KALKULUS VARIASI DAN KONTROL OPTIMAL Kalkulus variasi (CoV) berkaitan dengan dengan menemukan nilai optimum (maksimal atau minimal) dari sebuah fungsi. Kalkulus variasi yang pertama bermula sekitar 1696 menjadi disiplin matematika tersendiri setelah penemuan fundamental dari L. Euler (1709-1783), yang bisa mengklaim dengan alasan yang pas sebagai penemu kalkulus variasi. Pada bab ini, kita memulai dengan beberapa definisi dasar dan masalah sederhana yang bervariasi dalam mengekstrimkan sebuah fungsi. Kita kemudian memasukan plant sebagai masalah optimasi kondisional dan membahas berbagai tipe dari problem yang berbasis pada syarat batas. Kita secara singkat menyebutkan keduanya Lagrangian dan Hmiltonian sebagai pernyataan formal untuk optimasi. Disarankan kepada mahasiswa untuk mereview materi pada Apendix A dan B yang diberikan di akhir buku ini. 2.1 Konsep Dasar. 2.1.1 Fungsi dan Fungsional Kita membahas beberapa konsep dasar berkaitan dengan fungsional berbarengan dengan fungsi a) Fungsi: Variable x adalah fungsi dari variabel kunatitas t , (ditulis sebagai x(t) = f(t)), jika untuk setiap nilai dari t melebihi range tertentu dari t terdapat kesesuaian dengan nilai x;sebagai contoh kita mempunyai hubungan: terhadap sebuah nilai t terdapat kesesuaian dengan sebuah nilai x. Perhatikan bahwa disini t tidak harus berupa waktu namun bisa berupa varibel v aribel independen apapun. contoh 2.1 perhatikan 2 x(t)=2t +1 (2.1.1) untuk t = 1, x = 3, t = 2, x = 9 dan seterusnya. Selanjutnya kita perhatikan definisi dari fungsional berdasarkan pada apa yang dimaksud fungsi b) Fungsional : variabel kuantitas J adalah fungsi yang tergantung pada fungsi f(x), ditulis sebagai J=J(f(x)), jika untuk setiap fungsi f(x), ada nilai J yang sesuai , sebagai contoh, kita mempunyai hubungan: untuk fungsi f(x) ada kesesuaian satu nilai J. Fungsional Fungsional tergantung pada beberapa fungsi. Contoh 2.2 2 x(t) = 2t +1maka
() ∫ ∫
)
adalah area dibawah kurva x(t.). Jika v(t) adalah kecepatan dari kendaraan, maka
( ()
adalah jalur yang dilewati oleh kendaraan. Maka disini x(t) dan v(t) adalah fungsi dari waktu dan J adalah fungsional dari x(t) atau v(t). Secara bebas bisa dikatakan fungsional bisa dianggap sebagai sebuah "fungsi dari fungsi". 2.1.2 Penambahan
Kita perhatikan pertambahan dari fungsi dan fungsional (a) Pertambahan dari fungsi : dalam rangka memperhatikan nilai optimal dari fungsi, kita membutuhkan definisi dari pertambahan Definisi 2.1 Pertambahan dari fungsi f, dinotasikan oleh, ∆f, didefinisikan sebagai
Mudah dilihat dari persamaan jika tergantung pada variabel bebas t dan pertambahan dari pertambahan variabel dan oleh karena itu kita menuliskan pertambahan dari fungsi sebagai . Contoh 2.3 Jika 2 f(t) = (t 1+t 2) (2.1.5) temukan pertambahan dari nilai f(t) ∆ f f(t + ∆t) – f(t) 2 2 = (t 1 + ∆t 1 + t 2 + ∆t 2) - (t 1 + t 2 ) 2 2 2 2 = (t 1 + ∆t 1) + (t 2 + ∆t 2) + 2(t 1 + ∆t 1) (t 2 + ∆t 2) – (t 1 + t 2 + 2 t 1 t 2) 2 2 = 2(t 1 + t 2 )∆t 1 + 2(t 1 + t 2 )∆t 2 + (∆t 1) + (∆t 2 ) + 2∆t 1 ∆t 2 (2.1.6)
(b) Pertambahan dari fungsional: Sekarang kita siap untuk mendefinisikan pertambahan dari fungsional Definisi 2.2 Pertambahan dari fungsional J, dinotasikan oleh ∆ J, didefinisikan sebagai
()()
Disini disebut variasi dari fungsi x(t). Karena pertambahan fungsional tergantung pada fungsi x(t) dan variasi , maka kita menuliskan pertambahan fungsional sebagai ∆J (x(t), ). Contoh 2.4 Temukan pertambahan dari fungsional
[ ]
Penyelesaian: Pertambahan dari B diberikan oleh
()() [ ] [] [ ] 2.1.3 Diferensialdan Variasi Dsini kita memperhatikan diferensial dari fungsi dan variasi dari fungsional (a) Diferensial dari fungsi: Mari kita definisikan pada titik t* pertambahan dari fungsi f sebagai
Dengan meluaskan f(t*+∆t) dalam deret Ttlor sekitar t*, kita mendapatkan
Mengabaikan orde yang lebih tinggi dalam
,
Disini, df disebut diferensial dari f pada titik t*. F(t*) adalah turunan (derivatif) atau kemiringan f pada t*. Dengan kata lain diferensial df adalah perkiraan orde pertama untuk menambah Gambar 2.1 menunjukan hubungan antara pertambahan, diferensial dan derivatif.
Gambar 2.1
̇
Pertambahan ∆f, diferensial df, dan derivatif pada fungsi f(t)
Contoh 2.5 2 f(t) = t + 2t . Temukan pertambahan dan derivatif dari fungsi f(t) Penyelesaian
2
2
= ( t + ∆t ) + 2 (t+∆t) – (t + 2t) = 2t∆t + 2∆t + . . . + = 2 (t+1) ∆t = (t) ∆t Disini, (t) = 2(t + 1).
̇ ̇ ()() () () (2.1.13)
(b) Variasi dari fungsional: Perhatikan pertambahan dari fungsional
Memperluas
dalam derte taylor kita mendapatkan
(2.1.15)
Dimana
dan
(2.1.16)
Disebut variasi pertama (atau secara sederhana disebut variasi) dan variasi kedua dari fungsional J. Variasi dari fungsional J adalah bagian linear (atau
aproksimasi orde pertama) (dalam ) dari pertambahan Gambar 2.2 menunjukan hubngan antara pertambahan dan variasi pertama dari fungsional.
Gambar 2.2
Pertambahn ∆J dan variaso pertama
dari fungsional J
Contoh 2.6 Diberikan fungsional
() ∫[ ]
(2.1.17)
Cari variasi dari fungsional Penyelesaian: pertama kita membentuk pertambahan dan menghasilkan variasi sebagai aproksimasi orde pertama.
()() [ () ] ∫[ ] () (2.1.18)
Perhatikan hanya orde pertama, kita mendapatkan variasi sebagai
