PERTIDAKSAMAAN AM-GM DAN CHAUCHY SCHWARZ Oleh: Arini Soesatyo Putri Email:
[email protected]
Sebelum melihat pertidaksamaan AM-GM, kita akan melihat suatu pertidaksamaan yang paling mendasar. Kita mengetahui bahwa setiap bilangan real yang dikuadratkan hasilnya akan selalu non negatif, artinya jika 𝑥 bilangan real, maka: 𝑥 2 ≥ 0 , kesamaan akan berlaku jika dan hanya jika 𝑥 = 0. Fakta inilah yang melandasi munculnya pertidaksamaan AM-GM. Pertidaksamaan AM-GM merupakan suatu pertidaksamaan yang paling sering digunakan dalam menyelesaikan berbagai masalah olimpiade. Singkatan AM berasal dari Arithmetic Mean, yaitu Rata-Rata Aritmatika, dan GM berasal dari Geometric Mean, yaitu Rata-Rata Geometri. Rata-rata Aritmatika dari dua bilangan a dan b adalah
a+b 2
, sedangkan rata-rata
geometri adalah √ab . Adapun hubungan dari dua jenis rata-rata ini dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan berikut: Pertidaksamaan AM-GM untuk Dua Variabel Untuk setiap bilangan real positif a dan b berlaku
a+b 2
≥ √ab. Kesamaan ini berlaku jika dan
hanya jika 𝑎 = 𝑏. Pertidaksamaan ini sangat mudah dibuktikan, kita misalkan 𝑥 = √a − √b maka 𝑥2 ≥ 0 (√𝑎 − √𝑏)² ≥ 0 𝑎 − 2√𝑎𝑏 + 𝑏 ≥ 0 𝑎 + 𝑏 ≥ 2√𝑎𝑏 𝑎+𝑏 ≥ √𝑎𝑏 . ∎ 2 Pertidaksamaan AM-GM dan Digit Terakhir Suatu Perpangkatan | 7
Contoh 1. Buktikan bahwa jika 𝑝 bilangan real positif, maka berlaku: 𝑝 + Pembahasan.
1 𝑝
≥ 2.
Menurut pertidaksamaan dasar 𝑥 2 ≥ 0, kita misalkan 𝑥 = √p −
1 √p
,
sehingga: 1
(√𝑝 −
√𝑝
1 ≥ 0 𝑝
𝑃– 2 +
𝑝 +
)² ≥ 0
1 ≥ 2 .∎ 𝑝
Terbukti. Adapun cara kedua dengan menggunakan pertidaksamaan AM-GM, kita misalkan 𝑎 = √𝑝 dan 𝑏 =
1 √𝑝
, sehingga: √𝑝 +
1 √𝑝
2
(√𝑝 +
√𝑝 +
≥ √√𝑝
1 √𝑝
1 √𝑝
) ≥ 2√1
1 √𝑝
≥ 2 .∎
Contoh 2. Buktikan bahwa untuk sektiap bilangan real 𝑎, 𝑏, 𝑐 berlaku: 𝑎² + 𝑏² + 𝑐² ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 Pembahasan. Menurut pertidaksamaan dasar kita memperoleh: (𝑎 − 𝑏)² ≥ 0 (𝑏 − 𝑐)² ≥ 0 (𝑐 − 𝑎)² ≥ 0 Dengan menjumlahkan ketiga persamaan, diperoleh: Pertidaksamaan AM-GM dan Digit Terakhir Suatu Perpangkatan | 7
(𝑎 − 𝑏)² + (𝑏 − 𝑐)² + (𝑐 − 𝑎)² ≥ 0 Selanjutnya jika dijabarkan maka menjadi 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² + 𝑏² − 2𝑏𝑐 + 𝑐² + 𝑐² − 2𝑐𝑎 + 𝑎² ≥ 0 2𝑎² + 2𝑏² + 2𝑐² ≥ 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑎 𝑎² + 𝑏² + 𝑐² ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎. ∎ Terbukti. Adapun cara kedua dengan menggunakan pertidaksamaan AM-GM, kita memperoleh: 𝑎2 + 𝑏 2 ≥ √𝑎²𝑏² 2 𝑏2 + 𝑐 2 ≥ √𝑏²𝑐² 2 𝑐 2 + 𝑎2 ≥ √𝑐²𝑎² 2 Selanjutnya jumlahkan ketiga pertidaksamaan tersebut, kemudian akan didapat 𝑎² + 𝑏² + 𝑐² ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎. ∎ Terbukti. Ketaksamaan Chauchy Schwarz Ketaksamaan Chauchy-Schwarz merupakan salah satu pertidaksamaan yang terkenal dalam penyelesaian soal-soal kompetisi matematika. Bersama AM-GM, keduanya menjadi senjata untuk berkompetisi dalam olimpiade bidang matematika. Berikut teoremanya: Teorema 1 (Ketaksamaan Chauchy Schwarz). Misalkan 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 dan 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 merupakan bilangan-bilangan real, maka berlaku (𝑎1 2 + 𝑎2 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 2 )(𝑏1 2 + 𝑏2 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 2 ) ≥ (𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 )2 𝑎
𝑎
𝑎
Kesamaan terjadi jika dan hanya jika 𝑏 1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 . 1
2
𝑛
Untuk lebih memahami aplikasi dari Teorema tersebut kita perhatikan contoh berikut ini: Pertidaksamaan AM-GM dan Digit Terakhir Suatu Perpangkatan | 7
Contoh 3. Tunjukkan untuk setiap bilangan real positif 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 berlaku 1 1 4 16 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) ( + + + ) ≥ 64 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1
1
4
Pembahasan. Kita tulis bentuk (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 +
16
12
) menjadi ( 𝑎 + 𝑑
12 𝑏
+
22 𝑐
42
+ 𝑑 ). Berdasarkan
Teorema Chauchy Schwarz jadi kita punya (1 + 1 + 2 + 4)2 12 12 22 42 ( + + + )≥ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 12 12 22 42 82 ( + + + )≥ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 12 12 22 42 64 ( + + + )≥ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 12 12 22 42 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) ( + + + ) ≥ 64. ∎ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Terbukti.
Pertidaksamaan AM-GM dan Digit Terakhir Suatu Perpangkatan | 7
MENENTUKAN DIGIT TERAKHIR DARI HASIL SUATU PERPANGKATAN Oleh: Arini Soesatyo Putri Email:
[email protected]
Kita akan mencoba untuk menentukan digit (angka) terakhir dari hasil suatu perpangkatan, yang tentunya kita tidak perlu menghitung hasil dari perpangkatan tersebut untuk menentukan digit terakhirnya. Disini saya akan membahas cara menentukan digit terakhir menggunakan Teorema Binomial. Sebelumnya kita perhatikan contoh berikut : Contoh 1. Tentukanlah digit terakhir pada hasil dari 299 . Pembahasan. Kita dapat mengawali dengan mengumpulkan data, hal yang membuat kita rumit adalah bilangan 99. kita akan ganti bilangan tersebut sehingga diperoleh : Bilangan
Digit Satuan (Digit Terakhir)
21
2
22
4
23
8
24
6
25
2
26
4
27
8
28
6
29
2
210
4
Kita perhatikan pola dari digit terakhir bilangan tersebut, setiap 4 digit pertama memiliki pola 2,4,8,6,2,4,8,6,2,4,8,6 dan seterusnya. Sehingga kita dapat menyimpulkan: 1. Jika 𝑛 bersisa 1 bila dibagi 4, maka digit satuan dari 2𝑛 adalah 2 2. Jika 𝑛 bersisa 2 bila dibagi 4, maka digit satuan dari 2𝑛 adalah 4 Pertidaksamaan AM-GM dan Digit Terakhir Suatu Perpangkatan | 7
3. Jika 𝑛 bersisa 3 bila dibagi 4, maka digit satuan dari 2𝑛 adalah 8 4. Jika 𝑛 habis dibagi 4, maka digit satuan dari 2𝑛 adalah 6. Di sini kita memiliki 𝑛 = 99, maka 99 dibagi 4 akan bersisa 3, sehingga digit satuan atau digit terakhir dari 299 adalah 8. Dugaan ini dapat kita buktikan dengan memperhatikan bahwa 299 = 2(4.24+3) = (24 )24 23 = 1624 . 8 dan kita tahu bahwa digit terakhir dari perpangkatan 16 akan selalu bernilai 6. Jadi digit terakhir 299 akan sama dengan digit terakhir dari 6.8, yaitu 8. Dari contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa cara atau teknik dasar menentukan digit terakhir dari hasil suatu perpangkatan adalah dengan mengubah bentuknya menjadi bentuk yang memuat perpangkatan yang tidak mengubah digit terakhir, seperti 1, 5, 6, sebab bilangan yang berakhiran 1, 5, atau 6 bila dipangkatkan berapapun hasilnya pasti tetap berakhiran 1,5, atau 6. Contoh 2. Digit terakhir dari 357 adalah? Pembahasan. Diketahui 357 = 3(4.14+1) = (34 )14 . 31 = 8114 . 3. Maka digit terakhir hasil dari 357 sama dengan digit terakhir dari 1. 3, yaitu 3. Atau dengan cara lain kita kumpulkan data (sama seperti di atas), perhatikan tabel berikut Bilangan
Digit Terakhir
31
3
32
9
33
7
34
1
35
3
36
9
37
7
38
1
Pertidaksamaan AM-GM dan Digit Terakhir Suatu Perpangkatan | 7
Terlihat bahwa digit terakhir dari hasil perpangkatan tersebut berpola 3,9,7,1,3,9,7,1 dst. Dapat disimpulkan: 1. Jika 𝑛 bersisa 1 bila dibagi 4, maka digit terakhirnya adalah 3 2. Jika 𝑛 bersisa 2 bila dibagi 4, maka digit terakhirnya adalah 9 3. Jika 𝑛 bersisa 3 bila dibagi 4, maka digit terakhirnya adalah 7 4. Jika 𝑛 habis dibagi 4, maka digit terakhirnya adalah 1. Kita memiliki 𝑛 = 57, sehingga 57 dibagi 4 akan bersisa 1. Maka digit terakhirnya adalah 3. Adapun cara lain untuk menentukan digit terakhir dari hasil perpangkatan, yakni dengan Teorema Binomial. (Cara sebelumnya menggunakan sisa hasil bagi atau Modulo). Rumus untuk Teorema Binomial adalah 𝑛
𝑛 (𝑥 + 𝑦) = ∑ ( 𝑗 ) 𝑥 𝑛−𝑗 𝑦 𝑗 𝑛
𝑗=0
𝑛 𝑛 𝑛! dimana ( 𝑗 ) adalah rumus kombinasi ( 𝑗 ) = 𝑗!(𝑛−𝑗)!. Contoh 3. Tentukanlah dua digit terakhir dari hasil perpangkatan 9145 . Pembahasan. Kita dapat merubah bentuk 9145 menjadi (90 + 1)45, sehingga: 45
45 45 45 45 (90 + 1)45 = ∑ ( ) 9045−𝑗 1𝑗 = ( ) 9045 10 + ( ) 9045−1 11 + ⋯ + ( ) 9045−45 145 𝑗 0 1 45 𝑗=0
= [(
45 45 45 ) 9045 10 + ( ) 9045−1 11 + ⋯ + ( ) 903 143 ] + 45.90 + 1 0 1 43
Kini kita perhatikan bahwa semua suku di dalam kurung siku memuat faktor 100. Oleh karena itu, dua digit terakhir dari hasil operasi dalam kurung siku tersebut adalah 00. Jadi dua digit terakhir dari 9145 sama dengan dua digit terakhir dari hasil: 0 + 45.90 + 1 = 4051, yaitu 51.
Pertidaksamaan AM-GM dan Digit Terakhir Suatu Perpangkatan | 7
