Jecić - Mehanika 2 (Kinematika i dinamika) - 1989

(2.63 )

cp=cp(t).

(2.64)

II

dr=dre,+rdcpe..

(2.66)

dr dr dcp +r-e_ dt dt' dt'

(2.67)

v=re,+,q,e..

(2.681

što podijeljeno s dt daj.

povećanja r koordinate, a za cirkularni pravac odreduje pozitivan smisao povećanje kuta (f). Jedinični vektori el'" i ef kao vektorske veličine nisu konstante. Iznos im se

Te su funkcije ujedno i jednadžbe putanje

(2.65 )

-=-e

Budući daje crfdt=r=v, bit će

Kako je V= !l,er + vq:oeot• komponente brzine v u radijalnom i cirkulamom pravcu (sL 2.l7a) jesu:

parameta.rskom obliku.

ti,=r

(2.69)

vop=rq,.

(2.70)

Vektor v po iznosu i smjeru dobiva se

pomoću

izraza (2.71 )

r

cos

(2.72J

v

Nakon vremena dl promijenit će se svaka od komponenata vektora brzine za moli vektorski prirast, Prirasli d., i dvo radijalne i cirkularne komponente imaju također komponente u oba pravca (sl. 2.17b). Sve te komponente tvore ukupan prirast vektora v: beskonačno

clv= dvl'" +dv,*,=d~Ter + t'rdtpf:i! +dv~eO'.- ver

.

To

o

o al

bl

Slika 2.16. Polarni koordinatni: sus\av (a) i prirasli vektora položaja tb)

36

sređeno

-"".~

i podijeljeno s dt dat

--;:

će

(2.73)

vektor ubrzanja:

a=d__V=(d_"_,_V _d_"')e dt

·

-

11

dl

r

o) •. +(v d",dt + d_V_ dt t

(2.14)

lp

37

Nakon uvrštenja (2.69) i (2.701. deriviran)a i a=(r

sređivanja

Na drugi

dobiva se

r
način

može se vektor brzine dobiti direktnim derivir.njem, gdje je d . • y= dt (re,.)=re,+re,.

(2.75)

(2.80)

'l

Da bi se ta derivacija mogla izvesti dokraja, a također i derivacija vektora brzine, pogledajmo što znači derivirati jedinične vektore el' i c<1' Prirasli tih vektora prikazani su na st 2.19.

r

ptl~anjo

SlLka 2.19. Prirast i jediničnih vektora polarnog koordinalnog sustava

o

o)

bl

Slika 2.17. Vektor bniJ'lc s komponem.!ma u po!a:nom koordinatnom sustavu

ta~ i

Budući da su iznosi jediničnih vektora konstantni qel'l =jeqll == 1 t. oni imaju priraste samo po smjeru. Ti prirasti podijeljeni s vremenom dl daju prve derivacije jediničnih vektora:

prirasli brzine (b)

Komponente vektora 1; brzanja 3=a,cr + II()Cq> jesu. prema tome,

a,=r_rip2

(2.76)

a",=rq, + 2;ip ,

(2.77)

•

COS :til

(2.81 )

ipe,.

(2.821

(2.78)

Kada se (2.81) uvrsti u (2.80). dobiva se za brzinu ": (2.79)

a

.

e.=- ddl'I' e' =

a iznos i smjer daju izrazi

.jCi - rq,' J' + (rij> + 2rq,)'

d",

e,=-e =
v=re,.+rq,e~.

(2.83)

Ponovnim deriviranjem dobiva se vektor ubrzanja:

Položaj vektora ubrzanja i komponente u polarnom koordinatnom sustavu prikazuje slika 2.18. U svim izrazima rP ima jedinicu rads-I, a if> rad s-'.

a= re". + rel' +i-ipe;p +rq,cft' + rq,č

ii

pomoću

izraza (2.81) i (2.82) daje

a = (i' - rip') e, + (riii + 2rip) eo'

(2,84)

Izrazi (2.83) i (2.84) jednaki su izrazima (2,68) i (2.75). Prvi način izvoda za brzinu i ubrzanje daje zamiju sliku o lome kako nastaju pojedine komponente brzine i ubrzanja, dok je drugi načinI koji je formalno matematički jednostavniji, bez mogućnosti predodžbe () fizikalnom nastajanju prirasta,

.-putanja.

Lansiranje rakete prati se pomoću radara koji je povezan s računalom. Polarne koordinate r i

o Slika :tl8. Vektor

38

ubnan.ič 5

komponentama

lj

polarnom koordinatnom sustavu

l

39

Iz slike 2.20 vidi se da je brzina v po iznosu LI=V r

što kada se uvrste

odgovarajući

pravcem, za radijalni je pravac uvedena nova oznaka: p. Položaj odreden je tokom gibanja s tri podatka:

sin €p+ Pep cos rp,

izrazi za komponente v,. i vi' daje

,11=r sin tp+ rip costfJ.

(2.851

točke

u prostoru

p~p(t)

(2.90)

rp~rp(t)

(2.91)

z~z(t).

(2.921

To su ujedno i parametarske jednadžbe putanje, gdje je vrijeme r parametar. Pripadni jedinični vektori jesu: ep za r(Idijalni pravac, e... za cirkularni i k za aksij(dllll os z, Vektori ep i c1O' imaju promjenu po smjeru, dok je li konsta.ntan.

s

z Slika 2.20.

Pračenje

gibanja rakete pomoeu polarnih koordinata

Jednako vrijedi i za ubrzanje a koje se po pravcu poklapa u tom primjeru s pravcem brzine 'r, tako da je a=a,. sin cp +a
odnosno

a = cr - rip') sin q> +(riP+ 2i-ip) cos rp.

(2.86)

Kako je putanja rake le pravocrtna, zadatak se može riješiti i tako da se put s rakete izrazi preko koordinata r i qJ koje računalo prima kao ulazne podatke. Tada je

(2.87)

s=rsiocp, ~to

Slika 2,21. Vektori brzine

t

i ubr7.anjn ti u d!;ndričr.orn koordinalOom

$.uSla\'U

Gibanje točke može se zamisliti sastavljeno od gibanja a ravnini p. lp j paralelnog. pomaka te ravnine u smjeru osi z, Tako se može shva~itl da su i vektori brzine i ubrzanja sastavljeni od tri konlponente: radijalne i cirkularne u ravnini p, tp i jedne koja se po smjeru poklapa s osi z. Bez izvoda moguće je, dakle. preuzeti te komponente iz pripadajućih koordinatnih "Istava. Tako je za brzinu (2.93)

kod koje su komponente analogne izrazima (2.69), (2.70) i z komponenti u (2.52),

deriviranjem po vremenu daje brzinu

(2.94)

1;=$=; sin q>+rQJ cos q>.

(2.88)

(2.95)

Ponovljenim deriviranjem dobiva se ubrzanje: ()=

odnosno

ZlI ubrzanje

r sin tp +;;p cos cp +rq, cos f{J +rq; cos~-ril sin qJ t a =(r - rip') sin q> +(riP + 2i-ip) cos q>.

(2.89)

će

(2.96)

biti

a=apep +a.. e~+a::k. gdje se komponente iz zadanih funkcija p. 'I' i z dobiju ..

'2

Gp=P-P'l'

2.5.3. Prikazivanje gibanja

pomoću cilindričnih

(2.97) pomoču

izraza (2.98) .

koordinata (2.99)

a

Cilindrične koordinate kombinacija su polarnih p, q> i jedne Descartesove, npr. (sl. 2.2\). Bndući da se pravac vektora položaja r ovdje ne poklapa s radijainim

40

(2.100) 41

Po iznosu brzina v=JV;+~+V;, a ubrzanje a=Ja;+a!+a;. Smjer tih vektora određuje se prema bilo kojIm osima kao i kod svakog drugog vektora. te to ovdje nećemo ponavljati.

te je prema tome iznos ubrzanja jednak radijalnoj komponenti a=a,=R"ai'. Smjer vektora ubrzanja pokiapa se s negativnim smjerom osi {J (op
Primjer 2.8 Naći

2.5.4. Prikazjvanje gibanja

Gibanje točke zadano je jednadžb.ma p=R,,= konst-, 'fJ=(nj21-wt i : = .,. putanju i vektore brzine i ubrzanja ako su (o i i. realne konstante veče od nule.

pomoću

sfeTnih koordinata

Položaj točke II sferro11l koordinatnom sustavu (st 2.23) dužinom i s dva kuta, čemu pripadaju koordinate

U ravnini p. (j) točka se giba po kružnici polumjera Ro. Kako istovremeno mijenja položaj i na osi !~ putanja je spirala oko plašta cilindra s polumjerom Rf (st 2.22).

određen

je jednom

r=r(Cl

(2.101)

rp=rp(n

(2.102)

9~9(I).

(2.103)

vektori er' ei' i es. određuju smjerove radijalne osi r i dviju i 8. Osi sfemog koordinatnog sustava su pomične, a jedinični vektori imaju priraste po smjeru. Radijalna os poklapa se s pravcem vektora položaja r,

Pripadni

jedinični

cirkularnih

Slika 2.22. Gibanje

se

U početnom trenutku za r točka po spirali prema gore.

točke

o

po plaštu cilindra

=0, rp = ,,/2.

Budući da je i,>O, a kut rp opada. giba Komponente brzine iznoi:.e:

,',=p=O

,

I

I V:=Ž=A.

Vektor brzine ima iznos v=JR.f,,,,'+),', koji je konstantan, a po smjeru stalnog je nagiba prema ravnini p~ rp. Taj nagib određen je kutom (;(11' kojemu je veličina V: i. ",,=arctan-= arctan --o

".

Raw

Komponente ubrzanja dobivaju se prema (2.98) do (2.100):

ap=p- pip2= - Roail a.=piP+pip=O Q:=t=O, 42

f{!

'" Slika 2,23, Vektori brzine

,. n

r i ubrzanja a

II

sfernom koordinatnom Sllstavu

Pozitivnu usmjerenost joj određuje povećanje vektora položaja. Cirkularna os CP. kao i pripadna koordinata iste su kao i kod cilindričnog sustava. Cirkularna os S okomita je na preostale dvije osi tog sustava. Pozitivna je II smislu povećanja kuta [J koji pokazuje otklon pravca r od horizontalne ravnine. Funkcije r (t), rp (t) i II (l) parametarske su jednadžbe putanje. Kao i kod ranijih koordinatnih sustava pomoću njihovih derivacija određuju se komponente vektora brzine i ubrzanja. Oba ta vektora odredit ćemo pomoću direktnog derivinmja vektora položaja:

r=reJO *

(2.104)

Prva derivacija vektora r po vremenu daje brzinu

l'=T;:::::re, +re"

(2.105)

U sfemom koordinatnom sustavu jediniČDi vektori e, i e u vremenu dt dobivaju dvostruki prirast: zbog promjene kuta rp i zbog promjene kuta 9. Pri 43

promjeni kuta 8 ne mijenja se vektor e~, već mu je prirast posljedica samo promjene kuta lp. Prirasti jediničnih vektora ili njihovih projekcija vidljivi su u ravninama u kojima lež< kutovi lp i 8. Štc se događa kod promjene kuta lp za dip pokazuje slika 2.24a. Na ravninu koju [\'ore cp i n projicira se vektor e~ s cos 8, a es sa sin 8. Jedinični vektor e~ vidi se u punom iznosu. U ravnini promjene kuta 9 (r, 8 rav~ina) leže vektori e~ i es. pa su prirasti lih vektora kod promjene kuta za dS vidljivi u punom iznosu (sl. 2.24b). U pravcu n uveden je jedinični vektor en kako bi se svim

Budući

daje

v=l"~e~+l·4>e... +vseS.,

komponen{e su brzine: l'~=r

(2.113)

l"",=rip cos 9

(2.ll4)

1's.=r8.

(2.115)

Vektor ubrzanja dobi\'a se deriviranjem izraza (2.112), što daje

d,'

4> +

a=-=re~+;.e~+;ipcos8e +rijJcos9-c -,.ip8singe

dr

-

'I'

+ripcos8e"!+;ge,,,-rge~+,.~e,).

, r

.,.

Kada s,; za derivacije jediničnih vektora uvrste izrazi (2.109) do (2.111), dobiva se nakon uređenja ••

"

2 n

•,

3= ( r-r;, -r
+ [~

n

3 d -,. .,. + [cos -r-dt ('---lp)-2r
~ ('> 91+ rip' ;in 8cos 9J e•.

12.116)

r dr

n

(}.lI7)

bJ aj Slika 2.24. Prirasli jediničnih \'ektora kod promjene kutova

na tom pravcu mogao dati vektorski smisao. Prirast vektora e~ kod promjene kuta lp jednak je prirastu njegove projekcije na os n. Taj prirast zbrojen s prirastom kod promjene kuta 8 daje ukupan prirast vektora e~. Uz ispuštene apsolutne vrijednosti jediničnih vektora, koje su jednake jedinici, bit će (2.106)

Prirast - dlpen vektora e.,. koji se u punom iznosu projicira na os n (sl. 2.24b) može se prikazati pomoću komponenata u pravcima r i 8, pa je d e.,. = - dip cos 8e~ +dcp sin Ses'

(2.107)

za jedinični vektor es. ukupna promjena glasi de.= -d8e,-sin8dlpe.. Prirasti

jediničnih

sređivanja

(2.108)

vektora podijeljeni s dl daju njihove derivacije, koje nakon

glase: e,= lp cos 8e. + SeS.

e.,. =

- lp cos 8e~ + lp sin 8es.

es.= -Se~-ip sin8e.,.._

(2.109) (2. liO}

(2.lll)

Uvrštavanjem (2.I09) u (2. lOS} dobiva se prema tome za brzinu v=;e~ +rip cos8e~ +rges..

44

c059 d r dt

.

a =---('>';'}-1,ip95iu8 'I'

de~=cos8 dlpe~+d8e.9'

Jer

Q.Q

(2.118)

" +rq,-' sin 9- cos 9. =-l -d (r.:1)

12.ll9)

r dr

Iznosi vektora brzine i ubrzanja i njihovi srnjero\i poznat način.

određuju

se iz komponenata na

Primjer 2.9 Teleskopski nosač mehaničke ruke premjesta se iz jednog položaja u drugi programirano. Upravljanje pokretačkim mehanizmom obavlja se u sfemim koordinatama. Za vrijeme stacionarnog gibanja (nakon završetka pokretanja i prije početka zaustavljanja l brzine promjene koordinata jesu: ;. = 0,5 ms -I • CP = 0,8 rad s -I, !J = 0,5 rad s -l. Odrediti vektor brzine i ubrzanja kada je r = 1,5 m i 8=45'. Budući da komponente brzine i ubrzanja ne ovise o samom kutu rp. zbog jednostavnosti se može izabrati da je u promatranom trenutku lp=O (sl. 2.25). -Komponente-brzineprema l2.ll3), (2. II 4} i (2.115) iznose: L'r

=;=O,5 ms- 1

vo=rip cos 9= 1,5'0,8'0.707 =0,848 m s-' (2.112)

v:;=r9= 1,5'O,5=0,75m S-l. 45

Iznos i smjer brzine

'f

dobivaju se iz njezinih komponenata

v=

a smjer mu je

određen

kutovima

Ju; + if. + vl = 1,238 m S-l ,.

tl

Pil = arc cos ~= 53,697°. tl

P,= arc cos ~=46,766°. l'

2.5.5. Transformacija vektora brzine i ubrzanja

r

Izml!đu komponenata vektora brzine i ubrzanja II Descartesovu. cilindričnom i sfernom koordinatnom sustavu postoje veze pomoću kojih se komponente iz jednog sustava ;llogu transformirati u pripadne komponenle li drugom koordinatnom sustavu. ; J z

r

w '{I

o

o

'{I

y

V,

al

bI

Slika :!.:!S. Položaj vektora brzine (a) i ubrzanja (b) mehaničke ruke

x

Prema (2.117), (2.118) i (2.119) bit

će

nakon deriviranja

cos9

..,.. .h a• = -r - (2"'I'+''I')-2r'l'''

.

SlD

Slika :!.:!6. Prijelaz iz Descanesova koordinalnog sustava x . .1".

Vp

cp

Treća

i /) konstantni, njihove su derivacije jednake nuli, pa je

=0,283ms-'

!? 2'Q,5 '0,8' 0,5'0,707 = ., ,.

a. =2r9+rip' sin 9 cos 9 = 2'0,5 '0,5 +0,5'0,5' '0,707' =0,563 m s=',.

p.

(/J_ :

sin cp+ Vy cos cp.

(2.120) (2.121)

zapisivanju, ispišimo ih sa svim

članovima:

Vp

=vx cos cp + V)_ sin
vq>

= V... <-

~in cp)+ Vy

cos

v,,=vx -O+v y·O+v,,-l. . ~U

'--~.. -

Vektor ubrzanja ima iznos

46

SU!'13V

komponenta v. jednaka je u oba sustava. Da bi prilagodili te jednadžbe

matričnom

a,= - r9' - rip' cos' 9= - 0,5 '0,5' -0,5'0,8' '0,707'= - 0,285 m s-' a.= 2cos 9rip- 2rip.9 sin 9=2 '0.707 '0,5'0,8 -

= Vx cos

vq>= -I:x

r

da su T,

u cilindrični

Descartesov i cilindrični koordinatni sustav. Projiciranjem komponenata brzine vj( i v na osi p i

9

a. =~ (2rr8 +,2 lj) + rip' sin 9 cos 9. Budući

:

n1~ričnoin""ob1iku· to-glasi·:

(2.122)

;.,,

47

., Jednostllpčane

{r.... ) i

matrice u vitičastim zagradama (vektori) kratko ćemo označiti s matricu 3 x 3 l. uglatim zagradama s [TJ:

Matrica transformacije ovdje irna ove elemente:

Ivx,,}' a

[T~;= t:~:: ::~: ~]

cosS O Sina]

[T.]= (2.123)

[

O -sinS

l

O

(2.132)

O casS

tako da je Matrica [T,,] je marrica transformacije pomoću koje se transfonniraju komponente vektora brzine iz Descartesova sustava u cilindrični. Matrična jednadžba za transformaciju prema (2.122) glasi

::rp.J= [T.l Iv",~. ,

{t'~}

[T,] {v",,'}.

(2.133)

{"1'4'3}

[T,]{a ..,} .

(2.134)

odnosno

(2.114)

Jednako vrijedi i za komponen1e ubrzanja: (2.125 )

ZI

Obrnuto, kod prelaza iz cilindričnog II Descartesov koordinatni sustav treba matričnu jednadžbu (2.124) pomnožit; slijeva s in,·erznom matricom (T.] -'. Iako da je

!

{
I I

V;

l

r

(2.116)

Buduči da je [T.,J- [T~J jedn,:ko jediničnoj matrici, uz vektor {v.t).J ne treba je pisati. Nadalje je. kQd transformacije iz jednog II drugi pravokutni koordinatni sustav kojima su osi međusobno zaokrenute za neke kutove. detenninanta matrice [T.J jednak. jedinici. Matrica [T.J je ortogonalna, tako da je [T.r' = [T.]' (inverzna matrica jednaka je transponiranoj). UzimaJući to u obzir. dobiva se iz (2.126) 1

-

x

y

(2.127)

r

odnosno

Slika 2.27. Prijelaz iz cilindril!nog koordinatne§! sustava p, rp. :: u sremi r,
(2.128)

Sve što je rečeno za matricu [T.J vrijedi i za matricu [TJ, pa će obrnuti prijelaz iz sfernog koordmatnog sustava II cilindrični biti

Jednadžbe (2.124) i (2.125) te (2.127) i (2.128) uz matricu [T.J koja je određena s (2.123) daju potpunu vezu i2među Descartesova i cilindričnog koordinatnog sll,tava. Isto vrijedi za Desca.rtesov i polarni koordinatni sustav. no tada treći redak II (2.122) otpada. a također i treči redak i treči stupac u matrici [T.J Cilind!ični

i srerni koordinatni sustav. U oba sustava jednaka je cirkularna fP komponenta. Iz komponenata ""p i v;:: mogu se izračunati komponente Vr i r30 II sfernom sustavu prema slici 2.27, tako da je

Uzimajući

v.=v.cos9+v,sin3

(2.129)

v,= - vp sin,
(2.130)

u obzir i cirkuJamu komponentu D~, dobiva se slično gornjem izrazu .. ... . . .

···~'-·Od22)malrjčna;jedDadžba,···~

v'l= l vI$'

v,

48

[cosa o

o sm3]'10i o tl. . .

-sin9 fi cos9

{<..,} [T.]' {v.... } {a...J [T,], {a",,}.

.i

,

(2.135)

(2.1 36)

Descartesov i sferni koordinatni sustav. Veza između ta dva sustava dobiva se iz već ranije postavljenih jednadžbi. Ako s. u (2.133) i (2.134) umjesto ".,., i a ,uvrste desne strane izraza (2.124) i (2.125i dobiva se: ".

{v.... ) = [T.][T.] (oxy,)

(2.137)

{a .... } = [T.][T.] {axy,).

(2.138)

Na'kon množenja matrica~·transformacije ima ove-elemente: ",,- COS S COS,!,

(2.131 )

[T",,] = [T,] [T.] =

t:_ 4 S.

Jtcič':

KINEMAT1KA lDISAMIKA

[

cosSsin'!'

Sins]

-sinti>

cosI{!

O

-sin9cosl{!

-sinSsinq>

cos3

(2.139)

49

Obrnuto, kod prijelaza iz sfernog u Descartesov sustav treba lijeve i desne strane pomno,iti s [T.Y[T.Y_ Pritom je [T.]T [T.Y [T,] [T.] =[1] (jedinična matrica 3x3),!!aje

U promatranom trenutku brzina aviona iznosi l)=v.r=236111S~J =850 km/h. Smjer gibanja poklapa se s pozitivnom osi ox (sl. 2.28)_

(2_1~0)

(2.141)

Ovdje je umnoiak lransponiranih matrica jednak lransponiranoj matrici (2.139). tj_

[TJT[T.Y=[T..,Y_ Primjer ?10

2.5.6. Prirodne komponente vektora brzine

Leli aviona

prati se radarom pomoću kojega se odreduju sferne koordinate te dalje računalom komponente brzine i ubrzanja. U trenutku kada su kutovi iznosiH

T tangenta glavna normala

e

r

v~=-166_923

ubrzanja

Kada se položaj toč-ke na pUlanji može odrediti u svakom trenurku dužinom luka s i polumjerom zakrivljenosti R putanje, upotrebJjavaju se za opisivanje gibanja ptitodllt' kampollt!t!le. Prirodni koordinatni sustav čine tangenta na putanju i glavna normala {sl. 2.29}. Već je rečeno da vektor brzine leži u pravcu tangente~ a iz geometrije je poznato da se polumjer zakrivljenosti poklapa S pravcem glavne

poIQžaj.~

l

j

~=-144_SSS

r Slika 2.29. Prirodni koordinatni sustav

y

x Slika 2.2S.Komponente brzine aviona u sfernom i Descarto:soy\,l koordinatnQm suslavu

normale. Tangema T i glavna normala N tvore oskulatornu ravuiflu. U kinematici su to .osi prirodnog koordinatnog sustava s jediničnim vektorima er i e!". Pozitivan smIsao osi T proizvoljno se odabire. Pozitivna strana osi N uvijek je ona koja gleda prema centru e zakrivljenosti putanje. Od neke polazne točke na putanji mjeri se dužina luka s. tako da je pri gibanju luk s funkcija od vremena. Budući da je općenito i R funkcija od vremena. polazne su veličine za određivanje elemenata gibanja

za izračunavanje komponenata brzine VA' VJI' Li; iz sfemih Vr. V(i01 v8- upotrijebit ćemo

jednadžbu (2.140)_ Kada se matrica (2.139) transponira (zamjena redaka i stupaca), dobiva se

!

::l=[:::~:~:; V:

sm8

UZ zadane vrijednosti kutova i

o;:n:

O

=:::::~~:]'!::l-

komponenata vI"

cesS

v;

IJ~

",=0,5 -0.707- 83,461-0.107-166,923+0,866- 0.707'144,555=0 V~ =

50

0,866' 83.461 - 0,5 -144,555 =0_

(2.142)

R=R(t).

(2.143)

Brzina v=; može se dobiti promaIranjem prirasta vektora r i dijeljenjem log prirasta s vremenom dr. za beskonačno male veličine može se reći da je dr po iznosu jednak prirastu luka ds, a po smjeru je približno jednak smjeru osi T, tako da je dr",dse" Tada je brzina • dr ds . v=r=-=-",=s",. dr dl

rV::bit će nakon- ilino:zefija~~--4 ~'~

".=0,5'0.707 -83,461 +0,707 -166,923+0,866-0,707 - 144,555=236ms-!

S=5(1)

Iznos brzine v jednak je dakle prvoj derivaciji luka po vremenu (v=sj, a smjer joj se poldapa sa smjerom tangondjaine osi T. Normalna komponenta brzine jednaka je

nulL 4*

51

.. Ubrzanje a prva je derivacija vektora brzine po vremenu:

dv

tako da je iznos vektora ubrzanja

d. .. .. (5e,.) = 5e,.+Se,.-

(2.145)

=-;--=-;-

Kako se derivira jedinični vektor pomičnog koordinatnog sustava pok~zano je već poglavljima 2.5.2. i 2.5.4. Na slici 2.30b vidi se prirast vektora el pa Je uz le1 1= l

II

de,.=d.peN'

(2.152) Smjer vektora ubrzanja iznosi (sL ::.31 )

određuje

(2.153)

(2.146)

Dijel.jenjem s dr i uvrštavanjem u (2.145) bit će

Tangl!flcijalna komponenta ubrzanja pokazuje promjenu iznl.'1sa brzine v, Može (2.147)

Prirodni koordinatni sustav upotrebljava se obično kada je put.nja poznata po obliku. odnosno kada su poznati 5=5(1) i R=R(t). Zato ćemo u izrazu (2.147) izr~zi'i,j, pomoću s i R. Iz slike 2.30 vidljivo je da je ds=Rd.p, tako da je d", =ds,R ili \It = s/ R. Prema tome je

veća i!i manja od nule. aH i jednaka nulL Ovo posljednje moie biti unutar nekog konačnof; perioda gibanja. lj tom periodu iznos brzine je kl..'\n$tantan. no kao

biti

I

T

N

(2.148)

R

e

r ds

dr

Slika

it I

a)

b)

'1 (a) i jediničnih vektora 'lT i -:es (b)

Vektor ubrzanja ima dakle dvije prirodne komponente: tal1gencijalnu

ili centripetainu aN: a

=GTe.r+ aMeN '.

aT

52

/

Veklori br,dne i ubr;:eanja s prirodnim kompoOl:nt:lma

i normalnu. (2.149)

Primjer 2.11 Za gibanje R putanje.

Iznosi komponenata odredeni su ovim izrazima: aT~S=V

~,3L

vektor ima kod kri\'ocrtnog gibanja promjenu po smjeru, Kada su iznos brzine i tangencij.lna komponenta ubrzanja istog predznaka, gibanje je ubrzano. U suprotnom gibanje je usporeno, slično kao i kod pravocrtnog gibanja. Mjera promjene brzine po smjeru normalna je komponenta ubrzanja. Ta komponenta može biti samo veća od nule, jer je bez obzira na predznak iznosa brzine " > O, a polumjer zakrivljenosti R je po definiciji uvijek pozitivan broj. Iznimno. kada je putanja pravac ili se ločka nalazi na mjestu infieksije putanje R oo, pa je aN = O. Budući da je normalna komponenta ubrzanja uvijek pozitivna, znači usmjerena prema centru zakrivljenosti putanje, ukupno je ubrzanje a otklonjeno uvijek od tangente prema konkavnoj strani put.nje, kako je to već ranije rečeno (vidi 2.1).

e.

Slika 2,3Q. Porasti vektora

/

1,0

I.dl

eN
se prema jednoj od osi. npr. kut prema osi T

točke

iz primjera 2,8. odrediti S=S(I) i polumjer zakrivljenosti -"",-,, .

(2,150)

Iznos brzine <=JR]p2+)..l konstantan je i predstavlja prvu derivaciju luka s putanje po vremenu. pa je

(2,151)

s= "dl=IJR~"iH.' +C_

r

53

Iz

početnih

Posebno kada je aT. konstanta, ~i: če nakon integriranja ("0>0) 0="-,'+0. s~aTr"/2+vot+""_ SlIčno smo dobilI u pn mJeru 2.3 za pravocrtno gibanje.

uvjeta za 1=0, 5=0 le je i C=O. Time je _

l

Ubrzanje a stalno je pn',l'na rješenju primjera 2.8 okomito na brzinu v. što znači da mu je tangencijalna komponenta jednaka nuli (ii =0 l), te je to ubrzanje ujedno i normalna komponenta s iznosom

a=aN RaW?.

Uz "T>O gibanje po kružnoj putanji je ubrzano. Ako je "T
ON

Položaj osi T i N i polumjer zakrivljenosti putanje prikazani su na slici 2,32,

Slika 2.33. Gibanje po

kručnid

Zadaci uz poglavlje 2 T

I. Točka se giba pravocrtno duž osi x tako da je njezin položaj određen jednadžbom ~"(=Ae-~' Sin())l~

gdje su A, k i

{I) konstante, tako da je položaj x u metrima, vrijeme t II sekundama, a argument OJt trigonometrijske runkcije u radij.nima. Odrediti brzinu i ubrzanje točke kao funkciju vremena.

/' Slika 2"32. Bnina i ubrzanje u prirodnom kQordinatnom sust,IVU kod gibanja po prostornoj spirali

Rješenje:

Vidi se da je polumjer zakrivljenosti R veći od polumjera valjka Ro po kojem se giba točka. Centar zakrivljenosti leži II tom primjeru uvijek na okomici .puštenoj iz točke putanje na os valjka.

e

V=

Ae -tt ( - k sinwt +co cosrox)

I

a= Ae-k< [(k'-af)sinwt- 2kwcoswr].

2.

Točka se giba pravocrtno, tako da se njezino ubrzanje mijenja ovisno o vremenu prema dijagramu (vidi sliku 2.34). Skicirati i kotirati dijagrame s (t) i c(t) ako je u početnom trenutku 1=0, "0=0 i ",,=0.

Primjer :U2

Gibanje točke po kružnoj putanji. Kada je putanja kružnica (sl. 2.33), polumjer zakrivljenosti R =Ro konstantan je, a dužina luka mijenja se s vremenom po bilo kakvoj funkciji 5=5(t). Brzina, tangencijatna

j

normalna komponenta ubrzanja dobiva se iz izraza

-

~

tis)

-1 Slika 2.34

54

55

3.

Točka se giba pravocnno tako da je kvadrat njezine brzine zadan kao funkcija njezina položaja, prema dijagramu na slici 2.35. Skicirati i kotirati dijagrame s(t). r(t) i a(tl.

8. Gibanje iz 6. zadatka prikazati u cilindričnim koordinatama vektora brzine i ubrzanja. Rješenje: p=2 cm.

tp=4t rali.

t'=8,246cms9.

100

1

,

Slika

4.

odrediti iznose

z=2tcm.

a,"=32cms- 2 •

Čestica se kreće po sjevernoj pC'l\"ršini Zemlje konstantnom brzinom Vo, tako da veklOr brzine Vo zatvara s tangt'ntom na meridijan koji prolazi dalOm točkom konstantan kut :l prema zapadu. Odrediti putanju i komponente ubrzanja čestice u odnosu na Zemlju. Zadatak riješiti pomoću sfernih koordinata.

Rješenje: Putanja je loksodr:1ma tp=-tan s!mJ

1

le

IX

lntan

(~-:-~)+c.

gdje je

e

integracijska konstanta, ar =:~ i6/R, a", = r?o sin 2:x tan 9 ~R, = 1'5 sin 2 ,; tan,j R (R je poltunjer Zemlje).

.2.3~

a.9

Točka se giba pra\-ocrtno s ubrzanjem koje Je funkcija položaja prema jednadžbi

10.

Točka

U početnom trenutku brzina je točke Vo= l m s, a njezlO položaj 5 0 =0. Odrediti položaj točke. njezinu brzinu i ubrzanje kao funkciju vremena l ako je 01= 10 S-l.

A giba se u ravnini tako da je omjer njezine nonnalne komponente ubrzanja i p01umjera zakrivljenosti putanje konstantan i iznosi k. Također je poznato da je tangencijalna komponenta ubrzanja točke konstantna i iznosi A. U početnom trenutku (l =0) brzina čestice jest vo' Odrediti prevaljeni put čestice po putanji, brzinu čestice, tangencijainu i nonnalnu komponentu te polumjer zakrivljenosti putanj:, kao funkciju vremena l.

Rješenje: 5=0.1 sin 101. V= l cos lOl. a= -10 sin 101.

Rješenje: 5=0,5).12+ vol , V=~.l+t"o' aT=)~'

a=-(:)~5.

5. Čestica se giba kroz otpornu sredinu tako da njezino ubrzanje ovisi o brzini

prema jednadžbi

a=ao -kli 2 , gdje su ao i k konstante. Ako je u početnom trenutku brzina čestice Vo = O. odrediti brzinu čestice kao funkciju vremena t. Zadatak riješiti za ao = 10 m/s'!. i k=O.5m- 1 • Rješenje: 6. Gibanje

v=.JiQ lh,51.

čestice

zadano je jednadžbama

x=2cos41, gdje su x, yi -: u centimetrima, a t putanje. Rješenje: R=2,125cm. 7.

y=2sin41, II

z=2c,

sekundama.

Naći

polumjer zakrivljenosti

Točka

se giba u ra\"nini tako da je njezino gibanje koordinatama

r=20cos<.p,

određeno

polarnim

tp=21.

gdje je r U metrima, cp u radijanima, a t u sekundama. Odrediti: a) jednadžbu putanje točke u pravokutnim koordinatama i bl komponente vektora brzirie"i ubrzanja II polarnim koordinatama kao funkcije \Temena t. Rješenje: (x - 10)2 + r:! = 100 (kružnica),

Vr = -

-+o sin 2l,

vqt=40cos2r. ar = -160 cos2t. a... = -160 sin21. 56

57

3,

KINEMATIKA KRUTOG TIJELA

3.1 Translacija Gibanje kod kojega svaki pravac na tijelu ostaje lokom gibanja pJ.ralelan s\'om prvobitnom položaju naziva se lransiafOmim gibanjem ili kratko rr.ms/acija. za položaj tijela II prostoru dovolj oo je poznavali položaj samo jedne njegove točke (npr. XA,. JA. z:.. ). Te su koordinate za vrijeme gibanja funkcije vremena. dok su Eulerovi kutovi !/I. cp, i 8 konstantni ili se uzima da su jednaki nuii. Putanje:svih točaka tijela sukladne su krivulje, a prema obliku tih putanja transia.:ija moi:~1 biti pravocrtna i krirocrcna (sl. 3.1). z

z I

"-----'\.

B' \ r

r

L----7L--tl'--- A'~//

/

/

/

r

o~------------------~ y

O~------------------~y

x

01

x

bl

Slika 3.1. Pravocrtna (a) i krivocrtna (bl translacija

Brzina neke

točke

A tijela jeste prema definiciji brzine (sl. 3.2) v..t=r,,"

Za neku drugu

točku

B bit

(3.1 )

će

(3.2) 59

Ako se uvede od

točke A

prema

točki B .... ektor AB~

tada je rB=r,.t+AB. odnosno

i.=r. + AR Vektor AB po iznosu je jednak dužini AB koja je dio krutog tijela. TI

se dužina ne mijenja s vremenom. tako da vektor AB nema prirasta po iznosu Roceno je da je translacija takvo gibanje kod kojega svi pravci ostaju tokon' vremena parale1ni svojim prvobitnim položajima. pa je \'cktor AS paralelan vektoru A'B'. Vektor AB nema prirasta ni po smjeru. S1ik
3.2. Rotacija oko

nepomične

osi

Rotacija tijela oko nepomične osi jest takvo gibanje kod kojega dvije točke tijela ili dvije točke zamišljeno vezane uz tljelo miruju. Posljedica takve definicije jeste. da i sve točke pravca na kojem leie te dvije mirujuće točke također miruju. Taj je pravac as rotacije. Sve ostale točke tijela pri gibanju opisuju kružne putanje sa središtem na osi rotacije (sl. 3A). Pritom su putanje koncentrične kružnice koje leže II istoj ili u međusobno paralelnim ravninama. Mnogi se dijelovi mehanizama i

Slika

To znači da je AB=O te je

~.2.

Vektori brzina kod uansladjt

r" =rB ili '":.t=VB'

To vrijedi i za bilo koju

točku

(3.31

e odnosno (3.41

Vektori brzina svih točaka tijela kod translacije su jednaki. Za ubrzanje vrijedi da je 3A=VA i Bs=VS' Budući da su vektori brzina svih točaka međusobno jednaki, jednake su im i prve derivacije pa je (351 l vektori ubrzanja svih točaka tijela kod translacije mC
Može se zaključiti da je kod translacije krutog tijela dovoljno promatrati gibanje samo jedne njegove točke. Sve ostale točke tijela imaju jednaka gibanja. prostorno pomaknuta za udaljenost među točkama. Translacija krutog tijela svodi se prema tome na kinematiku točke, za koju vrijedi sve što je rečeno u poglavlju 2. Primjer 3.1 Zglobni četverokut prema slici 3.3 s ručicama rA i r. jednakih dužina dovodi kod zakretanja ručica oko OA i O. do kružne translacije spojne poluge AR Vektori brzina i ubrzanja svih točaka spojne poluge jednaki su:

os rotacije SUlca 3.4. Putanje nepomične

točaka

tijela kod rotacije oko

osi jesu kružnice

centrom na osi

strojeva tako gibaju (rotori motora, ručice mehanizama, zupčanici), pa je to jedno od najčešćih i najvažnijih gibanja II tehnici. Iz def!Ilicije tog gibanja izlazi da os rotacije ne mora neizbježno prolaziti kroz tijelo, a da je to ipak rotacija oko osi. Tako če prizma na slici 3.5a rotirati oko osi AB, ako joj dvije točke stvarno ili zamišljeno vezane uz prizma miruju. Ovdje su to točke O, i O2 , Sve točke iscrtkanog trokuta imaju kružne putanje sa zajedničkim centrom na osi rotacije (sl. 3.Sb). Takvo gibanje ne smije se zamijeniti s kružnom trar.slacijom, koja je prikazana radi usporedbe na slici 3.Sc,

za određivanje položaja tijela pri takvom gib. nju dovoljna je jedna koordinata. To je kut ŠIO ga bilo koji pravac vezan uz tijelo j okomit na os rotacije zatvara s početnim položajem (slik. 3.6). Taj je kut funkcija vremena: '1'='1'(1).

60

l>

rotacije

(3.6) 61

U konačnom vremenu Al ima kut cp konačni prirast A
I

(3.7)

Kao mjera brzine kojom tijelo rotira oko neke osi služi i veličina koja pokazuje koliko punih okretaja (2n radijanal učini tijelo u minuti. To je 'tzv. br:ina vrlnje ft (min -Il. Kod brziue vrtnje '1 tijelo će obavili 2nn radijana u minuti. te je veza s kutnom brzinom dana izrazom (uz l min=60s)

2nn nn (:)=60=30'

(3.9)

U toj fonnuli za izračuna\"anje kutne brzine brzina vrtnje n se uvrštaY3 u min -I, a izračunlti

lIO

{JJ je u rad s -I ili S -I. Promjena kutne brzine !:y.u II ili sr\'d,lje kllmo !Ibr::all}e:

konačnom

intervalu vremena fj.l

određuje prosječ-

!lOJ ts=

(3.10)

Lit'

kojemu je dimenzija radljan u sekundi na kvadrat (rads-Z). odnosno reciprOČ1Ja sekunda na kvadrat (S-2). Graničnim prijelazom na beskonačno mali interval vremena dobiva se lrenfl(IlO kW110 ubrzanje: !'J.w d", . E;=lim -=-=(0. ~_o!ll dl

cJ

bJ

aj

Slika 3.5. Rotacija prinne oko osi (a). četiri uzastopna položaja prizme kod rotacije (bl. i kružna translacija prizme (e)

Veze između kura cp, kutne brzine (:) i kutnog ubrzanja E; izrazima: W=W

(3.11 ) određene

su prema tome (3.12) (3.13)

p0510ji potpuna analogija između tih veličina le pu~a, brzine i ubrzanja kod pravocrtnog gibanja. KU[TIoj brzini i kutnom ubrzanju može se dati i vektorski smisao. što olakšava izvode ostalih kinematičkih veličina i razmatranje drugih gibanja. Budući da je os rotacije nepornicna, vektori (o i t leže na osi rotacije, imaju priraSle samo po iznosu. a vezani su preko prve derivacije po vremenu: t=ro. Smjer vektora co određen je smje:om rotacije tijela prema pravilu o gibanju desnog \ijka (pravilo desne ruke). Kad se smjer vektora co poklapa sa smjerom vektora t. rotacija je ubrzana. Ako su smjerovi suprotni riječ je o usporavanju. Da bi se odredila brzina neke točke na tijelu, treba derivirati vektor položaja te točke po vremenu. Ishodište vektora položaja može biti bilo koja točka keja relathno miruje u odnosu na tijelo. Radi jednostavnosti odaberirno za ishodište tačku O na osi rotacije (sl. 3.7). Brzina točke A jeste

pa

t

Slika 3.6. KU( rp, kutna brzina CI) i kulno ubrzanja t kod rotacije tijela oko osi

Kut lp se uzima u radijanima, tako da je dimenzija kutne brzine radijan u sekundi (rads-l). Kako je radijan izvedena jedinica za kut i ima značenje m/m (omjer kružnog luka- i PQlUIJ1j~ra), to se čes.tQ.radijan.u:dimenziji za kutnu- brzinu ispušta, te je alternativna dimenzija recipročna sekunda (s -1). Prirast kuta cp u beskonačno malom vremenu dt daje trenulflu kucnu brzinu: .

!'J.qJ

dqJ

.

w=hrn -=-='1'. &_o!1r dt 62

(3.8)

• dr v=r= dJ.

(3.14)

Idrl =dqJ IrJ'sin<>,

(3.15)

drl =-Irlsin~. dqJ

(3.16)

Iz slike se vidi iznos prirasta dr:

što nakon dijeljenja s dl daje -

Idr I

dt

63

iIi~ drugačije

napisano,

Drugi član: (ax(roxr)=
(3,l7 J Desn;l strana tog izraza jest iznos vektorskog produkta među vektorima ta~vim poretkom da se brzina v poklapa sa smjerom vektora dr. tj,

ID

i T. i to s (3.18)

(3.23)

T o je Euli!ror;a Jormutu za iz'računavanje brzine bl10 koje točke A tijela koje rotira oko nepomične osi kutnom brzinom (1), la koju je položaj o~ređen ve~to~om r. Iznos brzine dobiva se pomoću izraza (3.17). Kako j~ iz slIke 3.7 VidlJIVO. lrl·sin :x=b, gdje je b udaljenost od osi rotacije i ujedno polumjer kružne putanje točke A. Tada je

To zn
v=roxr.

=mx~xr)=rox~

(3.191

v=bw.

N

I;'nosi brzine to.čke.4 (3.19) i kmnpone?ata ubrzanja (3.22) i (3.~3) proporcio. nalnt ;>U s udalJcnošcu od OSI rotacIJe. To vrijedi l za ukupno ubrzanje a, jer je

a=v'a~+a~=bv'e'+(Q4,

(3.24)

Na slici 3.8 pdkazani su vektori brzine i ubrzanja točke A kod rOlacije tijela oko ncponučne OSI.

A

dr

Primjer 3.2

A'

C:drediti vektore brzine i ubrzanja točke A kocke koja ralira oko jednog brida ako su zadani il. (I) i e (s/. 3.9), . '

W~ A

/1

o

w

o

I I I

ir

•

• ""J...--__ 4

"

Slika 3.7. Prirast dr vektora r kod rotacije tijela oko nepomične osi

Slika 3.8, Brzina j ubrzanje točke tijela kod rotacije oko nepomičnt osi

"

/

h

/ h

~

Deriviranj.m (3.18) po vremenu dobiva se vektor ubrzanja točke A: •

d dt

8=V=- «(.I)

Rečeno je da je

• • x r) =0) x r+m xr. .

Slika 3.9. Rotacija kocke oko br/da

(3.20J Odabere li se ishodište O na osi rotacije (sl. 3.10a) i koordinatni sustav s osima točke A, kutna brzina i kutno ubrzanja odredeni su \"ektorima

ro= E, dok je r=v=o> x r, tako da je a=& x r+o> x .~. x r+Ol x(.. x rJ.

x, y, t, položaj

r~lti+hj+hk

(3,21)

Na desnoj strani tog izraza mogu se prepoznati
Ol=wk e=.k. Prema (3.18) bit

brzina V~.,

(3.22)

64

će

5

5,

Jecić:

x r~",k x (hi +hj+ltk)= -,vili +whj

KINE:MATIKA l DIXAMIKA

65

normalna komponenta

ili po iznosu

v=Jv;+v; =whj2. Budući

.aN =w'b =w'h.J2.

r'-~ Ukupno ubrzanje a=vl.i~+a;'=h'\.l2ve2+ni~·.

daje L1X=V", leži vektor \' pod kutom od 45~ prema osi x (sl. 3.10b).

Položaj tih komponenata prikazan je na slici J.II. Zadaci se obično lakše rješavaju kada je moguće određivanje brzine i ubrzanja preko prirodnih komponenti.

z vy =wh7 y

y

2~ ay=h(E-W lj

A O'

v){=-whi"

W h

E

y

E

k I O

/

/

/

,

/

,

X

aJ:=-~(E+w2) i ,,

/

h

/

,,

,,

,

/

E OI

OI ~

v ~ wh{i

A

A

O'

h

c·

x

x

h

cJ

bJ

aj

h

E OI

Slika 3.10. Vektori položaja (a). brzine (bl i ubrzanja (cl točke A izraženi pomoću sustava x. y.:

:0'

h

x

Slika 3.11. \ ektori brzine i ubrzanja u prirodnim komponentama

Ubrzanje se dobiva množenjem pripadnih vektora prema (3.21): a = e x r +co x v =.k x (Ili + hj + hk) +",k x ( - whi +whj),

što nakon množenja i

sređivanja

3.3. Ral'oiosko gibanje tijela

daje

3.3.1. Prikazivanje ravninskog gibanja translacije i rotacije

a= -h(e+w')i+h(e-w')j. Apsolutna vrijednost ubrzanja jeste

a=Ja;+a; =h.J2·J~2 +ro

RalInilIsko (planama. ravansko) gibanje takvo je gibanje krutog tijela kod kojega se sve točke tijela gibaju u istim ili II međusobno paralelnim ravninama. Pritom je dovoljno poznavati gibanje bilo kojeg presjeka tijela s ravninom u kojoj se laj presjek giba (referenrna ravnina). Svi ostali presjeci tijela, paralelni s ovim referentnim, gibaju se II paralelnim ravninama na jednak način. Ravninsko gibanje je npr. kotrljanje valjka kod kojega .os valjka ostaje uvijek paralelna prethodnom položaju. Svi presjeci okomito na os valjka gibaju se u svojim ravninama i dovoljno je promotriti gibanje samo jednog takvog kružnog presjek~ pa da se znade gibanje svih točaka tijela.

4

Smjer ubrzanja određen je kutom

:l..

•

za koji vrijedi da je

la,l e-w' l-w'je tana: = - = - -2= - - - . .. la;!:1 e+ro l +oi/e c

Vidi se da kut a: mora biti uvijek manji od 45°. Granični slučaj kad,a je a:.. =45 (tan a:
aT =eb=eh.J2,

66

pomoću

Može se zamisliti da se ravninsko gibanje sastoji od rat:ninske translacije, s nekom odabranom točkom na presjeku, i od rotacije oko osi koja prolazi kroz tu točku i stoji okomito na referentnu ravninu. Takva predodžba omogućuje jednostavnije opisivanje tog gibanja, jer se svi zakoni zasnivaju na superpoziciji translacije i rotacije presjeka u njegovoj ravnini. Iz položaja AB (sl. 3.12) dolazi presjek tijela ,.:o:.-i;.:,.:;~:..-:-,u,.n.ovi_položaj A~B' translacijom s točkom A (krivulje l) i rotacijom oko A' za kut rp. Za vrijeme translacije AB će doći u novi paralelni položaj A'BI' a zatim rotacijom oko A' u konačni položaj A'B'. U stvarnosti se ta dva gibanja odvijaju istovremeno. Jednako tako m·ogli smo zamisliti ravninsko gibanje sastavljeno od translacije s B po krivuljama 2 u novi položaj B' B2 i rotacije za kut rp oko B'. U oba slučaja smjer je rotacije isti.

5*

67

nate točke A (sl. 3.14) i nagib dužine AB prema osi x. Sve tri koordinate funkcije su od vremena; .

B,

J'A =)'A (tl

(3.26l

rp=rp(tl.

(3.e7)

Točka kojoj je poznat položaj u svakom trenutku uzima se kao mjerodavna za translaciju. Oko te točke promatra se i rotacija. Na slici 3.14 to je točka A. Brzina i ubrzanje te točke određuje se na način kako je to opisano u kinematici točke. Tako je u x, y susta vu

Slika 3.12. Ravninsko gibanje sastavljeno od translacije s A i rotacije oko A' ili od translacije s B i rotacijI! oko B'

Potpuno je svejedno koji prava~ presjeka tijela uzimamo kao mjerodavan za ravninskog gibanja. Elementi rotacije (kutna brzina i kutno ubrzanje) svih pravaca presjeka su jednaki. Tako na slici 3.13 dužina AB ima zbog rotacijske komponente ravninskog gibanja kutnu brzinu (j) = i kutno ubrzanje E = rio Za dužinu e D OJ = Pi • = p. Budući da je p= • + ii, te kako je kod gibanja krutog tijela {j nepromjenljiva veličina, to je P~ ct i i1= Ci! stoga S,ll (JJ i e je~nak~.za obje dužine. Cs rotacije na kojoj leže vektori eJ) l E stalno Je okomita na presjek ujela odnosno na rdecentnu ravninu ravninskog gibanja. Ta os pomiče se za vrijeme gibanja paralelno II skladu s translacijom tij~Ia. Kod paralelnog pomaka vektori oo i t nemaju prirasta po smjeru, pa se rotacijska komponenta gibanja ~.ože pr~matra~i ka.o rotacija tijela oko osi konstantnog smjera. Kad nema translacIJe, ravnmsko gIbanje prelazi u rotaciju oko nepomične osi, koja je, kako se vidi, posebim slučaj ra~ninskog gibanja. određivanje

a

vA=rA=·-(Ai+Y...J

(3.28)

aA=rA=·~Ai+};j.

(3.29)

Time su svi elementi translacije tijela poznati. Rotacija tijela oko osi koja prolazi kroz točku A. a okomita je na referentnu ravninu x, JI (kratko rotacija oko .-t) potpuno je određena poznavanjem kutne brzine {JJ i kutnog ubqanja E::

OJ=ip

(3.31 )

Brzina bilo koje druge točke, npr. B, bit će (3.32)

Ako se uvede od točke A prema B vektor AD, može se vektor vektora fA' Tada je cB=r)l+AB, paje

•

CB

izraziti pomoću . (3.33)

Prvi član na desnoj strani: r. . =vA predstavlja komponentu brzine B koja je posljedica translacije tijela s točkom A. Budući da vektor AB pripada krutom tijelu, neće bit njegova prirasta po veličini. Prirast po smjeru vektora AD postoji samo zbog rotacije oko A, tako da je IdABI = IABI drp (sl. 3.15), odnosno dAB

o XA x Slika 3.14. Koordinate po'o~ja presjeka tijela kod ravninskog gibanja

(3.30)

t=qJ.

y

"

(3.25)

Preostale koordinate koje određuju položaj tijela u prostoru (z, t/I i 9) nisu kod ravninskog gibanja funkcije vremena, pa ne ulaze u jednadžbe gibanja tijela.

Bz

Slika 3.13. Rotacije svih dužina presjeka tijela kod ravninskog gibanja su jednake

XA =X A (l)

I- dt

I=IABI-=IABI·lml· dt d
(3.34l

'=;;-.

3.3.2. Brzina i ubrzanje

za

točke

na tijelu

poznavanje položaja presjeka tijela u odnosu na referentnu ravninu nUŽDa su i dovoljna tri podatka: dvije koordinate jedne točke i kut nagiba jednog pravca prema nekom drugom nepomičnom. To mogu biti npr. dvije Descartesove koordi68

w A Slika 3.15, Prirast vektora

AB posljedica je samo rotacije oko A 69

Kako je '" kod ravninskog gibanja uvijek okomit na AB, to j.jABj·j",j = jro x ABj

centripetaina (>.IAJH=ro" (ro" AB) daju komponentu ubrzanja as'. zbog rotacije H oko A, pa Je

ili

AB= ... xAB,

a.=a A+8.,. =aA+ (ll. . )T + (aBl .. l..

(3.35)

Redoslijed vektora ti umnošku (I) x AB izalzi iz smjera vektora dAB. Prema tome je drugi član na desnoj strani izraza (3.33) Eulerova formula za brzinu zbog rotacije tijela oko A, tako da je

(3.41)

Tangencijaina komponenta zbog rotacije ima iznos (aBAlr=t'AH, jer je • .LAB, Nonnalna komponenta po iznosu jednaka je (as!A)s=oi . AR ili (a B ,.<1s = vij :AB . Prikaz komponenata ubrzanja dan je na slici 3,17. " ..

(3.36)

\'s=v... +(I)xAB.

Drugi član skraćeno ćemo pisati ID x AB=va ,ft a izgovarati indeks B/A .. B oko AH. Na taj način može se odrediti brzina bito koje točke B presjeka tijela poznavajući translaciju s nekom točkom A i rotaciju oko te točke: (3.31)

Iz vektorskog produkta (3,35) vidi se da je brzina VBI.. uvijek okomita na pra,"c AH s iznosom t'g.-4 = AB <(j), Obje komponente gibanja i pripadni vektori brzina prikazani su na slici 3.16,

!

Ravninsko gibanje

Translacija s A

Slika 3.17. Prikaz ubrzanja kod ravninskog: gibanja raSl
5- ločkom

A j rotaciju

3.3.3, Trenutni pol brzina i Irenutni pol ubrzanja Kod opisivanja ravninskih gibanja i u konstruiranju s!dopova koji oStvaruju takvo gibanje važnu ulogu imaju one točke kojima je brzina, odnosno ubrzanje u promatranom trenutku jednako nulL Te točke mogu ležati na presjeku tijela iti izvan njega~ DO smatrat ćemo ih uvijek vezane uz tijelO•

...... Ravninsko gibanje

Translo:cija s A

za točku P,

Rotodja oko A

koja kod ravninskog gibanja nema brzinu mora prema (3.37) biti

Slika 3.16. Prikaz brzina kod ravninskog: gibanja rastavljenog na translaciju s !očkorn A i rotaciju oko A

Ubrzanje ločke H prva je derivacija vektora brzine •

'B po vremenu:

d

a.=,.=-(v. +... "AB), dl

(3.38)

Kada se provede denvadja. bit će

a.=v,,+Č>x AB+ ... "AB. (3.39) prvi član desne!'trane odgovara ubr:zanju Io.;\:e A, jer je VA ='lt, te je lo komponenta ubrzanja zbogtrimsJacije s A. e dnigofu'čliinu ';'=E, a u trečem, kako smo vidjeli

A:8=0>" AB, tako da je

a.=a, +e x AB+ro" (O> x AB),

(3.40)

Drugi i treći član desne strane log izraza poznate su komponente ubrzanja zbog rotacije tijela oko A. Tang.ncij.lna komponenta (aBIA).,=exAB i nonnalna ili

70

(3.42) odnosno V'JA = - v... To znači da točka P. mora ležati tako. da joj je komponenta brzine zbog rotacije jednaka i suprotno usmjerena brzini translacije. Prema tome P. može ležati samo na pravcu koji prolazi kroz A i koji je okomit na brzinu v.. (sL 3,18). Gdje treba tražiti na okomici točkn P, pokazuje smjer kutne brzine .... jer je za tu točku vektor vPJA brzina rotacije oko A, Udaljenost točke P. od A dobiva se iz iznosa brzine rotacije: APe Točka

= V/'JA

"'"


_ t.'A -.

(3.43)

(l)

PI!' zove se trenutni pol brzina i u nekom trenutku jedina je točka na presjeku tijela, ili zamišljeno vezana uz presjek, kojoj je brzina jednaka nuli. Trenutni pol može se na opisan način pronači preko brzine bilo koje točke presjeka, Okomica na bilo koji vektor brzine presjeka mora prolaziti kroz trenutni pol brzina. pa je za njegovo pronalaženje dovoljno poznavati samo pravce brzina dviju točaka. 11

npr. A i B na slici 3.18. Koincidentna ločka s trenutnim polom brzina vezana uz referentnu ravninu zove se rrenutni centar rotacije. Ravninsko gibanje se, prema tome, kod promatranja brzina može predočiti i kao rotacija oko trenutnog centra rotacije, koji s vremenom 'mijenja položaj u ravnini, pa se tada radi o nizu uzastopnih beskonačno malih rotacija oko pripadnih centara rotacije. Brzinu svake točke presjeka ~a možemo izračunati iz poznatog pola P, i kutne brzine w, pri čemu je VA =(1)' AP", vs=w' BP" itd.

Kut y pravca na kojem leži Ps

II

odnosu na ubrzanje a ..

određen

je odnosom

(apiA)T

(3A7)

t.ny=--, (OpjA)N

a kako je (OP.'A)T=&· APg i (ap.lA)N=W2. APa lo je

e

tan 1=-,·

(3.48)

(o'

Slika 3.18. Trenutni pol brzina Pr Slika 3.19. TrenUIn! pol ubrzanja

Ubrzanje trenutnog pola brzina prema (3.37) jeste

ap , =a A +S x AP, +W x(w x AP,).

Slično kao i kod pola brzina, kutno ubrzanje s pokazuje smjer u kojem kutom )' idući od točke A nalazi točka P Budući da je

(3.44)

aA =.j(a pJA l? + (a p;, )~ _ AP• .j.' +",'.

udaljenost je pola ubrzanja od

točke

A (3.49)

Pomoću poja ubrzanja P" kutne brzine w i kutnog ubrzanja e može se odrediti ubrzanje bilo koje točke tijela. Tako je za točku B:

".=ap• + (aB/p.h + (a81P.lN a kako je op =0. preostaju samo komponente ubrzanja zbog rotacijske komponente gibanja, koJe ćemo ovdje skraćeno omačiti s air i a;N' Ubrzanje točke B prema tome je a.=air+a;N' kod čega je air=e·BP. i a;N=",'·BP. (sl. 3.19). Obje komponente podsječaju na prirodne komponente ubrzanja, ali se od njih razlikuju kako po iznosu tako i po smjeru. Stvarna normalna komponenta ubrzanja usmjerena je prema središtu zakrivljenosti putanje točke B koje leži na istom pravcu kao i pol brzina P. gledano iz točke B. Tangencijalna komponenta poklaplYe ,5 pravcem -, vektora brzine. '

P. koja nema ubrzanja (trenutni pol ubrzanja) mora zadovoljiti uvjet da

je

(3.45) Qdnosno (3.46)

Ako točka P. zadovoljava gornje jednadžbe, za nju će zbroj komponenata ubrzanja dati nulu prema slici 3.19, tj. bit će

72

si pod

(l'

To ubrzanje bit će jednako nuli u dva posebna slučaj.: kada su sve tri komponente desne strane jednake nuli ili kada je vektorska suma tih komponenata jednaka nuli. U prvom slučaju kada točka A nema ubrzanja i kada je kutno ubrzanje jednako nuti. morala bi i kutna brzina biti nula. Tada ne bi bilo rotacije, tijelo bi se gibalo samo jednoliko translatorno, a okomice na sve brzine sjelde bi se u beskonačnosti, gdje bi bio i trenutni pol brzina. Drugi slučaj, kada je vektorska sUnta u (3.44) jednaka nuli, mačilo bi da pol P" pored toga što II promatranom trenutku miruje, nema ni prirasta brzine. Pol Pu bi tokom svog gibanja mirovao, pa je to slučaj rotacije tijela oko nepomične osi bez translacije. Vidi se da u općem slUčaju ravninskog gibanja kada postoji translacija i rotacija tijela ubrzanje a, ne može biti jednako nuli pa trenutni pol brzina nije ujedno i pol ubrzanja. • Točka

P~

Umjesto rastavljanja ravninskog gibanja na translaciju i rotaciju, kako je to opisano u 3.3.1, i 3.3.2, može se to gibanje, dakle, promatrati kao trenutna rotacija oko pola brzina (za brzine) i pola ubrzanja (za ubrzanja), U svakom novom trenutku trenutni polovi brzina i ubrzanja druge su točke. ~,

,

-

73

Primjer 3.3

Odrediti brzinu i ubrzanje tocke B na obodu automobilskog kotača (zaglavljeni profilu gume) za položaj prikazan na slici 3.20 i II trenutku kada automobil na ravnoj cesti počinje jednoliko ubrzavati. Automobil se za t = 10 S ubrza sa v.=3.6kmjh na'A 75.6kmjh. Promjer kotača R=O.5m, a kut .=60°. Pretposta~iti kotrljanje bez klizanja. kamenčić II

I

kotača trenulni pol brzina P" (sl. 3,2~). Koineid~nln. tocka na cesti trenutni je centar rotacIJe. Ako se kotrljanje shvati kao rotacIja oko trenutnog pola; brzina VB okomita je na udaljenost od pola BR . • po iznosu je jednaka (sl. 3.21 a l: -

VA

X

rt.

R

2

2

".=mBP c =-2R oos-=2v. cos-= 1,732m.- 1

x

s Slika 3,::0. Kotrljanje

kotača

.,

po t3vnoj pOdlozi

P.

Na ravnom dijelu ceste gibaju se automobilski kotači ravninski, što se može predočiti tran,lacijom sa središtem kotača A i rotacijom oko tog središta. Tocka A giba se pravocrtno, pa su njezini elementi gibanja VA i aA u trauslatomoj komponenti jednaki za sve tocke kotača, Kada je kotrljanje bez klizanja, put s središta kotača jednak je luku s=Rtp na bodu kotača. Promjena kuta tp u vremeuu daje kutnu brzinu (",=4» i kumo ubrzanje (e=;p), što su elementi rotacijske komponente ravninskog gibanja kotača, za takvo kotrljanje bit će

Ubrzanje

-

VBlA =roR

aA

,

- =(VA)'R ~ 2 m s-, . (aB!.)N=(J)",BA 'R ='R= Budući

Komponente

daje aJ = v.lR

a"" i a., ukupnog ubrzanja lOCke B iesu (sl. 3.21 bl: a.. =a.+(aB1A ),., sin a+(a./Ah co. ,,=4,732 m s-'

=VA'

a.""" {a.,.h si....", ~.]><)"cos ,,=O,732,m ~-l:~~" ..~, .

. ·Na slici .3,Ua"i1'alirtani s\fp:oltifliji vekloraoilnillll.· Iz slike slijedi da je

pa je ukupno ubrzanje i kut vektora ubrzanja prema osi x

" VBIA cOS2'=2. " a: 1,132 m S-I vB =•• cos'2+ A «)82'=

as =4,789ms-'

Do islog rezultata može se doći i preko trenutnog pola brzina P.. za vrijeme kotrljanja bez klizanja locka koja je II dodiru sa cestom miruje, pa je ta locka

14

izraza (3.41):

dok nonnalna komponenta gleda prema srediftu A s apsolutnim iznosom

Brzina točke B dobiva se prema (3,37):

oko Aimosi vJIIA =roAB.

pomoću

(a•• h=e·AB ='RR=a•. =2ms- ,

Na početku perioda ubrzanja v.=3,6km/h=lms- J i QA=(VA-V A J/At=2ms-', tako dajew=v.IR=2s- 1 i e=aA /R=4s- 2 • •

kotača

B dobiva se

Tangendjalna komponenta zbog rotacije oko A okomita je na dužinu AB i iznosi

IJA=š=Rq,=R&.

Brzina tocke B zbog rotacije

točke

aB = aA +(88/.),.+(88/A)"·

vA=š=Rip=Rro

i AB=R,

bJ

oj

Slika 3.21. Brzine (al i ubrzanja (bl kod kotrljanja bel klizanja po ravnoj podlozi

"',=8,793' .

il

75

Ako se ubrzanje 3 8 određuje pomoću trenutnog pola ubrzanja P udaljenost pola ubrzanja od točke A dobiva pomoču izraza (3.49): AP.

k

(;I'

tada se

Primjer 3.4 Odrediti trenutni pol brzine štapa kojemu krajevi A i B klize po okomitim stijenkama.

0,354m.

Pravac vektora brzine točke A pri klizanju tog kraja štapa po horizontalnoj stijenei poklapa se s osi x. Okomica na pravac brzine vA mora prolaziti kroz trenutni pol brzina. Točka B giba se u smjeru osi y. pa je to pravac brzine "s. koje okomica također prolazi kroz pol brzina, Tamo gdje se sijeku opisane okomice nalazi se trenutni pol brzina Pv' sl. 3.23.

'" +",4

Ta udaljenost leži pod kutom y (sl. 3.22) prema ubrzanju središta aA (izraz 3.44) u smislu e:

•

}'=arctan 1 =45°.

w

Udaljenost pola P. od

točke B

međusobno

slijedi iz geometrijskih odnosa sa sl. 3.22:

BP.~J(R sin x+AP.eos y)' +(R cos .+AP. sin y'j' ~0,846 m.

y

D

-----------
P.

,,, I I

,, I

I

,I I I

I I I

I

o

x

A Slika 3.23. Trenutni pol !ila pa kojemu krajevi klize po mo;:đusobno okomili m slijenkama

I

.,;

I

Slika 3.22,

Određivanje

ubrzanja preko pola P" kod kOlrljanj
3.3.4. Poloide Nagib tc dužine prema osi x iznosi

P= arc tan

_ R_e_o-,s-,._+~A~P~ • .:.sl=·0:.=.

R sin a: + APa cos o:

Komponenta ubrzanja s obzirom na pol PG' bit

36,207·.

će

a:,. = e' BPG' =3.387 m s-.2 a*BN ~w'·BPOI' ~3387ms-' • Ukupn~~~.p.anje_ točke. B:-!~kut.. P.~~~~_. o_~~_~j:su

as~J(a:,.'j' + (a: N )' ~4,789 ms-' a* •• ~aretan :' -p~45·-36,207'~8,793°. aSN

76

Poloide ili polne krivulje (rulete, centroide) jesu krivulje na kojima leže svi trenutni polovi brzina odnosno trenutni centri rotacije.

J

Ako se zamisle tri uzastopna položaja presjeka tijela koje se ravninski giba, odgovaraju trenucima tlo t2 i t3 položaji AIBh A2B2 i A3BJ (sl. 3.24). U trenutku tl pripadni vektori brzina su V,u i VBI • Njihove okomice iz AI i BI daju trenutni poJ brzina PVI i koincidentnu točku P~l (trenutni centar rotacije). U novom položaju koji odgovara trenutku t2, položaj presjeka određen je s A 2B 2• a trenutni centar rotacije je P~2' Trenutni pol brzine Pv2 koji je vezan uz tijelo poklopit će se nakon proteka vremena t2 - tl S trenutnim centrom P~2· Slično je s polom P 113 i centrom rotacije P~3' Svi trenutni polovi brzina P" leže na krivulji vezanoj uz tijelo. Ta krivulja zove se pomična palaida, jer se u odnosu na nepomičnu referentnu ravninu x, y giba s tijelom. Trenutni centri rotacije, koji su tragovi polova brzina, leže na krivulji koja je nepomična, a vezana je uz referentnu ravninu. To je nepomična palaida. Pomična poloida (pp) izražava se matematički u koordinatnom sustavu ~. 11 vezanom uz

.. za neki oPĆi položaj štapa, koji je odreden kutom

tijelo, pa je njezina jednadžba u implicitnom obliku (3.50)

4'(~, ~)=O.

Nepomična poloida (np) matematički se opisuje unepomičnom sUSlavu x, y, te joj jednadžba u implicitnom obliku glasi F(:-" y)=O. (3.5 I)

brzina P. nalazi se na sjecištu okomica na osi x i y povučenih iz točaka A i B. U koordinatnom sustavu 1;, q vezanom uz štap koordinate točke P. glase cos !p sin

.

e

2

=b2 cos2 (,O sin:! tp=b2 cos2 q>{I-cos2 ~j~ pomoću cos2

Kako je nakon sređivanja jednadžba

pomične

Se

poloide (pp)

~'+( q-Đ' =(~r _-1ioi;;:±-- ;;" Ya?

vS1 YI

To je jednadžba kružnice polumjera b/2 s centrom pomična polojda kružnica s centrom na štapa A i B.

po~ovici

e., =0, "1., =~. To znači da je

štapa, koja prolazi kroz krajeve

U nepomičnom koordinatnom sustavu koordinate x i )' točke Pl' glase: x=bsin
y=bco'q>, što kvadrirano i zbrojeno daje jednadžbu

nepomične

poloide

:c'+ y'=b'. nepomična

poloida F{x,yJ x

o Slika 3.24. Pomii:na i

nepomična

poloida

Obje poloide nacrtane su na slici 3.25. Pri gibanju štapa kOlrIja se kružnica pp po kružnici np s unutrašnje strane (Kardanov problem). Umjesto pomoću utora može se isto ravninsko gibanje ostvariti izvođenjem pomične poloide u obliku kružnog zupčanika promjera b koji bi se kotrljao po ozubljenom kružnom vijencu dvostruko većeg promjera. y

Kada su za neko ravninsko gibanje poznate obje poloide, mogu se one fIzičk.i izvesti kao rubo\-, pločastih tijela, tako da se to gibanje ostvaruje kOlrijanjem bez klizanja pomične p%ide po nepomičnoj poloidi. Takvo gibanje ima jedan stupanj slobode; dovoljna je samo jedna koordinata za poznavanje položaja presjeka u ravnini. To je slučaj npr. s kotrljanjem valjka po ravnoj podlozi ili kotača u primjeru 33. Ravninsko gibanje može se potpuno odrediti promatranjem gibanja kružnog presjeka valjka. Obod kruga koji se kotrlja po pravcu pomična je poloida, a pravac nepomična. Vidjeli smo da se svako ravoiosko gibanje može zrunisliti sastavljeno od translacije s nekom odabranom točkom i rotacije oko te točke. Druga je mogu~nost da ravninsko gibanje promatramo kao rotacije oko trenutnih centara brzina j trenutnih polova ubrzanja. Prikazivanje i izvodenje ravninskih gibanja pomoću pomične i nepomične poloide daljna je mogućnost koja se nadovezuje na promatranje polova brzine i ubrzanj.. ..,--.Primjer 3.5 Odrediti pomičnu i nepomičnu poloidu štapa kojemu se krajevi gibaju po utorima u smjeru osi x i y. Zadana je dužina štapa AB =b (sl. 3.251. 78

Slika 3.2.5.

Pomična

i

nepomična

poloida štapa kQjemu sc krajevi gibaju u smjeru osi x i y

79

3.3.5. Plan brzina i plan ubrzanja

Karakteristično je za plan brzina da je trokut Al BI Ct $ličan trokutu ABC u planu položaja, le da je taj trokut zakrenut za 90~ u smjeru (:J. Oba trokuta imaju međusobno okomite stranice. Veklori brzina svih točaka tijela imaju u planu brzina zajednički počelak (ločka P, na slici 3.26).

Vektori briioe i ubrzanja određuju se kod plana mog gibnja i grafički crtanjem plana brzina i plana ubrzanja. Pri tom se za bilo koje dvi:e ~očke n~ presjeku tijela jednadžbe (3.37) i (3.41) rješavaju grafički, a tako nacrtam planov, zapravo su vektorski dijagrami pomoću kojih se mogu pronacI vektori brzme 1 ubrzanja svake točke na tijelu.

Ubrza.oja sli~cde iz jednadžbe ~B = 31- + 3 B. A = aA + las/")i\" -'-lastA)T" I ovdje ćemo pretpC?slantI da Je poznato ubrzanje aA l p'r
Koci ravninskog giba~ja tij~l~ obično je poznat vektor ~rzin~ jedne to~k~, _dok za nek-u drugu točku znademo pravac brzine. Neka su (o brzma vA točke A I prav~~ brzine. točke B (sl. 3.26). Plan položaja crta se u mjerilu u kojem l cm na crtezu odgovara .l m originalne konstrukcije. Osnova za crtanje plan;1 brzma jest vektorska jednadiba "'B = V.... + VB A" Brzina "A poznata je i crta se ka;) prvi vekt?f plana briin:a-u-jnjeniu za brzine (1 cm=At>ffis- 1 ) paralelno svom pravcu IZ plana

položaja~

" ,"

:~,I,:

.,

.

_ I fl',

~'(. __ -.' r,

~;

.:...-' lAB

:".~

;;;

(3.52)

"I

Iz plana brzina otira se brzina Vs A i prema gornjem izrazu izračuna komponenta ubrzanja latll.,.t)N· T~ k<:>mponenta leii na p~avcu.AB i usmjerena je od točke E prema točki A, te Je tako u planu ubrzanja, poštujući odabrano mjerilo, treba nacrtali (sl. 3.27). Ona se nadovezu.ie na vektor ubrzanja 3:~. Komponenta (as.~ hpoznata je samo po pravcu. okomira je na komp
-.

"

,~~.,/.?,~.

Plan brzina

Plan položaja 1 cm;: Aim

/;.tf'·F.".·("·~,:;(.{,.'.I:'.:

; ?:'; .ij.( praVQc brzine

ve

Plalnr-'~61~z~1'd'~

.J:~'---·r~.""

i.1?. I,

Plo.nubrzonJo 1 cm ~ Aa ms-2

litA II BA

1clTI:),,\m

p, dE::::::---.:.!!'--4.

Slika 3.26. Plan brzini>

;J

211-.11 - O.u::,·;'··:c. v-,- "~~jj.

B, II P,

pr-uvac UJrzanja ':

.-B.rn.I!~_YBILQ.~C?_mi!.~j~_na ~_~_! ..~"5. ~~_~~I_eJ~!D .~~~~~~.P}_ ~~_~a~_.~~o~~~~_E.~a~~

brzina. Time je .t~~~IJmJ:rg}l;ut p~na nacr~,-n~.PoneJč~4._ce _umjesto P~VC~Pl biti -poznat~-k-lltn.a .. brzina (o. Tadaje vBIA =co' Ai3, pa s~ i na način može nacrtati ~em~!i!!i .!~~kllt b~~a: -... _.. ---.. .'.

:aj

za neku novu točku e vektor brzine vc=V.A+vCJA .. Okomit~ na AC povlači se planu brzina pravac vektora VC/A' Kada kutna brzma co DIJe poznata. tr?k~t brzina~e moguće zatvoriti. No kako je s druge strane...!c.= VB + VC!B' gdje Je v .lBC brzina v određena je sjecištem okomica na AC i BC (točka C,). Na taj n~tm ~uje se 6'rzina bilo koje točke tijela. za točku D vrijede ove jednadžbe: .Yo.:7""V..t:+VO/A i VO=VB+VDIB. Budući da brzine vOlA i 'DIB u planu ~rzina leže I.!~--. istom pravcu. dijeli točka DI duljinu Al BI u jednakom omjeru kao i točka D duljinu AB. Naime, vektori VB/A i 'DIA ~sljedica su rotacije dužine AB oko točke A , kod čega J'e VBlA =W' AB __ i V DIA =W' AD. __ Iz toga izlazi da je VBIA : "DIA =AB: AD, odnosno u planu brzina A,B, :A,D, =AB :AD. Iz tog omjera pronalazi se položaj točke D,. II

Slika :."!7. Plan ubrzanja

Za točku C određuje se vektor ubrzanja pomoču jednadžbi ac = aA + (oCIA)N + +(ocIAh i 0C=08+(OC/8)N+(OC/8)" ~ormalna komponenta (aetA)N gleda od točke pIema-A; crta se paralelno s pra\o"co!m AC, a nadovezuje se na vektor aA. Ta

e

komponenta iznosi V::IA (ac/Ak =(02AC ==, . AC

j c,~

80

te je nakon nacrtanog plana brzina možemo izračunati. Tangencija1na komponenta (ac/Ah okomita je na nonnalnu (a, A 1:-; i na nju se u planu ubrzanja nadovezuje, Po 6

I

(3.53)

S. Jecie; K!~EMATlK.';' I DI:-.IAMtKA

81

/

'0

iznosu je n.pomata, osim ako je poznato kutno ubrzanje e. Isti postupak provodi se s komponentama (acI.). i (>cIBh, pri čemu je

"z,•• (aClS )pj=w'BC·==. BC

Ubrzanje točke A zbog rotacije ručice konstantnom. brzinom vrtnje ima samo normalnu komponentu

(3.54)

Tamo gdje se sijeku pravci tangendj.lnih komponenti (točka C, na slici 3.27) nalazi ~iljak vektora ac

Plan položa.ja

se

1cm;lcm

Ubrzanje točke D dobiva se iz jednadžbe 3 D =a.+3D " . Komponent. a,!) A =(a Df,4)N + (aDf.Ah proporcionalno je manja od ubrzanja aBIA za onoliko za koliko je AD manje od AB. Naime,

ojnico

e Plnn brzina

Prema tome je aD/A:a./A=AD:AB ili A,D,:A,B,=AD:AB (sL 3.27), pa je točkom D, određeno ubrzanje aD. Vektori ubrzanja svih točaka tijela imaju u planu ubrzanja zajednički početak (točka P, na slici 3.27). Stranice trokuta A,B,e, II planu ubrzanja u mjerilu ; .• jesu ubrzanja k.<:>.i! su posljedica rotacije tijela. Kako su ta ubrzanja proporciona!na duljinoma AB, AC i BC, to je

AB :AC :Be =A,B, :A,C, :B,C " p. je "'ABC"" "'A,B,C,.

1~1

B,

(3.55)

p.

r--'-.., , P!(l.n ubrzanja

Primjer 3.6 Odrediti brzinu i ubrzanje klip. i težišta C ojnice motornog mehanizma. Ručica

rotira konstantnom brzinom vrtnje n= 1500 min - J~ a

!'.i!.nalazi se

AB =10 mm,

~ložaju

koji je određen kUlom AC =40 mm, 11'=60'.

'p

li

trenu~romatra­

(sL 3.28). Zadano: OA=40mm,

U tom primjeru ojnica AB ravninski se giba. Točka A ojnice ujedno je i krajnja OA, kojoj je zadana brzina vrtnje, pa je brzina te točke

ločka ručice

A, Sliku 3.28. Plan brzina i plan ubrzanja motornog mehanizma

Pravac brzine V. okomit je na ručicu ~A. Točka B giba se, zajedno s .te.je.za..tu točku ojnice pravac brzine i ubrzanja P02I13t.

k:lizačem,

.4lraN~O,

Iz točke P. crtamo vektor poznate brzine VA' na koj{se nadovezuje okomica na AB, jer je = v.t +VBI.A' Pravac brzine VB zatvara trokut brzina P1AtBt, Iz omjera

's - - - -AC :AB =AIC. :AIB. na!azimo duljinu AIC.. čime je odreden. brzina težišta Vc. Očitane vrijednosti pomoću mjerila za brzine daju: r8 A 3162 ms-t.

82

T~~~nj~~,!.~\"j~r.'3'o je od t"".k.e A prema točki O. Ubrzanje točke B jeste

-ali"".•• +(ir.tAJN"+'{••,.)ip l;161'Zitnje· ... 'pomato je i crtamo ga u mjerilu od točke P,

u planu ubrzanja kao prvi vektor. Na ojega se nadovezuje vektor (aBt.lN usmjeren od B prema A i paralelan s ojnicom. Iznos tc komponente jeste

ifs/A 187 ms. -l (Q BfA )N===

v.= 7,25ms- l , 11:=6,65 ms-I,

BA

6*

83

Treći vektor (as/Ah poznat je samo po pravcu i okomit je na kojnicu. Kakodj~ Pl~avac ubrzanja aB poznat, zatvoren je četverokut ubrzanja. Ve tor aBIA po Ije Jen II omjeru AC: AB = A 2 2 : A2B2 daje položaj točke z i ubrzanje ac' Očitane vrijed~ 2 nosti ubrzanja glase: uB =220ms- 2 • "c=490ms- 2 , {d B{Ah=880ms- .

e

Drugo svojstvo vektora brzina glasi: vrhovi vektora brzina nekog pravca AB zakrenutih za 99C,~ednom ili u drugom smislu leže na pravcu paralelnom s AB (sl. 3.30), tj . ..I,B, !lAB. Udaljenosti vrhova zakrenutih brzina od pola brzina p,. mjerene na crtežu iznose:

e

Kmna je brzina ojnice = (aBI)TiAB =12571 s-l.

OJ AB

= VB1A/AB =51.7 s-t,

a kutno ubrzanje l:.~B=

--

--

VA

(3.58)

A1P!,=APl • -AAI = AP.,--;;I· L,

--------V

B,P,=BP,-BB, = AP•. --!-

(3.59)

I· v

- - -Kako je, nadalje. v.... =wi.,· A P" i Vs =wi.,· BP[, (APu i BP!. s crteža). to je

3.3.6. Svojstva vektora brzina kod ravninskog gibanja Vektori brzina nacrtani II planu položaja II mjerilu zatvaraju s trenutnim polom brzina Pu trokute kojih su vršni k~tovi uz pol ~•. međus?bno.je~!laki (sl. 3.2~) tj.: ::t. = p. To je prvo svojstvo vektora brzma kod ravnmskog gibanja tiJela. DokazJe jednostavan. Kutna brzina OJ omjer je brzine bilo koje točke presjeka tijela i udaljenosti te točke od pola Pv:

A,P,=AP.(l-OJ

~:)

(3.60)

(3.61 )

(3.56)

Iz toga slijedi da je AI Pl': BIPv = APt.: BP•.. To znači da je 6.A 18 1Pu~ 6.ABPu' a kako su stranice P l PL' i Bl PV na istim pravcima, 10 je AB AI Bl .

!:

Treće je svojst\'o vektora brzina da su im projekcije na pravac kojemu pripadaju jednake (sl. 3.31): v~=v~. Ako se uvede od točke A do B vektor AB i s njime pomnoži skala mo jednadžba za brzinu točke B. dobiva se

U planu položaja brzina vA nacrtana ~ao dužina .-tA' tako d::..l=.. VA = i.•.AA'. To vrijedi i za brzinu točke B, tj. vs= )'vBB'. Udaljenosti od pola APv i BPl · u izra~u (3.56) stvarnog su iznosa, a kada su uzeti iz plana položaja (sl. 3.29), treba ,h pomnožiti s mjerilom za dužine. Kutna brzina izražena pleko dužina iz pian2 položaja bit će AA" Al'

BB'· i· t ,

APv '

BPv . i.,

(3.62)

w=-=--==--. ).,

odnosno tan o: = tan P. ili (3.57)

~=p.

Y\

A~

\.

"" /B'

\

,,

/

\

,

"'"

v.

A'

I I

" ,(J.I\

I

/

~w p,

Slika 3.29. V~ni kutovi uz pol P~jednaki su: 7.=

84

{J

I

:

Slika 3.3J. Projicirane brzine

---_/

/B, I ,,

I / LP/

\ \ 1/

"

'"P,

/

'i:""""~-r;:-,­

1 cm ~ At m 1 cm ~ Ay ms-1

,I I:

Kada je vB A .l~~_.~~da j~_~lA' AD =0, a ..." ... ---

I

1cm:At m 1cm~Avms-l

,, ', JI

odnosno

\\/ '~

[;B'

"B' AB-~~;.AB·:--

(3.63)

AB 'cos IXB= VA' AB 'cos aA' što nakon kraćenja daje

(3.64)

P,

Prema tome je

Slika 3.30. Zakrenute brzine

l

<.( = l:~. 85

Svojstvo jednakosti vršnih kutova uz trenutni pol brzina, svojstvo zakrenutih brzina i jednakost projiciranih brzina koriste se u rjdavanju zadataka kinematike ravninskog gibanja.

udaljenosti od nepomične točke oko koje se odvija sfemo gibanje. Stoga putanje tih leže na sfernim plohama kojih je .ređište nepomična točka. Oluda i ime ,ternom gibanju. Ako se koordinatna ishodište izabere II n
I/I=.p(I)

Primjer 3.7


. Točke A i B pravokutnika gibaju se po žljebovima prema slici 3.32. Poznata je brzma VA' Odrediti brzinu točke B II položaju pravokutnika određenom kUlom !p. . Trenutni pol brzina PI' nalazi se u sjecištu okomica na pravce gibanja točaka A I B, ~lan položaja i na njemu zadani vektor brzine vA nacrta se u mjerilu za dužine i u mjerilu za brzine. Povlačenjem spojnice od vrha brzine vA do pola Pp dobiva se kut ~, koji prenesen u istom smjeru od pravca BP, daje brzinu v. (sl. 3.32a). Isti zadatak može se riješiti pomoću zakrenutih brzina tako da se vektor vil nacrtan u mjerilu zakreće za 90' od svog stvarnog položaja (sl. 3.32bJ. Kroz vrh zakrenute brztne povlačimo paralelu s pravcem AR Na toj paraleli leži" i vrh zakrenute brzine točke B. To je okomica BBI na smjer gibanja točke R Kada se brzina BBI zakrene II suprotnom smjeru od zakretanja vektora VA. za 90'\ dobiva se stvarna brzina VB'

rp (t)

(3.65)

8=9(1).

pa tijelo pri takvom gibanju imtl: tri stupnja slobode gibanja. KutOvi .p. rp i 8 predstavljaju zakrete oko tri međusobno okomite OSI. Ukupni konačni zakret nije moguće izraziti vektorskom sumom pojedinih zakreta. Pojedini konaeni zakreti nisu vektorske veličine, a konačni položaj tijela zavisi o redoslijedu pojedinih zakreta. Tako npr. tijelo na slici 3.33'; zakrenUlo je iz prvobitnog položaja za 90' oko osi x (sl. 3.33b) i zatim za isti kut oko osi y (sl. 3.330). Pobočka .tBC D dolla je u položaj paralelan. ravninom -', J'. Kada se redoslijed zakreta mijenja (.1. 3.33d i ej, pobočka ABC D paralelna je S ravninom x. z. Zakon komulacije za kutove ne vrijedi. Svaki konačni pomak tijela iz jednog položaja II drugi može se kod sfernog ~ibanja rostići j rotacijom tijela oko određene osi za konačni kUL Ta os prolazi z

t

z

B

,, A

V.

A

Slika :;,32.

Određivanje

~

,,/

brzina

točke

B pomoću jednaJ.:osti. kula projiciranim brzinama (ci

bl

al

bl

al

y

'.

,

Ul

pol

P~

(a). zakrenutim (b) i

z

Rješenje pomoću projiciranih brzina dobiva se tako da se brzina VA projicira na pravac AB. Ta projekcija prenesena II točku B ujedno je i projekcija brzine v•. Brzina va. pronalazi se podizanjem okomice iz vrha njezine projicirane brzine.

y

3.4. Sferno gibanje 3.4.1. Konačni i beskonačno mali kutni pomaci tijel';-SJerno gibanje krutog tijela naslOje kad jedna točka na tijelu miruje a sve ostale gibaju se oko te nepomične točke. Takvo gibanje nastaje i kada je tijelo vezano krutom vezom uz nepomičnu točku koja ne pripada tijelu ili se mOže zamisliti da takva veza postoji. Svaka točka krutog tijela ostaje u toku gibanja na jednakoj

86

eJ dl

Slika 3,,3). Zakret tijela

90( iz osnovnog pOložaja (a) oko osi x (bl i r (cl ne daje isti konačni polo:iaj kao zakrC1 najprije oko osi }' (dl i zatim oko osi :t (e)

lU

87

Euler- D·.-\lembenov teorem vrijedi i za beskonačno male pomake. Tada se os

oko koje se tijelo giba. To je Euler- D'Alembertov kilJ('IIIllkojega se is.tinitost može pokazati pomoću slike 3.34. Kod sfernog gibanja tijela oko nepomične točke O dolazi traku I OAB kao dio tijela iz prvobitnog položaja u novi O.·fB'. Put.:mje točaka A i B krivulje su koje leže na sfernim plohama polumjera OA i OB. Obje putanje mogu biti i kružnice. Točka A može doći u .-I' po jednoj od kružnih pUlanja kao posljedica rotacije stranice DA oko bilo koje osi koja leži u ravnini I (iscrtkana ra\·nina ml slici 3.34b) i koja prolazi kroz kroz

nepomičnu točku

Li naziva trenutnom osi rotacije, te se svaki beskonačno mali pomak pri sfernom gibaniu može zamislili kao beskonačno milla rotacija oko trenutne osi ..d. SIieno proll1~ltranje u\"di smo i kod ravninskog gibanja. gdje .~C s\'aki beskonačno mali

tički teOl'em,

pomak lijela nwže zamijeniti beskonačno malom rotacijom oko trenutnog centra rotacije. odnosno oko osi kroz pol PI' koja leZi okomito na rererentnu ravninu. Kod ra\·ninskog gibanja s\·e trenutne osi među:::l)bno su paralelne, pa se lab"o gibanje može shvatiti i kao poseban slučaj sfernog gibanja. Za razliku \.)d konačnih kutnih pomak:! beskonačno maJi kutni pomaci zbrajaju se kao vektori i za nji~ijedi zakon komutacije. Na slici }.36 pomak točke A II ..1' kod rotacije dužine DA za kut dcp; oko osi = iznosi OA ·dcp:. što se može prikaz,ni vektorski:

LJ

(3.66)

z

aJ Slika 3.3':;. Euler-O·Akmberl(H" točku

Ie'Mem

y

o. To isto

vrijedi za točku B. Bilo koja cs kroz O koja leži u ravnini II može biti os rotacije za stranicu OB. Kod svake takve rolacije B dolazi u B' po kružnoj putanji. Istovremeno dolaze točke A u A' i B II B' samo kod rotacije tijela oko osi koja je zajednička ravninama I i II. To je sjecište tih ravnina Li. Prema tome se svaki konačni pomak iz položaja DAB tijela u položaj OA' B' kod sfernog gibanja može zamisliti da je nastao rotacijom tijela oko osi A za kut ct. (sl. 3.35). Kako je rečeno, taj kut nije moguće dobiti vektorskim zbrajanjem kutova !jJ, cp i 8. ako su njihovi iznosi konačni.

A, SHa 3.36. Zbrajanje bcskon:t';no malih kutnih pomaka

, i

i"'

Ako se zatim dužina OA zarotira oko osi y za kut dip}" bit će pomak točke A u A" jednak OA' . dip,., ili ,·ektorski: (3.67) AA" = d,+dq>,.) x OA.

(3.68)

S druge strane AAI = d

=dq>,+dq>,..

Slika 3.35. Srerno gibanje kao ro1acija oko osi II

88

(3.69)

Izraz··O.69) za zbrajanje beskonačno malih kutnih pomaka \'rijedi i za više rotacija bez obzira na to kako osi leže u prostoru. Uvijek je ukupni beskonačno mali pomak vektorska suma komponenata beskonačno malih rotacija. Os LI jest os rezultirajuće rotacije. Tako se kod sfernog gibanja oko točke O prirasti koordinata t/I. cp i:1 mogu zbroji[i u rezultirajući beskonačno mali kutni pomak dW+ d
3.4.2. Kutna brzina i kutno ubrzanje

dID dt

Kako je u 3.4.1 pokazano. prirasti Eulerovih kut ov. su vektori. Izborom koordinatnog ishodišta u točki O oko koje se kruto tijelo giba (sl. 3.31) poklapaju

•

4 (3.1 l

" = - =ro,

koje zbog prirasta vektora (t) po smjeru ne leži na trenutnoj osi rotacije, Vektori kutne baine o} i kutnog ubrzanja t prikazuju se II jednom od koordinatnih sustava. Koordinatni sustav x, )I~ z nepomičan je i ima jedinične vekrore i. j i li.. pa se projiciranjem vektora ~j q,. j. na osi x. y, t dobiva: wx=~ sin,9 sin !/t + geos",

(3.75)

"', = ~ ip sin 9 cos >/I +,9 sin >/I

(3.76)

OJ,=ifJ+q,cos9.

(3.77)

Ponekad je zgodnije promatrati vektor oo u~, '1,;; koordinatnom sustavu. Taj je susta v vezan uz tijelo. pomičan je, a jedinični vektori su. mu c{O c'1 ic;. Komponente vektora CI) u tom sustavu dobivaju se projicif'dnjem t~

y

(I)~= tfr sin:). sin tp + iJ COS(/)

,x

n,X....

Slika 337. Kutna brzina i kutno ubrzanje kod sfernog gibanja

se koordinatni sustavi x, YI z i x', )I', kutova dojt, dop i d II leže na osima z, ~ i daju kutne brzine rotacije oko tih osi*:

:'

sa slike l.l. Vektori prirasta Eulerovih

ll.

a podijeljeni s diferencijalom vremena dt

dojt =.j, dt

(precesija)

(3.70)

dcp • -=op dt

(rotacija)

(3.71)

dS

li

I (nutacija).

0>=-+-+dt

skraćeno

dt

dr

o> =.j,+ + !l.

(3.73)

.- Ovdje treba uočiti da !sc kU10vi deriviraju kao skalari, a z.alim uzimaju kao vektori. 1e se OZJlake 4-, q itd. tle smiju poistovjetiti s derivacijama vektora. jer kutovi to nisu,

90

{iJ'1=1jJ sin 9 cos cp - 8: sin cp

(3.79)

{JJ,=ifJcos iJ +q,.

(3.80)

Koordinatni sustav koji u 1. poglavlju nije spomenut jest sustav X, Y, Z On je samo djelomično vezan uz tijelo. Kada su kutovi", i :1 konstantni, sustav X, Y, Z miruje jer promjena kuta cp ne utječe na kutni pomak ni jedne osi. Taj sustav poseb~o je pogodan za opisivanje tehničkih problema, jer je rotacija tijela fP odvojena od preostala dva gibanja. Jedinični vektori tog sustava su ex' el' l CZ' a komponente vektora (I) glase:

(3.81 )

{JJx=!} (JJ). = ifJ sin .9 wz=ip+ifJ cos lJ.

(3.72)

Nazivi tih komponentnih rotacija preuzeti su iz nebeske mehanike i uvriježili su se u inženjerskoj praksi. Budući da se prir.sti kutova !/I. rp i 8 mogu vektorski zbrojiti tl rezult.ntni kUloi pomak dojt+dop+d9. nakon dijeljenja s dl dobiva se dojt d", d II __ . iH

I

(3.781

Vektor 0)' kojim se giba sustav X. Y, Z ne sadrži ID'

(3.82) (3.83) rotaciju~

pa su mu komponente

=exi!+
Iznos kutne brzine (!) dobiva se pomoću komponenata u bilo kojem od navedenih koordinatnih sustava: _'.

w=v'w! +ai, +w; -v'CO:+W;+wj -Jwi+"'~+w~

(3.84)

Rezultat je uvijek isti: (3.85)

91

U sustavu X, Y. Z bit

Komponente kutnog ubrzanja .[ dobivaju se deri\'iranjem vektora «J prema (3.74). U koordinatnom sustavu x, y,: .[=cv)+cvj+cr).k. Jedinični vektori i, j, k konstantni su. tako da je '[=w,..,i+w)+co:k, odnos~o .

će

0)\.=3=0 C~r=!jJ sind=7rv'3=5,441

Ex =Wx

(V Z

(3.86)

S-I

= ip +
e: =cv:_ U koordinatnom sustavu ~. fl. ro=wi;e.::+cv"ell+cv;e;. Jediriični vektori e.::, e" i e~ pomični su, gibaju se sa sustavom ~, 'I. vezanim uz tijelo, pa je njihovo gibanje sterno s kutnom brzinom «J. Vidjeli smO da je kod rotacije krutog tijela derivacija vektora položaja r neke točke na tijelu jednaka r=ro x r. Potpuno isto vrijedi i ovdje za jedinične veklore, koji također nemaju priraste po veličini. te Je e.=oo x eo!. eli =ro x eli i e;=ro x e~. Kutno ubrzanje je prema tome u tom susta\'u ~

e

prema (3.81) do (3.83)

~.z

e

E: =w=cv.:C.::+(o"e" +w,e;+oo

x (w.::e.::+w"e" +w~e~l,

Kako je zagrada na desnoj strani jednaka vektoru oo, te kako je oo x oo = O, i ovdje je E: =(v~e.:-+rolle" +ro~e~, ili e.:=W.: (3.87) E"=W,,

y

v' Slika

E;=W,.

U sustavu X, Y, Z, koji se giba s oo', derivacije su

ex =00' x ex, fr=OO' x er i fz=oo' x ez. Kutno ubrzanje

jediničnih

. . . . . . . . -.... . . . . . . . . . . . . . ,. .

x

vektora:

~}S_

Sferna gibanje kružne

ploče

n,X konstantnim brzinama vrtnje

II

i

111

Vektor ro=roye}-+wze z (sl. 3.39a) ima konstantan iznos eJ

=.Jr}J' +ip' + 2J/tip cos 9 =.JeJ~ +wi =28,793 S-l

a leži u ravnini Z. Y pod kutom :x prema osi Z: Kada se vektorski produkt napiše u komponentama, dobiju se komponente vektora E::

lU

EX=WX+W~.wz-w~wr

Er=Wy+WZwx-w~z

(3.88)

r

LI

ez=Wz+w~\.wr -WYWx·

w

Primjer 3.8

z

:.-,

lUZ

Kružna ploča s osovinom rotira oko vlastite osi, konstantnom brzinom vrtnje n = 240 min -I, a oko osi z brzinom nl = 60 min -I (vidi sliku 3.38), koja je također konstantna. Za vrijeme gibanja nagib osi tijela prema osi:: je stalan i imosi 8 = 60°. Odrediti vektore (t) i E: pomoću sustava X, Y. Z. a)

y ...........................

o

Slika 3.39. Vektor kutne brzine

30

mr

cp=-=81[ S-I

30

';,e.:.•

.

92

_____~____~Y

n.X

1/1= nl 1t =21[5- 1

9=0.

o~

x

Komponente vektora kutne brzine oo prema zadatku iznose:

.

.

o=arctan - f= 10,893·.

zil

~,

,

bl

e; {al i kutDog ubrzanja t (bl

Komponente kutne brzine konstantne su po iznosu, pa je kutno ubrzanje e=Ol'xOl. Kutna brzina sustava X, Y, Z 0l'=eyl}!sin9+ezl}!cos9=-V, paje iznos kutnog ubrzanja 2 e=lU'w sin(9- 0)= 136,7575- . 93

Kutno ubrzanje leži okomito na ravninu vektora ~ i ro, znači u pravcu osi X (sl. 3.39bJ. Kut prema osi x promjenljiv je i iznosi ifJ=27tt,jer je ifJ =2n= konst. Položaj vektora ro i E prikazan je na slici 3.40. na kojoj se vidi i trenutna os rotacije LI.

z

U 'općem slučaju komponente 3 1 i 3 2 nisu međusobno okomite. Komponenta okomita je na \'ektor brzine v, tako da samo komponenta 3 1 ima projekciju na Z pravac brzine. Ta projekcija ai. =3T odgovara tangencijalnoj komponenti giban~a točke A. Drugi dio a;' zajedno s a2 tvori nonnalnu komponentu ubrzanja 3 N = a~ + a~. Vidi s-e da nonnalna komponenta nije okomita na trenutnu os rotacije LI, te u tom smi5-lu nema analogije između te osi i nepomične osi rotacije tijela. Polumjer zakrivljenosti putanje točke A ne leži kod sfernog gibanja na pravcu okomitom na trenutnu os rotacije LI. što znači da udaljenost b u općem slučaju ne leži u oskulatom()j ravnini T, N.

3

z

z

y

x

x Slika 3.40. Položaj vektora

3.4.3. Brzina i ubrzanje

točke

e;; i -;

na tijelu

Brzina neke točke A na tijelu jednaka je prvoj derivaciji vektora položaja r (sl. 3.41 aj. Budući da kod sfernog gibanja, jednako kao i kod rotacije tijela oko nepomične osi, vrijedi, da je r=ro x r, brzina" točke A odredena je Eulerovom formulom: v=roxr. (3.89)

x

a) Slik:!. 3.41. Vd':1:0r brzlne

Vektor brzine okomit je na ravninu ro i r, a iznos mu je

v=wl'siny=wb.

y

(3.90)

Vidi se da je iznos i položaj vektora" u odnosu na trenutnu os rotacije L1 isti kao i kod rotacije tijela oko nepomične osi. Ubrzanje a dobiva se derivir2.njem vektora brzine y: a=v=roxr+roxr.

b)

r (a) i komponente a: i ~ vektora ubrzanja kod sfernog. gibanja

Primjer 3.9 Za sferno gibanje zadano u primjeru 3.8 odrediti brzinu i ubrzanje točke A (sl. 3.42). Polumjer kružne ploče Ro = 100 mm, a udaljenost njezinog središta od nepomične točke O iznosi h=3R=300mm. Zadatak riješiti za položaj 1/1=90°, 9 = 60' u koordinatnom X. Y, Z sustavu. z

Kako je 00= E, a r= "=0) x r, ubrzanje je a=Exr+rox(coxr).

(3.91)

y

Taj izraz analogan je izrazu (3.21) kod rotacije tijela oko nepomične osi, oo ovdje je značenje komponenti na desnoj strani drugačije. Komponenta 8 1 = E X r (sl. 3.41 b) ima iznos (3.92) Komponenta 3 1 okomita je na ravilTiiU vektora E i r, 'ne pokiapa:' se po pravcu s vektorom brzine v, te se prema tome razlikuje od tangeocijalne komponente ubrzanja točke A. Komponenta 3 2 =00 X (ro x r)=oo x y poklapa se s pravcem b i gleda prema osi LI. Ta komponenta iznosi (3.93)

94

y,X

x Slika 3.42. Brzina i ubrzanje točke A kod sfernog gibanja

95

3.4.4. Aksaide

Brrina točke A prema (3.89) jeste v =m x r. Položaji vektora r točke A ivektoru m prema primje.ru 3.8 prikazani su na slici 3.43a. Oba vektora leže u ravnini Y. Z. Točka A uda~ien. je od trenutne osi rotacije za b=l"sin(~+f!). Kako je {I=arct.n(R/h.'= 18,435\ za udaljenost b dobiva se

Za vrijeme srernog gibanja tijela trenutna os mladje J mijenja $voj položaj u prostoru, no uYijek prolazi kroz nepomičnu totku O oko koje se gibanje odvija, Promatrano iz nepomičnog kODrdinatnog sustava ,\", r. :, os .:1 opisuje čunjastu plohu $ vrhom tl točki O__ Ta je ploh_~ geymttrijsko mjesto svih poloiaja trenutnih .osi rotacije. a luziva st' 1lt'pomii'nom aks(lidom •. na"' {slika 3.44}. Jednadžba ncpo-

b=sin(x+f!h/R~+h' =0.155 m, tako da je brzina

z

r=hO)=O.155· 28.793=4A60m s - j . Vektor brzine p.oklapa se po smjeru s osi X.

,

z

z

y

y

bi

al

Slika 3.43. Položaj toi::ke A (a) iveklora ubt:l::.mja lb}

Do iSIOg rezultata može se

doči

vektorski. U primjeru 3.8 dobiven je vektor w s

komponentama

1

'i;

w 5,441.,. t 28.274., s . j •

mične aksoide ::lijedi iz uvjeta da je trenutna os rotacije niz ločaka na pm\'cu koje

Vektor r prema zadatku ima komponente

(J)

(3.94)

(()xr:;;:O.

r= -O,lor+O,3ez m. Vektorskim množenjem

II

promatranom trenutku imaju brzinu jednaku nuli. Prema tome. vektorska je jednad7ba trenutne osi

U koordinatnom sustavu x,

x: r dobiva se vektor brzine

.v, .: w=m.>"i +O)rj+(!):;k i r=xi+ yi + :k. tako da je

(aJ,.: -Q),),)i+ (w,x-

,=4,460., ms". Ubrzanje točke A prema (3.91) o=exr+wx(.,xr)=exr+wxv. Vektor kutnog ubrzanja iz primjera 3.8 &= 136,757 exs", tako da je ubrzanje' • nakon množenja

w,=Ji+ (w.,.\' -aJ,.x) k =0.

Da bi ta jednadžba bila zadovoljena, mora biti svaka od zagrada jednaka nuli, što daje jednadžbu trenutne osi rotacije Ll:

x

0=85,0750,- 37,9430 z m s".

r

z

(3.95)

-:;;;-;;:::::-

Iznos vektora ubrzanja i kut rt. (sl. 3A3b) jesu:

a=,jo~+ai:=93,153 m S'2

'i

Eliminacijom parametra t iz gornjih jednakosti može se preuređenjem dobiti jednadžba nepomične aksoide oblika F(x . .\', z)=O. Promatrano iz pomičnog koordinatnog sustava JJ.~. koji se giba zajedno s tijelom: os .1 opisuje plohu vezanu uz tijelo pomičnu aksoidu. Kako je u tom

e.

ar az

". = arc tan -=65,963'.

97

96

j

sustavu (!)=:w~~C/-w"e,,~w,e, i r=~e.:':r '1e"+~e,, uvrslenj"em u (3.94) dobiva se nakon mnozenJa Jednadzba trenutne OSI .ti u sustavu ~. 'I. ~:

W.: iz čega se može dobiti jednadžba cP(~.

(3.961 (!J"

Promatranje gibanja preko aksoida olaksava predodžbu o geometriji srernog gibanja. Također je u nizu slučaje\"J jednostavnije ostvariti srerno gibanje pomoću fizički izvedenih aksoirla. Manja je njihova prednost kod proračuna brzina pojedinih točaka tijela, dok se ubrzanja promatranjem aksoida ne mogu odrediti. Slično smo vidjeli kod ravninskih gibanja. za što nJm služe trenutni pol brzina i poloide.

(0;

'I. ()=o pomične aksoide.

Pri sfernom gibanju pomična i nepomična aksoida dodiruju se II izyodnici koja je zapravo os L1. U geometrijskom smislu dovoljno je pozna .... ati obje aksl.)ide, pa se tada gibanje može reproducirati kao kotrljanje pomične po nepomičnoj aksoidi bez međusobnog klizanja. U praksi se dijelovi mehanizama izrađuju kao pomične i nepomične aksoide, čime se ostvaruju različita sferna gibanja. To je npr. slučaj sa stožastim zupčanicima. planetarnim prijenosnicima gibanja i slično. DJ bi bila potpuno određena i kinemalika takva gibanja potrebno je poznavati kutnu brzinu kojom se odvija kotrljanje pomične aksaide. Kad je nepomična točka u beskonacnosli, aksaide prelaze u plohe s paralelnim izvodnicama; gibanje je ranlinsko. a presjeci ploha s bilo kojom ra . . ninom okomitom na izvodnice daju pomičnu i nepomičnu poloidu. I u tom smislu ravninsko je gibanje samo poseban slučaj sfernoga gibanja. .

Primjer 3.10

Za clemente srernog gibanja iz primjera 3.8 odrediti aksoidu.

pomičnu l nepomičnu

U- primjeru 3.8 pronađen je položaj trenuIne osi rotacije .d. Nagib te osi prema ili Z slalan je i iznosi a= 10.893". Taj kut ujedno je i polovica vršnog kuta pomične aksoide (sl. 3.46). Nagib osi L1 prema nepomičnoj osi; lakođer je stalan i iznosi 9-- :,,;=60°-10,893°=49,107.', što je polovica vršnog kuta nepomične aksaide. osi

~

I' I

cb

U tehnici je posebno \'ažno sferno gibanje pri kojemu su aksoide kružni čunjevi. Takvo gibanje naziva se precesijol/!, a jaVlja se uvijek kada se za vrijeme gibanja npr. kut nutacije 9- ne mijenja. Ako se za vrijeme takva gibanja preostala dva kuta mijenjaju jednoliko (npr. tjJ i CP imaju konstantne vrijednosti. 3=0). precesija je regularna, a prema položaju pripadnih vektora kutnih brzina ~ i CP može bili progresivna iii retrogradna precesija (sl. 3.45). Pri progresivnoj precesiji kotrlja se pomična aksoida sa svojom \'anjskom plohom po vanjskoj plohi nepomične aksoide. Retrogradna precesija ima za posljedicu kotrljanje pomične aksoide po unutrašnjoj plohi nepomične. z

n

, na

Slika 3.46. Progresivna precc$ija. Pomien;] .. pa·· i

z

nepomiČ1la

.. na" aksoida

Aksoide su kružni čunjevi pa je gibanje precesijsko. Po zadatku su ~ = n1 n/30 i

rP = nlt/30 konstantni te je precesija regularna. a kako se vanjskom plaštu

3.5.

Opće

nepomične

pomična

aksoida kotrlja po

aksoide. pored toga je i progresivna.

gibanje slobodnog tijela

Slobodno tijelo u prostoru ima šest stupnjeva slobode gibanja. Položaj tijela, kako je II uvodu rečeno, može se odrediti pomoću koordinata položaja neke odabrane točke A tijela i pomoću tri Eulerova kuta. Svih šest koordinata položaja kod općeg.gibanja slobodnog tijela funkcije su vremena:

o aj

XA =X A (c)

1/1=1/1 (r)

YA=YA(l)

lp

ZA =ZA

(Il

= lp (I)

(3.97)

11=11(1).

Slika 3.45. Progresi"na (a) i retrogradna (b) precesija

98

99

Kod opt
\10 to je brzina točke B zbog st~rnog gibanja oko A. Ako se {u x AB = "9'A (brzina točke B zbog ~,i't"rnog gibanja oko A). bit će

U\'~de

da je (3.1001

\'"·=\".t+"B i '

Prema tOI1!e se brzina neke točk;: ll;i lijelu dl.lbiva kod općeg gibanja zbrajanjem brzine v;. zbog translacije s h."iCkom A i brzine \-/> ,. koja j~ posljedica sfernl.;g gibanja tijefa oko ...L

Ubrzanje

točke

B dobiya se deri\'iranjem \-eklOfa brzine

Vs

po vremenu: (3.101 ,

aa="8'

l:vrštavanjem izraza (3.1001 u (3.10; I bit

z

će as = l'A + \'1'.~

odnosno

as= 'A-i· mx AB+(l} x AB. Prvi čJan desne strane odgoyara ubrzanju lotke A. Ta komponema ubrzanja dolazi od translacije tijela s točkom A_ U drugom elanu 0..=&. a u trećem AB=
rako da je (3.1021

Drugi i cemo ih

treći član odgovaraju označiti, slično kao i

komponentama al i al zbog sfernog gibanja. Ovdje komp,;nf!ntu brzine, s indeksom B A tako da je

(aa_i)1 =txAB

(aB _4. h =(0"'; (O) X AB)=ro x

y LTz (aDiA)j +(8 BiA h=a s

Slik
~.-r'.

Brzina i ubrzanje

Translacija s

točke

loi:'k~'n~

A i srema gibanje oko te točk~

.--I

(3.98)

aA::::::: \e'A == fA'

Kada su koordinate točke A zadane. npr. Descaf1esove XA =X A(l}1 YA:=y... (t} i

(3.103)

dQbiva se

'.~'A+'

A dobivaju se deriviranjem vektora t:.:

'-8,~'

•.,.

(3.104' Premda se fizikalno značenje komponenti u (3.100) i (3.104) razlikuje od istoimenih veličina ravninskog gibanja. u principu su to iste jednadžbe kao i kod ravninskog gibaI!ja. koje je samo jedan od posebnih slučajeva općeg gibanja tijela Jednako su tako translacija. rotacija ili sferno gibanje samo posebni slučajevi općeg gibanja. Već je rečeno da opee gibanje: slobodnog tijela rijetko dolazi tl praksi. pa ovdje nećemo ulaziti II podrobnija razmatranja,

=., =ZA (l), poznata je translacija tijela. jer sve točke imaju jednake vektore brzina i

ubrzanja (3.98). Sferno gibanje oko točke A određeno je kada su poznati Eulerovi kutovi !jJ =I/I(r), tp= tp(f) i 9= 9(1). Vektori fl) i" pronalaze se na način kako je 10 opisano u3.4. Brzina bilo koje druge točke B prema definiciji brzine jeste

"B=ra.

(3.99)

···Akosc.uvede"",ktor AB koji r"di krutosti tijela ima prirast samo zbog promjene smjera, bit će r.=r, + AB pa je

v»=r,,+AB, Prvi član desne strane jest bq:ina točke A, te je to komponenta brzine zbog translacije tijela. Drugi je član AB=(i) z !1.8, kako smo to vidjeli već II ,'iše navrata. 100

Zadaci uz poglavlje 3

L Kut zakreta

oscilirajuće

poluge tp

određen

je jednadžbom

=0.75 005(0,2"1).

gdje je '{I kut u radijanima, a , vrijeme u sekundama. Argument trigonometrijske runkoije je u radijanima. Odrediti maksimalnu kutnu brzinu i maksimalno kutno """"ubrzanje po'luge. '." ":'": ..:-.::.;·..L>~~ ~. Rješenje: wm ,,=O,4712s-'.

,",,,=0.2961

2. Kutno ubrzanje rotora stroja koji je uronjen jednadžbi

II

uljnu kupku mijenja se prema

e=; - k(:.l-.

101

gdje je k konsUlnmll velIčina. Ako se kutna brzina rotora smanji s %= 300 radls u počt;:ll1om trenutku (f=O} na polovinu le- brzine lj trenutku tl =55. odrediti kutno ubrzanje- (!lOm j njegovu kutnu brzinu u trenutku '2= lOs. Rješenj<: '" = l OO radls.

f.

= - 6.6667 rad s'.

5. Gibanje stapa počinje iz stanja mirovanja. Njegovo središte počinje se gibati po pr:m:u konstantnim ubrzanjem (lc=4m/s2, a š1ap istovremeno započinje rotirati oko ,,1si okomite na ra\ninu crteža konstantnim ;kutnim ubr7..anjem I: = 16 rad S2. tj polQžaju kada je cp=1f.!4 (st 3.50) potrebn:) je odrediti brzine i ubrzanja toćaka A i B ;tapa. Duljina štapa je AB=O,6m.

,3, Maleni hto k A miruje na horizontalnoj podlozL koja može rotirati oko vertikalne os; l'!. 3.481. Statičko trenje između bloka i podloge toliko je da će blok početI kHziti teb. kad njegovo ubrzanje bude jednako 2 m, Sl, U trenutku t ~~

podloga počinje rotirati koost
r =0.625 mis,

A Sliku 3.50

,

6. Odrediti brzine i ubrzanja točaka A i B mehanizma z.a pribJlin"l pravocnno vođenje (\VaClOY meh.mizam) prikazanog na slici 3.51. POl!onski član rotira kUlnom brzinom 00=105- 1 i kutnim ubrzanjem l:~50s;, ZadJno: O,.I~O,I m. AB = 0,075 m, BO: 0.1501. RjeSenje:

I m/s. t'B=O.85 mis. d A =II,25m,sl. 118::::.7m Sl. t'A=

točke A štapa oblika prema slici 3.49 ako on rotira oko osovine OO' kutnom brzinom <:J=IOs- t j kutnim ubrzanjem c=40s- z. Ravni dijelovi šlapa paralelni su s koordinatnim osima x. r. z, fl dimenzije su kotirane u metrima.

4. Odrediti brzinu i ubrzanje

Rješenje:

VA

= -i+3jm s,

VA

210 mm

3.1623m/5.

80

Y

B Slika 3,51

7. Štap OB mehanizma prema ,lici 3.52 rotira konstantnom kutnom brzinom '" ~ 50 rad s. Pomoću plana brzina i ubrzanja odredili brzine i ubrzanja svih točaka mehanizma ako je zadano: OB=BC=O,30m, AB=CD=O,D=0,90m, -~~'= . 11= 1;10 m, ,,=30",1=0,9 m.

RjeSenje: z

t: B =15mjs,

v,,=9.6m/s, vc=18,6m/s,

fv= 17,4m:s, «. = 750 m/s', "A=7S0m s'. (fc=790m,s'1, (lD=~Om/s:2.

102

h

4. KINEMATIKA SLOŽENOG GIBANJA Gibanje točke ih tijela promatra se tl kincmatki rel&tl\'no s obzirom na neko drugo kruto tijelo za kOJe se pretpostaslja da miruje. te se uz njega vezuje

8. Odrediti jednadžbe pomične i nepomične poloide člana AB jednostavnog motornog mehanizma prikazanog na slici 3.53. Zadano: 0.4 = AB L.

Rješenje: X'+,\2=.lL' (".'1. f+
L' (pp).

z

y

W,

x

Slika ),53

Slika 3.54

y

9. Radarska antena sferno se giba oko točke O, a II prikazanom položaju rotira konstantnom kutnom brzinom O)i oko horizontalne osi x, te istovremeno konstantnom kumom brzinom (JJ, oko venikalne osi z. Odrediti vektore kutne brzine i kutnog ubrzanja an!ene, le brzinu i ubrzanje točke A u položaju koji je prikazan na slici 3,54. Zadano: OA = 2 m.
ro=i +O,5k rad 's, .=0,

v.=

O.8660i-j+ 1.7321km 's. aA =O.5i- 2.165lj- k m/sl,

104

koordinatni sustav koji je lada također nepomičan. Taka\' koordinatni SUSLav pri rjdavanju tehničkih problema vezan je uz postolje nekog stroja, temelje neke konsirukcije ili uz tijela koja s obzirom na Zemlju miruju. To je min.)\'anje SamO prividno, jer se i ta tijela zajedno sa Zemljom gibaju, a rezultati :su proracuna II takvim koordinatnim sustavima približni i ne bi se poklapali 5- precizno iz\-.edenim mjerenjima. Međutim. odstupanja od ispravnih rezultata toliko su mala da se u in.i:enjerskoj praksi zanemaruju, pa se cijela tehničb kinematika zasniva na "akvoj pretpostavci o mirovanju. Kad se neko 1ijelo ili tv.!ka giba s obzirom n2- neko referentno tijelo koje se s obzirom na mirujući kO\..'Irdinalni sustav takode:- giba {npr, pokr'l!tni dijelovi strojeva n:.l brodu. česticu \'ode na lopatici turbine, ptltnik koji hoda u vlaku). mora se uzeti u Qbzir gibanje referentnog tijela kada se donose zaključci o ukupnom gibanju promatranog tijela i točke. Gibanje s obzirom na referentno tijelo uz koje se vezuje pomični koordinatni sustav zcvc se rt!iath'110 gibanje. Gibanje pomičnog koordinatnog sustava 5 obzirom na mirujući naziva se prijel:asnil1l giba/ljem, a gibanje koje je rezultanta obaju gibanja promatranog tijela ili čestice daje {IpSO/UlilO gibalIje. Apsolutno gibanje. prema tome, nastaje sastavlja~ njem relativnog i prijenosnog, ali se ne mora svako apsolutno gibanje tako matematički i opisivati. Već prema tome što je jednostavnije, složeno gibanje možemo promatrati preko PQjedinih komponen!nih gibanja ili ćemo promatrati direktno rezultantno (apsolutno) gibanje, Često je matematički jednostavnije, a i razumljivije promatrati pojedina gibanja zasebno i ;Iagati ih u cjelinu, pa ćemo taj pristup, koji se u inženjerskoj praksi gotovo iskljućivo koristi, pobliže opisati u narednim poglavljima. Složeno gibanje točke, koje nastaje gibanjem točke unutar nekog prostora pri tomu se i taj prostor giba, često je li tehničkoj praksi. Za takvo gibanje odredit ćePlo brzjnu i ubrzanje točke. Od svih mogućih složenih gibanja tijela bi! će protumačena samo dva koja su važna u tehnici. To su gibanja koja nastaju kada je rela!i.-no i prijenosno gibanje rotacija te kada apsolutno gibanje nastaje zbog jedne rotacije i translacije. U većini tehničkih proračuna do\"oljno je poznavati samO brzine točaka na tijelu, jer se obično radi o promatranju stacionarnih gibanja bez ubrzavanja, pa će kod složenog gibanja tijela biti objašnjeno određivanje s.mO brzina. 105

4.1. Složeno gibanje

to~k.

vektora dobivaju vektorskim množenjem slijeva kutnom

SJoženo gibanje točke nastaje kada sc fo{:ka giba::: obzirom na neki pomični (rt.'lutirltO koordinatni SUShi\ ;. 11, ~ koji se s ohzirom na nepomični (apso/lImi) :~. ,r. z također giba (sL 4.1). Relativno gibanje točke A u odnosu na~. 'I. ~ koordinatni su'Stav određeno je promjenom koordinata položaja točke A II tom sustavu, odnosno promjenom vektora p po veličini i [11,."1 smjeru II odnosu na osi relativnog SUStilVa ~. tJ, ~. Prijenosno gibanje za točku A jesl gibnnjc koordinatnog sustava ~. 1]- ; u odnosu na apsQlutni koordinatni SU:iaav x,,r. To gibanje može biti opčeniro. pa ga prema Chalesovu teoremu zamišljamo kao trausladju s OI i kao sferno gibanje oko Ot. Translaciju $ OI potpuno određuje promjena VekhJra f. ~l sferno gibanje dodatna promjena vektora fl po smjeru u odnosu na 05i s . .1', ;;.

brzinom~

te je nakon

uređenja

v=.d+.\J+:k+IDxt';e.!+ 11elf+te;:)+~e.;+ il(\J:+~e{-

.

,

{. tS)

Prva Iri či
\
\'QI

+ \',i rJI: 14.71

\"idi sc: dn je brzina brzine, :\ko je kut

lOčke .-! jednaka veklOrskom zbroju rrijenosne 'lp i relativne među ovim brzinama iX, 1zoos apsolutne brZine dobiY<1

\"r

se

pomoću iZrd7..a

v = ..../r~ + r; + L'pL'.. cos Cl. ApSl..llutno ubrzanje točke A prva je derivacija vektora apsolutne brzine. pu (ksnu sHanu izraza (4.5) treba deriyirati još jednom po vremenu:

a= r

;;

+00 x (;Č,:+ 'leif +(e;) + ~e.;+ qe" + te{+ ~č.;+ jle'l+~e;.

a =.'ii + :"j+ ik +< x p+o) x (O) x p)+ ~e,+

Slika 4.1. Pomični ~. II. ; i nepomični .\'. ,I',:: koordinatni susta\, točke A

je prema definiciji (4.11

U nepomičnom koordinatnom sustavu bit će rA =x ... i + y. ti . + z... k. Kod složenog gibanja obično su x,., )'.'1 i ZA kao funkcije vremena nepoznanice. Poznati su elemenri relativnog i prijenosnog gibanja~ pa ćcmo poći od toga da su nam poznati r i p kao funkcije vremena: r=xi+yj+zk (4.21

p=,e{+ qe,+~e:. Iz slike 4.1 vidi se da je r A = r+ p. pa je apsolutna brzina

točke

A

d

• o :.. ••••

~7;dt (r+pJ.

(4.3)

+,e(.

(4.4)

U lom izrazu jedinični vektori e " i e; imaju priraste zbog s[ernog gibanja suslave

~.

'I. { oko O,. Ako je .. kUlna brzma s[ernog gibanja. tada s. derivacije jediničnih

106

ii-, + Če;+ 20> x v,.

(4.10)

Prva tri pribrcjnika na desnoj strani odgovaraju ubrzanju točke OI' pa je tO ubrzanje zbog prijenosne translacije 301' Slijedeća dva vektorska produkta poznate su komponente 3 1 i az prijenosnog sfernog gibanja koje zbrojene daju ubrzanje z~og te komponente gibanja 3,.,. Naredna tri pribrojnika daju ubrzanje a,. koje je posljedica relativnog gibanja točke A u SU5tavu .;. q. ,. Na kraju ostaje dopunski član koji nema sličnosti ni s jednim od ubrzanja koja smo upoznali u ranijim gibanjima. To dopunsko ili tzv. Coriolisow ubrzanje označit ćemO s a(. Uz ukupno prijenosno ubrzanje al'" = 301 +a"IOI izraz za apsolutno ubrzanje glasi (4.11 ) Apsolutno ubrzanje točke A, dakle. sastoji se od prijenosnog a p i relativnog ar ubrzanja te od dopunskog ili Coriolisova ubrzanja a~. U vektorskom izrazu za Coriolisovo ubrzanje javlja se vektor prijenosne kutne brzine (rl i vektor relath ne brzine točke ",: (4:12)

Nakon uvrštavanja (4.2) u (4.3) dobiva se nakon deriviranj' v= .i: i + yj+žk+ ~.!+ ~., +\e;+~e(+ ~"

(~.9)

DerivacHa kutne brzine daje kutno ubrzz..nje srernog gibanja; ro=f:. Kada SI! za derivacije jediničnih vektora uvrs[e odgovarajući vektorski produkti. lC kada se izraz (4.91 sredi dobiva se

70~~--~~--~----~y

Brzina

.xi OT :d+::k +-» x (~e~ + tIe-lJ + 'e~)+(i) x (~e{+ ;1t'!'1 +te~l+

Vektor a okomit je na ravninu u kojoj leže vektori m i V,.. a smjer mu se određuje po pravilu desnog vijka (desne ruke). Ako se kut između vektora ID i 'Fr označi s {J. bit će iznos CorioJisO\'a ubrzanja (4.13)

Tu komponenta jednaka je nuh II tri L 20 30

slučaja:

tl

kada nema prijenosne rotacije lb}!;;tiO). vl.,~ je prijenosno gib.mje smno translacija. kada su vektori o) i parajeini ili antiparaleini
,o,

Kod svakog gibanja ločke. kada se uzima da jC" sastavljeno od prijenosnog i relativnog gibanja~ pojavit će se d9punski član u Izr:lzu (4,11) za ub~nje, osim u navedenim posebnim slučajevima. Izračunavanje .lpsolutnog ubrzanja često je jednostavnije kada se prijenosno i relativno ubrzanje promatraju preko prirodnih komponenti, pa se svagdje gdje je to moguCe kori:iti taka1\" pristup rješavanju zadataka,

usmjaena je ?rema centru O prijenosne rotacije. Prijenosno kutno ubrzanje jeste (01-(0

O"~

"

I I !

I

~

(tl l

-Il)1t

301

_

...

- 890.118 s -.

tako ..Lt je tall::;;i1djalna komponenta prijenosnog ubrzanja

ilpT=nz= 178.024 m S~, :; !

o

Budu.:; da se c~:;;\' ubrzanI. smjer .: poklapa se sa smjerom w te to odreduje i smjer tangel1.... ijalnog :.:brzanja --rT- Pra\':l-: tog ubrzanja okomit je na cijev (sl. 4.3b},

Primjer 4.1 Čestica se giba u cijevi konstantnom brzinom li odnosu na cijev rr=5ms- 1• Cijev rotira oko O tako da se s početne brzine vrtnje 11= 150min- 1 ubrzava jednoliko na ll, lOOOmin- l • za 1=3s (sL 402)0 Odrediti vektore apsolutne brzine i ubrzanja na početku perioda ubrzavanja kada se čestica nalazila na udaljenosti b=O.2 m od centra rotacije Oo

I

i~oo

-v .

0:;::;0

" w'-

\

-.~~

O,


Slika

Sliku ·t2. Gibanje čC.lOticc u rotiraju(:oj cijevi

Relativno gibanje čestice u odnosu na cijev .ie jednoliko pravocrtno s brzinom pa čestica ima na početku perioda ubrzavanja prijenosnu brzinu

o

al "'L~,

Brline (a I i ubrzanja (bl

bl

čestice

\"ektor (o .."Ikom it je na ravninu u kojoj se giba čestica (na sl. 4.1 gleda prema pa se Coriolisovo ubrzanje ~= 2ID x Vr poklapa po smjeru s vcktorom apT' Po iznosu je .

čitao.;u),

a~= 2wl'r

::iin 90:::::::; 157,080m S'-2 .

Ll,. Prijenosno gibanje za česticu je rotacija sa cijevi oko centra O,

Apsolumo ubrzJnje ima iznos i kU( nagiba prema cijevi:

ml

rp=bw=b 30 = 15,708 ms-l. Apsolutna brzina (sl. 4.30) iznosi

16,486ms-'

o

Vektor apsolutne brzine leži u odnosu na cijev pod kutom O:v -.:--~

v

=arctan ...!= 72,343° , :'.

~,!:., ,;. •,.~f};..

Relativno ubrzanje jednako je nuli, Jer je relativno gibanje jednOliko pravocrtno. Prijenosna normalna komponenta ubrzanja iznosi

4.2. Slaganje d'iju rotacija Složeno gibanje tijela koje rotira relativnom kutnom brzinom roI" i prijenosnom .1, ' tlp koje se sijeku'1I'prost6ru (sl. '4.4) poseban"jesluč'j s[ernog gIbanja, kod kojega se treća kutna koordinata ne mijenje.

ID~ oko osi

Kod takvog složenog gibanja tijela kutne brzine 0), i ID, vektorski zbrojene daju apsolutnu kutnu brzinu fi) s pravcem A koji je trenutna os rotacije:

(40141

108

109

Iznos vektora

6)

dobiva se pomoću kosinusova poučka (1)=

dok je položaj osi J

određen

Jw; +w; + {;)I;1' cos .9 ,

kutom

:t.

(4.151

za koji je .

~=arcsm

1- Wr

sin.9 ---. w

'-'Jr

(4.161

Točka O je nepomična točka oko koje se odvija gibanje trenutnom kutno!ll brzinom (J). Brzina i ubrzanje bilo koje točke nj tijelu određuju se na način kako je lO opisano kod sfernog gibanja. Budući da nema treće rotacije. kut :1 među vektorirna (Or i (1),.. je stalan. pa je gibanje precesiono, Kako je rečeno u pogla viju l-k kod konstilntnih iznosa kutni h brzina prc..;csijsko gibanje je regularno a može biti I progresivno ili retrogradno.

"

d

LI,

LI,

LI,

Za brzinu točke P vrijedi ponovno izraz (4.18) tako da je udaljenost osi J od osi LI, jednaka b (4.11) X=--.

"', Vidi se da trenutna os LI leži u tom slučaju izvan razmaka b. i to n3 5trani vc(~ kutne brzine.

d,

w

~

w

-

w,

p

Slika 4,6. Slaganje rotacija 'kod

Slika 4.5, Slaganje rotacija tijela kod kojih su osi .dr i .d, relativne i prijenosne rotacije

paralelne

sijeku u prOStoru

koji~

su kutl}e brzine antirar
Ako su vektori kutnih brzina O)r i O>p antiparalelni, ali jednaki po iznosu udaljenost osi L1 je u beskonačnosti, a apsolutna kutna brzina jednaka je nuli. Brzina neke točke A na tijelu (sl. 4.7) dobiva se kao zbroj brzina zbog relarivne i prijenosne rotacije: (4.12) V=W,.x c,+ro p x rp odnosno (4.23) «(O~= -cop),

x

Slika 4.-1. Slaganje rOlacija tijela kod kojih se osi Li, i LI, relativne i prijenosne rotacije

b

U posebnom slučaju mogu obje kutne brzine biti paralelne (sL 4.5). Apsolutna kutna brzina po iznosu jednaka je zbroju iznosa relativne i prijenosne kutne brzine: (4.1 7)

Trenutna os rotacije LI paralelna je osima LI, i LIp. Njezin položaj se određuje iz brzine točke P na osi .dl" Ta točka ima brzinu samo zbog prijenosne rotacije, ali se isto tako može zamisliti da joj je brzina posljedica apsolutnog gibanja. pa je (4.18)

odnosno

x=b

b w

(4.19)

1+ wr wp

Kada su ror i wp suprotnog smjera (sl. 4.6), bit

će

uz npr. wp>ro, (4.20)

110

Slika 4.7. Slaganje rotacija antiparnieInih Immih brzina jednakih iznosa

111

Vektor r - r konstantan je za sve točke na tijelu, jer odraž;wa medusobm položaj ncpomič~ih točaka O. i Op' Prema tome je i vekror.v jednak Z~ sve točke tiJ~\a. Vidjeli smo da :;ve toč!:"t: tijeia imaju jednake brzIfl: u $!UČ;;lIU ka~~ Se hJ~~O lransialorno giba. pa je apsolutno gibanje koje nastaje sl?gan.l~1i1 d~~Ju rot;:I!.:1J,a suprotnog smjera oko paralelnih osi translacija. Vektor brzme translaCije Y OkOIlllt je na ravninu koju tvore osi

A~

[r,-rrl sin/l=(!),h.

U nekim slučaJ'evima kutne brzine (I), i će

se u prostoru ali ne i

sječi.

(!)

p

4.h

po J:lpčastom Yijencu 3. To je zapravo ravninsko gibanje s trenutnim polom brzina ~., fi.l je apsf."11utno gibanje rotacija oko trenutne osi L1,

i J", a brzina ima iznos

L"~(",

križat

Gibanje satelitskog zupčanika 2 mo7.e se promalrati kao gibanje sastaVljeno od al (QS if ) kutnom brzinom U>p i relativne rotacije oko 02 (os .1,) kulnom brzinom to, (sl. Apsolutno gibanje log zupčanika jest kotrljanje prijenosne rOlacije oko

d

(4.24)

d,

d,

w,

bit će minHj5mjer~i vektori (sl, 4.8}:

Znademo da tak\'a d\'a \:ektora ne možem.o

lIJ

zamijeniti jednostavnom re:zultantom po pravilu o zbraj~~nju vekrora ... Tada J~

moguce zamisliti da smo u bilo kojoj to~~i 1- na OSt :4 p priJen?5n~ rotaCIje d.?~ah vektorero i - ( I ) a da se gibanje ne pronlljenl. Veklon (t)r ll~l OSI J" 1 -ro~ tl lOck I A dovode do tra~;iacije tijela brzinom \'=(1)" x p. kako lo određuje izraz (4.23).

n,

I

i "

Slika -tl:). Sloieno rotacijsko gibanje

Pomoću zupčanika 1 ostvaruje se gibanje~ a dodirna ločka

ima brzinu

A sa zupčanikom 2

Ilon

l'., ~,%RI

=30 Rl'

Brzina VA ujedno je i b.",in. točke A zupčanika 2 zbog kOlrljanja po tijelu]. tako da je apsolutna kutna brzina zupčanika 2

Slika 4.8. Slag.anje rotacija kada su osi relalivl'\\'. i prijenosne rOlaeije il. i JI' mimosmjerni pravci

t'A

Rl

"'=--=0)0 - - o

Vektori cl) u točki A l ID daju rezultantnu rotaciju oko osi jj kutnom brzinom (1), koja u prostoru zatvara kut ct s vektorom v. Prema tome se svako složeno gibanje od dviju rotacija kojih se osi križaju a ne sijeku može zamijeniti odgovarajućom translacijom brzinom l' i rotacijom kutnom brzinom m. Kako se sastavljajU ta dva gibanja bit će pokazano u narednom odjeljku.

2R, 2R, Brzina centra O, L'o2~VAI2="'oRI/2 jest obodna brzina zbog prijenosne rotaotie S polugom 4 oko 0I' Prenosna kutna brzina jest prema lome

Primjer 4.2

odnosno tražena brzina vrtnje poluge 4

.

Zupčani'k l' poiumjera-R, 'rotira oko nepomične osi kroz

al brz~nom

vrtnje

tl!)

te prenosi gibanje na zupčamk 2 koji se ujedno kotrlja po zupčastom ~irujućem vijencu 3 (sl. 4.9). Odrediti brzinu vrtnje poluge 4 koja se može okretatl oko neovisno o zupčaniku I. Koliko iznosi relativna kutna brzma ,,:,pč.mka 2? Ako J~ zupčasti vijenac 3 pokretan kojom kutnom brZinom mora ronratI oko 01 da bl zupčani k 2 translatirao?

C:l

112

V02

Rl

"',= Rl + R, ='% 2(R, + R,)' -..,,---

Relativna kuma brzina

30",. R, II~~="O 2(RI +Rzr-----

zupčanika

2

veća

je od prijenosne i iznosi

Rl (R, +2R,)

w, =ro +wp ~%'tR2 (Rl + R,) . 8

S_letit: KINE\tAT!KA 1 DINAMIKA

113

Kod translacije sve

točke

na

zupčaniku

2 imaju jednake brzine kao i

ločka

=wORt, Tu brzinu mora imati i dodirna točka zupčanika P. i vijenca 3, pa kutna brzina vijenca koji rotira oko 0, u smjeru roD jeste

t'A.

I

ro) ~

fA

R, +2R,

=000

Rl

R, +2R,

.

Prijenosna kutna brzina za zupčanik 2 tada je jednaka njegovoj relativnoj kutno; brzini, pri čemu je t'02

VA

Apsolutna brzina bilo koje suprotno usmjerena

Rl +R2

Rl +R2

Pretpostavit čemo da je rotacija relativno gibanje oko osi Ar' Translacija je tada prijenosno gibanje brzinom "p> jednakom za sve točke tijela. koja leži pod kutom :x prema osi .dr (sl. 4.10). Ta se brzina može rastaviti na dvije komponente: brzinu translacije v tl pravcu osi relativne rotacije Ar i na brzinu translacije v' u pravcu okomitom na ..1 r , Obje brzine iznose: .t'= r.:p cos (1.

(4.25)

vp sin a.

Nadalje se može zamisliti da je brzina v' posljedica dviju rotacija: na osi Ll. s međusobnom ud.ljenosti b. koja prema (4.24) iznosi

U)r

na osi .dr i (OT

b=~= Vp sin a . co,

(4.26)

{j)r

ukida se djelovanje rotacija (1), i - (Or tako da od početnih gibanja ostaje rotacija (1), na osi .d i translacija v jednaka za sve točke, Na osi

L1r

(t)r

LI

v

Primjer 4.3 Pu~čano zrno giba se translalorno u odnosu na cijev brzinom r = 1000 m S -! . Zbog stabilizacije gibanja zrna urezana je spirala u cijevi koja daje rolaciju zrnu oko uzdužne osi. Ako se po metru dužine cije\"j nalazi spirala s četiri puna zavoja. koju brzinu vrtnje dobiva zrno na izlazu iz cijevi?

Na izlazu iz cijevi zrno se zavojno giba relativnom kUlnom brzinom (Or i prijenosnom translacijom v. Kroz cijev dužine 1 m putuje zrno 10 - -' s. Za to \Tijemc ukupni kut relativne rotacije jest wnnožak između broja zavoja i 2n radijana. što iznosi Sn radijana. Kutna je brzina tada: (o

8n =-10- 3

r

rads-I

ili

30",.

n~--=240000min-'

i vp

Vektori (J)T i v daju II promatranom trenutku zavoj no gibanje oko osi .d te je to najjednostavniji oblik gibanja na koji se može svesti oPĆi slučaj rotacije i translacije LI,

tijela dobiva se vektorskim zbrajanjem brzine

vektori brzina v i Y~ biti međusobno okomiti. U posebnom slučaju~ kada je translacija okomita na os rotacije, složeno gibanje može se zamijeniti samo rotacijom oko osi A, To je bilo primijenjeno kod ravninskog gibanja tijela, gdje smo umjesto translacijom i rotacijom opiSivati gibanje samo rotacijom oko trenutnog pola brzina.

4.3. Slag.nje translacije i rotacije

r' =

točke

vp i brzine vr zbog rotacije oko osi .dl" U slučaju da smo \!ibanje sveli na rotaciju oko osi A kutnom brzinom b)~ i translaciju v. vektorsko je zbrajanje jednostavnije. Tada će

Rl

wp=---~---=CJo---·

Rl +R2

tijela s međusobnim kUlOm a. To je ujedno i najjednostavniji slučaj na toji se mogu svesti i dvije rotacije s mimosmjernim osima opisanim U odjeljku 4.2. U tom slučaju os zavojnog gibanja okomita je na najmanju udaljenost među osima L1 i Ll (Mobiusov teorcrn). • p

n

Zadaci uz poglavlje 4 l. Čestica se giba konstantnom relativnom brzinom v,=2mjs unutar kružne cijevi polumjera R = l m. Istovremeno cijev rotira oko osi koja je okomita na ra\'ninu cijevi kutnom brzinom koja II prikazanom položaju čestice iznosi (1)= 2 radls, a kutno ubrzanje cijevi iznosi e=4rad!s' (sl. 4.11). Odrediti apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje čestice ako je ,,=60'. y

Rješenje: v=5,29ms- 1 • a= 17.345ms-'.

((11=

131°,

".= - 153'.

x

-lJ),

.

Slika 4.10. Slaganje translacije i fOl3cije

114

8'

Slika.Ul

115

Zakrivljena vodi1ica CD polumjera r=4cm kruto je vezana za ycrtikalnu osovinicu AB koja rotira konstantnom kutnom brzinom
Fx= -

8cms- 1 ,

1 t1 r =6,28cms- ,

a,= - 25.l2cms- z. 0,= -

f;=O,

12.86cm s -l,

G, =

-9.87 cms-:.

z

O, O =400 mm, 'I' =.15'. Zadalak rijesiti analitički i gratički pomoću plana brzina i ubrzanja. Uputa za an.litičke rješenje: dužinu O,B izraziti kao funkciju vremena i dedviran.iem naći brzinu i ubrzanje točke B.

Rješenje: vlJ=10.9m~-I,

aJJ=~45ms-l

..L' Dva kon ična zupčanik':J u zallYatu prikazana ~U shematski na slici 4.14, Zupčani­ :=:I mog~ roti,rati oko nep?mičnih osovina OO; i 002' Zadani su kutna brzina (Ut l kutOVI :)1 I 8 2 " Odrediti kutnu brzinu {()2 kao i relati\'nu kutnu brzinu jednog zupčanika u odnosu na drugi, Napomena: Budući da točke na relativnol osi ~otacij~ jednog zupCJnika. miruju u odnosu na drugi. ta je os zajed~ička Izvodmca konusa zupčanlka (~,1. Apsolutna os rotacije jedna je od osi zupčanika.

Rješenje:

W2 =W 1

sin ~ll ·sin 32 ,

tO/, =w 1 cos.9 1 (1

+ tun 41

taIl'')2''

0, b

Slika 4,12

3. Odrediti brzinu i ubrzanje klizača B mehanizma prikazanog na slici 4.13. Ručica OA rotira konstantnom kutnom brzinom ill = 10 rad/s. Zadano: OA =200 mm. Slika 4. [.J

y

5. Na vertikalnu osovinu elektromotora 2 pričvršćena je kružna ploča polumjera r=0,5 m. Elektromotor 2 rotira oko vertikalne osovine elektromotor. 1 (sl. 4.15), Razmak među osovinama iznosi b l m. Kutne brzine elektromotora konstantne su (w, = 10 rads -', w, = 20 rads-') i jednakih smjerova. Odrediti: al apsolutnu kutnu brzinu i položaj trenutne osi rotacije kružne plvče~ b} brzinu točke A kada je '1'=30' i c) gibanje i brzinu točke A ako su kutne brzine jednake ("" =w2 =10r.ds-'1 i suprotnih smjerova. Rješenje: a) w=30rads-', x=O,33m od osi 2, b) v,,=24.IS3ms-', cl Kružna [ranslacija, r,~IOms-' .

e

n

B

•

0, Slika 4.13

116

Slika 4.'5

II. DIO DINAMIKA

5. UVOD Dinamika je dio mehanike II kujem Se pro~čavaju 1ll~\1usobni \."Idnosi gibanja tijela i uzroka koji ta gibanja izazi\-~ljU. Obie-no su uzroci gibanja tijel':l :iiIc i sprego\-j koji djeluju na kruta tijela kojih je rezultanta različita od nule. Slučaj ravnoteže kada je rezultanta jednaka nuli razmatra Se II statici krutih tijela. dok st' gibanja_ bez obzira na uzroke koji ih izaziYaju, pr0učavaju II killemdlici. Dini/mika, prema tome, djelomično sadrži i osnovne elemente statike i kinematike. ali se njihovim posebnim metodama ne bavi. Zbog jednostavnosti. II dinamici se za$~bno izučavaju gibanja tijela kod kojih su dimenzije tijela nebitne ili se zJnemaruju. U kinematičkom smislu gibanje se promaLra kao gibanje točke, a jedina mjera tromosti tijela jest njegova masa. L" dinamici govorimo tada o gib'wju čescice mase m, koja II općem slučaju ima cri :ili/pilja Slobode gibanja. Često su u tehni":kim izvedbama takva tijela ili česti~e povezani međusobno različitim vezama, tako da tvore cjelo\"it susta\·. Takav susta\' može se u dinamici promatrati kao cjelina. Kada su veze u sustavu krUle. 11 broj čestica beskonačan, riječ je zapra\"o o hurom rije/u, kod kojega u mjeri tromosti pored mase 111 imaju važnu ulogu oblik i dimenzije tijela. Gibanjem čestice. sustava čestica i krutog tijela bave se tri osno\'na dijela dinamike: dil/IIII/ika čestice. dinamika SUSlal"(1 čestica i dinamika kmcil! rijela. Pored duljine i vrf;!mella, koji su bili osnovne veličine u kinematici. u dinamici se javlja masa kao treća osnovna veličina. Masa se definira u fizici kao mjera tromosti ili inercije čestice. a jedinica joj je kilogram (kg). Jedan kilogram određen je etalonom koji se čuva II Sevresu u Francuskoj. Sve ostale \·eJičine u dinamici bit ce izvedene iz [ih osnovnih, pa će i njihove dimenzije sadržavaLi tri osnovne jedinice: "'etar (m), St'kfllldll (S) i kifogram (kg). S\"a razmatranja u

klasičnoj

mehanici. pa tako i u dinamici temelje se na

.\reU"tollorim :aI.:OI1;I11Q gibanja čestice. P,.d :akoli poznat je kao :{/koll usrrajnost;, a

kazuje da čestica ostaje u mirovanju ili jednOlikom pravocrtnom gibanjU ako je rezultantna sita koja djeluje na česticu jednaka nuli. Na tom zakonu zasniva se cijela statika. Drugi :akol1 gibanja kaže da je ubrzanje čestice proporcionalno rezultamnoj sili s kojom se poklapa po smjeru. Iz tog zakona izlaze s\; osnovni zakoni dinamike. Taj zakon češće se formulira i preko kolicine gibanja, o čemu će biti gm'ora kasnije. Akcija i reakcija predmet su (rećeg Newtono\'a zakona: dva tijela djeluju jedno na drugo jednakim i suprotno usmjerenim silama. Jedna od tih sila je aktivna, a druga reaktivna. I s tim zakonom ba\'i se statika i na njemu zasniva \'ažan princip reza ili izolacije. O\'dje nećemo ulaziti u dublja razmatranja

121

tih zakona. jer je to .zadatak fizike, već ćemo ta tri zakona uzeti kao polazne osnove kod tumačenja s,"ih dijelova dinamike. Posebnu vrstu sila tvore gtafHacijske silI! koje se i u tehničkim proračunim,:t ne mogu izbjeći. Zakon pomocu kojeg se te sile između dvije čestice iz.računa­ vaju postavlo je također Newton, a poznat je pod imenom zakona opće (univerzalne) grm.'iWc(k. Dvije čestice mase nlt j ml koje se nalaze na međusobnoj udaljenosti r privlače se silama F i F kojih je iznos (sL 5.11 često

(5.11

Grat'iwcijska kor;swlHu

~'

eksperiml!nlalno je i'~6.6:

Ulwđena

i pribfižno iznosi

6. DINAMIKA ČESTICE

10-11 m)kg- s- 2, i

m,

6. t. Jednadžbe gibanja Drugi Newtonov zakon gibanja može se napisati vektorski lako da glasi (6.1)

F=ma.

SHa F jest rezultanta svih sila koje djeluju na česticu, a ubrzanje a jest apsolutno ubrzanje (,I. 6.Ji. Izraz (6,1) je \'ektorska jednadžba gibanja čestice koja kod rješavanja zadataka dinamike, ovisno O zadatku i odabranom koordinatnom susta· vu, ima svoje skalarne jednadžbe. putanja

Između Zemlje i bilo kojeg tijela na njezinoj !>OVfšini može se prema (5.1) izračunati gravitacijska sila F, Uz srednji polumjer Zemlje R = 6,371 ' 10· m i njezinu masu koja približno iznosi ml ~ 5 98 . 1()Z4 kg gravitacijska sila na masu m2 :;;; ln (masa m u kg)

m

j

jeste

-,

"'III

F=i-f m=gom=9,83l ln N, R

Konstanta 90=9,831 ms- 2 jest jakost g/'avitacijskog polja na površini Zemlje, Točnim mjerenjem može se ustanoviti da privlačna sila Zemlje ne odgovara II potpunosti toj vrijednosti. Razlog je tome rotacija Zemlje, zbog koje se privlačna sila razlikuje kako po iznosu tako i po smjeru od gravilacijske sile. Ta privlačna sila između tijeJa mase nl i Zemlje, koju zovemo težinom tijela+ određuje se po analogiji s. (5,3) pomoću izraza

G=gm,

"

(5,31

o

(5.41 Slika 6. L Rez:ultantna sila na

gdje je g jakost polja teže, koja se mijenja ovisno o mjestu na površini Zemlje. U tehničkim proračunima uzima se da je prosjei:na vrijednost jakosti polja leže g:>:9,81 mS-l. Promjena jakosti polja teže posljedica je geoidainog oblika Zemlje. konfiguracije Zemljine površine, nebomogenosti mase Zemlje itd, Točnija vrijednost jakosti.polja teže u Zagrebu npr. iznosi g=9,80782ms c2 . " •..• Težina tijela. kojoj je jedinica kao i svakoj drugoj sili njurn (I N = I kgms-2), bila je osnova za definiciju kiloponda u starom Tehničkom sustavu jedinica. Premda taj sustav više nije u upotrebi, u nizu priručnika i tablica zaostala je jedinica kilopond iz ranijih godina. Jedan kilopond bila je ona sila kojom etalon u Sevresu (m= I kg) djeluje na podlogu, pa je prema (5.4) I kp=9.8l N,

122

česticu

poklapa se po smjeru

5

\'eklorom ubrzanja

U Descartesot:U koordinatnom sustavu komponente sile jesu F=F.i+FTj+F:k. a komponente ubrzanja a=axi+ayi+a.k. Buduči da je gibanje odredeno Iwordina:'""~";-';,," ,tama "d', ",toje "'.i=x, G,=Y i a. = 'ž, pa izraz (6.1) daje ove tri jednadžbe gibanja: F.x=mx

,

(6.2)

F =my

(6.3)

F,=mz.

(6.4)

123

Jednadžbe gibanja u Descarteso\·u koordinatnom sustavu jesu:

Kada se gibanje prikazuje li polarnom kQQrdinatnom .<;usrat:u. II kojem je položaj koordinatama r i q>~ rezultanina sila ima dvije komponente F= :. . .,cr +F~eft" Isto vrijedi za ubrzanje a=ul"el"+a~eO". Iz kinematike je poznato da je (/,; r' -!'f/>' I o.=rIfJ+2iyp, tako da jednadžbe gibanja II tom sustavu glase: čest:ce određen

m (r - np')

F$ -= mx;::::: - mRul- coswt Fy= m)" =

-

mRw2 sin(J)t.

iznos sile F je konstantan i iznosi

(6.5)

F=JF~+F~=mRwl.

(66)

U ciUndtic11im koordinatama P. ([J, z komponente sile Sll F=F e -i-j:' e +F~k i veklora ubrzanja a=tl e,+a e +lt_k. Ako se za komponente ubfz:nja ~Potrijebe izra;:i dobiveni u kin~matici točke (2.98) do (2.100), dob"'aju se prema (6.1) jedr:adžbe gibanja II cilindričnom sustavu:

F,=m(p-p,p'1

(6.7)

F.=m(pq,+2pq,)

(6.8)

F;=mz.

(6.9)

Analogno se dobivaju jednadžbe gibanja u ~(E!J'11om koordillatnom

x

sustat'U r, lP,

il: (6.10) (6.111

J

. I d F.=m [ --(r'3)+rq,' sin9cos9 . ,. dr

SIi~;I

(6.12)

B~dući

da se prema (6.1) rezultantna sila F poklapa po smjeru sveklorom ubrzanja a, Imat će vektor F II prirodnom koordinatnom Slf5Ctll'U dvije komponente; (angencija/nu Fr i normalnu Fl"" što znači da kod gibanja čestice rezultanrna sila koja uzrokuje gibanje leži uvijek u oskulatornoj ravnini, p~ je F=FTe,+FNe,. Odgovarajuće komponente ubrzanja prema (2.150) i (2.151) jesu: aT~'S i G N = "'iR, ,ako da (6.1) daje u prirodnim komponentama dvije jednadžbe gibanj. : .

FT=lIIš

,,'

FN=m~.

Primjer 6,1

I .j

6.2. Gibanje čestice po kružnici

F

,

a=~=R(J.r. //I

Primjer 6,2

(6.13) (6.14)

R

Čestica počinje gibanje početnom brzinom Vo pod Kutom, prema horizontali (sL 6.3). Tokom cijelog gibanja djeluje na česticu samo Zemljina teža. Analizirati gibanje pod djelovanjem konstantne sile teže (gibanje.u blizini Zemlje).

y

Prema zadanim jednadžbama put.nja čestice je kružnica polumjera R s centrom U ishodištu (sl. 6.2), Jednadžba putanje je

x 2 +y"=R'.

124

brzio('m

Iz komponenata se vidi da je sila F na svakom mjestu putanje usmjerena prema centru kružnice, Takva sila. koja je za vrijeme gibanja usmjerena prema centru zakrivljenosti putanje, zove se ceutripeta!tlQ sila, Gibanje po kružnici· konstantnom brzinom ostvaruje se, dakle, djelovanjem centripetalne sile konstantnog iznosa. Ubrzanje pri takvom gibanju također je konstantno po iznosu i jednako je

Gibanje čestice mase pn zadano je jednadžbam. x=R CO. aJI i J'=R sinw!, u kojima su R i OJ realne konstante veće od nule. Određiti silu koja proizvodi takvo gip.nje. . ._ "._~.,.

Brzina v =

kon$t
Jp + ji' = Rw, pa je tO gibanje s konstantnim iznosom brzine,

1/ .' Q~~

__________L -__

o

putanj .. ~~~

X

Slika 6.3. KQsi hitac

125

Uz L'tnemarCl1je otpora zraka na česticu djeluje tokom gibanja samo vlasti!a 1ežina. tako da su II koodil1atnom sustavu prema slici 6.3 jednadžbe gibanja:

6.2. D'Alembert". pr!ocip Preuređenjem jednadžbe gibanja može se svaki zadatak iz dinamike riješiti poznatim metodama iz statike. jednadžba gibanja čestice mase 111 glasi

mx=O m):= -

Integriranjem sc dobiva:

1il{J.

(6.15)

3;=r.~=Cl

-III+C,. Integracijske konstante e: j Cz slijede iz zadanog uvjeta da je za 1=0. Cy = VO sin:x. Prema tome j.'! CI =rocos:x j Cl =co sin:t. pa je

u kojoj je F rez.ultanta svih s.ila koje djeluju na česticu, a vektor a je apsolutno ubrzanje čestice. Ako se desni član te jednadžbe prebaci na lijevu stranu, bit će

r=

Vx =

IJO cos 2' i

iIi

fx=rn cos "1 P\.)110VO

i integriranje daj;; ,

l..'y=

}fl

+ 1'0 sin 'l.

x=ri)l cos X+C) I'

)'=

~onstanle

Y'2+L'otsin'2+C4 "

Cl i C.. jednake su nulL jer je 2il 1=0. x = O I r = O. Ta ko je

:I

l'

)'=

-!1"2+l'ol sIn"':/..

"I

To su parametarske jednadžb~ putanje. Eliminacijom vremena t dobiva jednadžba pmanje koja glasi il , y=xlgcx 2~AcoS1(/.X-.

S~

:1

Cestica izbačena početnom brzinom 1'0 pod kutom (x prema horizontali (kosi hitac) giba se prema tome po paraboli s granaf l1U okrenutim prema dolje. Tjeme parabole leži na mjestu gdje je VJ' = >"=0, odnosno za (= (..'0 sin a./g, Nakon tog vremena koordinate tjemena x T D/2 i YT~ H jesu: D t·~, -=-sm2:x

2

21/

v' H =-2.. sin l 2g

S o7.!1~\kom

F-wa=O

(6.161

F+l=O.

(6.17/

L= - ma:

Ta je jednadžba uvjet dillamičke ravnoteže čt!sric(!, U njoj je vektor L im:rcijska sila i nema odlike sH'arne sile. Ona je fiktivna veličina. koja sa stvarnim silama stoji u dinamičkom smisIu u ravnoteži. Po francuskom matematičaru koji je prvi uočio da se jednadžba gibanja može pisati kao jednadžba ravnoteže naziva se ovaj postulat D' Alelllbmocilll principom. Jednadžba (6.17), koja uključuje i inercij,ku silu L= - ma, dovoljan je uvjet dinamičke ravnoteže, jer se radi o konkurentnom skupu si1a. Iz ,kalarnih jednadžbi koje izlaze iz uvjeta (6.17) mogu se odrediti sve nepoznanice dinamičkog zadatka, npr. komponente ubrzanja iH komponente nepo;matih sila koje dovode do gibanja zadanim ubrzanjem. U ravnini. zadaci se mogu rjcšavati i grafički. Inercijske sile koje su prema (6.161 i (6"17) uvijek usmjerene suprotno ubrzanju prikazuju se u komponentama, već prema odabranom koordinatnom sustavu, U prirodnim koordinatama to je tangencijaina i nonnalna komponenta inerciske sile. UObičajeno je da se normalna komponenta suprotno usmjerena od nonnainog ili centripetainog ubrzanja naziva centrifugalnom silam. Jasno je da je centrifugalna sila samo fiktivna. Kao i svaka druga inercjska sila ona stvarno ne djeluje na česticu, ali njezino uvođenje olakšava fizikalnu predodžbu o zbivanjima za vrijeme gibanja čestice. Isto vrijedi i za Coriolisovu silu, za koju se kod složenog gibanja čestice pretpostavlja da djeluje suprotno Coriolisovu ubrzanju. Primjer 6.3

x.

Čestica mase ul = I kg giba se uz kosinu nagiba (,(= 30° (sl. 6.4). Pored vlastite težine G= ION i podloge s koeficijentom trenja 1'=0,1 djeluje na česticu sila F =9 N. Odrediti ubrzanje čestice, ako je {J= 15'.

Vidi se da je maksimalni domet uz istu početnu brzinu moguće postići uz (.(=45°~ jer je tada sin 2. = l. Kada je x=900', gibanje ima samo r komponentu (vertikalni hitac). Visina H koju postiže čestica izbačena početnom brzinom L'O iznosi tada

t?u

H=-. 2g Ako se

česIica

pusti da pada bez

početne

brzine ("0=0.

Ct=

-90"), gibanje

također ima samo), komponentu (slobodni pad). Čestica se giba II smjeru negativne osi JI, a nakon pređenog puta y -II ima brzinu 1'1 r koja iznosi

=

=

v=,)2gh. 126

).

Slika 6.4. Gibanje čestice

\JZ

kosinu

117

Gibanje je pravocrtno s ubrzanjem a uz kosinu. Sile na oslobođenu česticu prikazane su n& slici 6.5a, na k')joj je suprotno ubrzanju ucrtana i inercijska sila L= - ma. U odabranom koordinatnom sustavu x, y uvjeti dinamičke ravnoteže glase: F .:os{J- R sin lp-G sin':t.- n/(/=O LF,.,~O

Prema tome je apsolutno ubrzanje

čestiCe

~ = ~e.:+ ije" + (e, + ~ro x (~c{+ i,e" +~e,).

Prema O'Alembertov'1 principu uvjet

dinamičke

ravnoteže glasi

f ;in{i+R cos ~O.

Rješa\"anjem lih jednadžbi, u kojima je

HI

= G {J

i ifJ = arc lan ll, dobiva se da je

'I~~ [~cOS({i-
O1S- 2 .

Grafičko rješenje prikazano je na slici 6.5b. Očitana sila L iznosi 3 N, što uz zadanu masu čestice daje ubrzanje a = L/m = 3 m S-2. F

x

}

l(! (

R

L

merdijan

J

-

Slika 6.6. Padanj.! česti..:e u neposrednoj blizini Zemlje s visil'!e fl. Rclalivni koordinatni sustaV ~. 'I. ;: (a) i položaj ra\TIine~. I; (b) . .

Kod padanja jedina sila na česticu jest njezina vlastita težina. koja u relativnom k.oordinatnom sustavu ima smjer - ( osi. tako da je F = - mge:. O'Alembenova je Sila L= - ma. pa se uz pomoć izraza za ubrzanje a dobi'·a uvjet dinamičke ravnoteže

1N

al

bl

- mge,- m [~e, + ije, + Ce; + 2ill x (~e, + ;1 e" + te;1 ~O.

Slika 6.5. Sile na ceslicu pref7l:l. O·Alemberlo\·u principu lal i grafičko rj~enje {bl

Vektor co može se prikazati Primjer 6.4 Odrediti otklon čestice od \·ertikale, ako čestica u odnosu na veličinu polumjera Zemlje pada s male visine Ir. Otpor zraka i utjecaj centripetainog ubrzanja zbog rotacije Zemlje zanemariti. Cestica se padajući s visine h giba složeno. Relativno u odnosu na Zemlju i prijenosno zbog rotacije Zemlje (sl. 6.6). Prema zadatku treba iz zadane sile naći komponente relativnog gibanja ;~~«() i q= q(!). Otklon od vertikale predstavljaju vrijednosti ei " nakon što čestica po osi, prijeđe put h. Za vrijeme gibanja vektor relativnog ubrzanja jeste 8 r = ·{e.+ ije" + ,e,. Prijenosno ubrzanje ima samo nonnalnu komponentu a =a~=RCii cos cp, pa se zbog malog iznosa kvadrata kutne brzine Zemlje (w' =O,S2cj'·1O-' s-') prema zadatku zanemaruje. Coriolisova ubrzanje

također

u koordinatnom sustavu

co =

cos ({Je.; +00 sin ({Je;.

-

Kada se izraz za ID uvrsti u uvjet i vektorskog množenja

(J)

dinamičke

~.

'1,

~,

pa je

ravnoteže. dobiva se nakon

kraćenja

s

ln

odnosno

~=2w~sin(!)

(l)

.~= - 2w(~

(2)

sin
\=2w~cos(!)-g.

~or =:m x vr =2ro x (~e~+;'e., +~ e~).

128

bl

01

(j

9

s. Jo:cic: KIND-LUtKA I DINAMIKA

(3)

129

Integriranjem prve i

treće

jednadžbe dobiva se ~=2w'lsinqJ+Ct

{41

~ =20", cos rp-91+ Cz.

(51

Budući da je u poče(nom trenutku gibanja relativna brzina jednaka nuli. a čestica se nalazi na mjestu ~ = '1 =0 j.., JI, !-..Ol1stante CI i Cl jednake su nuli. Ako se dobiveni izrazi uvr5fč II jednadžbu (::: L hit ~,~

-4d 11+2grwcosrp.

l/

Dio tog ubrzanja koji sadrži «(i može se iz ranije izneSt;!nog razloga zanemariti lako. da je il =: 2gl{JJ cos tp. odnosno ~=gr'(O cos rp+C,. Uz (=0, ;,=0, i C.)=O. Ponovnim integriranjem dobiva se q

I

=3 gl'", cos rp +C.,

gdje je pontwo integracijska konstanta C. =0. odnosno

Kut (J) jest kut zemljopisne širine. ~a ekVatoru je tp=O. pa čestica koja pada s tornja cd 100 m ima otklon prema i
6.3.

'1<:aanički •

rad i snaga

Rej~ullanlna sila F. koja djeluje na česticu za \Tijeme gibunja, u opCem slučaju bi! će promjenljiva veličina. U tehnici su posebno česti slučajevi kada je sila F

funkcija položaja F=F(r) ili kada je funkcija vremena F=F(r). To znači da ćcmo imati posla s dva tipa integrala jednadžbe gibanja: po pomaku dr j po Hemenu dt, Integriranje jednadžbe gibanja II općem obliku za ta dva slučaja dovodi do niza vrlo važnih zakona i noyih veJičina, pa će svaki od tih integra1a biti podrobnije razmorren. Sh.lamim množenjem lijeve i desne SIrane jednadžbe gibanja (6.1) s dr dobiva je jedna :lžba (6.18) često

F·dr=",.·dr

l

11 ="3 gt 3 U) cos tp ,

Uvrsti li se izraz za 'I u (4) i (5), bit će nakon integriranja l

(;;;::!'6 gl40i sin q> cos tp+ Cs

Skalarni produkt F ·dr jest u diferencijalnom obliku rad sile F. pa je uz oznaku W za rad (6.19i dW=F·dr. Uz jedinicu za F njutn (N) i za dr metar (mj bit će jedinica rada njutnmetar ili džul (J). odnosno

skraćeno

(6.201

r'

l

e=(; gr'OJ' cos' rp- g 2+ C,. Integracijska konstanta i , određeni:

Prema lome, zanemarujući veličine koje sadrže kvadrat kutne brzine Zemlje, čestica se kod !Jadanja otklanja prema istoku. U tom smjeru, naime, postavljena je os + lj. Vrijemr potrebno da čestica padne na zemlju (C =0) iznosi t=,J'ih!g, tako d. je otklon
Integriranjem (6.19) od mjesta putu od I do 2 (sl. 6.7):

c.5 =0. dok je za l == O, (, = lt, pa je C6 = h. Time Sl! i izrazi za

,

će

se rld sile F na (6.21)

W=JF·dr.

~

l

na putanji do mjesta 2 dobit

.

T

~=-gr'())' sm2rp

12

tZ

l

\=6 gr4",' cos' 'I'-g 2+ h • Otklon ~ i prvi član U { reda su veličine 10 -'. Prema otklonu 'I i visini h mogu se obje veličine zanemariti, te su komponente relativnog gibanja

';=0 l

~ ="3 gr'w cos rp

{=h-g 130

y

x

t'

2·

Slika 6.7, Rad $ile

9'

Fna plllu od !očke t do 2: krivocrinc pUlanje 13!

Iz kinematike j~ poznato da se vektor dr poklapa po pravcu s pravcem tangente T, pa je skalami Irodukt F· dr= IFI cos a Idrl. Buduči da je Idrl '" ds, bil će .,..

W=

Ako se rotacija odvija oko bilo koje osi koja leži II ra\'nini sprega, rad je jednak nuli. jer sile Fi - F imaju tada samo paralelne pomake.

s..

J Fcosods= J FTds.

SIIlI!J{/ p jest brzi Ila kojom neka $ila obadja rad:

\6.22)

dW

"

P=-. dl

Vidi se da rad pr~l11a definiciji (6.19) daje samo tangencijaIna komponenta sile F. a može bili poziU·an iJi negativan, već prema (Ome da li je pomak ds u smjeru sik FT ili SUprl)tan. Rad normalne komponente Fl\: jednak je nuli.

Jedinica snage je

raf

(6.27)

(W), što je d:1I/1I sekundi. odnosno

I W=IJs-'=1 Nms- I =lkgm 1 s- 3 .

Rad sile F izračuna,·a se pomoću njezine langencijalne komponente prema (6.22) ili II bilo ;kojem drugom koordinatnom sustavu. Tako. naprimjer. II Descartesovu su~[avu

Pomoću

(6.28)

(6.101 može se snaga izraziti preko sile i brzine: d /I' dr P=-=F·-=F·\·. dl dl

pa je rad sile F

2

2

J

11"= F·dr= SFxdx~F,d)'+F,dz.

Budući

10.23)

W=F(b~/)d
Snaga je trenutna veličina i u svakom trenutku se može komponente sile i brzine v. Snaga sprega može se izraziti

će

(6.30)

pomoću

izračunati

iz rangencijalne

izraza (6.151 pa je

d /I' d

(6.31 )

Premda je pojam snage prema (6.29) i (6.31J vezan uz silu odnosno moment, u tehnici se govori o snazi što ju razvija neki stroj. Kod strojeva se snaga izračunava pomoću sile i momenta. koje stroj mora svladati ili ostvariti, pri čemu se koriste gornji izrazi. Kod pogonskih strojeva snaga je jedna od njihovih bitnih karakteristika.

10.241

tako da je 10.25)

dW=Fbd
da je i ovdje:x kut izmedu sile F i brzine v (si. 6.71, bit P=Frcoso.:=Fr-v.

U posebnom slučaju sprega sila, premda je rezultanIna sila jednaka nuli. ne mora bili i rad sila jednak nuli. Iako je spreg veličina koja izaziva lakav način gibanja tijela k,.)ji ne spada II dinamiku čestice, protumačit ćemo rad sprega o\·dje, jer pojam rada· i nije vezan uz tijelo. Kod ll"al1sfacijt! sprega gibaju se hvatišta sila sprega po jednakim krivuljama, tako da su prirasti pomaka sila jednaki. Budu(:i da su sile u spregu jednake po veličini, ali suprotno usmjerene, ukupni rad sprega kod translacije jednJ.k je nuli. Kod rOTacije sprega oko osi okomite na ravninu sprega za kut d

(6.29)

M je moment sprega, pa je rad kod rotacije od kuta
0,

J Mdcp.

W=

16.26) Primjer 6.5

Kod blanjanja je polrebno djelo"ati na rezni alat silom F = 10 kN (sl. 6.9). Ako je sila tokom blanjanja konstantna, izračunali rad sile kod skidanja strugotine u dužini :; = 2 m, uz kut ct. = 60 0 • Kolika je snaga pogonskog stroja potrebna za skidanje strug0tine brzinom v = 0,5 m s - l?

F

dil'

I

b

I

-v

-'f :\ /

o

~

Slika 6.8. Rad sprega sila F i - F

132

~%

~

Slika 6.9. Rad sile

Fkod skidanja strugotine

To je diferencijal kinecičke energije Ek koja je definirana kao što je ima čestica mase /II pri gibanju brzinom v, gdje je

Prema izrazu (6.21) rad sile F jeste

,

W= JF'dr= J Fcos ~ds.

mu2 2

da :,u iznos !'iile F i kut a: konstantni, rad je

će

(6.35)

Prema izrazu (6.32) vidi se da je jedinica kinetičke energije ista kao i jedinica rada tj. džul. To slijedi i iz (6.35). jer je prema (6.20) I kgm's-'= I 1.

W=Fs co'" = 10 kJ. Pom:::bna snaga za rezanje silom F uz brzinu (' bit

vrijednost

E,,=-.

o Budući

trenutačna

prema (6.30)

T ;i

P=Fv GOS 'l.=2,5 kW.

iPored te snage pogonski stroj mora razviti i snagu potrebnu Zi) svladavanje sila i 'momenata trenja u svim pokretnim dijelovima, koja u gornjem izrazu nije: uračunata.

Primjer 6.6 Koliku snagu razvija automobilski motor kojemu je brzina vrtnje radili~e n = 2800 min - l , ako treba savladavati otpore kojih je ukupni moment M = 108 Nm"? Snaga prema (6.31) iznosi 111<

P=Mw=M -=31,667 kW. 30 6.4.

Kinetička

energija. Zakon

kinetičke

Slik
kine[ičke

energije

česIice

Jednadžba (6.32) pisana pomoću uvedenih definicija za rad i ima prema tome novi oblik koji glasi

energije

kinetičku

energiju

Skalarnim mnozenjem lijeve i desne strane jednadžbe gibanja s dr dobiven je ovaj izraz:

(6.36)

(6.32)

što znači da je prirast kinetičke energije čestice jednak prirastu rada sile koja proizvodi njezino gibanje. Integriranjem tog izraza od položaja 1 do položaja 2 čestice na putanji dobiva se

F·dr=ma·dr.

Skalami produkt· na lijevoj strani definiran je kao diferencijal rada d JV. Desna strana može se razriješiti ovako: Iz slike 6.10 vidi se da je Ial cos a: = aT' što je tangencijalna komponenta ubrzanja. a kako je Idrl ",ds, to je dr ma·dr= maTds=m -ds dr

ili

drugačije

(6.37)

(6.33)

ma' dr= m Iall drl cqs x.

'0

'-.e

'.'

Integral na desnoj strani daje razliku kinetičkih energija II položaju 2 i J, dok je lijeva strana jednaka radu sile F pri gibanju čestice od l do 2: Ek2-Ek1

(6.33)

Taj izraz napisan

pisano

pomoću

= w.

definicija (6.35) i (6.21) glasi

,

m~ mv~

-2---2-= Za sve

slučajeve

kada je masa

čestice

konstantna, te uz dsfdt=v, bit

. (mv') . ma·dr=d 2 134

(6.38)

f

F·dr.

(6.39)

će

(6.34)

;

'.

Izrazi (6.38) i (6.39) predstavljaju zakon kinetičke energije, koji je jedan od osnovnih zakona dinamike. Zakon kazu·e da nema promjene kinetičke ener ~~ ni pr?mj~n~_ ..brzine_čestice.oez.ra .a..st~~QPR-k9j~_se __ Stl.I;.~ gjp.~. Očito je da kod 135

negativnog rada dOlazi do smanjenja brzine, tj. rj bit će manja od "t. Čestica gubi energiju. Iz poznatog rada unutar nekog intervala vremena i poznate brzine. npr. na početku intervala, određuje se, pomoću zakona kinetičke energije. nepoznata brzina na kraju log intervala. kineti~ku

Dio sila koje se javljaju II tehnici z;axlse samo o položaju čestice II prostoru. Tako sila na cesucu od eTa"štiCrie-'vezetopruga1 zavii!o' iidatjen' iz koje se deriviranjem po koordinati položaja dobiva odgovarajuća komponenta sile tak" da je cL _cEp (6.41, F,= --:-!....

npr.

za

Primjer 6.1 Čestica mase ln (sl. 6.11) giba Se bez početne brzine iz položaja l prema pOložaju 2 pod djelovanjem sile u opruzi (konstanta krutosti ej i trenja S podlogom (koeficijent trenja 1'). Odrediti brzinu čestice u trenutku kada je opruga nen.pregnu· ta (položaj

n

.

e:

eJ

Funkcija Ef' naziva se pote1lci}alnom .!l1ergl)ow. a uvjet dJ. ona postoji slijedi iz (6.411 deriviranjem Fs. po J:' i FI. rl,.'1 x, F \' po : i F:: p': y. te F; r\.) x i F\ pO:!C, tako da mom biti

t

' .

,'F.

cF~=~~i;

GJ

cf

(6.42 ,

-'=-'

{!X

__~ile z~_~Qjt1 P,9stoji pOh!ncijalna energija Ep jesu kt1n::erftUirm: si~e, Rad takvih sifa ne ovisi 0_ putanji izmedu l .i 2 već samo (l vrijednoHima potencijalne energije u . tim to.čkallJa. Ako se, naime. (6.41) uvrsti u (6AO), tad. je rad

,

d;= -

f

dE,.

(6.4} )

gdje je d E p totalni diferencijal potencijalne energije Ep' pa je

Cestica se giba pravocrtno s rezultantnom silom u smjeru gibanja: F=c(x-s)- ",mg,

tako da zakon

kinetičke

energije uz v, = O i Vz = v Z

mv 2=

f

[C(X-S)-!Hng] ds.

o Nakon integriranja i uvrštenja granica bit

U=

g!a~i

će

(6.44,

W= -(E.,- E.,).

Slika 6.11. Gi\'l~tnje pod djelovanjem ::lila opruge i trenja

_Ako. sila F jJlla_poten~ij~)nu eneJgij~. tada je njezin rad na putu od Ido 2 (sl. 6.12' neovISan o.putanji .I,.oj.omje čestica došla' ii p,:I()~j!!.1. u p_olo~j 2,,,~.~aj ~ad ovisi samo. o....Yriiedno.stipoten.,ijalne.eiieigij'e.~"inJestlma l i 2. Rad konzerviltl'vne'si!c . po zatv..'"enoj putanjiilipet!ji je.,!na~j:"p!ema tome ". . ---

--.

.. --... -.

11'=

----.,-.

-~~

f F'dr=O,

(6.45)

z

izraz za brzinu

~ .,J-;;;2MX.

6.5. Potencijal•• energija Pomoću izraza (6.23) odreduje se rad sile F u Deseartesovu koordinatnom sustavu tako da je z W= JFxdx+F,dy+F,dz. (6.40)

136

o Slllc;a 6.12. Rad Konler.'31i ...oc sile ne

y

o\i~i

o pUtU

što slijedi iz_ (§A4), j~r je..potencija1na energija na-početku·i na krajLLzmvor~P5!$tlje Jednaka. Vidi se da konzervativna sila može dati rad unutar nekog int.!rvala gibanja samo u slučaju da postoji promjena položaja njezina hvatišta. Za t1,·kot1zervatilme sile (sile trenja, sile ovisne o brzini) rad ovisi o putanji. Rad neko'n2 ':rvatlviiili' siTa po -zat\io-ren-oj putanji nije)ednak nuli. Za te sile ne postoji pOlencija:na energija.

Sila na česticu koja potječe od linearne elastične opruge konstante krutosti e iznosi F = - ex (sl. 6.14). Pritom je x produženje ili skraćenje opruge u položaju 2 u odnosu na nenapregnutu oprugu za koju je u položaju l, :<=0. Rad takve elastične sile od položaja I do 2 bit će W~-Jesds~-(E p2 -E pl I.

. Poten~ijalna en,ergija u nekom položaju Ep(x, .1'.'::) izračunava S~ i;-~~-d~'sile. Mjesto gdje se UZIma da je E =0 određuje se u svakom posebnom slučaju dogovorno. Za silu teže, koja je z~ male udaljenosti od Zemljine površine približno stalna (sl. 6.13a). potencijalna energija to je veća što je veća visina l: u odnosu na neku početnu razinu.

,

l - - - . - - - - - - Ep2= Ep

\

1

F~

F=- m9 j R

s

h (j

s

=-mg

_....L_...L_ _ _ _ _

EPl

!

Epl =O

;----

dSl=~m\=

1

t:i?P

m

dS.y-

(6.501

o

~

=O

F

Zemlja

al

E,

bl

Slika 6, l 3, Potencijalna energija sile lei';- (a) i gra . . itacijske sile Zemlje (hl

x Slika 6.I . t Potencijalna energija linearne

Rad sile teže G pri gibanju iz položaja l, gdje je E Ep2 =E p' iznosi

I

=0, U položaj 2. u kojem je

h

J mgds~ -(Ep2-E,,)~ -E,

(6.46)

(6.511

(6.47)

Derivacija potencijalne energije po koordinati položaja s negativnim predznakom daje silu. Tako izraz (6.47) daje -dE,Jd"~ -mg, što je sila teže. Iz (6.49) deriviranjem po r dobiva se -dEJdr= -1~lgoR2ir. a to je gravitacijska sila Zemlje. dok je sila opruge prema (6.51) -dE,Jdx~ -ex.

o

ili

Ep=mgh.

Iznos gravitacijske sile Zemlje na česticu mase m2 =m prema (5.1) jest F = yml m(r2. Za r= co gravitacijska sila jedllaka je nuli, pa se uzima da je njezina potencijalna energija na tom mjestu jednaka nuli. Budući da je prema (5.3) ~goR2, rad je sile F (sl. 6.13b) od položaja I (s~r, E" ~E,) do položaja 2

Kada se čestica giba pod djelovanjem više različitih konzervativnih sila, svaka sila ima potencijalnu energiju, koje zbrojene daju energiju presudnu za gibanje čestice. Napomenimo da je potencijalna energija jednako kao ikinetička skalar s jedinicom diul (J).

,m,

(s~ OO, Ep2 ~O):

oc

W~ -

f

mg RZ +ds.~ -(Ep2-E")~E,,

(6.48) 6.6. Zakon održanja

Što nakon 'integriranja i uvrštenja granica daje mgoR2

Ep~--­

r

mehaničke

energije

Kada na česticu tok~H11._gibanja c:Ijel!lj1J._~arnQ ko-'!zervativne sile. može se rad u zakonu kinetičke erie'rgije (6.38) zamijeniti razlikom njihovih·'potencijalnih·energija (6.44), tako da je (6.521 Eu-Ek' ~-(Ep2-E,,)

(6.49)

a to je potencijalna energija na udaljenosti r od središta ?emlje.

138

s veze

Ako je u položaju l, u kojem je opruga nenapregnuta, potencijalna energija Ep, =0. a u položaju 2 Ep2 = Ep. bit će

p W~ -

elastične

::\


139

ili

(6.531

Taj izraz pf..kaxuje da zbroj kinetičke j potencijalne energije na svakom mjestu putanje. odnosno II svakom trenutku gibanja čestice ima istu vrijednost. To je ~lIk(lJl odr:tmjd i".,:lwnićke energije. koji vrijedi kada se čestica giba pod djelovanjem konzervativnih sil~: Otuda i ime tim sil
preuređenjem

Na dijelu puumje AB na klizač djeluje vlastita težina, sila u opruzi i reaktivna .sHa štapa. Reakcii:l štapa Ima samo normalnu komponf:fltu te je rad te sile jednak nuli. Preostale d\{ie silc su kOflzerVatl\-ne, tako da je za gibanje na dijelu putanje AB

gdje je Eu =0, jer je baina klizaća u točki A i".{ =(;. Za taj prvi dio gibanja može se Uleti da je potencijalna energija pok"zaja kliz~\ča II lOčki B jednaka nuli. (uko da je

cf!

(652). tako da je

myl-1=O. (6.541

odnosno

(6.551

odakle slijedi brzina u

kinetičke

točki

B:

.fcl

Kada. na česticu djeluju samo konzervativne sile. nema promjene ukupne mehaničke energije. Zakon održanja mehaničke en~rgije s~mq j~,po$eba~~.sl~čaj općeg zakona odr::anja energije, prema kojem je u nekom zatvorenom sustavu ukupna energija (meha!,ička, toplinska. električ~a.itd,) ~~promjenljiva. Djeluju li na česticu pQred konzervati\'nih i nekonzervativne sile. bit če rad W svih -šiliit sasi'avIjen 6d rada konzervativnih sila 1-V" i nekonzerva·ii\'nih (npr. sile trenja) IVT : (6.561

Prema zakonu

aE, + t;.E, =0

ili

2g. -Iv-1

II

Lmy

A "

energije tada je Ek2 -Ek.I =

W"k+

WT .

(6.571

I

ili

t;.E.+t;.Ep~WT'

D

84"

Rad konzervativnih sila može se) ovdje zamijeniti razlikom p01encijalnih energija. te je Ek2 -Ekt ; - (Ep2-EpI)+JFT (6.581 (6.5~1

što znači da ce promjena mehaničke energije biti jednaka radu nekonzervativnih siJa. Kada za vrijeme gibanja na česticu djeluju samo negativne nekonzervativne sile (sile trenja, otpora), kojih je rad uvijek negativan, mora doCi do smanjivanja kinetičke energije. pa prema tome i do usporavanja čestice. Uz prisutnost tih nekonzervativnih sira ukupna mehanička energija se smanjuje. Mehanička energija koja se na taj način gubi prelazi u drugi oblik. Kod sila trenja i otpora to je toplinska energija.

Slika 6.15. Gibao}:

klizača

PO zakth1jenom

~taplJ

Kod gibanja od točke B prema C isključena je sila opruge, a javlja se nekonzervativna sila trenja. Kada je klizač na mjestu određenom putom s, bit će

ili

EIt.$-Eu+Ep$-Ep8= IVT ,

Primjer 6.8

Klizač mase ln giba se v~rtikalnoj ~vn-ini zakrivljepom ~tapu ABC (sl. 6.15). Dio štapa AB idealno je gladak, a za hrapavi dio BC koeficijent trenja iznosi )l. Klizač kreć. iz točke A bez početne brzine, a u B se odvaja od opruge zanemarive mase i kon'tante. krutosti e pomoću izdanka D. Nenapregnuta opruga ima dužinu I. Odrediti brzinu klizača ti točki B na kraju glatkog dijela putanje, a također i brzinu v kao funkciju pređenog puta s na hrapavom dijelu pravocrtne putanje BC

·u·

140

po

l za taj dio moie se uzeti da je potencijalna energij•. položaj. na nižem mjestu određenom putom s jednaka nuIi~ te je

f,

.mEl mt:i . ------mgsslnCl.=p.mgcosads. 2 2 o 141

Kako je sila trenja na desnoj strani te jednadžbe konstantna. bit integriranja i izračunavanja izraz za brzinu

će

koja ima jednake jedinice kao i impuls sile. Vidi se da je i količina gibanja (I:elit;,w kn..'tanja) \·ektorska v:!ličina. koja se također prikazuje u komponentama različitih koordinatnih sustava. Iz izr,ua (0.63) slijedi da je

nakon

v ~ J~''i;-,+----:2'--g-sC"(s7in-~---I-'-CO-S-~-'-) .

d (mv)

Kada je koeficijent trenja toliki da je sin::t= p. cos:c (samokočnost kosine!) klizač se giba konstantnom brzinom VB prema kraju C. Ako je sina
6.7.; Impuls i

količina

--=1113

dt

ili

dl~Fdl.

određeni

I

preuređena

količina

gibanja BI = mv l , a u trenutku IIIV I =

"

J Fd!.

t2

Bl = 1/1'.:. (ako da je (6.681

zakol/ količilIe gihllllja za česticu. promjene količine:; gibanja. odnl..)česticu ne djeluje sila u nekom promjene brzine, pa je uz 1=0 (6.69)

glasi

Primjer 6.9 Klip motora ima u početnom trenutku br7.inu Vl =O,2ms- l • Pod djelovanjem sile F=4(1-1,6c)m, gdje je nz masa klipa u kilogramima, sila F u njumima, a l nijeme u sekundama, ubrzava se klip tokom 0,5 s. Odrediti brzinu klipa na kraju perioda ubrzavanja (sl. 6.17).

gibalIja (sl. 6.16): (6.64)

B=mv

'-.1 (. L . _ ~,~1)' LC,ly..-a.. _ [!ifJdA'v'a. F _ cf

v

količina

(6.6 7 )

(6.63)

madl = md,,' =d (mY).

m

'l

~I.

"

"

z

g.dje je u trenutku

(6.661

r2 dobiva se

Izraz (6.671 ili njegov razvijeni oblik (6.68) jest Lij vekLOrski zakon pokazuje da nema konačne sno, brzine ni po iznosu ni po smjeru ako na konačnom intervalu vremena. Bez impulsa nema

ledinica za impuls sile jest Ns ili kgms- l i nema svoga znaka. Impuls sile je vektorska veličina i prikazuje se u komponentama jednog od koordinatnih sustava. /lT

tl -

IIn· 2 -

(6.62)

Desna strana jednadžbe (6.60) za česticu konstantne mase

gibanja i impulsom sile jednadžba (6.601 poprim:.!

B,-B,

integral unUlar nekog

J

Ovdje je umnožak mase m i trenutne brzine \'

količinom

Integriranjem unutar intervala

(6.61 )

U konačnom obliku impuls je vektor što ga daje intervala vremena fl - r~: r: I ~ Fdl.

(6.651

dB~dl.

diferencijalnom obliku izraz za impl/Is site:

,

dB . -=B=F. dl

S nO\·('Iuvedenom l1blik

U uvodnom dijelu poglavlja 6.3 rečeno je da je druga velika grupa zadataka dinamike čestice vezana uz integriranje tako proširene jednadžbe gibanja, tj. integriranje po vremenu. I ovdje su, kao i kod integriranja po pomaku. veličine na lijevoj i desnoj strani jednadžbe (6.60) posebno definirane. II

pisano

Daivacija k01ičine gibanja čestice po vremenu jednaka je vektoru rezuliJnLnc sile F Pl1d kojom :,e ostvaruje gibanje čestice. Izraz (6.65) samo je jedan od oblika đrugl1g :'\cwLOno'·:l zakona gibanja.

gibanja

! rvlnoženjem lijeve i desne strane jednadžbe gibanja s diferencijalom \TCm\!na dl dol::iva se jednadžba (6.60) Fdt=lIladr.

: Veličina Fdt je

drugačije

B=mv

T

t, 2

F

~utQnjQ

cestice --<=-. "i.

!

mm

o x 142

Slika 6.16.

Količina

gibanja

y česIice

.,,=0,2 mis

t,=O

'"

~

Slika 6.17. Impuls sile F na klip motora

143

Zakon

količine

Isti zadatak može se riješiti i integriranjem centripetalne sile F:

gibanja prema (6.68) glasi Ill\'~

m~1 =

-

"

I~

J Fdi.

" Klip motora prema slici 6.17 giba se pravocrtno, pa gornja .kdnadžba

II

pra\'cu

Centripeti.llna sila ima iznos F =

gibanja glasi ;;

/l1r~-IlIVI=

~O.Ss

J

iz

čega

=

Fdr.

" R. te impuls

II

komponentama daje jednakosti

*

-~ "~: (Sin*t, -sin t,)

'I =0

slijedi brzina rl na kraju perioda ubrzavanja od 0,5 s: r 2 =r' l +411~-O.81~)= 1,4 III s·

f FCOS(* l)dt "

l,~ -

4(I-l.6r)mdr,

" =0

lill':

f "

1

Primjer 6.10

U trenutku rl =0

Čestica

mase ll! giba se po kružnoj putanji konstatnim iznosom brzine 1'. Odrediti impuls centripetalne sile, pod čijim djelovanjem se cestica mase III giba. kada čestica iz položaja 1 dođe II položaj 2 (sl. 6.18al.

čestica

se nalazi na mjestu l. te je

odgovara trenutku rl. kut

e:t: = - [ 2

R

e':t.='Rl:

=0. Na mjestu 2, koje

== 90:', pa s.u obje komponente jednake i iznose 1,,=1).= - mr.

,I

Ukupni iznos impulsa cenrripetalm: sile prema Lome je

I

I

~l

1='\ 1~+1~.=/IIL''\/2.

a prikloni kut vektora impulsa prema osi x je -135:. 6.8. Moment

količine

gibanja

Uz količinu gibanja čestice B definirana je u dinamici još jedna veličina, koja po svom matematičkom izrazu podsjeća na moment sile poznat iz statike. Ta je veličina moment količine gibanja s obzirom na odabranu tocku u prostoru ili kraće kinetički moment. Tako je s obzirom na nepomičnu točku O (sl. 6.19) moment količine gibanja prema definiciji Ko=rxB. (6.70) z T

bl

oI

Slika 6.18. Impul~ sile kod gib;tnja če:;tice po kružnoj pUlanji konstanInim iznosom brzine

Prema zakonu

količine

gibanja jeste B2-Bl~1.

Vektori BI i B2 međusobno su okomiti i po iznosu jednaki, tj. Bt =B2 =1I1l'. y

Iz slike 6.18 b vidi se da je iznos impulsa

y Slika 6.19. Moment količine gibanja ili kinetički moment

l~mv.fi. 144

10

S. Jecic: KINEMATIKA I DINAMIKA

JZ; s obzirom

na (očku O

145

Budući

da je B=mv~ izraz za kinetički moment K"

rx

Ko može se

napisati i ovako:

Primjer 6.11

(6,11)

II'V,

Putanja satelita k~,da djeluje Samo gravitacijska sila Zemlje."

Jedinica kinetičkog momenta je kgm 2 s -l Hi Nms, a u sustavu mjernih jedinica nije posebno imenovana.

Gravitacijska siJa Zemlje djeluje na satelit mase ln silom F ,koja je usmjerena prema centru Zemlje O (sl. 6,20a), Kinetički moment prema točki O konstantan je, pa je putanja satelita ravninska krivulja. Prema (5.1) i (5.3) gravitacijska sila Zemlje iznosi (uz go:::: g)

Vektor kinetičkog momenta leži prema definiciji (6,701 okomito na ravninu što je tvore vektori r i B. odnosno vektori r i Y'. Smisao l iznos. kinetičkog momenta određuje se iz vektorskog produkta, kako Je 10 poznato IZ vdtorske algebre, Komponente mu se prikazuju u jednom od koordinatnih sustava. Tako npr. II Descartesovu sustavu, u kojem je r=xi+rj+zk, a v=xi+j'j+žk, kinetički mo~ ment ima komponente

li

jednadžbe gibanja u :;,oIarnom koordinatnom sustavu glase m{JR

Ko =r x m'· = III {yz- :::y)j +m(::~- xž)j + m {xy- yi:) k.

2

mal'

Kako je K" =K,i +K,j +K,k, izrazi za komponente glase

Kx=m(yz-zy)

(6,73)

K,=m(z,x-xzl

(6, 74 l

K,=m (xj'- yxl, Vidjeli smo da prema izrazu (6,1'(5) derivacija količine

O=ma""

(6,75l

gib~nj~ po vremenu d~je silu koja proizvodi gibanje čestice, B= F" Pogledajmo č~~u je Jednaka denvaclj" kinetičkog momenta po \'remenu, Ako se Izraz (6.70) dCflVlra po vremenu, bit ce

dK" ' . • --=K,,=rxB+rxB dt

r

Zemljo

r

U tom izrazu jest brzina ~ čestice, pa je x B= v x mv= O. U drugom pribrojniku S';'F te je rxS=rxF, ŠIO je moment sile F prema točki O, odnosno

al

bl

Slika 6.20. Gibanje rod djclovanjtm gravitacij!;kc sile ZemU~ "

UHštenjem izraza za komponente ubrzanja dobiva se nakon kraćenja

..

To

znači

da moment

količine

gibanja prema

točki

O deriviran po vremenu daje

moment sile F prema toj istoj neporničnoj točki. Treba napomenuti da je sila F rezultantna sila koja djeluje na česticu u gibanju, Izraz (6,77) jest zakon kinetičkog momenta ili zakon momenta količine gibanja. -~-"'"--,."--" -..~--~- .. -.-----. --- " - , U posebnom slučaju, kada je moment sile prema nekoj određenoj točki za vrijeme gibanja jednak nuli, vektor kinetičkog moment. prema toj točki je konstantan, To če biti ako je F = 0, odnosno kada se čestica giba jednoliko pravoertno, ili ako vektori riF leže na istom pravcu, U drugom slučaju pravac sile F stalno prolazi kroz nepomiq~llAočku O, paj<;>jje ,!"o,lIl~l)t.s "bzirom n.a tu točku je~nak nuli; Kinetički moment leži okomito na ravnfIjukoju čine vekton r I V, a budUCI da je konstantan po smjeru, II toj ravnini leži putanja čestice, Sila F može bItI usmjerena prema točki O ili od nje. Točka O je ce,n~ar gib'!nja, ~ gibanje se naziva II tom slučaju centralnim gibanjem. putanje mogu bIli razlIČIte krivulj':' u ravrnnl" pod djelovanjem sile usmjerene prema centru O nastaju centralna gibanja, kOja su karakteristična za gibanja planeta te prirodnih i umjetnih satelita, ~"~..

146

,

gR'

r-rtp'+-;:r=O

(al

riP+2i-ip",O. Kinetički

--~---~

Ko=m,24;_

moment ima iznos

Budući da je masa

K.o=rm[Jsin:)!~

a kako je vslnCX=V.,=r.

(bl lo

je

m konstantna, mora biti i r2q. konstantnog iznosa: r'ip=C,

,"

To pokazuje i druga jednadžba gibanja (b), Množenjem te jednadžbe s r bit i;e r'iP+ 2r;,p=d(r',,;)/dl =0, što znači da je r'rP konstantno. Prema slici 6,20b vektor r II vremenu dr "briše" površinu dA koja je'pril\liin/2 također konstantno, Vektor r .,briše" u jednakim vremenskim razmacima jednake površine. Tu činjenicu opazio je Kepjer promatrajući gibanje planeta j formulirao ju je tl SVOm drugom zakonu. • Opširnije o tom problemu vidi D. Bazjanac. Tehnička mebanika, Hi dio. udžbenik SveuĆiltŠ\.:t u Zagrebu. Zagreb 1974.

10'

[47

Drugi

član

u jednadžbi (a) može se izraziti

..

C'

pomoću

konsta.nte

C~

gR'

,. -;r+-~-~O.

Jednadžba se dalje može preurediti

pomoću

To je tzv, prm k02mička brzina ili br:ina kruženja. koja je potrebna za gibanje umjetnog satelita po kružnoj putanji neposredno uz površinu Zemlje .

pa je

Napuštanje Zemlje moguće je najmanjom početnom brzinom koja odgovara pambo!ičnoj pUlanji~ pri čemu je e= I. Za lansiranje tangencija.lno na putanju bit će

(ej

5upstitucije r= tu, Tada je

I dil e du dil i=---=---=-C II' df df dq>

v,

i dalje d:!u d(,O

..

2 Z d':.1l

J'=-('--=-c u -

dq.>' dr

Jednadžba (c) izražena

pomoću Ji

d,,' .

.---.---.---.~~~-~

m

g'asi

""':::::.-:i1t-kružnicQ le:;;Ol IlO o:: vI

d1u gRl drp'+u= C' .

hjp~rbola(e>11

elipso {e
I

gR'

11=-=(,

r

cos ('P +'1'0) + .. ponovno

tp

vn

parabola le=11 vo:; vn Slika 6.21.

C-

Konstame CI i l{Jf) određuju se iz početnih uvjeta. Zbog jednostavnosti može se odabrati da je (j>{l =0, što znači da uz cp ~O koordinata r ima minimalnu vrijednost. Dobive"i izraz predstavlja jednadžbu putanje u polarnim koordinatama koja je krivulja drugog reda. Izražena pomoću parametra p i ekscentriciteta e ta jednadžba ima oblik

O~lllWnC

putanje satelitil

= O i e;;;;: Rvo, pa je

što je drugil kozmička brzina ili brzina napuštanja Zemlje.

e

l

vo:>

v1
To je nehomogena diferencijalna jednadžba drugog reda sa o"im rješenjem

~=-COSl{J+-.

r p

pa je

p

Zadaci uz poglavlje 6

e, = e/p i p= C' /gR'. odnosno l

~=

gR'

c'

I.

(e cos rp + 1).

O ekscentricitetu e ovisi oblik putanje. Ako je e> I, putanja je hiperbola. Za e = l putanja je parabola, dok je za e < I elipsa. Kada je e =O, put.nja je kružnica s centrom· II O.

J

t

Lansiranjem satelita neposredno uz Zemlju (r" R) tangencij.lno na putanju pOCetnom brzinom Vo ostvaruju se različite putanje (sl. 6.21). Na mjestu lansiranja je tp = O, a Vo je cirkuJarna brzina t:"r te je Vo = rqJ. Budući da je rfjJ = C't na mjestu je lansiranja C=Rvo. Kružna putanja neposredno ul površinu Zemlje zahtijeva najmanju brzinu lansiranja"Tada je e 1>3 je .

Čestica mase 111 giba se u ravnoj glatkoj cijevi koja rotira II horizQntalnoj ravnini (sl. 6.22) konstantnom kutnom brzinom w. U početnom trenutku čestica miruje relativno u odnosu na cijev na udaljenosti r = b. a cijev se nalazi u položaju određenom s '1'=0. Odrediti udaljenost r i komponentu F. sile kojom cijev djeluje na česticu kao funkcije vremena t.

Rješenje: r= b chml,

F. =2mbm' sh",/. r

""0

l

Ii=

gRZ g CZ = ~'

iz čega slijedi potrebna brzina lansiranja .0='\ (uz R=6371 kmJ: V,=JRi=7,91 kms-'.

148

I

149

2. Za zadatak I odrediti silu F. kao funkciju udaljenosti r integriranjem jednadžbi . gibanja. Rješenje: :F",= 2mai J,:1-b 2

,

3. Kružni dIsk rotira oko O u horizontalnoj ravnini x, )' (sl. 6.23). Uglarkom žlijebu nalazi se klizač mase m=0,8 kg koji pridržava opruga konstante krutosti c=2 N/cm. Kod rotacije ploče s kutnom brzinom w produljit će se opruga za 2em (sl. 6.23b). Odrediti kutnu brzinu (" i silu kojom djeluje žlijeb na klizač II ravnini x, J.

5. Opruga konstante e vezana je za nepomičnu točku O (sl. 6.25). Odrediti rad sile kojom opruga djeluje na česticu A na putu ad Al do Al' Duljina neopterećene opruge je lo, ('(1,-10 )' ('(1,-10 ,; Rješenje: W 2 2

a 8 .--+v---------;7
-3N.

•

y

y 2OI1lm

40 ;nm

F A

m Slika

6_~5

slika 6.26

30mm

x

6. Odrediti brzinu klizača u točki B ;,1. 6.261 ako je njegova brzina u položaju A bila jednaka nuli. Klizač se giba pod djelo"anjem konstantne sile F = 100 N po hrapavom vertikalnom zidu koeficijenta trenja p=O,L Zadano: 11t= t kg, a= lm.

Rješenje: r.=6.752m/s. al

bl Slika 6.23

4. Sistem prikazan na slici 6.24 sastoji se od poluge i koloture zanemarive mase. Preko koloture je prebačeno idealno uže na čijim su krajevima obješeni utezi G j Q (Q < GJ. Odrediti težinu utega Q da bi poluga AB bila u ravnoteži, ako je G=18N. Rješenje: Q=6 N.

7. Na česticu mase m=2 kg djeluje sila sile F linearno raste s putom s (,L s 2m ako je na početku giban.ta Koeficijent trenja klizanja čestice po

F koje je iznos F=20 N (sl. 6.270). Kut. 27b). Odrediti brzinu čestice u položaju (5=0) čestica imala brzinu !io=J ms-I. podlozi iznosi p=O.L

Rješenje: L'=6ms- l .

s

v=?

F

f 1----.--;,,(' 2

simI

bl Slika 6.27

Slika 6.24

150

8, Čestica mase m =O~5 kg giba se u početnom trenutku brzinom od 10 m/s. Na česticu počinje djelovati sila F okomito na početnu brzinu kojoj se iznos mijenja ovisno o vremenu prema dijagramu (s). 6.28). Odrediti Iznos brzine

151

čestice u trenutku djeluje na česticu.

I =.j s

od

početka

djelovanj;! sile F. Sila F je jedina sila koja

Rjdenje: 1,=26m/$,

o

2

y/

tisi

4

I

9. Za i5pitivanje automatskog pilotskog sjedala k..'rlstl 5-f uređaj shematski prikazan na slici 6.29a, Sjedalo s lutkom ukurne mase m=500kg lansira se pomoću raktenog morora II smjeru osi x. Sila r ..'>liska rakete ovisno o vremenu mijenja se prema dijagramu $;1 slike 6.29 b. Odrediti najveće ubrzanje sjedala i brzinu sjedala II trenutku l L2 s nakon aktiviranja raklelnog motora. Trenje zanemariti.

Rješenje: '\"" = 4,2308, g =.j 1.50 m!s'.

F

Slika 6.:W

ll. Cestica mase tu privezana je za kraj idea ino savitljivQg konca j moie se gibati u glatkoj horizontalnoj ravnini. Konac je provučen kraz otvor O II ravnini. a na njego\." drugi kraj privezana je opruga ko }stante (' \sL 6.31 i. U poččtnom

r = 39,$ I m s,

x F IkNJ

25 y

e

o

0,4

tisi

bl

al

SIi!.;a 6.31

Slika 6.29 ~

10, Po glatkoj horizontalnoj ploči giba se kuglica mase JJI pričvršćena za kraj nera$tezljivog konta. Konac je provučen kroz rupicu II ploči i uvlači se u nju konstantnom brzinom" (sl. 6,30), U trenutku [=0 udaljenost kuglice od rupe jest 'c, a cirkularna komponenta brzine kuglice iznosi Vo.. Odredili koordinate r i lp kugiice i veličinu sile u koncu kao funkcije vremena I, ako su zadani F. ro. ro.;>' i 11!.

•

r."

,'.

trenutku opruga je defonnirana za veličinu ro. a čestica ima brzinu t'o osi )', Odrediti jednadžbu pUlanje čestice ako su zadani "0' 1'0 i {', x'!

Rješenje: ,., (I

II

smjeru

,,2

+-'-, = I. m~ e

Rješenje: r=ro-Vl.

152

153

7. DINAMIKA SUSTAVA ČESTICA 7.1. Vanjske j unutrašnje sile sustava

Skup medusobno povezanih

gibafljusvlh'ostaHh

če~tiC:~-

čestica

kod kojih gibanje pojedine čestice ovisi o

naziva se susiaF(;iil'"česc!cq~'_-~~a S~{!'k~:~estiCu' mogu

'djelovati sile. kao .posljedica djelovanja drugih lijela izvan prom.,ranQg sustava:. Te su sil~_za promatrani sustav Vđhjske. Na svaku od n. čestica sustava (sL 1.1 a) mo~e djelovali je'!!i. ll!!(\'. v.njska sila F, kao rezultanta djelovanja drugih tijela na tu čestku:-Prema pnrfcipu izolacije poznatom iz statike svaku česticu možemo oslobo~
zi

I bl

o 01

smw

x 7.1 Su§.li.I:' _Č/;.slka. {'.lJ. sapjskc sile F~_i_unulra..~njc_~S.... )iU~!UvaJ.t>1

-----

155

Veze II sustavu cestica po svom karakteru mogu bili krule, efaSlične i k;lIemalskl'. Kada su sve veze krute, sustav čestica se p'lnaša kao kruto tijelo. Elastične veze 'ovise o međusobnom položaju čestica (npr .....e-~a pomoću opruge), dok kinematske veze uvjetuju određeno gibanje jedne čestice II I"dnosu na drugu. Bez obzira na vrstu veze. unutrašnje sile se po trećem Newtonovu zakonu o akciji i reakciji jadjaju II parovima, lako da je sila Sij na česticu UJ j " koja je posljedica veze sa česticom /lij. jednaka i suprotno usmjerena sili Sj! na česticu IlI j od veze s česticom III j : S'j~-Sj'.

T~~o?er

j: jasno

a

također

Suma masa svih

čestica

,

daje ukupnu masu sustava E nI j =

111.

Dvostrukim deri vira-

njem (7.7) po Vf(:mcnu dobiya se

(7.8)

SUSla\'

Nakon uvrštenja lOg izraza u (7.5) bit

tada

će

IlUl:

(7.9)

HS'j~O!

,

(7.7)

(7.11

da,sile Sii' Sjj.~e I?os~oje ISj;=S("j= ... =or Za cijeli

vflJedl da Je suma snh unutrašnJih sila Jednak';'

pa je

(7.21

,

i suma momenata unutrašnjih sila prema nekoj

točki

Suma na lijevoj strani odgovara rezuItantnoj sili R svih vanjskih sila. dok je na desnoj strani °ic = ac ubrzanje težišta susta\·;}. tako da je

O jednaka je nuli:

(7.10)

(7.31 i

j

To je _:ako1i o gibanju ct!l![ra masil susta'·a čestica koji kazuje da se centar masa sustava giba kao čestica ukupne mase III pod djelov.anjem rezuHantne sile svih vanjskih sila. Pri tom rezultantna sila R ne mora prolaziti kroz centar C. Po-inocu -tog iaf6namOg'(h~e je - promatrati gibanje sustava kao cjeline bez· određivanja gibanja -pojedinih čestica. Posebno kada je R=O centar sustava giba se jednoliko pravocrtno ili miruje. bez obzira na to što se pojedine čestice II susta\'u gibaju po slQženi!n putanjama. Obrnuto, samo unutrašnjim silama, bez prisutnosti vanjskih, nije ~.Qguće pokrenuti centar sustava čestica ili mu promijeniti jednoliko pravocrt~() gi~anje. Hodanjem po čamcu u vodi koji je prethodno mirovao dovodi se u gibanje "č"amac, ali· težište sustava čovjek-čamac ostat će nepomično.

Parovi unmrašnjih sila i parovi momenata unutrašnjih sila prema istoj točki međusobno se poništavaju. Za idealno krute veze bit će rad sile Sij jednak po iznosu i suprotnog predznaka radu unutrašnje sile Sj;. dok je rad unutrašnjih sila koje potječu od yeza s otporima (npr. prigušenja I u:"ijek negativan. Svaka čestica II susta\ll može imati tri stupnja slobode gibanja, pa za sustav od Kinerrlatske -veze smanjuju broj stupnjeva slobode sustava, a inneđu pojedii:iIh "koordinata postoje jednadžbe veze. Kada se II jednadžbama vela javljaju samo koordinate položaja ili koordinate položaja i nijeme kao eksplicitna varijabla, sustav čestica je holonomull. Ako u jednadžbama veze dolaze i derivacije koordinata po vremenu, sustav je nellOlonomall. Takvi sustavi predmet su posebnih izučavanja.

'!

~stj~~l.!kup~l!. br9j stupnjeva ~~opode -iznosi 3.'1.

7.2. Osno,nj zakoni dinamike susta,'a

Fj+J;Sjj=mjrj .

,

čestica

I

,

156

kinetička

energija svih

m.[~

izno:;i

tako da je ::;akoJl

killetičke

ellergije sustava

,

,

il

I

l

f

čestica:

(7.12)

Ek.=E-'-', j 2

I

(7.5)

l'i

(7.11 )

kinetičkih

energija sustava zbroj je

_I. Ill,"!, m,v- -- I I. 2 . 2

Em.r. t

F··dr·+ I I I

I

.• ,

J

f

s·· ·d ... lj

(7.13)

'

_Razlika ukupne kinetičke energije sustava na kraju. perioda gibanja (2) i na početku (l) jedI;laka je radu svih vanjskih i unutrašnjih sila sustaya. Pisano- -skraćeno-zakon kinetičke energije. glasi -. (7.14) Ek2-Ek.l = w. Zakoll. održanja me/wl/ićke energije u općem obliku glasi jednako k,ao. i kod

I

c- Em.' '

u sustavu koja se giba brzinom lIl,l~

(7.41

Dvostruka suma na lijevoj strani prema (7.2) jednllka -je nuli. Iz statike_je poznato da se centar masa, koji je u tehničkim problemima istovjetan s težištem; izračunava pomoću izraza r ---

čestice

E, , ~-2

zbrojene zajedno daju 1:F.+ .. j I 1:j 1:S j l..j = 1:m,r j I

energija i-te

, Ukupna

čestica

Za svaku česticu u sustavu može se napisati jednadžba gibanja u kojoj je rezultanta s\'ih sila koje djeluju na česticu (vanjske i unutrašnje) jednaka umnošku mase i ubrzanja. Za i-tu česticu mase l11i' kojoj je ubrzanje 3 j = 'rj ta jednadžba glasi

Jednadžbe gibanja svih

~inetička

(7.6)

čestice:

(7.15) 157

Kinetička energija cijelog sustava izračunava se prema (7.12). Potencijalna ~nergi.ia Ep suma je potencijalnih energija svih konzervativnih sila u sustavu bez o:lzira na to jesu li vanjske ili unutrašnje. U slučaju da su neke od sila nekOl.zervativne primjenjuje se isti izraz kao i kod čestice:

(7.161 pri čemu je rad nekonzervatinlih sila HiT suma radov
gibanja i-te

čestice

Derivacija količine gibanja cijelog sustava jednaka je rezuitantnoj sili svih vanjskih sila. To je drugi oblik zakona o gibanju centra masa sustava čestica. Kinetički

moment i-te

čestice

prema K Oj =r j

nepomičnoj točki

x11J,""

(7.25)

što vektorskim zbrajanjem za cijeli sustav daje

II

iznosi

(7.16)

Nakon deriviranja tog izraza po vremenu bit

B;= mjvj'

O jest

će

(7.1 i I

i

Vektorska suma količina gibanja svih čestica daje količinu gibanja susta J: B=

Prema zakonu

količine

gihanja bit

će

Lm''''j.

za i-tu

,

S

što zbog (7.3) daje

,

, B,- B, = IS F;dt+ L L SS;jdt. 1

j

j

;

I

, SF;dt. ,

Vidi se da u ukupnom impulsu doiaze samo vanjske sile. unutrašnjih sila sustava jednak nuli. slučaj

količilIt!

(7.211 budući

što predstavlja princip odrial.!iSLlioJiči.Bg..lliballja sustava če~ca. Kada je impuls vanjskih sila cijelog 'šustavajednak nuli (npr:-nema'varijs:kHi sila), pojedine čestice mogu promijeniti brzine, ali samo tako da ukupna količina gibanja ostaje nepromijenjena. Pomoću tog principa rješavaju se problemi sudara čestica (vidi poglavlje 9). Deriviranjem izraza (7.18) po vremenu dobiva se da je (7.23)

Budući daje dv,jdt=r;, zbog (7.8) do (7.10) jest

dB -=R. dt 158

Posljednji izraz predstavlja zakon killeričkog momenta sustava čestica. po kojem je derivacija kinetičkog mome-lita sustava po vremenu jednaka momentu svih vanjskih sila s obzirom na točku O. U slučaju kada je suma momenata vanjskih sila prema točki O jednaka nuli. kinetički moment u SlJstavu ostaje tokom vremena nepromijenjen, tako da je (7.30) te lO predstavlja prillcip o održanjll

(7.221

1...._

(7.29)

;

da je impuls s\ih

kada je impuls vanjskih sila jednak nuli. Tada je

dB= \'mdV.;. dr _ 'dt

[

(7.201

na desnoj strani jednak je nuli, što slijedi iz (7.2), tako da zabil gibanja sustava čestica ima ovaj oblik

B, - B, = I

dK o

-d-=Ir;xF;=Mo.

član

Posebno je važan

(7.28)

(7.19)

,

sustavu daje

j

Drugi

U lOm je izrazu rj = "'j' tako da je rj x mj\', =0. dok je III,V,= mj·i j. Pomoću jednadžbe gibanja (7.4) može se izraz (7.27) preurediti tako da glasi

LSS;jdr, j

čestice II

(7.181

česticu

Bil -Bil = F;dt+ što zbrojeno za sve

(7.27)

(7.2-1)

kinetičkog

mOll1eJlla sustava

čestica.

Izrazi (7.10), (7.13), (7.15), (7.11) i (7.29) osnovni su zakoni sustava čestica koji se primjenjuju k0d rješavanja zadataka dinamike na jednak način kao što je to pokazano u dinamici čestice.

Primjer 7.1 Na kolica mase ml obješena je čestica mase /n 2 pomoću krutog štapa. Štap je zglobno vezan za kolica u točki A (sl. 7.2). Pod pretpostavkom da je masa štapa zanemariva, te daje štap idealno krut, analizirati gibanje kolica koje nastaje kada se štap pusti bez početne brzine iz položaja određenog kutom Q':. Kolika je brzina kolica kada štap dođe u vertikalni poIma]? Poznate sumase mi' j-i1i;:-duljina Šlapa I i kut cr:. Sve otpore gibanju zanemariti. Čestica m2 ispuštena iz početnog položaja (sl. 7.2a) izazvat će gibanje sustava 111\, 111 2 , Jednadžba gibanja težišta e sustava jeste R=mac · 159

U sustavu nema vanjskih sila II pravcu osi x. le je komponenta jednadžbe gibanja II tom pravcu m:Xc=O. gdje je Xc koordinata položaja težišta e sustava. To znači da je ubrzanje težišta II pravcu x osi Xc=O, a kako težište II početnom trenutku miruje. to je i ic=O. Iz toga slijedi da težište nema pomaka II pravcu osi x, pa je ;xc-=konsl. odnosno. kako je iz statike poznaro. bil će III

.

Z xc=---l Sin 0:.

m,

Slika 7.J

+ JII!

s:

Kod njihanja štapa ostaje težište e sustava odmaknUlo od osi y uvijek za isti iznos (sL 7.2a, b i cl. pa gibanje čestice m:! izaziva gibanje kolica II suprotnom smjeru.

2. BI~"Ik mas.e ,'I:::; ~ l!) kg nalazi II s~anj~ min:lVanja na pl"lčetku glatke kosine (sl. 7.. '~' Metak1rnase 1111 =:0,1 kg I::,paljen Je ~onzontalno II blok i nastavlja gibanje za}',dno s J:'ILl"l,k?m, Ako se bk1k zaustavI nakon prevaljeno!:!: puta s = 1 "=i m uz kl"l~IOU, odrediti početnu brzinu metka 1'0' . .-

Xc

Yj

Y

Y

Rj;;,~enje:

I x

;; ,I -

m

A

A

x

O

rc =44":'.37 m s.

m, x

O

• .1.Xc

m,

m,

[

~~

Slika 7..1

m,

Slika 7.2. Gibanje sustava čestica kod kojega težište

3. Pr0jektil m.~se m =, 10 kg ~~ba se brzinom Vo = 100 m/s II trenutku kada eksplodiR ra ~ dva dIJela.. A I,!3. k?JIh ~u m~se .m.~ =2 kog i I~B=8 kg. Ako se neposredno n~kon eksplOZIje dljelO\'1 A I B gibaJu u smjerOVima prema slici 7.5. odrediti njihove bIlme.

ej

bJ

aj

e u pra"-cu osi x nema pomaka

U početnom trenutku obje čestice sustava miruju. Ako su apsolutne brzine čestica u trenutku kada je štap vertikalan VI i V 2 , bit će prema zakonu kinetičke energije /111[;:

Rjesenje: r.=433.01 m/s vB =62 , SOm's .~ .' "

m~L.·:;

-2-+2=""g/(l-cos cp). te prema zakonu količine gibanja za pravac x "'ll.i l

$'

-ni2 1: 2 =O.

m

Iz tih jednadžbi dobiva se brzina kolica, koja iznosi 2g1 (I - cos aj mi nJ l

(ml +m 2 )

Zadaci uz pogla'lje 7 .

L Čovjek skače s pristaništa u mirujući čamac brzinom rl =3m/s (sl. 7.3). Odrediti brzinu kojom će čovjek i čamac nastaviti gibanje, kao i gubitak kinetičke energije. Zadano: m, = 7S kg, "" = 200 kg. Rješenje: u=0,818m;s, E k =24S,4SJ. 160

mB

i

VB

1 Slika 7.5

1 j

l

4. ~a, horizontalnom glatkom št,af'u zanemarive mase nalaze se dvije jednake cest~ce mase ,111=2 kg prema shcl 7.6. U početnom trenutku sistem rotira oko venikalne OSI kutnom brzinom eJ = 20 ~ -1, a čestice se nalaze na udaljenosti r od II s,

J~:,..::

KI;-":E\l;TIKA I DI\'..\\lIKA

161

osi rotacije. Ako se čestice ispuste iz početnog položaja i zaustave n~ krajevima štapa, treba odrediti kutnu brzinu sistema ako je r=0,2m. le II došlo do promjene kinetičke energije sistema i za koliko? Odgovor: w=:;,", E,=241. t - ..

2c

2r r

'I

r

1:"1

>

'v m (

'pw

m

8. DINAMIKA KRUTOG TIJELA

Slika 7.6

5.

8. I.

za zadani sistem prema slici 7.7 treba odrediti: kut ~ = 0:1 za ravnotežu sistema. ubrzanje al utega 2 li slučaju kada je' kosina nagnuta pod kUlom silu S II užetu u tom slučaju.

Dinamički

momenti tromosti

8_1.1. Aksijalni i centrifugalni moment tromosti l

= 2:x t •

li jednadžbom. dinamike krutih tijela javljaju se veličine koje pored mase ovise i o geometrijsldm svojstvima tijela. Obično su 10 integralni or;!ici koji se za svako tijelo mogu izračunati" lu!·ovisno o gibanju, a slično kao i masa n'ljera su otpora tijela proli\' promjene gibanja, _T~_s~_ veličine .poznate pod skupnin~ i~.~nom dinamii:ki momenti rrOJnqsti ili inercije. _'_" . - --

Aksijalni moment tromosti fl ili mqmimt tromosti tijela prema osi x definiranje preina-slici 8.CTzrazom .. ~--.,'Jx = f d!dm. (8.11

u kojem je dx udaljenost diferencijaJa mase dm od osi x prema koj~ se izraČUna\"2 moment tromosti. Momenti tromosti prema drugim osima, npr, i!y iH g~ prema osima yi:. izračunavaju se na isti način. Iz slike 8.2 vidi se da su momenti tromosti prema osima x, J, _ Descartesova koordinatnog sustaVa (8.21

(8.31 Slika 7.7.

m

(8.41

Zadano: ml = ml = 2 kg, Mase kolotura i užeta kao i trenje zanemariti. Odgovor: a, =30·, a, =1,436 mIs', S =11,246 N.

m

x Slika 8. I.

11*

162

Dinamički

moment tromosti pn:ma osi x

163

U praktičnom izračunavanju momenata tromosti homogenih tije1a masa je jednoliK ko raspodijeljena po volumenu V, plohi A ili po liniji l (puna lijela. ljuskasto tijela i ravni iti zakrivijeni štapoyi). Diferencijal mase može se tada izraziti preko diferencijala volumena. površine ili duljine:

U svim izrazima za aksijaIne momente tromosti dolazi kvadrat udaljenosti od osi množen s diferencijalom mase, pa je jedinica m..)menta tromosti kgrn 2 Aksij.llni moment tromos.ti uvijek. je veći .9~ nule. ._- _..

III

dm=-dV

(8. I I I

r'

m

dlll=- dA

(8.12)

A

III

dm=-dl, I

pa

će

8,1.2.

(8.13 )

i illlegrironje bjti po volumenu, plohi ili liniji.

~lomen(i

tromosti za paralelne osi

Poznaje Ji se moment tromosti za neku os x. jednostavnim preračunavanjem bez integriranja određuje se moment tromosti za bilo koju drugu paralelnu os x'. Preračunavanje je posebno jednostavno, ako jedna od tih osi prolazi kroz težište.

X

Slika 8.1. Dinamički momenti tromoSti prema osima :4'$(anesova koordinamog suslavu

, foil.qnjer tromosti ix tijela mase 111 ona je udaljenost od osi x na kojoj ~i trebalo koncentrirati "s.vu masu tijela tl. da moment tromosti ostane nepromijenjen. Prema (8.n bil će (8.5)

Za os x' koja je paralelna s osi x i ·udaljena od nje za b ($I. 8.3a) moment tromosli jest

odnosno

Iz slike 8.3b vidi se da je d;'=y"+z"=(y-b,.l'+(z-b,)', lako da je nakon kvadriranja i uvrštenja u (8.14) .

(8.14)

" [8.6)

Iz poznatog ahijainog momenta [romosti dobiva se polumjer tromosti

.

l~=

Jedinica polumjera tromosti jest kao

~

(8.15)

W,

.J-;;;-

(8.7)

svake druge dužine metar (m).

Cemrifugallli til A~~jijacijskLm<;>!TIent tromosti definiran je prema paru koordi-

natnilf o·si:-

.

-- ... - .

-

z'

z'

'.

b

m (8.8) O'<.,---}---, y'

(8.9)

y'

(8.10)

Jedinica tog momenta tromosti također je kg m'. Z.a razliku od aksijalnog, devijacij· . ski moment trol'!lo_sti može b~ti yeći, iF !p-anj~ od _~u-Ie. ~·"~.~kQ(,te(~ j~(fnak ~.uli. Prema definicijama (8.8) do (8. lO) izlazi da je

y

x b)

al Slika 8.3. Momenti tromosti za paralelne o$i

164

165

z',za

U prvom integralu Gil desnoj strani J.2 pa je taj integral aksijalni moment inercije prema osi x. Udrurum integralo +b;=b'. što je kvadrat udaljenosti medu osima x i x', pa je to ::onstantni faktor, tako da je vrijednost tog integrala b2 m. U tre':--em i četvrtom inl<::Jn.tlu b), i b:: su konstante, a integrali~ kako je poznato iz statike. imaju vrijednost j'em j Zc11i, gdje su Ye i =c koordinate težišta C. Prema tome je

7~=fJ..+b'm Kada

0$

x prolazi kroz težištt C. bit

će

2b,.)'c

I

'2

(8.161

Yc=::c=O. a

f1~=IJ.,<+blm.

(8.111

Izraz (8.17}je Steinerom ptar:!o po kojem se izračunava aksijalni moment tromosti d.~ iz poznatog momenta fl;..' z,~! težišnu os 'x. Slično pravilo može se jzvcsti i za devijrtcij:;ki moment tromosti, koji prema osima 1" i ;' jznosi ~ . r'z'dm, (8.181

f

x'

Slika 8A, :".1omenti tromosti \';:::ka za osi x', .1". te za lrnšne osi

Uvrštenjem y" =y-bj' i _

7;.,= f yzdm+b,b, J dm-b, J:dm •

y.;;:

b, J )'dm.

zi

(8.19 J

m

,

odnosno

R

(8.201

I ovdje se, ako osi }', : prolaze kroz težište, ishodište O nalazi u težištu !'c=:c~O. Za taj slučaj vrijedi

e

Pomoću tog pravila izračunava se devijacijski moment tT;'omosti rr;,~ za osi

t.

z' iz poznatog momenta fl,.;: za težišne osi y, z koje su udaljene od osi ,r', .z' za b;;; j bl'.

Steinerova pravila (8.18) I (8.21) naravno vrijede i odgovarajuću zamjenu indeksa.

dm,

pa je (8.21 )

+b,..b,m.

dz

za bilo koje druge osi uz

Primjer 8.1

x,

x'

Odrediti momente tromosti valjka polumjera. R, duljine I i mase tn za osi x', te za težišne osi x, )" z (sl. B.4). Aksijalni moment tromosti valjka prema osi: (sl. 8.5) jeste

7,= Jd;dm=~ m

fl,=

R~"l

"

Slik.! 8.5. PoloŽilj

~skonacno

,

lankof $loja mase dmo (a) i direrencijal mase d",

(~l

što nakon integriranja i uvrštenja granica daje

Jr'dV.

I JJ R

bJ

al

.r',

fl. = mR' . .

,.

Volumen valjka iznosi V=R'"I, a njegov je diferencijal d V=rdrd~dz, pa je

166

-'l,

dobiva se nakon množenja

2

Aksijalni moment tromosti beskonačno tankog sloja valjka mase dmo prema

osi .\:, iznosi

2,

I

r'drd:xdz

r' sin' adrd, ) dz.

dm ..

167

Primjenom Sleinerova pra\'iia moment tromosti sloja dino prema osi x' jeste

Primjer 8,2

dJ:=dl7x\ +='dm.,

Odredili moment tromosli pHralelnoj s hridom e (sl. 8.6a).

odnosno R

dil> R::I (

J

g~ = R:~J

Diferencijal volumena ct V dužine e poprečne površine drd: udaljen je od osi x 8.6bJ. a masa mu je dm: md V/l', odnosno

:::-:

zi t

I

r •r f r3 sin:! xdl'd:td=-!-~1 fz2d=.

r-- : I·

•

,

b

I

III

12

(3R' +41').

~E/,r

~ioment

tromosti prema osi y' ima isti iznos. Ravnina zx' jest ravnina 'Simetrije. a 15(0 tako 1 ravnina =.1", pa su sva tri devijacijska momenta tromosti jednaka nuli:

J---------

(I)'

a:'(='J;-.2 što nakon uvrštenja vrijednosti 2a

-

-

1z

...

y

y

U__

,-C_ _-i

aj

Steinerova pra\'lla (8.1S) dobivaju se momenti tromosti prema težišnoj

osi x:

dm

e

x

';J;,.=J;, il;,=Q,

bl

Slika 8.6. MomC"1I1 tromosti rrizme prema

tc~išnoj

.... ~i x

Moment trumosti prema osi x je tada

III,

lJ; j sredenja daje III

(3R'+I').

Momentlromosti za ležišnu os y je gj'::;:fJ~. a devijacijski momenti tromosti fl:};\' za težišne osi x. J jednaki su nu11_ "

što nakon integriranja i uvrštavanja granica daje

m(a'+b')

Za tanku pIoču zanemarive debljine (I::t::O) i mase ln moment tromosti prema osi z jednak je kao i za valjak i iznosi fl:=mR2/2. Prema osi x bit će (uz l=O} moment tromosti

12

za tanku ploču (b~O) dužine e, širine a i mase

m moment tromosti jednak je kao i za štap dužine a i mase nz: fJ~=ma2/12. Za kocku sa stranicama a=b=c moment tromosti iznosi iJ.r=ma2 /6.

Za štap mase m. kojega su poprečne dimenzije zanemarive (R ~ O)~ iznose momenti tromosti prema osima x' i x: '

8.1.3. Momenti tromosti za zakrenute osi

mP

Iz poznatih momenata tromosti za 05j koordlnatnog sustava x. y, r, kojemu je ishodište u točki O, mogu se odrediti aksijaini i devijacijski momenti tromosti za bilo koju novu trojku međusobno okomitih osi x, s istim ishodištem. no zakrenutih prema prvobitnom koordinatnom sustavu za kutove ct._ Pi. fi (uz i=x, y, z), Kutovi (,ix, Px i Yx su prikloni kutovi nove osi x prema prvobitnim osima x, y. z

3

168

prema ležišnoj osi x

ll.. (sl.

1'\akon integriranja i uvrštenja granica dobiva se

Pomoću

,~I

tijela mase

ce

Za sve slo.ieve valjka dužine l bit R

za

prizmatičnog

y, ;

....

,

'i

169

(sl. 8.7). Os

yzakrenuta je premu starim osima za kutove a"

{i" 1, j analogno tome

Kosinus! kutova su kod integriranja konstante. pa se mogu staviti ispred integrala. Tada su integraji po mast lU aksijalri i d~vijadjski momenti tromosti. tako da je

os; zakrenuta je prema osima x. Y. z za kutove ct:, [J::. Y:..\ksijalni moment [rom Ost;

'Js

u odnosu na os

x prema definiciji (8. J) jeste (sl.

flr='Jf( C052 ;):

8.8):

'Jr cos2 P_\- +fl~ cos2 }'x-

-2 (fI:r..'o COS:'lx cos/l-fly:: COS!)x cos

(8.22)

r\- +':1

z:<

cos l'''' cos ::1-,-"

l

;

z

./ii ;COSk

ii,

m

y .-.'

~

X

Slika 8.9. Komponente F'::irtičlloS ;,ekwra

x

x koordim'llr'li sustav x. y. ::

Udaljenost ~~ diferencijala mase dm od osi x može se izraziti pomoću koordinata sustava x, ji, z, jer je (8.23 ) dx=rsinli

ili, prikazano preko apsolutne nijednosti vektorskog produkta. (8.24)

Vektor r II sustavu x, )" iZ ima komponente r=xi+ yj +zk, a za jedinični vektor e..c. koji određuje os X) bit će prema slici 8,9

e,lt =i cos :%x+j cos {Jx +k cos i'x' (8.25)

m

'J,= f (i'+ rieos' ",dm+ J (x' +r)005' Ii,d", +

J

m

170

y, :-

fl, =0'); + [1,"; + 'J,II;

fl" (8.26)

J

Taj izraz pokazuje da se moment tromosti
2 (Il,),m, +1l).,m,lI, + 'J"""I,)

'J",= -llii,-[1,m,m, -'J,II"" + 0'"(/,m, +I,m,)+ +'J"(m,,,,+ 11I,n,I+'J~(lIi,+II,I,)

što nakon vektorskog i sk.larnog množenja daje

- 2 rz cos p" cos },,,dm - 2 zx cos "Ix cos «xdm .

SIlSli.l\'U

fl,= 'J); +Il,m; + fl,lI~ - 2 (fl,/,m, + 'J"m)Jl, +fl""',I).)

Izraz (8.22) tada glasi

S (rxe,)(rxe,)dm.

II x. ,r.::

x

Slika 8.8. Po:'Ilotaj diferencijala mase dm u odnosu na os x

Slika 8.7. Palo:tlj (Jsl X U odnosu na

e:

= -

[1i,I, - 'J,I»)Jlt, - '1,11,11, +0'"

(m,), + m,I,) +

+'J" (m,n, + 1»,11,1+11~ (n,l, + n,I,.)
(8.281

Tablica 8.1

Iz slike 8.10 vidi se da je (t=Xjq, 111;0;= YItJ i IIx=2 (/. što uvršteno u (8.33) daje Kosinusi smjera među osima susli1\'a X, J.

= i X. J. :.

~.,x' +~,.y2 +~,Z' - 2~"X y- 2'J,., JZ -- 2~~
x

y

-

x

(,.

l,.

l,

Y

111 .•

"'y

III:

-

/Ix

II)'

II;

Konstanta

(8.34)

e uzeta je u izrazu (8.32) iz dimenzijskih razloga, a po

iznosu može biti i fl: uvijek veći od nule. izraz (8.34) predstavlja jednadžbu elipsoida s osima (h
c= 1.

Budući da su flx'

fly

z

Iz geon'letrije II prostoru poznato je da za kosinuse smjera vrijede m'e jednako· sti (uljet ko'"patibihiOsci i //t jer orwgonalnoscil:

3

(8.291

elipsoid tromosti

(8.30)

y

y,

Veličine koje se iz sustava x. JI, z transformiraju II sustav X, -= prema izrazima (8.28) nazivaju se lell:orima dnigog reda. Takav tenzor ima 9 komponenata. Tenzor troll/osti tijl;la II nekoj točki O prostora ima također 9 komponenata, no zbog simetrije inc.eksa (J:r:r=fJ).x, [/}":=[/:Y' fJ:.,,=f1J::) samo ih je 6 međusobno različitih. Komponenle tenzora tromosti ;]0 II točki O prikazuju se pomoću matrice

[

koja je

simetrična

~,

-'J~.;r

~o~ -~,,.

~).

-~"

-~).,

-~'
x Slika 8.10. Elipsoid

-~,,.

~,

s obzirom na glavnu dijagonalu.

I

~

i .1

(8.35)

Zakretanjem koordinatnih osi II jednoj točki prostora mijenji!ju momenti tromosti iznose. Aksijalni momenti tromosti, koji mogu biti samo veći od nule, mijenjat će se od neke najmanje do neke najveće (obje pozitivne) vrijednosti. Devijacijski momenti tromosti mijenjaju se od najmanje vrijednosti (koja je negativna) preko nule do najveće vrijednosti.

ili (8.36) Uspoređujući

XY, YZ i ZX nuli:

Promjena momenata tromosti kod rotacije koordinatnih osi može se gemoetrij. ski prikazati pomoću elipsoida cromosci (sl. 8.10). Uvede li se kao mjera momenta tromosti vektor q, kojega je iznos obrnuto proporcionalan drugom korijenu momenta tromosti

Vc

prema prvoj jednadžbi transformacije (8.28)

e: .

g~/; + g_\.m.~ + g:Il.~ - 2 (fl;x,l;xm;x + flr:lII;xn;x +fl;:xn)) = q-

(8.33)

tu jednadžbu s izrazom (8.34) može se zaključiti da mješoviti članovi s iščezavaju, jer su za osi 1,2 i 3 devijacijski momenti tromosti jednaki (8.37)

(8.32) će

Glam.;' osi l.

3 moment trom OSli minimalan. Za os 2 moment tromosti ima iznos koji leži izmedu tih ekstremnih vrijednosti. Označe li se momenti tromosti za osi l, 2 i 3 S fl]. gl i g3' može se napisati jednadžba elipsoida uz C= l, u normalnom obliku:

8.1.4. Glavni momenti tromosti

bit

trol1lo~ti.

(8.31 )

..,

l

Osi I~ 2 i 3 jesu glavne os; tromosti tijela za točku O, a fll , V2 i fl3 glavni momenii tromosti. Uobičajeno je da se s indeksom ,.1« označava maksimalni, a s ,,3" minimalni moment tromosti, tako da je flmax =gt i flmin = fl). Za ishodište koordinatnog sustava u težiš tu tijela C osi l, 2 i 3 nazi\'aju se glavnim centralnim osima, a pripadni momenti tromosti glavnim cemralni1l1 momentima tromosti. Za svaku točku prostora, bez obzira na to da li pripada tijelu ili ne, mogu se pronaći glavne osi tromosti. Ponovimo da su za te osi devijacijski momenti tromosti jednaki

"i:

172

.~.

173

{, nuli. tako da matrica kClmponenJ.ta tenzora tromosti prikazana pomocu glavnih momenata trojnosti ima oblik

o 'Jz O

~ l·

(8.38)

'J,

Primjer 8.3

Odredili moment tromosti prema težlšnoj osi Xc elektromotora j njegova temelja, k\.~.1i su aproksimirani s punim valjkom mase 1111 =800 kg.., polumjera Rl = 0,4 m i duljine II = 1,2 m. {~ kockom mase "'z = 1600 kg sa stranicama (1 = J.2 ot j kanalom za kabele polumjera R;~O.3m (sl. 8.)1).

zI I

Položaj glavnih pmxaca II oJnosu na koordinatni sustav x, J. :;: određuje se traženJem ekstremne vrijednosti npr, prvog lzraza (8.28), u kojemu kosinusi smjera predsr.lvijaJu ';arijable povezane mjerom kompatibilnosti kutova. Tmženje glavnih pravaca i odr,;đivanje glavnih momenata tromosti dio je analize svojstva tenzora tromo~ti. čime se ovdje nećemo b::tdtl. Prva invarijanta log tenzora daje, međutim. važno pravilo da je zbroj aksijalnih momenata tromosti za bilo koje tri međusobno okomite osi u nekoj točki uvijek iHi, pa je

2

•CfJ

(8.39) Iz glavnih momenata tromosti određuju se momenti tromosti prema drugim osima izraz. (8.28), u kojima clanovi na desnoj strani, koji sadrže devij.cijske momente trolY;osti, iščezavaju. pomoću

a

Za tijelo s jednom ravninom ~imetrije svaka os okomita na tu ravninu glavna je os tromosti. Druge dvije glavne v5i 1eže u ravnini simetrije i imaju u njoj točno određen polozaj. Kada [ijelo il!";;) dvije međusobno okomite ravnine Simetrije. njihovo je sjecište glavna os tromosti. Druge dvije glavne osi leže u ravninama simetrije. Os rotacijske simetrije glavna je i ujedno centralna Os. Svaka os okomita na os rotacijske simetrije jest glavna.

a

"f

C

·.-t--+:_

_,

a

a Sliku 8.12. Položaj težišta ('

Položaj težišne osi Xc prema poznatim izrazima iz statike iznosi (sl. 8.12) 8.1.5,

~1omenti

tromosti s]0že!1ih tijela

Momenti tromosti različitih tijela prema istoj osi iti prema istom paru osi mogu se algebarski zbrajati. To pravilo olak5ava izračunavanje momenata tromosti tijela. koje je u geometrijskom smislu •• 5lavljeno od nekoliko jednostavnih oblika poznatih momenata tromosti. Tako je ukupni moment tromosti prema osi x tijela sastavljenog od II dijelova

ze

174

"', (R, +-2")

tn

w!+tui-

0 133m.

Moment tromosti valjka mase ml prema osi Xl iznosi fll = m 1 RV2, pa se njegov moment tromosti prema težišnoj osi Xc izračunava pomoću Steinerova pravila: miRi ( R, +i-zc a )''"I ~423,12kgm , . 'J,n:~-2-+

(8.40)

U priručnicima su momentI tromosti obično dani za osi kroz težište. Primjenom Steinerova pravila, te ako je potrebno i transfonnadjskih formula (8.28), momenti tromosti za poznate osi moraju so;! preračunati na zadanu os za sve dijelove tijel2_ Tek tada je moguće zbrajanje momenata tromosti pojedinih dijelova tijela s ciljem da se odredi ukupni moment tromosti. U praktičnom izračunavanju provrti, odrezani dijdovi ili dijelovi tijela koji ·stvarno ne postoje uzimaju se II ligebarskom zbroju s negativnim predznakom~ što olakšava određivanje ukupnog momenta tromosti. Sve to vrijedi za aksijaine, ali jednako tako i za devijacijske momente tromosti.

J:miz,

Moment tromosti fIz postolja prema osi X 2 može se izračunati tako da se momentu tromosti pune kocke odbije moment tromosti valjka polumjera R3 i mase mJ- za punu kocku mase m2 + ml moment tromosti prema osi Xl iznosi aZ (ml + ml}/6~ tako daje

Mase

1112

i

m3 II

2 istom su omjeru kao i pripadni volumen!, pa je lill

:2

; , R,,,a~390,91 kg. a -RiiW 175

Moment tromosti postolja prema tež:išnoj osi xr dobiva se pomoću Sleinerova pravila 'J2sC ='J1 +z~m2' tako da je

Suma unutrašnjih sila jednaka je nulL Vanjske sile zbrojene zajedno daju roz .. llant· nu silu R. Ubrzanje na desnoj strani jednako je za sve o:stice. tako da je

(MS) Jednadžba (8.44) tako poprima ovaj oblik Ukupni morn~nt tromosti postolja i elektromotorl,t prema tdišnoj osi Xc iznosi

'3" ='3.,c + '3,,,. = 1057.59 kg m' .

R=ma.

(8.461

To je jednadžba transladjskog gibanja tijela. II kojoj je o ubrzanje bilo koje točke Ta jednadžba odgovara Izr.iZU (7.tOrza gibanje sus1aya čestica, iz -kojeg sC jednadžba (8.46) može direktno izvesti uzimajući da je a" Vektorskim množenjem izraza (8.44) slijeva vekto[(: II položaja r i čestice m_ II odnosu na težilte e (sl. 8,14) dobiva se jednadžba ~ ,

~tljeIa.

8.2. Translacija

tJ kinemmici smo vldjeH da su kod translacije krutog tijela pmanje svih točaka tijela sukladne krivulje, te da su vektori brzine i ubrza~ja za sve [:,čke ,tijel.a jedna~1. Zamislimo da je tijelo mase nl sastavljeno od niza čestica, \'ekton brzme l ubrzanJil svih čestica su također jednaki (sl. 8.131: (8.41 \

=.,

(8.47)

(8.42\

S:ika 8.1-1. Trunsladja

tij~I;I..

Položaj

česllcc III,

krulog tijefa u odn(\:;u na lciB-le

e

To je moment na jednadžba s obzirom na težište u kojoj je suma momenata unutrašnjih sila jednaka nuli (vidi 7,1). Desna strana, II kojoj je a,=', preuređena glasi (8.48) gdje je l:r,m,=rcm=O, (8.49) jer je to polobj težišta tijela u odnosu na težište! Prema tome je kod translacije tijela y

pa radi (8.47) mora biti

l:r,xF,=O. x Slika S.D. Translacija kru!og tijela

Za svaku česticu može se u skladu s razmatranjima II dinamici sustava čestica napisati jednadžba gibanja koja glasi (8.431

u kojoj je F. Y~l~~~~!i~. !la i-~.~!~~.!!t_a S~~lt~~!l!a s~~a svi~ u~u~rašnjih _~~l_~_~d

susjednih
176

(8.51)

Zadnja jednakost pokazuje da je translacija moguća samo kada je suma momenata vanjskih sila s obzirom na težište jednaka nulL To će biti kada je R=O i kada nema rezuItantnog sprega, što je prema (8.46) gibanje bez ubrzanja (jednolika translacija). No to će biti i U slučaju kada je rezultanta R različita od nule, ako joj pravac djelovanja prolazi kroz težiite. Općenito se može reći da će se tijelo translatamo gibati ako rezultanta vanjskih sila prolazi kroz težište, Izraz (8.46) tada je jedina vektorska jednadžba gibanja, koja se ni po čemu ne razlikuje od jednadžbe "'gil:iitnja čestice mase m na koju djeluje rezultantna sila F. Svi zakoni koji slijede iz te jednadžbe (zakon kinetičke energije, zakon količine gibanja itd.) jednaki su kao i kod gibanja čestice, te sve što je rečeno II dinamici čestice vrijedi i za dinamiku translacije krutog tijela. Translacija krutog tijela promatra se kao gibanje tijela kojemu je sva masa koncentrirana u težištu tijela e, gdje je i hvatište rezultante svih vanjskih sila. a prema D'Alembertovu p~ncipu i sila inercije.

12

S. J«iC:

~INeMATI"A

I DINAMIKA

177

nepomične

Primjer 8.4

8.3. Rotacija oko

.A.utomobil simetrično raspodijeljene mase vozi po ravnoj cesti i II jednom trenutku zako-.=i. tako da mu ostanu blokirana sva četiri kotača. Odrediti sile na prednji i stražnji par kotača, ako je masa automobila s teretom m = 1000 kg, a koeficijent trenja automobilske gume s cestom .u=O,4. Razmak osovina I i položaj težiš-lJ. e dani 'Su na slici 8.15a. y ii

Kod rotacije tijela oko nepomične osi točke tijela na osi rotacije miruju, dok se sve ostale gibanju po kružnim putanjima brzinom v = oo x r i ubrzanjem a=E x r+oo x (OO x r) (vidi 3.2). Na svaku česticu beskonačno male mase dm (sl. 8.16) djeluju pored vanjskih i unutrašnjih sila i inercijske sile, koje prikazane u prirodnom k('lordinatnom sustavu imaju tangencijainu d~= - 3 r dm inonnainu dL N = - 3 N dm komponentu (sl. 8.17). z

-

osi

.,,

1= 2.4m

bl

01

Slika 8.15. Kocenje aUlomobila s billkiranim kotačima

Automobil sa zakočenim kotačima klizi po cesti i giba se translatorno. Sile na auwmobil nacrtane su na slici 8.l5b. Prema D'Alembertovu principu mogu se napisati jednadžbe dinamičke ravnoteže: x Slika 8.16. Rotacija lijela mase m oko nepomične osi

=

FNI +F N2 -G=O FN21+mah-Gb=O.

F,

puta\

Uz G = mg daju te jednadžbe ova rješenja:

FNI

=mg

I+ph-b I

č.sHe.

dm

6376,5 N y

m

b-ph F N2 = mg -1-= 3433,5 N. Kod kočenja s l;>lo}c.iranim kotačima dolazi do povećanja sila na prednji par kotača. Kod prikazanog-_automobil~_ ~_~onstantnoj __ YQwji sile D3; obje osovine jednake. su i 2 iznose mg,]=4905N. Ubrzanje pri kočenju iznosi a=JlB=3,924ms- . Iz sume monienat~ ,ranjskih sila prema težištu e vidi se da je

dL,

l

~AJ---"''--+_--:T_'" I

AJ.

Y

x

y

01 što dokazuje da je pretpostavka o translacijskom gibanju opravdana.

'"

----------J,.-.......... x x

bl

Slik .. 8.17. Ti.i~lo oslobođeno veza i prirodne komponente inercijskih sila (a) i njihov položaj s obzirom na koordinatne osi -" .1·

179

Sustav vanjskih sila FI do F", reakcije u osloncima F.-I i FB te .ine.rcijsk~ .sile integrirane preko cijelog tijela moraju prema D'Alembertovu pnnclpu bili u ravnoteži. Za kruto tijelo na koje djeluje opći sustav sila u prostoru postoji šest jednadžbi ravnoteže: sume projekcija svih sila uključujući i inercijske na tri koordinatne osi moraju biti jednake nuli, a isto tako i sume momenata oko tih osi. Te jednadžbe glase: (8.52a) (8.52b)

S.3.\. Jednadžba gibanja Suma. momenata oko osi z svih sila i spregova koji djeluju na tijelo daju rezultantOl moment M == LM: Pod djelovanjem tog momenta tijelo će ubrzano ili usporeno rotirati oko osi z. Ako se u jednadžbi (8.S3f) za tangencijalnu komponentu ubrzanja uvrsti lIT=hf.=hiP. bit će

(8.52c)

EF,~O

J :dL, sin cp+ S zdL

cos cp =0

(8.52d)

EMy+ J:dL, cos cp+ J zd~ sin cp~O

(8.52e)

E Mx -

RULlllotrit ćemo što se kod rotacije tijela događa s jednadžbom gibanja (S.S3fl. a zatim ć~mo protumačiti kakav je utjecaj rotacije t~iela i njegovih dinamičkih kamktenstika na reakcije u osloncima.

T

m

.(8.52f)

(8.541 m

Kumo ubrzanje stavljeno je ispred integrala. jer kod integriranja po masi predstavlj
J

m

(S.55)

lJ gornjim jednadžbama u sumama se nalaze komponente aktivnih sila FI do F", komponente reakcija u osloncima FA i FB' a u sumama momenata još i komponente spregova, ako takvi djeluju na tijelo. Uvrštenjem odgovarajućih izraza za D'Alembertove sile dLN i dL T bit će:

(8.53a) m

(8.53b) m

(8.53c)

EF,~O

J

EM:c= :aNsincpdm- JzaTcoscpdm

To je konačni oblik jednadžbe gibanja koja pokazuje da je rezuhantni moment oko osi rotacije jednak umnošku momenta tromosti tijela oko te osi i kutnog ubrzanja. Iz poznatog momenta M M: (t) određuje se iz te jednadžbe kutno ubrzanje e = ip i dalje integriranjem kutna brzina (JJ = cp i kut rotacije tp. Zadatak može biti i obrnut: iz' zadanog kuta ili kutne brzine kao funkcije vremena treba odrediti deriviranjem kutno ubrzanje, te dalje pomoću jednadžbe gibanja (8.55) potreban moment M _(t). U oba slučaja mora se poznavati aksijalni moment tromosti tijela prema-osi rotacije. %=

(8.53d)

Prebacivanjem člana Q;iP s desne strane jednadžbe gibanja na lijevu dobiya se. uz oznaku -~;P = ML' jednadžba

(8.53e)

(8.56)

m

(8.53f) m

opće jednadžbe dinamičke ravnoteže krutog tijela mase m koje rotira oko nepomične osi z. Za uspostavljanje veze između sila i spregova koji djeluju na tijelo i e =ip koje karakteriziraju rotaciju tijela dovoljna s kinematičkim veličinama ())

To su

=q,

je samo jedna jednadžba. Tu vezu daje jednadžba momenata oko osi z (8.53f) oko koje tijelo i rotira, pa ćemo tu jednadžbu smatrati jednadžbom gibanja tijela. Ona ima istu ulogu kao i jednadžba F = mals~ pravocrtnog gibanj3; _~ti~ Ui F= ma i R~m. kod krivocrtnog gibanja čestice, odnosno translacije tij~la-(izraZi (6.1) i (8.46)). Preostale jednadžbe daju vezu između aktivnih i inercijskih sila sa silama u osloncima, od kojih je izuzetak jednadžba (8.53c) koja ne sadrži inercijske sile, budući da točke tijela u pravcu osi z nemaju ubrzanja. Jednadžbe (8.53a) do (8.53e) nisu nam potrebne za rješavanje osnovnog zadatka dinamike ali daju odgovor na pitanje što se događa s reakcijama u osloncima kada tijelo rotira oko osi z. 180

koja izražava D'Alembertov princip za rotaciju tijela oko nepomične osi z. Taj princip upotrebljen je za postavljanje jednadžbe (8.52f), pa je gornja jednadžba samo integrirani oblik izraza (8.S2f). Prema izrazu (8.56) moguće je zadatke rotacije tijela oko nepomične osi rješavati i na taj način da se suprotno kutnom ubrzanju e doda i~ercijski moment ML iznosa ~ f. koji zajedno sa svim statičkim momentima oko OSI z stoji u ravnoteži. Takav način rješavanja zadataka ne pruža, međutim, neku veću prednost u odnosu na postavljanje jednadžbe gibanja (8.55). Primjer 8.5 Kružna ploča mase m i polumjera R rotira brzinom vrtnje no min- 1 (sl. 8.18). Kolikim konstantnim momentom treba kočiti ploču oko osi rotacije, da bi se Ona zaustavila za to sekundi? Koliko punih okretaja k napravi ploča za vrijeme zaustavljanja? Moment tromosti osovine zanemariti. 181

Moment tromosti kružne plože u odnosu na os rotacije jednak je momentu tromosti valjka istog promjera i iznosi

'J =mR' ,

Uz '" = bw,

kinelička

energija se dobiva integriranjem po cijelom tijelu: (8.58)

l

2'

m

KUln~l

tako da jednadžba gibanja glasi

je brzin.1 za cijelo tijelo ista pa je ",'

2 Kutno ubrzanje

F.

= fP

lM

(8.60)

kočenja

kružne

ploče

momcnlOIll ,tl

konstantan, dobiva se nakon integriranja po vremenu 2M

-~-.,

{{}=

Za r

Kočenje

Slika KIt:.

mR2

da je moment

mR-

I+C 1 ,

Tim izrazom ...xlređena je kinelit~ka energ(f.l tijela koje rotira oko osi z kumom brzinom YJ~ Diferencijal kinetičke energije dobiva se jz (8.60): d

0)=1101(/30, pa je Cl =Ji()1t/30, Izraz za kutnu brzInu tada je 2M

(1)= -~-,

mR-

non 30

Š10 l:Z

1+-.

Na kraju perioda zaustavljanja l=(o, (0=0. što daje M

Ek={i;;)

konstantni moment tromosti

rl,;

prelazi

momenta

lJudu,'i da je

Ci

_-"-00-_

Intl:'!g.riranjem izraza za kutnu brzinu dobiva se km cp

II

ovisnosti

O

(8.62)

= d",fdr, mora biti rud", =(d
Prema jednadibi gibanja ~dOJ,d{ odgo\'nra rezuitanlnom momentu M; oko osi rotacije, pa je

vremenu

2M 12 Ilotr: -+-f+C"I', mR- 2 30 -

l{I= -~-,

(8.64)

Ako se kut tp počne računati od trenutka kada je započelo kočenje. bit će za !=O
nn(!-21!2)

(8.61 J

oblik

d", 'J, dl d",.

l1o'1f.mR2

1fJ= ;0

II

:7,wdw. i1J10S

60!0

Nakon što protekne vrijeme

(8.59 )

odnl"~no

prema tome je S=-~­

Buduči

Ib'dm,

i

•

0

Kako je ALd", diferencijal rada dW rezultanInog momenta M_, izraz (8.64) pok.ruje da 'je promjena kinetičke energije kod rotacije tijela oko nepomične osi jednaka tom diferencijalu rada. Drugim riječima nema promjene kinetičke energije bez rada momenta ,\1;:. Integriranjem gornjeg izraza unutar perioda vremena tl - tl dobi\'a se zak ..:m kinetičke energije u obliku

'='0' ukupni kut je
(8.65) Ei:2 i EkI su Izoosi kinetičke energije u trenucima t2 i tl< a W je rad što ga učini moment M, kada se tijelo zakrene iz pripadnog položaja
......

za diferencijal mase tijela iznosi kinetička energija prema definiciji iz dinamike

čestice

1

dmr dEk =-2-'

182

(8.57)

~-'.

.,

(8.66)

Zakon kinetičke energije u lom obliku koristi se u rješavanju zadataka dinamike rotacije tijela :ilično kao i odgovarajući zakon iz dinamike čestice.

osloncima, koji je posljedica vanjskih aktivnih siJa i vlastite težine tijela, odrtđuje se za neki položaj tijela iz statičkih uvjeta ravnoteže. Ovisno o položaju tijela mijenjaju tc reakcije II opčem slučaju smjer s obzirom na osi nepomičnog koordinatnog sustaVa x. y, :. pa su II tom smislu 7..3 vrijeme rOiHcije tijela le reakcije dinami':ke. Po iznosu taj dio reakcija II osloncima neovisan je o rotaciji.

Primjer 8.6 Štap mase JI! i dužine 1= l ll) pušten je iz horizom\tlnog položaja bez početne kutne brzine da slobodno rotira oko ovjesišla O (sl. 8,191, Kolika je brzina vrtnje štapa kada štap dođe II vertikalni položaj'?

Drugi dio reakcija u osloncima izazvan inercijskim :-.i!ama postoji samo ako tijek) rotira, a posljedica je kinematičkih karakteristika gibanja (w, 1-:) i inerdjskih karakteristika tije1a. Taj dio, koji tvori čiste dinamičke ili [lV. dopul1."ke ft'.:i.:cije U ostancima, dodatno opterećuje za vrijeme gibanja oslonce. a po iznosu m~"že bili višes.truko veći od reakcija izazvanih statičkim silama. U !larednom izJaganj!.! bit će ohja~njeno kako se određuju te dopunske reakcije II osion"'ima,

'~,

z,

I,m

ii.

B~__ii",-, ""'''',,'~~

m

yi Slika &.19. Rotacija štap,!

LT početnom trenutku štap miruje, paje !!JI :::.::0, U vertikalnom položaju kutna brzina štapa je (:)2 = 1111./30. Oko osi rotacijel koja prolazi kroz Qvjesište O i okomita je na ravninu gibanja štapa. djeluje moment vlastite težine štapa. tako da je zakon kinetičke er,ergije

f Tf/l

'J. 2: ("")' 30 =

1119'2I cos q>dq> ,

y

x Slika 8.20. Dopunske rCllli:cijc u osloncima A i 8 kod ratac!.;..: tijela oko osi:

o

Moment tromosti lJ::: štapa prema osi rotacije iznosi

,

.~

m1 2,

3. pa je nakon integriranja i

izračunavanja

30 f3B " n=-; ~T=51,8mm-l.

Kada na tijelo djeluju samo inercijsk. sile dL, i dLN , javljaju se u osloncima A i B dopunske reakcije A., AJ" B. i By (sL g,20), Jednadžbe (8.53a), (8,53b), (g,53d) i (8.53e) u tom slučaju glase (8,67)

I Ovdje treba uočiti da je rad momenta M::: =mg 2' cos rp isto što

j

(8,68)

rad vlastite

težine mg, Taj rad jednak je gubitku potencijalne energije sile mg i iznosi mg//2,

8,3.3, Reakči}e'u osloncima kod rOlacije tijela Jednadžbe dinamičke ravnoteže (8.53.) do (8.530 povezuju komponente reak-

cija II osloncirna s aktivnim sUama Ff i inercijskim silama izazvanim rotacijom tijeJa. Jednadžbe pokazuju da će kod rotacije tijela reakcije

II

oslon.ima biti posljedica

aktivnih sila. što je poznato iz statike, no pored toga i inercijskih, Dio reakcija u 184

(8,69)

lJ) = ,

Ja'Nzcos:q,-dm"='-!OTzsinwdm.

(8,70)

m

Uvrsti li se za "N=bw' i GT=be, bit će UZ bcosq>=x i bsinq>=y (vidi sL g,17b) nakon uređenja (8,71) m

m

185

A,+B,+w2 J ydm-e f xdm=O

(8.72)

Norma!na inercijska sila iznosi

m

B,.I+W2 j yzdm- eJ xzdm =0

'.1

(8.73)

1LN=XW:dm=G-

=) tan ,dm.

m

BJ + co' Jxzdm +e Jyzd", =0 ..

pa se uz dm = cl.: mIl dob'iVa iz druge jednadžbe

(8.74)

Bi+ w'm!an, I

Integrali U jednadžbama (8.71) i (8.72) daju umnožak koordinata položaja težišta tijela e i njegove mase XCIII. odnosno Yem. Prema definicijama (8.9) i (8.10) inte!>!ali II preostale dvije jednadžbe imaju značenja centrifugaInih momenata tromosti: ~ ~ j n . ~ u;,:;, pa Je Ax+ B x+xc w'2m +ycsm=O

(8.75)

A.y + By + Ycw2 m- ,xcem=O

(8.76)

Byi +w2fl" - efl" =0 B,i+w2f1" +,:7,,=0.

(8.77)

(8.78)

T o su konačne jednadžbe za dopunske reakcije II oslonelma. Iz njih se vidi da na dopunske reakcije utječu pored kinematičkih veličina o) i t položaj težišta tijela i centrifugalni momenti prema osima x, z 1 y. z. Dopunske reakcije nisu posljedica Samo inercijskih normalnih (xc(t)'4m i ycolm) i tangencijalnih (xc&m i rcEml sila, nego i geometrije odnosno raspodjele mase cijela. Prema tome dopunske reakcije u osloncima nije moguće izračunati promatranjem djelovanja odgovarajućih D'Alembertovih sila II težištu tijela, već je II svakom zadatku potrebno postaviti jednadžbe (8.75) do (8.78). Kada se težište tijela e nalazi na osi rotacije, il jednadžbama nema inercijskih sila, ali dinamičke reakcije II osloncima ne moraju biti jednake nulL Ako je pored toga i rl),;: = flx: = O~ osi x. )', =su glavne osi tromosti, i tek tada su dinamičke reakcije jednake nuli. Na tome se temelji uravnotežavanje rotirajućih masa (rotori motora, centrifuga. automobilski kotači itd.). Dodavanjem ili oduzimanjem koncentriranih masa dovodi se tijeJu težište na os rotacije, a zatim se sličnim postupkom poništavaju centrifugalni momenti tromosti. Uravnotežavanje masa provodi se na specijalnim strojevima za uravnotežavanje ili balansiranje.

---') --

I

m

J(~::-

..

0_-0

o

odnosno

mlw':

B;;-A=--tan~.

l2

,, '~;

.,,.

al

"

..

,

:. ,

z

bl

ii Slika g,21,

Dinamičke

reakcije koso položenog S12pl. S ob2;it()m na osi rotacije (a) i štap oslobođen wza (b)

Zadatak se može riješiti i pomoću konačnih jednadžbi za dinamičke reakcije (8.75) i (8.78) u kojima je xc=Yc=O i f.:=0. a fl;.;: se izračun3vajednakim integriranjem kao šIo je 10 pokazano II tom primjeru.

Primjer 8.7 Primjer 8.8

Izračunati dinamičke

reakcije li osloncima štapa prema slici 8.21 a koji rotira konstantnom kutnom brzinom (j) oko osi z. Zadani su masa štapa mJ kut lX nagib~ štapa prema osi rotacije, razmak među osloncJma l i kutna brzina (JJ. Masu osovine zanemariti, Kada se štap nalazi II ravnini x, z, djeluju na l)jega sile koje su prikazane na slici 8.21 b. Suma"projel«:ija sila na os x"i stIma momenata oko točke A daju jednadžbe

A+B=O

BI+ f zdL,,=O. m

186

Odrediti dinamičke reakcije II osloncima osovine zanemarive težine s koncentriranim masama (sL 8.22), ako je zadano: ml = tn2 =m3 = nl te đ. r i <0= konst. Budući da su sve mase koncentrirane na krajevima ručica r. u tim točkama djeluju normalne inercijske sile L~=mirw2 pa ~l:-)~nadžbe dinamičke ravnoteže Ax + Bx + n1J T(JJ2 + m;iCJ2:cos !X=O Ar +By +m1.r(02- m3TCJ2 sin «=0 ~4aBy-2am2rci+3amJf(:l sina.=O 4aB.~.+amJTĆ)~ + 3am3Tc'; COStt=O~

8.3.4.

iz kojih slijede rješenja za reakcije: A~=

.

4

oko

l A y = - - mrw 2 (2 - sin;r:) 4

4

l

moment

U dinamici čestice definiran je kinetički moment kao moment količine gibanj:! čestice prema nekoj točki prostora. Količina gibanja čestice d", tijela koje rOIir;.;.

l , --mrw-(3+cOs;r:)

l , Bx= -- I1lrw- (l

Kinetički

nepomične

osi (sl. 8.23) jeste vektor

dB=vdm=oo x rdm, lako da je kinetički moment prema nepomičnoj točki A

+ 3 cos:x)

dKA=r x dB=

TX

(oo x r)dm.

Ukupni kinetički moment dobiva se integriranjem po cijelom tijelu ,

B y= -- mrw- (2-3

.

Sin :x).

KA =

4

m,

Jr x (oo x r) d

(8.81 ,

Ill.

z

z

,

z m

By m

K,r----

W E:

'" A

y

Slika 8.22.

Dinamičke

reakcije osovine s konceI1lriranim masama

x

I

...........

----________VI

.......

X

y

K.

y

-----x

Zadata,k se može riješiti i direktno iz jednadžbi (8.75) do (8.78), II kojima se koordinate težišta Xc i rc te momenti tromosti fly;: i gx;: izračunavaju kao kod složenog tijela:

Slika 8.23. Kolicina gibanja

dB čestice tijela

Kako je r=:d + yj +zk te

00= kw,

J

Slika 8.24. Vektor

kinetičkog

momenta K,

nakon množenja i uređenja

J

J

KA ~ - jlO xzdm- jlO yzdm +klO (x' + Y')dm ili

(8.821 (8.831

Vektor kinetičkog momenta KA =K.-.:i+K~ +K;;;k prikaza..p..j~ ~ komponenta~a ·na slici 8.24. Iznos je tih komponenata: .

Uz zadanu konstantnu kutnu brzinu (J) kutno ubrzanje E jednako je nuli, tako da se iz spomenutih izraza dobivaju jednadžbe koje su postavljene na početku primjera.

188

Kx= -[J;r;:w

(8.841

K,~ -'J",lo

(8.851

K,~'J.(J).

(8.861

189

lznos i kutovi nagiba vektora K.-4 prema koordinatnim osima određuju se iz komponenata i g.lase;

K, =,JK; +K; +K; =m- ,JfJ;, +:J;,+fJ;

tako da je nakon množenja j uredenja

(8.87) +[sflxZ+r)dm]k.

(8.881

COS

(889 1

(8.98,

Kada se integralima daju odredena značenja moml!nata tromosti, dobiva se derivacija kinetičkog moment. s komponentama KA=Kxi+K,i+l(k

Komponen;
f

m

K,=:J"w'-~o&

- ~,w' - 'J,., e

r

Prvi član u uglatoj zzgradi jednak j~ nuli, jer je = f =(1) x r, II drugom članu uvrstiw=t i II trećem slijed~ izraz

(K7;=-B I=M~.), Kako je rečeno. momenti aktivnih sna zajedno s momentima dijela reakCija u oslondma, koje su posljedica aktivnih sila, poništavaju se, pa se može općenito smatrati da K;t; predstavlja sumu momenata aktivnih i ukupnih reaktivnih sila oko osi x. Slično i Kr ima značenje sume momenata svih aktivnih i reaktivnih sila oko osi J. Treća komponenta K, je prema jednadžbi gibanja (8.55, rezultantni moment oko osi z. Kako su sume momenata oko pojedinih osi komponente vektora momenta MA II odnosu na tOčku A. to je

M,=l:M,=K x

r=".

K., = f [r x (e x rl+r x (O> x v)J dili Pomoću

(8<91)

ya je " x v = O. Kadu S~

<

•

dK,

d,

(8.92)

(8.103. (8.104. (8.105. (8.1061

što je zakon kinetičkog momenta za rotacjju tijeia oko nepomične osi.

rx(exr)=e(r'r)-r(rx v)=ro(,
(8.93) m

":-"_'_. .~--yektori ~azu imaju ove komponente sustava x. y~ z: ;::...-~' ~ -- ll,to.m ~-:..:' -. ,,,-

e=ek

(8.94)

r=.
(8.95)

(8.96) (8.97)

190

odnosno

M,=EM,=K, M,=EM,=K,. M.=K.=--.

pravila za rješavanje dvostrukog vektorskog produkta bit će

ro=",k

(8.101,

USPQrede li se izrazi (8.100) i (8.101) s izrazima (8.77) i(8.7BI vidi se daK iK i~aju značenja momenata dopunskih reakcija u osloncima. oko osi x~ i _:.

Kako se integriranje ne odnosi na masu tijela koja se ne mijenja s vremenom, to se gornjem izrazu može derivirati podintegralna funkcija r x (Ul x r), pa je r)~r x(ro x il]dm.

(S. lOO ,

(8.102,

K,=17,e.

II

KA = J[ć x (oo x rl+r x (.;"

(R99'

Pored opisanog flZikaJnog značenja derivacije kinetičkog momenta i njegovih komponenata dovodi jednadžba (8.105) do zakona koji se upotrebljava tl rješavanju zadataka dinamike rotacije tijela oko nepomične osi. Ako se u izraz (8.105) uvrsti K,=~w, dobiva se da je d M,=-<9'..w) (8. 107 ! dr ili d(~w)=M,dr. (BJ08!

" '.

~W2-:7;"'1 = JM,dr.

(8.1091

To je integralni oblik zakona kinetičkog momenta izveden samo za os z oko koje tiJelo rohra. Prema tom zakonu do promjene komponente kinetičkog momenta II 191

doći samo pod djelovanjem vanjskog momenta oko te iste osi, ih riječir.ui rečeno do konačne promjene gibanja (kutne brzine) može do~i samo kada djeluje vanjski moment oko osi rotacije neko konačno vrijeme 11 -,"!, Značenje tog zakona slično je značenju zakona količine gibanja poznatog iz dinamike čestice.

pravcu osi;; može

drugim

al kada prije s.pajanja vratilo 2. miruje, a vn.ttilu I rotira kulnom l1rzinom (1)1 i bl kada su prije spajanj~' kutne brzine (VI i (J)l iSt(.1g smjen.L Koliko sc energije lj oba slucaja pretvara na srl)jci u toplinu'!

Poseban je sl.u~tti tog zakona kada na tijelo ne.djeluj.e ni~akav vanjski !~lOmenl M _. Tada mora bItI fJ-(!)2 =f!..w 1 _ odnosno do promjene gIbanja ne može dOCI ako 5~ ne-mijenja moment tr"omosl(9"::< M1jenja ii se moment tromosti (~pr. spajanje dvaju vratila. promjena položaja mase kod centrifugalnib ventila i sL) mora biti

J,

w, F

"""

mri

w,

~

U

~

rl

(8.1101

Primjer 8.9 Rotor turbine momenta tromosti II odnosu na os rotacije rl= 550 kgrn: t Il t =1500min- na novu 112 , Do promjene brzine dolazi pod djelovanjem momenta M: koji se mijenja prema zakonu prikazanom na slici 8.25. Koliku brzinu vrtnje n, postiže rotor na kraju perioda ubrzavanja koji traje 15 s? povećava brzinu vrtnje sa

11,

;:l) Za vrijeme spajanja na natila djeluju samo unu[fJšoJi momenti spojke oko osi rv[acije. Momenti su jednaki j suprotnog su ~mjera te se poništa\·aju. tako da komponenta kinetičkog momenta oko osi rotacije OSla,k" prIje i E.oslije spajanja nepromijenjena. Nakon spajanja povećat CC se moment {r,,'>mosti sa 'JI na 'JI +fl'J.' II

kulnu brzina se mijenj" od (<), na ()), tako da je prema (8" lID)

INm)

Gubitak energije jednJk je razlid

Slik .. R.15. Promjenu momenl1.l II ~ pri ubrzavanju fO!Qf .. Iurbine

Zakon kinetičkog mamen la (8.109) povezuje zadane vrijednosti i glasi

Integral na desnoj strani jednak je po iznosu površini A ispod zadanog dijagrama M,(t), tako da je

Primjer 8.10

kineličkih

energija prije i poslije spajanja:

Ta S~ energija pod pretpostavkom idealno krutih tijela prNvara za ';rijeme spajanja u tarnoj spojci u toplinu. bl Zakon (S. l 10) može se proširiti i na više lijeJa koja rOliraju oko zajedničke osi. Tada se radi o sustavu tijelu za koja suma kinetičkih momenata oko osi rotacije nema promjene ako na sustav ne djeluju oko osi rotacije \·anjski momenri. Za tijelo J i 2 to daje jednadžbu

odnosno

Kinetička

energija koja se

II

tom

slučaju

pretvara

II

toplinu iznosi

Dva vratila spajaju se međusobno pomoću tame spojke (sL 8.26) pod djelova· njem sila F. Ako su momenti tromosti vratiJa zajedno s dijelovima koji na njima rotiraju oko osi rotacije;], i fl" odrediti zajedničku kutnu brzinu", nakon spajanja: 192

193

8.4. Raminsko gibanje tijela

prolazi kroz ležište e ili ne, Kod ravninskog giblJnja vektor ubrzanja ac leži uvijek u iSloj ravnini. lj toj ra\'nini prema (8,lln mora ležati i rezuhantna sila R da bi gibanje biJo r;lvninsko.

8.4.1. Jednadžbe gibanj.

:">1 sličan n.ačin kat" $.to :imo postavili jcdnad70u (S.113l možemo napisali izraz za moment OkD točke A:

e kinematki ravninskog gibanja vidjeli smo da se brzina i ubrzanje neke točke referentnog presjeka tijela (sl. !L27) odreduju pomo':u izraza V=,OA+ roxr

(S.III)

a=a.-t+e x r+Ci) x ((i) x rl.

(8.112)

Mo.f=EMAi=Jrxadm.

(8.1181

:"domenl \1 .., je rczuhantni moment prema točki A svih sila Fi j spregova :vI. Vektor .\IA .Jkom!t jc na refercmnu ravninu gibanja i poklapa se po pravcu svektorima (f) i L C\fSlcnjem izraza (S.112l za ubrzanje a II momenmu jednadžbu (8,1181 dobit ccnw nakon množenja (8.1191 Zadnji tian

II \·itičastoj

zagradi jednak je nuli. jer j~ r x [l>.) x (l>.) x rJ]=r x (-",'rl=O.

tr, pa slijedi f\1t/:= JTdm x aA +t f ,.2 dm .

L· drugom je članu r x Cf x rl =

F,

,

(8.120)

m

odnomo

Slik
(8.121) Prema razmatranjima iz dinamike sustava čestica rezullantna sca R svih vanjskih sila jednaka je $umi umnožaka u!'rzanja i pojedinih. masa su~ta\'a. Kada se .sustav sastoji od čestica beskonačno malIh masa dm, prelazI suma u mtegral po maSI, tako da je (S.113 )

LJ toj je jednadžbi rl.li mOment tromosti tijela prema osi koja prolazi kroz točku A, a leži okomito na referentni presjek, Pomoću Sleinerova pravila flA se može izraziti pomoću momenta tromosti 'Je prema osi kroz težište. Pri tome je gA =[Jc + ~m. Također se i ubrzanje točke A može izraziti pomoću ubrzanja težišta, tako da je 3.",=ac - t x rc-ro x «(i) x rd. Tim uvr~tenjem izraz (8.121) prelazi II novi oblik:

MA = {'c x 'c- rc x (t x rcJ-'c x [oo x (ro x fC)JJ tn +:7co +r7,mE.

Uvrštenjem izraza (8.112l za ubrzanje a dobiva se

J

R= JaAdm+ E X rdm+ S(I) x (Ci) x r)dm, m

Budu':i da su II integralima a,t< (i) i

J

t

(8.114)

-'c

konstante, lO je

R=a A dm+& x f rdm +w x(", x.r rdm)

(8.115)

ili uzJdm=m i Jrdm=Tcm (8.116)

U uglatoj zagradi rc jest vektor položaja težišta e s obzirom na točku A, pa je cijel. uglata zagrada jednaka ubrzanju ac težišta, tako da JO konačno R=mac . (8.117) To je prva jednadžba ravninskog gibanja tijel~, k<;>ja odgo:,.ra zakonu o. gibanju težišta e sustava čestica. Prema toj jednadžbI težIšte se gIba na IstI načm kao l čestica mase lU na koju bi djelovala rezuitantna sila R neovisno o tome da li sila R 194

Vidimo da je treči član II VitiČ2StOj zagradi jednak nuli jer je rc x [co x (oo x rd] = Drugi član u vitjčastoj zagradi pomnožen s m iznosi x (E X rcl III = te se taj član dokida sa zadnjim članom izraza (8.122). Time preostaje da je

=r( x i -aird=O.

m

(8.122)

r;,mo.

(8.123) To je druga jednadiha gibanja, koja pokazuje da je rezull.ntni moment svih sila s obzirom na neku točku A jednak zbroju momenta inercijaJne sile mac zbog translacije S težištem e t inercijalnog momenta gee. zbog rotacije oko težišta. Jednadžba gibanja može se koristiti II tom obliku iIi li nelto jednostavnijem ako se za...sumu momenata odabere režište C. Tada je, naime, rc=O. pa je (sl. 8.28l (8.124) Oznake vektora ovdje su ispuštene kao nepotrebne. Jednadžbe gibanja (8.117) i (8.1241 predstavljaju dvije međusobno nezavisne jednadžba iz kojih se uz zadane sile direktno dobiva ubrzanje težišta ac i kutno ubrzanje c, Time su translacija tijela s

Primjer 8.11

ležištem e i rotacija tijela oko težišta riješeni. Na desnoj strani jednadžbe (8.123) vektori rc x mac i get: kod ra\"ninskog gibanja uvijek su okomili na referentnu ravninu gibanja. To znači da kod takva gibanja i rezultantni moment MA mora bili okomit na tu ra\·ninu. Isto vrijeJj i za veklOr Mc-

K·oli~i.m se mak~im~lnim m0l!lentom M može pokrenuti valjak (sl. 830a) da do CIS tog kotrljanja? Zadam su masa m i polumjer R valjka te koeficijent trenja između valjka i podloge JI. dođe

y

ii

ii

1,

1,

=;>

if,

F; RGvninsko gibanje

0,"

~ HA'

A

-

rc

-X .j{

Hc

ili

[

•

m

/

m

'"

Rl

m

R= mac

R=ma(

MA=.~xmac+J(E

Hc=J(E.

b~

I ._.c&

-" I1-

IH

Fr

Slika S.30. Ubrzavanje valjka momentom {\./ (a) i

~il~

na valjak kod ubr<:.l\·ilnja

(h)

Na slici S.30b nacrtano je tijelo oslobođeno veza s ucrtanom aklivnom silom G (vlastita težina), pogonskim momentom M, reaktivnom nonnalnom silom F. i silom trenja Fr Premajednadžbama gibanja (8.125) do (8.127) bit ce za valjak'

Rx = L F.~i = IJI{lc.~

(8.125)

F T =IIUl c

RJ. = F.F."i = IIWc.,.

(8.126)

i',- G=O

.H -FTR='Jce.

(8.127) Pomoću tih jednadžbi može se riješiti s\"aki zadatak dinamike ravninskog gibanja krutog tijela. Gornje jednadžbe mogu se posta\·ili i pomoću D'Alembertova principa. U ležištu se suprotno vektoru ubrzanja a e ucrtava inercijska sila L= - maC. a suprotno kutnom ubrzanju treba zamisliti da djeluje inercijski spreg ML ='Jce (sl. 8.29). lednom kada su ucrtan':! te dvije veličine zadatak se rješava pomoću uvjeta ravnoteže komplanarnih sila II kojima se D'Alembertova sila L i spreg ML uzimaju kao i svake druge statičke veliCine. Ako se zadatak rješa\"a pomoću komponenata ubrzanja, ucnavaju se D'Alem'bertove sile suprotno svakoj komponenti.

F, bl

al

Jednadžba (8.117) sastoji se od d\"ije skalarne jednadžbe, koje zajedno s izrazom (8.124) daju tri komponentne jednad:ibe gibanja:

x

H

I'

Sliku S.~8. lednudi:be ravnil1~kog giba:-..:.! kod rcdukdje sila s obzirom n.1 neku lOčku A (a I i s obzirom na lcži~(e e (b)

°e

[I

Kinematički

uvjet kotrljanja bez klizanja glasi

ac=ER pa iz jednadžbi gibanja uz

gc=~ mR2 slijedi 2

FN=G=mg

F

2M

T

=-3 R'

Sila t~~nja propo~:donalna je momentu M. Njezin najveći iznos ograničen je koefiCijentom trenja Ji, tako da za kotrljanje bez klizanja mora biti

y

FT;;;I'F,.

Pren:a tome je najveći moment kojim se može ubrzavati valjak ona i kod kojeg:a sila trenja postiže maksimalnu vrijednost _ ...

.==::>

x ili

Ly=-moy Slika 8.29. D·Alemb~:1ov princip kod ravninskog giba Ilja krutog tijela

196

197

Primjer 8. ! 2

KOm.<,lm sc maksimalnom silom F može ubrzavati va1j~k iz primjera 8.11 d,l do č ,:;wg kotrlj:mja? Kod ubrz(lv(lnja 'Valjka silom F sila trenja FT djeluje na valjak suprotno zadanoj sili. Na slici 831 b ucrtane $U sve sile 0(1 oslobođeno tijdo. Jednadžbe gibanja gkl$~:

D·AI.mbertov. sik L, i L, (sl. 8.31 b). Suprotno kutnom ubrzanju, ucrtan je D'Alembertov moment :7,.r.. tako d •.jednadžbe ravnoteže glase:

dođe

1:F,.=O

F-

Fs-G+ma,."""'O

I

1:·\fr =O

FA

I

2. COs;x- Fil:; sin:z +flcl: =0.

F,-' G=O y

FTR=U"".

4.

R

=~miiK

___

~"""..::J!.

_____ x

oJ Slika 8.31. U')r7.UVlllljć valjkll Sll~11l1

F (a) 'I sili: mj

\"
B

Iz njih se, vz uvjet kotrljanja bez klizanja ac == tR i uz fIe

=~ mR~, dobiva

bJ

01

Slika 832. Gibanje Šl;lr
Fj\o;=G=my

Giba~Je j~ :> jed~im

stupnjem slobode pa izmedu ubrzanja ac i kutnog ubrzanja l veza. Buduči da u početnom trenutku štap miruje, nema n~~~m~l~lh komponenata ubrzanja zbog rotacije štapa, pa za ubrzanje točke B \TIJedI Jednakost postoJ!

Maksimalna sUa trenja koja ~e između valjka reaktivna sila jest WN=Jlmg. tako daje

~wemaučka

podloge može oSl\'ariti kao Plan tih ubrzanja prikazan je na slici 8.33. Za

točku

e ubrzanje je određeno izrazom

ac = " ... +a'",A =aA+(ac/Ah.

Primjer 8.13 Štap AB duljine l i mase m naslonjen je na vertikalni zid pod kutom ~ (sL 8.32.). Iz tog polož'ja štap počinje kliziti bez trenja pod djelovanjem vlastite težine.. Odrediti ubrzanje težišta e i reakcije u osloncima A i B II početnom trenutRu gibanja. Zadatak možemo riješiti primjenom D'Alembertova principa" U početnom trenutku štap još miruje, pa su mu brzina težišta i kutna brzina jednaki nuli. Ubrzanje težišta ima dvije komponente 3;t i at<> kojima su suprotno usmjerene

198

Točka

e nalazi se na

vektor kutom

tll8/Ah. .1

udaljenosti 1/2 od točke A. pa šiljak vektora 'c raspola viju [z plana ubrzanja vidi se da je
laci I

..th =

<1{'=(u c

)1'1 e

I

Ć:'2'

Takav je izraz, II kojemu se kinetička energija izračunava pomoću veličina v..4' rc i ~ yczanih uz bilo koju točku A presjeka tijela, ne·,rikladan. Ako se kinetička energija ;uačunava pomoću veličina vezanih Ul težište lijeta. vek10r rf' jednak je nuti, a u jJTl\ZU {8J321 ~.. prelazi u brzinu težišta \'c i f"1 tl mom1.!nl tromusti oko USI kroz ldi~!e fIe. lc jc (8.133)

a njcgt.'wc su komponente' ćlx""'accos 'l

lly=ucs.in~.

Uz tal-su kinematicku vezu jednadžbe ravnOteže. u kojima je moment tromosti ml:!

šlapa prema ležiš lu

J c =--. imaju ova 12

rješenja:

3

{lc='4 Y SI11 ~ 3

.

FA=Smg sm2:x

Kinetička energija tijela koje se ranlinski gitla sastoji sc od dy;! člana: kinetičke t,'ncrgije zbog translacije s težištem e i kinetičk~ ~nergije zbog rotacije tijela oko osi kr9z 'težište. Ta 'dva člana vidljiv'a su ti izrazu (},.I J3). Ako se gIbanje opisuje preko 111!kc: dru'ge" točke koja nije težište presjeka :jda. kinctfčka energija se ručun
Vidjeli smo da jednadžbe ravninskog gibar.ja tijela glase

mg(l-~Sin'"} 8"+.2. Kin'etička energija Kinetička

t.2dm

a kako je

1,2 = "V == (\'A

+to X rH"-.~ + ro ;< rl.

to

(8.134)

Mc='Jce.

(8,1351

Ako prvu jednadžbu pomnožimo s promjenom pomaka tetlst
energija čestice tijela mase d m i brzine ~. iznosi dE'~-2~

R=mac

(8.1361

(8.128) (8.137)

je kinetičku energija cijelog tijela (8.129)

(8,138) Nakon množenja dobiva se izraz

E,~~ JVA'VAdm+ fVA·(
(8. I 30)

Mcdrp='Jcwdw=d ( 'Jew') -2~ ,

(8.139)

Zbrajanjem tih jzraza dobiva se U prvom je integralu VA' "A = L~ s obzirom na integriranje po masi konstanta. U drugom integralu su VA i ID konstante. U trećem integraluje (o>xr)'(IDxr)=di',jer su vektori ul i r kod planarnog gibanja međusobno okomiti. Izraz (8.130) preuređen gl~si

(8.131) m

odnosno (8.132)

200

Dl)

mv' 'J. d ( /+~~ =R·drc+.l1cdrp.

(8.140)

Na lijevoj strani tog ;zra1a"halazi se diferencijaL kinetičke energije tijela dE., dok je na desnoj diferencijal rada rezuJtantne sile reducirane II težište e i diferencijal rada rezuJtantnog sprega J\1c . Rad na desnoj strani može se izraziti i preko sume radova komponenata sila R i sume radova spregova. tako da je

d W= R'drc+Mcdrp= EF,dri+ E Mid",. 201

ne energije Wo=c(2XorI2-c~~/2=3(.'.\'~/2~ a rad vlastite težine 1Fa= -mgxnsin:l. U položaju I ", =0 i ro, =0, a u roložaju 2 r, =v i (!l, =ro= r R. Prema zakonu kinetičke energije (8.141) dobiva se

Integriranjem izraza (8.140) od nekog položaja 1 do položaja 2 tijela dobiva se

(8.141)

3

;:

]

(8.141a)

2

c~ - mgxo sin 1:,

~toment tromosti kružne ploče

'Je = mR1,/2. U položaju .statičke ravnoteZ~ FT=O. a opruzi Fo=cX'o=mgsiua, taKo daje XQ = mg sin x/co Uz te vrijednvsti. te uz w = r R slijedi iz zakona kinetičke energije sita

Izmz lS. J4 il ili njego\< skraćeni oblik (8.1-+ la) jest =1I/..-01l kiut!(tčke clle1"gUe za ravninsko gibanje tijela. Promjena k)n~tičke energije translacije tijela s težištem i rotadje oko osi kroz težište unular nekug odsječka vremena jednaka je radu s,:\'ih sila i spregOql koji djeluju na lijelo. j 10 zbog transiacijskog i rotacijskog pomaka što ga tijelo ~zvrši u tom odsječku vremena. Zakon kinetičke energije ravninskog gibanja tijela ima isto značenjt kao j odgovaraju~'i zakon kod gibanj(l čestice ih kod rotacije tijela oko nepomične osi.

II

i dulje

t'! ,. .L3.

Kinetički

moment

Primj« 8.14 Kružna ploča polumjera R i mase m kOlrIja se bel klizanja uz kosinu pod djelovanjem sile u opru zi konstante krutosti e (51. 8.34a). U početnom položaju I ploča miruje, a ukupno produljenje opruge jednako je dvostrukom produljenju statičke ravnoteže ~b,,1 = 2:';:0)' Odrediti brzinu lcžista f i kutnu Qfzinu c') kada ploča dođe u položaj statičke ravnoteže 2,

i

, Kineticki moment diferencijah.1;mase dm i brzine ,. prema I1ć'pomičnl1j točki O rderemne ravnine (sl. 8,35) jednak .;.: momentu količine gibanja te čestice t iznosi dl'-n=rxvdm.

Cvrstimo li da je r-rc+ fl i

V= 't'e +00

(8.1421

x p. bil će

dKo= (rr.~ pJ x ('·c+w x p)dm.

(8.1431

Za vrijeme gibanja na ploču djeluju sile prema slici 8.34b. Rad na putu od položaja I do položaja 2 vrše sila opruge Fo i težina G. Rad sile trenja fT kod kotrljanja bez klizanja je~llak je nuli, jer se kO
.. "

eu;

"l' J;

:.('~0

o~-----nmr~----

Slika ~US.

KiMtički

moment čestlce dm ['Ir
Integriranjem po cijeloj masi dobiva se kineti~ki moment tijela

~:·Ko-=dTl'c+]I)>< (vc+m x pld·m

(8.144)

ili nakon množenja i izlučivanja konstanti ispred znaka integracije

al

bl

SUka 8.34. Gibanje kružne pio«: uz kQsinu pod dje)ovanjem opruge {al i sile na kružnu ploču u potemom položaju gironja 1 iz kQjeg je krulna ploča puštena u gibanje bez početne brzine (bl

202

Ko=rc

x Vc

Jdm+rc x (lU x Jpdm)+(j pdm) x '·c+ JP x (ro x p) d", . (8.145) 203

Inlegral od pdm jednak je nuli. jer je p vektor položaja česiice dm u odnosu na težište C. pa su drugi i treći član Pl desnoj strani gornjeg izmza jednaki nuli. Veklori bl i p stoje kod ravni .. skog gibanja pod pravim kutom le je p x I'U x 1'1= "1". Integral u prvQm čl '.nu daje ukupnu masu lijel. III, pa slijedi

U prvom elanu na desnQj strani ic=v(". pa je taj član jt,-dnak nulL V drugom članu \"c = ac. a u trećem ro = t: te slijedi

(8.1531

(8.1461

Ko=r.. xlllvc+;]c""

Prema jednadžbi (8J23) gornji izraz jednak je rezultantnom momentu svih 'Sila i 5pregova prema točki 0, te je

(8.147)

dK"

Kinetički

(S.154)

- = Mo · dr

moment Ko kod ravr:.insKog gibanja tijela jest vektor okomit na referentnu ra\'ninu gibanja, Sastoji se.od dva člana: momenta količine gibanja zbog ':ranslacije tijela s težištcm (rc x mvc::: fC x Bel i kinetičkog momenta zbog rOlacije oko osi kroz težište (:7e (O Ke). OI:.;] člana kolinearni su vektori, pa je iznos kinetičkog momenta (.1. 8.36) .

\ 'idimo da :r.akon kinetičkog momenta kod ravninskog giballj{\ tijcb ima isti oblik kao i kt,d gibanja čestice. Rečeno je da kinetički moment Ko leži u\ ijtk okomito na ravninu gibanja presjeka tijeJa. :--Jjegov vektor ima prirast samo po veličini. dok mu je smjer konstantan. pa se u zakonu (8.154} mogu ispustiti oznake vektora. Taj zakon predst a vlja jednu ska)omu jednadžbu prema kojoj je

(8.148)

i

!

(8.1551 lntegriranjem tog izraza unular granica

l,

do iz dobiva se

"

m

Ko2 -Ko, =f !vlodl.

(S.1561

" -~

Slib 8.36.

Kinetički

Kinetički

mQment K. (j $ustoji sc od momenta kolitine gibanja 8 c d i kinetičh\g momenta flcM

fJc(J)z-flcOJ t =

gdje je dp udaljenost ležišta

.

e od trenutnog pola P,.

Kako je tada

DC

= dp

(ll,

.

:7",.

•

,"'

(8,151)

104

je identično s izrazom (8.109) kod rotacije tijela oko nepomične osi. U tom obliku zakon kineličkog momenta primjenjuje se jednako kao i kod rotacije tijela oko nepomične osi.

Na valjak polumjera R i mase m (vidi naprijed sl. 8.30) djeluje konstantan moment A1 tokom vremena t. Odrediti brzinu težišta Vc valjka na kraju perioda ubrzavanja ako je valjak II početnom trenutku mirovao. U zakunu te se dobiva

kinetičkog-momenta

(8.1'57) prema 7l):!latku je,
(ll,

=(J)= ':cl R

•

Deriviranjem izraza (8.147) po vremenu dobiva se

KO=fCX mvc+rc x mvc+g'cro.

(8.156al

Primjer g,15

ili uz md~ +f1c=rlp. što Je moment tromosti u odnosu na os kroz trenutni pol

-'

J Me de ,

mora

(8.150)

b~\l1~;'

" "

sto

moment prema trenutnom polu brzina P,;. Iznosi (8.149)

NU

;to predstavlja integralni oblik zakona kinetičkog momenta. Kada ~~ momen( traži prema težištu C. ostaje u izrazu (8.148) samo kinetički moment Ke = flcf:J· Gornji . zakon pisan za težište ima jednostavan oblik i glasi

flo (8.152)

;= SMedl. o

205

::: komponentama

odnosno (vidi sl. S.30b)

{IJ.\"

2

R

U primjeru 8.11 izračunalo je da je sila trenja F,=2.\f 3R. ŠIO uvršteno II gornji integral daje nakon integriranja i izračunavanja

2.11/

(8.162)

= ,lj

w1.;;;;f sin f}.

(8.1~3)

wz~ip+,frco,f).

(8.164)

Čestica tijela mase dm kojoj je položaj određen vektorom r=exX +crY+ezZ ima kineli("ki mom!:.~nt prema točki O

tC=3,~j{'

dl\o=rx\
8.5. Sferno gibanje

Kako j~ kod sfernog gibanja

V=(f}X

r. kinetički je moment cijelog tijehl 18.106)

Ko=.lrx(wxr)dm.

8.5.L Jednadžbe gibanja Ukinematici sfernog gibanja ili gibanja tijela oko nepomične točke pokazano je kako se odreduju vektori kutne brzine cf) i kutnog ubrzanja i; II f:lzličitim koordinatnim. sustavima. Sustav X ~ Y. Z djelomično je vezan uz tijelo (vidi poglavlje 3.4.2)~ zakreti njegovih osi ovise o promjenama kutova l/t i 8 (sl. 8.37). a neovisan je . o rotaciji 'P,

'Nakon uvrštenja \"~klOra r i uređenja izraz

ill II

komponentama dobiva se nakon množenja

Ko=ex[w x J(r'+ Z')dm-W r JXYdm-wzJ XZdm]+

m

m

'" (8.1 (7)

•

m

S\"aki od inlegraia tog izraza ima značenje ak5ijalnog lli centrirugalnog momenta tromosti, tako da je y

Ko :;;::;:e x (w/Jx - wyfl~:r -

m

())/J xz) +

+e y ( -(o/Jxr+Wygr-CJJzflrz) +

+ez (-(~.y'fl),Z-Wf'JYl +wztJzJ·

(8.168)

Vektor kinetičkog momenta Ko u sustavu X, Y. Z ima komponente

Ko = exi'x + e,K,. + exi'z,

y

koje 'u prema (8.168) određene izrazima

x X Sliku 837, Sferna gibanje krutog tijeta

Kutna brzina (o' tog sustava ima komponente gdje su

IDf =cxwx+eyWY+cz[OZ.

(8.157)

w~=8

(8.158)

ro;. = if, sinS

(8.159)

OJz=l/I cosII.

(8.160)

K x =wxflx -w/Jxy-wzflxz

(8.170)

K,.= -OJ,7,,+w,!J,.-w,7yZ

(8.171 )

K z ; -w/Jxz-ro!Jyz+wxf!z'

(8. ml

Kako je to vec II više navrata pokazano, derivacija kinetičkog momenta po vremenu jednaka je rezultantnom momentu sila i spregova prema točki O ~0!:. .,.. ':-'"~-::;"~"'d"Ko d,=Mo . (8173) Deri\'iranjem izraza (8.169) dobiva se

U istom sustavu kutna je brzina tijela (8.161)

206

(8.169)

f8.17-11

207

Jedinični vektor koordinatnog sustava X. Y. Z derivirati po vremenu isto je štO i pomnožiti ga vektorski slijeva kutnom brzinom w' kojom lotira koordinatni sustav. Izruz (8,174) time prelazi u oblik

te njihove deri vac ije Kx=wx[/x

Pro\'Cde ii sc množenje vektora (8.1571 i (8.169), dobi,,, sc

ili

(1)'

i Ko< Kojima su komponente prikazane izrazima

,\ix

= f.: x ~ ("J)X z - ti.J'zK r

=w

(8.1771

(8.178) ,\1 l =kz+(:)~.K r-w;.Kx,

W

Dobiveni sU izrazi jedllati:nl! gibđl~i'l krutog tijela oko nepomične toeke O, koje povezuju momente oko osi X. 1', Z kao uzroke gibanja s kinematičkim veličinama i dinamičkim svojstvima tijela. U komponentama kinetičkog momenta K x' Kr i K z nalaze se prema izrazima (8.170) do (S.I721 komponenle kutne brzine tijela", i komponente tenzom tromost! u odnosu n:l osi X. Y, Z. U llm su Izrazima {J)x. (!Jr i Wz. kao i svi momenti tromosti (O:'llll aksijalnog ~) runkcijc vremena. pa kod dcrivirHnJa to tct-ba uzeli u obzir. Kada se u jednadžbama gibanja provede deriviranj~ i uvrsle odgovarajući izrazi za komponente kutnih brzina. dobivaju se diferencijalne jednadžbe. koje pored momenala tromosti ,adrže funkcije kutova 1/1, ifJ i 9 i njihovih prvih i drugih derivacija po vremenu.

8.5.2. Srerno gibanje rotacijsko

sime-tričnog

M x = fly;f.}); mz +flx (m x - (O~wr)

(8.186)

M}" = - flz()~(j)z +[/x ((i;y +l!J~(1)x i

(8.187)

M z= flzW z + flX «(t)~l'Ui). - w;"(;)z).

(8.188)

· T~ sujedn~dibe sfe:oog gi~-?ja ~otwaci~sko s~metričnog tijela, kojemu 'c Z os , SlrnetnJc. Cest ll vrlo J· · t' k vazan slucaJ u lflzenJersk01~ praksi J'est SI (tc'O rnamo (JI b anji! sIme' ~.lcnog tlje a o e: nep.omične to~ke, Kod takva gibanja tijelo ima konstantnu rotacIJu npr: ~ko ~Sl Z ifJ=k~nst. I konstantnu preresiju tP=konst. (sl. 8.38), a takoder Za tak vo gl'banje . ·e· .mu Je. l nagib O prema k đ os!. Z . konstantan (S= konst "t ,9 -O) ,.. J · (~.\'.:;;;(:)l".:;;;WZ;:;;: . • a ta o er Je l Wx =w x:;;; O. Uzimajući to u obzir. jednadžbe gibanja daJU ove Izrazt': :

(8.179)

Rješenje tih jednadžbi uz zadane komponente momenata složen jc posao i prelazi okvire ovih izlaganja. Takvi opci slučajevi rijetki su, međutim, u inženjerskoj praksi. Sferna gibanja u inženjerskim problemima imaju svoje specifičnosti. Tijela su obično posebne geometrije, a i komponente kutne brzine u nizu slučajeva imaju određene karakteristike. Jednadžbe gibanja tada su znatnO jednostavnije, a rješenja se mogu dobiti jednostavnim matematičkim postupcima. U naredna dva odjeljka razmotrit cemo podrobnije neka takva gibanja.

(8.184)

Kz z:7z . (8.185) Izrazi (8.1801 do (8.1851 uvršteni u jednadžbe gibanja (8.177) do (8.179 J d' k sređenJa aJu na on

(8.176)

+ez(r::;+w\A:) -('JiK,d

(8.1831

Kr =wr:7x

(8.175)

.,

.H,,; 'Jz~ sin 9 (tP + if cos91-:7xif' sin ~ cos 3

(8.189)

(8.190)

.f '.:

St~cio.narno je gibanje pre?13 .to,?~ '!loguće samo uz uvjet da nema momenata oko OSl Y I Z. ,Momen,t oko OS! X J.edlmje mO.ment koji izaziva stacionarno giban'e (sl. 8.38), a [fl koo~dl~.te: ",. rp I lJ PovezuJe samo jedna jednadžba S uŽroko~ gibanJ' M x' Gibanje je određeno kada su od četiri veličine: ,H ,... o . ct d-be (8189)' .. d "'x, '1/. lp I ~ IZ Je na z, ., tn unal?flJed za ane. Tako npr, a~o se tijelo kojemu su momenti tromosti flx l 'Jz postaVI pod kutom 8 prema OSI Z te ako mu se kod eko momenta Mx dade rOlacija cp. gibat će se tijelo sfcrn'o uz precesiju ;/J odr~đen~ z

z

tijela

Za tijela rotacijsko simetrična s obzirom na os Z, osi koordinatnog sustava Y~ Z glavne su osi tromosti. Aksijalni momenti tromQsti prema osima X l

X,

Y međusobno su jednaki i nisu funkcije \Temena: 17x =:7y, flx=r'!r=O. Centrifugalni momenti~otnosti jednaki su nuli ('Jxr =:7rz ""f!zx =0), pa su komponente kinetič­

y

kog momenta

K, =",.<:7x = :7x 9

(8.180)

K r="',.:7, =:7• .fr

(8,181)

Kz={J).Jlz~:7z (q,

208

+.fr cos8),

(8.182)

y

X

Slika 3.38. Stacionarno gib~ie rOlacijslm'simctrićnog t~icl<4 14 ~. Jed,;· KI:"E;\fATII..::A I DJNAMIK""

209

jedlladžboii1 (8.1891. Pri tom rotacija ne može biti bHo kakva. Preuređenjem izraza (8.l89) doo;,-. se jednadžba

, t/J~

...L

'J , ,,,

, ('Jz-'Jx)eos9

; l?

(0.1911 Q

koja ima realno [jesenje za precesiju ~ samo ako joj je diskriminanta manja ili jednaka nuli. tj, (8.1921

(JI.-'Jx)'ina~os3 - 4 Iz

LOua e

sliiedi da rotacija mora izno$iti . (8.1931

Jednadžba (&.191) uz uvjet (8.193) daje jedan. ili dva realna korije,!a. za precesiju Li uz određenu rotaciju
m Mx=O.

.

.

8.5.3, Pribljžna teorija giroskopa U ter nici su česta sferna gibanja kod kojih tijelo rOlira vrlo velikom kutnom brzinom r;: II odnosu na malu prccesiju 1/1. Do takvih gibanja dolazi kod složenih mracija tijela. kao što je to slučaj npr. S rotorom motora električne lokomotive pri vožnji II zavoju. No tako se gibaju i posebno izvedena rijela specijalno ovješena koja se nazivaju giroskopima (žiroskOPt zvrk. čigra), Obično su to tijela ti obliku diska znarnije mase i momenta tromosti prema vlastitoj osi sjmetrije~ a ovj1!Šena su preko kardanova okvira. Giroskopi se upotrebljavaju za upravljanje i stabilizaciju brodova. aviona i projektila te imaju mnogostruku primjenu u različitim instrumentima. Staclonarf'.tacion.rnog gibanja ,~=O. Kada je /I. komponenta Kr prema (8.181\ bit če zanemarivo malena u odnosu na komponentu K z . l II toj .preostaloj trećoj komponenti određenoj izrazom (8.182) mOže se član kojj sadrži I/t zanemariti, tako da kinetički moment približno iznosi

(8.195)

..

Takt,"' će se gibati tijelo ovješeno ~ te,ži~tu. na k?je ne ?jeluj~, ntkak.~! V~~JS~l lOmenti Kada je 'J > 'J,. predznacI >/I I o su Jednak!. a .terno J' glban)e ~rogreSi\:na precesija 8.39.). Ako je 'J x < 'J,. gibalIje je retrogr.dna precesIJa (sJ. 8.39b).

(sI.

z y x

x Vidjeli smo da kod stacionarnog sfernog gibanja moment M o ima samo X komponentu, pa iz iu.u (8.189) slijedi (8.196) Drugi član na desnoj strani sadrži I/Iz, te se zbog uvjeta da je if,« cp taj član u gornjoj jednadžbi zanemaruje. U pribJižnoj teoriji giroskopa moment tada iznosi '., -'

rJ7.
Mo= al sremo gibanje oko težišta

e

bl bel vanjsk,i.tl momenata. Progresivna (a; i reirogradna tb)

Budući da vektor 1\10 leži na osi X, vektorska jednadžba

(8.198)

preces1Ja

14*

210

211

To je jedHddžb!l swcionarlloy giba/lja yiroskO{Jd prema približnoj teoriji koja vrijedi

samo uz uvjet da je tP >- of· Iz jednadžbe gibanja (8.198) slijedi da ako na girosko) koji ro!ira kutnom brzinom tP ne djeluje nikakav vanjski moment, neće biti pre<;cs1je \fl, Giroskop zadržava stalno svoj osnovni položaj II prostoru određen s osi Z. Naprotiv. počne lj djelovati na giroskop moment M o' dolazi do precesije ~. koja je određena izrazom (8.198). Pod djelovanjem momenta Mo (npr. moment zbog vlastiie. težine na sl. 8.40) neće doći do rotacije oko osiX oko koje moment djeluje, već I!ifpskop 9staje II dinamičkoj ravnoteži. Prema D'Alembertovu principu moment M.. -'jl)dJ, stoji u ravnoteži s momentom Mo od kojega je suprotno t';~mjeren. Moment iYlt n~lziva

se ~iit()skofi5kim

mOIlU!i1tOJ1l

/.1 ;.;>0 bi!

će:

,j; - "'!ii>

-'J,,,,'

Kako je ~ =lip1I ~O i

q, ::QI;:t,130 te gz = e· Hl d,,1biva Se za brzinu vrtnje zbog precesije 900 bu

3142 n,

i može se reči da se .. opiH;"' djelovanju vanjskog:

momenta Mo' Obrnuto, giroskopski moment može izazvat; djelovanje momenta sila, što se javlja npr. kod rotora strojeva. Rotor koji rotira kutnom brzinom q, (sl. 8.41 a) ponašat će se kao giroskop ako iz bilo kojeg razloga dobije dodatnu precesiju tP (npr. zbog vožnje u zavoju, ljuljanja broda i s!.). Zbog djelovanja giroskopskog momenta M, na oslonce (giroskopski efekt) pojavit će se dodame reakcije u osloncima kao par sil~ FA i F. kojima oslonci djeluju na rotor, Pod pretpostavkom da su vektori i lj! međusobno Okomiti (sl. 8.41 b) iznos momenta sprega jest M o ipt/!. a smjer mu je određen vektorskim produktom (8,198) .

=".

.-

y

Slik! 8.42. Brlina vrtnj~ kojom

o)

K~tna ~rzina precesije

ift

x

$",

;',)taČ' pr~e~ijski giba oko osi

i odgovarajuća brzina vrtnje

11

=

ne ovise o kutu [)..

Kod. bilo kOjeg poč"tnog kuta S jayit će se uvijek jsta precesifa. Kod brzine vrlnje k~tac~ od 3142 mm ~ kotač s osovmom obiđe oko osi precesije z jednom u svakoj mmut1.

z

Primjer 8.17 Vlak vo~i kon~t~ntnom brzinom r= 140 km.h II zavoju polumjera 300m. Kakvu pro:n.renu pntlsk:a na ~račnice izaziva svaki par kotača zbog giroskopskog efekt:' ako Je mOment tromostl para kotača oko vlastite osi 'Jz = 180 kgm'. polumjer kotaca r=O,4m, a ra:anak među tračnicama iznosi 1= 1435mm (sl. gA3)?

bl $Iiklt &.-41, Reakcije

II

osioncima izazvane giroskopskim efektom

Primjer 8.16

e

Kotač mase III zglobna je vezan u točki O pomoću osovine D zanemarive --I\I1ll1e·:·PolurnJ!'nromosti-kotača-prema.osi Z (sl. 8.'!-2) iznosi i =0,22 m. Udaljenost

e kotača rid točke O jest b =0,17 m. Ako kotač rotira brzinom vrtnje" oko osi eo, odrediti brzinu vrtnje ". kojom se kotač precesijski giba oko osi z, kada na

I

-1

__rf ~.':::."';".

ležiŠta kotač

djeluje samo vlastita težina i sila

II

osloncu O.

Zbog težine kotača javlja se moment oko osi X koji iznosi mob sin 9, tako da jednadžba (8.197) daje . ("T,.. mob Sin 9=01 • 'Pt/! SID 9. 212

~. .~

\

I

\

v

1

H,

f

l

\ al

213

Za vrijeme vožnje II za\'oju osovina s kotačima sferno se giba oko centra zakrivljenosti zavoja. Kutna je brzina rotacije ip=v/r. aprecesije if;=I'!R. Kao reakcija gin)5kopSK0n1 mOIn:!ntu javlj.l se mom~nt M,) ($L 8.43b} kojemu je iZllo:-:;

'J rl Mo=fJz",.p=_l-.

3. Koristeći dobivene izrnze za momente tromosti valjka iz primjera 8.1. izračuna­ II momente lromosti ~ebelostjene cijevi unutrašnjeg i vanjskog polumjera rt i '2 te dužine I prema oSima X, j' i : (sl. 8.461. Upotr\!biti pravila za određivanje momenata tromosti složenih tijela.

Rr

Rjosenjć,

Tolikim momentom djeluju tračnice na kotače s osovinom. i to u obliku para sila F. F. Prema tome će kotači djelovati na tračnice suprotnim silama, tako da se kod vožnje II zavoju po\"r!čava pritisak na vanjsku tračnicu. a za isti iznos je pritisak n~t unutrašnju lračnicu nlanji. Promjena pritiska odgovara iznosu sile F:

z

Mo rl, rl F=-=-,-= 1581 kN. i

YI

Rr

Zadaci uz poglavlje 8

76

1. Odredili momente tromosti zakrivijenog štapa mase

(sl, 8.44) prema osima x. )I i z integriranjem. Pomoću Steinerova pravila odrediti momente tromosti prema osima kroz težište C. Koliki su centrifugalni momenti tromosli-~

mr ( sin 2::X) J'=T I-.

/IIr",

Rješenje:

h

1I1r' ( 1-

;in''')" ".

ln

mr ( sin 2C() J,=-: l +:z;;- , .

sin' , a-

z

zt ,oJ:!!n,,'cl

x

o 76

x

-L

204 mm

SHk" SA6

S!i~:d

8.-17

Izračunati momente tromosti Jl . i J y šlapa prema slici 8,.1.7. Ckupna težina štap' je G =0,635 N. Debljinu stijenke zdnemariti. Rješenje: Jx =053'1Q-4 kgm'. J,.=4.15"10-" kgm'.

5. Sistem prikazan na slici 8.48 sastoji se od homogenog štapa AB mase m i dva stapa jednake duljine r=O,2 m zanemarive mase, Odrediti brzinu težišta štapa u "enutku kad. je lp = O' ako je štap ispušten bez početne brzine iz prikazanog položaja (",=60'). Rješenje: 0=1,843ms-',

r~ ../ ,

,;;..,;

-Y

,[l2 (1 +sin2.-2.)- ---,-J.

J;e=mr -

"" ....

10Z

Centrifugalni momenti tromosti u oba koordinatna sustava jednaki su nuli,

i

,

/

m

A

B

z" --"!o-*--~ x

y Slika 8.44

Slika 8.45

2. Odrediti momenle tromosti JX" J,. i J:: uspravnog kružnog stošca visine ll, mase ln i polumjera baze r integriranjem. Pomoću Steinerova pravila izračunali '_.'.'''''"''''. _~,.~~~tr~lne_momente tromosti (sl. 8.45). .,

111"

RješenJO: J x =J'=20(3r +21r'),

3~

J'~lOm,

Slika 8.48

6. Puni valjak polumjera r i mase III rotira oko vlastite osi s brzinom vrtnje If. .....,...odrediti potreMRJ""'nstantllil"ffiement kočenja da bi se "aljak zaustavio nakon z punih okretaj •. Koliki je moment potreban za zaustavljanje tankog cilindra istog polumjera j iste mase, ako je debljina stijenke cilindra zanemarivo maJa? U kojem omjeru stoje vremena do punog zaustavljanja ovih tijeJa? Zadano:

r=30cm, m=IOOkg, n=1500min-', ;=500". Rješenje: Af",) =5,625 Nm, 214

M., = 11,25 Nm.

',.,,'/'.' = I.

215

7. Štap dužjne l i mase ln vezan je r . 'IUOĆU . opruge konstante krutosti (' i n~napregnute dužine I prema sllc1 8.41.i, Ako se moment mijenja po zakonu .\1 =k
mg,

Rješenje: w=;6,86s- 1 • m

10. Odrediti dopunske. reakcije u osloncima A i B. kojo se javljaju zbog k"ucentrif;Hllh Ulafll m kOJe se nalaze na kružnim pločama polumjera 1" (~L 8.52). Osovina 5: pločama rotira s lJ = J 500 min - I . . Rješenje: A= -B= -1481 N.

,;;.- - - ' - - - - - i

,

m

'P/

Slika 8,·1')

8. Satelitska antena rotira oko osi:: kumom brzinom OJ. a ima oblik polovice t.nkostjene cilindrične ljuske prema slid 8.50, Odrediti komponente kinetičkog momenta prema ishodi~tu sustava x. ::. z, ako je polumjer ljuske r, dužina I i masa ln. IIlrlw Rješenje: K X =-2-'

n

9. Stap AB mase III i dužine f rotira oko vertikalne osovine zanemarive težine konstantnom kutnom brzinom GO prema slici 851, Stap je u A zglobna vezan za osovinu, a u B pomoću užeta, Odrediti komponente ukupne reakcije u zglobu A te silu u užetu.

z

y

Slik.1 8.52

I l. Homogeni štap AB oslonjen je na kolica prema slici 8.53. U trenutku kada je q>o=60° sistem je ispušten iz stanja mirovanja. Odrediti brzinu kolica u trenutku kada je '1'=45". Zadano: m,=m,=2kg. I=lm, 11=0,501. Trenje zanemariti.

Rješenje: .. = 1.08 mis. B

B

h

Slika 853

12. Valjak se može kotrljati bez klizanja po horizontalnoj podlozi pod djelovanjem konstantne sile F koja djeluje na kraj užeta. U početnom trenutKu valjak je u 216

217

stanju mirovanja kao 11.1 slici 8.5-1-. Odrediti brzinu težišta valjka u trenutku kada ono dore u položaj A. Zadano: b~0.8m, m=20kg, F~IOON.

/

15. Homogeni štap mase III i duljine I ispušten je iz stanja mirovanja u prikazanom položaju prema slici 8.57. U t:>čki B štap se oslanja na glatku horizontalnu podlogu. Zadano: 111= 10 kg, 1= l ITI. Odrediti kutno ubrzanje štapa II počet­ nom trenutku. silu u užetu DA i reakciju u B u istom trenutku.

Rješenje: vc=; lA86ms- l . b

b

Rjeknje: <=8,829 s-'. FA~35.316 N. FB~71,613 N. 16. Homogeni šlap AB duljine I i mase m miruje u glatkoj horizontalnoj ravnini x, .1'. Točka B šlapa prislonjena je uz glatki zid. U nekom trenutku počinje na štap djelovati sila F prema slici 8.58. Odrediti ubrzanje težištil štapa, kutno ubrzanje štapa i reakciju u B u trenutku kada sila počinje djelovati ako je zadano 111.1_ ct.

"\. . "'" "', ,~"'7"'~~~"'=

iF.

/'"

Rješenje: (Ic =

6F cos 2 ct (icx

F.=F F

m(l

+ 3cos 2 :x)'

1- 3 cos 2 ct. ,

I +3cos o.:

e

12Fcos'X ml(l +3cos',)

.

Slika 8.55

Slik.1 8.54

r

13. Homo!:!eni valjak mase m=8kg i polumjera r=OAm (:sl. 8.55) kotrlja se bez klizanja po horizontalnoj ravnini pod djelovanjem momenta koji je funkcija vreme-na M = ,\10 ' eO,51. Odrediti brzinu težišta valjka u trenutku r = 2 s od početka. gibanju iz stanja mirovanja ako je _Ho =4 ?'m.

.(

. B B

y

Rješenje: cc= 2.864 m.'s.

A

14. Homogena kružna ploča Idi na glatkoj horizontalnoj ravnini xy. Na ploču djeluje sila F prema slici 8.56. Odrediti brzinu tenšta ; kutnu brzinu ploče u trenutku l = 2 s ako se iznos sile F mijenja s vremenom prema zakonu F = 2l + 2 (F u N. t U s). U trenutku l=O ploča miruje ..Zadano: m=2kg, r=0,5m. Rješenje: vc= fcx=4 m s -I, (V= 16 :s-I.

m,!

0

e

-;::;?

F A

Slika 8.58

y

17.

O,Sm

x

Slika 8.56

218

B Slika 8.57

x

•

Slika 8.59

Kotač polumjera r i mase m prema slici 8.59 okreće se oko horizontalne osi AB konstantnom kutnom brzinom (Vl' Osovina AB zanemarive mase okreće se isto\Temeno' oko vertikalne osi konstantnom kutnom brzinom (V2- Odrediti reakcije u ležajima A i B. Pretpostaviti da je sva masa kotača jednoliko raspoređena po obodu. Zadano: m, W I , (V2, r, l.

.... ,.

_

18. Mlinski kamen mase m i polumjera r (sl. 8.60) kotrlja se po temeljnoj ploči pomoću ručice 00'=1 koja je II O vezana za vertikalnu osovinu. Pogonski

~-

..

n,

koja je ujedno i kuma mOlor tjera \'erlikalnu osovinu kutnom brzinom brzina rotacije ručice OO' oko vertikalne osi z. Odrediti dopunsku reakciju u osloncu O izazivanu giroskopskim momentom. ako je dužina ručice 1 mnogo l

9. SUDARI 9.1. Sudar tijela bez djelovanja .anjskih sila Pod sudarom razumijeva se kratkotrajni dodir između dva čvrsta tijela, pri kojem se javljaju velike sile na mjestu dodira. Kod realnog sudara mora _se odstupiti od prelposta1"ke da .su tijela idealno kruta, jer su kod sudara elastična i plastična svojstva tijela presudna. Dva realna čvrsta tijela deformirat će se na mjestu sudara. tako da će stvarni dodir biti li nizu točaka koje oblikuju površinu sudara s tangentom T, koja leži u toj površini, .i nonnalom IV .Is!. 9.1\ Kod opčeg sudara dvaju tijela spojnica između težišta tijela Cl Cl nema nikakav poseban po~ožaj II odnosu na površinu sudara, već je ta spojnica dio općeg pravca II prostoru.

Slik" g.60 veća

od polumjera mlinskog kamena 1', tako da se može primijeniti približna teorija giroskopa. Zadano: III = 500 kg. r = 0,3 m, sl = J s ~ I .

Rješenje: F 0= 75 N (sila na

ručicu

/I

u O prema dolje).

,tijelo 2

tijelo 1 ' .

T Slika 9.1. Sudar izmedu dva tijela masa m, i Ma. Površina sudara s tangenl()n'I T i normalnom N te spojnica među težišlima Cl Cl

•

Opisivaaje svih pojava kod sudara i postavljanje egzaktne teorije vrlo je složen ·""datak. Također je i eksperimentalno utvrđivanje svih potrebnih parametara za potpuno opisivanje sudara otežano, jcr je vrijeme sudara dvaju realnih tijela obično vrlo kratko. Moguće je, međutim, uz određene pretpostavke odrediti brzine pojedinih točaka na tijelima nakon sudara na jednostavan način, ako je kinematika gibanja prije sudara poznata. Te pretpostavke ne dovode do većih grešaka kod odredivanja brzina, tako da se izračunate brzine po tako pojednostavnjenoj teoriji vrlo dobro slažu sa stvarnim.

220 221

" Prva je pretpostavka II pojednostavnjenoj teorijj~ da su sve vanjsk~ sile kOje djeluju na tijela za vrije'rne sudara zanemarivo malene II usporedbi sa silama koje se

jaxljaju na površini $udara.

~adalje

se pretpostavlja da se na dodirnoj površini

tijela koja rotiraju oko nepomičnih osi češći su li praksi. U narednim izlaganjima pobliže će biti opisan centrični suda:. sudar čestice i tiJela ~oje rotira oko nepomič­ ne osi, te sudar dvaju tijela koja fmiraju oko parale)mh OSi.

javljaju samo sile u pravcu nonnaJe (normalni pritisak} te da nema na povrsini sudara sila trenja. D\'ije pretpostavke več su mnije spomenute: da su tijela čvrskl.i

def. .xmabilna, te da je trajanje dodira vrlo maleno. Prema gornjim pretpost3ykama djeloyal če kod sud
R,=j SdA.

(91 J

A

Rezuh.mtna sila Rs mijenja se po iznosu tokom kratkog vremena sudara. Od nule. u početkU sudara, raste joj \Tijednosr do nekog maksimalnog iznosa te zatim pada pono\'no na nulu, kada dodir među tijelima prestaje. Zbog djelovanja sila R) i - Rs promijenit će se gibanje tijela I i 2 5 početnog prije sudara na neko no\'o_ nakon što sudar prestaje.

9.2.

Centrični

sudar

Gibaiu li se: dvije čestice masa Ill: i ml ncp\.;$redno prije sudara brzinama Vl i,,::" kojih sc: pravci sije-ku ..(sl. .9.3) P?d kutom x!.':' ~l'. doci će'?O ~os~g sudar~. P,-:d djelovanjem unutrašnjih sda Rf l - Rx pronll.1'emt ce se brzme cestIca. tako. da ce neposred n!) nakon sudara č~.~tjca l;:! l-";lati .brzin~ ~l pod ku.tom .PI ._.~ čest~ca ~112 brzinu Cl pod kutom {J2 'prema tanf;'mi na pm ršinu sudara. Tik prIje 5u~ara cestlce se u 'pr~\"C~_,!1_Qnnate približavaju. ~;,1, n~posredno nakon ~udard dolazI II p~avcu normale do njihoya udaljavanj;[ Za vrijeme $udara "esttee su II kratkotrajnom dodiru. kod kojega se nizHkuju-llV;:l-per"ioda: period' kl"Hrakdj{'l period res1ilUcijc, N

T

m,

o5./ v, Slik'19 ..<. Kosi

CCl1lri~ni sudar

Slika q.2. !;nutrJšnjc nomw1nc $oi!.: na tijelu na ptwrsini sudara

"Kod općeg sudara d,-,:aju tijela sile Rs i - Rs leže na pravcu koji li odnosu na spojnicu težiŠta CiC,:! ima opći položaj u-:pros{otu. Takav. sudar naziva:se eksc€lltriC!tim.!.SiJe ..R$ i - R~ daJ.ć~JjleJlma n~:)Vu 1r~ns)aciJu i rotaciju oko težišta. le tako 'nastaje nOYQ~!2~mje tij~l.i:l_na~~n_ Sl}9ar
'na

da . se k01inearnr

U inženjerskoj

gil,anje

-s.u,'bmne

praksl.J}ajč.ešćLsu .ravnij kosi.centrični

sudara 1:·

sudari

čestica.

Ekscen-

tričrii'sudar'u~prostoruijeđe se javlja" Takav sudar dovodi do općeg gibanja. koje se

može prema Chalesovu teoranu promatrati sastavljeno od translacije s težištem i srernog gibanja oko težišta. Posebni slučajevi ekscentričnih sudara, kod kojih dolazi do sudara čestice j tijela koje može samo rotirati oko nepomične osi ili sudara dvaju

222

U periodu, ~~!1trakcije česti.ce S~ zbog.sila.!!.~ At?_
čestice daje za period kontrakeiie ...."'.-,. lo dO.1,jednadŽbe . ~,.

m,cN + 11I 1 L' l

.-.-.~

sin (;(1 = "J R~dt =1 k

(9.2)

'"

I1l l C N -

m2f2

sin !ll

=- ,'.J. R"dt;;;;:;: -ll<:'

(9.3)

223

Slično

se dobiva za period restitucije

do

l!

12:

mje, s.inflt - m'''N=

"

J Rsdc=lr

(9.4 )

'. 1Il2.('Z

sin#]. -

rH1C:-:= -

"j R",dt =

o brzini. prije sudara te o obliku tijela, Orijcnlm.::ijske vrijednosti koeficijemna restitucije za lijela u obliku kugala kod brzijU,' izmedu 3 i :' lU S-I dane su u tablict 9.1 .Tablica 9.1

(9.5)

Ir

Orijentacijske vrijednosti koeficijenata restitucije k

'.

t\'hHerijal

Koeficijent rcstitucije k

S!.lklo - .51<1klo

0.93

Bjek)ko:il - bjeloko$l

0,88- 0.89

Čelik -

0,5 -0.8

0.% -".-

t, l

ml

l

Cl

Sivi lijev - :ii'.'! lijev

0.4 -0.7

t

Dr\'JJ

dn"o

OA -0.6

(3,

Plceo

pluto

0,5 -0.6

0!0\"0

- olovo

O,12-0.IS

~

- - - --

I10\'J.Č:.t

Kh

rc cije

--,~-----,---'~'

.

k1

II

~,

~

.

.

(9.6)

O O

tablici vidi se da staklo, koie je gotovo idealno

Pomnože li se izrazi (9.2) i (9.3) s k~ mogu im se lijeve -strane izjednačiti s lij.evim stranama izraza (9.4) i (9.5), jer će im i desne strane prema (9.6) biti jednake. TIme se doblY;l nakon kraćenja s mj odnosno ml kc~+kvl

siniXl =C1 SiofJl-CN

(9.61

kcl'- kV2

sin a 2 = -Cl sinP2- ('~.

(9.11

Iz tih jednadžbi slijedi za koeficijent restitucije izraz

(9.1)

diila~-;o"iii'iite'iijalu koja se sudaraju, a određuje.se.eksperiinentalfio.On ovisi i -- - . 'lijela . ,. ' . . . .-",-

224

II

k

~par idealno elastičnih. tijeja. bit. će k ~ l (potpunoe!as![č.ni ~'!d.ar), . .LU plašiična tijela k ;""O~JporpunoplastičnLsudarL!<,oeficijent restitucije ovisi,

idealno

kit (,lažno)

.

O;'i;k~.L

(vlažno J

restit~cije I n~. p~stoji, ŠtO je u skladu i s energetskim zakonima. Naprotiv u prirodi postoje mateqtah s koeflCijentom restitucije Q. Kod sudara čestica iz takvih materijala nema nakt.'>n sudara razd\'ajanja II pravcu normale.

periodima kontrakcije i jij.alno' eJ"slič·

I r= tt.1 .----. gdje je k ~o restitucije. Očito za k mora vrijedili" relacija . ..ficijenl . _. . ... . . - je da -, . '.. ~....'

ilovača

elastičJ.o malerijal~ ima koeficijent restitucije manji od 1. Materijal s koeficijentom

Slika 9...1.. Promjena s.ile R~ u vn::menu t la vrijeme p1:riodu kontrakcije i restitucije

sile Rs

~

-

Iz navedenih primjera

er-ioel restitucije

eriod 0[1:

čelik

c, sinp, +c1 sinp, VI sin (XI + v2 sin az .

(9.8;

Dobiveni izraz vrijedi samo za sudar čestica koji se odvija prema slici 9.3 i ne predstavlja neku univerzalnu formulu. Izraz (9.8) ima jednoznačni fizikalni smisao koji vrijedi za :we sudare, U brojniku tog izraza zbroj projekcija brzina nakon 15 S.

J.:.;ić: KI}':E'·~H1K.-\ J

D1S.-\\llKA

225

sudara na normalu predstavlja zapravo relativnu brzinu udalja\>anja čestica II pravcu nonnale nakon sud.:ua. U nazivniku je zbroj projekcija brzina prlje sud,.tra na normalu. što je prema slici 9 ..\ brzina kojom se česlice relaliYno približavaju po pravcu normale. gp~e,f!i!9,J::e" vrijediti da je koeficijt'1H reslilw:ije omjer reimhu' br:i!lf! uda{iolUwja i:L's(icCI nakon "'1!dt/nI, i br::i::~.p'rib1i:;,w(lllj(l prije sudam yiedm!q. It pi'~IZ:C'.~. l1()I'Wl1!e: I!.udući

da za vrijeme sudara na čestice djeluju, prema pretposluyci, samu unutrfišnje sile R;< i - Rs•. prema zakonu' količine gibanja za sustav čt.."Stica nap:,sanom za 'period '1 0 do II bit č\! fB!2

2:'BiV=O,

(t}.91

što znači da je suma količina gibanja čestica prije i pO!'-iije sud~tra jednaka. Skal::j'n~l za pmvac norm"le za sudar pre"", slici '9.3 daje jednadžbu ' ....

Konr!lmie-luifjednadžtre-(9~")napj$ana mlclsinfJl-llJ:!c2sinf3~ Slično

(

J1!lr\sin1.!'1'"mlI'1sinx2)=O.

(910)

Brzine

CI

srcđenja

i

+ lUle;! cos ,12

(ml!' I COS Xt

J1t 1 1J11 ,-:; -,1-2:)(",-{',Jl ---o -

cos (Jt - rl COS.hI) + lill (e.'! cos /1 2 - 1'2 cos:)!:.: }=O.

da u tangencijalnom pravcu nema sila nil česti~e. P~ n.e '!lože biti ni . promj6~~' ~
C2

cos P2 =t: 2 cos ~::! •

(9.14)

Izrazi (9.8). (9,10), (9,13) i (9,14) daju četiri jednadžbe iz kojih se uz zodani koeficijent restitucije i zadane vektore brzina prije sudara mObU odrediti čelir~ nepoznanice vezane uz brzine nakon sudara. To su iznosi brzina Cl i c2 te kutovi JJ, I P2' Ni jedan od spomenutih izraza ne predstavlja za rješavanje zadataka gotove formule. Kod svakog zadatka, ovisno o uvjetima pod kojima se sudar odvija, treba te izraze ponovno postaviti. a to su: - izraz za koeficijent restitucije - komponenta zakona količine gibanja u pravcu normale - jednakost tangendj.lnih komponenata brzina svake česlice prije j poslije sudara, Kod sudara realnih tijela dolazi uvijek do gubitk"~J(jnetičke energije, jcr di'č.!" ene~e1azl II rad trt\]nog aefonmra~nla tl)Cfa u okolišu površine suoara;a di~ u toy-linsku energ!.i"..zEE.g_!.'!'!'!a između mOleKula '!Jl1Jta~_riiaiiffifaTa.-Targubltak Kinetičke energije Iznosi -- . --.. ~-- ..- IE". (9.15)-"

m,

G

m,

Rečeno je

cosf3 J =r 1 COS 'll

v,

V;

O

v, .......!:!.

a)

m,

G

N

bl

Sitka 9.5. IC\vni c.:-nl(i~ni ,;udar

s~dar~_mo~e,_90~~~~~~~_t~ da je_,l;1 >vz. Nonnala na sudar ujednoj~j..,prava.c ~lbanja. ob,I~.~~sttca.'_~ u"svlm lzrazll!l~ ~oji 's~'napisani za opci kosi sudar kutovi lXl 1.~':XZ' [~ PIJ P-l !znos~ 9.9:o._r?~t~~~k rJes~vanJa ~d~l_~~a-r.~~J;lOg suda~~ _~_e razlikuje ~(,; o~ -anue __oplsanog za ~OSl..D lZrazu za k~e,fic1Je~~ re~t.itucije dolaze brzine poslije

l, p:lje s~dar~ u_ pU,nol1).Jz~osu. ?;ak?n k~I_I.člne gl~anj~ ima samo komponentu "mjeru gibanja ceslica, a tangencIJalnIh kompon-enu brz103 nema,

.

-._---_._-----_._-

,~----

..

II

-'--~.--.~.-

Primjer 9. I D,v!je jednake ~estice sudaraju se pod uvjetima prikazanim na slici 9.6a, Odrediti ~~ktore brztn~l nakon s~dara i gubitak kinetičke energije, ako je zadano: r, =4ms ,v,=6ms , a,=60·. 111=0,1 kg, k=O.6. ~ . Koeficijent restitucije jest omjer brzine udaljavanja prema brzini približavanja .:cstlca u pravcu normale, pa je k

Cl

sin PI t'l

(9.16)

(9.171

ml +111 2

;;;

O

(9.11 )

CI

(9.16) daju nakon

Poseban slučaj cenU:ičnog sudara jesl rat'lIi Hi dir{/km! celIlritlli sudar. Do takva :udara ~olazi ~ada S.U brz}~~ :VJ._L~·1 čestica 111. i ml Jirije sudara kolineatni veKlOrL ~1~.7.n.a.c! d~ l~ze na ~stom pravc!;JS!_:__ ?_._~). . S~jer br~ina može kod loga biti isti (sl: },)al III sup~o~an (~I_:_9-5l?J t\k~ J.e Sl~!SaO brlIna 0blh čestića jetlnak, očito je"da do ml

+ "'2t'~ cos X:d =0

II

Vidi se ~a je gubitak kjn~:ičke__energije_najvećLkada je k=O (potpuno plastični suda!),_Kod _p~tpuno e.lastlcnpg ,s?dara (k = II nema gubitka kinetičlw eiierg~ realn?m _slucaj.':' .to ne~ce .~astupl~l, Jer se, kako je rečeno, dio početne kinetičke ~.~e~~_!Je _!~dne.1 d.fUge cesltce trošI na trajnu deformaciju, toplinu i 'vi~nicije 'čestica tlJela ._kQ.lč .traJ!.!. l nak_on -s.~d~.~_ Zato kod realnog sudara uvijek postoji gubirak kme{jcke energIJe. il koefiC!Jent restitucije nikada ne može biti jednak jedinici.

odnosno ml {t']

izračunate iz ranije spomenutih izraza uvrštene AE _1(1

se dobiva jednadžba za prayac tangente lIlIC, COSPl

Cl

+ c2 sin pz

+ Vl sin 1X2

a)

Komponenta zakona količine gibanja u pravcu normale napisana za sustav daje jednadžbu

čestica

bl

226

15*

227

U pravcu tangente brzina svake čestice ostaje nepromijenjena, tako da je

c, cos p, =0

cl

v2 cos %2=C2 COS{J2'

dl

N

c,

Y,

~

j! ~1

,,

,l

N

! {J,

Primjer 9.2 Autobus mase ml i osobni automobil mase m 2 (st 9.7) sudaraju se rrontalno. Oha vozila imala su prije sudara iste iznose brzina v, =v, =80 km/h. Pod pretpostavkom da su vozila nakon sudara ostaja zakvačena i s kotačima na istom pravcu kao i prije sudara odrediti zajednIčku brzinu e nakon sudara. Načj prosječne iznose sifa na čovjeka mase m u autobusu i onoga u osobnom automobilu, ako je sudar trajao 111 sekundi. Zadano; ill, =5000 kg, m,= 1000 kg, m=80kg. fit=Q.5s.

-v,

r 2 Slika 9.7. front-utni sudur vozila

bl

al

"

Ako je brzina čestice l nakon su~ara r~zličita o~ n,ule. ~.ora prema jednadžb.i:) bit j cos/J =0 odnosno fll =90-:', Čestica l giba se prtje l poslije ,~udara po nonnah.Jer ne post~ji nikakav impuls koji bi čestici ~ao br~inu u tangencIjalnom pravcu. Preostale tri jednadžbe daju o\"a rješenja za brzine CI I c2 te kut P2:

c,

=i [-

V,

(1- k)+

Prema uvjetima pod kojim su se sudarila vozila sudar je bio ravni centrični, i to potpuno plastični. Koeficijent restitucije jednak je nuli, jer je nakon sudara brzina zajednička, Nema relativnog udaljavanja, Zakon količine gibanja daje jednadžbu C(IIII

odakle slijedi

zajednička

r, (l + kl sin a,]

+ m2 ) -

(ml rl - fIl1L'21=O,

brzina nakon sudara ml

+ m:!

53J km/h

J 4,815 m/s.

Oba vozila gibaju se izračun.tom brzinom II smjeru prvobitnog gibanj. autobusa, što znači da je autobus samo smanjio brzinu s 80 km/h na 53,3 km/h, dok je osobno vozilo promijenilo i smjer gibanja. Prema slici 9.8 ubrzanja al i a1 autobusa i osobnog vozila imaju prosječne apsolutne iznose:

cos {J,

fl-C

!an

al = - - = 14.815 m/sl

v

fit

Nakon U\:rštenja zadanih vrijednosti i izračunavanja bit će

(\ =3 357ms-

1

1

t"l+C

0,=--=74,1 m/s'. 111

c,=3.6'17ms-' P,=35.754' , Gubitak kinetičke energije jednak je lazlici kinetičkih energ;ja prije i poslije sudara, tako da je fiE

odnosno

228

mt~

t

nu:i (mei - +m~) -

, =2- +2- -

2

automobH

2

Slika 9.8. Dijagram promjene brzina aUiobusa i osobnog automohila za vrijeme sudara

"2

229

a uz pomoć da je cosfJ= I

tako da su sile na čovjeka u autobusu. odnosno u osobnom automobilu

= III tl I = 1,185 kN F2 =1/1(/2 = 5,928 kN.

./1+ lan! {J slijedi iz (9.21) brzina e nakon sudara:

FI

1

D'Alembertova sila na čovjeka u autobusu djeluje u smjeru vožnje autobusa, dok u osobnom automobilu ta sila djeluje suprotno i po iznosu je pet puta veća.

Kinetička

9.3. Udar čestice o nepomični zid ',',

Ko~ naleta čestice mase

~lasličllog sudara.. (k = l) kut jj pod kojim se čestica ~_~.,?I}~. od zl~_a Jednak k_~tu =x pod kojim čestica udara o zi4..-C,lOm su sluČciju brzine PflJ~. I .r0:hJ~ sudar~ Jednake. __ .~\~o je sudar. potpuno plJstičan .. (f;;-ur,-nema l)dblJanJJ cestice od Zl~~ (/1=0), već čestica nakon sudara klizi po zidu' tangencijal-' Ilom kOlllponen(~)m..~r.?me ('= l! cos 7.

__ ~'j~~.}~ da )~ _.~~~d .potPUlll)

pod nekim kutom ::c na nepomični zid (si. 9,9) sudar se, može odrediti jednaka kao i kod koso g centričnog. sudara dviju čestica. Masa nepomičnog zida praktički je beskonačno velika (ml =:x. J. a brzina prije sudara . jednaka je nuli (VI ~O). Ako se zakon količine gibanja (9.10) napisan u pravcu normale podUeli s ml Si~P_L.~ .~~_~.~~~~~e

energija kojJ se gubi kod sudara iznosi mL"~

(9.18)

III

cl

!!.E,~--·-

ln

2

ŠIO uz romoć izrJza (9.231 daje

(9.24)

2'

(9.25) U..~I.~~~.(u. .p~tl?~no .ela~~~čno~ s~da~a ne~a ~~bitka kine.ti~.~e energije: Ll El( = O~_ K9~. potP~~o )lasučno~ su.d.ara b.lt.ce .1E.. :::::;.m (t: sg~ Kod .takva sudara dio kinetič­

,:cl/?:

k~. en.erglje zbo~. normalne komponente brzine V sin ~ prelazi u"drugi 6blik~ 'iiko'aa kmetJčka e~er~lJa nakon potpuno plastičnog sudara ovisi samo o tangencijalnoj ko.mp·onent!, lj. E\i.=m (rcos-:c)2/2.

T

Primjer 9.3 Čestica udara o dva nepomična zida nakon čega ima brzinu c., (sl. 9.10). Odrediti vektor brzine Cl' ako je koeficijent restitucije kod oba sudara k =0,8. IC ako je l=45" i 1'=60=. Brzina čestice prije prvog sudara iznosi l'= IOms Pretpostaviti da se čestica nakon prvog sudara pravocrtno giba do kosog zida

N

m Slika 9.9. Udar čestice o nepomični zid

UJom izrazu skladno sa slikom 9.6 bit će C2 =C, P2=P, omjer m2/m l jednak nuli, a k~ko je i VI =0, to j~

l'2=V

i

1l"2=1l·

Nadalje je (9.19)

1=0 značj, ~a jednadžba koja s~~ 90bije p~~al?jem komponente zakona količine gibanja . u .pravcu n00ii8..le POKaZUje da nepomični zid i nakon sU.~~ra. 9$~aje nepomičan, ~ko' da'o~~t !~~4nad~~...~~.d..rj~~ay.~nj{LZ_a..da,taka _nemamo. koristi. Dva izraza pomqću kojih se rješavaju p~qblemi sudara čestice i nepomičnog zida jesu i~~ai. za koei1cijent restit~cije .te jed,nakost tangencijainih komponenata _~I3!~a_ če~~~.t_~_PQ~I.ij~ ,~.u.Q.~1~~~9.~~i.. ~~ se...k.~Jicije~t restitucije ov?je svodi na .~.~~jer crzma čestice poslije i prije s~dara u pravcu normale_ to ta dva lZI'a~ glase: C

sin f3

V

sin II

Slika 9.10. Udar

k~--

,(2.20). (9.21 )

vcosll"=ccosf3. Dijeljenjem tih jednadžbi dobiva se izraz za kut nakon sudara: tanp~k tana.

p pod

čestice

o dva

nepomična

zida

Nakon prvog sudara čestica ima brzinu CI pod kutom PI prema horizontalnom zidu. Obje veličine određene su izrazima (9.22) i (9.23). tako da je

kojim će se čestica gibati

tan/JI

(9.22)

CI

~k tan a =vJcos 2 0:+

/

e sin

2

a:.

, / ,...J

231 230 '."'

Koeficijent restitucije prema lome je

Uz zadane vrijednosti dobiva se iz gornjih izraz" c,~9,055"'S '

.

'

k=

/1, 38,66. Brzina c, početna je brzina kod drugog sudara, a česlku kutom ", ~ y- /J, ~2L34·. Nakon drugog sudara bit ce

P~prijcđc čestica za vrijeme

dolijeće do kosog zida pod

laojl,=k '.0(';-/1,)

Drugi je $udar Ologuć sam? ako ~e t':> Pl' štO je u h."\m zadatku ispunjeno, !"akon brZinU Cl I kut Pl da su

izračun~Y;mja slijedI za

II

Ih.,

{h'

1=.ji'hiiJ,

dok Je za III potrebno vnjerne

=·../::'I:,/g. Ukupno vri,'eme 10 od početka padanja do kraja prvog odskoka kuglice

jeste

II

kako je

Jh; = k.ji, .'.' je

r,=8,837m'-'

T,.= i2h{l+k).

..J-;;

(I, = 17.357' . Slično

se dobiva za vrijeme koje protekne od početka drugog padanja umirivanja čestice nakon drugog odskoka na visinu h].:

Primjer 9.4

Koeficijenl reo;;ti{ucije može se odrediti na taj način da se kuglica mase tn ispusti s visine I, da sl0b~dno pada na ravnu nepomičnu podlo~u beskonačne ma,:" (sl. 9. J II. I, izmjerenog Hemena, koje je ~otrebno d~ s. ku!!!,ca .nakon nl~a odblJanJ~ potpuno umiri. dobiva $e "j~računa\"~nJe.'!l ko~tictJent reStitucIJe, Odred~tl ural ck,OJ~l daje odnos između koeficijenta reslltUclJe k I vremena T potrebnog da se kuohcif umiri. m

T, Za

treći

$

visine lt, do

Jn

r~h

~k(l,d,. g

f'+{'=I-I(I+kl

• " B ciklus potrebno vrijeme iznosi:

T,= f!2(1+k)=j2h k'(I+k). 'i g

rf "\, tl , '-

,,

,o'

Teorijski postoji beskonačan broj takvih ciklusa sa $ve manjim vremCniOHl. Ukupno vrijeme do urnirivanja je5le

~

h

g

T=1(,+T,+T,+ .... odnosno

T= ff(l +k)(l +k+k'+ .. ).

\: g

je zagrada na desnoj SITani geometrijski red u kojem je O< k < l. Suma tog reda Jest konačni brOJ 1/(1 - k), tako da je ukupno vrijeme do zaustavljanja čestice Drug~

t /

Slika 9.11, Slobodni pad kuglice na ravnu PQdlogu

Kod prvog udara kuglice o podlogu brzina prije udara iznosi BuduCi da je sudar ravan (kut ~=90'), koeficijent je restitucije k=c!v, tako da je brzina nakon prvog sudara kuglice i podloge

c=ku. Zbog te brzine

'. , 232

s iznosom IH J-

v=J2gh.

"

konačna veličina

f2h.

;jfi

Koeficijent restitucije k dobiva se iz gornjeg izraza. te rješenje zadatka glasi

T-fi

čestica će doseći visinu hl =c'/2g, pa je c=J'jgh l

·

233

. I

9.4. Sudar

čestice

i

rotirajućeg

Ako je nakon sudara brzina čestice napisana sa svim pribrojnicima glasi

tijela

:.fa slici 9, II prika:nn je oPĆi sudar čestice mase ml i tijela mase 1Il1 koje rotira oko osi OO' prije sudara kulnom brzinom ((). Moment tromosti tijela prema osi rotacije jest fiz, Kod takva sudara čestica udara o tijelo u točki A brzinom Vl kOja u odnosu na os rotacije leži općenito u prostoru. Uz koordinatni sustav x. y, z II točki A koji je takav da je os rotacije paralelna s osi.z k..'lličina gibanja čestice B t =m) VI ima jednu komponentu paralelnu s osi rOladje j dvije koje su II ravnini okomitoj na tu os, Komponenta koja je paralelna s (')~i rotacijI? izazvat će u trenutku sudara dopunsku reakciju II aksijalnom smjeru II osloncu B'. Preostale dvije komponente također će izazvati dop:m;ilke reakcije tl mjQncima. ali u radijalnom smjeru, Pored toga te dvije kOn1ponen~c , djelovat će na promjenu rotacije tijela.

Cl ~

a kutna brzina tijela

a,

gornja jednadžba

(9.28) To je prva jednadžba pomoću koje se rješavaju problemi sudara čestice i tijela koje rotira prema slici 9, l3. Kada su gibanja čestice i tijela prije sudara poznali. ti toj jednadžbi su samo dvije nepoznanice: CI j Q,

Druga jednadžba dobiva se postavljanjem izraza za koeficijent restitUcije, kao što je lo izvedeno kod sudara čestica. Na kraju perioda kontrakcije se u pravcu nonnale giba 7..3.jedno s točkom A. Komponenta brzine točke A u pra\'cu normale u tom trenutku (t,) jednaka je umnošku duljine I (sl. 9.13) i odgovor.juče kutne brzine tijela (J:l. Za period kontrakcije bit će T.akoni kinetičkog moO)el11a čestice i tijela slič-no čestica

mI Cl/12 -m l r j

:= - "J Rs/dr=

IJJ,;

(9.29)

'" (9.30)

v,

A

Slično

N

z Slib 9.12. Opel sudur

čeSI ice"

i lij.:la koje rotira

Slika <1,13, Ravni ckscentrieni SUd
Takav opći sudar čestice i tijela rijedak je u inženjerskoj praksi. Za praksu je važ,,;ji poseban slučaj kod kojega dolazi do sudara čestice i tijela II obliku r~vne ploče koja rotira oko ovjesišta O~ i koja ima moment tromostI oko 051 rotaCije [Jo (sL 9.13). Na zbivanja kod takva sudara utječe samo nonnalna komponenta količine gibanja čestice, dok tangencijalna ostaje prema pretpostavkama o sudaru nepromijenjena. Kada se brzina čestice prije sudara poklapa po pravcu ~ nonnalom N. sudar je ravan, a ako težište e nije na nonuali. tada je i ekscentričan. U daljnjem tekstu bit će govora sa.mo o ravnom sudaru čcstice i tijela, koji je prikazan na slici 9.13, jer se kosi sudar praktički uvijek može svesti na ravni, promatranjem samo normalne komponente brzine. Osnovni zakon koji se primjenjuje kod tumačenja sudara čestice i tijela jest zakon kinetičkog momenta. koji napisan u integralnom obliku za os oko koje tijelo rotira (točka O na slici 9.13) glasi:

(Koh-(KQ },,=

"f M.dr.

(9.26)

Ovdje je (Koh kinetički moment tijela i čestiee nakon sudara (trenutak 1,1 a (Kolo zbroj kinetičkih momenata čestice i tijela neposredno prije sudara (trenutak .. ). Pod pretpostavkom da se i ovdje zanemaruje djelovanje vanjskih sila bit će njihov moment Mo oko osi rotacije jednak nuli. pa jednadžba (9.26) poprima oblik

(Koh-(Kolo=O. 234

(9.27)

"

vrijedi i za period restitucije:

m j c j l-m 1(JJ'12=

-

'Jo Q- 17ow'=

"

"

J R,Jdt

IIr

J R,Idr=Il,.

'.

Buduć; da se i ovdje može primijeniti Newtonova hipoteza, po kojoj je . jednadžbi (9.29) i (9.31 J, odnosno (9.30) i (9.32) dobivamo:

(mIm'P - ml VIJ) k= nl 1c11- mIw'll

('Jaw' - O'ow) k ='JoO. ~'.

g;,,,,,.

(9.31 )

(9.32)

kI" to iz (9.33)

što daje izraz za koeficijent restitucije

QIk=---;

v,

(9.34)

Koeficijent restitucije jest, dakle. kod takva sudara relativna brzina udaljavanja kroz relativna brzina približavanja li pravcu normale čestice i točke A tijela. Pomoću jednadžbe (9.28) i izraza (9.34) rješavaju se zadaci suđara čestice i rotirajućeg tijela, kada se sudar odvija prema slici 9.13. Te izraze ne trebe shvatiti kao univerzalne formule već ih kao i kod sudara dviju čestica treba kod svakog

zadatka postaviti prema uvjetima pod kojima se sudar odvija. Kinetička energija prije sudara sastoji se od kinetičke energije ćestice i kinetičke rotirajućeg tijela. Nakon sudara koji nije potpuno elastični (realni sudar) doći će do njezina smanjenja. To smanjenje kinetičke energije iznosi

energije

t.E. = ml';: + :70 w' _ mIC; _ :70 0'. 2 222

(9.35) 235

Samo u idealno elastičnom sudaru jest /j.E" = O. Kod realnih tijela, kako je rečeno. dio početne kinetičke eneLgije troši se na plastičnu deformaciju tijela i toplinu stvorenu trenjem među molekulama tijela i čestice.

impuls jednak nuli. pa uvjet da se za vrijeme sudara ne prenosi nikakva sila na oslonac O glasi

Poseban problem kod takvih sudara jest udarn(l sila II osloncu O tijela. Za vrijeme kratkotrajnog djelovanja sile Rs u točki A pojavit će se dopunska sila u osloncu Fo (sl. 9.14), koja zbog kratkog trajanja sudara djeluje kao udar u osloncu.

Iz tog uvjeta može se izračun'ati položaj točke A takav da kod udara čestice ne dođe do pm·ećanja reakcije u osloncu O. Pripadna točka B na osi y zove se centar udara.

10=0.

(9.401

Primjer 9.5

y

Pocetna brzina zrml ispalje.lOg iz oruđa jednostilvno se može izmjeriti pomoću balislickog njihala (sL 9.15). ,;·rno mase IIII zabija se početnom brzinom rl u miruju(-c njihalo ((1)=0) izaust;;!; lja se II točki B. Zbog djelovanja impulsa u točki A doći (-c do rotacije njihala kutn',ml brzinom Q i do otklona ({J. kod kojega njihalo staje. Izračunati pocetnu brzinu zrna l·1 ako je io polumjer tromosti njihala prema osi kroz O. Na kojoj udaljenosti lo od oslonca O treba ispalili zrno da II osloncu ne dođe do udara·? Zadano: 1111 =5 kg, ml = 1000 kg, 1= 10 m. b=5 m, io=6m, cp=60·

x

iisltl

b Slika 9.1-1. Sile na

rotirajuće

tijelo kod sud;lra s

česticom

Silu F o' koja je proc1jenljiva tokom perioda vremena ro do 12 , nije moguće odrediti bez poznavanja promjene sile Rs. Zato se djelovanje dopunske sile u osloncu analizira pr{'ko impulsa lo koji se u osloncu javlja unutar vremena sudara. Primijeni li se zakon količine gibanja za sustav čestica (7.21), bit će II

B, - Bo =

J R, dr + J F o dr.

lO

;

m,

r:

A

(9.36)

'S

,-_-+__...s-m2' I~

Ir,

Slika 1}.15. Balislicko njih;!!o

Količina

gibanja ovdje je jednaka masi m2 tijela koje rotira pomnoženoj s brzinom težišta vc. Prvi integral na desnoj strani jednak je impulsu I .... u točki .4. kojega se iznos može izračunati iz zbroja jednadžbi (9.29) i (9.31) ili (9.30) i (9.32), te je

Kinetički

udara zrna

II

moment prema točki O ostaje za sustav zrno-njihalo prije i poslije njihalo nepromijenjen. tako da je IIllcll +Q'o Q- 1111 t·11 = O.

(9.37)

Zrno se poslije sudara giba zajedno s njihalom i Ima brzinu

('I

go=m2i~ biti

"

Drugi integral jednak je impulsu lo u osloncu, pa se iz (9.36) dobiva

odnosno

=IQ, pa će uz

( ""i5)

(9.38)

r, =IQ 1+--, .

(9.39)

energija njihala i zrna nakon sudara prema zakonu Održanja mehaenergije prelazi u potencijalnu energiju položaja određenog kutom
111 1 /-

odnosno

Kinetička

ničke

Brzine težišta prije i poslije sudara izračunaVaju se pomoću pripadnih kUlnih brzina, tj. vc.=bQ i "c =bw. Kada je težište na osi)" jednadžba (9.39) je skalama. jer su svi vektori paralelni s osi x. Dopunske reakcije II osloncu neće biti kada je njezin

fl. Q2

_0 __ ~

1111C

2

+ __' = ""gl(l-cos 'P)+"',gb(l-cos 'P). 2 237

236

.,

'"I

,,,',"
Jr.

Ovdj~

je ponovno (', =IQ. pa iz gornje jednadzbe slijedi za kutnu brzinu njihala nakon sudara izraz

1;~-~~;I-,-i~~~~2~T(1 ~~~~S!p~,

Q=

m,I-+m~Fu-

\

sto

trrr:;leno

tl

izraz za brzinu

=I

r I

CI

daje

Z,L rrijeme sudara javljaju se nlo velike normalne sije na površini sudara. Te sile mijt!njaju SI!' s vremenom jednako kao i kod sudara čestica. U pr:riodu kontrakcije (rll do ll) sile rast:.. od nule do maksimalnog iznosa, a zatim se u :1criodu restitucije {I t do l] J :smanjuju i tl trenutku 12 potpuno nestaju, Na slici 9.17 :);.tcrlane su te sik kako djeluju na oba tijela u trenutku tl; kada su kutne brline tijda m; i w';. U lom fn:nutku kt'mponcnl.t' brzina točaka Aj j A:J, u pravcu normale jl'dnakc su i iznose e, =1,('J; =:;0;> tako da 5U tada kutne brzine mčdtl~obno kincmutčki vaanc.

(1 + 1~12i~) /:'1 1~:~!.!l~J.:h!_i_~-=-~~_!!" m/l \J" J!l112+m2i~ "

Li': zadane vrijednosti Intžena brzin .. rl

il!lOSi

=S.50,5ms- 1 ,

Prema izrazu (9.39) i (9.371 dobiva se za impub u jednadžba I:

Dopnn~ke

'~I

točki

O {jedna ;,;kalarml

A'

reakcije u O$lon<:\1 O nete biti ako 5e zrno ispali na udaljeno:'li Jn od

I

oslonca uz koju je lo;;; O. ili


'

111 2 Qb--Q=u.

lo

.Kako jc flo;;;;; Inzifj, lo se iz gornje jednadžbe dobiva Za udaljenost centra udara od

(\SI()nC~l

$1O L1l.

9.5. Sudar

'J, sm.;19.!(., P;l(,lldnil:.

zadane vrijednosti daje

rotirajućih

St;d~r o~i

Za Određivanje kutnih brzina Q I j !ll nakon sudara potrehnc su nam dvije jednadžbe. One slijede iz zakona kinetičkog momenta koji se u i!ltcgrainoJl1 obliku moze napisali za svako tijelo. Prema slici 9.17 bit će Za period kontrakcije

g,,,,; -g,,,,, = - "J R,I, dr = -1,1,

tijela

istog smjera.

238

(9,421

'"

rotirajuća tijela y.rije~e iste pretpostavke suda-i~Cuvil~te'stical1i ~~daia-Iedne čestice- s tijeIonl koje rotira. Te

pretposta-vke odnose se na-utjecaj' vanjskih sila na zbi\'anja za vrijeme sudara. Zbog '\'rlo yelikih sHa na mjestu sudara izmoou dva tijela djelovanje je \'anjskib sila zanemarivo. Nadalje se ni utjecaj sila rrenja na površini sudara ne uZlma u obzir, tako da su za zbivanja kod sudara dvaju rotirajućih tijela mjerodavne samo nonnalne sile koje se javljaju na povrsini sudara. i koje djeluju za vrijeme sudara kako na jedno tako i na drugo tijelo. Pod djelovanjem tih sija mijenjaju se gibanja tijela. -Kt,l~ne, brz.ine~.jednog,L.9.rEg~g tij~!~... ~~j~._.~l!.J?ile PIije ,sud~a ';LJ wz> primijenit će se na noye vrijednosti: !ll i Q2' U daljnjem tumačenju bit ce Izneseno 'kako se određuju kutrie15fžiiie'ii"iikoIl š-udara. te kolika je promjena kinetičke eneflziJe :za dva tijela koja rotiraju oko paralelnih osi. Opći slučaj takva sudara prikazan je na slici 9.16, na kojoj za tijefa l i 2 osi rotacije prota ze kroz OI j O2 i okomite su na ravninu crteža, Pretpostavljeno je da su kutne brzine prije sudara

Slika 9.17. Djelovanje unulrašnje ;ill\! na mje~lu wd,:r;l i ku Ine: hojne ("; i ."J 11 IrCI\UIlw /,

tijda kOla ro!iraju ,lk" -,; l..u!llim brzin;lllla (',; I ('~ u trenutku lu

Kod raZ'1l:3tranja sudara izmedu dva

kao' i kod

T

g,,";-(-g,w,l= "j R,I,dl:l,l,.

(9.431

O\dje je pretpostavljeno da će za vrijeme perioda kOntf'dkcije tijelo 2 pr0mijeniti smjer rOlacije, Očito je da uz kutne brzine prije sudara. kao na slid 9.16. mora jedno od tijda promijeniti smjer rotacije~ jer se točke A L i A2 koje su u dodiru gibaju u trenutku istom brzinQm. Ako tijela nakon sudara rotiraju kao ŠIO je to prikazano na slici 9.18. bit će za period restitucije

'l

Q"1!l1 -gl(:)~ = -

"J Rsl. dt= -ljIt

(9,44)

" g,Q,-g,wi= "J R,I,dt=l,l"

(9A51

" 239

ZbrJ.ianjem izrala

(9.~2)

i .9.441. odnosno (9.43) i (9.45) dolliva se

fl,a,-il,u"

l,

'J/J",!

(1,+1,1=1,1.

flzW2

(l,+I,l~

-1,1

rotirajućih

(9.46)

za

tijela. potpunu sliku zbivanja kod takvih sudara potrebno je jog poznaY3ti koliko kinetičke energIje izgube tijela za vrijeme sudara. Taj gubitak jednal< jo razlici kinetičkih energija prije i poslije sudara te je

(9.471

fl, '"1 il,roi g, Gl ilzfli

!lE.=-~+----~---.

2

2

Jz

2

2

(9.53)

2

Nakon što se iz spomenutih lzr3za izračunaju kutne brzine Q I i al' gubitak je energije određen .

. . . . . . . . . . .!!} [,.o,

kinetičke

I;

Primjer 9.6

Na slici 9.19 prikazana je pojednostavljena shema stroja za kovanje. Kružna. I oscilira oko osi Ot j udara čekić svojim zubom u točki A, nakon čega čekić dobiva rotaciju oko O2 , L' početku sudara čekić miruje. Odrediti kutne brzine ploče i čekića nakon sudara le položaj težišta e takvim, da u osloncu O2 ne dođe do dopunske reakcije. Zadani su momenti tromosti fll i riz ploče j čekića u odnosu na osi kroz O, i Ol' kutna brzina ploče "', prije sudara, koeficijent restitucije k te polUlIJjer ploče r i udaljenost A O, ~ I. . ploča

SVJka od dobivenih .kJnadŽbi zapravo je zakon kinetičkog rnomenl
m."J,

(9.481

Da bi

S~

odredile kutne brzine nakon sudara, potreban nam je još jedan izraz.

To':e biti izraz za koe:kijeol restitucije. Vidjeli smo ranije da su prema NC\\'lono\'oj hipotezi impulsi I .. i l: vezani izrazom

kl,.

je k koeficijent r.:stitudje. Pomnoži li se Hje\"a strana izraza (9.42) s 1,;, bit če s 1ije\'C'Im stranom izraza (9.44). To vrijedi i za lijeve strane izraza (9.43) i (9.45), p. je identična

Kako je (Iro; :;;:::Iz(:]j.

1<.)

lil,,,,, -il,,,,,) k=[/,Q, - fl,w;

(9.50)

(il,,,,, +[/''''') k=[/,O: - g,w,.

(9.51 )

b

Slika 9.19. Cekić Stroja za kO\'Joje koji se pokreće sudarom s rotirajuč.om pločom

Na slici 9.20 pretpOSlavIjeno je da su rotacije ploče i čekiča nakon sudara istog smjera. te zakoni kinetičkog momenta za oba tijela glase (",,=0):

~~+~~=rl

~)

fl,O,=II.

(b)

se iz gornjih jednakosti dobiva za koeficijent restirucije

k_I,O, l,!.!,. It O)I + 1:.(.02

(9.52)

U brojnilcu tog izraza 1,0, i I,a, su komponente brzina točaka A, i A, ti pravcu normale nakon sudara. dok su u nazivniku te iste komponente. "samO prije: sudara. Koeficijent restitucije. prema tome, ponovno se može izraz~ti istim riječima kao i u ranijim slučajevima. da je to omjer relativnih brzina čestica tijeJa nakon i prije sudara u pravcu nonnale N~ i to onih čestica koje dolaze u dodir za vrijeme sudara. Jednadžbe (9.46. i (9.47), odnosno jednakost (9.48) koja je iz njih izvedena. te izraz (9.52) osnovni $U izrazi koji se postavljaju kod rješavanja 7.adataka sudara

240

I

(9.491

gdj~

ona

e

0,

"

/, [Rsltldt

A, !..r'

~

{

n}

Vc

o:. Ro,lt)

e

I

\

b Slil
t6 s, Jtcit; KINBtA,nKA I DI'l"AMfKA

veličine

koje djeluju na

čekić

241

Koeficijent restitucije određen je izrazom

y

k= Qtr.::Qzl,

, ..

(c)

UJ," Rješavanjem dQbivaju se iz tih izraza tražene kutne brzine nakon sudara: Q,

~

'J, kr' - 'J, Jl ~W, 'J, J' +'J,r'

!,3()Cm

I

'J,,/O +k)

!l, ="', n Jl ~ (7

U l ' tJ l'

"

2 .

Na oslonac 0,2 djeluje za \Tijeme sudara dopunska reakcija u qemenu od tf) do tl' Njezin je lmpuls

I

l

RQl

m,om~'

koja se mijenj~t

C,

"

/0,= f Ro,dl. Zakon količine gibanja

II

periodu to do

12

Slika 9.21

Slika \),22

2, Dvije kuglice masa inI = ml = tn gibaju se jedna prema drugoj brzinama f, = I m/s i v, = 2 m/s po paralelnim putanjama (sl. 9.22). Odrediti brzine kuglica

za čekić glasi

(, i Brzina težišta nakon sudara t'e, =bQz.' a prije sudara 'čekić miruje tako da je r.;CI) = O. Impuls I može Se izračunati iijedn.kosti (b), pa će zakon količine gibanja dati za impuls II osloncu O2 j

lo,. =!l, '

x

. 'J,) . (m,b+I

c, nakon sudara akoje m=2kg i k=O,6 (koeficijent restitucije).

Rješenje: c,=1.l1 ms-', c,=I,06ms-'. 3. Odrediti omjer brzina "';'" čestica III, i tn, prije sudara (sl. 9.23) ako je poznato da se čestica 1111 nakon sudara s česticom ml zaustavila. Zadano: ml' m~. k (koeficijent restitucije).

U\jet da nema dopunske reakcije u osloncu O2 jeste Jo,!;;;;;; 0, ili

4. Dvije čestice jednakih masa ml = ml = ln obješene su o niti različitih dužina

m,

Odakle slijedi tra.ženi položaj težišta

':7,

b~--.

m,l

prema slici 9.24. Čestica puštena je iz položaja određenog kutom lp. Mjerenjem je ustanovljeno da L"estica ml dolazi nakon sudara do položaja odredenog istim kutom. Odrediti koeficijent restitucije ako je II =412 _ Rješenje: k =O.

Prema tome težište bi se moralo nalaziti lijevo od oslonca Oz. a ne kako je to prikazano na slici 9.20.

Zadad uz poglanje 9 . LOvije čestice prema s1ici·9.21 nalaze se 3 sekunde nakon sudara na 30cm međusobne udaljenosti mjereno u pravcu nonna1e na sudar. Pod pretpostavkom konstantnih brzina nakon sudara odrediti kutove /1, i /12 te koeficijent restitucije ako je čestica m, udarila II mirujuću česticu m, pod kutom od 30' prema osi x brzinom od 0,2 mIs. Rješenje:

242

~~V~I____~~~~ m, Slika 9.23

/1, =0, /1,=90', k=1. 16*

Slika 9.24

143

5. Homogeni štap duljine I = Illi mase /ll, = 6 kg zglobno je vezan II točki O i ispušten bez početne brzine iz horizontalnog položaja (sl. 9.25). U trenutku kada štap dođe II vertikalni položaj dolazi do sudara s česticom mase m~ =2 kg. Točka udara nalazi se na udaljenosti r = 0,8 III od QvjC:"išta O. Odrediti brzinu če5[ice i kutnu brzinu Šlapa neposredno nakon sudara ako je koeficijent restitucije k=O,5, Q=2.25 S-I, o Odgovor: ('= 3,97 m/s,

o

A

1% ,,

+.

\:: ,, ," ,,' 1:1 ;'1 "

LITERATURA e

Cm

~,

,;

D. Ba:.janac:

" !'I

i' ,,,

,I, ,"

y, Slik;! 1).26

Slika 9.25

E. L. .~I"~/~I: TeorC~lčeskaJa mehanika. 13. izdanje, Gos. izdat. fiziko-mi:llem. lit.. Mos"'-... 195~. A.

'<='31.

7. Dva zupčanika diobenih polumjera r\ i r2 i momenata inercije ~ i ~ rotiraju kutnom brzinama 0)\ i (~h (sl. 9.27). Odrediti smjerove i veličine kutnih brzina Gl i Q 2 nakon što dođe do zahvata z~bi zupčanika.

Odgovor:

Q,

rl+,.,-

19'63 .

1915~.

H. R. ~.~.ra: .veclor ~echa~ics for Engineers. John Wiley & Sons. Inc., S'ew York- Lon.:i~~n. 19rs2.

2

g; w, g; w, ----r, r, r, g; g;

Calif~~:nia,

W. B. Sfj/es: Engineering Mechanics. Prentiee_Hall, In;.. Englewood CHris. :-...: J..

J. L. M.f!riam: pynamies. 2. izdanje_ lohn Wiley & Sons. Inc., Ne\\, York-London-Syc:Jey. 1966.

6. Na kojem mjestu mora udariti čestica mase "'\ o mirujući štap mase m i dužine I da ne dođe za vrijeme sudar:l do promjene reakcije u osloncu O ('\1. 9.26r!

r, Q,=--. r,

mehanika, II dio, Kinematika. Tehnička kn.iiga, Zagreb. 1969.

L. E. Goodman, W. H. WilT/ler: Dynamics, Wadsworlh Publ, Com-, , Ine .. Belmont, .4. Higdon.

Rješenje:

Tehnička

BazjalIac: Tehnička mehanika, III dio, Dinamika. Sveučilište u Zagrebu. Z:Jo'ueb 197-1 H. Go/dner. F. Ho/zwf!jssig: Leitfaden der Technischen M-han,"" • izdan,""' VES Fach ...... ,,5. prera.jeno buchverlag, Leipzig, 1976. D.

Raskor:lc: MehaRIka II, Kinematika.

knjiga. Beograd. 19-18.

J.

Szabo: Repelitorium und Obunacbuch der Techn"sch-n tr' .. MechaDik. Springer_Veriag. &rlin- G6uingen - Heidelberg, 1960. T-hn,'čk .. a

Mechanik . 4 .

p,·~::,"-no ........

Szabo: . Einrt:ihrung in die Technische Be rI10- Gouingen- Heidelberg, 1959.

S. Timošenko, D. H. Jang,' 1962. "

Naučna

l.

izdanje.

Sr:-: nger-\·erI3.',

me h ant'k a. P" r1Jc\'od s engleskog, Građe\'inska kn.i:ga, Beograd.

:~

S, TImoienko, D. H. Jang: Viša dinamika. Prijevod s engleskog, Građevinska knjiga, Beocrad 1962

,,~

l. JI. Voronkov: Kurs

;l.

leoreličeskoj mehaniki.

13. izdanje, Izdaleljst\'o .. Nauka",

Moskva.-196~.

.

,il ~

1j

l Slika 9.27

244

245

KAZALO

akceleracija 23 aksijalni moment tromosti 163 aksoida 97 amplituda puta 32

balističko

njihalo 237

brzina 20 I

reakcije 185 moment lromQsti 163 direktni centri.'ni sudar ::!::!7 dopunske rea\:cije 185 dinamički

dopunsko ut-nanje 107

džul131

kozmička

149 - kruženja 149 - • kutna 62, 90 - naprutanja Zemlje 149 -, rrojicirana 85 -. srednja (točke) 20 -. trenutna (točke) 20 - vrtnje 63 -. zakrenula 84 -

dinamičke

centar gibanja 146 - rOlacije 72 centralno gibanje 146 ccotričoi sudar 223 centrifugalna sila 127

centrifugalni moment tromosti 164 ccntripetaloa sil.. 125 centripetalno -ubrzanje 52 ceotroide 77 Cbalesov teorem 100 cilindrični koordinatni sustav 40 cirku1ama os 36, 41 Coriolisovo ubrzanje 107

čigra 211 čvorna linija

15

D'AJembertov princip 127 DescartesOy koordinami sustav 33 devijacijski moment tromost.i 164 dinamička

ravnoteža 121

ekscentrični sudar elastične veze 156

222

elastični

sudar 124 elipsoid tromosti 173 en:=rgija, k.inctička 134 -. potencijalna 137

Eu1er- D'Alembertov tcarem 88 Eulerova rormu1a 64 Eulerovi kUl(wi 15,90

frekvencija barominijskog gibanja 33

gibanje, apsolutno 105 -, centralno 146 -. jednoliko ::!8 -. jednoliko ubrzano 28 -, jednoliko usporeno 28 -, jednosla\-no harmonijsko 31 -, krivocrtno 33 -. opće (tijela) 99 - , planamo 67 -, pravocnno 22 ":"., prijenosno 105 -, ravoiD-sko 67 .- -- -, relativno 105 -, sfemo 86. 206 - , sferno, stacionarno 209 -, složeno 105 -, stupnjevi slobode 15 -, translalorno 59

247

gibanje. ubrzan~' 13 - • usporeno 23 &iroskop 211 giroskopstd efekt 112 - moment 2\1

glavna normala St glavne osi tromosti ln glavni centralni moment tromosti J 7) - moment tromosti 172 gravitacija 122 gravitacijska kons(aota 122 - sila 122

-, Descartesov 34 - -, polarni 36 - -. prirodni j i - -. sfemi 4) kosi hitac 126 - sudar 222 kotrljanje bez klizanja 74 kozmička brzina 149 krivocrtn.a translacija 59 knvocrtno gibanje 33 krute veze 156 kru~na

namlonijska an~liza 33 harmonijsko gibanje 31 hodcgraf brzina 21 - ubr7aoja 21

impuls sile 142 - u osloncu 236

inercija 121 incrcijska sila 121

nom\;.llna sila $U':.!f;1 222. : ..<} nUlacija I S, 90

k:oruervalivne sile 137 koordinatni sustav, cilindrični 40

njihalo, balislitk~'\ =37

njutn 122

opCe gibanje tij"l.l. 99 oskulatoma ra\"r:~ja 51 otklo.n kod padan}:! 128

frekvencij;l 33

kut, EUlerov 15.90 - nutacije 15 - prccesijc 15 - rotacije l S kutna brzina 62 - - sfemog gibanja 90 - -. srednja 62 - -, trenutna 62 kutnO ubrzanje 61 - sferncg gibanja 90

-, s.rednje 63 -, trenutno 63

period kontrakci.i: 223 - rC$titucije 22:; perioda harmonij$i.;og gibanja 33

plan brzina 80 - ubrzanja 80 p1anamo gibanj" ~p1astitni sudar 2:3

pokretanje valjka !97 pol bnina 71 ubrzanja 72 polarni koordlnam.i susta\ 36 poJne krivulje 77

poloida 17 jakos! gravitacijskog polja 112 - polja teže 122 jednadžba dinamieke ravnoteže 127 - gibanja čestice 123 - gibanja sustava čestica 156 f
Kardanov problem 79

kilogram 121 kilopond 122 kinematički dijagrami 24 - uvjel kotrljanja 197 kinematske veze 156 kinetička energija 134 - čestice 134 ravninskog gibanja 200 rotacije 182 - sustava čestica 157 - translacije 177 kinetički

moment 145

- giroskopa 2Il - - ravninskog gibanja 203 - - rotacije tijela 189 - - sremog gibanja 201 koefieijent restitucije 224 količina gibanja 142 konaCni kutoi pomak 87 kontrakcija 223

248

loksodroma 57

masa 121 matrica trapsfonnacije 48 mehanički rad 131 metar 17 moment inercije 163 količine gibanja 14:S tromosti !61 -. aksi.jalni 163 -. ~lrifugalni 164 -. de\lijacijsti l64 - -. glavni 112

-. glavni cc:o(taJni 113 k.ocke 169 kružne ploče 168 prizme 169 -

Stapa 163 valjka 161 za paralelne csi 165 za zaltrenute osi 169

nebolcnomni sustav 156 nekonzervativne sile 138 nepomična aksoida 97 - poloida 71 nepomični koomioatlll sustav 106 Newtonova hipoteza 224, -235 Newtonovi zalconi 121 nodalna tinija 15 normalna komponenta ubrzanja 52

polumjer trcmosti 164 pomiena aksoida ,,7 - pOloida 17 pomični koordinatni sustav 106 pote1'>l:l!ulnft energija 137 elastitne opruge 139

- - položaja 135površina sudara :;::'1 pravocnna translacija 59 precesija I S, 90 -. progresivna 9S

-. regJJlarna 98 - , retrogradna 9~ priblIžna teorija giroskopa 211 princip održanja 1::ineličkog momenta 159

-

količine

gibanja 158

prirodne komponente St prirodni koordinatni su.su~\· 51 progresivna precesija 98 projicirane brzine 85 prosječna brzina ~ prosjočno ubrzanje 20

ravninsko gibanj" slapu 199

reakcije u oslancima 184 referentna ravnina 67 regularna precesija 98 restitucija 223 retro8radna prect:sija 98 roucija 15,61, 90. 179 - štapa 184 ndete n

sekunda [? sfcmi koordinatni sustav 43 sferno gibanje 86. 206 - - oko tdiŠla 210 - - :;ime!dl:nog tijela 208 , $Iacionamo 209 sila j 1.., -, centrifugalna 127 -. centripelalnll 125 -. Coriolisova 121 - > D'Alembertova 127 -. gra..itacijska 122

-, incrcijska 127 -. sudara 22, 239 -, 'ru 122 - , udarna 236 , unutrašnja 155 , vanjska [55 slobodni pad 126 složeno gibanje 1O~ snaga 133 spajanje vratila 193 srednja brzina lC} - kulna brzina 62 srednje kUlno ubrzanje 63 ubrzanje 20 staciQnarno sferna gibanje 209 Ste.inerovo ,ra ..ilo l66 s~upanj slobode gibanja 15 sudar 221

- ,<:entričnl 222, 227 - l':es:tk:e j tijela 234 -. ekr.centrični 222 -. elastični 224 -. ko~i 222

-,

plastični

224

-. rnvni centrični 222. 227 -. rotirajućih lijeta 238

pllt 23 putanja satelita 1~7 putanja točke 19

rad 131 - sile 131 ~

sprega 132

radijalna os 36, 4 L 43 ravansko (planarno) gibanje 67 ravni sudar 222, 221 ravninska translacija 67 ravninsko gibanje 61. 194

Salov {Cbalesovt teorem 100

tangetlcijl.lllla komponenta ubrzanja 52 tangenta 51 tenzor tromosti ! 13 teža 122 težina 122 transformacija momema tromosti l71 - vektc>ra brzine 47 - vektora ubn:anja 47

Iranslacija 59, 176 - • jednolika 177 - • kri'"OcTtna $9 -, pravocrtna 59 - , ravninsl
ubrzavanje silom 198 udar ČC$ficc o zid 2)0 udarna $\Ia 236 uspota\'3.nje 23

trenulna brzina 20 vat 133 vektor t'lrzinc

kutna brzina 62 - os rOlacije 89, 91 trenutni centar rotacije 72 - pol bruna 71

velocida 21

- - ubrzanja 72 trenutno kutno ubrzanje 63

veze eJa$t[čnc. kinematske, krute 156

20

- ubrzanja 20

vertikalni hitac 126

- ubrzanje 20

ITOmost 12! trzaj 20

ubrzanje. centripetaIno 52 -. ConollS!)vQ 107 -, dopunsko 107 - • drugog feda 21

- • normalno 52 -. srednje kutno 63. 90 -. srednje točke 20

- • tans~ncijalno 52 -. trenutno kutno 63 -. lrenu(no točke 20 ubrzavanje 23 ~ valjk;! - mom~n{nm 197

zakon akcije i reakcije 121 - gibanja 121. 123 - kineličke energ,ije 13.$, 157. 183.202 - kineliCkog momenta 146, 159. 191,205 - kolifloe gibanja 142. 15B -. 'Newtono\, 121 - o g:it-a·nju centra masa 157 - održanja mehaničke energije 139, 157

-

o~

gravitacije 122

ustrajnosti nl zakon! sustava čestica 156 zakrenula brzina 84 zvrk 211

žiroskop (siroskopi 21 t

!:

~ lc

(~

'"

~'\

~\; ;

250

>. ~:

i

I

\

.'

,

/