BAB II PEMBAHASAN
2.1 Definisi dan Teorema
Chartrand and Oellerman [2], memberikan beberapa definisi Definisi 2.1.1.
Graf adalah subgraf dari graf
jika dan .
(a)
(b)
Gambar 2.1. (a) Graf (b) Graf
merupakan subgraf dari . Graf memuat vertex dan edge sehingga
Gambar 2.1 graf
dan . Definisi 2.1.2.
Spanning subgraf dari graf
adalah subgraf yang memuat semua vertex
dari suatu graf .
Gambar 2.2. Spanning subgraf dari graf
Gambar 2.2 merupakan contoh dari spanning subgraf dari
.
Graf
karena merupakan subgraf yang memuat vertex dari yaitu . merupakan spanning subgraf dari
semua
dari graf adalah subgraf yang memuat himpunan vertexvertex di dan tidak termuat di atau serta himpunan edge-edge di dan tidak termuat di atau . Definisi 2.1.3.
Subgraf
Gambar 2.3. Graf
Definisi 2.1.4. Matching
dalam graf
, dan
adalah suatu subgraf dengan 1-regular, dimana
subgraf tersebut merupakan kumpulan dari pasangan edge yang tidak adjacent.
Gambar 2.4. Matching dari graf Gambar 2.4 merupakan contoh matching dalam graf yang terdapat dalam Gambar 2.1 (a), dimana matching tersebut merupakan subgraf dari graf yang setiap vertexnya ber degree 1 atau 1-regular dengan setiap edgenya tidak saling adjacent .
Definisi 2.1.5. Jika
graf memiliki order yang memiliki matching dengan kardinalitas
, maka matching tersebut disebut perfect matching.
Gambar 2.4 merupakan perfect matching dari graf
karena
semua vertexnya
incident dengan edge dalam matching atau telah menjadi matched vertex. Sehingga contoh dalam Gambar 2.4 menunjukkan bahwa untuk graf perfect matching dengan kardinalitas
dengan order , maka memiliki
seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.4.
Chartrand dan Lesniak [1], memberikan beberapa definisi dan teorema mengenai factor , factorization, dan factorable.
Definisi 2.1.6.
Suatu factor (mungkin kosong) dari graf
adalah spanning subgraf dari .
Pada Gambar 2.2 merupakan spanning subgraf dan dapat disebut juga factor dari graf .
Gambar 2.5. Factor kosong
Gambar 2.5 merupakan spanning subgraf yang tidak mempunyai factor atau dapat disebut factor kosong karena pada spanning graf tersebut tidak terdapat edge yang menghubungkan vertex-vertexnya.
adalah factor dari pasangan edge yang disjoint maka dapat ditulis dari suatu graf G, sehingga dan dikatakan bahwa G adalah edge sum dari faktor . Edge sum disebut factorization dari G dalam factor Definisi 2.1.7. Jika
Gambar 2.6. Factorization dari graf dalam factor dan Gambar 2.6 menunjukkan bahwa graf dapat difaktorkan menjadi factor dan , atau dapat ditulis yang merupakan , sehingga factorization dari graf dalam factor dan . Definisi 2.1.8
Suatu factor r-regular dari suatu graf G dapat disebut r-factor dari graf G.
(a)
(b)
Gambar 2.7. (a) 1-factor dan (b) 2-factor dari graf
. Karena Gambar 2.6 (a) merupakan factor 1-regular maka dapat disebut 1-factor dari graf dan karena Gambar 2.6 (b) merupakan factor 2-regular maka dapat disebut 2-factor dari graf Gambar 2.7 (a) dan (b) merupakan factor dari graf
Definisi 2.1.9. Graf
cubic adalah graf 3-Regular
Gambar 2.8. Graf cubic
Gambar 2.8 adalah contoh graf cubic karena setiap vertex-nya ber degree 3 atau merupakan graf 3- Regular .
Definisi 2.1.10. Jika
terdapat factorization dari suatu graf G sehingga setiap faktornya
adalah r-factor (untuk suatu r tertentu), maka G adalah r-factorable.
(a) Graf G
(b) Graf
(c) Graf
(d) Graf
Gambar 2.9. (a) Graf G, (b) Graf , (c) Graf , (d) Graf Gambar 2.9 menunjukkan bahwa (b), (c) dan (d) merupakan factor dari graf G. Sehingga factorization dari graf G dapat ditulis sebagai G = . Karena setiap faktornya merupakan graf 2-regular, maka dapat disebut dengan 2- factor dari graf G. Karena setiap factor nya merupakan 2- factor , maka graf G dapat disebut sebagai graf 2 factorable.
Teorema 2.1.3. Sebuah Graf Petersen bukan merupakan 1-factorable . Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut menggunakan kontradiksi. Andaikan sebuah graf Petersen merupakan 1- factorable. Sehingga graf Petersen bisa difaktorisasi menjadi tiga 1- factor. Salah satu faktorisasi tersebut dimisalkan sebagai F. Dimana edgeedgenya terdiri dari
{ }. Ambil tiga edge S seperti pada Gambar 2.10
kemudian hubungkan edge-edge tersebut sehingga menjadi graf connected. Terlihat pada Gambar 2.11 bahwa subgraf Petersen tersebut tidak bisa menjadi 1- factorable, karena tidak semua edge bisa dibuat dalam 1- factorable. Sehingga timbul kontradiksi dengan pengandaian bahwa sebuah graf Petersen merupakan 1- factorable. Jadi, Teorema 2.1.3 terbukti benar.
Gambar 2.10. Graf Petersen
Gambar 2.11. Subgraf Petersen
BAB III PENERAPAN KASUS
Diberikan graf . Tentukan factor , factorization, factorable dari graf tersebut.
Gambar 3.1. Graf Penyelesaian : 1. Graf , dan masing-masing merupakan 1- factor dari graf karena graf , dan merupakan spanning subgraf 1-regular .
Graf
Graf
Graf
Gambar 3.2. 1- factor dari graf
, atau dapat ditulis merupakan factor dari sehingga yang merupakan factorization dari graf dalam factor dan .
2. Graf
Graf
Graf Gambar 3.3. factorization graf
3. Graf
merupakan graf 1- factorable, karena setiap factor nya yaitu graf , , dan
masing-masing merupakan 1- factor .
Graf
Graf
Graf
Gambar 3.4. 1- factorable graf
DAFTAR PUSTAKA
[1]
Chartrand, G dan L. Lesniak. Graph and Digraph. Chapmand and Hill. United States of America. 1996.
[2]
Chartrand, G dan Oellermann, O.R. Applied and Algorithmic Graph Theory. Megraw-Hill. Inc United States of America. 1993.
[3]
Harary, Frank. Graph Theory. Addison-Wosley Publishing Company. Philippnes. 1994.
JOB DESCRIPTION
Nama Arif Muntohar
Job Desk Mencari referensi, membuat makalah dan power point dengan materi parity of integers
Indah Rahmawati
Mencari referensi, membuat makalah dan power point dengan materi derangement
Intan Mustikaning P
Mencari referensi, membuat makalah dan power point dengan materi inclusion-exclusion
Maulida Dwi R
Mencari referensi, membuat makalah dan power point dengan materi inclusion-exclusion
Noor Indah O
Mencari referensi, membuat makalah dan power point dengan materi derangement
Sidiq Syaifullah
Mencari referensi, membuat makalah dan power point dengan materi fungsi pembangkit
Yunias Afifah A N P
Mencari referensi, membuat makalah dan power point dengan materi parity of integers
