PERPANGKATAN DAN PENARIKAN AKAR 1.1 Perpangkatan Dua (Kuadrat) Definisi. Perpangkatan Perpangkatan adalah mengalikan suatu bilangan (asli) dng bilangan itu sendiri beberapa kali sebanyak yg ditunjukkan oleh bilangan (asli) itu, msl 3 pangkat 4 adalah 3 x 3 x 3 x 3.
Contoh: Ayah mempunyai kebun bunga yang berbentuk persegi dengan panjang sisi 5 cm, maka berapa luas kebun bunga Ayah? Untuk menyelesaikan soal tersebut diperlukan kemampuan menerjemahkan situasi dunia nyata kedalam pengalaman matematis, oleh karenanya diperlukan kemampuan mengoperasikan bilangan. Operasi hitung yang digunakan dalam menyelesaikan menyelesaikan soal ini adalah perpangkatan. perpangkatan. Dibawah ini akan dijelaskan alternatif proses pembelajaran melakukan operasi perpangkatan perpangkatan dua (kuadrat) suatu bilangan. bil angan. Guru memberi pertanyaan: Berapa banyak persegi satuan pada masing-masing gambar berikut ini.
Dengan mengamati gambar diatas, siswa diharapkan dapat menghitung sendiri banyak persegi satuan pada masing-masing gambar persegi. Setelah i tu siswa diharapkan dapat mengisikan sendiri hasil hitungannya pada tabel. Gambar ke1 2 3 4 1 4 9 16 Banyak Persegi Satuan Pada kegiatan ini guru sebaiknya tidak hanya menanyakan kepada siswa tentang hasilnya. Tetapi, juga cara siswa mendapatkan mendapatkan hasilnya. Guru dalam hal ini dapat mengarahkan bahwa untuk menghitung hasil perpangkatan dua suatu bilangan tidak perlu menggunakan gambar lagi, namun dapat dilakukan dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan bilangan itu sendiri seperti berikut ini. Angka dua diatas angka tiga artinya pangkat dua atau kuadrat
2
3 = 3 x 3 = 9 → dibaca 3 pangkat dua atau 3 kuadrat sama dengan 9 Selanjutnya siswa diminta untuk menghitung kuadrat 10 bilangan asli yang pertama dan dimasukkan dalam tabel seperti ini.
Perpangkatan dan Penarikan Akar | 1
Bilangan 1 2 3 4 5
Hasil perpangkatan perpangkatan dua 1 4 9 16 25
Bilangan 6 7 8 9 10
Hasil Perpangkatan Perpangkatan dua 36 49 64 81 100
Bilangan 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...disebut bilangan kuadrat sempurna. Setelah mengisi tabel tersebut, siswa diminta untuk menjelaskan hasil pengamatan mereka. Maka diharapkan siswa dapat menemukan bahwa ternyata angka terakhir hasil kuadrat suatu bilangan adalah 1, 4, 5, 6, 9, 00. Kemudian kelompokkan bilangan dan hasil pangkatnya untuk mengamati kekhususan – kekhususan – kekhususan kekhususan sseperti berikut. Bilangan satuan 5 maka satuan dari hasil pangkat adalah 5
Bilangan satuan 4 dan 6, maka satuan dari hasil pangkat adalah 6
Bilangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Hasil Perpangkatan Perpangkatan dua 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Bilangan satuan 1 dan 9, maka satuan dari hasil pangkat adalah 1 Bilangan satuan 3 dan 7, maka satuan dari hasil an kat adalah 9 Bilangan satuan 2 dan 16, maka satuan dari hasil pangkat adalah 4
Berikut, akan dijelaskan cara cepat atau teknik menghitung kuadrat suatu bilangan. 1. Menggunakan kuadrat jumlah dari dua bilangan a. Jika bilangannya bilangannya terdiri dari dua angka angka Contoh: 2 92 = ... Cara: 1. Pisahkan antara puluhan dan satuan 2 (90 + 2 ) 2. Gambarkan secara geometris dengan luasan seperti berikut
Perpangkatan dan Penarikan Akar | 2
90
I
2
II 90
III
IV
90 + 2
2
3. Ternyata ada 4 bagian luasan. Berapa luas masing-masing bagian?
2
90 = 810 90 x 2= 180
90 x 2= 180
2x2=4
4. Jumlahkan semua hasil hasil luasan, yaitu: 810 + (2 x 180) + 4 = 8464 5. Dari ilustrasi pada gambar ternyata kuadrat dua bilangan bi langan dapat dilakukan dengan cara sederhana, yaitu: 2 2 92 = (90 + 2 ) = (90 + 2 )(90 + 2 ) = 90(90+2) + 2(90 + 2 ) = [(90 x 90) +(90 x 2)] + [(2 x 90) + (2 x 2)] 2 2 = 90 + (90 x 2) + (90 x 2) + 2 2 2 = 90 + 2 x (90 x 2) + 2 = 8100 +360 + 4 = 8464 b. Jika bilangannya bilangannya terdiri dari tiga angka 2 Contoh: 124 = ... 2 2 124 = (100 + 20 + 4) = (100 + 20 + 4) (100 + 20 + 4) 2 2 2 = 100 + 2(100 x 20) + 2(100 x 4) + 2(20 x 4 ) + 20 + 4 = 10.000 + 4000 + 800 + 160 + 400 + 16 =15.376 2. Menggunakan Selisih Kuadrat Bilangan 2 Contoh : 98 = ... Cara: 2 a. Bila 98 ditunjukkan dengan luas suatu persegi panjang maka diperoleh gambar sebagai berikut.
Perpangkatan dan Penarikan Akar | 3
98
2
98
98 2 2 2 2 2 2 b. Perhatikan bahwa 98 – 2 – 2 + 2 = (98 -2 ) + 2 . Bila hal itu ditunjukkan secara geometris maka diperoleh gambar sebagai berikut.
2
98 -2
2
98-2 2 2
2
2
98 -2
98-2 2 2
2
98-2 Supaya membentuk persegi dan tidak mengubah luasnya, maka t ambahkan dua persegi panjang dengan dengan ukuran (98x2), yang satu positif dan yang yang lainnya negatif. 2 2 2 = (98 -2 ) + 2 + [(98x2) – [(98x2) – (98x2)] (98x2)] 2 2 2 = (98 +(98 x 2) +(98x (-2)) -2 ) +2 2 = (98+2)(98-2)+2
98-2
22
c. Jadi, kuadrat suatu bilangan dapat dinyatakan dengans selisih kuadrat bilangan. 2 2 98 = (98 + 2)(98-2) +2 2 = 100 x 96 +2 = 9604 Dilakukannya penambahan penambahan dan pengurangan 2 dimaksudkan untuk memudahkan perhitungan perkalian. Kita dapat menambahkan bilangan dasar dengan bilangan lain yang menurut kita mempermudah dan tidak mengubah hasil akhir. 3. Melakukan perpangkatan suatu bilangan yang bilangan akhirnya 5 Contoh: 2 35 = ... Langkah-langkahnya: a. Pisahkan satuannya b. Kuadratkan puluhannya dan tambahkan dengan bilangan puluhan 2 3 + 3 = 12 2 c. Tambahkan dibelakang jawaban dengan 25 (karena 5 = 25). Sehingga menjadi 1225 Perpangkatan dan Penarikan Akar | 4
2
Jadi 35 = 1225 2
125 = ... a. (12 x 12) + 12 = 144 + 12 = 156 b. Di belakang angka jawaban tambahkan angka 25, sehingga manjadi 15625. 2 c. 125 = 15625 4. Menguadratkan secara cepat dengan rumus 2 2 Rumus : a = (a-b)(a+b) + b 2 2 2 92 = 84 x 100 +8 Contoh: 92 = 84
92 8
100 8
= 8400 + 64 = 8464
1.2 Penarikan Akar Pangkat Dua Contoh Soal: Suatu meja laboratorium berbentuk persegi dan akan ditutupi dengan 144 ubin persegi. Berapakah banyak ubin pada setiap sisinya dan apakah hubungan antara banyak ubin pada tiap sisi dan banyak seluruh ubin yang menutupi meja tersebut? Untuk dapat menjawab pertanyaan tersebut, siswa harus diajarkan mengenai penarikan
akar pangkat dua. Simbol dari akar pangkat “√ dari 16” atau “ akar kuadrat 16” Pada materi sebelumnya dijelaskan bahwa:
”. Misal √ dibaca “Akar pangkat dua
= 4 4 x 4 = 16, maka √ Berikut tabel hasil penarikan akar pangkat dua dari bilangan kuadrat dengan bilangan pokok 1 sampai 10. Bilangan Pangkat dua (Kuadrat) Akar Pangkat Dua 2 1 1 =1x1=1 √ = 1 2 2 2 =2x2=4 √ = 2 2 3 3 =3x3=9 √ = 3 2 4 4 = 4 x 4 = 16 = 4 √ 2 5 5 = 5 x 5 = 25 = 5 √ 2 6 6 = 6 x 6 = 36 = 6 √ 2 7 7 = 7 x 7 = 49 = 7 √ 2 8 8 = 8 x 8 = 64 = 8 √ 2 9 9 = 9 x 9 = 81 = 9 √ 2 10 10 = 10 x 10 = 100 = 10 √ Ternyata akar pangkat dua adalah operasi kebalikan dari pangkat dua. Untuk mempermudah menarik akar pada bilangan adalah: 1. Faktorisasi Prima Seperti permasalahan sebelumnya untuk menghitung banyak ubin pada setiap sisi. Untuk mengetahui banyak ubin pada setiap sisi meja persegi, akan dihitung akar
. Caranya: pangkat dua dari 144 atau √ a. Tentukan faktor-faktor primanya Perpangkatan dan Penarikan Akar | 5
144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 b. Kelompokkan dalam dua faktor yang sama 144 = (2 x 2 x 3) (2 x 2 x 3) 2 = (2 x 2 x 3) c. Hasilnya adalah
= ( )2 √ =
(2 x 2 x 3)= 12
2. Perkiraan
Cara ini hanya dapat digunakan untuk akar bilangan kuadrat sempurna. Oleh karena itu untuk mengguanakan cara ini kita harus terampil menghitung bilangan kuadrat sempurna dari 1 sampai 10.
= ... Contoh: √ terletak antara √ dan √ atau 10 < √ < 20, berarti angka Bilangan √ puluhannya adalah 1. Angka terakhir dari 144 adalah 4, maka hasil akar pangkat satuannya dapat 2 atau 8. Namun, karena lebih dekat dengan 10, maka hasil akar satuannya adalah 2. Sehingga,
= 12. √
3. Pendekatan Luas 2 Contoh: Berapakah panjang sisi persegi apabila luas persegi tersebut adalah 1296 cm ? S R
900 cm
P
2
Q
Cara: Kita pilih satu bagian yang merupakan persegi terbesar dan dapat diletakkan 2 didalam PQRS. Suatu persegi yang panjang sisinya 30 cm, maka luasnya 900 cm . 2 Suatu persegi yang panjang sisinya 40 cm, maka luasnya 1600 cm , sehingga luasnya melebihi persegi PQRS. Oleh karena itu, yang dipilih persegi panjang sisinya 30 2 dengan luas 900 cm dan akan diletakkan dipojok persegi PQRS. Sisa persegi tersebut terbagi menjadi bagian: 1. Persegi hitam diwakili oleh x, dan 2 persegi panjang dengan panjangnya 30 cm dan lebarnya x cm.Sisanya dijadikan satu bersambung seperti berikut:
Perpangkatan dan Penarikan Akar | 6
D
C x
A
B x Dari susunan tersebut, yang terbentuk adalah persegi panjang. Luas persegi persegi panjang ABCD = .... (1296 – (1296 – 900 900 ) cm2
= 396 cm2
(30 + 30 + x) x
= 396 cm2
(60 + x) x
= 396 cm2
Maka diperkirakan nilai x dari persegi panjang ABCD adalah 6, dengan membagi 396 dengan 60. Maka luas persegi panjang ABCD = 66 X 6 = 396 Ternyata dengan membuat bilangan perkiraan 6 hasilnya sudah sesuai. Jika belum sesuai, maka proses dapat dilanjutkan sampai dipeoleh hasil yang tepat. Jadi 36.
= √
Dari gambaran secara geometris diatas dapat diubah kelangkah-langkah secara algoritma atau disebut teknik Calandra seperti berikut: 30
<
< √ < √ √
< 40 √ 2
a. b. c. d. e.
Kita pilih 30, karena jika dikuadratkan hasilnya kurang dari 1296 (30 = 900) Tuliskan hasilnya (30) di atas tanda akar Tuliskan 900 dibawah 1296. 1296 – 1296 – 900 900 = 396 Kalikan 30 dengan 2, hasilnya 60. Tambahkan 60 dengan suatu bilangan yang sama sedemikian hingga hasilnya 396. Dengan hal ini bilangan yang dimaksud adalah 6, karena (60+6)x 6= 66 x 6 = 396 f. 396-396 = 0, karena sisanya sudah 0, maka perhitungan penentuan akar pangkat dua selesai. 30+6
√ 2
30 =
900
-
396 (60+6) x 6=
396 0
Lalu, bagaimana cara penarikan akar kuadrat dari bilangan yang bukan bilangan kuadrat sempurna? Perpangkatan dan Penarikan Akar | 7
1. Dengan cara cara Calandra
Contoh: √ 15,81
2
1 =
1 150 25 x 5 = 125 2500 30,8x0,8 2464 3600 31,61x0,01 3161 439 Dan seterusnya sesuai dengan angka desimal yang diinginkan 2. Dengan cara cara Babylonia Langkah-langkah: a. Ambil sembarang bilangan sebagai perkiraan awal akar pangkat dua suatu bilangan; b. Bagi bilangannya dengan bilangan perkiraan, hasilnya adalah bilangan perkiraan akar pangkat dua yang baru; c. Buat rata-rata perkiraan pangkat dua awal dan baru; d. Nilai rata-rata ini merupakan bilangan perkiraan akar pangkat dua baru; e. Lakukan seperti pada langkah 2 dan seterusnya sesuai dengan banyak angka desimal yang diinginkan.
= …. Contoh: √ Bilangan perkiraan 10 17,5 15,895
Hasil bagi
Rat-rata
= 25 = 14,29 = 15,7282
= 17,5 = 15,895 = 15,8116
Bilangan Perkiraan Baru 17,5 15,895 15,8116
Proses tersebut dapat dilakuakn terus sampai beberapa angka decimal yang diinginkan. 1.3 Pangkat Tiga dan Penarikan Akar Pangkat Tiga 1.3.1 Perpangkatan tiga bilangan bulat 2
2
2
2
Di kelas V, kita telah mengenal bilangan pangkat dua. Misalnya 5 , 6 ,7 , dan 8 . 2 2 5 artinya 5 x 5. sehingga dapat ditulis 5 = 25. 2 2 6 artinya 6 x 6. sehingga dapat ditulis 6 = 36. 2 2 7 artinya 7 x 7. sehingga dapat ditulis 7 = 49. 2 2 8 artinya 8 x 8. sehingga dapat ditulis 8 = 64. Perpangkatan dan Penarikan Akar | 8
25, 36, 49, dan 64 disebut bilangan kuadrat. Dengan cara yang sama, kita dapat memahami pangkat tiga dari suatu bilangan. Misalnya 13, 23,33, 43, dan 53. 3 3 1 artinya 1 x 1 x 1 sehingga dapat dapat ditulis 1 = 1. 3 3 2 artinya 2 x 2 x 2 sehingga dapat dapat ditulis 2 = 8 3 3 3 artinya 3 x 3 x 3 sehingga dapat dapat ditulis 3 = 27. 3 3 .4 artinya 4 x 4 x 4 sehingga dapat dapat ditulis 4 = 64. 3 3 5 artinya 5 x 5 x 5 sehingga dapat dapat ditulis 5 = 125. 1, 8, 27, 64, dan 125 disebut bilangan kubik karena bilangan-bilangan itu dapat dinyatakan sebagai pangkat tiga dari suatu bilangan. Selanjutnya kita dapat menentukan hasil dari pangkat tiga dari beberapa bilangan, misalnya 6, 7, 8, 9, 10, 15, 20, 25, dan 30. Hasil dari perpangkatan bilanganbilangan itu disajikan pada tabel berikut. 7 8 9 10 15 20 25 30 Bilangan 6 216 343 512 729 1000 3375 8000 15625 27000 Hasil Pangkat
2. Penarikan Akar Pangkat Tiga Algoritma (teknik menghitung bilangan) untuk penarikan akar pangkat tiga yang berlaku untuk setiap bilangan seperti halnya akar kuadrat hingga saat ini belum pernah ditemukan. Namun, sekedar teknik menarik akar pangkat tiga dari bilangan bulat yang hasilnya juga bilangan bulat sudah dikenal dilingkungan. Di kelas V, kita juga telah mengenal mengenal penarikan akar pangkat pangkat dua dari suatu bilangan. Misalnya √ , √ , dan √ . √ = 1 karena 1 x 1 = 1, √ = 2 karena 2 x 2 = 4, dan √ = 3 karena 3 x 3 = 9. Dengan cara yang sama, kita dapat memahami akar pangkat tiga dari suatu , √ , √ , dan √ . bilangan. Misalnya √ , √ , √ √ = 1, karena 1 x 1 x 1 = 1, √ = 2, karena 2 x 2 x 2 = 8, = 3, karena 3 x 3 x 3 = 27. √ = 4, karena 4 x 4 x 4 = 64, √ = 5, karena 5 x 5 x 5 = 125, dan √ = 6, karena 6 x 6 x 6 = 216. √
Selanjutnya kita dapat menentukan hasil dari akar pangkat tiga dari beberapa bilangan, misalnya 343, 512, 729, 1000, 3375, 8000, 15625, dan 27000.. Hasil dari akar pangkat tiga bilangan-bilangan itu disajikan pada tabel berikut. 512 729 1000 3375 8000 15625 27000 Bilangan 343 7 8 9 10 15 20 25 30 Hasil Akar Pangkat Tiga Perpangkatan dan Penarikan Akar | 9
Penarikan akar pangkat tiga seperti ini sering digunakan untuk menentukkan rusuk kubus bila diketahui volumenya. Teknik atau cara cepat untuk menarik akar :
= .... √
Cara : Ribuannya = 9 →bilangan kubik tepat dibawah 9 adalah 8.
Sehingga √ = 2 ...menyatakan nilai satuannya. Bilangan terakhir = 1 → bilangan kubik dasar yang akhirnya 1 adalah 1 sendiri Sehingga Dengan demikian
satuannya. √ = 1 .... menyatakan nilai satuannya.
= 21 √
Perpangkatan dan Penarikan Akar | 10
DAFTAR PUSTAKA www.p4tkmatematika.com www.bahan_ajar_untuk_guru www.bahan_ajar_untuk_guru_kelas_6.pdf _kelas_6.pdf www.bilanganACB.pdf
Perpangkatan dan Penarikan Akar | 11
