SEJARAH MATEMATIKA YUNANI A. Sejarah Matematika Yunani
Matematika Yunani merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Yunani antara tahun 600 SM sampai 300 M. Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota sepanjang Mediterania bagian timur, dari Italia hingga ke Afrika Utara, tetapi mereka dibersatukan oleh budaya dan bahasa yang sama. Semua naskah matematika pra-Yunani yang masih terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan yang berulang-ulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis. Sebaliknya, matematikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif. Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan kekakuan matematika untuk membuktikannya. Seperti halnya di Mesir dan Mesopotamia, bangsa Yunani pun mengembangkan system numerasinya sendiri. System numerasi yang digunakan bangsa Yunani ada dua macam, yaitu attic dan ionia. System numerasi attic dilambangkan sederhana, dimana angka satu sampai empat dilambangka dengan lambang tongkat (misalnya dua dengan II). II). Untuk system numerasi ionia, yang digunakan setelah system numerasi attic, dipakai di Yunani pada awal abad ke 8 SM. System ini menggunakan
alphabet Yunani sebagai lambang bilangan. Seperti 1 dengan α (alpha), dua dengan β (beta), tiga dengan γ (gamma), empat dengan δ (delta) dan lima dengan ε (epsilon). Matematika Yunani baru mulai berkembang pada abad keenam sebelum masehi yang dipelopori oleh Thales dan Phytagoras.
1. THALES (± 624 – 548 SM) Thales dilahirkan di Militus. Dimasa mudanya Thales aalah seorang pedagang yang membawanya pergi jauh dari negerinya. Dalam kunjungannya ke negeri-negeri yang lain, Thales berkesempatan menambah pengetahuannya dalam bidang matematika, alam dan astronomi. Thales mengemukakan lima teorema tentang geometri, yang mungkin diperolehnya dari hasil perjalanannya. Teorema tersebut adalah:
Suatu lingkaran dibagi dua sama besar oleh diameternya.
Sudut-sudut alas suatu segitiga sama kaki adalah sama.
Pasangan sudut siku-siku yang dibuat oleh dua garis yang berpotongan adalah sama. Dua segitiga adalah sama dan sebangun apabila dua sudut dan satu sisinya sama.
Suatu sudut yang dilukis dalam setengah lingkaran adalah siku-siku. Dalam bidang astronomi, Thales dikagumi karena Thales sudah dapat memprediksi gerakan ellips matahari dalam peredarannya dalam satu tahun.
2. PHYTAGORAS Sama halnya dengan Thales, Phytagoras juga pernah belajar di Mesir, Babylonia, dan India. Sekembalinya dia dari perjalanan ke luar negeri, Phytagoras mendirikan sebuah sekolah di Crotona yang memberikan pelajaran falsafah, matematika dan ilmu pengetahuan alam. Motto dari Phytagoras yang terkenal adalah “semua adalah bilangan” atau “bilangan menguasai seluruh alam”. Dalam hal ini, bilangan dianggap sebagai sejumlah titik dalam konfigurasi geometri, yang menggambarkan mata rantai antara geometir dan aritmatika. hasil temuan Phytagoras adalah bilangan bersahabat dan bilangan sempurna. Suatu bilangan dikatakan bilangan bersahabat apabila bilangan yang pertama sama dengan jumlah pembagi murni bilangan kedua, dan bilangan kedua sama dengan pembagi murni bilangan pertama. Sedangkan untuk bilangan sempurna apabila jumlah pembagi murni suatu bilangan sama dengan bilangan itu sendiri. Jika bangsa Babilonia menulis pada papan tanah liat menggunakan cuneiform. Bangsa Yunani memulai dengan menggunakan gulungan papyrus untuk menulis. Papyrus berasal dari tanaman sejenis rumput yang tumbuh didaerah delta sungai Nil di Mesir yang digunakan untuk menullis sejak 3000SM. Tetapi sekitar tahun 450SM papyrus sudah tidak digunakan lagi oleh bangsa Yunani. Pada bangsa Yunani tidak ada standar nasional Yunani pada awal millennium SM. Karena banyak negara kepulauan yang membanggakan kemerdekan diri mereka sendiri. Hal ini menimbulkan perbedaan kecil pada sistem angka yang berbeda, karena fungsi utama dari sistem angka pada zaman dahulu digunakan untuk transaksi bisnis. Sehingga masyarakat Yunani dulu mempunyai sistem berbeda untuk angka-angka penting dan urutan angka-angka. B. Sistem bilangan Yunani
Tidak ada standar tunggal nasional Yunani di SM milenium pertama. karena berbagai pulau negara membanggakan diri kemerdekaan mereka. Ini berarti bahwa mereka masing-masing memiliki mata uang sendiri, berat dan ukuran dll Ini pada gilirannya menyebabkan perbedaan kecil dalam sistem bilangan antara negara-negara yang berbeda karena fungsi utama dari sistem nomor di zaman kuno adalah untuk menangani transaksi bisnis. Sistem nomor pertama Yunani kita kaji adalah sistem acrophonic mereka yang digunakan dalam SM milenium pertama. 'Acrophonic' berarti bahwa
simbol untuk angka berasal dari huruf pertama dari nama nomor, sehingga simbol telah datang dari abreviation dari kata yang digunakan untuk nomor. Berikut adalah simbol untuk, nomor 5 10, 100, 1000, 10000.
Acrophonic 5, 10, 100, 1000, 10000.
Kami telah menghilangkan simbol untuk 'satu', sederhana '|', yang merupakan notasi yang jelas bukan berasal dari huruf awal dari sebuah nomor. Untuk 5, 10, 100, 1000, 10000 hanya akan ada satu teka-teki bagi pembaca dan itu adalah simbol untuk 5 yang seharusnya oleh P apakah itu huruf pertama dari Pente. Namun ini hanyalah sebuah konsekuensi dari perubahan alfabet Yunani setelah angka yang berasal dari surat-surat ini telah diperbaiki. Pada saat itu simbol yang mungkin tidak dianggap sebagai berasal dari surat-surat sehingga tidak ada gerakan untuk mengubah mereka dengan perubahan simbol untuk huruf. Bentuk asli π adalah G dan sebagainya Pente awalnya Gente. Sekarang sistem ini didasarkan pada prinsip aditif dalam cara yang mirip dengan angka Romawi. Ini berarti bahwa hanya 8 V | | |, simbol untuk lima diikuti oleh tiga simbol untuk satu. Berikut ini adalah 1-10 dalam jumlah acrophonic Yunani.
1-10 dalam jumlah acrophonic Yunani.
Jika basis 10 digunakan dengan sistem aditif tanpa simbol perantara maka banyak karakter yang diperlukan untuk mengekspresikan nomor-nomor tertentu. Nomor 9999 akan membutuhkan 36 simbol dalam sistem tersebut dan ini sangat rumit. Kita sudah melihat bahwa angka acrophonic Yunani memiliki simbol khusus untuk 5. Hal ini tidak mengherankan untuk itu menebang karakter yang dibutuhkan dan juga mungkin timbul dari mengandalkan jari. Kami memiliki 10 jari tapi ada 5 di tangan masingmasing. Apa yang sedikit lebih mengejutkan adalah bahwa sistem memiliki simbol perantara untuk 50, 500, 5000, dan 50000 tapi mereka tidak karakter baru, melainkan mereka adalah simbol komposit yang terbuat dari
5 dan simbol untuk 10,, 100 1000, 10000 masing-masing. Berikut adalah bagaimana komposit terbentuk.
Menggabungkan angka acrophonic.
Perhatikan bahwa karena tidak ada aspek posisi dari sistem, tidak ada kebutuhan untuk nol sebagai tempat dudukan kosong. The H simbol mewakili 100 sebagai tidak ada masalah yang dibuat dalam representasi dengan jumlah yang tidak memiliki puluhan atau unit. Berbagai bentuk 50 di negara Yunani yang berbeda.
Unit-unit yang berbeda dari mata uang yang dilambangkan dengan memodifikasi notasi untuk unit di nomor. 5678 drachma akan ditulis dengan cara ini:
Bentuk unit akan menunjukkan drachma. 3807 bakat akan ditulis sebagai:
Unit sekarang akan muncul sebagai T (T untuk bakat). Sejumlah uang yang melibatkan baik drachma dan obols akan ditulis sebagai: 3807 drachma dan 3 obols:
Sistem acrophonic digunakan untuk lebih dari uang. Sebuah sistem yang sangat serupa juga digunakan dalam berurusan dengan bobot dan ukuran yang tidak mengejutkan karena nilai uang tentu akan berevolusi dari sistem bobot. Hal ini diperkuat oleh fakta bahwa dirham itu juga nama dari unit berat. Sistem angka kedua Yunani kuno, angka abjad, atau seperti yang kadangkadang disebut, 'belajar' sistem. Seperti nama 'abjad' menunjukkan angka didasarkan pada memberikan nilai ke huruf abjad. Perlu dicatat bahwa orang-orang Yunani adalah salah satu yang pertama untuk mengadopsi
sistem penulisan berdasarkan alfabet. Mereka bukan penemu dari bentuk tulisan, untuk Fenisia memiliki sistem seperti di tempat pertama. Alfabet Yunani yang digunakan untuk menulis kata-kata itu diambil alih dari sistem Fenisia dan cukup dekat dengan itu. Ada 24 huruf dalam alfabet Yunani klasik dan ini digunakan bersama-sama dengan 3 huruf yang lebih tua yang telah jatuh dari penggunaan. Ini 27 huruf
Simbol untuk 1, 2, ... 9.
abjad 1-9.
Perhatikan bahwa 6 diwakili oleh simbol untuk digamma surat usang. Sembilan berikutnya huruf diambil sebagai simbol untuk 10, 20, ... , 90.
abjad 10-90.
Perhatikan bahwa 90 diwakili oleh simbol untuk Koppa surat usang. Kesembilan sisa surat diambil sebagai simbol untuk 100,, 200 ... , 900. abjad 100-900.
Perhatikan bahwa 900 diwakili oleh simbol untuk huruf san usang. Kadang-kadang ketika surat-surat ini ditulis untuk mewakili angka, bar diletakkan di atas simbol untuk membedakannya dari surat yang sesuai. Sekarang jumlahnya dibentuk oleh prinsip aditif. Misalnya 11, 12, ... , 19 ditulis: abjad 11-19.
Angka yang lebih besar dibangun dalam jenis yang sama dari jalan. Sebagai contoh di sini adalah 269. alfabet 269.
Sekarang ini sistem nomor kompak tetapi tanpa modifikasi yang memiliki kelemahan utama tidak memungkinkan angka lebih besar dari 999 untuk diungkapkan. Simbol komposit diciptakan untuk mengatasi masalah ini. Angka-angka antara 1000 dan 9000 dibentuk dengan menambahkan sedikitpun subscript atau superscript ke simbol untuk 1 sampai 9. Pertama berupa 1000, ..., 9000.
Bagaimana orang-orang Yunani mewakili angka lebih besar dari 9999? Yah mereka berdasarkan jumlah mereka lebih besar dari ini pada segudang yang 10000. The M simbol dengan angka kecil untuk angka hingga 9999 ditulis diatas itu berarti bahwa jumlah dalam angka kecil dikalikan dengan 10000. Oleh karena itu menulis β atas M diwakili 20000: Nomor 20000.
Demikian pula
tertulis di atas M mewakili 1230000:
Nomor 1230000.
Tentu saja menulis sejumlah besar atas M itu agak sulit begitu sering dalam kasus seperti nomor angka kecil ditulis di depan M daripada di atasnya. Contoh dari Aristarkhus:
Aristarchus menulis nomor 71755875 sebagai:
Untuk sebagian besar tujuan ini sistem nomor bisa mewakili semua angka yang mungkin timbul di hari normal kehidupan sehari. Pada nomor Bahkan sebesar 71755875 akan mungkin muncul sangat sering. Ide yang Apollonius digunakan untuk memperluas sistem untuk angka yang lebih besar adalah untuk bekerja dengan kekuatan segudang. Sebuah M dengan α di atas itu mewakili 10000, M dengan β atasnya diwakili M 2, yaitu 100000000, dll nomor yang akan dikalikan dengan 10000, 10000000, dll ditulis setelah simbol M dan ditulis antara bagian-bagian dari nomor, kata yang paling diartikan sebagai 'plus'. Sebagai contoh di sini adalah cara yang Apollonius akan menulis 587.571.750.269. Apollonius keterwakilan dari 587.571.750.269.
Archimedes merancang sebuah sistem serupa tapi daripada menggunakan 10000 = 10 4 sebagai nomor dasar yang dinaikkan menjadi berbagai kekuatan yang digunakan 100000000 = 10 8 dinaikkan menjadi kekuatan. Oktet pertama untuk Archimedes terdiri dari angka sampai dengan 10 8 sedangkan oktet kedua adalah nomor dari 10 8 hingga 10 16. Menggunakan sistem Archimedes menghitung bahwa jumlah butiran pasir yang dapat dipasang ke alam semesta adalah dari urutan oktet kedelapan, yaitu dari urutan 10 64. C. Cara Yunani Menggandakan kubus
Asal-usul masalah penggandaan kubus mungkin agak kabur seperti yang baru saja kita lihat, tetapi tidak ada keraguan bahwa orang-orang Yunani telah dikenal untuk waktu yang lama bagaimana memecahkan masalah penggandaan alun-alun. Sebab, mengambil ABCD persegi dan menarik dalam DB diagonal. Buatlah sebuah BDEF persegi di BD. Maka mudah untuk melihat bahwa BDEF adalah ganda ABCD. Hal ini sedikit lebih sulit untuk menggandakan persegi panjang, tapi ini juga dikenal dan disajikan oleh Euclid dalam Buku II dari Elemen.
Langkah besar pertama dalam masalah penggandaan kubus diambil oleh Hippocrates, mungkin tidak lama setelah masalah pertama kali muncul. Namun, tampaknya mungkin bahwa masalah ini sudah dipertimbangkan dalam bentuk yang lebih umum, yaitu: (I) Untuk menemukan sebuah kubus yang rasio kubus yang diberikan sama dengan rasio dari dua baris yang diberikan. Sekarang Hippocrates mengurangi masalah dengan berikut ini: (Ii) Mengingat dua baris, menemukan dua proportionals berarti antara mereka. yaitu diberi garis a, b menemukan x, y sedemikian rupa sehingga: x = x: y = y: b. Sekarang mudah dengan pemahaman modern kita rasio untuk melihat bahwa (i) dan (ii) ekuivalen. 3: 3 3 Untuk x = (a: x) = (a: x) (x: y) (y: b) = a: b. Jadi jika kita diberi sebuah kubus dengan sisi dan ingin membangun sebuah kubus b: kali volume, kita perlu membangun kubus sisi x. Sekarang sering di artikel tentang penggandaan kubus argumen dari paragraf terakhir untuk membuktikan hasil dari Hippocrates bahwa (i) dan (ii) adalah setara diberikan; lihat misalnya [3]. Tapi seperti ditunjukkan dalam [8] ini jenis argumen tidak tersedia untuk Hippocrates sehingga kita harus mempertimbangkan tidak hanya bagaimana ia membuktikan kesetaraan tetapi juga bagaimana Hippocrates memikirkan hasil di tempat pertama.Tidak ada cara untuk mengetahui dengan pasti jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini. Namun ada petunjuk yang berasal dari masalah kasus dua dimensi. Euclid dalam Elemen, menunjukkan bahwa dua masalah berikut ini adalah ekuivalen: (Iii) Untuk menemukan sebuah persegi yang rasio persegi yang diberikan sama dengan rasio dari dua baris yang diberikan. (Iv) Mengingat dua baris, menemukan satu maksud proporsional di antara mereka, yaitu garis diberikan, b menemukan x sedemikian rupa sehingga: x = x: b. Sekali lagi argumen yang modern memberikan 2: x 2 = (a: x) 2 = (a: x) (x: b) = a: b menunjukkan bahwa diberi persegi sisi itu, jika kita membangun sebuah persegi sisi x , ia memiliki wilayah yang sama dengan b: a kali dari kuadrat sisi. Euclid, dalam Kitab VI Elements, tidak hanya menunjukkan kesetaraan (iii) dan (iv) tetapi ia menunjukkan bagaimana (iv) dapat digunakan untuk memecahkan (iii). Heath juga menunjukkan di [2] bahwa Hippocrates mungkin telah datang ke ide dari teori nomor dia mengutip VIII Elemen Euclid 's Book: -
Antara dua nomor kubus ada dua angka proporsional berarti, dan kubus harus kubus yang rangkap tiga rasio yang sisi mana harus samping.
Namun, analisis tekstual terampil 'Archimedes Pada bola dan silinder memimpin penulis [8] untuk menyimpulkan bahwa rasio senyawa, sedangkan dikenal Archimedes, milik matematika modern lebih dari itu tersedia untuk Hippocrates. Apapun alasan yang membawa Hippocrates untuk menunjukkan bahwa masalah penggandaan kubus dikurangi menjadi (ii), itu sangat luar biasa bahwa semua matematikawan kemudian menyerang masalah (ii) daripada formulasi aslinya. Adapun solusi dari Archytas, yang dilaporkan oleh Eudemus yaitu: Biarkan dua baris yang diberikan menjadi OA [= a] dan b, diperlukan untuk membangun dua proportionals berarti antara a dan b. Gambarlah OBA lingkaran memiliki diameter OA sebagai mana OA adalah lebih besar [OA = ab], dan menuliskan OB, b panjang dan memproduksinya untuk bertemu di C bersinggungan dengan lingkaran di A. ... bayangkan setengah-silinder yang naik tegak lurus pada OBA setengah lingkaran, dan bahwa pada OA dinaikkan tegak lurus berdiri setengah lingkaran di [dasar] dari setengah silinder. Ketika setengah lingkaran ini dipindahkan dari A ke B, O ekstremitas dari diameter yang tersisa tetap, maka akan memotong permukaan silinder dalam membuat gerakan dan akan melacak di atasnya kurva tebal tertentu. Kemudian, jika OA masih tetap, dan jika segitiga OCA pivot tentang OA dengan gerakan yang berlawanan dari setengah lingkaran, maka akan menghasilkan permukaan kerucut dengan cara OC jalur yang, dalam perjalanan dari gerakannya, akan bertemu kurva ditarik pada silinder pada titik tertentu [P]. ...
Untuk melihat, menggunakan matematika modern, mengapa ini bekerja kami mencatat bahwa permukaan silinder memiliki persamaan (1) x 2 + y 2 = ax, permukaan toroida memiliki persamaan (2) x 2 + y 2 + z 2 = a √ (x 2 + y 2) dan permukaan kerucut memiliki persamaan (3) x 2 + y 2 + z 2 = 2 x 2 / b 2. Jika (p, q, r) adalah titik di mana ketiga permukaan berpotongan kemudian 2 2 2) 2 2). OP = √ (p + q + r sedangkan ON = √ (p + q Sekarang dari (1) dan (3) p 2 + q 2 + r 2 = (p 2 + q 2) 2 / b 2.
Demikian 2
2
2)
2
2
2)
2
2)
2
2)
a / √ (p + q + r = √ (p + q + r / √ (p + q = √ (p + q / b
seperti yang diperlukan. Melalui tulisan-tulisan Eutocius, kita tahu bahwa Eudoxus juga memberikan solusi untuk masalah penggandaan kubus. Solusi nya hilang, namun, karena versi yang telah Eutocius di depannya agak sepele tidak benar dan karena itu ia tidak mereproduksi itu. Tidak ada yang percaya bahwa Eudoxus memiliki kesalahan dasar dalam larutan (ia terlalu baik seorang matematikawan untuk itu) sehingga kesalahan pasti kesalahan diperkenalkan ketika solusinya disalin oleh seseorang yang tidak memahaminya dengan benar. Paul Tannery menyarankan bahwa solusi Eudoxus adalah versi dua dimensi yang diberikan oleh Archytas yang telah kami jelaskan, pada dasarnya solusi yang diperoleh dengan memproyeksikan konstruksi Archytas itu ke pesawat. Namun, Heath [2] menunjukkan Eudoxus itu: ... terlalu asli matematika untuk berpuas diri dengan hanya adaptasi dari metode Archytas tentang solusi.
Saya [EFR] setuju dengan penilaian Heath, sehingga tampaknya ada sedikit kemungkinan sekarang bahwa kita akan pernah tahu bagaimana Eudoxus memecahkan penggandaan kubus. Menaechmus dikatakan telah membuat penemuan bagian berbentuk kerucut sementara ia berusaha untuk memecahkan masalah penggandaan kubus. Solusi Menaechmus untuk menemukan dua berarti proportionals digambarkan oleh Eutocius dalam komentarnya untuk 'Archimedes Pada bola dan silinder. Menaechmus memberikan dua solusi. Yang pertama berasal dari hiperbola persegi panjang dan parabola yang merupakan dua persamaan pertama dalam daftar kami. Kita sekarang melihat bahwa nilai2 nilai x dan yditemukan dari persimpangan parabola y = bx dan hiperbola persegi panjang xy = ab. Tentu saja kita harus menekankan lagi bahwa ini sama sekali tidak menunjukkan cara yang Menaechmus memecahkan masalah tetapi tidak menunjukkan dalam istilah modern bagaimana parabola dan hiperbola memasuki solusi untuk masalah ini. Untuk Menaechmus solusi kedua menggunakan persimpangan dari dua parabola y 2 = bx dan x 2 = ay yang merupakan persamaan kedua dan ketiga dalam daftar kami. Salah satu teka-teki besar tentang solusi dari masalah penggandaan kubus adalah bahwa ada solusi mekanik yang dikenal sebagai mesin Plato. Ada dua teori mengenai mesin Plato untuk memecahkan masalah penggandaan kubus. Satu teori adalah bahwa Plato menemukan solusi
mekanik untuk menunjukkan betapa mudahnya untuk merancang solusi tersebut, tapi teori yang lebih luas dipegang adalah bahwa mesin Plato diciptakan oleh salah satu pengikutnya di Akademi. Jadi mesin yang Eratosthenes diciptakan untuk memecahkan masalah ini adalah terdiri dua garis sejajar dengan segitiga antara mereka seperti yang ditunjukkan dalam diagram atas. Berikut AE dan D H adalah dua panjang yang diperlukan untuk menemukan dua berarti proportionals. Sekarang menjaga AMF segitiga pertama tetap, tetapi memungkinkan segitiga MNG dan NQH untuk meluncur dalam bingkai dibatasi oleh AX dan EY. Putar AX sampai melewati D tetapi saat melakukan hal ini pastikan bahwa titik B dan C di mana ini memotong garis berputar MF dan NG terus juga berbaring di sisi MG dan NH dari dua segitiga yang bergerak ke kiri untuk memungkinkan konfigurasi ini untuk tetap mungkin. Slide segitiga kiri hingga bagian bawah dua diagram tercapai. Dalam diagram akhir BF dan CG adalah dua proportionals berarti antara AE dan DH. Sekarang Eratosthenes komentar dalam kutipan di atas bahwa mesin itu mampu menemukan lebih dari dua proportionals berarti. Jika salah satu adalah untuk meminta 'segudang berarti' proportionals, maka orang akan perlu untuk menempatkan bahwa jumlah segitiga bergerak ke dalam mesin dan prosedur yang sama akan menemukan 'segudang' proportionals berarti. Meskipun banyak metode yang berbeda diciptakan untuk menggandakan kubus dan penemuan matematika yang luar biasa dibuat dalam upaya, Yunani kuno tidak pernah akan menemukan solusi yang mereka benar benar dicari, yaitu salah satu yang bisa dibuat dengan penggaris dan kompas konstruksi. Mereka tidak akan pernah menemukan seperti konstruksi karena seperti konstruksi tidak dapat dibuat. Namun, tidak ada cara bahwa Yunani kuno pernah bisa membuktikan hasil tersebut karena diperlukan matematika jauh melampaui apa yang mereka kembangkan. Ini adil untuk mengatakan, bagaimanapun, bahwa meskipun mereka tidak bisa membuktikan bahwa seorang penguasa dan konstruksi kompas tidak mungkin yang terbaik dari para ahli matematika Yunani kuno tahu secara intuitif bahwa memang itu tidak mungkin.
Bukti dari kemustahilan harus menunggu matematika abad ke-19. Potongan potongan terakhir dari argumen disatukan oleh Pierre Wantzel. Pada 1837 diterbitkan bukti Wantzel dalam Journal Liouville tentang: ... cara memastikan apakah masalah geometris dapat diselesaikan dengan penggaris dan kompas.
Gauss telah menyatakan bahwa masalah penggandaan kubus dan trisecting sudut tidak dapat dipecahkan dengan penggaris dan kompas, tetapi ia tidak memberikan bukti. Dalam makalah ini 1.837 Wantzel adalah yang pertama untuk membuktikan hasil ini. Bukti Peningkatan kemudian diberikan oleh Charles Sturm tetapi ia tidak mempublikasikannya.
DAFTAR PUSTAKA
1. http://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_matematika_yunani 2. http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_Yunani 3. http://ghezananda.student.umm.ac.id/2011/08/05/asal-usul-dansejarah-matematika/
4. http://garfieldq10.blogspot.com/2012/02/sejarah-matematika-pada zaman-yunani.html
5. http://zoen-cuteyz.blogspot.com/2007/11/sejarah-matematika.html 6. http://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_mathematics 7. http://id.wikibooks.org/wiki/Yunani_Kuno/Pengetahuan/Matematika/Angk a 8. Salah
Kaduri Haza’a, Sejarah Modern,Yogyakarta.2003.
Matematika
Klasik
dan
