PEMBELAJARAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL “ Persamaan Linier Nonhomogen dengan Koefisien Konstan”
&)& Latar Latar Be*a+an Be*a+ang g #e!samaan ie!ensial aalah pe!samaan ma$ema$ika un$uk ungsi sa$u
va!ia va!ia/e /ell a$au a$au le/i le/ih h -ang -ang meng menghu hu/u /ung ngka kan n
nila nilaii ung ungsi si i$u i$u seni seni!i !i an an
$u!unann-a alam /e!/agai o!e. #e!samaan ie!ensial memegang pe!anan pen$ing alam !eka-asa isika ilmu ekonomi an /e!/agai maam isiplin ilmu. %eo!i pe!samaan ie!ensial suah ukup /e!kem/ang an me$oe -ang igunakan /e!va!iasi sesuai jenis pe!samaan. #e!samaan ie!ensial /iasa (#B) (#B) aalah aalah pe!sam pe!samaan aan ie!en ie!ensial sial i mana mana ungsi ungsi -ang -ang $iak $iak ike$a ike$ahui hui aalah ungsi a!i va!ia/el /e/as $unggal. alam /en$uk paling see!hana ungsi -ang $iak ike$ahui ini aalah ungsi !iil a$au ungsi kompleks namun sea!a umum /isa juga /e!upa /e!upa ungsi vek$o! maupun ma$!iks. 3e/ih jauh lagi pe!samaan ie!ensial /iasa igolongkan /e!asa!kan
o!e $e!$inggi a!i
$u!unan $e!haap va!ia/el $e!ika$ -ang munul alam pe!samaan $e!se/u$. #e!samaan ie!ensial pa!sial (##) aalah pe!samaan ie!ensial i mana ungsi -ang $iak ike$ahui aalah ungsi a!i /an-ak va!ia/el /e/as
2. 5n$uk mena!i
pen-elesaian umum a!i pe!samaan ie!esial pa!sial
(##) nonhomogen engan koeisien kons$an
BAB II PEMBA(ASAN
## engan /en$uk
'(
D x , D y
2
)6 7 (
g ( x y )
2
AD x + BD x D y + CD y
)6 7
(2.1)
akan mempun-ai pen-elesaian umum -ang $e!i!i a$as pen-elesaian homogen a!i pe!samaan /e!iku$ ini : (
D x , D y
2
2
)6 7 ( AD x + BD x D y + CD y )6 7 0
an i$am/ah engan pen-elesaian pa!$ikula!n-a. #en-elesaian homogen $e!se/u$ me!upakan ungsi komplemen un$uk (2.1). 5n$uk menapa$kan pen-elesaian pa!$ikula!n-a ilakukan engan a!a se/agai /e!iku$. #anangan ## linie! nonhomogen engan koeisien kons$an sea!a umum i$ulis se/agai (
D x , D y
)6 7 (
D x
8
m1 D y
)( 8
m2 D y
)...(
D x
8
mn D y
)6 7
u1
1
7
( D x−mn D y )
1
67u7
( D x −m D y )
F ( x , y )
u2
1
7
( D x −mn−1 D y )
u n− 1
1
u 1
(2.4)
#e!lu ia$a$ /ah,a $iap;$iap pe!samaan (2.4) /e!/en$uk: p 8 m< 7 g(-)
(2.*)
engan pen-elesaian pe!samaan (2.*) sepe!$i $elah ipelaja!i se/elumn-a -ai$u 6 7
∫ g ( x , a −mx ) dx
(2.=)
Kemuian hasil in$eg!al a!i (2.=) kem/ali igan$i nilai a engan - > m sehingga menghasilkan pen-elesaian pa!$ikula!. 5n$uk mempe!jelas hal i ni pe!ha$ikan on$oh /e!iku$
(
2 2 D x D y )6 7( D x ; ;= D y )6 7 >- aalah
D x , D y
y D x − D ¿ z p
¿
f ¿
7
( > -) 7
D (¿¿ x 2− D x D y −6 D2 y ) 1
¿
1
¿ z p
?isal
u1
( > -) a$au
1
7
7
⋞
( D x + 2 D y ) ( D x −3 D y)
D (¿ ¿ x −3 D y ) 1
(-)
(-) maka
z p
7
u2
7
D (¿ ¿ x + 2 D y )u1 1
¿ elanju$n-a hi$ung
u1
¿ a!i pe!samaan (
D x
; "
D y
)
u1
7 > - 7 g ( >
2
x y x
engan mensu/s$i$usikan
3
a = y −2 x ipe!oleh z p= + 2 3
. #en-elesaian
umumn-a aalah jumlah a!i pen-elesaian homogen an pen-elesaian pa!$ikula!. @ai pen-elesaian umum un$uk soal i a$as aalah
z = z h + z p =ϕ 1 ( y + 3 x ) + ϕ 2 ( y −2 x ) +
2
x y x 2
+
3
3
.
5n$uk menapa$kan pen-elesaian pa!$ikula! -ai$u engan mempe!ha$ikan jenis ungsi -ang munul paa !uas kanan pe!samaan ie!ensial. A. @ika paa pe!samaan (2.2)
F ( x , y )= sin ( ax + by ) a$au '(-) 7 cos ( ax + by ) maka pen-elesaian pa!$ikula!n-a aalah : 1 2
2
f ( D x , D x D y , D y )
sin ( ax + by )=
1 2
2
f (− a , −ab , −b )
sin ( ax + by )
1
(
( ax + by )
)
r
a D x − D y g ( D x , D y ) b
e
=
1
1
g (a , b )
¿
a b
e r
(ax + by )
( D x − D y )
x ( ax + by ) e g( a , b) r ! 1
F ( x y ) C. @ika
paa
F ( x y ) =
pe!samaan
∑ p
(2.2)
aalah
polinomial
x m y n
-ai$u
p mn
mn
engan mn /ilangan /ula$ posi$i a$au nol an aalah kons$an$a;kons$an$a apa$ ia!i sepe!$i -ang ilakukan paa on$oh 4.
/ontoh $
Ca!a pen-elesaian umum a!i ## /e!iku$ ini
( D
2 D
) ( D 2
3 D
)
(2 x + y )
( 2 x + y )
2
z = z h + z p =ϕ 1 ( y + 2 x ) + x ϕ2 ( y + 2 x ) + ϕ 3 ( y −3 x )+
x e
10
/ontoh -
Ca!i pen-elesaian umum a!i ##
( D
2 x
− " D x D y + 2 D y2 ) z = ( D x − D y )( D x − 2 D y ) z =
e
( 2 x + " y )
+e
( x+ y )
+ sin
( x − 2 y )
Pen0e*esaian
#en-elesaian homogen a!i ## i a$as:
z h = φ 1 ( y + x ) + φ 2 ( y + 2 x ) 5n$uk menapa$kan pen-elesaian pa!$ikula!n-a akan ia!i suku pe! suku a!i !uas kanan ## -ang ike$ahui:
z p =
1 ( e ( 2 x +" y ) + e ( x+ y ) + sin ( x − 2 y ) ) 2 2 ( D x − " D x D y + 2 D y )
engan
1 1 e ( 2 x +" y ) ( 2 x + " y ) ( 2 x + " y ) = 2 = e e 4 ( D x2 − " D x D y + 2 D y2 ) ( 2 − " .2 . " + 2 ." 2 ) f D x D y
5n$uk suku keua a!i !uas kanan ka!ena
=0 jika ievaluasi paa
z = φ 1 ( y + x ) + φ 2 ( y + 2 x ) +
e ( 2 x+" y ) 4
− xe( x+ y ) −
sin ( x − 2 y ) 1*
/ontoh 1
Ca!ilah pen-elesaian pa!$ikula! a!i ##
( D x2 − D x D y − = D y2 ) z = x + y . Pen0e*esaian
5n$uk menapa$kan pen-elesaian pa!$ikula! a!i pe!samaan $e!se/u$ ilakukan engan a!a /e!iku$ ini z p
=
1
( D − D D − = D ) 2 x
x
y
2 y
( x + y ) =
1
( x + y ) 2 D D y y D x2 1 − = 2 − D x D x .
z p
=
1 D x2
D y 1 1 ( ) + ... + = + + x y ( x y 1 + D x D x2 D x
a$au
1
BAB III KESIMP"LAN
a!i pem/ahasan i a$as apa$ isimpulkan /ah,a: 1. ## engan /en$uk (
D x , D y
2
2
)6 7 ( AD x + BD x D y + CD y )6 7 g(-)
akan mempun-ai pen-elesaian umum engan menjumlahkan pen-elesaian homogen an pen-elesaian pa!$ikula! -ang i!umuskan engan
z = z h + z p
imana
z h
7 pen-elesaian homogen
z p
7 pen-elesaian
pa!$ikula!. 2. #en-elesaian pa!$ikula! ia!i engan mempe!ha$ikan jenis ungsi -ang munul paa !uas kanan pe!samaan ie!ensial -akni: g ( x , y )=sin ( ax + by ) a$au g ( x , y ) 7 cos ( ax + by ) a. /.
g ( x , y )=e
(ax + by )
F ( x y ) =
g ( x , 浭 ) .
aalah polinomial -ai$u
∑ p
x m y n
mn
engan
LAMPIRAN MOD"L PEMBELAJARAN
'akul$as#!oi ?a$a KuliahKoe K emes$e! osen #engampu Bahan Kajian
#e!$emuan Ke •
: 'K##eniikan ?a$ema$ika : #e!samaan ie!ensial #a!sialK#? 141* :" : : usi e$ia,ani .i ?. :1. #e!samaan ie!ensial #a!sial (##) Donhomogen engan Koeisien Kons$an 2. ?enen$ukan #en-elesaian #a!$ikula! : 12
3inie!
Kemampuan akhi! -ang iha!apkan: ?ahasis,a apa$ menjelaskan #e!samaan ie!ensial #a!sial (##) 3inie! Donhomogen engan Koeisien Kons$an engan !inian s//. 1. ?eneinisikan ## linie! nonhomogen engan koeisien kons$an 2. ?eneinisikan ope!a$o! ien$i$as an in$eg!al pa!$ikula! ". ?engenal a!a mena!i pen-elesaian umum a!i ## linie! nonhomogen engan koeisien kons$an
#!a #em/elaja!an ?en-iapkan #e!angka$ #em/elaja!an an 3em/a! Ke!ja ?ahasis,a Kegia$an #enahuluan • • •
osen men-ampaikan salam osen menjelaskan kemampuan akhi! -ang iha!apkan (KA) osen menginga$kan kem/ali ## linie! homogen -ang $elah ipelaja!i i
pe!$emuan se/elumn-a Kegia$an n$i •
osen mem/e!ikan 3em/a! Ke!ja ?ahasis,a (3K?) $en$ang ma$e!i
•
$e!kai$. osen men-ampaikan penge!$ian ## 3inie! nonhomogen engan
•
koeisien kons$an ope!a$o! ien$i$as an in$eg!al pa!$ikula! osen menjelaskan a!a mena!i pen-elesaian umum a!i ## linie!
•
nonhomogen engan koeisien kons$an osen mempe!silahkan mahasis,a /e!$an-a mengenai ma$e!i $e!kai$. osen mem/e!ikan sa$u on$oh soal mengenai pen-elesaian umum a!i
•
## linie! nonhomogen engan koeisien kons$an osen menjelaskan a!a mena!i solusi pa!$ikula! a!i ## linie!
•
• •
10 meni$
nonhomogen engan koeisien kons$an osen mempe!silahkan mahasis,a /e!$an-a mengenai ma$e!i $e!kai$. osen mem/e!ikan ua on$oh soal mengenai solusi pa!$ikula! a!i ## linie! nonhomogen engan koeisien kons$an
90 meni$
a 2
?ahasis,a menja,a/ salam ke$ika memulai pe!kuliahan. ?ahasis,a menja,a/ salam ke$ika mengakhi!i pe!kuliahan. $) #e!a-a i!i an san$un. a ?ahasis,a mengu$a!akan penapa$ a$au /e!$an-a engan /ahasa -ang san$un. / ?ahasis,a $iak melakukan kegia$an lainn-a (menge!jakan $ugas lain /e!/ia!a engan $emann-a) ke$ika pema$e!i a$au $eman -ang lain menjelaskan i epan. -) isiplin a) ?ahasis,a hai! $epa$ ,ak$u saa$ pe!kuliahan. /) ?ahasis,a menge!jakan $ugas -ang i/e!ikan. ) ?ahasis,a mengumpulkan $ugas $epa$ ,ak$u. B) S+a*a Ni*ai 4 : selalu jika selalu melakukan sesuai pe!n-a$aan " : se!ing jika se!ing melakukan sesuai pe!n-a$aan an kaang $iak melakukann-a 2 : kaang;kaang jika kaang;kaang melakukan an se!ing $iak melakukan. 1 : $iak pe!nah jika $iak pe!nah melakukan
/. ?ahasis,a men-ampaikan penapa$n-a engan san$un . . ?ahasis,a ak$i /e!$an-a $e!kai$ $opik /ahasan kepaa pema$e!i maupun $eman. ". iskusi a. ?ahasis,a ak$i alam iskusi i alam kelompokkelas /.?ahasis,a mena!i jalan un$uk menga$asi pe!/eaan penapa$piki!an an$a!a i!i seni!i engan o!ang lain B) S+a*a Ni*ai
4 : selalu jika selalu melakukan sesuai pe!n-a$aan " : se!ing jika se!ing melakukan sesuai pe!n-a$aan an kaang $iak melakukann-a 2 : kaang;kaang jika kaang;kaang melakukan an se!ing $iak melakukan. 1 : $iak pe!nah jika $iak pe!nah melakukan
S+or A+hir Pem2e*a.aran 5SAP6
ko! sikap penge$ahuan umum an khusus minimal ukup.
LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN SIKAP Berilah skor 1-4 4 : selalu, jika selalu melakukan sesuai pernyataan 3 : sering, jika sering melakukan sesuai pernyataan dan kadang tidak melakukannya 2 : kadang,-kadang, jika kadang-kadang melakukan dan sering tidak melakukan. 1 : tidak pernah, jika tidak pernah melakukan Yang sesuai dengan keadaan yang sebenarnya pada tiap aspek yang diamati. Sedangkan pada kolom keterangan tuliskan intensitas dari hal yang dilakukan mahasisa atau kejadian yang dianggap perlu.
!eterangan "
#enilaian oleh pengajar
""
#enilaian diri sendiri
"""
#enilaian oleh teman sejaat
1a
$enjaab salam ketika memulai perkuliahan
1b
$enjaab salam ketika mengakhiri perkuliahan
2a
$engutarakan pendapat atau bertanya dengan bahasa yang santun
2b
%idak melakukan kegiatan lain ketika pemateri menerangkan
3a
&adir tepat aktu saat perkuliahan
3b
$engerjakan tugas yang diberikan
3'
$engumpulkan tugas tepat aktu
Aspek Sikap yang dinilai N o
1
2
3
4
+
1 ( 1 1
NIM
14(2 1(1( 1((2 14(2 1(1( 1((3 14(2 1(1( 1((4 14(2 1(1( 1(12 14(2 1(1( 1(1 14(2 1(1( 1(1 14(2 1(1( 1(2( 14(2 1(1( 1(24 14(2 1(1( 1(2 14(2 1(1( 1(33 14(2 1(1( 1(3
Nama
1a
! a
1
$ $$
$$ $
rat a% rat a
$ $ $
$$ $
rat a% rat a
)miratul $uhsinah *.
4 4
4
4
4 4
4
4
3
Su'i )malina .
4 4
4
4
4 4
4
4
/ei Yulia 0ardani
4 4
4
4
4 4
4
*rena *airu *.
4 4
4
4
4 4
*athimah )ahraail B.
1 4
4
3
o5a )nita Yuanes
1 4
4
i6i /i Se7rida
4 4
o5i Sa8tri
!
"a
$ $$
rat a% rat a
3
4 4
4
3
3
4 4
4
3
3
4
4
3
4 4
4
4
3
4 4
4
4
4
4 4
4 4
4
4
atalia )yu 9ebri
4 4
4
Yulyaningsi h
4 4
ahirotul ;
4 4
Sko r Akh ir
Kateg ori
" #
"
$$ $
Tot al
$ $$
$$ $
rat a% rat a
4
4 4
4
4
4
2+
2,
Sangat Baik
4
4
4 4
4
4
4
2+
2,
Sangat Baik
4 4
4
4
4 4
4
4
4
2+
2,
Sangat Baik
3
4 4
4
4
4 4
4
4
4
2+
2,
Sangat Baik
3
4
1 4
4
3
4 4
4
4
4
2
,3
Sangat Baik
4
3
4
1 4
4
3
4 4
4
4
4
2
,3
Sangat Baik
4
4
4
4
4 4
4
4
4 4
4
4
4
2
1((
Sangat Baik
4 4
4
4
4
3
4 4
4
4
4 4
4
4
4
2
+,4
Sangat Baik
4
4 4
4
4
3
3
4 4
4
4
3 4
4
3,+
4
2, +
1,+
Sangat Baik
4
4
1 4
4
3
4
4
4 4
4
4
4 4
4
4
4
2
+,4
Sangat Baik
4
4
4 4
4
4
4
4
4 4
4
4
4 4
4
4
4
2
1((
Sangat Baik
=ember, #engamat,
>
?
LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN KEMAMP&AN &M&M 'K&( Berilah skor 1-4 4 : selalu, jika selalu melakukan sesuai pernyataan 3 : sering, jika sering melakukan sesuai pernyataan dan kadang tidak melakukannya 2 : kadang,-kadang, jika kadang-kadang melakukan dan sering tidak melakukan. 1 : tidak pernah, jika tidak pernah melakukan Yang sesuai dengan keadaan yang sebenarnya pada tiap aspek yang diamati. Sedangkan pada kolom keterangan tuliskan intensitas dari hal yang dilakukan mahasisa atau kejadian yang dianggap perlu.
Aspek K& yang dinilai No
Nama )miratul $uhsinah 1 *.
1a 4
1 4
1# 2
!a 3
! 3
!# 2
"a 3
" 2
Total 23
SK)R
KATEG)RI
1, B)@!
2 Su'i )malina .
4
3
2
3
3
2
3
2
22
+, A
3
4
4
2
3
3
2
3
2
23
1, B)@! +, A
/ei Yulia 0ardani
4 *rena *airu *. *athimah )ahraail B.
4
3
2
3
3
2
3
2
22
4
4
2
3
3
2
3
2
23
1, B)@!
+
o5a )nita Yuanes
4
4
2
3
3
2
3
2
23
1, B)@!
i6i /i Se7rida
4
4
2
3
3
2
3
2
23
1, B)@!
o5i Sa8tri
4
3
2
3
3
2
3
2
22
+, A
atalia )yu 9ebri
4
3
2
3
3
2
3
2
22
+, A
1( Yulyaningsih
4
4
2
3
3
2
3
2
23
11
4
4
3
3
3
2
3
2
24
ahirotul ;
B)@!
Aspek K& yang dinilai No
Nama
1a
1
1#
!a
!
!#
"a
"
Total
SK)R
KATEG)RI
12
*adilah Sa8natu S.
4
4
2
3
3
2
3
2
23
1, B)@!
13
$. )li &asan
4
4
3
3
3
2
3
2
24
B)@!
14
Yuni 'ta8a
4
3
2
3
3
2
3
2
22
+, A
1
So8
3
4
2
3
3
2
3
2
22
+, A
1+
atna /amayanti
4
3
2
3
3
2
3
2
22
+, A
@ndah 9erjayanti /yah #rihastuti . 1 &.
4
4
2
3
3
2
3
2
23
1, B)@!
4
3
2
3
3
2
3
2
22
+, A
1
4
3
2
3
3
2
3
2
22
+, A
2(
Sri 0ahyu Cila5ati 9ijaganita 21 .
4
4
2
3
3
2
3
2
23
4
3
2
3
3
2
3
2
22
+, A
22 $erlin ur8ani
4
3
2
3
3
2
3
2
22
+, A
23
urul )ini
4
3
2
3
3
2
3
2
22
+, A
24
$ukrimatul *aiah
4
4
2
3
3
2
3
2
23
1, B)@!
2
@rmu )8n airoh
4
3
2
3
3
2
3
2
22
+, A
1
$eilinda *aiso5i
1, B)@!
=ember, #engamat,
>
?
LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN KEMAMP&AN K*&S&S 'KK( #etunjuk : jarang sDd sering? atau kejadian Eain yang dipandang perlu. ASPEK KK +ANG ,IAMATI No
Nama 1
)miratul $uhsinah *.
KE-&-&RAN
KEAKTI.AN
T)TAL
SK)R
KATEG)RI
1((
(
1(
(
2 Su'i )malina .
1((
(
1(
SF@G
SF@G
3 /ei Yulia 0ardani
1((
(
1(
( SF@G
4 *rena *airu *.
1((
(
1(
SF@G
*athimah )ahraail B.
1((
(
1(
( SF@G
+ o5a )nita Yuanes
1((
(
1(
SF@G
i6i /i Se7rida
1((
(
1(
SF@G
o5i Sa8tri
1((
(
1(
SF@G
atalia )yu 9ebri
1((
(
1(
SF@G
1( Yulyaningsih
1((
(
1(
( SF@G
11 ahirotul ;
1((
(
1(
( SF@G
12 *adilah Sa8natu S.
1((
(
1(
SF@G
13 $. )li &asan
1((
(
1(
( SF@G
14 Yuni 'ta8a
1((
(
1(
SF@G
1 So8
1((
(
1(
( SF@G
1+ atna /amayanti
1((
(
1(
SF@G
1 @ndah 9erjayanti
1((
(
1(
SF@G
ASPEK KK +ANG ,IAMATI No
Nama
KE-&-&RAN
KEAKTI.AN
T)TAL
SK)R
KATEG)RI
1 /yah #rihastuti . &.
1((
(
1(
SF@G
1 $eilinda *aiso5i
1((
(
1(
SF@G
2( Sri 0ahyu
1((
(
1(
SF@G
21 Cila5ati 9ijaganita .
1((
(
1(
SF@G
22 $erlin ur8ani
1((
(
1(
SF@G
23 urul )ini
1((
(
1(
SF@G
24 $ukrimatul *aiah
1((
(
1(
( SF@G
2 @rmu )8n airoh
1((
(
1(
SF@G
=ember, #engamat,
>
?
LEMBAR PENILAIAN PENGETA*&AN 'PP( Sesuai dengan soal pada C!$ yang diberikan dengan bobot penilaian berdasarkan tahap-tahap pengerjaan soal yang tertera pada lampiran #edoman #enilaian #engetahuan.
Ni*ai 7ada nomor soa* No
NIM
1
140210101002
2. ". 4.
14021010100" 140210101004 140210101012
*.
14021010101
=. . &. 9. 10. 11. 12
140210101019 140210101020 140210101024 14021010102* 1402101010"" 1402101010" 140210101041
Nama
Ami!a$ul ?uhsinah '. ui Amalina E. e,i Yulia Ja!ani '!en6a 'ai!u6 '. 'a$himah A66ah!aail Dova Ani$a Yuanes Ei6
Ni*ai
Soa*
Soa*
Soa*
Soa*
No)&
No)$
2*
2*
No)2*
No)1 2*
2* 2* 2*
2* 2* 2* 2*
2* 2* 2* 2*
100 100 100
2*
2* 2* 2* 2*
2* 1& 2* 2* 2* 2* 2*
2* 14 2* 24 2* 2* 2*
2* 1& 2* 2* 2* 2* 2*
1=* 1& 2* 2* 2* 2* 1= *
91* =& 100 99 100 100 91 *
A+hir
100
100
PE,)MAN PENILAIAN PENGETA*&AN 'PP(
Nomor Soa* 1.
Soa*
( D −3 D D − 4 D ) z=2 x − y 2
x
2
x
y
S+or
!aha7an
ma+sima*
#en-elesaian +omogen:
y
( m −3 m − 4 ) =0
( m − 4 ) ( m + 1 ) =0
2
m= 4, m=−1 &
y =∅1 ( y + 4 x ) + ∅2 ( y − x )
ehingga solusi homogenn-a:
#en-elesaian pa!$iula!: z p= m=−1, a= y + m
1
( D x − 4 D y ) ( D x + D y )
y = a + x u1=
misal :
1
makaz p =
2
1
( D x−4 D y )
(
2
3 +m m = 4,¿a = y x − x ( a −4 x ) dx
∫2
2
¿ 1 x − xy + x 2
2
3 2
2
x − xy
3
2
¿ x − ax
2
1
u1= 2 x − y dx 1
¿∫ x −a dx
¿ x 2− ( y − x ) x
∫
( 2 x − y )
( D x + D y )
¿∫ 2 x − ( a + x ) dx
( 2 x − y )
)
2
¿ 3 x − xy 2
2
¿∫ 3 x − xy dx 2
1*
2
¿∫ x −ax + 4 x 2 dx 2
y = a− 4 x 1
3
1
2
4
3
¿ x − ax + x 2
2
1
2
¿− ax + 2
¿
1
3
11 6
3
m= 4, a = y + mx
x 2
( y + 4 x ) x +
11
3
x
y = a− 4 x
