Kvantna Seminari Ljeto(1)

Seminar iz kvantne fizike

Ljetni semestar

March 6, 2017

2

Sadrˇ zaj

Sadrˇ zaj

2

1 Aprok Aproksim simati ativne vne metode metode

3

1.1 Vremenski neovisan raˇ raˇcun cun smetnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Primjer: harmoniˇ harmoniˇcki cki oscilator u elektriˇcnom cnom polju . . . . . . . . .

3

1.1.2

Primjer: vezani harmoniˇ harmoniˇcki cki oscilatori . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Primjer: Primjer: slabi periodiˇ periodiˇ cki cki potencija potencijall . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4 1.1.4

Primje Primjer: r: niz oscila oscilato torsk rskih ih jama jama . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2 Vremenski ovisan raˇ raˇcun cun smetnje smetnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1

Primjer: Primjer: Dvorazinski Dvorazinski sustav sustav s konstan konstantnom tnom smetnjom smetnjom . . . . . . 11

1.2.2

Primjer: Dvorazinski sustav s periodiˇckom ckom smetnjom . . . . . . . 15

1.2.3

Tjerani harmoniˇ harmoniˇcki cki oscilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Adijabatsk Adijabatskaa i impulsna impulsna aproksim aproksimacija acija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1

Adijabatska aproksimacija: aproksimacija: jama promjenjive promjenjive ˇsirine sirine . . . . . . . . 21

1.3.2

Impulsna Impulsna aproksim aproksimacij acijaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4 Varija Varijacio ciona na metoda metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.1 1.4.1

Primje Primjer: r: linear linearni ni potenci potencijal jal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5 WKB WKB aproks aproksima imacij cijaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.1 1.5.1

Energij Energijee vezan vezanih ih stanja stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5.2

Tuneliranj uneliranjee kroz barijeru barijeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Problem rasprˇ rasprˇ senja senja u tri dimenzije

39

2.1 Metoda Metoda parci parcijal jalnih nih valova valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1

Rasprˇ Rasprˇsenje senje na neprobojnoj neprobojnoj sferi sferi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.2

Rasprˇ Rasprˇsenje senje na mekanoj mekanoj sferi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.3

Rasprˇ Rasprˇsenje senje na sfernoj sfernoj jami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1.4 2.1 .4

Numeriˇ Numer iˇcko cko rjeˇsenje senj e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3

4

2.2 Bornova aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3 Atomi i molekule

63

3.1 Atom vodika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2 Atom helija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4 Kvantna optika

69

4.1 Harmoniˇcki oscilator u drugoj kvantizaciji . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1.1

Operatori stvaranja i poniˇstenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.1.2

Operatori faze i broja kvanata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2 Koherentno stanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2.1

Operator pomaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2.2

Oˇcekivane vrijednosti u koherentnom stanju . . . . . . . . . . . . 79

4.2.3

Preklop dva koherentna stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.4

Relacija potpunosti za koherentna stanja . . . . . . . . . . . . . 80

4.3 Stisnuto stanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3.1

Operator stiskanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.2

Oˇcekivane vrijednosti u stisnutom stanju . . . . . . . . . . . . . 82

4.4 Operatori kvadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5 Elektriˇcno i magnetsko polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.5.1

Oˇcekivane vrijednosti operatora elektriˇcnog polja . . . . . . . . . 87

4.6 Detekcija zraˇcenja referentnim snopom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.7 Distribucije kvazivjerojatnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.8

4.7.1

Q-funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.7.2

Karakteristiˇcna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.7.3

P -funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.7.4

Wignerova funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Med¯udjelovanje atoma i elektromagnetskog zraˇcenja . . . . . . . . . . . 96 4.8.1

Jaynes-Cummings model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.8.2

Rabijeve oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1

4.8.3 *

Kolaps i oˇzivljavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2

1 Aproksimativne metode

1.1 1.1.1

Vremenski neovisan raˇ cun smetnje Primjer: harmoniˇ cki oscilator u elektriˇ cnom polju

Harmoniˇcki oscilator nalazi se u homogenom jednodimenzionalnom elektriˇcnom polju H =

p2 1 + mω2 x2 + qFx. 2m 2

(1.1)

Stacionarna Schrödingerova jednadˇzba glasi  2 d2 ψ

− 2m dx

2

1 + mω 2 x2 ψ + qFxψ = Eψ. 2

(1.2)

Nadopunimo li izraz do punog kvadrata

−



 2 d2 ψ

1 qF 2 + mω x + 2m dx2 2 mω 2



2

ψ

−

q 2 F 2 ψ = Eψ, 2mω2

(1.3)

a zatim napravimo supstituciju

qF (1.4) . mω2 Time smo se vratili na standardni oblik Schrödingerove jednadˇzbe za harmoniˇcki oscilator x = x +

−

 2 d2 ψ

1 2 2 + mω x ψ = 2 2m dx 2



q 2 F 2 E + 2mω2



ψ.

(1.5)

Energijski nivoi imaju jednaki oblik kao za obiˇcan harmoniˇcki oscilator, uz konstantni pomak 1 q 2 F 2 (1.6) E n =  ω n + . 2 2mω2

 −  

Valne funkcije viˇse nisu simetriˇcne ili antisimetriˇcne, a imaju ˇcvor u minimumu ukupnog potencijala 2 x qF x+ qF 2 ) /2b2 − ( mω + (1.7) ψn (x) = n H n e , b mω2 b

N

pri ˇcemu je b oscilatorska duljina, a b =

N konstanta normiranja n





mω

N = √π2 1 n!

,

n

3



n

(1.8)

Vremenski neovisan raˇcun smetnje

4

Problem moˇzemo rijeˇsiti koristeći raˇcun smetnje, tako da nesmetani Hamiltonijan odgovara harmoniˇckom oscilatoru, dok elektriˇcno polje tretiramo kao smetnju H  = qFx.

(1.9)

Budući da su valne funkcije nesmetanog oscilatora parne ili neparne, a smetnja je neparna, doprinos prvog reda raˇcuna smetnje iˇsˇcezava E n(1) = n H  n = qF n x n = 0.

| |

||

(1.10)

U drugom redu raˇcuna smetnje doprinose samo dva matriˇcna elementa E n(2)

2

2

| n + 1 |H  |n| |n − 1|H  |n| = + , E − E E − E − (0) n

a pritom vrijedi

(0) n+1

(0) n

(0) n 1



(1.11)



(n + 1) n , xn,n−1 = . 2mω 2mω Korekcija u drugom redu raˇcuna smetnje jednaka je egzaktnom rezultatu xn,n+1 =

E n(2)

=

−

q 2 F 2 . 2mω2

(1.12)

(1.13)

Raˇcunamo korekciju valne funkcije u prvom redu raˇcuna smetnje ψn(1) (x) =

|−| k qF x n

(0) k=n E n



(0)

ψ (x). (0) k E k

(1.14)

Koristeći matriˇcne elemente (1.12), dolazimo do zakljuˇcka 1 ψn(1) (x) =  ω

 √ 

2mω

(0) nψn 1 (x)

−

− √ n + 1ψ



(0) n+1 (x)

.

(1.15)

Do istog rezultata bismo doˇsli razvojem egzaktne valne funkcije u Taylorov red.

1.1.2

Primjer: vezani harmoniˇ cki oscilatori

Promatramo izotropni dvodimenzionalni harmoniˇcki oscilator s malom neizotropnom smetnjom p2y 1 1 p2x + + mω2 x2 + mω 2 y 2 + λxy. (1.16) H = 2m 2m 2 2 Stacionarna Schrödingerova jednadˇzba glasi 2

2

2

2

1  ∂ ψ  ∂ ψ 1 − 2m − + mω x ψ + mω y ψ + λxyψ = Eψ. 2m ∂y 2 2 ∂x 2

2 2

2

2 2

(1.17)

Vremenski neovisan raˇ cun smetnje

5

Slika 1.1: Prva tri stanja harmoniˇckog oscilatora u elektriˇcnom polju. Problem moˇzemo rijeˇsiti egzaktno koristeći normalne koordinate ξ 1 =

√ 12 (x − y),

ξ 2 =

√ 12 (x + y),

(1.18)

ˇcime Schrödingerova jednadˇzba postaje separabilna  2 ∂ 2 ψ

− 2m ∂ξ − 2 1

 2 ∂ 2 ψ

 

−

1 1 λ 2 2 + + m ω ξ ψ + m ω2 2 2 2m ∂ξ 2 2 2 m

λ ξ 12 ψ = Eψ. (1.19) m

Definiramo li frekvencije Ω 1 i Ω 2 Ω21 = ω 2

− mλ ,

Ω22 = ω 2 +

λ , m

(1.20)

svojstvene energije sustava moˇzemo napisati u sljedećem obliku

   

E n1 n2 =  Ω1 n1 +

1 2

+  Ω2 n2 +

1 . 2

(1.21)

Problem moˇzemo rijeˇsiti i koristeći (degenerirani) raˇcun smetnje. Energijski nivoi nesmetanog problema glase E nx ny =  ω (nx + ny + 1).

(1.22)


6

Najniˇzih nekoliko nivoa nesmetanog problema E 00 =  ω, E 01 = E 10 = 2 ω, E 02 = E 20 = E 11 = 3 ω, E 12 = E 21 = E 30 = E 03 = 4 ω.

(1.23) (1.24) (1.25) (1.26)

Promotrimo kao primjer dvostruko degenerirane nivoe E 01 i E 10 . Bilo koja linearna kombinacija degeneriranih stanja takod ¯er predstavlja svojstveno stanje nesmetanog Hamiltonijana 10 , q 01 . (1.27) ψ(0) = d l l + dq q , l

| 

|

|  |≡|  | ≡| 

Prvi red raˇcuna smetnje vodi na sustav jednadˇzbi

 | |  −    | |   | |   | | − l H  l

E (1) dl + l H  q dq = 0,

(1.28)

E (1) dq = 0.

(1.29)

q H  l dl +

q H  q

Dijagonalni matriˇcni elementi smetnje ne daju doprinos jer je smetnja neparna funkcija, dok nedijagonalni elementi daju sljedeći doprinos  λ l|H |q  = q |H |l = 2mω .

(1.30)

Prvi red raˇcuna smetnje uklanja degeneraciju (1)

E ± =

 λ ±|H  | = ± 2mω . ql

(1.31)

Razvijemo li frekvnecije Ω1 i Ω2 iz egzaktnog rjeˇsenja u Taylorov red, dobit ćemo isti rezultat kao u raˇcunu smetnje.

1.1.3

Primjer: slabi periodiˇ cki potencijal

Pretpostavimo da se ˇcestica nalazi u slabom periodiˇckom potencijalu s periodom a. Takav potencijal moˇzemo razviti u Fourierov red V (x) =

∞



V m e2mπxi/a,

(1.32)

m=

−∞

a budu´ ci da je potencijal realan vrijedi V −m = V m∗ . Kada potencijal ne bi bio ukljuˇ cen svojstvene funkcije bi odgovarale ravnim valovima ψk (x) =

√ 1L e

ikn x

,

kn =

2nπ , L

(1.33)


7

pri ˇcemu smo na sustav duljine L nametnuli periodiˇcke rubne uvjete ψ(0) = ψ(L). Energija nesmetane ˇcestice odgovara energiji slobodne ˇcestice (0)

E

=

 2 k 2

2M

.

(1.34)

Korekciji energije u prvom redu raˇcuna smetnje doprinosi samo konstantni ˇclan u potencijalu, odnosno ˇclan m = 0

    |− | ∞

1 E (k) = k V (x) k = V m L m=−∞ (1)

|

|

L

e−ikx e2mπxi/a eikx dx = V 0 .

(1.35)

0

Korekcija valne funkcije u prvom redu raˇcuna smetnje glasi ψk (x)

∼

(0) ψk (x) +

k  V (x) k (0) ψk (x), (0) (0)  E (k) E (k ) k  =k

(1.36)

pri ˇcemu treba uzeti u obzir da ovako napisana valna funkcija nije normirana. Korekcija energije u drugom redu raˇcuna smetnje glasi

 | | − | |  

k V (x) k 2 E (k) = . (0) (k) (0) (k  ) E E  k =k (2)

Raˇcunamo matriˇcni element

k|V (x)|k = 1

∞

L m=−∞

L

V m

(1.37)



e−ikx e2mπxi/aeik x dx,

(1.38)

0

koji doprinosi samo ako je ispunjen uvjet k

− k = 2mπ . a

(1.39)

Tada vrijedi

k|V (x)|k = k − 2mπ/a = V .

m

(1.40)

Energija ˇcestice do drugog reda raˇcuna smetnje iznosi E (k)

≈

 2 k 2

2M

+ V 0 +

M  2

∞



m=1

2 m m2 π 2 a2

|V | k − 2

.

(1.41)

Raˇcun smetnje neće funkcionirati na rubovima Brillouinovih zona jer u toˇckama k = mπ/a doprinos u drugom redu raˇcuna smetnje divergira. U tom sluˇcaju moramo koristiti degenerirani raˇcun smetnje. Promatramo stanja u blizini ruba m-te Brillouinove zone, odnosno stanja za koja vrijedi k = mπ/a. Za svako takvo stanje k postoji samo jedno stanje k  = k 2mπ/a takvo da vrijedi

|

−



|


8

• stanja su praktiˇcki degenerirana, • matriˇcni element k|V (x)|k razliˇcit je od nule. Matrica Hamiltonijana u dvodimenzionalnom kvazidegeneriranom potprostoru glasi



H deg =

E (0) (k) V m∗ V m E (0) (k  )



,

(1.42)

a njezina dijagonalizacija vodi na cijepanje energijskih nivoa

 ± 



1 (0) E ± = E (k) + E (0) (k  ) 2

1 (0) 2 [E (k) + E (0) (k )] + V m 2 . 4

| |

(1.43)

Ukoliko su stanja degenerirana, odnosno vrijedi k = mπ/a i k  = mπ/a, smetnja uklanja degeneraciju (1.44) E ± = E (0) (mπ/a) V m .

−

±| |

Na rubu m-te Brillouinove zone otvara se procijep proporcionalan odgovarajućoj Fourierovoj komponenti potencijala.

1.1.4

Primjer: niz oscilatorskih jama

Promatramo niz oscilatorskih jama frekvencije ω. Uz pretpostavku da je potencijal dovoljno slab, moˇzemo ga smatrati smetnjom na slobodni elektron. Prvi red raˇcuna smetnje daje samo konstantni pomak u energiji koji odgovara nultoj komponenti Fourierovog razvoja potencijala (sl. 1.2, lijevo). Drugi red raˇcuna smetnje uvodi dodatnu korekciju koja divergira na rubovima Brilluoinovih zona (sl. 1.2, desno). Upotrijebimo li u blizini tih toˇcaka degenerirani raˇcun smetnje, doći ćemo do ispravnog rezultata (sl. 1.3). Koristeći raˇcun smetnje, moˇzemo izraˇcunati i valne funkcije. Ograniˇcimo se, za poˇcetak, na podruˇcja daleko od rubova Brilluoinovih zona. Budu´ ci da su koeficijenti u razvoju potencijala realni, izraz za valnu funkciju u prvom redu raˇcuna smetnje moˇzemo napisati u sljedećem obliku ψk (x)

 ∼ √ e

ikx

L

1+

∞



2V m Ma 2 2 π m=1 m k 2 ma22π2

−



2mπx mπ cos a a

− ik 2mπx a



. (1.45)

Usporedba valne funkcije u prvom redu raˇcuna smetnje i numeriˇ ckog rjeˇsenja nalazi se na sl. 1.4. Numeriˇcko i perturbativno rjeˇsenje se odliˇcno slaˇzu, iako potencijal nije zanemariv. Valnu funkciju na rubu Brilluoinove zone moˇzemo naći koristeći degenerirani


9

Slika 1.2: Disperzivna relacija za ˇcesticu u periodiˇckom potencijalu niza oscilatorskih jama. Egzaktni rezultat je prikazan punim linijama, isprekidana crna linija odgovara energiji slobodne ˇcestice, dok su isprekidane linije u boji rezultati prvog (lijevo) i drugog (desno) reda raˇcuna smetnje.

Slika 1.3: Disperzivna relacija za ˇcesticu u periodiˇckom potencijalu niza oscilatorskih jama. Egzaktni rezultat je prikazan punim linijama, isprekidana crna linija odgovara energiji slobodne ˇcestice, dok su isprekidane linije u boji rezultati prvog drugog reda raˇcuna smetnje. Na rubovima Brilluonovih zona upotrijebljen je degenerirani raˇcun smetnje.


10

Slika 1.4: Valna funkcija za ˇcesticu u periodiˇckom potencijalu niza oscilatorskih jama. Egzaktni rezultat je prikazan punim linijama, dok isprekidane linije odgovaraju prvom redu raˇcuna smetnje. raˇcun smetnje, a rjeˇsenja odgovaraju stojnim valovima

√ 12L 1 (x) = √ 2L

+ (x) = ψmπ/a

− ψmπ/a

 

 

eimπx/a + sgn(V m)e−imπx/a ,

(1.46)

eimπx/a

(1.47)

− sgn(V )e− m

imπx/a

.

Promotrimo detaljnije sluˇcaj m = 1, odnosno k = π/a. Fourierova komponenta V 1 periodiˇcnog niza oscilatorskih jama je negativna pa vrijedi

 

+ (x) = i ψmπ/a

− (x) = ψmπ/a

2 πx sin , L a 2 πx cos . L a

(1.48)

(1.49)

Valna funkcija stanja niˇze energije (nalazi se odmah ispod procijepa) je realna i ima ˇcvorove u toˇckama maksimuma potencijala, dok je valna funkcija viˇse energije (nalazi se odmah iznad procijepa) imaginarna i ima ˇcvorove u toˇckama minimuma potencijala.

Vremenski ovisan raˇ cun smetnje

1.2

11


1.2.1

Primjer: Dvorazinski sustav s konstantnom smetnjom

Egzaktni raˇ cun

|  | 

Nesmetani sustav opisan je Hamiltonijanom H sa svojstvenim stanjima 1 i 2 H 1 =  ω1 1 ,

|

|

H 2 =  ω2 2 ,

|

|

(1.50)

dok Schrödingerova jednadˇzba koja opisuje sustav sa smetnjom glasi i ∂ t ψ(t) = (H + W )ψ(t).

(1.51)

Stacionarna stanja ˇcine potpun skup stanja pa valnu funkciju moˇzemo napisati kao njihovu linearnu kombinaciju s vremenski ovisnim koeficijentima ψ(t) = c 1 (t)e−iω1t 1 + c2 (t)e−iω2 t 2 .

|

|

(1.52)

Kao konkretan primjer promatramo sustav sa sljedećim poˇcetnim uvjetima c1 (0) = 1,

c2 (0) = 0.

(1.53)

Uvrstimo pretpostavljeno rjeˇsenje u Schrödingerovu jednadˇzbu, a zatim jednaˇzbu pomnoˇzimo s 1 i 2

 |  |

i c˙1 e−iω1 t = c 1 e−iω1 t 1 W 1 + c2 e−iω2 t 1 W 2 ,

(1.54)

i c˙2 e−iω2 t = c 1 e−iω1 t

(1.55)

| | | | 2| W |1 + c e− 2| W |2 . 2

iω2 t

Uvodimo sljedeću oznaku za matriˇcni element smetnje

µ| W |ν  ≡ W

νµ ,

(1.56)

a kako je operator W hermitski, dijagonalni matriˇcni elementi moraju biti realni, dok ∗ . Definiramo li frekvenciju ω0 = su nedijagonalni kompleksno konjugirani W 12 = W 21 ω2 ω1 , jednadˇzbe moˇzemo napisati u sljedećem obliku

−

i c˙1 = c 1 W 11 + e−iω0 t c2 W 21 , i c˙2 = c 2 W 22 + eiω0t c1 W 12 .

(1.57)

(1.58)

Pretpostavimo oscilatorno rjeˇsenje c1 = Ae−iωt ,

c2 = Be−i(ω−ω0)t ,

(1.59)


12

ˇcime se sustav diferencijalnih jednadˇzbi svodi na sustav obiˇcnih linearnih jednadˇzbi za koeficijente A i B (W 11  ω )A + W 21 B = 0, W 12 A + (W 22  ω +  ω0 )B = 0.

−

−

(1.60) (1.61)

Determinanta sustava mora iˇsˇcezavati  2 ω 2

−  ω(W + W

22 +  ω0 ) + W 11 W 22 + W 11  ω0

11

2

− |W | 12

= 0,

(1.62)

odakle slijede svojstvene frekvencije  ωI,II = W 11 +

1  γ 2

±  σ.

(1.63)

Pritom smo uveli oznake  γ = W 22

11 +  ω0 ,

 σ =

− W



1 2 2  γ + W 12 2 . 4

| |

(1.64)

Poznavajući frekvencije moˇzemo doći do amplituda BI,II =

 ωI,II

− W

11

AI,II .

W 21

(1.65)

I koeficijenata c1 (t) i c2 (t) c1 (t) = A I e−iωI t + AII e−iωII t , 1 iω0t ( ωI W 11 )AI e−iωI t + ( ωII c2 (t) = e W 21



−

(1.66)



−iωII t . 11 )AII e

− W

Poˇcetni uvjeti omogućuju odred¯ivanje konstanti A I i A II

⇒ A + A = 1, ⇒ ( ω − W ) A + ( ω − W

c1 (0) = 1 = c2 (0) = 0 =

I

11 ) AII = 0.

II

I

11

I

II

(1.67)

(1.68) (1.69)

Iskoristimo frekvencije  ωI i  ωII

   −



1 1 γ + σ AI +  γ 2 2

⇒  2γ (A +A

σ AII = 0 =

II )+  σ (AI

I

−A

= 0. (1.70)

(1.71)

II )

Poˇ cetnim uvjetima odredili smo sumu i razliku koeficijenata

− A

AI + AII = 1 i AI

II

=

− 2σγ .


13

Iskoristimo izraze za frekvencije c1 (t) = e −i(

W 11 + γ 2 





)t A e−iσt + A eiσt , I II

raspiˇsemo eksponencijalne funkcije pomoću trigonometrijskih c1 (t) = e −i(

W 11 + γ 2 

)t [(A + A )cos σt + i(A I II II

(1.72)

− A )sin σt] ,

I

(1.73)

a zatim uvrstimo koeficijente A I i A II





W 11 γ γ c1 (t) = e −i( + 2 )t cos σt + i sin σt . 

2σ

| 

Vjerojatnost nalaˇzenja sustava u stanju 1 glasi

γ 2 P 1 = c1 (t) = cos σt + 2 sin 2 σt. 4σ 2

|

2

|

(1.74)

(1.75)

Sada raˇcunamo koeficijent c2 (t) eiω0 t c2 (t) = W 21





1  γ +  σ AI e−iωI t + 2



1  γ 2

−  σ





AII e−iωII t .

(1.76)

Iskoristimo li frekvencije ωI i ω II 1 −i( W 11 + γ 2 −ω0t) c2 (t) = e W 21 





1  γ +  σ AI e−iσt + 2



1  γ 2

−  σ

 

AII eiσt , (1.77)

ˇclanove u uglatoj zagradi moˇzemo grupirati

• realni dio

1  γ (AI + AII )cos σt +  σ (AI 2

− A

• imaginarni dio  γ (−A + A 2 I

II )sin σt

−  σ(A + A I

II )cos σt =

II )sin σt =

Pritom smo iskoristili

− A

AI + AII = 1 i AI

II

=



4σ

0,

(1.78)

−  γ 2

4σ2 sin σt. (1.79)

− 2σγ .

(1.80)

Koeficijent c 2 (t) glasi c2 (t) =

− 

i γ 2 4σW 21

4σ2 e−i(

W 11 + γ 2 

−ω0)t sin σt.

(1.81)


14

Slika 1.5: Egzaktne vjerojatnosti zaposjednuća u dvorazinskom sustavu. Na lijevoj slici je primjer sustava s parametrom γ = 0.5, a na desnoj s parametrom γ = 4.0. Iskoristimo li definicije parametara γ i σ

− ) sin σt, − iW (1.82) e− (  σ vjerojatnost nalaˇzenja sustava u stanju |2 glasi 4|W | sin σt. (1.83) P = |c (t)| = ( γ ) + 4|W | Vratimo se vjerojatnosti nalaˇzenja sustava u stanju |1 4σ − γ 4|W sin σt = 1 − sin σt. (1.84) P = 1 − 4σ ( γ ) + 4|W | Naravno, suma vjerojatnosti nalaˇzenja sustava u stanjima |1 i |2 iznosi 1 |c (t)| + |c (t)| = 1. (1.85) Sustav oscilira izmed¯u stanja | 1 i | 2 s periodom τ = π/σ, kao ˇsto moˇzemo vidjeti na sl. 1.5. zelenom bojom oznaˇcena je vjerojatnost nalaˇzenja u stanju |1, a crvenom u stanju | 2, a vjerojatnosti zaposjednu´ ca bitno ovise o paramteru γ . Na lijevoj slici 12

c2 (t) =

2

1

W 11 + γ  2

12

2

2

2

i

2

2

ω0 t

2

2

12

2 12

2

2

2

1

2

2

2

2

12

2

2

prikazane su vjerojatnosti zaposjednuća sustava s parametrom γ = 0.5, a na desnoj s parametrom γ = 4.0. Prvi red raˇ cuna smetnje

Ograniˇcimo se na prvi red raˇcuna smetnje, a radi jednostavnosti, promatramo sustav sa sljedećim tipom smetnje (1.86) W 11 = W 22 = 0.


15

Neka je u poˇcetnom trenutku sustav u osnovnom stanju tj. c1 (0) = 1 i c2 (0) = 0. Egzaktan rezultat vjerojatnosti zaposjednuća nivoa 2 glasi

| 

P 2 (t) =

|W | + |W |

  ω0

2

2

12

2

12

2

2

 σ =

sin σt,

    ω0

2

2

+ W 12 2 .

| |

(1.87)

U prvom redu raˇcuna smetnje na desnoj strani diferencijalne jednadˇzbe koja odred¯uje koeficijent c 2 (t) treba zamijeniti c 1 (t) s c 1 (0)

⇒ c˙ (t) = −  i e

i c˙2 e−iω2t = c 1 (0)e−iω1 t W 21 =

iω0 t

2

W 21 .

(1.88)

Integriramo li prethodnu jednadˇzbu, uz uvjet c 2 (0) = 0 c2 (t) =

− 

1 1  ω0

eiω0 t W 21 ,

(1.89)

doći ćemo do vjerojatnosti zaposjednuća nivoa 2 u prvom redu raˇcuna smetnje 2 12 2 2 0

|W | P (t) = |c (t)| = 4  ω 2

2

2

sin2

ω 0 t . 2

(1.90)

Koriˇstenje prvog reda raˇcuna smetnje bit će opravdano ukoliko je smetnja mnogo manja  ω0 . Na sl. 1.6 prikazane su od razlike nesmetanih nivoa, odnosno vrijedi W 12 vjerojatnosti zaposjednuća izraˇcunate u prvom redu raˇcuna smetnje s dvije vrijednosti omjera smetnje i razlike nesmetanih nivoa. Bez obzira na jakost smetnje, nakon dovoljno dugog vremena, prvi red raˇcuna smetnje poˇcinje bitno odstupati od egzaktnog rezultata. Naravno, ˇsto je smetnja manja, to će vrijeme primjenjivosti prvog reda raˇcuna smetnje biti dulje.

| | 

1.2.2

Primjer: Dvorazinski sustav s periodiˇ ckom smetnjom

Numeriˇ cko rjeˇ senje

Ponovno promatramo dvorazinski sustav, ali je smetnja koja djeluje periodiˇcka i ∂ t ψ(t) = [H + W cos ωt] ψ(t).

(1.91)

Valnu funkciju moˇzemo napisati kao linearnu kombinaciju stacionarnih stanja s vremenski ovisnim koeficijentima ψ(t) = c 1 (t)e−iω1t 1 + c2 (t)e−iω2 t 2 .

|

|

(1.92)


16

Slika 1.6: Vjerojatnosti zaposjednu´ ca u dvorazinskom sustavu u prvom redu raˇcuna smetnje. Na lijevoj slici je primjer sustava s malom smetnjom (  ω0 = 8 W 12 ), a na desnoj s relativno velikom smetnjom (  ω0 = 2 W 12 ).

| |

| |

| 

Neka se u poˇcetnom trenutku sustav nalazi u stanju 1

|  ⇒ c (0) = 1,

ψ(0) = 1 =

1

c2 (0) = 0,

(1.93)

|  | 

pri ˇcemu su 1 i 2 rjeˇsenja stacionarnog problema H 1 =  ω1 1 ,

|

|

H 2 =  ω2 2 .

|

|

(1.94)

Uvrstimo li valnu funkciju ψ(t) u Schrödingerovu jednadˇzbu, a zatim istu pomnoˇzimo s 1 i 2 , kao rezultat ćemo dobiti sustav diferencijalnih jednadˇzbi koji moˇzemo rijeˇsiti numeriˇcki

 |  |

 | |



i c˙1 e−iω1 t = cos ωt 1 W 1 c1 e−iω1t + 1 W 2 c2 e−iω2 t ,

(1.95)

i c˙2 e−iω2 t = cos ωt

(1.96)

| 2 W |1 c e− 1

iω1 t

| | + 2| W |2 c e− 2

iω2 t

.

Ovakvim jednostavnim modelom moˇzemo opisati pojavu paramagnetske rezonancije. Elektron u s-stanju nalazi se u konstantnom magnetskom polju  0 , usmjerenom duˇz z -osi ˇsto uzrokuje cijepanje degeneracije spinskih stanja (Zeemanov efekt)

H

ω0 =

H.

2µ

0



(1.97)

Ukljuˇcimo periodiˇcko magnetsko polje   cos ωt koje djeluje kao smetnja

H

W (t) =

  − H

µ σ   cos ωt,

µ =

e − 2mc .

(1.98)


17

Slika 1.7: Vjerojatnosti zaposjednuća u dvorazinskom sustavu s periodiˇckom smetnjom. Rezultati su dobijeni numeriˇckim rjeˇsavanjem diferencijalnih jednadˇzbi. Prijelazi med ¯u stanjima suprotnog spina mogući su ako je dodatno magentsko polje okomito na polje  0 , npr. usmjereno duˇz osi x

H

W (t) =

−µσ H cos ωt.

x

(1.99)

Doprinose samo nedijagonalni matriˇcni elementi

2| W (t) |1 = −µH cos ωt, 1| W (t) |2 = −µH cos ωt, a do rezonancije dolazi ako vrijedi ω ≈ ω, ˇsto je vidljivo na sl. 1.7.

(1.100)

0

Prvi red raˇ cuna smetnje

Promotrimo isti problem koristeći prvi red raˇcuna smetnje. Ograniˇcimo li se na smetnju koja ima samo nedijagonalne elemente razliˇcite od nule, problem se svodi na sljede´ cu diferencijalnu jednadˇzbu i (1.101) c˙2 = W 12 c1 ei(ω+ω0)t + ei(ω0 −ω)t . 2

−






18

Slika 1.8: Vjerojatnosti zaposjednuća u dvorazinskom sustavu s periodiˇckom smetnjom. Rezultati su dobijeni u prvom redu raˇcuna smetnje. Prvi red raˇcuna smetnje odgovara zamijeni koeficijenta c 1 (t) s odgovarajućim poˇcetnim uvjetom c1 (0) = 1 i (1.102) c˙2 = W 12 ei(ω+ω0 )t + ei(ω0−ω)t . 2 Uz poˇcetni uvjet c 2 (0) = 0 rjeˇsenje glasi

−

c2 (t) =

W 12  ω02

1

−ω

2



 − ω0 1







eiω0 t cos ωt + iωe iω0 t sin ωt .

(1.103)

Na sl. 1.8 pratimo vremensku evoluciju sustava na skali do tmax = 20τ pri ˇcemu je τ = 2π/ω0 . Sa slike je vidljivo kako pribliˇzavanjem rezonanciji raˇcun smetnje prestaje biti primjenjiv. Takod ¯er, nakon dovoljno dugog vremena uvijek dolazi do znatnih odstupanja perturbativnog rjeˇsenja od stvarnog.

1.2.3

Tjerani harmoniˇ cki oscilator


Neka na harmoniˇcki oscilator prirodne frekvencije ω 0 djeluje vanjska sila F (t) = mω02 x0 f (t) =  ω0

mω0 

x0 f (t) =

 ω0 x0

b

b

f (t),

(1.104)

pri ˇcemu x0 mjeri jakost smetnje. Vremenski ovisna Schrödingerova jednadˇzba glasi i ∂t ψ(x, t) =

 2

− 2m ∂ ψ(x, t) + 12 mω x ψ(x, t) − mω x xf (t)ψ(x, t). 2 x

2 2 0

2 0 0

(1.105)


19

Svojstvene funkcije nesmetanog oscilatora glase 2 2 ψñ (x, t) = N n H n (x/b)e−x /2b e−iE nt/ ,

b =





mω0

,

(1.106)

dok su svojstvene energije ekvidistantne E n =

  n +

1  ω. 2

(1.107)

Hamiltonijan smetnje H  =

− ω xb xb f (t) = − ω λξf (t), 0

0

0

λ

≡ xb , ξ ≡ xb . 0

(1.108)

Svojstvena stanja nesmetanog harmoniˇckog oscilatora ˇcine potpuni skup stanja pa proizvoljnu valnu funkciju moˇzemo napisati kao njihovu superpoziciju φ(x, t) =

∞



cn (t) ˜ ψn (x, t) =

n=0

∞



cn (t) ˜ ψn (x)e−iE n t/ .

(1.109)

n=0

Uvrstimo valnu funkciju u Schrödingerovu jednadˇzbu i iskoristimo ortonormiranost funkcija ψn (x) i c˙m (t) =

− ω λf (t) 0

∞



cn (t)ei(m−n)ω0 t m ξ n .

 ||

n=0

(1.110)

Matriˇcni element smetnje ima samo dva doprinosa

m|ξ |n =



n + 1 δ m,n+1 + 2



n δ m,n−1 . 2

(1.111)

Problem se sveo na beskonaˇcni sustav vezanih diferencijalnih jednadˇzbi prvog reda

 √ √

1 c˙m (t) = iω0 λf (t) 2

iω0 t

mcm−1 (t)e

√ + m + 1c



−iω0 t . m+1 (t)e

(1.112)

Budući da u praksi moˇzemo pratiti samo konaˇcni broj koeficijenata, sumu ćemo morati ograniˇciti. Broj koeficijanata koji pratimo ovisi o vremenskoj skali na kojoj rjeˇsavamo problem tako da dulja vremenska skala zahtjeva veći broj koeficijenata. Kao konkretan primjer, promotrimo harmoniˇcku silu f (t) = cos ωt. U klasiˇcnoj fizici pribliˇzavanjem prirodnoj frekvenciji oscilatora ulazimo u rezonanciju, a zanemarivanjem trenja i nelinearnih efekata, amplituda oscilacija bi divergirala. Problem tjeranog harmoniˇckog oscilatora u kvantnoj mehanici moguće je rijeˇsiti egzaktno. Rezultat je da vrh valnog paketa (stacionarno ili koherentno stanje) slijedi klasiˇcnu putanju oscilatora, dok se ˇsirina paketa


20

Slika 1.9: Neodred¯enosti, oˇcekivane vrijednosti kinetiˇcke, potencijalne i ukupne energije, poloˇzaja i impulsa za frekvenciju ω = 0.85ω0 . Oˇcekivane vrijednosti poloˇzaja i impulsa slaˇzu se s klasiˇcnim rezultatima. ne mijenja. Zadrˇzimo se na numeriˇckom rjeˇsenju i pretpostavimo da je u poˇcetnom trenutku oscilator u osnovnom stanju c0 (0) = 1,

cn (0) = 0,



n = 0.

(1.113)

Promatramo vremensku skalu tmax = 20τ pri ˇcemu je τ = 2π/ω0 period slobodnog oscilatora. Oˇcekivanu vrijednost operatora poloˇzaja uspored¯ujemo s klasiˇcnim rjeˇsenjem tjeranog oscilatora koji u poˇcetnom trenutku miruje u poloˇzaju ravnoteˇze xcl (t) =

f 0 ω02

− ω (cos ωt − cos ω t) . 2

0

(1.114)

Za harmoniˇcki oscilator klasiˇcna rjeˇsenja se potpuno slaˇza s oˇcekivanim vrijednostima x i p , kao ˇsto vidimo na sl. 1.9. Takod¯er, sa sl. 1.9 je vidljivo da valni paket ne mijenja oblik tijekom vremena, ali i da energija viˇse nije saˇcuvana jer je sustav otvoren.

   

Adijabatska i impulsna aproksimacija

21

Slika 1.10: Realni i imaginarni dio koeficijenta c 1 (t). Prvi red raˇ cuna smetnje

Ponovno rjeˇsavamo problem tjeranog harmoniˇckog oscilatora, ali ovaj put u prvom redu raˇcuna smetnje. Pretpostavimo da se u poˇcetnom trenutku sustav nalazi u osnovnom stanju (1.115) c0 (0) = 1, cn (0) = 0, n = 0.



U prvom redu raˇcuna smetnje moguć je samo prijelaz u prvo pobud¯eno stanje





iω0 λ iω0 λ i(ω+ω0 )t cos ωteiω0 t = + ei(−ω+ω0)t . e 2 2 2 Integriramo prethodnu jednadˇzbu c˙1 (t) =

√

√

(1.116)

ω0 λ eiω0t [ω0 cos ωt iω sin ωt] ω0 (1.117) c1 (t) = . ω02 ω 2 2 Usporedimo li numeriˇcko i perturbativno rjeˇsenje, vidjet ćemo da raˇcun smetnje nije primjenjiv u podruˇcju rezonancije, bez obzira na amplitudu sile. Takod¯er, bez obzira na amplitudu sile, nakon dovoljno dugog vremena perturbativno rjeˇsenje će poˇceti odstupati od stvarnog.

− −

√

1.3 1.3.1

−

Adijabatska i impulsna aproksimacija Adijabatska aproksimacija: jama promjenjive ˇ sirine

ˇ Cestica mase m nalazi se u beskonaˇcno dubokoj potencijalnoj jami promjenjive dimenzije V (x) =



0,

≤ ≤ L(t)

0 x , inaˇce

∞

.

(1.118)


22

Vremenski ovisna Schrödingerova jednadˇzba, zajedno s odgovarajućim rubnim uvjetima glasi  2 ∂ 2 ψ ∂ψ = i , ψ(x = 0) = 0, ψ(x = L(t)) = 0. (1.119) 2m ∂x 2 ∂t U svakom vremenskom trenutku moˇzemo naći potpuni skup ortonormiranih svojstvenih stanja pravokutne jame

−

un (x, t) =



2 nπx sin , L(t) L(t)

E n (t) =

 2 π 2 n2

2mL2 (t)

.

(1.120)

Pretpostavimo rjeˇsenje u obliku sljedeće superpozicije ψ(x, t) =



bn (t)un (x, t)e−

i 

 t E (τ )dτ 0

,

n

(1.121)

n

a zatim uvrstimo ψ(x, t) u Schrödingerovu jednadˇzbu dbk = dt

 −

 τ bn (t)e− 0 [E n (τ )−E k (τ )]dτ i





L(t)

0

n

∂u n ∗ u (x, t)dx. ∂t k

(1.122)

Radi jednostavnosti, pretpostavimo da se dimenzija jame mijenja konstantnom brzinom dL dt

2 α ≡ mL = konst.,

L0

0

≡ L(t = 0),

ξ (t)

≡ L(t) . L

(1.123)

(1.124)

0

Deriviramo li valnu funkciju baze, doći ćemo do sljedećeg rezultata ∂u n = ∂t

 −

 −

2 1 ∂L nπx sin L(t) L(t) ∂t L(t)

2 nπx ∂L nπx cos . L(t) L2 (t) ∂t L(t)

Integriramo prvi ˇclan



L(t)

0

nπx kπx sin sin dx = L(t) L(t)



0 1 2 L(t)



k = n k = n,

(1.125)

a zatim i drugi



L(t)

0

nπx kπx sin x cos dx = L(t) L(t)

−

2

( 1)k+n L π(t) n2 −k k2 k = n . 0 k = n



(1.126)

Integral u eksponencijalnom ˇclanu s energijama glasi

  t

0

dτ L0 +



2 α τ mL0

2



mL0 1 = 2 α L0

−



1 . L(t)

(1.127)


23

Derivaciju koeficijenta po vremenu pretvorimo u derivaciju po parametru ξ 1 dL dbk dbk dbk dξ = = (1.128) . dt dξ dt L0 dt dξ Jednadˇzba zba za koeficijent koeficij ent svodi se na beskonaˇcni cni sustav vezanih diferencijalnih diferencij alnih jednadˇzbi zbi prvog reda



1 1 2nk( dbk nk( 1)n+k −i(n2−k2)π2(1−1/ξ) /ξ )/4α = bk (ξ ) + bn (ξ ) e , 2 2 2ξ dξ ξ n=k n k

− −

(1.129)

pri ˇcemu cemu pozitivne pozit ivne vrijednosti vrijedno sti konstante α odgovaraju α odgovaraju ekspanziji, a negativne kompresiji jame. Prvi Prv i red raˇ cuna cuna smetnje smet nje

Ograniˇcimo cimo se zasada zas ada na prvi red r ed raˇ r aˇcuna cuna smetnje, s metnje, odnosno odnos no koeficijente ko eficijente na desnoj des noj strani zamijenim zamijenimoo s njihovim njihovim vrijednostima vrijednostima u poˇcetnom cetnom trenutku. trenutku. Pretpostavim Pretpostavimoo da se u poˇcetnom cetnom trenutku sustav nalazi u osnovnom stanju bn (t = 0) =



1, n = 1 . 0, n = 1



Promotrimo Promot rimo jednadˇzbu zbu za koeficijent koeficije nt b b 2 (ξ )

4 3π2 db2 /ξ ) = e 4α i(1−1/ξ) . 3ξ dξ Definiramo pokratu g pokratu g =

(1.130)

(1.131)

2

integri ramo jednadˇzbu zbu −3π /4α, a zatim integriramo 4 g b (ξ ) − b (ξ ) = e− e dξ  .  3g ξ 2

2

ig

0



ξ

ig/ξ

(1.132)

ξ0

Napravimo supstituciju τ supstituciju τ = g/ξ g /ξ  b2 (ξ ) =

− 43 e−



g/ξ

ig

g/ξ 0

cos τ + i dτ + i τ



g/ξ

g/ξ 0



sin τ dτ , τ

Iskoristimo li poˇcetni cetni uvjet ξ uvjet ξ 0 = 1, do´ doći ci ćemo ce mo do rjeˇ rj eˇsenj se njaa 4 4 cos g [C i(g/ξ ) C i(g)] sin g [Si( b2 (ξ ) = Si (g/ξ ) Si( Si (g )] 3 3 4 4 + i sin g [C i(g/ξ ) C i(g)] i cos g [Si( Si (g/ξ ) Si( Si (g)] , 3 3 pri ˇcemu cemu smo iskoristili definicije sinusa integralnog i kosinusa integralnog x ∞ cos τ sin τ Si( Si (x) = dτ , C i(x) = dτ . τ τ 0 x

−

− −



− −

− −

 −

(1.133)

(1.134)

(1.135)


24

Slika 1.11: Koeficijent b Koeficijent b 2 (t) za nekoliko nekoliko brzina kompresije jame. Uspored ¯eni ¯eni su prvi red raˇcuna cuna smetnje i egzaktni rezultat. rezultat . Egza Eg zakt ktni ni raˇ cun cu n

Pro blem beskonaˇ Problem bes konaˇcne cne jame ˇcija cija ˇsirina sir ina se mijenja mije nja konstantn konst antnom om brzinom brzin om moˇzemo zemo rijeˇ rij eˇsiti sit i i egzaktno. Rjeˇsenja senja odgovaraju´ odgo varajuće ce vremenski ovisne Schrödinger odin gerove ove jednadˇ jedn adˇzbe zbe φn (x, t) =



2 iαξ( nπx nπ x x/L)2 −in2 π 2 (1−1/ξ) /ξ )/4α sin eiαξ(x/L) , L(t) L(t)

(1.136)

→

ˇcine cine potpuni p otpuni ortonormirani skup stanja. U granici α 0 funkcija φn (x, t) svodi se na rjeˇ rj eˇsenj se njee obiˇ ob iˇcne cn e besko es konaˇ naˇcne cn e jame ja me u n (x). Proizvoljnu Proizvo ljnu valnu va lnu funkciju moˇzemo zemo napisati napi sati kao superpoziciju stanja φ n (x, t) ψ(x, t) =



an φn (x, t),

(1.137)

n

a budući ci da koeficijenti koefici jenti an ne ovise o vremenu, moˇzemo zemo ih izraˇcunati cunati u poˇcetnom cetnom trenutku



L0

an =

0

0)ψ(x, 0)dx. 0)dx. φ∗n (x, 0)ψ

(1.138)

Valnu funkciju funkcij u u svakom trenutku moˇzemo zemo razviti i po svojstvenim svojstv enim funkcijama beskonaˇcne cne jame ˇsirine L sirine L((t), ali u tom sluˇcju cju koeficijenti ovise o vremenu ψ (x, t) =

 k

C k (t)uk (x, t).

(1.139)


25

Slika 1.12: Koeficijenti an i b n (t) za dvije brzine kompresije jame. Koristeći ci ortonormiranost ortonormir anost funkcija uk (x, t), koeficijente C k (t) moˇzemo ze mo izra iz razi ziti ti pomo´ po moću cu koeficijenata a koeficijenata a n

 

L(t)

C k (t) =

u∗k (x, t)φn (x, t)dx.

an

0

n

(1.140)

Pritom su koeficijenti C koeficijenti C k (t) i b k (t) proporcionalni C k (t) = b k (t)e−

i 

 t t E (τ ) τ )dτ 0

2

2

|C (t)| = |b (t)| .

tj.

k

k

k

(1.141)

Koriste´ Kori steći ci koeficije koefi cijente nte C svako m trenutk tre nutku u moˇzemo zemo izraˇ izr aˇcunati cunat i oˇcekivanu ceki vanu vrijedn vri jednost ost C k (t), u svakom energije

E (t) =

|

C k (t) 2E k (t).

k

|

(1.142)

Na sl. 1.12 sl. 1.12 prikazani su koeficijenti an i bn (t) za dvije brzine brzine kompresij kompresijee jame. Ako je brzina brzin a kompresi kom presije je ve´ v eća, ca, doprinosi dopri nosi veći ci broj br oj koefici ko eficijena jenata ta a n i bn (t).


1.3.2

26

Impulsna aproksimacija

Impulsna aproksimacija je suprotan sluˇcaj u odnosu na adijabatsku aproksimaciju. Prom jena parametra potencijala je toliko brza da se valna funkcija uopće ne stigne prilagoditi promjeni, odnosno u idealiziranom sluˇcaju valna funkcija nakon promjene ima potpuno isti oblik kao i prije promjene. U takvom sluˇcaju je i energija nakon promjene jednaka energiji prije promjene. Naravno, u stvarnosti ovakva situacija nikada neće biti u potpunosti ostvarena. Budući da pravokutna jama nepraktiˇcna za numeriˇcko rjeˇsavanje, promatrat ćemo malo modificirani sluˇcaj zaobljene jame U (x) = U 0

 x d

n

,

n = 2k,

(1.143)

gdje parametar k kontrolira zaobljenost jame. k = 1 odgovara potencijalu harmoniˇckog oscilatora, dok k odgovara pravokutnoj jami ˇsirine d. Odaberemo li npr. k = 8 i pustimo da se parametar d mijenja, dobit ćemo pribliˇzan sluˇcaj pravokutne jame promjenjive ˇsirine. Period gibanja klasiˇcne ˇcestice u potencijalu (1.13) moˇzemo izraˇcunati analitiˇcki mπ Γ n1 (1.144) τ = 4x0 . 2E nΓ 2+n 2n

→ ∞

    

x0 je toˇcka obrata

E x0 = d U 0

1/n

.

(1.145)

Klasiˇcni period gibanja ˇcestice moˇzemo koristiti kao mjeru brze promjene. Neka se ˇsirina jame linearno mijenja u vremenu

 

d(t) = d(0) 1 + α

t . τ

(1.146)

Na sl. 1.13 prikazana je ovisnost energije o vremenu tijekom ˇsirenja jame (lijevo), kao ˇ i za vrlo velike brzine ˇsirenja, i poˇcetna i konaˇcna gustoća vjerojatnosti (desno). Cak energija se donekle promijeni1, iako je gustoća vjerojatnosti praktiˇcki jednaka. Kada ˇsirenje jame prestane, ˇcestica se ne nalazi u osnovnom stanju nove jame. Ako je ˇsirenje bilo brzo, njezina valna funkcija odgovara superpoziciji većeg broja svojstvenih funkcija nove jame. To znaˇ ci da stanje nije stacionarno, nego se mijenja u vremenu. 1

valna funkcija vidi promjene potencijala


27

Slika 1.13: Lijevo: ovisnost energije o vremenu tijekom ˇsirenja jame. Desno: gustoća vjerojatnosti u poˇcetnom i konaˇcnom trenutku, kao i poˇcetni i konaˇcni potencijal. Crnom linijom je prikazana gustoća vjerojatnosti koja odgovara osnovnom stanju konaˇcnog potencijala.

Varijaciona metoda

1.4

28

Varijaciona metoda

1.4.1

Primjer: linearni potencijal

Koristeći varijacionu metodu, ˇzelimo odrediti pribliˇznu energiju osnovnog stanja potencijala V (x) = F x . Kao prvu probnu funkciju koristit ćemo trigonometrijsku funkciju

||

  

cos π2ax x < a, . 0 inaˇce

ψ(x) =

||

(1.147)

Pribliˇzna energija osnovnog stanja odgovara minimalnoj vrijednosti omjera W =

ψ∗ (x)Hψ(x)dx . ψ∗ (x)ψ(x)dx

(1.148)

Prvo izraˇcunamo normu probne funkcije

 | |

a

cos2

−a

πx dx = a, 2a

(1.149)

a nakon toga i oˇcekivanu vrijednost Hamiltonijana

 − a

πx cos 2a −a

 2 d2

2m dx2

+ F x

 − 

 2 π 2 1 πx cos dx = + a2 F 2a 2m 4a 2

2 π2

. (1.150)

Da bi minimizirali omjer W =

 2 π 2

2m 4a2

+ aF

 −  1 2

2 π2

,

(1.151)

traˇzimo nultoˇcku derivacije

Slijedi a0 =



  − −    −  ≈     ∂W ∂a

=

a=a0

 2 π 2

4mF

1/3

 2 π 2

2m 2a30

1 2

2 π2

+ F

1 2

−1/3

2 = 0. π2

2.0245

 2

(1.152)

1/3

.

mF

(1.153)

Pribliˇzna vrijednost energije osnovnog stanja iznosi W (a0 ) = 0.903

 2 A2

m

1/3

,

(1.154)

Varijaciona metoda

29

i dobro se slaˇze s egzaktnim rezultatom E egz = 0.808

   2 A2

1/3

.

m

(1.155)

Kao drugu probnu funkciju koristimo Gaussian 2 /2σ2

ψ(x) = e −x

.

(1.156)

Izraˇcunamo normu probne funkcije



∞

2 /σ 2

e−x

dx =

√ πσ,

(1.157)

−∞

a zatim i oˇcekivanu vrijednost Hamiltonijana



∞

−∞

x2 /2σ 2

e−

−

 2 d2

2m dx2

| |

+ A x

2 2 e−x /2σ dx =

√

 2

+ A πσ.

2mσ2

(1.158)

Minimiziramo omjer oˇcekivane vrijednosti Hamiltonijana i norme probne funkcije W =

 2

+

2mσ2

Aσ √ , π

(1.159)

odnosno traˇzimo nultoˇcku derivacije ∂W ∂σ



⇒ σ =

=0= σ =σ0

0

 √   2 π

1/3

mA

.

(1.160)

Pribliˇzna vrijednost energije osnovnog stanja 3 W (σ0 ) = 1/3 2π

   2 A2

m

1/3

≈ 1.024

   2 A2

m

1/3

,

(1.161)

i u ovom sluˇcaju se relativno dobro slaˇze s egzaktnim rezultatom E egz = 0.808

   2 A2

m

1/3

.

(1.162)

Na sl. 1.14 prikazani su rezultati varijacione metode u usporedbi s egzaktnim raˇcunom.

WKB aproksimacija

30

Slika 1.14: Usporedba rezultata varijacione metode i egzaktnog raˇcuna za probne funkcije (1.147) i (1.156).

1.5

WKB aproksimacija

Princip WKB2 aproksimacije moˇzemo pokazati na jednodimenzionalnoj stacionarnoj Schr¨ odingerovoj jednadˇzbi d2 ψ 2m + 2 [E  dx2

− V (x)] ψ(x) = 0.

(1.163)

Valnu funkciju napiˇsemo kao produkt amplitude (θ(x)) i faze (φ(x)) ψ(x) = θ(x)eiφ(x)/ .

(1.164)

Uvrˇstavanjem u Schrödingerovu jednadˇzbu dolazimo do sustava od dvije jednadˇzbe

 2 2θ  φ − 2m(E − V ) =  ,

θ

2θ φ + θφ  = 0.

(1.165) (1.166)

Integracijom jedn. (1.166), dolazimo do relacije θ = C (φ )

−1/2 , C = konst.

(1.167)

Uvrˇstavanjem u jedn. (1.165), dobit ćemo nelinearnu diferencijalnu jednadˇzbu trećeg reda 2 1 φ φ 2 2 3  = 2m(E + (1.168) φ V )  . 4 φ 2 φ

−

2

WentzelKramerBrillouin

  − 

WKB aproksimacija

31

Amplituda θ i faza φ mogu ovisiti samo o parnim potencijama konstante  2 pa fazu razvijamo u red (1.169) φ = φ 0 +  2 φ1 +

·· ·

Zadrˇzimo li se na ˇclanovima nultog reda, doći ćemo do jednostavne jednadˇzbe prvog reda 2 (1.170) φ0 = 2m [E V (x)] .

−

Pri integraciji razlikujemo dva sluˇcaja: E > V (x) i E < V (x). U pravom sluˇcaju definiramo valnu duljinu 



λ(x) =

2m [E

− V (x)] ,

(1.171)

koja je obrnuto proporcionalna klasiˇcnom impulsu ˇcestice. Nakon integracije slijedi φ0 =

 ±

 ±



λ

θ0 = C

dx + c,

λ

,



(1.172)

pa WKB rjeˇsenje u klasiˇcno dozvoljenom podruˇcju moˇzemo napisati kao linearnu kombinaciju oscilatornih funkcija

√

ψ(x) = α λ cos

 

dx + β , λ

(1.173)

pri ˇcemu su α i β konstante koje tek treba odrediti. Drugi sluˇcaj odgovara klasiˇcno zabranjenom podruˇcju pa λ definiramo na sljedeći naˇcin λq (x) =





2m(V (x)

− E ) .

(1.174)

Diferencijalna jednadˇzba za fazu dobit će dodatni faktor i φ0 =

± λi .

(1.175)

q

Oˇcekivano, valna funkcija u klasiˇcno zabranjenom podruˇcju odgovara linearnoj kombinaciji eksponencijalnih funkcija ψ(x) =

 

λq γe

 dx λq



 dx − + δe λq .

(1.176)

Kao i u sluˇcaju klasiˇcno dozvoljenog podruˇcja konstante γ i δ tek trebamo odrediti. Oba izraza za valnu duljinu divergiraju u klasiˇcnim toˇckama obrata. Promotrimo posebno podruˇcje u blizini klasiˇcnih toˇcaka obrata uz pretpostavku da potencijal oko toˇcke obrata x = a moˇzemo razviti u red V (x) = V (a) + V  (a)(x

− a) = E + V (a)(x − a).

(1.177)

WKB aproksimacija

32

Vratimo li se poˇcetnoj Schrödingerovoj jednadˇzbi d2 ψ dx2

− 2m V  (a)(x − a)ψ = 0, 

uz supstituciju





2m  z = V (a) 2 doći ćemo do Airy jednadˇzbe

2



(1.178)

1/3

(x

− a),

(1.179)

d2 ψ (1.180) zψ = 0. dz 2 Airy jednadˇzba ima dva linearno nezavisna rjeˇsenja: Airy funkciju prve vrste Ai(z ) i Airy funkciju druge vrste Bi(z ). Za negativne vrijednosti argumenta z obje funkcije su oscilatorne, dok za velike pozitivne vrijednosti argumenta z funkcija Ai(z ) trne, a funkcija Bi(z ) divergira. Asimptotski razvoji za velike pozitivne vrijednosti argumenta glase

−

≈ 12 π− z − e− , Bi(z ) ≈ π− z − e , 1/2

Ai(z )

1/4

1/2

gdje je ξ = izrazi

2 3

3/2

|z |

ξ

1/4 ξ

(1.181)

(1.182)

. S druge strane, za velike negativne vrijednosti argumenta z vrijede 1/2

1/4

≈ π− |z |− cos(ξ − π/4), Bi(z ) ≈ −π− |z |− sin(ξ − π/4). Ai(z )

1/2

1/4

(1.183)

(1.184)

Na sl. 1.15 prikazane su Airy funkcije prve i druge vrste u usporedbi s odgovaraju´ cim asimptotskim razvojima. Slaganje je izvrsno, osim u blizini ishodiˇsta gdje asimptotski razvoj divergira. Izraˇzeno u staroj koordinati x, to podruˇcje zapravo odgovara toˇcki obrata. U sljedećem koraku povezujemo WKB rjeˇsenja s asimptotskim razvojem Airy funkcija. Pretpostavimo da se radi o toˇcki obrata za koju vrijedi V  (a) > 0, odnosno da u klasiˇcno dozvoljenom podruˇcju vrijedi x < a. WKB rjeˇsenje moˇzemo napisati u sljedećem obliku

√



a

ψ(x) = α λ cos

x



dx + β . λ(x )

(1.185)

Valnu duljinu λ razvijemo u red oko toˇcke obrata λ(x)

≈



1 (x

  − 2mV  (a)

− a) .

(1.186)

WKB aproksimacija

33

Slika 1.15: Airy funkcije prvog (Ai(z )) i drugog (Bi(z )) reda i odgovarajući asimptotski razvoji. Integral u WKB rjeˇsenju glasi

   − a

2mV  (a)

(x

 2

x

 −  

2mV  (a)

2 a)dx =

3

3/2

2 3/2 z = ξ. (1.187) 3

(a

− x)

1/4

cos(ξ + β ).

 2

=

||

WKB rjeˇsenje u klasiˇcno dozvoljenom podruˇcju ψ(z ) = α

2mV  (a)  2

1/4

|z |−

(1.188)

Uz odabir β = π/4 + ˜ β , prethodni izraz moˇzemo napisati u formi linearne kombinacije asimptotskih razvoja Airy funkcija

−

ψ(z ) = α



2mV  (a)  2



1/4





|z |−1/4 √ 1 cos(ξ − π/4) cos ˜β − sin(ξ − π/4)sin ˜β , 2

(1.189)

odnosno ˜ cos ˜ ˜ sin ˜ ψ(z ) = α βAi(z ) + α βBi(z ),

˜ = α

 

2mV  (a) π α 2  2



1/4

.

(1.190)

Ponovimo isti postupak s WKB rjeˇsenjem u klasiˇcno zabranjenom podruˇcju ψ(x) =

+ δe

2 3



(x

x

2mV  (a)  2

 x

λq (x) γe

Integral u WKB rjeˇsenju glasi

   −

 

(x

a

a)dx =

dx a λq (x )

2mV  (a)  2

−  a x λqdx(x)

3/2

− a)



.

(1.191)

2 = z 3/2 = ξ. (1.192) 3

WKB aproksimacija

34

WKB rjeˇsenje u klasiˇcno zabranjenom podruˇcju ψ(z ) =



odnosno

2mV  (a)  2

  1/4

z −1/4



1 γe ξ + 2δ e−ξ , 2

˜ ). ψ(z ) = γ˜B i(z ) + 2 δAi(z

Pritom je γ˜ =



2mV  (a)  2

  1/4

π γ, 2

˜ = δ



(1.193)

2mV  (a)  2

(1.194)

  1/4

π δ. 2

(1.195)

Valne funkcije koje povezujemo u klasiˇcno zabranjenom i klasiˇcno dozvoljenom podruˇcju 3

 ≈  ≈

+

λq (x)e

ψ1

1 2

ψ2

dx a λq (x )

 x

−  a x λqdx(x )

λq (x)e

   ≈ −    ≈

 −  −

   ≈ −    ≈

 −  −

a

dx π λ(x)sin ,  4 x λ(x ) a dx π λ(x)cos  4 x λ(x )

i ψ1 i ψ2

(1.196) (1.197)

Sliˇcnim zakljuˇcivanjem bi mogli povezati valne funkcije ako bi u klasiˇcnoj toˇcki obrata x = b vrijedilo V  (b) < 0, odnosno u klasiˇcno zabranjenom podruˇcju bi bilo x < b, a u klasiˇcno dozvoljenom x > b:

 ≈  ≈

λq (x)e

ψ1 ψ2

1.5.1

+

1 2

dx x λq (x )

 b

−  x b λqdx(x )

λq (x)e

x

i ψ1 i ψ2

dx π λ(x)sin ,  ) 4 λ(x b x dx π λ(x)cos  ) 4 λ(x b

(1.198) (1.199)

Energije vezanih stanja

Promatramo potencijalnu jamu u kojoj bi klasiˇcno dozvoljeno podruˇcje za ˇcesticu s energijom E obuhvaćalo interval b x a. U klasiˇcno zabranjenom podruˇcju x < b WKB valna funkcija ima oblik

≤ ≤

for. ψ2,b

1 = 2



−  x b λqdx(x )

λq (x)e

,

(1.200)

koji moˇzemo povezati s WKB valnom funkcijom u dozvoljenom podruˇcju all. = ψ2,b 3

 

x

λ(x)cos

b

dx λ(x )

 −

jedna odgovara Airy funkciji Ai (z ), a druga Airy funkciji B i(z )

π . 4

(1.201)

WKB aproksimacija

Iskoristimo li relaciju

35

  −    −  −         − − x

a a dx dx dx = ,    ) ) ) λ(x λ(x λ(x b b x Valnu funkciju u dozvoljenom podruˇcju dalje moˇzemo napisati kao a

all. ψ2,b

=

λ(x)cos

b

a

dx λ(x )

x

dx λ(x )

(1.202)

π . 4

(1.203)

Da bismo poniˇstili mogući divergentni doprinos, moramo nametnuti uvjet a

dx = λ(x )

b

n +

1 π, 2

(1.204)

koji daje kvantizaciju energijskih nivoa. Uz tako nametnuti uvjet, vrijedi all. ψ2,b

odnosno

= ( 1)

a

n

λ(x)cos

x

dx λ(x )

π , 4

all. all. = ( 1)n ψ2,a ψ2,b .

−

(1.205)

(1.206)

Uvjet kvantizacije moˇzemo izraziti i pomoću integrala akcije



p(x)dx =

  n +

1 h. 2

(1.207)

Linearni potencijal

Koristeći WKB metodu, ˇzelimo odrediti energijske nivoe u linearnom potencijalu

||

V (x) = F x .

(1.208)

Klasiˇcne toˇcke obrata su simetriˇcne b =

− E F

E . F

i a =

(1.209)

Uvjet kvantizacije energije glasi

  a

2m [E

b

− F |x|]dx = 2

√

2m

 √ − a

E

Fxdx =

0

  n +

1 π , 2

(1.210)

pri ˇcemu smo iskoristili simetriˇcnost podinteralne funkcije. Rjeˇsavanjem integrala doći ćemo do energijskih nivoa

 √  

3F  π 1 E n = n + 2 4 2m

2/3

.

(1.211)

WKB aproksimacija

36

n egzaktno WKB 0 0.342 0.375 1 0.787 0.781 2 1.092 1.098 3 1.375 1.374 4 1.621 1.624 5 1.856 1.857 Tablica 1.1: Usporedba egzaktnih i WKB nivoa za elektron u potencijalu strmine F = eVnm−1 . Egzaktni i WKB nivoi su uspored ¯eni u tablici 1.1. Valna funkcija u klasiˇcno dozvoljenom podruˇcju glasi ψII (x) = pri ˇcemu je b =

    −    −  − | −| − | |  ≥     −    − 1 C 1 cos  p(x)

x

p(x )dx

b

π , 4

(1.212)

−E/F lijeva toˇcka obrata. Rijeˇsimo li integral, slijedi ψII (x) =

1 C 1 cos f (x)  p(x)

π . 4

(1.213)

Funkcija f (x) definirana je na sljedeći naˇcin

√ ( F x + E )3/2 f (x) = √ f (x) =

2 2m 3F 2m 3F

( F x + E )3/2

2E 3/2

x < 0 x 0.

(1.214)

Alternativno, mogli smo koristiti formulu ψII (x) =

1 C 2 cos  p(x)

a

p(x )dx

x

π , 4

(1.215)

pri ˇcemu je a = E/F desna toˇcka obrata. Rijeˇsimo li integral, slijedi ψII (x) =

1 C 2 cos g(x)  p(x)

π . 4

(1.216)

Funkcija g(x) definirana je na sljedeći naˇcin

√ (−F |x| + E )3/2 g(x) = √ g(x) =

2 2m 3F 2m 3F



2E 3/2

− (−F |x| + E )

3/2



Dva izraza su ekvivalentna zbog uvjeta kvantizacije energije.

x > 0 x 0.

≤

(1.217)

WKB aproksimacija

37

Slika 1.16: Usporedba egzaktnih (zelena linija) i WKB (plava linija) valnih funkcija. Valna funkcija u lijevom klasiˇcno zabranjenom podruˇcju C 1 ψI (x) = 2

  −   | | −  | |−   | |−  √ −  √ −  −  √  2

1 2m 2 F x

−E/F

exp E

Edx  .

F x

(1.218)

x

Nakon rjeˇsavanja integrala dobijemo ψI (x) =

C 1 2

 2

1

2

3/2

e− 3F (F |x|−E ) . E

2m 2 F x

(1.219)

Valna funkcija u desnom klasiˇcno zabranjenom podruˇcju C 2 ψII I (x) = 2

 2

1 2m 2 F x

x

F x

exp E

Edx  .

(1.220)

E/F

Nakon rjeˇsavanja integrala dobijemo C 2 ψII I (x) = 2

 2

1 2m 2 F x

2

−

3/2

e− 3F (F x−E ) E

.

(1.221)

U svim sluˇcajevima valna funkcija divergira u blizini toˇcaka obrata, kao ˇsto se vidi na sl. 1.16.

1.5.2

Tuneliranje kroz barijeru

Koeficijent transmisije za tuneliranje kroz barijeru glasi

  a

T (E ) = e −2γ (E ) , γ (E ) =

b

2m  2

[V (x)

− E ].

(1.222)

WKB aproksimacija

38

Slika 1.17: Usporedba egzaktnih i WKB rezultata koeficijenata transmisije za dvije ˇsirine barijere. Trokutasta barijera

Promatramo tuneliranje kroz potencijalnu barijeru trokutastog oblika

−     − −  − x . w

V (x) = V 0 1

Raˇcunamo funkciju γ γ (E ) = Integral je tabliˇcni

x0

2m  2

V 0

E

0

2w 2m [V 0 3V 0  2 a koeficijent transmisije u ovisnosti o energiji

 2m 2

(1.223)

V 0 xdx. w

E ]3/2 ,

γ (E ) =

− 4 w T (E ) = e 3V 0

[V 0 E ]3/2

−

.

(1.224)

(1.225)

(1.226)

WKB aproksimacija bolje funkcionira za ˇsiroke barijere, kao ˇsto se vidi na sl. 1.17.

2 Problem rasprˇ senja u tri dimenzije

2.1

Metoda parcijalnih valova

Pretpostavimo da homogeni snop ˇcestica nailazi na potencijal U (r) koji je razliˇcit od nule unutar radijusa r = a, dok izvan tog radijusa potencijal postaje zanemariv. Stoga je valna funkcija u podruˇcju r > a rjeˇsenje Schrödingerove jednadˇzbe za slobodnu ˇcesticu

  

+ k 2 ψ(r) = 0,

k2 =

2mE . 2



(2.1)

Radi osne simetrije rjeˇsenje ne ovisi o kutu φ 1 ψ(r) = (2π)3/2

∞

[Al jl (kr) + Bl nl (kr)] P l (cos θ).

(2.2)

l=0

Koristit ćemo asimptotsko ponaˇsanje sfernih Besselovih i sfernih Neumannovih funkcija na velikim udaljenostima jl (kr)

→ sin(krkr− lπ/2)

i nl (kr)

→ − cos(krkr− lπ/2) ,

(2.3)

da bi odredili asimptotski oblik valne funkcije na velikim udaljenostima 1 ψ(r) = (2π)3/2

 ∞

l=0

−

sin(kr lπ/2) Al kr

−



−

cos(kr lπ/2) Bl P l (cos θ). (2.4) kr

Linearnu kombinaciju trigonometrijskih funkcija moˇzemo izraziti pomoću amplitude C l i faznog pomaka δ l 1 ψ(r) = (2π)3/2

∞



C l

sin(kr

− lπ/2 + δ ) P (cos θ), l

kr

l=0

l

(2.5)

a zatim valnu funkciju moˇ zemo napisati kao linearnu kombinaciju izlaznog i ulaznog sfernog vala 1 ψ(r) = (2π)3/2

∞



C l

ei(kr −lπ/2+δl )

i(kr lπ/2+δl )

− e−

−

2ikr

l=0

P l (cos θ).

(2.6)

Ulazni sferni val potjeˇce od ulaznog ravnog vala kojeg takod¯er moˇzemo razviti po multipolima eikz =

∞



il (2l + 1) jl (kr)P l (cos θ),

l=0

39

(2.7)


40

odakle slijedi asimptotsko ponaˇsanje ikz

e

∞

 →

il (2l + 1)

l=0

−

sin(kr lπ/2) P l (cos θ). kr

(2.8)

Da bi dobili ˇcisti izlazni sferni val, od valne funkcije moramo oduzeti ravni val ψ(r)

1 1 eikr ikz e = f (θ). (2π)3/2 (2π)3/2 r

−

(2.9)

Med¯utim, da bi prethodna jednadˇzba bila ispunjena, moramo nametnuti relaciju izmed¯u amplitude C l i faznog pomaka δ l C l = il eiδl (2l + 1).

(2.10)

Izraz za amplitudu rasprˇsenja glasi

∞

 − 

1 f (θ) = 2ik

e2iδl

1 (2l + 1)P l (cos θ).

(2.11)

l=0

Ukupnu valnu funkciju moˇzemo napisati kao linearnu kombinaciju sfernih Hankelovih funkcija prvog i drugog reda 1 ψ(r) = (2π)3/2

∞

 l=0





1 l (1) (2) i (2l + 1) hl (kr)e2iδl + hl (kr) P l (cos θ), 2

(2.12)

gdje je (1)

hl (kr) = jl (kr) + inl (kr), (2)

hl (kr) = jl (kr)

− in (kr). l

(2.13)

(2.14)

Asimptotsko ponaˇsanje sferne Hankelove funkcije prvog reda odgovara izlaznom, a sferne Hankelove funkcije drugog reda ulaznom sfernom valu ikr l+1 e

(1) hl (kr) (2)

hl

→ (−i) kr , e− (kr) → i . kr l+1

(2.15)

ikr

(2.16)

Radijalni dio valne funkcije glasi





1 (1) (2) Rl (r) = hl (kr)e2iδl + hl (kr) = e iδl [ jl (kr)cos δ l 2

− n (kr)sin δ ] . l

l

(2.17)


41

U praksi, fazni pomak odred¯ujemo koristeći uvjet kontinuiranosti logaritamske derivacije u toˇcki r = a. Logaritamsku derivaciju na rubu vanjskog (r > a) podruˇcja moˇzemo izraˇcunati analitiˇcki 1 dRl (r) β l+ = Rl (r) dr



r=a

cos δ l jl (ka) = k cos δ l jl (ka)

− sin δ n (ka) , − sin δ n (ka) l l

(2.18)

l l

a zatim moˇzemo izraziti fazni pomak kj l (ka) knl (ka)

− β j (ka) , (2.19) − β n (ka) gdje je fazni pomak odred¯en do na aditivnu konstantu ±nπ. Rjeˇsenje u podruˇcju r < a tan δ l =

l+ l

l+ l

napiˇsemo u sljedećem obliku

1 ψ(r) = (2π)3/2

∞



il (2l + 1)Rl (r)P l (cos θ),

(2.20)

l=0

a zatim uvedemo supstituciju Rl (r) = u l (r)/r. Radijalni dio Schrödingerove jednadˇzbe glasi 2m d2 ul 2 + (2.21) k U ef f (r) ul = 0,  2 dr2





−

pri ˇcemu je efektivni potencijal U ef f (r) = U (r) +

 2 l(l + 1)

2mr2

.

(2.22)

Jednadˇzbu rjeˇsavamo koristeći rubni uvjet u ishodiˇstu ul (0) = 0, a zatim moˇzemo izraˇcunati logaritamsku derivaciju u toˇcki r = a 1 dRl β l− = Rl dr



.

(2.23)

r=a

Izjednaˇcimo li logaritamske derivacije β l+ i β l− , doći ćemo do izraza za fazni pomak tan δ l =

kj l (ka) knl (ka)

− β − j (ka) . − β −n (ka) l

l

l

l

(2.24)

Diferencijalni udarni presjek odred¯ujemo koristeći formulu σ(θ) = f (θ) 2 =

|

|

1 4k 2

  −   ∞

l=0

e2iδl

 

1 (2l + 1)P l (cos θ) ,

(2.25)


42

koju moˇzemo napisati u sljedećem obliku

    

σ(θ) =

1 k

∞

 

(2l + 1)eiδl sin δ l P l (cos θ) .

l=0

(2.26)

Do totalnog udarnog presjeka dolazimo integracijom diferencijalnog udarnog presjeka po cijelom prostornom kutu. Ortogonalnost Legendreovih polinoma vodi na sljedeći izraz σtot =

∞

4π dσ = 2 dΩ dΩ k

(2l + 1) sin2 δ l .

(2.27)

l=0

Promotrimo li formule za amplitudu rasprˇsenja i totalni udarni presjek, moˇzemo izvesti jednostavnu relaciju 4π (2.28) σtot = Imf (0), k koju zovemo optiˇcki teorem .

2.1.1

Rasprˇ senje na neprobojnoj sferi

Snop ˇcestica rasprˇsuje se na neprobojnoj sferi U (r) =

 ∞ 0

≤

r a, r > a.

(2.29)

ˇ Cestica je u vanjskom podruˇcju slobodna pa je opće rjeˇsenje radijalne jednadˇzbe linearna kombinacija sfernih Besselovih i sfernih Neumannovih funkcija Rl (r) = e iδl [cos δ l jl (kr)

− sin δ n (kr)] .

l l

(2.30)

Potencijal u toˇcki r = a postaje beskonaˇcan pa valna funkcija mora iˇsˇcezavati ˇsto vodi na sljedeći uvjet za fazne pomake tan δ l (k) =

jl (ka) . nl (ka)

(2.31)

Sluˇcaj s-vala je najjednostavniji j0 (ka) tan δ 0 = = n0 (ka)

−

sin ka ka cos ka ka

−

=

− tan ka,

(2.32)

odnosno δ 0 = ka. Fazni pomak je negativan jer je potencijal odbojan. Na sl. 2.1 prikazani su fazni pomaci za prvih nekoliko parcijalnih valova u ovisnosti o energiji,


43

Slika 2.1: Fazni pomaci za prvih nekoliko parcijalnih valova za rasprˇsenje na neprobojnoj sferi. odnosno parametru ka. Primjećujemo da se za veće vrijednosti momenta koliˇcine gibanja fazni pomaci bitno razlikuju od nule tek na viˇsim energijama. ˇ Cestica sa zakretnim impulsom l osjeća odbojni centrifugalni potencijal U cf (r) =

 2 l(l + 1)

2mr2

.

(2.33)

(2.34)

Klasiˇcnu toˇcku obrata bismo izraˇcunali koristeći uvjet E = U ef f (r)  2 k2

2m



=

 2 l(l + 1)

2mrcl2

,

odnosno rcl = l(l + 1)/k. Budući da potencijal bitno utjeˇce samo na one ˇcestice za koje vrijedi rcl < a, procesu rasprˇsenja će doprinositi samo parcijalni valovi za koje vrijedi l ka. To ujedno znaˇ ci da je za opis procesa rasprˇsenja na niskim energijama potrebno ukljuˇciti manji broj parcijalnih valova, nego za opis na visokim energijama pa moˇzemo zakljuˇciti da je metoda parcijalnih varova posebno prikladna za rjeˇsavanje problema niskoenergijskih rasprˇsenja. Na sl. 2.2 prikazani su radijalni dijelovi valnih funkcija za rasprˇsenje na neprobojnoj sferi. Vertikalnom isprekidanom linijom oznaˇcena je klasiˇcna toˇcka obrata. Budu´ ci da s porastom momenta koliˇ cine gibanja centrifugalna barijera raste, toˇcka obrata se udaljava od ishodiˇsta. Ako je moment koliˇcune gibanja dovoljno velik da se toˇcka obrata nalazi izvan sfere, ˇcestice će se rasprˇsiti na centrifugalnoj barijeri umjesto na sferi pa će njihova valna funkcija biti praktiˇcki jednaka valnoj funkciji slobodne ˇcestice.




44

Slika 2.2: Radijalni dio valne funkcije za rasprˇsenje na neprobojnoj sferi. Vertikalnom isprekidanom linijom oznaˇcena je klasiˇcna toˇcka obrata.


45

Ukupnu valnu funkciju moˇzemo napisati kao linearnu kombinaciju sfernih Hankelovih funkcija prvog i drugog reda 1 ψ(r) = (2π)3/2

∞ 1

 l=0

2

l

i (2l + 1)



(1) hl (kr)e2iδl

(2) + hl (kr)



P l (cos θ).

(2.35)

Na sl. 2.3 prikazana je gustoća vjerojatnosti za rasprˇsenje na neprobojnoj sferi. Za niske energije skala mora biti velika da bi uoˇcili efekte ogiba. Na visokim energijama vidljiva je sjena iza sfere, med¯utim ona se ne proteˇze u beskonaˇcnost. Udarni presjek

U izrazu za diferencijalni udarni presjek σ(θ) =

   ∞ 1

k

 

2

iδl

(2l + 1)e sin δ l P l (cos θ) ,

l=0



(2.36)

bitno doprinose samo parcijalni valovi za koje vrijedi l ka pa se suma u praksi moˇze ograniˇciti na lmax ˇclanova. Na sl. 2.4 prikazan je diferencijalni udarni presjek za rasprˇsenje na neprobojnoj sferi. Lijeva strana slike odgovara polarnom grafu u ravnini yz , dok se na desnoj strani nalazi ovisnost diferencijalnog udarnog presjeka o kutu θ. Prisjetimo se formule za totalni udarni presjek 4π σtot = 2 k

∞



(2l + 1) sin2 δ l .

(2.37)

l=0

U granici niskih energija moˇzemo koristiti sljedeće izraze xl 1, , x (2l + 1)!! (2l 1)!! 1. , x xl+1

jl (x)

≈



nl (x)

≈− −



(2.38)

(2.39)

Fazni pomak je u tom sluˇcaju proporcionalan s ˇclanom (ka)2l+1 pa bitan doprinos daje samo s-val, odnosno δ 0 (k) ka. Diferencijalni udarni presjek je izotropan

≈−

σ(θ) =

1 sin 2 δ 0 = a 2 , 2 k

(2.40)

dok je totalni udarni presjek ˇcetiri puta veći od geometrijskog udarnog presjeka σtot = 4πa 2 .

(2.41)


46

Slika 2.3: Gustoća vjerojatnosti za rasprˇsenje snopa ˇcestica na neprobojnoj sferi za tri vrijednosti energije.


47

Slika 2.4: . Lijevo: polarni graf diferencijalnog udarnog presjeka u ravnini yz . Desno: ovisnost diferencijalnog udarnog presjeka o kutu θ. U granici visokih energija totalnom udarnom presjeku će doprinositi velik broj parcijalnih valova l 4π max (2l + 1) sin2 δ l , (2.42) σtot = 2 k l=0



a u tom sluˇcaju sin 2 δ l moˇzemo zamijeniti s prosjeˇcnom vrijednosti 1/2 ka

σtot =

 l=0

2π (2l + 1) k2

2

≈ 2πa .

(2.43)

U granici visokih energija totalni udarni presjek je dvostruko ve´ ci od geometrijskog udarnog presjeka jer se sjena neprobojne sfere ne proteˇze u beskonaˇcnost. Moˇze se pokazati da u granici visokih energija vrijedi pribliˇ zna formula





a2 θ 1 + cot2 J 12 (ka sin θ) , σ(θ) = 4 2

(2.44)

gdje je J 1 (x) Besselova funkcija. Na sl. 2.6 nalazi se usporedba egzaktnog rezultata za diferencijalni udarni presjek i jedn. 2.44 za umjereno visoku energiju ˇcestice ka = 10. Iz jedn. 2.44 slijedi da je na visokim enegijama diferencijalni udarni presjek suma klasiˇcnog doprinosa a2 /4 i doprinosa difrakcije koji uzrokuje visoku vrijednost diferencijalnog udarnog presjeka na malim kutevima ( Arago spot , Poisson spot , Fresnel bright spot ) 1 . U totalnom udarnom presjeku σ tot = 2πa 2 pola vrijednosti odgovara klasiˇcnom rezultatu, dok druga polovica odgovara difrakciji, tj. doprinosu na malim kutevima koji je teˇsko opaziti eksperimentalno. 1

Promatranjem analogne pojave pokazano je da svjetlost ima i valnu prirodu


48

Slika 2.5: . Lijevo: ovisnost totalnog udarnog presjeka o gornjoj granici sumacije. Desno: ovisnost totalnog udarnog presjeka o energiji snopa.

Slika 2.6: Usporedba egzaktnog rezultata za diferencijalni udarni presjek i jedn. 2.44 za umjereno visoku energiju ˇcestice ka = 10.

2.1.2

Rasprˇ senje na mekanoj sferi

ˇ Cestica se rasprˇsuje na potencijalu

U (r) =



≤

V 0 r a, 0 r > a.

(2.45)


49

Radijalni dio Schrödingerove jednadˇzbe rjeˇsavamo u dva odvojena podruˇcja d2 Rl 2 dRl l(l + 1) + Rl + K 2 Rl = 0, 2 2 dr r dr r 2 d Rl 2 dRl l(l + 1) + Rl + k 2 Rl = 0, 2 2 dr r dr r pri ˇcemu smo definirali konstante

− −

K 2 =

2m  2

k2 =

−

( V 0 + E ),

2mE , 2

≤ a,

(2.46)

r > a,

(2.47)

r

2mV 0

K 02 =



 2

.

(2.48)

Opće rjeˇsenje je linearna kombinacija sfernih Besselovih i sfernih Neumannovih funkcija. Budući da sferne Neumannove funkcije divergiraju u ishodiˇstu, u podruˇcju r a trebamo zadrˇzati samo sferne Besselove funkcije

≤

Rl (r) =



Al jl (Kr) eiδl cos δ l jl (kr)

−

≤

r a, e sin δ l nl (kr) r > a. iδl

(2.49)

Logaritamska derivacija u toˇcki r = a mora biti neprekinuta, odakle slijedi jednadˇzba koja definira fazne pomake cos δ l jl (ka) jl (Ka) = k K cos δ l jl (ka) jl (Ka)

− sin δ n (ka) . − sin δ n (ka) l l

(2.50)

l l

Ako bi energija ˇcestice bila niˇza od barijere, parametar K bi bio imaginaran, odnosno ˜ . U tom sluˇcaju moˇzemo iskoristiti relaciju izmed¯u mogli bi ga napisati u obliku K = iK modificiranih sfernih Besselovih funkcija prvog reda i sfernih Besselovih funkcija il (x) = i −l jl (ix).

±nπ:

Fazni pomaci odred¯eni su relacijama, do na aditivnu konstantu

• energija ˇcestice je veća od barijere

Kjl (Ka) jl (ka) tan δ l = Kjl (Ka)nl (ka)

• energija ˇcestice je manja od barijere tan δ l =

˜  (Ka) ˜ jl (ka) Ki l ˜  (Ka)n ˜ Ki l (ka) l

(2.51)

− kj (Ka) j(ka) , − kj (Ka)n (ka)

(2.52)

 (ka) ˜ − ki (Ka) j  (ka) . ˜ − ki (Ka)n

(2.53)

l

l

l

l

l

l

l

l

Rjeˇsenje Schrödingerove jednadˇzbe u podruˇcju izvan barijere moˇzemo napisati pomoću sfernih Hankelovih funkcija prvog i drugog reda 1 2iδl (1) (2) (2.54) Rl (r) = e hl (kr) + hl (kr) , 2 pri ˇcemu eventualna aditivna konstanta nπ ne utjeˇce na valnu funkciju. Konstantu A l moˇzemo odrediti iz uvjeta kontinuiranosti valne funkcije u toˇcki r = a:



±




50

• energija ˇcestice je veća od barijere (1) (2) e2iδl hl (ka) + hl (ka) Al = , 2 jl (Ka)

(2.55)

(2.56)

• energija ˇcestice je manja od barijere (1)

(2)

e2iδl hl (ka) + hl (ka) Al = . 2 jl (Ka)

Na niskim energijama totalnom udarnom presjeku doprinosi samo s-val

≈ 4π sin k

2

σtot

2

δ 0 ,

(2.57)

a konaˇcni rezultat je manji u odnosu na neprobojnu sferu σtot = 4πa

2

− 1

tanh K 0 a K 0 a



2

.

(2.58)

Na sl. 2.7 nalaze se fazni pomaci, doprinosi totalnom udarnom presjeku od pojedinih parcijalnih valova, kao i totalni udarni presjeci za dvije vrijednosti visine sferne barijere. Fazni pomaci imaju maksimum na energiji koja odgovara visini barijere, a za viˇse barijere doprinos viˇsih parcijalnih valova postaje nezanemariv. Horizontalna isprekidana linija na totalnom udarnom presjeku odgovara granici niskih energija. Na sl. 2.8 prikazane su radijalne valne funkcije s-vala za rasprˇsenje na mekanoj sferi za tri vrijednosti energije ˇcestice.


51

Slika 2.7: Fazni pomaci, parcijalni i totalni udarni presjeci za rasprˇsenje na mekanoj sferi. Uspored ¯ene su dvije vrijednosti visine sferne barijere. Horizontalna isprekidana linija na totalnom udarnom presjeku odgovara granici niskih energija.


52

Slika 2.8: Radijalne valne funkcije s-vala za rasprˇsenje na mekanoj sferi. Uspored¯ene su tri vrijednosti energije ˇcestice.


2.1.3

53

Rasprˇ senje na sfernoj jami

ˇ Cestica se rasprˇsuje na sfernoj potencijalnoj jami dubine V 0 U (r) =

 −

V 0 r < a . 0 r>a

(2.59)

Radijalni dio Schrödingerove jednadˇzbe rjeˇsavamo u dva odvojena podruˇcja d2 Rl 2 dRl l(l + 1) + Rl + K 2 Rl = 0, 2 2 dr r dr r 2 d Rl 2 dRl l(l + 1) + Rl + k 2 Rl = 0, 2 2 dr r dr r

− −

r < a,

(2.60)

r > a.

(2.61)

Pritom smo definirali sljedeće konstante K 2 =

2m  2

K 02 =

(V 0 + E ),

2m  2

i k2 =

V 0

2m  2

E.

(2.62)

Dva linearno nezavisna rjeˇsenja jedn. (2.60) i (2.61) odgovaraju sfernim Besselovim i sfernim Neumannovim funkcijama. Podruˇcje r < a obuhvaća ishodiˇste pa u tom sluˇcaju sfernu Neumannovu funkciju moramo eliminirati iz rjeˇsenja, dok linearna kombinacija u podruˇcju r > a ima asimptotsko ponaˇsanje izlaznog vala. Konaˇcan oblik rjeˇsenja u pojedinim podruˇcjima glasi Rl (r) =

  −

Al jl (Kr) 1 2iδl 1 [ jl (kr) 2 e

−

r < a, . tan δ l nl (kr)] r > a

(2.63)

Logaritamska derivacija u toˇcki r = a mora biti neprekinuta tan δ l =

Kjl (Ka) jl (ka) Kjl (Ka)nl (ka)

− kj (ka) j (Ka) . − kn (ka) j (Ka) l

l

l

l

(2.64)

Nacrtamo li fazni pomak kao funkciju energije (sl. 2.9), odnosno parametra ka, uoˇcit ćemo diskontinuitete koji potjeˇcu od vezanih stanja u jami. Broj diskontinuiteta odgovara broju vezanih stanja jame pa produbljivanjem jame broj diskontinuiteta raste. Polazna toˇcka k daje fazni pomak δ l 0 jer na vrlo visokim energijama ˇcestice neće osjećati utjecaj potencijala. Kod prvog diskontinuiteta dodamo konstantu π, kod drugog 2π,. . . pa kao rezultat dobijemo glatku ovisnost faznih pomaka o energiji. Za razliku od rasprˇsenja na sfernoj barijeri, ovdje su fazni pomaci pozitivni jer je potencijal privlaˇcan. Takvim postupkom za k 0 kao fazni pomak dobijemo nπ, gdje je n broj vezanih stanja u jami. Pritom je bitno uoˇciti da dodavanje konstante nπ faznom pomaku nema nikakvog utjecaja na udarni presjek.

→∞

→

→


54

Slika 2.9: Fazni pomaci za rasprˇsenje na sfernoj jami. Diskontinuiteti (plava linija) odgovaraju vezanim stanjima jame, a dodavanjem viˇsekratnika broja π kod svakog skoka, dolazimo do kontinuiranih faznih pomaka (crvena linija). U granici visokih energija koristimo asimptotske formule za sferne Besselove i sferne Neumannove funkcije jl (x)

→

− 

1 sin x x

lπ , 2

nl (x)

→−

− 

1 cos x x

lπ . 2

(2.65)

Moˇze se pokazati da u granici visokih energija fazni pomak ne ovisi o zakretnom impulsu tan δ l

≈

1 k02 a. 2k

(2.66)

Doprinos rasprˇsenju na niskim energijama daje samo s-val. Totalni udarni presjek u granici niskih energija glasi σtot

→ 4πa

2

− 1

tan K 0 a K 0 a



2

,

(2.67)

pri ˇcemu smo pretpostavili sljedeće



K 0 = (2n + 1)

π . 2a

(2.68)


55

Slika 2.10: Fazni pomaci za rasprˇsenje na sfernoj jami za nekoliko vrijednosti momenta koliˇcine gibanja (lijeva slika). Odgovarajući parcijalni udarni presjeci nalaze se na desnoj slici. Isprekidana horizontalna linija odgovara niskoenergijskoj granici rasprˇsenja.

Slika 2.11: Totalni udarni presjek za rasprˇsenje na sfernoj jami. Isprekidana horizontalna linija odgovara niskoenergijskoj granici rasprˇsenja. Skokovi u udarnom presjeku potjeˇcu od maksimuma pojedinih parcijalnih doprinosa.


56

Slika 2.12: Fazni pomaci i udarni presjeci za rezonantno rasprˇsenje na sfernoj jami. Rezonantno rasprˇ senje

Promatramo sluˇcaj s-vala tan δ 0 =

cos Ka sin ka − k cos ka sin Ka − K , K cos Ka cos ka + k sin ka sin Ka

(2.69)

a pritom se ograniˇcimo na niskoenergijsko rasprˇsenje

≈ ka

tan δ 0

−



tan K 0 a 1+ . K 0 a

(2.70)

Udarni presjek u niskoenergijskoj granici glasi

−

4πa 2 lim σtot = lim sin 2 δ 0 = 4πa2 1 2 k→0 k→0 (ka)

tan K 0 a K 0 a



2

.

(2.71)

Pretpostavimo da jama ima vezano stanje na energiji E = 0, odnosno da je ispunjen uvjet 1 (2.72) K 0 a = n + π, n = 0, 1, 2 . . . 2

 

Udarni presjek u tom sluˇcaju divergira, dok je za malo dublji ili malo plići potencijal, udarni presjek konaˇ can, ali mnogo ve´ ci od geometrijskog udarnog presjeka. Ako je dubina potencijala takva da zadnje vezano stanje ima energiju E = 0, fazni pomak za k = 0 iznosi π/2. U sluˇcaju plićeg potencijala, fazni pomak za k = 0 iznosi p, a u sluˇcaju malo dubljeg potencijala fazni pomak za k = 0 iznosi π (sl. 2.12).

Bornova aproksimacija

2.1.4

57


Za većinu potencijala nije moguće naći analitiˇcko rjeˇsenje Schrödingerove jednadˇzbe pa moramo traˇziti numeriˇcko. Prvo razvijemo valnu funkciju po parcijalnim valovima ψ(r) =

∞



(2l + 1)il eiδl

l=0

ul (r) P l (cos θ), kr

(2.73)

a zatim napiˇsemo radijalni dio Schrödingerove jednadˇzbe

−

 2 d2

l(l + 1)  2 + V (r) + 2m dr2 2mr2

 −

E ul (r) = 0.

(2.74)

Rubni uvjet u ishodiˇstu glasi u l (0) = 0, dok je izvan dosega potencijala (ali ne u asimptotskom podruˇcju) (2.75) ul (r) = kr [cos δ l jl (kr) sin δ l nl (kr)] .

−

Numeriˇcku integraciju poˇcinjemo iz ishodiˇsta, a kao derivaciju funkcije ul (0) moˇzemo izabrati bilo koji mali broj. Integriramo Schrödingerovu jednadˇzbu do toˇcke r 1 , a zatim i do toˇcke r 2 . Pritom se obje toˇcke r1 i r 2 nalaze izvan dosega potencijala pa vrijedi ul (r1 ) = kr1 [cos δ l jl (kr1 ) ul (r2 ) = kr2 [cos δ l jl (kr2 )

− sin δ n (kr )] , − sin δ n (kr )] . l l

1

l l

2

(2.76) (2.77)

Koristeći prethodne dvije jednadˇzbe moˇzemo izvesti formulu za fazni pomak tan δ l =

2.2

Gjl (kr1 ) Gnl (kr1 )

− j (kr ) , − n (kr ) l

2

l

2

G =

r1 ul (r2 ) . r2 ul (r1 )

(2.78)

2mE , 2

(2.79)


Partikularno rjeˇsenje Schrödingerove jednadˇzbe

    + k 2 ψ(r) =

2m  2

k2 =

V (r)ψ(r),



moˇzemo pronaći koristeći Greenovu funkciju koja je, po definiciji, rjeˇsenje Schrödingerove jednadˇzbe s toˇckastim izvorom + k 2 ψ(r) = δ (r

− r).

(2.80)

Rjeˇsenje s ispravnim rubnim uvjetom (izlazni val) glasi 

1 eik|r−r |  G(r, r ) = − . 4π |r − r |

(2.81)


58

Opće rjeˇsenje Schrödingerove jednadˇzbe je suma rjeˇsenja homogene jednadˇzbe (upadni val) i partikularnog rjeˇsenja m ψ(r) = e iki r + 2π 2





eik|r−r |

V (r )ψ(r )d3 r .  |r − r |

(2.82)

senju pa će ki je poˇcetni valni vektor, a bitno je uoˇciti kako se radi o elastiˇcnom rasprˇ se promijeniti samo smjer valnog vektora, odnosno vrijedi ki = kf . Pritom je kf

| | | |

valni vektor nakon rasprˇsenja. Pretpostavimo da je potencijal kratkodoseˇ zan, odnosno  da podintegralna funkcija doprinosi samo ako vrijedi r r . Tada moˇzemo napraviti aproksimaciju 1  (2.83) r r = r2 2rr + r2 rr . r r Izraz za valnu funkciju predstavlja samo formalno rjeˇsenje jer se valna funkcija nalazi i pod integralom na desnoj strani



| − | √ −

ψ(r) = e iki r

−

eikr m r 2π 2

≈ −





e−ikf r V (r )ψ(r )dr ,

≡ kr/r.

kf

(2.84)

Prva Bornova aproksimacija podrazumjeva da valnu funkciju pod integralom moˇzemo zamijeniti ulaznim valom ψ(r) = e iki r

−

e ikr m r 2π 2

−

m 2π 2







e−ikf r V (r )eiki r dr .

(2.85)

Amplituda rasprˇsenja glasi f (θ) =







e−ikf r V (r )eiki r dr

(2.86)

Pretpostavimo nadalje da je potencijal sferno-simetriˇcan, pa zatim integriramo po prostornom kutu f (θ) =

−

m 2π 2





e−i(kf −ki )r V (r )r2 dr sin θ dθ dφ .

(2.87)

Definiramo razliku valnih vektora upadnih i rasprˇsenih ˇcestica

− k = q.

kf

i

(2.88)

Uvijek moˇzemo napraviti prikladnu orjentaciju koordinatnog sustava

⇒ qr = qr  cos θ.

q = q ˆ z =

(2.89)

Ograniˇcili smo se na elastiˇcno rasprˇsenje

⇒ q = 2k sin θ2 ,

kf = k i = k =

(2.90)


59

pa izraz za amplitudu rasprˇsenja glasi f (θ) =

 

π

∞

µ  2

0

e−iqr



cos θ 

d cos θ V (r )r 2 dr  .

(2.91)

0

Kutni dio integral moˇzemo rijeˇsiti analitiˇcki 2m

− 

f (θ) =

2



∞ sin qr qr

0

V (r)r2 dr.

(2.92)

Razvijemo amplitudu rasprˇsenja po parcijalnim valovima 1 f (θ) = 2ik

∞

  − (2l + 1) e2iδl

1 P l (cos θ),

(2.93)

l=0

a zatim pomnoˇzimo jednadˇzbu s P n (cos θ)sin θ i integriramo po kutu θ od θ = 0 do θ = π. Iskoristit ćemo ortogonalnost Legendreovih polinoma



1

P l (x)P n (x)dx =

−1

2 δ ln , 2l + 1

(2.94)

da bi doˇsli do formule koja odred¯uje fazni pomak za pojedine parcijalne valove 2iδl

e



0

− 1 = ik

P l (cos θ)f (θ)d [cos θ].

(2.95)

π

U prvoj Bornovoj aproksimaciji moˇzemo se zadrˇzati na najniˇzem doprinosu razvoja eksponencijalne funkcije u red pa vrijedi

≈

δ l

k 2



0

P l (cos θ)f (θ)d [cos θ].

(2.96)

π

U sljede´ cem koraku koristimo adicijsku formulu za sfernu Besselovu funkciju sin λR = λR gdje je R = vrijedi



r2 + ρ2

∞



(2l + 1) jl (λr) jl (λρ)P l (cos θ),

(2.97)

l=0

− 2rρ cos θ, a λ je proizvoljni broj.

θ R = 2r sin , 2 a ukoliko odaberemo λ = k doći ćemo do sljedeće relacije

 

sin 2kr sin θ2 sin qr = = θ qr 2kr sin 2

∞

 l=0

U posebnom sluˇcaju r = ρ

(2l + 1)[ jl (kr)]2 P l (cos θ).

(2.98)

(2.99)


60

Uvrstimo li prethodni izraz u jedn. (2.92), doći ćemo do sljedećeg izraza za amplitudu rasprˇsenja ∞ ∞ 2m (2l + 1)P l (cos θ) f (θ) = r2 [ jl (kr)]2 V (r)dr (2.100) 2

− 





0

l=0

Nakon uvrˇstavanja u jedn. (2.96) i koriˇstenja ortogonalnosti Legendreovih polinoma, dolazimo do izraza za fazni pomak u prvoj Bornovoj aproksimaciji δ l =

−

2mq  2



∞

[ jl (kr)]2 V (r)r2 dr.

(2.101)

0

Kao primjer, promotrimo rasprˇsenje na mekanoj sferi. Fazne pomake moˇzemo izraˇcunati analitiˇcki 2mkV 0 a [ jl (kr)]2 r2 dr. (2.102) δ l = 2

−





0

Promotrimo najniˇzi fazni pomak δ 0 =

−

2mkV 0  2



a

0

sin2 kr 2 r dr = k 2 r2

Integral je tabliˇcni



2mV 0 1 a k  2 2

−

2mV 0 k  2

 

a

sin2 krdr.

0

2

δ 0 =

2 0

−

1 K 02 [2ka 4 k2

− sin2ka] .

(2.103)

0

− − 4k1 sin 2ka . Upotrijebimo li oznaku 2mV / ≡ K , doći ćemo do rezultata δ 0 =

Usporedba egzaktnog rjeˇsenja i Bornove aproksimacije nalazi se na sl. 2.13.

(2.104)

(2.105)


61

Slika 2.13: Fazni pomak u l = 0 kanalu za rasprˇsenje na mekanoj sferi. Na visokim energijama je slaganje Bornove aproksimacije i egzaktnog rjeˇsenja izvrsno, dok je na niskim energijama loˇse.


62

3 Atomi i molekule

3.1

Atom vodika

Atom vodika sastoji se od protona naboja +e i elektrona naboja Coulombovom silom e2 V (r1 , r2 ) = . 4π0 r1 r2

−

−e koji med¯udjeluju

| − |

(3.1)

Problem dva tijela uvijek moˇzemo svesti na problem jednog tijela s reduciranom masom µ =

me m p , me + m p

(3.2)

≈

a budu´ ci da je omjer mase elektrona i protona 1 : 1836, vrijedi µ m e . U vrlo dobroj aproksimaciji elektron se nalazi u Coulombovom potencijalu jezgre koja je smjeˇstena u ishodiˇstu koordinatnog sustava  2

− 2m ψ(r) − e

e2 ψ(r) = Eψ(r). 4π0 r

(3.3)

Potencijal je sferno-simetriˇcan pa moˇzemo separirati radijalni i kutni dio valne funkcije

ψ(r,θ,φ) = R nl (r)Y lm (θ, φ).

(3.4)

Preostaje nam radijalni dio Schrödingerove jednadˇzbe  2

− 2m

e



d2 2 d + dr2 r dr

−

l(l + 1) r2



Rnl (r)

−



e2 + E Rnl = 0. 4π0 r

(3.5)

Definiramo Bohrov radijus 4π0  2 = 5.3 a0 = me e2

11

m,

=

−13.6 eV.

× 10−

(3.6)

a koristit ćemo i konstantu E 0 =

4

2

me e − 2(4π =− )  8π a e

0

2 2

0 0

Jednadˇzbu svodimo na bezdimenzionalni oblik supstitucijom r = az =



 −

d2 2 d l(l + 1) ζ + + dz 2 z dz z 2 z

−

63

1 Rnl = 0,



(3.7)

E 0 /Ea 0 z

(3.8)

Atom vodika

64

pri ˇcemu je konstanta ζ definirana na sljedeći naˇcin



2me ae2 =2 ζ = 4π0  2

E 0 . E

(3.9)

→ ∞ jednadˇzba se svodi na

U podruˇcju z

dRnl = R nl = dz 2

⇒R

= e −z .

(3.10)

F (z ) −z e , z

F (0) = 0.

(3.11)

nl (z )

Rubni uvjet ugradimo u rjeˇsenje Rnl (z ) =

Preostala je jednadˇzba za funkciju F (z )



d2 dz 2

−



d l(l + 1) ζ 2 + F (z ) = 0. dz z 2 z

−

Funkcija F (z ) mora biti kvadratno-integrabilna na intervalu [0, F (z ) u red F (z ) = ck z k ,



(3.12)

∞. Razvijemo funkciju

(3.13)

k>0

pri ˇcemu indeks sumacije k mora biti pozitivan zbog uvjeta F (0) = 0. Uvrˇstavanje rjeˇsenaj u jedn. (3.12) vodi na rekurzivnu relaciju ck [k(k

− 1) − l(l + 1)] = c − [2(k − 1) − ζ ] .

k 1

(3.14)

Da bi k ostao pozitivan, mora vrijediti kmin (kmin

(3.15) − 1) − l(l + 1) = 0 =⇒ c − = 0. = l + 1 i k = −l, s time da negativno odbacujemo kmin 1

Dva su moguća rjeˇsenja: kmin min radi uvjeta F (0) = 0, odnosno k min = l + 1 . Promotrimo li asimptotsko ponaˇsanje za velike vrijednosti argumenta z , primjetit ćemo da doprinose samo veliki k-ovi ck ck−1

→

2 = k

⇒ F (z ) =



k kmin

≥

(2z )k . k!

2z

→e

(3.16)

Ako bi sumacija bila neograniˇcena funkcija F (z ) bi rasla kao e2z , odnosno ukupno rjeˇsenje bi divergiralo. Da bi prekinuli sumu, moramo nametnuti uvjet ζ = 2(k 1) = 2n



ζ = 2

−

E 0 = 2n = E n

⇒

E 0 E n = 2 = n

−

e2 , 8n2 π0 a0

(3.17)

Atom helija

65

ˇcime smo dobili uvjet kvantizacije energije. Degeneracija rjeˇsenja je dvostruka jer nema ovisnosti o kvantnom broju m (zbog rotacione simetrije), niti l (zbog oblika potencijala). Zanimljivo je primjetiti kako kvantni broj n ulazi i u skaliranje koordinate, odnosno a = na 0 . Valnu funkciju vodikovog atoma moˇzemo zapisati i pomoću Laguerrovih polinoma. Naime, pretpostavimo li rjeˇsenje oblika F (z ) = z l+1 G(z ) zG  (z ) + [2(l + 1)

− 2z ] G(z ) + (2n − 2l − 2)G(z ) = 0,

(3.18)

te uz dodatnu supstituciju z˜ = 2z dolazimo do sljedeće jednadˇzbe d2 G z˜ 2 + [2(l + 1) d˜ z

− z˜ ] dG + 2(n − l − 1)G = 0. d˜ z

(3.19)

Rjeˇsenje ove jednadˇzbe su modificirani Laguerrovi polinomi Gnl

2l+1 n l 1

∼ L − − (˜z ).

(3.20)

Normirana ukupna radijalna valna funkcija vodikovog atoma glasi Rnl (r) =

   2 na0

3

− −

(n l 1)! −r/na0 e 2n[(n + l)!]3

    l

2r na0

L2l+1 n−l−1

2r na0

,

(3.21)

pri ˇcemu je n > l. Na sl. 3.1 nalaze se radijalne valne funkcije vodikovog atoma za nekoliko kombinacija kvantnih brojeva.

3.2

Atom helija

Atom helija sastoji se od jezgre naboja +2e i dva elektrona pa Hamiltonijan sustava glasi H =

 2

− 2m ( +  ) − 1

2

e

e2 4π0



2 2 + r1 r2

1

− |r − r | 1

2



.

(3.22)

Zanemarimo li med ¯udjelovanje elektrona, Hamiltonijan postaje separabilan H = H 1 + H 2 =

 2

− 2m  − 1

e

2e2 4π0 r1

 2

− 2m  − 2

e

2e2 , 4π0 r2

(3.23)

a valna funkcija u tom sluˇcaju odgovara produktu valnih funkcija vodikovog atoma s nabojem jezgre +2e. (3.24) ψ(r1 , r2 ) = ψ(r1 )ψ2 (r2 )

Atom helija

66

Slika 3.1: Radijalni dijelovi valne funkcije vodikovog atoma za nekoliko kombinacija kvantnih brojeva. Traˇzimo energiju osnovnog stanja atoma helija varijacionim postupkom. Kao probnu funkciju pretpostavimo produkt valnih funkcija osnovnog stanja za elektron koji se nalazi u polju naboja Z e Z 3/2 −Zr/a0 (3.25) ψ0 (r) = e . 2πa30

√

Efektivni naboj Z e smo uveli jer oˇckujemo da elektroni zasjene naboj jezgre. Normirana ukupna valna funkcija odgovara produktu Z 3 −Z (r1 +r2)/a0 ψ(r1 , r2 ) = ψ 0 (r1 )ψ0 (r2 ) = e . 2πa30

(3.26)

Raˇcunamo oˇcekivanu vrijednost



  | | − | | |  − | |

   

1 1 e 2 (Z 2) + + H = 2Z 2 E 0 + 4π0 r1 r2 4π0 r1 r2 4e2 Z (Z 2) e2 ψ(r1 , r2 ) 2 3 3 H = 2Z 2 E 0 + d r1 d r2 + 4π0 4π0 a0 r2 r1 e2 ψ(r1 , r2 ) 2 3 3 H = 2Z (4 Z )E 0 + d r1 d r2 . 4π0 r2 r1

     

−

e2

| | − |

−

−

(3.27) (3.28) (3.29)

Atom helija

67

Nadalje, uvodimo bezdimenzionalne varijable: x1 = Zr1 /a0 , x 2 = Z r2 /a0

V  = − ee

2ZE 0 4π2



e−(2x1 +2x2)

|x − x | 1

d3 x1 d3 x2 .

(3.30)

2

Neka je θ kut izmed¯u vektora r1 i r2

V  = − ee

ZE 0 2π2

 

e−(2x1+2x2 ) 3 3 d x 1 d x2 . x21 + x22 2x1 x2 cos θ

−

(3.31)

Prvo integriramo po x1 , a zatim po x 2

V  = − ee

ZE 0 2π2



e−2x2 I (x2 )d3 x2 .

(3.32)

Raˇcunamo integral I (x2 ) I (x2 ) =

    π

∞

0

0

2π

e−2x1 x21 dx1 sin θ1 dθ1 dφ1 . 2 2 x1 + x2 2x1 x2 cos θ1

0

−

(3.33)

(3.34)

Integral po kutu φ 1 je trivijalan I (x2 ) = 2π

   π

∞

0

e−2x1 x21 dx1 sin θ1 dθ1 . 2 2 x1 + x2 2x1 x2 cos θ1

0

−

Napravimo supstituciju z = sin θ1

  π

0

 

1 sin θ1 dθ1 = x21 + x22 2x1 x2 cos θ1 −1

−

Rjeˇsenje integrala glasi

−| −x | =

x1 + x2 x1 x1 x2

2



dz . x21 + x22 2x1 x2 z

−

2/x1 x1 > x2 . 2/x2 x1 < x2

(3.35)

(3.36)

Uvrstimo prethodni rezultat u integral I (x2 ) I (x2 ) = 4π

  1 x2

x2

0

e−2x1 x21 dx1 +



∞



e−2x1 x1 dx1 .

x2

(3.37)

Konaˇcno, izraˇcunamo integrale I (x2 ) =

−

π 1 x2



e−2x2 (x2 + 1) .

(3.38)

Atom helija

68

Na sl. 3.2 nalazi se ovisnost oˇcekivane vrijednosti energije o parametru Z .

Slika 3.2: Ovisnost oˇcekivane vrijednosti energije o parametru Z . Vratimo se energiji med¯udjelovanja

V  = − ee



∞

ZE 0 2 4π 2π2

− − 

x2 e−2x2 1

0



e−2x2 (x2 + 1) dx2 =

− 54 ZE .



Oˇcekivana vrijednost Hamiltonijana glasi

H (Z ) = Traˇzimo minimum

 

d H = dZ

−

4Z +

27 4

27 2Z 2 + Z E 0 . 4

0

(3.39)

(3.40)

⇒ Z = 27 = 1.69. 16

E 0 = 0 =

(3.41)

Minimalna oˇcekivana vrijednost energije 1 H (1.69) = 2

 

nalazi se vrlo blizu toˇcnom rezultatu:

 3 2

6

E 0 =

−78.98 eV .

−77.5 eV,

(3.42)

4 Kvantna optika

4.1 4.1.1

Harmoniˇ cki oscilator u drugoj kvantizaciji Operatori stvaranja i poniˇ stenja

Operatori stvaranja i poniˇstenja definirani su na sljedeći naˇcin a† =



mω (x 2

−

i p), mω

a =



mω i (x + p), 2 mω

(4.1)

a na svojstvena stanja harmoniˇckog oscilatora djeluju kao

√ √ † a |n = n + 1|n + 1 , a|n = n|n − 1.

(4.2)

Koristeći komutacijska pravila za operatore poloˇzaja i impulsa [x, p] = i ,

(4.3)

moˇzemo izvesti komutacijska pravila za operatore stvaranja i poniˇstenja [a, a† ] = 1.

(4.4)

≡ a†a predstavlja operator broja kvanata harmoniˇckog oscilatora √ N |n = a† a|n = na† |n − 1 = n|n.

Operator N

(4.5)

Koristeći komutacijske relacije operatora a i a† lako se mogu izvesti i komutacijske relacije [N, a† ] = a† ,

[N, a] =

−a.

(4.6)

Hamiltonijan harmoniˇckog oscilatora takod¯er moˇzemo napisati pomoću operatora a i a † , odnosno pomoću operatora N H =

  N +

1  ω. 2

| 

(4.7)

Polazći od osnovnog stanja 0 , moˇzemo konstruirati proizvoljno svojstveno stanje harmoniˇckog oscilatora (a† )n 0. (4.8) n = n!

|  √ |  69

Harmoniˇ cki oscilator u drugoj kvantizaciji

4.1.2

70

Operatori faze i broja kvanata

Operatore faze definiramo na sljedeći naˇcin

      |  |      |    |  |  √ | −  | −  |  |   |  |    | |  |     eiφ

−1/2

ˆ + 1 = N

ˆ i a

e/iφ

−1/2 † ˆ =a ˆ N + 1 .

(4.9)

Djelujemo li operatorima faze na stanje n , doći ćemo do sljedećih relacija ˆ + 1 ˆ† N e−iφ n = a ˆ + 1 eiφ n = N

−1/2

−1/2

ˆ† n = n + 1 , n = (n + 1)−1/2 a

ˆ + 1 ˆ n = N a

−1/2

nn

1 = n

1.

(4.10)

(4.11)

Moˇzemo izraˇcunati i matriˇcne elemente produkata operatora faze n eiφ e−iφ m = n eiφ m + 1 = n m = δ mn ,

n|e−

iφ eiφ

iφ

|m = n|e− |m − 1 = n|m − δ

m0 δ n0 = δ mn

− δ

m0 δ n0 ,

(4.12)

(4.13)

pri ˇcemu je bitno uoˇciti da operatori faze ne komutiraju. Korisno je izraˇcunati komutatore operatora faze i operatora broja kvanata

  −      −    ˆ e−iφ ] = e−iφ , [N, ˆ eiφ ] = eiφ . [N,

(4.14)

(4.15)

Operatori faze nisu hermitski, ali moˇzemo definirati hermitske linearne kombinacije 1 iφ e + ei−φ , 2 1 iφ sin φ = e ei−φ , 2i

 cos φ =

(4.16)

(4.17)

a zatim i izraˇcunati njihove komutatore s operatorom broja kvanata ˆ sin φ] = i  [N, cos φ, ˆ ,  [N cos φ] = isin φ.

−

(4.18)

(4.19)

Koristeći posljednja dva komutatora moˇzemo napisati i relacije neodred¯enosti



ˆ 2 (∆sin φ)2 (∆N ) ˆ )2 (∆  (∆N cos φ)2

cos φ , ≥ 14   ≥ 14 sin φ .



2

(4.20)

2

(4.21)

Koherentno stanje

4.2

71

Koherentno stanje

ˇ Zelimo naći svojstvena stanja operatora poniˇstenja

|

|

a α = α α .

(4.22)

| 

Budući da svojstvena stanja harmoniˇckog oscilatora ˇcine potpun skup stanja, stanje α moˇzemo napisati kao njihovu superpoziciju

|α =

∞

 |

cn n .

(4.23)

n=0

| 

Djelujemo li s operatorom poniˇstenja na stanje α a

∞

∞

∞

 |   √ | −   cn n =

n=0

1 =

cn n n

n=1

√

|

cn+1 n + 1 n .

n=0

(4.24)

S druge strane, pretpostavili smo da vrijedi a

∞

∞

 |  | cn n = α

n=0

cn n .

(4.25)

n=0

Izjednaˇcavanjem dolazimo do rekurzivne relacije

√ αn c − , n 1

(4.26)

αn cn = c0 . n!

(4.27)

cn =

a odatle dolazimo do izraza za koeficijent c n

√

Koeficijent c 0 moˇzemo odrediti iz uvjeta normiranosti

∞

| |

∞

 ⇒| | | |

2

cn = 1 =

n=0

c0

2

n=0

α 2n = 1. n!

(4.28)

Prepoznamo li Taylorov red za eksponencijalnu funkciju 2

α

|c | e| | 0

2

α 2 /2

⇒ c = e−| |

=1=

0

.

(4.29)

Fazu koeficijenta c 0 smo odabrali proizvoljno jer je valna funkcija definirana do na fazu.

Koherentno stanje

72

Vremenska ovisnost koeficijenata, a time i vremenska evolucija poˇcetnog koherentnog stanja, odred¯ena je Schrödingerovom jednadˇzbom cn (t) = c n (0)e−iω(n+1/2)t .

(4.30)

Oˇcekivana vrijednost operatora a † u koherentnom stanju

ψ|a†|ψ = eiωt

∞

 √

n + 1c∗n+1 (0)cn (0).

(4.31)

n=0

Koristeći rekurzivnu relaciju (4.26) dolazimo do rezultata iωt

ψ|a†|ψ = α∗e

.

(4.32)

.

(4.33)

Na jednaki naˇcin zakljuˇcili bismo

ψ|a|ψ = αe−

iωt

Slijedi oˇcekivana vrijednost operatora poloˇzaja

√ √ iωt iωt † − ∗ x = α|(a + a )/ 2|α = (αe + α e )/ 2.

(4.34)

Neka je svojstvena vrijednost α realna

x = √ 2α cos ωt.

(4.35)

Jednakim postupkom doˇsli bismo do oˇcekivane vrijednosti operatora impulsa. Zanimljivo je izraˇcunati i oˇcekivanu vrijednost operatora broja kvanata 2

N  = α|a†a|α = α∗αα|α = |α| .

(4.36)

Koeficijente u razvoju koherentnog stanja moˇzemo napisati pomoću oˇcekivane vrijednosti operatora broja kvanata n ¯ N

≡ 

P (n) = cn (0) 2 = e −n¯

|

|

¯n n , n!

(4.37)

ˇsto odgovara Poissonovoj distribuciji prikazanoj na sl. 4.1. Moˇzemo izraˇcunati i oˇcekivanu vrijednost kvadrata operatora broja kvanata 2

2

2

2

4

N  = α|a†aa†a|α = |α| α|aa†|α = |α| α|1 + a†a|α = |α| + |α| .

(4.38)

Neodred¯enost operatora broja kvanata (∆N )2 = N 2

2

2

  − N  = |α| .

(4.39)

Koherentno stanje

73

Slika 4.1: Raspodjela stanja u koherentnom stanju s n ¯ = 25. Valnu funkciju moˇzemo napisati u koordinatnoj reprezentaciji ψ(x, t) =

∞



cn (t)φn (x)

n=0

 

mω 2 = e −iωt/2 e−|α| /2

1/4

 π

2 e−ξ /2

 √  ∞

αn −iωnt e n!

n=0

1 H n (ξ ). 2n n!

(4.40)

Koristit ćemo definiciju funkcije izvodnice za Hermiteove polinome 2 e−s +2sξ =

∞

 n=0

U naˇsem sluˇcaju vrijedi s =

1 H n (ξ )sn . n!

√ 12 αe−

iωt

,

pa valnu funkciju moˇzemo napisati u sljedećem obliku mω 1/4 −iωt/2 − 12 (ξ−√ 2|α| cos ωt)2 1 i|α|2 sin2ωt −√ 2i|α| sin ωtξ ψ(x, t) = e e e2 e .  π Gustoća vjerojatnosti odgovara Gaussianu koji ne mijenja oblik mω 1/2 −(ξ−√ 2|α| cos ωt)2 ψ(x, t) = e .  π Konstanta 2 α odgovara poˇcetnom pomaku valnog paketa.

 

√ | |

|

|

 

(4.41)

(4.42)

(4.43)

(4.44)

Koherentno stanje

74



Neodred ¯enost operatora sin φ u koherentnom stanju 2

  |  |  −   |  |    | |   |   |  −  |   |   √  |   |     | |   √  | |      |  | 

Prvo ˇzelimo izraˇcunati oˇcekivanu vrijednost operatora sin φ u koherentnom stanju 1 1 α eiφ eiφ α + α eiφ e−iφ α 4 4 1 1 + α e−iφ eiφ α α e−iφ e−iφ α . 4 4

2

α sin φ α =

(4.45)

(4.46)

Napiˇsemo li koherentno stanje kao superpoziciju Fockovih stanja

∞ (α∗ )n m α

2 α e−iφ e−iφ α = e −|α|

n!m!

m,n=0

α

eiφ eiφ

n=0

∞ (α∗ )n m α

2 α = e −|α|

n

n!m!

m,n=0

∞

n e−iφ e−iφ m = e −N

eiφ eiφ

∞

m = e −N

n=0

N n (α∗ )2 , n! (n + 1)(n + 2) (4.47)

N n α2 . n! (n + 1)(n + 2) (4.48)

Osim toga, vrijedi

   

α|e− e |α = 1 − e− α|e e− |α = 1. iφ iφ

iφ

N

,

iφ

(4.49)

(4.50)

Uzimajući u obzir α 2 = N , slijedi

| |

1 α sin φ α = 2 2

 | | 

−

1 −N e 4

2

2

−

1 −N e N (1 2

− 2ξ )

∞

  n=0

N n , (4.51) n! (n + 1)(n + 2)



≡ (Imα) /|α| . Sada raˇcunamo oˇcekivanu vrijednost operatora sin φ

pri ˇcemu je ξ

1 α sin φ α = 2i

 ||    √ | |   √ | |

Raˇcunamo pojedine doprinose 2 α e−iφ α = e −|α|

∞ (α∗ )n m α

m,n=0

2 α eiφ α = e −|α|

 | |  −  |  | 

n!m!

∞ (α∗ )n m α

m,n=0

n!m!

α eiφ α

α e−iφ α

∞

.

  √ | |    √ | |  n

eiφ

m = e −N α∗

n=0

n e−iφ m = e −N α

∞

n=0

(4.52)

N n , n! n + 1

(4.53)

N n , n! n + 1

(4.54)

Koherentno stanje

odakle slijedi

 || 

α sin φ α = e −N Imα

∞

 n=0

75

N n . n! n + 1

√

(4.55)

 1, moˇzemo iskoristiti

Ograniˇcimo li se na velike vrijednosti broja kvanata, odnosno N asimptotske izraze

    ≈ − − ···  √ ≈ √  − ·· ·     |  |  ≈ − − − −    |  |  ≈ √ −   ≈ − −   ≈ − ≈  ≈ √ || ≈  ∞

n=0

N n n! (n + 1)(n + 2)

∞

n=0

N n n! n + 1

eN 1 N

eN 1 N

1 2N

3 + 8N 2

1 + 8N

.

,

(4.56) (4.57)

Asimptotski izrazi za oˇcekivane vrijednosti glase

1 1 −N 1 (1 2ξ ) 1 e 2 4 2 1 Imα 1 α sin φ α , 8N N dok je asimptotski izraz za neodred¯enost 2 1 ξ 1 −N ∆sin φ e . 4N 4 Zanemarimo li i eksponenacijalni ˇclan, dolazimo do izraza 2

α sin φ α

1 , 2N

(4.58) (4.59)

(4.60)

1 ξ (Reα)2 ∆sin φ (4.61) . 4N 4N 2 Produkt neodred¯enosti operatora broja kvanata i operatora faze za velike vrijednosti broja kvanata Reα (∆N )(∆sin φ) (4.62) . 2 N Upotrijebimo li notaciju α = α eiθ , 1 (∆N )(∆sin φ) cos θ. (4.63) 2 2

Neodred ¯enost operatora cos φ u koherentnom stanju

2

 U sljedećem koraku raˇcunamo oˇcekivanu vrijednost operatora cos φ u koherentnom stanju 2 1 1 cos φ α = α eiφ eiφ α + α eiφ e−iφ α (4.64) α  4 4 1 1 + α e−iφ eiφ α + α e−iφ e−iφ α . (4.65) 4 4

|

|

 |   |  |   |   |   | 

| |

Koherentno stanje

76

Koristeći rezultate iz prethodnog odjeljka dolazimo do zakljuˇcka 1 cos φ α = α  2 2

|

|

−

kao i

2ξ )

n=0

cos φ α = e −N Reα α 

|

∞

  −  √ |   | ≈ − −   |  ≈ √ −

1 −N 1 −N e + e N (1 4 2

∞

n=0

N n , (4.66) n! (n + 1)(n + 2)

N n . n! n + 1

(4.67)

Asimptotski izrazi za oˇcekivane vrijednosti glase 2

α|  cos φ

1 1 + (1 2 2 Reα 1 N

α

cos φ α α| 

2ξ ) 1

1 , 2N

1 , 8N

(4.68) (4.69)

 pri ˇcemu smo zanemarili eksponencijalni ˇclan. Neodred¯enost operatora cos φ glasi

  ∆  cos φ

2

=

(Imα)2 ξ = . 4N 4N 2

(4.70)

Produkt neodred¯enosti operatora broja kvanata i operatora faze za velike vrijednosti broja kvanata Imα (∆N )(∆  cos φ) (4.71) . 2 N Upotrijebimo li notaciju α = α eiθ ,

≈ √

||

(∆N )(∆  cos φ)

4.2.1

≈ 12 sin θ.

(4.72)

Operator pomaka

U sljedećim razmatranjima, koristit ćemo Baker-Cambel-Hausdorff (BCH) teorem i Hadamardovu lemu. Baker-Cambel-Hausdorff teorem

Neka su A i B operatori za koje vrijede sljedeće komutacijske relacije [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0. Tada vrijedi

1

1

eA+B = e − 2 [A,B] eA eB = e 2 [A,B] eB eA .

(4.73)

(4.74)

Koherentno stanje

77

X 2 ˆ

α θ 1 √

2

X 1 ˆ

1 √

2

|

Slika 4.2: Prikaz koherentnog stanja α u faznom prostoru. Kut θ odgovara fazi parametra α = α eiθ .

||

Hadamardova lema

Neka su A i B operatori. Tada vrijedi eA Be −A = B +

1 1 1 [A, B] + [A, [A, B]] + [A, [A, [A, B]]] + 1! 2! 3!

···

(4.75)

Koherentno stanje generiramo djelovanjem operatora pomaka 1 na vakuum † ∗ D(α) 0 = e αa −α a 0 .

|

|

(4.76)

U istinitost prethodne tvrdnje moˇzemo se uvjeriti koristeći BCH formulu uz identifikaciju operatora (4.77) A = αa † , B = α∗ a.

−

Komutator operatora A i B glasi [A, B] =

2

2

−|α| [a†, a] = |α| ,

(4.78)

a kako se radi o obiˇcnom broju, moˇzemo primijeniti BCH teorem αa† α∗ a

e

−

∞

∞

 −  |  |

2 2 † ∗ = e −|α| /2 eαa e−α a = e −|α| /2

n=0

(αa† )n n!

( α∗ a)m . m! m=0

(4.79)

U sumi po m doprinosi samo ˇclan m = 0 jer svi ostali poniˇstavaju vakuum 2 D(α)|0 = e −|α| /2 1

Displacement operator

∞ (αa† )n

n=0

n!

2 0 = e −|α| /2

∞

n=0

αn n = α. n!

|

(4.80)

Koherentno stanje

78

Operator pomaka ima sljedeća svojstva D† (α) = D( α),

−

(4.81)

D† (α)D(α) = D(α)D† (α).

(4.82)

Koristeći Hadamardovu lemu moˇzemo izraˇcunati sljedeće veliˇcine D† (α)aD(α) = e −αa

† +α∗ a

† ∗ aeαa −α a ,

D† (α)a† D(α) = e −αa

† +α∗ a

† ∗ a† eαa −α a .

(4.83)

(4.84)

Identificiramo li operatore u jedn. (4.83)

−αa† + α∗a

i B = a,

(4.85)

[A, B] = [ αa† + α∗ a, a] = α,

(4.86)

A =

moˇzemo izraˇcunati potrebni komutator

−

a zatim primijeniti Hadamardovu lemu D† (α)aD(α) = a + α.

(4.87)

Analognim postupkom doˇsli bismo do relacije D† (α)a† D(α) = a † + α∗ .

(4.88)

Pomoću BCH teorema moˇzemo izraˇcunati i produkt dva operatora pomaka † ∗ † ∗ D(α)D(β ) = e αa −α a eβa −β a .

(4.89)

Definiramo operatore A = αa†

− α∗ a

i B = βa†

− β ∗a,

(4.90)

a zatim izraˇcunamo komutator [A, B] = [αa†

− α∗a,βa† − β ∗a] = −α∗β + αβ ∗.

(4.91)

Koristeći BCH teorem dolazimo do rezultata 1

∗ β+αβ ∗ )

D(α)D(β ) = e 2 (−α

1 † ∗ ∗ ∗ ∗ e(α+β)a −(α +β )a = e 2 (−α β+αβ ) D(α + β ).

(4.92)

Koherentno stanje

4.2.2

79

Oˇ cekivane vrijednosti u koherentnom stanju

Da bi izraˇcunali oˇcekivane vrijednosti operatora stvaranja i poniˇstenja u koherentnom stanju, moˇzemo se posluˇziti ˇcinjenicom da je koherentno stanje svojstveno stanje operatora poniˇstenja, odnosno

|  α|α∗ = α|a†.

|

a α = α α ,

(4.93)

Iz prethodnih relacija slijedi

a = α, a† = α∗.

α

(4.94)

α

(4.95)

Oˇcekivanu vrijednost operatora broja kvanata raˇcunamo koristeći ˇcinjenicu da je operator D(α) unitaran

N  = a†a = 0|D†(α)a†D(α)D†(α)aD(α)|0 N  = 0|(a† + α∗)(a + α)|0 = |α| . α

α

2

α

(4.96)

Analognim postupkom izraˇcunali bismo oˇcekivanu vrijednost kvadrata broja kvanata 2

2

4

N  = |α| + |α| , α

(4.97)

a zatim moˇzemo izraˇcunati i neodred¯enost u broju kvanata ∆α N =

4.2.3

   −   N 2

N 2α = α 2 .

α

||

(4.98)

Preklop dva koherentna stanja

Preklop dva koherentna stanja moˇzemo izraˇcunati u bazi Fockovih stanja

α|β  = e−|α|2/2e−|β|2/2

∞

 √

(α∗ )n β m nm . n!m! m,n=0

| 

(4.99)

Iskoristimo li ortogonalnost Fockovih stanja, dolazimo do rezultata α 2 /2

α|β  = e−| |

2 /2

e−|β |

∗

eα β .

(4.100)

Iz kvadrata apsolutne vrijednosti preklopa

|α|β |

2

2

= e −|α−β | ,

slijedi da je preklop manji ako je udaljenost izmed¯u stanja veća.

(4.101)

Stisnuto stanje

4.2.4

80

Relacija potpunosti za koherentna stanja

ˇ Zelimo pokazati relaciju potpunosti za koherentna stanja 1 π



d2 α α α = 1.

|  |

(4.102)

Budući da je parametar α kompleksan, integriramo po cijeloj kompleksnoj ravnini pa vrijedi d2 α = dα x dαy . U prethodni izraz uvrstimo sume po svim stanjima harmoniˇckog oscilatora ∞ 1 1 2 (4.103) d αα α = d2 α n n α α m m , π π m,n=0



 

|  |

a zatim uvrstimo preklope 1 π



|  |  |  |

 |  |  ∞

1 d2 α α α = n m π m,n=0

|  |

n ∗m α|2 α (α ) −| √ . d αe 2

n!m!

(4.104)

Prelazimo u polarne koordinate α = re iφ , a pri tome se radijalni i kutni dio integrala separiraju



∞

r

n+m+1

0

r2



2π

e− dr

i(n m)φ

e −

dφ = 2πδ nm

0



∞

2

r2n+1 e−r dr.

(4.105)

0

Nakon supstitucije r 2 = t integral moˇzemo pronaći u tablicama 1 π



2

|  |

d αα α =

∞

 |  |

n n = 1.

(4.106)

n=0

Iako nisu ortogonalna, koherentna stanja ˇcine potpuni skup stanja.

4.3 4.3.1

Stisnuto stanje Operator stiskanja

Stisnuto stanje2 generiramo djelovanjem produkta operatora pomaka i operatora stiskanja3 na vakuum (4.107) ξα = D(α)S (ξ ) 0 ,

| 

2 3

squeezed state squeezing operator

|

Stisnuto stanje

81

X 2 ˆ

Y 2 ˆ

α

Y 1 ˆ

θ χ

2

X 1 ˆ

| 

Slika 4.3: Prikaz stisnutog stanja ξα u faznom prostoru. Kut θ odgovara fazi parametra α = α eiθ , dok je χ odgovara fazi u parametru stiskanja ξ . Stanje je u jednom stanju izduˇzeno (proporcionalno e r ), a u drugom stisnuto (proporcionalno e −r .

| |

pri ˇcemu je operator stiskanja dan formulom 1

S (ξ ) = e 2 (ξ

∗ a2

−ξ(a† )2) .

(4.108)

Operator stiskanja ima sljedeća svojstva S † (ξ ) = S ( ξ ),

S † (ξ )S (ξ ) = S (ξ )S † (ξ ).

−

(4.109)

Koristeći Hadamardovu lemu moˇzemo izraˇcunati sljedeću kombinaciju operatora 1 ∗ 2 1 a + 2 ξ(a† )2

S † (ξ )aS (ξ ) = e − 2 ξ

1 ∗ 2 a

ae 2 ξ

− 12 ξ(a† )2 .

(4.110)

Identificiramo operatore A =

− 12 ξ ∗a

2

1 + ξ (a† )2 2

i B = a,

(4.111)

a zatim izraˇcunamo komutator [A, B] =

−

  −  − ||  ||

1 ∗ 2 1 1 ξ a + ξ (a† )2 , a = ξ (a† )2 , a = 2 2 2

ξa † .

(4.112)

Komutator [A, B] nije obiˇcan broj pa moramo raˇcunati i sljedeći komutator [A, [A, B]] =

−

1 ∗ 2 1 1 ξ a + ξ (a† )2 , ξa † = ξ 2 a2 , a† = ξ 2 a, 2 2 2

(4.113)

Stisnuto stanje

82

a potom joˇs jedan [A, [A, [A, B]]] =

−

 || ||   · ·· −

1 ∗ 2 1 1 ξ a + ξ (a† )2 , ξ 2 a = ξ ξ 2 [(a† )2 , a] = 2 2 2

2

−ξ |ξ | a†. (4.114)

Hadamardova lema vodi na dva odvojena reda



1 S † (ξ )aS (ξ ) = a 1 + ξ 2 + 2!

||

1 a† ξ + ξ ξ 2 + 3!

||

 ···

.

(4.115)

Iskoristimo li Eulerovu formulu ξ = re iχ , dolazimo do sljedećeg rezultata S † (ξ )aS (ξ ) = a cosh r

iχ

− a† e

sinh r.

(4.116)

Analognim postupkom izveli bismo sljedeću relaciju S † (ξ )a† S (ξ ) = a† cosh r

4.3.2

− ae−

iχ

sinh r.

(4.117)

Oˇ cekivane vrijednosti u stisnutom stanju

Oˇcekivane vrijednosti operatora stvaranja i poniˇstenja ne razlikuju se od analognih izraza u koherentnom stanju

a a†

αξ αξ

= 0 S † (ξ )D† (α)aD(α)S (ξ ) 0 = 0 S † (ξ )(a + α)S (ξ ) 0 = α,

| | | | (4.118) = 0|S † (ξ )D† (α)a† D(α)S (ξ )|0 = 0|S † (ξ )(a† + α∗ )S (ξ )|0 = α ∗ . (4.119)

Oˇcekivanu vrijednost operatora broja kvanata moˇzemo izraˇcunati koristeći ˇcinjenicu da su operatori D(α) i S (ξ ) unitarni

N 

αξ

= a† a

 

αξ

= 0 S † (ξ )D† (α)a† D(α)D† (α)aD(α)S (ξ ) 0 .

|

|

(4.120)

Iskoristimo li jedn. (4.83) i (4.84),

N 

αξ

= 0 S † (ξ )(a† + α∗ )(a + α)S (ξ ) 0 ,

|

|

(4.121)

pri ˇcemu doprinose samo dva ˇclana

N 

αξ

= 0 S † (ξ )a† aS (ξ ) 0 + α 2 0 S † (ξ )S (ξ ) 0 .

|

| | ||

|

(4.122)

Budući da je operator S (ξ ) unitaran, moˇzemo napisati

N 

αξ

= 0 S † (ξ )a† S (ξ )S † (ξ )aS (ξ ) 0 + α 2 .

|

| ||

(4.123)

Sada iskoristimo jedn. (4.116) i (4.117)

N 

αξ =

sinh2 r + α 2 .

||

(4.124)

Operatori kvadrature

83

Oˇcekivana vrijednost operatora broja kvanata ovisi i o parametru pomaka α, kao i o ˇ i ako se radi o vakuumu (tj. α = 0), ovisno o parametru parametru stiskanja r. Cak stiskanja oˇcekivana vrijednost broja ˇcestica moˇze se bitno razlikovati od nule. Analognim postupkom bismo izraˇcunali oˇcekivanu vrijednost kvadrata broja kvanata 2

N 

αξ =





sinh2 r 2cosh2 r + sinh2 r + 2 α 2 sinh2 r

|

+ α cosh r

iχ

− α∗e

||

sinh r 2 + α 4 ,

| ||

(4.125)

a zatim i kvadrat neodred¯enosti u broju kvanata (∆αξ N )2 = α cosh r

|

4.4

iχ

− α∗ e

sinh r 2 + 2 sinh2 r cosh2 r.

|

(4.126)


Operatore kvadrature definiramo na sljedeći naˇcin X 1 =

√ 12

  a† + a

i X 2 =

√ i2

 − a†

a .

(4.127)

Za operatore kvadrature vrijedi analogna komutacijska relacija kao za operatore poloˇzaja i impulsa [X 1 , X 2 ] = i. (4.128) Koristeći rezultate za oˇcekivane vrijednosti operatora a i a† u koherentnom stanju, moˇzemo izraˇcunati odgovarajuće oˇcekivane vrijednosti operatora X 1 i X 2

X  = √ 12 (α∗ + α) = √ 2α , X  = √ i2 (α∗ − α) = √ 2α , 1 α

x

(4.129)

2 α

y

(4.130)

pri ˇcemu je α x = Re(α) i αy = I m(α). Neodred¯enosti operatora X 1 i X 2 su konstantne ∆α X 1 = ∆α X 2 =

√ 12 ,

(4.131)

ˇsto ujedno predstavlja nuˇzan i dovoljan uvjet da bi stanje bilo koherentno. U raˇcunima koji ukljuˇcuju stisnuto stanje prikladniji su rotirani operatori kvadrature

  Y 1 Y 2

=

cos(χ/2) sin (χ/2) sin(χ/2) cos (χ/2)

−

  X 1 X 2

,

(4.132)


84

ili izraˇzeno pomoću operatora stvaranja i poniˇstenja

√ 12 e i Y = √ e 2

iχ/2

Y 1 =

iχ/2

2

√ 12 e− i a† − √ e− 2 a† +

iχ/2

a,

(4.133)

iχ/2

a.

(4.134)

Koristeći rezultate za oˇcekivane vrijednosti operatora a i a† u stisnutom stanju, moˇzemo izraˇcunati odgovarajuće oˇcekivane vrijednosti operatora Y 1 i Y 2

Y  Y 

1 αξ

2 αξ

√ 12 i = √ 2 =

 

 

α∗ eiχ/2 + αe−iχ/2 ,

(4.135)

α∗ eiχ/2

(4.136)

− αe−

iχ/2

.

Sliˇcnim postupkom doˇsli bismo do oˇcekivanih vrijednosti operatora Y 12 i Y 22 u stisnutom stanju

Y ˆ 

2 1 αξ

Y ˆ 

2 2 αξ

1 1 1 = eiχ (a† )2 αξ + e−iχ (a)2 αξ + a† a αξ + 2 2 2 1 1 1 = (α∗ )2 eiχ + α2 e−iχ sinh r cosh r + sinh2 r + α 2 + (4.137) 2 2 2 1 iχ † 2 1 −iχ 1 = (a)2 αξ + a† a αξ + e (a ) αξ e 2 2 2 1 ∗ 2 iχ 1 2 −iχ 1 = (α ) e α e + sinh r cosh r + sinh2 r + α 2 + . (4.138) 2 2 2



− −





    −  −     −

||

||

Neodred¯enost operatora kvadrature ovisi samo o parametru stiskanja 1 (∆αξ ˆ Y 1 )2 = + sinh2 r sinh r cosh r = 2 1 (∆αξ ˆ Y 2 )2 = + sinh2 r + sinh r cosh r = 2

−

1 −2r e , 2 1 2r e . 2

(4.139) (4.140)

S druge strane, produkt neodred¯enosti ima minimalnu vrijednost i uopće ne ovisi o parametru stiskanja 1 (∆αξ ˆ Y 1 )(∆αξ ˆ Y 2 ) = . 2

(4.141)

Elektriˇ cno i magnetsko polje

4.5

85


Krećemo od Maxwellovih jednadˇzbi koje, uz pretpostavku da se nalazimo u vakuumu, glase

∇ · B = 0, ∇ × E = − ∂t∂ B, ∇ · E = 0, ∇ × B = c1 ∂t∂ E,

(4.142)

(4.143)

(4.144)

2

(4.145)

pri ˇcemu E oznaˇcava elektriˇcno, a B magnetsko polje. Brzina svjetlosti u vakuumu povezana je s elektriˇcnom (0 ) i magnetskom (µ0 ) permeabilnosti c =

√ 1 µ .

(4.146)

0 0

Elektriˇcno i magnetsko polje moˇzemo izvesti iz vektorskog (A) i skalarnog potencijala (U )

−∇U − ∂t∂ A, B = ∇ × A. Coulombovo baˇzdarenje (∇A =

E =

(4.147)

(4.148)

Ovdje ćemo koristiti 0), a kako u vakuumu nema izvora vrijedi i U = 0. Elektriˇcno polje tada moˇzemo izvesti iz jednostavne relacije senju valne jednadˇzbe E = ∂ A/∂t. Vektorski potencijal odgovara rjeˇ

−

2

∇

1 ∂ 2 A(r, t) = 2 2 A(r, t). c ∂t

(4.149)

Vektorski potencijal moˇ zemo napisati u obliku Fourierovog reda, a osim toga klasiˇcno rjeˇsenje ćemo zamijeniti operatorom ˆ (r, t) = A



i(kr ωk t)

ˆk,λ e ck a

−

+ â†k,λ e−i(kr−ω

k,λ

k

t)



eλ ,

ωk2 = c 2 k2

(4.150)

Pretpostavili smo da se polje nalazi unutar kocke brida l pa periodiˇcki rubni uvjeti nameću sljedeće uvjete za vektor k kx =

2πn x , l

ky =

2πny , l

kz =

2πnz , l

(4.151)


86

pri ˇcemu su nx , n y , nz cijeli brojevi. Vektor polarizacije mora biti okomit na smjer ˇsirenja vala, odnosno k eλ = 0. Dakle, moguća su dva izbora polarizacije (λ = 1, 2) i oni su med¯usobno okomiti eλ eλ = δ λλ .

·

·

Sada moˇzemo izvesti formule za elektriˇcno i magnetsko polje. Pretpstavili smo da da nema dodatnih izvora ˆ (r, t) = E

−

∂ ˆ A(r, t) = i ∂t

 

i(kr ωk t)

−

ˆk,λ e ck ωk a

k,λ

Izvod magnetskog polja

ˆ (r, t) = B

− aˆ†k,λe−i(kr−ω

k

∇ × Aˆ ,

t)



eλ (4.152)

(4.153)

je neˇsto sloˇzeniji pa ćemo prvo promotriti samo jednu komponentu, npr. z ˆ z = ∂ x ˆ B Ay

− ∂ Â . y

x

(4.154)

Smjer vektorskog potencijala odred¯en je vektorima polarizacije eλ pa vrijedi ˆ i = A



i(kr ωk t)

−

ˆk,λ e ck a

+ â†k,λ e−i(kr−ω

k

t)

k,λ



(i)

eλ .

(4.155)

S druge strane, derivacije djeluje na eksponencijalnu funkciju, odnosno ∂ x ei(kr−ω

t)

= ikx ei(kr−ω t) ,

∂ x e−i(kr−ω

∂ y ei(kr−ω

t)

= iky ei(kr−ω t) ,

∂ y e−i(kr−ω

k

k

k

k

k

k

t)

t)

i(kr ωk t)

− , i(kr−ω t) .

−ik e = −ik e =

x

y

k

(4.156)

(4.157)

(4.158)

z komponenta magnetskog polja glasi

     

ˆz = B

i(kr ωk t)

−

ˆk,λ e ck ikx a

k,λ

ˆk,λ ei(kr−ω ck iky a

+

k,λ

k

t)

− aˆ†k,λe−i(kr−ω − aˆ†

k,λ

e−i(kr−ω

k

 

(y)

t)

eλ

t)

eλ ,

k

(x)

ˇsto joˇs moˇzemo napisati kao ˆ z = i B

i(kr ωk t)

ˆk,λ e ck a

−

k,λ

− aˆ†k,λe−i(kr−ω

k

t)

k

t)

Konaˇcno, magnetsko polje glasi ˆ = i B

ˆk,λ ei(kr−ω ck a

k,λ

k

t)

− aˆ†

k,λ

e−i(kr−ω

 

(k

×e ) .

(4.159)

(k

× e ).

(4.160)

λ z

λ

Vektori magnetskog i elektriˇcnog polja su med ¯usobno okomiti, a okomiti su i na smjer ˇssirenja polja.


87

Energiju polja moˇzemo izraˇcunati pomoću sljedeće relacije

E

 

1 = 2



1 dr 0 E + B2 . µ0 V 2

(4.161)

Uvrstimo li izraze za elektriˇcno i magnetsko polje, te iskoristimo integrale

    E × · ×    

ei(k−k )r dr = l 3 δ k,k ,



ei(k+k )r dr = 0.

(4.162)

Kroneckerov simbol je ovdje posljedica periodiˇcnih rubnih uvjeta na bridovima kocke. =

k,λ

1 3 2 l c (k µ0 k

eλ ) (k

0 l3 c2k ωk2 a†kλ akλ +

+

1 † eλ ) akλ akλ + 2

k,λ

1 . 2



(4.163)

U sljedećem koraku koristimo relaciju

a zatim veze k 2 = ω k2 /c2

2

× e ) · (k × e ) = k , (4.164) √ i c = 1/  µ ˇcime se izraz za energiju bitno pojednostavljuje (k

λ

λ

0 0

 E

2l3 c2k ωk2 0

=

k,λ





1 a†kλ akλ + . 2

(4.165)

Da bi formulu za energiju polja sveli na energiju sustava nevezanih oscilatora, moramo nametnuti sljedeći uvjet 2l3 c2k ωk2 0 =  ωk =

⇒ c =

4.5.1

k





2ωk 0 l3

.

(4.166)

Oˇ cekivane vrijednosti operatora elektriˇ cnog polja

Operator elektriˇcnog polja frekvencije ω i odred¯ene polarizacije λ4 moˇzemo napisati u sljedećem obliku ˆ = E Uvodimo pokratu

   ω

20 l3



êi(kr−ωt+π/2) + â† e−i(kr−ωt+π/2) eλ . a

≡ kr − ωt + π/2.

η 4

single-mode field

(4.167)

(4.168)


88

Fockovo stanje

Oˇcekivana vrijednost operatora elektriˇcnog polja u Fockovom stanju iˇsˇcezava

Eˆ  =

   | |   | |   | | | | |  ω

20

ˆ n + e−iη n a ˆ† n eλ = 0. eiη n a

l3

(4.169)

dok oˇcekivana vrijednost kvadrata elektriˇcnog polja ima konstantnu vrijednost

Eˆ (t) = 2 ωl 2

0

3

ˆ2 n + e−2iη n (â† )2 n + n 1 + 2ˆ ˆn e2iη n a a† a

= (2n + 1)

 ω

20 l3

.



|

(4.170)

Stoga kvadrat neodred¯enosti elektriˇcnog polja iznosi ˆ 2 = (2n + 1) ∆E

 ω

20 l3

.

(4.171)

Prethodni izrazi oˇcito ne odgovaraju klasiˇcnoj slici, kao ˇsto ni svojstvena stanja harmoniˇckog oscilatora takod¯er nismo mogli identificirati s klasiˇcnim oscilatorom5 . S druge strane, koherentno stanje se ponaˇsalo kao ˇsto bismo oˇcekivali od klasiˇcnog oscilatora pa nas to motivira da i u ovom sluˇcaju promotrimo oˇekivane vrijednosti elektriˇcnog polja u koherentnom stanju. Koherentno stanje

Parametar operatora pomaka napiˇsemo u polarnom obliku α = α eiθ , a zatim raˇcunamo oˇcekivanu vrijednost operatora elektriˇcnog polja

||

Eˆ  = α

     | |   ||  ω

eiη a α + e−iη a†

 

α

 

20 l3  ω = α ei(η+θ) + e−i(η+θ) 3 20 l 2 ω = α cos(kr ωt + θ). 0 l3

−

(4.172)

Oˇcekivana vrijednost kvadrata operatora elektriˇcnog polja glasi

Eˆ  = 2 ωl 2

5

α

npr. kuglicom na opruzi

0

3





e2iη α2 + e−2iη (α∗ )2 + 1 + 2 α 2 .

||

(4.173)

Detekcija zraˇ cenja referentnim snopom

89

Oˇcekivana vrijednost operatora elektriˇcnog polja u koherentnom stanju slijedi klasiˇcno oscilatorno ponaˇsanje, dok je kvadrat neodred¯enosti konstantan i iznosi ˆ2 = ∆E

 ω

20 l3

.

(4.174)

Na lijevoj strani sl. 4.4 nalazi se oˇcekivana vrijednost (tanka tamna linija) i neodred¯enost (svijetla debela linija) elektriˇcnog polja u koherentnom stanju. Stisnuto stanje

Oˇcekivana vrijednost operatora elektriˇcnog polja u stisnutom stanju ne razlikuje se od one u koherentnom stanju

Eˆ 

αξ

=

     | |   ||  ω

eiη a

−iη a† αξ + e

 

αξ

20 l3  ω = α ei(η+θ) + e−i(η+θ) 3 20 l 2 ω = α cos(kr ωt + θ). 0 l3

−





(4.175)

dok je oˇcekivana vrijednost kvadrata operatora elektriˇcnog polja u stisnutom stanju

Eˆ  2

αξ

=

 ω

| |  −

2 α 2 + (α∗ )2 e−2iη + α2 e2iη

20 l3  ω + 1 + 2 sinh2 r 3 20 l

2

 ω

20 l3



sinh r cosh r cos(χ + 2η).

(4.176)

Oˇcekivana vrijednost operatora elektriˇcnog polja u koherentnom stanju slijedi klasiˇcno oscilatorno ponaˇsanje, ali kvadrat neodred¯enosti viˇse nije konstantan

  ˆ ∆E

2

=

 ω

20 l3



1 + 2 sinh2 r



− 2sinh r cosh r cos(χ + 2η)

.

(4.177)

Na desnoj strani sl. 4.4 nalazi se oˇcekivana vrijednost (tanka tamna linija) i neodred¯enost (svijetla debela linija) elektriˇcnog polja u stisnutom stanju.

4.6


Detekcija zraˇcenja referentnim snopom predstavlja osnovnu metodu mjerenja operatora kvadrature u kvantno-mehaniˇckim sistemima. Shema tipiˇcnog eksperimentalnog postava

Detekcija zraˇcenja referentnim snopom

90

Slika 4.4: Oˇcekivana vrijednost (tanka tamna linija) i neodred¯enost (svijetla debela linija) elektriˇcnog polja u koherentnom (lijevo) i stisnutom (desno) stanju.

Slika 4.5: Ekspereimentalni postav za detekciju zraˇcenja referentnim snopom. za detekciju zraˇcenja referentnim snopom nalazi se na sl. 4.5. Ulazni signal superponira se na jako lokalno oscilirajuće polje pomoću beam-splittera s koeficijentima refleksije i transmisije T i R. Svjetlost koja izlazi iz beam-splittera detektira se fotodetektorima D1 i D2. Operatore poniˇstenja koji odgovaraju ulaznom modu i lokalnom oscilatorskom modu oznaˇcimo s a îa ˆL , dok operatore poniˇstenja koji odgovaraju izlaznim modovima oznaˇcimo s dˆ1 i dˆ2 . Operatori su vezani transformacijom

     dˆ1 dˆ2

=

R T T R

ˆL a ˆ a

.

(4.178)


91

Pretpostavljamo da u beam-splitteru nema gubitaka, odnosno da su koeficijenti transmisije i refleksije vezani relacijama 2

|R| + |T |

2

= 1 i T ∗ R + R∗ T = 0.

(4.179)

Napiˇsemo li koeficijente R i T pomoću Eulerove formule R = R eiφR ,

T = T eiφT ,

| |

| |

(4.180)

⇒ cos(φ − φ

= 0, (4.181)

moˇzemo izvesti sljedeći uvjet i(φR φT )

T ∗ R + R∗ T = 0 =

−

⇒e

+ e−i(φR−φT ) = 0 =

T )

R

√ −

| |

odnosno φR φT = π/2. Najˇceˇsće se koristi balansirani sustav u kojem vrijedi T = R = 1/ 2. Razlika operatora broja fotona na detektorima 1 i 2

| |

dˆ†1 dˆ1

− dˆ† dˆ = (|R| − |T | )â† aˆ + (|T | − |R| )â†aˆ + (R∗ T − RT ∗ )â† a ˆ + (RT ∗ − R∗ T )â† a ˆ . (4.182) Med ¯utim, ako se radi o balansiranom sustavu, razlika |R| − |T | iˇsˇcezava pa preostaje 1 1 ˆ+ ˆ† aˆ , dˆ† dˆ − dˆ† dˆ = e − − e− − aˆ† a e − − e− − a 2 2 2

2 2

2

2

L L

2

L

L

2

1 1



2 2

odnosno dˆ†1 dˆ1

i(φT φR )

i(φT φR )





L

2

i(φR φT )

i(φR φT )

− dˆ† dˆ = i sin(φ − φ )â† aˆ − i sin(φ − φ = i a ˆ† a ˆ −a ˆ† a ˆ . 2 2



T

R

L

L



a R )ˆ

T

L



L

(4.183)

† aˆL (4.184)

Pretpostavimo li da se lokalni izvor nalazi u koherentnom stanju

dˆ† dˆ − dˆ† dˆ  = −iaˆ† aˆ + iaˆ†aˆ  = −iα∗ aˆ + iα aˆ†, a zatim parametar α napiˇsemo pomoću Eulerove formule α = |α |e dˆ† dˆ − dˆ† dˆ  = |α |a†e − ae− , 1 1

2 2

L

L

L

L

L

1 1

2 2

L

iθ

(4.185)

iφL

L

iθ

(4.186)

pri ˇcemu je θ = φ L + π/2. U gornjem izrazu prepoznajemo rotirani operator kvadrature



ˆθ = 1 a ˆ† eiθ X 2

√

odnosno

− aê−

iθ



,

dˆ† dˆ − dˆ† dˆ  = √ 2|α |X ˆ . 1 1

2 2

L

θ

(4.187)

(4.188)

Mjerenjem razlike signala na izlaznim detektorima moˇzemo izmjeriti oˇcekivanu vrijednost operatora kvadrature ulaznog signala, a ulazni signal moˇzemo pojaˇcati lokalnim oscilatorom (faktor αL ).

| |

Distribucije kvazivjerojatnosti

92

Slika 4.6: Tri primjera Q-funkcije. Lijevo gore: koherentno stanje, desno gore: Fockovo stanje, lijevo dole: stisnuto stanje.

4.7 4.7.1

Distribucije kvazivjerojatnosti Q-funkcija

Q-funkcija definirana je kao matriˇcni element operatora gustoće Q(α, α∗ ) =

| 

1 α ρˆ α , π

||

(4.189)

gdje je α koherentno stanje. Polazeći od toga da je trag matrice gustoće jednak 1, moˇzemo zakljuˇciti



d2 αQ(α, α∗ ) = 1.

(4.190)


93

Gornji integral se proteˇze po cijeloj kompleksnoj ravnini, a do rezultata (4.190) moˇzemo doći tako da u trag matrice gustoće ubacimo relaciju potpunosti za koherentna stanja 1 = T r(ˆ ρ) = T r

  1 π

  |  |

1 d α α α ρˆ = π 2

2

||

d α α ρˆ α =



d2 αQ(α, α∗ ). (4.191)

Q-funkciju moˇzemo lako izraˇcunati za koherentno i Fockovo stanje. U sluˇcaju koherentnog stanja matrica gustoće glasi ρˆ = α0 α0 pa je Q-funkcija povezana s preklopom dva koherentna stanja (4.101) 1 1 2 (4.192) Q(α, α∗ ) = α α0 α0 α = e−|α−α0| π π Neˇsto sloˇzeniji sluˇcaj je Q-funkcija za Fockovo stanje. Matrica gustoće tada glasi ρˆ = n n pa u Q-funkciju ulaze preklopi Fockovog stanja i koherentnog stanja ( 4.27)

|  |

 |  | 

|  |

1 | α|2n −|α|2 ∗ Q(α, α ) = α|nn|α = e .

(4.193) π n!π Za stisnuto stanje je takod¯er moguće izvesti formulu za Q-funkciju, no kako je taj raˇcun sloˇzen na sl. 4.6 nalazi se samo konaˇcna slika, u usporedbi s Q-funkcijom za koherentno i Fockovo stanje.

4.7.2

Karakteristiˇ cna funkcija

Karakteristiˇcnu funkciju za elektromagnetsko polje moˇzemo napisati u sljedećem obliku



† ∗ χ(η, η∗ ) = T r ρêηâ e−η aˆ



(4.194)

Karakteristiˇcnu funkciju moˇzemo relativno jednostavno izvesti za koherentno stanje i Fockovo stanje. U sluˇcaju koherentnog stanja, matrica gustoće glasi α0 α0





|  |



† ∗ ∗ ∗ χ(η, η ∗ ) = T r |α0 α0 |eηâ e−η aˆ = e ηα0 T r |α0 e−η aˆ ∗ ∗ ∗ ∗ = e ηα0 T r e−η aˆ |α0  = e ηα0 −η α0 .







(4.195)

Da bismo izraˇcunali karakteristiˇcnu funkciju za Fockovo stanje, moramo naći sljedeći trag † ∗ † ∗ (4.196) χ(η, η∗ ) = T r n n eηâ e−η aˆ = n eηâ e−η aˆ n .

|  |   | |    | − ···  | − 

Promotrimo djelovanje operatora e η η∗ a ˆ

e

|n =

∞ 1

 

m! m=0 n

=

∗a ˆ

|

na stanje n

n

(η ∗ )m a ˆm n =

1 ∗ m (η ) m! m=0

(η ∗ )m

n(n

1)

(n

m=0

n! n (n m)!

−

m.

− m + 1)|n − m (4.197)


94

Pritom smo iskoristili ˇcinjenicu a ˆm n = 0 ako je m > n. Vratimo se karakteristiˇcnoj funkciji za Fockovo stanje

|

n

χ(η, η ∗ ) =





(η)m ( η∗ )m

−

m,m =0



(n

−

(n!)2 m)!(n

 n − m|n − m , (4.198)  − m )!

a zatim iskoristimo ortonormiranost Fockovih stanja da bismo doˇsli do konaˇcnog rezultata n

χ(η, η ∗ ) =

−

( 1)m η

m=0

4.7.3

||

2m

n! (m!)2 (n

− m)! .

(4.199)

P -funkcija

P -funkcija predstavlja razvoj matrice gustoće po koherentnim stanjima ρˆ =

4.7.4



d2 αP (α, α∗ ) α α .

|  |

(4.200)

Wignerova funkcija

Wignerovu distribuciju moˇzemo napisati kao transformat Wignerove karakteristiˇcne funkcije χW (η, η∗ ) 1 ∗ ∗ (4.201) W (α, α∗ ) = 2 d2 ηe −ηα +η α χW (η, η∗ ). π Wignerova karakteristiˇcna funkcija definirana je sliˇcno kao i karakteristiˇcna funkcija



1 † ∗ 2 χW (η, η ∗ ) = T r[ˆ ρeηâ −η aˆ ] = e − 2 |η| χ(η, η∗ ),

(4.202)

pri ˇcemu je zadnja jednakost posljedica BCH teorema.

|  |

Wignerovu distribuciju za koherentno stanje opisano matricom gustoće β β moˇzemo 1 1 ∗ ∗ ∗ ∗ 2 (4.203) W (α, α∗ ) = 2 d2 ηe −ηα +η α e− 2 |η| eηβ −βη . π Uvedemo li pokratu γ α β , prethodni izraz moˇzemo pojednostaviti tako da dvostruki integral separiramo



≡ −

1 W (α, α∗ ) =



∞

π2 −∞

1 2 e− 2 (ηx −4iγ y ηx )dηx



∞

e− 2 (ηy +4iγ x ηy )dηy . 1

2

(4.204)

−∞

Oba integrala moˇzemo rijeˇsiti nadopunjavanjem do potpunog kvadrata s konaˇcnim rezultatom 2 2 (4.205) W (α, α∗ ) = e2|α−β | . π


Slika 4.7: Dva primjera W -funkcije. Gore: koherentno stanje, dole: Fockovo stanje.

95

Med ¯udjelovanje atoma i elektromagnetskog zraˇ cenja

96

|  |

Izraˇcun Wignerove funkcije za Fockovo stanje opisano matricom gustoće n n je sloˇzeniji, a konaˇcni rezultat glasi W (α, α∗ ) = ( 1)n

−

1 −2|α|2 e Ln (4 α 2 ), 2π

||

(4.206)

gdje je Ln Laguerrov polinom n-tog stupnja. Primjeri Wignerovih funkcija za koherentno i Fockovo stanje nalaze se na sl. 4.7, a usporedbom s Q-funkcijama vidimo da Wignerova funkcija pokazuje viˇse detalja, a za razliku od Q-funkcije moˇze poprimiti i negativne vrijednosti.

4.8


Prvi dio Hamiltonijana opisuje slobodno polje ˆ F = H

   ωk



1 ˆ†k,λ a ˆk,λ + a , 2

k,λ

(4.207)

ˇsto će se u sluˇcaju jednog moda (i odabira jednog smjera polarizacije) bitno pojednostaviti

 

1 ˆ F =  ω a ˆ† a ˆ+ H . 2

(4.208)

| 

Ovdje ćemo se ograniˇciti na sluˇcaj dvorazinskog atoma, pritom g oznaˇcava osnovno stanje, dok e oznaˇcava pobud¯eno stanje atoma. Uvodimo operatore koji podiˇzu atom u pobud¯eno stanje ili ga spuˇstaju iz pobud¯enog stanja

|

σ+ = e g ,

|  |

σ− = g e .

|  |

|  |  |e = 0, σ |g = |e,

σ− e = g ,

(4.209)

Budući da su stanja e i g ortonormirana, vrijedi σ+

+

| |

|

σ− g = 0.

(4.210)

Operatore σ + i σ − moˇzemo napisati pomoću operatora σ x i σ y koji zapravo odgovaraju Paulijevim matricama σ+ =

1 (σx + iσy ), 2

σ− =

1 (σx 2

− iσ ). y

(4.211)

Hamiltonijan slobodnog atoma moˇzemo napisati koristeći svojstvene energije i projektore na svojstvena stanja ˆ A = E g g g + E e e e , (4.212) H

|  |

|  |

Med ¯ udjelovanje atoma i elektromagnetskog zraˇ cenja

97

ˇsto dalje moˇzemo napisati kao ˆ A = 1 (E g + E e ) + 1  ωA σz , H 2 2

ωA

≡ E − E . e

g

(4.213)

Pritom smo iskoristili sljedeće relacije

|ee| + |gg| = 11, |ee| − |gg| = σ .

z

(4.214)

Zadnji dio Hamiltonijana odnosi se na ˇclan med ¯udjelovanja. Ograniˇcimo se na jedan mod polja frekvencije ω. Operator elektriˇcnog polje smo napisali u sljede´ cem obliku  ω ˆ = êi(kr−ωt+π/2) + â† e−i(kr−ωt+π/2) eλ . (4.215) E a 3 20 l Operator u Schrödingerovoj slici odgovara sluˇcaju t = 0, a osim toga ćemo pretpostaviti da se polje moˇze aproksimirati s vrijednosti u ishodiˇstu jer je dimenzija atoma mnogo manja od valne duljine svjetlosti6 . Konaˇcno, moˇzemo odabrati i jedan odred¯eni smjer polarizacije  ω ˆ = i ˆ a ˆ† e. (4.216) E a 3 20 l Budu´ ci da je Coulumbov potencijal simetriˇcan s obzirom na operaciju pariteta, valne funkcije elektrona će takod¯er imati dobro definirani paritet ˇsto odmah znaˇci da će dijagˆ = q ˆr7 iˇsˇcezavati. Nedijagonalne matriˇcne elemente onalni matriˇcni elementi operatora d dipolnog operatora moˇzemo napisati u sljedećem obliku

 



  − 

d∗ = q g r e .

||

||

d = q e r g ,

(4.217)

Dipolni operator odgovara sumi Paulijevih matrica ˆ = d e g + d∗ g e = d σ+ + d∗ σ− , d

|  |

|  |

(4.218)

te opisuje prijelaze iz osnovnog u pobud¯eno stanje i obratno. Uvrstimo li dipolni operator ˆ E ˆ I ˆ , preostalo je izraˇcunati skalarni produkti u Hamiltonijan med¯udjelovanja H d vektora d i polarizacije elektriˇcnog polja e

∼ − ·

d e = d e eiφ ,

·

| · |

d∗ e = d e e−iφ .

·

| · |

(4.219)

Faza φ definirana je orijentacijom polarizacijskog vektora pa moˇzemo odabrati φ = π/2. Uz takav odabir, Hamiltonijan med¯udjelovanja moˇzemo napisati u sljedećem obliku ˆ I =  Ω (σ+ H 6 7

dugovalna aproksimacija cava naboj elektrona q oznaˇ

 

− σ−) aˆ − aˆ†

,

(4.220)


98

gdje smo definirali Rabijevu frekvenciju vakuuma Ω0 =

  ω

1/2

|d · e|.

20  l3

(4.221)

Hamiltonijan med¯udjelovanja ima ˇcetiri doprinosa:

• atom prelazi iz osnovnog u pobud¯eno stanje uz apsorbciju fotona ( σ aˆ), • atom prelazi iz pobud¯enog u osnovno stanje uz emisiju fotona ( σ−aˆ†), • atom prelazi iz osnovnog u pobud¯eno stanje uz emisiju fotona ( σ aˆ†), • atom prelazi iz pobud¯enog u osnovno stanje uz apsorbciju fotona ( σ−aˆ). +

+

U sljedećem koraku ˇzelimo pokazati da zadnja dva ˇclana moˇzemo ispustiti iz daljn jih razmatranja, u ˇsto najlakˇse moˇzemo napraviti koristeći sliku interakcije. Ukupni ˆ0 = Hamiltonijan moˇzemo rastaviti na doprinos slobodnog polja i slobodnog atoma H ˆ F + H ˆ A i doprinos med¯udjelovanja definiran jedn. (4.220) Da bismo napisalo H ˆ I u slici H med¯udjelovanja, moramo napraviti transformaciju ˆ 0 t/ ˆ (S ) −iH ˆ ˆ (I ) = e iH H H I e 0 t/ . I

(4.222)

Fotonski operatori (â i a ˆ† ) komutiraju s atomskim operatorima (σ+ i σ− ) pa transformaciju moˇzemo razdvojiti na dva dijela. Prvo gledamo fotonski dio, gdje se javljaju dva doprinosa 1 ˆ ˆ ˆ , a ˆ , [iωt N, ˆ a ˆ† + [iωtN ˆ† ] + [iωtN ˆ† ]] + eiωtN a† e−iωtN = a 2! 1 ˆ ˆ ˆ a ˆ [iωt N, ˆ a ˆ + [iωtN, ˆ] + [iωt N, ˆ]] + . eiωtN ae−iωtN = a 2!

· ·· ·· ·

(4.223) (4.224)

Komutatori operatora broja kvanata i operatora stvaranja i poniˇstenja glase ˆ aˆ† ] = a [N, ˆ† , ˆ a [N, ˆ] = a ˆ,

−

(4.225)

(4.226)

pa se transformacija svodi na ˆ iωtN

e

∞ 1

 

ˆ ˆ† a† e−iωtN = a

n=0

ˆ

ˆ

ˆ eiωtN a† e−iωtN = a

∞

n=0

n!

(iωt)n = a ˆ† eiωt ,

1 ( iωt)n = a ê−iωt . n!

−

(4.227)

(4.228)

Med ¯ud ¯ udjelovanje atoma i elektr ktromagnetskog zraˇ raˇ cenja

99

|  |  |ee|, |ee|.

Sada gledamo atomski dio. Koriste´ ci ci ortonormiranost ortonormiranost stanja g i e moˇzemo zem o napis nap isati ati ˆ

eiH At/ = e iE g t/ g g + eiE e t/

|  | |gg| + e−

ˆ

e−iH At/ = e −iE g t/

iE e t/

(4.229)

(4.230)

Transformacija se svodi na ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

eiH At/ σ+ e−iH At/ = e iωA t σ+ ,

eiH At/ σ− e−iH At/ = e −iωAt σ− .

(4.231)

(4.232)

Promatramo Promatr amo pojedine pojedi ne ˇclanove clanove Hamiltonijana Hamilto nijana med¯udjelovanja ¯udjelovan ja u slici interakcije interakcij e

• σ aˆ → e− • σ−aˆ† → e • σ aˆ† → e • σ−aˆ → e− +

i(ω ωA )t

−

i(ω ωA )t

+

−

i(ω +ωA )t

≈ ω ) je ω ≈ ω ) σ− aˆ† : oscilira niskom frekvencijom (ako je ω ˆ: oscilira niskom frekvencijom (ako je ω σ+ a

A

A

oscilira visokom visokom frekvenci frekvencijom jom σ+ aˆ† : oscilira

i(ω +ωA )t

ˆ: oscilira oscilira visokom visokom frekvenci frekvencijom jom σ− a

≈

U rezonantnom rezonant nom sluˇcaju caju (ω ω A ), zadnja dva ˇclana clana nestaju pri usrednjavanju usrednjavanj u pa ćemo cemo ih u daljnjim daljnjim razmatranji razmatranjima ma zanemarit zanemariti. i. Vratimo Vratimo li se natrag u Schrödingerovu odingerovu sliku, Hamiltonijan se svodi na 1 ˆ JC ˆ† a ˆ +  ωA σz +  H JC =  ω a 2

E E 0





ˆ + σ− a ˆ† , σ+ a

pri ˇcemu cemu smo zanemaril zane marilii zero-point energiju energiju samog polja.

4.8.1 4.8.1

(4.233)

(4.234)

Jaynes Jaynes-Cum -Cummin mings gs model

Promatramo Jaynes-Cummings Hamiltonijan uz uvjet ω = ωA 8 1 ˆ J C =  ω a ˆ† aˆ +  ωσ H ωσz +  2

E E

0





ˆ + σ− a ˆ† . σ+ a

ˆ 0 Hamiltonijan slobodnog polja i atoma Ozna Oz naˇˇcimo ci mo s H 1 ˆ 0 = H ˆ F ˆ ˆ† a ˆ +  ωσ H ωσz . F + H A =  ω a 2

(4.235)

|  |  ⊗ | 

Stanje s n fotona u ˇsupljini i atomom u pobud¯enom ¯enom stanju n, e = n F e A ima jednaku energiju kao i stanje s n + 1 fotona u ˇsupljini supljini i atomom u osnovnom stanju 8

Rezonant Rezo nantni ni sluˇcaj caj

Med Med ¯ud ¯ udjelo jelova vanj njee atom atoma a i elek elektr trom oma agnet gnetsk skog og zra zraˇ cenj c enja a

|n + 1,1 , g = |n + 1 ⊗ |g F

A

9

100 100

. Ostatak Osta tak Hamiltonij Hami ltonijana ana opisuje opi suje med¯udjelovanje ¯udjelov anje atoma ato ma i

polja

ˆ I I =  H



E E

0



ˆσ+ + a ˆ† σ− . aσ a

(4.236)

ˆ 0 i H ˆ I I komutiraju Jednosta Jedno stavnim vnim raˇcunom cuno m moˇzemo zemo pokazat po kazatii da d a oper o perator atorii H

E     E − − 

ˆ 0 , H ˆ I I ] =  ω [H 2

= ω = 0.

0

1 1 ˆ† a, ˆ, a ˆ + σ− aˆ† a, ˆ, a ˆ† + [σ [σz , σ+ ] a ˆ + [σ [ σz , σ− ] a ˆ† a a a

σ+

ˆ + σ− a ˆ† + σ + σ+ a ˆ σ+ a

0

2

2

ˆ† σ− a



(4.237)

ˆ 0 i H ˆ I I komutiraju, Operatori H komuti raju, dakle postoji post oji zajedniˇcki cki skup svojstvenih svojst venih stanja. Budući ci ˆ da su svojstvena stanja operatora H 0 n, e i n + 1, g degenerirana, njihova linearna ˆ 0 ˇsto kombinaci kombi nacija ja će ce takod ta kod¯er ¯er biti bit i svojst sv ojstveno veno stanje sta nje oper o perator atoraa H st o znaˇ z naˇci ci da svojs svo jstv tveno eno stanj st anjee ˆ operatora H I I takod ta kod¯er ¯er moˇzemo zemo napisat napi satii kao linearnu lin earnu kombinaci kombi naciju ju stanj s tanjaa n, e i n + 1, g

|  |



|  |

|ψ 

n I

= c n n, e + cn n + 1, 1, g .

| 

|





(4.238)

Uvrstimo Uvrsti mo li takvo rjeˇsenje senje u jednadˇzbu zbu svojstvenih svojst venih vrijednosti vrijedno sti ˆ I I ψn H

ˆ I I n, e + c H ˆ I n + 1, = c n H 1 , g = E nI ψn I , n I

| 

| 

I

|



| 

(4.239)

a zatim iskoristimo relacije ˆσ + â† σ− |n, e =  E |  E E aσ E √ n +√ 1|n + 1,1, g, a ˆ |n + 1, E aσ E n + 1|n, e. 1, g  =  E ˆσ + â† σ− |n + 1, 1, g =  E H a √ Uvedemo li oznaku E = n + 1E , moˇzemo zemo napisati napi sati ˆ |ψ  =  E E (c (c |n + 1, 1 , g  + c |n, e) . H ˆ I I n, e =  H

I I

0 0

n

I I





+ +

0

n I

n

0

0

n

n

(4.240)

(4.241)

(4.242)

Doˇsli sli smo do homogenog homogeno g sustava od dvije jednadˇzbe zbe s dvije nepoznanice nepozna nice I n n

(4.243)

n n

(4.244)

E E − E c = 0, −E c +  E E c = 0.  n cn I n n

Da bi takav sustav imao rjeˇsenje, senje, determinanta determinant a mu mora iˇsˇ sˇcezavati cezavati pa će ce svojstvene svojst vene energije biti jednake (4.245) E nI =  n .

± E E

Med¯udjelovanje ¯udjelova nje atoma i polja polj a uklanja degeneraciju, deg eneraciju, a normirane svojstve s vojstvene ne funkcije glase glas e

|ψ± = √ 12 (|n, e ± |n + 1,1, g) . n

(4.246)

Med ¯udj ¯ udjel elov ovan anje je atom atoma a i elekt lektro roma magn gnet etsk skog og zra zraˇ cen c enja

101 101

|  |



Slika 4.8: Vjerojatnosti nalaˇzenja zenja sustava u stanjima n, e i n + 1, g u ovisnosti o vremenu. Suma vjerojatnosti iznosi 1.

4.8.2 4.8.2

Rabi Rabijev jeve e osci oscila laci cije je

|



| 

Pretpostavim Pretpostavimoo da se sustav sustav u poˇcetnom cetnom trenutku trenutku nalazi nalazi u stanju stanju ψ(0) = n, e , odnosno odnos no da se u rezonantnoj rezonantn oj ˇsupljini supljini nalazi n fotona fo tona i atom at om u pobud¯enom ¯enom stanju. Poˇcetnu cetnu valnu funkciju moˇzemo zemo razviti u bazi ba zi svojstvenih svojst venih stanja Hamiltonijana Hamilton ijana med¯udjelovanja ¯udjelov anja



|ψ(0) = |n, e = √ 12 |ψ  + |ψ− + n

n



.

(4.247)

Vremenska Vremenska evolucija takve valne funkcije funkcije dana je sljede´ cim cim izrazom

|ψ(t) = |n, e = √ 12



e−iE nt ψn+ + eiE nt ψn−

| 



| 

|  |  |ψ(t) = cos cos (E t)|n, e − i sin(E t)|n + 1, 1 , g .

ˇsto sto opet op et moˇzemo zemo napisat napi satii u bazi n, e i n + 1, 1, g n

9

Indeks F oznaˇ oz naˇcava cava polje, pol je, dok A oznaˇ ozn aˇ cava cav a atom. ato m.

n

,

(4.248)

(4.249)

Med ¯ udjelovanje atoma i elektromagnetskog zraˇ c enja

102

|

Slika 4.9: Vjerojatnosti nalaˇzenja atoma u pobud¯enom stanju e u ovisnosti o vremenu. Vjerojatnosti nalaˇ zenja sustava u pojedinom stanju jednaka je P ne (t) = n, e ψ(t) 2 = cos2 ( n t), g (t) = n + 1, g ψ(t) 2 = sin2 ( n t). P n+1

| | | | | |

E

E

(4.250) (4.251)

Oscilacije u vjerojatnostima zaposjednuća zovemo Rabijeve oscilacije (vidjeti sl. 4.8), a veliˇcinu n zovemo Rabijeva frekvencija. Kada je n = 0 govorimo o Rabijevoj frekvenciji vakuuma.

E

4.8.3

Kolaps i oˇ zivljavanje

U prethodnom odjeljku promatrali smo stanje s odred¯enim brojem fotona, ali zapravo je zanimljivije promatrati koherentno stanje kao poˇcetnu valnu funkciju

|ψ(0) = |α, e = e−|α|2/2

∞

 √ | n=0

αn n, e . n!



(4.252)

Med ¯ udjelovanje atoma i elektromagnetskog zraˇ c enja

103

Vremenska evolucija ovakve valne funkcije slijedi iz jedn. ( 4.249)

|ψ(t) = e−|α|2/2

∞

 √ n=0

αn (cos ( n t) n, e n!

E |  − i sin(E t)|n + 1, g).

n

(4.253)

ˇ Zelimo izraˇcunati vjerojatnost nalaˇzenja atoma u pobud¯enom stanju, bez obzira na to ˇsto se dogad¯a s fotonima. To znaˇci da prvo trebamo izraˇcunati parcijalni trag matrice gustoće po fotonskim stanjima, a prije svega trebamo pronaći samu matricu gustoće ρÂF (t)

|ψ(t)ψ(t)| = e−|α|2

∞

 √

αn (α∗ )m [ cos( n t)cos( n!m! n,m=0

E E t)|n, em, e| +sin(E t)sin(E t)|n + 1, g m + 1, g| +i cos(E t)sin(E t)|n, em + 1, g| −i sin(E t)cos(E t)|n + 1, em, g| ] . (4.254) m

n

m

n

m

n

m

Sada raˇcunamo parcijalni trag po fotonskim stanjima ˇsto nam ostavlja samo atomske stupnjeve slobode 10 ρÂ (t) =

∞

 |

|

k=0

U sljedećem koraku koristimo relacije

k ρÂF k .

k|nm|k = δ k|n + 1m + 1|k = δ k|nm + 1|k = δ k|n + 1m|k = δ

(4.255)

k,n δ k,m ,

(4.256) (4.257) (4.258) (4.259)

k,n+1 δ k,m+1 ,

k,n δ k,m+1 , k,n+1 δ k,m ,

nakon ˇcega preostaje suma po indeksu k 2 ρÂ (t) = e −|α|

∞

| |  k=0

α 2k cos2 ( k t) e e + sin2 ( k t) g g k!

(4.260) E |  | E |  | +i cos(E t)sin(E t)|eg| − i sin(E t)cos(E t)|eg| ] . k+1

k

k

k+1

Vjerojatnost nalaˇzenja atoma u pobud¯enom stanju odgovara dijagonalnom elementu matrice gustoće 2 P e (t) = e|ρÂ (t)|e = e −|α| 10

∞

| | k=0

α 2k cos2 ( k t). k!

E

Sumacija po indeksu k oznaˇ cava sumaciju po svim fotonskim stanjima

(4.261)

Kvantna Seminari Ljeto(1)

Recommend Documents