Kompleksni brojevi
Imaginarni brojevi prvi put su se pojavili u 16. stoljeću vezano za problem rješavanja kubne jednadžbe. Njihova upotreba raširila se tokom 19. stoljeća, kad su se pojavile i prve primjene. Najpozn Najpoznati atije je primje primjene ne vezane vezane su za teorij teorijuu elektr elektrici icitet tetaa i magnet magnetizm izmaa (koju (koju bitno bitno pojednostavljuju) te za kvantnu teoriju. Kao motivacija za uvođenje imaginarnih brojeva obično se uzimaju kvadratne jednadžbe s realnim koefcijentima. Poznato je da ako je diskriminanta D = b 2 - 4ac kvadratne jednadžbe jednadžbe ax2+bx+c = 0 negativna, ta jednadžba jednadžba nema realnih realnih rješenja. rješenja. Osnovni primjer takve jednadžbe je x + 1 = 0: Po dogovoru, ta jednadžba (iako nema realnih rješenja jer bi to bio realan x koji kvadriran daje negativan broj -1) ima dva rješenja u kompleksnim brojevima. To su1 i i -i tj. Oba broja (i i -i) su rješenja kvadratne jednadžbe x2 +1 = 0 (kao što su 1 i -1 rješenja kvadratne jednadžbe x2-1 = 0). Broj i zove zove se imagin imaginarn arnaa jedini jedinica. ca. Dakle, Dakle, defnici defnicija ja imaginarne jedinice je da je to jedan od dva moguća broja koji kvadrirani daju 1: i = -1: Isto svojstvo ima i -i: (-i) = (-i)(-i) = (-1) i = 1 f (-1) = -1. Kompleksni brojevi se defniraju kao sve linearne kombinacije (s realnim koefcijentima) brojeva 1 i i tj. kompleksni brojevi su brojevi oblika z = x + yi s x; y 2 R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni dio kompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnog broja su realni brojevi). Skup svih kompleksnih brojeva označavamo s C. Skup R je podskup od C jer svaki realni broj x možemo shvatiti kao kompleksni broj x + 0 f 1. Brojeve kojima je realni dio nula zovemo čisto imaginarnima. defniciju dimenzije dimenzije vektorskog prostora: prostora: Po defniciji C Napomena Napomena 1. Za one koji znaju defniciju je dvodimenzionalni vektorski prostor (nad realnim brojevima). Kako mu bazu čine 1 te i, možemo ga interpretirati kao i svaki drugi realni dvodimenzionalni vektorski prostor: pomoću koordinatnog sustava u ravnini. 2
2
2
2 2
2
1
Oznaka i za imaginarnu jedinicu potječe iz 18. stoljeća, kad ju je uveo švicarski matematičar matematičar L. Euler.
2
Linearne kombinacije su izrazi oblika fx + fy + : : :, gdje su f; f; : : : skalari, a x; y; : : : vektori. U ovom
1
1. Komp Komple leks ksna na ravni ravnina na Početkom 19. stoljeća Argand i Gauss uveli su način vizualizacije kompleksnih brojeva. Svaki kompleksan broj z = x + yi možemo poistovjetiti s točkom (x; y) u koordinatnoj ravnini (I obrnuto: svakoj točki odgovara kompleksan broj), uz uobičajeni Cartesiusov koordinatni sustav. Pritom uzimamo da apscise predstavljaju realne, a ordinate imaginarne dijelove pa se koordinatne osi u ovom slučaju zovu realna i imaginarna os. Na realnoj osi tada se nalaze svi realni brojevi (oni kojima je imaginarni dio 0), a na imaginarnoj svi čisto imaginarni (oni kojima je realni dio 0). Prikaz kompleksne ravnine vidljiv je na slici3 1.
Slika 1: Kompleksna ravnina.
3
Slike ovog poglavlja preuzete su s web-stranice http://www.clarku.edu/ http://www.clarku.edu/f djoyce/complex/ djoyce/complex/
2
2. Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Dva kompleksna broja zbrajamo (oduzimamo) tako da im zbrojimo (oduzmemo) realne odnosno imaginarne dijelove:
Primjer 1
(3 + i) + (2i - 1) = 2 + 3i: Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva imaju sva uobičajena svojstva (komutativnost, asocijativnost, broj nula kao neutralni element, . . . ) tih operacija. U kompleksnoj ravnini zbroj odnosno razlika dva kompleksna broja z i z0 nalazi se na kraju radij-vektora koji se dobije zbrajanjem odnosno oduzimanjem radij-vektora koji pripadaju z i z0: zbrajanje i oduzimanje geometrijski se interpretiraju kao zbrajanje i oduzimanje radij-vektora u kompleksnoj ravnini. Pribrajanje istog broja svim kompleksnim brojevima možemo shvatiti kao translaciju ravnine (vidi sliku 3). Suprotni broj od x+yi je -x-yi. Određivanje suprotnog broja u tom je kontekstu centralna simetrija (inverzija) obzirom na ishodište (vidi sliku 4).
Slika 2: Zbrajanje kompleksnih brojeva.
3
Slika 3: Pribrajanje kompleksnog broja kao translacija ravnine.
Slika 4: Suprotni broj kao centralna simetrija.
4
3. Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + iy defnira se kao (biramo pozitivni kvadratni korijen). Geometrijski gledano, to je udaljenost točke koja predstavlja z do ishodišta (slika 5).
Slika 5: Apsolutna vrijednost kompleksnog broja. Primjer 2
Ako je z = 3 + 4i, onda je
. Kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1 nalaze se na jediničnoj kružnici oko ishodišta.
5
Preciznije, u kompleksnoj ravnini jedinična kružnica oko ishodišta ima jednadžbu Za zbrajanje kompleksnih brojeva vrijedi tzv. nejednakost trokuta:
Nju se lako dokaže pomoću slike 6. Svakom kompleksnom broju pridružen je njegov kompleksno konjugirani broj
(promijeni se predznak imaginarnog dijela).
Slika 6: Nejednakost trokuta. Primjer 3
Ako je z = 5 - 9i, onda je z = 5 + 9i. U kompleksnoj ravnini kompleksno konjugirani broj od z je njegova zrcalnosimetrična slika obzirom na realnu os (vidi sliku 7). Vrijedi z = z:
6
4. Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva
Množenje dva kompleksna broja defnirano je formom
Primjer 4
Vrijedi sljedeća korisna jednakost:
Dokažimo ju. Ako je onda je
Primjer 5
Kako je -1 = i , dijeljenjem s -i dobivamo 2
Recipročni broj broja z je broj
Točka koja predstavlja 1/z nalazi se na spojnici ishodišta i z, kako je vidljivo na slici 7.
7
Slika 7: Kompleksno konjugiranje i recipročni brojevi.
Primjer 6 Za z = 3 - 4 i imamo
: Dijeljenje je defnirano kao množenje recipročnim brojem:
8
Primjer 7
5. Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja
Argument kompleksnog broja z je kut ө takav da je tg ө = y/x , radi se o kutu koji radijvektor od z zatvara s realnom osi. Primjer 8
Argument svakog pozitivnog realnog broja je 0, a argument svakog čisto imaginarnog broja s pozitivnim imaginarnim dijelom (npr. broja i) je Kako je svaka točka u ravnini potpuno odre.ena svojim polarnim koordinatama, a iz gornjeg se vidi da su polarne koordinate broja z, slijedi da je prikazu z = x + yi (koji odgovara Kartezijevom koordinatnom sustavu) ekvivalentan prikaz Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Primjer 9
Trigonometrijski prikaz bitno olakšava množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva. Korištenjem adicionih formula za sinus i kosinus lako je provjeriti da vrijedi za
9
Slika 8: Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja.
Slika 9: Množenje kompleksnih brojeva.
10
Iz posljednje formule se vidi da je argument recipročnog broja 1=z suprotan argumentu odz, kao što je i argument od z. To je objašnjenje već prikazane slike 7. Primjer 10
Sad se vidi da se množenje geometrijski gledano svodi na kombinaciju rotacije i množenja apsolutnih vrijednosti kompleksnih brojeva: radij-vektor koji predstavlja produkt je po smjeru zarotirani radij vektor jednog broja za kut jednak argumentu drugog, a po duljina je jednak produktu apsolutnih vrijednosti množenih brojeva. Specijalno, množenje kompleksnog broja nekim brojem kojem je apsolutna vrijednost jednaka 1 interpretira se kao rotacija za argument tog drugog broja.
11
Slika 10: Množenje s i je rotacija za pravi kut.
6. Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva
Promotrimo prvo potencije broja i. Imamo:
Dakle, potenciranje broja i na višekratnik od 4 daje 1 i potencije se ciklički ponavljaju nakon svakog višekratnika od 4. Nadalje, potencije od i nalaze se na jediničnoj kružnici kao vrhovi kvadrata. Za potenciranje kompleksnih brojeva na prirodne potencije se koristi de Moivre-ova formula
Primjer 11
12
Slika 12: Potencije kompleksnog broja (kojem je apsolutna vrijednost manja od 1). Potencije od z se prema toj formuli dobivaju redom tako da argument povećavamo za argument od z i istovremeno potenciramo apsolutnu vrijednost, što je ilustrirano slikom 12. Korjenovanje je kompliciranije jer svaki kompleksan broj z ima n n-tih korijena (tj. Kompleksnih brojeva w takvih da je wn = z ima n). Geometrijski ti se korijeni nalaze u vrhovima pravilnog n-terokuta na kružnici radijusa n pjzj (tu gledamo korijen u smislu njegovog značenja u realnim brojevima) kojoj je središte u ishodištu, s tim da prvi od njih ima argument f Svi n-ti korijeni dobiju se kao
Primjer 12
Četvrti korijeni iz 1 imaju apsolutnu vrijednost
, a prvi po redu ima
argument Svaki sljedeći ima argument veći za te su treći korijeni od i redom 1; i;-1;-i.
13
Primjer 13 Treći korijeni iz i imaju apsolutnu
argument
vrijednost
, a prvi po redu ima
Svaki sljedeći ima argument veći za te su četvrti korijeni od i redom
7. Eulerova formula
Eulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikaza kompleksnih brojeva: Stoga je
Eksponencijalna funkcija u Eulerovoj formuli je eksponencijalna funkcija s bazom e proširena na kompleksne brojeve; ona ima mnoga specijalna svojstva, no osnovne formule za baratanje eksponencijalnim izrazima i dalje vrijede. Specijalno, imamo
Iz Eulerove formule dobiju se još preglednija pravila računa s kompleksnim brojevima:
14
Zbrojimo li i oduzmemo
dobit ćemo i iduće dvije važne formule:
Primjer 14
Tj ii je realan broj!
15
8. Zašto su uvedeni kompleksni brojevi Uobičajeno je mišljenje da su kompleksni brojevi uvedeni u matematiku da bi svaka kvadratna jednadžba imala rješenje (na primjer, jednadžba x + 1 = 0 nema realnih rješenja, a nakon uvođenja kompleksnih brojeva ima dva rješenja: i i -i). To se kasnije podupire još jačim argumentom da svaka algebarska jednadžba stupnja n ima točno n rješenja (uključujući kratnost). Na primjer, jednadžba 2
x4 - 2 x3 + 2 x2 - 2 x + 1 = 0
ima točno četiri rješenja: dvostruko rješenje 1 i jednostruka rješenja i, -i. To se obrazlaže rastavom na faktore: x4 - 2 x3 + 2 x2 - 2 x + 1 = ( x - 1)2 ( x2 + 1)
za svaki realni (odnosno kompleksni) broj x, odnosno rastavom x4 - 2 x3 + 2 x2 - 2 x + 1 = ( x - 1)2 ( x - i) ( x + i).
Ponekad se uvođenje kompleksnih brojeva obrazlaže Bézoutovim poučkom: Dvije algebarske krivulje reda m, odnosno n, sijeku se u točno mn točaka (računajući kratnosti i točke u beskonačnosti).
Takav poučak ne bi vrijedio bez kompleksnih brojeva. Na primjer, pravac ne bi sjekao koniku u točno dvjema točkama i općenito krivulju reda n u n točaka. Na primjer, pravac s jednadžbom y = x + 2 ne siječe kružnicu s jednadžbom x + y = 1 (ako se razmatraju samo realne točke), međutim, siječe je u točkama 2
2
(-1 - √2 / 2 i, 1 - √2 / 2 i) i (-1 + √2 / 2 i, 1 + √2 / 2 i). Svi ovi (i neki drugi) razlozi matematičarima su dobar povod za uvođenje korijena od negativnih brojeva, a time i kompleksnih brojeva. Međutim, ni u jednome od njih kompleksni brojevi nisu bili nužni. U vrijeme uvođenja kompleksnih brojeva u matematiku (u 16. stoljeću) kvadratna je jednadžba bila poznata više od 3000 godina. Stari su je matematičari već rješavali i znali su da može imati dva, jedno ili nijedno rješenje i to im je bilo dovoljno. Također se naslućivalo da algebarska jednadžba stupnja n ima najviše n rješenja (tu se misli samo na jednadžbu s realnim koeficijentima i samo na realna rješenja jer za druge nisu ni znali). Razlogom za uvođenje kompleksnih brojeva mogao je biti samo matematički problem u kojemu se kompleksni brojevi nisu mogli zaobići, a takav se problem pojavio pri rješavanju kubne jednadžbe. O čemu je riječ ukratko ćemo govoriti u nastavku. Kako je poznato, svaka je kubna jednadžba ekvivalentna jednadžbi oblika
16
x3 + ax2 + bx + c = 0
gdje su a,b,c realni brojevi (danas to mogu biti i kompleksni brojevi ili elementi nekog polja). S takvim su jednadžbama matematičari imali poteškoća više od 3000 godina dok ih u prvom dijelu 16. stoljeća nisu uspjeli "ukrotiti". Neke je od tih jednadžbi lako riješiti; primjerice jednadžba x - x = 0 ima rješenja 0, 1, -1. Slično je za svaku kubnu jednadžbu s racionalnim koeficijentima (tj. jednadžbu za koju je a, b, c ), koja ima bar jedno racionalno rješenje. Naime, kod takvih jednadžbi u pravilu je lako naći racionalno rješenje r = p / q; p,q . Nakon što jednadžbu pomnožimo sa zajedničkim višekratnikom svih koeficijenata, p mora dijeliti slobodni, a q vodeći koeficijent jednadžbe. Kako ima konačno takvih mogućnosti, načelno možemo doći i do one povoljne. Kad znademo racionalno rješenje r , onda dijeljenjem možemo doći do rastava: 3
x3 + ax2 + bx + c = ( x - r ) ( x2 + a'x + b' )
pa se preostala rješenja početne kubne jednadžbe dobiju rješavanjem kvadratne jednadžbe x + a'x + b' = 0. Takve se kubne jednadžbe često pojavljuju u srednjoškolskim zadatcima, a i na sveučilištu. Međutim, što je s jednadžbom 2
x3 - 6 x + 2 = 0 ?
Pokušajte je riješiti! O toj ćemo jednadžbi više reći poslije, a sada se poslužimo sličnim argumentima kao i za kubne jednadžbe s racionalnim koeficijentima i s barem jednim racionalnim rješenjem kako bismo zaključili da svaka kubna jednadžba s realnim koeficijentima ima barem jedno realno rješenje (ukupno 3 kompleksna rješenja, uključujući kratnosti). Izraz x + ax + bx + c za dovoljno je velike pozitivne x-eve pozitivan, a za dovoljno male negativne x-eve negativan, pa je za neki x jednak nuli. Zaključujemo da jednadžba x + ax + bx + c = 0 ima bar jedno realno rješenje r . Sada je 3
2
3
2
x3 + ax2 + bx + c = ( x - r ) ( x2 + a'x + b' )
pa mogu nastupiti sljedeće mogućnosti: (i) jednadžba ima 3 realna različita rješenja, (ii) jednadžba ima 1 realno jednostruko i 1 realno dvostruko rješenje, (iii) jednadžba ima 1 realno trostruko rješenje, (iv) jednadžba ima jedno realno i dva konjugirano kompleksna rješenja. U doba otkrivanja formula za rješenje kubne jednadžbe nije bilo kompleksnih brojeva pa su (iv) ondašnji matematičari shvatili kao (iv)' jednadžba ima 1 rješenje.
17
9. Formula za rješenje kubne jednadžbe
Dovoljno je razmatrati jednadžbu x + px + q = 0, gdje su p, q realni brojevi (to se dobije zamjenom x - a/3 x). Ako napišemo x = u + v, uz uvjet uv = - p/3, dolazimo do sustava u + v = -q, u v = - p /27, odakle je 3
3 3
3
3
3
x = 3√ -q/2 + √(q2/4 + p3/27) + 3√ -q/2 - √(q2/4 + p3/27)
(to je prikaz rješenja x u obliku u + v). Ta se formula zove Cardanova formula (prema talijanskom matematičaru koji je tu formulu objavio 1545. g. u djelu Artis Magnae). Pogledajmo kako su se matematičari u početku koristili tom formulom. Primjer 1:
x3 + 3 x + 2 = 0, p = 3, q = 2.
x = 3√ -1 + √2 + 3√ -1 - √2 = 3√ -1 + √2 - 3√ 1 + √2.
Tada su matematičari znali samo za realne brojeve i tu nije bilo problema: u = 3√ -1 + √2, v = - 3√ 1 + √2, uv = 3√ -1
+ √2 (- √ -1 + √2 ) = - √-1 = -1 3
3
(naime, √ je za njih jednoznačna neparna funkcija definirana za sve realne brojeve, a √ je definiran za nenegativne realne brojeve). Tako je dobiveno jedinstveno rješenje početne jednadžbe. To se može i provjeriti. Ta jednadžba ima i dva kompleksno-konjugirana rješenja, međutim, matematičari 16. st. o tome na početku nisu vodili računa, niti im je, u ovom slučaju, to bilo potrebno. 3
Primjer 2:
x3 - 3 x = 0.
Za tu jednadžbu ne treba formula. Odmah se vidi da su rješenja x = 0, x = Pokušajmo ipak primijeniti formulu. Tu je p = -3, q = 0, pa je 1
x = 3√√-1 + 3√-√-1.
2,3
√3.
(*)
Vidimo da nas Cardanova formula, u ovom jednostavnom slučaju, dovodi do teških problema - drugih korijena iz negativnih brojeva. To je navelo matematičare 16. st. da se
18
pozabave i takvim matematičkim objektima. Ako su ovakav slučaj mogli i zanemariti (jer već znaju rješenja: 0, √3, -√3), neke su im jednadžbe stvarale još veće poteškoće. Primjer 3:
x3 - 6 x + 2 = 0.
Lako se vidi da ta jednadžba nema racionalnih rješenja. Cardanova formula daje sljedeći izraz: x = 3√ -1 + √-7 + 3√ -1 - √-7.
(**)
Sljedeća tablica govori nam da bi ta jednadžba trebala imati tri realna rješenja: x -3 -2 -1 0 1 2 3 -7 6 7 2 -3 -2 11 x -6 x+2 3
Zaključujemo da je -3 < x < -2; 0 < x < 1; 2 < x < 3. 1
2
3
Za razliku od prethodnog primjera, matematičari 16. st. u početku nisu uspjeli doći do tih realnih brojeva, nego su samo imali izraz (**) u kojemu su morali vaditi korijene iz negativnih brojeva. Pred njima su se pojavila sljedeća pitanja: 1. Kako iz izraza (*) i (**) rekonstruirati 3 realna rješenja jednadžbe? 2. Kako treba na takvim izrazima izvesti operacije da bismo mogli računati uvjet uv = - p/3 ? 3. Mogu li se u (**) i sličnim izrazima rješenja pripadajuće kubne jednadžbe zapisati bez korijena iz negativnih brojeva? Za odgovor na ta pitanja bilo je potrebno uvesti kompleksne brojeve i operacije s njima. Sustavna teorija kompleksnih brojeva prvi se put pojavila 1572. g. u Algebri talijanskog matematičara Raffaela Bombellia . Izrazi (*) i (**) zaista se mogu protumačiti tako da daju rješenje kubne jednadžbe. Kao što znate, kompleksni brojevi jesu brojevi oblika a + , dok je imaginarna jedinica i izabrana tako da bude i = i i = -1, tj. da bude bi, a,b rješenje jednadžbe x = -1. Tada se izraz (*) može zapisati kao 2
2
x = 3√i + 3√-i.
(*)'
Dakle, umjesto √-1 možemo staviti i. Budući da je -i također rješenje jednadžbe x = -1, umjesto √-1 mogli smo staviti -i. U (*) ništa se ne bi promijenilo ( √i prešao bi u √-i, a √i u √i; zbroj bi ostao isti). 2
3
3
3
3
Izraz √i ima tri vrijednosti: z = √3/2 + 1/2 i, z = - √3/2 + 1/2 i, z = -i. Naime, ta su tri broja rješenja kubne jednadžbe z = i (provjerite). 3
1
2
3
3
19
Slično tome, izraz √-i ima tri vrijednosti: w = i, w = - √3/2 - 1/2 i, w = √3/2 - 1/2 i. 3
1
2
3
20
Od 9 mogućih izbora z , w ; i = 1,2,3 dobije se 9 mogućih vrijednosti izraza (*)'. Treba odabrati one za koje je uv = - p/3 = 1, tj. √i √-i = 1. i
i
3
3
Napomenimo da, iako kompleksni brojevi imaju svojstva analogna realnim brojevima, ima i nekih razlika. Osim one da se na kompleksne brojeve ne može proširiti relacija uređaja s (tako da vrijede aksiomi uređenog polja), važna je razlika i u formulama √ab = √ a √b; √ab = √a √b i sl. Naime, one se ne mogu doslovno primijeniti na kompleksne brojeve. Na primjer, kad bi bilo √(-1)(-1) = √-1 √-1, bilo bi √1 = i i, tj. 1 = -1 (Vidi: I.Gusić, Korjenovanje kompleksnih brojeva, Zbornik radova 1. kongresa matematike RH, 2000., 108-111). To se razrješava tako da bude √1 = {-1, 1}, √-1 = {i, -i}, dakle, skupovima brojeva. Prema tome, ako se radi s kompleksnim brojevima, √ nije jednoznačna funkcija nego ima dvije vrijednosti (izuzimajući činjenicu da je √0 = 0). Tada će zaista biti √(-1)(-1) = √-1 √-1 (na desnoj strani riječ je o umnošku skupova). Slično je √ z za z 0 tročlan skup itd. 3
3
3
3
Vratimo se skupovima √i i √-i i uočimo da je z w = z w = z w = 1 (a da su ostali međusobni umnošci različiti od 1). Zato izraz x = √i + √-i, uz uvjet √i √-i = 1, ima tri vrijednosti: x = z + w = √3; x = z + w = - √3; x = z + w = 0. Upravo su to rješenja početne kubne jednadžbe x -3 x = 0. Dakle, uz pravilno uvođenje kompleksnih korijena, formula x = √i + √-i može se protumačiti kao formula koja daje rješenja kubne jednadžbe x - 3 x = 0. 3
3
1
3
1
1
3
2
2
2
3
2
2
3
3
3
3
1
3
3
1
3
3
3
3
21
Nekima niti to ne bi bio dovoljan razlog za uvođenje kompleksnih brojeva jer već znamo rješenje te jednadžbe. Razmotrimo zato jednadžbu x - 6 x + 2 = 0, tj. izraz (**) x = √ -1 + √-7 + √ -1 - √-7. Taj izraz možemo pisati kao 3
3
3
x = 3√ -1 + i √7 + 3√ -1 - i √7,
(**)'
gdje je umnožak pribrojnika jednak 2. Pritom treba imati na umu sljedeće: (i) √7 je u (**)' običan realni drugi korijen iz 7, tj. pozitivan broj čiji je kvadrat jednak 7. (ii) √ u oba pribrojnika ima tri vrijednosti, ali ćemo za svaku odabranu vrijednost √ -1 + i √7 imati točno jednu vrijednost od √ -1 - i √7 za koju će umnožak pribrojnika biti jednak 2. Da bi to pokazali, matematičari 16. st. poslužili su se nečim što danas zovemo trigonometrijskim prikazom broja. Neka je z = -1 + √7 i; w = -1 -√7 i. Tada je z = 2√2 (cos + i sin ), gdje je argument broja z . 3
3
3
Sada je √ -1 + i √7 = { z , z , z }, z = √2 (cos ( /3) + i sin ( /3)), z = √2 (cos ( /3 + 120o) + i sin ( /3 + 120o)), z = √2 (cos ( /3 + 240o) + i sin ( /3 + 240o)). 3
1
2
3
1 2 3
22
Slično je √ -1 + i √7 = {w , w , w }, w = √2 (cos (120o - /3) + i sin (120o - /3)), w = √2 (cos (240o - /3) + i sin (240o - /3)), w = √2 (cos (360o - /3) + i sin (360o - /3)). 3
1
2
3
1 2 3
Vidimo da je z w = z w = z w = 2. Naime, 1
3
2
2
3
1
360o - ( /3 + 120o) = 240o - /3, 360o - ( /3 + 240o) = 120o - /3. Zato su rješenja jednadžbe x -6 x + 2 = 0 realni brojevi: x = z + w = 2√2 cos ( /3); 3
1
1
3
23
x2 = z 2 + w2 =
2√2 cos ( /3 + 120o); x = z + w = 2√2 cos ( /3 + 240o). 3
3
1
To su tri realna broja dobivena iz Cardanove formule pravilnom uporabom kompleksnih brojeva. Bez kompleksnih brojeva bilo bi gotovo nemoguće doći do tih rješenja. U tim rješenjima pojavljuje se kut koji se može eliminirati ovako: = 180o - arctg(√7) (naime, tg(180o - ) = √7). Sada je x1 =
2√2 cos ( /3) = 2√2 cos (60o - arctg(√7) / 3) = 2√2 (1/2 cos (arctg(√7) / 3) + √3/2 sin (arctg(√7) / 3)), itd. Slično bi se dobilo za svaku kubnu jednadžbu x + px + q = 0, koja ima tri različita realna rješenja (odnosno za koju je D = q / 4 + p /27 < 0). Naime, za z = -q/2 + √ D i, r = |z |, = arg( z ) dobili bismo da je 3
2
3
x1 = 3√r cos (
/3); x = √r cos ( /3 + 120o); x = √r cos ( /3 + 240o). 2 3
3 3
Eliminacijom kuta ( = arctg(2√ D/(-q)) za q < 0, = arctg(2√ D/q) za q > 0 i = 90o za q = 0) dobili bismo da je x1 = 2 3√r cos (arctg(2√ D/(-q)) / 3),
itd. Vidimo da se rješenja mogu dobiti u ovisnosti o koeficijentima p,q jednadžbe, međutim u rješenjima sudjeluju transcendentne funkcije kosinus, sinus, arkus-tangens. Pitamo se mogu li se rješenja zapisati bez takvih funkcija, a i bez kompleksnih brojeva (kad su već realna)? Na primjer, mogu li se rješenja jednadžbe x - 6 x + 2 = 0 zapisati samo pomoću korijena iz pozitivnih brojeva? Taj slučaj kubne jednadžbe, koji je najviše mučio matematičare 16. st., a i one kasnije, nazvan je nesvodljivim slučajem kubne jednadžbe. Kako smo vidjeli, zbog njega su uvedeni kompleksni brojevi i trigonometrijski prikaz. Tek je metodama Galoisove teorije iz 19. st. dan odgovor na gore postavljeno pitanje. Evo jedne varijante odgovora: 3
Neka je x + px + q = 0; p,q kubna jednadžba za koju je D < 0, koja nema racionalnog rješenja. Tada se rješenja te jednadžbe ne mogu zapisati pomoću realnih radikala (drugih, trećih ili nekih drugih korijena iz pozitivnih racionalnih brojeva). 3
24
LITERATURA
1. Ćurić,M.-Mintaković, Z. (1978),Osnove matematike. Zagreb: Školska knjiga 2. Gusić, I. Zašto su uvedeni kompleksni brojevi, Hrvatski matematicki elektronski casopis math.e 3. Kurepa, S. (1994), Uvod u matematiku. Zagreb: Školska knjiga 4. Pavković ,V-Veljan, D. (1995), Elementarna matematika 1. Zagreb: Školska knjiga. 5. Radić, M. (1989), Algebra 1. Zagreb: Školska knjiga.
25
