Kumpulan Soal-Soal Diferensial 1.
Tentukan turunan pertama dari y = (3x-2)4+(4x-1)3 adalah . . .
Jawab: misalnya : f (x) = y = (3x-2)4 misal U = (3x-2)
du/dx = 3
dy/dx = n.Un-1 . du/dx = 4. (3x-2)4-1.3 = 12 (3x-2)3 Terus berlanjut ke persamaan berikutnya : f (x) = y = (4x-1)3
misal U = (4x-1)
du/dx = 4
dy/dx = n.U.n-1 . du/dx = 3. (4x-1)3-1. 4 = 12 (4x-1)2
Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut : f (x) = y = (3x-2)4+(4x-1)3 = 12 (3x-2)3 + 12 (4x-1)2 = 12 2.
(3x-2)3 + (4x-1)2
Tentukan turunan pertama dari y =
adalah . . .
Jawab : y=
, kita misalkan U = 5x2+7 maka du/dx = 10x
V = 4x + 3 maka dv/dx = 4
= (4x+3) (10x) – (5x2 + 7) (4) (4x + 3)2 = 40x2 + 30x – 20x2 – 28 (4x + 3)2 = 20x2 + 30x – 28 (4x + 3)2 3. Jika jumlah penduduk suatu daerah dalam t tahun mendatang dapat dinyatakan dalam fungsi t : f (t) = 10.000.000+11.000t-800 t2 maka dapatkan laju pertumbuhan penduduk didaerah tersebut pada saat lima tahun mendatang !
Jawab : f (t) = 10.000.000 + 11.000 t - 8.00 t2 f’ (t) = 11.000 - 8.00 t sehingga laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah f’ (5) = 11.000- 8.00 . (5) = 11.000 – 4.000 = 7.000 Jadi laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah 7.000 orang
4.
Jika diketahui fungsi total cost untuk memproduksi x satuan barang adalah
TC = x3-4x2+16x+80, maka tentukan MC pada saat memproduksi 20 satuan barang !
Jawab : TC = x3-4x2+16x+80 MC = TCI = 3x2-8x+16 Sehingga MC untuk x = 20 adalah MC = 3 (20)2 – 8 (20) + 16
= 3 (4.00) – 8 (20) + 16 = 1.200 – 1.60 + 16 = 1.050 Satuan rupiah MC = 3 (20)2 – 8 (20) + 16 = 1.050 satuan rupiah Ini berarti pada posisi x = 20 satuan baran, akan terjadi tingkat perubahan biaya sebesar 1.050 satuan rupiah jika x berubah 1 unit.
5. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek perhari adalah y = (2x + - 80) dalam ribuan rupiah, biaya proyek minimum dalam x hari adalah . . .
jawab : y = (2x + - 80) y (x) = (2x2 + 10.000 – 80x) biaya minimum diperoleh jika yI (x) = 0 4x-80 = 0
x = 20
Biaya minimum adalah : y (20) = 2 (20)2 + 10.000 – 80.20 = 800 + 10.000 – 1.600 = 9.200 Karena satuannya dalam ribuan, maka dikalikan 1.000 = Rp. 9.200.000,-
6. Jika f(x) = sin2 (2x + π/6), maka nilai f′(0) = … Jawab : f(x) = sin2 (2x + π/6)
f’(x) = 2 sin (2x + π/6)(2) = 4 sin (2x + π/6) f’(0) = 4 sin (2(0) + π/6) = 4 sin (π/6) = 4(1/2) =2 7. Turunan pertama dari f(x) = sin3(3x2 – 2) adalah f‘(x) = … jawab: f(x) = sin3(3x2 – 2) f’(x) = sin(3-1)(3x2 – 2).3.6x.cos (3x2 – 2) = 18x sin2(3x2 – 2) cos (3x2 – 2) 8. Turunan dari f(x) =
adalah f‘(x) = …
jawab : f(x) = = (cos2(3x2 + 5x))1/3 = cos2/3(3x2 + 5x) f’(x) = 2/3 cos-1/3(3x2 + 5x).(-sin(3x2 + 5x)).(6x + 5) = -2/3 (6x + 5) cos-1/3(3x2 + 5x) sin(3x2 + 5x) 9. Turunan pertama f(x) = cos3 x adalah … Jawab : f(x) = cos3 x f’(x) = 3 cos2 x (-sin x) = -3 cos2 x sin x = -3/2 cos x (2 cos x sin x) = -3/2 cos x sin 2x 10. Persamaan garis singgung kurva y =
di titik dengan absis 3 adalah …
Jawab : y=
= (5 + x)1/3
m = y’ = 1/3 (5 + x)-2/3 (1) y’(3) = 1/3 (5 + 3)-2/3 (1) = 1/3 ((8)2/3)-1 = 1/3 (4)-1 = 1/12 Untuk memperoleh y1 maka kita substitusi nilai absis (x1 = 3) ke persamaan di soal sehingga diperoleh y1 =
=2
Persamaan Umum Garis Singgung : (y – y1) = m(x – x1) (y – 2) = 1/12 (x – 3) [kalikan 12 kedua ruas] 12(y – 2) = (x – 3) 12y – 24 = x – 3 x – 12y + 21 = 0 11. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x – 160 + 2000/x)ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah … Jawab : Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 160 + 2000/x Biaya proyek dalam x hari : (4x – 160 + 2000/x)x f(x) = 4x2 – 160x + 2000 Agar biaya minimum : f’(x) = 0 f’(x) = 8x – 160 0 = 8x – 160 8x = 160 x = 20 hari
Jadi biaya minimum per hari adalah = (4x – 160 + 2000/x) ribu rupiah = (4(20) – 160 + 2000/20) ribu rupiah = (80 – 160 + 100) ribu rupiah = 20 ribu rupiah = 20.000 12. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam (4x – 800 + 120/x) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu … jam. Jawab : Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 800 + 120/x Biaya proyek dalam x hari : (4x – 800 + 120/x)x f(x) = 4x2 – 800x + 120 Agar biaya minimum : f’(x) = 0 f’(x) = 8x – 800 0 = 8x – 800 8x = 800 x = 100 jam 13. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f(t) = (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah … m/det. Jawab : s = f(t) = v=
= (3t + 1)1/2
= f’(t) = 1/2 (3t + 1)-1/2 (3)
f’(8) = 3/2 (3(8) + 1)-1/2 = 3/2 (24 + 1)-1/2
= 3/2 (251/2)-1 = 3/2 (5)-1 = 3/10 14. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x – x2) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah … Jawab : Keuntungan setiap barang : 225x – x2 Keuntungan x barang : (225x – x2)x f(x) = 225x2 – x3 f’(x) = 450x – 3x2 0 = 450x – 3x2 0 = x(450 – 3x) x = 0 atau x = 150 jadi jumlah barang yang diproduksi agar untung maksimum adalah 150 barang. 15. f(x) = 13x-6 ,tentukan f’(4) ! Jawab: f’(4) =
=
=
=
= 13
16. diberikan (x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = A/x + B/(x + 1) + C(x - 1) cari turunan ke 100 dari ( x² +1 ) / ( x³ - x ) JAWAB: (x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = A/x + B/(x + 1) + C(x - 1) (x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = A(x+1)(x-1) + B(x(x-1)) + C(x(x+1)) / [x(x + 1)(x - 1)] (x² + 1) = A(x+1)(x-1) + B(x(x-1)) + C(x(x+1)) x² + 1 = (A+B+C)x² + (C-B)x - A A = -1 B=1
C=1 Jadi (x² + 1)/ [x(x + 1)(x - 1)] = -1/x + 1/(x + 1) + 1(x - 1) y = -1/x + 1/(x + 1) + 1(x - 1) dy/dx = 1/x^2 - 1/(x+1)^2 - 1/(x-1)^2 d²y/dx ² = -2/x^3 + 2/(x+1)^3 + 2/(x-1)^3 d³y / dx³ = 6/x^4 + 6/(x+1)^4 + 6/(x-1)^4 turunan ke 100 sbb: deret untuk angka pembilang 1, 2, 6, 24, 120, .........., n! suku ke 100 = 100! 17. turunan ke 100 : d^100 y / (dx)^100 = -(100!)/x^101 + 100!/(x+1)^101 + 100!/(x-1)^101 Turunan dari y = sin 2x cos 4x^3 JAWAB: y=u.v y' = u' v + v' u y = sin 2x cos 4x^3 y' = 2cos2x cos4x³ + 12x²(-sin4x³)sin2x y' = 2cos2x cos4x³ - 12x² sin4x³ sin2x 18. tentukan turunan dari y = x^(x^2 ) JAWAB: y = x^(x^2) ln y = x^2ln x Turunkan tiap ruas dy/y = 2x*dx*lnx + x^2*dx/x, bagi semua ruas dengan dx dy/dx*1/y = 2xlnx + x^2/x, dy/dx = y' y' = y*(2xlnx + x^2/x) y' = x^(x^2)*(2xlnx + x) y' = x^(x^2)*x*(2lnx + 1) y' =[x^(x^2+1)]*(2lnx + 1) 19. dengan rumus f'(c)= lim h menuju 0 = f(c+h)-f(c)/h
f'(2)=jika =f(c)=x^2 JAWAB: f'( c ) = lim x→0 f( c + h) - f( c ) / h maka f ( 2 + h ) → x = 2 f'( 2 + h ) = lim h→0 ( 2 + h )² - f( c ) / h f'( 2 + h ) = lim h→0 4 + 4h + h² - f( 2 ) / h f'( 2 + h ) = lim h→0 h²+ 4h + 4 ( 2² ) / h f'( 2 + h ) = lim h→0 h²+ 4h + 4 - 4 / h f'( 2 + h ) = lim h→0 h²+ 4h / h f'( 2 + h ) = lim h→0 h( h + 4 )/ h ( coret h ) f'( 2 + h ) = lim h→0 h + 4 = 0 + 4 = 4 jadi f'( 2 ) = jika = f( c ) = x² = 2x = 2*2 = 4 20. g = 2x (m1+m2) / t^2 (m2-m1) JAWAB: g = (2 x(m1+m2)) / (t^2 (m2-m1)) g = ((2 x(m1+m2))/(m2-m1)) * t^-2 dg/dt= (-2)* ((2 x (m1+m2)) / (m2-m1)) * t^(-2-1) dg/dt= (-4x(m1 + m2)) / (m2-m1)) * t^-3 ato bisa juga ditulis dg/dt= -4x(m1+m2) / t^3 (m2-m1) 21. buktikan bahwa turunan y=arc tan u adalah 1/u^2+1 JAWAB: y = arc tan u tan y = u (tan y)' = 1 (1+tan^2 y) y' = 1
y' = 1/ (1 + tan^2y) y' = 1 / (1 + u^2) 22. Persamaan garis yang tegak lurus garis singgung kurva y= tan x di titik ( pi/4 , 1 ) adalah JAWAB: misalkan jarak terpendek koordinat (4,2) melalui (x,y) pada kurva parabola yang diketahui, y² = 8x turunan implisitnya adalah 2yy' = 8 y' = 4/y y' adalah gradien garis singgung di titik (x,y), maka gradien garis normalnya adalah m = -1/y' = (y-2)/(x-4) y' = (4-x)/(y-2) y' = y' 4/y = (4 - x)/(y - 2). . . . . . . . . (persamaan 1) tetapi y² = 8x ⇔ x = y²/8. . . . . . . . . (persamaan 2) substitusikan persamaan 2 ke persamaan 1, 4/y = (4 - y²/8)/(y - 2) -(y - 4)(y² + 4y + 16)/[8y(y - 2)] = 0 y≠2 y≠0 y=4 x = y²/8 = 4²/8 = 2 maka jarak terpendek (4,2) ke kurva y² = 8x adalah jarak dari (2,4) ke (4,2) sejauh r r² = (2 - 4)² + (4 - 2)²
r = 2√2 24. ln xy + e^xy = xy JAWAB: turunan implisitnya : 1/(xy)(y + xy') + (y + xy') e^(xy) = (y + xy') sederhanakan y' = -y/x 9) (x) = (x^3-1)(2x+5)(x^3+1) f’(1) = . . . ? JAWAB: f(x) = (x^3-1)(2x+5)(x^3+1) = (x^6-1)(2x+5) =2x^7+5x^6-2x-5 f(x)' = 14x^6+30x^5-2 f(1)' = 14 + 30 - 2 = 42 25. y =(akar)2x^5 JAWAB: y =√(2x^5 ) = √2x^(5/2) → y’= 5/2 √2 x^(3/2) y = -2/x^4 = -2x^-4 → y’ = 8 x^-5 = 8/x^5 y = -8/x^10 = -8 x^-10 → y’ = 80 x^-11 = 80/x^11 y = 2/3x^6 → y’ = 4x^5 y = 3/x^3 - 1/x^4 = 3x^-3 – x^-4 → y’ = -9x^-4 + 4x^-5 = -9/x^4 + 4/x^5 y = 2/(3x) - 2/3 = (2/3) x^-1 – 2/3 → y’ = (-2/3) x^-2 = -2/(3x^2) 26. jika f'(x) adalah turunan dari f(x) maka turunan dari f(ax+b) adalah...
JAWAB: misalkan u = ax + b df/dx = (df/du)(du/dx) df/dx = (df/du) (d(ax + b)/dx) df/dx = a (df/du) 27. Jika y=f(x) maka turunan pertama dari y terhadap x didefinisikan sebagai.... JAWAB: y'(x) = lim (f(x + Δx) - f(x))/Δx . . . .Δx → 0 28.Nilai dari : Lim x-->tak terhingga ( (akar dari 4x kuadrat + 3x - 5 ) - (akar dari 4x kuadrat - 9x + 8) ) JAWAB: A = lim √(4x² + 3x - 5) - √(4x² - 9x + 8) . . . .x → ∞ kalikan dengan [√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)]/[√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)] sehingga diperoleh A = lim [(4x² + 3x - 5) - (4x² - 9x + 8)]/[√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)] . . . .x → ∞ sederhanakan A = lim [(12x - 13]/[√(4x² + 3x - 5) + √(4x² - 9x + 8)] . . . .x → ∞ penyebut dan pembilang dibagi dengan 2x A = lim [(6 - 6.5/x]/[√(1 + 0.75/x - 1.25/x²) + √(1 - 2.25/x + 2/x²)] . . . .x → ∞ A = [(6 - 0]/[√(1 + 0 - 0) + √(1 - 0 + 0)] = 6/2
A=3 29. 1) 2x^2 y - 4y^3 = 4 JAWAB: 4xy.dx + 2x^2.dy -12y^2.dy=0 4xy.dx +(2x^2 -12y^2)dy=0 dy/dx=4xy/(12y^2 -2x^2) d^2(y)/dx^2 = {(4y + 4x.dy/dx)(12y^2 - 2x^2)-(24y.dy/dx -4x)(4xy)}/(12y^2 -2x^2)^2 30. turunan dari : ( X pangkat 2 + 2 X ) pangkat ¾ JAWAB: y = -(x² + 2x)^3/4 y' = - 3/4 (x² + 2x)^-1/4) (2x + 2) y' = - 3(2x+2) / (x²+2x)^1/4
