MAKALAH SEJARAH MATEMATIKA DI INDIA
OLEH : Kelompok 6
1. Kintan Dwi Putri Azura (15029011) 2. Nadia El Khair (15029057) 3. Prilly Aliffani (15029075)
DOSEN PEMBIMBING : Dra. Jazwinarti, M.Pd
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2018
1
KATA PENGANTAR
Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Panyayang, kami ucapkan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah sejarah Matematika tentang sejarah masuk dan berkembangnya matematika di India. Adapun makalah Sejarah Matematika ini telah kami usahakan semaksima lmungkin dan tentunya dengan bantuan berbagai pihak, sehingga dapa tmemperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami tidak lupa menyampaikan banyak terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu kami dalam pembuatan makalah ini. Namun tidak lepas dari semua itu, kami menyadari men yadari sepenuhnya bahwa ada kekurangan baik dari segi penyusunan bahasanya maupun segi lainnya. Oleh karena itu denganlapang dada dan tangan terbuka kami membuka selebar-lebarnya bagi pembaca yang ingin memberi saran dan kritik kepada kami sehingga kami dapat memperbaiki memperbaiki makalah Sejarah Matematika tentang Sejarah masuk dan berkembangnya matematika di India. Akhirnya penyusun penyusun mengharapkan mengharapkan semoga dari makalah tentang sejarah masuk dan berkembangnya matematika di India ini dapat diambil hikmah dan manfaatnya sehingga dapat memberikan inpirasi terhadap pembaca.
Padang,
Maret 2018
Penyusun
2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................ 2 DAFTAR ISI ........................................................................................................... 3 BAB I ..................................................................................................................... 4 PENDAHULUAN .................................................................................................. 4 A.Latar Belakang ................................................................................................. 4 B. Rumusan Masalah ........................................................................................... 6 C.Tujuan Penulisan ............................................................................................. 6 BAB II ..................................................................................................................... 7 PEMBAHASAN ..................................................................................................... 7 A.Sejarah Matematika India ............................................................................... 7 B.Sistem Angka India.......................................................................................... 9 C.Sejarah Angka Nol ........................................................................................ 13 D.Tokoh Matematika India ............................................................................... 15 E. Penemuan Yang Berhubungan Dengan Matematika Di India ...................... 21 BAB III ................................................................................................................. 24 PENUTUP............................................................................................................. 24 A.Kesimpulan .................................................................................................... 24 B.Saran .............................................................................................................. 25 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 26
3
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
India telah memiliki pengetahuan besar mengenai matematika. Angka nol diciptakan oleh bangsa India kuno. Demikian juga system desimal. Matematika Hindu atau matematika India dikenal sebagai Sulwa Sutra atau “talidarisloka” (cord of verses). Ini berkaitan dengan pembangunan altar tempat pemujaan dan upacara korban. Formula dari Sulwa Sutra sifatnya empirik. Sesungguhnya, dikatakan bahwa Sulwa Sutra mungkin merupakan pengaruh di belakang perkembangan kemudian dari geometri Yunani. Semua hal yang datang dari matematika India, angka adalah yang paling menonjol. Peradaban terdiri anak benua India adalah Peradaban Lembah Indus yang mengemuka di antara tahun 2600 dan 1900 SM di daerah aliran Sungai Indus. Kota-kota mereka teratur secara geometris, tetapi dokumen matematika yang masih terawat dari peradaban ini belum ditemukan. Peradaban Lembah Sungai Indus, 2800 SM – 1800 SM, merupakan sebuah peradaban kuno yang hidup sepanjang Sungai Indus dan Sungai Ghaggar-Hakra yang sekarang Pakistan dan India Barat. Peradaban ini sering juga disebut sebagai Peradaban Harappa Lembah Indus, karena kota penggalian pertamanya disebut Harappa, atau juga Peradaban Indus Sarasvati karena Sungai Sarasvati yang mungkin kering pada akhir 1900 SM. Pemusatan terbesar dari Lembah Indus berada di timur Indus, dekat wilayah yang dulunya merupakan Sungai Sarasvati kuno yang pernah mengalir. Matematika Vedanta dimulakan di India sejak ZamanBesi. Shatapatha Brahmana (kira-kira abad ke-9 SM), menghampiri nilai π, dan Sulba Sutras (kirakira 800 – 500 SM) yang merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan,
4
menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat, mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras. Rumus itu sekarang ada di Pakistan tetapi ini masih termasuk dalam bahasan kita “Indian Matematic” yang pada makalah ini menunjukan pada perkembangan matematika di bagian India. Peradaban India berdasarkan pada dua kota tersebut dan juga pada lebih dari 100 kota kecil dan desa-desa. Peradaban ini dimulai sekitar 2500 tahun sebelum masehi dan berjalan sampai 1700 sebelum masehi atau berikutnya. Orang-orang telah menulis dan menggunakan tulisan beraksara berkisar 5090 karakter yang beberapa telah diakui dapatditafsirkan, tetapi jauh dari kejelasan, ini adalah masalahnya. Ada 2 era dalam perkembangan matematika di India: 1.
Era Sulvasutra
Sulvasutra menerbitkan sebuah buku yang berjudul “ Sulvasutras” (buku tentang hukum-hukum pengukuran yang didalamnya terdapat pengetahuan geometri kuno). Sulvasutras ini menemukan dalil-dalil untuk melukis suatu segitiga yang sisi-sisinya membentuk triple Pythagoras. Berdasarkan hal ini, bukan
tidak
mungkin
bahwa
Sulvasutras
dipengaruhi
oleh
matematika
Messopotamia. Setelah India ditaklukkan sedikit oleh Iskandar Agung, kemudian muncullah kekaisaran Mourya, yang mempunyai daerah kekuasaan seluruh India ditambah lagi dengan sebagian Asia Tengah. Kaisar Mourya yang paling terkenal adalah Asoka (272-232 SM), dimana pada zaman kekuasaan kaisar ini dibangun pilar-pilar pada setiap kota-kota penting di India, yang sampai sekarang masih bisa dilihat sisa-sisanya. Pilar-pilar sangat penting artinya dalam sejarah matematika India karena mengandung lambang-lambang bilangan. Setelah Asoka, India mengalami sederetan inovasi yang akhirnya diikuti oleh dinasti Gupto, yang merupakan pemerintahan asli penduduk India. Periode dinasti Gupto ini (290-450) merupakan zaman keemasan dari bangkitnya kembali kebudayaan sangskerta. India pada zaman itu merupakan pusat ilmu pengetahuan, kesenian, dan kedokteran. Pada waktu itu dibangunlah beberapa kota besar di India, serta bermunculan beberapa universitas.
5
2.
Era Siddanta
Era Siddanta ini merupakan hasil dari kebangkitan kembali kebudayaan sangskerta. Terdapat lima versi Siddanta, yakni Paulisa Siddanta, Surya Siddanta, Vasisishta Siddanta, Paitamaha Siddanta, dan Romanka Siddanta, yang ditulis sekitar tahun 400. Satu-satumya Siddanta yang dapat ditemukan secara lengkap adalah Surya Siddanta (pengetahuan dari matahari) tidak diketahui siapa penulisnya. Sedangkan buku Paulisha Siddanta, yang ditulis kira-kira tahun 330 diringkas oleh matemati kawan Hindu yaitu Varhamihira pada tahun 505. Dari tahun 450 sampai dengan akhir tahun 1400, India kembali menjadi subjek inovasi asing. Yang pertama kali datang adalah bangsa Hunt, kemudian diikuti oleh bangsa Arab pada abad kedelapan, selanjutnya disusul oleh bangsa Porsi pada abad kesebelas. Pada periode ini muncul matematikawan yang terkenal.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana sejarah masuknya matematika ke India? 2. Bagaimana sejarah perkembangan matematika di India? 3. Siapa saja matematikawan dari India ? 4. Apa saja sumbangsih perkembangan matematika di India terhadap ilmu matematika?
C. Tujuan Penulisan
1. Untuk mengetahui bagaimana sejarah masuknya matematika ke India 2. Untuk mengetahui bagaimana sejarah perkembangan matematika di India 3. Untuk mengetahui siapa saja matematikawan dari India 4. Untuk mengetahui sumbangsih perkembangan matematika di India terhadap ilmu matematika
6
BAB II PEMBAHASAN
A. Sejarah Matematika India
Matematika India atau juga bisa disebut Matematika Hindu muncul pada abad ke-26 SM dan berakhir pada abad ke-14 M. Matematika India ini berkembang setelah matematika China dan berakhir tepat sebelum munculnya matematika Eropa abad pertengahan. Matematika India dimulai sejak munculnya sebuah peradaban yang terletak di daerah aliran Sungai Indus. Peradaban ini biasa disebut Peradaban Lembah Indus. Kota-kota yang mereka tempati kala itu diatur secara geometris. Peradaban Lembah Sungai Indus, 2800 SM – 1800 SM, merupakan sebuah peradaban kuno yang hidup sepanjang Sungai Indus dan Sungai Ghaggar-Hakra yang sekarang Pakistan dan India barat. Peradaban ini sering juga disebut sebagai Peradaban Harappa Lembah Indus, karena kota penggalian pertamanya disebut Harappa, atau juga Peradaban Indus Sarasvati karena Sungai Sarasvati yang mungkin kering pada akhir 1900 SM. Pemusatan terbesar dari Lembah Indus berada di timur Indus, dekat wilayah yang dulunya merupakan Sungai Sarasvati kuno yang pernah mengalir. India telah memiliki pengetahuan besar mengenai matematika. Angka nol diciptakan oleh bangsa India kuno. Demikian juga sistem desimal. Matematika Hindu atau matematika India dikenal sebagai Sulwa Sutra atau “tali dari sloka” (cord of verses). Ini berkaitan dengan pembangunan altar tempat pemujaan dan upacara korban. Formula dari Sulwa Sutra sifatnya empirik. Sesungguhnya, dikatakan bahwa Sulwa Sutra mungkin merupakan pengaruh di belakanag perkembangan kemudian dari geometri Yunani. Semua hal yang datang dari matematika India, angka nol adalah yang paling menonjol Sekitar abad ke-15 SM bangsa India diusir oleh bangsa Arya yang datang dari Asia Tengah. Selama kira-kira 1000 tahun bangsa Arya menyempurnakan tulisan Hindu dan bahasa Sansekerta. Beberapa penulis agama juga menulis sejarah matematika karena dalam pembangunan altar Budha direntangkan tali yang menunjukkan pengenalan tigaan Pythagoras.
7
Kemudian lahirlah matematika Vedanta yang berkembang di India sejak Zaman Besi. Sekitar abad ke-9 SM, seorang matematikawan bernama Shatapatha Brahmana mulai menemukan pendekatan nilai π, dan kemudian antara abad ke -8
dan ke-5 SM, Sulba Sutras memberikan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan rasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik yaitu dengan menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan, memberikan metode konstruksi lingkaran dan perhitungan luasnya menggunakan susunan
persegi,
menyelesaikan
persamaan
linear
dan
kuadrat
serta
menggembangkan Tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras. Pada tahun 550 bangsa Hindu menemukan bilangan nol dan penulisan sistem letak untuk bilangan. Angka India atau Argam Hindiyyah dimulai satu tempat kosong untuk angka nol, ini terbukti telah dituliskan posisi itu pada Kitab Injil orang India. Para ahli matematika India telah lama menemukan bilangan nol, tetapi belum ada simbolnya. Kemudian Aryabrata menyebut bilangan nol dengan kata “kha”. Aryabrata telah memasukkan nol dalam sistem perhitungan bukan sekedar tempat kosong. Konsep bilangan nol menggunakan satu tempat kosong di dalam pengaturan bentuk tabel telah dikenal dan digunakan di India dari abad ke6. Naskah tertua yang diketahui menggunakan nol adalah karya Jain dari India yang berjudul Lokavibhaaga, berangka tahun 458. Penggunaan simbol nol oleh orang India yang pasti adalah di Gwalior Tablet Stone pada tahun 876. Dokumen tersebut tercetak pada lempengan tem baga dengan simbol “o” kecil tercetak di situ. Ensiklopedi Britanica mengatakan “Literatur Hindu membuktikan bahwa bilangan nol mungkin telah dikenal di depan kelahiran Kristus, tetapi tidak ada catatan yang ditemukan dengan simbol seperti itu di depan abad ke-9”. Ide-ide brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan Muslim dan Arab. Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan Al-Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Sistem ini disebut sebagai Sistem Bilangan Desimal.
8
B. Sistem Angka India
Setelah diteliti penomoran India hanya berbasis 10 (simbol uang berbeda 1 sampai 9) berlawanan pada sistem berbasis 60 Babilonia. Dan simbol mengambil pada bentuk tertutup (rumus) yang sekarang digunakan di Eropa abad 15. Sistem angka India sering disebut di Barat sebagai Sistem Hindu-Arab atau hanya Angka Arab karena mencapai Eropa melalui orang Arab. Sementara itu, angka modern saat ini, berasal dari simbol yang digunakan oleh para ahli matematika Hindu India sekitar tahun 200 SM, yang kemudian dikembangkan oleh orang Arab. Dibandingkan dari seluruh angka yang ada (1 sampai 9), angka 0 (nol) merupakan angka yang paling terakhir kemunculannya. Terdapat beberapa angka yang ditemukan di India, yaitu: 1.
Angka Brahmani (Angka Brahmi)
Angka Brahmi ada sejak abad 1 SM dan masih digunakan sampai sekarang. Ada beberapa teori yang dikedepankan oleh para ahli sejarah, mengenai asal – usul angka ini, yaitu: Angka Brahmi berasal dari kebudayaan sungai indus sekitar 2000 SM Angka Brahmi berasal dari angka Aramen Angka Brahmi berasal dari abjad Karoshthi Angka Brahmi berasal dari abjad Brahmi Brahmi berasal dari sistem angka dari abjad yang pertama, seperti halnya Panini. Berikut adalah contoh Brahmi satu, dua, tiga.
Ada Brahmi simbol terpisah untuk 4, 5, 6, 7, 8, 9 tapi ada juga simbol untuk 10, 100, 1000, … serta 20, 30, 40, … , 90 dan 200, 300, 400, …, 900. Berikut adalah contoh salah satu gaya dari angka Brahmi.
9
Tidak ada masalah dalam memahami simbol untuk 1, 2, dan 3. Namun simbol untuk 4, … , 9 tampaknya kita tidak ada kaitan yang jelas dengan nomor yang mereka wakili. Ada cukup banyak teori dikemukakan oleh sejarawan selama bertahun-tahun untuk asal-usul angka-angka. Dalam Ifrah daftar sejumlah hipotesis yang telah diajukan. Pada dasarnya hipotesis tersebut terdiri dari dua jenis. Salah satunya adalah bahwa angka-angka berasal dari alfabet dengan cara yang mirip dengan angka Yunani yang merupakan huruf awal dari nama-nama angka. Tipe kedua hipotesis adalah bahwa mereka berasal dari sistem nomor sebelumnya dari jenis yang sama dengan angka Romawi. Misalnya, angka Aram dari hipotesis 2 didasarkan pada I (satu) dan X (empat) : I, II, III, X, IX, IIX, IIIX, XX. Ifrah memeriksa setiap enam hipotesis pada gilirannya dan menolak mereka, meskipun orang harus mengatakan bahwa dalam beberapa kasus lebih disebabkan karena kurangnya bukti positif daripada bukti negatif. Ifrah mengusulkan teori sendiri, yaitu bahwa: Sembilan pertama angka Brahmi merupakan sisa-sisa dari notasi numerik adat lama, di mana sembilan angka diwakili oleh angka yang sesuai garis vertikal … Untuk mengaktifkan angka akan ditulis dengan cepat, untuk menghemat waktu, kelompok-kelompok garis berkembang dalam banyak cara yang sama dengan orang-orang tua angka Pharonic Mesir. Dengan mempertimbangkan jenis bahan yang ditulis di India selama berabad-abad (pohon atau daun kelapa kulit) dan keterbatasan peralatan yang digunakan untuk menulis (Calamus atau sikat),
10
bentuk angka menjadi lebih dan lebih rumit dengan ligatures banyak, sampai angka tidak lagi menanggung setiap kemiripan dengan prototipe asli . Ini adalah teori yang bagus, dan memang mungkin benar, tetapi tampaknya benar-benar tidak ada bukti positif untuk mendukungnya. Idenya adalah bahwa mereka berevolusi dari:
Orang mungkin berharap untuk menemukan bukti seperti angka pada saat evolusi. Namun, akan muncul bahwa kita tidak akan pernah menemukan bukti meyakinkan untuk asal dari angka Brahmi. 2.
Angka Gupta
Periode Gupta adalah selama dinasti Gupta memerintah sampai ke Magadha di timur laut India yang dimulai sejak awal abad 4 M sampai abad 6 M. Angka Gupta dibangun dari angka Brahmi yang tersebar luas oleh kerajaan Gupta.
11
3.
Angka Nagari
Angka Nagari sering disebut-sebut oleh Al-Biruni sebagai “kebanyakan bilangan” karena banyak dikirim ke dalam dunia Arab. Angka Nagari yang sering juga disebut angka Devanagari. Angka India menyebar ke bagian dunia antara abad 7 sampai 16 M dan sudah menyebar sampai di Eropa diakhir abad 5 M. Berdasarkan angka-angka yang ditemukan di India kita dapat mengetahui perkembangan sistem angka India yaitu dari angka Brahmi menuju angka Gupta kemudian kedalam angka Nagari dan selanjutnya angka-angka India tersebut dikembangkan di bangsa Arab dan berkembang menjadi angka modern yang kita gunakan sekarang ini.
Angka
Hindu-
Devanagari Arab
Perkataan
Sanskrit
Sistem bilangan India: Ciri
untuk angka ordinal
penting
dalam
sistem ini adalah kita boleh menlis angka untuk sembarang
०
0
śūnya (०००००)
angka, baik besar maupun kecil, dan
०
1
éka (००)
०
2
dvi (००००)
hanya
simbol
menggunakan
yang
disebut
10
digit,
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Kata ‘digit’ berarti ‘jari tangan’, atau ‘jari
०
3
trí (००००)
kaki’. Karena hanya 10 simbol yang digunakan, maka sistem
०
4
chatúr (०००००)
०
5
pañch (००००)
०
6
ṣáṣ (०००)
numerasi
Hindu-Arab
juga
sistem
7
saptá (००००)
०
8
aṣṭá (००००)
०
9
náva (००)
numerasi
perpuluhan. Satu lagi prinsip dalam sistem
०
disebut
numerasi
ini
yaitu
12
‘pengumpulan sepuluh-sepuluh’. Dimana sepuluh satu diganti dengan satu sepuluh, dan sepuluh-sepuluh diganti dengan satu-ratus, seratus-sepuluh diganti dengan satu ribu dan seterusnya. Bilangan objek yang dikumpulkan sedemikian disebut basis bagi sistem itu. Oleh karena itu, sistem Hindu-Arab boleh ditulis dalam bentuk uraian, dimana nilai bagi setiap digit dalam setiap kedudukan itu jelas. Sebagai contoh kita menulis 663 dalam bentuk uraian yaitu:
663=6×100+6×10+(3×1)
C. Sejarah Angka Nol
Nol mempunyai dua fungsi yang sama sama penting tapi berbeda dalam beberapa hal. Fungsi yang pertama ialah tempat yang kosong mengidentifikasikan pada sistem angka nilai posisi kita. Sekitar 650M penggunaan nol sebagai angka sudah masuk pada matematika India. Bangsa India juga menggunakan sistem tempat nilai dan nol untuk menandakan tempat yang kosong. Bahkan ada buktinya penyangga tempat yang kosong pada posisi angka dari awal 200M di India tetapi beberapa sejarawan menyangkal hal tersebut karena dianggap tidak asli. Sekitar tahun 500M Arybhata merancang sistem angka yang belum terdapat angka nol. Ia menggunakan kata “ kha” untuk posisi dan selanjutnya digunakan untuk menandakan tempat yang kosong pada sistem penulisan. Cukup menarik ketika dokumen yang sama kadang-kadang menggunakan titik untuk menandakan hal yang tidak diketahui yang biasanya kita menggunakan x. Belakangan matematika India mensahkan nol pada posisi angka namun belum ada simbol yang mewakilinya. Brahmagupta mencoba memberikan aturan pada aritmatika dengan melibatkan angka nol dan negative pada abad ke-7. Ia menjelaskan bahwa menentukan angka dan jika kamu mensubtrasikannya sendiri maka kamu mendapat NOL. Ia memberikan peraturan tambahan yang berhubungan dengan nol sebagai berikut :
13
The sum of zero and a negative enumber is negative, the sum of a positif number and zero is positive, the sum of zero and zero is zero. Artinya : Jumlah angka nol dan negatif adalah negatif, jumlah angka nol dan positif adalah positif, jumlah nol dan nol adalah nol. Subtraksi terlihat lebih keras: A negative number subtracted from zero is positive, a positive number subtracted from zero is negative, zero subtracted from a negative number is negative, zero subtracted from positive number is positive, zero subtracted from zero is zero. Artinya: Angka negatif disubtraksikan dari nol adalah positif, angka positif disubtraksikan dari nol adalah negatif, nol disubtraksikan dari angka negatif adalah negatif, nol disubtraksikan dari nol adalah nol. Sebenarnya Brahmagupta berkata sangat sedikit ketika ia mengemukakan bahwa n dibagi nol adalah . Ia salah ketika ia mengklaim bahwa nol dibagi nol adalah nol. Akan tetapi, suatu percobaan yang jenius dari orang pertama yang kita tau mencoba untuk mengembangkan aritmatika pada angka negatif dan nol. Pada 830 Mahavira menulis Ganita Sara Samgraha yang dibuat untuk memperbaharui buku Brahmagupta. Ia menyatakan bahwa : .... a number multiplied by zero is zero, and a number remain the same when zero is substracted from it. Artinya: Angka yang dikalikan nol hasilnya nol, dan angka akan tetap sama apabila nol disubtraksikan dengan angka tersebut. Bagaimanapun
juga
ia
mencoba
untuk
memperbaiki
pernyataan
Brahmagupta tentang pembagian nol yang terlihat banyak membuat kesalahan. Ia menulis: A number remains unchanged when divided by zero. Artinya: Angka akan tetap sama jika dibagi dengan nol.
14
Bhaskara menulis lebih dari 500 tahun setelah Bra hmagupta. Ia menulis; A quantity devided by zero becomes a fraction the denominator of which is zero. This fuction is termed an infinite quantity. In this quantity consisting of that which has zero for its divisor, there is no alteration, though many may be inserted or extracted; as no change take place in the infinite and immutable God when worlds are created or destroyed, though numrous orders of beings are absorbed or put fourth. Artinya: Banyaknya pembagian nol menjadi penyebut bilangan pecahan adalah nol. Bilangan pecahan ini mempunyai batas yang tidak terbatas. Dalam jumlah ini terdiri dari nol sebagai penyebut tidak ada perubahan, walaupun banyak yang dimasukkan atau dikeluarkan tidak ada perubahan Tuhan yang tidak terbatas dan tidak dapat digantikan ketika dunia diciptakan atau dihancurkan, walau banyak sekali pesanan yang diserap maupun dikeluarkan. Maka Bhaskara mencoba untuk memecahkan masalah dengan menulis
=
∞ dilihat pertama kali mungkin kita terbujuk untuk percaya Bhaskara benar, tetapi tentu saja dia tidak benar. Apabila benar bahwa waktu nol adalah harus sejajar dengan semua angka n, maka semua angka adalah sejajar. Matematika India tidak menyimpulkan pada hal pembenaran bahwa sesuatu tidak dapat dibagi dengan nol. Akan tetapi, Bhaskara juga mempunyai pernyataan yang benar seperti
0
dan 0
0 =
= 0.
Bangsa Maya yang hidup di Amerika Tengah, yang sekarang dikenal Meksiko Selatan, Guetemala, dan Utara Belize. Pada tahun 665 mereka menggunakan sistem angka nilai-tempat dengan nilai dasar 20 dengan menggunakan simbol 0.
D. Tokoh Matematika India
1. Panini
15
(kira-kira merumuskan
abad
ke-5
aturan-aturan
SM) tata
yang bahasa
Sanskerta. Notasi yang dia gunakan sama dengan
notasi
menggunakan
matematika
modern,
aturan-aturan
dan meta,
transformasi, dan rekursi.
2. Pingala Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalahnya
prosody menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika meter bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci (yang disebut mātrāmeru).
3.
Surya Siddhanta Surya Siddhanta (kira-kira 400) memperkenalkan fungsi trigonometri
sinus, kosinus, dan balikan sinus, dan meletakkan aturan-aturan yang menentukan gerak sejati benda-benda langit, yang bersesuaian dengan posisi mereka sebenarnya di langit. Daur waktu kosmologi dijelaskan di dalam tulisan itu, yang merupakan salinan dari karya terdahulu, bersesuaian dengan rata-rata tahun siderik 365,2563627 hari, yang hanya 1,4 detik lebih panjang daripada nilai modern sebesar 365,25636305 hari. Karya ini diterjemahkan ke dalam bahasa Arab dan bahasa Latin pada Zaman Pertengahan.
16
4.
Aryabhata
Pada tahun 476 – 520 A.D, adalah pertama
ahli
matematika
yang
dikenal
Hindu dunia.
Risalah atau tulisannya mengenai subyek ini adalah karya Hindu yang
pertama
mengenai
matematika murni, dan terdiri dari tiga-puluh-tiga sloka. Ia menjelaskan mengenai sebab-sebab gerhana matahari dan bulan. Dia memberikan peraturan (rule) untuk pemecahan sederhana dari persamaan sederhana lanjutan ( simple intermediate equations) dan penetapan yang tepat mengenai nilai (accurate determination of value). Percaya tau tidak, Aryabhata menyatakan hubungan keliling sebuah lingkaran pada diameternya ( relation of the circumperence of a circle to its diameter ). Pada tahun 499, memperkenalkan fungsi versinus, menghasilkan tabel trigonometri India pertama tentang sinus, mengembangkan
teknik-teknik
dan
algoritma
aljabar,
infinitesimal,
dan
persamaan diferensial, dan memperoleh solusi seluruh bilangan untuk persamaan linear oleh sebuah metode yang setara dengan metode modern, bersama-sama dengan perhitungan (astronomi) yang akurat berdasarkan sistem heliosentris gravitasi. Sebuah terjemahan bahasa Arab dari karyanya Aryabhatiya tersedia sejak abad ke-8, diikuti oleh terjemahan bahasa Latin pada abad ke-13. Dia juga memberikan nilai
π yang bersesuaian dengan 8 = 3,1416 . Ia juga membuat
rumus untuk menemukan luas segitiga, lingkaran, dan lain-lain. Dalam rumus lingkaran, ia membuat peraturan yang menyatakan komponen utama pemecahan keliling sebuah lingkaran ada pada diameternya . Pada tahun 499 M, saat usianya baru 23 tahun ia sudah berhasil membuat sebuah karya besar. Karyanya itu adalah sebuah Kitab yang ia beri judul mirip dengan namanya yakni Aryabhatiya. Kitab ini begitu populer karena didalamnya ia memperkenalkan fungsi versinus, menghasilkan tabel trigonometri India pertama
tentang
sinus,
mengembangkan teknik-teknik
algoritma
aljabar,
infinitesimal, dan persamaan diferensial, serta memperoleh M.
17
Tak hanya matematika, di dalam kitab ini ia juga menuliskan perhitungan astronomi yang akurat berdasarkan sistem
heliosentris gravitasi. Saking
populernya, kitab ini diterjemahkan kedalam bahasa Arab pada abad ke-8 M, dan kemudian dalam bahasa Latin pada abad ke-13 Aryabhata adalah matematikawan dan astronom India yang lahir pada tahun 475 M dan meninggal pada tahun 550 M. Dia hidup di zaman yang sulit untuk mengembangkan matematika. Bahkan, pada masa itu dia merupakan satu-satunya orang yang menemukan rumus-rumus matematika sebelum lahirnya ahli-ahli matematika pada masa modern kini.
5.
Brahma Gupta
Brahma Gupta adalah matematikawan besar India berikutnya, ia hidup dari tahun 598 sampai 660 M. Karyanya yang terkenal adalah Brahma Siddhanta yang terdiri dari dalil dan peraturan. Pada tahun 628 M Brahma Gupta menulis sebuah buku berjudul Brahma Gupta Siddhanta sebagai perbaikan dari buku sebelumnya. Dalam buku barunya ini ia menulis 2 bab tentang matematika, yaitu bab 12 dan 18 yang didalamnya terdapat teoremateorema yang sudah diakui sebagai teorema yang benar. Namun ada pendapat beberapa ahli yang mengatakan bahwa teorema Brahma Gupta tidak benar. Disamping itu terdapat pula teorema-teorema Brahma Gupta yang eksak yaitu dengan memanfaatkan rumus-rumus Archimedes Heron untuk menentukan jari-jari lingkaran luar suatu segitiga. Salah satu contohnya adalah saat Brahma Gupta membuat rumus yang ekivalen dengan rumus trigonometri yang kita pakai sekarang yakni:
2 =
= = sin sin sin
Yang merupakan formulasi kembali dari hasil karya ptolami. Barangkali hasil yang paling menarik dari Brahma Gupta adalah menggeneralisasikan dari rumus beron untuk menentukan luas segi empat yakni :
= √ ( − )( − )( − )( − )
18
6.
Mādhavan
Mādhavan dari Sangamagrama lahir dengan
nama
Namboodiri
Irinjaatappilly (1350
–
Madhavan
1425)
adalah
matematikawan dan astronom India dari kota Irinjalakkuda (dekat Cochin, Kerala, India).
Ia
merupakan
pendiri
sekolah
astronomi dan matematika Kerala. Mādhava dianggap sebagai salah satu matematikawan-astronom terbesar pada abad pertengahan, dan telah menyumbangkan kontribusi dalam deret takhingga, kalkulus, trigonometri, geometri dan aljabar. Karya Madhava diduga dikirim ke Eropa melalui misionaris-misionaris Yesuit dan pedagang yang aktif disekitar pelabuhan Kochi, sehingga memberikan pengaruh terhadap perkembangan kalkulus di Eropa. Karya Madhava yang memberikan suatu urutan untuk π diterjemahkan ke dalam bahasa matematika modern, dibaca
Π=4−
4 4 + 3
Pada abad ke-14, Madhava dari Sangamagrama menemukan rumus Leibniz untuk pi, dan menggunakan 21 suku, untuk menghi tung nilai π sebagai berikut 3,14159265359.
7.
Mahavira
Mahavira mulai dikenal sekitar tahun 850M, berasal dari selatan India. dia menulis tentang matematika dasar, seperti operasi-operasi
menambah,
memangkatkan,
menarik
mengurang, akar,
dan
sebagainya. Mahavira juga sudah mengenal bilangan positif dan negatif serta operasi dalam bilangan nol. Dia mengatakan bahwa “apabila sebuah bilangan dikalikan dengan nol akan menghasilkan nol, dan bilangan itu tidak
19
akan berubah nilainya apabila ditambah, dikurangi, atau dibagi dengan nol”. Kesalahan terhadap tulisan Mahavira ini adalah bahwa membagi dengan nol dikatakannya tidak merubah bilangan itu sendiri. Tetapi yang menarik dari karya Mahavira ini adalah pembagian dengan pecahan, yaitu dengan mengalikan dengan kebalikan dari pecahan tersebut.
8.
Bhaskara (1114-1185)
Bhaskara adalah ahli matematika India yang terkenal pada abad kedua belas. Karya-karyanya yaitu memberikan penyelesai an umum terhadap persamaan pell (john pell, 1611-1685). Karya bhaskara yang paling terkenal adalah “lilavati” (si cantik). Yang merupakan kumpulan dari problem-problem matematika dari Brahmagupta, dll, dan kemudian ditambah dengan problem-problem
hasil
obsevasinya sendiri.
9.
Srinivoso ramanujan (1887-1920)
Srinivoso ramanujan juga merupakan salah seorang genius Hindu pada abad kedua puluh, terutama dalam aljabar dan aritmatika. Yang mengesankan dari ramujan ini adalah tentang kecepatan daya pikirannya, ia mengatakan bahwa “angka 1729 merupakan angka yang paling kecil yang menyatakan jumlah dua pangkat tiga”.
20
Ada dua konstribusi Hindu yang paling menonjol dalam sejarah matematika adalah: a. Penemuan sistem numerasi Hindu b. Diperkenalkannya
table-table
fungsi
sinus
dalam
trigonometri
menggantikan table tali busur Yunani. E. Penemuan Yang Berhubungan Dengan Matematika Di India
The Sulba Sutra
Catatan tertua matematikawan India yang berisi lampiran teks-teks agama yang memberikan aturan sederhana untuk membangun altar berbagai bentuk, seperti kotak, persegi panjang, dan lain-lain. Lampiran ini juga memberi metode untuk membuat lingkaran dengan memberikan persegi yang luasnya sama. Serta berisi penjelasan verbal awal mengenai teorema Pythagoras.
The Siddhanta Surya
Catatan yang memperkenalkan fungsi trigonometri sinus, kosinus, dan sinus invers, dan meletakkan aturan untuk menentukan gerakan yang sebenarnya posisi benda-benda langit.
Naskah Bakhshali
Naskah Bakhshali merupakan naskah awal yang ditemukan ratusan tahun yang lalu. Gupta menulis : “ Naskah Bakhshali adalah naskah yang diberikan pada pekerjaan matematika yang ditulis pada pelapah pohon ditemukan pada musim panas tahun 1881 di dekat kampong Bakhshali Yusufzai Peshawar (sekarang Pakistan). Kampong tersebut berada di Mardhan Tsanil 50 mil dari kota Peshawar ”. Naskah Bakhsahali sebuah buku petunjuk tentang aturan-aturan dan contoh ilustrasi dan pemecahannya. Terutama tentang Aritmatika dan Aljabar serta beberapa Geometri dan pengukuran. Naskah tersebut memberikan banyak pernyataan aturan kemudian diikuti contoh dan tanda matematika serta pembuktiannya. Hanya sebagian besar disimpan, maka kita tidak dapat
21
memastikan ukuran atau keseimbangan antara topik yang berbeda. Sebagian besar naskah telah rusak dan hanya sekitar 70 daun pelepah pohon yang tersisa yang masih bertahan hingga naskah ini ditemukan. Naskah tersebut diperkirakan disusun sekitar 400M.
Nilai π Pemahaman π oleh Aryabhata, Aryabhata bekerja pada pendekatan untuk
π dan memungkinkan telah sampai pada kesimpulan bahwa π adalah tidak rasional. Pada bagian kedua dari Aryabhata (ganita pada 10), ia menulis dalam bahasa sansekerta, yang artinya : “tambahkan 4 dan 100, kalikan dengan 8, dan kemudian menambahkan 62.000. dengan aturan ini keliling lingkaran dengan diameter 20.000 dapat ditemui menjadi ∏
= = 3.1416
Geometri Basis dan inspirasi dari keseluruhan matematika India adalah geometri.
Bekas-bekas peninggalan awal pengetahuan geometri dari peradaban Lembah Indus dapat ditemukan pada penggalian kota Harappa dan Mohenjo-daro, dimana terdapat bukti berupa alat penggambar lingkaran yang berasal dari 2500 SM. Ilmu geometri yang berasal dari India dapat diketahui melalui sebuah catatan konstruksi geometri para pendeta Weda yang disebut Sulbasutra. Sulbasutra adalah panduan untuk pembangunan altar-altar tersebut untuk pemujaan dan menjelaskan sejarah geometri bangsa India. Altar-altar ini memiliki bentuk berbeda-beda tetapi berdiri di wilayah yang sama. Sulbasutra berisi penjelasan verbal awal mengenai teorema Pythagoras meskipun juga telah diketahui oleh bangsa Babilonia. Dalil-dalil Sutrasulba berhubungan dengan pembagian gambargambar seperti garis lurus, persegi panjang, lingkaran dan segitiga. Geometri Hindu terutama untuk keperluan praktek. Geometri yang pertama mengenai pendirian altar agama Hindu. Pendirian altar itu terkait dengan teorema Pythagoras.
22
Trigonometri Penelitian trigonometri oleh Aryabhata. Dalam kitab Ganitapada 6,
Aryabhata mengemukakan luas segitiga, yang artinya “untuk segitiga, hasil yang tegak lurus dengan sisi setengah merupakan daerah ”.
Aljabar Penelitian Aljabar oleh Aryabhata. Didalam kitab Aryabhata, Aryabhata
memberikan hasil elegan untuk penjumlahan dari serangkaian bilangan kuadrat dan bilangan pangkat 3 :
1 + 2 + ⋯ + = (1 + 2 + ⋯ + ) Jika x, y, dan r merupakan sisi segitiga dan memenuhi persamaan
y = r
x +
maka segitiga tersebut pastilah siku-siku, dan dikatakan x, y, dan r
adalah tripel pythagoras. Untuk mencari tripel pythagoras kita bisa menggunakan rumus-rumus berikut :
= − =2 = + dengan ketentuan
a>b
Kita bisa memakai rumus tersebut sebagai berikut: a
b
a2-b2
2ab
a2+b2
2
1
3
4
5
3
1
8
6
10
3
2
5
12
13
4
1
15
8
17
23
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan
Matematika Hindu atau matematika India dikenal sebagai Sulwa Sutra atau “tali dari sloka” (cord of verses). Semua hal yang datang dari matematika India, Angka India atau Argam Hindiyyah dimulai satu tempat kosong untuk angka nol. Para ahli matematika India telah lama menemukan bilangan nol, tetapi belum ada simbolnya. Kemudian Arybrata menyebut bilangan nol dengan kata “kha”. Dokumen tersebut tercetak pada lempengan tenbaga dengan simbol “o” kecil tercetak di situ. Ensiklopedi Britanica. Al-Khawarizmi
meneliti
sistem
perhitungan
Hindu
(India)
yang
menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Penomoran India berdasarkan basis 10. Ada beberapa macam angka di India yaitu : Angka Brahmi ditemukan di gua dan kuil di daerah dekat Poona, Bombay dan Uttar Pradesh. Data waktunya menunjukkan bahwa sudah dipakai lebih lama sampai abad 4M. Periode Gupta adalah selama dinasti Gupta memerintah sampai ke Magadha di Timur laut India pada awal abad 4M sampai akhir abad 6M. Angka Gupta dibangun dari angka Brahmi dan tersebar luas oleh kerajaan Gupta. Angka Gupta kemudian berkembang menjadi angka Nagari atau angka Devahagari. Bentuk ini berkembang dimulai sekitar abad 7M dan berlanjut berkembang dari abad 11M. Berdasarkan angka-angka yang ditemukan di India kita dapat mengetahui perkembangan sistem angka India yaitu dari angka Brahmi menuju angka Gupta kemudian kedalam angka Nagari dan selanjutnya angka-angka India tersebut dikembangkan di bangsa Arab dan berkembang menjadi angka modern yang kita gunakan sekarang ini. Matematika Vedanta dimulakan di India sejak Zaman Besi. Shatapatha Brahmana (kira-kira abad ke-9 SM), menghampiri nilai π, dan Sulba Sutras (kira -
24
kira 800 – 500 SM) yang merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik, menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan, memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, dan lainlain.
B. Saran
Diharapkan materi ini bermanfaat untuk masyarakat terutama mahasiswa untuk menambah pengetahuan tentang sejarah perkembangan matematika dan tokoh-tokoh matematika India.
25
DAFTAR PUSTAKA
http://emmasalim.blogspot.co.id/2013/09/makalah-matematika-india-sejarahmath.html http://blognya-rinakhairina.blogspot.co.id/2013/11/sejarah-matematika-india.html http://sejarahmatematika1.blogspot.co.id/2015/04/sejarah-matematika-indiakuno.html http://sejarahmatematika1.blogspot.co.id/2015/04/sejarah-matematika-indiakuno.html http://fitrirahmiku.blogspot.co.id/2013/04/makalah-sejarah-matematikasejarah.html https://nugrohodimasadi.wordpress.com/2014/04/11/indian-numeral/
26
