BAB II TEMPAT KEDUDUKAN
Jarak Antara Dua Titik 1. Tentukan jarak antara kedua titik jika diketahui titik A = 4, B = 3, C = -2 a.
Jarak antara titik AB
b.
Jarak antara titik AC
c.
Jarak antara titik BC
Jawab Jarak antara titik pada garis = a.
x1 −x 2
AB = x1 − x 2 = 4 − 3 =1
a. AC = x1 − x 2 = 4 − ( − 2 ) = 6 c. BC = x1 − x 2 = 3 − ( − 2 ) = 5 2. Tentukan jarak antara kedua titik jika diketahui titik A = 2, B = 1, C = -2 a.
Jarak antara titik AB
b.
Jarak antara titik AC
c.
Jarak antara titik BC
Jawab Jarak antara titik pada garis = a.
x1 −x 2
AB = x1 − x 2 = 2 −1 =1
a. AC = x1 − x 2 = 2 − ( − 2) = 4 c. BC = x1 − x 2 = 1 − ( − 2 ) = 3
Hubungan Koordinat Cartesius dan Kutub
1. Diketahui koordinat cartesius titik P = (5,− 11 ) tentukan koordinat kutib titik P? Jawab : Koordinat cartesius titik P = (5,− 11 ) maka x = 5 dan r=
(
x 2 + y 2 = 5 2 + − 11
tg α =
)
2
y = − 11
= 25 +11 = 36 = 6
y − 11 = = −0,66 x 5
α = −33 ,6 karena titik P berada dikuadran IV maka : α = 360 − 33 ,6 = 326 ,4
Jadi koordinat kutub titik P adalah (6,326 ,4ο ) 2. Diketahui koordinat kutub titik A = (5,210 o ) tentukan koordinat cartesius titik A? Jawab Koordinat kutub titik A = (5,210 o ) maka r = 5 dan α = 210 o x = r cosα = 5 cos 210 o = −2 y = r sin α = 5 sin 210 0 = −2
1 3 2
1 2
Jadi koordinat cartesius titik A adalah − 2
1 2
3 ,−2
1 2
Tempat Kedudukan Titik diantara Dua Titik Lain 1. Misalkan diketahui titik A = ( 2,4) dan B = (8,8) dan titik T terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan AT : TB = 3 : 2 . Tentukan koordinat tikik T Jawab : xT =
mx 2 + nx1 3.8 + 2.2 24 + 4 28 = = = m+n 3+2 5 5
yT =
my 2 + ny1 3.8 + 2.4 24 + 8 32 = = = m+n 3+2 5 5 28 32 , 5 5
Jadi koordinat titik T
2. Misalkan diketahui titik A = ( 5,4 ) dan B = ( 2,4) dan titik T terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan AT : TB = 4 : 2 . Tentukan koordinat tikik T Jawab : xT =
mx 2 + nx1 4.2 + 2.5 8 + 10 18 = = = =3 m+n 4+2 6 6
yT =
my 2 + ny1 4.4 + 2.4 16 + 8 24 = = = =4 m+n 4+2 6 6
Jadi koordinat titik T (3,4 )
Jarak Antara Dua Titik 1. Diketahui dua buah titik A(2,4) dan B(8,8). Tentukan jarak antara kedua titik ? Jawab :
8
B
AB =
( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
AB =
( 8 − 2) 2 + ( 8 − 4) 2
AB = 6 2 + 4 2 AB = 36 +16 AB = 52 4
AB = 2 13
A
2
8
2. Diketahui dua buah titik A(5,7) dan B(6,3). Tentukan jarak antara kedua titik ? Jawab : AB =
( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
AB =
( 6 − 5) 2 + ( 3 − 7 ) 2
AB = 12 + 4 2 AB = 1 +16 AB = 17
Tempat Kedudukan Titik pada ruang 1. Tentukan jarak dari titik pusat O ke titik P bila : a. P(4,3,2)
b. P(-2,3,6) Jawab : Titik asal O = ( 0,0,0 ) = ( x1 , y1 , z1 ) dan P = ( x 2 , y 2 , z 2 )
OP=
( x 2 − 0 ) 2 + ( y 2 − 0) 2 + ( z 2 − 0) 2 =
2
2
x2 + y 2 + z 2
2
a. P(4,3,2) 2
2
2
2
2
2
OP = x2 + y 2 + z 2 = 4 2 + 3 2 + 2 2 = 29 b. P(-2,3,6)
O P = x2 + y 2 + z 2 =
( − 2) 2 + 32 + 6 2
= 49 = 7
2. Tentukan jarak titik A ke titik B bila : a. A(4,2,2) dan B(2,1,1) b. A(1,2,0) dan B(2,1,0) Jawab : Titik asal A = ( x1 , y1 , z1 ) dan B = ( x 2 , y 2 , z 2 ) AB =
( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2
a. A(4,2,2) dan B(2,1,1) AB =
(2 − 4 ) 2 + (1 − 2 ) 2 + (1 − 2 ) 2
=
4 +1 + 1 = 6
b. A(1,2,0) dan B(2,1,0) AB =
(2 −1) 2 + (1 − 2 ) 2 + (0 −0 ) 2
= 1 +1 + 0 = 2
Tempat Kedudukan Titik diantara Dua Titik Lain pada Ruang 1. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(1,2,0) dan B(5,-8,-1) dan C(1,3,1). Titik D merupakan titik potong garis bagi yang ditarik dari A ke sisi BC. Tentukan koordinat titik D. Jawab :
C(1,3,1) 2
A(1,2,0)
D
117
B(5,-8,-1)
AC =
(1 −1) 2 + ( 3 − 2 ) 2 + (1 − 0) 2
AB =
( 5 −1) 2 + ( − 8 − 2 ) 2 + ( −1 − 0) 2
= 0 +1 +1 =
2
= 16 +100 +1 = 117
Berdasarkan dalil garis bagi maka : BD : CD = AB : AC = 117 :
xD =
yD = yD =
(
( (
117 xC + 2 x B 117 + 2
)=(
117 .1 + 2 .5
)=(
117 .3 + 2 .( −8)
)=(
117 .1 + 2 .( −1)
117 y C + 2 y B 117 + 2 117 z C + 2 z B 117 + 2
2
117 + 2
) = 1,4625
117 + 2 117 + 2
) = 1,728
) = 0,768
Jadi koordinat titik D(1,4625;1,728;0,768) 2. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(3,6,9) dan B(4,8,12) dan C(1,3,1). Titik D merupakan titik potong garis bagi yang ditarik dari A ke sisi BC. Tentukan koordinat titik D. AC =
(1 − 3) 2 + ( 3 − 6 ) 2 + (1 − 9) 2
AB =
( 4 − 3) 2 + ( 8 − 6 ) 2 + (12 − 9 ) 2
= 4 + 9 + 64 = 77 = 1 + 4 + 9 = 14
Berdasarkan dalil garis bagi maka : BD : CD = AB : AC = 14 :
xD =
yD =
(
(
14 xC + 77 x B 14 + 77
14 y C + 77 y B 14 + 77
77
)=(
14 .1 + 77 .4
)=(
14 .3 + 77 .(8)
14 + 77
14 + 77
) = 3,1
) = 6,5
yD =
(
14 z C + 77 z B 14 + 77
)=(
14 .1 + 77 .(8) 14 + 77
) = 5,9
Jadi koordinat titik D(3,1;6,5;5,9) 3. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(3,4,1), B(7,-8,-2) dan C(2,4,1). Tentukan titik berat segitiga ABC ? Jawab : A
E M
B
D
x + x B + xc y A + y B + yc z A + z B + z c M = A , , 3 3 3 3 + 7 + 2 4 + 8 − 4 1 + 2 +1 M = , , 3 3 3 12 8 4
C M = 3 ,3, 3
4. Tunjukan bahwa ketiga titik berikut segaris A(2,5,-4) B(1,4,-3) dan C(4,7,-6) Jawab : AB = AC = BC =
(1 − 2 ) 2 + ( 4 − 5) 2 + ( − 3 + 4 ) 2 = ( 4 − 2 ) 2 + ( 7 − 5) 2 + ( − 6 + 4 ) 2 = ( 4 −1) 2 + ( 7 − 4 ) 2 + ( − 6 + 3) 2 =
1 +1 + 1 = 3 4 +4 +4 = 2 3 9 +9 +9 = 3 3
Karena BC = AB + AC maka titik-titik tersebut segaris
BAB III
GARIS PADA BIDANG 1. Misalkan diketahui persamaan garis : g1 = 2 x − 2 y + 2 = 0 g 2 = −3x − y + 2 = 0
Tentukan persamaan garis yang melalui titik pangkal O(0,0) dan titik potong garis g1 , g 2 . Jawab : Untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik potong kedua garis g1 dan g 2 gunakan persamaan berkas garis g1 + λg 2 = 0
( 2 x − 2 y + 2) + λ( − 3x − y + 2) = 0 2 x − 2 y + 2 − 3 xλ − yλ + 2λ = 0 2 x − 3 xλ − 2 y − yλ + 2 + 2λ = 0
( 2 − 3λ) x − ( 2 + λ) y + ( 2 + 2λ) = 0
....
(1)
Merupakan persamaan garis yang melalui titik potong garis g1 dan g 2 , karena garis yang diminta melalui titik pangkal O(0,0) maka ( 2 + 2λ ) = 0 . Maka 2λ + 2 = 0 2λ = −2
λ = −1
Substitusi λ ke persamaan (1) maka :
( 2 − 3( −1) ) x − ( 2 + ( −1) ) y + ( 2 + 2( −1) ) = 0 ( 2 + 3) x − ( 2 −1) y + ( 2 − 2) = 0 5x − y + 0 = 0 5x − y = 0 − y = −5 x y = 5x
Jadi persamaan garis adalah y = 5 x
2. Misalkan diketahui titik A(4,1) dan garis g = 9 x +12 y + 8 = 0 . Tentukan jarak dari titik A ke garis g. Jawab :
d=
Ax1 + By1 + C A +B 2
2
=
9( 4 ) + 12(1) + 8 9 + 12 2
2
=
60 225
=
60 =4 15
3. Misalkan diketahui titik A(4,2) tentukan persamaan garis yang melalui titik A dan bersudut 450 dengan garis y = 2 x Jawab : Misalkan persamaan garis yang dimaksud berbentuk y = ax + b Garis membentuk sudut 450 berarti tg α =
a1 − a 2 1 + a1 a 2
a −2 1 + 2a 1 + 2a = a − 2 tg α =
a = −3
Garis melalui titik A(4,2) berarti koordinat titik A memenuhi persamaan garis : y = ax +b 2 = −3( 4 ) +b 2 = −12 +b b =14
Jadi persamaan garis yang dimaksud adalah y = −3x +14 B. GARIS PADA RUANG 1. Diketahui dua buah titik A(3,4,1) dan B(1,7,2) tentukan persamaan garis melalui titik A dan B. Jawab :
[ x, y, z ] = [ x1 , y1 , x1 ] + λ[ x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ] [ x, y, z ] = [3,4,1] + λ[1 − 3,7 − 4,2 −1] [ x, y, z ] = [3,4,1] + λ[ − 2,3,−1] x = 3 − 2λ → 2λ = − x + 3 − x +3 λ= 2 x = 4 + 3λ → 3λ = y − 4 y −4 λ= 3 z = 1 − λ → λ = −z + 1
− x + 3 y − 4 − z +1 = = 2 3 1
2 + 3 +1 2,3,1 = 14 3 1 2 = , , 14 14 14 2,3,1
[ cos α , cos β , cos γ ] =
2
2
2
x − x1 y − y1 z − z1 = = cos α cos β cos γ
Maka persamaan garis AB melalui titik A adalah − x + 3 y − 4 − z +1 = = 2 3 1 14
14
14
Vector cosinus arah garis adalah 2 3 1 AB = [ cos α , cos β , cos γ ] = , , 14 14 14
BIDANG 1. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier melalui titik A(3,2,1) dan B(-1,-2,6) dan C(1,7,2) Jawab :
[ x, y, z ] = [ x a , y a , z a ] + λ[ xb − x a , y b − y a , z b − z a ] + µ[ xc − x a , y c − y a , z c − z a ] [ x, y, z ] = [3,2,1] + λ[ −1 − 3,−2 − 2,6 −1] + µ[1 − 3,7 − 2,2 −1] = [ 3,2,1] + λ[ − 4,−4,5] + µ[ − 2,5,−1] Persamaan parameter x = 3 − 4λ − 2 µ y = 2 − 4λ + 5µ z =1 + 5λ − µ
−4
[ A, B, C ] =
5 5 , −1 −1
5 = [−21 ,−14 ,−28 ]
Persamaan linier :
−4 −4 , −2 −2
−4 5
A( x − x1 ) + B( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = 0
− 21( x − x1 ) − 14( y − y1 ) − 28( z − z1 ) = 0 − 21x + 63 − 14y + 28 − 28z + 28 = 0 : −7 3x − 9 + 2 y − 4 + 4 z − 4 = 0 3x + 2 y + 4 z − 17 = 0 2. Tentukan persamaan bidang melalui ketiga titik (3,4,1) (-1,-2,5) dan (1,7,2) Jawab : x − x1
y − y1
z − z1
x 2 − x1 x3 − x1
y 2 − y1 y 2 − y1
z 2 − z1 = 0 z 2 − z1
x −3 −1 −3
y −4 −2 −4
1 −3
7 −4
x −3 −4
y −4 −6
−2
3
( x −3)
−6 3
z −1 5 −1 = 0 2 −1
z −1 4 =0 1
4 −4 + ( y − 4) 1 −2
4 −4 + ( z −1) 1 −2
−6 =0 3
−18 ( x −3) + 4( y − 4 ) − 24 ( z −1) = 0 −18 x + 54 + 4 y −16 − 24 z + 24 = 0 : −2 9 x − 27 − 2 y +8 −12 z −12 = 0 9 x − 2 y −12 z −31 = 0
3. Tentukan sudut antara bidang 2x + 3y + 6z + 9 =0 dan bidang 3x + 2y + 2z – 8 =0 Jawab : cos θ = = = =
n1 .n2 n1 .n2 A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 2
2
2
2
2
A1 + B1 + C1 . A2 + B2 + C 2 2.3 + 3.2 + 6.2 2 + 32 + 6 2 . 32 + 2 2 + 2 2 24 2
7 17 θ = 33,74
2
4. Apakah empat titik (4,2,1) (-1,-2,2) (0,4,-5) (½,½,0) sebidang dan tentukan persamaan liniernya ? Jawab : Empat titik akan sebidang jika dan hanya jika : x 2 − x1 x3 − x1 x 4 − x1
y 2 − y1 y 3 − y1 y 4 − y1
z 2 − z1 z 3 − z1 = 0 z 4 − z1
Titik (4,2,1) (-1,-2,2) (0,4,-5) (½,½,0) maka
− 2 − 4 − 2 − 2 2 −1 0−4 4 − 2 − 5 −1 = 0 1 1 0 −1 2 −4 2 −2 −5 −4 1 −4 2 −6 = 0 − 72 − 32 − 1 Karena determinannya nol maka keempet titik tersebut sebidang. Persamaan linier :
2 −6 −6 −4 −4 2 , , 7 = [ − 11,17,13] 3 7 3 − − 1 − 1 − − − 2 2 2 2 A( x − x1 ) + B ( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = 0 −11( x + 5) +17 ( y + 4 ) +13 ( z −1) = 0
[ A, B, C ] =
−11 x +17 y +13 z = 0
5. Tentukan persamaan linier bidang melalui (6,-4,8) dan tegak lurus garis
[ x, y, z ] = λ[4,4,−6] Jawab : Persamaan linier bidang rata : 4( x − 6 ) + 4( y + 4 ) − 6( z −8) = 0 4 x − 24 + 4 y +16 − 6 z + 48 = 0 4 x + 4 y − 6 z + 40 = 0
6.
Tentukan persamaan linier bidang : a. Melalui (3,-6,-8) yang horizontal
Jawab : Maka [ x, y , z ] = λ[0,0,1] Persamaan liniernya adalah : 0( x − 3) + 0( y + 6 ) + ( z + 8) = 0 z +8 = 0
b. Sejajar sumbu z memotong sumbu x positif sebesar 4, memotong sumbu y negative sebesar 6. Jawab : -
bidang memotong sumbu x positif di (4,0,0)
-
bidang memotong sumbu y negarif di (0,-6,0)
-
bidang memotong sumbu z positif di (0,0,2)
x y z + + =1 p q r x y z + + =1 4 −6 2 x12 3x − 2 y + 6 z = 6
c. Melalui (6,-4,8) tegak lurus [ x, y, z ] = λ[4,4,−6] Jawab : Persamaan linier bidang : 4( x − 6 ) + 4( y + 4 ) − 6( z − 8) = 0 4 x + 4 y − 6 z + 40 = 0
d. Melalui (-3,-6,-9) tegak lurus garis yang melalui (-6,6,12) dan (10,8,2) Jawab : A( x − x1 ) + B ( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = 0 A( x + 3) + B( y + 6 ) + C ( z + 9 ) = 0
Kemudian garis g menghubungkan (-6,6,12) dan (10,8,2) g : [ x, y , z ] = [ − 6,6,12 ] + λ[10 + 6,8 − 6,2 −12 ] = [ − 6,6,12 ] + λ[16 ,2,−10 ]
Karena bidang w tegak lurus garis g maka
[ A, B, C ] = [16 ,2,−10 ] sehingga persamaan bidang : 16 ( x + 3) + 2( y + 6 ) −10 ( z + 9 ) = 0 16 x + 2 y −10 z − 30 = 0 :2 8 x + y − 5 z −15 = 0
e. Tegak lurus potongsn garis P(-4,4,-6) dan Q(12,8,5) Jawab :
[ x, y, z ] = [ − 4,4,−6] + λ[12 + 4,8 − 4,5 + 6] [ x, y, z ] = [ − 4,4,−6] + λ[16 ,4,11] 16 ( x + 4 ) + 4( y − 4 ) +11( z + 6 ) = 0 16 x + 4 y +11 z +114 = 0
7. Tentukan persamaan linier bidang : a. melalui (-2,4,8) dan sejajar bidang rata 6 x − 9 y −10 z +12 = 0 Jawab : 6( x + 2 ) − 9( y − 4 ) −10 ( z − 8) = 0 6 x − 9 y −10 z +128 = 0
b. Sejajar bidang rata 3 x − 6 y − 2 z − 5 = 0 dan berjarak 2 dari titik asal (0,0,0) Jawab : d = 2= 2=
Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D A2 + B 2 + C 2 3x1 − 6 y1 − 2 z1 − 5 32 + 6 2 + 4 2 3x1 − 6 y1 − 2 z1 − 5
49 14 = 3 x1 − 6 y1 − 2 z1 − 5 3x − 6 y − 2 z −11 = 0
c. Sejajar bidang rata 4 x − 4 y + 7 z −10 = 0 dan berjarak 5 dari titik (5,2,-2) Jawab d = 5= 2=
Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D A2 + B 2 + C 2 4 x1 − 4 y1 + 7 z1 −10 42 + 42 + 72 4 x1 − 4 y1 + 7 z1 −10
81 45 = 4 x1 − 4 y1 + 7 z1 −10
Persamaan liniernya :
4( x − 5 ) − 4( y − 2 ) + 7 ( z + 2 ) = 0 4x − 4 y + 7z + 2 = 0
8. Tentukan titik potong ketiga bidang berikut : 2x −3 y − 2z = 6 4 x − 3 y + 3z = 2 8x − 3 y + 2 z = 6
Jawab : 2 x −3 y − 2 z = 6
...( 1)
4 x − 3 y + 3z = 2
...( 2)
8x −3 y + 2 z = 6
...( 3)
Dari persamaan (1) dan (2) 2 x −3 y − 2 z = 6 4 x − 3 y + 3z = 2 − − 2 x − 5 z = 4 ...( 4)
Dari persamaan 2 dan 3 4 x −3 y + 3 z = 2 8 x −3 y + 2 z = 6 − − 4 x + z = −4 ...( 5)
Dari persamaan 4 dan 5 − 2 x − 5 z = 4 x 2 − 4 x −10 z = 8 − 4 x + z = −4 x1 − 4 x + z = −4 −11 z = 12 z =−
12 11
...( 6)
Substitusi persamaan (6) ke persamaan (5) − 4x −
12 = −4 11
− 4 x = −4 +
12 11
32 11 8 x= ... (7) 11
− 4x = −
Substitusi persamaan (7) ke persamaan (1)
8 12 2 − 3 y − 2 − = 6 11 11 16 24 − 3y + =6 11 11 40 − 3y = 6 11 − 3y = 6 −
40 11
26 11 26 y=− 33
− 3y =
LINGKARAN DAN BOLA
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 5 cm Jawab : Lingkaran brpusat di (0,0) dan berjari-jari 5 mempunyai persamaan x 2 + y 2 = 52 x 2 + y 2 = 25
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 12 cm Jawab : Lingkaran brpusat di (0,0) dan berjari-jari 12 mempunyai persamaan x 2 + y 2 = 12 2 x 2 + y 2 = 144
3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 20 = 0 Jawab : Persamaan lingkaran : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Pusat lingkaran :
( − 12 A,− 12 B) = ( − 12 ( − 4) ,− 12 ( 2) ) = ( 2,− 1)
Jari-jari lingkaran :
r=
( 1 4 A) 2 + ( 1 4 B ) 2 − C = ( 1 4 ( − 4 ) ) 2 + ( 1 2 ( 2 ) ) 2 − 2 0 =
22
4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,2) dan berjari-jari 4 Jawab :
( x − a ) 2 + ( x − b) 2 = r 2 ( x − 3) 2 + ( x − 2) 2 = 4 2 ( x − 3) 2 + ( x − 2) 2 = 16 5. Tentukan persamaan bola yang berpusat di (4,6,-2) berjadi-jari 8 Jawab : Persamaan bola :
( x − a) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 ( x − 4) 2 + ( y − 6) 2 + ( z + 4) 2
= r2 = 64
x −16 x +16 + y −12 y + 36 + z 2 + 8 z +16 = 64 2
2
x 2 + y 2 + z 2 +16 x −12 y + 8 z + 68 = 0
6. Tentukan persamaan bola yang mempunyai diameter ruas garis yang menghubungkan (2,1,-3) dan (2,-2,5) Jawab : Diameter bola Jari-jari bola
D=
( 2 − 2) 2 + (1 + 2) 2 + ( − 3 − 5) 2
r = 12 D =
1 2
= 73
73
Pusat bola merupakan titik tengah diameter AB, berarti koordinat titik pusat 1 2 + 2 1 + ( −2) − 3 + 5 , , = 2,− ,1 2 2 2 2
bola adalah
Persamaan bola :
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 ( x − 2) 2 + ( y + 12 ) 2 + ( z − 1) 2 = 743 x 2 − 4 x + 4 + y 2 + y + 14 + z 2 − 2 z + 1 = x 2 − 4 x + y 2 + y + z 2 − 2 z + 241 =
73 4
x 2 − 4 x + y 2 + y + z 2 − 2 z = 743 −
21 4
x 2 − 4x + y 2 + y + z 2 − 2z =
52 4
x 2 + y 2 + z 2 − 4x + y − 2z =
52 4
73 4
7. Tentukan persamaan bola yang berpusat (-4,4,6) melalui titik (6,8,-2) Jawab :
( x − a) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 ( x + 4) 2 + ( y − 4) 2 + ( z − 6) 2
= r2 = r2
x 2 + y 2 + z 2 + 8 x − 8 y −12 z + 68 = r 2
Melalui titik (6,8,-2)
36 + 64 + 4 + 48 − 64 + 24 + 68 = r 2 183 = r 2
Persamaan bola x 2 + y 2 + z 2 + 8 x − 8 y −12 z + 68 = 183 x 2 + y 2 + z 2 + 8 x − 8 y −12 z = 115
8. Tentukan persamaan bola melalui empat titik A(1,1,1) B(1,2,1) C(1,1,2) D(2,1,1) Jawab : Persamaan bola x 2 + y 2 + z 2 + Ax + By + Cz + D = 0
Melalui titik (1,1,1) 1 + 1 + 1 + A + B + C + D = 0 → A + B + C + D = −3
...(1)
Melalui titik (1,2,1) 1 + 4 + 1 + A + 2 B + C + D = 0 → A + 2 B + C + D = −6
...( 2)
Melalui titik (1,1,2) 1 + 1 + 4 + A + B + 2C + D = 0 → A + B + 2C + D = −6
...(3)
Melalui titik (2,1,1) 4 + 1 + 1 + 2 A + B + C + D = 0 → A + 2 B + C + D = −6
Eliminasi Persamaan (1) dan (2) A + 2 B + C + D = −6 A + B + C + D = −3 B
= −3
...( 5)
Eliminasi Persamaan (2) dan (3) A + 2 B + C + D = −6 A + B + 2C + D = −6 − B +C
=0
... (6)
Substitusi persamaan (5) ke (6) 3 +C = 0 C = −3
...( 4)
Eliminasi persamaan (3) dan (4) 2 A + B +C + D = −6 A + B +2C + D = −6 A −C = 0 A =C A = −3
Substitusi nilai A,B, C ke persamaan (1) A + B + C + D = −3 − 3 −3 − 3 + D = −3 D =6
Maka persamaan bola adalah : x 2 + y 2 + z 2 − 3x − 3 y − 3z + 6 = 0
9. Tentukan koordinat pusat dan jari-jari bola x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + 8 z + 29 = 0 Jawab : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + 8 z + 29 = 0
A = 4, B = -6, C = 8, D = 29 Pusat bola
( − 12 A,− 12 B,− 12 C ) = ( − 12 ( 4) ,− 12 ( − 6) ,− 12 (8)) = ( − 2,3,4)
Jari-jari bola
r=
( 1 4 A) 2 + ( 1 4 B ) 2 + ( 1 4 C ) 2 − D
= 4 + 9 + 16 − 29 =0 8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 36 yang tegak lurus garis x + 2 y + 4 = 0 Jawab : x +2y +4 = 0
maka m1 = −
1 2
Misal garis singgungnya adalah g maka
m g .m1 = −1 1 m g .− = −1 2 mg = 2
Persamaan garis singgung : y =mx +r 1 +m 2 y =2 x +6 1 +4 y =2 x +6 5
9. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 36 a. mempunyai gradient 3 b. membentuk sudut 60o terhadap sumbu X c. sejajar dengan garis 3x – 4y + 10 = 0 Jawab : a. mempunyai gradien 3 maka persamaan garis singgung : y =mx +r 1 +m 2 y =3 x +4 1 +9 y =3 x +4 10
b. membentuk sudut 60o maka m = tan 60 o = 3
Persamaan garis singgung : y =mx +r 1 +m 2 y = 3 x +4 1 +3 y =3 x +4 4 y =3 x +8
c. sejajar garis 3x - 4y +10 =0 3 x − 4 y +10 = 0 4 y = 3 x +10 :4 3 10 y = x+ 4 4
m=
3 4
Persamaan garis singgung adalah :
y = mx +r 1 + m 2 2
y=
3 3 x +4 1 + 4 4
5 y = 3 x +4 4 y = 3x + 5 atau y = 3x −5
10. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 + −2 x + 4 y − 4 = 0 yang sejajar dengan garis 5 x −12 y +15 = 0 Jawab : x 2 + y 2 + −2 x + 4 y − 4 = 0
( x − 2 ) 2 −1 + ( y + 2 ) 2 − 4 = 4 ( x − 2) 2 + ( y + 2) 2 = 9 Lingkaran berpusat di (1,-2) dan jari-jari 3.
5 x − 12y + 15 = 0 12y = 5 x + 15 : 12 5 15 y = x+ 12 12 5 m= 12 Persaman garis singgung :
( y − b ) = m( x − a ) +r
1 +m2 2
5 ( x −1) +3 1 + 5 12 12 ( y + 2 ) = 5 ( x −1) + 39 12 12 12 y + 24 = 5 x − 5+39 5 x −12 y − 29 +39 = 0
( y + 2) =
5 x −12 y −68 = 0 atau 5 x −12 y +10 = 0
11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 5 di titik (-2,1) Jawab :
Persamaan garis singgung xx 1 + yy 1 = r 2
x( − 2) + y (1) = 5 2x − y +5 = 0
12. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 8 di titik (2,2) Jawab : Persamaan garis singgung : xx 1 + yy 1 = r 2
x( 2 ) + y ( 2 ) = 8 2 x + 2 y −8 = 0 x + y −4 = 0
13. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 = 25 di titik (7,2) Jawab : Persamaan garis singgung :
( y1 y + x1 x ) − b( y1 + y ) − a( x1 + x ) + a 2 + b 2 − r 2 ( 2 y + 7 x ) +1( 2 + y )) − 3( 7 + x ) + 9 +1 − 25 = 0
=0
2 y + 7 x + 2 + y − 21 − 3 x +1 − 25 = 0 4 x + 3 y − 34 = 0
14. Tentukan persamaan garis singgung bola x 2 + y 2 + z 2 = 36 di titik (2,2,2) Jawab : xx 1 + yy 1 + zz 1 = r 2
x( 2 ) + y ( 2 ) + z ( 2) = 36 2 x + 2 y + 2 z = 36 x + y + z =18
15. Tentukan persamaan garis singgung bola ( x + 4) 2 + ( y − 4) 2 + ( z − 6) 2 = 16 di titik (1,2,1) Jawab :
( x1 − a )( x − a ) + ( y1 −b )( y −b ) + ( z1 −c )( z −c ) = r 2 (1 − 4)( x −1) + ( 2 − 4)( y − 4) + (1 − ( −6))( z − 6) =16 −3( x −1) − 2( y − 4) + 7( z − 6) =16 −3 x + 3 − 2 y +8 + 7 z − 42 =16 −3 x − 2 y + 7 z −55 = 0
16. Tentukan persamaan garis singgung bola x 2 + y 2 + z 2 + 8 x + 8 y +12 z +115 = 0 di titik (1,1,1)
Jawab :
xx1 + yy1 + zz1 + 12 A( x + x1 ) + 12 B( y + y1 ) + 12 C ( z + z1 ) + D = 0
( 8)( x + 1) + 12 ( 8)( y + 1) + 12 (12)( z + 1) + 115 = 0 x + y + z + 4( x + 1) + 4( y + 1) + 6( z + 1) + 115 = 0 x+ y+ z+
1 2
x + y + z + 4 x + 4 + 4 y + 4 + 6 z + 6 + 115 = 0 x + y + z + 4 x + 4 y + 6 z + 127 = 0 5 x + 5 y + 7 z − 127 = 0 17. Tentukan persamaan bidang kutub bola x 2 + y 2 + z 2 + 8 x + 8 y +12 z +115 = 0 dengan titik kutub (1,1,1) Jawab :
xx1 + yy1 + zz1 + 12 A( x + x1 ) + 12 B( y + y1 ) + 12 C ( z + z1 ) + D = 0
( 8)( x + 1) + 12 ( 8)( y + 1) + 12 (12)( z + 1) + 115 = 0 x + y + z + 4( x + 1) + 4( y + 1) + 6( z + 1) + 115 = 0 x+ y+ z+
1 2
x + y + z + 4 x + 4 + 4 y + 4 + 6 z + 6 + 115 = 0 x + y + z + 4 x + 4 y + 6 z + 127 = 0 5 x + 5 y + 7 z − 127 = 0 18. Tentukan kuasa titik P(3,2,1) terhadap bola x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + 8 z + 29 = 0 Jawab : Kuasa P(3,2,1) terhadap bola x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + 8 z + 29 = 0 k = S ( 3,2,1) k = 3 + 2 +1 + 4(3) − 6( 2) + 8(1) + 29 = 43
Karena k > 0 maka titik P(3,2,1) berada di luar bola S = 0 19. Tentukan titik kuasa empat bola berikut :
S1 = x 2 + y 2 + z 2 − 5 = 0, S 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 10 x = 0, S 3 = x 2 + y 2 + z 2 + 10 y = 0, S 4 = x 2 + y 2 + z 2 − 10 z = 0
20. Tentukan persamaan bola S = 0 yang melalui lingkaran potong bola S1 = x 2 + y 2 + z 2 = 25, S 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 5 x − 10 = 0 dan melalui titik
O(0,0,0) Jawab : Persamaan bola S = 0 memenuhi persamaan perkas S1 + λS 2 = 0 Persamaan bola S = 0 adalah
(x
2
+ y 2 + z 2 − 25 ) + λ ( x 2 + y 2 + z 2 − 5 x + 10 ) = 0
...( a )
Persamaan bola S = 0 melalui titik O(0,0,0) berarti titik tersebut memenuhi persamaan (a) sehingga diperoleh :
− 25 − 10λ = 0 25 λ = − 10
Substitusi λ pada persamaan (a)
(x
2
) (
)
+ y 2 + z 2 − 2 5 − 12 05 x 2 + y 2 + z 2 − 5 x + 1 0 = 0
− 32 x 2 − 32 y 2 − 32 z 2 + 225 x − 5 0 = 0 − 3 x 2 − 3 y 2 − 3z 2 + 5 0x − 1 0 0= 0 21. Tentukan persamaan bola S = 0 melalui lingkaran potong bola S1 = x 2 + y 2 + z 2 = 16 dan bidang 3 x + 3 y + 3 z − 6 = 0 dan melalui titik
P(1,1,1) Jawab : Persamaan berkas adalah S + λV = 0
(x
2
+ y 2 + z 2 − 16 ) + λ ( 3 x + 3 y + 3 z − 6 ) = 0
...( a )
Bola S = 0 melalui titik (1,1,1) maka koordinat tiik P(1,1,1) memenuhi persamaan bola (a). substitusika koordinat titik P(1,1,1) pada persamaan (a) diperoleh harga λ
= − 133 pada persamaan (a) diperoleh
(x
2
)
+ y 2 + z 2 − 16 − 133 ( 3x + 3 y + 3z − 6) = 0
x 2 + y 2 + z 2 − 16 − 13x − 13 y − 13z − 6 = 0 x 2 + y 2 + z 2 − 13x − 13 y − 13z − 22 = 0 22. Tentukan titik limit dari berkas yang dibentuk oleh bola : S1 = x 2 + y 2 + z 2 + 6 x − 6 y + 12 = 0 dan bola S 2 = x 2 + y 2 + z 2 − 12 x − 12 y + 12 = 0
Jawab : Persamaan berkas adalah S1 + λ ( S1 − S 2 ) = 0 x 2 + y 2 + z 2 + 6 x − 6 y +12 + λ(18 x + 6 y ) = 0 x 2 + y 2 + z 2 + (6 +18 λ) x + ( −6 + 6λ) y +12 = 0
Koordinat titik pusat bola adalah Jari-jari kuadrat bola adalah
M ( − 12 ( 6 + 1 8λ ) ,− 12 ( − 6 + 6λ ) ,0)
r 2 = 14 ( 6 + 1 8λ ) + 14 ( − 6 + 6λ ) + 0 − 1 2 2
Karena bola berbentuk bola titik maka r = 0 atau 1 4 1 4
( 6 + 18λ ) 2 + 14 ( − 6 + 6λ ) 2 − 12 = 0
( 36 + 216λ + 324λ ) + ( 36 − 72λ + 36λ ) − 12 = 0 2
1 4
9 + 54λ + 81λ 2 + 9 + 18λ + 9λ 2 − 12 = 0 90λ 2 + 72λ + 6 = 0 :6 15λ 2 + 12λ + 1 = Maka λ = −0,0944 atau λ = −0,7055 Untuk λ = −0,0944 maka
M ( − 12 ( 6 + 18λ ) ,− 12 ( − 6 + 6λ ) ,0) M ( 2,15;3,28;0)
Untuk λ = −0,7055 maka
M ( − 12 ( 6 + 18λ ) ,− 12 ( − 6 + 6λ ) ,0) M ( 3,3495;5,1165;0)
2
2
