti date bez dublje analize. 1. 2 STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA Ako potencijalna energija ne poseduje vremensku zavisnost, tj. U ( x, t ) U ( x) , tada je jednačina (1.3) oblika:
2 2 ( x, t ) ( x, t ) U ( x ) ( x, t ) i 2 2m x t
(1.4)
Ovo je i dalje parcijalna diferencijalna jednačina, ali se za razliku od (1.3) promenljive mogu radvojiti i uzimajući ( x, t ) (t ) f ( x) dolazi se do oblika:
2 '' f x t U ( x) f xt if xt' 2m
(1.5)
Ako sada jednačinu (1.5) podelimo sa f xt , dobijamo izraz
' 2 f x'' U ( x ) i t 2m f x t
(1.6)
Kako leva strana jednačine zavisi samo od x, a desna samo od t, jasno je da oba izraza moraju biti jednaka konstanti C, koja ne zavisi ni od x ni od t, pa se (1.6) može napisati preko dve obične diferencijalne jednačine: i
t' C t
2
(1.7a)
2 '' f x U ( x) f x Cf x 2m
(1.7b)
Rešenje jednačine (1.7a) je oblika:
t C1e
i
C t
(1.8)
U stacionarnom slučaju, koji razmatramo, vremenski deo talasne funkcije (po analogiji sa prostiranjem ravanskih talasa) je srazmeran veličini exp(it ) . Vodeći računa da se energija može napisati i u obliku E , gde je kružna učestanost, jednostavno se zaključuje da je C jednako energiji čestice E, pa je konačno, za stacionarni slučaj, talasna funkcija data relacijom: ( x , t ) f ( x )e 2
E i t
(1.9)
2
Kako je ( x, t ) f ( x) , u slučaju stacionarnih problema dovoljno je odrediti samo zavisnost f ( x) . U nastavku teksta, koristićemo umesto f ( x) oznaku ( x) , kao što je uobičajeno, pa se jednačina (1.7b) može napisati u konačnoj formi: 2 d 2 ( x) U ( x) ( x) E ( x) 2m dx 2
(1.10)
Kako je pretpostavljeno da je potencijalna energija realna veličina, tada je i energija E obavezno realna veličina. Ovakav oblik Schrödinger-ove jednačine ćemo u nastavku detaljno analizirati. Jednačina (1.10) je linearna homogena diferencijalna jednačina drugog reda. Za svaku (određenu) vrednost energije E opšte rešenje ove jednačine ima oblik: ( x) C11 ( x) C2 2 ( x)
(1.11)
pri čemu su C1 i C2 kompleksne konstante, a 1 ( x) i 2 ( x) par linearno nezavisnih rešenja (Wronskian W ( 1 , 2 ) 1 '2 1' 2 mora biti različit od nule ako su rešenja linearno nezavisna). Ako je poznato jedno rešenje, npr. 1 ( x) , tada je drugo linearno nezavisno rešenje dato relacijom: x
dt 12 (t ) x0
2 ( x ) 1 ( x )
(1.12)
Za neke vrednosti energije E moguće je normalizovati ( x) u smislu jednačine (1.2), dok za neke to nije moguće: ako je npr. ( x ) exp(cx) , gde je c realna pozitivna konstanta, tada nije moguće ispuniti uslov (1.2). Ovo dalje znači da je talasna funkcija ono rešenje
3
Schrödinger-ove jednačine (1.10) koje je moguće normalizovati, odnosno rešenje koje ispunjava uslov:
2
( x) dx
(1.13)
( x)
Gornja relacija naziva se uslov kvadratne integrabilnosti funkcije ( x) .
1. 3 OSOBINE STACIONARNE JEDNODIMENZIONALNE SCHRÖDINGER-OVE JEDNAČINE Pretpostavićemo nešto opštiji oblik zavisnosti potencijalne energije od koordinate x: U ( x) U1 ( x) V0 ( x x0 )
(1.14)
gde je U1 ( x) zavisnost koja u pojedinim tačkama može imati prekid prve vrste ( U1 ( x x0 ) C1 , U1 ( x x0 ) C2 , C1 C2 ali su C1 i C2 konačne vrednosti). Pored toga, uveden je i član koji je srazmeran ( x x0 ) , pri čemu je V0 jačina -funkcije. Modeli u kojima je potencijalna energija srazmerna -funkciji se često koriste zbog svoje analitičnosti, uprkos tome što predstavljaju idealizaciju.
1) Osnovna osobina talasne funkcije, polazeći od jednačine (1.10) je njena neprekidnost, što ćemo sada dokazati. Ako pretpostavimo da je u nekoj tački, npr. x x0 , talasna funkcija prekidna, tada će njen prvi izvod biti proporcionalan sa ( x x0 ) a drugi sa '( x x0 ) . Kako u ostatku Schrödinger-ove jednačine nigde ne figuriše član koji je proporcionalan sa '( x x0 ) , zaključujemo da ta pretpostavka nije dobra, tj. da talasna funkcija mora biti svuda neprekidna. 2) Druga važna osobina talasne funkcije je neprekidnost (ili prekidnost) prvog izvoda. Integralimo jednačinu (1.10) u okolini tačke x x0 , uzimajući da je U ( x) oblika (1.14): x
x
x
x
0 0 0 2 0 d 2 ( x) dx U1 ( x) ( x)dx V0 ( x x0 ) ( x)dx E ( x)dx 2m x0 dx 2 x0 x0 x0
(1.15)
pri čemu je 0 . U graničnom slučaju kada 0 , član sa desne strane jednačine (1.15) teži nuli zbog neprekidnosti talasne funkcije, što je slučaj i sa drugim članom sa leve strane jednačine. Vodeći računa o osnovnoj osobini -funkcije: b
f ( x) ( x x )dx f ( x ) 0
a
4
0
(1.16)
ako je a x0 , a b x0 , jednačina (1.15) se može napisati u obliku:
2 d 2m dx
x0
d dx
V0 ( x0 ) 0 x0
(1.17)
Ako potencijalna energija ne sadrži -funkciju, tada je prvi izvod talasne funkcije svuda neprekidan, a ako sadrži – tada je prvi izvod prekidan u tački gde je -funkcija različita od nule. Može se postaviti pitanje i opštijeg oblika zavisnosti U ( x) , uključujući npr. članove proporcionalne sa '( x x0 ) , ''( x x0 ) , ...Ovakvi oblici potencijalne energije su vrlo retki u problemima, a pored toga, do danas nisu valjano analizirani u literaturi. 3) Još jedna važna osobina talasnih funkcija je njihova međusobna ortogonalnost. Neka stanjima n i m odgovaraju energije En i Em i talasne funkcije n i m . Odgovarajuće diferencijalne jednačine (gde je diferenciranje po x kao i do sada označeno sa “ ' ”) glase:
2 '' n U n En n 2m
(1.18a)
2 * '' '' m n U *m Em *m 2m
(1.18b)
pri čemu je jednačina (1.18b) konjugovana Schrödinger-ova jednačina, s tim da se vodilo računa da su potencijalna energija U ( x) i energija E realne veličine. Ako se (1.18a) pomnoži sa *m , a (1.18b) sa n , a zatim oduzme (1.18b) od (1.18a), dolazi se do relacije: 2 * '' m n n *m'' En Em n *m (1.19) 2m Leva strana jednačine može se zapisati u pogodnijem obliku, pa (1.19) prelazi u:
' 2 * ' m n n *m' En Em n *m 2m
(1.20)
Ako se jednačina (1.20) integrali u domenu ( xmin , xmax ) , tada je x
max xmax 2 * ' m n n *m' En Em n *m dx xmin 2m xmin
5
(1.21)
Posmatrajmo slučaj n m . Najčešća situacija je da je xmin , a xmax . Ako su stanja n i m diskretna, tada n ,m () 0 i 'n ,m () 0 , pa je leva strana jednačine
jednaka nuli. Kako je En Em 0 , to je svakako:
* m
n dx 0
(1.22)
što predstavlja poznati uslov ortogonalnosti talasnih funkcija. Ako je pak n m , tada je opet leva strana jednačine (1.21) jednaka nuli, ali je i desna strana jednaka nuli ( En Em ) , pa je integral
2
n dx naizgled neodređen. Međutim, imajući u vidu
uslov normalizacije (1.2), jasno je da je
2
n dx 1 .
Ako je domen konačan i polubeskonačan, što se tiče ortogonalnosti – ništa se neće promeniti: ako je npr. xmin konačno, tada je ( xmin ) 0 , '( xmin ) 0 , (što ćemo na primerima i pokazati), pa uslov (1.22) i dalje ostaje u važnosti. Slučaj kada talasne funkcije pripadaju kontinualnom delu spektra biće kasnije analiziran. 1. 4 TIPOVI SPEKTRA JEDNODIMENZIONALNE SCHRÖDINGER-OVE JEDNAČINE Analizirajmo najpre prirodu spektra u slučaju kada je zavisnost potencijalne energije kao na Sl. 1.1. Odlučili smo se za ovakav oblik zavisnosti U ( x ) zbog prisustva sve tri moguće vrste energetskog spektra. Pored toga, ovakva zavisnost se može i eksperimentalno realizovati kod kvantnih nanostruktura.
Sl. 1.1 Zavisnost potencijalne energije U ( x) : U ( x) U1 za x x1 ; U ( x) U 2 za x x2
6
Razlikujemo četiri karakteristična intervala energije: 1. E 0 . Za sve energije iz ove oblasti, odgovarajuća rešenja Schrödinger-ove jednačine nisu kvadratno integrabilna, tj. integral
2
dx je beskonačno veliki, što dalje znači da za
enegije ispod minimuma zavisnosti U ( x) nema dozvoljenih stanja, što ćemo dokazati kasnije (Problem 5, str. 15-16). 2. 0 E U 2 . U oblasti x x2 , rešenje jednačine (1.10) je oblika: C1ek2 x C2 e k2 x , pri čemu je k2 k2 ( E ) 0 . U oblasti x x1 , rešenje je oblika C3ek1x C4e k1x , k1 k1 ( E ) 0 . Da bi rešenje bilo kvadratno integrabilno, svakako da u oblasti x x1 konstanta C4 mora biti jednaka nuli. Znači ( x) C3ek1x , za x x1 . Ovom rešenju za određenu energiju E odgovara rešenje C1ek2 x C2 e k2 x , što dalje znači da u opštem slučaju ovo rešenje nije kvadratno integrabilno. Kako konstante C1 i C2 zavise od energije, tj. C1 C1 ( E ) i C2 C2 ( E ) , mogu postojati određene diskretne vrednosti energije E1 , E2 , …, pri kojima je C1 ( E ) 0 i samim tim rešenje postaje kvadratno integrabilno i predstavlja odgovarajuću talasnu funkciju. U zavisnosti od oblika potencijalne energije U ( x) , mogu se javiti 1, 2, 3,..., ovakvih nivoa, a moguće je i da u celom opsegu (0,U 2 ) nema nijednog diskretnog nivoa. Može se javiti i beskonačno mnogo (preciznije, prebrojivo beskonačno) diskretnih nivoa. 3. U 2 E U1 . Da bi rešenje bilo kvadratno integrabilno u oblasti x x1 , mora da ima oblik C3ek1x . U oblasti x x2 , opšte rešenje je oblika C1 sin( K 2 x) C2 cos( K 2 x) , ( K 2 K 2 ( E ) 0 ) i ono je kvadratno integrabilno za bilo koje vrednosti konstanti C3 i C4 . Sledi da je ovako konstruisano rešenje kvadratno integrabilno za sve vrednosti energije iz posmatranog opsega, tj. sve energije iz opsega (U 2 ,U1 ) su dozvoljene, pa je spektar kontinualan, s tim da svakoj energiji odgovara jedna talasna funkcija. 4. E U1 . Opšte rešenje za određenu energiju E u oblasti x x1 je oblika C3 sin( K1 x) C4 cos( K1 x) . Neka je najpre C4 0 . Rešenju C3 sin( K1 x) odgovara, u oblasti x x2 , rešenje C1 sin( K 2 x) C2 cos( K 2 x) . Ovako konstruisano rešenje je kvadratno integrabilno za sve energije iz opsega (U 2 , ) . Ako je pak C3 0 , rešenju C4 cos( K1 x) , u oblasti x x2 , opet odgovara rešenje C1 sin( K 2 x) C2 cos( K 2 x) , pa je i ovo rešenje kvadratno integrabilno. Sledi vrlo važna osobina ovog opsega energija: sve energije iz posmatranog opsega su dozvoljene i svakoj energiji pripadaju dve talasne funkcije, pa se onda ovakav tip spektra naziva kontinualni i dvostruko degenerisani. Sledeći ovu notaciju, spektar koji odgovara intervalu energija (U 2 ,U1 ) naziva se kontinualni jednostruko degenerisani.
7
Zaključujemo da se ova četiri karakteristična opsega energije mogu klasifikovati na sledeći način: 1. opseg u kome nema dozvoljenih stanja. 2. opseg u kome ima dozvoljenih stanja, ali su ona diskretno raspoređena – slučaj diskretnog spektra 3. opseg u kome su sve energije dozvoljene, s tim da svakoj energiji pripada samo jedna talasna funkcija – slučaj jedanput degenerisanog spektra 4. opseg u kome su sve energije dozvoljene, s tim da svakoj energiji pripadaju dve talasne funkcije – slučaj dvostruko degenerisanog spektra Zavisnost potencijalne energije sa Sl. 1.1 poseduje sva četiri opsega. Drugi oblici zavisnosti U ( x) mogu posedovati jedan, dva, tri ili sva četiri opsega. Npr. Ako je U ( x) ax , ( a 0 ) tada su u trećem opsegu sve energije E (, ) . Ako je pak U ( x) ax 2 , ( a 0 ), tada su u četvrtom opsegu sve energije E (, ) . U slučaju zavisnosti U ( x) ax 2 , ( a 0 ), energije E (, 0) su u prvom opsegu, dok su energije E [0, ) u drugom opsegu. Moguće je formulisati proceduru kojom se za posmatranu energiju E sa sigurnošću određuje pripadnost odgovarajućem opsegu. Navešćemo je bez detaljnog dokaza (koji je vrlo sličan kao u slučaju U ( x) sa Sl. 1.1). Dakle, pomenuta procedura glasi: 1. Ako je E U ( x) za svako x, tada energija E pripada prvom opsegu. 2. Ako je E U ( x ) i E U ( x ) , ali postoji konačan interval ( x1 , x2 ) u kome je E U ( x) , tada energija E pripada drugom opsegu. 3. Ako je E U ( x ) i E U ( x ) , ili obrnuto, tada energija E pripada trećem opsegu. 4. Ako je E U ( x ) i E U ( x ) , tada energija E pripada četvrtom opsegu. Do sada su posmatrane zavisnosti U ( x) kod kojih je x (, ) . Na Sl. 1.2. prikazana je zavisnost U ( x) koja se prostire na polubeskonačnom domenu. Za x 0 potencijalna energija je beskonačno velika, pa je u ovoj oblasti talasna funkcija jednaka nuli, jer čestica ne može posedovati beskonačnu potencijalnu energiju. Imajući u vidu izloženu proceduru, za U ( x) sa Sl. 1.2 možemo reći sledeće: oblast E 0 pripada prvom opsegu, oblast E (0,U1 ) drugom, a E U1 trećem opsegu. Ako bi modifikovali zavisnost tako da je U ( x x1 ) ax ( a 0 ), tada bi sve energije ( E (, ) ) pripadale trećem opsegu. Ako je pak a 0 , tada bi sve energije E 0 pripadale drugom opsegu.
8
Sl. 1.2 Zavisnost U ( x) koja se prostire na polubeskonačnom domenu (0, )
Ako se zavisnost U ( x) prostire na konačnom intervalu, kao na Sl. 1.3, tada energije E 0 pripadaju prvom opsegu, dok energije E 0 pripadaju drugom opsegu, bez obzira na oblik zavisnosti U ( x) .
Sl. 1.3 Zavisnost U ( x) koja se prostire na konačnom intervalu ( x1 , x2 )
Svi zaključci do kojih smo došli u ovom poglavlju odnose se na neperiodične zavisnosti U ( x) . Ako je U ( x) periodična funkcija na domenu x (, ) (npr. U ( x) sin( x) ), ili je periodična na poludomenu (npr. U ( x) const , x 0 , U ( x) sin( x) , x 0 ), tada se energetski spektar ne može odrediti analizom koja je data u ovom poglavlju. Ovi slučajevi biće analizirani u okviru predmeta Fizička elektronika čvrstog tela na III godini studija.
9
1. 5 JEDNAČINA KONTINUITETA U kvantnoj mehanici, analogno hidrodinamici i elektromagnetizmu, može se formulisati jednačina kontinuiteta. Polazi se od nestacionarne Schrödinger-ove jednačine (1.1) koju ćemo napisati za jednodimenzionalan slučaj: i
( x, t ) 2 2 ( x, t ) U ( x , t ) ( x, t ) t 2m x 2
(1.23)
Jednačinu ćemo konjugovati, vodeći računa da je U ( x, t ) realna veličina: i
* 2 2 * U ( x, t ) * 2 t 2m x
(1.24)
Zatim ćemo jednačinu (1.23) pomnožiti sa * i od toga oduzeti jednačinu (1.24) pomnoženu sa , što daje: 2 * 2 * 2* i * t t 2m x 2 x 2
(1.25)
Deleći (1.25) sa i dolazimo do relacije: t
2
2 * i * * i * 2 x 2 x 2 2m x x x 2m
(1.26)
Konačno, (1.26) se može napisati u standardnom obliku: t
2
i * * 0 x 2m x x
(1.27)
Jednačina kontinuiteta u elektromagnetici glasi:
( x, t ) J ( x, t ) S ( x, t ) t x
(1.28)
pri čemu je ( x, t ) gustina naelektrisanja, J ( x, t ) gustina struje, dok je S ( x, t ) određeno izvorima i ponorima naelektrisanja. Pošto je usvojen model u kome je potencijalna energija realna veličina, to dalje znači da ne postoje oblasti promenljive x u kojima se čestice apsorbuju ili emituju. Ovo je razlog što je desna strana jednačine (1.27) jednaka nuli. Ako uporedimo jednačine (1.27) i (1.28), vidimo da
10
gustini naelektrisanja ( x, t ) odgovara gustina verovatnoće
2
, dok gustini struje
naelektrisanja J ( x, t ) odgovara veličina: J ( x, t )
i * * 2m x x
(1.29)
koja se naziva kvantnomehanička struja verovatnoće i može joj se dati i alternativni oblik: J ( x, t )
Im * m x
(1.30)
Ako potencijalna energija ne zavisi od vremena (stacionarni slučaj): U ( x, t ) U ( x) , tada je ( x, t ) ( x)e iEt / , odakle proizilazi da je ( x, t ) ( x) f (t ) . Iz jednačine (1.27) direktno sledi: d J ( x) 0; J ( x) Const dx
(1.31)
što znači da je struja verovatnoće u stacionarnom slučaju konstantna za sve vrednosti promenljive x. Ovo je vrlo važan zaključak. Koristeći (1.31) izvešćemo dokaz o neprekidnosti prvog izvoda talasne funkcije u slučaju potencijala U ( x) U1 ( x) iz izraza (1.14). Kako struja verovatnoće mora biti ista u tačkama x0 i x0 , imamo: J ( x0 ) J ( x0 )
d * * d d * * d dx x dx x dx x dx x 0 0 0 0
(1.32)
Prethodna jednačina se može napisati u malo drugačijem obliku, uzimajući u obzir da je talasna funkcija svuda neprekidna: d * ( x0 ) dx
x0
d * dx
d *( x0 ) dx x0
x0
d dx
0 x0
(1.33)
Analize u kojima figuriše struja verovatnoće imaju smisla samo ako je ( x) strogo kompleksna funkcija (realni ( R ) i imaginarni deo ( I ) su linearno nezavisne funkcije). U primerima koji slede (Problem 3 na str. 14) pokazaćemo da se talasna funkcija u strogo kompleksnoj formi nigde ne anulira, tj. ( x0 ) 0 , pa na osnovu (1.33) sledi da je prvi izvod talasne funkcije svuda neprekidan.
11
1. 6 PROBLEMI VEZANI ZA OPŠTE OSOBINE SCHRÖDINGER-OVE JEDNAČINE Problem 1. Pokazati da se partikularna rešenja Schrödinger-ove jednačine uvek mogu predstaviti kao realne funkcije. Rešenje: Najpre definišimo strogo kompleksnu funkciju u obliku ( x) R ( x) i I ( x) , takvu da su R ( x) i I ( x) linearno nezavisne funkcije. Ako je ovakva kompleksna funkcija
( x) jedno rešenje Schrödinger-ove jednačine, tada je * ( x) drugo rešenje te jednačine. Ova rešenja su linearno nezavisna jer je njihov Wronskian:
W ( x), * ( x) ( x)[ * ( x)]' * ( x) '( x) 2i I ( x) 'R ( x) R ( x) 'I ( x) 2iW I ( x), R ( x)
(1.34)
Po definiciji strogo kompleksne funkcije Wronskian W I ( x), R ( x) je različit od nule, pa je
i W ( x), * ( x) različito od nule, što znači da su ( x) i * ( x) linearno nezavisne funkcije. Ako su
R ( x)
i
I ( x) linearno zavisne funkcije, tj. I ( x) C R ( x) , tada je
( x) (1 iC ) R ( x) ei |A| R ( x) , pri čemu je A |A| ei 1 iC . Bez gubitka opštosti možemo uzeti 0 , pa je ( x) |A| R ( x) , odnosno ( x) se kvantnomehanički gledano može smatrati realnom funkcijom. S druge strane, pošto je potencijalna energija realna, ako je ( x) strogo kompleksno rešenje Schrödinger-ove jednačine, tada je i * ( x) rešenje te iste jednačine:
2 '' U E 2m
2 * '' U * E * 2m
(1.35)
Ako su 1 ( x) i 2 ( x) partikularna rešenja Schrödinger-ove jednačine, tada je opšte rešenje ( x) C11 ( x) C2 2 ( x)
(1.36)
pri čemu su C1 i C2 kompleksne konstante. Ako je pak 1 ( x) ( x) a 2 ( x) * ( x) , i ako su konstante C1 1/ 2 , C2 1/ 2 , odnosno C1 1/ 2i , C2 1/ 2i , tada je novi par rešenja 3 ( x) i 4 ( x) oblika: 1 1 3 ( x) ( x) * ( x) Re ( x) 2 2 (1.37) 1 1 4 ( x) ( x) * ( x) Im ( x) 2i 2i
što znači da su 3 ( x) i 4 ( x) realne funkcije, čime je pokazano da se uvek može generisati par realnih rešenja Schrödinger-ove jednačine.
12
Problem 2. Dokazati da su sve nule rešenja Schrödinger-ove jednačine proste nule. Rešenje: Neka je u okolini tačke x x0 ( x0 je konačno) rešenje Schrödinger-ove jednačine
proporcionalno sa C ( x x0 ) n , što dalje znači da je ''( x) n(n 1)( x x0 ) n 2 . Kada se iskoriste ovi izrazi, Schrödinger-ova jednačina dobija oblik:
2 n(n 1)( x x0 ) n 2 U ( x0 ) E ( x x0 ) n 0 2m
(1.38a)
odnosno
n(n 1)
2m U ( x0 ) E ( x x0 ) 2 0 2
(1.38b)
Kada x x0 , tada i U ( x0 ) E ( x x0 ) 2 0 , pa se dolazi do uslova n(n 1) 0 , odakle sledi da su jedine moguće vrednosti n 0 i n 1 . Ako je n 0 , rešenje Schrödinger-ove jednačine je u okolini x x0 konstanta, a ako je n 1 , rešenje je oblika C ( x x0 ) , što znači da je x x0 prosta nula rešenja Schrödinger-ove jednačine. Posledica ovog zaključka je da se rešenje i prvi izvod rešenja ne mogu istovremeno anulirati, osim u slučaju da je ( x) 0 za sve vrednosti x. Naglasimo da je ovaj zaključak validan samo ako je x0 konačno, jer ako je x0 beskonačno veliko, tada razlika x x0 nije obavezno jednaka nuli kada x x0 , već može biti konačna veličina, pa rešenja jednačine (1.38b) mogu biti različita od n 0 i n 1 . Ako je na primer ( x ) e Const x 0 , tada i ( x ) 0 , kao i ( N ) ( x ) 0 ( N 2,3, 4, ). Posmatrajmo domen [ x1 , x2 ] , pri čemu su x1 i x2 konačne veličine. Izaberimo u okviru ovog domena rešenje y ( x) 0 , za sve x [ x1 , x2 ] . Opšti oblik rešenja za x x1 i x x2 je A1/ 2 f1/ 2 ( x) B1/2 g1/ 2 ( x) , pri čemu su f1/2 ( x) i g1/2 ( x) linearno nezavisne funkcije. U tački x x1
y ( x1 ) y ( x1 )
imamo: 1
1
i
y '( x1 ) y '( x1 ) , 1
1
1
A1 f1 ( x1 ) B1 g1 ( x1 ) 0
tj.
i
1
A1 f1'( x ) B1 g1' ( x ) 0 . Pošto je f1 ( x ) g1' ( x ) g1 ( x ) f1'( x ) 0 , jer su f1 ( x) i g1 ( x) linearno nezavisne funkcije, jedino rešenje ovog sistema jednako je A1 0 , B1 0 , tj. y ( x) 0 za sve x x1 . Do istog zaključka dolazimo i u slučaju x x2 . Znači, ako je rešenje y ( x) na domenu [ x1 , x2 ] trivijalno, tada je ono trivijalno na celom domenu (npr. x (, ) ). Pored toga, ako je rešenje trivijalno na poludomenu (npr. x [ x0 , ) ) i tada je rešenje trivijalno na celom domenu Problem 3. Pokazati da strogo kompleksno rešenje Schrödinger-ove jednačine nema nula. Rešenje: Ako je x x0 zajednička nula funkcija R ( x) i I ( x) , tj. R ( x0 ) 0 i I ( x0 ) 0 ,
tada je W I ( x), R ( x) x x 0 , a to je u kontradikciji sa definicijom strogo kompleksne 0
funkcije (da su R ( x) i I ( x) linearno nezavisne funkcije).
13
Ova osobina rešenja Schrödinger-ove jednačine može se pokazati i na drugi način: neka je R ( x) jedno partikulatno rešenje Schrödinger-ove jednačine. Drugo partikularno rešenje je x
dt 2R (t ) x1
I ( x) C R ( x)
(1.39)
pri čemu je C kompleksna konstanta ( C 0 ). Očigledno je da je strogo kompleksno rešenje ( x) R ( x) i I ( x) . Ako je R ( x0 ) 0 , tada se u okolini x0 može pisati: R ( x) C1 ( x x0 ) , C1 0 , jer su sve nule proste (na osnovu rešenja Problema 2). Donja granica x x1 u integralu jednačine (1.39) bira se proizvoljno; ako se x1 izabere tako da interval ( x1 , x) obuhvata samo nulu u x x0 , tada se može pisati: 1 1 f ( x) 2 ( x) C1 ( x x0 ) 2
(1.40)
2 R
pri čemu je f ( x) funkcija koja nema singularitete u intervalu ( x1 , x) , odakle proizilazi (x je blisko x0 ): 1 1 ( ) f t dt 2 2 x C1 (t x0 ) C1 ( x x0 ) 1 x
(1.41)
pa je I ( x) C / C1 , što znači da je I ( x) u okolini x x0 konstanta različita od nule, tj. I ( x) 0 , pa R ( x) i I ( x) nemaju zajedničkih nula. Problem 4. U slučaju jednodimenzionalne potencijalne jame, pokazati da diskretna stanja nisu degenerisana. Rešenje: Pretpostavimo da energiji diskretnog stanja En odgovaraju dve linearno nezavisne talasne funkcije n i n , koje su rešenja jednačina: 1
2
2 '' n U E n 0 1 2m 1
(1.42a)
2 '' n U E n 0 2 2m 2
(1.42b)
Iz (1.42a) i (1.42b) direktno sledi da je ''n
1
n
1
''n
2
n
''n n n ''n 0 1
2
1
2
2
14
' n1
n2
' n 'n 0 1
2
(1.43)
što dalje znači da je Wronskian W n , n 1
2
const . Pošto su
n1
i n talasne funkcije 2
diskretnog nivoa, sigurno je n / n ( x ) 0 , kao i n / n ( x ) 0 , pa je i
1 2
Wronskian W n , n 1
2
0 , odakle sledi da su
1 2
n1
i n linearno zavisne funkcije, što je u 2
suprotnosti sa početnom pretpostavkom. Problem 5. Ako potencijalna energija U ( x) ima oblik kao na Sl. 1.4, pokazati da su dozvoljene vrednosti energije čestice obavezno pozitivne.
Sl. 1.4 Zavisnost potencijalne energije U ( x) , takve da U ( x) ima apsolutni minimum u tački x x0 Rešenje: Za energije E U 0 spektar je kontinualan – jednostruko i dvostruko degenerisan, i sve dozvoljene vrednosti energije su pozitivne, zato ćemo razmatrati samo energije koje su manje od U 0 . Pretpostavimo da energiji E odgovara talasna funkcija ( x) . Schrödinger-ova jednačina u tom slučaju glasi
2 '' U E 2m
(1.44)
Pomnožimo ovu jednačinu sa * ( x) i integralimo po celom domenu. Vodeći računa da je
dx 1 , dobija se izraz za energiju dozvoljenog stanja u formi: *
2 2 E * '' dx U ( x) dx 2m ( x ) ( x)
15
(1.45)
Drugi integral je sigurno pozitivan jer je U ( x) 0 , za svako x iz posmatranog domena. Ako talasnu funkciju ( x) napišemo u obliku ( x) R ( x) i I ( x) , tada je prvi integral u jednačini (1.45) jednak:
'' dx (
''R I ''I )dx i ( ''I R I ''R )dx
*
( x)
R
( x)
(1.46)
( x)
Integral R ''R dx parcijalnom integracijom prelazi u
R ''R dx R 'R
( ' ) dx 2
R
(1.47)
Pošto talasna funkcija mora da bude integrabilna, to funkcije R ( x) i I ( x) , kao i njihovi prvi izvodi, moraju da teže nuli kada x . Ako je pak, za neko dovoljno veliko x2 x0 potencijalna energija beskonačna, tada je R ( x2 ) 0 i I ( x2 ) 0 , mada je 'R ( x2 ) 0 , 'I ( x2 ) 0 , jer se za konačnu vrednost x talasna funkcija i njen prvi izvod ne mogu
istovremeno anulirati. Ako je i za x1 , dovoljno udaljeno od x0 ( x1 x0 ), potencijalna energija dovoljno velika, tada je R ( x1 ) 0 i I ( x1 ) 0 , i naravno 'R ( x1 ) 0 ,
'I ( x1 ) 0 . Na
osnovu izloženog sledi da je za sve moguće slučajeve R 'R| 0 , pa je integral sa leve strane znaka jednakosti u (1.47) jednak
xmax
xmin
( 'R )2 dx , odosno imamo:
2 2 ( R ''R I ''I )dx [( 'R ) ( 'I ) ]dx 0
(1.48)
Na sličan način pokazuje se da je
''I R dx
'' dx R
I
(1.49)
pa je integral uz imaginarnu jedinicu u (1.46) jednak nuli. Ovo je logično jer je energija realna veličina, pa imaginarni deo u (1.46) mora biti nula. Konačno, možemo (1.45) zapisati u formi
2 2 E [( 'R )2 ( 'I )2 ]dx U ( x)dx 2m
(1.50)
odakle se jasno vidi da energija dozvoljenog stanja može biti samo pozitivna, tj. nema dozvoljenih stanja za energije manje od apsolutnog minimuma potencijalne energije.
16
Problem 6. Analizirati osobine talasnih funkcija u slučaju da je zavisnost potencijalne energije U ( x) parna funkcija koordinate x. Rešenje: Ako je U ( x) parna funkcija, tada je gustina verovatnoće nalaženja čestice ista u 2
2
tačkama x i x , tj. ( x) ( x) . U slučaju diskretnih stanja, dozvoljenoj energiji odgovara samo jedna talasna funkcija, koja se može uzeti kao realna, što znači da je 2 ( x) 2 ( x) , pa sledi
( x) ( x)
ili ( x) ( x)
(1.51)
Diskretnim stanjima odgovaraju talasne funkcije određene parnosti, ili su parne ili neparne. U slučaju U ( x) U ( x) ne postoje jedanput degenerisana kontinualna stanja koja se javljaju samo kod asimetričnih zavisnosti U ( x) . 2
2
U slučaju dvostruko degenerisanog spektra, zbog ( x) ( x) , bilo kojoj energiji iz ovog dela spektra odgovaraju dve talasne funkcije: jedna parna a druga neparna. Međutim, kako su u ovom delu spektra talasne funkcije bilo koja linearna kombinacija, npr. parne i neparne funkcije, drugi parovi nastali ovakvom kombinacijom ne poseduju određenu parnost. Sve sto je ovde navedeno odnosi se samo na talasne funkcije a ne i na ostala rešenja Schrödinger-ove jednačine, koja mogu a ne moraju da poseduju određenu parnost iako je U ( x) U ( x) . Problem 7. Diskutovati problem ortogonalnosti kod talasnih funkcija dvostruko degenerisanih (2d) kontinualnih stanja. Rešenje: Kako kod 2d kontinualnih stanja jednoj energiji E odgovaraju dve talasne funkcije 1 i 2 , tada iz izraza (1.21) ne možemo da odredimo da li su te funkcije ortogonalne jer na desnoj strani imamo član koji sadrži razliku energija En Em , a koja je u ovom slučaju jednaka
nuli, pa je integral 1* 2 dx neodređen. Neka su 1 ( x) i 2 ( x) dve linearno nezavisne talasne funkcije koje odgovaraju energiji E, i neka one poseduju ortogonalnost, tj. kombinacija 1 ( x) i 2 ( x) :
dx 0 . Drugi par talasnih funkcija je linearna * 1
2
3 ( x) A1 ( x) B 2 ( x)
(1.52a)
4 ( x ) C 1 ( x ) D 2 ( x )
(1.52b)
Kao prvo, da bi 3 i 4 bile linearno nezavisne funkcije, Wronskian mora biti različit od nule, tj. W 3 , 4 0 , odnosno
17
W 3 , 4 ( A1 B 2 )(C 1' D '2 ) ( A1' B '2 )(C 1 D 2 )
(1.53)
( '2 1 2 1' )( BC AD) W 1 , 2 ( BC AD) Kako je W 1 , 2 različito od nule (po polaznoj pretpostavci), W 3 , 4 biće različito od nule ako je ( BC AD) 0 , što je ujedno i uslov linearne nezavisnosti talasnih funkcija 3 ( x) i 4 ( x) . Razmotrimo sada ortogonalnost talasnih funkcija 3 i 4 . Pođimo od integrala: I *3 4 dx ( A*1* B* *2 )(C 1 D 2 )dx A C 1 dx B D 2 dx DA 2 dx B C 1dx *
Kako je
2 1/ 2
2
2
*
*
* 1
*
(1.54)
* 2
dx 1 , 1* 2 dx 0 , to je
I A*C B* D
(1.55)
Ako je A*C B* D 0 , tada su funkcije 3 ( x) i 4 ( x) ortogonalne, za sve ostale
kombinacije iz skupa A, B, C , D , ove talasne funkcije nisu ortogonalne. Ovo dalje znači da talasne funkcije 3 i 4 , iako su dobro određene, mogu biti ortogonalne ili neortogonalne. Neka su talasne funkcije 1 i 2 , koje odgovoraju energiji E, neortogonalne. Pokažimo kako se od ovog para neortogonalnih funkcija može formirati par ortogonalnih talasnih funkcija 1 i 2 . Par 1 , 2 se uvodi na sledeći način: 1 1
(1.56a)
2 1 2
(1.56b)
pri čemu je ( x) parametar koji se određuje iz uslova ortogonalnosti:
dx * 1
( x)
( x)
Ako su talasne funkcije normalizovane kao
1 dx 1* 2 dx 0 2
2
2 1/ 2
(1.57)
dx 1 , tada iz (1.57) sledi
1* 2 dx
(1.58)
čime je talasna funkcija 2 ( x) određena do multiplikativne konstante. Kako je 1 1 , to je potrebno normirati samo talasnu funkciju 2 . Postupak normiranja svodi se na određivanje konstane C iz relacije
18
C
2
dx 1 * 2
2
C
2
*
= C 2
2
* 1
*2 1 2 dx
dx dx dx dx * 1
* 2
2
*
* 1
1
2
1
(1.59)
* 2
Kako su funkcije 1 i 2 normirane, uzimajući u obzir izraz (1.58) za , dolazimo do relacije 2 2 C 1 1
C
1 1
2
(1.60)
pa konačno par ortonormiranih talasnih funkcija dobijamo u obliku 1 1 2
(1.61a)
1 2 1
2
(1.61b)
1. 7 PROBLEMI VEZANI ZA ODREĐENE OBLIKE ZAVISNOSTI POTENCIJALNE ENERGIJE U ( x) Stacionarna jednodimenzionalna Schrödinger-ova jednačina (1.10), kao što je poznato, ne može se rešiti eksplicitno u smislu da se odrede analitički izrazi koji povezuju talasne funkcije, s jedne strane, i potencijalnu energiju sa druge strane jednačine. Naravno, za određenu zavisnost U ( x) , mogu se odrediti sve energije i talasne funkcije numeričkim metodama. Međutim, analitičko rešenje Schrödinger-ove jednačine (u smislu da su rešenja data preko elementarnih funkcija) moguće je samo za nekoliko oblika zavisnosti U ( x) : npr. U ( x) const ili U ( x) U 0 / cosh 2 ( x) , U 0 0 , mada u slučaju kada je U ( x) deo-po-deo konstantno samo talasne funkcije se mogu odrediti u formi elementarnih funkcija dok se energije diskretnih stanja moraju određivati numerički. U ovom poglavlju biće dati detaljni postupci rešavanja Schrödinger-ove jednačine za karakteristične oblike zavisnosti U ( x) kada se ta zavisnost sastoji od kombinacije delova koji su svaki za sebe konstantni. Na kraju će biti analiziran i slučaj U ( x) x , kada se energije i talasne funkcije dobijaju u formi specijalnih funkcija. 1.7.1 Slobodna čestica U slučaju slobodne čestice potencijalna energija je svuda konstantna. Ne gubeći na opštosti, može se uzeti da je ova konstanta nula, tj. U ( x) 0 , za sve x (, ) , pa je Schrödingerova jednačina u ovom slučaju najjednostavnijeg oblika:
2 '' E 2m
19
(1.62)
ili u alternativnoj formi: ''
2mE 0 2
(1.63)
Uvodeći novu veličinu k 2 2mE 2 , pri čemu je po dogovoru k 0 , izraz (1.63) postaje
'' k 2 0
(1.64)
Par partikularnih rešenja ove jednačine je eikx i e ikx , ili cos(kx) i sin(kx) , ili bilo koja linearna kombinacija ovih partikularnih rešenja. U slučaju slobodne čestice nema nikakvih graničnih uslova pa su sve pozitvne energije ( E 0 ) dozvoljene i svakoj energiji odgovaraju po dve talasne funkcije npr. eikx i e ikx . Pošto je E 0 ujedno i minimalna vrednost zavisnosti U ( x ) , za sve negativne enegije ( E 0 ) nema dozvoljenih stanja. U graničnom slučaju E 0 , jednačina (1.64) se svodi na '' 0 , odakle sledi da je ( x) C1 x C2 , pa se ovakvo rešenje ne može normalizovati (osim ako je C1 C2 0 , a to je trivijalno rešenje koje se ne razmatra); znači dozvoljena stanja imaju sve pozitivne energije ( E 0 ). Posmatrajmo par nenormalizovanih talasnih funkcija eikx i e ikx . Uslov normalizacije je već formulisan kao ||2 dx 1 . Problem se javlja kod granica integracije, ako se one uzmu kao
. Ako zamislimo za trenutak da je U ( x) 0 za x [0, L] , i U ( x) van ovog intervala, s tim da L , tada se iz uslova normalizacije dobija L
2
dx 1
0
C
2
L
e
ikx ikx
e dx 1 C
0
1 L
(1.65)
pa su, sada normalizovane, talasne funkcije oblika 1 ( x )
1 ikx 1 ikx e , 2 ( x) e L L
(1.66)
naglašavajući da L . Na prvi pogled, pošto L , izgleda da su sve talasne funkcije jednake nuli. Međutim, mada 1 ( x) i 2 ( x) teže nuli, kada se one koriste u izrazima za npr. izračunavanje koncentracije čestica, apsorpcije, itd., tada se vrše određene integracije i normalizacioni faktor bude kompenzovan, tj. u krajnjim izrazima ne javlja se veličina L. Talasnoj funkciji 1/2 ( x) odgovara ravanski talas koji polazi iz / i ide ka / . Kako su 1/2 ( x) strogo kompleksne funkcije, za svaku od njih može se odrediti struja verovatnoće, koja je npr. za 1 ( x) data relacijom:
20
1* k 1 i 1* * 1 J1 1 1 Im 1 2m x x m x m L
(1.67)
Analognim postupkom dobija se J 2 ( 2 ) J1 , pa je ukupna struja verovatnoće koja odgovara energiji E jednaka nuli za sve vrednosti koordinate x. Ako posmatramo drugi par talasnih funkcija, npr. cos(kx) i sin(kx) , tada je J1 0 i J 2 0 (jer su 1 i 2 realne funkcije), tj. ukupna struja je i u ovom slučaju jednaka nuli, što je i očekivano jer ukupna struja ne može da zavisi od izbora talasnih funkcija, a naravno ne sme ni da zavisi od koordinate x. 1.7.2. Slobodna čestica na polubeskonačnom domenu Potencijalna energija slobodne čestice na polubeskonačnom domenu je oblika U ( x) 0 , za x 0 , i U ( x) za x 0 , Sl. 1.5. Kako je nula minimalna vrednost funkcije U ( x) , to za E 0 nema dozvoljenih stanja, dok za sve energije E 0 imamo dozvoljena stanja, koja su kontinualna i jednostruko degenerisana. Za energiju E 0 , nema dozvoljenih stanja iz istih razloga kao u prethodnom primeru.
Sl. 1.5 Potencijalna energija slobodne čestice na polubeskonačnom domenu. U 0 je visina barijere za x 0 , koja teži beskonačno velikoj vrednosti ( U 0 )
Schrödinger-ova jednačina za ovaj slučaj je potpuno ista kao u prethodnom problemu (jednačine (1.62)- (1.64)), samo što se ovde posmatra oblast x [0, ) . Opšte rešenje je oblika: ( x) A sin(kx) B cos(kx)
(1.68)
Odlučili smo se za par partikularnih rešenja ( sin(kx), cos(kx) ), a ne ( eikx , e ikx ), što je u okviru slobodnog izbora partikularnih rešenja. Zamislimo za trenutak da je U ( x) U 0 za x 0 , gde je U 0 konačno i veće od nule. Tada Schrödinger-ova jednačina u oblasti x 0 dobija oblik: 21
2 '' U 0 E 2m
''
2m U 0 E 0 2
Ako posmatramo energije E U 0 i definišemo veličinu 2
(1.69)
2m U 0 E 0 ( 0 ), tada 2
(1.69) postaje:
'' 2 0
(1.70)
Opšte rešenje ove jednačine je ( x) A1e x B1e x
(1.71)
Kada x , veličina e x , pa se mora uzeti B1 0 , pa je ( x) A1e x . Ako U 0 za sve x 0 , tada ( x) 0 za x 0 . Kako talasna funkcija mora biti neprekidna, dolazimo do graničnog uslova (0) 0 i ovaj granični uslov je prisutan uvek kada U 0 , bez obzira na oblik U ( x) za x 0 . Kako je ( x) A1e x , za sve x 0 , to je ( x) A1e x , pa ( x 0 ) 0 , kada U 0 . S druge strane, ( x 0 ) 0 , jer talasna funkcija mora biti neprekidna, međutim ( x 0 ) mora imati konačnu vrednost, pošto je potencijalna energija u okolini x 0 konačna, pa prema Problemu 2 (strana 13), kada x 0 talasna funkcija i njen prvi izvod ne mogu istovremeno težiti nuli. Ovo dalje znači da je prvi izvod talasne funkcije u x 0 prekidna funkcija, što je posledica činjenice da potencijalna energija ima prekid prve vrste u x 0 . Dakle, pri analizi opšteg rešenja (1.68) mora se koristiti granični uslov (0) 0 , pa sledi da je B 0 , a talasna funkcija za sve vrednosti energije E 0 dobija konačni oblik:
( x) A sin(kx)
(1.72)
Kao i u prethodnom primeru, u postupku normalizacije koristićemo model u kome se zavisnost U ( x) 0 proteže u domenu [0, L] , uz L , tako da uslov normiranja postaje A
2
L
sin
2
(kx)dx 1
(1.73)
0
Koristeći trigonometrijski identitet 2sin 2 ( ) 1 cos 2 ( ) , integral u (1.73) možemo napisati u formi: L 1 L sin(2kL) (1.74) 1 cos(2kx) dx 20 2 4k Pošto razmatramo vrednosti k 0 (za k 0 nemamo dozvoljena stanja), to je veličina sin(2kL) / (4k ) konačna i može se zanemariti u odnosu na L / 2 kada L , pa se uslov (1.73) može napisati u obliku: 22
A
2
L 1 A 2
2 L
(1.75)
Konačni oblik talasne funkcije glasi ( x)
2 2mE sin( kx); k ; L L 2
(1.76)
Ovaj izraz je u važnosti za sve pozitivne energije ( E 0 ). Ako je E 0 , tada je prema (1.72) i ( x) jednako nuli za sve x 0 .
1.7.3. Čestica u jami sa beskonačno visokim zidovima Jama sa beskonačno visokim zidovima, konačne širine d, prikazana je na Sl. 1.6 i ima sledeću zavisnost potencijalne energije: U ( x) 0 , za x d / 2, d / 2 , U ( x) van ovog intervala. Pošto je minimalna vrednost funkcije U ( x) jednaka nuli, nema dozvoljenih stanja u intervalu energija , 0 , dok je u intervalu 0, energetski spektar diskretan.
Sl. 1.6 Jama sa beskonačno visokim zidovima, konačne širine d
U oblasti x d / 2, d / 2 , U ( x) 0 , pa je Schrödinger-ova jednačina oblika (1.64). Odlučićemo se za par partikularnih rešenja ( sin(kx) , cos(kx) ), pa je opšte rešenje oblika: ( x) A sin(kx) B cos(kx)
(1.77)
Važno je primetiti da je potencijalna energija U ( x ) parna funkcija koordinate x, ako je koordinatni sistem kao na Sl. 1.6, pa su talasne funkcije ili parne ili neparne. Razmotrimo prvo
23
skup parnih talasnih funkcija. Ako je ( x) parna funkcija, konstanta A mora biti jednaka nuli, tj. P ( x) B cos(kx) (1.78) Na granicama jame talasna funkcija je jednaka nuli (kao što je objašnjeno u prethodnom primeru), pa je: B cos kd2 0
cos kd2 0
(1.79)
Jednačina cos kd / 2 0 ima beskonačno mnogo rešenja koja su data izrazom: kpd 2
2
p , p 0,1, 2,
(1.80)
Iz (1.80) dobija se izraz za energije parnih diskretnih stanja E p 2 p 1 2 2
2 , p 0,1, 2, 2md 2
(1.81)
dok su izrazi za odgovarajuće talasne funkcije x x p , P ( x) B p cos k p d B p cos 2 p 1 d d
(1.82)
Iz (1.82) vidi se da 0, P ( x) nema ni jednu nulu (nule u x d 2 se ne računaju pošto njih imaju sve talasne funkcije), 1, P ( x) ima dve nule,… k , P ( x) ima 2k nula. Konstanta B određuje se iz uslova normiranja: d /2
d /2
2p , P ( x) dx 1
2 B p2
d /2
cos [(2 p 1) ( x d )] dx 1 2
(1.83)
0
Integral u izrazu (1.83) ima vrednost d /2
cos [(2 p 1) ( x
d )] dx
2
0
pa, s obzirom da je k p d 2 p
1 d sin k p d 2 2 2k p
(1.84)
sin(k p d ) 0 , sledi Bp
24
2 d
(1.85)
Sada ćemo razmotriti skup neparnih talasnih funkcija. Ako je ( x) neparna funkcija, tada konstanta B u (1.77) mora biti jednaka nuli, pa je neparna talasna funkcija oblika N ( x) A sin(kx)
(1.86)
U graničnim tačkama x d 2 , N ( x) mora biti jednako nuli: A sin kd2 0
sin kd2 0
(1.87)
Rešenja jednačine (1.87) glase kn d 2n , n 1, 2,3,
(1.88)
Ako je n 0 , tada je k0 0 , pa je 0, N ( x) jednako nuli za sve vrednosti x, i zbog toga se ovaj slučaj ne uzima u obzir. Iz (1.88) dobija se izraz za energije neparnih diskretnih stanja En 2n 2 2
2 , n 1, 2,3, 2md 2
(1.89)
Imajući u vidu izraz (1.81) i (1.89), može se napisati jedinstveni izraz za energije diskretnih stanja u obliku: En
2 2 2 l , l 1, 2,3, 2md 2
(1.90)
pri čemu vrednosti l 1,3,5, daju energije parnih diskretnih stanja, a l 2, 4, 6, , energije neparnih diskretnih stanja. Na osnovu ovoga vidi se da su stanja (počev od najnižeg) poređana na sledeći način: parno, neparno, parno, … Izraz za odgovarajuće neparne talasne funkcije, vodeći računa o (1.86) i (1.88), glasi: x x n , N ( x) An sin kn d An sin 2n d d
(1.91)
odakle se vidi da 1, N ( x) ima jednu nulu, 2, N ( x) ima tri nule, …, k , N ( x) ima (2k 1) nula. Konstanta An određuje se iz uslova normiranja: d /2
d /2
2n , N ( x) dx 1
2 An2
d /2
sin [2n ( x d )] dx 1 2
(1.92)
0
odakle se dobija: An
25
2 d
(1.93)
Imajući u vidu (1.82) i (1.91), talasne funkcije parnih i neparnih stanja mogu se izraziti jedinstvenom relacijom l ( x) pri čemu vrednosti funkcijama.
2 x sin l , l 1, 2,3, d d
l 1,3,5, / l 2, 4, 6,
odgovaraju
(1.94) parnim/neparnim
talasnim
Na kraju ovog problema napomenimo da su sva rešenja y ( x) , za sve energije E , , kvadratno integrabilna (
d /2
d /2
2
y dx ima konačnu vrednost), ali samo ona koja zadovoljavaju
uslove y ( d 2) 0 su ujedno i talasne funkcije.
1.7.4. Čestica u asimetričnoj jami sa jednim beskonačnim i jednim konačno visokim zidom U ovom slučaju potencijalna energija je nula ako x [0, d ] , jednaka je U 0 ako x d , , a beskonačno je velika za sve negativne vrednosti x, Sl. 1.7. Pošto je minimalna vrednost potencijalne energije jednaka nuli, dozvoljenih stanja nema za negativne energije ( E 0 ). U intervalu [0, U 0 ] moguća su diskretna stanja, dok su sve energije [U 0 , ) dozvoljene, i svakoj energiji iz ovog intervala odgovara samo jedna talasna funkcija.
Sl. 1.7 Jama širine d, sa beskonačno visokim zidom u x 0 i zidom konačne visine U 0 u x d
a) Oblast energija [0,U 0 ] U oblasti x [0, d ] , pošto je U ( x) 0 , Schrödinger-ova jednačina je oblika (1.64), pa opšte rešenje ima formu: ( x) A sin(kx) B cos(kx)
26
(1.95)
Vodeći računa da U (0 ) , (0) 0 , pa sledi ( x) A sin(kx), x [0, d )
(1.96)
U oblasti x d , , s obzirom da je U ( x) U 0 0 , Schrödinger-ova jednačina je oblika (1.69), a opšte rešenje je dato izrazom (1.71): ( x) Be x Ce x ,
2m U 0 E 2
(1.97)
Konstanta C mora biti jednaka nuli jer e x kada x , pa je ( x) Be x , x d ,
(1.98)
U tački x d , talasna funkcija i njen prvi izvod moraju biti neprekidni: (d ) (d )
(1.99a)
'(d ) '(d )
(1.99b)
ili, u eksplicitnoj formi A sin(kd ) Be d
(1.100a)
kA cos(kd ) B e d
(1.100b)
Ako podelimo (1.100a) sa (1.100b), dolazimo do transcendentne jednačine: tan(kd )
k
(1.101)
Rešenja ove jednačine (po energiji E) predstavljaju energije diskretnih stanja. Vodeći računa o izrazima za k i κ, može se (1.101) napisati u jednostavnijoj formi: tan(kd )
E 2mE , k 2 U0 E
(1.102)
Pošto se diskretna stanja mogu javiti samo u oblasti [0,U 0 ] , analiziraćemo rešenja jednačine (1.102) samo u tom intervalu energija. Neka je f1 ( E ) E U 0 E . Funkcija f1 ( E ) je svuda negativna i monotono opadajuća, a pored toga je f1 (0) 0 i f1 (U 0 ) (Sl. 1.8). S druge strane, neka je f 2 ( E ) tan(kd ) . Veličina kd ima sve vrednosti od kd 0 ( E 0 ) do (kd ) max ( E U 0 ). Energije diskretnih stanja dobijaju se iz preseka krivih f1 ( E ) i f 2 ( E ) .
27
Sl. 1.8 Grafički prikaz dobijanja rešenja transcendentne jednačine (1.102); prikazani su slučajevi 0 (kd ) max 2 , 2 (kd ) max 3 2 , 3 2 (kd ) max 5 2 i 5 2 (kd ) max 7 2
Sa Sl. 1.8. se vidi da ako je (kd ) max 2 , tada nema diskretnih stanja u posmatranom opsegu enegije jer je f1 ( E ) 0 za sve energije u intervalu [0,U 0 ] , dok je f 2 ( E ) 0 za kd 2 .Vodeći računa o izrazu za k, ovaj uslov se može zapisati u obliku: md U 0 2
22
(1.103)
8
Ako parametri: masa čestice m, visina barijere U 0 i širina jame d zadovoljavaju nejednakost (1.103), tada energetski spektar jame sa Sl. 1.7 ne sadrži diskretna stanja. Za bilo koju kombinaciju parametara m, U 0 i d krive f1 ( E ) i f 2 ( E ) će se seći za E 0 . U tom slučaju talasna funkcija je jednaka nuli u oblasti x (0, d ) kao što se vidi iz izraza (1.96). Vodeći računa o neprekidnosti talasne funkcije u x d , iz (1.100a) dobijamo B 0 , odakle je jasno da je talasna funkcija pri E 0 , jednaka nuli za svako x, kao što je pokazano u Problemu 2, pa se ovo rešenje kao fizički neprihvatljivo odbacuje. Krive
f1 ( E ) i
f 2 ( E ) nikada se ne seku za E U 0 , jer
f 2 ((kd ) max ) , kada je (kd ) max n 2 , tj. za
f1 ( E U 0 ) , dok
2mU 0 / 2 d n 2 . Ako je ispunjena
ova jednakost, tada f 2 ( 2mE / d ) kada E U 0 , pa je očigledno da se u ovom slučaju krive f1 ( E ) i f 2 ( E ) ne seku.
28
Ako je (kd ) max 2 , tada se broj diskretnih stanja M b može prikazati relacijom: (kd ) max 2 M b 1 int , (kd ) max 2
(1.104a)
s tim da, ako je (kd ) max n 2 , tada je Mb
(kd ) max 2
n
(1.104b)
jer u ovom slučaju na energiji koja odgovara kmax nema diskretnih stanja. b) Oblast energija [U 0 , ) U oblasti x [0, d ] i u ovom slučaju talasna funkcija data je izrazom (1.96) jer Schrödingerova jednačina ima isti oblik kao i kada E [0, U 0 ] . Međutim, u oblasti koordinata x [d , ) situacija je drugačija i Schrödinger-ova jednačina je oblika:
2 '' U 0 E 2m
''
2m E U0 0 2
(1.105)
Kako je ovde E U 0 , pogodno je uvesti veličinu K 2m 2 E U 0 , pa se (1.105) može napisati u formi: '' K 2 0
(1.106)
Opšte rešenje ove jednačine pogodno je napisati u obliku: ( x) A1 sin( Kx) B1 cos( Kx)
(1.107)
ili jos kompaktnije: ( x) C sin( Kx )
(1.108)
pri čemu su C i proizvoljne konstante ( mora biti realna konstanta). U tački x d talasna funkcija i njen prvi izvod su neprekidni, tj. A sin(kd ) C sin( Kd )
(1.109a)
Ak cos(kd ) CK cos( Kd )
(1.109b)
29
Ako podelimo (1.109a) sa (1.109b), dolazimo do jednačine u kojoj figuriše samo konstanta : tan(kd )
k tan( Kd ) K
(1.110)
K tan(kd ) k
(1.111)
Iz (1.110) direktno sledi
Kd arctan
Jasno je da se može odrediti sa tačnošću do aditivne konstante p (gde je p ceo broj). Ako je p paran broj, jednačine (1.109a) i (1.109b) ostaju nepromenjene. Ako pak p neparan broj, tada umesto konstante C figuriše –C, što dovodi do ekvivalentnog rezultata. Sa već određenim , konstanta A se izračunava iz npr. (1.109a): AC
sin( Kd ) sin(kd )
(1.112)
Konačno, može se napisati izraz za talasnu funkciju u obliku: sin( Kd ) 1 ( x) C sin(kd ) sin(kx), x [0, d ] ( x) x [d , ) 2 ( x) C sin( Kx ),
(1.113)
Konstantu C određujemo iz uslova normiranja na sledeći način: L
2
dx 1, L
(1.114)
0
Razdvojićemo domen integracije na oblasti [0, d ] i [d , L] : L L 2 C 1 dx sin 2 ( Kx )dx 1 d 0 2
(1.115)
Drugi integral u (1.115) može se napisati u obliku: L
1 2 1 sin[2( Kx )] I C 1 cos[2( Kx )] dx ( L d ) 2 2 4K d d L
30
(1.116)
Kako L , to je L d L , dok se poslednji član sa desne strane znaka jednakosti, kao veličina koja je sigurno konačna, može zanemariti u odnosu na L , pa integral I postaje: I Pošto je
L
0
L 2
(1.117)
2
1 dx konačna veličina, i ona se može zanemariti u odnosu na integral I, tako da
konstanta normiranja ima vrednost C 2 L . Imajući ovo u vidu, kao i izraz (1.113), talasna funkcija kontinualnog stanja je u potpunosti određena. 1.7.5. Čestica u simetričnoj pravougaonoj jami sa konačno visokim zidovima Potencijalna energija U ( x) , simetrične pravougaone kvantne jame sa konačno visokim zidovima, jednaka je nuli u intervalu [ d 2, d 2] , dok je van ovog opsega jednaka U 0 ( U 0 0 ), kao što je prikazano na Sl. 1.9. Pošto je minimalna potencijalna energija jednaka nuli, dozvoljenih stanja nema za negativne energije ( E 0 ). U intervalu energija [0,U 0 ] moguća su diskretna stanja, dok je za interval energija E U 0 energetski spektar kontinualan i dvostruko degenerisan.
Sl. 1.9 Simetrična pravougaona jama sa konačnim zidovima visine U 0
a) Oblast energija [0,U 0 ] Zavisnost U ( x) je parna funkcija koordinate x, ako je koordinatni početak postavljen kao na Sl. 1.9, pa su talasne funkcije koje odgovaraju diskretnim stanjima ili parne ili neparne. Analizirajmo prvo nivoe koji imaju parne talasne funkcije. Pošto je U ( x) 0 u oblasti x [ d 2, d 2] , Schrödinger-ova jednačina je oblika (1.64), pa opšte rešenje glasi:
( x) A sin(kx) B cos(kx)
31
(1.118)
Pošto talasna funkcija ( x) treba da je parna, konstanta A mora biti jednaka nuli, tj. ( x) B cos(kx), k
2mE 2
(1.119)
Takođe, zbog parnosti ( x) , dovoljno je analizirati problem samo na poludomenu x [0, ) , dok se talasna funkcija u oblasti x (, 0] određuje na osnovu osobina parnosti. U oblasti x [d 2, ) energija E je manja od potencijalne energije U 0 , pa je Schrödingerova jednačina oblika (1.69), a opšte rešenje oblika (1.71): 2m U 0 E 2
( x) Ce x De x ,
(1.120)
Konstanta D jednaka je nuli, jer e x kada x , pa je ( x) Ce x , x [d 2, )
(1.121)
U tački x d 2 , talasna funkcija i njen prvi izvod su neprekidne funkcije, tj.
( d2 ) ( d2 )
(1.122a)
'( d2 ) '( d2 )
(1.122b)
odakle, uzimajući u obzir (1.119) i (1.121), dobijamo B cos(kd 2) Ce
d
(1.123a)
2
Bk sin(kd 2) C e
d 2
(1.123b)
Ako podelimo (1.123b) i (1.123a), dolazimo do transcendentne jednačine tan(kd 2)
k
U0 E E
(1.124)
Rešenja ove jednačine po energiji E, u opsegu [0, U 0 ] , predstavljaju energije diskretnih stanja sa parnim talasnim funkcijama. U slučaju nivoa koji imaju neparne talasne funkcije, analizirajmo najpre jedan opštiji primer. Posmatrajmo dve zavisnosti potencijalne energije U1 ( x) i U 2 ( x) , takve da je U1 ( x) parna funkcija koordinate x, dok je U 2 ( x) U1 ( x) za x 0 , a U 2 ( x) za x 0 (Sl. 1.10).
32
Sl. 1.10 Zavisnost U1 ( x) i U 2 ( x) ; U 2 ( x) U1 ( x) za x 0 , U 2 ( x) za x 0 . Pored toga važi U1 ( x) U1 ( x)
Talasne funkcije 1 ( x) (koje odgovaraju zavisnosti U1 ( x) ) mogu biti parne ili neparne u slučaju diskretnih stanja, odnosno, i parne i neparne za svaku energiju kontinualnih stanja. Analizirajmo samo neparne talasne funkcije. U tom slučaju, vodeći računa da talasna funkcija mora biti neprekidna, zaključujemo da je ona jednaka nuli u tački x 0 , tj. 1N (0) 0 . Kako je U1 ( x) parna funkcija, dovoljno je da se neparne talasne funkcije i odgovarajuće energije odrede na poludomenu x [0, ) , sa graničnim uslovom 1N (0) 0 , što je ekvivalentno slučaju U1 ( x) za x 0 . Na potpuno identičan način određuju se sve energije i talasne funkcije za potencijal U 2 ( x) . Sledi važan zaključak: 1) energije koje odgovaraju neparnim diskretnim i kontinualnim stanjima u potencijalu U1 ( x) identične su svim energijama koje odgovaraju dozvoljenim diskretnim stanjima U 2 ( x) . 2) neparne talasne funkcije koje odgovaraju potencijalu U1 ( x) , za x 0 identične su svim talasnim funkcijama koje odgovaraju potencijalu U 2 ( x) . Uzimajući u obzir ove zaključke, vidimo da su neparna diskretna stanja u potpunosti obrađena u okviru prethodnog problema; ako je U1 ( x) dato na Sl. 1.9, tada je U 2 ( x) dato na Sl. 1.7, treba samo zameniti d sa d 2 , pa transcendentna jednačina iz koje se određuju energije diskretnih stanja sa neparnim talasnim funkcijama glasi: tan(kd 2)
E U0 E
(1.125)
Uvedimo nove oznake: f1 ( E )
E , U0 E
f 2 ( E ) tan(kd 2) ,
33
f3 ( E )
U0 E E
(1.126)
Energije diskretnih stanja određene su presečnim tačkama krive f 2 ( E ) sa krivom f1 ( E ) (neparna stanja), odnosno krivom f3 ( E ) (parna stanja). Interval veličine kd 2 se kreće od nule ( E 0 ) do (kd ) max 2 ( (kd ) max k ( E U 0 ) d ). Zavisnosti f1 ( E ) i f 2 ( E ) već su analizirane u prethodnom problemu, a što se tiče funkcije f3 ( E ) , ona je uvek pozitivna, monotono opadajuća, a pored toga f3 ( E 0) , f3 ( E U 0 ) 0 . Kao što se vidi sa Sl. 1.11, parna i neparna stanja su naizmenično raspoređena, počevši sa parnim stanjem. Značajno je primetiti da, bez obzira na parametre jame ( U 0 , m i d), postoji bar jedno diskretno stanje (koje je parno), izuzimajući granični slučaj (kd ) max 2 0 , što odgovara npr. U 0 0 , kada nema diskretnih stanja (slučaj slobodne čestice).
Sl. 1.11 Grafički prikaz određivanja energija diskretnih stanja kod asimetrične pravougaone kvantne jame. Veličina (kd ) max 2 je veća od 7 2 a manja od 8 2
Ako parametri kvantne jame zadovoljavaju uslov kmax d n (gde je n paran broj), tada se krive f 2 ( E ) i f3 ( E ) seku i u tački kd 2 kmax d 2 . Tada je rešenje van jame oblika Ax B , što, kao što je objašnjeno, znači da za ovu energiju egzistira trivijalno rešenje. Da bi se ovo rešenje moglo normalizovati, mora biti A B 0 , pa je u ovom slučaju ( x) 0 , za sve |x| d / 2 . Sledeći izloženo u Problemu 2, dolazimo do rezultata da je ( x) 0 i za |x| d / 2 . Na ovaj način pokazano je da je u slučaju kmax d n talasna funkcija oblika trivijalnog rešenja.
34
Za kd 0 , krive f1 ( E ) i f 2 ( E ) (što odgovara neparnom rešenju) se seku bez obzira na parametre jame. Za k 0 ( E 0 ), neparno rešenje u domenu jame je oblika sin(kx) 0 , za sve vrednosti x iz domena jame, pa je prema tome neparno rešenje za sve x , jednako nuli. Sa Sl. 1.11. vidi se da u se intervalu veličine
kd j , ( j 1) uvek nalazi diskretno 2 2 2
stanje, s tim da indeks j ima sledeće vrednosti: j 0,1, ,int kmax2 d 1 . Pored toga, i u
kd k d k d int max2 , max2 nalazi se jedno diskretno stanje, pa se ukupan broj diskretnih 2 stanja M b može napisati u obliku: intervalu
k d 2 M b 1 int max 2
(1.127)
Kao što je već analizirano, ako je kmax d n ( n 1, 2, ), diskretno stanje se ne nalazi na energiji koja odgovara kmax , tako da u tom slučaju izraz za M b glasi: Mb
kmax d 2 n 2
(1.128)
dok je, naravno, relacija (1.127) u važnosti za kmax d n ( n 1, 2, ). Kada su određene energije parnih diskretnih stanja El , P , tada se za svaku od ovih energija izračunava konstanta C na osnovu izraza (1.123a), tj. C Be( d ) 2 cos(kd 2) . Naravno, konstantu C moguće je izraziti i iz (1.123b) ali su rezultujući izrazi složeniji. Vodeći računa da se radi o parnoj talasnoj funkciji P ( x) , potpuni izraz koji je određuje dobija se u obliku: 2d x Be cos(kd 2)e , x d 2 P ( x) B cos(kx), d 2 x d 2 d 2 x Be cos(kd 2)e , x d 2
Konstanta B određuje se iz uslova normiranja talasne funkcije P ( x) :
35
(1.129)
2 P
2 2P ( x) dx 1
( x) dx 1
0
d /2 2 d 2 kd 2 B cos (kx) dx e cos e 2 x dx 1 2 d /2 0
(1.130)
2
odakle sledi B
1 d sin(kd ) cos 2 (kd 2) 2 k
(1.131)
Na ovaj način potpuno su određene parne talasne funkcije. Kada su u pitanju neparne talasne funkcije, kostanta B (iz izraza (1.100a), gde zamenjujemo d 2 umesto d) iznosi B Ae d 2 sin(k d 2) , pa je potpuni izraz za neparnu talasnu funkciju: d 2 Ae sin(kd 2)e x , x d 2 N ( x) A sin(kx), d 2 x d 2 d Ae 2 sin(kd 2)e x , x d 2
(1.132)
Konstanta A određuje se iz uslova normiranja, istim postupkom koji je dobijen izraz (1.131), i u eksplicitnoj formi iznosi: A
1 d sin(kd ) sin 2 (kd 2) 2 k
(1.133)
Izrazi (1.132) i (1.133) u potpunosti određuju neparne talasne funkcije. b) Oblast energija U 0 , Sva stanja iz domena [U 0 , ) su dozvoljena i dva puta degenerisana. Pošto su za svaku energiju bilo koja dva partikularna rešenja ujedno i talasne funkcije, izrazi za talasne funkcije nisu jednoznačni. Ovde ćemo izabrati dva para talasnih funkcija, koji se najčešće analiziraju u literaturi: prvi par čine parna i neparna talasna funkcija, dok drugi par obuhvata ravanski talas koji dolazi iz i prostire se u smeru x-ose i ravanski talas koji dolazi iz i prostire se u smeru suprotnom od smera x-ose.
36
Analiziraćemo prvo slučaj kada svakoj energiji odgovara po jedna parna i neparna talasna funkcija. Neparne talasne funkcije za x 0 već su određene prilikom rešavanja prethodnog problema, treba samo zameniti d sa d 2 u odgovarajućim izrazima. Imajući u vidu da je ( x) ( x) , jednostavno se dolazi do izraza za ( x) kada je x 0 . Parna talasna funkcija u oblasti x [0, d 2] je oblika A cos(kx) , dok je u oblasti x [d 2, ) ova talasna funkcija oblika C cos( Kx ) . Primenjujući isti postupak kao u prethodnom problemu, dolazimo do izraza za konstantu u obliku:
Kd K arctan tan(kd / 2) 2 k
(1.134)
Dok su konstante A i C povezane relacijom: A
cos( Kd 2 ) C cos(kd 2)
(1.135)
pa parna talasna funkcija glasi cos( Kd 2 ) C cos(kd 2) cos(kx), P ( x) C sin( Kx ),
x [0, d 2]
(1.136)
x [d 2, )
Sledeći izlaganje iz prethodnog problema, dobijamo C 2 L , s tim da je sada talasna funkcija jednaka nuli u tačkama L 2 , pri čemu L . Fizički je mnogo prihvatljiviji drugi izbor talasnih funkcija. Prva talasna funkcija 1 ( x) , koja odgovara energiji E, definiše se na sledeći način (Sl. 1.12a): eiKx R1e iKx , 1 ( x ) iKx T1e ,
x d 2 xd 2
(1.137)
pri čemu su R1 i T1 kompleksne konstante. Uz član eiKx može se dodati i konstanta, pa bismo onda imali A1eiKx , ali u problemima koji su obuhvaćeni ovakvim izborom funkcija bitni su odnosi konstanti R1 A1 i T1 A1 , a kako je R1 , T1 A1 , izborom A1 1 ne gubi se na opštosti. Talasna funkcija 1 ( x) u oblasti x d 2 sastoji se iz ravanskog talasa jedinične amplitude eiKx , koji polazi iz i kreće se u pravcu x-ose, i reflektovanog talasa R1e iKx koji se kreće u suprotom smeru i ide ka . U oblasti x d 2 , talasna funkcija predstavlja transmitovani ravanski talas T1eiKx koji se kreće ka .
37
Sl. 1.12 Linearno nezavisna rešenja za jednu energiju kontinualnog spektra. a) Prikazana je talasna funkcija 1 ( x) , data izrazom (1.137), b) prikazana je talasna funkcija 2 ( x) , data izrazom (1.138).
Druga talasna funkcija 2 ( x) , za istu energiju E, definiše se preko izraza (Sl. 1.12b): T2 e iKx , 2 ( x) iKx iKx e R2 e ,
x d 2 xd 2
(1.138)
gde su R2 i T2 kompleksne konstante. Fizička predstava talasne funkcije 2 ( x) je ista kao i za talasnu funkciju 1 ( x) , samo što u ovom slučaju ravanski talas jedinične amplitude dolazi iz i kreće se u smeru suprotnom od smera x-ose. 1 ( x ) i 2 ( x ) linearno nezavisne funkcije, njihov Wronskian W (1 , 2 ) 1' 2 '2 1 ne zavisi od koordinate x i jednak je konstanti koja je različita od nule. Izračunaćemo prvo Wronskian u oblasti x d 2 : Pošto
su
W ( x d2 ) [1' 2 '2 1 ] x d
2
iK (eiKx R1e iKx )T2 e iKx (iK )T2 e iKx (eiKx R1e iKx )
(1.139)
2iKT2 Kada se istim postupkom odredi W ( x d2 ) dobija se rezultat W ( x d2 ) 2iKT1 , pa iz jednakosti Wronskiana sledi: T1 T2 T
(1.140)
Analogno, polazeći od Wronskiana W (1 , *2 ) , dolazi se do važne relacije:
38
R1T2* R2*T1
(1.141)
odakle, uzimajući u obzir (1.140), dobijamo R1 T * * R2 T
(1.142)
Iz prethodnog izraza slede važni zaključci: R1 R2 i R1 R2 2T , gde R1 , R2 i T predstavljaju faze veličina R1 , R2 i T, respektivno. Pođimo od izraza za kvantnomehaničku struju verovatnoće: J
d Im * m dx
(1. 143)
Kao što je već navedeno, struja J u stacionarnom slučaju ne zavisi od koordinate x. Odredićemo prvo struju verovatnoće u oblasti x d 2 za talasnu funkciju 1 ( x) . J ( x d2 )
m 2 Im e iKx eiKx iK eiKx R1e iKx 1 R1 K
(1.144)
U oblasti x d 2 imamo: J ( x d2 )
m Im T *e iKx TiKeiKx K T
2
(1.145)
Iz jednakosti ove dve struje dolazimo do važnog rezultata: 2
2
T R1 1 2
2
(1.146) 2
2
Imajući u vidu relaciju (1.142), ( R1 R2 ), jasno je da je T R2 1 . Izraz (1.144) može se napisati u formi: J ( x d2 )
K K 2 R1 J u J R1 m m
(1.147)
gde je J u ulazna struja verovatnoće (i potiče od člana eiKx ), a J R1 ( J R1 0 ) je reflektovana struja verovatnoće (potiče od člana R1e iKx ). Na isti način se može uvesti i veličina 2
J T K m T , koja predstavlja transmitovanu struju verovatnoće, koja potiče od člana TeiKx . Formirajmo odgovarajuće količnike ovih struja:
39
J R1 Ju Fizičko značenje veličina
R1
2
i
JT T Ju
2
R1 , T
2
2
(1.148)
je sada očigledno: one predstavljaju odnos
reflektovane/transmitovane struje verovatnoće i ulazne struje verovatnoće; često se obeležavaju sa R i T i nazivaju se koeficijent refleksije i transmisije. Sve relacije (1.138)-(1.148) ostaju nepromenjene za proizvoljnu zavisnost potencijalne energije U ( x) , uz ograničenje da U ( x) mora imati obe horizontalne asimptote, čije vrednosti uz to moraju biti međusobno jednake i konačne veličine. Ovaj zahtev je očigledan, s obzirom da su pri analizi uzimani u obzir samo asimptotski izrazi za talasne funkcije (u našem slučaju u oblastima x d 2 i x d 2 ). Detaljniju analizu koeficijenata transmisije i refleksije daćemo samo za slučaj talasne funkcije 1 ( x) pošto je pokazano da se isti rezultati dobijaju i za 2 ( x) . Pošto funkcija 1 ( x) ne poseduje parnost, pogodno je pri određivanju veličina R i T pomeriti koordinatni početak u levu ivicu jame, kao na Sl. 1.13. Pored toga, u daljoj analizi izostavićemo indeks „1“, tj. umesto 1 ( x) pisaćemo ( x) itd.
Sl. 1.13 Potencijalna energija pravougaone kvantne jame. Talasna funkcija ( x ) u pojedinim oblastima, za jednu određenu vrednost energije, simbolično je naznačena talasastim linijama
Koristeći osobinu neprekidnosti talasne funkcije ( x ) i njenog prvog izvoda u tačkama x 0 i x d , dolazimo do sistema od četiri linearne jednačine po A, B, R i T: (0 ) (0 ) '(0 ) '(0 )
1 R B iK 1 R kA
40
(1.149a) (1.149b)
(d ) (d ) '(d ) '(d )
A sin(kd ) B cos(kd ) TeiKd Ak cos(kd ) Bk sin( kd ) iKTeiKd
(1.149c) (1.149d)
Ovaj sistem linearnih jednačina se može jednostavno rešiti po R, T, A i B, a eksplicitno ćemo navesti samo izraz za T: T 4kK
odnosno koeficijent transmisije T T
T
2
ei ( k K ) d (k K ) 2 e 2ikd (k K ) 2
(1.150)
koji je fizički relevantna veličina: 1 2 0
U 1 sin 2 (kd ) 4E (E U 0 )
(1.151)
Analiziraćemo dva slučaja: k0 d n i k0 d n , n 1, 2, , k0 2mU 0 2 k ( E U 0 ) . a) k0 d n Kao što je već pokazano, za energiju E U 0 , rešenje Schrödinger-ove jednačine je trivijalno, pa se u analizi transmisije posmatra domen E U 0 . Potražimo, najpre, graničnu vrednost transmisije kada E U 0 . Pošto je k0 d n , tada je i sin 2 (kd ) 0 , pa samim tim
U 02 4 E ( E U 0 )
sin ( kd ) , 2
a transmisija T teži nuli. U okolini
E U 0 , izraz za transmisiju se može približno predstaviti sledećom relacijom, gde je uzeto u obzir
U 02 4 E ( E U 0 )
sin ( kd ) 1 : 2
T
4 E(E U0 ) U 02 sin 2 (kd )
(1.152)
Ako diferenciramo T po E, smatrajući da se sin 2 (kd ) malo menja u okolini E U 0 , dolazimo do izraza dT 4 2E U 0 2 dE U 0 sin 2 (kd )
(1.153)
dT 8 dE U 0 U 0 sin 2 (k0 d )
(1.154)
Kada E U 0 , tada je
41
Iz izraza (1.154) se vidi da izvod d T dE teži uvek pozitivnoj vrednosti kada E U 0 . Zavisnost T ( E ) , kao što se vidi iz (1.154), pozitivna je za sve vrednosti energije E (U 0 , ) i nalazi se u intervalu (0,1] . Maksimalna vrednost transmisije T 1 , dobija se u slučaju:
sin(kd ) 0
(1.155)
km d m
(1.156)
što je ispunjeno za
pri čemu prirodan broj m može imati sve vrednosti iz skupa mgr , mgr 1 , mgr 2, , gde je
mgr 1 int k0 d M b . Ovo je posledica toga sto u diskretnom delu spektra kd uzima sve
vrednosti od nula do k0 d . Između ovih maksimuma nalaze se minimumi koji se dobijaju izjednačavanjem prvog izvoda T ( E ) sa nulom. Koeficijent transmisije T u okolini ovih minimuma raste sa porastom energije, Sl. 1.14, i asimptotski teži jedinici. Ovo je očekivani rezultat jer je pri velikim vrednostima energije ispunjena nejednakost E U ( x) , pa se čestica može smatrati slobodnom, a slobodnoj čestici odgovara transisija T ( E ) 1 za sve vrednosti energije.
Sl. 1.14 Zavisnost transmisije kvantne jame od energije E za slučaj k0 d n . Napomenimo da T ( E U 0 ) 0 , ali da na energiji E U 0 nema smisla određivati transmisiju pošto se na toj energiji ne nalazi dozvoljeno stanje
a) k0 d n Kao što je već pokazano, i u ovom slučaju na energiji E U 0 nema dozvoljenih stanja, pa ima smisla tražiti samo graničnu vrednost T ( E U 0 ) a ne i vrednost transmisije za E U 0 . U
42
okolini tačke E U 0 predstavimo energiju E kao zbir U 0 , pri čemu je pozitivno i vrlo malo. U tom slučaju imamo kd
2m(U 0 ) 2mU 0 d d 1 n 1 2 2 2U 0 2U 0
(1.157)
Kako je sin(n x) (1) n sin x , možemo pisati: n sin(kd ) (1) n sin 2U 0
(1.158)
Pošto je proizvoljno malo, sledi: sin(kd ) (1) n
n 2U 0
(1.159)
tako da se veličina A( ) koju ćemo uvesti ( T ( ) [1 A( )]1 ), može napisati u obliku A( )
U 02 (n ) 2 2 (n ) 2 (n ) 2 4(U 0 ) (2U 0 ) 2 16(U 0 ) 16 U 0
(1.160)
S obzirom da 0 , A( ) teži nuli a transmisija T ( E ) teži jedinici:
T ( E U 0 ) 1
(1.161)
Potražimo sada graničnu vrednost prvog izvoda d T dE kada E U 0 . Jasno je da je dT dT u okolini E U 0 , pa je traženi izvod oblika: dE d
(n ) 2 16U 0
dT d (n ) 2 2 1 16 U 0
(1.162)
Imajući u vidu da 0 , prvi izvod transmisije po energiji teži vrednosti (n ) 2 (16U 0 ) . Dakle, bez obzira na vrednost parametra n, granična vrednost izvoda je negativna. Maksimum transmisije određuje se kao u prethodnom slučaju, iz (1.155), s tim da je mgr 1 k0 d . Karakteristična zavisnost T ( E ) u slučaju k0 d n prikazana je na Sl. 1.15, i ona se
43
kvalitativno razlikuje od zavisnosti prikazane na Sl. 1.14 samo u oblasti energija bliskih U 0 , kroz pojavu dodatnog minimuma i graničnu vrednost transmisije kada E U 0 .
Sl. 1.15 Zavisnost transmisije kvantne jame od energije E, u slučaju kada je k0 d n , ( n 1, 2, ). Pošto na energiji E U 0 nema dozvoljenih stanja, zavisnost T ( E ) 1 , kada E U 0 , dok samu vrednost T ( E U 0 ) nema smisla određivati
1.7.6. Čestica u potencijalnoj barijeri Potencijalna energija U ( x) potencijalne barijere jednaka je U 0 ( U 0 0 ), u oblasti x [0, d ] , dok je van ove oblasti jednaka nuli (Sl. 1.16)
Sl. 1.16 Potencijalna barijera visine U 0 i širine d.
Pošto je minimalna vrednost potencijalne energije jednaka nuli, nema dozvoljenih stanja za energije E 0 . Za sve energije E 0 stanja su kontinualna i dvostruko degenerisana. Pošto je
44
U ( x) parna funkcija (ukoliko se E-osa postavi na sredinu barijere), mogu se odrediti odgovarajuća parna i neparna talasna funkcija za svaku energiju E 0 , vrlo slično kao kod kvantne jame. Međutim, mnogo je interesantnije odrediti koeficijent transmisije i refleksije, pa ćemo par talasnih funkcija uzeti u istoj formi kao u prethodnom problemu. Ove talasne funkcije su van barijere date izrazima (1.137) i (1.138), s tim da je sada K 2mE 2 . U oblasti [0, d ] imamo dva karakteristična intervala energije: E [0, U 0 ) i E (U 0 , ) . U prvom intervalu opšte rešenje Schrödinger-ove jednačine je oblika: ( x) Ae x Be i x pri čemu je
2 m (U 0 E )
, dok je u drugom intervalu:
2
( x) C sin(kx) D cos(kx) gde je k
2 m ( E U 0 ) 2
(1.163)
(1.164)
. Odredimo najpre transmisiju u intervalu energije [0,U 0 ] . Talasna
funkcija i njen prvi izvod moraju biti neprekidni u tačkama x 0 i x d , odnosno: (0 ) (0 ) '(0 ) '(0 )
1 R A B
iK 1 R A B
(1.165b)
Ae d Be d TeiKd
(1.165c)
(d ) (d )
Ae d Be d iKTeiKd
'(d ) '(d )
(1.165a)
(1.165d)
Ovaj nehomogeni linearni sistem od četiri jednačine može se jednostavno rešiti po R, T, A i B; navešćemo samo izraz za T: T
4iK e d iKd e 2 d ( K i ) 2 ( K i ) 2
(1.166)
Na osnovu toga, izraz za transmisiju T glasi: 2
TT
Kada E 0 ,
2 mU 0 2
1 U sinh 2 ( d ) 1 4 E (U 0 E ) 2 0
(1.167)
, pa je sinh 2 ( d ) konačna veličina i imamo T ( E 0) 0 . Na
energiji E 0 nema dozvoljenih stanja jer je rešenje Schrödinger-ove jednačine u tom slučaju oblika C1 x C2 i može se normirati ako je C1 C2 0 , što bi dalje značilo da su u svim tačkama oblasti x [d , ) rešenje i njegov prvi izvod jednaki nuli, što odgovara trivijalnom
45
rešenju. Dakle, na energiji E 0 nema dozvoljenih stanja, pa nema smisla tražiti T ( E 0) , mada se može posmatrati granična vrednost T ( E 0) 0 . Zavisnost T ( E ) u oblasti energija [0,U 0 ] je stalno rastuća funkcija i naravno svuda pozitivna (Sl. 1.17). U slučaju energija većih od U 0 , analitički oblik talasnih funkcija izvan oblasti x [0, d ] ostaje nepromenjen (dat je izrazima (1.137) i (1.138)), dok je unutar ovog intervala oblika ( x) A sin(kx) B cos(kx),
k
2m 2
E U 0
(1.168)
Vodeći računa o neprekidnosti talasne funkcije i njenog prvog izvoda u tačkama x 0 i x d i primenjujući isti postupak kao u slučaju E (0,U 0 ) , dolazimo do izraza za transmisiju: 2
TT
1 U sin 2 (kd ) 1 4E (E U 0 )
(1.169)
2 0
Izraz (1.169) se može dobiti direktno iz izraza (1.167) – jedina razlika u sistemu jednačina (1.165a-d) i odgovarajućeg sistema jednačina za ovaj slučaj je što u (1.165a-d) figuriše veličina , dok bi u analognom sistemu ovde figurisala veličina k; imajući u vidu da je ik , sinh 2 ( d ) sin 2 (kd ) , izraz (1.167) prelazi u (1.169). Interesantno je odrediti vrednost transmisije za E U 0 . Ako koristimo izraz (1.169), vodeći računa da je za energije E U 0 , sin 2 (kd ) (kd ) 2
2m 2
E U d 2 , dobijamo: 0
sin 2 (kd ) 2m ( E U 0 ) d 2 2m d 2 2m d 2 2 2 2 2 E(E U0 ) E(E U0 ) E U0
(1.170)
odakle sledi T (U 0 )
1 mU 0 d 2 1 2 2
(1.171)
Isti rezultat se dobija ako koristimo izraz (1.167) uz E U 0 . Konačna vrednost transmisije za E U 0 je čisto kvantnomehanički efekat i naziva se tunelski efekat. U klasičnoj fizici čestica se ne može kretati u slučaju kada joj je potencijalna energija veća od ukupne energije. Za numeričku ilustraciju iskoristićemo poluprovodničku kvantnu jamu (koja se može eksperimentalno realizovati), širine d 5 nm, visine barijere U 0 0.5 eV i mase m 0.1 m0 (gde je m0 masa slobodnog elektrona). Za ove vrednosti, T (U 0 ) iznosi 0.0296≈3%, što pokazuje da u ovom primeru maksimalna transmisija pri tunelskom efektu nije velika ali je konačna.
46
Ispitajmo detaljnije zavisnost T ( E ) . Kao što je već navedeno, T ( E 0) 0 za bilo koje vrednosti m, U 0 i d, a pored toga je i T'( E 0) 0 . Maksimumi zavisnosti T ( E ) imaju vrednost jedan i nalaze se na energijama određenim jednačinom sin 2 (kd ) 0
kl d l , l 1, 2,
(1.172)
Minimumi zavisnosti T ( E ) nalaze se iz uslova T'( Em ) 0 , uz dodatni uslov: km d m , jer za slučaj km d m imamo maksimume.
Sl. 1.17 Tipična zavisnost transmisije od energije u slučaju potencijalne barijere
Kao što se može videti sa Sl. 1.17, prvo se javlja maksimum transmisije, pa zatim minimum i tako redom. Svi maksimumi imaju vrednost jedan, dok se vrednost transmisije u minimumima povećava sa povećanjem energije i asimptotski teži jedinici. Interesantno je videti kakva je forma talasnih funkcija kada je transmisija jednaka jedinici. U 2
ovom slučaju, vodeći računa da je R T 1 , sledi da je R 0 , a odatle direktno 2
2
zaključujemo da je R 0 , pa je odgovarajuća talasna funkcija izvan oblasti x [0, d ] oblika eiKx , kako za x (, 0] , tako za x [d , ) . Druga linearno nezavisna talasna funkcija naravno glasi e iKx , za vrednosti x van oblasti [0, d ] . Na kraju, analizirajmo parnu i neparnu talasnu funkciju na energijama većim od U 0 koje odgovaraju maksimumu transmisije. Posmatrajmo prvo parno rešenje (pretpostavljajući da je koordinatni početak pomeren u sredinu barijere). U oblasti x [0, d 2] parno rešenje je oblika: ( x) A cos(kx)
47
(1.173)
a za x [d 2, )
( x) B cos( Kx )
(1.174)
gde je naravno K 2mE 2 i k 2m( E U 0 ) 2 . Granični uslovi u x d 2 daju relacije: A cos(kd 2) B cos( Kd 2 )
(1.175a)
kA sin(kd 2) KB sin( Kd 2 )
(1.175b)
Ako je kd 2l , tada je sin(kd 2) sin(l ) 0 , pa je i sin( Kd 2 ) 0 , odakle direktno sledi cos( Kd 2 ) 1 , odnosno A B . Prema tome, amplitude talasnih funkcija u barijeri jednake su amplitudama talasnih funkcija van barijere. U slučaju neparnog rešenja, talasna funkcija u barijeri je
( x) A sin(kx)
(1.176)
dok je van barijere oblika
( x) B sin( Kx )
(1.177)
Iz graničnih uslova sledi A sin(kd 2) B sin( Kd 2 )
(1.178a)
kA cos(kd 2) KB cos( Kd 2 )
(1.178b)
Ako je sada kd (2l 1) , tada je cos( Kd 2 ) 0 , a sin( Kd 2 ) 1 , pa je ponovo A B . Znači, ako je kd n , tj. transmisija maksimalna, tada parne/neparne talasne funkcije u domenu barijere imaju istu amplitudu kao talasne funkcije u jami za parne/neparne vrednosti n, respektivno. Isti zaključak važi i za slučaj kvantne jame. 1.7.7. Čestica u potencijalnoj energiji oblika delta funkcije Analizu ćemo započeti razmatrajući potencijalnu barijeru kod koje je potencijal U ( x ) oblika:
0, U ( x) U 0 , 0,
x (, d 2) x [d 2, d 2]
(1.179)
x (d 2, )
gde je U 0 0 , a d je konačna širina barijere. Proizvod visine i širine barijere označićemo sa V0 , tj. V0 U 0 d . U graničnom procesu, ako U 0 i istovremeno d 0 , tako da V0 ostaje
48
nepromenjeno, zavisnost potencijalne energije dobija oblik U ( x) V0 ( x) . Funkcija ( x) naziva se delta funkcija i pripada klasi generalisanih funkcija čiji rigorozni tretman je van okvira ovog izlaganja. Navešćemo samo neke od osobina delta funkcije koje su relevantne za izlaganje koje sledi. Delta funkcija je jednaka nuli za sve vrednosti x osim za x 0 , a u tački x 0 može se uzeti (iako to nije sasvim precizno) da je jednaka . Pretpostavimo za trenutak da su širina barijere d i visina U 0 konačne veličine. Tada je d 2
U ( x)dx U 0 d V0
(1.180)
d 2
Ovaj integral, odnosno površina u x-U koordinatnom sistemu, ne menja se tokom graničnog procesa, pa i za d 0 , U 0 možemo pisati 0
V0 ( x)dx V0
0
0
( x)dx 1
0
( x)dx 1
(1.181)
Formirajmo sada integral d 2
f ( x) U ( x)dx
(1.182)
d 2
gde je f ( x) neka neprekidna i diferencijabilna funkcija na intervalu [ d 2, d 2] . U graničnom procesu interval [ d 2, d 2] prelazi u interval [0 , 0 ] , a na tom intervalu je f ( x) f (0) jer je f ( x) neprekidna funkcija za x 0 , pa gornji integral teži vrednosti 0
0
0
0
f (0) V0 ( x)dx f (0) V0 ( x)dx =f (0) V0
(1.183)
što se može napisati u obliku
f ( x) V0 ( x)dx f (0) V0
(1.184)
ili opštije
f ( x) V0 ( x x0 )dx f ( x0 ) V0
(1.185)
Treba još naglasiti da je ( x) parna, a takođe i nenegativna funkcija. Interesantno je i pitanje praktičnog značaja potencijalne energije u obliku U ( x) V0 ( x) . Naime, svi oblici zavisnosti U ( x) razmatrani u okviru prethodnih problema mogu se eksperimentalno realizovati. Na
49
primer, beskonačno dubokoj kvantnoj jami vrlo približno odgovara tanak sloj poluprovodnika između dva dovoljno debela sloja drugog poluprovodnika, pri čemu je razlika elektronskih afiniteta ovih poluprovodnika vrlo velika; kvantnoj jami sa konačno visokom barijerom odgovara tanak sloj poluprovodnika između dva dovoljno debela sloja drugog poluprovodnika, ako pri tome razlika elektronskih afiniteta nije velika, itd. Na prvi pogled, izgleda da se model potencijalne energije V0 ( x) ne može eksperimentalno realizovati. Međutim, ako je razlika elektronskih afiniteta dva poluprovodnika jednaka U 0 0 , i ako je poluprovodnik sa manjim afinitetom vrlo male debljine i okružen je drugim poluprovodnikom, tada potencijal U ( x ) ima oblik potencijalne barijere debljine d i visine U 0 . Ako se, za neku određenu zavisnost f ( x) , integral d 2
f ( x) U ( x)dx
(1.186)
d 2
sa dovoljnom tačnošću može aproksimirati izrazom d 2
f (0)
U ( x)dx
(1.187)
d 2
tada se zavisnost U ( x) može aproksimirati sa V0 ( x) , pri čemu je V0 U 0 d , pa se u svim problemima u kojima figuriše opisana potencijalna energija ona može aproksimirati na ovaj način. Prednost ovakvog predstavljanja (u formi U ( x) V0 ( x) ) je u tome što dobijena rešenja Schrödinger-ove jednačine imaju jednostavnu analitičku formu. Prvo ćemo analizirati slučaj kada potencijalna energija čestice ima oblik U ( x) V0 ( x) , gde je V0 0 (Sl. 1.18).
Sl. 1.18 Zavisnost potencijalne energije u slučaju U ( x) V0 ( x)
50
Pošto je U ( x 0) , pogodno je referentni nivo energije postaviti kao na Sl. 1.18, a pošto je U ( x) parna funkcija, koordinatni početak za x je usvojen tako da se ova osobina može iskoristiti. Sa Sl. 1.18 se vidi da su za sve negativne energije ( E 0 ) moguća diskretna stanja, pošto za bilo koju energiju iz ovog dela spektra važi E U ( x) za svako x 0 , ali E U ( x) za x 0 . Energetski spektar za sve pozitivne energije je kontinualan jer u ovoj oblasti energija važi E U ( x) za svako x.
a) Diskretni deo spektra Ako su energije manje od nule ( E 0 ), pošto je U ( x) 0 za sve x 0 , Schrödinger-ova jednačina je oblika
2 '' E 2m
(1.188)
2m( E ) 0 2
(1.189)
odnosno
''
Veličina 2mE 2 je pozitivna jer je E 0 , i možemo je označiti sa 2 ( 2 0 ), a sama vrednost iznosi naravno
2mE 2 . Opšte rešenje jednačine (1.192) je oblika ( x) Ae x Bei x , x 0
(1.190a)
( x) Ce x Dei x , x 0
(1.190b)
Kako talasna funkcija mora da bude kvadratno integrabilna, konstante B i C moraju biti jednake nuli, pa je
( x) Ae x , x 0
(1.191a)
( x) Dei x , x 0
(1.191b)
Kao što je pokazano, talasna funkcija i u slučaju prisustva delta funkcije mora biti svuda neprekidna, pa iz neprekidnosti u x 0 sledi da su konstante A i D međusobno jednake, odakle dobijamo
( x) Ae x , x 0
(1.192a)
( x) Aei x , x 0
(1.192b)
51
Što se tiče prvog izvoda funkcije ( x) , on je u tački x 0 prekidan, što se vidi iz izraza (1.17):
2 d 2m dx
0
d dx
V0 (0) 0 0
(1.193)
Na osnovu izraza (1.192a,b) sledi: (0) A , '(0 ) A , '(0 ) A , što zamenom u (1.193) daje
2 2 V0 0 2m
mV0 2
E
mV02 2 2
(1.194)
Zaključujemo da postoji samo jedno diskretno stanje i ono se nalazi na nižoj vrednosti energije ukoliko je veličina V0 (koja se naziva i jačina zavisnosti U ( x) ( x) ) veća. Ovo diskretno stanje je parno, a neparnih diskretnih stanja nema. Do navedenih izraza može se doći i na osnovu transcendentne jednačine za parna diskretna stanja kvantne jame se konačnim barijerama.(jednačina (1.124)), vodeći računa da u slučaju U ( x) V0 ( x) važi U 0 , d 0 ali je uvek U 0 d V0 . Napišimo jednačinu (1.124) za referentni nivo energije pomeren za U 0 nagore u odnosu na onaj sa Sl. 1.9 ( E E U 0 ):
2m d tan 2 ( E U 0 ) 2
E E U0
(1.195)
Argument tangensne funkcije u graničnom slučaju iznosi 2m d 2m d (E U0 ) ( Ed V0 ) 2 2 2 2
Pošto je ovaj argument srazmeran sa 2mV0 2
d E 2 U0
d ,a
2mV0 d 2 2
(1.196)
d 0 , izraz (1.195), uz U 0 E , dobija formu:
2mV0 2
V0 E 2
E
mV02 2 2
(1.197)
što se u potpunosti poklapa sa (1.194). Ako bismo hteli da analiziramo moguće neparne nivoe, opet bismo pošli od odgovarajuće transcendentne jednačine za taj slučaj (naravno uz E E U 0 ):
52
2m E U0 d tan 2 ( E U 0 ) E 2
(1.198)
Argument tangensne funkcije je uvek pozitivan (uvek je U 0 E ) i ima malu vrednosti (zbog proporcionalnosti sa d ), pa je dakle leva strana jednačine (1.198) pozitivna za sve E 0 , dok je desna strana jednačine uvek negativna i zaključujemo da (1.198) nema rešenja, odnosno nema neparnih rešenja za posmatrani oblik potencijalne energije. Za jedino dozvoljeno stanje talasna funkcija ima oblik 0 x mV 2 Ae , x0 ( x) mV0 Ae 2 x , x 0
(1.199)
Konstanta A određuje se iz uslova normiranja:
dx 1 2
2 dx 1 2
2A
2
0
e
2 mV0 2
x
dx 1 A
0
mV0 2
(1.200)
Na ovaj način talasna funkcija diskretnog spektra je u potpunosti određena. a) Kontinualni deo spektra S obzirom da je U ( x) parna funkcija koordinate x, jedan par talasnih funkcija (za određenu energiju E) čine parna i neparna talasna funkcija koje se određuju na sledeći način: 1) parne talasne funkcije Opšte rešenje jednačine (1.191) za E 0 glasi ( x) A cos(kx) B sin(kx)
(1.201)
za x 0 , pri čemu je k 2mE 2 . U tački x 0 talasna funkcija je neprekidna i iznosi (0) A . Naravno, za x 0 imamo ( x) C cos(kx) D sin(kx)
(1.202)
Iz neprekidnosti u x 0 sledi C A , a da bi ( x) bila parna funkcija mora biti ispunjeno D B . Vodeći računa o tome da je prvi izvod prekidan (relacija (1.196)), kao i da je (0) A , '(0 ) kB , '(0 ) kB , dolazimo do izraza
53
2 kB (kB) V0 A 0 2m
B
mV0 A 2 k
(1.203)
Relacija (1.203) daje vezu između konstanti A i B, pa se parna funkcija može napisati u obliku: mV0 A cos kx 2 k sin kx , x 0 P ( x) mV0 A cos kx 2 k sin kx , x 0
(1.204)
Konstanta A se određuje iz uslova normiranja: L2
L2
dx 1 2 P
L 2
2 2P dx 1,
L
(1.205)
0
Polazeći od trigonometrijskog identiteta a cos x b sin x a 2 b 2 sin( x ) , talasna funkcija P ( x) se u oblasti x 0 može napisati u obliku: P ( x) A 1
m 2V02 sin(kx ), 4k 2
x0
(1.206)
odakle sledi m 2V 2 A2 m 2V02 2P ( x) A2 1 4 02 sin 2 (kx ) 1 4 2 1 cos 2(kx ) k k 2
(1.207)
pa se uslov normiranja svodi na m 2V 2 A2 1 4 02 k
L2
1 cos 2(kx ) dx 1
(1.208)
0
Kada L , integral u izrazu (1.208) se svodi na L 2 (kao što je već pokazano), pa je konačan izraz za konstantu A: A
m 2V02 2 1 4 2 L k
Ovime je talasna funkcija parnog kontinualnog stanja P ( x) u potpunosti određena. 2) neparne talasne funkcije
54
(1.209)
Pošto su talasne funkcije uvek neprekidne, neparna talasna funkcija mora biti jednaka nuli u koordinatnom početku, tj. N (0) 0 . Zamenom u opšte rešenje (1.201) dobijamo N ( x) B sin(kx)
(1.210)
Iz relacije (1.17), zbog (0) 0 , direktno proizilazi da je prvi izvod za x 0 neprekidna funkcija, tj. '(0 ) '(0 ) . Konstanta B se dobija direktno iz uslova normiranja: L2
L2
2 2N dx 2 B 2
2N dx 1
L 2
0
L2
sin (kx) dx 1 2
0
B
2 L
(1.211)
pa je konačno N ( x)
2 sin(kx) L
(1.212)
što se u potpunosti poklapa sa neparnom talasnom funkcijom slobodne čestice. Na osnovu ovog rezulata zaključujemo da delta funkcija u koordinatnom početku utiče samo na parne talasne funkcije. Drugi par talasnih funkcija koji se često koristi je onaj koji podrazumeva upadni ravanski talas, koji se u jednom slučaju kreće u smeru x-ose, a u drugom slučaju u suprotnom smeru (kao kod problema kvantne jame sa konačnim barijerama). Neka je talasna funkcija 1 ( x) definisana na sledeći način: eikx R1e ikx , x 0 1 ( x ) ikx x0 Te ,
(1.213)
U tački x 0 , 1 ( x) je neprekidna funkcija, dok su izvod sa leve i desne strane povezani relacijom (1.17), što daje: 1 R1 T 2 ikT ik (1 R1 ) V0T 0 2m
(1.214a) (1.214b)
Na osnovu toga je T
1 mV 1 i 2 0 k
odnosno, transmisija T iznosi:
55
(1.215)
T = T2
1 m 2V02 1 4 2 k
(1.216)
Odgovarajući izraz za R1 dobija se iz (1.214a): R1 i
mV0 T 2k
(1.217)
Druga talasna funkcija je oblika Te ikx , 2 ( x) ikx ikx e R2 e ,
x0
(1.218)
x0
Iz neprekidnosti 2 ( x) u tački x 0 i relacije koja povezuje vrednosti izvoda sa leve i desne strane ove tačke, dolazimo do odgovarajućeg sistema jednačina kao u prethodnom slučaju, samo umesto R1 figuriše R2 , odakle zaključujemo da je R1 R2 . Do jednakosti R1 i R2 mogli smo doći i polazeći od relacije (1.142). Kako je na osnovu (1.217) R1 i T ( mV0 ( 2 k ) ), izraz (1.142) se može napisati u obliku:
R2* T* R1 T
R2* T* iT T
R2* iT *
R2 iT
(1.219)
Ako je potencijalna energija oblika U ( x) V0 ( x) , V0 0 , tada za energije E 0 nema dozvoljenih stanja, dok je za E 0 spektar kontinualan i dvostruko degenerisan. Talasne funkcije ovog dela spektra imaju isti analitički oblik kao u slučaju U ( x) V0 ( x) , samo treba V0 zameniti sa V0 . 1.7.8. Čestica u gravitacionom polju Posmatrajmo česticu mase m iznad Zemljine površine. Pretpostavimo da se ova čestica pri slobodnom padu idealno elastično odbija od površine, kao i da su posmatrana udaljenja od ove površine znatno manja od poluprečnika Zemlje. Ovaj problem se u klasičnoj fizici rešava na prilično jednostavan načine, a ovde ćemo ga analizirati koristeći kvantnomehanički model. U okviru pretpostavki koje smo naveli, potencijalna energija čestice koja je na udaljenju x od Zemljine površine, data je poznatim izrazom:
U ( x) mgx,
56
x0
(1.220)
pri čemu je g ubrzanje Zemljine teže na površini Zemlje ( g 9.81 m/s 2 ). Ako je pak x 0 , tada je U ( x) , jer se čestica ne može naći ispod površine Zemlje, što dalje znači da je dovoljno rešavati Schrödinger-ovu jednačinu za x 0 , uz granični uslov (0) 0 . Schrödinger-ova jednačina u ovom slučaju glasi:
2 d 2 ( x) mgx ( x) E ( x) 2m dx 2
(1.221)
Da bi došli do diferencijalne jednačine oblika y '' xy 0 , potrebno je da uvedemo novu promenljivu x , gde su i koeficijenti koje treba odrediti. Uvođenjem nove promenljive , jednačina (1.221) prelazi u jednačinu: 2mE 2m 2 g d 2 ( ) 2m 2 g ( ) 2 2 3 2 3 2 d 2
0
(1.222)
Jasno je da je za postizanje željenog oblika ( '' 0 ), neophodno da važi: 2mE 2m 2 g 0 2 2 3 2
2m 2 g 1, 3 2
(1.223)
Rešenje ovog sistema jednačina po i glasi:
3
2m 2 g , 2
E mg
(1.224)
Pogodnije je umesto parametara i koristiti parametre l ( l 1/ ) i ( ), pa je: 2 l , 2m 2 g 3
E mgl
(1.225)
Lako je uočiti da je veličina l po svojoj prirodi dužina, dok je bezdimenzionalna veličina. Ako su ispunjeni uslovi (1.224), odnosno (1.225), tada je Schrödinger-ova jednačina oblika: d 2 ( ) ( ) 0 d 2
(1.226)
Jednačina (1.226) naziva se Airy-eva diferencijalna jednačina i u literaturi je detaljno analizirana. Dva linearno nezavisna rešenja ove jednačine su Airy-eve funkcije Ai ( ) i Bi ( ) . Ovo su specijalne funkcije pa se stoga ne mogu izraziti preko elementarnih funkcija; npr. Ai ( ) se može predstaviti u integralnoj reprezentaciji preko izraza:
57
Ai ( )
cos(t t ) dt 3
(1.227)
0
Na sličan način se može predstaviti i Bi ( ) . Opšte rešenje jednačine (1.226) može se prikazati u obliku: ( ) C1 Ai ( ) C2 Bi ( )
(1.228)
Kada x , tada i . U slučaju , Airy-eve funkcije mogu se predstaviti asimptotskim izrazima: Ai ( ) Bi ( )
1
4 1
4
e
2 3/2 3
(1.229a)
2 3/2
(1.229b)
e3
što dalje znači da drugi sabirak u (1.228) divergira pri x , pa je konstanta C2 jednaka nuli, a izraz za talasnu funkciju oblika: ( ) C1 Ai ( )
(1.230)
Za x 0 (tj. ), talasna funkcija je jednaka nuli: ( x 0) 0
( ) C1 Ai ( ) 0
Ai ( ) 0
(1.231)
Airy-eva funkcija Ai ( ) ima beskonačno mnogo nula i sve se nalaze na negativnom delu ose, i mogu se odrediti samo numerički. Prvih nekoliko nula su za 1 2.338 , 2 4.088 ,
3 5.521 , …, odnosno 1 1 , 2 2 , 3 3 ,…, n n , …, pa su energije date relacijom: En mgl n ,
n 1, 2,
(1.232)
Energetski spektar je diskretan za sve energije E [0, ) , dok u oblasti energija (, 0) nema dozvoljenih stanja jer je E 0 minimalna potencijalna energija. Izgled prvih nekoliko energetskih nivoa i talasnih funkcija dat je na Sl. 1.19.
58
Sl. 1.19 Tri najniža energetska nivoa i odgovarajuće talasne funkcije u slučaju čestice u gravitacionom polju
Ako se elektron nalazi u polju Zemljine teže, tada je veličina E0 mgl jednaka 7.86 1033 J ( m 9.108 1031 kg , g 9.81m/s 2 ), odnosno 4.911014 eV ( 1eV 1.6 1019 J ). Imajući u vidu da termalna energija ( k BT ), gde je k B 1.38 1023 J/K Boltzmann-ova konstanta, na sobnoj temperaturi T 300 K iznosi 26meV, energija E0 je otprilike 5 1011 puta manja od termalne energije. Razlika energije dva susedna nivoa elektrona u gravitacionom polju iznosi: En En 1 En E0 n 1 n ,
n 1, 2,
(1.233)
Ova razlika je najveća ako je n 1 i tada je E1 1.75 E0 . Sa porastom indeksa n, En se monotono smanjuje, pa se može zaključiti da su energetske razlike između susednih nivoa zanemarljivo male (i eksperimentalno nedektibilne), stoga se u ovom slučaju spektar može smatrati kvazikontinualnim.
59
2 OPERATORSKI FORMALIZAM U KVANTNOJ MEHANICI U uvodnim razmatranjima ovog teksta uveli smo kompleksnu talasnu funkciju ( x, t ) , za koju smatramo da u potpunosti opisuje stanje posmatrane čestice (kvantnog sistema). Ova funkcija se ne može direktno meriti, ali kvadrat njenog modula interpretiramo kao gustinu verovatnoće nalaženja čestice na poziciji x u trenutku t. Pošto talasna funkcija u potpunosti opisuje stanje sistema, iz takvog postulata sledi da se iz ( x, t ) mogu ekstrahovati sve moguće informacije o sistemu. Tema narednih poglavlja biće veza između talasne funkcije i fizičkih opservabli (veličina koje se mogu meriti), odnosno pravila na osnovu koih se vrši takva ekstrakcija osobina sistema. Svakoj fizičkoj veličini A, u kvantnoj mehanici se pridružuje njena matematička reprezentacija, odnosno operator Aˆ (oznaka “ “ iznad veličine koristi se za obeležavanje operatora). Operator predstavlja skup pravila tj. matematičkih operacija koje treba izvršiti nad funkcijom da bi se kao rezultat tog dejstva dobila neka druga funkcija npr. , što se zapisuje kao Aˆ . Operatori koji reprezentuju fizičke veličina naravno moraju imate posebne osobine koje ćemo detaljno navesti, a pored njih postoje i operatori veličina koje nemaju analog u klasičnoj mehanici i predstavljaju matematičke apstrakcije. Izdvojićemo nekoliko primera najvažnijih operatora, sa kojima smo se praktično već susreli u prethodnom delu izlaganja. Posmatrajmo jednodimenzionalnu stacionarnu Schrödinger-ovu jednačinu (1.10) i napišimo je na sledeći način: 2 d 2 U ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
(2.1)
Izraz u zagradi predstavlja jedan operator, tj. skup operacija koje treba izvršiti nad talasnom funkcijom da bi se kao rezultat tog dejstva dobila nova funkcija (talasna funkcija pomnožena konstantom). Ovaj operator naziva se Hamiltonov operator ili Hamiltonijan i obeležava se oznakom Hˆ . Jednačinu (2.1) sada možemo skraćeno zapisati u obliku:
Hˆ ( x) E ( x)
(2.2)
i ovaj izraz predstavlja operatorsku formu Schrödinger-ove jednačine. Operator Hamiltonijana reprezentuje energiju kvantnog sistema i u njemu uočavamo dve celine, tj. Hˆ Tˆ Vˆ . Prvi sabirak predstavlja operator kinetičke energije: 2 d 2 ˆ T 2m dx 2
60
(2.3)
koji podrazumeva dvostruko diferenciranje talasne funkcije i množenje konstantom 2 2m , a drugi je operator potencijalne energije koji deluje na talasnu funkciju tako što je množi sa potencijalnom energijom U ( x) :
Vˆ U ( x)
(2.4)
Operatore koji reprezentuju koordinatu i impuls uvodimo na sledeći način: xˆ x
pˆ x i
(2.5a) d dx
(2.5b)
Na osnovu (2.5b) Hamiltonijan možemo napisati u obliku: pˆ x2 ˆ 2 d 2 ( ) Hˆ U x V 2m dx 2 2m
(2.6)
U trodimenzionalnim problemima, operatori koordinate i impulsa su vektorske veličine: rˆ xˆ ix yˆ iy zˆ iz pˆ pˆ x ix pˆ y iy pˆ z iz i
(2.7a) (2.7b)
a operator Hamiltonijana tada glasi: 2 2 pˆ 2 ˆ 1 ˆ H U (r ) V pˆ x2 pˆ y2 pˆ z2 Vˆ 2m 2m 2m
(2.8)
2.1 LINEARNI OPERATORI U kvantnoj mehanici praktično svi operatori od interesa poseduju osobinu linearnosti. Preciznije, sve opservabilne veličine (merljive fizičke veličine) reprezentovane su linearnim Hermite-ovim operatorima. Značenje pojma Hermite-ov operator biće objašnjeno u nastavku poglavlja. Po deficiji, operator Oˆ je linearan ako i samo ako za bilo koja dve funkcije 1 (r ) i 2 (r ) i proizvoljne konstante C1 i C2 , koje u najopštijem slučaju mogu biti kompleksne, važi Oˆ C1 1 (r ) C2 2 (r ) C1 Oˆ 1 (r ) C2 Oˆ 2 (r )
61
(2.9)
Uslov linearnosti operatora u kvantnoj mehanici povezan je sa principom superpozicije koji se može iskazati na sledeći način: ako su 1 i 2 dozvoljena stanja sistema, tada i njihova linearna kombinacija C1 1 C2 2 takođe predstavlja dozvoljeno stanje posmatranog sistema. Konstante C1 i C2 su, kao što je prethodno rečeno, u najopštijem slučaju kompleksni brojevi. Primer linearnog operatora bio bi operator diferenciranja d dx , dok operatori “log“ i svakako nisu linearni ( C1 1 C2 2 C1 1 C2 2 ). Za dalja razmatranja neophodno je da definišemo zbir i proizvod operatora sledećim relacijama, koja važe za sve funkcije :
Oˆ Oˆ Oˆ (r) Oˆ (r) Oˆ (r) Oˆ (r) Oˆ Oˆ Oˆ (r) Oˆ Oˆ Oˆ Oˆ (r) 1
2
n
1
2
n
1
1
2
n 1
2
(2.10а)
n
(2.10b)
n
U vezi jednačine (2.10b), treba voditi računa da za operatore nije automatski ispunjeno Oˆ1Oˆ 2 Oˆ 2Oˆ1 , tj. oni generalno ne moraju biti komutativni, pa je neophodno voditi računa o redosledu dejstva. Videli smo u uvodu ovog poglavlja da se dejstvom operatora na proizvoljnu funkciju stanja, kao rezultat dobija neka druga funkcija. Može se pokazati da postoji jedinstveni skup karakterističnih funkcija stanja, pridružen svakom operatoru, koje se neće promeniti kada na njih deluje dati operator, već će se kao rezultat dejstva dobiti iste funkcije stanja pomnožene odgovarajućim konstantama. Ovo svojstvo formulisaćemo pomoću sledeće relacije: Aˆ q (r ) aq q (r ),
(2.11)
koja se naziva sopstveni problem operatora Aˆ . Funkcije q (r ) za koje je zadovoljena jednačina (2.11) nazivaju se sopstvene funkcije operatora Aˆ , a konstante a ( a a (r ) ) q
q
q
koje mogu biti kompleksne, predstavljaju odgovarajuće sopstvene vrednosti. Ukoliko je skup sopstvenih vrednosti aq (tj. spektar) operatora Aˆ diskretan, tada indeks q ima vrednosti
q 1, 2,3, ; s druge strane, ako je spektar operatora kontinualan, tada je q naravno kontinualna promenljiva. Poređenjem Schrödinger-ove jednačine u operatorskoj formi (2.2) sa (2.11) zaključujemo da ona predstavlja sopstveni problem operatora Hamiltonijana, gde su sopstvene vrednosti zapravo dozvoljene energije, a sopstvene funkcije su odgovarajuće talasne funkcije. Operatori koji reprezentuju fizičke veličine imaju isključivo realne sopstvene vrednosti i oni su Hermite-ovi (ili ermitski) operatori. U kvantnoj mehanici, jedini mogući rezultat merenja neke fizičke veličine je neka od sopstvenih vrednosti operatora koji reprezentuje tu fizičku veličinu. Detaljnija interpretacija pojma merenja izlazi izvan okvira ovog teksta.
62
2.1.1 Transponovani, konjugovani i adjungovani operator Uvešćemo prvo pojam transponovanog operatora u odnosu na operator Aˆ . Transponovani operator obeležava se oznakom “~” iznad operatora, tj. Aˆ , i on ispunjava sledeću jednačinu:
( Aˆ )dx ( Aˆ ) dx *
*
(2.11)
gde su i proizvoljne funkcije stanja. Konjugovani operator u odnosu na Aˆ je onaj koji delovanjem na konjugovanu sopstvenu funkciju daje konjugovanu sopstvenu vrednost: Aˆ a
*
Aˆ
*
a* *
Aˆ * * a* *
(2.12)
Proizvoljnom operatoru Aˆ možemo pridružiti i adjungovani operator Aˆ (gornji indeks “+” je uobičajena oznaka za adjungovanje), uz pomoć sledeće definicije:
Aˆ dx Aˆ dx
*
*
(2.13)
Navedimo osnovne osobine ovako definisanih operatora: 1) Na osnovu definicije adjungovanog operatora (2.13) možemo pisati:
Aˆ dx Aˆ dx Aˆ dx Aˆ dx *
*
S druge strane, na osnovu (2.11) imamo
*
*
( Aˆ )dx ( Aˆ ) dx , *
*
(2.14)
pa poređenjem sa
prethodnim izrazom zaključujemo da važi: Aˆ * Aˆ
Aˆ Aˆ *
(2.15)
2) Dve uzastopne operacije transponovanja daju sledeći rezultat:
* * * ( Aˆ )dx ( Aˆ ) dx ( Aˆ ) dx Aˆ Aˆ
(2.16)
Generalno, ako operator transponujemo paran broj puta, kao rezultat dobijamo polazni operator. 3) Polazeći od sopstvenog problema (2.12), dvostrukim konjugovanjem cele jednačine dobijamo:
63
Aˆ a
*
Aˆ * * a* *
*
Aˆ * *
*
a
Aˆ =Aˆ * *
(2.17)
4) Primenom prethodne tri osobine zaključujemo da se dvostrukim adjungovanjem takođe dobija polazni operator: * * ** ˆA Aˆ Aˆ Aˆ Aˆ (2.18)
5) Posmatrajmo proizvod dva operatora Aˆ i Bˆ , i odredimo adjungovani operator njihovog ˆˆ . proizvoda AB
ˆ ˆ . Po definiciji Proizvod dva operatora predstavlja novi operator koji ćemo označiti sa Oˆ AB adjungovanog operatora imamo:
Oˆ dx Oˆ dx
*
*
(2.19a)
* ˆ ˆ ) dx ( AB * ( AB ˆ ˆ ) dx
(2.19b)
Levu stranu izraza (2.19b) možemo transformisati na sledeći način: ˆ ˆ ) dx ( AB *
*
* Aˆ (Bˆ )dx Aˆ (Bˆ )dx
(2.20)
Veličina Aˆ predstavlja neku novu funkciju koju ćemo označiti sa f1 , pa dalje možemo pisati:
f
* 1
* * * (Bˆ )dx Bˆ f1 dx Bˆ ( Aˆ ) dx ( Bˆ Aˆ ) dx
(2.21)
Poređenjem poslednjeg integrala sa desnom stranom jednačine (2.19b) zaključujemo da važi: ˆ ˆ ) Bˆ Aˆ ( AB
(2.22)
Ovaj rezultat se može generalizovati na proizvod n operatora čime se dobija: ( Aˆ1 Aˆ 2 Aˆ n ) Aˆ n Aˆ n1 Aˆ1
(2.23)
6) Potražimo adjungovani operator zbira dva operatora tj. ( Aˆ Bˆ ) . Prvo ćemo uvesti pomoćnu oznaku Oˆ Aˆ Bˆ i primeniti definicioni izraz (2.13):
64
( Aˆ Bˆ )dx Oˆ dx Oˆ dx ( Aˆ Bˆ ) dx *
*
*
*
(2.24)
S druge strane, levu stranu (2.24) možemo transformisati koristeći definiciju zbira operatora, na osnovu koje je ( Aˆ Bˆ ) Aˆ Bˆ .
( Aˆ Bˆ )dx ( Aˆ Bˆ )dx [ *
*
*
Aˆ * Bˆ ]dx * Aˆ dx * Bˆ dx
* * Aˆ dx Bˆ dx [( Aˆ )* ( Bˆ )* ]dx
(2.25)
* ( Aˆ Bˆ )* dx ( Aˆ Bˆ ) dx
Poređenjem krajnjeg rezultata sa desnom stranom izraza (2.24) dobijamo: ( Aˆ Bˆ ) Aˆ Bˆ
(2.26)
i generalno ( Aˆ1 Aˆ 2 Aˆ n ) Aˆ1 Aˆ 2 Aˆ n
(2.27)
2.1.2 Hermite-ovi operatori Osobine 1)-6) važe za proizvoljne linearne operatore, međutim, nas posebno interesuju Hermite-ovi operatori koji reprezentuju fizičke veličine. Hermite-ovi operatori su oni operatori za koje je ispunjen uslov Aˆ Aˆ
(2.28)
odnosno, oni su jednaki svom adjungovanom operatoru. Kao što je već rečeno, sve njihove sopstvene vrednosti su strogo realne, što ćemo dokazati. Posmatrajmo sopstveni problem operatora Aˆ , čije sopstvene vrednosti ćemo obeležiti sa ai a odgovarajuće sopstvene funkcije sa i : Aˆ a (2.29) i
i
i
Jednačinu (2.29) napisaćemo za dva proizvoljna stanja, i n i i m : Aˆ n an n
(2.30a)
Aˆ m am m
(2.30b)
65
Pomnožićemo izraz (2.30a) sa m* i integraliti po svim vrednostima koordinate x, dok ćemo (2.30b) prvo konjugovati a zatim pomnožiti funkcijom n i integraliti po svim vrednostima x, što daje:
Aˆ n dx an m* n dx
(2.31a)
Aˆ * m* dx am* nm* dx
(2.31b)
* m
n
Oduzimanjem (2.31b) od (2.31a) dobijamo
Aˆ n dx n Aˆ * m* dx an am* m* n dx
* m
Na osnovu definicije transponovanog operatora imamo znamo da je Aˆ * Aˆ , čime se izraz (2.32) svodi na:
* m
n
(2.32)
Aˆ * m* dx m* Aˆ * n dx , a iz (2.15)
Aˆ n dx m* Aˆ n dx an am* m* n dx
(2.33)
Ukoliko je operator Hermite-ov, tj. Aˆ Aˆ , tada se leva strana jednačine (2.33) anulira: 0 an am* m* n dx
(2.34)
Pretpostavimo sada da je n m . Tada će prethodni izraz dobiti formu
a
n
an* n* n dx 0
(2.35)
Kako je n* n dx n dx 0 , zaključujemo da mora biti ispunjeno: 2
an an*
(2.36)
za proizvoljno n, što znači da su sve sopstvene vrednosti ermitskog operatora realni brojevi. Pretpostavimo zatim da je n m , pošto je am realno, jednačina (2.34) dobija oblik
an am m* n dx 0
(2.37)
Ukoliko nema degeneracije stanja, tada sledi da su i odgovarajuće sopstvene vrednosti različite ( an am ) i gornji uslov se svodi na
dx 0 * m
n
66
(2.38)
Na osnovu toga zaključujemo da su sve sopstvene funkcije koje odgovaraju različitim sopstvenim vrednostima ermitskog operatora međusobno ortogonalne. Ukoliko je za neki Bˆ operator zadovoljena sledeća relacija: Bˆ Bˆ
(2.39)
onda se takav operator naziva anti-Hermite-ov. Postoje i unitarni operatori, za koje je karakteristično da je moduo svih sopstvenih vrednosti jednak jedinici: Uˆ i ui i ,
ui 1
(2.40)
Može se pokazati da je za unitarne operatore ispunjeno ˆ ˆ Uˆ Uˆ 1 UU
(2.41)
Analiziraćemo osobine nekoliko karakterističnih operatora: 1) Operator konstante Cˆ C Dejstvo ovog operatora na proizvoljnu funkciju svodi na njeno množenje konstantnom vrednošću C: Cˆ C
(2.42)
Na osnovu toga možemo pisati:
Cˆ dx C dx C dx *
*
*
(2.43)
S druge strane, transponovani operator Cˆ zadovoljava sledeću relaciju:
Cˆ dx Cˆ dx
*
*
(2.44)
pa poređenjem poslednja dva izraza zaključujemo da važi: Cˆ C
(2.45)
Cˆ * Cˆ C *
(2.45)
Konjugovanjem (2.45) dobijamo
odakle možemo izvesti sledeće zaključke:
67
a) ako je C realna konstanta, tada je Cˆ C Cˆ , odnosno operator konstante je Hermite-ov operator b) ako je C čisto imaginarna konstanta, tada je Cˆ C * C Cˆ , tj.operator ove konstante je anti-Hermite-ov operator c) ako je C kompleksna konstanta ( CR 0 , CI 0 ), tada ova konstanta nije Hermite-ov operator Analogne osobine mogu se izvesti i za operator funkcije Oˆ f ( x) , dakle radi se o ermitskom operatoru ukoliko je f ( x) realna funkcija koordinate x, što je posebno značajno u slučaju operatora potencijalne energije Vˆ U ( x) koji predstavlja deo operatora Hamiltonijana. Pošto su funkcije potencijalne energije U ( x) koje razmatramo isključivo realne, sledi da je Vˆ Vˆ .
d 2) Operator diferenciranja Oˆ dx Potražićemo adjungovani operator u odnosu na operator diferenciranja:
dxd dx dxd *
*
dx
(2.46)
S druge strane, parcijalnom integracijom izraza sa leve strane znaka jednakosti dobijamo:
*
d dx
dx *
0
d * d * dx dx dx dx
(2.47)
odakle sledi:
d d dx dx
(2.48)
tj. operator diferenciranja je anti-Hermite-ov operator. 3) Operator impulsa pˆ x i
d dx
Ovaj operator posmatraćemo kao proizvod imaginarne konstante C i i operatora diferenciranja, i primeniti pravilo (2.22):
d d d d pˆ x i i i i pˆ x dx dx dx dx
68
(2.49)
Ovim smo dokazali da je operator impulsa Hermite-ov operator, što ćemo iskoristi kod operatora Hamiltonijana:
pˆ 2 pˆ pˆ pˆ pˆ pˆ 2 Hˆ x Vˆ x x Vˆ x x Vˆ x Vˆ Hˆ 2m 2m 2m 2m
(2.50)
pa sledi važna osobina Hamiltonijana: Hamiltonijan predstavlja Hermite-ov operator. 2.1.3 Zbir i proizvod operatora koji imaju zajedničke sopstvene funkcije Posmatrajmo dva operatora Aˆ i Bˆ koji imaju zajedničke sopstvene funkcije. To znači da skup funkcija n predstavlja rešenje sopstvenog problema oba operatora: Aˆ n an n
(2.51a)
Bˆ n bn n
(2.51b)
gde su an i bn odgovajuće sopstvene vrednosti. Formirajmo operator Cˆ kao zbir ova dva operatora, Cˆ Aˆ Bˆ . Delovanjem operatora Cˆ na funkcije n dobijamo:
Cˆ n Aˆ Bˆ n Aˆ n Bˆ n an n bn n an bn n cn n
(2.52)
Ovo znači da su funkcije n takođe sopstvene funkcije operatora Cˆ sa svojstvenim vrednostima cn an bn . Ispitaćemo sada dejstvo proizvoda operatora Aˆ i Bˆ na zajedničke sopstvene funkcije. Treba voditi računa da operatori u opštem slučaju nisu komutativni pa proizvod možemo formirati na dva načina: ˆ ˆ ) Aˆ ( Bˆ ) Aˆ (b ) b Aˆ b a ( AB n n n n n n n n n
(2.53a)
ˆ ˆ ) Bˆ ( Aˆ ) Bˆ (a ) a Bˆ a b ( BA n n n n n n n n n
(2.53b)
S obzirom da su dobijeni rezultati isti zaključujemo da su funkcije n sopstvene funkcije proizvoda operatora Aˆ i Bˆ sa sopstvenim vrednostima anbn , kao i da su operatori Aˆ i Bˆ komutativni: ˆ ˆ ) ( BA ˆ ˆ ) a b ( AB n n n n n
69
(2.54)
Činjenica da dva operatora imaju zajedničke sopstvene funkcije implicira da su operatori komutativni, a može se pokazati i obrnuto – da komutativni operatori imaju zajedničke sopstvene funkcije a da se odgovarajuće sopstvene vrednosti mogu istovremeno odrediti (odnosno, da se fizičke veličine koje reprezentuju dati operatori mogu istovremeno meriti). 2.1.4 Komutativnost operatora Uvešćemo oznaku [ Aˆ , Bˆ ] koja se naziva komutator operatora Aˆ i Bˆ i definiše na sledeći način: ˆ ˆ BA ˆˆ [ Aˆ , Bˆ ] AB
(2.55)
Ukoliko je [ Aˆ , Bˆ ] 0 tada su operatori Aˆ i Bˆ komutativni. Može se definisati i veličina koja se naziva antikomutator ˆ ˆ BA ˆˆ [ Aˆ , Bˆ ] AB
(2.56)
a ako je [ Aˆ , Bˆ ] 0 onda kažemo da su operatori Aˆ i Bˆ antikomutativni. Navešćemo neke od osnovnih osobina vezanih za komutativnost operatora: 1) [ Aˆ , Aˆ ] 0 . Svaki operator komutativan je sam sa sobom.
(2.57)
2) [ Aˆ m , Aˆ n ] 0
(2.58)
3) [Cˆ , Aˆ ] 0 , gde je Cˆ operator konstante.
(2.59)
4) [ Aˆ , Bˆ ] [ Bˆ , Aˆ ]
(2.60)
5) [ Aˆ , Bˆ Cˆ ] [ Aˆ , Bˆ ] [ Aˆ , Cˆ ]
(2.61)
Ova osobina dokazuje se na sledeći način: ˆ ˆ AC ˆ ˆ BA ˆˆ ˆ ˆ CA [ Aˆ , Bˆ Cˆ ] Aˆ ( Bˆ Cˆ ) ( Bˆ Cˆ ) Aˆ AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ CA ˆ ˆ ) [ Aˆ , Bˆ ] [ Aˆ , Cˆ ] ˆ ˆ ) ( AC ( AB ˆ ˆ ] [ Aˆ , Bˆ ]Cˆ Bˆ [ Aˆ , Cˆ ] 6) [ Aˆ , BC
(2.62)
(2.63)
Ova osobina važi isključivo za skalarne operatore, što ćemo pokazati. Napisaćemo levu stranu izraza (2.63) u razvijenoj formi: ˆ ˆ) ˆ ˆ ] Aˆ ( BC ˆ ˆ ) Bˆ ( AC [ Aˆ , BC
70
(2.64)
ˆˆ ˆ : Sada ćemo na desnoj strani prethodne jednačine dodati i oduzeti član BAC
ˆ ˆ ] Aˆ ( BC ˆ ˆ ) ( BC ˆ ˆ ) Aˆ BAC ˆ ˆ ˆ BAC ˆˆ ˆ [ Aˆ , BC ˆ ˆ )Cˆ ( BA ˆ ˆ ) Bˆ ( AC ˆ ˆ ) Bˆ (CA ˆ ˆ) ˆ ˆ )Cˆ Bˆ ( AC ( AB
(2.65)
ˆ ˆ , Cˆ ] Bˆ [ Aˆ , Cˆ ] [ AB
Vidimo da je prilikom transformacije izraza (2.65) podrazumevana asocijativnost množenja ˆ ˆ )Cˆ što svakako ne važi za vektorske veličine. ˆ ˆ ) ( AB npr. Aˆ ( BC 7) [ Aˆ ,[ Bˆ , Cˆ ]] [ Bˆ ,[Cˆ , Aˆ ]] [Cˆ ,[ Aˆ , Bˆ ]] 0
(2.66)
Ovaj relacija naziva se Jacobi-jeva operatorska jednačina i dokazuje se jednostavnim razvijanjem. Ispitaćemo osobine komutativnosti nekoliko značajnih operatora. Ukoliko operatori nisu komutativni, tada njihov komutator predstavlja neki novi operator koji može delovati na funkcije stanja. Posmatraćemo za početak komutator x-komponenti operatora koordinate i operatora impulsa i odrediti rezultat njegovog dejstva na proizvoljnu funkciju : ˆˆ x pˆ x xˆ xˆ ( pˆ x ) pˆ x ( xˆ ) [ xˆ, pˆ x ] xp
(2.67)
Zamenićemo sada operatore xˆ i pˆ x izrazima (2.5a,b): [ xˆ, pˆ x ] x(i
) i ( x ) i x x
(2.68)
Jasno je da operatori xˆ i pˆ x nisu komutativni i da njihov komutator iznosi [ xˆ , pˆ x ] i
(2.69)
Može se pokazati da važi [ yˆ , pˆ y ] i i [ zˆ, pˆ z ] i . Prema tome, operatori koordinate i impulsa nemaju zajedničke sopstvene funkcije, odnosno njihove sopstvene vrednosti se ne mogu istovremeno odrediti, što je u skladu sa Heisenberg-ovom relacijom neodređenosti. S druge strane, posmatrajmo komutator različitih komponenti operatora koordinate i impulsa, na primer: [ yˆ , pˆ x ] y (i
) i ( y ) 0 x x
Prethodni rezultati mogu se zapisati na kompaktan način:
71
(2.70)
[qˆi , pˆ j ] i i , j
0, i j 1, i j
i, j
(2.71)
gde je i, j {x, y, z} , operatori qˆi označavaju komponente operatora koordinate (npr. qˆ x xˆ ), a i , j je Kronecker-ov delta simbol. Kada su u pitanju komponente operatora koordinate, pošto je njihovo dejstvo na funkciju stanja čisto multiplikativno, očigledno je da važi: [qˆi , qˆ j ] 0
(2.72)
Ukoliko u komutatoru (2.67) zamenimo operator xˆ funkcijom f ( x) , dobijamo sledeći rezultat [ f ( x), pˆ x ] f ( x)(i
f ( x) ) i f ( x) i x x x
f ( x) [ f ( x), pˆ x ] i x
(2.73)
Analogno se proverava da je [ f ( y ), pˆ x ] 0 kao i
f (r ) ˆ [ f (r ), px ] i x
(2.74)
(2.75)
Na osnovu prethodnih rezultata lako je odrediti komutator operatora Hamiltonijana i operatora pˆ x : pˆ 2 pˆ 2 U ( x) iFx [ Hˆ , pˆ x ] [ x U ( x), pˆ x ] [ x , pˆ x ] [U ( x), pˆ x ] 0 i x 2m 2m
(2.76)
gde smo sa Fx označili x-komponentu spoljašnje sile. Odredimo još i komutator operatora energije ( Eˆ i [ Eˆ , tˆ] i
) i operatora vremena ( tˆ t ): t
t t i t t
(2.77)
[ Eˆ , tˆ] i
Vidimo da ova dva operatora nisu komutativna, što znači da nemaju zajedničke sopstvene funkcije pa se njihove sopstvene vrednosti ne mogu istovremeno odrediti, što je u skladu sa II Heisenberg-ovom relacijom neodređenosti.
72
2.2 SREDNJE VREDNOSTI U KVANTNOJ MEHANICI U prethodnom delu izlaganja naglasili smo da prilikom merenja neke fizičke veličine (opservable) u kvantnoj mehanici, kao jedini mogući ishod tog merenja možemo dobiti neku od sopstvenih vrednosti operatora koji reprezentuje posmatranu fizičku veličinu. Prirodno je očekivati da će rezultat merenja (konkretna sopstvena vrednost) zavisiti od funkcije stanja u trenutku merenja. Ukoliko je funkcija stanja sopstvena funkcija odgovarajućeg operatora, tada ćemo kao rezultat merenja dobiti odgovarajuću sopstvenu vrednost. Međutim, ukoliko funkcija nije sopstvena za dati operator (već predstavlja neku linearnu kombinaciju tj. superpoziciju sopstvenih funkcija), tada možemo govoriti samo o određenoj verovatnoći da u pojedinačnom merenju dobijemo neku od sopstvenih vrednosti. Verovatnoća dobijanja određene sopstvene vrednosti zavisi od toga koliki je težinski koeficijent sa kojim posmatrana sopstvena funkcija ulazi u ukupnu funkciju stanja. Posmatrajmo funkciju stanja koja je prikazana u formi linearne kombinacije odgovarajućih svojstvenih funkcija, na sledeći način: C11 C22 Cii
(2.78)
gde funkcije n predstavljaju rešenje sopstvenog problema operatora Aˆ : Aˆn an n
(2.79)
U tom slučaju, verovatnoća da ćemo u pojedinačnom merenje fizičke veličine A, za kvantni sistem koji se nalazi u stanju opisanom funkcijom , dobiti vrednost an iznosi: 2
2
Pn n*dx n* C11 C22 Cnn dx Cn
2
dx * n
n
2
Cn
2
(2.80)
Kao što vidimo, u opštem slučaju u kvantnoj mehanici ne možemo sa sigurnošću predvideti ishod pojedinačnog merenja neke fizičke veličine i iz tog razloga uvodi se pojam srednje vrednosti (ili matematičkog očekivanja u statističkoj terminologiji). Srednja tj. očekivana vrednost ima smisao “prosеčnog rezultata” koji bismo dobili istovremenim izvršavanjem velikog broja merenja nad identičnim kvantnim sistemima (npr. atomima) koji su se pre merenja nalazili u istom stanju ( ), i izračunavanjem srednje vrednost dobijenih pojedinačnih rezultata. Jasno je da se u opštem slučaju srednja vrednost ne mora poklapati ni sa jednom od stvarno izmerenih vrednosti. Iz teorije verovatnoće poznato nam je da, kada znamo verovatnoće za dobijanje pojedinačnih vrednosti Pn , srednju vrednost A možemo izračunati na sledeći sledeći način: A an Pn an Cn n
Jasno je da je
P C n
n
2 n
2
(2.81)
n
1 pošto funkcija data obliku (2.78) mora biti normirana.
n
Izraz (2.81) je ekvivalentan integralnoj formi * Aˆ dx , što ćemo pokazati:
73
Aˆ dx C Aˆ C *
* m
* m
n
m
n
n
dx Cm* m* Cn Aˆn dx m
n
Cm* m* Cn an n dx Cm* Cn an m* n dx m
n
m
Cn* Cn an an Cn n
(2.82)
n
2
n
Dakle, kvantnomehanička srednja vrednost fizičke veličine reprezentovane operatorom Aˆ , u stanju opisanom funkcijom glasi: A Aˆ * Aˆ dx
(2.83)
Kao što se može videti iz prethodnog izraza, srednja vrednost obelezava se oznakom “ “ iznad posmatrane veličine ili pisanjem odgovarajućeg operatora u zagradama . Naravno, iz izraza (2.83) je jasno da ako funkcija predstavlja neku od sopstvenih funkcija datog operatora ( Cn n , Cn 1 )tada je kvantnomehanička srednja vrednost jednaka odgovarajućoj sopstvenoj vrednosti Aˆ a . n
Relacija (2.83) je u važnosti bez obzira da li se radi o operatorima koji imaju diskretan ili kontinualan spektar. U slučaju operatora koordinate xˆ , koji ima kontinualan spektar, imamo: xˆ * xˆ dx x dx 2
što je analogno sa (2.81) i ima očiglednu fizičku interpretaciju pošto
(2.84) 2
predstavlja gustinu
verovatnoće da se čestica nalazi na odgovarajućoj poziciji x. Uvešćemo još i definiciju srednjeg kvadratnog odstupanja na sledeći način:
A
2
Aˆ Aˆ
2
(2.85)
Izraz (2.85) može se dalje transformisati na sledeći način:
A
2
Aˆ 2 2 Aˆ Aˆ Aˆ 2 Aˆ 2 2 Aˆ Aˆ Aˆ 2 Aˆ 2 Aˆ 2
(2.86)
Srednje kvadratno odstupanje predstavlja kvantitativnu meru disperzije rezultata u odnosu na srednju vrednost, odnosno ukazuje na to koliko su stvarne izmerene vrednosti adekvatno reprezentovane srednjom vrednošću Aˆ .
74
2.3 VREMENSKA EVOLUCIJA KVANTNOMEHANIČKE
SREDNJE VREDNOSTI
Posmatrajmo srednju vrednost fizičke veličine A koja je data izrazom (2.83). Kako u opštem slučaju talasne funkcije zavise i od koordinate i od vremena, a i sam operator Aˆ može biti eksplicitna funkcija vremena, zaključujemo da srednja vrednost Aˆ generalno zavisi od vremena, tj. A(t ) Aˆ (t ) * ( x, t ) Aˆ (t ) ( x, t )dx
(2.87)
Potražimo izvod prethodne relacije po vremenu: d ˆ d A (t ) * ( x, t ) Aˆ (t ) ( x, t )dx dt dt
(2.88)
* ˆ Aˆ Adx * dx * Aˆ dx t t t
Vremenska evolucija talasne funkcije određena je nestacionarnom Schrödinger-ovom jednačinom (1.3) koja u operatorskom obliku glasi: Hˆ i t
1 ˆ H t i
(2.89)
Zamenom izraza (2.89) u prvi i treći integral na desnoj strani (2.88) dobijamo: * Aˆ 1 1 d ˆ A (t ) Hˆ Aˆ dx * dx * Aˆ Hˆ dx t dt i i
(2.90)
Prvi integral možemo transformisati koristeći definiciju adjungovanog operatora i činjenicu da je Hamiltonijan Hermite-ov operator tj. Hˆ Hˆ
Hˆ
*
*
Aˆ dx Hˆ Aˆ dx * Hˆ Aˆ dx
(2.91)
S druge strane, drugi integral u (2.90) predstavlja kvantnomehaničku srednju vrednost Aˆ operatora , odnosno t ˆ Aˆ * A dx (2.92) t t
Na osnovu prethodnog, izraz (2.90) dobija oblik:
75
d ˆ Aˆ 1 ˆ ˆ dx 1 * HA ˆ ˆ dx A (t ) * AH dt t i i ˆ Aˆ 1 ˆ ˆ HA ˆ ˆ ]dx A 1 *[ Aˆ , Hˆ ]dx *[ AH t i t i
(2.93)
Konačno, izvod kvantnomehaničke srednje vrednosti operatora Aˆ možemo napisati u formi: 1 ˆ ˆ d ˆ Aˆ A (t ) [ A, H ] dt t i
(2.94)
1 ˆ ˆ [ A, H ] naziva se kvantna Poisson-ova zagrada po analogiji sa odgovarajućom i jednačinom klasične mehanike. Ukoliko operator Aˆ ne zavisi eksplicitno od vremena ( Aˆ t 0 ), tada (2.94) dobija oblik: Član
d ˆ 1 ˆ ˆ A (t ) [ A, H ] dt i
(2.95)
Ako je pored toga, operator Aˆ još i komutativan sa operatorom Hamiltonijana ( [ Aˆ , Hˆ ] 0 ), tada je d ˆ A (t ) 0 Aˆ ( t ) Const (2.96) dt odnosno kvantnomehanička srednja vrednost se ne menja sa vremenom. Fizičke veličine za koje je ovo svojstvo ispunjeno nazivaju se konstante kretanja. Jedan od važnih primera operatora za koje je ispunjen uslov [ Aˆ , Hˆ ] 0 je očigledno sam operator Hamiltonijana (svakako je [ Hˆ , Hˆ ] 0 ). Na osnovu (2.96) zaključujemo da je d Hˆ 0 dt
Hˆ Const
(2.96)
odnosno da se ukupna energija sistema (koju reprezentuje operator Hamiltonijana) održava tokom vremena. Ukoliko je Aˆ rˆ , tada (2.95) dobija oblik
d ˆ 1 ˆ ˆ r [r , H ] dt i Izračunaćemo komutator sa desne strane izraza (2.97):
76
(2.97)
1 ˆ 2 1 0 [rˆ , Hˆ ] [rˆ , ( pˆ x2 pˆ y2 pˆ z2 ) U (r )] [r , pˆ x pˆ y2 pˆ z2 ] [rˆ ,U (r )] 2m 2m 1 [ xˆ ix yˆ iy zˆ iz , pˆ x2 pˆ y2 pˆ z2 )] 2m
(2.98)
Kako je, na osnovu (2.57), [qˆi , pˆ j ] i i , j , prethodni izraz postaje jednak 1 [rˆ , Hˆ ] [ xˆ , pˆ x2 ] ix [ yˆ , pˆ y2 ] iy [ zˆ, pˆ z2 ] iz 2m
(2.99)
Odredićemo vrednost prvog komutatora u zagradi sa desne strante (2.99): ˆˆ x pˆ x pˆ x pˆ x x (i pˆ x x) pˆ x pˆ x pˆ x x [ xˆ, pˆ x2 ] xp ˆˆ x pˆ x x) 2ipˆ x ipˆ x pˆ x ( xp
(2.100)
Na sličan način se pokazuje da je [ yˆ , pˆ y2 ] 2ipˆ y i [ zˆ, pˆ z2 ] 2ipˆ z , pa relacija (2.99) dobija formu: i i [rˆ , Hˆ ] pˆ x ix pˆ y iy pˆ z iz pˆ ivˆ m m
(2.101)
Kombinovanjem sa (2.97) dobijamo: d ˆ 1 ˆ r p dt m
(2.102)
Ako zamenimo Aˆ pˆ u (2.95), tada ovaj izraz postaje
d ˆ 1 ˆ ˆ [ p, H ] p dt i
(2.103)
U iFx , sledi Kako je, na osnovu (2.76), [ Hˆ , pˆ x ] i x [ pˆ , Hˆ ] [ pˆ x ix pˆ y iy pˆ z iz , Hˆ ] [ pˆ x , Hˆ ] ix [ pˆ y , Hˆ ] iy [ pˆ z , Hˆ ] iz i( Fx ix Fy iy Fz iz ) iU (r ) iF
(2.104)
Ukoliko se radi o slobodnoj čestici ( U (r ) Const 0 ), tada je U (r ) 0 , pa sledi
d ˆ p 0 dt
pˆ Const
77
(2.105)
odnosno srednja vrednost impulsa se održava tokom vremena. Ukoliko čestica nije slobodna, izraz (2.103) dobija oblik d ˆ p F dt
(2.106)
Jednačine (2.102) i (2.106) su poznate kao Ehrenfest-ove jednačine. Napomenimo da ove jednačine imaju generalnu važnost i da prilikom njihovog izvođenja nismo koristili aproksimacije. Prva Ehrenfestova jednačina (2.102) nam pokazuje da su srednja vrednost operatora impulsa i vremenski izvod srednje vrednosti operatora koordinate povezani na isti način kao klasični impuls i brzina dr dt . Kada je u pitanju druga Ehrenfest-ova jednačina, ona se uz pomoć (2.102) lako svodi na oblik vrlo sličan drugom Newton-ovom zakonu, a da bi mu bila potpuno analogna potrebno je da važi F (rˆ ) F ( rˆ )
(2.106)
što se može jednostavno pokazati. 2.4 REŠENI PROBLEMI 1. Ako su operatori Aˆ i Bˆ takvi da su oba ili Hermite-ovi ili anti-Hermite-ovi operatori, ˆ ˆ takođe Hermite-ov operator. odrediti pod kojim uslovima je njihov proizvod AB
ˆˆ: Rešenje: Nađimo prvo adjungovani operator operatoru AB ˆ ˆ ) Bˆ Aˆ ( AB
(2.107)
Kako su operatori Aˆ i Bˆ Hermite-ov ili anti-Hermite-ov, ispunjeno je Aˆ Aˆ i Bˆ Bˆ , ili Aˆ Aˆ i Bˆ Bˆ . Na osnovu toga je ˆ ˆ ) BA ˆˆ ( AB
(2.108)
ˆ ˆ bio Hermite-ov operator potrebno je da važi ( AB ˆ ˆ ) AB ˆ ˆ , tj. da bude Da bi proizvod AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ tj. odnosno operatori Aˆ i Bˆ treba da su komutativni. ispunjen uslov AB 2. Ako su Aˆ i Bˆ Hermite-ovi operatori, pokazati da je operator Cˆ i[ Aˆ , Bˆ ] takođe Hermiteov operator. Rešenje: Da bi operator Cˆ bio Hermite-ov operator, potrebno je da važi Cˆ Cˆ . Proverićemo ispunjenost ovog uslova:
78
Cˆ i[ Aˆ , Bˆ ]
ˆ ˆ BA ˆ ˆ ) ( BA ˆ ˆ ) i i[( AB ˆ ˆ ) ] [ Aˆ , Bˆ ] (i ) ( AB
(2.109)
ˆ ˆ ) i( AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ AB ˆ ˆ ) Cˆ i[ Bˆ Aˆ Aˆ Bˆ ] i ( BA
3. Ako je komutator operatora Aˆ i Bˆ jednak jedinici ( [ Aˆ , Bˆ ] 1 ), naći vrednost komutatora [ Aˆ , Bˆ 2 ] , [ Aˆ , Bˆ 3 ] i [ Aˆ 2 , Bˆ 2 ] . Rezultati treba da sadrže najmanje moguće stepene operatora Aˆ i/ili Bˆ .
ˆ ˆ BA ˆ ˆ 1 . Potražimo prvo komutator [ Aˆ , Bˆ 2 ] : Rešenje: Po uslovu zadatka, imamo da je AB ˆ ˆ ˆ BBA ˆ ˆ ˆ (1 BA ˆ ˆ ) Bˆ BBA ˆ ˆ ˆ Bˆ BAB ˆ ˆ ˆ BBA ˆˆˆ [ Aˆ , Bˆ 2 ] ABB ˆ ˆ BA ˆ ˆ ) Bˆ Bˆ [ Aˆ , Bˆ ] 2 Bˆ Bˆ Bˆ ( AB
(2.110)
Dalje možemo pisati: ˆ ˆ ˆ ˆ BBBA ˆ ˆ 2 Bˆ BBBA ˆ ˆ ˆ ˆ AB ˆˆˆˆ [ Aˆ , Bˆ 3 ] ABBB
(2.111)
ˆ ˆ 2 2 Bˆ BBA ˆ ˆ ˆ pa dobijamo Iskoristićemo prethodni rezultat (2.110) na osnovu koga je AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ ˆ ) Bˆ BBBA ˆ ˆ ˆ ˆ 2 Bˆ 2 BB ˆ ˆ ( AB ˆ ˆ ) 3Bˆ 2 [ Aˆ , Bˆ 3 ] (2 Bˆ BBA
(2.112)
Poslednji traženi komutator glasi: ˆ ˆ ] ([ Bˆ 2 , Aˆ ] Aˆ Aˆ [ Bˆ 2 , Aˆ ]) ([ Aˆ , Bˆ 2 ] Aˆ Aˆ[ Aˆ , Bˆ 2 ]) [ Aˆ 2 , Bˆ 2 ] [ Bˆ 2 , AA ˆ ˆ 2(2 AB ˆ ˆ 1) ˆ ˆ 2 AB 2 BA
(2.113)
gde smo pri izvođenju rezultat koristili osobinu (2.63). 4. a) Ako operatori Lˆ i Mˆ zadovoljavaju komutacionu relaciju [ Lˆ , Mˆ ] 1 , naći vrednost ˆ ˆ 2 , Mˆ 2 Lˆ ] ; b) ako je sopstvena vrednost operatora x d , naći odgovarajuće komutatora [ LM dx sopstvene funkcije. Rešenje: a) Traženi komutator napisaćemo na sledeći način:
ˆ ˆ 2 , Mˆ 2 Lˆ ] [( LM ˆ ˆ ) Mˆ , Mˆ ( ML ˆ ˆ )] [ LM
ˆ ˆ ML ˆ ˆ 1 a zatim ćemo izraze u malim zagradama izraziti pomoću komutatora LM
79
(2.114)
ˆ ˆ 2 , Mˆ 2 Lˆ ] [(1 ML ˆ ˆ ) Mˆ , Mˆ ( LM ˆ ˆ 1)] [ Mˆ MLM ˆ ˆ ˆ , MLM ˆ ˆ ˆ Mˆ ] [ LM 0
0
ˆ ˆ ˆ ] [ Mˆ , Mˆ ] [ MLM ˆ ˆ ˆ , MLM ˆ ˆ ˆ ] [ MLM ˆ ˆ ˆ , Mˆ ] [ Mˆ , MLM
(2.115)
ˆ ˆ ˆ ] 2( MMLM ˆ ˆ ˆ ˆ MLMM ˆ ˆ ˆ ˆ ) 2 Mˆ ( LM ˆ ˆ ML ˆ ˆ ) Mˆ 2[ Mˆ , MLM 1 2Mˆ 2 d u formi b) Napisaćemo sopstveni problem operatora Oˆ x dx Oˆ
x
d dx
(2.116)
Traženu sopstvenu funkciju koja odgovara sopstvenoj vrednosti određujemo iz diferencijalne jednačine: 1 d ( x ) dx
(2.117)
čije rešenje glasi Ce
x
x2 2
, C const
(2.118)
5. Polazeći od prve Ehrenfestove jednačine (2.102) napisane za x-komponentu impulsa px i
izraza za srednju vrednost koordinate x x x ||2 dx izvesti izraz za srednju vrednost impulsa u formi (2.83). Rešenje: Na osnovu izraza (2.102) i (2.84) možemo pisati:
d d * px m x m m xdx m * x dx dt dt t t
(2.119)
Zamenom vremenskog izvoda talasne funkcije iz nestacionarne Schrödinger-ove jednačine (2.89), dobijamo: px
m m m m ( Hˆ )* xdx * xHˆ dx * Hˆ ( x )dx * xHˆ dx i i i i
gde smo iskoristili osobinu ermitivnosti operatora jednodimenzionalnom slučaju Hˆ pˆ x2 (2m) U ( x) , sledi
80
Hamiltonijana.
Kako
(2.120) je
u
2 2 ( x ) 2 2 2 xU ( x) Hˆ ( x ) U x x x ( )( ) 2m x 2 2m x 2 m x 2 xHˆ m x
(2.121)
Kada ovaj rezultat zamenimo u izraz (2.120), dobijamo upravo srednju vrednost impulsa u formi (2.83):
px
* dx i * dx * i dx * pˆ x dx i x x x
(2.122)
6. Proveriti da li je operator Kˆ koji predstavlja operator kompleksne konjugacije a) linearan b) Hermite-ov. c) Čemu je jednak operator Kˆ * ? Rešenje: a) polazimo od definicije linearnog operatora Oˆ (C1 1 C2 2 ) C1 Oˆ 1 C2 Oˆ 2 . Proverićemo da li je ovakva relacija ispunjena za operator Kˆ : Kˆ (C1 1 C2 2 ) Kˆ (C1 1 ) Kˆ (C2 2 ) C1*1* C2* *2 C1 Kˆ 1 C2 Kˆ 2 C1 Kˆ 1 C2 Kˆ 2 C11* C2 *2
(2.123a) (2.123b)
Jasno je da operator Kˆ nije linearan operator b) da bi operator bio Hermite-ov, potrebno je da bude ispunjen uslov Kˆ Kˆ . Na osnovu definicije adjungovanog operatora imamo:
Kˆ dx ( Kˆ * 1
2
1 )* 2 dx
(2.124)
Ukoliko bi Kˆ bio Hermite-ov operator, tada bismo izraz (2.124) mogli napisati u obliku
Kˆ dx * 1
2
2
( Kˆ 1 )*dx 2 (1* )*dx 2 1dx
(2.125)
Međutim, leva strana (2.124) je jednaka
Kˆ dx dx dx * 1
2
* 1
* 2
2
1
(2.126)
odakle zaključujemo da relacija (2.215) nije zadovoljena, odnosno da Kˆ nije Hermite-ov operator.
81
c) Pošto je Kˆ operator kompleksne konjugacije njegovim dejstvom na izabranu funkciju dobija se konjugovana funkcija tj. ˆ * K
(2.127)
Ukoliko konjugujemo levu i desnu stranu prethodnog izraza dobijamo: ˆ )* ( * )* ( K
(2.128)
Uvedimo oznaku * , čime (2.218) dobija formu Kˆ * * Kˆ * *
(2.129)
Zaključujemo da se dejstvo operatora Kˆ * na proizvoljnu funkcije takođe svodi na konjugovanje date funkcije, odnosno da važi
Kˆ * Kˆ
(2.130)
7. Pokazati da ako su Aˆ i Bˆ dva operatora koji zadovoljavaju relaciju [ Aˆ , Bˆ ], Aˆ 0 , tada važi relacija [ Aˆ m , Bˆ ] mAˆ m 1[ Aˆ , Bˆ ] za sve pozitivne celobrojne vrednosti m. Rešenje: Ovaj problem rešićemo uz pomoć matematičke indukcije. Posmatrajmo prvo slučaj kada je m 1 , čime se tražena relacija svodi na identitet
[ Aˆ , Bˆ ] [ Aˆ , Bˆ ]
(2.131)
koji je svakako zadovoljen. Pretpostavimo sada da je za proizvoljno m ispunjen uslov [ Aˆ m , Bˆ ] mAˆ m 1[ Aˆ , Bˆ ]
(2.132)
i proverimo da li na osnovu ove pretpostavke možemo pokazati da je relacija zadovoljena i za n m 1 . U razvijenom obliku, (2.132) glasi ˆ ˆ BA ˆ ˆ m mAˆ m 1 ( AB ˆ ˆ) Aˆ m Bˆ BA
(2.133)
Pomnožićemo prethodni izraz operatorom Aˆ sa leve strane, što daje ˆ ˆ ˆ m mAˆ m ( AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ) Aˆ m 1 Bˆ ABA
ˆ ˆ m 1 : a zatim ćemo leve strane (2.134) dodati i oduzeti član BA
82
(2.134)
ˆ ˆ ˆ m BA ˆ ˆ ) Aˆ m mAˆ m ( AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ m 1 BA ˆ ˆ m 1 Aˆ m 1 Bˆ BA ˆ ˆ m 1 ( BA ˆ ˆ AB ˆ ˆ) Aˆ m 1 Bˆ ABA
ˆ ˆ BA ˆ ˆ BA ˆ ˆ m 1 mAˆ m ( AB ˆ ˆ ) ( AB ˆ ˆ ) Aˆ m Aˆ m 1 Bˆ BA
(2.135a) (2.135b)
Po uslovu zadatka važi [ Aˆ , Bˆ ] Aˆ Aˆ [ Aˆ , Bˆ ] 0 . Ako pomnožimo ovaj izraz operatorom Aˆ s desne strane, dobijamo: ˆ ˆ [ Aˆ , Bˆ ] Aˆ 2 [ Aˆ , Bˆ ] [ Aˆ , Bˆ ] Aˆ 2 Aˆ [ Aˆ , Bˆ ] Aˆ AA
(2.136)
Daljim uzastopnim množenjima dobijenog rezultatata pokazuje se da je [ Aˆ , Bˆ ] Aˆ m Aˆ m [ Aˆ , Bˆ ]
(2.137)
Zamenom u (2.135b) dobijamo ˆ ˆ BA ˆ ˆ BA ˆ ˆ m 1 mAˆ m ( AB ˆ ˆ ) ( AB ˆ ˆ ) Aˆ m (m 1)[ Aˆ , Bˆ ] Aˆ m 1 Bˆ BA
(2.138)
Čime smo pokazali da iz pretpostavke (2.134) sledi da je data relacija zadovoljena i za n m 1 , odnosno za sve pozitivne celobrojne vrednosti m. d 8. a) Pokazati da je operator Aˆ i ( x 2 1) ix Hermite-ov b) naći stanje ( x) za koje važi dx ˆA ( x) 0 i normirati ga; c) izračunati verovatnoću da se čestica u stanju ( x) nalazi u oblasti 1 x 1 . Rešenje: a) Odredićemo prvo adjungovani operator Aˆ :
d d d Aˆ i ( x 2 1) ix ix 2 i (ix) dx dx dx
(2.139)
d d ( x 2 ) i i x i dx dx
d d tako da dalje možemo pisati: Ranije je pokazano da je dx dx d d d d Aˆ ( x 2 )(i ) (i ) x( i ) i ( x 2 ) i ix dx dx dx dx
83
(2.140)
Treba voditi računa o prvom sabirku sa desne strane (2.140) i činjenici da, pošto se radi o d 2 ( x ) 2 x . Ovaj operatorima koji deluju na odgovarajuće funkcije, nikako ne smemo pisati dx deo operatora Aˆ izračunaćemo posebno: d 2 d d ( x ) ( x 2 ) x 2 2 x dx dx dx
(2.141)
d 2 d ( x ) x2 2x dx dx
Prema tome, izraz (2.140) dobija oblik: d d d Aˆ ix 2 2ix i ix i ( x 2 1) ix Aˆ dx dx dx
(2.142)
b) Traženu funkciju ( x) određujemo iz diferencijalne jednačine: Aˆ ( x) 0
i ( x 2 1)
d ix 0 dx
1 d x 1 x2 dx
(2.143)
čije rešenje glasi ( x) C
1
(2.144)
1 x2
Konstantu normiranja C odredićemo iz uslova
2
( x) dx 1
C
2
1
1 x
2
2
dx 1
C
1
( x)
1
1
1 x2
(2.145)
c) Verovatnoća da se čestica u stanju ( x) , koje je dato izrazom (2.145), nalazi u oblasti 1 x 1 iznosi: 1
P
1
2
( x) dx
1
1
1
1 x 1
2
dx
1
1
arctan x 1
1 1 2 2
(2.146)
d2 9. Posmatrati česticu koja se kreće duž x-ose i čiji je Hamiltonijan oblika Hˆ 2 16 x 2 , dx gde je realna konstanta koja ima dimenzije energije. a) Proveriti da li je funkcija 2 ( x) Ae 2 x sopstvena funkcija Hamiltonijana Hˆ , gde je A konstanta normiranja koju treba
84
odrediti. Ako jeste, naći sopstvenu vrednost. b) odrediti verovatnoću za nalaženje čestice bilo gde na negativnom delu x-ose. c) Naći sopstvenu vrednost koja odgovara talasnoj funkciji ( x) 2 x ( x) d) da li su funkcije ( x) i ( x) ortogonalne? Rešenje: a) Proverićemo da li je funkcija ( x) rešenje sopstvenog problema operatora Hamiltonijana Hˆ ( x) E ( x) : 2 2 d2 Hˆ ( x) 2 16 x 2 Ae 2 x 4 Ae 2 x 4 ( x) dx
(2.147)
Ovim smo pokazali da funkcija ( x ) jeste sopstvena funkcija operatora Hˆ , a odgovarajuća sopstvena vrednost iznosi E 4 . Konstantu normiranja odredićemo na sledeći način:
2
( x) dx 1
A
2
4 x e dx 1 2
A
2
4
1 A
2
(2.148)
b) Verovatnoća za nalaženje čestice na negativnom delu x-ose iznosi: P ( x 0) A
2
0
4 x e dx 2
2
0
e
4 x 2
dx
2 1 1 2 4 2
(2.149)
c) Sopstvenu vrednost koja odgovara talasnoj funkciji ( x) 2 x ( x) odredićemo delovanjem operatorom Hˆ na ovu funkciju: d2 Hˆ ( x) 2 16 x 2 2 x ( x) 2 ( x '' 2 ') 32 x 3 dx
(2.150)
2 xHˆ 4 ' 8 x 16 x 24 x 12 ( x)
Iz prethodnog izraza zaključujemo da sopstvena vrednost u ovom slučaju iznosi 12 d) Pošto je ( x) parna funkcija koordinate a ( x) neparna, njihov proizvod ( x)( x) je neparna funkcija, pa sledi:
( x)( x)dx 0
odnosno funkcije su ortogonalne.
85
(2.151)
10. Čestica mase m nalazi se u jednodimenzionalnoj potencijalnoj jami širine a ( 0 x a ) sa beskonačno visokim zidovima, u stanju reprezentovanom talasnom funkcijom ( x) i
1 x 1 2 x sin sin a a a a
(2.152)
Izračunati srednju vrednost kinetičke energije u stanju . Rešenje: Jama sa beskonačnom visokim zidovima prikazana je na Sl. 1.6, samo što treba zameniti oznaku širine d a i pomeriti koordinatni početak u levi zid jame, kao što je ilustrovano na Sl. 2.1.
Sl. 2.1 Jama sa beskonačno visokim zidovima širine a ( 0 x a )
Odgovarajuće sopstvene vrednosti energije i sopstvene funkcije date su izrazima (1.90) i (1.94): En
n ( x)
2 2 n 2 , n 1, 2,3, 2ma 2 2 n x sin , n 1, 2,3, a a
(2.153a)
(2.153b)
Očigledno je da se funkcija ( x) data izrazom (2.152) ne poklapa ni sa jednom od funkcija (2.153b), tj. ona nije sopstvena funkcija za ovaj problem već predstavlja linearnu kombinaciju sopstvenih stanja. Poređenjem zaključujemo da možemo napisati: ( x) i
1 1 1 ( x ) 2 ( x) 2 2
86
(2.154)
Srednju vrednost kinetičke energije određujemo uz pomoć izraza: a
Ek Tˆ *( x) Tˆ ( x) dx
(2.155)
0
2 d 2 gde je Tˆ operator kinetičke energije. Kako je u jami potencijalna energija jednaka 2m dx 2 nuli, u ovom slučaju je Hˆ Tˆ pa možemo pisati: a
a
1 * 1 * ˆ 1 1 Ek ( x) Hˆ ( x) dx i 1 2 H i 1 2 dx 2 2 2 2 0 0 *
(2.156)
Pošto je Hˆ n En n dalje imamo 1 * i 1 E E 5 2 2 i Ek E11 E2 2 dx 1 2 1* 2 2 2 4 ma 2 2 2 2 2 0 a
(2.157)
11. Čestica mase m nalazi se u jednodimenzionalnoj potencijalnoj jami sa beskonačno visokim zidovima ( 0 x a ), u stanju reprezentovanom talasnom funkcijom ( x) Ax( x a ) . a) normirati funkciju ( x) , b) izračunati srednju vrednost koordinate x u stanju , c) naći srednju vrednost operatora impulsa. Rešenje: a) Odgovarajuća jama sa beskonačnom visokim zidovima prikazana je na Sl. 2.1. Konstantu normiranja A odredićemo na uobičajeni način:
2
( x) dx 1
A
2
a
2 2 x ( x a) dx 1 0
A
2
a5 30 1 A 30 a5
(2.158)
b) Srednju vrednost koordinate izračunavamo uz pomoć izraza:
x xˆ
( x) xˆ ( x) dx *
(2.159)
što u konkretnom slučaju daje x A
2
a
a
x x ( x a) dx 2 2
0
c) Srednja vrednost operatora impulsa iznosi
87
2
(2.160)
px pˆ x
( x) pˆ
( x) dx A
*
x
2
a
d
x( x a)(i) dx x( x a) dx 0
(2.161)
0
12. a) Za stanja koja su sopstvena stanja čestice u beskonačno dubokoj jami širine a, naći srednje vrednosti koordinate i impulsa, kao i srednje kvadratne disperzije ovih veličina. b) Ako je stanje čestice u ovom sistemu opisano talasnom funkcijom ( x) Ax 2 ( x a) , naći srednju vrednost energije. Rešenje: a) Sopstvena stanja čestice u beskonačno dubokoj jami opisana su izrazom (2.153b). Na osnovu toga, zamenom u (2.159), dobijamo srednju vrednost koordinate čestice u stanju sa indeksom n, u obliku:
xn
2 a n x x sin 2 dx , a0 2 a a
*n ( x) xˆ n ( x) dx
n 1, 2,3,
(2.162)
i zaključujemo da ona ne zavisi od indeksa stanja. Srednja vrednost impulsa iznosi
px n
d n ( x) 1 n 2n x ( x)(i) dx i sin dx 0, dx a a 0 a a
* n
n 1, 2,3,
(2.162)
i takođe je ista za sva stanja. Da bismo izračunali srednju kvadratnu disperziju (odstupanje), na osnovu izraza (2.85), potrebno je da prethodno odredimo veličine xˆ 2 i pˆ x2 :
x2
n
xˆ 2 n
2 2 2 n x x sin dx a 0 a a
*n ( x) xˆ 2 n ( x) dx
a2 1 2n x x 2 cos dx 3 a0 a a
(2.163)
Posle dvostruke parcijalne integracije poslednjeg izraza dolazimo do rezultata: x2
a2 a2 2 2, 3 2n
n 1, 2,3,
(2.164)
a srednja kvadratna disperzija koordinate iznosi
x n x 2 n xn 2 a 2 2
1 1 2 2 , 12 2n
Kada je u pitanju operator impulsa, imamo
88
n 1, 2,3,
(2.165)
p 2 x
n
a d 2 n ( x) 2n 2 2 2 n 2 2 2 2 n x ( x)( ) dx sin dx 0 a dx 2 a3 a2 * n
2
(2.166)
Kako je px n 0 , sledi
px n px2 n 2
n 2 2 2 , a2
n 1, 2,3,
(2.167)
b) Da bismo mogli da izračunamo srednju vrednost energije čestice u stanju opisanom talasnom funkcijom ( x) Ax 2 ( x a) , neophodno je da prvo odredimo konstantu normiranja.
2
( x) dx 1
A
2
a
4 2 x ( x a) dx 1 A
2
0
a7 105 1 A 105 a7
(2.168)
Srednju vrednost energije dobijamo na osnovu izraza: a
a
105 2 d2 2 7 2 2 E Hˆ *( x) Tˆ *( x) dx 7 x ( x a ) [ x ( x a )] dx a 2m 0 dx 2 ma 2 0
(2.169)
13. Čestica se nalazi u stanju opisanom talasnom funkcijom
1 i 2 6 ( x ) u0 ( x ) u1 ( x) u2 ( x ) 3 3 3
(2.170)
gde su u0 , u1 i u2 sopstvene energije linearnog harmonijskog oscilatora koje odgovaraju energijama 12 , 32 , 52 , respektivno. a) Kojoj od ovih energija odgovara najveća verovatnoća da će biti izmerena pri pojedinačnom merenju na ovom sistemu. Koliko iznosi ta verovatnoća? b) Koliko iznosi srednja vrednost energije koja bi se dobila ukoliko bi eksperiment a) mogao da bude ponovljen puno puta. Kolika je verovatnoća da se izmeri ova vrednost? Rešenje: a) Hamiltonijan koji opisuje jednodimenzionalni linearni harmonijski oscilator je oblika:
pˆ 2 1 Hˆ x m 2 x 2 2m 2
(2.171)
ˆ E u , sopstvene gde je odgovarajuća konstanta. Rešavanjem sopstvenog problema Hu n n n 1 vrednosti dobija se u formi En (n 2 ) , n 0,1, 2, , a funkcije un izražene su preko
89
Hermite-ovih polinoma. Funkciju (2.170), koja predstavlja linearnu kombinaciju sopstvenih funkcija, napisaćemo u obliku: ( x) C0u0 ( x) C1u1 ( x) C2u2 ( x)
(2.172)
i proverićemo da li je ona normirana.
*( x) ( x)dx
C u ( x) C u ( x) C u ( x) C u ( x) C u ( x) C u ( x) dx * * 0 0
* * 1 1
* * 2 3
0 0
1 1
2 2
(2.173)
Kako je
u u dx * i
j
ij
, integral normiranja se svodi na
( x) ( x)dx C *
2
0
2
C1 C2
2
(2.174)
i direktnom zamenom vrednosti konstanti Cn iz (2.170) uveravamo se da je njegova vrednost jednaka jedinici. Verovatnoća da se prilikom pojedinačnog menjenja dobije vrednost energije 2 En iznosi Pn Cn , pa prema tome imamo: 1 2 P0 C0 , 9
2 2 P1 C1 , 9
2
P2 C2
2 3
(2.175)
Prema tome, najveća verovatnoća je da se izmeri vrednost E2 52 i jednaka je P2 2 3 . b) Srednja vrednost energije izračunava se na osnovu izraza: a
E *( x) Hˆ ( x) dx 0
(2.176)
C u ( x) C u ( x) C u ( x) Hˆ C u ( x) C u ( x) C u ( x) dx * * 0 0
* * 1 1
* * 2 3
0 0
1 1
2 2
ˆ E u , gornji integral se svodi na Pošto je Hu n n n 2
2
2
E E0 C0 E1 C1 E2 C2
37 18
(2.177)
Verovatnoća da se izmeri ova vrednost energije je nula, s obzirom da vrednost E nije jednaka ni jednoj od sopstvenih vrednosti energije, a samo sopstvene vrednosti mogu biti rezultat merenja.
90
14. Slobodna čestica nalazi se u trenutku t 0 u stanju opisanom talasnom funkcijom
2 x , A sin a ( x, 0) 0,
x a
(2.178)
x a
ˆˆ x pˆ x xˆ i xˆ 2 . Napomena: koristiti Za t 0 , naći sledeće vrednosti: pˆ x , xˆ , pˆ x2 , xp jednačinu d ˆ i A Hˆ , Aˆ dt
(2.179)
pˆ 2 Rešenje: Hamiltonijan slobodne čestice glasi Hˆ x , pa zamenom (2.179) izračunavamo 2m prvo izvod pˆ x po vremenu, na sledeći način: d 1 1 pˆ x , Hˆ pˆ x , pˆ x2 2m 0 pˆ x dt i i
(2.180)
Odavde sledi da pˆ x ne zavisi od vremena pa imamo: pˆ x
t 0
pˆ x
t 0
*( x, 0) pˆ x ( x, 0)dx *( x, 0)(i)
( x, 0) dx x
(2.181)
Zamenom talasne funkcije u obliku (2.178) dobijamo pˆ x
t 0
2i A
2
a
sin
a
3
x a
d (sin
x a
)0
(2.182)
Naredni primer rešavamo na sličan način: d 1 1 1 1 xˆ , Hˆ xˆ , pˆ x2 2m xˆ , pˆ x2 xˆ pˆ x 0 dt i i m 2im
(2.183)
Dalje je xˆ
t 0
xˆ
t 0
*( x, 0)xˆ ( x, 0)dx A
2
a
x sin
a
4
x a
dx 0
pošto je podintegralna funkcija neparna a granice integracije simetrične. Zatim imamo
91
(2.184)
d 2 1 1 1 pˆ x2 , Hˆ pˆ x2 , pˆ x2 2m pˆ x2 , pˆ x2 0 pˆ x dt i i 2im
(2.185)
U trenutku t 0 , srednja vrednost operatora pˆ x2 iznosi: pˆ x2
t 0
*( x, 0) 2 2 2 A a2 2
2
2 ( x, 0) dx x 2
2 2 A 2 x sin cos dx a a a a a
2
x
2
(2.186)
Da bismo izračunali gornju vrednost, neophodno je da odredimo konstantu normiranja A:
2
( x) dx 1
a
x
A A sin dx 1 d 4 a 2
2
A
4
2 a
2
2 x a 1 cos d dx 1
(2.187)
4 3a
Prema tome, imamo pˆ
2 x t 0
pˆ
2 x t 0
2 2 A a
2
4 2 2 3a 2
(2.188)
ˆˆ x pˆ x xˆ : Naredni primer odnosi se na operator xp d 1 xp ˆˆ x pˆ x xˆ ˆˆ x pˆ x xˆ , Hˆ xp dt i
(2.189)
Odredićemo prvo vrednost odgovarajućeg komutatora koristeći izraz (2.69): xp ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x px x, H i 2 px x, H 2 H , px x 0 2i 2 1 pˆ x 2 Hˆ , pˆ x xˆ pˆ x Hˆ , xˆ pˆ x xˆ , pˆ x2 m m
(2.190)
Na osnovu toga sledi: d 2 2 8 2 2 ˆˆ x pˆ x xˆ xp pˆ x 3ma 2 dt m odnosno
92
(2.191)
ˆˆ x pˆ x xˆ xp
t 0
ˆˆ x pˆ x xˆ xp
t 0
8 2 2 t 3ma 2
(2.192)
U trenutku t 0 imamo ˆˆ x pˆ x xˆ xp
t 0
ˆˆ x pˆ x xˆ ( x, 0)dx *( x, 0) 2 xp ˆˆ x i ( x, 0)dx *( x, 0) xp a
(2i) *( x, 0) x a
a
( x, 0) 2 dx i ( x, 0) dx x a
(2.193)
1
Pošto je talasna funkcija ( x, 0) realna, integral u gornjem izrazu možemo napisati u obliku a
( x, 0) x
a
a
a
a ( x, 0) 1 2 ( x, 0) 1 1 1 dx x dx x 2 ( x, 0) 2 ( x, 0)dx a x 2 a x 2 2 a 2
(2.194)
što daje ˆˆ x pˆ x xˆ xp
t 0
0
(2.195)
pa konačno dobijamo ˆˆ x pˆ x xˆ xp
t 0
8 2 2 t 3ma 2
(2.196)
Na kraju, odredimo vremensku zavisnost xˆ 2 : 1 d 2 xˆ 2 , Hˆ xˆ dt i
(2.197)
Prvo ćemo izračunati vrednost komutatora i xˆ 2 , Hˆ Hˆ , xˆ xˆ xˆ Hˆ , xˆ pˆ x xˆ xp ˆˆ x m
(2.198)
Zamenom ovog izraza u (2.197) dobijamo d 2 1 8 2 2 ˆˆ x pˆ x xˆ xˆ xp 3m 2 a 2 dt m
(2.199)
odnosno, xˆ
2
4 2 2 2 xˆ 2 2t t 0 3m a 2
t 0
93
(2.200)
Potrebno je još odrediti srednju vrednost operatora u trenutku t 0 . xˆ 2
t 0
*( x, 0)xˆ 2 ( x, 0)dx A
2
2 4 x sin
x a
dx
4 8 2 15 3 a 3a 32 2
a 2 2 15 2 3 8
(2.201)
Na osnovu prethodna dva izraza dolazimo do rezultata: xˆ 2
t 0
a 2 2 15 4 2 2 2 2 2 t 3 2 8 3m a
(2.202)
2.5 OPERATOR MOMENTA KOLIČINE KRETANJA U klasičnoj mehanici moment količine kretanja čestice u odnosu na neku fiksiranu tačku se definiše kao vektorski proizvod vektora položaja u odnosu na posmatranu tačku i impulsa čestice: L r p . U kvantnoj mehanici, odgovarajući operator momenta količine kretanja dobija se zamenom vektora r i p operatorima koji ih reprezentuju:
ˆ L rˆ pˆ
(2.203)
gde su operatori koordinate i impulsa određeni izrazima (2.7a) i (2.7b). U razvijenoj formi, izraz (2.203) dobija oblik
ix ˆ L i (r ) xˆ pˆ x
iy yˆ pˆ y
iz zˆ Lˆx ix Lˆ y iy Lˆz iz pˆ z
(2.204)
ˆ gde operatori Lˆx , Lˆ y i Lˆz predstavljaju projekcije operatora L na x, y i z osu respektivno, i imaju formu Lˆx yˆ pˆ z zˆ pˆ y
(2.205a)
Lˆ y zˆ pˆ x xˆ pˆ z
(2.205b)
Lˆz xˆ pˆ y yˆ pˆ x
(2.205c)
ˆ Ispitaćemo da li je operator L Hermite-ov operator. Kako je
94
ˆ L Lˆx ix Lˆ y iy Lˆz iz
Lˆx ix Lˆ y iy Lˆx iz
(2.206)
treba proveriti da li je Lˆi Lˆi ( i x, y, z ). Proveru ćemo izvršiti na primeru operatora Lˆx : Lˆx yˆ pˆ z zˆ pˆ y yˆ pˆ z zˆ pˆ y pˆ z yˆ pˆ y zˆ pˆ z yˆ pˆ y zˆ Lˆx
(2.207)
a analogno se može pokazati i da su operatori Lˆ y i Lˆz Hermite-ovi operatori. Prema tome i ˆ operator L je Hermite-ov operator operator pošto je ispunjen uslov ˆ ˆ L L
(2.208)
2.5.1 Osobine projekcija operatora momenta količine kretanja 1) Osobine komutativnosti u odnosu na projekcije operatora koordinate ˆ ˆx Lˆx xˆ xˆ yˆ pˆ z zˆ pˆ y yˆ pˆ z zˆ pˆ y xˆ [ xˆ, Lˆx ] xL xˆ ( yˆ pˆ z ) xˆ ( zˆ pˆ y ) ( yˆ pˆ z ) xˆ ( zˆ pˆ y ) xˆ 0
(2.209)
ˆ ˆ pˆ y zˆ pˆ y xˆ na osnovu (2.71). Na sličan način se pokazuje da važi jer je xˆ yˆ pˆ z yˆ pˆ z xˆ i xz [ yˆ , Lˆ ] 0 , [ zˆ, Lˆ ] 0 , pa zaključujemo: y
z
[qˆi , Lˆi ] 0,
i, j {x, y, z}
(2.210)
S druge strane, ako posmatramo komutator različitih komponenti operatora koordinate i momenta količine kretanja imamo, na primer: ˆ ˆ y Lˆ y xˆ xˆ zˆ pˆ x xˆ pˆ z zˆ pˆ x xˆ pˆ z xˆ [ xˆ, Lˆ y ] xL ˆ ˆ pˆ x xx ˆ ˆ pˆ z zˆ pˆ x xˆ xˆ pˆ z xˆ zˆ xˆ pˆ x pˆ x xˆ izˆ xz
(2.211)
Takođe se može pokazati da važi [ yˆ , Lˆz ] ixˆ i [ zˆ, Lˆx ] iyˆ . Ovi izrazi, zajedno sa (2.210), se mogu generalizovati na sledeći način: [qˆi , Lˆ j ] iqˆk i , j ,
i , j 1 i , j ; k i, j
95
(2.212)
gde je i, j , k {x, y, z} , i pri tome je ispunjen ciklični redosled članova u izrazu (2.212). yˆ zˆ , Ciklični redosled podrazumeva da su komponente i, j , k raspoređene u redosledu xˆ a ako je raspored i, j suprotan cikličnom, s desne strane izraza dobija se znak minus ( [ yˆ , Lˆ ] izˆ , [ zˆ, Lˆ ] ixˆ , [ xˆ, Lˆ ] iyˆ ). x
z
y
2) Osobine komutativnosti u odnosu na projekcije operatora impulsa Posmatrajmo prvo komutator [ pˆ x , Lˆx ] pˆ x Lˆx Lˆx pˆ x pˆ x yˆ pˆ z zˆ pˆ y yˆ pˆ z zˆ pˆ y pˆ x
(2.213)
pˆ x yˆ pˆ z pˆ x zˆ pˆ y yˆ pˆ z pˆ x zˆ pˆ y pˆ x 0
Slično se pokazuje da važi [ pˆ y , Lˆ y ] 0 , [ pˆ z , Lˆz ] 0 . Ukoliko se radi o različitim komponentama operatora impulsa i momenta impulsa imamo: [ pˆ x , Lˆ y ] pˆ x Lˆ y Lˆ y pˆ x pˆ x zˆ pˆ x xˆ pˆ z zˆ pˆ x xˆ pˆ z pˆ x
(2.214)
pˆ x zˆ pˆ x pˆ x xˆ pˆ z zˆ pˆ x pˆ x xˆ pˆ z pˆ x pˆ z xˆ pˆ x pˆ x xˆ ipˆ z
[ pˆ y , Lˆx ] ipˆ z , [ pˆ z , Lˆ y ] ipˆ x , i analogno, [ pˆ y , Lˆz ] ipˆ x , [ pˆ z , Lˆx ] ipˆ y , kao i [ pˆ x , Lˆz ] ipˆ y . Ove osobine se mogu generalizovati na sledeći način: [ pˆ i , Lˆ j ] ipˆ k i , j ,
k i, j
(2.215)
gde i, j , k zadovoljavaju cikličan redosled.
ˆ 3) Osobine komutativnosti u odnosu na druge projekcije operatora L Svakako je ispunjeno [ Lˆi , Lˆi ] 0 , i {x, y, z} , međutim, kada su u pitanju različite ˆ komponente operatora L imamo: 0 0 [ Lˆx , Lˆ y ] [ yˆ pˆ z zˆ pˆ y , zˆ pˆ x xˆ pˆ z ] [ yˆ pˆ z , zˆ pˆ x ] [ yˆ pˆ z , xˆ pˆ z ] [ zˆ pˆ y , zˆ pˆ x ] [ zˆ pˆ y , xˆ pˆ z ]
yˆ pˆ z zˆ pˆ x zˆ pˆ x yˆ pˆ z zˆ pˆ y xˆ pˆ z xˆ pˆ z zˆ pˆ y yˆ pˆ x pˆ z zˆ zˆ pˆ z pˆ y xˆ zˆ pˆ z pˆ z zˆ i
i xˆ pˆ y yˆ pˆ x iLˆz
i
(2.216)
96
kao i [ Lˆ y , Lˆz ] iLˆx , [ Lˆz , Lˆx ] iLˆ y . U opštem slučaju možemo pisati [ Lˆi , Lˆ j ] iLˆ j i , j ,
k i, j
(2.217)
uz podrazumevanje cikličnog redosleda komponenti prilikom ovakvog zapisa. Prethodni izraz možemo iskoristiti da izračunamo sledeći vektorski proizvod: ix ˆ ˆ L L Lˆx Lˆ x
iy Lˆ
y
Lˆ y
iz Lˆz Lˆ y Lˆz Lˆz Lˆ y ix Lˆz Lˆx Lˆx Lˆz iy Lˆx Lˆ y Lˆ y Lˆx iz Lˆ
z
ˆ iLˆx ix iLˆ y iy iLˆz iz iL
(2.218) Primetimo da vrednost gornjeg izraza nije nula, s obzirom da se radi o operatorskim veličinama, dok je u klasičnoj mehanici svakako L L 0 . Odredimo takođe skalarni proizvod ˆ operatora L sa samim sobom: ˆ ˆ L L Lˆ2 Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z (2.219) Operator Lˆ2 se u literaturi naziva i operator totalnog angularnog momenta i on će imati značajnu ulogu prilikom analize problema vodonikovog atoma i određivanja njegove energetske strukture. Posmatrajmo sledeći komutator: 0
[ Lˆx , Lˆ2 ] [ Lˆx , Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z ] [ Lˆx , Lˆ2x ] [ Lˆx , Lˆ2y ] [ Lˆx , Lˆ2z ] [ Lˆx , Lˆ y ] Lˆ y Lˆ y [ Lˆx , Lˆ y ] [ Lˆx , Lˆz ] Lˆz Lˆz [ Lˆx , Lˆz ] iLˆ z
iLˆz
iLˆ y
(2.220)
iLˆ y
i[ Lˆz , Lˆ y ] i[ Lˆ y , Lˆz ] 0 Na sličan način se pokazuje da je [ Lˆ y , Lˆ2 ] 0 , [ Lˆz , Lˆ2 ] 0 , odnosno, uopšteno: [ Lˆi , Lˆ2 ] 0,
i {x, y, z}
(2.221)
Na osnovu izraza (2.221) zaključujemo da operatori Lˆi imaju zajedničke sopstvene funkcije sa operatorom Lˆ2 i da se odgovarajuće sopstvene vrednosti mogu istovremeno odrediti. Kako,
97
međutim, opeatori Lˆi međusobno nisu komutativni (za i j ), prema (2.217), sledi da operator Lˆ2 mora imati degenerisani skup sopstvenih funkcija. Na primer, Lˆx i Lˆ2 imaju zajedničke sopstvene funkcije, a takođe i Lˆ i Lˆ2 imaju zajedničke sopstvene funkcije, ali kako je y
[ Lˆx , Lˆ y ] 0 jasno je da Lˆx i Lˆ y nemaju zajedničke sopstvene funkcije (osim trivijalnih), što znači da istoj sopstvenoj vrednosti operatora Lˆ2 odgovaraju različite sopstvene funkcije (pojava degeneracije). Iz prethodnih komutacionih relacija može se izvesti važan zaključak da se sopstvena vrednost operatora Lˆ2 može istovremeno odrediti sa sopstvenom vrednošću jednog i samo jednog od operatora Lˆx , Lˆ y i Lˆz . Po konvenciji, obično se uzima z-komponenta kao osa kvantizacije, odnosno bira se par komutativnih operatora Lˆ i Lˆ2 za dalju analizu, z
mada je isto tako moguće napraviti i drugi izbor s obzirom da je taj izbor proizvoljan. Odabir Lˆz komponente fizički znači da će vrednost totalnog angularnog momenta čestice i vrednost projekcije momenta na z-osu biti tačno određene, dok će istovremeno x i y komponente biti potpuno neodređene. Na osnovu toga zaključujemo da vektor momenta količine kretanja mora ležati na površini konusa čija osa simetrije je upravo z-osa a vrh konusa je u koordinatnom početku. Da bismo kasnije mogli da odredimo sopstvene vrednosti operatora Lˆ2 uvešćemo još dva dodatna operatora: Lˆ Lˆx iLˆ y
(2.222a)
Lˆ Lˆx iLˆ y
(2.222b)
Uverićemo se da operatori Lˆ i Lˆ nisu Hermite-ovi operatori, odnosno da ne odgovaraju ni jednoj fizičkoj veličini:
Lˆ Lˆx iLˆ y Lˆ Lˆx iLˆ y
Lˆ x iLˆ y Lˆ
(2.223a)
Lˆ x iLˆ y Lˆ
(2.223b)
Odredimo proizvod operatora Lˆ i Lˆ :
Lˆ Lˆ Lˆx iLˆ y
Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ iLˆ Lˆ i
Lˆ2x Lˆ2y Lˆz
(2.224a)
Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ iLˆ Lˆ i
Lˆ2x Lˆ2y Lˆz
(2.224b)
x
y
2 x
y
x
x
y
2 y
iLˆ z
Lˆ Lˆ Lˆx iLˆ y
x
y
2 x
y
x
x
iLˆz
Oduzimanjem (2.224b) od (2.224a) dobijamo komutator:
98
y
2 y
[ Lˆ , Lˆ ] 2Lˆz
(2.225)
Posmatrajmo komutacione osobine u odnosu na operator Lˆ2 : [ Lˆ , Lˆ2 ] [ Lˆx , Lˆ2 ] i[ Lˆ y , Lˆ2 ] 0
(2.226a)
[ Lˆ , Lˆ2 ] [ Lˆx , Lˆ2 ] i[ Lˆ y , Lˆ2 ] 0
(2.226b)
Zaključujemo da operatori Lˆ i Lˆ2 imaju zajedničke sopstvene funkcije, a isto se može reći i za par operatora Lˆ , Lˆ2 . S druge strane, Lˆ i Lˆ nisu komutativni sa Lˆz :
[ Lˆz , Lˆ ] [ Lˆz , Lˆx ] i [ Lˆz , Lˆ y ] Lˆx iLˆ y Lˆ iLˆ y
iLˆx
[ Lˆz , Lˆ ] [ Lˆz , Lˆx ] i [ Lˆz , Lˆ y ] Lˆx iLˆ y Lˆ iLˆ y
(2.227a)
(2.227b)
iLˆx
2.5.2 Osobine operatora Lˆz Problem određivanja sopstvenih vrednosti i odgovarajućih sopstvenih funkcija operatora Lˆz je najadekvatnije rešavati u sfernom koordinatnom sistemu (prelazeći na koordinate (r , , ) ) pa ćemo izvršiti zamenu x r sin cos , y r sin sin , z r cos , gde 0, , 0, 2 , r 0, ) . Oblik operatora Lˆ u sfernim koordinatama glasi: z
Lˆz i
(2.228)
Napisaćemo sopstveni problem za operator Lˆz : Lˆz Lz
(2.229)
gde je sa Lz označena sopstvena vrednost, dok predstavlja odgovarajuću sopstvenu funkciju. Zamenom oblika (2.228) dolazimo do diferencijalne jednačine i
Lz
čije rešenje ima formu:
99
(2.230)
( ) Ae
L i z
(2.231)
Kako sopstvena funkcija mora biti jednoznačna u svakoj tački prostora, a promena ugla za 2 nas vraća u istu tačku, nameće se granični uslov:
( 2 ) ( )
(2.232)
odakle zaključujemo da mora važiti Lz m,
m 0, 1, 2,
(2.233)
Na ovaj način odredili smo sopstvene vrednosti operatora Lˆz u formi celobrojnog umnoška redukovane Planck-ove konstante , a broj m se naziva magnetski kvantni broj. Zamenom u izraz za sopstvenu funkciju (2.231) dobijamo: m ( ) Aeim ,
m 0, 1, 2,
(2.234)
Konstantu A možemo odrediti iz uslova normiranja sopstvenih funkcija na jedinicu u oblasti svih dozvoljenih vrednosti ugla : 2
2
m
( ) d 1
2
A 2 1
(2.235)
0
odakle ćemo odabrati A 1 u obliku
2 . Konačno, sopstvene funkcije operatora Lˆz možemo napisati m ( )
1 im e , 2
m 0, 1, 2,
(2.236)
2.5.3 Osobine operatora Lˆ2 Rešavaćemo sopstveni problem operatora Lˆ2 , prikazan u standardnoj formi, gde je uobičajeno da se sopstvene vrednosti kvadrata operatora momenta količine kretanja predstave u obliku L2 2 Lˆ2Y L2Y 2Y
(2.237)
U prethodnom izrazu, veličina je bezdimenzionalna, a sa Y su označene sopstvene funkcije operatora Lˆ2 . Pošto su operatori Lˆ2 i Lˆz komutativni, oni imaju zajedničke sopstvene funkcije, pa ćemo rešenje jednačine (2.237) tražiti upravo tako da su funkcije Y istovremeno sopstvene
100
funkcije oba operatora (a samim tim se i odgovarajuće sopstvene vrednosti ova dva operatora mogu istovremeno odrediti). Pod ovim uslovima možemo pisati LˆzY mY
(2.238)
Ukoliko delujemo operatorom Lˆz na levu i desnu stranu prethodne jednačine, dobijamo:
Lˆz LˆzY Lˆz mY m LˆzY
(2.239)
mY
odnosno Lˆ2zY m 2 2Y
(2.240)
Zaključujemo da su posmatrane funkcije Y istovremeno i sopstvene funkcije operatora Lˆ2z sa sopstvenim vrednostima m 2 2 . Na osnovu izraza (2.219) možemo pisati Lˆ2 Lˆ2z Lˆ2x Lˆ2y
(2.241)
Potražimo kvantnomehaničku srednju vrednost operatora s leve strane znaka jednakosti u prethodnom izrazu, koristeći (2.237) i (2.240): Lˆ2 Lˆ2z Y * Lˆ2 Lˆ2z Yd Y * Lˆ2Y d Y * Lˆ2zY d 2 m 2 2
Y
(2.242)
2 2
m Y
gde je d odgovarajući element prostora odnosno proizvod diferencijala svih koordinata od kojih funkcije Y zavise, a podrazumevamo da su funkcije Y normirane na jedinicu na celom prostoru . S druge strane, na osnovu (2.241) imamo Lˆ2 Lˆ2z Y * Lˆ2x Lˆ2y Yd Y * Lˆ2xY d Y * Lˆ2yY d Lˆ2x Lˆ2y
(2.243)
Pošto smo funkcije Y izabrali tako da predstavljaju zajedničke sopstvene funkcije operatora Lˆ2 i Lˆz , to znači da one ne mogu biti istovremeno i sopstvene funkcije operatora Lˆx i Lˆ y , pa ni Lˆ2 i Lˆ2 , i prema tome desna strana izraza (2.243) ne može biti jednaka zbiru sopstvenih x
y
vrednosti operatora Lˆ2x i Lˆ2y , već se radi o zbiru odgovarajućih kvantnomehaničkih srednjih vrednosti. Pokazaćemo da su ove veličine nenegativne na primeru operatora Lˆ2 . x
Kako je operator Lˆx Hermite-ov operator i ima realne sopstvene vrednosti, sledi da je i operator Lˆ2 takođe Hermite-ov operator ( ( Lˆ2 ) Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ2 ) pa su njegove sopstvene x
x
101
x
x
x
x
x
vrednosti realne i jednake kvadratu sopstvenih vrednosti operatora Lˆx (analogno izrazima (2.238)-(2.240) samo napisanim sa sopstvenim funkcijama i sopstvenim vrednostima operatora Lˆx ), i prema tome moraju biti nenegativne. Jasno je da je i odgovarajuća kvantnomehanička srednja vrednost dobijena pomoću sopstvenih vrednosti operatora Lˆ2 takođe nenegativna, a x
isti zaključak se izvodi i za Lˆ . Prema tome, može pisati 2 y
Lˆ2 Lˆ2z Lˆ2x Lˆ2y 0
(2.244)
odnosno, na osnovu (2.242)
m2 0
m
(2.245)
Moguće vrednosti odredićemo uz pomoć operatora Lˆ i Lˆ , datih izrazima (2.222a) i (2.222b). Posmatraćemo sopstvene funkcije operatora Lˆ2 koje smo obeležili sa Y i formiraćemo nove funkcije Lˆ Y , a zatim delovati na njih operatorom Lˆ2 koristeći osobinu
komutativnosti (2.226a): Lˆ2 ( LˆY ) Lˆ L2Y Lˆ 2Y 2 ( LˆY )
(2.246)
Zaključujemo da su funkcije LˆY takođe sopstvene funkcije operatora Lˆ2 , sa istim sopstvenim vrednostima 2 . Na identičan način možemo pokazati da važi: Lˆ2 ( LˆY ) 2 ( LˆY )
(2.247)
odnosno da su i funkcije LˆY sopstvene funkcije operatora Lˆ2 sa odgovarajućim sopstvenim vrednostima 2 . Proverićemo kakvo je dejstvo operatora Lˆ na funkcije Lˆ Y i Lˆ Y koristeći z
osobine (2.227a) i (2.227b): Lˆz ( LˆY ) ( Lˆ Lˆz Lˆ )Y Lˆ LˆzY LˆY (m 1)( LˆY )
(2.248)
mY
Dakle, funkcije LˆY su sopstvene funkcije operatora Lˆz sa sopstvenim vrednostima (m 1) . Slično tome imamo: Lˆz ( LˆY ) ( Lˆ Lˆz Lˆ )Y Lˆ LˆzY LˆY (m 1)( LˆY )
(2.249)
m Y
Poslednja dva izraza mogu se generalizovati na sledeći način: Lˆz ( LˆkY ) (m k )( LˆkY )
102
(2.250a)
Lˆz ( LˆkY ) (m k )( LˆkY )
(2.250b)
Na osnovu izraza (2.245) jasno je da ako funkcije Y istovremeno predstavljaju sopstvene funkcije operatora Lˆ2 i Lˆz , tada za datu sopstvenu vrednosti 2 , vrednost magnetskog kvantnog broja m mora biti ograničena. Posmatrajmo jednu od funkcija Y koju ćemo označiti sa Ym i obeležimo minimalnu i maksimalnu vrednost magnetnog kvatnog broja za dato sa mmin i mmax , respektivno. Napišimo izraz (2.248) za specijalan slučaj kada je m mmax : Lˆz ( LˆYmmax ) (mmax 1)( LˆYmmax ) 0
(2.251)
Na osnovu prethodnog izraza, funkcija LˆYmmax bi trebalo da bude sopstvena funkcija operatora Lˆ sa sopstvenom vrednošću (m 1) , što je nemoguće jer smo maksimalnu sopstvenu max
z
vrednost operatora Lˆz označili kao mmax , pa zaključujemo da desna strana izraza mora biti jednaka nuli. Ukoliko posmatramo drugi specijalan slučaj kada je m mmin imamo: Lˆz ( LˆYmmin ) (mmin 1) ( LˆYmmin ) 0
(2.252)
mmin
Zamenimo sada izraz (2.224a) u (2.251): Lˆ LˆYmmax ( Lˆ2x Lˆ2y Lˆz )Ymmax Lˆ2Ymmax Lˆ2zYmmax LˆzYmmax 0 Lˆ2 Lˆ2z
2Ymmax
2 2Ymmax mmax
(2.253)
mmax
odakle dobijamo 2 mmax mmax 0
(2.254)
Analogno, zamena (2.224b) u (2.252) daje 2 mmin mmin 0
(2.255)
Ukoliko oduzmemo (2.254) od (2.255) imamo: 2 2 mmax mmin mmax mmin 0
(2.256)
mmax mmin mmax mmin 1 0
(2.257)
odnosno
103
Gornja jednačina je zadovoljena u slučajevima 1) mmax mmin 0 ili 2) mmax mmin 1 0 . Kako u drugom slučaju sledi mmax mmin 1 , što je svakako nemoguće, ovo rešenje odbacujemo i zaključujemo da važi: mmax mmin
(2.258)
Vrednosti magnetskog kvantnog broja m se očigledno kreću u simetričnim granicama, a maksimalnu vrednost ćemo sada označiti sa l, tj. mmax l ( l 0 ), dakle: m 0, 1, 2, , l
(2.259)
Na osnovu (2.254) imamo:
l (l 1)
(2.260)
pa sopstvene vrednosti operatora Lˆ2 dobijaju formu L2 l (l 1) 2 , l 0,1, 2,
(2.261)
Celobrojna nenegativna veličina l naziva se orbitni kvantni broj. Iz (2.259) vidimo da jednoj vrednosti orbitnog kvantnog broja odgovara 2l 1 vrednost magnetskog kvantnog broja, što je ilustrovano na Sl. 2.2 za slučaj l 2 . Rezultat (2.261) pokazuje da se kvantovanje momenta količine kretanja vrši na drugačiji način nego što je bilo predviđeno u Bohr-ovoj teoriji (gde je korišćena relacija L n , odakle bi sledilo L2 n 2 2 ).
Sl. 2.2 Geometrijska reprezentacija kvantovanja ugaonog momenta za stanje sa l 2 .
Poluprečnik sfere iznosi L l (l 1) 2 . z-komponenta momenta količine kretanja je diskretizovana tako da je Lz m , gde je l m l
104
Sopstvene funkcije operatora Lˆ2 odredićemo rešavajući sopstveni problem (2.237), uz korišćenje oblika operatora Lˆ2 u sfernim koordinatama: 1 2 1 Lˆ2 2 sin sin 2 2 sin
(2.262)
čime dolazimo do diferencijalne jednačine 1 2 1 Y ( , ) l (l 1) 2Y ( , ) sin 2 2 sin sin 2
(2.263)
Pošto je na osnovu postavke problema, funkcija Y ( , ) istovremeno i sopstvena funkcija operatora Lˆz , ona mora biti srazmerna funkciji m ( ) datoj izrazom (2.236), uz faktor srazmere koji ne sme zavisiti od ugla već samo od . Na osnovu toga, rešenje za funkciju Y ( , ) tražićemo u formi proizvoda:
Y ( , ) ( )( )
(2.264)
Ako ovaj oblik funkcije Y ( , ) zamenimo u (2.263) i pomnožimo levu i desnu stranu jednačine faktorom sin 2 / ( ) , dobijamo izraz sin d d 1 d 2 l (l 1) sin 2 sin 2 d d d
(2.265)
U gornjoj jednačini možemo izvršiti razdvajanje sabiraka koji zavise samo od ugla i faktora koji zavise samo od , što daje sin d d 1 d 2 2 sin l ( l 1) sin d d 2 d
(2.266)
Kako sa različitih strana znaka jednakosti imamo funkcije koje zavise samo od po jedne promenljive ( ili ) koje su međusobno nezavisne, ovakva jednačina će biti zadovoljena za proizvoljne vrednosti promenljivih jedino u slučaju kada su i leve i desna strana jednake nekoj konstanti C koja na zavisi ni od ni od . Pretpostavimo da je ta konstanta negativna i napišimo je u obliku C K 2 , gde je K realan broj. Tada desna strana jednačine (2.266) dobija oblik
1 d 2 C K 2 d 2
a odgovarajuća rešenja su oblika
105
(2.267)
( ) e K
(2.268)
Jasno je da ovakva rešenja ne odgovaraju obliku (2.236) i da ne mogu zadovoljiti uslov jednoznačnosti (2.232), pa ih moramo odbaciti, odakle sledi da konstanta C u (2.267) ne može imati negativnu vrednost. U skladu sa time, uzećemo C K 2 , što daje
1 d 2 K2 2 d
(2.269)
čija rešenja su oblika ( ) e iK
(2.270)
Opšte rešenje u tom slučaju glasi ( ) AeiK Be iK , međutim kako funkcija ( ) po pretpostavci predstavlja sopstvenu funkciju operatora Lˆz , potrebno je da važi Lˆ ( ) m ( ) , odakle sledi: z
i
i iKAeiK iKBe iK K AeiK Be iK m AeiK Be iK
(2.271)
Zaključujemo da je neophodno da odbacimo jedno rešenje (pa ćemo uzeti B 0 ), kao i da konstantu K izjednačimo s magnetskim kvantnim brojem ( K m ), kako bi gornja jednačina bila zadovoljena, pa konačno dobijamo rešenje za funkciju ( ) u obliku ( )
1 im e , 2
m 0, 1, 2, , l
(2.272)
Ovo je očekivani rezultat koji smo mogli i direktno napisati, poznajući oblik sopstvenih funkcija operatora Lˆz , pri čemu smo funkciju (2.272) još i normirali na uobičajeni način, dat izrazom (2.235). Odredimo sada i drugu komponentu funkcije Y ( , ) koja zavisi od ugla . Na osnovu (2.266) i (2.272) imamo: sin d d 2 2 sin l (l 1) sin m d d
(2.273)
Uvedimo novu promenljivu cos , [1,1] . Množenjem gornje jednačine faktorom / sin 2 , uzimajući u obzir da je d d sin (d d ) i sin 2 1 2 , dolazimo do jednačine: d m2 2 d 1 l ( l 1) 0 d d 1 2
106
(2.274)
Ova diferencijalna jednačina je poznata u literaturi i jedno njeno rešenje predstavljaju pridruženi Legendre-ovi polinomi koji se obeležavaju oznakom Pl m ( ) i generišu se uz pomoć običnih Legendre-ovih polinoma ( Pl ( ) ), na sledeći način: m
Pl m ( ) 1 2 2
d m Pl ( ) , d m
m 0,1, 2, , l
(2.275)
pri čemu je Pl m ( ) Pl m ( ) jer u (2.274) figuriše samo m 2 . Na osnovu gornje formule jasno je da je Pl 0 ( ) Pl ( ) , kao i Pl m ( ) 0 za m l . Obični Legendre-ovi polinomi se mogu napisati u uopštenom obliku (Rodrigues-ova reprezentacija) kao l 1 dl 2 , Pl ( ) l 1 2 l ! d l
l 0,1, 2,
(2.276)
pa (2.275) možemo napisati u formi m
Pl m ( ) 1 2 2
d m l ( 2 1)l , d m l 2l l !
m 0, 1, 2, , l
(2.277)
Napomenimo da drugo rešenje diferencijalne jednačine (2.274) predstavljaju pridruženi Legendre-ovi polinomi druge vrste koji se obeležavaju sa Qlm ( ) , međutim, ovi polinomi imaju singularitete u tačkama 1 i ne mogu se normirati. Prema tome, iako opšte rešenje jednačine (2.274) ima oblik ( ) APl m ( ) BQlm ( ) , prilikom određivanja sopstvene funkcije operatora Lˆ2 moramo uzeti B 0 , pa imamo ( ) APl m ( )
(2.278)
gde je A konstanta normiranja. Pridruženi Legendre-ovi polinomi imaju osobinu ortogonalnosti koja se izražava na sledeći način: 1
P
1
m l1
( ) Pl2m ( ) d
2(l m)! l ,l (2l 1)(l m)! 1 2
(2.279)
a na osnovu toga možemo izračunati konstantu normiranja A: A
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
(2.280)
Konačno, sopstvene funkcije operatora Lˆ2 možemo na osnovu (2.264), (2.272) i (2.278), napisati u obliku 107
Yl m ( , )
1 2
m ml ( 2 1)l im (2l 1)(l m)! 2 2 d 1 d m l 2l l ! e , 2(l m)!
cos
(2.281)
Za datu vrednost orbitnog broja l, sopstvena vrednost opertora Lˆ2 iznosi l (l 1) 2 i odgovara joj ukupno 2l 1 različitih sopstvenih funkcija Yl m ( m 0, 1, , l ), što je ujedno i stepen degeneracije. Može se pokazati da važi
2
m l
Y m ( , ) (2l 1) / 4 , tj. suma kvadrata m l l
modula sopstvenih funkcija koje odgovaraju istoj sopstvenoj vrednosti operatora Lˆ2 ne zavisi od uglova i . Stanja koja odgovaraju različitim vrednostima orbitnog kvantnog broja l ( l 0,1, 2,3 ) označavaju se kao s,p,d,f,…, respektivno. Funkcije Yl m date u obliku (2.281) nazivaju se sferni harmonici i navešćemo eksplicitan oblik prvih nekoliko sfernih harmonika: Y00
1 , 4
Y10
3 cos , 4
Y20
5 3cos2 1 , 16
Y11
3 sin ei , 8 Y21
Y11
3 sin e i 8
15 sin cos e i , 8
Y22
(2.282) 15 sin 2 e 2i 32
a na Sl. 2.3 ilustrovan je i prostorna zavisnost kvadrata modula nekoliko izabranih funkcija Yl m .
(a)
(b)
(c) 2
Sl. 2.3 Primeri ugaone zavisnosti funkcija Yl m ( , ) za a) l 0 , m 0 b) l 1 , m 0
c) l 1 , m 1 , u ovom slučaju prikazan je presek torusa u z,x i z,y ravni
108
2.6 KRETANJE ČESTICE U POLJIMA SA SFERNOM SIMETRIJOM Postoje brojni kvantni sistemi kod kojih potencijalna energija čestice zavisi samo od rastojanja r između čestice i centra iz kojeg na nju deluje odgovarajuća sila spoljašnjeg polja (centralna sila). Ovakav tip problema u kvantnoj mehanici se stoga naziva problem centralne sile. Da bismo napisali odgovarajuću Schrödinger-ovu jednačinu za ovakav slučaj, posmatraćemo prvo uopšteniji problem sistema koji se sastoji od dve čestice (Sl. 2.4)
Sl. 2.4 Ilustracija sistema od dve čestice čije su mase m1 i m2
Vektore položaja čestica 1 i 2 u odnosu na koordinatni početak 0, obeležićemo sa r1 i r2 respektivno, a mase čestica sa m1 i m2 . Tačka C označava položaj centra mase (težište sistema), a njegov vektor položaja obeležen je sa rc . Relativni vektor položaja čestice 2 u odnosu na česticu 1 nosi oznaku r . Ovaj sistem može se opisati sledećom Schrödinger-ovom jednačinom Hˆ Etot
(2.283)
gde je talasna funkcija (r , rc ) , Etot je ukupna energija sistema, a odgovarajući Hamiltonov operator ima oblik pˆ12 pˆ 22 ˆ H U (r ) 2m1 2m2
(2.284)
U ovom izrazu, pretpostavljeno je da potencijalna energija U (r ) zavisi samo od relativnog položaja čestica, jedne u odnosu na drugu (tj. vektora r ), a operatori impulsa čestica dati su u formi: pˆ1 i1 i ix iy iz y1 z1 x1
109
(2.285a)
pˆ 2 i 2 i ix iy iz y2 z2 x2
(2.285b)
Na osnovu toga, izraz (2.284) se može napisati i kao:
2 2 2 2 ˆ H 1 2 U (r ) 2m1 2m2
(2.286)
Položaj centra mase određujemo na osnovu jednačine:
m1r1 m2 r2 (m1 m2 )rc Uzimajući u obzir da je
r r2 r1
(2.287)
(2.288)
kombinovanjem sa (2.287) dobijamo:
r1 r2
m2 r rc r rc m1 m2 m1
m1 r rc r rc m1 m2 m2
(2.289a)
(2.289b)
gde predstavlja redukovanu masu ovog sistema i određuje se na osnovu izraza 1 1 m1 1 m2 , odnosno:
m1 m2 m1 m2
(2.290)
Kako potencijalna energija zavisi od koordinata vektora r , a ne od r1 i r2 pojedinačno, operatore 12 i 22 izrazićemo preko koordinata ( x, y, z ) i ( xc , yc , zc ) . Posmatrajmo parcijalni izvod: xc x x1 x1 xc x1 x
(2.291)
Kako je na osnovu (2.287) xc ( m2 ) x1 ( m1 ) x2 , a iz (2.288) sledi x x2 x1 , prethodni izraz dobija formu: x1 m2 xc x
110
(2.292)
a analogno se dobija i rezultat za y1 i z1 , pa sledi
1 c m2
(2.293)
Na sličan način imamo xc x x2 x2 xc x2 x m1 xc x
(2.294)
odnosno, u generalizovanom obliku
2 c m1
(2.295)
Sabiranjem izraza (2.293) i (2.295) i mnozenjem rezultujuće jednačine koeficijentom i dobijamo: i1 i1 i c (2.296) ˆ ˆ ˆ p1 p1 i c P
ˆ gde P predstavlja operator ukupnog impulsa sistema od dve čestice. S druge strane, ako izraz (2.295) pomnožimo sa m1 i zatim oduzmemo izraz (2.293) pomnožen sa m2 , imamo: (m1 m2 ) m1 2 m21 m1 2 m21 i pˆ r m1 m2
(2.297)
gde pˆ r reprezentuje relativni impuls čestica. Takođe, na osnovu izraza (2.293) i (2.295) sada
možemo izraziti i operatore 12 i 22 u formi 2
2 12 c 2 c2 2 c 2 m2 m2 m2
(2.298a)
2
2 22 c 2 c2 2 c 2 m1 m1 m1
(2.298b)
Na osnovu toga, Schrödinger-ova jednačina (2.283) dobija oblik:
2 2 2 c2 (r , rc ) (r , rc ) U (r ) (r , rc ) Etot (r , rc ) 2(m2 m1 ) 2
111
(2.299)
ili, uz pomoć (2.296) i (2.297)
pˆ 2 Pˆ 2 r U (r ) Etot 2M 2
(2.300)
gde je M m2 m1 ukupna masa. Jednačinu (2.299) rešavaćemo primenjujući metod razdvajanja promenljivih, pretpostavljajući talasnu funkciju u formi proizvoda:
(r , rc ) r (r ) c (rc )
(2.301)
a totalnu energiju u formi zbira energije Ec koja odgovara kretanju centra mase i energije E koja odgovara relativnom kretanju (jedne čestice u odnosu na drugu): Etot Ec E
(2.302)
Zamenom (2.301) i (2.302) u (2.299) i deljenjem rezultujuće jednačine faktorom r (r ) c (rc ) , dobijamo: c2 c (rc ) 2 2 r (r ) 2 (2.303) U (r ) Ec E 2(m2 m1 ) c (rc ) 2 r (r ) Prvi sabirak u gornjem izrazu predstavlja funkciju samo rc , dok drugi i treći sabirak predstavljaju funkcije samo r , pri čemu su kooordinate vektora r nezavisne od koordinata vektora rc . Da bi ovakve funkcije međusobno nezavisnih promenljivih dale u zbiru konstantu za proizvoljne vrednosti promenljivih, svaka od njih mora predstavljati konstantu, pa gornju jednačinu možemo razdvojiti na sledeći način: c2 c (rc ) 2 Ec 2(m2 m1 ) c (rc ) 2 2 r (r ) U (r ) E 2 r (r )
2 c2 c (rc ) Ec c (rc ) 2(m2 m1 )
2 2 r (r ) U (r ) r (r ) E r (r ) 2
Etot Ec E
(2.304a)
(2.304b) (2.304c)
Jednačina (2.304a) opisuje kretanje celog sistema i to je zapravo Schrödinger-ova jednačina koja odgovara slobodnom kretanju čestice mase m2 m1 čije rešenje je ranije izloženo pa ga smatramo poznatim. S druge strane, Schrödinger-ova jednačina (2.304b) opisuje unutrašnje kretanje, tj. kretanje čestice redukovane mase ( ) u potencijalnoj energiji U (r ) . Ovu jednačinu ćemo dalje detaljno analizirati, vodeći računa da uslov (2.304c) mora uvek biti zadovoljen.
112
U daljoj analizi ograničićemo se na potencijale sa centralnom (sfernom) simetrijom, gde potencijalna energija zavisi samo od rastojanja r tj. modula vektora r : U (r ) U (r ), r r
(2.305)
a odgovarajuća Schrödinger-ova jednačina za dalju analizu dobija oblik 2 2 r (r ) U (r ) r (r ) E r (r ) 2
(2.306)
Ovakav problem najprirodnije je rešavati u sfernim koordinatama, i u tom slučaju oblik Laplace-ovog operatora glasi: 2
1 2 1 1 r 2 sin 2 r r r r sin
2 1 2 2 sin
(2.307)
Pretpostavimo rešenje jednačine (2.306) u obliku
r (r ) r (r ) , ( , )
(2.308)
Zamenom (2.307) i (2.308) u (2.306) i deljenjem sa r (r ) , ( , ) dolazimo do diferencijalne jednačine:
2 1 1 d 2 d r r 2 r 2 r dr dr
2 2 2 r ,
1 , sin sin
2 1 , U (r ) E 2 2 sin (2.309)
Ovu jednačinu možemo preurediti na sledeći način (uz množenje sa (2 / 2 )r 2 ): 1 d 2 d r r dr r dr
1 2 2 2 [ E U (r )]r ,
1 , sin sin
2 1 , (2.310) 2 2 sin
Pošto leva strana gornjeg izraza zavisi samo od r, a desna strana samo od uglova i , zaključujemo da će jednakost ova dva izraza za proizvoljne vrednosti r, i biti zadovoljena samo ako su oba jednaka nekoj konstanti , pa sledi: d 2 d r r dr dr
2 2 2 [ E U (r )]r r r
1 , sin sin
2 1 , , 2 2 sin
113
(2.311a) (2.311b)
Ako uporedimo operator koji deluje na ugaonu funkciju , u jednačini (2.311b) sa izrazom (2.262) za operator Lˆ2 , vidimo da se ova jednačina može napisati u obliku: Lˆ2 , 2 ,
(2.312)
što predstavlja sopstveni problem operatora Lˆ2 . Na osnovu toga zaključujemo da je konstanta l (l 1) , dok ugaone funkcije , predstavljaju sferne harmonike Yl m ( , ) i određene su izrazom (2.281). Do ovog zaključka mogli smo doći i na sledeći način: operator Hamiltonijana za posmatrani problem, se na osnovu izraza (2.307), u sfernim koordinatama može prikazati u formi: Lˆ2 2 2 2 1 2 ˆ H U (r ) U (r ) r 2 2 r 2 r r 2 r 2
(2.313)
Na osnovu toga sledi: ˆ ˆ2 H , L 0
(2.314)
Pošto su operatori komutativni, oni imaju zajedničke sopstvene funkcije. Kako su sopstvene funkcije Lˆ2 sferni harmonici, sledi da i ugaoni deo , talasne funkcije (2.308) mora imati formu sfernih harmonika ( , Yl m ( , ) ). Deo talasne funkcije koji zavisi samo od r, r (r ) , naziva se radijalna talasna funkcija i ona je određena jednačinom (2.311a) koja sada dobija oblik: d 2 d r 2 2 r 2 [ E U (r )]r r l (l 1) r dr dr
(2.315)
Napisaćemo ovu jednačinu u pogodnijoj formi:
2 1 d 2 d r r 2 r 2 dr dr
2l (l 1) r E r U ( r ) 2 r 2
(2.316)
gde se dodatni sabirak uz potencijalnu energiju u drugoj zagradi, koji zavisi od orbitnog kvantnog broja l, i ima oblik 2l (l 1) L2 2 r 2 2I
(2.317)
naziva centrifugalna potencijalna energija. Sa I r 2 označili smo veličinu koja bi u klasičnoj fizici predstavljala moment inercije čestice mase pri rotaciji na rastojanju r u odnosu na osu rotacije. Može se uvesti pojam efektivne (ukupne) potencijalne energije U l (r ) :
114
U l (r ) U (r )
2l (l 1) 2 r 2
(2.318)
i tada jednačina (2.316) dobija oblik
2 1 d 2 d r r 2 r 2 dr dr
U l (r ) r E r
(2.319)
Ova jednačina se može dodatno pojednostaviti uvođenjem odgovarajuće smene: r (r )
R(r ) r
(2.320)
čime se (2.319) svodi na d 2 R 2 E U l (r ) R 0 dr 2 2
(2.321)
Ova forma je identična jednodimenzionalnoj Schrödinger-ovoj jednačini koja opisuje kretanje čestice mase u efektivnom potencijalu U l (r ) , ali treba voditi računa prilikom postavljanja odgovarajućih gračnih uslova i normiranja funkcije da je prava radijalna funkcija r (r ) rR(r ) , za koju ovi uslovi moraju važiti, dok je R(r ) samo pomoćna funkcija koja služi da Schrödinger-ovu jednačinu svedemo na jednostavniji oblik. Ukupna talasna funkcija (2.308) mora biti konačna i jednoznačna u svakoj tački prostora 2 ( 0, , 0, 2 , r 0, ) ), a kako veličina r (r ) predstavlja gustinu verovatnoće nalaženja čestice u posmatranoj tački prostora, ona mora biti normirana na jedinicu:
2 (r ) dV r
V
2
r (r ) r dr
r 0
2
2
Y
l
m
( , ) sin d d 1
(2.322)
0 0
Sferni harmonici određeni izrazom (2.281) su već normirani na jedinicu na sledeći način:
2
Y
m
l
( , ) sin d d 1
(2.323)
0 0
što nas dovodi do uslova
2
r (r ) r 2 dr 1
(2.324)
r 0
Ukoliko iskoristimo smenu (2.320), ovaj uslov izražen preko pomoćne funkcije R(r ) dobija poznatu formu:
115
2
R (r ) dr 1
(2.325)
r 0
Međutim, treba pažnjivo voditi računa o graničnom uslovu za r (r ) , odnosno R(r ) , kada r 0 . Pretpostavićemo da potencijalna energija U (r ) zadovoljava sledeći uslov u okolini koordinatnog početka: lim r 2U (r ) 0 r 0
(2.326)
što obuhvata većinu slučajeva od praktičnog interesa. U tom slučaju, efektivna potencijalna energija U l (r ) u okolini r 0 ima oblik: U l ( r 0 )
2l (l 1) 2 r 2
(2.327)
Pretpostavimo da je l 0 (tj. l 1, 2, ) i da u okolini r 0 pomoćnu funkciju R(r ) možemo napisati u obliku: R (r 0 ) As r s As 1r s 1 As 2 r s 2 As r s
(2.328)
gde su As , As 1 , As 2 , … konstante, a s prirodan broj ( s 1 ). Ako izraze (2.327) i (2.328) zamenimo u jednačinu (2.321), dobijamo: d 2 ( As r s ) 2 2l (l 1) 2 E As r s 0 2 2 dr 2 r
(2.329)
2 E s r 0 2
(2.330)
odakle direktno sledi s ( s 1)r s 2 l (l 1)r s 2
Deljenjem prethodnog izraza faktorom r s 2 dolazimo do oblika: s ( s 1) l (l 1)
2 E 2 r 0 2
(2.331)
A kako r 0 , sledi: s ( s 1) l (l 1) 0
(2.332)
Ova jednačina ima sledeća rešenja: s1 l 1 i s2 l . Jasno je da je drugo rešenje neprihvatljivo, jer funkcija oblika R (r ) r l nije kvadratno integrabilna. S druge strane, rešenje R(r ) r l 1 ima osobinu R (r 0 ) 0 i jeste kvadratno integrabilno, pa samim tim predstavlja validno rešenje. Zaključujemo da u slučaju l 1, 2, , imamo granični uslov
116
R ( r 0) 0
(2.333)
a može se pokazati da isto važi i za l 0 , međutim dokaz zahteva složenu analizu koja izlazi iz okvira ovog teksta pa ćemo ga izostaviti. Jednačina (2.321) se može dodatno pojednostaviti uvođenjem bezdimenzionalnih veličina: konkretno, ako su dozvoljene vrednosti energije pozitivne ( E 0 ), uveli bismo smenu kr , gde je k 2 E / 2 , što daje: d 2 R ( ) 2 1 2 2 U l ( ) R( ) 0, 2 d k
[0, )
(2.334)
S druge strane, ako su dozvoljene vrednosti energija negativne ( E 0 ), koristili bismo smenu
r , gde je 2 E / 2 , čime bismo dobili d 2 R ( ) 2 1 2 2 U l ( ) R( ) 0, 2 d
[0, )
(2.335)
Detaljnije ćemo analizirati karakteristične slučajeve kretanja u polju sa centralnom simetrijom, tj. određivaćemo radijalni deo talasne funkcije rešavajući Schrödinger-ovu jednačinu za konkretne oblike potencijalne energije U (r ) .
2.6.1 Slobodna čestica U slučaju slobodne čestice, potencijalna energija U (r ) je svuda konstantna pa možemo uzeti U (r ) 0 , i tada se ukupna potencijalna energija u Schrödinger-ovoj jednačini (2.321) svodi na centrifugalnu potencijalnu energiju: d 2 R 2 2l (l 1) E R0 dr 2 2 2 r 2
(2.336)
Poznato je da je energetski spektar slobodne čestice kontinualan, odnosno dozvoljene su sve vrednosti energije E 0 . Prelazeći na bezdimenzionalnu promenljivu , kao što je objašnjeno iznad formule (2.334), dolazimo do oblika: d 2 R( ) l (l 1) U l ( ) R( ) 0, 1 2 2 d
[0, )
(2.337)
a) Prvo ćemo tražiti rešenje ove jednačine u slučaju kada je l 0 (s-stanje). U tom slučaju imamo 117
d 2 R( ) R( ) 0 d 2
(2.338)
a opšte rešenje je oblika: Rl 0 ( ) A sin B cos
(2.339)
S obzirom na granični uslov R (0) 0 (2.333), sledi Rl 0 (0) B,
B0
(2.340)
a rešenje dobija formu Rl 0 (kr ) A sin kr ,
k 2 E / 2
(2.341)
odnosno sin kr r , l 0 (r ) A r
(2.342)
gde je A odgovarajuća konstanta normiranja. b) Ukoliko je l 0 (p,d,f,…-stanje), koristićemo funkciju ( ) R( ) / , što zamenom u diferencijalnu jednačinu (2.337) daje: d 2 ( ) 2 d ( ) l (l 1) 1 ( ) 0 d 2 d 2
(2.343)
2 l (l 1) y 1 y 0, x x 2 čija su dva linearno nezavisna rešenja sferne Bessel-ove funkcije jl ( x ) i sferne Neumann-ove funkcije l ( x) . Na osnovu toga, opšte rešenje jednačine (2.343) glasi: Ova jednačina u potpunosti je analogna diferencijalnoj jednačini y
( ) C jl ( ) Dl ( )
(2.344)
s tim što je neophodno proveriti ponašanje rešenja za slučaj kada 0 . Sferne Bessel-ove i sferne Neumann-ove funkcije, respektivno, mogu se prikazati sledećim izrazima: l
1 d sin jl ( ) J l ( ) (1)l l 2 d 1 2
(2.345a)
l
1 d cos l ( ) J l ( ) (1)l 1 l 2 d 1 2
118
(2.345b)
gde su J n ( ) (obične) Bessel-ove funkcije reda n (koji nije ograničen na celobrojne vrednosti). Beselove funkcije J n ( x) predstavljaju rešenja Bessel-ove diferencijalne jednačine n2 1 y 1 2 y 0 , a u našem slučaju radi se o rešenjima za n (l 1 2) . Da bi smo x x utvrdili da li rešenje u obliku (2.344) zaista predstavlja komponentu talasne funkcije, moramo proveriti njegovo asimptotsko ponasanje, koristeći odgovarajuće formule za sferne Bessel-ove i sferne Neumann-ove funkcije: y
0 jl ( )
l
(2.346a)
(2l 1)!!
1 jl ( ) sin 2l 0 l ( )
(2.346b)
(2l 1)!!
(2.346c)
l 1 1
l ( ) cos 2l
(2.346d)
Na osnovu izraza (2.346c) zaključujemo da se sferna Neumann-ova funkcija ne ponaša regularno u okolini koordinatnog početka, i da je moramo odbaciti (uzimanjem D 0 u (2.344)), pa imamo ( ) C jl ( ) C
J ( ) 2 l
(2.347)
1 2
Eksplicitan oblik nekoliko sfernih Bessel-ove i sfernih Neumann-ove funkcija glasi: jl ( x)
l ( x )
l 0
sin x x
cos x x
l 1
sin x cos x x2 x
l2
sin x 3sin x 3cos x x x3 x2
cos x sin x x2 x
cos x 3cos x 3sin x x x3 x2
Na osnovu oblika j0 , zaključujemo da se i rešenje za slučaj l 0 može pridružiti generalnom obliku rešenja izraženom preko sfernih Bessel-ovih funkcija, tj. da (2.347) važi za sve vrednosti orbitnog kvantnog broja l 0 . Na Sl. 2.5 dat je oblik zavisnosti prvih sfernih Besselovih i sfernih Neumann-ovih funkcija od koordinate.
119
Sl. 2.5 Ilustracija prvih pet a) sfernih Bessel-ovih funkcija b) sfernih Neumann-ovih funkcija
2.6.2 Sferna kvantna jama sa beskonačno visokim zidom Potencijalna energija koja odgovara ovom slučaju je oblika: 0, U (r ) ,
ra ra
(2.348)
Spektar energije za ovaj problem je diskretan i pozitivan ( E 0 ). U oblasti r a , Schrödinger-ova jednačina za radijalni deo talasne funkcije ima isti oblik kao za slobodnu česticu, pa je odgovarajuće rešenje r (r ) C jl (kr )
(2.349)
gde je k 2 E / 2 . U tački r a mora biti ispunjen granični uslov r (r a ) 0 , odakle sledi jl (ka ) 0
(2.350)
Nule sfernih Bessel-ovih funkcija nisu poznate u analitičkoj formi (osim za l 0 ), pa ćemo ih označiti sa l , n , gde n 1, 2,3 označava redni broj nule odgovarajuće funkcije reda l, tj. jl . Na osnovu toga možemo pisati ka l , n 2 E a l ,n 2
(2.351)
Prema tome, energije diskretnih stanja (kojih ima beskonačno mnogo) određene su izrazom:
120
El ,n
l2,n 2 2 a 2
(2.352)
a odgovarajuće radijalne talasne funkcije su oblika r (r ) C jl ( al ,n r )
(2.353)
l ,n
2.6.3 Sferna kvantna jama sa konačno visokim zidom U slučaju sferne jame konačne dubine, potencijalna energija ima formu: 0, U (r ) U 0 ,
ra ra
(2.354)
gde je U 0 0 , kao što je prikazano na Sl. 2.6.
Sl. 2.6 Sferna jama sa konačno visokim zidom, poluprečnika a
Zaključujemo da je spektar energija pozitivan ( E 0 ) i da su u oblasti 0 E U 0 dozvoljenja stanja diskretna, dok se za E U 0 radi o kontinualnim stanjima. Analiziraćemo detaljnije samo diskretna stanja, i rešavati Schrödinger-ovu jednačina u različitim oblastima strukture, datu u formi (2.321): d 2 R (r ) 2 l (l 1) 2 E R(r ) 0, 2 dr 2 r 2
121
ra
(2.355a)
d 2 R (r ) 2 l (l 1) 2 E U 0 R(r ) 0, 2 dr 2 r 2
ra
(2.355b)
a) Ograničimo se prvo na specijalan slučaj l 0 . Tada se gornje jednačine pojednostavljuju i možemo ih napisati na sledeći način: d 2 R(r ) k 2 R(r ) 0, 2 dr 2 d R (r ) 2 R(r ) 0, 2 dr
ra ra
(2.356a) (2.356b)
gde je k 2 E / 2 , 2 (U 0 E ) / 2 , a odgovarajuća rešenja glase 0
R (r ) A sin(kr ) B cos(kr ), 0
R (r ) Ce r D e r ,
ra
ra
(2.357a) (2.357b)
U slučaju kada r 0 , funkcija R(r ) mora biti jednaka nuli pa sledi B 0 , a takođe, kada r , bilo bi e r r , pa moramo izabrati D 0 . Za vrednost r a (površina sfere poluprečnika a), radijalna funkcija i njen prvi izvod moraju biti neprekidni, što daje sledeće uslove: A sin(ka ) Ce a
(2.358a)
kA cos(ka ) Ce a
(2.358b)
Deljenjem jednačine (2.358a) sa (2.358b), lako dolazimo do transcendentne jednačine koja definiše dozvoljene energije diskretnih stanja: tan(ka )
k
E , U0 E
E U0
(2.359)
Dalja analiza ovog izraza analogna je kao za (1.102): desnu stranu izraza (2.359) označićemo sa f1 ( E ) , tj. f1 ( E ) E U 0 E , a levu stranu sa f 2 ( E ) tan(ka) i tražiti presečne tačke ovih funkcija. Funkcija f1 ( E ) je svuda negativna izuzev f1 (0) 0 i monotono opadajuća, i ima vertikalnu asimptotu u E U 0 . Pošto diskretna stanja egzistiraju samo u oblasti energija E U 0 , maksimalna vrednost argumenta funkcije f 2 ( E ) iznosi (ka ) max 2 U 0 / 2 . Na slici 2.7 dat je grafički prikaz funkcija f1 (ka) i f 2 (ka) za različite visine potencijalne barijere U 0
122
Sl. 2.7 Grafički prikaz dobijanja rešenja transcendentne jednačine (2.359); prikazani su slučajevi 0 (ka ) max 2 , 2 (ka) max 3 2 i 3 2 (ka) max 5 2
Sa Sl. 2.7. se vidi da ako je (ka ) max 2 , tada nema diskretnih stanja u posmatranom opsegu enegije, zatim, ako je 2 (ka ) max 3 2 imamo jedno diskretno stanje (tačka A), ako je 3 2 (ka) max 5 2 , postoje 2 diskretna stanja (tačke B i C) i u opštem slučaju, ako je 3(n 1) 2 (ka) max (2n 1) 2 , tada postoji ukupno n diskretnih stanja. Uslov da u jami ne postoji ni jedno diskretno stanje možemo napisati i na sledeći način: 2 U 0 a 2 2
(2.360)
s obzirom da se slučaju E U 0 ne radi o dozvoljenom stanju (kao uostalom i za E 0 ), odakle dobijamo nejednakost:
a U0 2
22 8
(2.361)
Ukoliko su parametri , U 0 i a takvi da je nejednakost (2.361) ispunjena, tada energetski spektar sferne jame sa Sl. 2.6 ne sadrži diskretna stanja.
123
b) Posmatrajmo sada slučaj l 0 . Tada ukupna potencijalna energija ima oblik koji je prikazan na Sl. 2.8. Zaključujemo da u oblasti energija E
2l ( l 1)
2 a2
, U 0 možemo imati diskretna stanja,
dok je za E U 0 spektar energija kontinualan.
Sl. 2.8 Ukupna potencijalna energija u sfernoj jami sa konačno visokim zidom, poluprečnika a
Na osnovu Sl. 2.8 vidimo da sa povećanjem orbitnog kvantnog broja l dolazi do smanjivanja dubine jame u oblasti r a , odnosno do smanjenja broja diskretnih stanja. U graničnom slučaju, kada se tačka M poklopi sa tačkom N, nema više diskretnih stanja, odnosno celokupan energetski spektar jame je kontinualan. Vrednost l pri kojoj dolazi do ove situacije može se odrediti na osnovu izraza: 2l (l 1) U0 2 a 2
(2.362)
l2 l q 0
(2.363)
odnosno, u preuređenoj formi
gde je q 2 a 2U 0 2 . Prema tome, minimalna vrednost orbitnog kvantnog broja lmin , takva da za l lmin nema ni jednog diskretnog stanja, data je izrazom: 1 1 q lmin int 1 2
(2.364)
U oblasti r a , oblik Schrödinger-ove jednačine (2.355a) isti je kao za slobodnu česticu, pa je odgovarajuće rešenje za radijalnu funkciju r R(r ) r :
124
r (r ) A1 jl (kr ),
ra
(2.365)
S obzirom da razmatramo samo opseg energija E U 0 gde mogu postojati diskretna stanja, jednačinu (2.355b) ćemo napisati u sledećoj formi: d 2 R (r ) 2 l (l 1) R(r ) 0, 2 U 0 E 2 dr 2 r 2
ra
(2.366)
r
(2.367)
odnosno d 2 ( ) 2 d ( ) l (l 1) 1 ( ) 0, d 2 d 2 čije rešenje ima oblik: r (r ) B1hl (i r ),
ra
(2.368)
gde je hl Hankel-ova funkcija prve vrste. Prilikom rešavanja Schrödinger-ove jednačine za slobodnu česticu (2.336), odnosno (2.343) naveli smo da rešenja imaju formu sfernih Besselovih i sfernih Neumann-ovih funkcija. Napomenimo da se pored ova dva oblika rešenja, kod pojedinih problema koriste i funkcije: hl jl il
(2.369a)
hl jl il
(2.369b)
koje se nazivaju Hankel-ova funkcija prve i druge vrste, respektivno. Ovim funkcijama se nećemo detaljnije baviti u okviru ovog teksta, samo ćemo napomenuti da se za velike vrednosti koordinate funkcija hl (i r ) eksponencijalno raste, pa je zato odbacujemo u izrazu (2.367). 2.6.4 Atom vodonika Jedan od najvažnijih primera kretanja u poljima sa centralnom simetrijom je sistem dve čestice, protona i elektrona, koje se nalaze pod dejstvom Coulomb-ovog potencijala (atom vodonika). U opštijem slučaju, isti model se može primeniti i za analizu jonizovanih atoma čije naelektrisanje jezgra iznosi Ze (Z je atomski broj, odnosno redni broj elementa u periodnom sistemu), a koji imaju jedan preostali elektron. Potencijalna energija U (r ) koju vidi elektron u ovom slučaju je oblika (Sl. 2.9): Ze 2 U (r ) 4 0 r gde je 0 dielektrična konstanta vakuuma.
125
(2.370)
Sl. 2.9 Coulomb-ova potencijalna energija
Na osnovu Sl. 2.9, zaključujemo da je spektar energija Coulomb-ove potencijalne jame kontinualan za pozitivne vrednosti energija, a diskretan za E 0 (što je oblast energija na koju ćemo se ograničiti pri daljim razmatranjima). Odgovarajuća Schrödinger-ova jednačina koju rešavamo da bismo odredili radijalnu komponentu talasne funkcije glasi:
Ze 2 2 d 2 R(r ) l (l 1) E R(r ) 0 2 2 2 dr 4 r 2 r 0
(2.371)
Redukovana masa ovog sistema koji čine jezgro mase mJ i elektron mase me određena je izrazom:
mJ me me mJ me
(2.372)
s obzirom da je masa jednog protona ≈1836 puta veća od mase elektrona. Radi jednostavnije analize jednačine (2.371), uvešćemo bezdimenzionalne veličine dobijene skaliranjem pomoću karakterističnih veličina iz Bohr-ovog modela atoma vodonika:
E , Ea
Ea
e4 2(4 0 ) 2
(2.373a)
r a
a
4 0 2 e2
(2.373b)
,
126
gde je Ea 13.6 eV apsolutna vrednost energije osnovnog stanja po Bohr-ovog modelu atoma vodonika (u onosu na referentni nivo u beskonačnosti), dok se a1 0.53Å naziva Bohr-ov radijus. Zamenom veličina (2.373a,b) u jednačinu (2.371) dolazimo do oblika: d 2 R( ) 2 Z l (l 1) R( ) 0 2 d 2
(2.374)
Efektivna potencijalna energija u gornjoj jednačini data je izrazom: Ul ( )
2Z
l (l 1)
2
(2.375)
a skicirana je na Sl. 2.10, za slučaj l 0 . Za male vrednosti koordinate, sabirak koji potiče od centrifugalne potencijalne energije je mnogo veći od prvog sabirka pa diktira ponašanje funkcije U l ( ) u okolini koordinatnog početka, dok se za velike vrednosti ukupna potencijalna energija ponaša kao 2Z . Jednostavno se određuje i minimalna vrednost potencijalne energije koja iznosi U l ext
Z2 l (l 1) a postiže se za ext . Oblast diskretnih l (l 1) Z
stanja nalazi se za Ul ext 0 , dok je za 0 spektar kontinualan.
Sl. 2.10 Efektivni potencijal koji predstavlja zbir Coulomb-ove potencijalne energije i centrifugalne potencijalne energije
Pošto nas interesuju samo energije diskretnih stanja, imajući u vidu da je 0 , uvešćemo sledeću zamenu: 127
2 ,
0
(2.376)
pa jednačina (2.374) dobija oblik d 2 R 2 2 Z l (l 1) R0 d 2 2
(2.377)
Ovu jednačinu prvo ćemo rešavati posmatrajući asimptotski slučaj kada , što daje d 2 R( ) 2 R( ) 0 2 d
(2.378)
čije rešenje je oblika 0
R ( ) Ae B e
(2.379)
gde smo drugi član odbacili (uzimajući B 0 ) zbog činjenice da e kada . Kako u opštem slučaju, rešenje jednačine (2.377) treba da važi za sve vrednosti koordinate , prikazaćemo ga u obliku: R ( ) F ( ) e
(2.380)
gde je F ( ) neka funkcija koordinate koju treba odrediti. S obzirom na granični uslov koji mora biti ispunjen: R (0) 0 , na osnovu (2.380) sledi da funkcija F ( ) takođe mora da ispuni uslov F (0) 0 . Ovu funkciju ćemo tražiti u formi polinoma F ( )
nr
B
(2.381)
0
gde je odgovarajući stepen ( 0 ) koji ćemo odrediti, B su nepoznati koeficijenti, a nr je konačan broj (prirodan broj ili nula). Vrlo je važno naglasiti da se radi o konačnoj sumi (a ne redu), s obzirom da to obezbeđuje adekvatno asimptotsko ponašanje rešenja, što će biti detaljno analizirano ispod izraza (2.392). S druge strane, forma (2.381) svakako obezbeđuje F ( 0 ) 0 . U razvijenom obliku, (2.381) glasi
F ( ) B0 B1 1 Bnr nr
(2.382)
Očigledno, za male vrednosti koordinate, najveću vrednost u gornjoj sumi imaće prvi sabirak, tj. F ( 0 ) . Kao što je prethodno pokazano (izrazi (2.327)-(2.333)), da bi R ( r 0) 0 , eksponent mora imati vrednost l 1 . Kombinovanjem (2.381) sa (2.380) zaključujemo da rešenje za funkciju R ( ) ima oblik:
128
nr
nr
0
0
R ( ) F ( ) e e l 1 B e B l 1 ,
[0, )
(2.383)
Ovaj izraz ćemo postupno zameniti u diferencijalnu jednačinu (2.377), uzimajući prvo R ( ) F ( ) e , što posle skraćivanja faktora e daje: d 2F dF 2 Z l (l 1) 2 F F 0 2 2 d d
(2.384)
nr
Zamenjujući sada funkciju F u formi F ( ) B l u gornju jednačinu, dobijamo: 0
nr
nr
nr
nr
0
0
0
0
( l 1)( l ) B l 1 2 ( l 1) B l 2Z B l l (l 1) B l 1 0 (2.385)
gde smo podrazumevali l 0 (inače bi za l 0 minimalna vrednost indeksa u prvoj i poslednjoj sumi bila jednaka 1) . Da bi izraz (2.385) bio jednak nuli za proizvoljnu vrednost koordinate, suma koeficijenata uz svaki stepen mora biti jednaka nuli. Odredimo koeficijente koji se nalaze uz faktor l : u prvoj i poslednjoj sumi direktno su prikazani koeficijenti uz stepene l 1 , pa moramo pomeriti indeks ( 1 ) kako bismo odredili članove koji stoje uz l , što daje ( 1 l 1)( 1 l ) B 1 2 ( l 1) B 2 ZB l (l 1) B 1 0
(2.386)
Na ovaj način došli smo do rekurentne formule za koeficijente B : B 1
2 ( l 1) Z ( l 2)( l 1) l (l 1)
B
(2.387)
Pošto maksimalna vrednost koju može imati indeks na osnovu (2.381) iznosi nr , sledi da je poslednji koeficijent u sumi koji je različit od nule upravo Bnr , dok je Bnr 1 0 jer ne može biti
nr . Zamenom nr u (2.387) dobijamo: 2 (nr l 1) Z Bn 0 (nr l 2)(nr l 1) l (l 1) r
(2.388)
S obzirom da je Bnr 0 , sledi
(nr l 1) Z 0 129
(2.389)
Na ovaj način smo zapravo odredili dozvoljene vrednosti energija diskretnih stanja. Uzimajući u obzir (2.376), možemo napisati:
Z2 (nr l 1) 2
(2.390)
Pošto energija zavisi samo od zbira nr l 1 , uvešćemo pojam glavnog kvantnog broja n: n nr l 1,
n 1, 2,
(2.391)
dok se nr naziva radijalni kvantni broj. Kako je minimalna vrednost radijalnog kvantnog broja nr 0 , sledi da za fiksiranu vrednost n, orbitni kvantni broj može imati vrednosti u opsegu l [0, n 1] a jasno je da isti skup vrednosti važi i za nr . Na osnovu (2.373a) možemo dalje napisati: En
Z2 Ea , n2
n 1, 2,
(2.392)
Vidimo da je dobijeni rezultat za energije diskretnih stanja u potpunoj saglasnosti sa Bohrovim modelom atoma vodonika. Napomenimo još jednu važnu činjenicu: da prilikom pretpostavke rešenja (2.381) nismo zalomili red, tj. ograničili se na konačnu sumu, već da smo dozvolili da indeks može ići do , tada bi rekurentna formula za koeficijente B (2.387) dobila sledeću formu: 2 v B 1 B (2.393)
S druge strane, podsetimo se da koeficijenti koji se dobijaju prilikom razvoja u Maclaurinovom red funkcije e 2 zadovoljavaju upravo rekurentu relaciju C 1 2 C , što znači da bi se u tom slučaju funkcija (2.380) ponašala kao R ( ) e
(2.394)
odnosno da bismo imali R ( ) kada što nije fizički prihvatljivo i zbog toga smo morali ograničiti broj sabiraka u sumi (2.381). Primetimo da ukupna talasna funkcija elektrona predstavlja proizvod odgovarajućeg sfernog harmonika Yl m ( , ) i radijale talasne funkcije r (r ) i da je određena sa sva tri kvantna broja (n, l, i m), kao što ćemo pokazati. S druge strane, energije diskretnih stanja zavise samo od vrednosti glavnog kvantnog broja n, pa zaključujemo da u ovom kvantnom sistemu dolazi do pojave degeneracije. Kako za jednu vrednost n, orbitni kvantni broj može imati vrednosti u opsegu l 0, , n 1 , a za pojedinačno l, magnetni kvantni broj se može menjati u granicama
130
m 0, , l (tj. imati ukupno 2l 1 različitu vrednost), stepen degeneracije izračunavamo na sledeći način: n 1
(2l 1) n
2
(2.395)
l 0
Zaključujemo da posmatranoj energiji En odgovara ukupno n 2 kvantnih stanja, što je prikazano na Sl. 2.11
Sl. 2.11 Ilustracija n 2 degenerisanih stanja koja odgovaraju jednoj vrednosti glavnog kvantnog broja n. Sva stanja se odnose na istu vrednost energije, a horizontalne linije služe za označe različite vrednosti orbitnog kvantnog broj l, odnosno magnetnog kvantnog broja m.
Stanja koja odgovaraju različitim vrednostima glavnog kvantnog broja n ( n 1, 2,3 ) nazivaju se ljuske i označavaju se slovima K, L, M, N, O,…, respektivno. Šematski prikaz energetskih nivoa i odgovarajućih degenerisanih stanja za atom vodonika ( Z 1 ) dat je na Sl. 2.12.
131
Sl. 2.12 Položaj prvih nekoliko diskretnih energetskih nivoa (u jedinicama Ea 13.6 eV ) za atom vodonika ( Z 1 ). Takođe su navedene pojedina vrednosti orbitnog kvantnog broja l.
U daljoj analizi pozabavićemo se određivanjem konkretnog oblika radijalnih funkcija, čiju smo komponentu F ( ) do sada pretpostavljali u obliku: nr
F ( ) l 1 B l 1 P ( )
(2.396)
0
gde smo sa P ( ) obeležili nepoznati polinom čiju formu treba eksplicitno izračunati. Zamenom forme (2.396) u diferencijalnu jednačinu (2.384), uzimajući u obzir da je prema (2.389) Z n , dobijamo: d 2P dP [2(l 1) 2 ] 2 [n l 1]P 0 2 d d
(2.397)
Uvođenjem smene x 2 , dolazimo do izraza x
d 2P dP [2(l 1) x] (n l 1) P 0 2 dx dx
(2.398)
koji je u potpunosti analogan diferencijalnoj jednačini
xy ( 1 x) y ( ) y 0
132
(2.399)
koja je poznata u literaturi i naziva se diferencijalna jednačina pridruženih Laguerre-ovih polinoma. Pridruženi Laguerre-ovih polinomi označavaju se sa L ( x) , gde su i nenegativni celi brojevi ( ), i imaju oblik L ( x)
d L ( x) , dx
L ( x ) e x
d x e x dx
(2.400)
U gornjem izrazu L ( x) označava (običan) Laguerre-ov polinom. Poređenjem (2.398) sa (2.399) zaključujemo da je u našem slučaju 2l 1 , n l , pa odgovarajući polinom P( x) ima formu: P ( x) P (2 ) L2nll1 (2 ) L2nll1 (2 Zn ar )
(2.401)
Napomenimo da drugo rešenje diferencijalne jednačine (2.398) nije fizički prihvatljivo. Konačno, možemo napisati rešenje za radijalni deo talasne funkcije u formi: x R( x) 2 l 2 l 1 r ( x) CR e x Ln l ( x ) x
(2.402)
gde je CR konstanta normiranja koju možemo odrediti koristeći rezultat iz literature koji se dobija na osnovu osobina Laguerre-ovih polinoma:
x
2 2 l 1 n l ( x )
e L
2l 2 x
x 0
2n (n l )!
3
dx (n l 1)!
(2.403)
Na osnovu (2.324) i relacije x 2 , uslov normiranja funkcije r ( x) postaje: a 2
3
2
( x) x 2 dx 1
(2.404)
x 0
Zamenom (2.402) u (2.404) dobijamo: 3
an CR 2Z
2
e
x 0
x
2
x 2l 2 L2nll1 ( x ) dx 1
(2.405)
odakle možemo izračunati konstantu normiranja 3
2 Z (n l 1)! CR 3 an 2n (n l )!
(2.406)
Znak “-“ smo odabrali da bi u okolini koordinatnog početka (kada r 0 ) funkcije bile pozitivne (jer je npr. L11 ( x ) 1 , L12 ( x ) 2 x 4 , L34 ( x ) 24 x 96 i sl.), mada je naravno uvek
133
moguće ovu vrednost pomnožiti proizvoljnim konstantnim faktorom čiji je moduo jednak jedinici. Radijalni deo talasne fukcije tako dobija oblik: Zr 2 Z (n l 1)! na r n ,l (r ) e 3 an 2n (n l )! 3
l
2 Zr 2l 1 2 Zr Ln l ( na ) na
(2.407)
Navešćemo prvih nekoliko radijalnih funkcija za atom vodonika n 1
r1,0 (r )
l 0
a3
2
r 2,0 (r )
l 0
2
(2a)3
n2
1 1 r (r ) 2,1 3 (2a)3
l 1
r a
e
r 2a
r
r 2a e a
2r 2r 2 3ra e r 3,0 (r ) 1 2 (3a )3 3a 27a
2
l 0
n3
e
r 3,1 (r )
l 1
r r 3ra 1 e 9 (3a )3 a 6a
4 2
r 2 3ra r (r ) e 2 3,2 27 5 (3a )3 a
2 2
l2
2 2 2 Kvadrat modula ukupne talasne funkcije diskretnog stanja r (r ) r n ,l (r ) Yl m ( , )
određuje gustinu verovatnoće nalaženja čestice u elementu zapremine dV r 2 sin d d dr . Na osnovu (2.324) zaključujemo da veličina
2
Pn ,l (r ) r n ,l ( r ) r 2 dr pn ,l (r )dr predstavlja
verovatnoću da će se elektron energije En , u stanju opisanom orbitnim kvantnim brojem l, nalaziti na rastojanju od jezgra između r i r dr , nezavisno od pravca (tj. da će se nalaziti u sfernoj ljusci (r , r dr ) ). Gustina verovatnoće, prema (2.407) ima formu: pn ,l (r ) CR
2
2 Zr e na
2l
2 2 2Zr 2 l 1 2 Zr Ln l ( na ) r na
(2.408)
Pridruženi Laguerre-ov polinom L ( x ) je polinom stepena koji u našem slučaju iznosi Zr ) će imati n nula, gustina verovatnoće p ( r ) će imati n l 1 nr . Prema tome, L2nll1 ( 2na r
134
nr 1 maksimum, što je ilustrovano na Sl. 2.13. Zaključujemo da će postojati samo jedan maksimum gustine verovatnoće ukoliko je nr 0 tj. l n 1 (pridruženi Laguerre-ovi Zr ) imaju konstantnu vrednost). Taj maksimum možemo odrediti na polinomi oblika L22nn11 ( 2na osnovu izraza:
dpn ,n 1 (r ) dr
Zr d 2 n na 0 r e 0 dr
(2.409)
odakle dobijamo rn ext
n2 a Z
(2.410)
što je vrednost radijusa orbite koju je predviđao Bohr-ov model.
Sl. 2.13 Primeri radijalne gustine verovatnoće pn ,l (r ) | r n ,l ( r ) | 2 r 2 za prvih nekoliko
diskretnih stanja atoma vodonika ( Z 1 ). Radi jednostavnijeg prikazivanja izvršeno je skaliranje konstantom a.
135
2.6.5 Kruti rotator Pod pojmom krutog rotatora podrazumevamo sistem dve čestica redukovane mase čije je međusobno rastojanje fiksirano tj. r a , dakle nema promene radijalne koordinate. U klasičnoj mehanici, ovom primeru bi odgovaralo kretanje (rotacija) čestice mase po sferi poluprečnika r a . U tom slučaju operator Hamiltonijana (2.313) dobija oblik Lˆ2 U (a) Hˆ 2 a 2
(2.411)
gde je U (a ) neka konstantna vrednost potencijalne energije, i bez gubitka opštosti možemo uzeti U (a ) 0 . Takođe smatramo da nema nikakvog drugog spoljašnjeg potencijala koji bi zavisio od koordinata ili tj. U ( , ) 0 (čestica se slobodno kreće po površini sfere). Po analogiji sa klasičnom mehanikom, Hamiltonijan možemo napisati u formi: Lˆ2 ˆ H 2I
(2.412)
gde je I a 2 moment inercije čestice mase u odnosu na osu rotacije koja prolazi kroz centar sfere. Odgovarajuća Schrödinger-ova jednačina glasi Lˆ2 ( , ) E ( , ) 2I
(2.413)
Ako prethodni izraz pomnožimo sa 2 I dolazimo zapravo do sopstvenog problema operatora Lˆ2 , čija rešenja su nam poznata. Lˆ2 ( , ) 2 IE ( , )
(2.414)
Zaključujemo da su odgovarajuće sopstvene funkcije Hamiltonijana za problem krutog rotatora upravo sferni harmonici ( , ) Yl m ( , ) , dok dozvoljene vrednosti energija izračunavamo poznajući sopstvene vrednosti operatora Lˆ2 : 2 IE l (l 1) 2 El
l (l 1) 2 2I
(2.415)
Zaključujemo da odgovarajuće energije zavise samo od orbitnog kvantnog broja l, dok talasne funkcije zavise kako od l, tako i od magnetnog kvantog broja m, što ukazuje na pojavu degeneracije čiji stepen iznosi 2l 1 .
136
2.6.6 Rotator sa fiksnom osom U ovom slučaju, fiksirana je i ravan rotacije, odnosno ugao , pa se ovaj primer još naziva i ravan rotator, a analogan je kretanju čestice po kružnici poluprečnika r a . Postavljajući zosu paralelno sa osom rotacije ( 2 ), na osnovu izraza (2.262), zaključujemo da Hamiltonijan sistema sada glasi 2 2 L2z ˆ H 2 a 2 2 2 I
(2.416)
gde smo pretpostavili da je U ( ) 0 , tj. da je kretanje čestice po kružnici slobodno. Odogovarajući sopstveni problem Hamiltonijana ima oblik L2z ( ) E ( ) 2I
(2.417)
E ( ) 2I
(2.418)
i može se svesti na jednačinu L2z ( )
Sopstvene vrednosti operatora L2z iznose m 2 2 na osnovu izraza (2.240), pa dozvoljene vrednosti energija možemo izraziti u formi m22 Em 2I
(2.419)
i vidimo da one zavise samo od magnetnog kvantnog broja m. Odgovarajuće sopstvene funkcije su takođe poznate, i zbog zahteva za jednoznačnošću imaju oblik ( )
1 im e 2
što je pokazano prilikom rešavanja jednačine (2.269).
137
(2.420)
