Tehnicka Mehanika III Dio Dinamika - Aleksandar Kiricenko

+2rbcosiJJ.

e. Pril"odni koordinatm susiav (sI.2.3.6)

b. Polami koordinatm sustav u ravnini x-y (s1. 2.3.3) ubrzanie:

Fb =m(rfr +2i6 -np 2sin-t1cosiJ)

+F =miJ +miJ

i

'"

jednadzbe gibanja:

sih~'

jednadzbe gibanja:

~

l

;<" ,<

F $ =m(rifJ +2itjJ y.

"',

/"-

r

':)dKc.. .L.J.O

Slika 2.3.3

22

Materiialna tocka

lednad1:ba gibanja materijalne tocke uvUek se moze prikazati u pravokutnom koordinatnom sustavu. Za opce gibanje jest: ~

d. r

2~

.. .,. "",,

23

1. Kada je sUa Iwnsta][Jtna, moze se pisati: F

~

VL2

mx ~ konst,

"k~

a~-~xl+YJ+Z<,

a iz te je jednadzbe:

dt 2

2.4.3 pa se vektorska jednadzba

moze prikazati u obliku:

+FJ+Fl ~ mif+myJ+mzk.

2.3.4

Ta vektorska gibanja sadrzava tri skalarne jednadzbe koje opisuju gibanje materijalne tocke u smjeru x,y i z, a glase: Fz~mz.

Svaka se od tih jednadzbi pojedinacno rjesava, a njihova rjesenje koordinatni naein u obliku x=x(t), y=y(t) i z=z(t).

2.3.5 zakon gibanja na

Prerna tome jesu Ii izrazi zadanih komponenata sile Fy i F, jednostavni iIi :siozeni', tocno odredivanje zakona gibanja moze biti lagano, teze iIi ga je rnoguce pribliznim rnetodama odrediti iii sarno ocijeniti. Gibanje materijalne tocke moze biti pravocrtno iii lerivocrtna i to u ravnini iii prostoru. Prikazivanje opcega krivocrtnoga u pros tOfU u pravokutnom kordinatnom sustavu svodi rjesavanje problema na tri pravocrtna gibanja i to u smjeru x,y i z. Analogno za krivocrtno gibanje u ravnini x-y, rjesavanje se svodi na dva pravocrtna gibanja u smjeru x i y. Obradba pravocrtnoga gibanja ima veliko znacenje, a posebno u rjesavanju problema druge vrste, i zato ce se detaljnije razmatrati.

gdje f - prikazuje silu na jedinicu mase iIi ubrzanje. Prvom i drugom integracijom izraza 2.4.3, dobiju se opci izrazi za brzinu i Opei izraz za brzinu tocke je v ~ x ~ ft + C, a za poloiaj x ~ ~ C t + D.

tocke.

Konstante integracije C i D VU'v'"~'U se iz pocemih gibanja, to jest 1Z polo:l:aja i brzine u trenutku t=O. Ako je u trenutleu t=O polozaj tocke x,=o ~ x o ' a brzina =i:o=lJ , tada je o C~vo i D~xo "po. je konacni izraz za brzinu lOcke: 2.4.4 v=vo+jt, a za polozaj toeke: x~x

ft 2

o

+v t+"-. 0

2

IAdo. se

rnDze izraziti sa:

dX

X=

2.4.6

~ fit) ~ dt'

m

a to maci da .ie prirast brzine jednak dX

~

j{t)dt.

Integriranjem prirasta brzine dobiva se opci izraz za brzinu

x~

2.4. PRAVOCRTNO GmANJE MATERIJALl\1]; TOCKE Neka je os x pravac duz kojeg se giba rnaterijalna tocka mase m. lednadzba gibanja za tu toeleu gJasi: F~

~

mi.

2.4.1

Ukoliko je poznat zakon gibanja x=x(t), rjesavanje problema c;;lal;;;ke prve vrste uvijek je Jagana zadaca, medutim rjeSavanje problema dinamike druge vrste nije. Kada.ie zadana sila leoja moze ovisiti 0 jednorn iIi vise parametara, kao
konst - Sila,ie konstamna. F(t) - Sila je funkcija v[emena. F(x) Sila j~ F(v) - Sila je funkcija brzine.

2.4.7

fj{t)dt + C,

a ponovnim integriranjem i opci izraz za poloz.aj x ~ ffj{t)dtdt+Ct+D.

!ntegracija se moze izvrsiti aka je poznata funkcija F=lF(t),

2.4.8

2.

leomeni izrazi

giba.l~_~a, ~0

Z2.

brzinu i

Cii,»-u JC £Q. I.tf,rHha.~

24

Marerijaina tocka 3. Kada je sila funkcija poiozaja, to jest F=F(xl, rada je:

x = F(x) m

=fix) = di = di dx = xdi..l dt

.

dxdt

dx'

2.4.9

Dinamika

25

di Izjednadzbe 2.4.12 mogu se napisati izrazi za diferencijal vremena dt=-- i diferencijal . fix) pomaka dx=~di.

.

f(x)

lmegracijom tih izraza dobiju se opei izrazi za t i x

a to znaci da je

xdX

f(x)dx.

=

t

Integracijom jednadzbe dobiva se veza izmedu brzine i pomaka x=x(x), koja opeenito giasi: ffix)dx

2

. r\...

x = dx = h( (f(x)dx + C). dt v

=

J

f(x) + C

=f~dX + D.

U

ovisnosti

0

brzini, koji glase: 2.4.13

2.4.14

fii)

Dobivene odreduju veze t=t(i) i x=x(i). U oba izraza treba odrediti konstante iz pocetnih uvjeta. Konstanta C se odreduje iz uvjeta cia je u pocetku gibanja t=(i, a konstanta D iz uvjeta cia je u pocetku gibanja polozaj xo.

T

iii 1

x

dX

2.4.10

'

lz uvjeta da je u trenutku t=() brzina jednaka jednaka V

'10

slijedi da nepoznara konstanta mora biti

2

C=~.

2

Iz forrnule 2.4.10 takoder je moguee izraziti da je

2.5: ANALIZA GIBANJA SLOBODNE I NESLOBODNE MATERIJALJ\TE "",no,""?'D Materijaina tocka je slobodna ako njezino gibanje nema ogranicenja, sto znaci da takva tocka moze zauzeti bilo koji po!ozaj u prostoru. Gibanje takve tocke ovisi 0 aktivnirn silama koje djeluju na nju j 0 pocetnim uvjetima gibanja. Prema drugom Newtonovu zakonu za slobodnu materijalnu tocku vrijedi:

F=ma,

~~dx====

Konstantu D treba odrediti iz uvjeta da je t=O u pocetku gibanja.

gdje je F - ukupna aktivna sila koja prikazuje sva vanjska djelovanja. Materijalna tocka nije slobodna ako je gibanje unaprijed ograniceno vezama. Takva tocka ne moze se gibati bilo kako u prostom vee mora pri gibanju ispuniti uvjere veza odnosno ogranicenja. Djeiovanje veza prikazuje se reaktivnim 'silama veza. Gibanje neslobodne rnaterijalne locke ovisi 0 aktivnim i reaktivnim silama i pocetnim uvjetima gibanja. Prema drugom Newtonovu zakonu za neslobodnu materijalnu tocku vrijedi: 2.5.10 F+N=ma,

Rjesenje za F=konst, giasi:

gdje je F - ukupna aktivna sila koja prika7Uje vanjska aktivna djelovanja, a N- ukupna reaktivna sila koja prikazuje djelovanja veza koje ogranicavaju gibanje materijalne tocke.

dt

=

12ff(x)dx

+

v~

lntegriranjem tog izraza ?obiva se opca veza izmedu t i f(xl koja glasi: +

di dt

D.

didx .dx ="'x - . dx dt dx

2.4.11

2.4.12

26

Mater;ialna tocka

2.5.1.

27

Dinamika

Imegracijom J"o.-,,,,,,,,".uo; 2.5.4 dobiva se opci izraz koji vrijedi za svaki trenutak gibanja

kx?

Primjer 2.5.1

Analiza vertikainogll materijainc tocke pod utjecajem lIZ ;canemarenje otpoJra zraka. grllvitllcije u blizini povrSine Vertikalno gibanje materijalne tocke pod utjecajem gravitacije je okomito na povrsinu zemlje, pa se pravac gibanja moze definirati koordinatnom osi z koja s visinom raste. Jedina sila treba uzeti kao djelovanje na materijalnu tocku je sila tezine G=mg koja je usmjerena prema povrsini zemlje (vidi sliku 2.5.1). Jed;l~dlba gibanja ee glasiti:

ill

2

mv~

--=---+C

2

2

mv~

kx;

2

2

C=--+--.

2.5.1

-g Prema tome je:

Uvrstenjem dobivene za konslantu C U opei izraz veze brzine i polozaja, dobiv£ se veza izmedu brzine, polozaja i pocetnih uvjeta gibanja koja glasi:

di=-gdi.

mv2 2

Postupnom integracijom dobiva se opel izraz za brzinu i poIoZaj locke u trenutku t: = -

gt +C

Z =

'

pa kOll,,[allt:l C ima vrijednost:

iIi

i

+G.

Za pocetak gibanja mora biti ispunjeno:

mi = -G =-mg Slika 2.5.1

2

mv~

kx 2 2

kx; 2

----- = ---+-.

t2

2

-g- + Ct+D.

2

Prema tome se brzina moze izraziti sa:

Konstante integracije C i D odreduje se iz pocetnih uvjeta gibanja. Ako je u trenutku t=O poloZaj tocke Zo i brzina tada izrazi za brzinu i poloZaj u trenutku t glase:

zo'

I( +-1-kx; \ tr 2

V=

2.5.2

I ~

lv

m )

0

m

r( 2 . mv~

k

l

I

- x -'---1 ml k J 0

2.5.3 gdje je oznaceno' sa:

A= PRIMJER 2.5.2 Analiza

materijame tocke mase m na opruge koja je funkcija pomaka prema jednadibi F=F(xJ=-kx.

elasticna sila

Pri duzini to sila opruge je nula. Pri pozitivnom jli suprotnog negativnom pomaku x, sila opruge je smjera od x, pa je uvijek sila opruge jednaka F==-lo£ (vidi sliku Konstanta krulosti opruge k,

Kako je v=dx/dt, moze se izraziti: wdt= ±

ax ---=

fA2-X 2 '

a integracijom rog izraza dobiva se: c~}t+D

::::

pa opti ZakOi1 ..

a:r

...w.

~

mx=nt--=-;:;X~

d:x d:

.

2.5.4 lzrazi za brzinu ; ubrzanje toga gibanja jesu:

kojlJ se moze prikazati sa ;7t.Xdx:::: rtl v ltv :::: -kxa.x.

Slika 2.5.2

c U trenutku t=iJ

=-

ie.x(to=o) =x 0 =A sinD

-

5

sto znaci da ie konsranta D jednaka: .,

Materijalna tocka

28

Dinamika

29

x

0;

D =

A

(

\

g+-v) =

m

I

-=-t

a

em,

I g+ \ m

a odavde se moze odrediti brzina gibanja v kao funkcija pocetne brzine vremena .koja giasi:

Gibanje m!lterijalne tocke pod djelovanjem elasticne sile dana je izrazom 2.5.6

oscilatomo gib:mje i obradeno,

To gibanje je od posebne vaznosti a naziva se je u tocki 2.6 i poglavlju 5.

dz

Kako J'e v = to znaci da se moze pisati: dt'

lntegrirano od t=O do t=t dobiva se izraz za glasi: PRIMJER 2.5.3 Analiza vertikamoga .gibanja materijame locke pod djelovanjem gravitadje i otpora zraka koji.ie lineamo ovisan 0 brzini gibanja. Pri vertikalnom gibanju materijalne tocke pod djelovanjem R=av gravitacije i u mediju u kojem je otpor gibanju linearno ovisan 0 m brzini gibanja, jednadzba gibanja glasi (vidi sliku 2.5.3): dv mz.. = mdt

z

G

= -

-

Rc = - mg - av.

g +

a m

--t

(l-e

gdje

Zo

2.5.8

),

odreduje palozaj u trenutku t=O.

2.5.7

Iz te jednadzbe moze se izraziti da je dv

materija!ne tocke u rrenutku t koj!

- dt. a;

-v m

Slika 2.5.3

PRIMJER 2.5.4 Tijelo teZine G=10N pridriano je nll. kosini sa nagibom tga:=O.75. Kadll. se tijelo pusti ~loh(1dn(), ono ce poceti klizll.ti niz kosinu tako da je sila otpora gibanju sa bninom gibanja i iznosi R=2vN. Oelreal tijela niz kosinu i maksimalnu brziuu "He''''',.!,"'

Analiza problema. Tijelo nije slobodno jer je prisiljeno da se giba Siika 2.5.4 po kosini. Sile koje djeluju na tijelo pri gibanju jesu viastita tdina G, sila otpora R i reaktivna sila podJoge N. Gibanje tijela je pravocrtno. Ako je sa S oznacen polozaj tijeJa od mjesIa gdje je pocelo gibanje, tada za gibanje tijela niz kosinu vrijedi Newronova jednadzba gibanja:

lntegriranjem tog izraza slijedi:

Ako je u pocetku gibanja pri t=O brzina iznosila vrijednost:

ms = Gsino; - R = Gsilla - 2.~,

to znaci da konstanta C ima

"(roo) =Vo

iIi uredeno: G

Uvrstenjem dobivene konstante C i uredenjem dobiva se: (

II

\

mj

\

In !g + - V! ili

Cf.

= - -

m

a;

(

t + ill I g \

+-

v,

\

I.

)

imegracijom

diferencijalne je0 :13dih:: g IDanJa, analognin1 postupkorr kao u

primJeru 2.5.j~ QO~aZI se DO opceg fJeSCflJa Z3. nrZHH..

pO)OZaj. Uz~n1ajucI L: obZ1T cia su u

pocetku gibanja brzina i poJozaj jecinaki nuli, izrazi

brzinu i

La

glase:

30

Materijalna tocka

v =

~(ebt -1)= - sina G(e- 2g , -1) = b

2 = 3(l-e- 1,962t)ms- 1

Dinarnika

31

2.5.2. PRTh1JERI 'LA SA1\WSTALNO RJESAVANJE 2.S,} Materijalna LOcka tezine G=30 N leii na horizontalnoj hrapavoj povrsini. Na tocku pacne djelovati sila

F = O,StiN. 2 - ae (bt_I)_G GSinlX( Gsina _ s_- _ -t- e -~t - 1) +---t2 b b 4g 2 =

Ako je k:Jeficijent trenja f=(I.2. odredi nakon kojeg ce vremena ad pocetka djelovanja sile put ad x=20m. i ce imati brzinu u tom trenutku. tijelo

[1,529(e- 1;962t -1) +3t]m.

se u pravcu na g\atkoj horizontainoj podlozi. U trenutku

M:lksimalnct se brzina postize kada ubrzanje postane nula. odnosno kada bude Gsina=R=2v. Maksimalna brzina je brzina koju tijelo postize kada vrijeme teii u

m/s. pocela je u smjeru gibarJa djelovati sila

imalo brzinu

kada je

F = 12t 2 N. Odredi zakon gibanja tocke te brzinu i prijedeni put u trenutku t=2s ad pocetka dje!ovar~a

sileo

beskonacnost. a jednaka je

v

= max

GSinlX 2

=

3ms-1

.

tocku teiine G=9,81 N djeluje sila

2.5.3 Na

F=-4xiN. Odredi zakon gibanja tocke ako je poznate da je u trenutku t=O tocka bila u poloiaju i imala brzinu Vo = 6 i m/s. Takoder odredi za koje ce vrijeme od pocetka gibanja

deb do

xIUa~'

i koliki je

Xmax '

2.S.4 Na materijalnu tocku tezine G=9,81 N djeluje sila F=9xiN. Odredi zakon gibanja locke aka je poznato da u trenutku t=O, tocka bila u polozaj:; xo=O i imala brzinu Vo = 2 imls.

2.5.5 Na mmerijalnu tocku tdine G=9,81 N djeluje sila

F=~rN.

5 -x Ako je u pocetku gibanja pri t=O bilo xo=O i "0=0. odredi brzinu wcke u trenutku kada x=2m. dode na

2~506

Odredi izraz za brzinu

U

ovisnosti

siL~~

Poznato je

aa je rocka pri ={r,

bila u

0

ruaterijalne tocke tezine G=9,81N, na

32

Materijalna tocka

2.5.7 Na materijalnu tocku teZine G=9,81 N djeluje sila

F = -8x- IN. 3

Ako se tocka pocela gibati s udaljenosti xo= 10 rn, odredi zakon gibanja i vrijeme za koje ee tocka doei u po!ozaj x=O.

Dlllamika

33

2.6. PRAVOCRTNO OSCILATORNO GIBANJE MA'fERIJALNE TOCKE Materijalna tocka mase rn ovjesena je za idealno elasticnu oprugu krutosti k u zrakopraznom prostoru. Neoptereeena duzina opruge je 10, a optereeena teretom G se rastegne za ve!icinu LI.. U stanju mirovanja sile koje djeluju na masu jesu vlastita tdina mase G i sila opruge So. Si!a opruge je jednaka So=G=kLl. (vidi sliku 2.6.

2.5.8 Na materijalnu tocku rezine G=9,81 N djeluje sila

F = -4x-n IN. Poznato je, ako tocka krene brzinom '1'0=0, iz beskonacne udaljenosti- tocka bi na udaljenost x=L imala brzinu V,. Da je ta locka krenula s udaljenosti x=L brzinom vo=O, ona bi na udaljenosti x=L!2 imala brzinu VI' Odredi velicinu eksponenta n u izrazu za silu.

b.

2.5.9 Na materijalnu tocku tefine G=9,81 N djeluje sila Slika 2.6.1

F =(4 -i) IN. Odredi zakon gibanja mcke ako je poznato da je tocka pri t=O bila u poloZaju xo=O i imala brzinu Vo = 2i m/s.

2.5.10 Na materijalnu tocku tezine G=9,81 N koja je mirovala, pocela je djelovati sila

F =(4 _XL) IN. Odredi zakon gibanja tocke.

Povuce Ii se masa za ve!icinu Xo i doda brzina '1'0 te pusti slobodno, ona ee izvoditi osci!atomo gihanje oko ravnoteZnog po!ozaja s maksimalnom amplitudom xmaX' Za vrij,eme osciliranja u trenutku t masa ee hiti na udaljenosti x od ravnoteZnog polozaja. Prema slici 2.6.1 b, u tom trenutku ukupna neuravnoteZena sila koja djeluje na masu u smjeru pomaka jest: 2.6.1 (+1) LF = G-k(LI. +x) = G-G-kx = -kx. Vidi se da je u trenutku t ukupna sila proporcionalna s pomakom x. Pomak x je mjeren od ravnoteZnog polozaja a sila je uvijek suprotnog smjera od smjera pomaka. Diferencijalna jednadzba gibanja mase glasi: mx+kx=O

gdje je

,,/ =

x+w 2 x=O,

iIi

2.6.2

~. m

Opee rjesenje homogene Iineame diferencijalne jednadzhe drugog reda 2.6.2, je povoljno uzima se obhleu: 2.6.3 pa je izraz za brzinu gibanja jednak:

Knnstante C l i C z odrede se iz pocetnih uvjem v=v o, to znaCi da su Cr=xo i C2 ==vo/w ! de. zakon X

=xocoswt+

~Osinwt. w

Aka su u rrenutku i = O. ]\' = xl) i mase glas:: 2.6.4

34

Materiialna tocka Ako se konstallle C! i C 2 prikazu sa Cj=Asina i C 2 =Acosa:, tada zakon gibanja glasi:

x ~Asin(wt+rx).

2.6.5

Vidi se da je A2 =C/+C/ i tga:=C j /C 2 , odnosno: A

~

.r-J 2 Yo

~

Xo

Y

a: ~ arctg""!!' w .

+2

w

Xo

2.6.6

?

(v )2

\ x~ + \ ~ )

J

,. d

- amplilu

0: ~ arcsin Xo

- kruinu frekvenciju Za harmonicno gibanje x

~

A

Asin( wt + 0:),

i=wAcos(wt+a)

.i

Za gibanje dviju iii vise vezanih marerijalnill tocaka analiza se moze vrsiti na taj nacin da se svaka materijaJna tocka promatra zasebno leao slobodna materijaina tocka kojoj Sil veze uklonjene, ali joj se dodaju siJe djelovanja uklonjenih veza. U analizi gibanja treba uzeti uvjete veza na gibanje svake materijalne tocke,

Ie

iii maksimalni iznos pomaka

U

2.7. ANALIZA GmANJA 'VEZM1ffi: MATERUALNIH TOCAKA

I

Gibanje koje se prikazuje sa sinus iii kosinus funkcijom uvijek je periodicno i naziva·se Harmonicno gibanje moze se prikazati kao projekcija gibanja tocke po hal'mOillen!) kruznici radiusa A s konsrantnom kutnom brzinom w. Vrijeme t=T za koje su svi kinematcki elementi gibanja (pomak,brzina i ubrzanje) opet isti, naziva se period. a dobiva se iz uvjeta da.ie wT=27r. U izrazu 2.6.5 mace: ·A

35

Dinamika

Ixmax i ,

2.7.1. RIJESEI\;'1 PRTh1JERI Teret A tezme G vis! na uieh.l koloture i vezanom za teret E iste refine. Teret E leZi II:! kosini, kao sto je na slid 2.7.1. PRIMJER 2.7.1

Ako tereta tezma Tezina

T

LA. !'"

je ""~u'-'''o,,. E i kosme f=O,2, terera GA~GB~G~lON;odredi sHu lJ. uzetu! uzeta i koloture neka 5e zanemare.

Slika 2.7.1

- pocetrm fazu.

izraz za brzinu i ubrzanje glase:

i~-w2Asin(wt+rx)~_W2X.

Uvrstenjem dobivenog izraza za ubrzanje u diferencijalnu jednadzbu 2.6.2, vidi se da uzeto rjesenje 2.6,3 zadovoljava tu diferencijalnu jednadzbu. Hannonieno se gibanje uvijek javlja karla se Konrervativni §ustav sila, se nalazi u stabiinoj ravnotezi, vanjskim uzrokom izvede iz ravnoLel,e i zatim pusti slobodno. Pri oscilatornom gibanju materijalne tocke w ne moze oznacavati kutnu brzinu vee sarno kruznu frekvencu tog gibanja. U slucaju kada je u sustavu koji osciJira ukljuceno j kruto tijelo, koje pri osciliranju i rotira s nekom kutnom brzinom, tada se kruzna frekvenca oznacuje sa Wv i naziva vlastita krwila frekvenca sustava. Talevi susravi su obradeni u poglavlju 5 (osciiacije).

Analiza problema. I terer A i teret B mogu se promatrati kao materijaine tocke jer dimenzije till tijela nemaju utjecaja na ljesavanje problema. Posto je uze prebaceno preko koloture, sila u cijelom uzem je ista jer se zanemaruje tezina Dieta i koloture. SUa Dieta.ie oznacena sa S. Teret A giba se vertikalno, a teret E Q smjeru nagiba kosine. Dodavanjem sile S za zamjenu djelovanja uiera na teret A i E, te sila djelovanja kosine na tijelo .8, moZe se za svaki teret vrsiti dinamicka analiza, a to je u i ucinjeno.

Killemati..i(a. Za analizu je pretpostavljeno da ce se teret A spustati odredenom brzinom v i ubrzanjem ll.. Analiza gibanja za vezane dvije materijalne tocke zapocinje postavljanjem jednadibe veze. Posto se duzina uieta ne mijenja, to znaci da mora biti ispunjena jednadzba veze koja glasi SA + SB~ konst. Derivacija tog izraza po vremenu je SA + SB = 0 To znaci da je SA ~ - SB ~ v. Druga derivacija po vremenujednadibe veze je SA + SB ~ O. To znaci da jt; SA ~ -sB~a. ',jt; orzina. a a ubrzallje Lereta Au pr?malranom lIenutku.

I(inetika. Za

je korister princip

D~ Alemberta~

to jest

silD.ca na svakom

teretu dodana je i ,;ila inercije i lJme stvorena dinamicka ravnoteza. Sila inercjje. je suprornog (jJ uorzanja. Za s::voren:.1 ilnalTIlCkL ravnotezu mogu se korisriri jednadzbe ravnoteze iz statike.

Materijalna tocka

36

Analiza tereta A. Za teret A moze se Risati jednadzba ravnoteze koja glasi:

a)

paje I ,

Dinamika

37

PRIMJER 2.7.2 Tereti GA , G B i Gc vise na koloturama, kao lito je na slid 2.7.4. Tezine tereta jesn: G A =10N, G s =30N i G c =20N. Ako se teZina nzeta i kol.otura zanemari, odredi sile u uzetima i ubrzanja tereta. Analiza problema. U zadatku treba izvrsiti dinamicku analizu triju vezanih tereta koji se mogu tretirati kao materijalne tocke. Kinematikom treba obraditi pravocrtno gibanje tih tereta. Kinetikom treba izvrsiti analizu dinamicke ravnoteze tereta i ravnotde kolotura, i postaviti jednadzbe za odredivanje trazenih veliCina.

.G A

Slika 2.7.2

Analiza tereia B. Za teret B mogu se postaviti dvije jednadzbe ravnotde ito:

f////////"///

I

=w

'--1-

Slika 2.7.4

b)

c)

pa je

Kinematika. Polozaj svakog tereta odmjerava se kako je oznaceno na slici 2.7.4. Polozaj tereta GA sa xl' tereta Gs sa X+X2 i tereta G c sa X+X3' Velicina x odreduje polozaj centra koloture II. Posto se duzine uzeta ne mijenjaju, vrijede veza koje giase: x1+x=L1=konst

X2 +X3

=konst,

Slika 2.7.3 a to znaci da su ubrzanja Uvrstenjem za

LA =

GA E.

a za IE =G B - , dobiva se rjesenJe za ubrzanje koje glasi:

a) b)

-i

g

g

a

GA -GB(sinex +fcosrx)

GA

g

+

Ubrzanja pojedinog tereta jesu:

xA

GB

Sila u uZetu jest:

=

xl'

Kinetika. Analiza sila principom D' Alemberta obradit ce se za svaki teret. Analiza sila na koloturama, kojih se tdina zanemaruje, dana je jednadzbama statike. Analiza tereta A.

Za vrijednosti GA =G B =10N,

a

=

f=O.2

ex =300 , ubrzanje i sila u uzetu jesu:

0,1633 g

I .

Siika 2.7.5

o

c)

38

Materiialna locka

Dinamika

39

Analiza kolotl.lre I.

~

Postavljenih sedam jednadibi sa sedam nepoznanica mogu se prije uvrstavanja vrijednosti stegnuti na tri jednadzbe s tri nepoznanice. lednadzbe c),f) i g) uz koristenje jednadzbi a) i b) mogu se izraziti u obliku:

o

~

d)

..

sl

GA - 2 S2 = - GAx1/g G s - 82 G s (i/g+i2 /g) Gc - S2 = Gc ( xl g - x21 g )

Sl

Slika 2.7.6

Nakon uvrstenja poznatih vrijednosti jednadIbe glase:

Analiza kolotllre ll.

1O-2S2 =-lOi/g 30 - S2 = 30 xf g + 30i2 / g 20 - S2 = 20 xl g - 20x2 / g

e)

Rjesenje je tih jednadibi: 82

SJika 2.7.7

=

240/29

=

7.78 N;

ilg

=

19/29

Konacno cjelokupno rjesenje glasi:

Analiza tereta B.

Sl =480/29 = 15,56N; S2 =240/29 = 7,78N; S3 =960/29 = 31,12N;

tada je:

x=

19/29g;

xA =-19/29g;

Xl =-19/29g; i 2 = 2/29g;

£B= 21/29g; i c = 17/29g;

x3 = -2/29g.

f)

Slika 2.7.8

Analiza tereta C.

=c, iC~

V

Tl

,G

e

Slika 2.7.9

G.

hlk& je

tada je:

g)

g

40

Materijalna tocka

2.7.2 Tereti G i Q vezani su nerastezljivom zicom prebacenom preko glatkog vrha kao sto je pokazano Ila slici 2.7.11. Ako je koeficijent trenja na dodirnim povrsinama tereta i kosina f=O,3, odredi brzinu gibanja lereta u trenutku nakon 4 sekunde otkakosu tereti pusteni slobodno. Tdina zice neka se zanemari. Poznato je: G=20N, Q=60N, a=30° i f3.=60°

41

2.8. DRUGI POSTUPCI RJESA VANJA PROBLEMA K.I]\,'ETIKE

2.7.2. PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAVANJE 2.7.1 Ova tereta G i Q, medusobno vezani stapom AB, pridrzavani su na kosini nagiba a. Koeficijent trenja izmedu tereta Q i. kosine je f 1 =0.25, a izmedu tereta G i kosine je [2=0,375. Kada se puste tereti siobodno, oni ee kliziti niz kosinu. Odredi silu u stapu pri klizanju. Poznato je: G=150N, Q=300N, a=45° Tez:ina Slapa neka se zanemari.

Dinamika

Do sada su obradivana gibanja materijalne tocke uz pomoe osnovne jednadzbe gibanja: F~mii.

Za rjesavanje problema kinetike vrlo Sil dobri i postupci, koji uz kombinaciju jednadzbe gibanja i kinematike ukljucuju i postupke kao sto su:

Slika 2.7 10

1. Metoda rada i energije. 2. Metoda kolicine Prednost tih metoda je u tome !lto nije potrebno odredivati ubrzanja i vrsiti integracije vee se prave veze na drugi nacin. U metodi rada i energije povezuju se direktno sile, rnase, brzine i pomaci, au metodi kolicine gibanja, impulsa i njihovih momenata povezuju se sile, mase, brzine i vrijeme. Metoda rada i energije koristi uz pojam rada i pojam potencijaine i kineticke energije. Metoda impulsa i kolicine gibanja ima posebnu vaZnost za analizu problema koji ukljucuju udarne pojave iii sraz.

Siika 2.7.11 2.9. ELEMENTARl\TJ RAn I RAn SILE Pojam elementarnog rada i rada sile vee je obradivan i koristen u statici, ali ee se ukratko i ovdje ponoviti. Kad se materijalna tocka giba po svojoj trajektoriji iz poloZaja 2 I u poloZaj 2 i pri tome na nju djeluje sila ft, tada sila vrsi rad. Pod pojmom elementarnog rada definiran je skalarni produkt sile F i elementarnog pomaka df, to jest:

2.7.3 Teret.Q visi ovjesen za dva uzeta vezana na drugom kraju za terele tdine G. kdan teret G lezi na horizontalnoj a drugi na kosoj hrapavoj povrsini s koeficijentom trenja f=0,4. Rubovi preko kojih prelaze uzeta glatki SU, a letina uzeta zanemariva. Odredi ubrzanje (ereta Q ako je poznato: Q=20N, G=5N, f=0,4 i a=45".

dW~F'dY~Fdrcos(ft,df) ~Fdrcosa,

Slika 2.7.12

ili

Slika 2.9.1 Ra(l silt' P 113 pulu od polozajil tom putu, a odreduje se izrazom:

2.9.1 2.9.2

d0 polozajE 1

dV;'~ ; !,

Jedinica za rad je rad sile od 1 N n2. putv od 1. m, i naZlV2 se dzul lJOU1}, 2. ozna(;ujt sa 1J~lNm=l

ili skrac:eno

42

Materijalna tocka

Dinamika

43

G

2.9.1. RIJESENI PRIMJERI

An

PRIMJER 2.9.3 su dijagnmri sHe Ii vlice i brzine dizanja tereta U ovisnosti 0 vremenu do desete sekumie l pokazani na slid 300 2.9.4. Tezina uzeta ruje uzeta U obzir. 200 Odredi rad je izvden na tereta.

PRIMJER 2.9.1 Teret tezine G=100N, premjesten je u r'avnini x-y iz polozaja 1 u po!ozaj 2, po glatkom putu kao sto je prikazano na slid 2.9.2. Odredi utroseni rad na premjestanju tereta ako je L=100m i H=50m.

F

I L_--,~..,....,....-..,....,

~

~oo:

~~,I~-L~~~~~!-Li~i~I__~~

Rjesenje. Sile koje djeluju na tlJelo su sila tdine G i pritisak pod loge N. Elementarni utroseni rad premjestanja tereta, u ravnini x-y jest:

Slika 2.9.2

dW=G'dS+!Y'dS= -Gdy, jer je

!Y.l as. Utroseni rad je jednak: 2

f

W1,2 =- Gdy= -G(Y2 -Yl) = -GH= -5.000Nm. 1

Ll

a 1 = -;; =

a

100

100 _ _ g = 200 g = O,::>g ms 2.

b. U drugoj fazi gibanja brzina je konstantna (a2 =O) i jednaka: v = V r=2s = a 1 t = 0,5g'2 = g

ms- 1 .

Slika 2.9.3

Rjesenje. U nekom trenutku premjestanja sile koje djeluju na tijelo jesu: sila povlacenia S sila tdine tijela G, ukupni pritisak podloge N i sila trenja T=fN. .. ,

c. U treeoj fazi je jednoliko usporeno gibanje s ubrzanjem:

L3

G3

Ukupna sila u smjeru gibanja, to jest u smjeru kosine jest:

= -;; =

-og 100

= -

100 __' 200 g = -O,)gms £.

FS =LFSi =Scosp -Gsina -JrGcosa = =

160coslOo -100(sin45° -O,2cos450) =90,249N.

t

Rjesenje. lz dijagrama promjene sile U ovisnosti 0 ~ 8 ID (s) o vremenu vidi se da je sila uzeta u prve dvije sekunde konstantna i najveea. lznosi 300 N, a nastaje od tdine i sile inercije tereta pri jednoliko ubrz:anom diz:anju. U vrijeme od druge do osme sekunde sila je konstantna, a i brz:ina dizanja je , . 468 (s) 10 konstantna. To znaci da je sila uzeta jednaka teiini 0 Slika 2.9.4 tereta i iznosi 200 N. U vrijeme od osme do desete sekunde gibanje je jednoliko usporeno. Sila je konstantna i najmanja, a gibanje je jednoliko usporeno. Iznosi lOON, sto znaci da je uzrokovana tezinom i sHorn inercije usporenog dizanja. Ovom analizom moze se zakliuciti daje teret tezine G=200N, sila inercije pri ubrzanju je L j =Fc G=100N, a pri uspo~enjli je ~=F3-G=-lOON, liZ karakteristike gibanja:

a. U prvoj faz:i je jednoliko ubrzano gibanje s ubrzanjem:

PRIMmR 2.9.2 Tijelo tezme G je je '!'Deeno silom S i premjesteno iz 1 u 2, po hrapavoj kosini u ravnini x-yo Sila S je djelovala pod kutom (3 u odnosu na kako je prikazano aa slid 2.9.3. Polozaj 2 je od poloiaja 1 viSe za veliemu H. Odredi utrosem rad pd tom premjestanju tijela, ako se zna daje: G=100N, S=160N, f=0,2, H=20m, ;3= 10° i a=30c.

I !TTl

d. Visina

dizanja tereta jednakz jest: =

I vdt = 8g = 1=0

v-I od [=0 do 1= lOs).

m

44

Materijaina tocka Rad izvrsen pri dizanju tereta na visinu H jest: W= GH =200·78,48

= [(2x-y+z) i

+

45

2.9.2. PRIM:JERI ZA SAMOSTALNORJESA VANJE 15.696Nm.

=

PRIMJER 2.9.4 Na materijalnu tocliu djeluje sUa koja je fUl1kcija prema izrazll:

P

Dinamika

(x+y- z 2)I + (3x-2y+4z)

2.9.1 Materijaina tocka giba se u polju sila gdje je sila u nekoj tocki prostora dana sa izrazom:

UI"aIL"'" li

prostorll

k]N

Aka se tocka giba u ravnini x-y po kmznici koja ima centar u i~hodistu i radius r=3m, odredi rad sile tog polja sila na Pl.ltu pri kojem tocka proue jedan puni krug.

Tocka se giba pravocrtno i to iz tocke A(O;l;O) m, do tocke B(l;l;l) m, zatim od tocke B do tocke C(l;l;O) m, i konacno od tocke C do locke A. Odredi koji je izvrsen rad sile danog polja sila djelujuci na tocku pri opisanom gibanju.

2.9.2 Na materijalnu tocku djeluje sila ovisna ~

~

F=[3i Rjesenje. Gibanje tocke je po kruznici u ravnini x-y pa se analizu moze izvrsiti pomocu poiarnoga koordinatnoga sustava za koji vrijedi da je:

x

=

r coSIp

y = r sinlp.

Trajektorija gibanja tocke je kruznica radiusa:

r ::: X f

+Y

J : : r cos
f + r sincp 7·

0

vremenu prema izrazu: 1

~

+4(t-~)j]N

t

Tocka se giba tako da joj se koordinate x i y mijenjaju s vremenom po zakonu x=t 2 m

Y=(3t 3 -2j2)m.

Odredi izvrseni rad sile u vremenu od tj = 1 s do trenutka t z=2 s.

Eiementarni pomak je prema tome: df ~ (-

r sinlp

i + r cOSIp I) dip.

2.9.3 Zakon gibanja materijalne tocke zadan je vektorom: f~[(t2+l)i+2t2J+t3

m.

Sila danog polja sila za ravninu x-y moze se prikazati izrazom:

P = (2x -y)f +(x +y)J +(3x -2y)k = = r(2 COSqJ -sm
i + r( cos

Elementarni rad je jednak: dW =

p. df ~ ~

[r2 (2cos

?

(1 - sm

Rad sile zadanog polja sila na putu po cijeloj kruznici u ravnini x-y jest: W= o

Na tocku djeluje sila polja sila u kojem je sila u nekoj tocki prostora dana izrazom:

P ~(3xy i -5z1 + lOxk) N. Odredi izvrseni rad sile tog polja sila koja je djeiovala na tocku od trenutka t, = 1 s do trenutka t2=2 s.

46

Materijalna tocka

2.10. KONZERVATIVNE SILE

47

Ako je put izvrsen po zatvorenoj trajektoriji, to jest, ako je materijalna tocka pocela i zavrsila put u istoj tocki, tada je:

Na materijalnu tocku pri prijelazu iz polozaja 1 u polozaj 2 djeluje sila polja sila. Ako rad te sile F na prijelazu iz polozaja 1 u polozaj 2 ne ovisi 0 putu kojim se gibala ta materijalna locka, tada se takva sila zove konzeFvativna sila. Pri bilo kojem putu materijalne tocke u konzervativnom polju sila iz polozaja 1 u poiozaj 2 (vidi sliku 2.10.1), rad sile konzervativnog polja sila uvijek je isti. Slika 2.10.1 Da bi neka sila bila konzervativna moraju biti ispunjena dva uvjeta: 1. sila ovisi 0 poloZaju u prostoru i predstavlja djelovanje polja sila

F ~ F(x,y,z),

Dinamika.

1

W, . ~ idU ~ 0,1 J

vU

au,.

~

ax! +

2.11. FUNKCIJA SILA ILl SKALARNI POTENCIJAL

2.10.1

au,.

a/

au~

+

2.10.6

1

Skalarna funkcija U koja irna to svojstvo da se sila polja sila moze prikazati s gradijentom te funkcije F=liU naziva se funkcija sila iii skaiami potencijaL Za silu nekog polja sila F=F(x,y,z) rotor te sile moze se prikazati sa:

az k.

2.10.2

~F

2.10.3

rr j _ Ia a

_

2. za silu mora postojati skalarna funkcija U, koja ima to svojstvo da je sila gradijent te skalarne funkcije, to jest:

F~

u1 - U,- ~ O.

f

I

a

lFx Fy

FzJ

rot F ~ Ii x F ~ ax Oy

az 2.1Ll

lz uvjeta 2. slijedi da mora biti ispunjeno

au ax

~F

au Oy

x,

~F

au az

Y

z,

a to znaci da mora biti ispunjen opci uvjet daje parcijalna derivadja smjeru s, jednaka komponenti sile u istom tom

au

-

as

~

~l'

s

(za

s

~

U ponekom

x,y,z iii bila koji smjer).

Za konzervativnu silu moraju biti ispunjene jerlnadzbe 2.10.3, pa jednadzba 2.11.1 ima vrijednost: Ii x

I

F ~ ( a 2U _ a 2U i

+

\ o-jaZ czOy}

(0 2U _ a 2U

II

a 2U _ a 2U) f ~

+ (

azax cxoz)

ij,

\ axOy. OyOX

2.10.4 a to znaci da je rotor konzervativne sile za cijeli prostor jednak nuli, pa za takvu sHu moraju biti ispunjeni slijedeCi uvjeti:

Elementarni rad sile za koju su ispunjeni uvjeti 1. diferencijalom skalarne funkcije U=U(x,y,z):

2. moze se izraziti s totalnim

dW~F'df~liU'd1~ oUdx+ audy+ aUdz~dU. ox

Oy

of, _ aFy

ay-a.;-'

oFy ~ aFz

aFz ~ oFx

az

ox

Oy

Kada Sil ispunjeni uvjeli 2.11.2, sila je kozervativna i ima svoju funkciju sila. Funkcija sila se odreduje iz rezultata integriranih izraza 2.10.3:

oz

Prema tome, rad konzervativne sile na putu od polozaja 1 do polozaja 2 jest: ~ J(duF ~ U2 - C'Tl'

2.11.2

az

2.10.5

=:

[I =

Vidi se da rad koruervativne sHe ne ovisi 0 pUlEU kOjinl se premjestala materijalna locka b: 1 i1 sile za konacan i polozaj.

dx

!;()',z)

+

C1

{F,. efv ...

4-

C_

(p dz J~ z

..:.. C" -'

U =.jFx

+

+

'

48

Materijalna tocka

49

Dinamika

2.12. POTENCIJALNA ENERGIJA

2.12.1. RUESENI PRIMJERI

Uvodenjem funkcije V, koja ima to svojstvo daje V=-V, moze se rad konzervativnih sila na putu iz polozaja 1 u poloiaj 2 izraziti sa:

PRIMJER 2.12.1. Na materijainu tOCKU

2

2

2

J

W1,2 = rF- dr =JrdU = - -dV = V! - 172

J 1

1

2.12.1

=- Ll V.

1

sila polja sila 1,2lI:iarl{l:g sa:

P= [(2xy +z3f{+x 2I+3xz 2 k]N a. Ispitaj ima Ii zadano polje sUa §voju sila i ako ima, odredi kako glasi. je na tocku b. Odredi koji je izvrsen rad sHe tog polja sib pri pravocrtnom gibanju iz A(1;-2;3) m, U

Tada se sila moze prikazati sa:

6 __ nv __ -av~_av~_avk­ v I -J - . ax By oz'

2.12.2

,. -

Rjesenje. Parcijalne derivacije za dana polje sila za uvjete 2.11.2 glase:

of

x

av

p = _

•

F =_

ax'

y

av By

aFy

av oz

z

Vaznije konzervativne sHe, njihova funkcija sile i koristimo u kinetici jesu:

energija, koje cesto

1. Svaka konstantna sila : P=ai+bI+ck,

U=ax+by+cz+C

oz aFz ax

2.12.3

F=--.

Funkciju V zove se potencijalna energija. Potencijalna energija kao i funkcija sila ima dimenziju Nm. Potencijalria energija se cesto oznacuje i oznakom Ep'

_Y

=

2x,

=

0

oFz

=

0,

V= -ax-by-cz+C1.

au ax By

P=

-

Gk,

U

=

az

=

3z 2

aFx

az

2xy + Z3

mora biti

2

U = LX ,r (y' z) + C ,,, l' 2 .JV + z3Ji: + Jl

=:;::2

y

z

mora biti

Analizom rezultata integracije vidi se da za funkciju sila danoga konzervativnog polja sila zadovoljava rjesenje:

3. Sila privlacenja dviju masa: mm V= _k_l_2 +C r

F

j~x'

y=-+

2

C

1

.

Rad sile zadanoga konzervativnog polja sila koje djeluje na iz tocke A u tocku B jest:

4. Sila opmge iii eiastirnog sistema:

F=

By

~.

=

-au =F =3 xz£'

-Gz+C

ax

Vidi se da su trazeni uvjeti ispunjeni, a to znaci da je polje siia konzervativno i da ima svoju funkciju sila. Funkcija sUa za zadano konzervativno polje bit ce odredena na osnovi formula 2.11.3 !cako slijedi:

au =F 2. SUa teZine:

2x

By

a to znaci da je

of

=

I'

tocku pri prijelazu

50

Materijalna tocka

PRIMJER 2.12.2 Koji rad treba izvrsiti aa se mll!'a me od jednog kiiograma digne s ~~,,,.·r: .. ~ zemlje do tocke gdje je siia privlacenja te mase od i sunca po iznosu. Potrebne velicine za proracnn ozuacene su sa: udaljenost izmedu centra zemlje i centra SUDea sa L, masa sunea sa M, masa zemlje sa m, radius SUDea sa R, radius zemlje sa r i Uluvt,"zalna lWHstaHta privlacenja masa sa k. Vrijednost tih velicina jest: L = 1,5'1011 m; m = 5,98'1024 kg; r = 6,37'106 m

Fl

m F2

!

m

~s:"(t ~I~ 2~

1

Slika 2.12.1

2 S2

iii

PRIMJER 2.12.3 Na opruzi za G=lON. velicinu fo = 50 em, iezi teret Nepritegnuta dl.lzilla opmge je L. Kada 5e opmga otpusti, tako aa ostane pritegnuta sarno za fj =25 em, teret G odleti na visinu H=lOm. Odredi krutost opruge. Otpor zraka i tezina opruge neka se z
Analiza zadatka. Sile koje djeluju na teret sarno su sila [dine i sila opruge. Obje sile su konzervativne i imaju svoj porencijal koji se opceniw maze za obje izraziti sa:

/331104

=

kf2

V=---+Gy+C.

2

Rjesenje. U pocetnom i konacnom poJozaju teret miruje, a to znaci da se ukupna poteneijalna energija sistema ne mijenja pa mora biti:

~75,42 =n.

Vi

=

V2 ,

Odmjeravanjem velicine y od pocemog polozaja tereta taj uvjet glasi:

Kao rjesenje dobiva se da su udaljenosti SI =

51

Slika 2.12.2

M = 1,98'1030 kg; R = 6,95'10 8 m; k = 6,67'10- 11 m 3 kg- 1 s- 2 ,

Rjesenje. PoloZaj gdje je masa me priv!acena od mase sunea j mase zemlje jadnakim iznosom sile nalazi se na udaljenosti SI od sunca i na udaljenosti Sz od zemlje. Pri tome mora zbroj udaljenosti od zemlje do sunca biti jednak Sl+S2=L. S druge strane iz uvjeta jednakog privlacenja mora biti ispunjen i slijedeci uvjet:

m mo =k--

Dinamika

1497,44' 108 m

kf/

kl

2

2

_0 +C=_l +GH+C,

Ako se udaljenost mase IDo od centra zemlje oznaci sa x, tada je potencijal sile privlacenja mase n10 od mase sunea i zamlje dan izrazom: V= -k mmo -k Mmo + x L - x

c.

Iz tog izraza slijedi rjesenje za krutost k, koja iznosi: k= 2GB = 112 -

Rad koji treba izvrsiti da se masa IDo=l kg digne sa povrsine zemlje (x=r) na udaljenost od centra zemlje S2, jest:

10- 11 10-11 10- 13 637'3,311 "--1,-49-7"- 2,59 3,311) 0

j}

2,10,10 0,5 2 - 0,25 2

=

1066,7 Nm-l,

Materijalna tocka

52

Dinamika

53

2.13. KINETICKA ENERGIJA

2.12.2. PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAVAJ"l"JE. lspitaj jeli polje sila P = (x 2 i +iJ +Z2 k) N konzervativno polje sila. Zatim izracunaj rad sile tog polja sila, koja djeluje na materija!nu tocku pri pravocrtnom gibanju od ishodista do tocke A(l;l;l) m, zatim od tocke A do tocke B(l;l;O) m, i konacno od

2.12.1

tocke B do ishodista.

2.12.2 Polje sila P = (yzi + zxJ + xyk) N jest konzervativno. Nadi izraz za potencijalnu energiju, ako se uzme da je u tocki A(1;l;-l) m, ona nula.

Kineticka energija je skalarna velicina koju oznacujemo sa T iIi E k , a predsravlja izraz: 2

T

=

~

2

=!!!. v·v. 2

2.13.1

Materijaina tocka koja miruje nema kineticku energiju. Kineticka energija je energija gibanja za razliku od potencijalne energije koja je energija se kine[icka energija naziva zivom silom jer se njome moze vrsiti rad. Dimenzija kineticke energije je Nm.

2.14. JEDNADZBE RADA I ENERGIJE 2.12.3 Teret G=lON moze kliziti po glatkoj vertikaino polozenoj poiukruznici, i vezan je oprugom krutosti k=O,4N/cm, kao sto se vidi na slici 2.12.3. Odredi koji je rad potrebno izvrsiti za premjestanje tereta iz polozaja A u polozaj B. Duzina nerastegnute opru~e je Lo=3 m, a L=4m i R=1,5m.

a. Opce sHe Pri gibanju materijalne tocke mase m iz polozaja 1 u polozaj 2, na koju djeluje ukupna sila P, koristeci jednadzbu gibanja F=mii, moze se izraz za rad prikazati na slijedeci nacin:

o :/

f.,!~i--

___1_ _ _ _~ Slika 2.12.3 DobiE smo:

2.14.1

2.12.4 Opruga ima krutost k=5N/cm. Odredi: a. Rad sile koja je rastegnula oprugu za x=30 em. b. Koji je dodatni rad potrebno izvrsiti da se opruga rastegne jos za 10cm.

k

~

,

1"

11»1

Slika 2.12.4

x

101

To je prvi oblik jednadzbe rada i energije koji glasi: Rad svih sib koje djeiuju na materijalnu tockll, koja se gina iz 1u 2, jedllak je promjeni kineticke energije te materijalne tocKe nastaie pri pdjelazu iz poiozaja 1 u 2. Jednadzba rada i energije moze se pisati i na ovaj nacin: 2.14.2 Taj drugi oolik Jednadzoe rada 1 energije glasi: Prj gibanju tocke iz

Promatranjem podintegralnog izraza u izvodu jednadzbe rada i energije

o::.dT.

2. L4.3

54

Materijalna tocka

Ta jednadzba pokazuje da je elementami rad ukupne sue koja dljeluje na tocku kineticke energije. Za pravocrtno gibanje jednadzba rada glasi: 2 =

2

2

Dinamika

55

b. SHe SI! kUlzenativIle i, Nekonzervativne site su one pri gibanju trose mehanicku energiju pa su zato i nazivane disipativnim sHama. Tipicne disipativne siie su sUe koje nastoje sprijeciti gibanje kao sto su sile rrenja, otpor fluida i slicno. Ako na materijalnu tocku dje!uje ukupna konzervativna sila i ukupna siia Fd , tada je fad tih siJa pri prijelazu iz polozaja 1 u polozaj 2 jednak

2

JFxdx = J mxdx = J m Iii idt = J d(m2ii) 1 1 1 dt 1

2

2.14.4

=

r

2.14.7

J

1

Za gibanje materijalne tocke u prostoru na koju djeluje sila

F = F x f + F y J"" + F z"k lIma f=xf+yJ+zk, moze se

Rad konzervativnih sila moze se izraziti potencijalnom energijom:

brzinu +vyJ+v/, a polozaj joj odreduje radius vektor analogno pisati jednadzba rada: 2

J F·df 1

m 2

2

JrFk'df=

171 -

2.14.8

2

=

a rad disipativnih sila moze se oznaciti sa:

J(Fxdx+Fydy+Fzdz) 1

.

2

JFd'dP

=

W1,2 d '

2.14.9

2.14.5 lednadzba rada

energij" sada se moze 'dati izrazom:

sto znaci da je:

2.14.10

Ta jednadzba omogu6uje da se zakon promjene mehanicke energije u disipativnih sila napise u obliku:

2.14.11

2.14.6 Sam rad disipativnih sila moze se izraziti jednadzbom: W1,2d = (V2 - VI) + (12 - 1 1 ) = 11 V + h.T = h.(T + V) = h.E.

2.14.12

gdje zbroj potencijalne i kineticke energije zovemo mebanicka energija i sa E. Rad disipativnih sila uvijek je negativan ,ier se svladava orpor gibanju i trosi energija. Prema izrazu 2.14.11 vidi se d2 je za materijalnu wcku na konzervativne i disipativne sile, pri gibanju iz polozaja 1 u polozaj 2, zbl'oj ulmpne mehanicke mergije II

56

Materijalna tocka

c. Sile su sve konzervativne

57

Dinamika Normalni pritisak na kontaktu kamena i valjka jest: 2

Ako na materijalnu tocku pri gibanju iz polozaja 1 u polozaj 2 djeluju samo konzervativne sile, tada se rad tih sila maze izraziti jednadzbom: 2.14.13

N=Gcos
G V'l' ~maN=GcosqJ ~--,

g r

Kontakt prestaje kod onog kuta 'P kod kojega je normalni pritisak nula. Uzimajuci da je N=O, dobiva se druga veza za kut i brzinu za trenutak kod kojeg upravo prestaje komakt, a glasi:

iz koje slijedi da je;

2

2.14.14 a IO znaci da je; 2.14.15

L'1(V+T)=L'1E=O.

2.14.1. RIJESE]'<,'I PRIMJERI PRIMJER 2.14.1 Kamen tezine G nalazi se na vrhu glatke valjkaste povrSine radius a I' =1 m. Ako se kamen gurne brzinom vo=2 mis, on ce klizuuti po povrsini i s njom ce kontakt pri kutu
mv

2

'j ~

mv ~

~Gr(l ~COStO) 'f' ~

L

lz te jednadzbe dobiva se opci izraz za brzinu v~

Rjesenje za trazeni kut jest:

2 Vo c08«,=-+--=08026 3 3rg ,

+2gr(1

U

ovisnosti

~cosq;).

kuru \t,

glasi:

mv~

h~

2

2

mvi 2

hi

- - + - +C = - - + - - +C~2Gr.

2

lz te jednadzbe jest:

=-:,~2gm/.~

0

'B

S!ika 2.14.2

Rjesenje. Djelujuce sile opruge i tezine konzervativne su pa vrijedi zakon oddanja energije:

a nakon uvrsrenja

+C.

q;=36037 121 I l

iii

PRIMJER 2.14.2 Teret tezine G=20 N moze se gibati po dijeiu pI'stena vertikalno radiusa 1."=2 dm, a vezan je 'lprug'lm krl.ltosti k=l N/cm. Drugi kraj nprugc je vezan za tocku 0, Aiw teret krene iz tocke A brzinom vo=O,l mis, odredi brzinu tereta kada dode u tocku B. Tocka A je najvisa tocka, a tocka B je rocka prstena. Nerastegnuta olliina opruge jednaka je I'/2.

2

+C = __'1'

rgcos(jl.

2

To je treci oblik jednadzbe rada koji vrijedi ako na malerijalnu IOcku djeluju sarno konzervativne sile, a glasi; Karla na materijalnu tocku djell.lju sarno konzervativne sile, tada je za vrijeme gibanja zbroj potendjalne i kineticke energije konst;mtan, odnosno. nema promjene mehanicke energije. Izraz 2.14.14 prikazuje zakon ood::mJfl Plmelumicke' energije.

__ 0

Vq>=

dobiva se da je brzina kojom ce tijeJo

~tici

u toeku

l~

58

Materijalna tocka

PRIMJER 2.14.3 Teret tezine G=150N moze kliziti po glatkoj vertikalnoj ,""liilie; a vezan je elasticnom vezom krutosti k=5N/cm. A karla je veza l.l horizontahwHl vezeje Lo=4m. Vezaje koja je na udaljenosti L=4m. Ako se teret odjeduom pusti siobodllO, odredi: a. brzinu tereta karla se spusti do tocke B za veiicinu H=3 m, b. all kojeg Hmax ce se spustiti teret i koliko ce biti rastegnuta opruga u tom tre,mtku.

PRiMJER 2.14.4 Odredi za koju je velicinu x potrebno pritegnuti oprugu krutosti k=2Nicm na se oslallja blo" tezine G=HlN, da otpmtanjem opruge biok bude odgunmt tako da slijedi prikazani put i na kraju horizontalno odskoci s visine H=5cm, na se zanemare. Slika 2.14.3

n'
- - +C

2

mVB

= --+-

2

2

59

Dinamika

-GH+C.

Slika 2.14.4

m"'''.!t;U'u,,,,

L=6cm. T,enje i svi otpori neka

RjeSenje. Oprugu treba toliko pritegnuti da se stvor! dovoljna potencijaina energija kojom bi se nakon njezina otpustanja srvorija potrebna kineticka energija bloka. Potrebna kineticka energija blaka mora biti tolika da se njome izvrsi rad dizanja bloka na visinu H i da blok na taj visini zadrZi horizontainu brzinu kojom maze horizontal no odskociti i pasti na udaljenosti L na tlo. Kinematika. Odskok bloka je horizontaini hitae kojem je vertikalno gibanje slobodni pad, a horizontal no gibanje je jednoliko s konstantnom brzinom v. Ako vrijeme padanja za visinu H tfaje to sekunda, rada se moze izraziti: 2

gtQ

Frema tome brzina za taj [renutak jest:

H=-

"2

2 k, 2 2) A H VB=-tXA-XB +Lg.,

pa je prema tome:

m

XA

i

XB

V2=~ 2H

to =2-

oznacuju velicinu raztezanja opruge, u poiozaju A i B, koja iznose: =

·2

H

2

gdje

g

1m.

Na maksimalnu vrijednost HmaX' teret ce se spustiti kada se brzina tereta izjednaci s nulom, odnosno: a)

Kinetika. SHe u sistemu su konzervativne pa se moze koristiti zakon oddanja energije u obliku: kx 2 mv 2 -+C=GH+--+C.

2

2

Kao rjeSenje konacno se dobva velicina potrehnog pritezanja opruge, a iznosi: I X=

U tom trenutku ce opruga hiti rastegnuta za velicinu:

(

,

~ k \

2H)

IQ,2H+~1

=

8.246 em. .

Ill!

kraju

b) iz jednadzbe a) dobiva se da .Ie brzina u wcki B jednaka

=3.725m

PRIMJER 2.14.5

Terer G kada miruje

Ako se teret Uigilt na visum. H=l ill i pusH da p"tillc. na kiraj nosaca, nastat ce dinamicki progih fd' Oared; vi:ljCim.l Vlastita tel-lim, nosaca neika se zanernari.

Slika 2.14.5

60

Materiialna tocka

Rjesenje. Sistem je konzervativan. Rad sile tefine trosi se na stvaranje derormacije konzole. Kineticka energija u trenutku pustanja tereta da pada i u trenutku na kraju pri ostvarenoj deformaciji fd je nula. Prema zakonu odrzanja ukupne mehanicke energije vrijedi: C

=

-G(H

+fd)

Dinamika

61

Prema zakonu odrZanja mehanicke energije

mv~

km m

2

Rz

__ - __ z_ + C

kf;

+2 +C.

2

k

2

+2km

Vo =V

2 -l.d G.f _ 2 -G H --

k

,2 - ~.f .. fd LJ ·'d

km.m

2

Rz +H

+ C.

lz te jednadzbe moze se izraziti:

Ta jednadzba moze se prikazati sa: 1'2 _ Jd

mv 2

= __ - --'-

- ~f BY - 0 L _ - .

1 \ l- ---I' Rz+H;

(1 z Rz

.-

U zimajuci u obzir da je: Realno rjesenje te kvadratne jednadzbe glasi:

fa

= fst

+V/;' +2fst H

=fst ( 1 +

km m

__ z_ =

~ 1 +2~ ) =fstTl,

R;

G

=

mg

odnosno

konacno se dobiva: gdje koeficijent T] pokazuje utjecaj pada tereta s visine H na staricki progib f,t, a naziva se dinamicki koeficijent iIi faktor uvecanja statickog progiba. Od pad a tereta G sa visine H dobiva se da su faktor uvecanja statickog progiba i dinamicki progib jednaki:

11

=

1+

~

1+2

~

=

11 ,05

j~ =

1st 11

2'

Vo

0

"'V~

2gH Rz +H

+ ---

a. Da se tijelo digne s povrsine zemije na visinu H. porrebna je pOCetna brzina

I

= 22,1 em.

2gHRz v = ,--o ~ Rz +H b. Prva kozmicka brzina je minimalna brzina kruzenja VI pri sili privlacenja, to jest: normalne komponente ubrzanja

je sila inercije od

odnosno PRIMJER 2.14.6 Odredi koju pocetnu brzinu treba dati tijelu mase m da bi se podiglo s povrsine zemlje na visinu H. Odredi takoder prvu i drugu kozmicku brzinu. Otpor zraka neka se zanemari. Prva kozmicka brzina je minimalna brzina koju. mora imati tijelo pri poletu s povrsine zemlje da uleti u orbitu i kruzi oko zemlje.

Uz

R z =6,37'106 m, ona iznosi:

y

VI =

Slika 2.14.6

Druga kozmicka brzina je min}maina brzina koju mora imati tijelo pri poletu s povrsine zemlje da ode u svemir

{iiI; = V9,81'6,37 '10 6

7,905 '10 3 mls.

c. Druga kozmicka brzina je minimalna brzina kojom ce tijelo odietjeti na visinu H beskonacno vehku, a ona je jednaka:

v,

=

\/2gRz

\) Rjesenje. Za dizanje tijela potrebno je dati tijelu kineticku energiju koju treba utrositi na rad svladavanja djelovanja sile pri\'Iacenja. Sila privlacenja je konzervativna sila pa S'C njezin rad ITiehanickt rnvZe prikazat: s energije.

=

H

11,1794 ~

mis.

62

Materijalna tocka

PRIMJER 2.14.7 Za koju ve!.ichlll. x je potrebno pritegnuti opmgu krutosti k=4N/cm prije aa blok teZlne G=10N bude opmgom gurnut dovoljnom pocetnom brzinom da slijedi glatki vodeni put i s njime lll.e gubi kontakt.

Slika 2.14.7

Rjesenje. Uvjet rjesenja je da opruga bude toliko pritegnura da potencijalna energija opruge moze izvrsiti rad dizanja tereta na visinu 2R brzinom koja ce dati inercijsku silu od cemripetalnog ubrzanja jednaku tezini tijela. Put je glatki, nema disipativnih siia, pa se moze koristiti zakon oorZanja mehanicke energije.

Kinetika. Prvo ce se odrediti minimalnu brzinu koju mora imati blok u najviSoj tocki kruga. U tom trenutku mora iznos sile inercije biti jednak tezini bloka, to jest:

L=G

iii

v 2 =gR.

daje

Zakon oddanja mehanicke energije daje inogucnost da se odredi velicina x: kx 2 +C

2

mv 2

= --

2

Dinamika

63

2.14.2 Blok [ezine G=20N, miruje na glatkoj elipticnoj povrsini u polozaju A na visini H =8 em iznad tocke O. Blok je vezan elasticnom oprugom krurosti k=4Niem za nepomicni centar O. Nerastegnura duzina opruge je Lu=lOcm. Ako .ie blok gurnut u polozaju A pocetnom brzinom '1'0=4 em/s. odredi sa kojom ce brzinom sti6i blok u polozaj B. Polohj lOcke B se nalazi na udaljenosti L= 14 em od tocke 0 (vidi sliku 2.14.9).

Slika 2.14.9

2.14.3 Teret tezine G=5N miruje u polozaju A. Teret je vezan elasticnom oprugom krutosti k==2 N/cm, i moze klizati po glatkoj vodilici kao sto je pokazano na slici 2.14.10. Duzina nerastegnute opruge je La == 40 em, a vel icina H == 50 em. Ako se pusti da teret klizne iz tocke A niz vodilicu prema tocki B, odredi brzinu kojom 6e udarl,i na kraj B ito: a. ako je vodilica u vertikalnoj ravnini i b. ako je vodilica u horizontalnoj ravnini.

+G2R+C.

Slika 2.14.10

Minimalna velicina x je jednaka:

x

=

4~R 2 ~ + m;

!SGR

=

~

----;;-- =

O,1m

=

2.14.2. PRIM:JERI ZA SAMOSTALNO RJESAVANJE 2.14.1 Teret tdine G=5N pridrZan je u poloiaju A na glatkoj horizonralnoj vodilici. Teret je vezan za jedan kraj opruge krutosti k=2N/em. Drugi kraj opruge je vezan za nepomicnu (ocku 0 koja se nalazi iznad tocke B na uaaijenosri H =!sO em. U nerastegnutom stanJu auzina opruge je Lo=60 cm. Tocka A je na udaljenosti L=60 cm od tocke Ako se tijelo pusti slobodno ono ce se poceti gibati prema tocki B. Odredi kojom ce brzinom doci tijelo u tocku B.

10 em .

2.14.4 Po kosini s nagibom a=30o spusta se teret tdine G. U tocki B kosina prelazi u valjkastu povrsinu radiusa R=2m.(Vidi sliku 2.14.11). Poznato je da je teret u tocci A imao brzinu vA = 1 mis, da je cijela povrSina glatka i da je visinska udaijenost od tocke A do najnize tocke h=(),5m. Odredi kut rp koji odreduje tocku C gdje 6e se teret zaustaviti.

Slika 2.14.11

2.14.5 Blok tdine G==40N, pusten je u tocki 1 da klizi niz glatku krivudavu m. a. Pritisak bloka na ako je radius zakrivljenosti na tome mjestu 111.

Siika 2.14.12

64

2.14.6 Teret G=20N vezan je nerastegnutom oprugom krutosti k=2 Nicm i miruje na horizontalnoj glatkoj povrsini u polozaju 1 koji odreduje duzina L=4 dID i H =3 dID. U tom polozaju se odjednom pocne vuci teret konopom prebacenim preko koloture i to konstantnom horizontal nom silom F=100N kako je pokazano na slici 2.14.13. Odredi koju ce brzinu imati teret u trenutku kada on prijede put x=1,75 dID.

Materijalna tocka

r- - - - 1 I J

,

'"I

I

x F

Slika 2.14.13

.1'.._tl.k

2.14.7 Materijalna tocka mase m stoji izmedu dviju jednakih ~_ F~_ nepomienih masa M na medusobnoj udaljenosti 2L kako je L' L~ pokazano na slici 2.14.14. i'" 1>1"<1 ~ Stika 2.14.14 Ako se masa m pokrene sa brzinom Vo prema jednoj masi M, odredi koju ce brzinu imati masa m kada prevali put s=LI2.

2.14.8 Blok tezine G=lOON gurnut je sa brzinom vo=2 m/s niz hrapavu kosinu nagiba ",=30° i f=0.2. Na udaljenosti L= 1 m blok se zaustavi na pritegnutoj opruzi krutosti k=40N/cm. Opruga je prije udara bloka bila pritegnuta za velicinu o=5cm (vidi sliku 2.14.15). Odredi maksimaino skracenje opruge omox nakon naleta bloka.

Slika 2.14.15

2.14.9 Teret tdine G=lOON moze kiiziti po glatkom dijelu prstena radiusa .=2 m kao sto je pokazano na slici 2.14.16. Ako je teret dignut iz poJozaja 1 u poiozaj 2 povlacenjem uzeta konstantnom silom F=200N, odredi D;-zinu te;:-ei2. L Lrenulku kaoo. sngnt L

SEka:2, 14.16

Dinamika 2.14.10 Teret G=SON je vezan za oprugu krutosti k= 1 Nicm i leii pridrZan u polozaju 1 na glatkoj horizontalnoj podlozi na udaljenosti L=2,5 m kaleo je pokazano na slici 2.14.17. Nerastegnuta duzina opruge je Lo= 1,5 m, a teiinajoj se moze zane mariti . Ako se teret pusti slooodno, opruga ce ga pokrenuti. Odredi brzinu tereta u trenutku kada dode u polozaj 2, koja je ispod tocke 0 na udaijenosti H=1,5m.

65

66

Materiialna tocka

Dinamika

67 PRIM:JERI

2.15. SNAGA

2.15.1.

Svaki rad moze biti izvrsen za kraee ili duze vrijeme. Mjera kojom brzinom je izvrsen odredeni rad jest snaga. Ako je rad A W izvrsen u intervaiu vremena At, tada je sredpJa iii prosjecna snaga za taj interval vremena oznacena sa

PRIMJER 2.15.1 Tenet tezine G=l kN miruje nll hrapavoj kosini nagnilltoj pod kutom 0'=30°. Koeficijent trenja izmedu tereta i kosineje f=0,5 (vidi sliku 2.15.1). Odredi mora imati snagll stroj koji hi povukao teret po kosini na visinu H=60m za dvije minute. Koeficijent korisnog ucinka stroja je '1 = 0,8.

N sred

=AW At'

Snaga u odredenom trenutku vrsenja rada definirana je kao granicna vrijednost srednje snage kada interval vremena tezi nuli, to jest: N=lim At~O

A At

dW dt

Snaga je definirana kao prirast rada po vremenu iii rad u jedinici v[emena, a pokazuje brzinu izvrsenja rada. Snaga je skalarna vrijednost. ledinica snage je vat (W). Ona prikazuje rad od jednog dzula (J) u sekundi (5), odnosno 1 W= 1 Js- 1

=

I Nms- 1 = 1 kgm 2 s- 3 .

Slika 2.15.1 Rjesenje. Prvo treba odrediti koji ukupan rad treba stroj izvr§iti, a zatim rad u jedinici vremena, koji predstavlja snagu. Efektivni rad koji treba iZVfsiti jest dizanje tereta za visinu H i savladavanje sile trenja na putu L=H/sina. W=GH+TL=GH(l+fcosa) = sma = 1000'60(1 +0,51,733) =11.196Nm. Efektivna snaga mora biti 11.196 k7 / •lV'ef -- -W -- - - -_ a~3 ~J "m s t

a snaga stroja

120

N

N =.....!l

Snaga rada sile moze se prikazati sa: N= dW =F· df =F.v. dt dt

1]

2.15.2

U tehnickoj praksi snaga je vazan pojam vezan uz pogonslce strojeve (motore) kojim se vrednuje sposobnost vrsenja rada u odredenom vremenu. Sto je veea snaga stroja, to ee on odredeni rad izvrsiti u kraeem vremenu. Snaga stroja mora biti uvijelc veea od potrebne efektivne snage za vrsenje odredenog rada. Potrebno je utrositi i rad na pokretanje elemenata stroja i savladavanju svih otpora lOm gibanju. Odnos potrebne efektivne snage i ukupne snage stroja odreduje se koeficijentom korisnog ucinka stroja koji je dan izrazom Tj

= Ne! N stroja

1.166 W.

2.15.1

Snaga rada sprega sila iii momenta moze se prikazati sa: N= dW =M· dip =M'(J. dt dt

933 0,8

Q~~ W , -- ~"j

2.15.3

PRIM1ER 2.15.2 Crpka daje kolicinu od Q=720m3 Jh 'lode pod tlakom od p=550N/cm 2 • IzracUl:mj potreollll snagu elektromotora cr.pke ako je koeficijent korisnog uCinka crpke Tj =0,75. Rjesenje. Potreban rad koji treba izvrsiti crplca u jednom satu jest: W = QH Efektivna snaga mora biti:

=

W

a potrebna snaga elektromotora: . N N ej 11

720'550'104 = 396·107 Nm.

396 107 3600 1467kW

0,75

~~

PRlMJER 2.15.3 Vlak ulmpne teZine G=7MN krenuo je sa stanke i giba se u. pravcu jednoliko ubrzano tako da nakon vremena tj =50 s postigne brzinu od v = 54 km/h te dalje nastavija kOl1stantnom brzinom. Ako je pruga imala uspon od 31100, a otpor kotdjanja iznosi f=O,Ol, odredi efektivnu snagu vuce kao funkdju vremena. Otpor zraka neka se zanemari.

,I

Slika 2.15.2

Rjesenje. Prvo treba analizirati sarno gibanje da se ustanovi ubrzanje i odredi silu vuee u ovisnosti 0 vrernenu. Tok prornjene brzine s vrernenom je poznat pa se moze odrediti efektivna snaga u ovisnosti

0

vremenu.

Kinematika. U prvoj fazi gibanje vlaka je jednoliko ubrzano s poeetnom brzinom nula pa je v=at. Prema tome je:

a=

VI

tl

U drugoj fazi gibanje je jednoiiko

= 54.000 ~ =0,3 3.600 50

5konstantnom brzinom pa je

Kinetika. U prvoj fazi vrijedi jednadzba gibanja: ma =F-T-Gsma, pa je sila vuce jednaka: F = ma + T+ Gsma = =

G(~+fcosa+sma)

Slika 2.15.3

=

g

= 7.000(0,0306 +0,01 +0,03) = 494kN.

U drugoj fazi gibanja sila vuee je jednaka: F = T + G sma = 7.000' 0,04

=

280kN.

Efektivna snaga vuee za vlak pri zadanom dobiva se prema izrazu: = Fli) . v(t) , a prikazana je na sliei 2.15.4

Sllk3,2.1SA

69

Dinarnika

Materijalna tocka

68

2.15.2. PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAVANJE

I

2.15.1 Vucna sila kamiona kod brzine od 90km/h iznosi okNo Odredi efektivnu snagu kamiona u torn trenutku. 2.15.2 Koja mora biti najmanja snaga ciektromotora da bi vitlo teret od uz jednoliko gibanje po hrapavoj kosini nagiba a=30o, diglo na visinu H=30m za 5 minuta. Koeficijent trenja izmedu tijela i kosine je (l,S, a koeficijent korisnog ueinka vitIa je 0,80

2.15.3 Pami stroj snage N = HI kW tjera crpku litara vode na visinu od H=30m. Koji je koeficijent korisnog ucinka postrojenja.

za vrijeme t = 12 sat! izbaci

Q= 106

70

Materiialna tocka

2.16. KOLICINA GIBANJA I IrvIPULS Za materijalnu tocku mase m, koja se giba i II nekom trenutku ima brzinu v, produkt te materijalne tocke za taj trenutak gibanja i mase i brzine naziva se kolicinom oznacuje se sa:

Dinamika

71

lz izraza 2.17.2 vidi se da je elementami kolicine gibanja. Kada sila P djeluje na materijalnu rocku za vrijeme tada se sumiranjem svih za intenral vrernena od trenutka t, do trenutka 12 dobije da je: elementarnih 2

2.16.1

2

( dS =

J

KoliCina gibanja je vektorska velicina, a dimenzija joj je kgm/s=Ns. Ako je poznat zakon promjene sile po vremenu P = koja djeluje na materijalnu tocku, sHe i oznacuje sa dS pa je prema tada se veliCina Pdt naziva elementanlim tome:

U ovoj formuli se izraz:

1 f

=J

1

naziva ukupnim

sile koji .Ie djelovao na materijalnu lOcku u intervalu

vremena !.1t=t2 -t 1' uzrokovanim silom F=F(t) i oznacuje se sa Prema tome dobiven je vazan izraz din:::TI.:ke glasi:

81,2:

2.16.2 2.17.3

od trenutka tl do trenutka t2 naziva se Suma elementarnih impulsa . materijalnu tocku za interval vremena llt=t2 -t1 i oznacuje se sa:

-

2

r-

Cesto se taj izraz pise u jednostavnijem obliku:

2

S = 11 ij = m!l v.

rSl,2.=jdS=JFdt. 1

sHe na

2.16.3

I

Elementarni impuls i impuls sile su vektorske velicine dimenzije Ns.

2.17. ZAKON .lMPULSA I KOLICINE GIBANJA Za materijalnu tocku mase m, na koju djeluje sila dv F- =ma- =mdt

Vektor

mv

=

P,

d _ -(mv) dt

2

jednadzba gibanja glasi:

m17l +

ili dq =-. dt

(Pdt

J

2.17.1

m17o. k

2.17.5

F = 0,

tada nema promjene

Izraz 2. 17 .5 pokazuje da: kolicina gibanja matedj aine locke pdje plus jest jednaka koHcini l1akon djeiov
-in::::. U

=

I

je kolicina gibanja te materijalne tocke.Prema izrazu 2.17.1 vidi se da je sila

jednaka promjeni kolicine gibanja u jedinici vremena. Aka je sila kolicine a to maci da je ij=konst. Mnozeci jednadzbu 2.17.1 sa dr, dobiva se:

2.17.4

Dobiveni izraz 2.17.3 predstavlja zakon i kolicine gibanja. djeiovanje nl.l materijainu tocku m:rokuJe promjenu materijalHe tocke. Na drugi nacin moze se kazati da djeiovallje promjell1lu brzine te locke. Zakon kolicine gibanja i impulsa mogJi smo pisati na siijedeCi nacin:

C'

obzir izraz 2.16.2, znaci da ;:::: ffl}'

2.17.2

y:.

F

-7111'

-mv~ ~\

=

2.17.6

Materijalna locka

72

iIi Jednostavnije:

Dinamika

73 KOLICIl\IE GIBANJA

mil +Sx = mi2

my1 + Sy = mY2 mil +Sz

2.17.7

=m~

Ako je ukupna vanjska sila djelovanja na materijalnu tocku mase m jednak8 nuh. tada je: 2.18.1

Kada materijalna tocka vrsi pravocrtno gibanje u smjeru x, a na nju djeluje impuls Sx = S, tada vrijedi jednadzba: 2.17.8

Na materijalnu tocku, koja se giba pravocrmo, dje!uje sila F. Ako se sila mijenja u ovisnosti 0 vremenu, kao sto je prikazano na slici 2.17.1, te treba odrediti impuls iIi promjenu kolicine gibanja i to samo u intervalu vremena 15.t=t2 -tl' to se racuna izrazom: Sl,2 =

"jdS=mvZ-mv1·

if2

=

ifl

=

q = konst.

2.18.2

Ako je ukupni impuls u intervalu vremena 15.t=t2 -t1 jednak nuli, tada je promjena kolicine gibanja jednaka nuli, to jest 15.q=O, a to znaci da je: ') 18.3

~+"

I

j

2.17.9

a to znaci da je q=konst, odnosno da je:

,dt

*";i"f~t2 ~

Siika 2.17.1

Na slici 2.17.1, elementarni impuls u trenutku t, prikazuje uska srafirana elementarna povrsina jednaka dS=Fdt, a ukupni impuls sile S1,2' koji je izrazen sumom svih elementarnih impulsa od trenutka t1 do trenutka f2' prikazuje povrsina ispod krivulje F=F(t) u tom intervalu vremena.

Dobivena jednadzba izrazava zakon odrianja kolicine gibaI~ja koji glasi: Za tocku na koju je uimpna vanjska sila jednaka nuli, iii je promatraru interval jednak null, nema promJene tome ni promjcl1e brzine za taj interval vremena. Kad je £=0, impuls je nula i nema promjene brzine. To tvrdi i zakon inercije, Bez vanjskog djelovanja nema promjene gibanja. Zakon odrianja koliCine gibanja posebno je vrijedan kadase prosiri na sraz iii sudar dviju materijalnih tocaka iIi dvaju tijela.

74

Materiialna tocka

Mjesto zaustavljanja bit ce na udaljenosti x, koja iznosi:

2. 18. 1. RUESENI PRll',1JERI

PRIMJER 2.18.1 u pravcu pocetnum Odredi za

75

Dinamika

_

teiine G nalazi se na hrapavoj nOjiUOnltaL!lO.l povrSini i krene VO' vrijeme i na mialjenosti ce se tijelo Z211staviti.

fg

2 _

2

fg

Vo

Vo

2 _

Vo

x-vt--t - v - - - - - - - 0"1 2 1 0 fg 2 (jg)2 2fg' Velicine t1 i X mogu se direktno odrediti kinetikom uz pomoe stavka impulsa i stavka rada. Koristeci zakon impulsa moze se izracunati trenutak zaustavljanja. Zakon impulsa glasi:

Sile koje djeluju na tijelo za vrijeme gibanja jesu vlastita tdina G, normalni pritisak podloge N i sila trenja T. Sile GiN djeJuju u smjeru okomitom na pravac gibanja i nalaze se u ravnoteii. Sila trenja ajeluje u pravcu gibanja, ali je suprotnog smjera od smjera gibanja jer se suprotstavlja gibanju. Gibanje rijela je u pravcu koji je definiran leao os 'Ii, s ishodistem u pocetnom polozaju tijela.

'I

~

f -Tdt~mv)-mvo' to

Ako se uzme daje to=O, T=fG, m=G/g i '1'1=0, dobiva se: _.f

__

JGt) -

Kinetilm. lednadzba ravnoteie za os y i jednadzba gibanja za os -T

~

X

glase:

a)

N-G~O

my;

Trenutak zaustavljanja je: 2 Vo

b)

L~-.

1

T ~ fN .

gdje je

lz jednadzbe a) siijedi da je N =G, a zatim iz jednadzbe b) slijedi da je: - fG

..

~mx ~

G -vo' g

G .. -x.

fg

KoristeCi stavak rada i energije moze se oarediti prevaljeni pm. Stavak glasi:

g

iii

-Tx

kI

Znaci da je:

Kinematika. Diferencijaina jednadzba gibanja tijela glasi:

mv~

~E

G

-E ~-----. ko 2 2

2

Vo

fGx~--

x~fg·

g 2

Postupnom integracijom dobiva se opci izraz za brzinu i poloz~j: Prevaljeni put do trenutka zaustavljanja iznosi

i=-fgt+C t2 x=-fg-+Ct+D. 2

2 Vo X=--.

2fg

Konstame C i D se odreduju iz pocetnih uvjeta gibanja tijela. Pocemi uvjeti su da za t=O jest i x=(), pa su konstante jednake: C==v o i D==O. Uvrsleno U opee izraze slijede leonacni izrazi za brzinu i zakol1 gibanja koji glase: v = "0

Tijelo

ce stati

u trenutkl.~ tb kada

ce

brzina biti jednaka nulL

je trenutak:

Vidi se da su dobivene vrijednosti jednake ranije izracunanima.

76

Materiialna tocka

PRIMJER 2.18.2 Tijelo mase m=2kg miruje lila glatkoj ho'rizontalnoj povrnini. Na tijelo odljednom pocne djelovati sUa F=-5cosZtN. Odredi zakon gibanja, maksimaln1.l koiicinu gibanja, maksimalnu kinetickl.l energiju tijela, i koji je djelovao fia tijelo 00 tremii:ka t=O do trenutka t=./4 sekullde. Rjesenje. Diferencijalna jednadzba gibanja tijela koja ujedno znaci ubrzanje tijela glasi:

..

F m

X ~ -

5cos2t

~ ---- ~

2

-2,5cos 2t m!s 2 .

i ~ - 12 5sin2t + C ~ -1.25sin2t+ C 2 ' , ~

1 -2,5cos2t+Ct +D 4

~

77

PRIMJER 2.18.3 Materijalna wcka tezille G=9,81 N giba se po kruznici u hori:wutalnoj ravnini x-y konstantnom brzirwrn v= 10 m/s. Odredi: a.lmpuls prijeJaza iz b. Impnls tock1.l pri pdjelazu iz polozaja A u C(-r;O). Slika 2.18. J

Rjesenje. lmpu!s uzrokuje promjenu kolicine gibanja. Kolicina gibanja materijalne tOcke se mijenja jer se mijenja orijentaeija vektora brzine. Trazeni impulsi jesu: a. impuls pri prijelazu iz polozaja A u B:

Kincmatika. Opee rjesenje diferencijalne jednadzbe gibanja jest:

x

Dinamika

SA,B ~ mvs - mVA ~ (-lOr - lOJ)Ns,

0,625cos2t+Ct +D.

SA,B

~ 14,1 Ns.

b. impuis pri prelaw iz polozaja A u C: ~ (-10J -10J) = -20JNs,

Konstame C i D odrede se iz pocetnih uvjeta gibanja. Pri t=O mora biti:

Xo a

to

~

-0,625 + D

~

io

0

~ Vo ~

0 +C

~

~

20Ns.

0,

znaci da su konstante c=o i D=O,625m.

Trazene velicine jesu: a) Zakon gibanja tijela: b) lzraz za brzinu tijela: e) Maksimalna kolicina gibanja tijeia: d) Maksimalna kineticka energija rijela:

E

~

~

2

mvmax

e) lmpuls koji je djelovao od S1,2 ~

2

x=O,625(cos2t - 1) m. v=-1,25sin2t m/s. q",,,=mvmax =2·1,25=2,5 kgm/s.

~ 2. 1,25 ~ 15625Nm.

Siika 2.18,2

2

2'

,,=0 do "max:

m ",=,,/4 - ml',=o ~ -

PRiMJER 2.18.4 Tijelo tezine G=9,81 N lezi na hrapavoj Tijelo mimje i odjednom dobije irnpllis S=4Ns te se pralinijsk i i zallStavi nakon Sto prijede put x=4m. Odredi koeficijent trenja na dodirnoj povrSini tijela i podloge.

2(1,25 - 0)

~

RjeSenje. Impuls ee uzrokovati gibanje tijela u smjeru djelovanja impulsa. Sila trenja ce se suprotstaviti gibanju te ce se ono zaustaviti kada brzina bude jednaka nuli. Pocetna se brzina moze odrediti zakonom impulsa i kolicine gibanja, to jest: iz

- 2,5Ns,

ili

S=Aq~mv-O~mv

je

Prevaljeni put maze se odrediti zakonom promjene kineticke energije i rada vanjskih sila t""iI!&"

SI;2

-1'-:14

1'-

~ f Fdt ~ j -5cos2tdt ~ -'::'(sin":: -sinO) ~ -2,5Ns. 1=0 2 2

glasi: ili prerna

[UI!le

!!:!. (0o

je:

2xG

2xg

&2 - - - - - ~ :'U'i'

2'4·9.81

-,

=

-Tx

~

-fGx,

78

Materiialna tocka

PRIMJER 2. 18.5 Biok tezine G=9,81 N miruje na glatkoj horizontainoj podlozi. Na blok pocne djelovati sila koja se s kako je tJu;",.,,,.,,,u l1a slid 2.18.3. Odredi koju ce kineticku el1ergiju imati blok u 15. sekundi i koju ce maksimalnu kineticku energiju imati u toku

(II)

Dinamika

79

PRIMJER 2.18.6 Tijelo tezine G=lOON patine sa visine H=lm II tlo na dubiull 111= 1 em. Ako ocijenimo da je sHa otpora tla pri zabijanju tijela prodiranja kOllstantna, odredi veliCinu te sHe i vrijeme tijela u do.

F

i zabije se

20

1

iN ,"",,~, ' . ,,;

1~

(8)

-5 Rjesenje. Blok ce se gibati u pravcu djelovanja sile. Slika 2.18.3 Da bi se odredila kineticka energija, potrebno je odrediti brzinu koju je najpovoijnije traziti zakonom impulsa. U 5. sekundi ce tijelo imati maksimalnu brzinu, jer je do tog trenutka djelovanje sile u smjeru gibanja. Nakon 5. sekunde brzina ce se smanjivati jer se smjer sile mijenja. Impuls po definiciji jest: _ It, r SI,2 rdt,

n Rjesenje. U zadatku su tri karakteristicna trenutka. Prvi trenutak je 'I: [, kada je tijelo pusteno da padne. Drugi trenutak je t z kada tijelo I Slika 2.18.4 udari u do. Treci trenutak je t, kada se tijelo zaustavi u tlu. Prema tome, imamo dva vremenska imervaia i karakteristiku gibanja. U prvom intervalu vremena gibanje predstavlja slobodni pad tijela, kada potencijalna energija prelazi u kineticku energiju. U drugom intervalu vremena gibanje je jednoliko usporeno. kada kineticka energija i dodatna potencijalna energija vrse rad svladavanja sile otpora tla.

Za prvi interval vremena od trenutka

tl

do t z vrijedi da je V1 + V2=Ll.Eb iii 2

C-(C-GH)

a to znaci povrsinu ispod kruyulje F-t od trenutka t} do trenutka t z. Impuls do 5. i 15. sekunde jest:

S

= 5

2

mvz GH=-

iii

2

Brzina u 15. sekundi i

V max

S15 g V r =15 = = SI-- =

m

' G

mv,

a posta je v, =0, dobije se da je:

.i

20'5 =50Ns 2 '

2

-t--t, mv?

=

jesu: 9,81

25-9,81

=

25m/s

vmax

S5 m

= -

=

9,81

50-9,81

=

50m/s.

Za drugi interval vremena od trenutka t2 do t, vrijedi da je oonosno:

V2 + E k2 + We= V3+ RIG.

2

mV2

Kinelicka energija u 15. sekundi i maksimalna kineticka energija jesu:

E

mV~5

k 15

Ek",ax

= --

2

mv!ax

=

1'252 = - - =3125Nm 2 '

l'5(f

- 2 - = -2-

=

C, + - -Fh

.

2

=

(CI-Gh) +0

G(H+h) =Fh.

Cijeli se problem moze promatrati kao zabijanje tijela u tio na racun utroska potencijalne energije tdine tijela. To se maze izraziti jednadzbom V,+Wd=V3 iIi C-Fh

1250Nm.

=

C-G(H+h).

Sila otpora tia je jednaka:

F

=

G 1I +h h

=

100 1 +0,01 = 1O.100N. 0,01

Vrijeme prodiranja ce se odredili uz pomoc zakona impulsa u drugoj fazi gibanja. U toj r",'>{lTlf>C' pada s visine H, a na kraju je nula. orZlDl

brzina fazl it lzraz Z2. lInpuls Jest:

iii IZDOSl:

(G-F)t=O-mj2gH.

80

Materijalna tocka

t=Q J2gH g F-G

=~~ F-G

2H g

=~

I 2'1 1O.OOO~ 9,81

=OOO452~ '

~.

Dinamika

81

2.18.8 Metak tdine G=50 N napusta topovsku cijev brzinom 1'=800 mIs, uz srednju silu barutnih plinova ad F=200kN. Odredi trajanje gibanja metka u cijevi i duzinu cijevi. 2.18.9 Teret rdine G =100 N vucen je

2.18.2. PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAV ANJE 2.18.1 MaterUaina tocka mase m giba se pravocrtno pod djelovanjem sile F=20 N. Brzina tocke u pocetku gibanja bila je vo=10m/s, a pet sekundi kasnije vs=20 m/s. Odredi masu materijalne tocke i zakon gibanja. 2.18.2 Kugla tdine G=3N giba se konstantnom brzinom vo =5im/s. Na te±iSte kugJe pocne odjednom djelovati sila F =(2i - 3J) N i djeluje dvije sekunde. Odredi koju ce brzinu imati kugla na kraju djelovanja sileo

2.18.3 Na materijalnu tocku koja miruje i ima tdinu G=9,81N, odjednom pocne djelovari sila F=(4i-3J) N. U trenutku t=4s od pocetka gibanja, brzina tocke je v=(3i+4]) mIs, a poloiaj r=(i+4I)m. Odredi koju ce imati brzinu i polozaj u trenutke t=8 s. 2.18.4 Tramvajski vlak ima pogonska kola tdine G=120kN i dvije prikolice ukupne rdine 2Q=200 kN. Vlak juri u pravcu horizontal nom prugom Drzinom v=42 kID/h. Odredi potrebnu udaljenost i vrijeme da se vlak zaustavi ako se koci sarno pogonskim kolima. Koeficijent trenja je f=0,3. Blok tdine G = 10 N giba se' u pravcu na horizontalnoj hrapavoj povrsini. U rrenutku kadaje biok imao brzinu v=5m/s na njega pocne u smjeru gibanja djelovati konstantna sila F. Blok u vremenu ad 10 sekundi od pocetka djelovanja sile prevali put s=100m. Koeficijent trenja Slika 2.18.5 dodirne povrsine je f=O,1. Odredi brzinu bloka u 20. sekundi od pocetka djelovanja sile i silu koja je djelovaJa na njega kroz to vrijeme.

2.18.5

uz hrapavu kosinu. Nagib kosine Je a= 10°. Sila vuce se ~~~~~5'~~~~+-~--~~ t b 10 (8) mijenjala u ovisnosti Slika 2.18.6 s vremenom, kako je pokazano na slici 2.18.6. Koeficijent trenja na dodirnoj povrsini pri gibanju je f=0,2. Odredi brzinu tereta u desetoj sekundi. (N)

2.18.10 Blok [eline G=lOON

l~~

miruje na hrapakosini. Kosi40 na je nagnuta pod II kutom a=300. 0 o 5 Koeficijent trenja Slika 2.18.7 na dodirnoj povrsini bioka i kosine je f=0,4. Na blok odjednom pocne djelovati sila koja se kako je pokazano na slici 2.18.7. Odredi brzinu, prevaljeni put i utroseni rad do 15. sekunde.

2.18.7 Tijelo teiine G=9,81 N miruje na horizontainoj hrapavoj podlozi. Odjednom .Ie na tijelo djelovao impuls S=4Ns i ono hene li pravcu liZ koeficijent trenja jf=(},OS. UdreGi za kOJe vriJeme 1 put ct prevaiin tijelo do trenutka kad mu se kineticka energija smanji na polovinu.

!

2.18.11 Teret tdine G=50N miruje na horizontainoj hrapavoj povrSini. Na tere! je pocela djelovati sila koja se mijenjaia s Slik~2.188

kazan0 na slici 2. 8.8.

DO'Vfsini Koefici tent tren.ia na Uaredl: a. maksimainu brzinu terel£l, b. izvrseni rad de 30. sekunde. c. u~~pr!: Hl1PU~:) ~~~Jj: Je

Jjt:tOV3.0 n~

d. prevaljeni put do 30. sekunde.

ie f=O.1.

ily=::lct

0.0

3h" seKuuae

I I I

III

:~~J; . G

Tijelo iTtaSE: E}1=10 kg giba sc no. podlozi konstantnOITl brzinuHl 4 m/s. Na teziste tijela pocne dje]ovati u smjeru gibanja siia F=40 N. Odredi D2 koJem putu 1 Z2 koje vrijemt" c.e Sf" brzina tiJe12 povecad 5 pUt2

F ------ - - - -

II 10

U

15

---

t

(al

ovisnosti s vremenom

82

Materijalna tocka

2.19. KINETICKI MOMENT MATERIJALNE TOCKE

Siika 2. J9.1

q=m17.

2.19.1

U tom trenutku gibanja kineticki moment iii moment kolicine gibanja lla nekl.l tocku prostm:a M, koja miruje iIi se giba, definiran je izrazom:

KM = p xq= 15 xmv, gdje je polozaj materijalne tocke od tocke M oznacen sa

83

2.20. ZAKON MOl\1ENATA

Materijalna tocka mase m giba se u prostoru pod djelovanjem sile F. U promatranom trenutku polozaj tocke odreduje radius vektor r i ima brzinu v (vidi sliieu 2.19.1). Koiicina gibanja tocke je: y

Dinamika

Za materijalnu rocieu mase m, koja se giba u prostom pod djeJovanjem sile F, prema drugom Newtonovu zakonu uvijeie vrijed i da je Moment te sile moze se racunari na neku nepomicnu tocleu, koju se moze uzeti ieao ishodiste nepomicnoga koordinatnog sustava, iIi na neku opeu toeku koja se i sarna giba.

F

2.20.1

Deriviranjem izraza 2.19.3 dobiva se: dKo : : -=d '{l ,- >< mv} en = v- x mv- + r- x ma-::::" + r- x F- :::: -dt dt

Tocka na koju se racuna kineticki moment moze biti:

(=rxmv.

na ishodiste dan je izrazom:

/vIc = fx F = rx ma.

2.19.2

p.

a. IshodiSte ~~,pv"umd"'''' koordimlin.oga sustava x,y,z. U tom slucaju je moment kolicine gibanja jednak:

Slika 2.20.1

a. Moment na ishodiSte

Moment sile

y

U

p =f

pa je iz toga vrijedi:

2.19.3 2.20.2

b. Proizvoljna tocka A koja se i sarna giba, tako da se maze izraziti apso!utni i reiativni kineticki moment gibanja na tu tocku s izrazima: Ci.

apsolutni moment kolicine gibanja:

itA

=

15 x

mvaps '

Taj se izraz naziva ZAKON MOMENATA. On glasi: Derivadja po vremenu kinetickog momenta materijalne tocke jednaka je momentu ukl.lpne sue koja djeluje na tu materijainu tocku. Kineticki moment i moment sile racunani su na ishodiste iIi nepornicnu tocku O.

2.19.4 b. Moment na tOCKU A koja se i sarna giba Moment sile F na tocku A, koja se takoder giba, dan je izrazom:

MA

/3. relativni moment kolicine gibanja:

itA rei = P x mvreI' gdje je

15 ='1-'1A

2.19.5

=

15 x F =

p x ma.

2.20.3

Taj izraz moze se prikazati na dva nacina. Jedan nacin .ie da se ukljuci promjena apso!utnog momenta kolicine gibanja mmerijalne tocke po vremenu, a drugi nacin je de. se ukljuci prornjena relativnoga kinetickog momenta. Kineticki se moment U oba slucaja racuna no. i~lu locku A. Ti izrazi gla;;~.

2.20.4 iii

2.20.5

Materijalna tocka

84

Jednadzbe 2.20.4 i 2.20.5 izvedene su na slijedeci nacin:

85

Dinamika

Daleje, ako se materijaina tocka A giba konstantnom brzinom VA' a kineticki se moment i moment sile racunaju na tu tocku A, tada je derivacija relativnog momenta kolicine gibanja materijalne tocke po vremenu jednaka momentu sile. To pokazuje u dinamici ravnopravnost pmstora koji se brzinom l.! smjeru i prostOl'2 koji mHu.je. Posto se velicine u jednadzbi 2.20.2 mogu prikazati sa:

1. Uz oznalee na slici 2.20.1 kineticki moment na tocku A dan je izrazom:

KA = P xmiJ. Deriviranjem tog izraza po vremenu dobije se:

dK

d=----.f dt dt

__ A

d-

xmv+p xma=----.f

dKo

x

-

dt

dt

=

d _ -(r x mV) dt

i

j

x

y

mi

my

d =-

dt

:1

dKx .,. dKy

.,.

dK -

= - I + - J + - zk dt dt dt

mil 2.20.8

sto znaci da je:

i

MA = Uzimanjem da je

dp

f=f>p

i

+ dp

v=v

dt'

A

x mv=

x m VA +

dt

dt

_ dp xmv. dt

2.20.6

dt

dp

x m dp =

dt

dp

x

dt

2.20.4

dt

.. I vk ., v · 2 . Kada se ubrzanJe matenJa ne toe e pnKaze sa u izraz 2.20.3, dobije se:

MA

a= d

2f

dt

d

2

2

(r:. ~ p) =a +a dt

= = P x ma = p x m(aA +arel) = Ii x ma;, +

p

A

2

rel

. . 1 uvrstI

a'KA~ dt

d (_ _) dt p xmvreI

_ _ ~ zxmvreo ,.+0 x re

=V

tada se moze konacno pisati:

+p

2.20.S

x

A.ko se Locka A. giba konstanmom brzinOL. S10 znaci dc. .I4

aA

rada

1..1.0.7

cit

=

F y-F,z =M z

Y

x

dK-y = -d [ m (zx . - xz.)] =!:'~ Z - F X = M, dtdt x z y dKz d [ ( . .)] -=-mxy-yx dtdt

=

2.20.9

F x-f
Velicine KX,Ky i Kz prikazuju kineticke momente materijalne tocke, a velicine Mx,My i Mz prikazuju momente sile na osi x,y i z koje prolaze ishodistem O.

x marel'

a posto je: - - =-

=MJ+M/+

dKx = ~[m(Yi -zy)] dtdt

dp

dt

:1

to znaci da se vektorskajednadzba 2.20.2 moze prikazati trima skalarnimajednadzbama koje glase:

dKA =---- X A

y

dobiJ'e se:

i konacno:

~

=fxF= x

Fx Fy FI zJ

'dt

M

Mo

j

86

Marerijaina tocka

2.20.1. RIJESENI PRIMJERI PRIMJER 2.20.1 Materijalna tocka mase m ovjesena .Ie za nerastezijivu nit duzine I i miruje u vertikalnom poloiaju niti. -...."...~+--iio y Ako maSli odklonimo za kut qJ i pustimo slobodno, masa ce poceti da se giba i to osdlatorno, kao matematicKO u ravnini slike. Odredi '''''L'Jiaw,ujednadzbu gibanja, ako se tezinu niti i otpor zraka zanemari.

U stanju mirovanja pri kutu qJ ~O, sile koje djeluju na masu jesu sila So i sila G. One su u ravnotezi, pa se moze pisari:

PRIMJER 2.20.2 KugHca mase m ""zana je za nit Ii knrzi oko vertikame osi po zakunu 1"=I"(t). Nit:; tom osi zatvara kut (j (viai sliku 2.2004). Aka se zanemare teziua niti i otpOIf zraka, allau,cu.•,,, Kuglke. Rjesenje. Kuglica vrSi kruzno gibanje. lzabran je desni pravokutni koordinatni sustava x,y,z. PoIoZaj kuglice odreduje vektor:

Slika 2.20.2 racuna se izrazom

Brzina gibanja

z

k

K0

gaje je

w~

x y z ~

Ortovi 1'0'

oznaceni su na slici 2.20.5.

~

Za promatrani trenutak je:

-

Prema zakonu momenata mora biti

na kuglicu, racunan na ishodiste,

Moment sila jest:

Mo

- -

~

I xG

=

G (yz - xl) ~ Gr(sin
~

+

+

xGk~

r - cos
odnosno:

dt ~

-d (m [2')
~

dt

.. -G [2
.

Kolicina gibanja kuglice jest: ij~mv~mr(i)1:'o'

g

Slika 2.20.5

Znaci da diferencijalna jednadzba gibanja matematickog njihala glasi:

if! K:ldz jc

t'Jt ).' v~1c;

+

f{ sin

Kineticki moment na ishodiste jest:

I

::; I

xrfl.rw

ro

:=:

rna!er:, :naze se uzeti da je sinff == ip, pa diferencijalna jednadzta gibz.nj3. Derivacija

glasi:

momenta po vremenu jest:

~0

dl

Jednadibe

~ (jJ k. To znaci da

.. k

2.20.3

. - Gl sm
v~ w x I,

je:

U stanju gibanja masa vrsi oscilatorno gibanje po kruznici radillsa I, i na njll ojelllju sile S i G koje nisll u ravnoteZi. U nekom trenutku maia ce bili otklonjena za kut qJ, imati kutnu brzinu w ~

87

QLll?t!!lika ______________

matematickog njihaia pokazuju da je gibanje oscilatorno.

Zalwn momenaLa

dt izzaZavZL vekLorsku

mr2 0)£ -mrz w

88

Materijalna tocka

-mrze=O -mrzw 2 = -Gr = -mgr mr 2 e=O.

E

=ijI, tada se dobivene jednadzbe mogu dati u

siniJ cosiJ ijI = 0

je

a)

Lcos~ <1>2 =g

b)

sin2~ ip = 0

c)

Da budu ispunjene jednadzbe a) i c) uz uvjet da f1 *0, mora biti = konst. Iz jednadzbe b) dobiva se: <1>2

=

-g-

iIi da je

I cosfl

a to znaci da je polozaj kuglice odreden duzinom niti i iznosom kutne brzine. Analiza gibanja kuglice mogla se obraditi postupkom D' Alemberta. Tada prvo treba anal izirati vanjske sile i kinematiku gibanja. Za kineticku analizu postupkom D' A!emberta (reba dodati silu inercije L=LN+Lp i pisati jednadibe ravnoteze za stvorenu dinamicku ravnote±u. Sile inercije su jednake LN=mrw 2 i Lr=mn:. lednadzbe ravnoteze glase:

Lyl = -

LZ

=

-

2.20.1 Na materijalnu tocku djeiuje centraina sila, to jest ,ila koja uvijek djeluje u smjeru centra elipse O. U polozaju A, koja je 3 ill od centra elipse, materijalna tocka ima brzinu vA=4m/s. Odredi koju ce brzinu imati tocka u polozaju E, ako je udaljenost tocke E od centra elipse 2 m, a centralna sila s brzinom zatvara kut 0'=45°.

I

A

Siika 2.20.7

cosfl =.-L (;;2 '

LXi = LN - S sinil = mr w2

89

2.20.2. PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAVANJE

Ta vektorska jednadzba sadrzava tri algebarske jednadzbe:

Ako se izrazi da je r = lsin~, z = lcos~ i konacnom izrazu:

Dinamika

2.20.2 Kuglica mase m, pricvrscena je tankom niti za vrh tankog stapa u tocki C. Kuglica rotira tako da se nalazi na udaljenosti hA =1 m, i ima brzinu v A =2 m/s. Odjednom se nit pocne namotavati oko stapa pa se kuglica vrti sve blize stapu. Odredi brzinu kuglice za trenutak kada dode na udaljenost hB =O.2m od stapa. Te±ina niti i debijina stapa neka se zanemare. 2.20.8

S sinlJ = 0

=0

G - S cos{) =

o.

lz tih jednadzbi dobije se da mora biti:

mrw 2 S = - - = mlw 2 • siniJ '

e =0

2.20.3 Teret tdine G visi na niti duzine 1= 1 m. Teret je maknut iz polozaja ravnoteze i pridrian u polozaju 1, tako da nit s vertikalnom osi zatvara kut 0'. Ako se teret pusti slobodno, on ce se gibati i doci u polozaj 2, tako da dio niti stoji vertikalno, a dio, radi oslanjanja na lezaj, dode u polozaj u kojem nit s vertikalnom osi zatvara kut p. Odredi kut {3 i vrijeme trajanja gibanja kuglice iz poloiaja 1 u polozaj 2.

Slika 2.20.9

!O

x

90 2.21. ZAKON

Materijalna rocka

Moment kolicine gibanja io materijalne tocke mase m na nepomicnu wcku 0., bit ce nepromjenljiv, ako je moment !l1o od ukupne vanjske sile F na tu istu tocku 0. jednak nuli. To ce biti aka je ukupna sila F nula, iii aka ukupna sila djeluje u smjeru tocke 0.. Ako je ukupna sila nula, znaci da nema promjene gibanja, odnosno ria materijalna tocka iIi miruje iii se gibajednolikom brzinom u pravcu pa nema potrebe ria se dinamicki analizira. Kada ukupna sila djeluje u smjeru tocke 0., promjena kinetickog momenta je nula: di

__ 0 ~5

dt

91

2.22. ZAKON Mo.MENTA IlVi.jP'I.JLSA I KINETICKOG MOMENTA

Mo.MENTA

,-,'-"-'CLue,"

Dinaln~ka

Mnozenjem jednadzbe zakona momenata sa dt riobivamo: dio ~ M0 dt = f x Fdt ~ d}.7;S. 0

U toj jednaazbi diG oznacuje diferencijal momenta kolicine gibanja, a velicina oznacuje moment eiementarnog impulsa. lntegriranjem te jednadzbe od trenutka tj do trenutka t2 dobije se: t.,

2.21.1

2

f

tl

0

02

1

01

0

=

JrdM S 0

=

!l1 s

01,2

.

1

lz te jednadzbe slijedi zakon momenta impulsa koji glasi: Moment materijamu toclm mrokuje prumjel.lu kmetickog UH"llJ'''U,",''. Zakon se izraiava formulom:

na

2.22.2

Ako se kineticki moment ne mijenja, znaci da je kineticki moment konstantan vektor za svaki trenutak vremena, pa vrijedi da je: 2.21.2

dM:

2

Jdio ~ fdi ~ i - i ~ !J.i

'

pa vrijedi zakon odrianja kinetic!cog momenta koji kaie: Karla je moment sile iJ", !roja tocku, racunan na tocku 0. mill, tada nema m!)mcni.a te na istu tocku

2.22.1

iii jednostavnije pisano: 2.22.3

Sila koja djeluje u smjeru tocke 0 zove se central.na sila, a sarna Locka 0. centar tog gibanja. Ako je fxv~C, gdje je C kOllstanlan vektor, vektori f i v ostaju u istoj ravnini okomitoj na vektor pa je t:l.kvo gibanje lnlVninsko gibanje. Za centrainu silu vrijedi (vidi slilm 2.21.1),

rvsina

~rl v1sina j

=konst.

\t~ Pi f

<::i r

o

r .

I

/

/

/

"

'"

Slika 2.21.1

U kinematici gibanja planeta oko sunca iii gibanja satelita oko planeta vrijednost:

2.22.1. ruJESENI PRllvl:JER! 2.21.3

naziva se sektorska iii plusl.l
Treba imati na umu da je i moment impulsa i kineticki moment racunan na istu nepomicnu tocku 0.. lndeks s kod momenta podsjeca da je to moment ad impulsa.

PRIMJER 2.22.1 Kugl.ka mase m vezana za nit, giba se po krufnici radins2 r 1 sa konstantnom kutnom brzinom W j po Aka se nit giatkoj horizontainoj pu,;,,'::i knn cental" kn..luiu::, po sye manjoj kr'uiillcL se

i koja

ce bitt Siika 2.21.2

92

Materijalna tocka

RjeSenje. Ukupna vanjska sila koja djeluje na kuglicu je sila niti usmjerena u smjeru centra kmznice po kojoj se giba kuglica. lzabran je koordinatni sustav s ishodistem u centru kruznice. Moment sile niti na ishodiste je nula pa je:

dK -

o dt

_

Dinamika

93

-

staticki moment

-

Mo ~ TxF

=

k1

20 0

oj

t 0 ~ -20tkNm,

[t2

_

~M ~o.

i

0

j

Ko ~fxil= t 2

kineticki moment To znaci da kineticki moment mora biti konstantan, to jest:

Ko ~ f

fi i I

k 0

20t 10

0

x mil ~ mr 2 wk ~ kanst, 2

2

2

81;1. = fFdt~ !(-20t k)dt~(-lOt2k)l,

impuls

1

1

2

1

f

f

1

1

M~l;! ~ M~dt = (-20tk)dt ~ (-

moment impulsa

za trenutak tj = 5 s:

FI

if! =(1001 +10/) kgms- I ,

f~ (t 2 i+ti)m.

MI

~-lOOk kgm 2 s-2 , £.1 ~-250k kgm 2s-t,

Odredi: a) Kinematicke elemente gibanja materijaine tocke. b) braze 1:a silu, kQlicinu gibanja, staticki kineticki moment na ishodiSte, impuls i moment impulsa na ishodiSte za interval vremena f1t ~ '2 - tl . c) Izracunaj sHu i kolicinu gibanja, te statiCki. i kineticki moment na ishodiSte za trenutak t l =58 i trenutak t 2 =10s. d) Izracunaj impuls i moment impulsa na ishodiSte koji su djeiovlili u intenralu vremena f1t ~ t2 - tl .

e) Provjeri izraze za

F, Mo, 8I ;J.

20i N,

=

za trenutak t 2 =lO s:

£2 = zor kgms-2, il2 =(200i + wi) M2 ~-200k

£.2

poznatili stavki dinamike.

a) Elementi giballja jesl.l: zakon gibanja r= (tzi+tl)m, brzina

ub,zanjt:

v=f~(2ti+i)ms-l,

a- ;:; : r ::. ~.

"".

.Lt

ms -""..

b) TraZelli izrazi jesu: sila kolicina gibanja

p ~ mil ~ 20ikgms-2

il ~ mil =(20ti + lOi)kgms- 1,

dj

j

kgms-I,

kgm 2s-2,

~-lOoof kgm 2s- I

RjeSenje: rnoment

za 10

)i

=

!O

(200-

! ~[-lOOOf-

,

I·

]

c) Vriieij!](lsti 1:a trazene trcl1utke.

PRIMJER 2.21.2 Polozaj materijaine tocke mase m=lOkg odreduje radius vektor

2

94

Materijalna tocka

e) Provjera stavclma. zakon sile: dif

dt

d ( 20d- + lOj- ) dt

zakon momenata: -20tk kgms- 2 ,

zakon impulsa:

SI,2 = Ail = il2 -ifI = [(200i + 1OJ) -(looi + 1OJ)] = lOOikgms- 1 ,

J\li\TERIJALNIH

zakon momenata impulsa:

M;

1,2

=AKo=Ko2 -Ko 1 =[C-lOOOk)-(-250k)]=-750kkgms-1.

3.1. UVOD

Do sada je vrsena dinamicka analiza tijela analiticki prikazanoga kao malerijalna tocka. tocka idealizacija tijela koja se moze uzeti kada dimenzije tijela Receno je da je nemaju utjecaja u mehanickoj analizi iIi su to cestice materije vrlo malih dimenzija tako da moiemo smatrati da je materija skoncentrirana prakticki u tockL U mehanickim sustavima gdje se takve idealizacije cine za vise tijeia. takav mehanicki sustav se naziva sustav toc.aka. Tijelo kojem materija jednoliko ispunjava volumen i kojem se pri bilo kakvom vanjskom djelovanju oblik ne mijenja, nazvali smo \{ruto tijelo. Realno cvrsto tijeio je tijelo koje cini vrIo velik skup materijalnih cestica medusobno vezanih unutarnjim vezama. Ovisno 0 vanjskom djeiovanju udaljenost cestica u real nome cvrstom tijelu se mijenja pa nastaje promjena oblika tijela koju nazivamo deformadjom tijela. Dakle reaino tijelo je cvrsto ali nije kruto vee deformabilno i nije ispunjeno jednoliko masom po svom volumenu vee diskretno s vrlo velikim brojem cestica materije. Skup cestica materije odredene mase koji pod malim vanjskim djelovanjem jako mijenja polozaj i oblik volumena, dinamicki se analizira kao fluid. Takav skup cestica materije susrecemo i promatramo u medijima kao sto su tekuCine i plinovi.Obicno se analizira tok i djelovanje tih medija u kana!ima. vodovima, turbinama, crpkama i slicno, iii gibanje cvrstih tijeia u njima. Dakle cestica je materijalna lOcka s vrlo malom masom u vrlo maiom volumenu kojih je Sm3.tra se da je gibanje cest!ce transJatort}0 (be? pa je dinamicka analiza analogna analizi materijalne lOcke. U daJjnjem izlaganju ce

u

anaiizi sustava materijalnih tocaka promatraju se vanjske

i unutarnie

ineauakcije. odreuu.iu dinamicKa svojsrva i elementi gibanja; definiraju VaZfl! poJmovi i

materijalna ro:':ka sustava ima

anaii2; kruLog poiozaj, maSli, silu, brzinu i ubrzanje.

96

Dinamika

Na svaku materijalnu tocku moze djelovati ukupna sila od djelovanja tijela izvan promatranog sustava, i ukupna sila od djelovanja materijalnih tocaka samog sustava. Svaki sustav materijalnih tocaka ima u odredenom trenutku velicine kao sto su cemar masa, kolicina gibanja, kineticki moment i energija. Dinamicka analiza mehanickog sustava koristi zakone kojima se odreduju rezultati djelovanja sila na sustav iii se za odredeno gibanje sustava traze uzroci. Zato je zadaca dinamike sustava tocaka da odredi zakone kojima se povezuju djelovanja sila s njegovim gibanjem.

Sustav materijalnih tocaka

97

Koordinate centra masa sustava odreduju se izrazima: n

n

Lm,Y, Y

Lmiz,

i=l

e

[=1

Ze=---' m

=--

m

3.2.4

Deriviranjem po vremenu jednadzbe 3.2.2 dobije se jednadzba: n

.,.

L

l.!

3.2.5

mi Vi =mVe'

i=l

3.2. CENTAR MASA SUSTAVA MATERIJALNIH TOCAKA Za svaki trenutak gibanja sustava mogu se odrediti polozaj i kinematski elementi gibanja centra masa sustava. Ukupna masa sustava materijalnih tocaka jednaka je zbroju svih masa tog sustava, a odreduje se izrazom:

y

3.2.1 __ il

1

I~!_ ..L<~I I

iz koje se dobije izraz za brzinu centra masa u vektorskom obliku: n

Lmjvj Vc __i""_l_ _

3.2.6

m Deriviranjem po vremenu jednadzbe 3.2.5 dobije se jednadzba:

n dV, dVe Lm,-=m,=1 dt dt

X

I

--~~-=~---~/

3.2.7

Iz

Iz statike je poznat znacaj i nacin odredivanja ukuPne tdine i centra tdina sustava.· Ukupna tezina je zbroj Slika 3.2.1 tdina sustava, a tocka centra tezina iIi rdista je tocka u kojoj mora djelovati rezultanta sila ukupne ldine sustava. Polozaj centra tezine izracunava se jednadzbama koje se sumarno mogu pokazati u vektorskom obliku jednadzbom:

iz koje se dobije izraz za ubrzanje centra masa u vektorskom obiiku: n

:£miiii iie _ _i=_I _ _

3.2.8

m

n

LG,f;=Grc ' i=l

3.3. JEDNADZBA GIBANJA CENTRA MAS A SUSTAVA Ako se tezine izraze sa G=mg i Gj=m, g, i cijela jednadzba pokrati sa g, dobije se vektorska jednadzba za izracunavanje polozaja centra masa:

Lmir i =mrc·

Na sustav materijalnih tocaka mogu djelovati siie koje nazivamo vanjskim i unutarnjim silama sustava. Vanjske sile nose indeks v, a prikazuju sile koje su uzrokovala tijela izvan promatranog sustava. Unutarnje sile nose indeks u, a prikazuju sile koje nastaju od medudjelovanja materija!nih tccal::::2. p!:"Dmatrz.nog :;U3t2:,/~. Prer::a tc::ne :-'oJ. i-tu materijalnu tocku djeluje ukupna sila:

3.2.2

i=l

Porozaj centra m2.Sa dakle odred:tje

r~dius

'/ektcr:

n

')' mr F

3.2.3 Slika 3.3.J Poioiaj centra masa :mSIava istovjemll Je sa pOI01:aJ,em centra tezinll iii te±iSm tog sl.!stavlt.

=1.

U tom izrazu Ie oznacuie materijalnih tocaka sustava.

,j'

L j==l

'J

:'.3.1

vaniskih uzrok3.. a 11

D~liamika

98

Ako masa i-te materijalne tocke jest m i , polozaj joj odreduje radius vektor r; a brzina ubrzanje 5U joj Vi i iii' tada se moze za svaku marerijalnu tocku sll~lava napisati jednadzba gibanja koja glasi: (i = 1,2,...

, n) .

3.3.2

Zbrajanjem svih n-jednadzbi tog sustava, dobije se

3.3.3 Prema zakonu aKClje reakcije mora biti P:;=-P~, sto znaci aa Je za sva unutarma -u -u .... ~ ). " medudjelovanja ispunjeno da je Ft/Fj " =0, a prema tome da je i zbroj svih unutarnjih siia sustava jednak nuli, to jest:

3.3.4 k

Kada se oznaci da J'e 3.3.3 ce glasiti:

E p;"=pv, i=1

i uzmu u obzir j'ednadzbe 3.3.4 i 3.2.7,

99

Sustav materija!nih tocaka

3.3.1. RIJESENI PRIMJERI PRIMJER 3.3.1 Susiav Cine tid materijallie t"':'~i2 ill;:;:;;:; m" tako da .ie m] =m" m2=2mn i m3=3mo' Mase su medusobno vezalle krutim duiine t. Tezina stapova je tako mala da se maze zanemariti. Sustav miruje na glatkoj horizontainoj povrlini. Na rnasl1 m J je odjednorn poeela djelovati konstantna sUa P = F~ u polozaju pokazanom fla slid 3.3.2. Odredi pocetni po\ozaj, J"'..!ll,nU,L'" gibanja, izraz za brzinu i zakon gibanja centra masa sustava.

Slika 3.3.2

Rjesenje. Sustav se giba u horizomalnoj ravnini koja ee se definirati kao ravnina x-yo Analiza treba zapoceti odredivanje~ pocetnog polozaja centra masa uz pomoe izraza 3.2.4. Zatim treba prema izrazu 3.3.5 postaviti diferencijalnu jednadzbu gibanja centra masa sustava. Rjesenje diferencijalne jednadzbe gibanja centra masa daje zakon gibanja i izraze za brzinu centra masa. Koordinate pocetnog polozaja centra masa jesu:

IC"BaUD'"

3

}mx

n

=

Emia = i

"co --

=m

.C oJ •

.:>.5

i=1

t13 " -__m-,"o,-'_O_ _,-'_11_2_-_~_"m_'-,--'1_12 =--l=-0.0833l, 1 0

I

6mo

Em t

.

12

i=l

lz jednadzbe 3.3.5 moze se odrediti ubrzanje gibanja teiista sustava kao k-vocijent ukupnoga vanjskog djelovanja j ukupne mase tog sustava. To predstavlja
3.3.6

E

m;Y t m'O +5m Isin60° - f3 Y '"'~= 0 0 . =::LI=07217L Co 3 6m 6 2 '

Em

0

j

i=1

Prema zakonu gibanja centra masa jest: lz izraza 3.3.6 vidi se da se centar masa sustava materijalnili toeaka gibajednako kao jedna materijaina locka s masom jednakom ukupnoj masi tog sustava, i na koju djeluje sila jednaka vanjskom na sustav. To je vaZna spoznaja u dinamici, a zove se zakon gibanja centra masa iii teziSta sustava tocaka. lntegracijom diferencijalne jednadzbe gibanja centra mas? sustava i uz poznavanje uvjeta gibanja centra masa, moze se odrediti izraz za brzinu i zakon centra masa Dromatranog sustava materiialnih tocaka.

r

3

= Fi =

(E m) fie = 6m o (x/+yJ), i",l

sto znaci da su komponente ublzanja centra masa jednake: ,; =0 ~

izrazi za brzinu

1

c

centra masa jesu: tc

Dinarnika

100

Nepoznate konstante integracije odreduju se iz pocetnih uvjeta gibanja centra rnasa. Ti uvjeti su da za t=O mora biti xc=xc,' Yc=Yc, i xc=Yc=O, Konstante integracije su jednake brzinu centra masa:

C1 = Cz=O, Dl =Xc, i D z =Yc;

.

Konacni su izrazi za

F

Sustav rnaterijalnih tocaka

101

3.3.20 PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAVANJE Primjer 303.1 Cetiri slobodne materijalne tocke mase m 1 =m", mz=2mo • m3=3mo i m 4 =4mo gibaju se u ravnini xy konstantnirn brzinarna jednakim:

Vz =(3i+2!) mis, v3 =3!m/s i v4 =(-2i-2/)m/s.

v1=2imls,

X =-t c 6m

a zakon gibanja centra masa na koordinatni nacin dan je izrazima:

Ft Z

x::::x + - c Co 12m

Za trenutak kada je poloZaj masa kao sto je pokazano na slici 3.3.4, odredi polozaj i brzinu centra mas a sustava, ako .ie poznato da je mo = 10 kg i a = 0,8 m.

y c =yCo =konst.

PRIMJER 3.3.2 Tri siobodne materijaine tocke mase m i gibaju se sa konstantnim brzinama Vi u ravnini x-y Masa i brzina pojedine materijalne tockejest: 0

m 1 = m0

VI

m2 =Zm 0

Vz = 4im/s

m3 =3m 0

V3 = (2i+4J) mls.

= ( -2/+ 3/)

mIs, te a

Odredi brzinu centra masa sustavllo Slika 3.3.3

P-,ie.senjeo

Brzina centra masa moze se odrediti formulorn 3.2.5 koja za primjer glasi: 3

Lmivi :::: Lmi"v

C '

;"1

i"1

odnosno

Uvrstenjem zadanih vrijednosti slijedi:

m o '( -2'[+3]) +2mo '4i + 3mo '(2i +4]) = 6movc' (-2+8+6)1 + (3+ 12)], = 6vc '

lzf+15I=

6vc '

Prema tome je brzina centra masa sustava Vc = (2f 'C 2,5T) mis.

a

Siika 3.3.4

Primjer 3302 Sustav se sastoji od cetiriju materijalnih tocaka vezanih krutim stapovima zanemarive tezine, i miruje na glatkoj horizonta!noj povrsini. U trenutku t=O 11a sustav pocne odjednom djelovati konstantna sila F=lOfN, kako je pokazano na slici 3.3.5. Odredi zakon gibanja centra masa sustava ako je poznato da je mo=Skg i a=O,Sm. Slika 3.3.5

102

Dinamika

3.5.

3.4. KINETICKA ENERGIJA SUSTAVA MATERIJALNlli

103

Sustav materiialnih tocaka

""un,",,v'--"u~ RADA I ENERGIJE SUSTAVA MATERIJALNIH TOCAKA Mehanicki sustav se sastoji od !li materijalnih tocaka. U trenutku t, polozaj materijalnih tocaka definira konfiguracija poiozaja 1. a u trenutku

Ukupna kineticka energija sustava materijalnih tocaka jednuka je zbroju IdneticKe energije svili materijainih tocaka tog sustava: n

T=I: i~l

Ako se izrazi brzina sa 2

vr

Slika 3.4.1

=

2

2

miVi

.

3.4.1

t2 konfiguracija polozaja 2, kako je pokazano na siici 3.5.1.

2

17;=17e +~/c'

Cm j

tada je

Aka na i-tu materijalnu locku djeluje ukupna siia ad vanjskog djelovanja Piv, a ad medudjelovanja tocaka sustava ukupna unutarnja

polosaJ 2"

...

2

17'v = v + 217'F + vi/c' l t e e ifc

x

,

a izraz 3.4. 1 moze se prikazati i na ovaj nacin:

"

sila

n

Lmi=m

- ukupna masa sustava,

FU)'dF = (v , ! ~ L-t

2 n =

staticki moment masa na centar masa sustava

r" (F"

jL..,.,

,

2 n

+

pU\'dF (v ,I e + JL-

1 1=1

i=l

U

odnosu

1 I=l

Prvi dio u izrazu za rad maze se prikazati sa: 2n

'v I p:' J L \I

2n

+

Kineticka energija sustava materUalnih tacaka moze se prikazati i na ovaj nazin:

c

1 i=l

r'ar

1 L"'l

c

1

jer je:

2

2

2n

Iv.'

r

pU')'dFC =J("" L i·df e + Lft" i·dF e =Jr

-!

1 iool

mVe T= - - + T I.

+

1 i=l

i=l

- kineticka energija relativnoga gibanja silstava na centar masa.

n

2

2

+

n

Lm/i/ e =0

tada je rad svih sila na

izvrsenim pomacima tog sustava u imervalu vremena ilt=t2 -t] jednak:

Slika 3.5.1

gdje su:

Fiu,

n

3.4.2

Prema izrazu 3.4.2 kiueticka energija sustava tocaka jednaka je zbrojl.l kineticke energije l.lkupne mase sustava koja se giba brzinom centra masa i kineticke energije relativnoga gibanja materijahJh tocaka u odnosu. na centar masa susiava. Relativno g;tanjt neke n1~terijalne tocke prOillatranog sustava U odnosu na centar rnasa tog sustava moze hiti priblizavanje, udaljavanje iii kruzenje.

LF v=Fv

LF,"=O

1=1

i=l

i

Prema tome .ie: =

fI: ,F

r -v J.F ·drC + Ji --I

1

n

f .... v

_

\

I

-u\ +F I·dr lie .. t J ->

3.5.1

1/=1

Na osnOVl izraza 3.5. vidi u iD.tervaiu. ~!reH!eHa. /.It;;:; t2 ~tl' jednak zbroju koji je izvrsio centar masa silstava, i rada vanjskih i unutarnjili sila sustava na putovima kO.ii StJ iZYrsile locke l.l odnos!! ria cent'll' masa sustl'llla.

104

Dinamika

SlJSlaV materijalnih tocaka

105

3.5.1. RIJESENI PRIMJERI

Prvi clan u izrazu 3.5.1 moze se prikazati so.: 2

f mv·diJ

c=

,,, c

1

3.5.2

PR!MJER 3.5.1 Sustav od ceti:ri materijalne tocke jednakih masa velicine m, = 5 kg, gibaju SiC u prostortJ konstanltnim U trenutku masa je kao !ito je pokazano Ila slid 3.5.2. Dllizina 1=4m. Brzine masa su: VI = 6 Tm/s, v2 =2Im/s, v3=4km/s i v.=2([+/

gdje je lzraz 3.5.2 povezuje rad vanjskih silo. so. kinetickom energijom S1:!stava za slucaj gibanja sustava sa kinematskim elementima gibanja centra masa. Drugi clan u izrazu 3.5.1, moze se prikazati so.: 2it

JL

J" m;ai'dri/c - J'ILr"' 2n

-uJ

~v + F; 'dr~/ = ,F, ic

''i:""' (

1 i""-l

2n

~

L,

=

1 i=l

1 1=1

=

df J2(I i '"" 'm~ a 1 \

c ~

l

1"1'

1t

n

+

>: mil ~ ~

·v.iIC)'Idt=

t:1 m.1. \ ~·v, dt

n +)'

(

Slika 3.5.2 u

\

llc

1"1

Odredi za promatrani trenutak: a. polczaj centra masa, b. brzinu centra masa, c. kineticku energiju sustava i d. relativnu kineticku energiju centra masa.

mis.

dV

RjeSenje. Gibanje je u prostoru. PoloZaj centra masa i brzina ee se odrediti na vee poznati nacin. Za odredivanje relativne kineticke energije potrebno je definirati relalivne brzine masa. Relativna brzina i-te mase oko centra masa sustava je =v-v. I C a. Tre!Jutni centar masa za trenutak kadaje sustav u polozaju kao!lto je na siici 3.5.2 odreduje se jednadibom 3.2.3:

)J dt=

'IC

4

_

~

rc = -4- - =

Lm

mlTI+m2G+m3r3+m4r.

i

i=l

3.5.3

m0 +m0+m +m 0 0 lzraz 3.5.3 povezuje rad vanjskih i unutarnjih sila sa kinetickom energijom sustava za slucaj relativnog gibanja sustava u odnosu centra masa. Uvrstavanjem izraza 3.5.2 i 3.5.3 u formulu 3.5.1, dobije se konacni izraz za rad koji glasi:

~ =-(3i +3) +3k). I

-

4

Koordinate trenumog centra masajeslJ: xc=3rn, m i zc=3rn. b. Brzina centra masa odreduje se jednadZ.bom 3.2.6:

lzraz 3.5.4 pokazuje da rad svih stia, sustava iz konfiguradje

PUllU","J"

Rad konzervativnih sila sustava moze se uvijek sa promjenom potencijalne energije, pa se zakone rada i energije opisane u sIucaju materijalne tocke maze analogno koristiti i za sustav milt~ri.ialnih tocaka.

J

NIlS.

106

Dinamika

Komponeme brzine centra masa jesu: Yn=2m/s,

VCy=!

m/s i v",=l,Sm/s, odnosno

vc =2,693 m/s.

c. Kineticka energija sustava odreduje se izrazorn 3.4.1: .

T=

Analiza centra masa. Gibanje centra je ravninsko. U trenutku kada je poceia djeiovati siia, sustav je mirovao u poiozaju pokazanom na slici 3.5.3. Vekrorska diferencijaina jednadzba gibanja centra masa prema jednadzbi 3.3.6 glasi:

2

1 L - - = -,Fn

.:-. mj Vi i=j

107

Sustav materijalnih tocaka

E

2

=

2 m

i

j

2 VI

2

2

2,

+m2 V2 + Fn 3 V3 +m4 V 4 )

2

pV ..

7'

..

F

7'

7'

--=--=XI+YJ=-l. dt2 mult C C 2m

= 2

2

[6 +22 +4 +(2f3?]

=

m 25 68 = 170kg~ = 170 Nm.

Ubrzanja, opci izrazi za brzinu i polozaj centra masa jesu:

d. Relativna kineticka energija oko centra masa dobije se iz izraza 3.4.2, a iznosi: n

2

20'2~6932 = 170 -72,5 =97,5Nm.

1~ 2 mukvc_ l.=-L....,m.v l =T---=liO c 2 i=l I Ie 2

-!

Pocetni uvjeti gibanja, pri t=(), za polozaj i brzinu centra masa jesu: =0; PRII\1JER 3.5,2 Na giatkoj horizontalnoj povrsiill nalaze se dvije jedllake mase medusobno vezane krntim Stap ima main masu pa se ona moze zal1emariti. rljelavati koustantna Aka l1a jedrm masu pacne sUa kao ?ito je pokazal.lo IIa slid 3.5.3, odredi kiueLiCim energiju sustava II. trenutku t od pocetka djeiovanja sHe karla je kat 'P joil vrla mali.

d 1

m

•

.

F

F 2 x =-t

x C =-t· A '

\1

4m

c

.t"ri1

-1, ,I

i

Ii'

Da budu ispunjeni pocetni uvjeri, konstante integracije moraju biti jednake C 1 =C 2 =D, =0 za brzinu i polozaj centra masa glase:

,i

I I:

=-

c

D2=lIZ. Prema tome, konacni

,

f1

I 2

Y

,

m~if\:/

Y

['

x I~

c

I

=-.

2

x

Slika 3,5.3

Analiza

.le(im~m'be

rada. Prvi integral u jednadzbi a) maze se izraziti sa: r

~~t

Jrr'dr =fFdx

U sustavu nema disipativnih sila sto znaci da je konzervativan pa ce djelovanjem sile biti izvrsen rad koji ce se utrositi na stvaranje kineticke energije sustava. Prema izrazima 3.5.1 i 3.5.2 za svaki trenutak gibanja t vrijedi da je:

c

,=0

c

. b)

=Fxc'

0

iIi sa: a) e)

Prema izrazu 3.4.2 kineticka je energija u trenutku t jednaka: Fn

V

lz jednadzbe b) i c) slijedi da su:

2

T=~+T/

2

c·

Da se mogu izracuna:i ti izrazi, potrebno je poznavati gibanje cemra masa sustaV3. i gibanje masa u oanosu cemra masa. -10 se maze oareom uz pomoe zaKona gioanja rezisra susrav" i analizom jednadzbe rada. ad djelov3.nja sile P=F[ sustav ce se gibati paralelno s glatkom povrsinom tako da se cijel1 sust3v giba translatorno u smjeru x kacl centar masa SUStaVe vrsl relativno gibanje oko centra masa koje moze biti same roracija.

Brzina

centra ie

.

U

K. ltf lJ

.

snneru

.

OS]

nen1a

(F. =(l)

Dinamika

108

2

t

t

2

t

f L (ii' + f;)'dfiIC = ff.dr1/C+ fL Fi"'ari/ =f Ff·( ~cosffJdlf!)r= C

(",0 i""1

0

0

4'=1

0

£..

t

=FifcosCPdCjJ =Fi(sinq:, -sin

109

3.5.2. PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAVANJE

Drugi integral u jednadzbi a) moze seprikazati izrazom d) koji gJasi t=t

Sustav materiialnih tocaka

d)

iii izrazom e) koji glasi:

Primjer 3.5.1 DvUe mase vezane krutim stapom stoje u labilnom vertikalnom polozaju na glatkoj horizontalnoj povrsini, kao !lto je pokazano na slici 3.5.5. Masa m l = 10 masa m z=20kg, amasa stapa duzine l=2m neka se zanemari. Ako se poremeti ravnoteza, mase ce se gibati i ispruziti na horizontainoj povrsini. Odredi brzinu centra masa za trenutak neposredno prije ispruienja.

Slika 3.5.5

e)

U pocetku gibanja je 1"0=1"0=0, a to znaci da za bilo koji t mora biti d \2 iii 2Fsincp =ml ( t, dt

-'£.) .

!z te jednadzbe slijedi diferencijalna jednadzba:

J:~~ =~dt. Za vrlo male kutove I" je sinl" =1", pa diferenijalna jednadzba glasi:

Primjer 3.5.2 Dvije jednake rnase, vezane krutim stapom zanemarive tdine, mogu se gibati u glatkom vodenom pUlu, i to masa A vertikalno, amasa B horizontal no. Mase su pridriane u polozaju kao !lto je pokazano na slici 3.5.6. Ako se mase odjednom puste 510bodno one ce se gibati. Odredi za trenutak kada ce stap zauzeti horizontalni poloza]: a. brzinu tereta A i b. silu u stapu i c. kineticku energiju. Mase su mA=mB=lOkg, a duzlna 1=2m.

Slika 3.5.6

~=~:Zdt. Opel integral te diferencijalne jednadzbe jest: 1 I 2F

/iP=-I-t+c 2~ ml

U trenutku t=O mora biti \0=0, a to znaci da je konstanta C jednaka nuli. Kut i kutna brzina rotaeije sustava dani su izrazima:

F -

--t~

2ml

cp = F t. ml

Primjer 3.5.3 Sustav se sastoji ad tri mase vezane za kruti stap zanemarive tezine koji moze rotirati oko kraja A kao sto je pokazano na sliei 3.5.7. Sustav je pridrian I miruje u horizontal nom polozaju. Ako se sustav odjednom pusti slobodno, mase ce rotirati oko kraja stapa A. Odredi: a. bninu centra masa U ovisDosri (\ kutu (Y. b. ukupnu reakciju u lezaju A za trenutak kada stap zauzme venikalni Dolozaj.

Trazena .Ie kineticka Je I=O,9m.

~-

I

110

Dinamika

', l 11

Sustav materljalnih tocaka GIBANJA XPROMJENA KOLICINE GIBANJA

Primjer 3.5.4 Sustav se sastoji ad cetiri mase medusobno vezanih krmim stapovima zanemarive tdine i leii na glatkoj horizontalnoj povrsini, kako je pokazano na siici 3.5.8. Odredi polozaj i zakon gibanja centra masa, ako na masu m, pocne djelovati konstantna horizontalna sila

Za sustav materijalnih rocalca moze se odrediti brzina centra masa jednadzbom 3.2.5: n

'f' m.v. =

""'--'

Ako se oznaci da je: n

t=lOiN. Mase su: m,=Skg, m 2 =IOkg, m 3 =lSkg i m.=20kg. Duzina I=O,Sm.

1

I

i=l

L

=

i=l

I>1; =Q, i=l

Slika 3.5.8 tada se za sustav materijainih tocaka dobiva izraz: 3.6.1

Q=mvc ' U roj je jednadzbi:

Q= L if, - ukupna kolicina gibanja sustava, i=l

n

masa $ustava

m=Lmi i=1

vc -

brzina centra masa sustava.

lednadzba 3.6.1 pokazuje da je za svaki trenutak gibanja kolicma sustava tocaka jednaka produktu mase i brzine centra masa tog §ustava. Koristeci jednadzbe 3.3.5 i 3.6.1, moze se ukupna vanjska sila sustava dati izrazom:

tv

=

=

d (mil) dt C

=

dQ . dt

3.6.2

lednadzba 3.6.2 pokazuje daje ultmpna vanjska sila koja djeluje na sustav m21terijalliih tocaka jednaka promjeni kolicffie gibanja tog sustava po vremenlJl.

3.7. ZAKON IMPULSA Mnozenjem jednadzbe tv

sa dt dobije se tVdt=dQ. Velicina tVdt naziva se dt impuls "",,, ".~I",'" sila i oznacuje sa dS-+v, a gil;anja sustavl!, pa Je:

lzraz, 3. /. I pClkazule da je za sustav llia~er'ijalliih locaKa· Ul'WI~ll;.arm sila jeciuak lwlickllt': giban,ia sustava.

vanjskih

Dinamika

112

Integriranjem svih elementarnih impulsa od trenutka t1 do trenutka t2 dobije se:

z

2

(dS"=S1Vo~ =(dQ=Qz-Ql=f.Q=mv -milC1 =mAvC J C2 J

3.7.2

1

iIi

Sustav materiialnih tocaka

113

Za sustav materijalnih tocaka kojemu je za neki smjer komponenta ukupne vanjske sile iii komponenta ukupnog impulsa vanjskih silajednaka nuli mora i komponenta kolicine gibanja, a prema tome i komponenta brzine centra masa za taj smjer, biti kon~tilntna iii ni ena.

3.7.3 3.8.1. RIJESENI PRIMJERI

Jednadzba 3.7.3 izrazava zakon impulsa. On pokazuje da djeloyunjc impulsa na sustav materijalnih tocaka uzrokuje promjenu kol.icine brzine centra masa tog sustava. Promjena brzine centra mase je jednaka:

AvC =v -v C2

C1

=

3m1,2

sUa promjenu

3.7.4

lzraz 3.7.4 pokazuje da je promjena brzine centra mase sustava za interval vremena M=t2 -tl jednaka na jedinicu mase sustava koji je djeioy,w kroz taj interval vremena. Zakon impu!sa ima posebnu vainost u dinamickoj analizi kratkotrajnih udarnih djelovanja odnosno naglih promjena brzina.

3.8. ZAKON ODRZANJA KOLICINE GIBANJA Kada je za sustav materijalnih tocaka ukupna vanjska sila jednalea nuli (pv =0), tada je diferencija! kolicine gibanja jednak nuJi (d(LO), a to znati da je kolicina gibanja sustava konstantna (Q=k~nst). Na raj cinjenici lezi zakon oddanja kolicine gibanja sustava materijalnih tocaka koji glasi: Kada je I1kupna vanjska sila na sustav jednaka nuli, tada se kolicina gibanja sustava ne mijenja odnosno brzina centra masa sustava ostaje ista. Dalele treba pamtiti: Kada je Pv =0, tada je dQ=O, odnosno je Q=konst i Vc =konst. Kadaje za sustav materijalnih tocaka ukupan impuls vanjskih sila u promatranom interv'alu vremena M=t2 -tl jednak nuli (3;,2=0), tada je promjena kolicine gibanja jednalea nuli (Ll.Q=O), a ra znaci da je kolicina gibanja sustava na pocetku i kraju promatranog interva!a vremena jednalea (Q2 = QI)' To je drugi oblik zakona odrzanja koliCir:e gibar:ja vanjskih sila U odrcoenom intervalu vremcna i kra,ill tog intervaia vremena jednaka,. brzina centra masa na Treoa pamrilI: Kada je

Zakon

SV = 5,

tada je

koJifine

Primjer 3.8.1 Teret tezine G 1 =200N lezi na glatkoj On je vezan s jednc strane za horizontalnoj elasticnu opmgu krntosti k=40N/cm, a s druge strane za nerastezljivo nie preko glatkog mba i optereceno drugi."ll tereiom G z =300N. sustav miruje, kako je i pokazano na slid 3.8.1. TeZina opruge i meta je mala pa ih se moze ::ilika 3.8.1 z;memariti. u pravcu uzeta vertikabim Ako se na teret G z djeluje odredi koje ce biti maksimalno spu.stanje tereta G z•

Rjesenje. Za nerastezljivo uze nema promjene duzina pri vlacnom opterecenju. Uze je optereceno na vlak pa ce prema tome k:ncma,icki elementi (pomak, brzina i vertikalnoga gibanja tereta G 2 i horizontalnoga gibanja tereta biti jednaki. Djelujuci impuls S na teret G 2 izazvati .ce i reaktivni impuls uzeta SI' a taj ce uzrokovati na G, promjenu kolicine gibanja. Brzina obaju tereta prije djelovanja impulsa je VI =0, a nakon djelovanja :r::pu!sa je V2=V. Stvorena kineticka energija sustava nakon djelovanja impu!sa utrosit ce se na rastezanje opruge. U stanju mirovanja opruga je opterecena siiom i rastegnma za velicinu: G 300 x = -z =--=007Sm. Ok 4000 , lednadzbe dinamike za odredivanje brzine sustava nakoD djelovanja impulsa jesu: S-S1 = m2Y2 -m 2Y I = mzY' SI = mY2 -mlv1=m 1 v. Zbrajanjem tih izraza dobiva se: v=_S_·_ = 50g =0981m!s !?"l ~!?"2 200~300 '

Sve

. sile

na sustav kODzervativnt 50 pa

_.2.---"'_ + C

2 jm?~

S=50Ns,

+----

2

zakOD

114

Dinamika

Sustav materiiainih tocaka

115

Gubitak kineticke energije priiikom sudara je: ~_

!i 1

-

2

_ (m j +m2 )v2

T -T 2

j

iii

2

mjvj 1 / ,r-; 2 2 - - - ~ - [, G + U ) V - G v. J~ 2 2G"! 2 2 ] 1

~ _1_ [( 10;- 50)5 2 - lO'3tYl ~ - 383Nm. 2'9,81

J

Rjesenje te jednadzbe daje maksimalno rastezanje opruge koje je nakon uvrstenja vrijednosti jednako:

x max

l !

~ x 1+ 0

I1+

\j

S2 k g Gi(G! +G

2

)

300 l( 1)I ~ -1 4000'

502,98" '4000 ) ' 1 . ~ 0 18574 3002 (200;-300) , .m.

+

Trazeni maksimalni pomak je jednak: h ~ Xmax Xo ~ 0,18574 -0,075

~

0,11074 m.

Maksimalni pomak mogao se odrediti iz jednadzbe: (m] +m2 )v

2

--"----'=--- +

2

Cj ~

kh 2 +C 2

--

iIi

h ~y

~m +m ) ] 2 ~ 0 l1074m

Primjer 3.8.2 Tijelo refine giatkoj povrsini lJ praVClJ brzllom 'l'1=30mis, i koje miruje. Nakon sudara oba tijela brzinom v2 =5m!s. Odredi inlpuis koji je djelovao prilikom siloara kineticke energije pri sudam.

k"

Primjer 3.8.3 Dva stapa AB i BC irnaju na sem pricvrscene tdine. Stap AB nosi tri tezine Gj) a stap BC nosi jedml tezinu G z• su medusobno zglobno spojeni uBi priddani tako da miJruju ria glatkoj horizontainoj povrsini po!ozaju kao sto je UUh;Lla,W na slid 3.8.3. Pustirno sustav ",lubudno, tereti ce padati i na krajlll ce se stapovi ispruziti na huri:wntal.nu Tezina G2 i tezine G] su istog iznosa G. Tezina stapo'l'a neka se zanemari. Odredi na t{ojoj ce se uuaiiiellositi 00 osi y, nalaziti teret G z nakon ispruzenja

Rjesenje. Oslobadanjem sustava on vise nije u ravnoteZi, pa ee se poceti gibati. Sve vanjske sile koje djeluju na sustav djeluju u vertikalnom smjeru, sto znaci da je: F xV

gllbitak

Slika 3.8.2

Rjesenje. U zadatku se moze odmah izracunati impuls koji djeluje na tijelo G 1 prilikom sudara. lmpuis na tijelo G 1 je jednak:

S~mY -my ~~(5-30)~-25484Ns. 1 2 ] I 9,81 \ , Jednak impuls, ali suprotnog smjera, djelovao je na terer G2 • Masa i tdina tereta G2 maze se izracunati iz zakona impulsa za tiielo to jest:

~ dQx dt ~O

oa'nosno

Qx

~mvcx ~ k omt.

Komponenta kolicine gibanja SUSlava u smjeru x je konstantna od pocetka gibanja. Posto su odmah nakon otpustanja sustava brzine masa biie nula, to znaci da je: Qx~O,

odnosno da je brzina centra masa u smjeru x jednaka nuii, pa centar masa u smjeru x ne mijenja polozaj vee se giba po istoj vertikali. Za analizu izabran je nepomican koordinatni sustav takav da os )( prolazi tockama A i C, ana osi y, u pocetnom poloZaju sl!slava, leii locka B. Polozaj teZista sustava u pocetncm polozaju je takav da je : 3

-~G.

8 Pocetni polozaj teret2

je h

2:2 r3.i je trenutak

je

x 2p ==3u/2.

Vi);'

a rereta G z je

"2x'

116

Dinamika

a to znaei da brzine stoje

U

odnosu:

m2

G2

1

-3G v2, = - -::zv2; ml I ~ Mnozenjem tog izraza sa dt, dobiva se odnGs za elementarne pomake: VI, = - -3-V2, = -

1 dxl = - -dx2 ,

Sustav materijalnih weaka

117

Hjesenje. Oba tijela vrse ravninsko gibanje u ravnini slike koja je definirana kao ravnina x-yo Gibanje tereta je bez rotacije pa se u analizi mogu tretirati kao materijalne tocke. Teret G, u nekom trenutku ima brz.inu V, i ubrzanje a,. a tijelo G, ima brzinu Vz i ubrzanje 3,. Terel G, u odnosu klina giba se relativnom brzinom v, i reiativnim llbrzaIljem 3,. Prema lome Je:

Vanjske sile i ubrzanja za svako tijelo pokazani su na siici 3.8.5.

3

y

a to znati da i suma svih elementarnih pomaka od trenutka otpustanja do trenutka ispruzenja stapova stoji II istom odnosu:

x

Ukupno razmicanje izmedu centra tdina 3G j i tereta G2 do ispruzenja stapova moze se geometrijski odrediti prema slici 3.8.4:

r =r - r =5a 2

I

Slika 3.8.6

~a 2 = ~a 2 = x2, - x I, = x2, (1 + 1. 3 ) =~ 3 X2,'

a prema tome

q,

x

Klin se giba u pravcu llbrzanjem 2 = -a 2 , uzrokovanim neuravnotezenom silom -N,sinfr. Na leret G! djeluju komponente neuravnotezenih sila i to u smjeru )( i u smjeru y -G1sinza. Terel se giba relativno niz kosinu ubrzanjem :lr'

, I

~I: l"'r---=-~li'li>-
x

dQx

=-=0

--$-·$--@~~------~$~~~~x 1<1

... 1

slika 3.8A Konatni je polotaj tereta G 2 :

G 2 iN), a w znati da za sustav vrijedi:

Sve vanjske sile na sustav su vertikalne

2

=konst.

iIi

dt

Prema tome u svakom je trenutku gibanja:

U trenutku pustanja tereta G j da klizi, brzine obaju tijela bile su nula, pa Je prema tome Q,=O, a to znati da za svaki trenutak gibanja za brzine mora biti ispunjeno: m2

G2

Vlx =--V2=--~V2'

m- 1

a takoder i za ubrzanja: Primjer 3.8.4 Klin refine Gz=40N leii na hcrizont::!l:lG.: podlm:i. N:! g!lIltko} koso} stranl klina pusten je da klizi teret tezine G1=lON. Nagih klina je a=45°.

Odredi l.lbrzlllnje lilina i reillltivno ubrzanje teretlll G, na kIin.

U OID"l.OSU

Komponenta ubrzanJa Lereta u smJeru x supromog .Ie od ubrzanl3 kline. je oOnOSOITI njihovih Lezina" Komponente ubrzanja tereta jcsu:

Slika J.S,S

i

Dinamika

lIS

Prema principu D' Alemberta, ako svakom lijelu sustava dodamo vanjskim silama i siie inercije, nasraje dinamicka ravnoteza na koju se mogu primijeniti jednadzbe ravnoteie iz statike. Za tijelo

a zatim a

= - G Ix

Iy

1.

Lyl

2.

Slika 3.8.7

+m 1GZsina -m)gcosa = O.

2

+a coso: = r

. a =6-a sma:

jednadZbe ravnoteie glase (vidi sliku 3.8.7):

LXi = mjgsina + m j a2 cosa - m] aT = 0,

119

Sustav materiialnih tocaka

Nj

m1GZ

=-.-=

sma

G2 G

2

+

1

Gz+G j

=

G +G

r

2

G 1 G1cosa 0

'

G z + Gjsin-a

1

.

sin2 (t

N

.

gsma cos a. ,

G sinZa

=

Za tijelo

jednadzbe ravnoteie glase (vidi sliku 3.8.8):

a lx = 4,36 m/s2,

a j =-5,45 m/sz, y

z 1,09 m/s2,

G =

~~2-4----~----~~~--~

x

G2

t

LX =m2 aZ - N j sina =0, LY =N - N j cosa -Gz =0.

3. 4.

IN

Slika 3.8.8

lz jednadzbi 1.,2. i 3. moze se izraziri:

aT = g sina + a2 cosa, N j =mjgcosa -mjGzsina N • az =-sma m1 j

m; ( =-...0

mz

G.

b. .

.

0

)

gcosasma -azsm-a.

c.

Jednadzba c. pokazuje da je:

1I

G 1 sin2a

2 G2 +G j sin2 o: '

Uvrstenjem ;), u izraz a. dobiJe se:

aT

=

gsina +gcosa----''------

- - - - - f , ' sma

sin2 a

,

N =44,444N

0:

G (G j +G

)

Z 1 N j cos a + G2 = -'----"---'-G z +G 1 si"...hI

Za zadane je vrijednosti: "'1

2

gsm

N j =6,285 N.

120

Dinamika

3.8.2. PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAVANJE

Sustav materijalnih tocaJ;:a

121

3.8.5 Na borizontalnom glatkom podu nalazi se sanduk napunjen pijeskom oslonjen na elasticnu oprugu krutosti k. Sand uk se moze gibati sarno u smjeru osi x. Tane tdine G 1 doleti horizonralnom brzinom v, i zabije se u sand uk kao sto Slika 3.8.13 je pokazano na slici 3.8.13. Odredi za koju ce maksimalnu veiiCinu biti pritegnuta opruga nakon zabijanja metka u sanduk ako je poznato da je teZina sanduka s pijeskom G=400N, tezina metka =lON, brzina metka v=700m/s i krutost opruge k=2N/m.

3.8.1 Teret mase m, priddan je na vrhu klina mase m, u tocki A. Ako se teret pusti slobodno, on ce kliznuti niz kosu stranicu kl ina. U susravu nema rrenja jer su sve povrsine glatke. Poznato je da je m 2 =3m 1 Odredi apsolutni put u smjeru x tereta i klina za vrijeme za koje se teret spusti iz tocke A do locke B koja je najniza locka na kosoj strani Iclina. Slika 3.8.9

3.8.2 Sustav se sastoji od klina tezine G, i tereta tezine U pocetku je sustav pridrzavan u stanju mirovanja a zatim je pusten slobodno. Teret G 2 je poceo kiiziti niz kosinu relativnom brzinom v, u odnosu na kEn. Poznato je cia izmedu horizonralne podJoge i klina nema trenja i da je klina D!. Odredi apso]utnu brzinu klina i terera.

Slika 3.8.10

3.8.6 Dvije kugle istog promjera ali razlicitih tezina vezane su oprugom krutosti k i leze priddano na glatkoj horizonralnoj podlozi leao sto je pokazano na sliei 3.8.14. U pridrzanom poloiaju sila u opruzije Fo=8N. Ako se kugle odjednom puste slobodno opruga ce se i odbaciti kugle nasuprot ali u istom praveu. Nakon otpustanja kada se opruga rastegnula za "em, sila Slika 3.8.14 U opruzi je paJa na F j =4N. Teiina kugle 1 je =5N, a kugle 2 je G 2 =3N. Odredi koju ce brzinu imati kugle u trenutku kada se opruga potpuno r3.sregne. 3.8.7 Top ispaljuje metak pod kutom lX. Masa topa je m l a metka m 2 , Relativna brzina metka u odnosu na eijev u trenutku izlaza iz eijevi je v. Prije ispaljivanja metka top je mirovao na kotacima uz mogucnost slobodnoga gibanja u horizonralnom smjeru. Odredi apsolutnu brzinu metka u ovisnosti masa illj, m z i kuta D!.

3.8.3 Motor tezine G ldi nepncvrscen na glatkoj horizontalnoj povrsini. Za osovinu motora ucvrscen je kruti stap duzine L zanemarive tdine. Na kraju srapa je teret Ako osovina rotira kutnom brzinom w motor ce se gibati po horizontalnoj povrsini. Odredi zakon gibanja motora i maksimalnu kutnu brzinu pri kojoj se motor jos nece odizati sa povrsine. Slika 3.8.11

3.8.8 Koliea s teretima i covjekom imaju ukupnu masu m uk = 100 kg i gibaju se u praveu konstantnom brzinom vo=10m/s. Odredi promjenu brzine kolica ako su izbacena dva terera u smjeru suprotnom od smjera voznje relativnom brzinom u odnosu na kolica v,=20m/s, i to: a) pojedinacno j b) oba tereta odjednom. Masa pojedinatnog tereta.ie iT.., = 5 kg.

Slika 3.8.15

tczinc G::=: ! k.l~, '-..:eZ3.I! na m, i mai sa n= 1200 o/min, Teiina rotora je G, ==300 N. Centaf mase rotora ima f'.i<"cf.:i7;iciter e ==(}b5 mm" a nalaz;

na fa;:milKu

3.8.4 Kolica tdine G=l kN miruju na horizontalno glatkoj povrslni. I"la kollca nallJece terel te:line =1001"\ brzmom v=6m/s i zabije se u kolica. Odredi kojom brzinom ce se kretati kolica nakon zabijanja tercL3 .

i;t:puls

Siika 3.8.12

se na VISII11 11=£. Oaredi diferencijalnu jednadzbu gibanja centra masa i ;,:;biT,alnu horizomalnu i vertikalnu silu veza motora.

7,

~

[------1

';lib 31! 15

Dinamika

Kada se jedno tijelo giba j nalijece na drugo, koje moze mirovati iii se takoder giba, [ada

pridrtano u poJozaju pokazanom na sliei 3.8.16. Klin je dvostran, simetrican s kutom a=45° i tdine G=100N. Tdina tereta Gj=SON, a tereta G 2 =25N.

dolazi do dinamickog procesa koji se naziva sudar iii sraz. Pri sudaru dvaju rijela u vrlo kratkom intervalu vremena na mjestu Godira dolazi do uzajamnog djelovanja \Tio velikim

U sustavu su sve dodirne povrsine glatke, a tdina uzeta Slika 3.8.17

Odredi pomak klina za vrijeme kada se teret G J spusti za velicinu h=O,7m.

3.s.n

Dva autamobila (dine G j =lOkN i G z=7,5kN sudare se na zaledenom raskrizcu (nema trenja). Automobil 1 je vozio u smjeru zapad-istok, a automobil 2 u smjeru jug-sjever, kako je pokazano na sliei 3.8.18. Prije sudara je automobil 1 imao brzinu v, =60 km/h, a nakon sudara su oba imaia istu brzinu v sa smjerom pod kutom 0'=30".

j

~El

Odredi koju je imao brzinu automobil 2 prije sudara.

Jug

Slika 3.8.18

3.8.12 Covjek s puskom sjedi u cameu koji miruje. Tdina covjeka, camea i puske je G uk =900,2N. Covjek odjednom ispali metak u horizontal nom smjeru duz camea. Metak tdine G=O,2N zabije se u objesenu vrecu punu pijeska tdine G J =50 N koja pri tome dobije brzinu

123

3.9. SUDAR DVIJU MATERIJALNIH

3.8.10 Dva tereta G J i G z medusobno su vezani nerastezljivim uzetom prebacenim preko gJatkog vrha klina i stoje

moze se zanemariti. Ako se sustav pusti slobodno, on ce se gibati.

Susrav ma!eriialnih tocaka

si!ama, taka da se brzine obaju trenutno mijenjaju. Sile uzajamnog djelovanja tijela u sudaru zovu se udarne sileo Sudar dvaju tijela je vrlo slozena pojava. Zbog velikih udarnih sila na malim povrsinama dodira nastaju i velika naprezanja i deformacije koje se u analizi ne mogu zanemariti. Yrijeme trajanja sudara ovisi 0. gustoci rnase, elasticnim i plastiCi1im svojstavima materije i reiativnoj brzini tijeia u trenutku sudara. U dinamickoj analizi sudara ne promatraju se udarne sile i vrijeme trajanja sudara, vee samo impulsi tih sila, jer je tok udarne sile i lrajanje sudara Lesko 1Ocno odrediti. Kod analize sudara rea!nih tijeia mora se odsmpiti od pretpostavke idealno krutog tijela jer su deformacijska svojstva tijela bitna. Pri promatranju djelovanja udarnih sila mogu se zanemariti djelovanja postojecih vanjskih sila jer je rezultat njihovih djelovanja u vrlo kratkom vremenskom intervalu trajanja sudara zanemariv. Normala povucena na povrsinu dod ira tijeia pri sudaru lOve se linija sudara. Ako se sudaru nalaze na liniji sudara, sudar se zove centricni sudar. U slucaju da centri masa centri masa sudarenih tijeia ne leze na liniji sudara, tada se sudar zove eY..5Ceutricllt sudar. U analizi sudara tocaka sudar je uvijek centrican. Kod krutog tijela moze biti sudar i ekscentrican. Kod ekseentricno-g sudara tijela dolazi do nagle promjene brzine centra tijela i kume brzine tijela. Brzine dviju sudarcnih materijalnih tocaka prije sudara mogu biti usmjerene u smjeru liniie sudara iii ne. Ako su brzine prije sudara usmjerene u smjeru iinije sudara, takav sudar ~e zove direktan centriCni sudar, a ako nisu rada se sudar zove kosi centricni SUGar

3.9.1. DIREKTAN CENTRICNI SUDAR Dvije materijalne tocke mas a ill, i ill 2 , gibaju Se na istom pravcu brzinama vJ i v 2 , kako je pokazano na siic! 3.9.1. Kada je brzina v, veea od orzine vz, rada ce

Slika 3.8.19

v=2,Sm/s.

doci do direktnoga centricnog sudara. Za vrijenle

Odredi brzinu gibanja camea nakon pucnja. Otpor zraka i vode neka se zanemari.

sudara materiialne tocke su u kontaktu uz veliku silu medudjelovanja pa dolazi do deformaci.ie dodirl1lh

trosi din ukupn;:: kinetickc energiJe. Vi SV::

U odredeooIT; treDULKU tOG

rn3lc.Sli11::un..::

deiofD1acije abje InateriJaine locke ce lD1ati jedna~u brzinu v. c~j3st.jcna

Ukoliko je nastala deformacijo DOlpuno tada cr-

deformacije vrsiti rad na stvaranju kineticke taka da ukupna kinetic!;:a energija sistema na.~on sraza

124

Dinamika

bude jednaka ukupnoj kinetickoj energiji sistema prije sraza. Brzine nakon sudara mmerijalnih tocaka ce biti i\ i v2 , i to takve da ce uvijek brzina v2 bit i v~ca ad brzine VI' U realnim slucajevima sraza je redovito ukupna kineticka energija nakon sraza manja ad ukupne kineticke energije prije sraza jer se dio energije trosi na plasticnu

Sustav materiialnih tocaka

125

F

Sam sudar traje vrl0 kratko vrijeme koje e mleri milisekundama. Za vrijeme sudara ila medudjelovanja se mijenja leao sto je ,okazano na sliei 3.9.3 Povrsina ispod rivulje F-t oznacuje ukupan impuls koji je na svako tijelo. Taj se ukupni

deformaciju. Direktni centricni sudar dviju kugla jednakih velicina na glatkoj horizontalnoj povrsini moiemo promatrati kao sudar materijalnih tocaka s masom ill, i lli 2 . Brzine prije sudara VI i \2 i nakon sudara VI i V2 usmjerene su u smjeru linije sudara. U smjeru linije sudara za vrijeme sudara djeluju sarno unutarnje sile medudjelovanja sustava. Vanjskih siia u tom smjeru nema iIi su zanemarive, sto znaci da nema ni promjene kolicine gibanja sustava u tom smjeru pa vrijedi zakon odrianja kolicine gibanja sustava koji glasi: 3.9.1 Za direktan eentricni sudar dvaju tijela ukupna je kolicina gibanja prije sraza jednaka ukupnoj koliCini gibanja poslije sraza. U jednadzbi 3.9.1 brzine su tijeia nakon sudara nepoznate pa je za rjesenje potrebno naci jos jednu jednadzbu. Detaljnom analizom dvaju cijeia u direktnom eentricnom sudaru moze se ustanoviti aa svaki sudar ima dva vaina perioda i to period deformacije i period restitl.lcije. U periodu deformaeije. uslijed sila medudjelovanja, rijela se na mjestu dod ira deformiraju i istodobno ce se udareno tijelo ubrzavati, a udarajuce usporavati. To traje sve do trenutka kada ce oba tijela imari istu brzinu V (vidi sliku 3.9.2).

i ..

tl

~i ~

t2

t

~

S=!Fdt=Sl+S2 o

t fB!i.1

r.--I

lmpuls 8, djeluje u perioau deformaeije a impuls 5: djeluje u periodu restitucije. DJelovanje impulsa S, is: je rascianjeno prikazano na sIiet 3.9.2. Za period,defofmacije mogu se napisati jednadibe: 3.9.2 Slika 3.9.3

Za period restitueije mogu se napisati jednadzbe: 3.9.3 lzjednadzbi 3.9.2.i 3.9.3 za tijelo 1 i 2 vrijede odnosi:

m1v 1 -m 1v S2

-v

mjv-mlv1

S, = m2v

ili

- m v 2

S2

V-VI

m2v2

-

V-V

2

3.9.4

V2 -v.

Kada je impuls deformacije i restitueije jednak, tada je S,/S z =1, pa se dobije da je:

v -i\

{i

VI -V2

U

2 --=--=1.

I
ID2,:

e:--D-8

Kada je S, = S2' relativne brzine tijela prije i poslije sudara jednake su po iznosu, same su suprotnog predznaka. Ako se za vrijeme sudara vrsi rad i na plasticnu deformaeiju, tada ce se utrositi odredena energija Ed koja se gubi, pa energetska jednadzba glasi:

\~--~---..I

Period deforID8cije.

Period restitucije.

3.9.5

Slika 3.9.2 ,;

restitucije poreneijal na energija elasticne deformacije vrsi fad silama kineticklJ 2 energiJu. U to] razi gibanJa udareno tijeio se i dalje ubrzava< a. udarajuce tijeio se i dalje usparava. T(, do trenutka dok se tijela ne odvoje i prestane medudjelovanje.

"

medudielovanJa taka da se elasticna deformaciJa smanju_i::_

Kada nema plasl.lcne

dpt(Wnl"J'

nema ni gubitka energije pa

--+ 2,

zakon adrzanj"

3.9.6 2

2

126

Dinamika

lednadzbe 3.9.1 jednadzbi vrijedi:

3.9.6 sadriavaju nepoznate veiicine

iii

i\ i v2 .

Za real no rjesenje tih

U= -u,

gdje su u relativna brzina marerijalnih tocaka prije sraza a ii nakon sraza. Kada u sudaru pos[oji i gubitak energije, javija se kao nepoznanica i kolicina utrosene energije na plasticnu deformaciju. Sudar pri kojem uz elasticnu deformacju posroji i plasricna deformacija, nazivamo eI3ISUlpI3lS1[ICIl111l suaarom. Pri takvom sudam ce relativna brzina nakoD sudara biti manja od relativne brzine prije sudara. To se moze izraziti koeficijentom e, koji se zove koeficijent restitucije iIi koeficijent eiasticllosti sudan•. Taj koeficijent je uvijek pozitivan i prikazuje odnos relativnih brzina poslije i prije sudara izrazom: iii

-Vl

ii.

VI -V2

U

V

2 e=--=--.

3.9.7

127

Sustav materijainih tocaka Brzine tijela poslije sudam mogu se izracunati iz jednadibi 3.9.1 jednadzbi dobiva se: (m 1 -emz)v j +m2(1 +e)v2 VI ~--~--~--~--------­ m1 +m2

_ Vz =

3.9.8

m 1 (l +e )Vl +(m2 -em 1)v2

3.9.2. GUBITAK ENERGIJE PRJ CENTRICNOM ELASTOPLASTICNOM SlJDftJW Gubitak energije se odreduje analizom energije prije i poslije sudara. Gubitak nastaje jer se energija trosi za rad na plastitnu deformaciju. Kineticka energija prije sudara je: 2

Izraz 3.9.7 pokazuje da je e=l, kada nema gubitka energije, a kada je e=O, da je relativna brzina nakon sudara nula, sto znati da su brzine tijela nakon sudara jednake. Sudar ideal no elasticnih tijela naziva se potpuDO elastican sudar, i ima koeficijent restitucije e= 1. Sudar ideal no plasticnih tijela naziva se potPUIlO plusticun sl.Idar i ima koeficijent restitucije jednak e=O. U praksi se obicno susrece elastoplastjcni sudar uz koeficijent restitucije koj i je:

3.9.7. Rjesenjem tih

li'

2

= _m_1_"_1 + _m_2_"_2

~"

",

2

2

Kineticka energija poslije sudara je:

O
Pri sudaru kugli iz raznih materijala vrijednosti koeficijenata restitucije navedene su u slijedecoj tablici:

Gubitak kineticke energije prilikom sudara je: m f1Ek =Ek, - Ekl

=

(v 2 -\,1, 1·

~

)/

+

m 2 (v; -v;) 2

3.9.9

TABLICA KOEFICIJENATA RESTITUCIJE Materijal sudarenih tijela

Koristeci izracunane vrijednosti brzina nakon sudara izrazima 3.9.8, gubitak kinetieke

oeficijent restitucije e

energije iznosi:

3.9.10

staklo-staklo

0,92-0,96

bjelokost-bjelokost

0,88-0,90

I

I

!

eehlc - eelik

0.55-0.85

II

drvo-drv0

0,35-0,65

III,

olovo-olovo

0,10-0,20

ce!ik-guma

0,25-0,45

celik-pijesak

Ii

II

,I

o

KoeflCljcntl se oareauju ekspcnmentallllm putcm . .La porrebno je koeficijem restitucije unapriJed poznavati.

Kada brzina iii suoara, mda se takav sudar nazivZi kosi centricni prolJiema suGara

0ujur",

Net slici 3.

Dinamika

128

129

Sustav materiialnih tocaka Koeficijent elasticnosti sraza prema definiciji iznosi: e =

~2-Vl yr-vz

=

o-(-~)

=

{iiH- 0

~

\O,8l

~

~ H

0,9.

1

Pozitivna brzina je uzeta prema dolje. Brzine udarenog tije!a jednake su nuli jer je tio nepomicno.

Slika 3.9.4 Kada su dodirne povrsine dvaju tijeia pri kosom cemricnom sudaru potpuno glatke, postojati ce sila pri sudaru samo u smjeru linije sudara. Za rjesavanje problema kcsog sudara se postavljaju jednadibe na osnovi: 1. poznatog koeficijenta restitucije i 2. zakona odrianja kOficine gibanja sistema za smjer linije sudara. Za smjer okomit na iiniju slidara je impuls trenutnog trenja zanemariv. Na osnovi zakona odrianja kolicine gibanja, brzine ce u tom smjeru za oba tijela biti prije i poslije sudara jednake. Ako su pri kosom sudaru dodirne povrsine hrapave. tada je dinamicka analiza sioienija. Tada se moraju uzeti i sile trenja koje uzrokuju rotaciju masa, pa se mora rjdavati kao sraz tijela.

Primjer 3.9.2 Dvije kugle istog promjera krecu se po istom pravcu nl! horizontainoj povrsini tako aa dode do direktllog ccntr::llmrg sudara. Kugla 1 ima mast! m,=O,8kg, i brzinl.l v, =6ms-'. Kugla 2 ima masu ill2=O,4kg i brzinu v z=3ms-'. Aka je koeficijent restitucije e=O,6 odredi: a. orzine kugli nakon sudaI'a, sudara 0,015. b. srednju siiu udara ako se zna da je Rjesenje. Sudar je direktni centricni elastoplasticni. Tieba odrediri dvije nepoznate brzine nakon sraza. Za rjesenje brzina moguce je postaviti dvije jednadzbe, a te su jednadZba odrianja kolicine gibanja i jednadzba koeficijenta restitucije. lednadzbe glase:

v

rn1v 1 +m2v Z =ml"\ +mi 2'

Nakon uvrstenja poznatih vrijednosti dobiju se jednadzbe: 1),

2Vj+v2=15

3.9.4.· RIJESENI PRIMJERI

v2 - VI = 1,8

Primjer 3.9.1 Kuglica je puStena u zrakopraznom prostoru s visine H=l m da padne na nepomicno tlo. Nakon sudara s dom ona se panovo digne na visinu HI =0,81 m. Odredi koeficijent elasticnosti sudara.

2).

Rjesenje jednadibi glasi:

i\ =4,4 m/s

V2 =6,2m/s.

!mpuis koji je djelovao za vrijeme sudara jest: Rjesenje. Pri padu i dizanju kuglice jed ina sila kOJa Je djelovala na kuglicu je konzervativna sila teiine kugiice. U problemu treba luciti tri faze gibanja. Prva faza je faza padania koja ie obican slobodni pad. Druga faza je faza sudara. Treca faza Je fa~a dizanja koja je vertikalni hitac s pocetnom brzinom jednakom brzini kuglice nakon sudara.

Brzina kuglice potrebna da sc kugiica digne na vlsinu H j i:; ~ - J2gH!.

-S =mjvj -m1v1 ~O,8( 4,4 -6) ~ -1,28 kgm!s ~ -1,28 Ns,

sHz. djelova:1ja Slika 3.9.5

s

~

12&

130

Dinarnika

Prirnjer 3.9.3 Kugla tezine G J =20N padne sa visine

131

I'rillljcr 3.9. J Dvije Iwgle iSle tezine G gibajll se na glatkoj povr;ini i sildaruju. lJ trenutkll sraza brzilla udar"ajuce kugle je ~\ ~ 21 m/s, a udm-ene kugle je \12 ~ II m/s, kako je pokazano na slid 3.9.7. Ako .ie sudar s koefidjentom eiasticHusti sudanl e=O,5, odredi h!-zine za kugie nakon silaara.

=1 m

na elasticno oslonjenu ploeu teZine G 2 =200 N i odskoci na visinu H 2 =25cm. Odredi guoital, kineticke energije i koeficijem restitucije pri sudaru. Rjesenje. Sudar kugle i ploce je elaswplastican. Brzine kugle prije i poslije sudara su indirektno zadane kao brzina slobodnag pada i pacetna brzina vertikainog hica. Brzina place prije sraza je

Suslav malcrllalnih wcaka

Slika 3.9.6

nuia. jer do sudara miruje. Poznavajuci te brzine moze se. iz uvjeta da je kolicina gibanja prije i posl ije sudara jednaka, odrediti brzinu ploce nakon sudara. Kada je odredena i ta brzina. moguee je od~editi gubitak kineticke energije za vrijeme sudara i koeficijenr restilucije. Poznatc su brzine za kuglu i plocu:

Siika3.9.7

Rjesenje. To je kosi centralni sudar. Pri sudaru jc pravac okomit na povrsme doui,a I uzel da.ie indentican sa OS! X. Zato se sudar maze proJnarrati kao direktan cemraini sudar u smJeru X. 2 zadrZava svoju komponenlU brzine u smjeru OS! y i nakon sudara. Zakon odrianja koliCine gibanja za raj sudar glasi:

ta vekrorska jednadzba daje dvije algebarske jednadzbe:

v J ~V2gHJ'

lz zakona odrianja kolicine gibanja pri sudaru: a uzimajuci

U

obzir da je m, =m 2 i da je

1-\=i\.r

V J=2

mls i

=2rn/s

'I: =

1 m/s s]ijedi:

v2 =

=

1 Jnjs,

dobije se: ~

Treeu jednadzbu daje

0 ~ 0,6644 m/s.

elasticnosri sudara: ~0,5

iii

~

1.

KoefJcijent restitucije sudara jest:

e~

v2 -1\

~ 0,66441 +2,21472 ~0,65

v j -v2

Rjesenje jednadzbi jest:

4,4294-0

i\, ~O,5mls, i'z, ~ 1,5m/s

Vly ~ ~

0, 1 m/s.

a gubitak kineticke energije iznosi:

'T-- T2 -

u

T L

1

_ 1 (_2 -"2 m 1 Vj + m2 V_22 - mJ

r; 'U H) =Jj\U2~ -1 ~

-10,5 Nm.

G2 _2 =-.::,"0 . 075 '6 2 +-v " +200 - - 0 ,044= 2

2g

2g

PrimJer 3.9.5 Vagonet teiine G,=1,5kN juri brzinom =! r;js ~ sudu.i~J. S( ::, ·v'a15vAlc~{hll tei~l.~e (;2=3 KI',; l\.o.1i

VI

fninJje- na horizoHt3Jnoj ravnoj pcuzi.

c=o,

e=(),5

C=

10

•

je i rH:=2rH 1 . Brziilt' nakon sudara

Slika 3.9.8

jednad£bc :,::akcna

133

Suslav materijalnih tocaka

Dinamika

132

s visine PrimJer 3.9.6 Kug\ica teZine G h = 30 ern, na 1105U glatku povrsinu nagrmtu pod kutom a=4S" te se odbija tako cia parlne na horizontaino tlo na I, kako je

odrZanja kolicine gibanja i izraza za koeficijent restitucije koje za zadatak glase:

v -17

e=_2_ _ 1. VI

b

pokazano na slid 3.9.9. Ako je koeficijent restitucije e=O,75, visina h, =20 em i ako se otpor zraka Z:lllCmari, odredi

a. Pri potpm:1O plasticnom sudaru je e=O, a to znaci da J'e iJ.,=v2 , pa J'e "j=3vz · Prema tame je:

uda!jenost l. RjeSenje. Problem trazi da se uCine dvije analize: kosog sudara i kosog hica. Kuglica prostim padom s visine h dobiva brzinu v~f2i1i, i tom brzinom udara na Komponenta brzine kugiice kojaje okomita na kasu n~,.,"Cm" Je v;! ~ v sina . Nakon sudara te suomponente:

Gubitak kineticke energije iznosi: 2

=_1.

m 1m 2 2 m +m

mj"l

2

1

l 1

2

=_ 11500' 3000 12 __ r 21500 +3000 - )O,908Nm.

/

=v 1 ::::

b. Pri elastopiasticnom sudanl sa koeficijentom restitucije e=O,.5 jest:

Siika 3.9.9 kosu i

.

VSlna.

lednadzbe gibanja kuglice poslije sudara jesu: sI

Rjesenje je tih jednadzbi:

VI

Gubirak kineticke energije iznosi:

_

_2

~V; sina

Vy ~v; cosa

2

m2 v Z m1vj /lftk-E.-E = - - "2 k, 2 2 ~

30oo·0.SZ 2g·

2

1

I I

_

I

--ms 3'

v·2 =

2

-m/" 3' .,.

t,1

Gubitak kineticke energije iznosi: ;

_2 VI

+

v;! coso: = ~ (1 +e )vsin2a = 0,875

-v;' sina

=v( ecos2a

~ 2,1228 mJs,

-sin2 a) ~ -0,125 V2gh ~ -0,3033 m!s

smjeru y kuglica 6e pasti za y=-h j . Dakle:

Rjesenje je tih jednadzbi: 1

_ gt 2 2

Vrijeme trajanja kosog hica .i l moze se odrediti iz uvjeta gibanja u smjeru y. Y,o"

_

~

1500-1 ----:;;g= -38,226Nm.

c. Pri potpuno elasticnom sudam je e = 1, a to znaGi da je:

V =

sy

vI t

su brzine :

V2 = 0,5m/s.

V.1 ""0

=

2 2)

+mz v

j

....2 m,v1

=

(m)

=

1500'(-1/3):+3000'(2/3)2 _ 1500'1 2 =0.

2

2 Lg

2g

f

i

~

=

-0,3033t] -4,905

t; ~ -0,2

iii

t;

T

0,06183t1 - 0,04077 = 0.

Realno rjesenje dobivene kvadratne jednadzbe za tl je: tl ~ -0,030914 +0,204278 ~ 0,17336s. Trazena udaljenost l je:

Dinamika

134

135

Sustav materijainih tocaka Oba tereta svojom kinetickom energijom

Primjer 3.9.7 Telfet =HlkN, zabija pilot teiine G 2 =2kN padom s visine 11=3 m. Koeficijent restitucije e=O,5, a otpor tia se II oLlikll konstanine sile F (sl'canja sila otpora). Odl'edi velicim.l sHe F, ako se zua da je zabijanja pilota od jednog udarca y=O,02m.

velicinu

"d'

deform irati ce oprugu za

radom tereta

lednadzba rada i energije glasi:

J

_2

2

,'Xd~

(m j +m ) v 1

.

2 --"-----''--+C= -G.x . ' - . Cv

2

1

2

a

iIi Rjesenje. Brzina tereta G J prije sudara je VI ={iih. Rad zabijanja se vrsi na racun tl"Osenja potencijalne energije terela G, i G 2 • Pri zabijanju se svladava orpor prodiranju pilora u tlo oznacen sa R i na trosenje kineticke energije u eiastoplaslicnom sudaru. lednadiba rada i energije glasi: Wd

-

Slika 3.9.10 Uvodenjem daje x,,=Gjfil., koje iZl10si x o =lO/lO=lClll=fi,IHm, siijedi: X

AEk +C= -G j (h +y) -Gzy+C.

2 d

2G1 ' -2xoa X . - - - - f l X =0. G r< 0 1 +U2

U toj formuli mace: Wd ' rad savladavanja sile otpora, liEk . gubitak energije pri

Realno rjdenje te kvadrame jednadzbe jest:

elastoplasticnom srazu. Oni imose: Wd=

-Ry

. m,m

GIG?

x

10·2

2 LlEk =(l-e 2 ) - - '-2gh =(1-e2 )--'-h =0,75-"-3 =3,75 kNm. mj+m2 GJ +G2 10+2

d

b.

Prema tome je:' je

1+

=X 0

I

(

11

~

2"'"

vJ G 1 +G2

+

Potpuno =v

1

iii

G j (ll +y) + GoY - AEk 10(3 +0 or} +1·0 02 -~.J 75 '= ' . -, ' = 1324.5 kN. Y 0,02 .

I1 + ~ ~ ,,! _-_ =O,l105m. \

10

I

=001! 1 + '\

~

sm:lar.

i\ =v2 -vI'

I

10+500,01)

restitucije

je

e=1,

sw

a zakon odrianja kolicine gibanja glasi: mjvj =mji\ +mZv2 =(m l +m2 )v2 -m1vl'

i konacno:

R=

1.

n XO

Iz tog izraza dob ije se:

Stvorena kineticka energija se utrosi na rad deformacije opruge: Primjer 3.9.8 Tijelo A tezine Gj=lON pada sa visine h=3rn i udara tijelo B tezine G 2 =50N. Tijelo B lezi na e!asticnoj opruzi krutosti k=10N/crn. Odredi dinam.iclm deformacijn opruge neposredno nakon sudara za potpuno piasticni i potpuno elasticni sudar.

m1

2

-'

Maksi:n.l;ni. deformacija opruge neposredno nakon sudara je jednaka: r-

x~=vj c

. Nakon sudara ce oba tereta imati istu brzinu: V1

2

IH

Slika 3.9.J 1

plastiCim

kx;

A

Ti]~lc :::l.lc!ar2. se ~:-:=i!;.o::; 1.'1 sZ:. tc:-~to:n 8 2 Opruga ce se deform irati mroskom raspolozive kineticke energije.

a.

vi

m2

-~k

~

=~,12G2h = Gj +

~

k

~

2'10..

J 2'~?? =O,l826m.

lO+:lU~lWV

znaci

da

136

Dinamika

Sustav materijainih to6aka

137

3.9.5. PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAVANJE Primjer 3.9.5 Kugla [dine G j = 100 N pacta iz poiozaja 1 i udara u blok tdine G 2 =200N, koji Idi na hrapavoj horizontalnoj povrSini kao sto je pokazano na slici 3.9.16. Odredi koji 6e put prevaliti blok nakon sudara, ako je koeficijent elasricnosti sudara e=O,8, koeficijent trenja klizanja je f=O,l i duzina 1=2 m.

Primjer 3.9.1 Teret tdine G j =5N naieti na teret G,=20N brzinom v j =l m/s. Teret G 2 je oslonjen na oprugu krutosti Ii. = 10 N/cm. Sudar je elastoplastican s koeficijentom restitucije e=O,9. Odredi koje ce nastati maksimalno stezanje opruge nakon sudara. U sistemu nema trenja. a otpor zraka moze se zanemariti.

Siika 3.9.12

Slika 3.9.16

Primjer 3.9.2 Celicna kuglica tdine G vertikalno padne na kosu glatku povrsinu i odbija se u horizontainom smjeru. Ako je koeficijent restitucije e=O,81, odredi koji je nagib kose povrsine. Slika 3.9.13

Primjer 3.9.3 Kuglica pada s visine h i koso udara na glatke stepenice. Koeficijent restitucije e=O,6. a visina stepenica je

d=16cm. . Odredi s koje se visine h mora pustiti kuglica da pada kako bi se uvijek na stepenici odbijala za velicinu hj=h-d. Horizontalna brzina kuglice je takva da uvijek kugJica pada na sredinu sirine stepenica. Otpor zraka neka se zanemari.

Primjer 3.9.4 Dva tereta G j i G 2 ovjesena su na tanku nit i cine dva matematicka njihala pricvrscena jedno uz drugo. i~j;:C se otk10Di lijc"v'i tere: za kut a=6(Y' i pusti 5Iobodno do6~ 6e do sudara tereta s koeficijentom restitucije e=0,5. Udaljenost oviesista od iiniie sudara obaiu niihala .ie I lwosi h= 1 m. Tetine tereta su Gj=lON i G 2 =20N. Odredi icume brzine obaju njihala neposredno nakoD sudan:.

h

Slika 3.9.14

bi

-"l-

Slika 3.9.15

Dinamika

138

3.10.1.

3.10. DINAMIKA STALNOG TOKACESTICA Sile koje nastaju kod stainog toka cestica fluida u kanalima iIi vodovima odreduju se zakonom impulsa i kolicine gibanja. Za primjer uzet ce se konstantni tok fluida (tekucine iii plina) u dijelu cjevovoda prikazanog na slici 3.10.1, koji mijenja smjer i brzinu prorjecanja. Fluid konstantno ulazi brzinom VA, a izlazi brzinom VB' U intervalu vremena cit ude i izade masa dm. U samom dijelu cijevi struji kolicina fluida ukupne mase m stalnom prosjecnom brzinom v. Prema zakonu kolicine gibanja i impulsa moze se pisati:

139

SUSlav materijainih tocaka

PRIMJERI

Pnmjer 3. JO. Ho1"izuutallli mlliZ vode pl"esjekl! A =6 cm 2 istjece sa bn:iuom v1 = 10 m/s i udara Ul! dmv"

,--".....~-...

vertikalull I"avnu stijenu. Odl"edi sHu l-wjom mlaz udara na stijenu.

-...:..;....

d;J·

"""',=-,.,...-

Slika 3.10.2

Rjesenje. Protok vode u jedinici vremena ie: 1L"n =..LAv. = 10.000 6'10-4 '10 =6,1161'8s-1. dt g 9,81

Slika 3.10.1

Za smjer x, koji je ujedno smjer mlaza vode. brzina vode prije udara je Vb =v" a nakon Sila dielovanja zida na mlaz dobije se liZ pomoc izraza 3.6.2, a djelovanja stijene ie iznosi:

ill za interval vremena tit to znaci da je ukupna vanjska sila koja djeluje na struju:

pv= am ev -v) dt Jj A'

3.JO.1

U toj je formuli: ~/dt - masa protoka, to jest masa fluida koji protjece u jedinici vremena, V F - ukupna vanjska sib koja djeluje na fluid u cijevi. Tu ulaze sila tlaka na ulazu i izlazu cijevi i ukupna sila kojom djeluje cijev na fluid,

VA - brzina fluida na ulazu u cijev, VB - brzina fluida na izlazu iz cijevi. Vektorska jednadzba 3.10.1 moze se prikazati i skalarnim jednadzbama kojc za opee gibanje glase:

Sila kojom mlaz djeluje na stijenu je

V=tli,HiN.

Primjer 3.10.2 KIoz KOja je suzena s presjeka promjel"lt DII na presjek Ds protjece vorla. Poznato je da voda pri l.lJazl.l u cijn ima 2 brzina v",=Sms" i Hall. p",=4'105 Nm· • Promjer cijevi na ulazl.l vode je D A =0,2 m a na izlazu DB=O,l m. Ako je gustoca vode p= 1030 kgm'\ odl"edi silu kojom djeluje suiena cijev na tok vode.

A

x

Slika 3.10.3 3.10.2

Rjesenje. Za nestisljivu tekueinu vrijedi jednadiba kominuileta toka i energetska jednadiba Bernouliija. Prema tome

"B=

dm = dt

Na tok

g

ukupna sila >:,'

-

brzi:1.z..

A" " -1 -=2vms

sile tlaka na ptresjeiee ulaza 1 :zlaz2. vode i se nalazi u suzcnc cijevi na vodu u cijevi. Za smjer tecenj2. o pren12 Izrazu 3.10.2

140

Dinamika

Sustav malerijalnih tocaka

141

3. J 0.2. PRlMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAV ANJE

a prema rome, sila kojom djeluje cijev na vodu je jednalca:

=P.-;AA - PEA E -

Primjer 3.10.1 Mlaz vode udara u kosi otvoreni kanal. Presjek mlaza je A =4 cm 2 • Brzina mlaza prije i poslije udara iznosi v=15m/s. Odredi silu kojom djeluje mlaz na kanal.

dm di (1'.0-",1).

Za zadane vrijednosti su:

p,I1A = 12.566,37 N, dm = pAdt= pAvdt,

PsAB = 1624,79 N, din = 161,79 kgs- 1

Slika 3.10.5


pa je iznos trazene sile kojom djeluje cijev na tok vade:

F" = 12.566,37 -1624,79 -2.426,88 = 8514,7 N. Primjer 3.10.2 1z mlaznice presjeka A istjece voda brzinom v. Mlaz udara na glatku zakrivljemi povrsinu 'iopatice vodene turbine koja se giba brzinom u. S iopatice voda odlazi relativnom brzinom vode U odnosu na lopaticu v, pod kutom IX. Tok vode je takav da voda u svim presjecima na lopatici ima istu brzinu. Odredi efekt rada vode.

Zadatak 3.10.3 Kosi mIaz vode udara na glatku horizontalml povrsinu 1 razbija se u smjeru 1 i 2, kalw je pokazano I.l.a slid 3.10.4. Brzina vode prije i udara mlaza istog je iznosa v. Prot ok vode u minuti je P=600 kg/min. Brzina mlaza je v=30m/s a kut a=30·. Odredi silu tlaka mIaza na povrsrnu koHCin!! 'lode u mIazl.l 1 i 2.

Slika 3.10.4

Rjesenje. Za mlaz vode mogu se postaVltl tri jednadibe: za odredenje vanjske sile na mlaz F, , za silu F, (koja je jednaka nuli) i za kontinuitetmlaza. Te jednadzbe, uz oznaku da je' pI protok u sekundi, glase: F )'dt =dm(v2, -171, )=pl(O-VCO!!~O") ~,

Iz jednadib i se

=-259,8N,

=1. p = 15Qkg/rrJn. 4

Slika 3.10.6

142

Dinamika

Sustav materiialnih tocaka

143

3.11. GIBANJE SUSTAVA CESTICA PROMJENUlVE MASE

3.11.1.

Sustav cestica promjenljive mase je problem u mnogim prakticnim primjerima. Kod toga mogu nastupiti tri promjene mase sustava. Moze biti da se masa povecava. aa se masa gubi jli da se masa istodobno povecava i gubi.

Primjer 3. 11.1 Lan2lc duiine t, ukupne mase m leii na hrpi n2l stain. Aka ga se vuci za jedan kraj \I vis sHom F, hmac ce se dizaH. Odredi kojom treba djelovati na lanac da se lanac dize konstallLrwm brzi.nom V n• Svi otpori neka se zanemare.

Kada se suslavu mase m, koji se giba brzinom v, masa povecava tako da je u intervalu vremena at prirast mase LIm, koja je dosla bi"zinom VI. tada se za taj sustav. na osnovi zakona impulsa i kolicine gibanja koji glasi if] +8],2 =ij2' moze pisati:

PRLViJERI

F

v

mil + Amvj + rF At =(m T Am Hil + Ail), prema tome je:

rF" At=(m +LimHil+Liil) -mil-LimY] = =

m A v+ l.!.m (v -VI) + t:..m t:..v.

Kadaje l.!.t-
Lp dt=mdv+dm(V-vj ) , Dakle, za sustav kojem se masa poveCava u jedinici vremena za dm i dolazi brzinom v dt .1' vrijedi:

dvam __ LF =m- -r-(v-v ). dt at j

Brzina dizanja lancaje konstantna ijednaka v=vo pa je promjena -brzine po vremenu jednalca dv/dt=O. U Slika 3. 1.1 intervaiu vremena dt dignut ee se duzina lanca d =vodt. Masa ianca na jedinicu duzine jedrraka je rx=mll, a za duzinu d1 je dm=o:dl=o:vodt. Prema tome je dm/dt=o:v o. Brzina prikljucujuee mase prije prikljucenja je V, =0. Ukupna vanjska sila koja djeluje na dio lanca koji se nalazi u gibanju je F-rxgx. S tim vrijednostimajednadzba gibanja lanca kojem se pri gibanju poveeava masa, prema izrazu 3.11 :2, glasi:

U trenutku t je: t=t

-v

3.11.1

x= f dl= fVodt=vot, toO

0

Ako je brzina dodatne mase prije prikljucenja sustavu bila jednaka nub (';II =0), tada je

'bF" =m dV + dmv= d(mV) dt

dt

=

dt

dij dt'

3.11.2

pa konacni izraz za silu F. koja je potrebna da bi se lanac dizao leonstantnom brzinom '0, glasi:

gdje je m=m(t) i v=v(t). Analogno se moze izvrsiti razmatranje i za sustav koji gubi masu, leao i za sustav koji povecava i istodobno gubi masu.

dm brzinom il2, vrijedi: dt rfi>=mdV_dmev_v).

Za sustav koji gllloi masu u jedinici vremena za

dt

dt

"" ma.>ilI u jedinici vrernena I'"v,,,::avit za gubi za d:

v

2,

3.11.3

2

brzinomvj

I JbtUUOIJHv

vriJedi:

dmo

---" (v-\I:,).

dt

-

3.1 i.4

Dobiveni izraz za silu vrijedi od t=O do tl=1IVO' Za vrijednosti t veee ad tl sila potrebna za daijnje dizanje konstantnom brzinom '1'0 je F=agl=mg.

Primier 3.l1.2 Lanac vertikaluo ispruzen slobodno pada i Yo, i na lijega se siaie. Lanac je dug naleti na stol 1=2m, mu je teilna G=20N, a bnina je swT je 'r=1:mis. flU stoL~

lRjeserl'je. Pry;

~~oEtal
sa stolorn lanac.ie Heinio u trenurke 1 =0 se giba je dijeia lanca

Stika 3.11.2

brZlnonl Yh - BrzHla u trenutku r V=V(I+gt.

Brziaa mase lanca koja padne na stol je

'1 1 =0.

Dinamika

144

U- intervalu vremena cit duzina lanca koja padne na 8tol je ill=v·dt=(vo+gi)dt, amasa za duzinu lanca ill iznosi dm=Oldl=av·dt=a(vo+gi)dt. lvlasa lanca koji se jos giba do trenutka t oznacena je sa m,. Ukupna vanjska sila koja djeluje na lanac je - F+m,g. F je sila kojom djeluje 8tol na lanac, a m,g je sila tdine lanca koji se jos giba. S tim vrijednostima jednadzba gibanja lanca kojem se pri gibanju smanjuje masa, prema izrazu 3.11.3 gIasi: -F+m,g ~mtg-v/X(vo+gt)

F~o;(vo+gt)2

iii

Optereeenje stoIa za vrijeme padanja i slaganja lanca na stol jednako je zbroju sile F i tdine dijela lanca koji je vee na stoIu. Tezina lanca na stolu u trenutku t je jednaka: t=t

t

t=o

0

G,~exg f dl~exgf(Vo+gt)dt~ag(vot+ g:).

Primjer 3.11.3 Raketa koja s ispaljena je I'ertikaino II vis u trenutku t=O. Za vrijeme dizanja goril'o se jednoliko trosi tako ela utrosak 11 jedinici I'remena izrwsi a=-dm/dt, a izhaclljc se konstantnom relativllom rakete \Jr' Ne uzimajuci u obzir otpor zraka brzinom u i promjenu gravitacijskog uslijed promjene visine, odredi brzinu rakete u trenutku t. Rjesenje. Raketa nakon polijetanja trosi gorivo pa treba njezino gibanje promatrati kao sistem koji gubi masu. U trenutku t raketa ima masu ml~mO-o:t i brzinu v. Brzina izbacivane mase je v j ;;:: v-vr -

--

-G ~m dv -(v-v) dm t t dt 1 dt

" 0 1 G 2 3 2 L.,F ~F + Gt ~ ex [(Yo + gt)- + gt(vo+ '2 gt)] ~ 19 [vo + 3gtvo + (gt) ] N.

'2

To optereeenje djeiuje za vrijeme padanja Ianca na stol. Kad cijeli lanac padne na stol, optereeenje stoIa je tezina cijelog ianca. Padanje lanca traje do trenutka t 1 , koji se odreduje iz uvjeta: t=tl

f f

t=O

0

(v

+gt)dt~v

0

t,

Ubrzanje gibanja rakete je jednako dv (tv r a::::-=----g., dt mo-o:t .

.0

L

2

a brzina

In(mo -

Za zadane vrijednosti jesu:

F~ G (vo +gti ~(4,0775+40t+98,lt2)N, 19

G ~!!.(v t+.!g(2)~(20t+4905t2)·N t l 0 2 " F+Gt~(4,0775 +60t+ 147,15t 2 )N.

Za t=tl =6,4664s jesu: ~44,o775N

dv -at)- -av. dt r

-(mQg-atg)~

gt,

+~.

Trenutak tl dan je izrazom:

F=:

iii

2

t1

dl~

+

Slika 3.11.3

kdnadzba gibanja uz pomoe izraza 3 .1l.3 glasi:

Sila optereeenja stoIa za vrijeme padanja lanca na stol je:

l~

145

Sustav materijalnih tocaka

G ~ 64,0775 N.

IX

t)

146

Sustav materiialnih tocaka

Dinarnika

3.12. KINETICKI MOMENT SUSTAVA MATEPJJALNlli TOCAKA

3.11.2. PRIMlJERI ZA SAMOSTALNO RJESA VANJE Primjer 3.11.1 lspruzeni lanac pada kOllSta:ll!10:11 brzinom Yo=2 m/s uz silu pridrianja F i slaze se na stol. Ukupna masa lanca je m= 100 kg, a duzina 1=20m. Odredi pritisak lanca na stol U ovisnosti vremena.

147

Mehanicki sustav sastoji s" od n materijalnih tocaka. i-ta materijalna tocka ima masu m" brzinu Vi a polozaj joj odreduje vekmr r;. Centar masa je oznacen sa C, a polozaj mu odreduje vektor 'c. Za odredeni trenutak t, za i-tu materijalnu tocku sustava je kinericki moment na neku tocku A, po ;-"'-'-_--r_ _-'---'.--I",definiciji momenta, velicina:

L

q

__ 1- ____

Slika3.11.4

o ~=

j r_____ . __ J;., ,,

Primjer 3.11.2 Na glatkom swlu leZi na hrpi lamc duzine L i ukupne mase m. Kraj lanca se pocne vuci u smjeru x konstantnom silom F. Odredi zakon gibauja Ianca i vrijeme za koje ce se on cijeli razvuci.

, I

I

X

KA =r./.,

;

I

h----.--- --- _11 ?

x

q·=f,; -L

./4

x

mv. I

l

n

n

3.12.2

=LKA=LTqA X

Slika 3.11.5

&=1

Primjer 3.11.3 Na rubu stoIa lezi na hrpi lanac ukupne tezine G i duzine t. Kraj lanca odjednom pocne padati preko ruba stoia. Odredi za koje vrijeme ce pasti cijeii lanac sa stoIa.

Uzimajuci

U

3.12. i

Za sustav ukupan kineticki moment na tocku A dan je izrazom:

Slika 3.12.1

Z

In.

i,

obzir da je iA =

TqA =relA +Tqc

L [(reIA

i=l

I

dobiva se da je: =r.,x~m.i7.+~(rl x Clfi L- I ! 0 tC

x

.

;01

i",,1

i=l

Slika 3.11.6 Posto je

:E i"'l

Primjer 3.11.4 Lanae duzine l=lm i tdine G=10N, mimo pridrzan lezi dijelom ispruzen na stolu a dijelom visi za duzinu x=Xo=O,5m, kako je pokazano na slici 3.11.7. Aka je lanae odjednom pusten siobodno, odredi zakon gibanja ianca x=x(t) kad: a) je povrsina stoIa glatka, b) je povrsina stoIa hrapava pa postoji trenje sa koeficijentom trenja je f=0,2.

masa sustava

i

q!. .:t

f(,

a izraz:E

x mill)

jest kineticki moment racunan na eentar

;01

maze se kineticki moment racunan na tocku A dati izrazom: 3.12.3

Tocka A maze biti bilo koja locka. Moze biti nepomicna tocka ili tocka koja se giba. To moze btti ishodiSte koordinatnog sustava 0, centar masa sustava C iii opca tocka M.

Slika 3.11.7 Ako je rocka A: a) ishodiS:e, tada je tocka A=O pa je:

+rc/o x f-rlinjer ..)~l1..S Lanac; uKupne rnase liH I Cluzine. preoacen Je preko giatke nepofllic!le osovine malog promjera nalazi se u ravnotdnom stanju. Odjednom ianac pocne kiiziti i spustari se na jednu stranu.

Odredi zakon gibanja lanca i vrijeme za kOje ce kliznuti cijeli lanae preko osovine.

.::r.IL.'+-

3.12.5 c)

toek" lViI, tad; ,ic tocka A =M pa ie:

=Kc +re/M >< Q.

J.12.6

Dinamika

148

Vidi se da je kineticki moment, racumm na bilo koju tocku, uvijek jedl1ak kinetickom momentu raclluarwm na centar masa i momentu Illa tu toeku od gibanja smjestene u centru masa. Iz tih izraza se vidi znaeaj raeunanja kinetiekog momenta na centar masa.

3.13. RELATIVNI KThlETICKI MOkffiNT Relativni kineticki moment sustava materijalnih tocaka za promatrani trenutak gibanja racunan na proizvoljnu tocku A definiran je kao moment relativne kolieine gibanja dan izrazom:

3.13.1

-

n

n

""i=l

I I Ir

149

"

=Lvi/Axmjvj+MA' i=l

lz te jednadzbe slijedi:

._

dKA

~ _

MA =-dt - L VilA

j.

_ X

3.14.3

mjvj •

!=l

Drugi clan u dobivenoj jednadzbi 3.14.3 moze se prikazati sa:

tt

n

- - 2:-f/.,xm.v.-j, - ~

KA rd =L-J ; r·/Axm.{v.-v )= l 1;: A

Sustav materijalnih toeaka

In.

i=l

j:

i

L...-'

x

;-=1

Znaci da je:

3.13.2 ali vrijedi i obratno:

3.13.3

I

I I I A

3.14. ZAKON MOkffiNATA Za sustav materijalnih tocaka moment svih sila, racunan na proizvoljnu tocku A u nekom trenutku gibanja, dan je izrazom: n

~# - "" i-J ''"i/A h,,{\.~i<>i

... ~~ A -

3.14-. j

i=l

x

m.E

J

pa je prema tome konaeno:

3.14.4

tocku A koja se i

To je zako!l momenata racumm na

giba.

Posebni slucajevi mogu biti: l. Tocka A je tocka i uzeta za ishodiste 0 koordinatnog sustava. Tada je A=O, vA=O i KA=Ko pa zakon momenata glasi:

_ dK

M

dt

2. TockaAjecentarmasa. TadajeA=C, VA =vc _

[

3.14.5

= __ 0.

o

Ve

X

Q =0

pa zakon rr:cme!1ara giasi:

die

3.14.5

M=c d.t

3. Centar masa ima brzinu nula ili brzina tocke A i centra masa sustava

Sil

Kineticki moment racunan na istu tocku A dan je izrazom: :':.I-t.L

Karla se

mOmentl

vanjskih sUa

racunaju na centar masa sustava iii ncpomitnu (OCKU, taGa Jf momenta Pi) vrem€'l1lU,

Tada

150

Dinamika

3.16.1. RIJESENI PRIMiJERI

Ako se momenti racunaju na neku opeu toeku M, koja se i sarna giba, tada je

~

dK

~

~

M MM=--+VMxQ. dt

3.14.

6

ZAKON MOMENA Til. IMPULSA I KINETICKOG MOMENTA SUSTA VA dKo Ako se izraz Mo pomnozi sa cit i izvrsi integracija od trenutka tl do dt

trenutka t2 dobijemo:

151

Sustav materijalnih tocaka

Primjer3.16.1 Sustav za sl.Istav je poznatu: m1 ='2 kg,

rl=(r+]~

m,

tocaka giba se 1.I prostol"l.l. U promatrauom treuutku m4=O,5 kg .

m2 =1 kg,

G=(4j-+

m,

v2 = -6j mIs,

mis,

r,=(2i+2k) m

r:. =4!~ m.

v3 =-3zm/s

v4 =(12!+5k) mis

Odredi za taj trenl.ltak: centra masa, brzmu centra masa, lwlii:.imi 6A<'=U"~, kineticki momellt na ishodiste i kineticki moment na centar masa.

3.15.1 Ukupna masa sustava je: gdje su:

M:,2

4

2

fModt

- moment

impulsa na vremena I1t=t2 -tl. a

m=

toeku 0, izvrsen u intervalu

11[(0=K02 -Kol - promjena kinetiekog momenta raeunano na istu toeku 0, za isti interval vremena. Zakon kinetickog momenta i momenta impulsa glasi: Moment impul~a vanjskih sila koji je na sustav 1.I rnJervahl vremena I1t kinetickog m.)mellt,ll suslava. Moment impulsa i kinetieki moment racunaju se na istu toeku koja moze biti nepomiena tocka (ishodiste), centar masa sistema iii trenutni pol brzine.

Ako je moment vanJskih sila na nepomienu toeku 0 Jednak nul!, to Jest ako je /J o = 5 tada Je dio=O a to znaei daJe Ko=konst. 1z toga slijedi zakon odrtanja kinetiekog momenta za sustav materijalnih toeaka koji giasi:

tocku jednak nuH, tada nema pmmjene

to jest aka je

M:,2 =5

4

---

-

tada je /iio =5 a to znaei da je

.

m.

+

Q = L"

miv, =2'7z + I( -6]) + 1,5( -3z) +O,5(12!+5k) = (15,5 [-6j +2,5k) Ns.

i=l

Brzina centra masa je:

K02 =KOI .

Znaci

L

-

V =22- =y =(3,1[C m m

da:

za interval n-emena u

- -

_ }" tr 2(i+i+k)+1(4j+3k)+1,5(2i+lk)+o,5'4k_ r =---= ., c m 5

4

U slucaju ako je moment impulsa vanjskih sila na nepomienu tocku 0 za interval vremena

tz-i, jednak nuli,

Polozaj centra masa odreduje radius vektor:

Kolicina gibanja sustava je:

3.16. ZAKON OnRZANJA KINETICKOG MOMENTA SUSTAVA

kalla je moment vanjsil:ih sila na kinetickog momenta sustava po vremenu.

m i =2+1+1,5+0,5=5kg.

sila na

mO!-'UHHLHU

K inetieki moment racunan na ishodiste je:

Nms,

+O,5k)mls.

Dinamika

152 Kineticki moment racunan na centar masa je: 4

tc = L r:,e xmYi= L i'ol =

(fi-f) x mivi =

i=l

L

f, x

-Fe L X

i=l

153

Sustav materijalnih tocaka

my, =

LX!= T-(m1 +m2 )a T =O

a.

Ei= -F+(m) +m)aN=O

O.

i=l

Ko -re x Q = (18{+29[-14k) -(lS{+28,5[-24,6k)

gdje su:

=

=(3[+0,5[+ 1O,6k) Nms. Iz jednadzbe a. dobije se:

Blok tezine G2 iezi na horizontaInoj hrapavoj povrSini i vezan je stapom za vertikaInu osovinu oko koje moze rotirati. Karla se izpali metak tezine G, Ii blok brzinom v on se zabije u biok s kojim se dalje zajedno giba. Ooreai broj okretaja koje ce uCiniti b!ok s metkom nakon zabijanja metka u blok i sih.i u siapu.

Koeficijent trenja je f, oiok se moze promatrati kao materijaIna tocka, a tezina stapa se moze zanemariti.

Vidi se da je kutno ubrzanje konstantno. Prema tome su: o~~v

I x

t

slv.

W=W

o

-et

(()=(j) •

• 0

rmj v=r(m j +m1)rw O'

Nakon sraza gibanje je kruzno s pocetnom kutnom brzinom ("0' Kod kruznog gibanja sustava postoji normal no i tangencijalno ubrzanje. U nekom trenutku t nakOD sudara i11aSli SUSL.iva djeiuje u ravnin1 gibanja siia srapa i siia trenja. JeG'Ju<:zt'e cHnaInicke ravnoteze glase:

+w

0

Sustav ce se zaustaviti u trenutku t=t, za koji je wt=t, =0, a to maci da je tj =wole. Uzet ce se da je (flt=o =0, pa ce do trenutka t, biti ucinjen kut:

Slika 3.16.1

a to waci da je kutna brzina sustava nakon sraza jednaka:

iJU

e t2 t-2.

Go

Rjesenje. Sustav se giba u ravnini x-yo Prije sudara sarno se metak giba. Sudar metka i bloka je potpuno plastican pa se gubi energija na plasticnu deformaciju. Nakon sudara blok i metak se gibaju po hrapavoj povrsini zajedno kao jedno tijelo i to sve dok se ne potrosi preostala kineticka energija na svladavanje otpora sile trenja. U zadatku treba izvrsiti civije analize. Prvo treba analizirati plasticni sudar metka i bloka, a zatim zajednicko kruino gibanje metka i bloka po hrapavoj horizontalnoj povrsini. Za sustav je karakteristicno da je moment vanjskih sila na tocku 0 (gdje je stap pricvrscen) nula, to jest Mo =0. Kineticki moment, za vrijeme sudara, na istu tocku postoji i jednak je Ko=K/. Kako je Mz=O, to znaci da nema promjene kinetickog momenta na os:/:, pa se moze koristiti zakon odrianja kinetickog momenta, to jest:

iii

=-=

r

(fl

KZl =KZz =konst

(G) +G2 )f _ gf --. r(m) +m 2 ) r

aT

e

Primjer 3.16.2

2

2

£ t1

Wo

=w o t1 -T =2;'

=n-2n

Broj okretaja ce do zaustavljanja biti: q>

w; (

Gj

n=-=--=l--2n

4n

£

)1

G 1 ~G2

v2

4-rrgjr

lz jednadzbe b. se dobije sila u stapu. Ona je jednaka: G) +Gz 2 F=(mj +m2 )rw 2 =---r(wo -et) = g G +G

(w

=_1_~2 rr.z ~ -t

g

e

)2

G +G

=_1_ _ 2 gf2(tj

r

_t)2.

154

Dinamika

.,_ ........ _ izlaza Primjer 3.16.3 prorojera D=5mm. Voda doiazi koje se okrece, tako da vodu l.! horizoutaiumn i to Iitru u sekuudi. Voda istjece pod kutom 'f'=60°. Odredi lmtnu brzinu rotacije za ako u sustaVl! neroa trenja.

155

Sustav materiialnih tocaka Kutna arzin" rotaeije skropiliee.ie jednaka: w

= usina = 12,732sin60° -"5 '312 ad l r 0,2 -oJ,l r IS,

to znaci da ucirli 8,77 okretaja u sei
Slika 3.16.2

3.1\;.2. PRIlViJERI ZA SAMOSTALNO

Rjesenje. Prorok vode u jedinici vremena po jednoj izlaznoj cijevi je:

dm dr

-

=

a

=

..

Pri.."lljer 3.16.1

Cetiri mase vezane na krute stapove zanemarive [dine mogu rot irati oko osi z. Mase miruju i odjednom pocne djelovati konstantni moment IJ =M/i.. z Odredi kojom ce kutnom brzinom sustav rotirati nakon t sekundi.

1 =O,25kg/s. 4

Presjek otvora izlazne cijevi .Ie:

Siika 3.16.3 Ako je brzina istjecanja vode iz izlazne cijevi pr.otok mase vode u intervalu vremena dt

l.!

i gus toea vode ,0=1000 kg/m3 , tada je

dm = pAds = pAudt= adt,

3.16.2 Kolo hidraulicke turbine rotira konstantnom W oko vertikalne osi z. Apsolutna brzina

odatle je:

a pA

U=-::::

kutnom brzinom

0,25 -""73~L-ms, f -1"'::', 1,9635'10-5 '1000

gdje je u relativna brzina istjecanja vode iz skropitice koja se vni. Moment vanjskih sila na tocku 0 je Mo=O. Tocka 0 je ishodiste izabranoga koordinatnog sustava i tocka kojom prolazi os rotacije skropilice. Zakon momenata glasi:

vode na ulaznom presjeku je VI a na izlaznom v 2 · Kutovi koje --i="'---''>k

G

,.

If.. ,~

~TX\~Dr.--.~~j -

~ k

~

Slika 5.4.9

i

~~r .11 ~rimjer 5',4.12 Za koordinatu x koja odreduje polozaj tereta ~ I ~.'/ I I j u trenutKu t su:

~

Primjer 5.4.8 La koordinatu x koja odreduje poloZaj desnog tereta Q u trenutku t su:

(d)2 +(h)21 -

=Q - [ 1+ -

m e

[Zg

1

\

I

I

k

~

\~

d

'I..

20

..

A~Ju

j'·

m e

W+14Q+16G l6g

= -----"'----

k e

=~ 16

'B

[2

k =kjl_+ e l3

J

Slika 5.4.14

Slika 5.4.10

Primjer 5.4.9 Za koordinatu x koja odreduje velicinu rastezanja opruge u trenutku t su:

m e

=

4Q+G

g

ke=k.

Slika 5.4.11

S.4.1G Za koorciinam x koja odreciuje poiol.aj lereta G u trenutku t su:

m ::: Q+2G < 2g Slika 5.4 12

k =k e

r

c) Primjeri postavij:mja diferendjalne jednadibe gibanja Text za sve primjere: Sustav vrsi moguce oscilatorno gibanje. Za trenutku t oznacena je koordinata kojom se opisuje gibanje sustava. Ona se mijenja s vremenom tako da postoji i brzina i ubrzanje te koordinate. Za taj trenutak gibanja anaiizirane su neuravnotezene sileo Uz pomoc zakona gibanja krutog tijela iii postupkom D:,Alemberta, postavijene su jednadzbe gibanja i konacno izraZena diferencijaina jednadbZa gibanja sustava. Sile sustava, koje djeluju i u stanju mirovanja su u ravnoteZi, pa su iskljucene iz analize, jer ne utjecu na gibanje.

Primjer 5.4 .13 Valjak radiusa R lezi na hrapavoj horizontamoj dvjerua opn.lj.:.l!ml> viskoznim kao Sto je pvL.aam) ila slid .5.4.16. rnasa va!jka ill rasporeaena je jednoliko po valjka. Odredi diferencijahm Slika 5.4.15

276 Oscilacije

D:n::mika

Rjesenje. Valjak vrsi ravninsko gibanje tako da se kotrlja pri cemu mu .Ie tocka P trenutni centar brzina. Pri osciliranju na valjak djeluju neuravnotezene sile dvije elasticne i sila prigusenja. Zakon momenata pisan za trenutni centar brzina glasi:

Primjer 5.4.15 Dvije mase vezane oprngama gibaju se na glatkoj horizontailloj povrSini, kao !ito je na

slid 5.4.17. Odredi dif!:rendjahm jednadibn gibanja za svakl1 maslI i za cije\i sustav.

Ipf. =d(R+r) +klxl (R-r) gdje su:

X = I

Rjesenje. U trenutku t, kada je poJozaj ad ravnoteinog polozaja mase rnj jednak x" a mase m 2 jednak x2 , neuravnoteiene sile su prikazane na slici 5.4.18. Sile su F,=kjx j i F 2 =k 2 (X1-X j ). •

UVrStenjem tih izraza u postavljenu jednadzbu, nakon uredenja dobije se diferencijalna jednadzba za gibanje centra valjka:

3m ..

(R+r)2.

r

1

(R-r)2 +kjX=O "2

c

mj Xl = - FI + F z = - k j Xl + Js (x z - Xl) m2 x 2 =- F z = -Js(x2 - Xl)

mr~\

a.

b.

Iz jednadzbe b. dobije se da je: .•.

ltI

" =-,mx+CX+ If .. k') x

Xl

C.

C

Deriviranjem izraza a. po vremenu i koristeci izraze c., nakon uredenja konacno se dobije diferencijalna jednadzba gibanja koja glasi:

- Is... kl + Is.. kJc2 ~ x+-x+--x+--x=u C

m

me

x =e -"rA + B cos«(;)t + al} Da bi se odredile konstante A,B i

Ct,

moraju bili poznati "0'

I

I

I t , Ii

I

Zakon gibanja je oblika:

1

}4,

I

a) b)

Ako se IZ a. izrazi x2 i taj izraz dvaput derivira po vremenu te uvrsti . u jednadzbu b. dobije se diferencijalna jednadzba za sustav:

Slika 5.4.16

Lx=-krl +c(xj-x)=O

1 ( mx+cx+ .. . k IX )

+(kj +Js)xl -Jsx1 =0 Jsx l +k2 x 2 =O

m2 xZ -

mi = -kl x -CUI - x)

C

=-

pa diferencijalna jednadzba gibanja za.pojedinu masu glasi

Rjesenje .. U. n~kom trenutku gibanja masa ima pomak x, a lOcka 1 Xl' Na tocku 1 djeluju sJle -k2x, I c(x-)~.). Na masu djeluju neuravnoteiene sile -kjx i Jednadiba ravnolde za tocku 1 i jednadiba gibanja mase m glase:

.

Slika5.4.18

Jednadzba gibanja za svaku masu jest:

Primjer 5.4.14 Masa m vezana za nC'oOlllii:nll okolillU dvjema vezarna i to jednom elastii"norn vezorn krutosti k" i drugorn serijskorn sastavljenom od elasticne veze krutosti k2 i viskoznog prigtiSivaca s koeficijentom prigtiSenja c, kao sio je pokazano na slici 5.4.17. Odred! difcrencijainu jednadzbu gibanja sustava.

XI =-

Slika 5.4.17

Xc

-(R-r\ R ;,

- x + c - - x+k - ' 2 c R C ll~ R

277

~ iff

~

Ii

~ "

j

IV

Xl

+

(kl +Js

Js \,

--+-I.'t.l

mj

m2

)

+ k j k2 X 1 =0

m 1 m2

Primjer 5.4.16 Tijelo je oslonjeno nadvijeo vertikalne opmge krutosti kl i k" kao Sto je pokazano na slid 5.4.19. Sustav oscilira taka aa tijelo vrli ravninsko gibanje pri koj?m rentar mase vrli sarno vertikalno gibanje. Poznata je masa tijela i moment tromosti mase na centar rnase. Odredi diferenciialne gibanja mase.

;:>// J//)m /7/7/ //))Tm)1 /.

f..<-1,~IC""1

Slika 5.4.19

Rjesenje. OsciiiroJ1je rijela je definirano dvjema koordimltama, venikalnim gibaniem centra mase X< i rotacijom tijela if, oko osi koja pro[azi centrom mase. Jednadzbe gibanja jesu:

!e .iednadzbe se mogu. na slican nacin leao u zadatku diferencijalnom Jednadzbom cetvrtog reea U odnosu lI:" iii 'P.

izrazitl jed nom

278

Oscilacije

5.5. SLOBODf'.TE OSCILACUE BEZ PRIGUSENJA Najjednostavniji idealizirani oscilatorni sustav s jednim stupnjem slobode je sustav u kome se zanemaruje prigusenje. U njemu je masa m zavjesena na eiastienu vezu koju cini idealno elasticna opruga krutosti k, zanemarive tdine. Takav sustav je pokazan na slici 5.5.1. Neopterecena opruga je duzine 10 , Sustav ima slobodu gibanja u smjeru x. Pri opterecenju opruge masom m sustav ee mirovati, a opruga ce biti rastegnuta za velicinu.6.. U tom stanju na masu djeIuje sila opruge So=-kLi., i sila tdine mase G=mg. To je stati6ko stanje kada je sustav u stabilnoj ravnotezi, a to znaei da je KLl=G. Slika 5.5.1 Kada sustav dode u gibanje, u nekom trenutku t on ee biti na udaljenosti x od ravnoteznog polozaja, kao sto je pokazano na siici 5.5.2. U tom trenutku ukupna sila u opruzi je jednaka S = -k(.6. + x) = -G-kx. Ako je smjer svih velie ina kao sto su sila, pomak, brzina i ubrzanje uzet kao pozitivan prema jednadzba gibanja gJasi

Dinamika

To je karakteristiena jednadzba slobodnih neprigusenih oscilacija. Rjesenje te jednadzbe daje par vrijednosti za r, za koji je izraz 5.5.3 rjesenje. Te su vrijednosti: 5.5.6 Prema tome opee rjesenje za slobodne neprigusene oscilacije glasi:

k(t>+x)

lex

kt>

1

t

cos wvt ± i sinwJ, izraz 5.5.7 5.5.8

Rjesenje mora biti realno, a izrazi u zagradama su konjugirano kompleksni. To znaci da konstante C 1 i C z moraju takoder biti konjugirano kompleksne oblika CJ=a+ib i C2 =a-ib. Prema tome je x =(a +isinw))+(a-ib)(coswvt= 2a cos w t-2bsmwJ. v

=ttTI+~

Uvedene konstante D, i D2 treba odrediti iz pocetnih uvjeta gibanja. Ako su pomak i brzina u pocetku gibanja pri t=O bili x =xo i i =vo' to znaci da su:

G iG

wv

Slika 5.5.2

dobije se homogena linearna diferencijalna jednadzba drugog reda koja glasi:

w~x

=

Moguee rjesenje te diferencijaine jednadzbe je =

e±iw,t =

kO;EU~I.a;rla

5.5.1

x

se prikazuje da je

Koristeci teorem Moivrea. maze se izraziti sa:

Konstante a i b su nepoznate pa ih moremo prL!;:azati novim talcoder nepoznatim tako da opee rjesenje diferencijalne jednadzbe slobodnih neprigusenih oscilacija giasi: X= 5.5.9

Vidi se da sile statiekog stanja nemaju mjecaja na gibanje, 6ime se potvrduje pravilo statike da se djelovanje sustava sila ne mijenja ako se iz tog sustava iskljuce sile koje su u ravnotezi. Nakon uredenja jednadzbe, dijeljenja sa m i uvodenja KOnsLanle:

+

5.5.7

X=

mi = G-k(.6. +x) = -kx.

i

279

Ce

O.

5.5.2

obiik~:

rt

Uvrstenjem tih konstanti u jednadzbu 5.5.9 dobiju se konacni izrazi za pomak i brzinu koji giase: v 5.5.10 x =xocoswJ+~sinwvt wv

5.5.3

gdje su C i r proizvoljne konstante koje treba odrediti. Uvrstenjem izraza 5.5.3 i njegove druge derivacije po vremenu u diferencii3.1m: iednadzbu 5.5.2 dobije se da mora biti: . .

Vidi se da slobodne oscilacije mogu nastati od dva uzroka. Jedan uzrok moze biti da se odvuce sustav od ravnoteznog polozaja za pomak Xo i pusti 51000dno, sto znaci unosenje kineti6ke energiJe sustavu. Takvo osciliranje sustava je

5.5.4

Posta oscilacije postoje, a da jdrrauzb" 5.5 A bude osciliranja t, mora izraz u zagradi biLi jednak nuli, to jest:

za svaki trenutak

okn

Rjesenje se moze prikazati i

ovom obliku:

x =Asin(wvt+a'l, S.S.5

;( AsiLv~

-"-xo

osciladja. Cni iznose:

i

Ii .:~osc:; ;:;:

).5.11

280

Oscilacije

5.5.7

A=

Prema izrazu 5.5.10 iIi 5.5.11, na siici 5.5.3 je pokazana promjena zakona gibanja s vremenom.

Dinamika

281

a ubrzanje maksimalno (a max =w 2 A). U trenutku kada je pomak jednak nuli (x=o), brzina je maksimaina (vmax=wA), a i ubrzanje je jednako nuli. To znaci da je pri x=O maksimalna kineticka energija, a pri v=O maksimalna je potencijalna energija. Posto su eiasticna sila i sila tezine konzervativne, sustav je konzervativan pa

Period oscHiranja sekundama jest:

T= 2" =21t WV

izrazen

G.

5.5.18

T+ V = konst.

Slika 5.5.3

~k

Slika 5.5.4

za slobodne oscilacije bez prigusenja vrijedi zakon odrianja mehanicke energije:

u

5.5.13

5.5. 1. ru,mSENJ[ PRHrlJERI

Frekvencija iii broj oscilacija u sekundi jest: 1 f= -

T

w

= --!.

Hz.

21t

5.5.14

Vlastita Kruzna frekvencija sustava jest: 5.5.15

gdje su G=mg, A=G/k, o=1/k. Vlastita kruzna frekvencija fizikalna daje braj oscijacija u 2"11" sekunda.

Primjer 5.5.1 Teret teZine Q=98,lN, 1{=10N/cm. Odred! zakon akoje zanemareni.

visi .na opruzi Krutosti otpori

Rje.senje. Diferencijalna jednadzba gibanja slobodnih oscilacija tereta Q moze se odrediti:

T

1~1

,>

Slika 5.5.5

a) jednadzbom gibanja (H. Newtonov zakon); rr.x=G-S gdjeje

S=k(x+osr)=kx+G,

tako da je: Slobodne oscilacije su hannonijske. Nastaju ako se masa izvede iz stanja mirovanja za veiicinu Xo i pusti slobodno iii aka se djelovanjem impulsa da masi pocetna brzina '1'0 iii ako se ucini oboje. Stanje mirovanja je u ravnotdnom poloZaju a nastalo osciliranie ce 'bit oko njega.

lzrazi za brzinu i ubrzanje slobodnih neprigusenih oscilacija glase: v=Awvcos(w}+a)

mx+kx=O.

Vidi se da se kad postavijanja jednadzbe gibanja mogu odmah iskljuciti sile koje djeluju kada sustav miruje jer su u ravnotdi i nemaju utjecaja na promjenu gibanja.

b) jecimldfhom dinamicke ravnoteze (D' Alambertom); 5.5.16

U trenutku kada je teret Q udaijen ad ravnoteznog polozaja za velicinu x, ima brzinu i kaua SUStav miruje vee sarno sila } uorzanJa~ vrijedi:

Promjena pomaka, brzine i ubrzanja u ovisnosti 0 vremenu pokazanaje na sIlci:-; .5.4 _ Vidi sc da u trelllitk:u kada je maksimalan pomal<. (xm",,=A), brzina je nUla, a 2

ubrzanje minimalno (a min =-w A). Kadaje pomak najmanji

brzinaJe takoder llUla,

282

Oscilacije

283

Dinamika

c) odd:anja mehanicke energije (za konzervativan sistem sila): Neuravnotezena vanjska sila je konzervativna, pa vrijedi zakon oGdanja mehanicke energije. Ako je u ravnote±nom polozaju potencijalna energija jednalca C, tada u trenutku t kada sustav ima i brzinu i i pomak od ravnote±nog polozaja x, vrijedi:

,di 'R Y_"1.",X. A/" = R.. y A~i.-::::.. dt

i vlastita kruzna frekvencija sustava jesu:

Diferencijalna jednadzba

mi 2 kx 2 E=-- + - +C=konst

..

2g l

X+-X=

22'

0 Ul

v

=

i 2g 1'l '

'~

sto znaci da mora biti: gdje l-oznacuje duzinu rasprostiranja tekucine u cijevi.

dE = m2ii + k2xi = mi+kx=O. dt 2 2 Diferencijalna jednadzba je u sva tri izvoda ista. Njeno opce rjesenje je poznato. Zakon gibanja glasi:

x = A si.n( w/ + a) = 5 si.n ( lOt +0,7854 )cm, gdje su: 2

A=

l!o ,40 2 2 xo+-= 14"+_ =5cm '~ w~ ~ 10

b. Rjesenje zakonom energije. Zanemarujuci trenje sustav je konzetvativan, pa se diferencijalna jednadzba gibanja moze odrediti zakonom oddanja energije. U nekom trenutku mehanicka energija je jednaka: m y2 .') E= "r +(2LlGx)x+C=vIA x- g+ +C =konst 2g . . 2 to

znaci da je: dE

Xo Ul v 4·10 a =arctan-- =arctg-- = 0,7854. Vo 40

dt iii

Primjer 5.5.2 U cijevi radiusa R nalazi se tekucina specificne teiine -y. Pritiskom Ila stram povrSine tekucine poremetit ce se raVI10leZa i tekucina ce se ginati. U nekom trenutku t ce povdina tekucine s stJ:'ane bili a sa spu.stena za veliCim.l x od ravnotezlJIog polozaja. U tom trenutku ce cestice tekucine imati brzinu gibanja i i ubrzanje i. Ukupna Slika 5.5.6 tezina tekucine u cijevi je Q, a povrSina presjeka cijevi je A. Zanemariviii sva trenja, odredi knrl:nu frekvenciju slobodnib osdlacija tekucine u cijevi. Rjesenje. U trenutku t ce neuravnoteZena sila u sustavu biti jednaka Sd=2Ll.G=2-yxA, a jednaka je dvostrukoj teZini tekucine iznad ravnoteznog poloZaja.

x+

2t

---'--- + 2 y Axi = 0

2g

x = 0, a to je isto rjesenje kao i ranije.

Primjer 5.5.3 Homogem disk refine Q i radil.lSa R vezan je za elasticIlu dl.lzme I i promjera d, kao lito je pokazano na slid. Ako se disk zaokrene za mali kut '1'0 i sbLodllO, on ce torzijski oscilirati. Odredi period sloboduih torzijskih osciIadja sustava. Tezina osevine i svi otpori neka se zallcmare. OSOYllU

Slika 5.5.7 Rjeiienje. U nekom trenutku t disk ce biti zaokrenut ad poloZaja u kom bi mirovao za kut
lUl k· 2 E = ~ + --':L + C =konst

a. Rje.senje momcnata. Zakon momenata racunan na os koja prolazi centrom ::3Y.rivlje!1osti svin~tcb dije!z

2

2

gdje znace: 1,-: = Q R2 _ moment tromosti mase diska na os gdje su:

osovine}

- kut I

= -2!iGR= -2yxAR

{Rda=R •

J

I

ds=yARli.

k

=

(jl

n

Prema tome je:

MT = Glp ~

G=

E 2(1 + fl)

11:

Gd 321

4 _

krutost

- modul smika.

n2.

to,ziju

Oscilacije

284

=

I ip +hp =0 z

'

sto znaci da je period torzijskih oscilacija jednak: T=2rr: "\

=2rr: 11=

i

~ lz ~

128 rr:QR 2 1

gd4 G

285

Primjer 5.5.5. Za sustav prikazan na slid 5.5.9, odredi sve oscilatorne clemente slobodnih malih osciJacija bez prigmenja, ako je poznato da je Q]=3N, Q2=2N, (6=1 N, Q.=2/3N, k=4/9,81 Nom" xo =.J3cm i vo=lOcrns-1 •

Diferencijalna jednadzba torzijskih oscilacija dobije se uvjetom:

dEP =_z 12we k2 'il_ w __ _ _ + __ dt 2 2

Dinamika

Rjesenje. Prikazan s~stav je s jednim stupnjem ,,-; ~ -~ - - ,- ; slobode. lzabrana koordmata kOja defmlra Dolozaj ,. V, SIlIca 5.5.9 sustava 0 d' po IozaJa ravnoteze jest oznacena koordinata x. U pocetku gibanja sustava poloZaj je odreden koordinatom '4=o=Xo , uz brzinu it:o=vo '

.

y

Rjesenje zakonom momenata glasi:

•

•

U trenutku t gibanje sustava je odredeno poloZajem x i brzinom kineticka energija sustava jednaka:

i konacno:

Prirnjer 5.5.4. Teret tezine Q pacta s visine h i udara u srediull eiasticne grede. Ako je sraz potpmw plastican, odredi jl.'rtn:tzhu gibanja tereta l1akon pacta. Poznato je, karla teret na gredi ispod tereta je progih velicine f st ' Svi otpori i tezina neka se zanemare.

Q~

:a

1

-I

Ii,

kx 2 2

V=-+c.

---...j

Za sJabodne oscilacije bez prigusenja vrijedi zakon odrfunja rnehanicke energije, a to maci da je:

Prerna tome je:

v

x = xocoswJ+~sinwi'

dE dt

k2xi 2

mr2ix 2

-_P=---+--=O

wI'

gdjesu: xo~-Ist'

III

m/l+kx=O,

gdje .ie:

ZakOil gibanja je puvolji-lije prikazati i na ovaj nacin:

,_

.

gaJe su: A

2

v~

IXo + 2 'I

=

'~

w,~

~

2h

1st : 1 + -;:\1 J",

=

- makslrnalm Dornak, a

IX '"

arctan Xo wI' _ pocetna faza. Vo

U tom trenutku je

Ako je potencijaina energija sustava u ravnoteznorn polofuju jednaka C, tada je potencijalna energija sustava u trenutku t

lit

RjeSenje. Nakon pada tereta na gredu sustav ce oscilirati. Oscilacije Slika 5.5.8 pocinju u trenutku pada tereta na nedeformiranu gredu, a teret ce osciiirati oko ravnoteZnog poloiaja. Po!ozaj ravnoteZe je polozaj koji bi teret zauzeo kada bi rnirno leZao na gredi. Aka je sa x aznacen poloZaj tereta od ravnoteZnog polozaja u trenutku t i pozitivan je prema dolje, tada zakon gibanja tereta glasi:

i.

- viastita kruzna frekvencija

r----

(L)

. i-: I 400g = 1_=~---=lOmdls v ,I !\ 8' . ' ~

m,.

::t~

1"4

286

Osciiacije

287

Dinamika

- frekvencija

a) W

f=_v

=0 6283Hz 2n:' ,

b)

c)

- period

gdje su:

IA

GzZ

(~r=GlI2 12g

J=

3g' ~·B

3g

- amplituda i pocetna faza

A

Ic-------z v

'

10)2 =2em'

=~X2+~= o 2 ~ ('3)2+l,YJ 10

'

Rjesavanjem jednadzbi i uvrstenjem vrijednosti, dobije se da su: (;( =

W"

XOW"

,/3'10

arctan-- =areto -'- - = 1047 Vo 0 10 ' ,

- zakon gibanja x = A sin ( (.)J+ a) =2sin( lOt + 1,047) em .

WI =

w = 2gS =2w 23lG 1

2gS 31G'

= v

,

2

KXj

V=2

2

=~.

G:,

=~

-1/2

i

x =~ 21 =!::l 133

Djelovanjem vanjskog impulsa S na sustav javljaju se i aktivan i reaktivan 81 u Sjo j zglobu C tako da reaktivan djeluje na Star 1, a a.lctivan na stap 2. Nepoznati t(utne brzine w] i (,02 mogu se ocirediti jecinatiloaIHa zakona momenata impulsa i uvjeti brzine za zglob C. Te su jednadzbe:

~ I~.

'~mr

4k

k

znaci da je

=-. r

9

Vlastita krdna frekvencija je jednaka: -

G)

9

Reducirana masa za tocku C je ona masa koja s elememima gibap0a tocke C ima istu kineticku energiju kao i sU5tav, a reducirana krutost je ona krutost koja s elementima gibanja tocke C ima ism potencijalnu energiju kao i sustav. Odreduju se na slijedeci nacin:

~.

Rjesenje. Sustav je s jednim stupnjem slobode. Koordinata koja definira gibanje sustava je koordinata koja ujedno defmira gibanje zgloba C, a oznacena je sa x. Brzina i ubrzanje gibanja tocke C su i i x. U trenutku kada je zgiob C udaljen od ravnoteznog poloZaja za ,velicinu x, kutna brzina stapa 1, stapa 1 ] pomak kraja opruge jesu:

1

Oscilacije zgloba C pocmJu u ravnotdnom polozaju, sto znaci da je xo=O a vo=w,l. Sus~v je konzervativan. V!astita irJ'uzna frekvencija sustava moze se odrediti izrazom: W

Primjer 5.5.6 Kruti stap 1, tezil1e G=lOON i duiine l= 1 m, i kruti stap 2 teiine G 1 =50 N, vezal1i su medusGbno zglobmn C. Stap 1 vezan je na kraju A za nepomican iezaj i ovjeSe~ je za oprugu krutosti k=10N/cm, a stap 2 na kraju B vezan je za pomicni iezaj. Sustav miruje u poioiajll prikazanom na slid. Odjednom je djelovao implIls S=15Ns, na oznacenom mjestu i sustav je doveden u gibal1je. Odredi zakon gibanja zgloba C. Svi otpori gibanju rleka se zanemare.

S =~

j

(.) = l'

Zakon gibanja zgloba C

,--

8kg 9 "1381 roo'Is. -k, =,II - =,~ m3 ~ 9G

~est:

, X=

~ 2kG

= CUO:sv5sm(

;,;,j3hl t m.

288

Oscilacije

Primjer 5.5.7 Greda AB tdine G=400N i alliine Sm, vezana je za lezaj u A, Si:apom CD i oprugom krutosti k=40N/cm.

Odredi jednadzbu oscilacija grede ako se nag!o ukloni stap CD. Prije ukianjanja stapa opruga je bila pritegl1uta za A=2cm. Svi otpori gibanju neka se zanemare.

Siika 5.5.11

Rje.senje. Nakon uklanjanja stapa sustav ce oscilirati oko ravnoteiTIog polozaja. To je sustav sa jednim srupnjem slobode. Za koordinatu koja ce definirati gihanje sustava, uzet ce se koordinata x koja odreduje polozaj tocke B od njenog ravnoteznog poloZaja. Neposredno nakon uklanjanja stapa CD brzine svih tocaka grede su nula, medutim greda nije u ravnoteznom po]ozaju. RavnoteZni polozaj grede je onaj koji hi ona zauzela u stanju mirovanja. U stanju mirovanja opruga bi bila rastegnuta za velicinu: G

289

Dinamika

5.5.2. Temelj sa strojem ima ukupnu tezinu Q i leii na elasticnoj horizontalnoj podlozi. Odredi period slobodnih malih oscilacija temelja sa strojem ako je poznato da je: Q=90{) MN, A=15 m2 i k'=30 Nicm 3 • A - je povrsina nalijeganja temelja, a k' - je krutost eiasticnog zbijanja tia iii sila na jedinicu povrsine (cm2) za deformaciju l(cm).

Slika 5.5.13

5.5.3 Teret tezine G=20 N pada na teret tezine s visine h=5 em. Teret Q je vezan elasticnom oprugom krutosti k=40 Nicm. Sraz je potpuno plastican. Odredi zakon gibanja tereta G+Q nakon pada tereta G. Svi otpori neka se zancmare.

400

). =-=--=OOSm. s 2k 2.4000 ' To znaci aa prije uklanjanja stapa CD kraj grede B je 7 em iznad ravnoteZnog polozaja oscil iranja. Vlastita kruzna frekvencija osciiacija sustava jest: =

(i;

v

g~ -

\

m,

=

3kg = 13'4OOOg =lJ.716r/s. G ~ 400

-

Zakon gihanja tocke B glasi:

x =xocoswvt

=

Slika 5.5.14 5.5.4 Kruta greda AB tdine G oslonjena je na kraju A na oprugu krutosti k, ana kraju B vezana nepomicnim lez.ajem, kao sto je pokazano na slici 5.5.15. Na gredu s visine h paone teret teline Q i nakon udara ostaje vezan s gredom. Odredi jednadzbu gibanja za kraj grede A. Svi otpori gibanju neka se Z2T:~m:JTe.

=

-7cos(17,lS5·t)cm.

5.5.5 Sustav pokazan na slici miruje. Odjednom s visine h pada teret Q na sredinu krute grede. Odredi zakon gibanja tocke B nakon pada tereta Q. Koeficijent elasticnosti sraza je e=O, a svi otpori gibanju mogu se zanemariti. N, h=lm, 1=1 m, r=25cm i Zadano je G 1 =G z=20 N, k=l N/cm.

5.5.2. PRIMJERI ZA SAMOSTALNO RJESAVA..'NJE 5.5.1 Suplji eilinaar konstantnog presjeka vertikalno miruje u vodi tako da je uronjen za velicinu h. Ako ga se odjednom vertikalno gume i pusti slobodno, on ce vertikaino osciIirati. Odredi diferencijalnu jednadzbu vertikalnih oscilacija cilindra i period osciliranja. Svi otpori gioanju neka se zanemare.

SIik2

5.~

1')

Slika 5.5.15

Q

m

T' ~h~ i

Slika 5.5.16

Oscilaciie

290

5.6. SLOBODNE OSCILACIJE S VISKOZ]\;'I1\{ PRIGUSENJEM Sustav s jednim stupnjem slobode pri slobodnom osciliranju uz prisutnost viskoznog prigusenja prikazuje se shemom pokazanom na sJici 5.6.1. Ona se sastoji od mase m vezane elasticnom vezom krutosti k i s viskoznim prigusivacem kojemu je koeficijent prigusenja c.

291

Dinamika Opee rjeSenje diferencijaine jednadzbe slobodnih oscilacija s prigusenjem glasi: 122 (-Tl+tln~-wv)t

X =

C1e '

:::: e -m'C { Ie

Rjesenje vrijedi karla kx

eX

RJ.",rwl;;;zni poloiaj

l1~wv'

yn'22 -w,t

'22" (-ll-\/n -w..,Jt_

r

+ V2 e ·

-

/22. C -\" -w . + 2e Y ')

Ako je n=w,.. tada rjesenje glasi: 5.6.5

x=(A+Bt)e-"~.

Koeficijent n moze biti veei, jednak iIi manji od "'" pa mogu hiti tri obiika prigusenih osciiacija.

U trenutku gibanja t, pOlozaJ Slika5.6.1 sistema od ravnoteinog poJozaja, odreden je koordinatom x. Ona i njene derivacije su pozitivne u smjeru prema dolje. To znacI oa ce elasncna siia i sila prigusenja pri pozitivnom pomaku i brzini djelovati prema gore, kao sto je pokazano na slici 5.6.1. Jednadzba gibanja za sustav glasi: mx= -kx-.ci.

Dijeijenjem cijele jednadzbe sa m, te ako se oznaci da je !.. =2n . ,-m dODIJe se diferencijaina jednadzba slobodnih oscilacija s prigusenjem:

x+2ni+w~x =0.

it; -

m

2 = Wv

i uredi,

n>w. v

Tada je

r? - w~ >0,

gdje s vremenom prigusna funkcija jako pada, a hiperbolna funkcija raste. Te nestaju, a gibanje nije oscilatorno. Ako je u pocetku gibanja u ,renutleu t=O, pocetni pomak Xu i pocetna brzina V o,

brzo

5.6.7

b.

Slucaj

kriticnog

prigtllienja (c kri ,=2mw), nastaje

kada

Jn2-w~ ~O. Rjesenje diferencijalne jednadzbe je oblika:

5.6.2

x

=

je n=w v ' Tada

e -Uv(A + Bt).

je

5.6.5

Uvrstenjem tog izraza i njegovih derivacija u diferencijalnu jednadzbu 5.6.1 dobije se: (r2+2nr+w~)x =0.

a prema tome

" r r J.O.O

5.6.1

To je homogena linearna diferencijalna jednadzba drugog reda s konstantnim koeficijentima, kojoj se rjesenje moze traiiti u oblileu: x =Ce rt .

a. Slucaj jakog pdguSenja je slucaj kada je

jer je Vn2 - w~ >0 i realna vrijednost. Koristeei izraz e±' = Chz ±Shz, opee rjesenje se moze prikazati u obliku:

Ako je u pocetku gibanja u trenutku t=O, pocetni pomak Xo i pocetna brzina v o, rjesenje giasi:

5.6.8

Da ta jedlladzba bude zadovoljena za svaki trenutak oscilacija, mora izraz u zagradi hiti jedllak nuE. to jest: 5.6.3

To je karakreristicnajednadzba diferellcijalne jednadzbe slobounih oscilacija s Rjesenje jednadzbe 5.6.3 daje par vrijednosti r za koje je oblik 5.6.2 rjesenje. Te vrijednosti 5esu:

gibanje

~.

Slucaj slabog priguSenja rrast.aje kada je

KorisleCl izraz izraziti u obliku:

e:;-!:~

ali bde nestaje. Kriticno oscHatorno. T ek kadCl je

~·Tada

=coszIisin::,

je

Inoze st

292

Oscilacije

5.6.1. KARAKTERISTlKE SLOBODNlli OSCILACIJA S PRIGUSENJEM

5.6.9 Ako je u trenutku t=O pocetni pomak Xo i pocetna brzina Yo, tada zakon osciliranJ"a olasi' to

X =

e

-nt( xocoswt+ _ - - _+Vo- sin IHO

w

293

Dinamika

"

Pri slobodnim prigusenim oscilacijama sistema s malim prigusenjem, pad amplitude je eksponencijalan s negativnim eksponentom. Iwos pada amplituda ovisi 0 koeficijentu prigusenja ~ = Il/Wv= c!ckr . Ako je u trenutku t\ pomak jednak:

5.6.10

Za te oscilacije je kruzna frelevencija jednaka:

x(t) = e -nt'Csm(wt +a) ~ \. 1 1 '

au trenutku t 2 =tl +T pomak je: =x(tl+T)=e

5.6.11

-n(t +T)

'

.

_

Csm[w(t1+T)+a].

Odnos amplituda za trenutak t\ i t2 = I, + T jest: gdje znaci ~

n = -;:: v

koeficijent prigusenja. To znaCi da je konstanta prigusenja c jednaka c=2mw F . v~

Za razne koeficijente prigusenja odgovor sistema na isti pocetni pomak Xo dan 'ie na sJici Vo dan je na slici 5.6.3. -

5.6.2, a za istu pocetnu brzinu

Logadtamski dekrement prigtiSel1ja jest:

/)

5.6.12

=nT.

Kocficijcnt prigusenja, prema tome, jest: {)

n =u periodu iznosi:

Relativni gubitak

2 eX1

.

2

e~

-~E_E = _E_1-E-_E_ = 2e~~ = l-l~r = 1-112

2

=1-e-

2nT

.

5.6.13

1

2 Slika 5.6.2

Kriticno prignsenje jest: 5.6.14 Relativni koeficijent pdguseuja se oznacuje sa ~=.-£=~. wv

5.6.15

S.b. i}

Siika 5.6.3

294

Oscilacije

Period slobodnih prigusenih oscilacija iznosi: 5.6.16

W

oscilacija

l.I

sekundi jest: .f-

J

~

-

1_ -W.

T

5.6.17

2n:

Zakol1 gibanja od poznatih pocetnih vrijednosri gibanja

a. Siabo prigl.lsenje

(n
i

l( -

x=e -nt Xo

w=vw~-n2 n.

-

Xo

i

Vo:

- gibanje je osci!atomo)

Vo.

1

w

J

coswt+-::.-SIDwt)+~SIDWti=

W

5.6.18 =

e

-nt

I

2

(nxo +'Vo \) 2

~ xo + \ ~

.

(_

x n +v )

SID wt+arctg~

.

b. Kriticno prigl.lsenje (n=w, - gibanje nije oscilatorno) 5.6.19 c, Jako

295

5.7. PRISILNE OSCILACIJE BEZ PRIGUSENJA

T = 2n: .

Frekvencija iIi

DiilJ..~nika

- =ljn 122 -w" - gibanje nije oscilatorno)

WI

Prisutnost vanjskih sila koje se mijenjaju s vremenom uzrokuje oscilacije mehanickog sustava. Takve se vanjske sile naziviju sile porenlecaja, a reagiranje mehanickog sustava na njih naziva se sustava. Prema velicini i zakonu promjene sile poremecaja nastati ce adekvatan odgovor sustava. Oscilacije koje su odgovor susrava na sile poremecaja nazivaju se oscilacije. Ako se u analizi oscilacija prigusenje zanemaruje, takve oscilacije se nazivaju neprigu.sene prisilne oscilacije, a ako je prigusenje uzeto u obzir, nazivaju se priguseno Sile poremecaja mogu nastati od raznih uzroka i mogu se mijenjati s vremenom na raziicite nacine. Kod roracijskih strojeva vrlo cesto nastaje centrifugalna sila uslijed neizbalansirane mase. Ona daje vertikalnu i horizontalnu komponentu koje se mijenjaju po harmonijskom zakonu. Takva sila je periodicka i naziva se harmonijska sUa. Poremecajna sila koja se mijenja wkom vremena taka da se ponavlja u tocno odredenim intervalima vremena naziva se periodicka sila. Kada sila poremecaja periodicka, a mijenja se s vremenom po opcem zakonu, tada se takva sila naziva opca sua. Ako je djelovanje sile poremecaja vrIo velikog intenziteta u vrl0 kratkom intervalu vremena, rada se to djelovanje naziva JUW'!-,',"3HU daJe promjenu koiicine gibanja mase sustava i dovodi sustav da vrsi slobodne oscilacije. Odgovor sustava na situ poremecaja odreduje se analiticki direkmim rjesavanjem diferencijalne jednadzbe gibanja, integralom konvolucije (Duhamelov integral) iii nekom numerickom metodom integracije. Za prj'silne oscilaciJe kod kojih se zanemaruje prigusenje, LLiiLL .'> shema sustava je pokazana na slici 5.7.1, a jednadzba gibanja glasi:

mx = F(t) -kx.

;

~',

'~r.

5.6.20

Dijeljenjem jednadzbe sa diferencijalna jednadzba:

i

+

w: x

=

ill

i uredenjem dobije se

lli,,",,"' ,doL, I

.1~~.

YF=F(t)

F(t) = f(t).

5.7.1

m

Rjesenje Ie diferencijalne jednadzbe 5.7.1 ovisi harmonijska, periodicka iIi opca.

0

.

_~d-I

-L.,-,-x

J i r

, h

III T+ F

Slika 5.7.1

sili prisile F=F(t), koja moze biti

5.7.1. SILA POREl\1ECAJA JE HARl'v.l:OJ\TIJSKA

5.7.1 glas:: 5: + w~X= h cosp:.

To je nehomogena linearna diferencijalna jednadzba drugog reda u kojoj znace:

5.7.2

796

Oscilacije

w -

IIlk -

v - ~ ;;

297

Dinamika Opce rjesenje diferencijalne jednadzbe 5.7.2 glasi:

vlastita kruzna frekvencija sustava,

x - kruzna frekvencija sile poremecaja, - amplituda sile poremecaja,

P H

a moze se prikazati i

U

A cos w/+ Bsinw J + Ccospt,

5.7.10

x =Dsin(w/+Ct)+Ccospt

In

gdje su: Rjesenje nehomogene diferencijalne jednadzbe sastoji se ad homogenog i partikularnog rjesenja, to jest:

5.7.3

D

=

5.7.9

obliku

h=!! - amplituda sile poremecaja za jedinicu mase sustava.

x = xhom + Xpart<

=

yA2+B2

A

tgf1. = - .

B

Konstanta C je poznata, a konstante A i B treba odrediti iz pocetnih uvjeta gibanja. Ako je pri t=O pomak "0' a brzina Yo, to znaci da konstanta A i B imaju vrijednost:

A=xo-C,

Opce rjesenje homogene diferencijalne jednadzbe jednako jeopcem rjesenju diferencijaine jednadzbe slobodnih neprigusenih oscilacija koje giasi:

B=

wv

5.7.4 5.7.11

Partikularno rjesenje je one koje zadovoljava samu nehomogenu diferencijalnu jednadzbu:

5.7.5 Tu jednadzbu ce zadovoljiti rjesenje oblika: xpart

sto znaci daje

xpan

=

5.7.6

Ccospt,

Redovito se istrazuju prisilne osciIacije sustava koji miruje i pocinje djelovati harmonijska sila poremecaja. U tom slucaju su xo=Yo=O, pa je odgovor na harmonijski poremecaj dan izrazom:

5.7.12

x = C(cospt-coswvt).

= -p 2 Ccospt = -p 2 x. Uvrsteno ujednadzbu 5.7.5, slijedi da mora biti: Konstanta C prema izrazu 5.7.8 dana je sa C

[C(w~-p2)-hJcospt=0.

5.7.7

Ako sila poremecaja postoji, ta ce jednadzba biti ispunjena za sve t sarno onda ako izraz u uglatoj zagradi bude jednak nuli, to jest:

C(w~-p2)-h =0.

=

x!u ~din' a prikazuje amplitudu pomaka

partikularnog rjesenja. Maksimalna amplituda oscilacija je 2C. .. Dinamicki koeficlJent moze se pn'kazati sa

1 . g d"Je Je oznacen - 0 dnos = - C =--

f"d In

xH stat

1 _ r2'

kruzne frekvencije sile prisile (p) i kruzne frekvencije sustava (wv ) sa r =.l!..... w"

To znaci da je nepoznata konstanta C jednaka:

C=_h_._ =~._l_ w~ - p2 In w~ 1 _ p2 2

=!!.

H

2

( D \ k 1 -,. I

W"

= Xstat

b) Za harmonijsku silu poremecaja oblika F=Hsinpt, diferencijalna jednadzba gibanja ~din'

H X stat =

x + w~= h sinpt. Anaiogno

kao i u

opce Je -1-

\ Wv

C smp:)

gdje konst:mta C ima istu vrijednost:

---~

1 _ ( J'

5.7.13

\

kIi - deformacija el2.sticne veze knn.osti l~ od sile H u stanju

1

oc

5.7.8

5.7.1 giasi:

I w... )

c - amplituda partikularnog rjesenja,

gdje su:

fLdin

1

)\2

-

dinamicki koeficijem uvecanja

pomaka od sile H.

h

C=--~=

~din'

r '7 n ,).1.0

?98

Oscilacije

Vo

•

, .

1).

~xocoswvt+-smwvt+C\smpt--'-smw Wv

Rjesenje se maze prikazati i

(,jv

U

oblilcu:

x

~Dsin(wvtTa)+Csinpt,

t).

299

5.7.2. ANALIZA ODGOVORA NA HARMONUSKU SILU POBUDE

Ako su u pocetku gibanja pri t=O, pomak x=xo i brzina v=vo, rjesenje glasi:

x

Dinamika

5.7.15

v

a. Analiza

koeficijenta uvecanja statickog pomaka je poznata vlastita frekvencija sustava. Za taj sistem dinamicki koeficijent uvecanja ovisi 0 odn05u frekvencije sile prisiie i vlastite frekvencije sustava, to jest 0 odnosu prema izrazu: "'i'.,,,",,,,,ne'5

5.7.16 F

gdje su:

t

1~~~inP!

"I~ IH..J

Ako je sila poremecaja pocela djelovati na sistem koji je mirovao, tada zakon gibanja glasi:

x

=

C(sinpt-Lsinw t). . w v

5.7.17

v

Anal izirajuCi rjesenje 5.7.16 I 5.7.17, vidi se da je jedan dio odgovora susrava proporcionalan sa slobodnim oscilacijama susrava, a drugi dio je proporcionalan sa silom poremecaja. Oblik odgovora ovisi 0 tome da Ii je odnos plwv veci iIi manji od 1. Na slici 5.7.2 pokazan je odgovor na silu poremecaja obJika F~Hsinpt, to ako je odnos Ll. Wv

Slika 5.7.2

Pri p/wv=O, on je jednak 1 (staticko stanje). Kako se odnos p/wv mijenja od 0 do 1, dinamiclci koeficijent [aste od 1 do + co. Neposredno iza je -00. Kod odnosa p/wv =1,41 on je -1. S daljrJim povecanjem odnosa p/w on se dalje smanjuje i tezi nuli. Negativna vrijednost dinamickoga koeficijenta oznacuje da je pri pozitivnom djelovanju sile poremecaja pomak negarivan j obratno. Na slici 5.7.3 pokazan je partikularni odgovor na isti oblik sile poremecaja ako je p/wv < 1 i p/w, > 1. U prvom slucaju)e dinamicki koeficijent veci od 1 i pozitivan, a u drugom mu je vrijednost manja ad 1 i negativna.

/.

~t

f-.-----,T---..j

Siika 5,7.3

U prikazu dinamickog faktora U odnosu p/w" daje se obicno njegova apsolutna vrijednost. Promjena apsolutne vrijednosti dinamickog koeficijenta U ovisnosti 0 odnosa frekvencije sile prisile i vlastite frekvencije sustava pokazana je na slici 5.7.4.

U .. • om

1

""--

l-1L!' \wj

Wv

Slika 5.7.4 Maksim:iini pomak je jednak xlrnlX = D + C, a osciliranje pokazuje narav "valjanja" oko ravnote±nog polozaja,

b. Analiza naCina ()scilinmja Odgovor sustava koji je mirovo'o no, harmonijsku silu poremecajaF=Hcospt, dan je izrazom 5.7.12. Oblik odgovora ovisi 0 izrazu (cospt-coswJ). Analiza se moze olaksati ako se prikaze da Je:

w,.

P

2

L

tako da izraz za odgoyor glasi: 5.7.18

Oseilaeiie

300

Di:Jamika

301

Slucaj 3. Kada P"""""Wv tada (p-wJ-+O odnosno Ll41, a period modulaeije Tp-+oo. U tom slucaju se moze uvrstiti u izraz 5.7.20, daje sinLH ~ C>t, pa je odgovor dan izrazom:

Tu mogu nastupiti tri karakteristicna slucaja oseiliranja, i to 1. kada se Wv i p jako razlikuju, 2. kada se w" i p vrlo malo razlikuju i 3. kada su Wv i P isti.

x

Slucaj 1. Kada se w,. i p jako razlikuju, tada ce maksimalna amplituda, prema izrazu kosinusoida s vrlo razlicitim 5.7.12, biti jednaka X =2C, a obiik definira razlika periodima lD2X

T

21C

=

P

1

gdje je A

=

ht. smpt

= -;;-

kP

=

A. smpt,

5.7.21 hI . x =:o-smpt 2p

..!2... t . 2p

Slika 5.7.6 Slika oscilacija u ovom slucaju prikazuje s vremenom ·stalan porast amplitude, kao sto je pokazano na slid 5.7.6. Slucaj kada je P=Wv naziva se rezommC3. Kako amplituda stalno raste, treba djeJovanje sile poremecaja prekinuti jer ce doti do sloma elasticne veze.

Znaci da oblik osciliranja ovisi 0 tome !ito je vece: Wv iIi p. Kod t=O je xo=O, a .oseiliranje ima narav kao i prikazane oseilacije na shei 5.7.3.

5.7.3 SILA POREMECAJA JE PERIODICKA AU NIJE HfARMONIJSKA Slucaj 2. Ako se oznaci sa p+wv =2rx, i p-w v=2c>, tada se odgovor moze izraziti sa:

2h . .• smat sm",t w~ - p2

X = ----

Kod vrlo male razlike, izmedu a odgovor se moze izraziti sa:

Wv

h. . A smat sm,-,t.

= -2 Ctll

5.7.19

i p, C> je vrlo mala velicina pa se moze uzeti da je ex "'p,

h . . A smpt SIDL>t. 2pc>

5.7.20

X = --

Periodicka poremecajna sila, kao i svaka periodicka funkcija, moze se uvijek prikazati trigonometrijskim (Fourierovim) redom, to jest s nizom harmonijskih poremecaja. Odgovor na periodicku poremecajnu sHu dobije se kao suma odgovora na svaki clan trigonometrijskog reda. Prema tome periodicku silu F=F(t) moze se prikazati rrigonomerrijskim redom sa n-clanova oblika:

F

U tom sIucaju ce oseiIiranje imati oblik prikazan na sliei 5.7.5. Takvo oseiliranje se naziva pulzacija iIi podrhtavanje. Kod toga se luci period oscilacija i period modulaeije. Period osciliranja je Tl ~27rip, a period modulacije T 2 =2r.1t& ..

=

ao +

L

F

Slika 5.7.7

(a j eosipt +bj smipt) ,

5.7.22

l=n

gdje je p=2"lr/T, a konstante su: T

....\ .J.<. a o -~ -1 r•D(V).4·,

5.7.23

T

SIik2 ::

~

2 '

::

Radi hnearllostl

dobiti

F(t)

)ednadzoe giDanja fnoze se konstiti nletoda superpozicjje i susrava. Partikularno rjeilenje diferencijalne jednadzbe tada glasi:

302

Oscilaciie

303

Dinamika

Odgovor za konstantnu silu F=Fo, racunan izrazom 5.7.26, pokazan je na slid 5.7.9,

5.7.24

5.7.4. OPCA SILA POREMECAJA Slika 5.7.9 Kada sila poremecaja nije periodicka, ali se moze prikazati kao fUllkciju vremena F=F(t), tada se odgovor sustava dobije na taj natin da se djelovanje te sile smatra kao djelovanje beskonacnog niza elementarnih impulsa velicine dS=F(7)d7. Od elementarnog impulsa liS koji je djelovao u trenutku 7, u trenutku t ce nastati elementarni pomak:

a izrazi za polozaj i brzinu glase: ,~

x=...Jl.(l-cosw t), dx = dS< sinwv(t--r) = F(-r) sin wy(t-"l:)d-r . mwv

k

5.7.25

v

.

x

=

Fo

.

-U}

k

v

SillW

v

t.

5.7.28

mwy p

Odgovor za silu linearno promjenljivu s vremenom F= - 0 t, pokazan je na slid 5.7.10, tl F

oL-.......l--"-_ _~

r- 11 --j Slika 5.7.10 Slika 5.7.8 Ukupni pomak u trenutku t od poremecajne sile F= F(t) dobije se kao suma elementarnih pomaka ilx od trenutka 7=0 do trenutka 7=t, to jest: .=t X =

Jdx

<=0

5.7.29

t

=

_1_ mwv

JF("l:) sin w,,(t-"l:)d"l: .

5.7.26

0

Dobiveni izraz je poznat Duhameiov integral ili integral konvolucije. Kada su dani i pocetni uvjeti gibanja, to jest da je pri t=O, pomak X=Xo i brzina tada je trajni odgovor jednak:

Metodom karak po korak, Lacuna se odgovor na opeu prisilu uz pomoc racunaia, taka da se u svakom mal om intervalu vremena ll.t; pretpostavija da je sila konstantna iii linearno V=Vo,

5.7.27

Du"narrlelOV integrai omogucuje da se odreae izrazi odgovora za siucajeve porernecaja kao

s[O su

a izrazi za polobj i brzinu glase:

konstantna sila i linearno promjenljiva sila.

promjenjiy'"

sile

Oscilaciie

304

Dinamika

305

5.8. PRISILNO PRIGUSENE OSCILACIJE Sustav s viskoznim prigusivacem pod djelovanjem poremeeajne sile F=F(t) oscilira. U trenutku t masa je udaljena od ravnotdnog polozaja za velicinu x, ima brzinu i, i ubrzanje x, kao sto je pokazano na slici 5.8.1. Za taj trenutak jednadzba gibanja sustava giasi: mi

Slika 5.7.11 Za opeu silu koja se mijenja, kao sto je pokazano na slici 5.7.11, sUa se promatra linearno promjenljivom u malim intervaiima vremena At,. Na pocetku i-tog intervala vremena je pomak Xi' brzina v, i sila F" ana kraju tog intervala je pomak '4+" brzina V'+l i sila F,+!. Pomak i brzina na kraju intervala Llt, racunaju se formulama 5.7.30 koje glase: x

1 =x,cosw l+

~

i

v

F k

F!-F kfl.tj

Wv

V

L

v

I

-ci-kx+F(t).

Nakon dijeljenja cijele jednadzbe sa ill, i ako se ~. d· F(t) I() d· oznaci a Je -c = 2n, -k = w.2 .I - = t, te ure I, m m m dobije se diferencijalna jednadZba prisilno prigusenih oscilacija:

Slika 5.8.1

i+2ni+w:x =I(t).

1

Llt+--'-sinw Lit.+~(l-cosw Lit.)+-'--_!(Lit.--sinw LIt.) 1.

=

ex

l

Wv

v

l

5.7.30 . . . F;. Fi_1-F; x f+ 1 =-x.w sm<..) V Lit.+x.cosw Llt.+-w I V l f V;: k vsmw v Lit.+---(,·l-cosw!J.t.). r v !

Intervali vremena Ati (i= 1, .•.• ,n) mogu biti razliciti ili svi isti. Biraju se taka· da je aproksimacija linearno promjenljive. sile dobra. Za postavljanje izraza 5.7.30 koristena su rjesenja dana izrazima 5.5.10,5.7.28 i 5.7.29.

Rjesenje te nehomogene: diferencijalne jednadzbe sastoji se od homogenog i partikularnog rjesenja. Homogeno rjesenje je opee rjeSenje slobodnih prigusenih osciiacija, a partikulamo rjesenje ovisi 0 obliku sile poremeeaja. Analiza prisiino prigusenih oscilacija je znacajna za slabo prigusenje.

5.1'1.1 ODGOVOR NA HARMOMJSKU SILU a. Rjesenje za sHu poremeeaja oblika F

jest:

5.8.2 gdje je opee homogeno rjesenje jednako izrazu 5.6.9, i glasi: 5.8.3 Partikularno rjeSenje moze se traZiti u obliku: xp

sto znaci da su:

=

D,sinpr+D 2 cospt, -

5.8.4

Oscilaciie

306

Dobivena jednadzba mora vrijediti za sve t, a to moze biti sarno onda ako su izrazi u uglatim zagradama jednaki uuli. To znaci da mora biti:

307

Dinamika

Dinamicki koeficijent uvecanja ovisan je 0 koeficijentu prigusenja i odnosa kruznih frekvencija sile poremecaja i sustava, prema formuli 5.8.8, a prikazan je na sJici 5.8.2. 5.8.8

Rjesavanjem tih jednadzbi dobiju se vrijednosti za konstante

i D 2 , koje iznose:

I

,I

Uvodenjem novih konstanti C i rjesenje 5.8.4 moze se izraziti sa:

tako da je D1=Ccos
IX,

X part =

Csin(pt -IX),

5.8.5

gdje su:

i i

lis 'I -I~ I~

!

J

~=--"w

i

I

0

I Slika 5.8.2

Uzimajuci da je ~ = ~ -relativni

prigtiSenja Fazni pomak 0', prema formuli 5.8.6, takoder ovisi 0 velicini koeficijenta prigtiSenja i odnosa kruznih frekvencija, a prikazan je na slici 5.8.3.

Wy

sHe poremecaja i sustava. mogu se izraziti:

tga

2np _ _ __

=

w~

C=

H2 mwy

1-( :J

5.8.6

---;:::======= II" '2

)\21

,11 1 -(:

~l

\

y

"

5.8.7

+(2n; 12 \

W" )

Znacaj konstante C je bitan za odgovor sustava na harmonijski poremecaj. Ona predstavlja amplitudu partikularnog rjesenja, a je statickog pomaka KoeficiJenta uvecallja tog pomaka ILd' Pomak - je pomak koji bi nasrao na eias[icnoj vezi krutosti k od sile amplitudi sHe harmonijsKog poremecaja u

k

Slika 5.8.3

Jt

308

Oscilaciie

Opce rjesenje glasi:

309

b. 'U siucaju sHe m

x =e- (A cos G)(+ Ssin Git) + Csin(pt-a).

~. _ l(Xo + C"ma ) cos wt

_ -r.J

nfr,."'np,~"i"

obUka F=Hc()spt, trajni odgovor giasi:

5.8.9

Ako je u pocetnom trenutku pri t=O sistem bio u poloiaju "0 i imao brzinu Yn, tada je zakon gibanja sustava dan izrazom: x-e

Dinamika

x2 = Csin(pt+O;;l)'

je konstanta C jednaka kao i u slucaju a. a dana je izrazom 5.8,7, Pocetna je faza: C(l

+

5.8.13

=

vo+n(xo+Csina)-pCcosa 1 Gi' sin Git Csin(pt-a).

G:/ -1l 2 arctg-"-'-.

j+

. U slucaju da je poremecajna sila pocela djelovati na sustav koji je mirovao, sto znaci da Je kod t=O pomak xo=O i brzina "0=0, tada je zakon gibanja sustava dan izrazom: x=e

5.8.2. ODGOVOR NA OpeD SILD POREMECAJA

-mCr· nsina -pcosa. 1 IsmacosGit+ _ smGitl+Csin(pt-a) L

iii

W

J

5.8.10

Analogno, kao i u sustavu bez prigusenja, odgovor se traii tako da se sila poremecaja smatra kao beskonacan niz elementarnih impulsa velicine dS=F(r)dr. Od impulsa u trenuticu 7, nastat ce prirast brzine: dv= dS,

gdje su:

m tgcp

wsina nsma -pcosa.

= - . - -_ _

tga=- 2np =_ 2~r 2 2 ' o· w,,-p l-r"

koji. prema izrazu 3.5.18, daje u trenutku t> 7 elementarni pomak:

dx

=

Dio odgovora:

=e-ntDsin(wt+
Xl

5.8.11

mw

x 2 = C sin(pt - a )

t

je bitan, on stalno traje dok djeluje sila poremecaja, a naziva se trajm

dx=~

x= f

mw

<00

5.8.12

fF(<:)e-n'SinGi(t-,)d,.

To je Duhamelov integral za sustav s prigusenjem. Kada su dani pocetni uvjeti gibanja takvi da je pri t=O pomak X=Xo i brzina V=Vo, tada je rjesenje za trajni odgovor:

w

IT \ ~'1 ,I ~

UI, \ 1 I

\

fl,' V'

\' II V

'v'!

Rjesenje integrala 3.8.15 za konstantnu silu poremecaja F=Fo daje izraz za koji glase:

x=-[l-e l:

Siika 5,8.4

v

t+

F

=

3.8.16

mw;oo

\

Na siici 5.8.4 pokazanje odgovor na harmonijski n",·prr,,,.~~, osciliranj2 :: pe:--iadc:-:-: sarno osciiiranje s periodom T 2 =21r/p.

5.8 15

0

' 1 (vo+nxoJsmwt . . _ 1+--_ 1 TI;'F( ,e ) -n""smw - ( 'd x=e -nt rtXocoswt",-:;t-,) ".

i~

5.8.14

Pomak u trenutku t, od poremecajne site koja je djelova!a od trenutka 7=0 do trenutka 7=t odreduje se izrazom: 'toot

jest dio koji fadi prigusne funkcije e- nt brzo nestaje, i naziva se prolazm odgovor. Dio odgovora:

e- nt sin Gi(t-t)d-r .

-..CJ-e-n'sllwt.. k W

{Jd.gOVOfl 112. KcnsiliDtnu SilU is'log sU:;lava, c.Il za ra.2Jlt:

i i;=d),S
i brzinu

310

Oscilacije

Dinamika

311

5.9. SILA PRIJENOSA

kx

ex

Svaki sust2.V U osciliranja prenosi na svoj cemelj, odnosno oslonac na koji je vezan, sile koje su uzrokovane tim oscilacijama. Za sustav na slici 5.9.1 sile koje se prenose na temelj uslijed oscilacija sustava iesu sila elasticne veze i sila prigusivaca. Te sile se kratko mogu nazvati ~ile prijenosa. Ukupna sila prijenosa na temelj je jednaka :

Siika 5.8.5 F

Rjesenje integrala 3.8.15 za Iinearno promjenljivu silu poremecajaF=at=~t daje izraz za pomak i brzinu koji glase: .tl

5.8.18

Slika 5.9.1

Ako oscilacije sustava uzrokuje harmonijska sila poreme6aja F = H sinpt, tada je trajni odgovor sustava:

H

x = -;- ~dsin(Pt + 0:),

n

~;l

5.9.1

FT=kx+ci.

(W~ -2n 2 . _ 2n _ 11 x = -' "t - - - Sllwt - - coswt II kt I 2 22)',' I l Wy W"W Wy J , F' 1 v = --"-Il-e'(coswt + 2 sinwt) .

FJ 2n _ -I t - - -e

5.9.2

K

~_

a brzina odgovora: 5.9.3

Kada je sila poremecaja opea te se ne moze fllnkcionalno izraziti, pa se ne moze koristiti Duhamelov integral, tada se mogu koristiti rjesenja 5.6.18, 5.8.17 i 5.8,18 i racunati odgovor metodom korak po korak liZ pomoe racunala. Tom metodom pretpostavlja se da je u svakom intervalu vremena ~t;=ti+ 1-1:; sila linearno promjenljiva. Na pocetku i-tog interval a vrel1lena u trenutku t, pomak je X;, brzina Vi i siia F i • Na kraju i-tog interval a vremena u trenutku tl+! pomak je xi +1> brzina V i + 1 i sila F i + l • Pomak i brzina na kraju intervaia Ati racunaju se formulama: nlH

xi+)=e"' i[XiCOSWAtj+

(v,+nx) '_

sin Wt.tJ +

FT

' su tgpR gdJe

W

+ Fi[1-e-nAti(COSWM,+2SinwAt,)] +

cp =k'

=

=

~ ksin(ot +a) +cp" cos (vt +a)] ~ k Iir.ra e,

=

!ik IkdV k 2 + (C/J)2 sin(pt + IX + P) = Hp sin (pt + ,p). '

- amplituda sile prijenosa i l{'=ot+{3 - fazni pomak.

5.8.19 k

lOv - 2-

n2 , _ ,

2n

_

\:

fi .-

---SllWLH,--COSWD.t,)1 , 2 _ l 2 1 Wi-' W

p

u =-u.yk H / 2 -\cp, , ) 2 =n~.

r..

W1'

a

k

F. -r--e k W

-F

+ ~ [l_e-nLitJ(cos

+

I,

(Cp\2

,,! +1"kJ _-;===~=' I

==='=== F / L

C

'2

5.9.5

ll_(~121 +12n~1

,II , ~

F

5.9.4

Ako je amplituda sile poremecaja H, tada je amplituda sile prijenosa na temelj jednaka:

'w'

k

Prema tome, sila koja se prenosi na temelj je jednaka:

,

K J

,

I 0)-1J \

v

sin

58,20

5.9.6

!!.. smwM,)] . W .

Interval vremena ~ti bira se tako da je aproksimacija linearno promjenIjive sile realna,

Na slici 5.9.2 je prikazana Dvisnosl koeficijenta

1j 0

odnosu r=p/w, i E=n!wv •

312

Oscilacije gdje su:

tga

rlJ =~ =2~r.

k

RjeSenje za trajni odgovor glasi:

5.10.4

gdje su: f3

~o: +
i

2np 2~r tgqJ = - 2 - - = - - 2 . Wv _p2

1-r

Slika 5.9.2

5.10. UTJECAJ GIBANJA TEMELJA SUSTAVA Cesto je gibanje temelja, odnosno okoline za koji je vezan sustav, uzrok nastajanju osci!acija sustava. Ako je u trenutku t apsolutni pomak teme!ja y=y(t), a apsoiutni pomak mase je x=x(t), tada na masu kao vanjske neuravnotezene sile djeluju elasticna sil~l =k(x-y) i sila prigusenja S2=C(X-Y), kao sto je pokazano na slici 5.10.1. lednadzba gibanja mase glasi: k(x-y)

mi.

=

-k(x-y) -c(x-y).

5.10.1

t

j c(i;·y)

b) Diferencijaina jednadzba reiativnog rnase. Ako je relativno gibarJe mase oznaceno s relativnom koordinatom u=x-y, u =X -y i ii =i. -y, tada se moze pisati diferencijalna JeClna.C!zIDa:

sto znaci da s~

m(u+y)+cu+lcu=O.

Diferencijalna jednadzba relativnog gibanja mase sustava glasi: mu+cu+ku

Rjesenje jednadzbe 5.10.5 ovisi

0

=

-my.

5.10.5

izrazu za ubrzanje temelja y =Y(t).

Za harmonijsko gibanje temelja po zakonu y =A ysinpt, jest ji = - A yp 2 sinpt. U tom slucaju diferencijalna jednadzba relativnog gibanja mase glasi:

E.·m~Jj ,." iI:

Uredenjem izraza 5.10.1, moze se dobiti Slika 5.10.1 diferencijalna jednadzba gibanja mase sustava i to za apsolutno gibanje x=x(t) iii za relativno gibanje u=x-y=u(i).

mu+cu+ku .

=

mp2AYsinpt.

5.10.6

Rjesenje te diferencijalne jednadzbe daje trajni odgovor:

a) Diferencijalna jednadiba za apsoiutno gibanje rnase lz: izraza 5.10.1 dobije se diferencijalna jednadzba apsolutnog gibanja:

mp2A

u 5.10.2

mi.+d+kx =ky+cy =F(t).

Vidi se da je to identicna diferencijalna jednadzba kao i za prisilno prigusene osci!acije. Sila poremecaja F(t), ovisi 0 zakonu gibanja temelja. Akc; je po Z3KOflL sin(pt+a) =

=

~11-dSin(Pt + ex) = Ausin(pt+ 0:),

gdje su:

" 2np- -_ arctg-2~i ex =arc,g--·

_p2 Odnos izrazoll1 5.10.8:

1

relativnog gibanja mase

::::

=

kAyVI +(2 ~ r)2 sin(pt+ ex).

5.10.7

gibanja LemelJe. definirs

------------

dan

1G,

314

Oscilaciie

Na slici 5.10.2 prikazana je ovisnost koeficijenta if.;,

0

odnosu r i ~.

Dinamika

315

Ako se reiativni pomak mase u odnosu na objekt oznaci sa u=x-y, rada se jednadzba gibanja mase maze izraziti sa: mii+cu+ku ~ -my. 5.11.2 Dobivena jednadzba je diferencijalna jednadzba reiativnog gibanja mase instrumenta. Vidi se da je to idemicna jednadzba s jednadzbom 5.10.5. Ako se objekt giba po zakonu y ~Aysinpt, trajni odgovor relativnog gibanja mase jest: 5.11.3

U slucaju da je:

5.11.4

~_,--- _ _I

tada

Slika 5.10.2

5.11.5

gdjeje1:~t+~. p Vidi se da je amplituda izmjerenih vibracija i vibracija temelja ista, sarno sto odgovOf ima fami pomak .f{!. Ako je vrijednost:

5.11. MJERENJE VIBRAClJA Cesto je potrebno istraziti nastale vibracije mehanickih sustava konstrukcija. Za analizu vibracija potrebno ih je snimiti pomocu instrumenta koji se stav!ja na objekt koji vibrira, kao sto je pokazano na slici 5.11.1.

5.11.6 Snimak vibracija

tada se izraz 5. 11. 3 moze p isati da j e: 5.11.7

Vibracije objekta

Vrijednost u w~ - prikazuje amplitudu ubrzanje zapisa, a Ayp2 - prikazuje amplitudu ubrzanja objekta na kojem se mjeri. To znaci da je zapis proporcionalan s ubrzanjem mjerenih vibracija.

Slika 5.11.1

Insrrumenti koji nam to mogu omoguciti baziraju se na sustavu s jednim stupnjem slobode, a sastoje se od mase ill, elastiene veze krutosti k koeficijentom prigusivaca prigusenja c.

k(x-y)

Apsoiumi pomaK mase mstrumenta oznacen je sa x. Apsolumi pomak

, c(i-j)

InStrumellti za koje je ispunjena jednadzba 5.11.4, koriste se za mjerenje pomaka obieno se nazivaju vioromelrl. formUla 5.11.4 moze pos!uziti za odredjvanje greske

II';....

!,i?

11'":-'

-lili,. !!" ::

Stika 5.11.2

.)-

Jednadzba gibanja mase instrumenta glasi: m5:

~

k(x

,

prava i r> 3 gre§ka u mjerenju :nallja ad ! % (vidi siiku 5.10.2)

je

>

1]2

0:

i \' I)

5

I] &

r=.L

Slika 5.11.3

0',

316

Oscilacije

lnstrumenti, za koje je ispunjena jednadzba 5.11.6, koriste se za mjerenje ubrzanJa i 0bicno se nazivaju akceierometri. Formula 5.11. 6 moze pasluziti za mjerenje greske

ubrzanja, iii se njame maze izracunati prava vrijednost ubrzanja. Aka je greska mjerenja ubrzanja je manja od 1 %. (Vidi sliku 5.1 .3).

~=(I,7

i r
Dinamika

317

Koeficijent

prig~sc;:ja

je:

1l~~~O.207 =O.653s- 1 , c~2nm=20,653~~6,651Nm-ls T

0,317

.

9,81

~ =~ "'..}!- =0,033. wv

L, 1t

5.12. PRIMJERI PRIGUSENlli I PRISILNlli OSCILACIJA Pnmjer 5.12.2 Sustav je izveden iz ravnoteznog poiozaja i pffiten cia slobodno oscilira. Snim3k oscilacija, u kojem je dana tocna n:cmenska baza i tok, prikazan je ria slid 5.12.2. Odredi period, viastitu frekvenciju i koeficijent za te oscilacije.

5. 12.1. RIJESENI PRIMJERI Primjer 5.12.1 Tijeio tezine G=50 N, ovjeseno je na oprugu krutosti k=20N/cm i oscilira u mediju koji cim otpor proporcionaian brzim gibanja. Zna se, cia je amplituda oscilacija nakon 12 osciladja, smanjena na dvanaestinu. Odredi period oscilacija i logaritarnski dekrement prigIJSenj:a. Rjesenje. Odnos pomaka slobodnih oscilacija s prigusenjem za jedan period iIi r perioda jednak je: Xi

e-ra

e-nt

-=---=---=e Xi+l e-n(t+1) e-nte-nT

nT

ili Xi+r

Slika 5.12.1

Slika 5.12.2

Rjesenje. lz·snimka se moze ustanoviti period prigusenih oscilacija i izmjeriti relativni odnos amplituda. Utvrdeno je da su u intervalu vremena od 5 sekundi izvrsene 23 pune oscilacije ida se za 9 oscilacija amplituda smanjila za 2.3636 puta. Prema tome su:

o ~ 0,4397 rad/s, T=~ ",0'22sek, 0 =-.!:.ln2 23 9 '3636 =009558 , , n = -;;;; 1

e -n(t+rT)

w=~ =28 903 rad,is T '

~ =..!!... =0,0152.

w

Logaritamski dekrement prigusenja za jednu iIi r punih oscilacija racuna se izrazom: o=ln

x1

=nT

iii

o=-.!:.ln~~nT.

Ako se za 12 perioda amplituda smanjija za 12 puta, to maci da je:

o ~ ~ln12 =0 20707. 12

'

Vlastita kruzna frekvencija slobodnih oscijacija bez prigusenja jednaka je:

w

= v

I'

kg

~ G

=

~ 2000'9,81 ~ 19 809 Tadls. 50

Period slobodnih pngusenih oscilacija jednak je:

TI=~.

'

Primjer 5.12.2 Dvije opruge krutosti k=30N/cm i viskozni prigtlSivac sa koeflcijentom prigtlSenja n=O,3 W vezani su gore za nepomicnu okolinu i dolje za nedeformabilni Map zanemarive tezine. Aka odjednom na stap koji miruje ovjesimo tezinu Q=240 N, sustav ce vertikaino osciiirati. Odredi zakon gibanja tereta. y ,

SEka 5.12.3

Rje.sel1je. Oscilacije sustava pocinju u trenutku kada teret bude ovjesen na opruge. U tom trenutku opruge joil nisu rastegnute. Oscilacije su vrSene oko ravnotdilog poiozaia, a to ie poioiaj ovjesenog tereta na oprugam.a u stanju mirovanja. Pri mirovanju su opruge rastegnute za velisinu

c.

=

.." 2k

240

.

= - - - = 0,04 m = 4 em . 2·3000

Prema tome je: Dakle

12:

slanja

i izraz za brzinu jesu:

ravnotez.e, sto waci Prema izrazu 5.6.18. zakon

318

Oscilacije

Dinamika

319

I)W= =

-mx'ox-kx'lh+F'ox= -2 3QRx ~ _ G xox-kxox+Fox= O. 4g 2R g

Diferencijalna jednadzba gibanja za koordinatu x jest: .uta

3Q+4G x+kx=F . 4g

frekvencija sustava jest:

w=Ul

v

Il-(~

~

r

=

14,939rad/s.

\ Ul v )

Primjer 5.12.5 Sustav pdkazan na slid 5.12.5 je mirovao i adjednom na je paceo djelovati

Zakon gibanja giasi:

x = -4e -4.4981 (cos14,939t + O,314sin14,939 t) =4,193e -4,6981 sin( 14,939 t -1,266) em.

Primjer 5.12.4 RInk tezine G lezi na dva valjka istili tezina Q i vezan je elasticnom oprugom za vertikalni zid. Sustav min.l.je i odjednom pocne djeiovati sila F=F(t), kao sta je horizonta!na

moment M=M(tJ.

Postavi difereucijalilu oznacenu koordinatu x i izraze za me

Ce ,

za

Rjesenje. Sustav je s jednim stupnjem slobode. Sve F ~A-+~~~~~~?±~rv

pokazano fia slid 5.12.4. Odr-edl diferendjainu jednadibl.l ploce. Klizanja izmedu bloka i valjaka, te valjaka i tia nema.

Slika 5.12.4

Rjesenje. Sustav je s jednim stupnjem slobode. Od djelovanja sile nastaje gibanje tako da u trenutku t blok imat horizomalni pomak x, brzinu i i ubrzanje x. Valjci pri gibanju imaju na vrhu, u horizontalnom smjeru, iste kinematicke elemente gibanja kao i bIok, a tocka dod ira s tlom je tocka trenutnog centra brzina. Gibanju ce se suprotstavljati elasticna sila opruge F j =-kx i sile inercije mase bloka i valjaka. Ako se sile koje su u ravnotezi iskljuce iz razmatranja, a 8ili poremecaja i elasticnoj sili dodaju i sile inercije, tada je prema D' Alembertovu stavku za te sile stvorena dinamicka ravnoteZa. Ukupno inercijsko djelovanje svakog valjka moze se prikazati u tocki trenutnog centra brzina, 3. bloka, koji se giba trans iatorno , sa silom inercije u tdistu mase bloka. Momenti sila inercije na os okomitu na tocku centra brzina za oba jednaki su i iznose:

Momenti sila inercije na centar brzina svakog tijela. elasticna sila i sila otpora jesu:

3

),

ox na mjesw i u smJeru poma,~a x, jecinacizba vinuainog raca

0

gibanju je pcznato, ako je poznat zakon gibanja tocke Slika 5.12.5 poloza] odreduje izabrana koordinata x.U trenutku t pomak te tocke od ravnoteZnog poiozaja je x, brzina i, i ubrzanje i. U tom trenutku ce disk tdine Q imati kutno ubrzanje £1 i trenutni centar brzina P. Greda tefine G ce imati kutno ubrzanje 1:2 i stalan centar brzina A. Disk tezine W ce imati kutno ubrzanje 8 3 i stalan centar brzina O. Sile koje su narusiJe ravnotdu sustava jesu aktivni moment poremecaja Mo=Mo(t) i sile koje se suprotstavljaju gibanju, a to su: eiasticna sila gila otpora viskoznog prigusivaca ci2 ' Dodavanjem tim sijama sile inercije svakog tijela sustava tako da se njihova ukupno djelovanje prikaZe na tocku centra brzina svakog tijela, bit ce stvorena dinamicka ravnoteza sustava. Metodom virtualnog rada brzo se dobiva trazena diferencijalna jednadzba gibanja za oznacenu koordinatu x=x(t). U promatranom trenutleu su:

'2

lzoorom moguceg pomaka giasi:

gibanja k, i Fe'

Z2 \j;rt~13Ini

virtualne rotacije tijeJa jednake:

=kx

2. g

P'2

na

R

=2cx.

Oscilacije

320

Dinamika

321 k(rn! +m2 )

X+

F X=-.

Injml

m2

lednadzba vinualnog rada za uspostavijenu dinamicku ravnote±u glasi: i izraz za brzinu jesu:

Op6e rjeSenje te nehomogene diferencijalne F1l!]

x=Acosw t+Bsinw t+ - - - ' - -

3QR,x
Rj

2g

I

2g

Rz

-kx'ox-2cx'26x+M 0

v

7"x

k(1l!j +1l!2)

v

'~=O.

l

gdje je

w = v

I k(m 1 +m2 ) ~

•

Inlln2

U pocetku djeiovarJa sile F, sistem je mirovao, pa su

Uredenjem dobivenog izraza konacno se dobije: 3Q+2G+ W _

. -----''--------''-------'x +4cx +kx 2g

=--.

Fln1

I

A = - ---"---

Znaci da je: c,=4c,

2g

k e =k

F,= -Z-,

Rjesenje' za x =x2 -

Xl

glasi:

Fm1

. 2

X = ---=--(1 - COS k(mj

Primjer 5.12.6 Dvije mase vezane oprugom krutosti k, miruju na glatkoj horizontalnoj povrsini. Ako odjednom na masu m z pocne djeiovati konstantna horizontalna sila, odredi zakon gibanja svake mase.

2

Ubrzanja masa sustava su:

Slika 5.12.6

x1 =~x= __F_(l-coswJ) =A(1- cosw/), m)

1l!) +1l!2

F - = -F- - ( l+-COSW/ . m1 \1 ) x..2 = -k- x + =A (m1 l+-cosw/.

iii a)

ili

m2

1l!2

Zbroj jednadzbi gibanja je jednak: b)

m2

A. t 2 x c =-+Ct+D 2

.

Xl -

Razlika ubrzanja masa je jednaka:

Inl +m2\

1l!2)

lntegracijom izraza za ubrzanje dobije se:

i c =At+C

!t

(

tL 1 x =A r ~-,-

=AI, t:,

1

m,

SinW/j

t+ m~ -0.-.,'2

Xl'

w"t

-------'-Sill-.

lz jednadzbe a) vidi se da je:

Rjesenje. lednadzbe gibanja i izrazi za ubrzanje masa jesu:

Uvodenjem nove VarIlable x =x2 -

=0, sto znaci da su konstame:

B=O.

k(m 1 +ln 2 )

3Q+2G+ W

Xo =io

2Mo

v

c

+C2

.

l

[:;:

. (t

2 nIl COSu)j X :::::AI--~---

2

i2

11!2

dobije se diferencijalna jednadzba koja glasi: Posta .Ie u trenutku t=O sustav mirovao, to znaci da slJ,konstante:

+C"t

322

323

Oscilacije

Kriticna brzina vozila je brzina kod koje je frekvencija poremecaja jednaka vlasitoj frekvenciji sustava, a iznosi: Zakon gibanja centra mase i svake mase konacno glasi: F

t2

xC~---7' m 1 + m2 -

~

x 1

F t2 m2 . --- - + (cosw t ~ 1) mj+m22 k(m +m )2 v 1

~

~

x C

2

m __2_ X m1+mZ '

Vidi se da je gibanje masa slozeno od gibanja centra masa i osciliranja

U

Primjer 5.12.8 mehunizum

Sustav s jednim stnpnjem je na pilastog obUka (vidi slikll 5012.8). ll=U(t) "'U'""ULUU gihanja mase i izrazi trigol1ometrijskim redom i izraz za trajni OdgOVOL

odnosu na njega.

Rjesenje. Mehanizam proizvodi gibanje u=u(t) pilastog oblika, leao sto je pokazano na siici 5.12.9. Za trcnutak kada je masa udaljena za vclicinu x, a mehanizam daje pomak u od ravnoteznog polozaja, jednadzba gibanja mase dana je izrazom:

Primjer 5.12.7 Sustav prikazan na slid 5.12.7, prikazuje model vozila na neravnom putu. Vozilo se giba konstal1tnom brzinom v i naide na neravninu opisanu sinusoillalniln zakonom. Odredi diferelldjaum gibanja rnase, te kriticml brzinu gibanja v()ziia na hanuonijskoj neravnosti y=yosinpt.

pa difereflcijainii jednadzba

•

mase glasi: Ii ~F(t).

mi+ci+(k+k)x u

Kruzna frekvencija sustava jest:

Slika 5.12.7

I k+k] wv=,.J--·

Rjesenje. Sustav prije dolaska na neravnost bio je u ravnotezi. U trenutku t od dolaska na neravnost masa je pomaknuta od ravnoteznog polozaja za velicinu x, a neravnost iznosi: •

Slika 5.12.8

mi~ ~k.x~kl (u~x) ~ci

~

m

Siika 5.12.9

211:'1'

Y ~yosmpt=yosm--t, L

Prema slici 5.12.9, pomak u, u jednom periodu moze se prikazati izrazom:

lednadzba gibanja mase za taj trenutak glasi: mi ~

~k(x +y)~c(i

+y)

Kruzna frekvencija poremecaja dobivena je iz uvjeta L=vT==v(21r/p). Vlastita kruzna frekvencija sustava i kruzna frekvencija poremecaja su:

if:

Konstante trigonometrijskog red a prema izrazirna 5.7,23 jesu: T

2r;;v

~v=~~

p=-, L

Diferencijalna Jednadzba gibanja mase

- 0

.

mX +ci+kx~ ~

.\

+cy) =

T

~lr u(,}d.~-, ~\ .~uor"_~uo a ~,dt~o T.I· T2J 2 ' :: c ,., T 2u ~ Ii a,::: ~ u(t)siniptdt::: --!-I t sinipt d:::: - ~ ~ rr ,-,-, __ ." ,,_"

( . . 2r;;v

~Y)

Ksm-,-t+c

\

L

'k2

I'

L

211:11

-~-cos--t i~

L.11:1'

cL

. + --

\2-rrv

T

TL [;

L'

J\: cos'--t~arctg--I' (1T.1' 211:vl< \ \ L

~

2 - ... . L 11-0 r " . b, = - i4\t) cos:ptdt = - e - . J' tcos!ptar ~O.

\

cL

!

Kruina

sile

je D=W =271/T, gdje je w - kutna brzina rotacije mehanizma.

324

Oscilacije

Pomak u=u(t), prikazan trigonometrijskim redom jest: / \

Uo

u,t; = 2

Uo

- -

~ 1 .. L

11: /=1

Uo

1. 2

Uo ( •

1.

1 .

--;-sm!pt=--- ,smpt+-·sm pt+-sm3pt+ ........ +-smipt+ ... ".). ! 2 11: 2 3 n

Trajni odgovor sustava na poremecaj n, dan je izrazom: kur 1 X= k~ko, -2 1L

l

325

Primjer 5.12.10 Masa m uevrscena je na gomjem kraju stapa. Stap je vezan za temeij koji horizontalno osdlira. Frekvencija siobocnih osdlacija sustava mase i stapa je f=30 Hz. Aka temelj osdiira s ampiitudom u o =1 mm, tada ce masa na vrhu Stapa osdiirati A =2 mm, i to sa u fazl U odnDsll na za


l~' 1 --2:;: ~(f-Ld)isin(ipt-
Dinamika

Odredi frekvenciju osciliranja temelja. Pri""",,,,,,,,, sustava i tezinu stapa moze se zanemariti.

J

Slika 5.12.11 gdje su:

Rjesenje. Dinamicki koeficijent uvecarJa amplitude je negativan i iznosi 1'-0=-2. Za zane mare no prigusenje on je jednak: (za

i=1,2,3, .... oo)

Dominantan cian odgovora je onaj za koji je ip = u\.

gdje su: Oni su:

Primjer 5.12.9 Tezina G=lON, lezi na g!atkoj ''''rl7nn'~ povrsini i vezana je za oprngu krutosti k=lON/cm. Opruga s druge strane je vezana za vertikalni zid koji se giba po zakonlJ u=2sin(10t) N.

k =~1-= ---'koG2...= 1000'9.81 . =31321rad!s r-a~ m 100 ' ,

vlastita frekvenca kruzna sustava masa - stap. a p - kruzna frekvencija temelja.

Slika 5.12.10

p

=

10 rad/s.

Rjesenje. lz podataka primjera mogu se odrediti: Dinamicki faktor i maksimalni pomak tereta od ravnoteznog polozaja jesu: 1 11- - - - - - = 1,469 xmax = 'a u ,Umax = =2,938cm. . d \2

- krutost sustava

)- L! W

v

,

I

Q

Primjer 5.12.11 Elektromotor lezi na nosacl.l kao sto je I -_~ .•.}-.EI pok~zanG na slid 5.7.12. Ukupna refina elektromotora je A L---:Q=2k.l'.J, a tdina rotonl G,=600N. TeZina grede i ~ I i fool!-- 2 .. I., 2 priguSenje neka se zanemare. Slika 5.12.12 Ako je kruzna frek\'encija slobodnih oscilacija sustava w,=3'll'rad/s, odredi koji ce maksimalni progib imati greda pri radu moton. sa 6000/min. Ekscentricitet rotora je r= 1 mm.

ii'(

Rjesenje. Vlastita kruzna frekvencija sustava i kruzna frekvencija poremecaja su:

v

Wv

j.

Odredi maksimalnu amplitudu gibanja tereta.

w

1

Kl"uina

D= n~ ::-20n rad/s, . 30

=

8 /;t.-7·

326

Oscilacije amplituda sile poremecaja

~D~i~n~am~j~il~(a~___________________________________________________________

327

5.12.2. PRIlVIJERI LA SAMOSTALNO RJESAVANJE

H=mro,rp2= 600 'o,oo15(20n)2=362,187N, 9,81 - dinamicki koeficijent

1

9 = 1,8,

------- = -

1_(20n)2 \ 30n

5.12.1 Teret tdine G ovjesen je na elasticnu konslrukciju krutosti k i vrsi u viskoznom mediju prigusene osciiacije s periodom T' =O.51r s. Zna se da bi sustav oscilirao slobodno bez prigusenja s periodom od T=2,57r S. Odredi koeficijent prigusenja viskoznog medija.

5 5.12.2

- staticki progib sustava

.(' - Guk _ 20.000 -001< J -- -,1m, 51

k

18,11'105

Snimak vertikalnih oscilacija sustava dan je na slici

5.12.13. Odredi period, vlastitu frekvenciju

I

koeficijent priguSenja

sustava.

\;,;,;" ,'",""'.:~' l . ' "

Dinamicki progib sustava F

!!. = 1 8

FH

Jdin = ~dinJst = ~din'

k

Stika 5.12.13

362,187 =00036m " 18,11'105

Ukupni progib sustava je prema tome jednak:

luk =1st +Idin =0,011 +0,0036 =0,0146m = 14,6 mm. :S.12.3 Za sustav prikazan na slici 5.12.14 postavi diferencijalnu jednadzbu gibanja za koordinaru x. Slika 5.12.14

Primjer 5.12.13 Zamrzivac ima teZinu bOON, a osionjen je na cetiri elasticne podloge istili irrutosti k. Motor rasWadnog llredaja radi sa 600 ok,retaja u mhmti. Koju irrutost moraju imati opruge da bi se manje od cetrnaestine poremecajne sHe prenosilo preko eiasticne podloge. 5.12.4 Za sustav prikazan na siici 5.12.15 postavi diferencijalnu jednadzbu gibanja za oznacenu koordinaru x.

Rjesenje. Frekvencija sile poremecaja jest: nn

600

p=- =n =20n rad/s. 30 30

",.h

Slika 5.12.15

iz dinamickog koeficijenta moze se odrediti: ili ~

~Q

,(rl)~

Polrebna ukupna krutost opruga jest:

na sEc: 5.12.16 jednadzbu gibanja za oznacenu koordinaru x.

?

')

2

", - . 2 :, :G -'6 4 h-mw : :p: . ._-600 - - - 20-" ----1 . 09~1\7' I v/mlO g 15 Q,81 15

KrmoSI svake opruge mora biti jednaka iii manja od vrijednosti 4024 N!cm.

10 I . S ~ >k .~ --=-:-: -~ s:

""---- d

5 . 12.5 Za susrav

;

A

\ 7?;--

--t F '>

-E"

;

~~

~--i~l

~7,

Slika 5.12.16

328~

________________________________________________________~O~sc~i~ia~c~jJ~e

rc(///./c'!

I

1'/,/.;:>
~"

I

I R i

I

.~

+~;k, ' I )

i

.~ .,... r,,·l:.~~ I~

'I'·

p

,~

.~

F

2d

_~

.

~

d

"':

'J'J7:fJ7.

,"

5.12.6 Za sustav prikazan na slici 5.12.17 postavi gibanja za oznaeenu koordinatu x.

di[,,,,,cij""" i""'''""

Sk

Dinamika

329

5.12.11 Uredaj za mjerenje amplitude vibracija, sastoji se od.okvira na koji je ucvrscena konzolna kazaijka s masom na kraiu. Vlastita frekvencija konzolne kazaljke je f=5 Hz. Kada je uredaj kruto vezan za temelj na kome je radio stroj sa 600 ohetaja u minuti, kazaIjka je osciliraia s maksimalnom amplitudom od 1,6 mm. Odredi maksimalnu amplitudu vertikalnih oscilacija temeIja.

Slika 5.12.21

y/7//////.

Slika 5.12.17

Biok tezine Q= 1200 N leii na cetiri jednake vertikalne opruge istih krutosti 5.12.12 k=40 N/cm. Tlo ispod bloka vibrira sa 200 oscilacija u minuti uz maksimalnu amplitudu ad Smm. Odredi amplitudu osciiacija bloka.

5.12.7 Za sustav prikazan na slici 5.12.18 postavi diferencijalnu jednadzbu gibanja za koordinatu

x.

Slika 5.12.22

5.12.8 Harmonijska poremecajna vertikalna sila s maksimalnom amplitudom od djeluje na teret tdine Q=60 N koji visi na opruzi krutosti k=50 N/cm. Koji ce maksimaini pomak imati teret Q ako je frekvencija poremecajne sile a) Pl =2Hz, b) P2=4.8 Hz c) P3=20 Hz.

5.12.13 lednocilindricni motor tdine 1500 N, lezi na elasticnoj podlozi. Kod rada motora sa 1500 okretaja u minuti nastaje neizbalansirana sila od 450 N. Odredi potrebnu velicinu elasticne podlage, tako da sila ce se prenositi od dinamickog djelovanja elasticnom podlogom na temelj, ne bude veca od 50 N.

10 N, 5.12.14 Teiina Q visi na opruzi krutosti k i ima ugradeni viskozni prigusivac s koeficijentom prigusenja c. Odredi jednadzbu gibanja mase ako masa dobije pocetni pomak Xo pocemu brzinu vO'

5.12.9 Motor tdine G=1230 N, pricvrscen je na haju konzolne grede duzine l=lm, koja ima hutost na savijanje EI=163S'· HI6 Ncm 2 • Odredi kritican broj okretaja motora pri kojem dolazi do rezonancije. Neka se sVI otpori i tezina grede zanemare.

~

A\G

EI

~

Slika 5.12.23

5.12.15 Masa u zadatku 5.12.14, u trenutku t, ima od ravnoteinog polozaja jednak Xl> brzinu "I' U tom trenutku na nju djelovali vertikalna siJa

5.12.10 Elektromotor ukupne tdine G=981 N stoji u sredini raspona grede i raoi sa 240 okretaja u minml. grede je 1=3 ffi. Odredi potrebnu krutOSI grede (Eli, lako aa bi YlastiUi frekvencija sustava bila za 30% veca od frekvenciie

Odredi

Doremeca~ine sile. Tezina ,~rede neK8 se zanernari.

Slik? 5.12.24 Siika 5.12.20

i brzinu Hlase

trenutku

~2'

330

Oscilacije

5.12.16 Uz pomoc dobivenih izraza u zadatku 5.12.15, izradi za eiektronicko racunalo program za izracunavanje odgovora takvog sustava na pobudu na proizvoljnu silu ko'a se moze prikazati linearno promjenljivom u malim interv'alima vremena bot. J

5.12.17 lzradenim programom za elektronicko racunalo u zad atku 5 . 12 . 16,za sustav prikazan na slici 5.12.23, izracunaj odgovor na vertikalnu silu prisile. Poznato je da je: xo=O, vo=O, m=25,33Ncm- 1s2 i k=lO N/cm, a sila prisile se mijenja, kao sto je pokazano na slici 5.12.25. 3 Odgovor traiiti za koeficiente prigusenja Slika 5.12.25

~ = 0,00; 0,157; 0,314; 0,471; 0,628.

DinalT.ika

331

R.JESENJA ZADATAKA ZA SAMOSTALNO RJESAVAN.JE. 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.2.9

G=mg=196,2N; m=Gig=2,039kg. v,=w=50m!s; s=(so+5t+2.25r2) m. S=(l-a/g)=1077,7N. f=v 2 /(2gt) =0,255. a) T=G(sina-a/g)=2384N; b)tga=O,l, a=5°43'. F=L+ T=53,225 KN. a=g(sina-fcosa) = 1,5914 m1s 2 ; V'~l0 =at= 15 ,914t m/s; Sl~JO =at2 /2=79,572 m/5 2 f=vzl(2sg)=O,6796; N, =Gil(b-fh) =39,613 KN; N2 =GIl(a+fh) =60.387 KN. vprev!'.

=~ bRg mfs=97,65 Km/h; 2k =27,125 ,

v ldiz =/1iR=22,147 m.ls=79,73 Kmlh.

(,)v

2.2.10 S =G(sinc: +1

2.2.l1 2.5.1

g

(')7 cos2 c:) =6,509 N.

Gibanje pocne u trenutku 1:o=2fG, kadaje F=T. Vrijeme kada 6e biLi x=20m je I ''1

·~I1.

t=to+tlo gdjeje tl =ll_;X) 3 =9,02s. Brzina u tom trenutku je v=6,652m/s. 2.5.2 2.5.3 2.5.4

s'~2=(t4+t)=18m; V'~2=33m!s.

x=3sin2tm; xmax =3 m; t=T/4=O,775 s. x=O,667 Sh3tm. .~-

I

p

2.5.5

v=,12'5ln-::l- mls; ~ , - -5-x -

2.5.6

v= - ~ -.; +3,2 mls.

2.5.7 2.5.8 2.5.9

n=2. x=f4t+ 2(e"-1)J m.

V -2

x-

=2 12ln1 = 2,022 mls. ~ 3

18

x=)100-0,OSt2 m;

tx=G

~35,65s.

rJ."l..+..e~ _, 1~ -,. ~,.,~l~ 2 . J'" a g

2.7.2

-U; Q +1:; GkosiJC Q~G

<,!.'7~i,

a

I"

Q+G

_a ,'_ -'-"~-=----'--"---'---~ (Q + Gsino:) -fGC - cosa) = 0,6707 ; a = 6,5& m/S2 . g

Q+2G

1

!~9 0,:)"" ~,

io

!!. = Q(sinP - fcosf:i) - G(sho: - jcos(X) =0,3475; v = 13,619 m/s. g

"L.I.,) -"

+ Ghw.ct

___

~'-..J~

Dinamika

332 2.9.1

W=W AB+ WBC+W CA = 1-1-1/3=-1/3 Nm. 'z

2.9.2

2

J

(' " WI ,2 = j!' F'df= (36t3 -lOt- 36t + 16t3 )dt =73,666 Nm.

"

f

= P·df = 303 Nm.

W1,2

v=25 m/s; N=Fv=150kN/s=150kW. W=GH+TL=9,933106 Nm; N=W/t=31,1 kW; Ner=Nh)=38,89kW. W=310 8 Nm; N=6,944kW.

2.18.1

S=IlQ;

=

10 kg.

+£m (t

+

VI =Vo

2.18.3

SI,2=[(4i-3j)t] =m(v2 -vl ); vz =(19i-Si)m/s; v 2 =20,616m/s

2.18.4

Guk 1 ' 2 ' Guk V , S=---- =61666m' t = - - - =10,57 s. Gpog 2gf ' , Gpog gf

1

-to) = (l8,OSi 19,62/) mls; 1'=26,68 m/s. 'z

"

2.12.3

WAB =2GR+

2.12.4

W = - =22.5 Nm' W, = 1 2 . ,"

2

F(t2- t j)

2.18.2

V=-(x),z-l)Nm.

k(1)i-o~)

m=

V2 -VI

2.12.1 2.12.2

2.15.1 2.15.2 2.15.3

1

'z

2.9.3

333

Dinamika

=90Nm.

kx~

k( y~ + x~) ,'-L

2

= 17,5 Nm.

•

2.18.5

F =2,0194 N;

v2o=25mls.

,------

,_ 'B-\J

kg(2_1_ G,xA x B)-6,862m/s.

2.14.1

EA=EB;

2.14.2

12~ kg2 Z EA =Es; YB=~ VA +LgH-G(XB-XA) =1,156mjs.

2.14.3

k 2 2 1 , EA=EB; YB=~ 5H+G(XA-x~)jg=17,4:,!88Nm.

2.14-.4

EA =ES; cosw

2.14.5

2.14.6

I[

.

N 2 =G(1+

=

l V" 1 - -sina - - - =07245'

R

2~1)=280N; y=

llE=.LW;

I

2gR'

fI\

y

2

V2=V2+

2.14.8

mv

2

__ 0

2

2.18.9

kc/ 2

V= -"-

m

2.20.3

'Fe

xc=O;

~[Fr(V2-1)-Gr]=8,4704m/s. LI

(Fdt

=3,088 s;

'

I')

1

tl

2.18.10 v=1O,162m/s; x=63,954m; W=5413,13Nm. 2.18.11 vmax =19,62 m/s;W= 1962 Nm; S=100Ns; x=196,2m.

I

v=\1

R=fGcosO!- + Gsino: =37,061 N;

=

13,402 mls.

R-je sila otpora gibanju, a t1-je trenutak kada pocinje gibanje.

3.3.1 2.14.9

= ~ =4 m/s; x =5,097 m; t= 1,4928 s. m mv mv 2 t=- =0.0204s; l = - =8,155 m. F' 2F

2.20.2

+_0 +GL(sina -fcosa)+C=~ +C

2

Vo

2.20.1

4kM

ki}

=43°34'1711 •

!

).K =411nl/S' G"

31

o

2.18.7 2.18.8

I

A =llL =J L2 + HZ -J (L -x)z +Hz =0,577 dm.

2.14.7

t=4s; x=48 m.

r

J;=2h2 =80m.

I(2Fx-U

\J

,

2.18.6

3.5. J 3.5.2

+0,56I) m;

lie =2Im!s.

m.

;)'c=(0,5+L.667 =2,0881 mls.

VA =./2il =6,2642m/s;

!7

if.

s

v; A

=-InA I

=

196,2 N.

334 3.5.3 3.5.4

Dinamika w=

ffi=

L!.9 ~" A=A =6m,g ( 1+....:......)=1650.cN.

g . - 043 ysma. ,-.- rad'IS; -'--sma. =), 9a

v

!

27

3.8.11

/

f=[(0,25 +0,lt2 ) [+O,56J)] m.

3L

3.8.1

Xl =

3.8.2

Xl

4";

X2

L

"4 .

=-

G2

= ---vrcosa;

GI

X

cosa.

=---]1

2

+G2

gl

Gj+G z

r

3.8.3 3.8.4

335

Dinamika

v,

m.

v =0,54545 m/s;

= - - '-

,

ml

S= -m]

+/n2

m+m l

3.8.12

VI =--v=627 mfs;

3.9.1

X ma,=O,01716

m

3.9.2

m. Lgo.:=O,9; 0.:=41° 59' 14"

3.9.3

h=25cm.

3.9.4

WI=J 2g(1-cosa:=3.1321md/s; ~ h .

w2 =O;

w =G.' -eG2

w2 =

-v) =m2 v) =55,6019 Ns.

1

3.8.5

~

v

3.8.6

3.8.7

G~

I

x~= I

Njcm'

k ="flx

X

'0

Vropa

--=---1 =

mj+m2

VI =V

a)

:-v2 ,;

11- m; +2m

~

G j +G2 ~ h

G,(l+e) 12

- dm F=-

3.10.2

F= dm [(iJ -(V'-iZ)] = dt

r

3.11.1'

dt

o:=~=5

dv=O'

dt'

=A'y(V-U)2 u (1-cOSO:); g

dm=_c:v' dt 0'

L

F

F stol=a v; + o:gy = (20 +98,1 t) N.

m) +/n2)2

3.11.2 Vo=v ~ 1 +~v1" =12053m/s.

uk

mul:

3.11.3

3.8.9

=G,; G=

+

3.11.4 c;

=

o

3.11.5 Vj ,,500 +242 (cos(,)! -Sll'0t) J-l;

3.8.10

xG =

+Go -

Gj+Gz+G

II = 0.3 Ill. .

h

V2 = 500 +242( cosw, +slli...::i]l!.

Xl;"

3.lb.1